formulario a: integrales -...

22
FORMULARIO A INTEGRALES 277 Alfaomega CÁLCULO INTEGRAL • José Alfredo rAmos Beltrán Formulario A: Integrales En este formulario: abpqC ,, ,, son constantes reales, N mn , son enteros positivos y = u ux () y = v vx () son funciones que dependen x. Fórmulas básicas 1. = dx C 0 2. = + k dx kx C 3. au b vdx a udx b vdx C ( ) ± = ± + 4. = + + ≠- + u du u n C n 1 ; 1 n n 1 regla de la potencia 5. = - u dv uv v du integración por partes 6. = + a du a a C ln( ) n n 7. = + du u u C ln | | 8. = + e dx e C u u Fórmulas trigonométricas 9. =- + udu u C sen( ) cos( ) 10. = + udu u C cos( ) sen( ) 11. u du u C u C tan( ) ln sen( ) ln cos( ) [ ] [ ] = + - + 12. [ ] = + udu u C cot( ) ln sen( ) 13. π [ ] = + + + + u du u u C u C sec( ) ln sec( ) tan( ) ln tan 2 4 14. [ ] = - + + u du u u C u C csc( ) ln csc( ) cot( ) ln tan 2 15. = + udu u C sec ( ) tan( ) 2 16. =- + udu u C csc ( ) cot( ) 2 17. = - + u du u u C tan ( ) tan( ) 2 18. =- - + u du u u C cot ( ) cot( ) 2 19. [ ] = - + - + u du u u C u u u C sen ( ) 2 sen(2 ) 4 1 2 sen( )cos( ) 2 20. [ ] = + + + + u du u u C u u u C cos ( ) 2 sen(2 ) 4 1 2 sen( )cos( ) 2 21. = + u u du u C sec( )tan( ) sec( ) 22. =- + u u du c C csc( )cot( ) csc( ) Fórmulas trigonométricas hiperbólicas 23. = + udu u C sen h( ) cosh( ) 24. = + udu u C cosh( ) sen h( ) 25. [ ] = + udu u C tanh( ) ln cosh( ) 26. [ ] = + udu u C coth( ) ln senh( ) 27. ( ) [ ] = + + - - u du u C e C sech( ) sen tanh( ) 2 tanh u 1 1 28. ( ) = + - + - u du u C e C csch( ) ln tanh 2 2 coth u 1 29. = + udu u C sech ( ) tanh( ) 2 30. =- + udu u C csch ( ) coth( ) 2 31. = - + u du u u C tanh ( ) tanh( ) 2 32. = - + u du u u C coth ( ) coth( ) 2 33. [ ] = - + - + u du u u C u u u C senh ( ) sen h(2 ) 4 2 1 2 senh( )cosh( ) 2 34. [ ] = + + + + u du u u C u u u C cosh ( ) sen h(2 ) 4 2 1 2 senh( )cosh( ) 2 35. =- + u u du u C sech( )tanh( ) sech( ) 36. =- + u u du u C csch( )coth( ) csch( )

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Formulario a ➟ integrales 277

AlfaomegaCálCulo integral • José Alfredo rAmos Beltrán

➠ Formulario A: IntegralesEn este formulario: �∈a b p q C, , , , son constantes reales, N∈m n, son enteros positivos y =u u x( ) y

=v v x( ) son funciones que dependen x.

Fórmulas básicas

1. ∫ =dx C0

2. ∫ = +k dx kx C

3. a u b v dx a udx b vdx C∫ ∫∫( )⋅ ± ⋅ = ± +

4. ∫ =+

+ ∀ ≠ −+

u du un

C n1

; 1nn 1

regla de la potencia

5. ∫ ∫= −u dv uv vdu integración por partes

6. ∫ = +a du aa

Cln( )

nn

7. ∫ = +duu

u Cln | |

8. ∫ = +e dx e Cu u

Fórmulas trigonométricas

9. ∫ = − +u du u Csen( ) cos( )

10. ∫ = +u du u Ccos( ) sen( )

11. u duu Cu C

tan( )ln sen( )ln cos( )∫[ ][ ]

=+

− +

12. ∫ [ ]= +u du u Ccot( ) ln sen( )

13. ∫ π[ ]

=+ +

+

+

u duu u Cu C

sec( )ln sec( ) tan( )

ln tan2 4

14. ∫[ ]

=− +

+

u duu u C

u Ccsc( )

ln csc( ) cot( )

ln tan2

15. ∫ = +u du u Csec ( ) tan( )2

16. ∫ = − +u du u Ccsc ( ) cot( )2

17. ∫ = − +u du u u Ctan ( ) tan( )2

18. ∫ = − − +u du u u Ccot ( ) cot( )2

19. ∫[ ]

=− +

− +

u du

u u C

u u u Csen ( ) 2

sen(2 )4

12

sen( )cos( )

2

20. ∫[ ]

=+ +

+ +

u du

u u C

u u u Ccos ( ) 2

sen(2 )4

12

sen( )cos( )

2

21. ∫ = +u u du u Csec( ) tan( ) sec( ) 22. ∫ = − +u u du c Ccsc( )cot( ) csc( )

Fórmulas trigonométricas hiperbólicas

23. ∫ = +u du u Csenh( ) cosh( )

24. ∫ = +u du u Ccosh( ) senh( )

25. ∫ [ ]= +u du u Ctanh( ) ln cosh( )

26. ∫ [ ]= +u du u Ccoth( ) ln senh( )

27. ∫ ( )[ ]

=+

+

−u du

u C

e Csech( )

sen tanh( )

2 tanh u

1

1

28.

∫( )

=

+

− +

u duu C

e Ccsch( )

ln tanh2

2coth u1

29. ∫ = +u du u Csech ( ) tanh( )2

30. ∫ = − +u du u Ccsch ( ) coth( )2

31. ∫ = − +u du u u Ctanh ( ) tanh( )2

32. ∫ = − +u du u u Ccoth ( ) coth( )2

33. ∫[ ]

=− +

− +

u du

u u C

u u u Csenh ( )

senh(2 )4 2

12senh( )cosh( )

2

34. ∫[ ]

=+ +

+ +

u du

u u C

u u u Ccosh ( )

senh(2 )4 2

12senh( )cosh( )

2

35. ∫ = − +u u du u Csech( ) tanh( ) sech( )

36. ∫ = − +u u du u Ccsch( )coth( ) csch( )

Formulario a ➟ integrales

Alfaomega CálCulo integral • José Alfredo rAmos Beltrán

278

Fórmulas con

56. ∫ +=

++

duau b

au ba

C2

57. ∫ +=

−+ +

uau b

du au ba

au b C2( 2 )3 2

58. ∫ +=

− ++ +

uau b

du a u abu ba

au b C2(3 4 8 )15

2 2 2 2

3

59. ∫ +=

+ −+ +

+

−+

−+

duu au b

bau b bau b b

C

bau b

bC

1 ln

2 tan 1

60. ∫ ∫+= −

+−

+du

u au bau bbu

ab

duu au b22

61. ∫ + =+

+au b du au ba

C2 ( )3

3

62. ∫ + =−

+ +u au b du au ba

au b C2(3 2 )15

( )23

63. ∫ + =− +

+ +u au b du a u abu ba

au b C2(15 12 8 )105

( )22 2 2

33

64. ∫ ∫+

= + ++

au bu

du au b b duu au b

2

65. ∫ ∫+

= −+

++

au bu

du au bu

a duu au b22

66. ∫ ∫+=

++

−+ +

−uau b

du u au bm a

mbm a

uau b

du2(2 1)

2(2 1)

m m m 1

67. ∫∫ += −

+−

−−− +− −

duu au b

au bm bu

m am b

duu au b( 1)

(2 3)(2 2)m m m1 1

68. ∫∫ + =+

+ −+

+−u au b du um a

au b mbm a

u au bdu2(2 3)

( ) 2(2 3)

mm

m32 1

69. ∫∫+

= −+

−+

− +− −

au bu

du au bm u

am

duu au b( 1) 2( 1)m m m1 1

70. ∫∫+

= −+

−−

−−

+− −

au bu

du au bm bu

m am b

au bu

du( )( 1)

(2 5)(2 2)m m m

32

1 1

71. ∫ + =+

++

+

au b du au ba m

C( ) 2( )( 2)

mm

2

22

72. ∫ + =+

+−

++

+

+ +

u au b du au ba m

b au ba m

C( ) 2( )( 4)

2 ( )( 2)

mm m

2

42

2

22

2

73. ∫ + =+

+−

++

+++

+

+ + +

u au b du au ba m

b au ba m

b au ba m

C( ) 2( )( 6)

4 ( )( 4)

2 ( )( 2)

mm m m

2 2

62

3

42

3

222

3

∫ + =+

+−

++

+++

+

+ + +

u au b du au ba m

b au ba m

b au ba m

C( ) 2( )( 6)

4 ( )( 4)

2 ( )( 2)

mm m m

2 2

62

3

42

3

222

3

Fórmulas con

37. ∫ ( )+

= + +du

au b aau b C1 ln

38. ∫ ( )+

= − + +u

au bdu u

aba

au b Cln2

39. ∫ ( )+

=+

−+

+ + +u

au bdu au b

ab au ba

ba

au b C( )2

2 ( ) ln2 2

3 3

2

3

40. ∫ +=

+−

++

+− + +

uau b

du au ba

b au ba

b au ba

ba

au b C( )3

3 ( )2

3 ( ) ln( )3 3

4

2

4

2

4

3

4

∫ +=

+−

++

+− + +

uau b

du au ba

b au ba

b au ba

ba

au b C( )3

3 ( )2

3 ( ) ln( )3 3

4

2

4

2

4

3

4

41. ∫ +=

+

+du

u au b bu

au bC

( )1 ln

42. ∫ += − +

+

+du

u au b buab

au bu

C( )

1 ln2 2

43. ∫ += −

++

duau b a au b

C( )

1( )2

44. ∫ +=

++ + +

uau b

du ba au b a

au b C( ) ( )

1 ln( )2 2 2

45. ∫ +=

+−

+− + +

uau b

du au ba

ba au b

ba

au b C( ) ( )

2 ln( )2

2 3

2

3 3

46. ∫ +=

++

+

+du

u au b b au b bu

au bC

( )1

( )1 ln2 2

47. ∫ += −

+− +

+

+du

u au ba

b au b b uab

au bu

C( ) ( )

1 2 ln2 2 2 2 3

48. ∫ += −

++

duau b au b

C( )

12( )3 2

49. ∫ += −

++

++

uau b

dua au b

ba au b

C( )

1( ) 2 ( )3 2 2 2

50. ∫ +=

+−

++ + +

uau b

du ba au b

ba au b a

au b C( )

2( ) 2 ( )

1 ln( )2

3 3

2

3 2 3

51. ∫ + =+

+au b du au ba

C( ) ( )2

2

52. ∫ + =++

+ ∀ ≠ −+

au b du au bn a

C n( ) ( )( 1)

1nn 1

53. ∫ + =++

−+

+∀ ≠ − −

+ +

u au b du au bn a

b au bn a

n( ) ( )( 2)

( )( 1)

1, 2n n n2

2

1

2

54. ∫ + =++

−+

++

++

+ ∀ ≠ − − −+ + +

u au b du au bn a

b au bn a

b au bn a

C n( ) ( )( 3)

2 ( )( 2)

( )( 1)

1, 2, 3nn n n

23

3

2

3

2 1

3

∫ + =++

−+

++

++

+ ∀ ≠ − − −+ + +

u au b du au bn a

b au bn a

b au bn a

C n( ) ( )( 3)

2 ( )( 2)

( )( 1)

1, 2, 3nn n n

23

3

2

3

2 1

3

55. ∫

∫ + =

++ +

++ +

+

++ +

−+ +

+

−+

++

+ ++

+

+−

+−

+ ++

u au b du

u au bm n

nbm n

u au b du

u au bm n a

mbm n a

u au b du

u au bn b

m nn b

u au b du

( )

( )1 1

( )

( )( 1) ( 1)

( )

( )( 1)

2( 1)

( )

m n

m nm n

m nm n

m nm n

11

11

1 11

Formulario a ➟ integrales 279

AlfaomegaCálCulo integral • José Alfredo rAmos Beltrán

74. ∫ ∫+

=+

++

au bu

du au bm

b au bu

du( ) 2( ) ( )m m m2 2

22

75. ∫ ∫+

= −+

++

+

au bu

du au bbu

amb

au bu

du( ) ( )2

( )m m m2

2

22 2

76. ∫∫+

=− +

++

− −

du

u au b b m au b bdu

u au b( )

2

( 2)( )

1

( )m m m2

22

22

Fórmulas con

77. ∫ +=

+−duu a a

ua

C1 tan2 21

78. ∫ ( )+

= + +u

u adu u a C1

2ln2 2

2 2

79. ∫ += −

+−uu a

du u a ua

Ctan2

2 21

80. ∫ ( )+

= − + +u

u adu u a u a C

2 2ln

3

2 2

2 22 2

81. ∫ +=

+

+du

u u a au

u aC

( )12

ln2 2 2

2

2 2

82. ∫ += − −

+−duu u a a u a

ua

C( )

1 1 tan2 2 2 2 31

83. ∫ += − −

+

+du

u u a a u au

u aC

( )1

212

ln3 2 2 2 2 4

2

2 2

84. ∫ ( )+=

++

+−duu a

ua u a a

ua

C2 ( )

12

tan2 2 2 2 2 2 3

1

85. ∫ ( )+= −

++

uu a

duu a

C12( )2 2 2 2 2

86. ∫ ( )+= −

++

+−uu a

du uu a a

ua

C2( )

12tan

2

2 2 2 2 21

87. ∫ ( )+=

++ + +

uu a

du au a

u a C2( )

12ln( )

3

2 2 2

2

2 22 2

88. ∫ ( )+=

++

+

+du

u u a a u a au

u aC1

2 ( )122 2 2 2 2 2 4

2

2 2

89. ∫ ( )+= − −

+−

+−duu u a a u

ua u a a

ua

C12 ( )

32

tan2 2 2 2 4 4 2 2 5

1

90. ∫ ( )+= − −

+−

+

+du

u u a a u a u a au

u aC1

21

2 ( )1 ln

3 2 2 2 4 2 4 2 2 6

2

2 2

91. ∫∫ ( ) ( )+= −

− ++

−− +

− −

duu a

ua n u a

nn a

duu a2 ( 1)( )

2 3(2 2)n n n2 2 2 2 2 1 2 2 2 1

92. ∫ ( )+= −

− ++−

uu a

dun u a

C12( 1)( )n n2 2 2 2 1

93. ∫∫ ( )+=

− ++

+− −

duu u a a n u a a

duu u a

12 ( 1)( )

1( )n n n2 2 2 2 2 1 2 2 2 1

94. ∫∫∫ ( ) ( )+=

+−

+

−uu a

du uu a

du a uu a

du( )

m

n

m

n

m

n2 2

2

2 2 12

2

2 2

95. ∫∫∫ ( ) ( ) ( )+=

+−

+− −

duu u a a

duu u a a

duu u a

1 1m n m n m n2 2 2 2 2 1 2 2 2 2

Fórmulas con

96. ∫ −=

−+

+

+

duu a

au au a

C

aua

C

12ln

1 coth2 2

1

97. ∫ −= − +

uu a

du u a C12ln( )2 2

2 2

98. ∫ −= +

−+

+u

u adu u a u a

u aC

2ln

2

2 2

99. ∫ −= + − +

uu a

du u a u a C2 2

ln( )3

2 2

2 22 2

100. ∫ −=

+du

u u a au au

C( )

12

ln2 2 2

2 2

2

101. ∫ −= +

−+

+du

u u a a u au au a

C( )

1 12

ln2 2 2 2 3

102. ∫ −= −

+du

u u a a u au

u aC

( )1

212

ln3 2 2 2 2 4

2

2 2

103. ∫ ( )−= −

−−

−+

+du

u au

a u a au au a

C2 ( )

14

ln2 2 2 2 2 2 3

104. ∫ −= −

−+

uu a

duu a

C( )

12( )2 2 2 2 2

105. ∫ ( ) ( )−= −

−+

−+

+u

u adu u

u a au au a

C2

14ln

2

2 2 2 2 2

106. ∫ ( ) ( ) ( )−

= −−

+ − +u

u adu a

u au a C

212ln

3

2 2 2 2 22 2

107. ∫ ( ) ( )−= −

−+

+du

u u a a u a au

u aC1

212

ln2 2 2 2 2 2 4

2

2 2

108. ∫ ( ) ( )−= − −

−−

−+

+du

u u a a uu

a u a au au a

C12

34

ln2 2 2 2 4 4 2 2 5

109. ∫ ( ) ( )−= − −

−+

+du

u u a a u a u a au

u aC1

21

21 ln

3 2 2 2 4 2 4 2 2 6

2

2 2

110. ∫ ∫( ) ( ) ( )( ) ( )−= −

− −−

−− −

− −

duu a

ua n u a

nn a

duu a2 1

2 32 2n n n2 2 2 2 2 1 2 2 2 1

Formulario a ➟ integrales

Alfaomega CálCulo integral • José Alfredo rAmos Beltrán

280

111. ∫ ( ) ( )( )−= −

− −+−

uu a

dun u a

C12 1

n n2 2 2 2 1

112. ∫∫ ( ) ( ) ( )( )−= −

− −−

−− −

duu u a a n u a a

duu u a

12 1

1n n n2 2 2 2 2 1 2 2 2 1

113. ∫∫∫ ( ) ( ) ( )−=

−+

−uu a

du uu a

du a uu a

dum

n

m

n

m

n2 2

2

2 2 12

2

2 2

114. ∫∫∫ ( ) ( ) ( )−=

−+

−− −

duu u a a

duu u a a

duu u a

1 1m n m n m n2 2 2 2 2 2 2 2 2 1

Fórmulas con

115. ∫ −=

+−

+

+

dua u

aa ua u

C

aua

C

12ln

1 tanh2 2

1

116. ∫ ( )−

= − − +u

a udu a u C1

2ln2 2

2 2

117. ∫ −= − +

+−

+u

a udu u a a u

a uC

2ln

2

2 2

118. ∫ ( )−

= − − − +u

a udu u a a u C

2 2ln

3

2 2

2 22 2

119. ∫ ( )−=

+du

u a u au

a uC1

2ln2 2 2

2

2 2

120. ∫ ( )−= +

+−

+du

u a u a u aa ua u

C1 12

ln2 2 2 2 3

121. ∫ ( )−= − +

+du

u a u a u au

a uC1

212

ln3 2 2 2 2 4

2

2 2

122. ∫ ( ) ( )−=

−+

+−

+du

a uu

a a u aa ua u

C2

14

ln2 2 2 2 2 2 3

123. ∫ ( ) ( )−=

−+

ua u

dua u

C122 2 2 2 2

124. ∫ ( ) ( )−=

−−

+−

+u

a udu u

a u aa ua u

C2

14ln

2

2 2 2 2 2

125. ∫ ( ) ( ) ( )−

=−

+ − +u

a udu a

a ua u C

212ln

3

2 2 2

2

2 22 2

126. ∫ ( ) ( )−=

−+

+du

u a u a a u au

a uC1

212

ln2 2 2 2 2 2 4

2

2 2

127. ∫ ( ) ( )−= − +

−+

+−

+du

u a u a uu

a a u aa ua u

C12

34

ln2 2 2 2 4 4 2 2 5

128. ∫ ( ) ( )−= − +

−+

+du

u a u a u a a u au

a uC1

21

21 ln

3 2 2 2 4 2 4 2 2 6

2

2 2

129. ∫∫ ( ) ( ) ( )( ) ( )−=

− −+

−− −

− −

dua u

ua n a u

nn a

dua u2 1

2 32 2n n n2 2 2 2 2 1 2 2 2 1

130. ∫ ( ) ( )( )−=

− −+−

ua u

dua n a u

C12 1

n n2 2 2 2 2 1

Fórmulas con

131. ∫ ( )+ =+

+ + + +u a du u u a a u u a C2 2

ln2 22 2 2

2 2

132. ∫( )

+ =+

+u u a duu a

C3

2 22 2

32

133. ∫ ( )( )+ =

+−

+− + + +u u a du

u u a a u u a a u u a C4 8 8

ln2 2 22 2

32 2 2 2 4

2 2

∫ ( )( )+ =

+−

+− + + +u u a du

u u a a u u a a u u a C4 8 8

ln2 2 22 2

32 2 2 2 4

2 2

134. ∫( ) ( )

+ =+

−+

+u u a duu a a u a

C5 3

3 2 22 2

52 2 2 2

32

135. ∫( )

+=

+ + +

+

duu a

u u a C

ua

C

ln

senh2 2

2 2

1

136. ∫ += + +

uu a

du u a C2 2

2 2

137. ∫ ( )+

=+

− + + +u

u adu u u a a u u a C

2 2ln

2

2 2

2 2 22 2

138. ∫( )

+=

+− + +

uu a

duu a

a u a C3

3

2 2

2 232

2 2 2

139. ∫ += −

+ +

+

duu u a a

a u au

C1 ln2 2

2 2

140. ∫ += −

++

duu u a

u aa u

C2 2 2

2 2

2

141. ∫ += −

++

+ +

+

duu u a

u aa u a

a u au

C2

12

ln3 2 2

2 2

2 2 3

2 2

142. ∫+

= + −+ +

+

u au

du u a a a u au

Cln2 2

2 22 2

143. ∫ ( )+= −

++ + + +

u au

du u au

u u a Cln2 2

2

2 22 2

Formulario a ➟ integrales 281

AlfaomegaCálCulo integral • José Alfredo rAmos Beltrán

144. ∫+

= −+

−+ +

+

u au

du u au a

a u au

C2

12ln

2 2

3

2 2

2

2 2

145. ∫( )+

=+

+du

u a

ua u a

C2 2

32

2 2 2

146. ∫( )+

= −+

+u

u adu

u aC1

2 232

2 2

147. ∫ ( )( )+

= −+

+ + + +u

u adu u

u au u a Cln

2

2 232

2 22 2

148. ∫( )+

= + ++

+u

u adu u a a

u aC

3

2 232

2 22

2 2

149. ∫( )+

=+

−+ +

+

du

u u a a u a aa u a

uC1 1 ln

2 232

2 2 2 3

2 2

150. ∫( )+

= −+

−+

+du

u u a

u aa u

ua u a

C2 2 2

32

2 2

4 4 2 2

151. ∫( )+

= −+

−+

++ +

+

du

u u a a u u a a u a aa u a

uC1

23

232

ln3 2 2

32

2 2 2 2 4 2 2 5

2 2

∫( )+

= −+

−+

++ +

+

du

u u a a u u a a u a aa u a

uC1

23

232

ln3 2 2

32

2 2 2 2 4 2 2 5

2 2

152. ∫ ( )( ) ( )+ =

++

++ + + +u a du

u u a a u u a a u u a C4

38

38

ln2 232

2 232 2 2 2

4 2 2

∫ ( )( ) ( )+ =

++

++ + + +u a du

u u a a u u a a u u a C4

38

38

ln2 232

2 232 2 2 2

4 2 2

153. ∫ ( ) ( )+ =

++u u a du

u aC

52 2

32

2 252

154. ∫ ( )( ) ( ) ( )+ =

+−

+−

+− + + +u u a du

u u a a u u a a u u a a u u a C6 24 16 16

ln2 2 232

2 252 2 2 2

32 4 2 2 6

2 2

∫ ( )( ) ( ) ( )+ =

+−

+−

+− + + +u u a du

u u a a u u a a u u a a u u a C6 24 16 16

ln2 2 232

2 252 2 2 2

32 4 2 2 6

2 2

155. ∫

( ) ( )+=

++ + −

+ +

+

u au

duu a

a u a a a u au

C3

ln2 2

32 2 2

32

2 2 2 32 2

156. ∫ ( )( ) ( )+= −

++

++ + + +

u au

duu a

uu u a a u u a C3

232

ln2 2

32

2

2 232 2 2

2 2 2

∫ ( )( ) ( )+= −

++

++ + + +

u au

duu a

uu u a a u u a C3

232

ln2 2

32

2

2 232 2 2

2 2 2

157. ∫( ) ( )+

= −+

+ + −+ +

+

u au

duu a

uu a a a u a

uC

232

32ln

2 232

3

2 232

22 2

2 2

∫( ) ( )+

= −+

+ + −+ +

+

u au

duu a

uu a a a u a

uC

232

32ln

2 232

3

2 232

22 2

2 2

Fórmulas con

158. ∫ ( )−

= + − +du

u au u a Cln

2 22 2

159. ∫ −= − +

uu a

du u a C2 2

2 2

160. ∫ ( )−

=−

+ + − +u

u adu u u a a u u a C

2 2ln

2

2 2

2 2 22 2

161. ∫( )

−=

−+ − +

uu a

duu a

a u a C3

3

2 2

2 232

2 2 2

162. ∫ −=

+−duu u a a

ua

C1 sec2 2

1

163. ∫ −=

−+

duu u a

u aa u

C2 2 2

2 2

2

164. ∫ −=

−+

+−duu u a

u aa u a

ua

C2

12

sec3 2 2

2 2

2 2 31

165. ∫ ( )− =−

− + − +u a du u u a a u u a C2 2

ln2 22 2 2

2 2

166. ∫( )

− =−

+u u a duu a

C3

2 22 2

32

167. ∫ ( )( )− =

−+

−− + − +u u a du

u u a a u u a a u u a C4 8 8

ln2 2 22 2

32 2 2 2 4

2 2

∫ ( )( )− =

−+

−− + − +u u a du

u u a a u u a a u u a C4 8 8

ln2 2 22 2

32 2 2 2 4

2 2

168. ∫( ) ( )

− =−

+−

+u u a duu a a u a

C5 3

3 2 22 2

52 2 2

32

169. ∫−

= − −

+−u au

du u a a ua

Csec2 2

2 2 1

170. ∫ ( )−= −

−+ + − +

u au

du u au

u u a Cln2 2

2

2 22 2

171. ∫−

= −−

+

+−u au

du u au a

ua

C2

12sec

2 2

3

2 2

21

172. ∫( )−

= −−

+du

u a

ua u a

C2 2

32

2 2 2

Formulario a ➟ integrales

Alfaomega CálCulo integral • José Alfredo rAmos Beltrán

282

173. ∫( )−

= −−

+u

u adu

u aC1

2 232

2 2

174. ∫ ( )( )−

= −−

+ + − +u

u adu u

u au u a Cln

2

2 232

2 22 2

175. ∫( )−

= − −−

+u

u adu u a a

u aC

3

2 232

2 22

2 2

176. ∫( )−

= −−

+−du

u u a a u a aua

C1 1 sec2 2

32

2 2 2 31

177. ∫( )−

= −−

−−

+du

u u a

u aa u

ua u a

C2 2 2

32

2 2

4 4 2 2

178. ∫( )−

=−

−−

+−du

u u a a u u a a u a aua

C12

32

32

sec3 2 2

32

2 2 2 2 4 2 2 51

179. ∫ ( )( )− = − −

− − + − +u a du u u a u a a u u a C2 18

516

38

ln2 232 2 2 2 2 4 2 2

∫ ( )( )− = − −

− − + − +u a du u u a u a a u u a C2 18

516

38

ln2 232 2 2 2 2 4 2 2

180. ∫ ( ) ( )− =

−+u u a du

u aC

52 2

32

2 252

181. ∫ ( )( ) ( ) ( )− =

−+

−−

−+ + − +u u a du

u u a a u u a a u u a a u u a C6 24 16 16

ln2 2 232

2 252 2 2 2

32 4 2 2 6

2 2

∫ ( )( ) ( ) ( )− =

−+

−−

−+ + − +u u a du

u u a a u u a a u u a a u u a C6 24 16 16

ln2 2 232

2 252 2 2 2

32 4 2 2 6

2 2

182. ∫ ( ) ( ) ( )− =

−+

−+u u a du

u a a u aC

7 53 2 2

32

2 272 2 2 2

52

183. ∫( ) ( )−

=−

− − +

+−u au

duu a

a u a a ua

C3

sec2 2

32 2 2

32

2 2 2 3 1

184. ∫ ( )( ) ( )−= −

−+

−− + − +

u au

duu a

uu u a a u u a C3

232

ln2 2

32

2

2 232 2 2

2 2 2

∫ ( )( ) ( )−= −

−+

−− + − +

u au

duu a

uu u a a u u a C3

232

ln2 2

32

2

2 232 2 2

2 2 2

185. ∫( ) ( )−

= −−

+−

+−u au

duu a

uu a a u

aC

23

232sec

2 232

3

2 232

2

2 21

Fórmulas con

186. ∫ −=

+−dua u

ua

Csen2 2

1

187. ∫ −= − − +

ua u

du a u C2 2

2 2

188. ∫ −= −

−+

+−ua u

du u a u a ua

C2 2

sen2

2 2

2 2 21

189. ∫( )

−=

−− − +

ua u

dua u

a a u C3

3

2 2

2 232

2 2 2

190. ∫ −= −

+ −

+

duu a u a

a a uu

C1 ln2 2

2 2

191. ∫ −= −

−+

duu a u

a ua u

C2 2 2

2 2

2

192. ∫ −= −

−−

+ −

+

duu a u

a ua u a

a a uu

C2

12

ln3 2 2

2 2

2 2 3

2 2

193. ∫ − =−

+

+−a u du u a u a ua

C2 2

sen2 22 2 2

1

194. ∫( )

− = −−

+u a u dua u

C3

2 22 2

32

195. ∫( )

− = −−

+−

+

+−u a u duu a u a u a u a u

aC

4 8 8sen2 2 2

2 232 2 2 2 4

1

196. ∫( ) ( )

− =−

−−

+u a u dua u a a u

C5 3

3 2 22 2

52 2 2 2

32

197. ∫−

= − −+ −

+

a uu

du a u a a a uu

Cln2 2

2 22 2

198. ∫−

= −−

+−a uu

du a uu

ua

Csen2 2

2

2 21

199. ∫−

= −−

++ −

+

a uu

du a uu a

a a uu

C2

12ln

2 2

3

2 2

2

2 2

200. ∫( )−

=−

+du

a u

ua a u

C2 2

32

2 2 2

201. ∫( )−

=−

+u

a udu

a uC1

2 232

2 2

202. ∫( )−

=−

+−u

a udu u

a uua

Csen2

2 232

2 21

203. ∫( )−

= − +−

+u

a udu a u a

a uC

3

2 232

2 22

2 2

204. ∫( )−

=−

−+ −

+

du

u a u a a u aa a u

uC1 1 ln

2 232

2 2 2 3

2 2

205. ∫( )−

= −−

+−

+du

u a u

a ua u

ua a u

C2 2 2

32

2 2

4 4 2 2

Formulario a ➟ integrales 283

AlfaomegaCálCulo integral • José Alfredo rAmos Beltrán

206. ∫( )−

= −−

+−

−+ −

+

du

u a u a u a u a a u aa a u

uC1

23

232

ln3 2 2

32

2 2 2 2 4 2 2 5

2 2

∫( )−

= −−

+−

−+ −

+

du

u a u a u a u a a u aa a u

uC1

23

232

ln3 2 2

32

2 2 2 2 4 2 2 5

2 2

207. ∫ ( ) ( )− =

−+

−+

+a u duu a u a u a u a u

aC

43

838

sen2 232

2 232 2 2 2

4

208. ∫ ( ) ( )− = −

−+u a u du

a uC

52 2

32

2 252

209. ∫ ( ) ( ) ( )− = −

−+

−+

−+

+−u a u duu a u a u a u a u a u a u

aC

6 24 16 16sen2 2 2

32

2 252 2 2 2

32 4 2 2 6

1

∫ ( ) ( ) ( )− = −

−+

−+

−+

+−u a u duu a u a u a u a u a u a u

aC

6 24 16 16sen2 2 2

32

2 252 2 2 2

32 4 2 2 6

1

210. ∫ ( ) ( ) ( )− =

−−

−+u a u du

a u a a uC

7 53 2 2

32

2 272 2 2 2

52

211. ∫( ) ( )−

=−

+ − −+ −

+

a uu

dua u

a a u a a a uu

C3

ln2 2

32 2 2

32

2 2 2 32 2

∫( ) ( )−

=−

+ − −+ −

+

a uu

dua u

a a u a a a uu

C3

ln2 2

32 2 2

32

2 2 2 32 2

212. ∫( ) ( )−

= −−

−−

+

+a uu

dua u

uu a u a u

aC3

232

sen2 2

32

2

2 232 2 2

2

213. ∫( ) ( )−

= −−

−−

++ −

+

a uu

dua u

ua u a a a u

uC

23

232ln

2 232

3

2 232

2

2 2 2 2

∫( ) ( )−

= −−

−−

++ −

+

a uu

dua u

ua u a a a u

uC

23

232ln

2 232

3

2 232

2

2 2 2 2

Fórmulas con

214. ∫ + +=

−+−

+

−+ − −+ + −

+

duau bu c

ac bau bac b

C

b acau b b acau b b ac

C

24

tan 24

14

ln 2 42 4

2

21

2

2

2

2

215. ∫∫ ( )+ +

= + + −+ +

uau bu c

dua

au bu c ba

duau bu c

12ln

222

2

216. ∫∫ ( )+ +

= − + + +−

+ +u

au bu cdu u

aba

au bu c b aca

duau bu c2

ln 22

2

2 22

2

2 2

∫∫ ( )+ +

= − + + +−

+ +u

au bu cdu u

aba

au bu c b aca

duau bu c2

ln 22

2

2 22

2

2 2

217. ∫∫ ( )+ +=

+ +

−+ +

duu au bu c c

uau bu c

bc

duau bu c

12ln

22

2

2 2

218. ∫ ∫( )+ +=

+ +

− +−

+ +du

u au bu cbc

au bu cu cu

b acc

duau bu c2

ln 1 222 2 2

2

2

2

2 2

∫ ∫( )+ +=

+ +

− +−

+ +du

u au bu cbc

au bu cu cu

b acc

duau bu c2

ln 1 222 2 2

2

2

2

2 2

219. ∫∫ ( ) ( )( )+ +=

+− + +

+− + +

duau bu c

au bac b au bu c

aac b

duau bu c

24

242 2 2 2 2 2

∫∫ ( ) ( )( )+ +=

+− + +

+− + +

duau bu c

au bac b au bu c

aac b

duau bu c

24

242 2 2 2 2 2

220. ∫∫ ( ) ( )( )+ += −

+− + +

−− + +

uau bu c

du bu cac b au bu c

bac b

duau bu c

24 42 2 2 2 2 2

∫∫ ( ) ( )( )+ += −

+− + +

−− + +

uau bu c

du bu cac b au bu c

bac b

duau bu c

24 42 2 2 2 2 2

221.

∫∫ ( )( )

( )( )+ +=

− +

+ + ++

− + +u

au bu cdu

b ac u bca ac b au bu c

cac b

duau bu c

24

24

2

2 2

2

2 2 2 2

∫∫ ( )( )

( )( )+ +=

− +

+ + ++

− + +u

au bu cdu

b ac u bca ac b au bu c

cac b

duau bu c

24

24

2

2 2

2

2 2 2 2

222. ∫∫∫ ( ) ( ) ( ) ( )+ +=

+ +−

+ ++

+ +du

u au bu c c au bu cbc

duau bu c c

duu au bu c

12 2

12 2 2 2 2 2

∫∫∫ ( ) ( ) ( ) ( )+ +=

+ +−

+ ++

+ +du

u au bu c c au bu cbc

duau bu c c

duu au bu c

12 2

12 2 2 2 2 2

223. ∫∫∫ ( ) ( ) ( ) ( )+ += −

+ +−

+ +−

+ +

duu au bu c cu au bu c

ac

duau bu c

bc

duu au bu c

1 3 22 2 2 2 2 2 2 2

∫∫∫ ( ) ( ) ( ) ( )+ += −

+ +−

+ +−

+ +

duu au bu c cu au bu c

ac

duau bu c

bc

duu au bu c

1 3 22 2 2 2 2 2 2 2

224. ∫∫ ∫( )+ +=

−−

+ +−

+ +

− − −uau bu c

du ua m

ca

uau bu c

du ba

uau bu c

du1

m m m m

2

1 2

2

1

2

∫∫ ∫( )+ +=

−−

+ +−

+ +

− − −uau bu c

du ua m

ca

uau bu c

du ba

uau bu c

du1

m m m m

2

1 2

2

1

2

225. ∫ ∫∫( ) ( ) ( )( )+ += −

−−

+ +−

+ +− − −

duu au bu c c n u

bc

duu au bu c

ac

duu au bu c

11n n n n2 1 1 2 2 2

∫ ∫∫( ) ( ) ( )( )+ += −

−−

+ +−

+ +− − −

duu au bu c c n u

bc

duu au bu c

ac

duu au bu c

11n n n n2 1 1 2 2 2

Fórmulas con

226. ∫( )

+=

+− +

+

+−duu a a

a uu au a a

u aa

C16

ln 13tan 2

33 3 2

2

2 2 21

227. ∫ ( )+=

− ++

+

+−uu a

dua

u au au a a

u aa

C16ln 1

3tan 2

33 3

2 2

21

228. ∫ ( )+

= + +u

u adu u a C1

3ln

2

3 33 3

Formulario a ➟ integrales

Alfaomega CálCulo integral • José Alfredo rAmos Beltrán

284

229. ∫ ( )+=

+

+du

u u a au

u aC1

3ln3 3 3

3

3 3

230. ∫ ( ) ( )+= − −

− ++

+−duu u a a u a

u au au a a

u aa

C1 16

ln 13tan 2

32 3 3 3 4

2 2

2 41

∫ ( ) ( )+= − −

− ++

+−duu u a a u a

u au au a a

u aa

C1 16

ln 13tan 2

32 3 3 3 4

2 2

2 41

231. ∫ ( ) ( )( )

+=

++

+− +

+

+−duu a

ua u a a

u au au a a

u aa

C3

19

ln 23 3

tan 233 3 2 3 3 3 5

2

2 2 51

∫ ( ) ( )( )

+=

++

+− +

+

+−duu a

ua u a a

u au au a a

u aa

C3

19

ln 23 3

tan 233 3 2 3 3 3 5

2

2 2 51

232. ∫ ( ) ( ) ( )+=

++

− ++

+

+−uu a

du ua u a a

u au au a a

u aa

C3

118

ln 13 3

tan 233 3 2

2

5 3 3 4

2 2

2 41

∫ ( ) ( ) ( )+=

++

− ++

+

+−uu a

du ua u a a

u au au a a

u aa

C3

118

ln 13 3

tan 233 3 2

2

5 3 3 4

2 2

2 41

233. ∫ ( ) ( )+= −

++

uu a

duu a

C13

2

3 3 2 3 3

234. ∫ ( ) ( )+=

++

+

+du

u u a a u a au

u aC1

313

ln3 3 2 3 3 3 6

3

3 3

235. ∫∫ ( ) ( )+= − −

+−

+du

u u a a uu

a u a au

u adu1

3432 3 3 2 6

2

6 3 3 6 3 3

236. ∫ ∫+=

−−

+

− −uu a

du um

a uu a

du2

m m m

3 3

23

3

3 3

237. ∫∫ ( ) ( )( )+= −

−−

+− −

duu u a a n u a

duu u a

11

1n n n3 3 3 1 3 3 3 3

Fórmulas con

238. ∫ +=

+ +− +

− −

− +

+− −duu a a

u au au au a a

ua

ua

C14 2

ln 22

12 2

tan 1 2 tan 1 24 4 3

2 2

2 2 31 1

∫ +=

+ +− +

− −

− +

+− −duu a a

u au au au a a

ua

ua

C14 2

ln 22

12 2

tan 1 2 tan 1 24 4 3

2 2

2 2 31 1

239. ∫ +=

− ++ +

− −

− +

+−−uu a

dua

u au au au a a

ua

ua

C14 2

ln 22

12 2

tan 1 2 tan 1 22

4 4

2 2

2 211

∫ +=

− ++ +

− −

− +

+−−uu a

dua

u au au au a a

ua

ua

C14 2

ln 22

12 2

tan 1 2 tan 1 22

4 4

2 2

2 211

240. ∫ ( )+= − −

− ++ +

+ −

− +

+− −duu u a a u a

u au au au a a

ua

ua

C1 14 2

ln 22

12 2

tan 1 2 tan 1 22 4 4 4 5

2 2

2 2 51 1

∫ ( )+= − −

− ++ +

+ −

− +

+− −duu u a a u a

u au au au a a

ua

ua

C1 14 2

ln 22

12 2

tan 1 2 tan 1 22 4 4 4 5

2 2

2 2 51 1

241. ∫ ( )+

= + +u

u adu u a C1

4ln

3

4 44 4

242. ∫ ( )+=

+

+du

u u a au

u aC1

4ln4 4 2

4

4 4

243. ∫ +=

+−uu a

dua

ua

C12

tan4 4 21

2

2

244. ∫ ( )+= − −

+−duu u a a u a

ua

C12

12

tan3 4 4 4 2 61

2

2

245. ∫ −=

−+

+−duu a a

u au a a

ua

C14

ln 12

tan4 4 3 31

246. ∫ −=

−+

+u

u adu

au au a

C14

ln4 4 2

2 2

2 2

247. ∫ −=

−+

+

+−uu a

dua

u au a a

ua

C14ln 1

2tan

2

4 41

248. ∫ ( )−

= − +u

u adu u a C1

4ln

3

4 44 4

249. ∫ ( )−=

+du

u u a au au

C14

ln4 4 4

4 4

4

250. ∫ ( )−= +

−+

+

+−duu u a a u a

u au a a

ua

C1 14

ln 12

tan2 4 4 4 5 51

251. ∫ ( )−= +

−+

+du

u u a a u au au a

C12

14

ln3 4 4 4 2 6

2 2

2 2

Fórmulas con

252. ∫ ( ) ( )= − +au du aua

Csen cos

253. ∫ ( ) ( ) ( )= − +u au du aua

u aua

Csen sen cos2

254. ∫ ( ) ( ) ( )= + −

+u au du ua

aua

ua

au Csen 2 sen 2 cos22 3

2

255. ∫ ( ) ( ) ( )= −

+ −

+u au du ua a

au ua

ua

au Csen 3 6 sen 6 cos32

2 4 3

3

256. ∫ ∫( ) ( ) ( )= − + −u au du u aua

na

u au dusen cos cosnn

n 1

257. ∫ ∫( ) ( ) ( ) ( ) ( )= − + −−−

−u au du u aua

nua

au n na

u au dusen cos sen 1 sennn n

n1

2 22

∫ ∫( ) ( ) ( ) ( ) ( )= − + −−−

−u au du u aua

nua

au n na

u au dusen cos sen 1 sennn n

n1

2 22

258. ∫ ( ) ( )= − +au du u aua

Csen2

sen 24

2

Formulario a ➟ integrales 285

AlfaomegaCálCulo integral • José Alfredo rAmos Beltrán

259. ∫ ( ) ( ) ( )= − + +au du aua

aua

Csen cos cos3

33

260. ∫ ( ) ( ) ( )= − + +au du u aua

aua

Csen 38

sen 24

sen 432

4

261. ∫ ( ) ( ) ( )= − − +u au du u u aua

aua

Csen4

sen 24

cos8

22

2

262. ∫( ) ( ) ( )= −

⋅+

⋅−

auu

du au au ausen3 3! 5 5!

...3 5

263. ∫ ∫( ) ( ) ( )= − +au

udu au

ua au

udusen sen cos

2

264. ∫

( )( )

( ) ( )=

− +

+

duau

aau au C

aau Csen

1 ln csc cot

1 ln tan2

265. ∫( )

( )( ) ( ) ( )

( )= + + + +−

++

− +uau

dua

au au au B aunsen

118

71800

...2 2 1

2 1 !...

nn

n

2

3 5 2 1 2 1

∫( )

( )( ) ( ) ( )

( )= + + + +−

++

− +uau

dua

au au au B aunsen

118

71800

...2 2 1

2 1 !...

nn

n

2

3 5 2 1 2 1

266. ∫ ( ) ( )= − +duau a

au Csen

1 cot2

267. ∫ ( )( )

( )= − +

+duau

aua au a

au Csen

cos2 sen

12ln tan

23 2

268. ∫( ) ( )( ) ( ) ( )( )

( )( )=

−−

−++

+ ≠au bu dua b ua b

a b ua b

C a bsen sensen

2sen

2

269. ∫π

( )−= +

+du

au aau C

1 sen1 tan

4 2

270. ∫π π

( )−= +

+ +

+uau

du ua

aua

au C1 sen

tan4 2

2 ln sen4 22

271. ∫π

( )+= − −

+du

au aau C

1 sen1 tan

4 2

272. ∫π π

( )+= − −

+ +

+uau

du ua

aua

au C1 sen

tan4 2

2 ln sen4 22

273. ∫π π

( )( )−= +

+ +

+duau a

aua

au C1 sen

12tan

4 216tan

4 223

274. ∫π π

( )( )+= − −

− −

+duau a

aua

au C1 sen

12tan

4 216tan

4 223

Fórmulas con

275. ∫ ( ) ( )= +au du aua

Ccos sen

276. ∫ ( ) ( ) ( )= + +u au du aua

u aua

Ccos cos sen2

277. ∫ ( ) ( ) ( )= + −

+u au du ua

au ua a

au Ccos 2 cos 2 sen22

2

3

278. ∫ ( ) ( ) ( )= −

+ −

+u au du ua a

au ua

ua

au Ccos 3 6 cos 6 sen32

2 4

3

3

279. ∫ ∫( ) ( ) ( )= − −u au du u aua

na

u au ducos sen sennn

n 1

280. ∫ ∫( ) ( ) ( ) ( ) ( )= − + −−−

−u au du u aua

nua

au n na

u au ducos sen cos 1 cosnn n

n1

2 22

∫ ∫( ) ( ) ( ) ( ) ( )= − + −−−

−u au du u aua

nua

au n na

u au ducos sen cos 1 cosnn n

n1

2 22

281. ∫ ( ) ( )= + +au du u aua

Ccos2

sen 24

2

282. ∫ ( ) ( ) ( )= − +au du aua

aua

Ccos sen sen3

33

283. ∫ ( ) ( ) ( )= + + +au du u aua

aua

Ccos 38

sen 24

sen 432

4

284. ∫ ( ) ( ) ( )= + + +u au du u u aua

aua

Ccos4

sen 24

cos 28

22

2

285. ∫( ) ( ) ( ) ( ) ( )= −

⋅+

⋅−

⋅+

auu

du u au au aucos ln2 2! 4 4! 6 6!

...2 4 6

286. ∫∫( ) ( ) ( )= − −au

udu au

ua au

uducos cos sen

2

287. ∫ π( )

( ) ( )=

+ +

+

+

duau

aau au C

aau Ccos

1 ln sec tan

1 ln tan4 2

288. ∫ ( )( ) ( ) ( ) ( )

( )( )= + + + ++

+

+uau

dua

au au au E aun ncos

12 8

5144

...2 2 2 !

...nn

2

2 4 6 2 2

∫ ( )( ) ( ) ( ) ( )

( )( )= + + + ++

+

+uau

dua

au au au E aun ncos

12 8

5144

...2 2 2 !

...nn

2

2 4 6 2 2

289. ∫ ( )( )= +

duau

aua

Ccos

tan2

290. ∫π

( )( )

( )= + +

+duau

aua au a

au Ccos

sen2 cos

12ln tan

4 23 2

Formulario a ➟ integrales

Alfaomega CálCulo integral • José Alfredo rAmos Beltrán

286

291. ∫( ) ( )( ) ( ) ( )( )

( )( )=

−−

−++

+ ≠au bu dua b ua b

a b ua b

C a bcos cossen

2sen

2

292. ∫ ( )−= −

+du

au aau C

1 cos1 cot

2

293. ∫ ( )−= −

+

+uau

du ua

aua

au C1 cos

cot2

2 ln sen22

294. ∫ ( )+=

+du

au aau C

1 cos1 tan

2

295. ∫ ( )+=

+

+uau

du ua

aua

au C1 cos

tan2

2 ln cos22

296. ∫ ( )( )−= −

+duau a

aua

au C1 cos

12cot

216cot

223

297. ∫ ( )( )+=

+

+duau a

aua

au C1 cos

12tan

216tan

223

Fórmulas con

298. ∫ ( ) ( ) ( )= +au au du aua

Csen cos sen2

2

299. ∫ ( ) ( ) ( )( )

( )( )= −

− −

−+ +

+pu qu dup q up q

p q up q

Csen coscos2

cos2

300. ∫ ( ) ( ) ( )( )=

++

+

au au du aua n

Csen cos sen1

nn 1

301. ∫ ( ) ( ) ( )( )= −

++

+

au au du aua n

Ccos sen cos1

nn 1

302. ∫ ( ) ( ) ( )= − +au au du u aua

Csen cos8

sen 432

2 2

303. ∫ ( ) ( ) ( )= +du

au au aau C

sen cos1 ln tan

304. ∫π

( ) ( ) ( )= +

− +du

au au aau

a auC

sen cos1 ln tan

4 21

sen2

305. ∫ ( ) ( ) ( )=

+ +du

au au aau

a auC

sen cos1 ln tan

21

cos2

306. ∫ ( ) ( )( )= − +

duau au

aua

Csen cos

2cot 22 2

307. ∫π( )

( )( )= − + +

+auau

du aua a

au Csencos

sen 1 ln tan4 2

2

308. ∫( )( )

( )= +

+auau

du aua a

au Ccossen

cos 1 ln tan2

2

309. ∫π

( ) ( )±= ±

+du

au au aau C

sen cos12ln tan

8 2

310. ∓∫( )

( ) ( ) ( ) ( )±

= ± +au

au audu u

aau au Csen

sen cos 212ln sen cos

311. ∫( )

( ) ( ) ( ) ( )±

= ± ± +au

au audu

aau au u Ccos

sen cos12ln sen cos

2

Fórmulas con

312. ∫ ( )( )

( )=

− +

+

au du aau C

aau C

tan

1 ln cos

1 ln sec

313. ∫ ( ) ( )= − +au du aua

u Ctan tan2

314. ∫ ( ) ( ) ( )= + +au du aua a

au Ctan tan2

1 ln cos32

315. ∫ ∫( ) ( )( ) ( )=

−−

−−au du au

a nau dutan tan

1tann

nn

12

316. ∫ ( ) ( ) ( )( )=

++

+

au au du aua n

Ctan sec tan1

nn

21

317. ∫( )( ) ( )= +auau

dua

au Csectan

1 ln tan2

318. ∫ ( ) ( )= +duau a

au Ctan

1 ln sen

319. ∫ ( ) ( ) ( )= + − +u au du u aua a

au u Ctan tan 1 ln cos2

22

2

Fórmulas con

320. ∫ ( ) ( )= +au dua

au Ccot 1 ln sen

321. ∫ ( ) ( )= − − +au du aua

u Ccot cot2

322. ∫ ( ) ( ) ( )= − − +au du aua a

au Ccot cot2

1 ln sen32

323. ∫ ( ) ( ) ( )( )= −

++

au au du aua n

Ccot csc cot1

nn

21

324. ∫( )( ) ( )= − +auau

dua

au Ccsccot

1 ln cot2

Formulario a ➟ integrales 287

AlfaomegaCálCulo integral • José Alfredo rAmos Beltrán

325. ∫ ( ) ( )= − +duau a

au Ccot

1 ln cos

326. ∫ ( ) ( ) ( )= − + − +u au du u aua a

au u Ccot cot 1 ln sen2

22

2

327. ∫∫ ( ) ( )( ) ( )= −

−−

−−au du au

a nau ducot cot

1cotn

nn

12

Fórmulas con

328. ∫ π( )( ) ( )

=+ +

+

+

au dua

au au C

aau C

sec

1 ln sec tan

1 ln tan4 2

329. ∫ ( ) ( )= +au du aua

Csec tan2

330. ∫ ( ) ( ) ( ) ( ) ( )= + + +au du au aua a

au au Csec sec tan2

12ln sec tan3

331. ∫ ( ) ( ) ( )= +au au du auan

Csec tan secnn

332. ∫ ( )( )= +

duau

aua

Csec

sen

333. ∫ ( ) ( ) ( )= + +u au du ua

aua

au Csec tan 1 ln cos22

334. ∫ ∫( ) ( ) ( )( ) ( )=

−+

−−

−−au du au au

a nnn

au dusec sec tan1

21secn

nn

22

Fórmulas con

335. ∫ ( )( ) ( )

=− +

+

au dua

au au C

aau C

csc

1 ln csc cot

1 ln tan2

336. ∫ ( ) ( )= − +au du aua

Ccsc cot2

337. ∫ ( ) ( ) ( )= − +

+au du au aua a

au Ccsc csc cot2

12ln tan

23

338. ∫ ( ) ( ) ( )= − +au au du auna

Ccsc cot cscnn

339. ∫ ( )( )= − +

duau

aua

Ccsc

cos

340. ∫ ( ) ( ) ( )= − + +u au du u aua a

au Ccsc cot 1 ln sen22

341. ∫ ∫( ) ( ) ( )( ) ( )= −

−+

−−

−−au du au au

a nnn

au ducsc csc cot1

21cscn

nn

22

Fórmulas con funciones trigonométricas inversas

342. ∫

=

+ − +− −ua

du u ua

a u Csen sen1 1 2 2

343. ∫

= −

+−

+− −u ua

du u a ua

u a u Csen2 4

sen4

12 2

12 2

344. ∫( )

=

++ −

+− −u ua

du u ua

u a a uCsen

3sen

29

2 13

12 2 2 2

345. ∫

= +

⋅ ⋅+

⋅ ⋅ ⋅+

⋅ ⋅

⋅ ⋅ ⋅ ⋅+ ⋅ ⋅ ⋅

− ua

udu u

a

ua

ua

ua

sen

2 3 3

1 3

2 4 5 5

1 3 5

2 4 6 7 7

13 5 7

346. ∫

= −

−+ −

+

− −ua

udu

ua

u aa a u

uC

sen sen 1 ln

1

2

12 2

347. ∫

=

− + −

+− − −ua

dx u ua

u a a ua

Csen sen 2 2 sen12

12

2 2 1

348. ∫

=

− − +− −ua

du u ua

a u Ccos cos1 1 2 2

349. ∫

= −

−−

+− −u ua

du u a ua

u a u Ccos2 4

cos4

12 2

12 2

350. ∫( )( )

=

−− −

+− −u ua

du u ua

u a a uCcos

3cos

2

92 1

31

2 2 2 2

351. ∫ ∫π ( )

= −

− −ua

udu u

ua

udu

cos

2ln

sen1 1

352. ∫

= −

++ −

+

− −ua

udu

ua

u aa a u

uC

cos cos 1 ln

1

2

12 2

353. ∫

=

− − −

+− − −ua

du u ua

u a u ua

Ccos cos 2 2 cos12

1

2

2 2 1

354. ∫ ( )

=

− + +− −ua

du u ua

a u a Ctan tan2ln1 1 2 2

Formulario a ➟ integrales

Alfaomega CálCulo integral • José Alfredo rAmos Beltrán

288

355. ∫ ( )

= +

− +− −u ua

du u a ua

au Ctan 12

tan2

1 2 2 1

356. ∫ ( )

=

− + + +− −u ua

du u ua

au a u a Ctan3tan

6 6ln2 1

31

2 32 2

357. ∫

= −

+

+ ⋅ ⋅ ⋅

− ua

udu u

a

ua

ua

ua

tan

3 5 7

13

2

5

2

7

2

358. ∫

= −

−+

+

ua

udu u

aua a

u au

Ctan

tan 12ln

1

21

2 2

2

359. ∫ ( )

=

+ + +− −ua

du u ua

a u a Ccot cot2ln1 1 2 2

360. ∫ ( )

= +

+ +− −u ua

du u a ua

au Ccot 12

cot2

1 2 2 1

361. ∫ ( )

=

+ − + +− −u ua

du u ua

au a u a Ccot3cot

6 6ln2 1

31

2 32 2

362. ∫ ∫π ( )

= −

− −ua

udu u

ua

udu

cot

2ln

tan1 1

363. ∫

= −

++

+

− −ua

udu

ua

u au au

Ccot cot 1

2ln

1

2

12 2

2

364. ∫∫

=+

−+ −

−+

−+

u ua

du um

ua m

ua u

dusen1sen 1

1m

m m1

11

1

2 2

365. ∫∫

=+

++ −

−+

−+

u ua

du um

ua m

ua u

ducos1cos 1

1m

m m1

11

1

2 2

366. ∫ ∫

=+

−+ +

−+

−+

u ua

du um

ua

am

uu a

dutan1tan

1m

m m1

11

1

2 2

367. ∫∫

=+

++ +

−+

−+

u ua

du um

ua

am

uu a

ducot1cot

1m

m m1

11

1

2 2

Fórmulas con

368. ∫ = +e du ea

Cauau

369. ∫ = −

+ue du ea

ua

C1auau

370. ∫ = − +

+u e du ea

u ua a

C2 2auau

2 22

371.

∫∫ ( ) ( )=

− +−

+ ⋅ ⋅ ⋅ +−

+ ∀ =

− −u e du

u ea

na

u e du

ea

u nua

n n ua

na

C n1 1 !

n au

n aun au

aun

n n n

n

1

1 2

2

∫∫ ( ) ( )=

− +−

+ ⋅ ⋅ ⋅ +−

+ ∀ =

− −u e du

u ea

na

u e du

ea

u nua

n n ua

na

C n1 1 !

n au

n aun au

aun

n n n

n

1

1 2

2

372. ∫ ( ) ( ) ( )= +⋅

+⋅

+⋅

+ ⋅ ⋅ ⋅eudu u au au auln

1 1! 2 2! 3 3!

au 2 3

373. ∫∫ ( )= −−

+−− −

eu

du en u

an

eu

du1 1

au

n

au

n

au

n1 1

374. ∫ ( )+

= − + +du

p peup ap

p qe C1 lnauau

375. ∫ ( ) ( ) ( )+

= ++

− + +du

p qeup ap p qe ap

p qe C1 1 lnau au

au2 2 2

376. ∫ +=

+

− −

+ −

+

dupe qe

a pqpqe C

a pq

e qp

e qp

C

1 tan

12

lnau au

au

au

au

1

377. ∫ ( ) ( ) ( )=

− −

+e bu due a bu b bu

a bCsen

sen cosauau

2 2

378. ∫ ( ) ( ) ( )=

+ +

+e bu due a bu b bu

a bCcos

cos senauau

2 2

379. ∫ ∫( ) ( )= −e u du e ua a

euduln ln 1au

au au

Fórmulas con

380. ∫ ( ) ( )= − +u du u u u Cln ln

381. ∫ ( ) ( ) ( ) = − + +u du u u u u u Cln ln 2 ln 22 2

382. ∫ ∫( ) ( ) ( ) = − −

u du u u n u duln ln lnn n n 1

383. ∫ ( ) ( )= −

+u u du u u Cln2ln 1

2

2

384. ∫ ( ) ( )=+

−+

++

u u du um

um

Cln1ln 1

1m

m 1

385. ∫( ) ( )= +uu

du u Cln 12ln2

Formulario a ➟ integrales 289

AlfaomegaCálCulo integral • José Alfredo rAmos Beltrán

386. ∫( ) ( )= − − +u

udu u

u uCln ln 1

2

387. ∫ ( ) ( ) ( )= − + +u du u u u u u Cln ln 2 ln 22 2

388. ∫( ) ( )=

++

+uu

du un

Cln ln1

n n 1

389. ∫ ( )( ) ( )= +du

u uu C

lnln ln

390. ∫ ( ) ( )+ = + − +

+−u a du u u a u a ua

Cln ln 2 2 tan2 2 2 2 1

391. ∫ ( ) ( )− = − − ++−

+u a du u u a u a u au a

Cln ln 2 ln2 2 2 2

Fórmulas con

392. ∫ ( ) ( )= +au dua

au Csenh 1 cosh

393. ∫ ( ) ( ) ( )= − +u au du u aua

aua

Csenh cosh senh2

394. ∫ ( ) ( ) ( )= +

− +u au du ua a

au ua

au Csenh 2 cosh 2 senh22

3 2

395. ∫( ) ( ) ( )= +

⋅+

⋅+ ⋅ ⋅ ⋅

auu

du au au ausenh3 3! 5 5!

3 5

396. ∫ ∫( ) ( ) ( )= − +au

udu au

ua au dusenh senh cosh2

397. ∫ ( ) =

+duau a

au Csenh

1 ln tanh2

398. ∫ ( ) ( ) ( )= − +au du au aua

u Csenh senh cosh2 2

2

399. ∫ ( ) ( ) ( )= − − +u au du u aua

aua

u Csenh senh 24

cosh 28 4

22

2

400. ∫ ( )( )= − +

duau

aua

Csenh

coth2

401. ∫ ( ) ( ) ( )( )

( )( )=

+ +

−−

−+pu qu du

p q up q

p q up q

Csenh senhsenh2

senh2

402. ∫ ∫( ) ( ) ( )= − −u au du u aua

ma

u au dusenh cosh coshmm

m 1

403. ∫ ∫( ) ( ) ( ) ( )= −−−

−au du au auan

nn

au dusenh senh cosh 1 senhnn

n1

2

404. ∫∫( ) ( )

( )( )= −

−+

−− −

auu

du aun u

an

auu

dusenh senh1 1

coshn n n1 1

405. ∫∫ ( )( )

( ) ( ) ( )= −−

−−−− −

duau

aua n au

nn

duausenh

cosh1 senh

21 senhn n n1 2

Fórmulas con

406. ∫ ( ) ( )= +au du aua

Ccosh senh

407. ∫ ( ) ( ) ( )= − +u au du u aua

aua

Ccosh senh cosh2

408. ∫ ( ) ( ) ( )= − + +

+u au du u aua

ua a

au Ccosh 2 cosh 2 senh22

2

3

409. ∫( ) ( ) ( ) ( ) ( )= +

⋅+

⋅+

⋅+ ⋅ ⋅ ⋅

auu

du u au au aucosh ln2 2! 4 4! 6 6!

2 4 6

410. ∫∫( ) ( ) ( )= − +au

udu au

ua au

uducosh cosh senh

2

411. ∫ ( )( ) = +−duau a

e Ccosh

2 tan au1

412. ∫ ( ) ( ) ( )= + +au du u au aua

Ccosh2

senh cosh2

2

413. ∫ ( ) ( ) ( )= + − +u au du u u aua

aua

Ccosh4

senh 24

cosh 28

22

2

414. ∫ ( )( )= +

duau

aua

Ccosh

tanh2

415. ∫ ( ) ( ) ( )( )

( )( )=

− −

++

++pu qu du

p q up q

p q up q

Ccosh coshsenh2

senh2

416. ∫ ∫( ) ( ) ( )= − −u au du u aua

ma

u au ducosh senh senhmm

m 1

417. ∫ ∫( ) ( ) ( ) ( )= +−−

−au du au auan

nn

au ducosh cosh senh 1 coshnn

n1

2

418. ∫∫( ) ( )

( )( )= −

−+

−− −

auu

du aun u

an

auu

ducosh cosh1 1

senhn n n1 1

419. ∫∫ ( )( )

( ) ( ) ( )=−

+−−− −

duau

aua n au

nn

duaucosh

senh1 cosh

21 coshn n n1 2

Formulario B ➟ DerivaDas 291

AlfaomegaCálCulo integral • José Alfredo rAmos Beltrán

➠ Formulario B: DerivadasEn este formulario: c es una constante real, f g, y u son funciones derivables en x .

FÓRMULAS GENERALES1. ( ) =

ddx

c 0

2. ( ) ( )=ddx

cf x c ddx

f x( ) ( )

3. [ ]± = ′ ± ′d

dxf x g x f x g x( ) ( ) ( ) ( )

4. [ ] = ′ + ′ddx

f x g x f x g x g x f x( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )

5. [ ]

= ′ − ′d

dxf xg x

g x f x f x g xg x

( )( )

( ) ( ) ( ) ( )( ) 2

6. ( ) = ′ddx

f u f u dudx

( )

7. ( ) = −ddx

u nu dudx

n n 1

FUNCIONES TRIGONOMÉTRICAS

8. ( ) =ddx

x xsen cos

9. ( ) = −ddx

x xcos sen

10. ( ) =ddx

x xtan sec2

11. ( ) = −ddx

x xcot csc2

12. ( ) =ddx

x x xsec sec tan

13. ( ) = −ddx

x x xcsc csc cot

14. ( ) =ddx

u u dudx

sen cos

15. ( ) = −ddx

u u dudx

cos sen

16. ( ) =ddx

u u dudx

tan sec2

17. ( ) = −ddx

u u dudx

cot csc2

18. ( ) =ddx

u u u dudx

sec sec tan

19. ( ) = −ddx

u u u dudx

csc csc cot

FUNCIONES LOGARÍTMICAS

20. ( ) =d

dxex ex

21. ( ) =d

dxax ax aln

22. ( ) =d

dxx

xln

1

23. ( ) =d

dxa x

x alog

1

ln

24. ( ) =d

dxex ex

25. ( ) =d

dxax ax aln

26. ( ) =d

dxx

xln

1

27. ( ) =d

dxa x

x alog

1

ln

FUNCIONES TRIGONOMÉTRICAS INVERSAS

28. ( )−=

d

dxx

xsen 1 1

1 2

29. ( )−= −

d

dxx

xcos 1

1

1 2

30. ( )−=

+

d

dxx

xtan 1 1

1 2

31. ( )−= −

+

d

dxx

xcot 1

1

1 2

32. ( )−=

d

dxx

x xsec 1

12 1

Formulario B ➟ DerivaDas

Alfaomega CálCulo integral • José Alfredo rAmos Beltrán

292

33. ( )−= −

d

dxx

x xcsc 1

12 1

34. ( ) =−

−ddx

uu

dudx

sen 11

12

35. ( ) = −−

−ddx

uu

dudx

cos 11

12

36. ( ) =+

−ddx

uu

dudx

tan 11

12

37. ( ) = −+

−ddx

uu

dudx

cot 11

12

38. ( ) =−

−ddx

uu u

dudx

sec 11

12

39. ( ) = −−

−ddx

uu u

dudx

csc 11

12

FUNCIONES HIPERBÓLICAS40. ( ) =d

dxx xsenh cosh

41. ( ) =ddx

x xcosh senh

42. ( ) =ddx

x h xtanh sec 2

43. ( ) = −ddx

x h xcoth csc 2

44. ( ) = −ddx

hx hx xsec sec tanh

45. ( ) = −ddx

hx hx xcsc csc coth

46. ( ) =ddx

u u dudx

senh cosh

47. ( ) =ddx

u u dudx

cosh senh

48. ( ) =ddx

u h u dudx

tanh sec 2

49. ( ) = −ddx

u h u dudx

coth csc 2

50. ( ) = −ddx

hu hu u dudx

sec sec tanh

51. ( ) = −ddx

hu hu u dudx

csc csc coth

FUNCIONES HIPERBÓLICAS INVERSAS52. ( )− =

+

ddx

xx

senh 1 1

1 2

53. ( )− =−

ddx

xx

cosh 1 12 1

54. ( )− =−

ddx

xx

tanh 1 11 2

55. ( )− = −−

ddx

xx

coth 1 11 2

56. ( ) = −−

−ddx

h xx x

sec 11

12

57. ( ) = −+

−ddx

h xx x

csc 11

12

58. ( )− =+

ddx

uu

dudx

senh 1 1

1 2

59. ( )− =−

ddx

uu

dudx

cosh 1 12 1

60. ( )− =−

ddx

uu

dudx

tanh 1 11 2

61. ( )− = −−

ddx

uu

dudx

coth 1 11 2

62. ( )− = −−

ddx

h uu u

dudx

sec 1 1

1 2

63. ( )− = −+

ddx

h uu u

dudx

csc 1 12 1

FORMULARIO C ➟ ÁLGEBRA, GEOMETRÍA Y TRIGONOMETRÍA 293

AlfaomegaCÁLCULO INTEGRAL • JOSÉ ALFREDO RAMOS BELTRÁN

Triángulo rectángulo

b ah

= =A ch ab12

12 , = + +P a b c , = +c a b2 2 2

Triángulo equilátero

ba

a

=h a32 , =A a3

42 , =P a3

Cuadrado

a

a

=A a2 , =P a4

Rectángulo

b

h

= + =P b h A bh2 2 ,

Romboide

b

h

=A bh

Trapezoide

b

a

h

= +A a b h12( )

Círculo

r

π=A r 2 , π=P r2

Corona circular

rR

π ( )= −A R r2 2 , =P a3

Sector circular

r

θ=A r12

2 , θ=s r

Esfera

r

π=V r43

3, π=S r4 2

Cono circular recto

h

r

π=V r13

3, π= +S r r h2 2

Cilindro circular recto

h

r

π=V r h2 , π=S rh2 lateralπ π= +S rh r2 2 2 total

Figuras geométricas

➠ Formulario C: Álgebra, Geometría y Trigonometría

c

FORMULARIO C ➟ ÁLGEBRA, GEOMETRÍA Y TRIGONOMETRÍA

Alfaomega CÁLCULO INTEGRAL • JOSÉ ALFREDO RAMOS BELTRÁN

294

Elipse

b

a

π=A ab

Elipsoide

bac

π=A abc43

Paralelepípedo rectangular

h

ab

=V abh, ( )= + +S ab ah bh2

Pirámide

h

=V abh13

Cono truncado

h

r2

r1

π= + +V h r r r r13

( 2 )12

1 2 22

Pirámide Regular

a

h

H

h

H

=

V aH h2

13

➠ Álgebra

Fórmula cuadrática

+ + =

=− ± −

ax bx c

x b b acab ac

0

42

Discriminante 4

2

1,2

2

2

Desarrollo de productos notables y factorización

x y x xy y

x y x x y x y y

x y n x n x y n x y nn

x y nn

y n

nk

nk n k

x y x y x y

x y x y x xy y

2

3 3

0 1 2 1

Donde !! !

n n n n n

2 2 2

3 3 2 2 3

1 1 2 2 1 1 n

2 2

3 3 2 2

( )( ) ( )

( )( ) ( ) ( ) ( )( )

( )

( )( )( )( )

± = ± +

± = ± + ±

+ =

+

+

+ ⋅ ⋅ ⋅ +−

+

∀ =

=−

− = + −

± = ± +

− − −

Formulario C ➟ Álgebra, geometría y trigonometría 295

AlfaomegaCálCulo integral • José Alfredo rAmos Beltrán

Reglas de exponentes y radicales

( )

( )

=

=

=

=

=

=

+

x x x

x x

xx

x

xx

xy

xy

xy x y

1

m n m n

m n m n

m

nm n

mm

n n

n

n n n

( )( )

=

=

=

=

=

=

x x

x x

x x

xy x y

xy

xy

x x

n n

nm nm

nm m n

n n n

nn

n

nm mn

1

Valores de exponenciales, propiedades de los logaritmos

( ) ( )( )

( )

=

=

→ ∞

=

=

=

=

( )

−∞

ee

eeee xa x

x xa

x x

1

10

log loglog

ln log

nn

x

x

a

e

0

ln

log

10

10

a

( )

( )

( ) ( ) ( )

( ) ( )

( )( ) ( ) ( )

( ) ( )

( )

+ =

− =

=

+ =

− =

=

x y xy

x y xy

n x x

x y xy

x y xy

b x x

ln ln ln

ln ln ln

ln ln

log log log

log log log

log log

n

a a a

a a a

a ab

➠ Geometría analítica

Distancia entre dos puntos

( ) ( )= − + −d x x y y2 12

2 12

(x1 , y1)

P1

y

x

P2

(x2 , y2)

Ecuación de la recta punto-pendiente

Pendiente de una recta

=∆∆

=−−

m yx

y yx x2 1

2 1

(x1 , y1)(x2 , y1)P1

y

x

P2

P3

∆y

∆x

(x2 , y2)

Puntos de intersección de la recta

Formulario C ➟ Álgebra, geometría y trigonometría

Alfaomega CÁlCulo integral • José Alfredo rAmos Beltrán

296

Ecuación de la recta punto-pendiente( )− = −y y m x x1 1

(x1 , y1)

y

x

Puntos de intersección de la recta

+ = ∀ ≠ ≠xa

yb

a b1 0; 0

(0 , b)

(a , 0)

y

x

Ecuación de la circunferencia con centro en el origen

+ =x y r2 2 2

y

rx

Ecuación de la circunferencia con centro fuera del origen.

( ) ( )− + − =x h y k r2 2 2

y

r

xx

(h , k)

Parábola

=

= = −

x py p p p p p

p y p

2 ; Foco F= 0,2

; Extremos Izq ,2

;Der ,2

Lado Recto Lr 2 ; Recta Directriz 2

2

y

F

x(-h , )p

2

( p , )p 2

(0 , )p 2

y = - p 2

Parábola

= − −

− −

= =

x py p p p p p

p y p

2 ; Foco F= 0,2

; Extremos Izq ,2

;Der ,2

Lado Recto Lr 2 ; Recta Directriz 2

2

y

F

x

( p ,- )p 2

(-p , )p 2 (0 ,- )p

2

y = p 2

Formulario C ➟ Álgebra, geometría y trigonometría 297

AlfaomegaCálCulo integral • José Alfredo rAmos Beltrán

Parábola

=

= = −

y px p p p p p

p x p

2 ; Foco F=2

,0 ; Extremos Inf2

, ;Sup2

,

Lado Recto Lr 2 ; Recta Directriz 2

2

F

( , p )p

2

( ,- p )p

2

( ,0 )p

2

x = - p 2

x

y

Parábola

= − −

− −

= =

y px p p p p p

p x p

2 ; Foco F=2

,0 ; Extremos Inf2

, ;Sup2

,

Lado Recto Lr 2 ; Recta Directriz 2

2

( - ,- p )p

2

(- , p)p

2

( - ,0 )p

2 x = p

2

y

Elipse centro en el origen

( ) ( )

+ = −

xa

yb

a b

F dF F dF

1 dF=

,0 ; ,0

2

2

2

22 2

1 2

y

dF(- dF, 0) (dF, 0)x

ab

F2F1

Elipse centro en el origen

( ) ( )

+ = −

ya

xb

a b

F dF F dF

1 dF=

0, ; 0,

2

2

2

22 2

1 2

y

dF

( 0, dF )

( 0, -dF )

x

a

Ab

F2

F1

x

Formulario C ➟ Álgebra, geometría y trigonometría

Alfaomega CÁlCulo integral • José Alfredo rAmos Beltrán

298

Hipérbola

( ) ( )

− = +

xa

yb

a b

F dF F dF

1 dF=

,0 ; ,0

2

2

2

22 2

1 2

y

dF(- dF, 0) (dF, 0)xF2

F1

Hipérbola

( ) ( )

− = +

ya

xb

a b

F dF F dF

1 dF=

0, ; 0,

2

2

2

22 2

1 2

y

dF

( 0, dF )

( 0, -dF )

x

F2

F1

División de un segmento en una razón

=−−

=−−

r x xx x

r y yy y

r r

2 1

1

2 1

1

y

x

D

CE

B

R

S

A

( x2 , y2 )

( x2 , yr )

( x2 , y1 )( xr , y1 )( x1 , y1 )

( xr , yr )

Distancia de un punto a una rectaAx By C

P x y d Ax Bx CA B

Ecuación general de la recta 0

Entonces: 1, 1 Pr1 2

2 2( )+ + =

=+ +

+

y

xdPr

P

Ax +By +C =0

( x1 , y1 )