formulario copadi

Click here to load reader

Post on 09-Sep-2014

154 views

Category:

Documents

12 download

Embed Size (px)

TRANSCRIPT

UNIVERSIDAD NACIONAL AUTNOMA DE MXICO FACULTAD DE INGENIERA SECRETARA GENERAL COORDINACIN DE PROGRAMAS DE ATENCIN DIFERENCIADA PARA ALUMNOS COPADI FORMULARIO C O P A D I MS DE 400 FRMULAS DE MATEMTICAS! ING. RIK CASTAEDA DE ISLA PUGA ING. PABLO GARCA Y COLOM ESTA OBRA SE REALIZ GRACIAS A LA DGAPA, A TRAVS DE UN PROYECTO PAPIME P R L O G O Las asignaturas de matemticas en la Facultad de Ingeniera, que fundamentalmente se imparten en su Divisin de Ciencias Bsicas, constituyen herramientas muy poderosas -y en ocasiones son un autntico lenguaje- para la comprensin y aplicacin de las asignaturas fsicas y tambin para aquellas propias de las carreras de ingeniera. Son apoyos valiosos para los estudios de posgrado -maestras y doctorados- y para el ejercicio profesional. Es por ello que, para contar con estudiantes con una formacin slida en Ciencias Bsicas y que tengan buenas posibilidades de xito en su devenir acadmico y profesional, resulta importante y trascendente su aprendizaje de las diferentes ramas de las matemticas que deben estudiar como son el lgebra, la Geometra Analtica, El lgebra Lineal, el Clculo con una y varias variables, las Ecuaciones Diferenciales y las Matemticas Avanzadas. Y para esto hemos pensado en proporcionar a los estudiantes de ingeniera estos formularios, que con sus ms de 400 expresiones, pretenden apoyar y hacer ms eficiente el estudio y aprendizaje de las matemticas primero y despus constituirse en un manual para su quehacer futuro, ya sea acadmico o laboral. Esperamos que este formulario sea de mucha utilidad para el trabajo acadmico de alumnos y profesores de ingeniera que ven y aprecian esta disciplina como un detonante para el desarrollo de la sociedad. Es sabido que la ingeniera es unin entre los seres humanos y la naturaleza, y que uno de los principales objetivos de su quehacer es el de mejorar la calidad de la vida en el entorno de su prctica. Aprovechamos este espacio para agradecer a la Lic. Ana Mara Vieyra vila y al pasante de ingeniera Jorge Alejandro Rangel Rangel por su colaboracin en las labores administrativas y de seguimiento para el logro de esta publicacin. Ing. rik Castaeda de Isla Puga Ing. Pablo Garca y Colom N D I C E IDENTIDADES TRIGONOMTRICAS 1 CRCULO TRIGONOMTRICO 2 RECTA Y CIRCUNFERENCIA 3 LAS CNICAS: PARBOLA, ELIPSE E HIPRBOLA 5 GEOMETRA ANALTICA EN EL ESPACIO 7 CLASIFICACIN DE LAS SUPERFICIES CUDRICAS 10 FRMULAS DE DERIVACIN ORDINARIA 11 FRMULAS BSICAS DE INTEGRACIN 13 SERIES INFINITAS 15 SERIES DE POTENCIAS 18 ALGUNAS FUNCIONES REPRESENTADAS POR SERIES DE POTENCIAS 20 FUNCIONES HIPERBLICAS. IDENTIDADES, DERIVACIN E INTEGRACIN 22 MXIMOS Y MNIMOS. UNA O MS VARIABLES 24 GEOMETRA DIFERENCIAL. FRMULAS DE FRENET-SERRET. CINEMTICA DE UNA PARTCULA. 27 LONGITUDES, REAS Y VOLMENES. LONGITUD DE ARCO, REA BAJO LA CURVA, REA ENTRE DOS CURVAS, REA DE SUPERFICIES, VOLMENES 29 MASA, MOMENTOS, CENTROS DE MASA Y CENTROIDE 31 ALGUNOS CASOS DE DERIVACIN EXPLCITA EN FUNCIONES ESCALARES DE VARIABLE VECTORIAL 33 ALGUNOS CASOS DE DERIVACIN IMPLCITA EN FUNCIONES DE UNA Y MS VARIABLES 35 COORDENADAS POLARES, CILNDRICAS Y ESFRICAS 37 OPERADORES VECTORIALES GRADIENTE, DIVERGENCIA, ROTACIONAL Y LAPLACIANO 41 EN COORDENADAS CURVILNEAS ORTOGONALES TEOREMAS DE GREEN, STOKES Y GAUSS 42 TRANSFORMADAS DE LAPLACE 44 SERIES DE FOURIER 45 C O P A D I 1 IDENTIDADES TRIGONOMTRICAS FUNCIONES TRIGONOMTRICAS CATETO OPUESTO = catop ; CATETO ADYACENTE = catad ; HIPOTENUSA = hipo catadcatoptanhipocatadhipocatop= = = u u u ; cos ; sen IDENTIDADES uuuuuuuuuusencoscot ;cossen;cos1sec ;sen1csc = = = = tan ( ) ( ) ( ) u u u u u u u u u u utan tantan = = = = = = +; cos cos ; sen sen1 cot csc ; 1 sec ; 1 cos sen 2 2 2 2 2 2 ( ) ( )( ) ( )( ) ( ) | o | o| o| o | o| o| o | o | o | o | o | o | o | o | o | o | o | otan tantan tantantan tantan tantan+ = += ++ = = + = + = +1;1sen sen cos cos cos ; sen sen cos cos cossen cos cos sen sen ; sen cos cos sen sen uuu u u u u u u u u 22 2 2 2tan 1tan 22 tan ; 1 cos 2 2 1 cos 2 cos ; cos 2 2= = = = = sen sen sen sen uuuu u u u u ucos 1sensencos 12;2cos 12cos ;2cos 12sen+==+== tan u u u u 2 cos2121cos ; 2 cos2121sen 2 2+ = = ( ) ( ) | |( ) ( ) | |( ) ( ) | |( ) ( ) | | | o | o | o| o | o | o| o | o | o| o | o | o + = + + = + + =+ =sen sen21sen cossen sen21cos sencos cos21cos coscos cos21sen sen C O P A D I 2 CRCULO TRIGONOMTRICO EN LA FIGURA SE PRESENTA EL CRCULO TRIGONOMTRICO DE RADIO LA UNIDAD POR LO QUE EN CADA PUNTO, CORRESPONDIENTE A UN NGULO DETERMINADO, LA ABSCISA ES EL COSENO Y LA ORDENADA EL SENO DEL NGULO CONSIDERADO Y A PARTIR DE ESOS VALORES SE PUEDEN DETERMINAR LAS DEMS FUNCIONES TRIGONOMTRICAS Y CONOCER DE TODAS ELLAS SU VALOR Y SIGNO DEPENDIENDO DEL CUADRANTE EN ESTUDIO. C O P A D I 3 RECTA Y CIRCUNFERENCIA LA LNEA RECTA PENDIENTE DE LA RECTA: 2 12 12 1; x xx xy ym == ECUACIN DE LA RECTA PUNTO PENDIENTE: ( )1 1 x x m y y = ECUACIN DE LA RECTA PENDIENTE ORDENADA AL ORIGEN: b x m y + = = m PENDIENTE DE LA RECTA = b ORDENDA AL ORIGEN ECUACIN DE LA RECTA QUE PASA POR DOS PUNTOS ( ) ( )2 2 2 1 1 1 , , y x P y y x P ( ) ( )1 1 2 1 12 12 11 ; x x m y y x x x xx xy yy y = = = ECUACIN SIMTRICA DE LA RECTA: 1 = +byax = a ABSCISA AL ORIGEN = b ORDENADA AL ORIGEN FORMA GENERAL DE LA ECUACIN DE LA RECTA 0 = + + C y B x A FORMA NORMAL DE LA ECUACIN DE UNA RECTA 0 cos = + p sen y x e e = p LONGITUD DE LA NORMAL QUE VA DEL ORIGEN A LA RECTA 00 360 e < < MEDIDO DESDE LA PARTE POSITIVA DEL EJE " " x A LA NORMAL DISTANCIA DE UNA RECTA 0 = + + C y B x A A UN PUNTO ( )1 1, y x 2 21 1B AC y B x Ad+ + += CONDICIN DE PARALELISMO Y PERPENDICULARIDAD CON LAS PENDIENTES DE DOS RECTAS SEAN 2 1 m y m LAS PENDIENTES DE DOS RECTAS 2 1 y . ENTONCES: 2 1 y SON PARALELAS 2 1 m m = SEAN 2 1 m y m LAS PENDIENTES DE DOS RECTAS 2 1 y . ENTONCES: 2 1 y SON PERPENDICULARES211mm = 4 LA CIRCUNFERENCIA ECUACIN CON CENTRO EN EL ORIGEN Y RADIO " " r : 2 2 2r y x = + ECUACIN CON CENTRO EN EL PUNTO ( ) k h , Y RADIO " " r : ( ) ( ) 2 2 2r k y h x = + FORMA GENERAL DE LA ECUACIN DE LA CIRCUNFERENCIA 02 2= + + + + F y E x D y x LA CIRCUNFERENCIA EXISTE, ES DECIR, TIENE RADIO DIFERENTE DE CERO SI 0 42 2> + F E D Y ENTONCES, LAS COORDENADAS DE SU CENTRO SON |.|

\| 2,2E D Y EL RADIO ES F E D 421 2 2 + ECUACIN MEDIANTE UN DETERMINANTE LA ECUACIN DE LA CIRCUNFERENCIA QUE PASA POR LOS TRES PUNTOS ( ) ( ) ( )3 3 3 2 2 2 1 1 1 , , , , y x P y y x P y x P NO COLINEALES, EST DADA POR EL DETERMINANTE 2 22 21 1 1 12 22 2 2 22 23 3 3 311011x y x yx y x yx y x yx y x y++=++ TRASLACIN DE LOS EJES COORDENADOS SEA UN NUEVO ORIGEN DE COORDENADAS ( ) k h O , ' Y SEAN RESPECTIVAMENTE ( ) ( ) ' , ' , y x y y x LAS COORDENADAS DE UN PUNTO, ANTES Y DESPUS DE LA TRASLACIN. ENTONCES, LAS ECUACIONES DE TRANSFORMACIN DEL SISTEMA ORIGINAL AL NUEVO SON: k y y y h x x + = + = ' ' ROTACIN DE LOS EJES COORDENADOS SI LOS EJES COORDENADOS GIRAN UN NGULO u EN TORNO DE SU ORIGEN COMO CENTRO DE ROTACIN Y LAS COORDENADAS DE UN PUNTO SON, RESPECTIVAMENTE, ( ) ( ) ' '. , y x y x , ANTES Y DESPUS DE LA ROTACIN, ENTONES LAS ECUACIONES DE TRANSFORMACIN DEL SISTEMA ORIGINAL AL NUEVO SON. u u u u cos ' ' ' cos ' y sen x y y sen y x x + = = C O P A D I 5 L A S C N I C A S: PARBOLA, ELIPSE E HIPRBOLA P A R B O L A p DISTANCIA DEL VRTICE AL FOCO = DISTANCIA DEL VRTICE A LA DIRECTRIZ FOCO SOBRE EL EJE VRTICE EN EL ORIGEN Y EJE FOCAL COINCIDENTE CON EL EJE " " x x p y 42 DIRECTRIZ: p x ; FOCO 0 , p VRTICE EN EL ORIGEN Y EJE FOCAL COINCIDENTE CON EL EJE " " y y p x 42 DIRECTRIZ. p y ; FOCO p , 0 VRTICE EN EL PUNTO k h , EJE FOCAL PARALELO AL EJE " " x h x p k y 42 VRTICE EN EL PUNTO k h , EJE FOCAL PARALELO AL EJE " " y k y p h x 42 LONGITUD DEL LADO RECTO = p 4 ; EXCENTRICIDAD: 1 e ECUACIN GENERALDE LA CNICA: 02 2 F y E x D y C x A ; CON 0 0 C A E L I P S E a 2 LONGITUD DEL EJE MAYOR ; b 2 LONGITUD DEL EJE MENOR c 2 DISTANCIA ENTRE LOS FOCOS 2 2 2b a c FOCOS SOBRE EL EJE MAYOR CENTRO EN EL ORIGEN Y EJE FOCAL COINCIDENTE CON EL EJE " " x 12222 byax FOCOS: 0 , 0 , c y c CENTRO EN EL ORIGEN Y EJE FOCAL COINCIDENTE CON EL EJE " " y 12222 aybx FOCOS: c y c , 0 , 0 6 CENTRO EN EL PUNTO k h, Y EJE FOCAL PARALELO AL EJE " " x 12222bk yah x CENTRO EN EL PUNTO k h, Y EJE FOCAL PARALELO AL EJE " " y 12222ak ybh x LONGITUD DEL LADO RECTO = ab22 ; EXCENTRICIDAD: 1 ace ECUACIN GENERALDE LA CNICA: 02 2 F y E x D y C x A ; CON C y A DEL MISMO SIGNO H I P R B O L A a 2 LONGITUD DEL EJE TRANSVERSO ; b 2 LONGITUD DEL EJE CONJUGADO c 2 DISTANCIA ENTRE LOS FOCOS 2 2 2b a c FOCOS SOBRE EL EJE TRANSVERSO CENTRO EN EL ORIGEN Y EJE FOCAL COINCIDENTE CON EL EJE " " x 12222 byax FOCOS: 0 , 0 , c y c CENTRO EN EL ORIGEN Y EJE FOCAL COINCIDENTE CON EL EJE " " y 12222 bxay FOCOS: c y c , 0 , 0 CENTRO EN EL PUNTO k h, Y EJE FOCAL PARALELO AL EJE " " x 12222bk yah x CENTRO EN EL PUNTO k h , Y EJE FOCAL PARALELO AL EJE " " y 12222bh xak y LONGITUD DEL LADO RECTO = ab22 ; EXCENTRICIDAD: 1 ace ECUACIN GENERALDE LA CNICA: 02 2 F y E x D y C x A ; CON C y A DE SIGNO DISTINTO C O P A D I 7 GEOMETRA ANALTICA EN EL ESPACIO VECTORES MDULO DE UN VECTOR: 232221 a a a a + + = PRODUCTO ESCALAR: ( ) ( ) 3 3 2 2 1 1 3 2 1 3 2 1 , , ; , , b a b a b a b a b b b b a a a a + + = = = 0 0180 0 ; cos s s = u u b a b a ORTOGONALIDAD: b y a SON ORTOGONALES 00 ;0aa bb= == COMP VECTbbbb aab= ; COMP ESCbb aab= NGULO ENTRE DOS VECTORES: b ab aang = cos u NGULOS Y COSENOS DIRECTORES aaangaaangaaang 3 2 1cos ; cos ; cos = = = | o 1 cos cos cos 2 2 2= + + | o PRODUCTO VECTORIAL: ( ) ( )3 2 13 2 1 3 2 1 3 2 1 , , ; , ,b b ba a ak j ib a b b b b a a a a. . .= = = 0 0180 0 ; s s = u u sen b a b a PARALELISMO: b y a SON PARALELOS 00 ;0aa bb= == REA DEL PARALELOGRAMO = b a PRODUCTO MIXTO: | | c b a c b a c b a = = 8 VOLUMEN DEL PARALELEPPEDO = | | c b a LOS PUNTOS , , A B C y D SON COPLANARES SI EL PRODUCTO MIXTO AB AC AD ( ES NULO DOBLE PRODUCTO VECTORIAL ( ) ( ) ( )( ) ( ) ( ) = = a c b b c a c b ac b a b c a c b a LA RECTA EN EL ESPACIO ECUACIN VECTORIAL DE LA RECTA v t P P + = 0 DONDE ( )0 0 0 0 , , z y x P ES UN PUNTO DE LA RECTA Y ( ) c b a v , , ES UN VECTOR PARALELO A ELLA ECUACIONES PARAMTRICAS DE LA RECTA+ = + = + =tc z ztb y yta x x000 ECUACIONES CARTESIANAS DE LA RECTA EN FORMA SIMTRICA: cz zby yax x 0 0 0 == ECUACIONES CARTESIANAS DE LA RECTA EN FORMA GENERAL 1 1 1 12 2 2 200A x B y C z DA x B y C z D+ + + =+ + + = DISTANCIA DE UN PUNTO A UNA RECTA: ( )vv P Qd = 0; DONDE Q ES EL PUNTO NGULO ENTRE DOS RECTAS: 2 12 1cosv vv vang = u CONDICIN DE PERPENDICULARIDAD ENTRE DOS RECTAS: 0 2 1 = v v CONDICIN DE PARALELISMO ENTRE DOS RECTAS: 0 2 1 = v v DISTANCIA ENTRE DOS RECTAS: ( ) ( )2 12 1 1 0 2 0v vv v P Pd = 9 EL PLANO EN EL ESPACIO ECUACIN VECTORIAL DEL PLANO 9 e + + = s r v s v r P P , ; 2 1 0 DONDE ( )0 0 0 0 , , z y x P ES UN PUNTO DEL PLANO Y ( ) ( ) 1 21 1 1 2 2 2, , , , = = v a b c y v a b c SON DOS VECTORES DE DIRECCIN DEL PLANO NO PARALELOS ECUACIONES PARAMTRICAS DEL PLANO: + + = + + = + + =2 1 02 1 02 1 0sc rc z zsb rb y ysa ra x x ECUACIN NORMAL DEL PLANO QUE CONTIENE AL PUNTO 0P y CUYO VECTOR NORMAL ES N ( ) 0 0 = N P P ECUACIN GENERAL DEL PLANO: 0 = + + + D z C y B x A , DONDE SU VECTOR NORMAL EST DADO POR: ( ) C B A N , , = DISTANCIA DE UN PUNTO Q A UN PLANO: ( )NN P Qd = 0 NGULO ENTRE DOS PLANOS: 2 12 1cosN NN Nang = u CONDICIN DE PERPENDICULARIDAD: 0 2 1 = N N CONDICIN DE PARALELISMO: 0 2 1 = N N LA DISTANCIA ENTRE DOS PLANOS PARALELOS SE CALCULA COMO LA DISTANCIA ENTRE UN PUNTO DE UN PLANO Y EL OTRO PLANO NGULO ENTRE UNA RECTA Y UN PLANO: v Nv Nangsen = u CONDICIN DE PARALELISMO ENTRE UN PLANO Y UNA RECTA: 0 = v N CONDICIN DE PERPENDICULARIDAD ENTRE UN PLANO Y UNA RECTA: v k N = C O P A D I 10 CLASIFICACIN DE LAS SUPERFICIES CUDRICAS CON CENTRO: N z M y L x K 2 2 2 SI 0 N Y DOS COEFICIENTES SON NULOS, EL LUGAR GEOMTRICO SON LOS PLANOS COORDENADOS. SI 0 N Y UN COEFICIENTE ES NULO, EL LUGAR GEOMTRICO SON LOS EJES COORDENADOS. SI 0 N Y TODOS LOS COEFICIENTES TIENEN EL MISMO SIGNO, EL LUGAR GEOMTRICO ES EL ORIGEN DE COORDENADAS. SI 0 N Y DOS COEFICIENTES TIENEN EL MISMO SIGNO, EL LUGAR GEOMTRICO ES EL CONO ELPTICO. SI 0 N Y DOS COEFICIENTES SON NULOS, EL LUGAR GEOMTRICO SON DOS PLANOS PARALELOS A LOS PLANOS COORDENADOS. SI 0 N Y UN COEFICIENTE ES NULO, EL LUGAR GEOMTRICO SON CILINDROS PARALELOS A LOS EJES COORDENADOS. SI 0 N Y TODOS LOS COEFICIENTES SON POSITIVOS, EL LUGAR GEOMTRICO ES EL ELIPSOIDE. SI 0 N Y DOS COEFICIENTES SON POSITIVOS Y EL OTRO NEGATIVO, EL LUGAR GEOMTRICO ES EL HIPERBOLOIDE DE UNA HOJA O UN MANTO. SI 0 N Y DOS COEFICIENTES SON NEGATIVOS Y EL OTRO POSITIVO, EL LUGAR GEOMTRICO ES EL HIPERBOLOIDE DE DOS HOJAS O DOS MANTOS. SIN CENTRO: 02 2 P z P y L x K SI K Y L SON NULOS, EL LUGAR GEOMTRICO ES EL PLANO y x . SI K L ES NULO, EL LUGAR GEOMTRICO ES UN CILINDRO PARABLICO. SI K Y L TIENEN EL MISMO SIGNO, EL LUGAR GEOMTRICO ES UN PARABOLOIDE ELPTICO. SI K Y L TIENEN DIFERENTE SIGNO, EL LUGAR GEOMTRICO ES UN PARABOLOIDE HIPERBLICO. C O P A D I 11 FRMULAS DE DERIVACIN ORDINARIA ( ) dxducdxdyc x f u cu y = 9 e = = ; ; 0 ; = 9 e =dxdyc c y 1 = =dxdyx y ( ) udxdudxdyx f u u y2; = = = ( ) dxduu ndxdyn x f u u y n n 1; ; = 9 e = = ( )( ) dxdvdxdudxdyx g vx f uv u y = == = ; ( )( ); u f x dy dv duy uv u vv g x dx dx dx= = = + = ( )( ) 2;vdxdvudxduvdxdyx g vx f uvuy= === ( ) dxduuudxdyx f u u y = = = ; ( ) udxdudxdyx f u u y = = = ; ln ( ) eudxdudxdyb x f u u y b b log ; ; log = 9 e = = ( ) dxduedxdyx f u e y u u= = = ; 12 ( ) dxdua adxdya x f u a y u uln ; ; = 9 e = = ( )( ) dxdvu udxduu vdxdyx g vx f uu y v v vln ; 1+ = === ( ) dxduudxdyx f u u sen y cos ; = = = ( ) dxduu sendxdyx f u u y = = = ; cos ( ) dxduudxdyx f u u y 2sec ; tan = = = ( ) dxduudxdyx f u u y 2csc ; cot = = = ( ) dxduu udxdyx f u u y tan sec ; sec = = = ( ) dxduu udxdyx f u u y cot csc ; csc = = = ( ) 21;udxdudxdyx f u u angsen y= = = ( ) 21; cosudxdudxdyx f u u ang y = = = ( ) 21; tanudxdudxdyx f u u ang y+= = = ( ) 21; cotudxdudxdyx f u u ang y+ = = = ( )1; sec2= = =u udxdudxdyx f u u ang y ( )1; csc2 = = =u udxdudxdyx f u u ang y C O P A D I 13 FRMULAS BSICAS DE INTEGRACIN ( ) ( ) k f u d u k f u d u =} } ( ) ( ) ( ) ( ) f u g u du f u du g u du = ( } } } C u du + =} 1 ;11 = ++= +} n Cnudu unn } + = C uuduln } + = C e du e u u Caadu auu+ =}ln C u du u sen + =}cos C u sen du u + =}cos C u C u du u + = + =}sec ln cos ln tan } + = C u sen du u ln cot } + + = C u u du u tan sec ln sec 14 } + = C u u du u cot csc ln csc } + = C u du u tan sec2 C u du u + =}cot csc2 } + = C u du u u sec tan sec } + = C u du u u csc cot csc Cauangsenu adu+ =}2 2 } + =+ Cauanga a udutan12 2 Cauangaa u udu+ =}sec12 2 } ++= Ca ua ua a uduln212 2 Cu au aa u adu++=}ln212 2 C a u ua udu+ + + =+}2 22 2ln C a u ua udu+ + =}2 22 2ln C O P A D I 15 S E R I E S I N F I N I T A S SERIE TELESCPICA ( ) 1 ;111=+= Sn nn SERIE GEOMTRICA ;0= nnr a CONVERGE SI 1 < r ; raS=1 DIVERGE SI 1 > r SERIE ARMNICA = 11n n ; DIVERGENTE SERIE ARMNICA " " p =11npn ; 0 1 p s s DIVERGE >1 p CONVERGE = = =1;1nn np S S R SnEST ACOTADO POR: ( ) 1101< < p nRpn CONVERGENCIA O DIVERGENCIA = = = diverge S limconverge S S limannnnnn1 DONDE nS ES LA SUCESIN DE SUMAS PARCIALES 16 lim 0lim 0n nnn nna es convergente aa a es divergente == ( )( );n nn n n nna b convergea y b convergen a b convergec a converge c+ e9 ( );n nn n n na diverge c a diverge ca converge y b diverge a b diverge e9 + PRUEBA DE LA INTEGRAL SI f ES POSITIVA, CONTINUA Y DECRECIENTE PARA 1 > x ENTONCES LA SERIE ... ) ( ... ) 2 ( ) 1 ( + + + + n f f f }}11) ( )) ( )divergente es dx x f si diverge iie convergent es dx x f si converge i PRUEBA DE LA COMPARACIN SEAN n n b y a SERIES DE TRMINOS POSITIVOS. ENTONCES: ))n n n nn n n ni si b converge y a b entonces a convergeii si b diverge y a b entonces a diverges> PRUEBA DEL LMITE DEL COCIENTE SEAN n n b y a SERIES DE TRMINOS POSITIVOS. ENTONCES: lim 0nnnlas dos convergenak oblas dos divergen= > PRUEBA DE LA SERIE ALTERNADA 17 110( 1)lim 0k knnnna aa es convergentea+ > > = CONVERGENCIA ABSOLUTA Y CONDICIONAL n nn nnnna es absolutamente convergente si a es convergentea es absolutamente convergente a es convergentea convergea es condicionalmente convergente sia diverge PRUEBA DE LA RAZN SEA na UNA SERIE CON TRMINOS NO NULOS. ENTONCES: 111) lim 1) lim 1) lim 1nnnnnnnnnnnai L a es absolutamente convergenteaaii L a es divergenteaaiii el criterio no decidea+++= < = > = PRUEBA DE LA RAZ SEA na UNA SERIE INFINITA. ENTONCES: ) lim 1) lim 1) lim 1nn nnnn nnnnni a L a es absolutamente convergenteii a L a es divergenteiii a el criterio no decide= < = > = C O P A D I 18 SERIES DE POTENCIAS UNA SERIE DE LA FORMA = + + + + + =022 1 0nnnnn x a x a x a a x a ES CONOCIDA COMO SERIE DE POTENCIAS EN x TEOREMA SI nn x a ES UNA SERIE DE POTENCIAS, ENTONCES UNA DE LAS SIGUIENTES AFIRMACIONES ES CIERTA: - LA SERIE CONVERGE SLO SI 0 = x . - LA SERIE ES ABSOLUTAMENTE CONVERGENTE PARA TODA 9 e x . - EXISTE UN NMERO POSITIVO r TAL QUE LA SERIE ES ABSOLUTAMENTE CONVERGENTE SI r x < Y DIVERGENTE SI r x > SI c ES UN NMERO REAL, UNA SERIE DE LA FORMA ( ) ( ) ( ) ( )= + + + + + = 022 1 0nnnnn c x a c x a c x a a c x a ES CONOCIDA COMO SERIE DE POTENCIAS EN c x TEOREMA SI ( ) nn c x a ES UNA SERIE DE POTENCIAS, ENTONCES UNA DE LAS SIGUIENTES AFIRMACIONES ES CIERTA: - LA SERIE CONVERGE SLO SI 0 = c x , ESTO ES, SI c x = . - LA SERIE ES ABSOLUTAMENTE CONVERGENTE PARA TODA 9 e x . - EXISTE UN NMERO POSITIVO r TAL QUE LA SERIE ES ABSOLUTAMENTE CONVERGENTE SI r c x < Y DIVERGENTE SI r c x > . TEOREMA SEA UNA SERIE DE POTENCIAS nn x a CON UN RADIO DE CONVERGENCIA NO NULO r Y CONSIDRESE LA FUNCIN f DEFINIDA POR: ( ) = + + + + + = =022 1 0nnnnn x a x a x a a x a x f PARA TODA x EN EL INTERVALO DE CONVERGENCIA. SI r x r < < , ENTONCES: ( ) ( ) ( ) ==+ + + + + = = =01 23 2 1113 2 ' 1nnnnnnnn x x a n x a x a a x a n x a D x f ( ) ( ) ( ) } } =+=++++ + + + =+= =0 01 3221 001011312112nxnnnn n nnxx anx a x a x a xnadt t a dt t f NOTA. ES POSIBLE PROBAR QUE ESTAS DOS SERIES DE POTENCIAS TIENEN EL MISMO RADIO DE CONVERGENCIA QUE LA SERIE ORIGINAL nn x a . 19 TEOREMA. SERIE DE TAYLOR SI f ES UNA FUNCIN TAL QUE ( ) ( )= =0 nnn c x a x f PARA TODA x EN UN INTERVALO ABIERTO QUE CONTIENE A c , ENTONCES ( ) ( ) ( )( ) ( )( ) ( )( )( ) + + + + + = nnc xnc fc xc fc x c f c f x f! ! 2' '' 2 SE CONOCE COMO SERIE DE TAYLOR PARA ( ) x f EN c TEOREMA. SERIE DE MACLAURIN SI 0 = c EN LA SERIE DE TAYLOR, SE CONSIDERA ENTONCES A LA FUNCIN f TAL QUE ( ) ==0 nnn x a x f PARA TODA x EN UN INTERVALO ABIERTO ( ) r r, , Y ENTONCES ( ) ( ) ( ) ( ) ( )( ) + + + + + = nnxnfxfx f f x f!0! 20 ' '0 ' 0 2 SE CONOCE COMO SERIE DE MACLAURIN PARA ( ) x f POR LA FRMULA DE TAYLOR, SE TIENE QUE SU POLINOMIO DE GRADO ENSIMO EQUIVALE A LA FUNCIN MENOS EL RESIDUO, ES DECIR, QUE ( ) ( ) ( ) x R x f x P n n = DONDE ( ) ( )( )( ) ( )111 !nnnf zR x x cn++= + PARA ALGN VALOR DE z ENTRE x y c . EN EL SIGUIENTE TEOREMA SE UTILIZA EL RESIDUO ( ) x Rn PARA ESPECIFICAR LAS CONDICIONES SUFICIENTES PARA LA EXISTENCIA DE UNA SERIE DE POTENCIAS REPRESENTATIVA DE LA FUNCIN ( ) x f . TEOREMA SEA UNA FUNCIN f CON DERIVADAS DE TODOS LOS RDENES A TRAVS DEL INTERVALO QUE CONTIENE A c . ENTONCES, SI ( ) 0 lim = x R nn PARA TODA x EN EL INTERVALO, ENTONCES LA FUNCIN ( ) x f ES REPRESENTADA POR LA SERIE DE TAYLOR PARA ( ) x f EN c . C O P A D I 20 ALGUNAS FUNCIONES REPRESENTADAS POR SERIES DE POTENCIAS ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) + + + + = n nx x x x xx 1 1 1 1 1 1 11 4 3 2 INTERVALO DE CONVERGENCIA: ( ) 2 , 0 + + + + + + + + = nx x x x x xx5 4 3 2111 INTERVALO DE CONVERGENCIA: ( ) 1 , 1 CONOCIDA POR ALGUNOS COMO SERIE GEOMTRICA ( ) + + + + + =+ n nx x x x x xx 1 111 5 4 3 2 INTERVALO DE CONVERGENCIA: ( ) 1 , 1 ( ) + + + + =+ n nx x x xx2 6 4 22 1 111 INTERVALO DE CONVERGENCIA: ( ) 1 , 1 ( ) ( )3 5 7 2 113! 5! 7! 2 1 !nn x x x xsenx xn+= + + + ++ INTERVALO DE CONVERGENCIA: ( ) , ( ) ( )2 4 6 2cos 1 12! 4! 6! 2 !nn x x x xxn= + + + + INTERVALO DE CONVERGENCIA: ( ) , ( ) ( )3 5 7 2 12 2 4 6 8 2 22 2 2 2 212! 4! 6! 8! 2 2 !nn nsen x x x x x xn++= + + + ++ INTERVALO DE CONVERGENCIA: ( ) , ( ) ( )3 5 2 12 2 4 6 22 2 2 2cos 1 12! 4! 6! 2 !nn nx x x x xn= + + + + INTERVALO DE CONVERGENCIA: ( ) , NOTA. EL TRMINO ENSIMO CONSIDERA A PARTIR DEL SEGUNDO TRMINO CON 1 = n ( ) ( )( )2 2 1 6 10 142 213! 5! 7! 2 1 !nn x x x xsen x xn+= + + + ++ INTERVALO DE CONVERGENCIA: ( ) , 21 ( ) ( )4 8 12 42cos 1 12! 4! 6! 2 !nn x x x xxn= + + + + INTERVALO DE CONVERGENCIA: ( ) , ( )3 5 7 2 13! 5! 7! 2 1 !nx x x xsenhx xn+= + + + + + ++ INTERVALO DE CONVERGENCIA: ( ) , ( )2 4 6 2cosh 12! 4! 6! 2 !nx x x xxn= + + + + + + INTERVALO DE CONVERGENCIA: ( ) , ( )( ) ( )2 1 3 5 722 ! 1 3 1 3 52 3 2 4 5 2 4 6 7 2 ! 2 1nnn x x x xangsenx xn n+ = + + + + + + + INTERVALO DE CONVERGENCIA: | | 1 , 1 ( ) ++ + + + = +1 217 5 3tan1 2 7 5 3nx x x xx x angnn INTERVALO DE CONVERGENCIA: | | 1 , 1 + + + + + + =! ! 3 ! 213 2nx x xx enx INTERVALO DE CONVERGENCIA: ( ) , + + + + + + + =! ! 4 ! 3 ! 212 8 6 422nx x x xx enx INTERVALO DE CONVERGENCIA: ( ) , ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) + + ++ = nx x x xx xn n1 14131211 ln1 4 3 2 INTERVALO DE CONVERGENCIA: | ( 2 , 0 ( ) ( ) ++ + + + = + +114 3 21 ln1 4 3 2nx x x xx xnn INTERVALO DE CONVERGENCIA: ( ) 1 , 1 ( ) ( ) ( )( ) ( )( )( ) + + ++ + = +! 43 2 1! 32 1! 211 14 3 2x k k k k x k k k x k kkx x k INTERVALO DE CONVERGENCIA: ( )*1 , 1 * LA CONVERGENCIA EN 1 = x DEPENDE DEL VALOR DE " " k C O P A D I 22 FUNCIONES HIPERBLICAS: IDENTIDADES, DERIVACIN E INTEGRACIN IDENTIDADES FUNDAMENTALES ( )( )( )( )x senh x xx senhx x senhx xx x senhx h xx h xx senh xsenhxsenhy y x y xsenhxsenhy y x y xxsenhy y senhx y x senhxsenhy y senhx y x senh2 22121 2212122 22 22 2cosh 2 coshcosh 2 22 cosh cosh2 cosh1 csc coth1 sec tanh1 coshcosh cosh coshcosh cosh coshcosh coshcosh cosh+ == + = + = = = + = = + = + = + = + DERIVADAS DE LAS FUNCIONES HIPERBLICAS ( )( )( )( )( )( )( )( )( )( ) 1 ;1'' ; coth1 ;1'' ; tanh1 ;1'' ; cosh1'' ;' coth csc ' ; csc' tanh sec ' ; sec' csc ' ; coth' sec ' ; tanh' ' ; cosh' cosh ' ;2121212122>= = == = = += = = = = = = = = = = = = = = = = = = = =uuuy x f u u yuuuy x f u u yuuuy x f u u yuuy x f u u senh yu u hu y x f u hu yu u hu y x f u hu yu u h y x f u u yu u h y x f u u yu senhu y x f u u yu u y x f u senhu y 23 ( )( ) 0 ;1'' ; csc1 0 ;1'' ; sec2121=+= = =< a > 0 12 211 1tanh ln ;21 1coth ln ;2u a uC C u aa a a a u dua u u u aC C u aa a a u a+ + = + < = + + = + > } sta en forma compacta es: a u Cu au aa u adu= ++=} ; ln212 2 a u CuaaCauhau a uduu CuasenhaCauhau a udu< < + = + == + = + =+ }}0 ; cosh1sec10 ;1csc11 12 21 12 2 C O P A D I 24 MXIMOS Y MNIMOS. UNA O MS VARIABLES FUNCIONES ESCALARES DE VARIABLE ESCALAR ( ) x f y = PUNTOS CRTICOS SON AQUELLOS PUNTOS DONDE f ES CONTINUA Y LA DERIVADA DE LA FUNCIN ES NULA O NO EXISTE, ES DECIR, DONDE ( ) ' 0dy dyf x o no existedx dx= = CRITERIO DE LA PRIMERA DERIVADA PARA CADA PUNTO CRTICO ( ) ( ) < > 0 ' 0 ' x f a x f MXIMO RELATIVO ( ) ( ) < > 0 ' 0 ' x f a x f MNIMO RELATIVO SI NO HAY CAMBIO DE SIGNO NO HAY EXTREMO RELATIVO CRITERIO DE LA SEGUNDA DERIVADA PARA CADA PUNTO CRTICO ( ) > 0 ' ' x f MNIMO RELATIVO ( ) < 0 ' ' x f MXIMO RELATIVO SI ( ) 0 ' ' = x f NO SE PUEDE APLICAR ESTE CRITERIO PUNTOS DE INFLEXIN Y CONCAVIDAD SON AQUELLOS PUNTOS DONDE f ES CONTINUA Y LA SEGUNDA DERIVADA ES NULA O NO EXISTE Y DONDE LA CONCAVIDAD DE UNA CURVA CAMBIA UNA CURVA ES CNCAVA HACIA ARRIBA CUANDO SUS TANGENTES ESTN POR DEBAJO DE ELLA Y CNCAVA HACIA ABAJO CUANDO SUS TANGENTES ESTN POR ENCIMA DE ELLA ( ) ( ) < > 0 ' ' 0 ' ' x f a x f PUNTO DE INFLEXIN ( ) ( ) > < 0 ' ' 0 ' ' x f a x f PUNTO DE INFLEXIN FUNCIONES ESCALARES DE VARIABLE VECTORIAL ( ) y x f z , = PUNTOS CRTICOS O ESTACIONARIOS SON AQUELLOS EN LOS CUALES z ES CONTINUA Y LAS PRIMERAS DERIVADAS PARCIALES yzyxzcccc SE ANULAN O NO EXISTEN 25 CRITERIO DE LA SEGUNDA DERIVADA HESSIANO ( ) 222222,||.|

\|c cccccc=x yzyzxzy x g ( ) ( ) ( ) ( ) < < > 0 , 0 , 0 , 0 0 0 0 0 0 y x f o y x f y y x g yy xxMXIMO RELATIVO ( ) ( ) ( ) ( ) > > > 0 , 0 , 0 , 0 0 0 0 0 0 y x f o y x f y y x g yy xxMNIMO RELATIVO ( ) < 0 , 0 0 y x g PUNTO SILLA ( ) = 0 , 0 0 y x g EL CRITERIO NO DECIDE CRITERIO DE LA SEGUNDA DERIVADA (FORMA MATRICIAL) PARA CADA PUNTO CRTICO SE CALCULA LA MATRIZ HESSIANA ((

=yy yxxy xxf ff fH SE CALCULA E IGUALA A CERO EL DETERMINANTE ( ) 0 det = I H LOS SIGNOS DE LOS VALORES CARACTERSTICOS 2 1 y DETERMINAN LA NATURALEZA DEL PUNTO CRTICO: > > 0 0 2 1 y MNIMO RELATIVO < < 0 0 2 1 y MXIMO RELATIVO > s> s > so x x x go x x x go x x x gn mnn n m < Y SEA EL PROBLEMA: OPTIMIZAR LA FUNCIN OBJETIVO: ( ) r f z = SUJETA A LAS RESTRICCIONES: ( ) ( ) n m i o r gi < = > s ,..., 2 , 1 ; 0 0 SI EXISTE UN EXTREMO RELATIVO DE f EN 0 r , ENTONCES 0 = VL , ES DECIR, n ixLi, , 2 , 1 0 = =cc Y ADEMS ( ) n m k r gk < = = , , 2 , 1 0 ESTAS DOS EXPRESIONES FORMAN UN SISTEMA DE n m+ ECUACIONES, 001 11 11 1 1= + + += + + +n n n x m m x xx m m x xg g fg g f ( )( ) 0 , , ,0 , , ,2 12 1 1==m mnx x x gx x x g DONDE m , , , 2 1 SE CONOCEN COMO MULTIPLICADORES DE LAGRANGE A PARTIR DE ESTE SISTEMA PUEDEN SER DETERMINADAS LAS INCGNITAS m nx x x , , , , , , , 2 1 2 1 . AQU, LOS VALORES DE nx x x , , , 2 1 SON LAS COORDENADAS DEL PUNTO EN EL QUE PUEDE HABER UN EXTREMO CONDICIONADO. PARA EL CASO DE UNA FUNCIN ( ) y x f z , = Y UNA RESTRICCIN ( ) 0 , , = z y x g , EL SISTEMA A RESOLVER SERA EL SIGUIENTE: ( ) 0 , , ; 0 ; 0 ; 0 = = + = + = + z y x g g f g f g f z z y y x x Y PARA EL CASO DE LA MISMA FUNCIN ( ) y x f z , = PERO CON DOS RESTRICCIONES, EL SISTEMA SERA: ( ) ( ) 0 , , ; 0 , , ; ; ; 2 1 2 2 1 1 2 2 1 1 2 2 1 1 = = + = + = + = z y x g z y x g g g f g g f g g f z z z y y y x x x C O P A D I 27 GEOMETRA DIFERENCIAL. FRMULAS DE FRENET-SERRET CINEMTICA DE UNA PARTCULA ( ) = t r ECUACIN VECTORIAL DE UNA CURVA EN 39 = s PARMETRO LONGITUD DE ARCO VECTOR TANGENTE UNITARIO: dsr ddtr ddtr dT = = YA QUE dtr ddtds= VECTOR NORMAL UNITARIO: dsT ddsT dN = ; CURVATURA: dsT dk = ; RADIO DE CURVATURA: k1= VECTOR BINORMAL UNITARIO: N T B = N y T FORMAN EL PLANO OSCULADOR B y T FORMAN EL PLANO RECTIFICADOR B y N FORMAN EL PLANO NORMAL TORSIN = ;dsB d= t t RADIO DE TORSIN: to 1= FRMULAS DE FRENET-SERRET =+ ==NdsB dB T kdsN dN kdsT dtt ( ) = t r ECUACIN VECTORIAL DE UNA CURVA EN 39 = t PARMETRO CUALQUIERA VECTOR TANGENTE UNITARIO : ''rrT = 28 VECTOR NORMAL UNITARIO: ( )( ) ' ' ' '' ' ' 'r r rr r rN = VECTOR BINORMAL UNITARIO: ' ' '' ' 'r rr rB= CURVATURA: 3'' ' 'rr rk = ; RADIO DE CURVATURA: k1= TORSIN : 2' ' '' ' ' ' ' 'r rr r r = t ; RADIO DE TORSIN: to 1= CINEMTICA DE UNA PARTCULA SEA ( ) ( ) ( ) ( ) . . .+ + = k t z j t y i t x t r EL VECTOR DE POSICIN DE UNA PARTCULA EN MOVIMIENTO CON RESPECTO A UN SISTEMA DE REFERENCIA Y SEA " " t UN PARMETRO. VELOCIDAD: dtr dv = ; RAPIDEZ: v v = ; ACELERACIN: 22dtr ddtv da = = EL VECTOR VELOCIDAD DE LA PARTCULA SIEMPRE ES TANGENTE A LA CURVA Y TIENE LA DIRECCIN DEL MOVIMIENTO. COMPONENTES DE LA ACELERACIN 2 2va ydtdva NvTdtdva N T = = + = Ta (ACELERACIN TANGENCIAL) Y Na (ACELERACIN NORMAL) LA ACELERACIN DE LA PARTCULA ES UN VECTOR SITUADO EN EL PLANO DE LA TANGENTE Y LA NORMAL A LA CURVA (PLANO OSCULADOR) CON COMPONENTES TANGENCIAL Y NORMAL DADAS POR dtdv Y 2v RESPECTIVAMENTE. LA ACELERACIN ES NICAMENTE TANGENCIAL CUANDO EL MOVIMIENTO ES RECTILNEO ( ) Y ES NICAMENTE NORMAL CUANDO LA RAPIDEZ ES CONSTANTE ( 0 =dtdv). COPADI 29 LONGITUDES, REAS Y VOLMENES: LONGITUD DE ARCO, REA BAJO LA CURVA, REA ENTRE DOS CURVAS, REAS DE SUPERFICIES,VOLMENES LONGITUD DE UN ARCO DE CURVA SEA f UNA FUNCIN CUYA GRFICA ES UNA CURVA SUAVE C , CONTINUA EN EL INTERVALO | | b a, . LA LONGITUD DE ARCO DE LA GRFICA DE f , DEL PUNTO ( ) ( ) a f a A , AL PUNTO ( ) ( ) b f b B , EST DADA POR: ( ) | |} + = badx x f L 21 NOTA. TAMBIN SE PUDE REALIZAR EL CLCULO EN TRMINOS DE LA VARIABLE " " y . LONGITUD DE UN ARCO DE CURVA EXPRESADA EN FORMA PARAMTRICA SEA UNA FUNCIN CUYA GRFICA ES UNA CURVA SUAVE (CONTINUA) C DADA PARAMTRICAMENTE POR LAS ECUACIONES ( ) ( ) b t a t g y y t f x s s = = ; ; SI C NO SE CORTA A S MISMA, EXCEPTO POSIBLEMENTE EN b t y a t = = , ENTONCES LA LONGITUD L DE LA CURVA C EST DADA POR: ( ) | | ( ) | |} } |.|

\|+ |.|

\|= + = babadtdtdydtdxdt t g t f L2 22 2 LONGITUD DE ARCO DE UNA CURVA EN COORDENADAS POLARES SI UNA CURVA SUAVE C ES LA GRFICA DE UNA FUNCIN CUYA ECUACIN POLAR ES ( ) u f r = DE o u = A | u = ES POSIBLE CALCULAR SU LONGITUD L MEDIANTE LA EXPRESIN: } == |.|

\|+ = | uo u uu dddrr L22 REA BAJO LA CURVA SI f ES UNA FUNCIN INTEGRABLE Y ( ) 0 > x f PARA TODA | | b a x , e , ENTONCES EL REA DE LA REGIN LIMITADA POR LA GRFICA DE f , EL EJE DE LAS ABSCISAS Y LAS RECTAS b x y a x = = , SE OBTIENE A TRAVS DE: ( )}= badx x f A NOTA. TAMBIN SE PUDE REALIZAR EL CLCULO EN TRMINOS DE LA VARIABLE " " y . REA ENTRE DOS CURVAS SI f Y g SON DOS FUNCIONES CONTINUAS Y ( ) ( ) x g x f > PARA TODA | | b a x , e , ENTONCES EL REA DE LA REGIN LIMITADA POR LAS GRFICAS DE f Y g Y LAS RECTAS b x y a x = = , EST DADA POR: ( ) ( ) | |} = badx x g x f A 30 REA DE UNA REGIN EN COORDENADAS POLARES SI LA FUNCIN f (EN COORDENADAS POLARES) ES CONTINUA Y ( ) 0 > u f EN EL INTERVALO | | | o, , DONDE t | o 2 0 s < s , ENTONCES EL REA DE LA REGIN LIMITADA POR LAS GRFICAS DE ( ) , , r f y u u o u | = = = SE CALCULA POR MEDIO DE LA EXPRESIN. ( ) | | } } = = |o|o u u u d r d f A 2 221 REA DE UNA SUPERFICIE DE REVOLUCIN SI f ES UNA CURVA SUAVE Y ( ) 0 > x f EN EL INTERVALO | | b a, , ENTONCES EL REA DE LA SUPERFICIE GENERADA AL GIRAR LA GRFICA DE f ALREDEDOR DEL EJE DE LAS ABSCISAS, SE DETERMINA CON: ( ) ( ) | |} + = badx x f x f S 2' 1 2t NOTA. SI LA FUNCIN ES NEGATIVA EN PARTE DEL INTERVALO, ENTONCES SE PODRA UTILIZAR LA MISMA EXPRESIN CON EL VALOR ABSOLUTO DE ( ) x f . NOTA. TAMBIN SE PUDE REALIZAR EL CLCULO EN TRMINOS DE LA VARIABLE " " y . REA DE UNA SUPERFICIE SEA UNA FUNCIN ESCALAR DE VARIABLE VECTORIAL ( ) 0 , > y x f DEFINIDA EN UNA REGIN R EN EL PLANO y x DONDE f TIENE PRIMERAS DERIVADAS PARCIALES EN LA REGIN. ENTONCES EL REA DE LA SUPERFICIE (GRFICA DE f ) SE CALCULA MEDIANTE: ( ) ( )}} ((

cc+((

cc+ =RdAyy x fxy x fA22, ,1 NOTA. ESTA FRMULA TAMBIN PUEDE UTILIZARSE CUANDO LA FUNCIN ES NEGATIVA. VOLUMEN DE UN SLIDO DE REVOLUCIN SEA UNA FUNCIN f (EN EL PLANO y x ) CONTINUA EN EL INTERVALO | | b a, , Y SEA R LA REGIN LIMITADA POR LA GRFICA DE f , EL EJE DE LAS ABSCISAS Y LAS RECTAS b x y a x = = . EL VOLUMEN DEL SLIDO DE GENERACIN GENERADO AL GIRAR LA REGIN R ALREDEDOR DEL EJE x ES. ( ) | | dx x f V ba}= 2t NOTA. TAMBIN SE PUEDE REALIZAR EL CLCULO EN TRMINOS DE LA VARIABLE " " y . VOLUMEN DE UN SLIDO MEDIANTE UNA INTEGRAL DOBLE SEA UNA FUNCIN ESCALAR DE VARIABLE VECTORIAL EN 39 TAL QUE ( ) 0 , > y x f PARA TODO ( ) y x, EN UNA REGIN R DEL PLANO y x . EL VOLUMEN DEL SLIDO BAJO LA GRFICA DE ( ) y x f z , = Y SOBRE LA REGIN R ES: ( ) dA y x f VR}}= , VOLUMEN DE UN SLIDO MEDIANTE UNA INTEGRAL TRIPLE SEA UNA FUNCIN ESCALAR DE VARIABLE VECTORIAL f EN 49 TAL QUE ( ) 1 , , = z y x f A TRAVS DE UNA REGIN VOLUMTRICA Q . ENTONCES, EL VOLUMEN DE ESTA REGIN Q EST DADO POR LA INTEGRAL TRIPLE: }}}=QdV V C O P A D I 31 MASA, MOMENTOS, CENTRO DE MASA Y CENTROIDE MOMENTO DE UN SISTEMA EN 1 EL MOMENTO CON RESPECTO AL ORIGEN DE UN SISTEMA DE MASAS nm m m ,..., , 2 1 , LOCALIZADAS EN LOS PUNTOS nx x x ,..., , 2 1 DEL EJE DE LAS ABSCISAS, EST DADO POR n nx m x m x m M ...2 2 1 1 0 SI LA MASA TOTAL DEL SISTEMA ES nm m m m ...2 1 , SU CENTRO DE MASA EST DADO POR mMx 0 MOMENTOS Y CENTRO DE MASA DE UN SISTEMA EN 2 SI SE TIENE UN SISTEMA DE MASAS PUNTUALES nm m m ,..., , 2 1 LOCALIZADAS EN LOS PUNTOS n n y x y x y x , , , , , , 2 2 1 1 EN UN PLANO COORDENADO Y SEA nkkm m1 LA MASA TOTAL DEL SISTEMA, ENTONCES: A) EL MOMENTO DEL SISTEMA CON RESPECTO AL EJE x EST DADO POR: nkk k x y m M1 B) EL MOMENTO DEL SISTEMA CON RESPECTO AL EJE y EST DADO POR: nkk k y x m M1 C) LAS COORDENADAS DEL CENTRO DE MASA DEL SISTEMA SON: mMy ymMx xy MOMENTOS, CENTRO DE MASA Y CENTROIDE DE UNA LMINA CONSIDRESE UNA LMINA, UNA PLACA PLANA O BIEN, UNA DISTRIBUCIN PLANA DE MASA QUE TIENE LA FORMA DETERMINADA POR UNA CIERTA REGIN R EN EL PLANO xy . SI ESTA PLACA PLANA TIENE UNA DENSIDAD SUPERFICIAL DE MASA DADA POR y x, , FUNCIN CONTINUA EN R , Y SU MASA EST DADA POR RdA y x m , , ENTONCES: A) SU PRIMER MOMENTO O MOMENTO ESTTICO CON RESPECTO AL EJE x ES: Rx dA y x y M , B) SU PRIMER MOMENTO O MOMENTO ESTTICO CON RESPECTO AL EJE y ES: Ry dA y x x M , C) LAS COORDENADAS DE SU CENTRO DE MASA SON: RR xRRydA y xdA y x ymMy ydA y xdA y x xmMx,,,, 32 D) SI LA DENSIDAD DE LA PLACA ES CONSTANTE SE DICE QUE STA ES HOMOGNEA Y LAS COORDENADAS DE SU CENTRO DE MASA, QUE SE CONOCE COMO CENTROIDE, ESTN DADAS POR LAS EXPRESIONES SIGUIENTES: RR xRRydAdA ymMy ydAdA xmMx DE LAS CUALES SE OBTIENE QUE: R A y dA y y R A x dA xR R DONDE RdA R A ES EL REA DE LA REGIN, ES DECIR, DE LA PLACA. E) SUS SEGUNDOS MOMENTOS O MOMENTOS DE INERCIA, CON RESPECTO A LOS EJES y y x , AS COMO CON RESPECTO AL ORIGEN, CONOCIDO STE LTIMO COMO MOMENTO POLAR DE INERCIA, ESTN DADOS, RESPECTIVAMENTE POR: y x ORyRx I I dA y x I dA y x x I dA y x y I 2 2 2 2; , ; , MOMENTOS, CENTRO DE MASA Y CENTROIDE DE UN CUERPO SI UN SLIDO TIENE LA FORMA DE UNA REGIN Q TRIDIMENSIONAL, ES DECIR, VOLUMTRICA, Y SU DENSIDAD ES z y x , , , FUNCIN CONTINUA EN Q , ENTONCES: A) SU MASA EST DADA POR: QdV z y x M , , B) SUS MOMENTOS CON RESPECTO A LOS PLANOS COORDENADOS yz y xz xy , SON: Q QyzQxz xy dV z y x x M dV z y x y M dV z y x z M , , ; , , ; , , C) LAS COORDENADAS DE SU CENTRO DE MASA SON: mMzmMymMx xyxzyz ; ; D) SI Q ES HOMOGNEA, ENTONCES LA DENSIDAD ES CONSTANTE Y LAS COORDENADAS DE SU CENTRO DE MASA O CENTROIDE SON: QQQQQQdVdV zzdVdV yydVdV xx ; ; DE DONDE: Q QQ V z dV z Q V y dV y Q V x dV x ; ; DONDE QdV Q V ES EL VOLUMEN DE LA REGIN, ES DECIR, DEL SLIDO. E) SUS SEGUNDOS MOMENTOS O MOMENTOS DE INERCIA, CON RESPECTO A LOS EJES z y y x , , AS COMO CON RESPECTO AL ORIGEN, CONOCIDO STE LTIMO COMO MOMENTO POLAR DE INERCIA, ESTN DADOS, RESPECTIVAMENTE POR: QzQ Qy x dV z y x y x I dV z y x z x I dV z y x z y I , , ; , , ; , , 2 2 2 2 2 2 QO dV z y x I 2 2 2 C O P A D I 33 ALGUNOS CASOS DE DERIVACIN EXPLCITA EN FUNCIONES ESCALARES DE VARIABLE VECTORIAL SEA y x f z , ; ENTONCES SUS DERIVADAS PARCIALES SON: yzyxz Y LA DIFERENCIAL TOTAL EST DADA POR: dyyzdxxzdz SEA u y x f z , , ; ENTONCES SUS DERIVADAS PARCIALES SON: uzyyzxz , Y SU DIFERENCIAL TOTAL EST DADA POR: duuzdyyzdxxzdz SEA y x f z , DONDE t g y t f x ; SUS DERIVADAS PARCIALES SON: xzyxz SU DERIVADA TOTAL EST DADA POR: dtdyyzdtdxxzdtdz Y LA DIFERENCIAL TOTAL ES: dyyzdxxzdz DONDE dt t g dy y dt t f dx ' ' SEA u y x f z , , DONDE t k u t h y t g x ; ; SUS DERIVADAS PARCIALES SON: uzyyzxz , SU DERIVADA TOTAL EST DADA POR: dtduuzdtdyyzdtdxxzdtdz Y SU DIFERENCIAL TOTAL ES: duuzdyyzdxxzdz DONDE dt t k du y dt t h dy dt t g dx ' ' ; ' 34 SEA t s g x y x f z , ENTONCES SUS DERIVADAS PARCIALES CON RESPECTO A t y s SON: txdxdztzysxdxdzsz Y SU DIFERENCIAL EST DADA POR: dx x f dz ' DONDE dttxdssxdx SEA y x f z , DONDE v u h y y v u g x , , ENTONCES SUS DERIVADAS PARCIALES CON RESPECTO A v u y x , , , SON: yzxz ; vyyzvxxzvzuyyzuxxzuz ; Y SU DIFERENCIAL TOTAL EST DADA POR: dyyzdxxzdz DONDE dvvyduuydy y dvvxduuxdx SEA u y x f z , , DONDE s r k u s r h y s r g x , ; , ; , ENTONCES SUS DERIVADAS PARCIALES CON RESPECTO A s r u y x , , , , SON: uzyzxz ; ; suuzsyyzsxxzszruuzryyzrxxzrz ; Y SU DIFERENCIAL TOTAL EST DADA POR: duuzdyyzdxxzdz DONDE dssudrrudu y dssydrrydy dssxdrrxdx ; C O P A D I 35 ALGUNOS CASOS DE DERIVACIN IMPLCITA EN FUNCIONES ESCALARES DE UNA VARIABLE Y DE VARIABLE VECTORIAL UNA ECUACIN CON DOS VARIABLES ( ) 0 , = y x F xyyxFFdydxFFdxdy = = ; UNA ECUACIN CON TRES VARIABLES ( ) 0 , , = z y x F ( )zyzxFFyzyFFxzy x f z =cc =cc = , ( )xzxyFFzxyFFyxz y f x =cc =cc = , ( )yzyxFFzyyFFxyz x f y =cc =cc = , DOS ECUACIONES CON TRES VARIABLES ( ) ( ) 0 , , ; 0 , , = = z y x G z y x F ||.|

\| ||.|

\| = =||.|

\||.|

\| =z yG FJx yG FJdxdzyG GF FG GF Fz yG FJz xG FJdxdyz yz yz xz x,,,,,,,, ||.|

\||.|

\| =||.|

\| ||.|

\| =y xG FJz xG FJdzdyyy xG FJy zG FJdzdx,,,,,,,, |.|

\| ||.|

\| =|.|

\| ||.|

\| =z xG FJy xG FJdydzyz xG FJz yG FJdydx,,,,,,,, NOTA. COMO SE OBSERVA, SE UTILIZAN DETERMINANTES JACOBIANOS, FORMADOS POR LAS DERIVADAS PARCIALES DE FUNCIONES, CON RESPECTO A LAS VARIABLES DE LAS CUALES DEPENDEN. 36 DOS ECUACIONES CON CUATRO VARIABLES ( ) ( ) 0 , , , ; 0 , , , = = v u y x G v u y x F ( )( )||.|

\||.|

\| =cc||.|

\||.|

\| =cc||.|

\| ||.|

\| =cc||.|

\| ||.|

\| =cc==y xG FJv xG FJvyyy xG FJu xG FJuyy xG FJy vG FJvxyy xG FJy uG FJuxv u g yv u f x,,,,,,,,,,,,,,,,,, ( )( )|.|

\| ||.|

\| =cc|.|

\||.|

\| =cc|.|

\| ||.|

\| =cc|.|

\||.|

\| =cc==v uG FJy uG FJyvyv uG FJx uG FJxvv uG FJv yG FJyuyv uG FJv xG FJxuy x g vy x f u,,,,,,,,,,,,,,,,,, NOTA. SE PROCEDERA DE MANERA SEMEJANTE CON TODAS LAS COMBINACIONES POSIBLES DE DOS VARIABLES DEPENDIENTES Y DOS INDEPENDIENTES. TRES ECUACIONES CON CINCO VARIABLES ( ) ( ) ( ) 0 , , , , ; 0 , , , , ; 0 , , , , = = = v u z y x H v u z y x G v u z y x F ( )( )( )||.|

\| ||.|

\| =cc||.|

\| ||.|

\| =cc||.|

\||.|

\| =cc||.|

\||.|

\| =cc||.|

\| ||.|

\| =cc||.|

\| ||.|

\| =cc===z y xH G FJv y xH G FJvzyz y xH G FJu y xH G FJuzz y xH G FJz v xH G FJvyyz y xH G FJz u xH G FJuyz y xH G FJz y vH G FJvxyz y xH G FJz y uH G FJuxv u h zv u g yv u f x, ,, ,, ,, ,, ,, ,, ,, ,, ,, ,, ,, ,, ,, ,, ,, ,, ,, ,, ,, ,, ,, ,, ,, ,,,, NOTA. SE PROCEDERA DE MANERA SEMEJANTE CON TODAS LAS COMBINACIONES POSIBLES DE TRES VARIABLES DEPENDIENTES Y DOS INDEPENDIENTES. C O P A D I 37 COORDENADAS POLARES, CILNDRICAS Y ESFRICAS COORDENADAS POLARES ECUACIONES DE TRANSFORMACIN LAS COORDENADAS CARTESIANAS ( ) y x, Y LAS COORDENADAS POLARES ( ) u , r SE RELACIONAN A TRAVS DE LAS SIGUIENTES EXPRESIONES: u u sen r y r x = = ; cos 2 2 2; tan y x rxyang + = = u ECUACIN DE LA RECTA EN COORDENADAS POLARES ( ) p r = e u cos DONDE r ES LA DISTANCIA DEL POLO A UN PUNTO ( ) u , r P DE LA RECTA Y p ES LA DISTANCIA DEL POLO AL PUNTO ( ) e , p N DE LA RECTA, MEDIDA SOBRE LA PERPENDICULAR A ELLA. ECUACIN DE LA CIRCUNFERENCIA EN COORDENADAS POLARES ( ) 2 2 2cos 2 a c r c r = + o u DONDE r ES LA DISTANCIA DEL POLO AL PUNTO ( ) u , r P DE LA CIRCUNFERENCIA, c ES LA DISTANCIA DEL POLO A SU CENTRO EN EL PUNTO ( ) o , c C Y a ES SU RADIO. ECUACIONES POLARES DE LAS CNICAS 1 cos 1e d e dr o re e sen u u= = DONDE e ES LA EXCENTRICIDAD DE LA CNICA Y d ES LA DISTANCIA DEL POLO A LA RECTA DIRECTRIZ. REPRESENTA A UNA CNICA, LA CUAL SER PARBOLA SI 1 = e , ELIPSE SI 1 0 < < e E HIPRBOLA SI 1 > e PENDIENTE DE LA RECTA TANGENTE LA PENDIENTE m DE LA RECTA TANGENTE A LA CURVA DE ECUACIN ( ) u f r = EN EL PUNTO ( ) u , r P EST DADA POR u uuu uusen coscos senrddrrddrm+= 38 COORDENADAS CILNDRICAS ECUACIONES DE TRANSFORMACIN LAS COORDENADAS CARTESIANAS ( ) z y x , , Y LAS COORDENADAS CILNDRICAS ( ) z , ,u SE RELACIONAN A TRAVS DE LAS SIGUIENTES EXPRESIONES: z zxyangtan y xz z y x= = + == = =; ;; sen ; cos2 2 2u u u DONDE = CONSTANTE REPRESENTA UNA FAMILIA DE CILINDROS CUYO EJE DE SIMETRA ES EL EJE z , = u CONSTANTE REPRESENTA UNA FAMILIA DE SEMIPLANOS VERTICALES QUE CONTIENEN AL EJE z Y = z CONSTANTE REPRESENTA UNA FAMILIA DE PLANOS HORIZONTALES PARALELOS AL PLANO xy . NOTA. SE TRATA DE UN SISTEMA COORDENADO CURVILNEO ORTOGONAL. DIFERENCIAL DE LONGITUD DE ARCO ( ) ( ) ( ) ( )2 2 2 2 2dz d d ds + + = u NOTA. SI 0 = z , SE TIENE EL SISTEMA ORTOGONAL PLANO DENOMINADO SISTEMA COORDENADO POLAR. DIFERENCIAL DE REA u d d dA = (SISTEMA COORDENADO POLAR) DIFERENCIAL DE VOLUMEN dz d d dV u = GRADIENTE z eze ecc+cc+cc= V |u| || u 1 DIVERGENCIA ( ) ( ) ( )((

cc+cc+cc= V 3 2 11fzf f F u ROTACIONAL 3 2 11f f fze e eFz u u cccccc= V 39 LAPLACIANO ((

|.|

\|cccc+||.|

\|cccc+||.|

\|cccc= Vz z|u| u | | 1 12 NOTA. ( ) z e f e f e f F y z 3 2 1, , + + = = u u | | INTEGRAL TRIPLE EN COORDENADAS CILNDRICAS ( ) ( )( )( )( )( )}}} } } }=Qzzzzzzdz d d z f dV z f 212121,,, , , , uuu u u u u DONDE ES EL FACTOR DE ESCALA O JACOBIANO DE LA TRANSFORMACIN DE COORDENADAS. COORDENADAS ESFRICAS ECUACIONES DE TRANSFORMACIN LAS COORDENADAS CARTESIANAS ( ) z y x , , Y LAS COORDENADAS ESFRICAS ( ) u , , r SE RELACIONAN A TRAVS DE LAS SIGUIENTES EXPRESIONES: |.|

\|=+ += + + == = =xyangz y xzang z y x rr z sen rsen y sen r xtan ; cos ;cos ; ; cos2 2 22 2 2 2u u u DONDE = r CONSTANTE, REPRESENTA UNA FAMILIA DE ESFERAS CON CENTRO EN EL ORIGEN, = CONSTANTE REPRESENTA UNA FAMILIA DE SEMICONOS CON EL EJE z COMO EJE DE SIMETRA Y = u CONSTANTE, REPRESENTA UNA FAMILIA DE SEMIPLANOS VERTICALES QUE CONTIENEN AL EJE z . DIFERENCIAL DE LONGITUD DE ARCO ( ) ( ) ( ) ( )2 2 2 2 2 2 2u d sen r d r dr ds + + = DIFERENCIAL DE VOLUMEN u d d dr sen r dV 2= GRADIENTE u u| | || ersenerer rcc+cc+cc= V 1 1 40 DIVERGENCIA ( ) ( ) ( )((

cc+cc+cc= V 3 2 1221rf sen rf sen f rr sen rFu ROTACIONAL u u sen rsen rf rf fre rsen e r eFr23 2 11cccccc= V LAPLACIANO ((

||.|

\|cccc+||.|

\|cccc+ |.|

\|cccc= Vu| u |||sensenrsen rr sen r1 1 222 NOTA. ( ) u u | | e f e f e f F y r r3 2 1, , + + = = INTEGRAL TRIPLE EN COORDENADAS ESFRICAS ( ) ( )( )( )( )( )} } } }}} = 212121,,2, , , , uuu u u u u u u rrQd d dr sen r r f dV r f DONDE sen2r ES EL FACTOR DE ESCALA O JACOBIANO DE LA TRANSFORMACIN DE COORDENADAS. C O P A D I 41 OPERADORES VECTORIALES, GRADIENTE, DIVERGENCIA, ROTACIONAL Y LAPLACIANO, EN COORDENADAS CURVILNEAS ORTOGONALES TEOREMA. GRADIENTE EN COORDENADAS CURVILNEAS SEAN ( ) w v u , , | | = UNA FUNCIN ESCALAR DIFERENCIABLE Y ( ) ( ) ( ) w v u z z w v u y y w v u x x , , , , . , , , = = = LAS ECUACIONES DE TRANSFORMACIN DE UN SISTEMA COORDENADO CURVILNEO ORTOGONAL. ENTONCES EL GRADIENTE DE | EN ESTE SISTEMA EST DADO POR: wwvvuuew hev heu h cc+cc+cc= V | | || 1 1 1 TEOREMA. DIVERGENCIA EN COORDENADAS CURVILNEAS SEA ( ) ( ) ( ) w v u e w v u e w v u e w v u , , , , , , 3 2 1 | | | | + + = UNA FUNCIN VECTORIAL DIFERENCIABLE EN EL SISTEMA CURVILNEO ORTOGONAL DE VECTORES BASE w v u e y e e , . ENTONCES LA DIVERGENCIA DE ESTE SISTEMA ES: ( ) ( ) ( )((

cc+cc+cc= V 3 2 11| | | | v u w u w vw v uh hwh hvh hu h h h TEOREMA. ROTACIONAL EN COORDENADAS CURVILNEAS SEA ( ) ( ) ( ) w v u e w v u e w v u e w v u , , , , , , 3 2 1 | | | | + + = UNA FUNCIN VECTORIAL DIFERENCIABLE EN EL SISTEMA CURVILNEO ORTOGONAL DE VECTORES BASE w v u e y e e , . ENTONCES EL ROTACIONAL EN ESTE SISTEMA ES: ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) wu vv uvw uw uuv ww ve hvhu h he huhw h he hwhv h h ((

cccc+((

cccc+((

cccc= V 1 2 3 1 2 31 1 1| | | | | | | TEOREMA. LAPLACIANO EN COORDENADAS CURVILNEAS SEA ( ) w v u , , | | = UNA FUNCIN ESCALAR DIFERENCIABLE DOS VECES Y ( ) ( ) ( ) w v u z z w v u y y w v u x x , , , , , , , , = = = LAS ECUACIONES DE TRANSFORMACIN DE UN SISTEMA COORDENADO CURVILNEO ORTOGONAL. ENTONCES, EL LAPLACIANO DE | EN ESTE SISTEMA EST DADO POR: (((

||.|

\|cccc+||.|

\|cccc+||.|

\|cccc= Vw hh hw v hh hv u hh hu h h h wv uvw uuw vw v u| | || 12 NOTA. EN ESTAS EXPRESIONES, wrhvrhurh w v ucc=cc=cc= ; ; SON LOS FACTORES DE ESCALA. C O P A D I 42 TEOREMAS DE GREEN, STOKES Y GAUSS TEOREMA DE GREEN SEA R UNA REGIN LIMITADA POR UNA CURVA SIMPLE CERRADA C. SI ( ) ( ) xNyMy x N y x Mcccc , , , , , SON FUNCIONES CONTINUAS SOBRE R, ENTONCES SE CUMPLE QUE: } }} ||.|

\|cccc= +C RdAyMxNdy N dx M FORMAS ALTERNATIVAS DEL TEOREMA DE GREEN ( )} }}} }}= = .CRCRdA F div N FdA k F rot r d F INTEGRAL DE LNEA PARA EL REA DE UNA REGIN SI R ES UNA REGIN LIMITADA POR UNA CURVA SIMPLE CERRADA C, ENTONCES EL REA DE R EST DADA POR: } + =Cdy x dx y A21 TEOREMA DE STOKES SEA S UNA SUPERFICIE TAL QUE SU PROYECCIN SOBRE LOS PLANOS , , XY XZ YZ SON REGIONES LIMITADAS POR CURVAS SIMPLES CERRADAS. SEA TAMBIN ( ) z y x F F , , = UN CAMPO VECTORIAL CONTINUO Y DIFERENCIABLE DOS VECES. Y SUPNGASE QUE C ES UNA CURVA SIMPLE CERRADA QUE LIMITA A LA SUPERFICIE S. ENTONCES SE CUMPLE QUE. ( ) ( ) } }} }} = V = CS Sr d F dS N F dS N F rot DONDE N ES UN VECTOR UNITARIO NORMAL A LA SUPERFICIE S Y dS ES EL DIFERENCIAL DE REA DE S. 43 Y, SI ( ) ( ) ( ) . . . . . .+ + = + + = k j i n y k z y x O j z y x N i z y x M F | o cos cos cos , , , , , , ENTONCES ESTE TEOREMA TAMBIN SE PUEDE EXPRESAR COMO: | | | | | | { }dS M N O M N O dz O dy N dx MSy x x z z yC }} } + + = + + | o cos cos cos TEOREMA DE GAUSS SI LA FUNCIN VECTORIAL ( ) ( ) ( ) ( ) . . .+ + = k z y x f j z y x f i z y x f z y x F , , , , , , , , 3 2 1 TIENE PRIMERAS DERIVADAS PARCIALES CONTINUAS EN UNA REGIN R DEL ESPACIO 39 , LIMITADA POR UNA SUPERFICIE REGULAR S, ENTONCES LA INTEGRAL DE VOLUMEN DE LA DIVERGENCIA DE F DENTRO DE S ES IGUAL A LA INTEGRAL DE SUPERFICIE EXTERNA DE F SOBRE S, ES DECIR: ( ) }}} }} = R SdV F div dS N F Y, SI . . .+ + = k j i N | o cos cos cos ES UN VECTOR UNITARIO NORMAL A LA SUPERFICIE S, ENTONCES ESTE TEOREMA TAMBIN SE PUEDE EXPRESAR COMO: ( ) }}} }} ||.|

\|cc+cc+cc= + +R SdVzfyfxfdS f f f 3 2 13 2 1 cos cos cos | o C O P A D I 44 TRANSFORMADAS DE LAPLACE ( ) 0 ; > t t f ( ) ( )} = 0dt e t f s F st RESTRICCIONES EN " " 9 e s ( ) t o (FUNCIN DELTA DE DIRAC) 1 1 s1 0 > s ate a s 1 a s > positivo entero n tn, ; 1!+ nsn 0 > s positivo entero n e t at n, ; ( ) 1!+ na sn a s > t1 st 0 > s at sen 2 2a sa+ 0 > s at cos 2 2a ss+ 0 > s at senh 2 2a sa a s > at cosh 2 2a ss a s > at sen t ( )22 22a ss a+ 0 > s at t cos ( )22 22 2a sa s+ 0 > s at sen t2 ( )( )32 22 23 2a sa s a+ 0 > s at t cos2 ( )( )32 22 23 2a sa s s+ 0 > s bt sen eat ( ) 2 2b a sb+ a s > bt eatcos ( ) 2 2b a sa s+ a s > bt senh eat ( ) 2 2b a sb a b s + > bt eatcosh ( ) 2 2b a sa s a b s + > C O P A D I 45 SERIES DE FOURIER DEFINICIN LA SERIE DE FOURIER CORRESPONDIENTE A LA FUNCIN f , LA CUAL SE SUPONE DEFINIDA EN EL INTERVALO L c x c 2 + s s , DONDE 0 > L y c SON CONSTANTES, SE DEFINE COMO: = |.|

\| + +10cos2 nn nLx nsen bLx naa t t DONDE ( )( )==}}++L ccnL ccndxLx nsen x fLbdxLx nx fLa221cos1tt SI f y ' f SON CONTINUAS EN | | L c c 2 , + SALVO EN UN CONJUNTO FINITO DE PUNTOS, EN LOS QUE EXISTEN SUS LMITES LATERALES, Y SI ( ) x f EST PERIODICAMENTE DEFINIDA CON UN PERIODO DE L 2 , O SEA, QUE ( ) ( ) x f L x f = + 2 , ENTONCES LA SERIE CONVERGE HACIA ( ) x f SI x ES UN PUNTO DE CONTINUIDAD, Y HACIA ( ) ( ) { } 0 021 + + x f x f SI x ES UN PUNTO DE DISCONTINUIDAD. FORMA COMPLEJA DE LAS SERIES DE FOURIER SI SE SUPONE QUE LAS SERIES ANTERIORES CONVERGEN HACIA ( ) x f , SE TIENE QUE: ( ) ==nL x inne c x f / t DONDE ( ) ( )( )=< +> = = +}02102102110/2n an ib an ib adx e x fLc n nn nL x inL ccnt IDENTIDAD DE PARSEVAL ( ) { } ( )} =++ + =12 2202221nn nL ccb aadx x fL FORMA GENERAL DE LA IDENTIDAD DE PARSEVAL ( ) ( ) ( )} =++ + =10 0221nn n n nL ccd b c ac adx x g x fL DONDE n n n n d c y b a , , SON LOS COEFICIENTES DE FOURIER QUE CORRESPONDEN A ( ) ( ) x g y x f RESPECTIVAMENTE. 46 SERIES DE FOURIER DE ALGUNAS FUNCIONES DE USO FRECUENTE ( ) |.|

\| + + + <