Edwin Gutirrez E. - 1 - FORMULARIO DE MATEMTICA PARA EL EXAMEN DE INGRESO A LA U.S.F.X. PRODUCTOS NOTABLES 1. Cuadrado de un binomio: 2 2 2( ) 2 a b a ab b + = + +2 2 2( ) 2 a b a ab b = + 2.Cubo de un binomio: 3 3 2 2 3( ) 3 3 a b a a b ab b + = + + + 3 3 2 2 3( ) 3 3 a b a a b ab b = + 3.Producto de la suma por la diferencia de dos cantidades: 2 2( )( ) a b a b a b + = 4.Producto de dos binomios que poseen un trmino comn (x + a)(x + b): 2( )( ) ( ) x a x b x a b x ab + + = + + + 5.Cuadrado de un trinomio: 2 2 2 2( ) 2( ) a b c a b c ab ac bc + + = + + + + + 6.Cuadrado de un trinomio: 2 2 2 2( ) 2( ) a b c a b c ab ac bc + + = + + + + + 7.Binomio de Newton.- - 2 - Edwin Gutirrez E. COCIENTES NOTABLES 1.Cocientedeladiferenciadeloscuadradosdedoscantidadesentrelasumao diferencia de las cantidades: 2 2a ba ba b= +

2 2a ba ba b= + 2.Cociente de la suma o diferencia de los cubos de dos cantidades entre la suma o diferencia de esas cantidades: 3 32 2a ba ab ba b+= ++

3 32 2a ba ab ba b= + + 3.Cociente de la suma o diferencia de potencias iguales de dos cantidades entre la suma o diferencia de las cantidades: 4 43 2 2 3a ba a b ab ba b= + + +

4 43 2 2 3a ba a b ab ba b= + + 5 54 3 2 2 3 4a ba a b a b ab ba b= + + + + 5 54 3 2 2 3 4a ba a b a b ab ba b+= + ++ 4.Caso general: 1 2 3 2 1.....n nn n n nx yx x y x y yx y = + + + + Donde: N ne y xy x 5 5No genera cociente notable, puesto que N e 5 y xy x2535 No genera cociente notable, puesto que N e35 5.Suma y diferencia de cubos: 3 3 2 2( )( ) a b a b a ab b + = + + 3 3 2 2( )( ) a b a b a ab b = + + Edwin Gutirrez E. - 3 - TEOREMA EL RESIDUO Teorema del residuo: Si se divide el polinomio f(x) entre el binomiox a dondeaes un nmero real, el residuo es igualaf(a) Teorema del Factor: Siaes una raz de f(x) =0,entoncesx aes un factor def(x). Divisibilidad de (an + bn) y (an bn)por(a + b)y(a b): 1) n na ba bSiempre es divisible 2) n na ba b++Es divisible sines impar 3) n na ba b+Es divisible sines par 4) n na ba b+Nunca es divisible Propiedades: 1)El cocientea xa xn ntiene n trminos. 2)El desarrollo dea xa xn n; todos sus trminos son positivos. 3)El desarrolloa xa xn n+; sus trminos son de signos alternados: + , , + , , +. 4)Para que una divisinq np my xy x. Debe cumplirse que: = =qpnm nmero de trminos - 4 - Edwin Gutirrez E. DESCOMPOSICIN FACTORIAL I.Factor comn: a) Factor comn monomio:Ejem:( )25 15 10 5 3 2 a ab ac a a b c = b) Factor comn polinomio: Ejem: ( )( ) ( ) ( ) ( )( ) ( )( ) 1 3 1 2 1 3 1 1 1 3 2 3 1 4 y x y x x x y y x y + + + + + = + + + = + + II.Factor comn por agrupacin de trminos:Ejem: ( ) ( )2 2 2 2 2 2 2 23 2 2 3 3 3 2 2 abx y x aby abx aby y x + = + +

( ) ( ) ( )( )2 2 2 2 2 23 2 3 2 ab x y y x ab x y = + + = + III.Trinomio cuadrado perfecto:2 2 22 ( ) a ab b a b + = Ejemplo: Factorizar: 2 2 4) 3 2 ( 9 12 4 z x z xz x + = + + IV.Diferenciadecuadradosperfectos:Todadiferencia decuadradossedescompone en dos factores uno es la suma de las races y el otro la diferencia de races cuadradas. 2 2( )( ) a b a b a b = + Ejemplo: Factorizar:( )( )29 3 3 y y y = + V.Trinomio cuadrado perfecto por adicin y sustraccin: Ejemplos: Factorizar: 4 2 2 44 8 9 x x y y + + La raz cuadrada de 4x4es2x2.La raz cuadrada de9y4es3y2 El doble producto de estas races es 12x2y2, luego este trinomio no es cuadrado perfecto. Paraque8x2y2seconviertaen12x2y2lesumamos4x2y2yparaqueeltrinomiono vare restamos4x2y2y tendremos: 4x4+ 8x2y2 + 9y4 +4x2y2 4x2y2 4x4+12x2y2+9y4 4x2y2= (4x4 + 12x2y2 + 9y4)4x2y2 Edwin Gutirrez E. - 5 - Factorizando el trinomio cuadrado perfecto, queda:=(2x2 + 3y2)24x2y2 Factorizando la diferencia de cuadrados, nos da:=(2x2 + 3y2 2xy)(2x2 + 3y2 + 2xy) Ordenando:( )( )4 2 2 4 2 2 2 24 8 9 2 2 3 2 2 3 x x y y x xy y x xy y + + = + + + VI.Sumadedoscuadrados:Engeneralunasumadedoscuadradosnotiene descomposicin en factores racionales, pero hay sumas de cuadrados que, sumndoles o restndole una misma cantidad, pueden llevarse al caso anterior: Ejemplo: 1)Factorizar: 8 864x y + La raz cuadrada de64x8es8x4y dey8 esy4. Paraquelaexpresindadaseauntrinomiocuadradoperfectohacefaltaquetengaun segundo trmino de 2(8x4)(y4) =16x4y4entonces al igual que en los casos anteriores, a la expresin dada le sumamos y restamos 16x4y4 y tendremos: 64x8+y8

+ 16x4y416x4y4 64x8+16x4y4 +y8 16x4y4 = (64x8 + 16x4y4 + y8)16x4y4 Finalmente: ( )( )8 8 4 2 2 4 4 2 2 464 8 8 4 8 4 x y x x y y x x y y + = + + + VII.Trinomiodelaforma 2x bx c + + .-Seconvierteadosbinomiosdesumayse completa con dos nmeros cuyo producto es c y cuya suma sea b. x2 + bx + c = ( + ) ( + ) x2 bx + c = ( ) ( ) 1Identificarlaresta(debehaberunsolosignonegativo)yluegoloscuadrados perfectos. 2 Calcularlasbasesdeloscuadradosperfectos(haciendolarazcuadradadecada uno) 3Transformarladiferenciadecuadradosenunproductodebinomiosconjugados, formado por dichas bases. Ejemplos: 1)Factorizar:( )( )27 10 5 2 x x x x + + = + + 5 x 2 = 10 y 5 + 2 = 7 2) Factorizar:( )( )210 9 9 1 x x x x + += + + 9 x 1 = 9y9 + 1 = 10 - 6 - Edwin Gutirrez E. 3) Factorizar:( )( )28 12 6 2 x x x x + = (6) (2) = 12 y (6) + (2) = 84) Factorizar:( )24 210 25 5 z z z + = (5)(5)=25 y (5) + (5) = 10 9)Factorizar:26 216 x x + Buscamos dos nmeros cuya diferencia sea 6 y el producto 216, los cuales no se ven fcilmente. Para hallarlos, se descompone en factores primos el tercer trmino: 2162 Con estos factores primos1082 formamos dos productos. 542 Por tanteo, variando los273 factores de cada producto 93 obtendremos los dos nmeros 33 que buscamos, as: 1 2 2 2 = 83 3 3 = 272 2 2 3 = 24 3 3 = 92 2 3 = 122 3 3 = 18 27 8= 19, no sirven24 9= 15, no sirven18 12= 6, sirven Los nmeros buscados son 18 y 12, porque su diferencia es 6 y su producto 216: ( )( )26 216 18 12 x x x x + = + VIII.Mtodo de aspas.-Se emplea solo para trinomios de la forma2ax bx c + + ;en la que el trinomio se descompone: 1er.trmino: En dos factores que den resultado al primer trmino. 3er.trmino: En dos factores que den resultado al tercer trmino. Ejemplos: 1)Factorizar:28 2 3 x x Descomponiendo el 1er. y 3er. trminos: 8x2 2x 34x 3= 6x 2x + 1=4x--------- 2x ( )( )28 2 3 4 3 2 1 x x x x = + 2)Factorizar:22 15 x x + Descomponiendo el 1er. y 3er. trminos: x2 +2x 15 x+5+5 x3 3x +2x ( )( )22 15 5 3 x x x x + = + Edwin Gutirrez E. - 7 - IX. Cubo perfecto de binomios.- Recuerda cubo de un binomio 3 3 2 2 3( ) 3 3 x y x x y xy y + = + + + Se calculan sus races cbicas; dichas races sern las bases. Luego se determina el triple producto del cuadrado de la primera base por la segunda, y el triple producto de la primera base por el cuadrado de la segunda. Ejemplos: 3)Factorizar: 3 2 2 327 27 9 a a b ab b + + +

Raz cbica de 27a3 = 3 a Raz cbica de b3 = b

El 2 trmino:3(3 a)2.b = 3(9 a2).b = 27a2b

El tercer trmino:3(3 a) (b)2 = 9ab2

( )33 2 2 327 27 9 3 a a b ab b a b + + + = + 4)Factorizar: 3 2 3 28 96 64 48 m mn n m n + Ordenarlo con relacin a la letra m:

3 2 2 38 48 96 64 m m n mn n + Lossignosvanalternados,setratadelcubo de una diferencia:

( )33 2 2 38 48 96 64 2 4 m m n mn n m n + = X.Suma o diferencia de cubos perfectos.-Se denomina suma de cubos a la suma de dos cantidades donde ambas tienen raz cbica exacta. De los productos notables:(a + b)(a2 ab+ b2)=a3 + b3 (a b)(a2 + ab+ b2)= a3 b3 a)Suma de cubos:( )( )3 3 2 2a b a b a ab b + = + + b)Diferencia de cubos: ( )( )3 3 2 2a b a b a ab b = + + Ejemplos: 1)Factorizar: ( ) ( ) ( )( )3 33 3 2 28 27 2 3 2 3 2 6 9 x y x y x y x xy y + = + = + + 2)Factorizar:( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )( ) ( )3 3 2 25 3 5 5 3 5 5 3 5 3 5 5 x x x x x x x x (+ + = + + + + + (

| |2 2 26 2 25 30 9 5 25 3 15 10 25 x x x x x x x x( = + + + + + +

| | | |2 22 3 1 21 42 49 14 3 1 3 6 7 x x x x x x(( = + + = + + - 8 - Edwin Gutirrez E. 3)Factorizar:( ) ( ) ( )3 3 333 2 125 3 2 5 x x x x =

( ) ( ) ( )( ) ( )2 23 2 5 3 2 3 2 5 5 x x x x x x (= + +(

| | | |2 2 2 22 2 9 12 4 15 10 25 2 1 49 22 4 x x x x x x x x x(( = + + + = + + 4)Factorizar:( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )( ) ( )3 3 2 21 1 1 1 1 1 1 1 x x x x x x x x ( = + + (

| |2 2 21 1 2 1 1 1 2 x x x x x x x x x( = + + + ++ +

| | | || | | |2 322 2 2 1 2 1 1 2 1 x x x x x x( = + = = XI.Sumaodiferenciadedospotenciasiguales.-Estecriterioseempleapara descomponer en factores, expresiones de la forman ny x , donde n es entero y positivo, por cocientes notables las expresiones de la forma: 1)n na ba bSiempre es divisible2)n na ba b++Es divisible sines impar 3)n na ba b+Es divisible sines par4)n na ba b+Nunca es divisible Ejemplos: 1) Factorizar: 5 532 x y + La raz quinta de x5esx,de32y5es2y, entonces: ( ) ( )( )55 5 5 4 3 2 2 3 432 2 2 (2) (2 ) (2 ) (2 ) x y x y x y x x y x y x y y + = + = + + + ( )( )4 3 2 2 3 42 2 4 8 16 x y x x y x y xy y = + + + 2) Factorizar: 7 14x y + desarrollando se tiene: ( ) ( )( )77 14 7 2 2 6 5 2 4 4 3 6 2 8 10 12x y x y x y x x y x y x y x y xy y + = + = + + + + Edwin Gutirrez E. - 9 - Descomposicin de un polinomio en factores por el mtodo de evaluacin (Ruffini).-Al estudiar ladivisibilidad por x ademostramos que si un polinomio entero y racional en x se anula para x = a, el polinomio es divisible por x a. Estemismoprincipioaplicaaladescomposicindeunpolinomioenfactoresporel Mtodo de Evaluacin. Ejemplos: 1)Descomponer aplicando el mtodo de Ruffini: 3 22 2 x x x + Los factores del trmino independiente 2 son: + 1,1, + 2y 2. Veamos si el polinomio se anula para x = 1, x = 1, x = 2, x = 2. Siseanulaparaalgunosdeestosvalores,elpolinomioserdivisibleporxmenosese valor. 1+21 2 Coeficientes del polinomio +1+1+3+2 1+3+20Coeficientes del cociente El residuo es 0, el polinomio dado se anula para x = 1, luego es divisible por (x 1) Cociente: 23 2 x x + + . El dividendo es igual al producto del divisor por el cociente:

( )( ) ( )( )( )3 2 22 2 1 3 2 1 1 2 x x x x x x x x x + = + + = + + MXIMO COMN DIVISOR (MCD) YMNIMO COMN MLTIPLO (mcm) Mximo comn divisor (M. C. D.).-El mximo comn divisor de dos o ms nmeros es el nmero, ms grande posible, que permite dividir a esos nmeros. Se toma los divisores de los nmeros y el mximo que se repita es elM.C.D. Ejemplo.-Sacar el M.C.D. de 20 y 10: Nros. Factores: 20:1, 2, 4, 5, 10 y 20 M.C.D.= 10 10:1, 2, 5 y 10 Para nmeros grandes hay otra manera: la descomposicin de factores. Forma rpida de calcular el Mximo Comn Divisor (M.C.D.).- Ejemplo.-Encontrar el M. C. D. de 40 y 60: - 10 - Edwin Gutirrez E. 1 Descomponer en factores primos: 402602 202302 102153 5555 1 12Se toman los factores comunes con el menor exponente y se multiplican. 40 = 2x2x2x5 = 23x5 M.C.D. = 22x5= 20 60 = 2x2x3x5 = 22x3x5 Mnimocomnmltiplo(m.c.m).-Elmnimocomnmltiplo(m.c.m.)dedosoms nmeros es el menor mltiplo comn distinto de cero. Ejemplo.-Averiguar el m.c.m.de 20 y 10:

Nros. Factores: 20:20, 40, 60, 80,. m.c.m.= 20 10:10, 20, 30,.. Ejemplo.-Calcular el m. c. m. de 4, 5 y 6. Se descompone en factores:4=2x2 = 22 5=5 6=2x3 Setomanlosfactorescomunesynocomunesconelmayorexponenteyse multiplican:22 x 3 x 5=60. El m.c.m. de 4, 5 y 6 es60. Mximocomndivisordemonomios.-SehallaelM.C.D.deloscoeficientesya continuacinseescribenlasletrascomunes,dandoacadaletraelmenorexponente que tengan las expresiones dadas. Ejemplos: 1)Halla el M. C. D. de:2 2x aybx a33 Resp: M. C. D.=x a2 2) Halla el M.C.D.de 2 4 2 336 , 48 a b a b c y m b a3 460

4 236 b a =4 2 2 2. 3 . 2 b a c b a3 248 = c b a3 2 4. 3 . 2 m b a3 460 =m b a3 4 2. 5 . 3 . 2 M. C. D. = 2 2 2 2 212 . 3 . 2 b a b a =362 182 93 33 1 482 242 122 62 33 1 602 302 153 55 1 Edwin Gutirrez E. - 11 - Mximocomndivisordepolinomios.-ElM.C.D.dedosomspolinomios,esel polinomio de mayor grado posible contenido en cada uno de ellos. Para determinar el M. C. D. de dos o ms polinomios se factorizan, y estar formado por todos los factores comunes con el menor exponente. Ejemplos: 1)Halla el M. C. D. de: 24 4 a ab + 4 2 22 2 a a b ( ) ( )2 24 4 4 2 a ab a a b a a b + = + = +

( ) ( )( )4 2 2 2 2 2 22 2 2 2 a a b a a b a a b a b = = + M. C. D: = ) ( 2 b a a +2)Halla el M. C. D. de: 42 x, 62 x xy4 42+ +x x ( )( )24 2 2 x x x = +

( )( )26 3 2 x x x x = + ( )224 4 2 x x x + + = + M. C. D.=) 2 (+ x Mnimo comn mltiplo de expresiones algebraicas.- El mnimo comn mltiplo de dos omsexpresionesalgebraicasestodaexpresinqueesdivisibleexactamenteporcada una de las expresiones dadas. Mnimocomnmltiplodemonomios.-Sehallaelm.c.m.deloscoeficientesya continuacin se escriben las letras comunes y no comunes, dando a cada letra el mayor exponente que tengan las expresiones dadas. Ejemplos: 1)Halla el m.c.m. de: c ab28y 2 312 b a c ab28 =c ab2 322 312 b a = 2 3 2. 3 . 2 b a m.c.m =c b a c b a2 3 2 3 324 . 3 . 2 = 2) Halla el m.c.m. de:x a310,2 236 mx ay4 224 m b x a310=x a3. 5 . 22 236 mx a=2 2 2 2. 3 . 2 mx a 4 224 m b =4 2 3. 3 . 2 m b m.c.m. =3 2 3 4 22 .3 .5.a m xm.c.m. =3 4 2360 a m x 102 55 1 362 182 93 33 1 242 122 62 33 1 Mnimocomnmltiplodepolinomios.-Elm.c.m.dedosomspolinomios,esel polinomio de menor grado posible que contiene un nmero entero de veces como factor a cada unode los polinomios a intervenir. - 12 - Edwin Gutirrez E. Para determinar el m. c. m. de dos o ms polinomios se factorizan, y estar formado por todos los factores comunes y no comunes con su mayor exponente. Ejemplos: 1) Halla el m.c.m de: 2 24 8 4 ay axy ax + y y b x b2 26 6 ( )22 2 24 8 4 2 ax axy ay a x y + = ( ) ( )2 2 2 26 6 6 2 3 b x b y b x y b x y = = m.c.m. = 2 2 2 2 22 3 ( ) 12 ( ) ab x y ab x y =

2) Halla el m.c.m. de: 42 x , 62 x x y 4 42+ +x x ( )( )24 2 2 x x x = + ( )( )26 3 2 x x x x = +

( )224 4 2 x x x + + = + m.c.m =) 3 )( 2 ( ) 2 (2 + x x x ECUACIONES ENTERAS DE PRIMER GRADO CON UNA INCGNITA Solucin o Raz de una ecuacin.- Es el valor que puede tomar la incgnita para verificar la ecuacin. Por ejemplo para la ecuacin: 2 5 12 0 x x + = , la solucin o raz de la ecuacin es4 x = , puesto que al reemplazar en la ecuacin dada el valor de 4se verifica la igualdad: 2 5 12 0 2(4) 5(4) 12 0 8 20 12 0 0 0 x x + = + = + = = Resolucindeecuacionesenterasdeprimergradoconunaincgnita.-Aestas ecuacionestambinselesllamaecuacioneslineales:0 ax b + = ,dondeaybse denominan coeficientes. Para resolver una ecuacin: 1 Quitar parntesis. 2 Quitar denominadores.3 Agrupar los trminos en x en un miembro y los trminos independientes en el otro. 4Reducir los trminos semejantes. 5 Despejar la incgnita. Ejemplos: 1)Resolver:3x=8x 15 3x 8x=15 5x=15 (paradespejarlax,dividimoslos dos miembros entre 5)

51555= x x=3 2)Resolver: y 6= 3y 26 (3y pasa a restar, 6 pasa a sumar) y 3y= 26 + 6 2y= 20 22022= y y= 10 Edwin Gutirrez E. - 13 - Verificacin: 3 x=8 15 3(3)=8(3) 15 9=9 Verificacin:y 6=3y 26 10 6=3(10) - 26 4=4 Problemassobreecuacionesenterasdeprimergradoconunaincgnita.-Enla resolucin de unproblemamediante ecuacionesdeprimergrado,conviene seguir cuatro pasos: 1.Comprender el enunciado.2.Plantear el problema mediante una ecuacin.3.Resolver la ecuacin.4.Comprobar que la solucin cumple las condiciones del problema. Algunas palabras ayudarn la traduccin de enunciados a expresiones algebraicas: Adicin: La suma de, sumado a, se aumenta en, ms Sustraccin: La diferencia de, restado a, se disminuye en, menos Multiplicacin: El producto de, multiplicado por, veces, por Divisin: El cociente de, dividido entre Igualdad: Es igual a, es lo mismo que, son iguales, es equivalente a Ejemplos: 1)Tres veces un nmero menos 12 es igual a 24. Cul es ese nmero? Solucin: Sea x el nmero, entonces: 3x 12 = 243x = 24 + 123x = 36x = 12 Respuesta: El nmero es 12. 2)36 es qu porcentaje de 80? Solucin: Sea x el porcentaje, por lo tanto: 8036100x= Despejamos x:36(100)4580x = = Respuesta: 36 es el 45% de 80. ECUACIONES SIMULTNEAS DEPRIMER GRADO CON DOS Y TRES INCGNITAS 1Eliminacin por adicin o sustraccin.- Ejemplo: Resolver el sistema: x 3y=9(1),2x + y= 10(2). Solucin: Multiplicando ambos miembros de (1) por 2, se obtiene:2x 6y = 18 2x 6y=182x + y = 10 (- 1) Multiplicandopor(1)cualquieradelasecuacionesparacambiarleelsignodex,y sumando miembro a miembro: - 14 - Edwin Gutirrez E. 2x 6y=18 2x y = 10 7y=28; de donde se obtiene:y = 4 Sustituyendo "y"por su valor en cualquiera de las ecuaciones dadas, y despejando "x": x 3y=9 x 3(4)=9 x + 12=9 x= 3 Por tanto el conjunto solucin es:x = 3;y =4 2.Eliminacin por igualacin.- Ejemplo: Resolver el sistema: x + 2y=22(1), 4x y=7(2). Se va a eliminar "x". Despjese el valor de "x" en (1) y (2): x=22 2y(3) x=(7 + y)/4(4) Igulense las dos expresiones que representan el valor de "x": 22 2y=(7 + y)/4 Resulvase:88 8y = 7 + y 9y = 81 De donde: y = 9 Sustityase en (3) o en (4) el valor hallado para "y": x = 22 2yx = 22 2(9) x = 4 El conjunto solucin es: x = 4; y = 9. 3. Eliminacin por sustitucin.- Ejemplo.- Resolver el sistema: 3x + y=22(1), 4x 3y= 1 (2). Se va a eliminar "x". Despjese el valor de "x" en (1): 3x=22 yx=(22 y)/3 (3). Sustityase (3) en (2):4 [(22 y)/3] 3y=1 Edwin Gutirrez E. - 15 - 4 (22 y) 9y = 388 4y 9y=313y=91 De donde:y = 7 Sustityase en (3) el valor hallado para "y". x=(22 y)/3 (3). x=(22 7)/3 x=5 El conjunto solucin es: x = 5; y = 7 Determinantes.-Un determinante de 2x2 (dos renglones y dos columnas) tiene la forma: ab1er. rengln cd2do. rengln 1ra. columna 2da. columna Laformadecalcularelvalordeundeterminanteesrestarlosproductoscruzados,es decir: ab ab ==(a)(d) (b)(c)=ad bccdcd Ejemplo: Calcule el valor delsiguiente determinante de dos por dos: 1) 25=(2)(4) (5)(3)=8 + 15=23 3 4 Resolucinpordeterminantesdeunsistemadedosecuacionescondos incgnitas.-Para un sistema de dos ecuaciones el procedimiento es el siguiente: a1x + b1y =c1 (1) a2x + b2y = c2 (2) 1Obtener 3 determinantes:

Determinante del sistema: a1 b1

s= =(a1)(b2) (a2)(b1) a2b2 Determinante de "x": c1 b1

x= =(b2)(c1) (b1)(c2) c2b2 - 16 - Edwin Gutirrez E. Determinante de "y": a1 c1

y= =(a1)(c2) (a2)(c1) a2c2 2La solucin del sistema es: xsxA=A ;ysyA=A Ejemplo: 1) Resolver por determinantes: 5x-4y=2 6x-5y=1 Determinante del sistema: 5 4 s= (5)(5) (4)(6)=25 + 24=16 5 Determinante de "x": 2 4 x= =(2)(5) (4)(1)=10 + 4=615 Determinante de "y": 5 2y= =(1)(5) (2)(6)=5 12= 761 La solucin del sistema es: 661xsxA = = =A 771ysyA= = =A Resolucindetresecuacionescontresincgnitas.-Elmtododeeliminacinpor suma o resta es la tcnica ms breve y fcil de hallar soluciones. Adems, lleva la tcnica de matrices que se estudia en esta seccin. Cualquiersistemadeecuacioneslinealescontresvariablespuedetenerunasolucin nica, un nmero infinito de soluciones o no tener solucin. a)Mtodo de sustitucin.-Resolver, por sustitucin, el siguiente sistema: )`= + = + = +10 z 3 y x 33 z y 2 x 42 z 2 y 3 x 2 (1)(2)(3) Edwin Gutirrez E. - 17 - 1Despejar una incgnita en una cualquiera de las ecuaciones(Si alguna incgnita tiene coeficiente unidad es la que debe despejarse pues as se evitan los denominadores) Despejamos y en la ecuacin (3):10 3 3 10 3 3 y x z y x z = = + +(4) 2Sustituirelvalorobtenidoenlasecuaciones(1)y(2),formandounsistemadedos ecuaciones con dos incgnitas. )`= + + + = + + +3 ) 3 3 10 ( 2 42 2 ) 3 3 10 ( 3 2z z x xz z x x 3Resolver el sistema de dos ecuaciones resultante por cualquiera de los procedimientos estudiados. Efectuamos las operaciones:)`= + += + + 3 6 6 20 42 2 9 9 30 2z z x xz z x x )` = = +17 5 232 7 11z xz x (5)(6) Siguiendo por el mtodo de sustitucin, despejar la x en la ecuacin (6): 17 52 17 5;2 zx z x = + = (7) Sustituir x en la ecuacin (5): 17 5 187 5511 7 32 7 322 2123187 55 14 64; 341x zz zz z z | |+ = + = |\ . + = = = Sustituir el valor de z en la expresin (7): 17 1512x x= = Sustituir los valores de x y z en la ecuacin (4): 10 3 3 10 3(1) 3(3) 10 3 9 2 y x z y = + + = + + = + + = La solucin del sistema de ecuaciones es:x = 1,y = 2,z = 3 - 18 - Edwin Gutirrez E. RegladeCramer.-LaregladeCramersirvepararesolversistemasdeecuaciones lineales(sistemasdeCramer).Seaplicaasistemasquecumplanlasdoscondiciones siguientes: -El nmero de ecuaciones es igual al nmero de incgnitas. -El determinante de la matriz de los coeficientes es distinto de cero. Sea el determinante de la matriz de coeficientes. 11 12 1321 22 2331 32 33a a aa a aa a aA = Sean:1, 2 y3, los determinantes que se obtienen al sustituir los coeficientes del 2 miembro(lostrminosindependientes)enla1columna,enla2columna,enl a3 columna.

UnsistemadeCramertieneunasolasolucinquevienedadaporlassiguientes expresiones: 3 1 2x y zA A A= = =A A A Ejemplo: 1)Resolver el siguiente sistema: 12 3 25x y zx y zx z+ + = + =+ = Los determinantes del conjunto de ecuaciones son los siguientes: 1 1 11 2 3 21 0 1A = = 11 1 12 2 3 215 0 1A = = 21 1 11 2 3 81 5 1A = = 31 1 11 2 2 111 0 5A = = Las soluciones son: 1212xA= =A 2842yA = = = A

3112zA= = A Edwin Gutirrez E. - 19 - TEORA DE LOS EXPONENTES Potenciacin.-Eslaoperacinqueconsisteenrepetirunnmerollamadobasetantas veces como indica otro nmero llamado exponente. Se lee:a elevado a la n n es un nmero natural que se llama exponente. aes un nmero cualquiera que se llama base. Leyes de signos: + = + = +nn22) () ( = + = +++1 21 2) () (nn Leyes de los exponentes: a)Producto de potencias de igual base: m n m na a a+ = Ejemplos: 1)15 9 6 9 6. x x x x = =+2)4 2 6 2 6. x x x x = = b)Divisin de potencias de igual base: mm nnaaa= Ejemplos: 1)6 5 11511x xxx= =2) 2 6 464 = = x xxx c)Exponente uno:1a a = Ejemplos: 1) 51=5 2) x x 5 ) 5 (1 = d)Exponente cero:01 a = Ejemplos: 1) 40=1 2) 6 6 61 40= = 3) 0 2 2222 2a aaaa a = = = O sea.10 = a - 20 - Edwin Gutirrez E. e) Exponente negativo: 1nnaa= 0 a = Ejemplos: 1) 551xx =2) 551bb=3) 1 3 2323 2 = = = a aaaa a

f)Potencia de un producto: ( )n n na b a b = Ejemplos: 1) 7 7 7( ) x y x y = 2)( )33 3 3abc a b c = g)Potencia de un cociente:nnna ab b| | = |\ . Ejemplos: 1) 444yxyx=||.|

\|2) 444 41 1 1y y y| | = = |\ . h)Potencia negativa de un cociente: n nnna b bb a a| | | |= = ||\ . \ . Ejemplos: 1) 642743343 3= |.|

\|= |.|

\|2) 3 33 7 3437 3 27| | | |= = ||\ . \ . i)Potencia de potencia:( )mn n ma a = Ejemplos: 1)( )12 ) 3 .( 434 = = x x x2)( )( )432 234 24(a a a = = j)Potencia para un exponente: Llamada tambin escalera de exponentes, se le reconoce por la ausencia de signo de colocacin.Para efectuar esta operacin se toma de dos en dos de arriba hacia abajo: Ejemplos: 2621144 4 4923a a a = =4 2 2 2 22 2 2 2181321= = = =Edwin Gutirrez E. - 21 - Propiedades que no tienen las potencias No son conmutativas: a nn a = 3223

No son asociativas: ( )) (mnmna a = ( )) 3 (3424 2 =No son distributivas respecto a la suma y resta: n n nb a b a = ) (2 2 24 3 ) 4 3 ( = RESUMEN DE LAS LEYES DE LOS EXPONENTES m n m na a a+ = mm nnaaa= 1a a = 01 a = 1nnaa= ( )n n na b a b = nnna ab b| | = |\ . n nnna b bb a a| | | |= = ||\ . \ . ( )mn n ma a = Radicacin.-Larazn-simadeunaexpresinesotraexpresin,queelevadaala potencia n, nos da la cantidad del subradical: n na x a x = = Leyes de exponentes para la radicacin.- a)Raz de una potencia:pn pna a =Ejemplos:1) 53 53x x = 2) ( ) ( )2 1266 3( ) a b a b a b + = + = + Generalizando se tiene:a a| o | o = b)Potencia de una raz: ( )( )ppn n m m m pna a a = = Ejemplo: ( )( )553 3 3 4 4 45 203a a a a= = = - 22 - Edwin Gutirrez E. c)Raz de un producto: n n nab a b = Ejemplo:12 153 3 3 12 15 12 15 4 53 3a b a b a b a b = = = d)Raz de un cociente: nnna ab b= Ejemplo: 123 12 12 43327 27 93 273a a a ab bbb= = = e)Exponente fraccionario:mn mna a = Ejemplos: 1) 35354 4 = 2) 23 236 6 =

f)Introduccin de un factor a un radical: n m m n na b a b= Ejemplo:3 2 33 2 9 23 3 3x y x y x y= = Leyes de signos para la radicacin: a)Toda cantidad positiva o negativa dentro de una raz con ndice par: 2na o + = 2na imaginario = b)Toda cantidad positiva o negativa dentro de una raz con ndice impar: 2 1 na |+ = 2 1 na o= Edwin Gutirrez E. - 23 - RADICALES Es una expresin exponencial que contiene un exponente racional se conoce como laraz ensima. 1nna a = Simplificacin de radicales.- Es reducir a su ms simple expresin. a)Lacantidadsubradicalcontienefactorescuyoexponenteesdivisibleporel ndice: Ejemplo.-Simplificar:10 15 25 5 3 5a b x a b x = b)Introduccin de factores: Ejemplos:5 5 5 5 4 2 45 2 20 2 22x x x x x x x= = = c) Reduccin de radicales al mnimo comn ndice.- Se halla el m.c.m. de los ndices, que ser el ndice comn y se eleva cada cantidad subradical a la potencia que resulta de dividir el ndice comn entre el ndice de su radical. Ejemplos: 1)Reducir al mnimo comn ndice: 3 2 63, 2, 18 Se tiene:6 6 3 4 63 , 2, 182)Reducir al mnimo comn ndice:

( )( )223 2 4663 93 322 233 3= = Operaciones con radicales: I)Suma y resta de radicales.-Si son todos radicales semejantes se suman y restan los coeficientes entre s: Ejemplo: ( ) 3 7 2 7 5 7 12 7 3 2 5 12 7 8 7 + = + = Si los radicales no son semejantes se deja indicada la operacin. Ejemplo: Sumar y simplificar:8 2 50 18 +

2 2 318 50 2 8 2 3 2 5 2 2 3 2 5 2 2 2 2 5 2 = + = + = + = - 24 - Edwin Gutirrez E. II)Multiplicacin de radicales: -Multiplicar los coeficientes de los radicales.-Multiplicar los radicales y buscar la raz ensima del producto.-Simplificar si es necesario. Ejemplos.-Multiplicar los siguientes radicales: 1) 3 2 5 6 (3 5) 2 6 1512 15 4 3 15 2 3 30 2 = = = = = 2) 3( 7 3) 3 7 3 3 21 9 21 3 + = + = + = + Paramultiplicarradicalescompuestosdedistintondice;sereducenlosradicalesal mnimo comn ndice y luego se multiplican como si fueran radicales del mismo ndice. III)Divisin de radicales: -Dividir los coeficientes de los radicales -Dividir los radicales y buscar la raz ensima del cociente -Simplificar si es necesario Ejemplos.-Dividir los siguientes radicales: 1) 2 3 12 3 1010 5aa a aa = = 2)Dividir: 3 25 n m entre 5 2 3n m Se reduce al comn ndice: 3 15 2 2 5 10 5155 (5 ) 3125 m n m n m n = =; 5 15 3 2 3 2 3 9 615 ( ) m n m n m n = = Entonces: 3 15 2 10 5 10 53 5 2 3 215 159 65 15 3 2 9 65 3125 3125 31255m n m n m n mm n m nm n nm n m n = = = =

IV)Potenciacin de radicales.-Para elevar un radical a una potencia se eleva a dicha potencia el coeficiente y la cantidad subradical, y se simplifica el resultado: Ejemplos: 1)Desarrollar: ( )224 2 16 2 16 2 32 = = = 2)Desarrollar: ( )23 3 2 3 3 3 3 32 4 4 4 416 4 2 2 4 2 2 8 2 = = = = = Edwin Gutirrez E. - 25 - V)Radicacinderadicales.-Paraextraerunarazaun radical,semultiplica el ndice del radical por el ndice de la raz y se simplifica. Ejemplos: 1)Simplificar: 3 6 2 2 3a a a = = 2) Simplificar: 6 3 3 68 8 2 2 = = = 3) Simplificar: ( )23 6 2 2 364 4 2 2 a a a a = = = VI)Racionalizacin.-Cuandosetienefraccionesconradicaleseneldenominador,se buscanfraccionesequivalentesperoquenotenganradicaleseneldenominador.Segn el tipo de radical que aparece en el denominador, el proceso es diferente.

1Si el denominador contiene un solo trmino formado por una sola raz cuadrada: Basta multiplicar numerador y denominador por la misma raz cuadrada. Ejemplos: 1)Racionalizar: 25 Multiplicando numerador y denominadorpor2

( )25 5 2 5 22 22= = = 2) Racionalizar:183 2

22 3 2 3 2 318 3 23 2= = =

2 3 2 2 6 63 2 33 2 2 = = 2Si el denominador slo tiene un trmino con una raz de ndice cualquiera n: Se multiplica numerador y denominador por otra raz de ndice n que complete una potencia de exponente n. Ejemplos: 1)Racionalizar:3 251 Multiplicando por3355 2)Racionalizar:4 22.Para que se elimine la raz cuarta, multiplicar y dividir por 4 32 - 26 - Edwin Gutirrez E. 3 33 3 3 2 33 33 51 5 525 55 55 555= == = 4 3 444 4 3 4332 2 2 822 22 882= == = 3Si el denominador de la fraccin contiene dos trminos en uno de los cuales o en losdoshayunarazcuadrada:Pararacionalizarunaexpresincomo ab c +,yen general cuando el denominador sea un binomio con al menos un radical. Semultiplicaelnumeradorydenominadorporlaconjugadadeldenominador.La conjugada de un binomio es igual al binomio con el signo central cambiado: Tambin se debe tener en cuenta que:( )( )2 2a b a b a b + = Ejemplos: 1)Racionalizar:3 5 7, multiplicando numerador y denominador por 5 3 + ( )( ) ( )( ) ( )2 27 5 3 7 5 3 7 5 37 7 5 35 3 2 5 3 5 3 5 35 3+ + ++= = = = + 2)Racionalizar: 7 32+,multiplicando numerador y denominador por 3 7

( )( )( ) ( )2223 7 23 7 23 72 2 3 73 79 7 2 3 7 3 7 3 73 7 = = = = = + + 3)Racionalizar:a b a ba b a b+ + +

a b a b a b a b a b a ba b a b a b a b a b a b+ + + = = + + + + + ( ) ( )( ) ( )( )( )2 22 222( )a b a b a b a ba b a b a b a ba b a ba b a b+ + + + + + = =+ + ( )2 22 2 2 2 22 22a a ba a b a a ba b a b b b = = =+ + Edwin Gutirrez E. - 27 - ECUACIONES DE SEGUNDO GRADO Definicin.-Sellamaecuacindesegundogradoconunaincgnita,atodaecuacin cuya forma general es: 20 ax bx c + += Se la denomina tambin ecuacin cuadrtica y se caracteriza por tener dos soluciones. -Si,a ,by cson diferentes de cero, la ecuacin es completa. -Si bo c ,o ambos son ceros, la ecuacin es incompleta.

En resumen: 20 ax bx c Ecuacin completa + +=

222000ax cax bx Ecuaciones incompletasax + =+ = ` =) Mtodos de resolucin de una ecuacin de segundo grado: 1Mtodo:Usando la frmula general.- 242b b acxa = Las races o soluciones de la ecuacin de segundo son: 2142b b acxa + = 2242b b acxa = Ejemplos: 1)Resolver: 211 24 x x + = Ordenando se tiene: 211 24 0 x x + + = Coeficientes: a= 1 ;b= 11;c= 24Reemplazando en la frmula: 25 11225 11296 121 11) 1 ( 2) 24 )( 1 ( 4 11 11242 2 = = = = =aac b bx Las races: 32625 111 ==+ = x821625 112 == = x - 28 - Edwin Gutirrez E. 2Mtodo: Usando la factorizacin.-Si el polinomio de la ecuacin de segundo grado se puede factorizar, el procedimiento es como sigue: -Setrasladantodoslostrminosalprimermiembro,dejandoceroenelsegundo miembro. -Se factoriza el polinomio. -Para obtener las soluciones se igualan a cero los factores obtenidos. Ejemplos: 1)Resolver:22 2 4 x x x = 23 2 0 x x + = Factorizando:( )( ) 2 1 0 x x =

Igualando a cero los factores: 2 0 ; 1 0 x x = = Resolviendo ambas ecuaciones:2 ; 1 x x = = 2)Resolver: 28 6 1 0 x x + + = Factorizando:( )( ) 4 1 2 1 0 x x + + =

Igualando a cero los factores: 4 1 0 ; 2 1 0 x x + = + = Resolviendo ambas ecuaciones: 1 1;4 2x x = = 3)Resolver: 22 10 0 x x = Factorizando:( )( ) 2 5 2 0 x x + =

Igualando a cero los factores:2 5 0 ; 2 0 x x = + = Resolviendo ambas ecuaciones:5; 22x x = = Naturaleza de las races de una ecuacin de segundo grado.-Partiendo de la frmula general para resolver ecuaciones de segundo grado, tenemos: 242b b acxa = Edwin Gutirrez E. - 29 - Las soluciones de la ecuacin de segundo grado dependen de la cantidad sub-radical que se llama discriminante ( A) 24 b ac A = -Si0 A > , las races de la ecuacin son reales y diferentes. Adems tomar en cuenta si24 0 b ac A = > se tiene: 1) Si0 c > y 0 b > ,ambas races son negativas. 2) Si0 c > y 0 b < ,ambas races son positivas. 3) Si0 c < y 0 b > ,ambas races son de distintos signos. 4) Si0 c < y 0 b < ,ambas races son de distintos signos. -Si0 A = , las races de la ecuacin son reales e iguales: 1 22bx xa= = -Si0 A < , las races de la ecuacin son imaginarias, no tiene soluciones reales. Ejemplos: 1) Estudiar la ecuacin:24 12 9 0 x x += Discriminante: ( ) ( )( )224 12 44 9 144 144 0 b ac A = = = = Las races de la ecuacin son reales e iguales a: ( )1 212 324 2x x= = = 2) Estudiar la ecuacin:27 7 0 x x + = Discriminante: ( ) ( )( )224 7 4 1 7 49 28 21 0 b ac A = = = = > Las races de la ecuacin son reales y diferentes. 3) Estudiar la ecuacin:22 8 3 0 x x + + = Discriminante: ( ) ( )( )224 8 42 3 64 24 40 0 b ac A = = = = > Las races de la ecuacin son reales y diferentes. - 30 - Edwin Gutirrez E. Propiedadesde las races.-De las races de la ecuacin de segundo grado 1 2, x xes posible obtener la ecuacin. Para una ecuacin completa 20 ax bx c + += , las igualdades sern: 1 21 2bx xacx xa+ = = -La suma de las races es igual al coeficiente de x con signo cambiado dividido por el coeficiente de x2. -Elproductodelasracesesigualaltrminoindependientedivididoporel coeficiente de x2. Ejemplos: 1)Escribir una ecuacin de segundo grado cuyas races sean 1 y 3. Solucin.-Aplicando las ecuaciones anteriores:

1 21 3 2 2b b bx x b aa a a+ = = = =

1 21( 3) 3 3c c cx x c aa a a= = = = Reemplazando en la ecuacin de segundo grado: 2 20 2 3 0 ax bx c ax ax a + += + + = Simplificando a:0 3 22= +x x 2)Hallarelvalordekparaquelasumaderacesdelaecuacin ( )22 12 1 2 0 kx k x + + =,sea igual a 7. Solucin:Suponiendo que1 2, x x son las races, entonces: 1 2 1 212 12b kx x x xa k++ = + = Condicin del problema: 1 27 x x + = Entonces: 12 1 17 12 1 14 2 12 2kk k k kk+ = + = = = Edwin Gutirrez E. - 31 - Ecuaciones incompletas de la forma20 ax c += .-El procedimiento es el siguiente: Partiendo de la ecuacin: 20 ax c += Pasando c al segundo miembro: 2ax c = cxa = Ejemplo: 1)Resolver:4 16 1634848 32 2 = = = = = x x x Ecuaciones incompletas de la forma20 ax bx + = .-El procedimiento es el siguiente: Partiendo de la ecuacin: 20 ax bx + = Se factoriza: ( ) 0 x ax b + = Igualando a cero:0 ; 0 x ax b = += Ejemplo: 1)Resolver: 24 32 x x = Ordenando: 24 32 0 x x + = Factorizando: ( ) 4 8 0 x x + = Igualando a cero: 0 ; 8 0 x x = + = Las races: 1 20 ; 8 x x = = Ecuacionesbicuadrticas.-Existenecuacionesquenosoncuadrticas,peroquese pueden reducir a ecuaciones de segundo grado si sustituimos por una nueva incgnita. A estas ecuaciones se les llama bicuadraticas. Para resolver ecuaciones bicuadradas, se sugieren efectuar los siguientes cambios: 2x t = 4 2x t = Con lo que se genera una ecuacin de segundo grado con la incgnita t: 20 at bt c + += Por cada valor positivo det habr dos valores de x:x t = Ejemplos: - 32 - Edwin Gutirrez E. 1)Resolver: 4 213 36 0 x x + = Cambio de variable:2x t = , se tiene:213 36 0 t t + = 13 169 144 13 52 2t = = Las races son: 1 213 5 13 59 ; 42 2t t+ = = = = Variable inicial:12239 33xx xx== = = 32424 22xx xx== = = PROGRESIONES Trminogeneraldeunasucesin.-Eltrminogeneraldeunasucesinsele expresa por:na (trmino n-simo) Ejemplos: a)1 2 3 4, , , ,...2 3 4 5 1nnan=+b)( )219 16 254, , , ,...2 3 4nnbn+= Progresiones aritmticas.-Si (na) es una progresin aritmtica, se verifica que: 1 n na a r= +Ejemplos: 1)Es la sucesin7, 5, 3, 1, -1, -3, -5 ... una progresin aritmtica? Si lo es, cul es la diferencia? Solucin:Sedeterminasiladiferenciaentrecadadostrminosconsecutivosesla misma: 5 7 = 2; 3 5 = 2; 1 3 = 2; 1 1 = 2 ; ... Es una progresin aritmtica de diferencia: r= 2 Edwin Gutirrez E. - 33 - Trmino general de una progresin aritmtica.-La expresin del trmino general es: ( )11na a n r = + na=El trmino n-esimo 1a=El primertrmino n =Posicin que ocupa el trmino r =Razn o Diferencia (valorque separa a dos trminos consecutivos) Ejemplo: Clculo del trmino general de una progresin aritmtica. 1)Sea la sucesin: 1, 3, 5, 7, 9, ... Cul es su trmino general? Solucin: Se trata de una progresin aritmtica de diferencia r = 2 y primer trmino a1 = 1. El trmino general es, por tanto: ( ) ( )11 1 1 .2 1 2 2 2 1na a n r n n n = + = + = + = Interpolacin de medios aritmticos.-Interpolarn nmeros entre otros dos conocidos a y b; consiste en construir una progresin aritmtica: 1 2, , ,....., ,naa a a b Pararesolveresteproblemabastaconconocerladiferenciadelaprogresin,lacualse deduce tomando en cuenta dos cosas: 1)La sucesin tiene2 n +trminos 2)El primer trmino esay el trmino 2 na + es b . Aplicando la frmula del trmino general de una progresin aritmtica, se tiene que: ( ) 2 1 b a n r = + + ( 1b arn=+ r=Razn o diferencia n=Nmero de trminos a interpolar a=Primer trmino b=ltimo trmino Una vez conocido el valor de la diferencia,1ase obtiene como la suma de a y r ; 2aes la suma de1a y r ,y as sucesivamente. - 34 - Edwin Gutirrez E. Los nmeros1 2, ,.....,na a a reciben el nombre de medios aritmticos. Ejemplo: Interpolacin de medios aritmticos. 1)Interpolar cinco medios aritmticos entre 18 y 25. Solucin:La progresin es:1 2 3 4 518, , , , , , 25 a a a a a Aplicando la frmula obtenida con 18 a = y 25 b = La razn o diferencia es:( ) 25 18431 5 1 6b arn = = =+ + 143 65186 6a = + = 265 43 22 116 6 6 3a = + = = 311 43 21 76 6 6 2a = + = = 47 43 64 322 6 6 3a = + = = 532 43 1072 6 6a = + = La progresin aritmtica que se buscaba es: 65 11 7 32 10718, , , , , , 25,...6 3 2 3 6 Suma de trminos consecutivos de una progresin aritmtica: 12nna aS n+| |= |\ . na=El trmino n-esimo 1a=El primertrmino n =Posicin que ocupa el trmino nS =Suma de n trminos consecutivos Ejemplo: Edwin Gutirrez E. - 35 - 2)Suma de trminos de una progresin aritmtica: Sumar los veinte primeros trminos de la progresin: 5, 4, 13, 22, 31, 40 Solucin: La razn o diferencia: r = 9 Primer trmino:a1 = 5Nmero de trminos: n = 20 Trmino n-simo: an = ? Suma de trminos: Sn = ? Clculo del trmino n-simo: ( ) ( )11 5 20 1 9 5 171 166na a n r = + = + = + =

Clculo de la suma: ( )1 20205 16620 80.5 20 16102 2a aS n+ + | | | |= = = = ||\ . \ .

Progresiones geomtricas.-Si(na ) es una progresin geomtrica, se verifica que: 1 n na a r= Cmo reconocer una progresin geomtrica?: 3 5 2 41 2 3 4a a a ara a a a= = = = = constante Ejemplos: 1) Es 5, 15, 45, 135, 405 ... una progresin geomtrica? Solucin: 15 45 135 40535 15 45 135= = = = .Es una progresin geomtrica de razn:r = 3(si) Trmino general de una progresin geomtrica.-La expresin del trmino general es: 11nna a r =Siendo: na = El trmino n-simo 1a= El primer trmino r = Razn de la progresin geomtrica n=Posicin que ocupa el trmino - 36 - Edwin Gutirrez E. Ejemplos: Clculo del trmino general de una progresin geomtrica. 1)Calcular el trmino n-simo de la progresin1, 1, 3, 9,...3 Solucin: Se trata de una progresin geomtrica de razn 3 r = y primer trmino113a =. El trmino general es: 1 1 1 1 2113 3.3 33n n n nn n na a r a a = = = = 2)Cul es el trmino general de la progresin: 1,2,4,8,16,? Solucin:Es una progresin geomtrica en la que el primer trmino 11 a = La razn es:212 4 8 16... 21 2 4 8ar ra = = = = = = = El trmino general es:( )1111 2 nnn na a r a= = Estetipodeprogresionesgeomtricasrecibeelnombredeprogresingeomtrica alternada. Interpolacin de medios geomtricos.- Interpolar n medios geomtricos entre otros dos conocidos a y b, consiste en construir una progresin geomtrica: 1 2, , ,....., ,naa a a b Para conocer la razn de la progresin, tener en cuenta: 1)La sucesin tiene n + 2 trminos. 2)El primer trmino esay el n + 2esb. Aplicando la frmula del trmino general de una progresin geomtrica: 21.nb a r + = De donde:1 nbra+= 1 nbra+= r=Razn n=Nmero de trminos a interpolar a=Primer trmino b=ltimo trmino Edwin Gutirrez E. - 37 - Una vez conocido el valor de la razn, 1ase obtiene como el producto der pora ; 2aes el producto de 1aporr , y as sucesivamente. Los nmeros1 2, ,.....,na a areciben el nombre de medios geomtricos. Ejemplo: Interpolacin de medios geomtricos. 1)Interpolar cuatro medios geomtricos entre 128 y 4. Solucin:La progresin geomtrica es:1 2 3 4128, , , , , 4 a a a a Aplicando la frmula obtenida con128 a = y4 b = : La razn: 5 1 5 554 1 1 1128 32 2 2nbr ra+= = = = = 11128 642a = = 2164 322a = = 3132 162a = = 4116 82a = = La progresin geomtrica que se buscaba es:128, 64, 32, 16, 8, 4 . Producto de trminos consecutivos de una progresin geomtrica.-Se denotar por nP al producto1 2 3. . . ... .na a a a . ( )1 .nn nP a a = na=El trmino n-esimo 1a=El primertrmino n =Posicin que ocupa el trmino nP =Producto de n trminos consecutivos Para determinar el signo, ha de estudiarse cada caso concreto. Ejemplo:Clculodelproductodetrminosconsecutivosdeunaprogresin geomtrica. - 38 - Edwin Gutirrez E. 1)Multiplicar los veinte primeros trminos de la progresin: 1 1 1 1, , , , ...16 8 4 2 Solucin: Es una progresin geomtrica de raznr= 2 Trmino nmero 20: 19201 19 1520 1 2041 2. 2 216 2a a r a= = = = Producto: ( ) ( )20202015 11 220 11020 1 20 20 41. . 2 2 2 22P a a P| |= = = = = |\ . Parapoderescribirdichonmeroserannecesarias34cifras,loquedaideadelagran velocidad de crecimiento que tienen las progresiones geomtricas. Suma de trminos consecutivos de una progresin geomtrica.-Se denotar por nSa la suma dentrminos consecutivos de una progresin geomtrica: 1.1nna r aSr = ( )111nna rSr= Ejemplo: Suma de trminos de una progresin geomtrica 1) Sumar los quince primeros trminos de la progresin geomtrica:3/2, 9/2, 27/2 ... Solucin: 132a =

15 n = 15? S =Clculo de la razn: 9/ 233/ 2r = = Suma de trminos: ( )( )( )151511533 1133 1 32. 3 11 3 1 2 2 4nn na rS Sr= = = = Sumadetodoslostrminosdeunaprogresingeomtricailimitadadecreciente.- Una progresin geomtrica es decreciente (cada trmino es menor que el anterior), cuando su est comprendida entre cero y uno. 11aSr= Edwin Gutirrez E. - 39 - LOGARITMOS Definicin de logaritmo.-El logaritmo de un nmero, en una base dada, es el exponente al cual se debe elevar la base para obtener el nmero. logya x y a x = =( 0 a > y0 a = ) Siendo:a=La basex=El nmero y=El logaritmo. Aclarando: 22log4 2 : 2 4 porque = = 02log1 0 : 2 1 porque = = Ejemplos.-Calcular por la definicin de logaritmo el valor de y: 1)12log 0.25 y = 21 1 10.252 4 2y| | | | = = = ||\ . \ .

2 y = 2)5log 125 y = 1325 125 5 5y y = =

13 62 y y = = Caractersticas de los logaritmos.-De la definicin de logaritmo: logya x y a x = = (0 a >y 0 a =) Se pueden deducir: 1)No existe el logaritmo de un nmero con base negativa: log a x 2)No existe el logaritmo de un nmero negativo: ( ) logax 3)No existe el logaritmo de cero: log 0a 4)El logaritmo de 1 es cero: log1 0a = 5)El logaritmo en base a de a es uno: log 1a a = Ejemplos:log10 1 =; ln 1 e =;2log2 1 = - 40 - Edwin Gutirrez E. 6)El logaritmo en base a de una potencia en base a es igual al exponente: logna a n = Ejemplos:4log10000 log10 4 = =; 2ln 2 e = ; 32 2 2 31 1log log log 2 38 2| | | |= = = ||\ . \ . Propiedadesdeloslogaritmos.-Paracualquiersistemadelogaritmossecumplenlas siguientes propiedades: 1)Logaritmo de un producto.-El logaritmo de una multiplicacin es igual a la suma de los logaritmos de los factores. ( ) log . log loga a ax y x y = + Ejemplo:( )2 2 2log 4 8 log4 log8 2 3 5 = + = + = 2)Logaritmodeuncociente.-Ellogaritmodeuncocienteesigualallogaritmodel dividendo menos el logaritmo del divisor. log log loga a axx yy| | = |\ . Ejemplo:2 2 28log log8 log 4 3 2 14| | = = = |\ . 3)Logaritmodeunapotencia.-Ellogaritmodeunapotenciaesigualalproductodel exponente por el logaritmo de la base. ( )log . logna ax n x = Ejemplo:( )42 2log 8 4 log8 4 3 12 = = = 4)Logaritmodeunaraz.-Ellogaritmodeunarazesigualalcocienteentreel logaritmo del radicando y el ndice de la raz. ( )loglogn aaxxn= Ejemplo:( )4 22log8 3log 84 4= = 5)Cambiodebase.-Esposiblecambiarlabasedeunlogaritmomediantelasiguiente frmula: logloglogbabxxa= Edwin Gutirrez E. - 41 - Ejemplo:424log 4 1log 4 21log 22= = = NOTA: Se debe tener cuidado si se presentan sumas o restas en el nmero del logaritmo. La siguiente tabla contiene dos advertencias respecto de errores comunes. 1)y x y xb b blog log ) ( log + = + 2)y x y xb b blog log ) ( log = 3)( ) x n xbnblog . log = No constituyen propiedadesde los logaritmos Cologaritmo.-Elcologaritmodeunnmeroesellogaritmodesuinverso,portantoel cologaritmo de un nmero es el opuesto de su logaritmo. 1log log log co x xx= = Ejemplos: log200 log200 2.3010 co = =

1)5493 x = 5log log 493 x =

log493 2.6928log 0.53865 5x = = = log0.5386 3.456 x anti = = 2)350.368822.958x =

350.3688log log22.958x =

5 3log log 0.3688 log22.958 x =

log0.3688log 5 log22.9583x =

log 6.949 x =

( )7log 6.949 1.124 10 x anti = = - 42 - Edwin Gutirrez E. Funcinlogartmica.-Lafuncinlogartmicaenbaseaeslafuncininversadela exponencial en base a. a > 1 logay x =

( ) 1 a > -Dominio:( 0 , ) -Recorrido:( - , ) -Interseccin con x:P (a , 0) -Para log y x =: P (1 , 0) -Siempre creciente -Continua 0 < a < 1 logay x = ( ) 0 1 a < < -Dominio:( 0 , ) -Recorrido:( - , ) -Interseccin con x:P (a , 0) -Siempre decreciente -Continua Ecuaciones exponenciales.-Una ecuacin exponencial es aquella ecuacin en la que la incgnita aparece en el exponente. Principalesmtodosderesolucin.-Pararesolverunaecuacinexponencialsedebe tener en cuenta: I.Semejanza de trminos: a) Igualdad de bases:x yb b x y = = si: ( ) 0; 1 b b = = b) Igualdad en el exponente: x yb b x y = = si:( ) 0 = bc) Igualdad base y exponente: b xb x b x = = si: ( ) 0; 1 b b = = II.Por cambio de variable: Expresiones con operaciones que se repiten, se siguen los siguientes pasos: a) Asignar a la expresin una variable adecuada. Por ejemplo.2xt =Edwin Gutirrez E. - 43 - b) Ejecutar la operacin contraria a la indicada, con el fin de obtener la expresin que se tuvo inicialmente que ser reemplazada por la variable con la cual se definia la expresin inicial. c) Despejar la variable con la cual queda resuelto el problema. Ejemplos.- Resolver las siguientes ecuaciones exponenciales: 1) 2 12 4x= 2 1 22 2 2 1 2xx = = 32x = 2) 2 1 33 27x x = 3 32 1 23 33 32 1 2xxxx = = 34x = 3) 1 12 2 2 28x x x + + + = 22 2 2 28212 2 1 282xx xx + + =| |+ + = |\ .

372 28 2 22x x= = 3 x =4) 2 12 3 2 1 0x x + + = 22 2 3 2 1 0x x + =

( )22 22 2 2x x xt t = = = 22 3 1 0 t t + =1 12 21 12 12 21 2 1 0xxt xt x= = = = = = Ecuacioneslogartmicas.-Pararesolverecuacioneslogartmicassedebenteneren cuenta las propiedades de los logaritmos y la relacin: log loga ax y x y = = Ejemplos: 1) 2log 3 log10xx =+ 2log 3 log log10 x x = + log 3 1 x = log 2 x = 210 100 x = =2) ( ) ( ) log log 3 2log 1 x x x + + = + ( ) ( )2log 3 log 1 x x x + = +( ( ) ( )23 1 x x x + = + 2 23 2 1 x x x x + = + + 1 x = - 44 - Edwin Gutirrez E. ELEMENTOS DE GEOMETRA ngulos formados por dos rectas y una secante: L1L2L3187654 32 ngulos alternos internos:4 = 6y 3 = 5 ngulos alternos externos:2 = 8 y 1 = 7 Conjugados internos: 3+6 = 180 y 4+5 =180 Conjugados externos: 2+7= 180y 1+8 =180 Correspondientes: 2 = 6 ; 3 = 7 ; 1 = 5 ; 4 = 8 ngulos de lados perpendiculares: oooo oo Clasificacin de tringulos: a)Segn sus lados: a) Equiltero: Sus tres lados iguales Equiltero Equiltero b) Issceles: Dos lados iguales y uno desigualIssceles Issceles c) Escaleno:Tres lados desiguales Escaleno Escaleno Edwin Gutirrez E. - 45 - b)Segn sus ngulos: Lneas notables en un tringulo.- Tienen mucha importancia en la solucin de ejercicios. a) Medianas de un tringulo: Son los segmentos que unen un vrtice con el punto medio del lado opuesto. B CGAMbMcMa Llamadas tambintransversales de gravedad, se cortan siempre en un punto llamado baricentroG AG = 2GMa b) Bisectrices de un tringulo: Son las rectas que determinan con los lados adyacentes ngulos de igual medida. PCBAI Lasbisectricessecortanenunpunto llamadoincentroIylacircunferencia que se observa es inscrita al tringulo. c) Alturas de un tringulo: Son las rectas perpendiculares trazadas desde los vrtices a los lados opuestos o a sus prolongaciones. CB A Lasalturassecortanenunpuntollamado ortocentro H a) Rectngulo: Un ngulo recto Rectngulo Rectngulo Rectngulo b) Acutngulo: Tres ngulos agudos Acutngulo Acutngulo c) Obtusngulo:Un ngulo obtuso Obtusngulo Obtusngulo - 46 - Edwin Gutirrez E. d) Mediatrices.-Son las rectas perpendiculares a los lados del tringulo, en sus puntos medios. C BAO Llamadastambinsimetrales,se cortan en un punto llamado circuncentro O. ELEMENTOS DE TRIGONOMETRA ngulospositivosynegativos.-Positivocontrarioalasagujasdelrelojynegativoen sentido contrario Funciones trigonomtricas: cahipotenusaopuesto catsen = =.u cbhipotenusaadyacente cat= =.cos u baadyacente cat opuesto cattag = =. .u Teorema de Pitgoras: (hipotenusa)2= (cateto)2+(cateto)2 c2 = a2+b2 Edwin Gutirrez E. - 47 - Funciones trigonomtricas en el crculo unitario: Funciones trigonomtricas de ngulos notables 0304560903753 sen 0 2122 23 1 53 54 cos 1 23 22 210 54 53 tag 0 33 13 43 34 Tringulos notables: 30 60 60112121 30 30 60 60112121 30 4511 452 4511 452 534 3753 534 3753 Equiltero: para definir funciones de 30 y 60 Rectngulo issceles: para definir funciones de 45 Rectngulo 3, 4 y 5: para definir funciones de 37 y 53 - 48 - Edwin Gutirrez E. RELACIONES FUNDAMENTALES a)Identidades trigonomtricas usuales: 1 cos2 2= + u u sen u u2 2sec tan 1 = + u u2 2csc cot 1 = + uucsc1= senuusec1cos =uuucostansen= b) Funciones trigonomtricas de la suma y diferencia de dos ngulos, ngulo doble: o | | o | o cos cos ) ( sen sen sen = u u u cos 2 2 sen sen = | o | o | o sen sen cos cos ) ( cos = u u u2 2cos 2 cos sen = | o| o| otan tan 1tan tan) ( tan= uuu2tan 1tan 22 tan= c) Reduccin de ngulos al primer cuadrante: ( ) x sen x = |.|

\|+2cos t ( ) x x sen cos2= |.|

\|+t ( ) x sen x=|.|

\|2cos t ( ) x x sen cos2= |.|

\|t ( ) ( ) x x cos cos = + t ( ) ( ) x sen x sen = + t ( ) ( ) x x cos cos = t ( ) ( ) x sen x sen = t ( ) x sen x= |.|

\|+23cost ( ) x x sen cos23 = |.|

\|+t ( ) x sen x = |.|

\|23cost ( ) x x sen cos23 = |.|

\|t d) Transformacin en Producto: ( ) ( ) ( ) ( ) y x y x y x cos cos 2 cos cos = + + ( ) ( ) ( ) ( ) y sen x sen y x y x 2 cos cos = + Edwin Gutirrez E. - 49 - ( ) ( ) ( ) ( ) y x sen y x sen y x sen cos 2 = + + ( ) ( ) ( ) ( ) y sen x y x sen y x sen cos 2 = + ( ) ( )|.|

\| |.|

\| += 2 2cos 2y xseny xy sen x sen ( ) ( )|.|

\| |.|

\| += +2cos22y x y xsen y sen x sen ( ) ( )|.|

\| |.|

\| += +2cos2cos 2 cos cosy x y xy x ( ) ( )|.|

\| |.|

\| + = 2 22 cos cosy xseny xsen y x TRINGULOS OBLICUNGULOS Todotringuloquenoposeengulorecto.Seresuelvenutilizandolosteoremasdelos senos y cosenos. -Teorema de los cosenos: -Teorema de los senos: o cos 22 2 2c b c b a + =u | o sencsenbsena= =

| cos 22 2 2c a c a b + = - ngulos interiores: u cos 22 2 2b a b a c + =o+|+=180 - 50 - Edwin Gutirrez E. CONSTRUCCIN DE UN APARATO MEDIDOR DE NGULOS TEODOLITO CASERO Enmuchosproblemasdeaplicacin de latrigonometra,cuando queremos mediralturas de objetos, intervienen los ngulos de elevacin. Existen instrumentos especficos para la medicin de ngulos,llamados inclinmetros o clismetros. Unaversincasera,hechaconmaterialesquesepuedeencontraryobviamentesu precisin es limitada, pero sirve para nuestro caso se muestra en los siguientes grficos. Materiales: -Un tubo delgado (puede ser de un bolgrafo, antena de radio, etc.) -Un transportador de ngulos -Un trozo de hilo resistente. -Un "peso" que puedas atar a la cuerda (tuerca, arandela o similar) -Cinta adhesiva -Tijeras Procedimiento de medicin: Se llama lnea de visin a la recta imaginaria que une el ojo de un observador con el lugar observado. Llamamos ngulo de elevacin al que forman la horizontal del observador y el lugarobservadocuandosteestsituadoarribadelobservador.Cuandoelobservador est ms alto lo llamaremos ngulo de depresin. Para los ngulos de elevacin o depresin: -Se mide el nguloo-Luego el ngulo de elevacin o depresin es: o u = 90 Resuelve problemas reales y prcticos sobre tringulos con ste sencillo aparato