Flujo isoentropico

4.1 introducción

Desde un punto de vista unidimensional, las propiedades del fluido en flujos compresibles son afectados por 3 factores importantes: (1) los cambios en el área seccional cruzada o transversal; (2) la fricción y (3) la transferencia de calor. En la mayoría de los problemas prácticos de ingeniería, estos efectos ocurren simultáneamente. Debido a la complejidad del análisis en la mayoría de los flujos, los efectos de estos factores son estudiados, uno a la vez, mientras que los otros se descuidan.

En este capítulo, los efectos de fricción y transferencia de calor son ignorados, y son estáticos, el fluido adiabático unidimensional y flujos reversibles tienen cambios en el área donde son estudiados. Estos flujos isoentropicos son usualmente llamados flujos con cambio de área simple, y estos tienen 2 aplicaciones importantes, en ductos y tubos de vapor

El flujo en tuberías y ductos a menudo es adiabático. En el caso de las toberas y difusores, el ducto es usualmente corto, y los efectos friccionales son despreciables. Cuando el fluido, en su primera aproximación, es irreversible y sobretodo isoentropico. La principal función de las toberas y difusores es, respectivamente acelerar y desacelerar el fluido lo más eficiente posible. Por consiguiente, un proceso isoentrópico promueve el uso estándar para comparar el rendimiento de las toberas y difusores.

Para los flujos externos alrededor de cuerpos y flujos internos a través de pasajes, estos son los tubos de vapor cuando circula completamente por fuera de la capa límite. En estas tuberías de vapor, los efectos de transferencia de calor y la viscosidad son despreciables. Por consiguiente, el flujo en estas tuberías de vapor se puede considerar como isoentropicos.

4.2 Ecuaciones Fundamentales

Considerándolo estático, los flujos isoentropicos unidimensionales a través de un ducto arbitrario, se demuestra en la figura 4.1. Las ecuaciones fundamentales se dan a continuación para el control del volumen dado.

a) Ecuación de continuidad: para flujos estáticos y uniformes en un área de sección cruzada o transversal, la masa del flujo es constante

m=ρ1V 1 A1=ρ2V 2 A2

b) Ecuación de momentum: cuando el flujo es libre de fricción, las fuerzas de presión actúan sobre el control de volumen de la figura 4.1 para un flujo isoentropico, debe ser balanceada por la rata de cambio del cambio de momentum a través del control de volumen, así

Cuando F p es la fuerza de presión actuando sobre el volumen de control

c) Ecuación de la energía: cuando no hay transferencia de calor antes del volumen de control en el entorno

d) La segunda ley de la termodinámica: para flujos isoentropicose) Ecuación de estado: en el trabajo del fluido como un gas perfecto tenemos

4.3 Condiciones de estancamiento

Las condiciones de estancamiento son de extrema importancia para definir un estado de referencia para fluidos compresibles. El estado de estancamiento está definido como el estado donde la velocidad del flujo es cero

La mayoría de los flujos prácticos empiezan con un gran reservorio donde la velocidad del fluido es despreciable, como se muestra en la figura 4.2(a). Por consiguiente, el gas en el reservorio esta estático. El fluido debe estar acelerado desde un reservorio infinitamente largo con el fin de alcanzar el estado real del flujo del fluido. Alternativamente, el estado de estancamiento podría estar desacelerando el fluido hasta velocidad cero, como se muestra en la figura 4.2(b).

Obviamente, la naturaleza de la desaceleración o la aceleración, determina el final del estado de estancamiento. En orden de obtener un único estado de estancamiento, una restricción se pone en el proceso de desaceleración, manteniendo la entropía constante. Cuando, el estado de estancamiento es alcanzado por el fluido cuando esta desacelerado a velocidad cero isoentropicamente, en el estado a partir del cual se acelera isoentrópicamente a su estado actual. El estado de estancamiento podría ser designado como subíndice cero.

Cuando la ecuación de energía es aplicado al flujo del fluido en la figura 4.2, después

4.6

Donde h0 es la entalpia de estancamiento. La entalpia de estancamiento tiene el mismo valor para todos los estados, que son accesibles adiabáticamente a partir de un dado estado estático, si el proceso de desaceleración es reversible o no. El estado de estancamiento puede establecerse usando la segunda ley de la termodinámica como

4.7

El proceso de desaceleración, que lo rige las ecuaciones 4.6 y 4.7, pueden ser ilustrados en el Diagrama de Mollier, como se muestra en la figura 4.3

Para un gas ideal, h=CpT y despues la ecuación 4.6 se convierte en

4.8ª

O usando C p=kRk−1

4.8b

Cuando T 0es la temperatura de estancamiento y tiene el mismo valor si la aceleración o desaceleración es reversible o no. El proceso que ahora se rige por la ecuación 4.7 y 4.8ª puede ser ilustrado en un diagrama T-s (temperatura-entropía) como se muestra en la figura 4.4

Hay que señalar que la presión de estancamiento P0 , tiene el mismo valor para todos los estados que son accesibles isoentropicamente desde un estado determinado.

El concepto de estado de estancamiento es un estado de referencia que es independiente del tipo de fluido que sea considerado, así como del fluido real bajo investigación. El actual proceso de flujo puede implicar efectos tales como transferencia de calor y fricción a lo largo dela trayectoria del flujo. En cada punto a lo largo de la trayectoria del fluido, hay un estado de estancamiento local que se define como una desaceleración isoentrópica imaginaria. Por consiguiente, en un flujo actual, las condiciones de estancamiento pueden variar de un punto a otro.

Ejemplo 4.1

Un avión está volando a una altitud donde la temperatura del aire es de 17ºC. La temperatura en la nariz del avión fue encontrada en 57ºC, como la velocidad relativa del aire en el avión es cero, determine

a) La velocidad del avión, yb) El número de Mach para el avión

Solución

Cuando el avión atraviesa el aire, como se muestra en la figura 4.5(a), el flujo es inestable, desde la posición del avión va cambiando con respecto al punto de un observador fijo en la tierra, para simplificar el análisis, el flujo podría ser

Visto como constante, considerando un volumen de control está viajando con el avión. En este caso, el aire está viajando hacia el avión estacionario con una velocidad igual y opuesta a la del avión. Cuando la temperatura del aire es el estado estático T=290ºK.la temperatura en la nariz del avión estacionario corresponde a la temperatura de estancamiento T 0=330ºK, desde el punto de la velocidad del aire es cero.

(a) Ecuación 4.8(b) puede ser reordenado para la velocidad como

(b) La velocidad del sonido en el aire ahora puede ser evaluada usando la ecuación 3.7(a)

a=√kRT=√(1.4)¿¿

Entonces el número de Mach para el avión, desde la ecuación 3.8 es

M=Va

=283.5ms−1

341.4ms−1=0.8304

4.4 Velocidades características para dinámica de gases

En el análisis de procesos de dinámica de gases, hay muchas diferentes velocidades características que se utilizan con propósitos de referencia. Algunas de esas velocidades de referencia son dimensionales, mientras que otros no son dimensionales.

4.4.1 velocidades características dimensionales

Hay 3 importantes velocidades dimensionales, que son representativas del conjunto de propiedades para el flujo. Estos se discutirán a continuación

a) Velocidad del sonido en estancamiento

Esta es la velocidad del sonido en el estado de estancamiento y para un gas perfecto, puede ser definido como

(4.9)

Para un flujo adiabático, la velocidad de sonido en estancamiento se mantiene constante

b) Velocidad máxima

Un gas puede alcanzar la velocidad máxima cuando es hipotéticamente expandido a presión cero. La temperatura estática que corresponde a estado también es cero. Por consiguiente, la velocidad máxima para un gas representa la velocidad correspondiente a la transformación completa de la energía cinética asociada con los movimientos aleatorios de las moléculas de gas (energía térmica)

en las indicaciones de energía cinética. La ecuación para velocidad máxima es obtenida construyendo la temperatura cero en la ecuación 4.8(b)

(4.10)

(c) velocidad critica del sonido

Esta es la velocidad del sonido en el estado sónico para un gas perfecto. Donde M=1, y puede tenerse como

(4.11)

El estado crítico, donde el flujo es sónico, es denotado por el índice asterisco, ahora la ecuación 4.8(b) se convierte en

Eliminando T ¿ mediante el uso de la definición de V ¿en la ecuación 4.11, es posible obtener

(4.12)

La relación entre estas tres referencias de velocidad pueden ser obtenidas vía ecuaciones 4.9, 4.10 y 4.11 como

(4.13)

(4.14)

(4.15)

Cuando la definición de la velocidad del sonido en un gas perfecto es introducido en la ecuación de energía adiabática, después

Para la definición de velocidad máxima, esta constante es igual a V max2 cuando la velocidad del

sonido ola temperatura es igual a cero, eso es

Usando las ecuaciones 4.14 y 4.15

(4.16)(a)

La ecuación 4.16(a) es la forma cinemática para la constante, la ecuación de energía adiabática y puede ser reordenada como

(4.16)(b)

La ecuación 4.16(b) es la ecuación de una elipse, y se conoce como la constante elíptica del flujo adiabático, como se muestra en la figura 4.6. Todos los puntos en esta elipse tienen la misma energía total. Cada punto difiere de los otros debido a las proporciones relativas de la energía térmica y energía cinética, y por lo tanto corresponde a diferentes números de Mach. Diferenciando la ecuación 4.16(a) y usando la definición del número de Mach, el número de Mach en cualquier punto puede ser relacionada la pendiente de la elipse como

Por lo tanto el cambio de la pendiente de punto a punto indica como los cambios en el número de Mach está relacionado con los cambios de la velocidad del sonido y la velocidad. Por consiguiente, esta es una comparación directa de las magnitudes relativas para las energías cinética y térmica. Como se observa en la figura 4.6 para los flujos con bajo número de Mach, los cambios en el número de Mach son principalmente debidos a los cambios en la velocidad del sonido. Sin embargo, en los flujos con altos números de Mach, esto se debe a los cambios en la velocidad del sonido, y los efectos en la compresibilidad son dominantes. Un punto importante para notar en la figura 4.6, es el caso correspondiente a M≤0.3, donde los cambios en la velocidad del sonido (los efectos de compresibilidad) son despreciablemente pequeños, estos flujos son considerados como incompresibles

4.4.2 velocidades características no dimensionales

Hay 2 importantes velocidades características no dimensionales, uno es el número de Mach y el otro es el número de Mach referido a las condiciones críticas

(a) Numero de Mach

Esta es una característica de velocidad adimensional muy conveniente y está definido en el capítulo 3, pero tiene 2 desventajas importantes:

1) El número de mach no es proporcional a la velocidad, pero si lo es en función de la temperatura debido a la definición de la velocidad del sonido

2) El número de Mach tiende al infinito en altas velocidades

Así una velocidad adimensional que elimina estas dos desventajas podría ser definida

(b) El número de Mach referido a las condiciones criticas

Esto puede ser obtenido al dividir la velocidad del flujo V, por la velocidad critica del sonido a¿

como

(4.17)

Hay una única relación entre M y M ¿ para flujos adiabáticos. Usando las definiciones de M y M ¿ para las ecuaciones 3.8 y 4.17

(4.18)

Si los primeros y últimos términos de la ecuación 4.16(a) son derivados por a¿, entonces la siguiente relación puede ser obtenida como

Una relación entre M y M ¿puede ser obtenida por sustitución de las ecuaciones 4.17 y 4.18 en la expresión anterior como

Esto puede ser resuelto por M ¿ y M para dar

(4.19)(a)

Y

(4.19)(b)

4.8.2 toberas convergentes-divergentes

Considerando un experimento similar a la descrita en la sección anterior, excepto que ahora se usa una tobera convergente-divergente, como se muestra en la figura 4.27(a). Esta tobera es alimentada desde un depósito o reservorio de estancamiento y descargada en otro reservorio, donde la presión del anterior Pb, es controlada por una válvula. La presión en la salida plana de la tobera convergente-divergente se denota de nuevo como Pc, estos efectos en la variación de la presión anterior en la distribución de la presión por el pasaje, en el plano de salida de presión y de la tasa de flujo de masa se dan en las figuras 4.27(b), 4.27(c) y 4.27(d) respectivamente.

(a) Condición sin flujo (Pb=P0)

Cuando la válvula en el reservorio de descarga es cerrada, la presión es constante a lo largo de la tobera convergente-divergente de tal manera que Pb=Pc=Pt=P0 y, ciertamente, este no es un flujo, esta condición es indicada como el patrón de flujo 1 en a figura 4.27(b).

(b) Régimen del flujo subsónico (Pe 3<Pb<P0)

Cuando la presión posterior en el reservorio de descarga es ligeramente decreciente cuando se abre la válvula, entonces el flujo es subsónico a lo largo de la tobera convergente-divergente, esto es indicado en el patrón de flujo 2 de la figura 4.27(b). La presión estática en el fluido decrece desde la entrada a la garganta, donde alcanza el mínimo valor y se incrementa en la sección divergente. Por consiguiente, la parte convergente de la tobera actúa como una tobera subsónica, mientras que la parte divergente actúa como un difusor subsónico y el pasaje se comporta como un tubo de Venturi convencional. El caudal de masa y la presión en la garganta son susceptibles a la presión posterior. La presión de salida es idéntica a la posterior desde el argumento obtenido en la sección 4.8.1 sigue siendo válida. Por consiguiente, el chorro sale de la boquilla como un sistema cilíndrico paralelo. Como se indica en la figura 4.28(a)

(c) Condiciones de choque (Pb=Pe3)

En el patrón de flujo en la figura 4.27(b), el flujo choca con la garganta cuando el número de Mach es la unidad. La presión de la garganta es igual a la presión crítica, y la presión en la salida es igual a la presión posterior. El flujo es subsónico en cada punto, excepto el punto en la garganta para que la parte divergente actúe como difusor subsónico nuevamente. El chorro sale de nuevo como un sistema cilíndrico paralelo de la tobera convergente-divergente, como se muestra en la figura 4.28(b), desde Pb=Pe3

(d) Régimen de flujo no isoentrópico (Pe 5 y<Pb<Pe 3)

El patrón de flujo 4 de la figura 4.27(b), es la representación típica de este régimen de tipo de flujo, cuando no es isoentrópico. Un fenómeno no isoentrópico, conocido es el choque, transforma el flujo supersónico en la sección divergente, en flujo subsónico. Este régimen de flujo podría ser discutido en el capítulo 5, ya que no es posible de tratar usando la teoría de flujo isoentrópico

(e) Condición de choque a la salida del plano (Pb=Pe5 y)

En esta caso, el fenomeno de choque se mueve a la salida del plano de la tobera convergente-divergente como se indica en el patron de flujo 5 de la figura 4.27(b). Esta condición podría ser investigada en el capitulo 5

(f) Régimen de caudal con expansión excedida (Pe 7<Pb<Pe 5 y)

Una representación tipica de este régimen es dado por el patron de flujo 6 en la figura 4.27(b). el flujo es sónico en la garganta cuando el numero de Mach es la unidad, y es supersónico en toda la seccion de la tobera convergente-divergente. La tasa de flujo de masa es invariante con respecto a la presion posterior, desde que el flujo choca con la garganta. El gas se sobrexpande en el plano de salida, porque la presion en la salida es menor que en la presion posterior. La compresión, cuando ocurre fuera de la tobera, implica o produce ondas no isoentropicas como se muestra en la figura 4.28(e), que no puede ser tratada como un flujo unidimensional, mientras que el flujo alo largo de la tobera sea isoentrópico.

(g) Condiciones de diseño (Pb<Pe 7 ¿

El patron de flujo 7 de la figura 4.27(b) representa la condición actual para diseñar cualquier tobera convergente-divergente. el flujo es enteramente isoentrópico dentro y fuera de la tobera de tal manera que el plano de presion es idéntico con la presion posterior. Debido al ahogo de la garganta, el flujo es supersónico en toda la seccion divergente de la tobera. Siempre que Pb=P3, la forma de la línea de chorro en la tobera es cilíndrico, indicado en la figura 4.28(f).

(h) Régimen de expansión poco expandido (Pb>Pe 7 ¿

Un patron típico de flujo para este régimen es indicado en el patron de flujo 8 en la figura 4.27(b). el flujo es completamente isoentrópico dentro de la tobera, pero la expansión desde el plano de

presion de salida hacia la presion posterior, mientras ocurre fuera de la tobera en la forma de ondas oblicuas de flujo no isoentrópico, como se muestra en la figura 4.28(g). este proceso de expansión no puede ser tratado como un flujo unidimensional. La tasa de flujo de masa es constante y no es afectado por las variaciones en la presion posterior, desde que el flujo choca en la garganta.

Ejemplo 4.8

Una tobera convergente-divergente, con un área de garganta de 0.0035 metros cuadrados, esta unido a un tanque grande de aire en el cual la presion es de 125kPa y la temperatura es de 47ºC, como se muestra en la figura 4.29(a). la tobera expulsa a la atmosfera con una presion de 100kPa. Si el flujo de masa de salida es de 0.9kg.s−1, determinar el área de salida y el numero de Mach en la garganta. El flujo en la tobera es isoentrópico.

Solucion

Primero, es necesario comprobar si la tobera convergente-divergente tiene en su flujo tiene un ahogamiento o choque. Por esta razón, la tasa de flujo de masa no dimensional que es perjudicial para el sistema puede ser calculada como

Que es menos que el valor critico de la tasa de flujo de masa no dimensional, desde

Por consiguiente, la tobera no tiene ahogamiento y el único patron isoentrópico posible es en el régimen de flujo subsónico, por lo tanto

Desde el apéndice c, correspondiente para PeP0

=100kPa125kPa

=0.8

Finalmente, el numero de Mach en la garganta corresponde para puede ser

Obtenido via apéndice C como

El proceso es mostrado en el diagrama T-s de la figura 4.29(b). el aire es primeramente acelerado en la parte convergente de la tobera detal manera que la presion disminuye desdeP0a P1, sin embargo, el flujo en toda la tobera es subsónico y la parte divergente actua como difusor. Por consiguiente, el flujo es desacelerado en la parte divergente, incrementando la presion desde Pia Pe

Ejemplo 4.9

En un punto superior de la garganta de una tobera convergente-divergente, la velocidad, temperatura y presion es de 172m/s, 22ºC y 200kPa respectivamente, como se muestra en la figura 4.30. si la tobera opera en condiciones de diseño, tiene un área de salida de 0.01m2 y descarga a la atmosfera con una presion de 100kPa, determinar la tasa de flujo de masa y el área de garganta de la tobera.

Solución

Si una tobera convergente-divergente esta operando con una condición de diseño, entonces el flujo dentro y fuera dela tobera es enteramente isoentrópico. Incluso, el flujo es ahogado en la garganta. En la seccion 1, la velocidad del sonido es

Y el numero de Mach es

Entonces, las condiciones de estancamiento correspondientes a M 1=0.50, podrían ser usados en el apéndice C:

Y

En condiciones de diseño, P0=P0, despues

Y que corresponde a PeP0

=0.4214 desde el apéndice c

Como se obstruye el flujo en la garganta

P0El proceso es mostrado en el diagrama T-sdela figura 4.30(b). el aire es acelerado a la velocidad del sonido en la parte convergente de la tobera, para que la presion disminuya desde P0 hasta P1. En la parte divergente, el flujo es acelerado desde la velocidad sónica, cuando la presion es disminuida desde P1 hasta Pe