simulacion numerica de la dinamica del flujo alrededor de un tubo con aletas inclinadas a distint

Instituto Politécnico Nacional

Escuela Superior de Ingeniería Mecánica y Eléctrica

Sección de Estudios de Posgrado e Investigación

Unidad Profesional Zacatenco

“Simulación Numérica de la dinámica del flujo alrededor de un tubo con aletas inclinadas a distintos ángulos”

Tesis: Que para obtener el grado de Maestro en Ciencias en Ingeniería Mecánica

Presenta:

Ing. Joel Raúl García Figueroa

Director: Dr. Simón López Ramírez

Co-director:

Dr. Ignacio Carvajal Mariscal

México D.F. Noviembre 2006

Simulación Numérica de la dinámica del flujo alrededor de un tubo con aletas inclinadas a distintos ángulos

Joel Raúl García Figueroa II


Joel Raúl García Figueroa III


Joel Raúl García Figueroa IV


Joel Raúl García Figueroa V


Joel Raúl García Figueroa VI


Joel Raúl García Figueroa VII

Agradecimientos:


Joel Raúl García Figueroa VIII


Joel Raúl García Figueroa 1

Contenido LISTA DE FIGURAS ..............................................................................................5 NOMENCLATURA.................................................................................................9 RESUMEN ..............................................................................................................12 ABSTRACT ............................................................................................................14 INTRODUCCIÓN..................................................................................................16 CAPÍTULO 1 EQUIPOS DE TRANSFERENCIA DE CALOR .....................18 1.1 TIPOS DE INTERCAMBIADORES DE CALOR ...........................................................19 1.2 INVESTIGACIONES REALIZADAS EN EL ESTUDIO PARA EL INCREMENTO

DEL INTERCAMBIO DE CALOR...................................................................................21 1.3 MÉTODOS NO CONVENCIONALES PARA EL INCREMENTO DE LA

EFICIENCIA TÉRMICA EN EQUIPOS DE TRANSFERENCIA DE CALOR CON TUBOS ALETADOS...........................................................................................................23

1.4 TUBOS CON ALETAS INCLINADAS .............................................................................27 CAPÍTULO 2 FUNDAMENTOS DE LA DINÁMICA DE FLUIDOS

COMPUTACIONALES ........................................................................30 2.1 ECUACIONES BÁSICAS...................................................................................................31

2.1.1 Ecuación de continuidad ..............................................................................................31 2.1.2 Ecuación de momentum...............................................................................................31 2.1.3 Estado General de Esfuerzos de Cuerpos Deformables ...............................................33 2.1.4 Estado General de Deformación del Flujo de Fluidos .................................................35 2.1.5 Relaciones Entre los Esfuerzos y la Tasa de Deformación..........................................37 2.1.6 La Hipótesis de Stokes .................................................................................................38 2.1.7 Ecuaciones de Navier-Stokes .......................................................................................39 2.1.8 Capa limite hidrodinámica ..........................................................................................39

2.1.8.1 Ecuación de la capa límite.....................................................................................41 2.1.8.2 Solución de Blasius de la capa límite laminar en una placa plana........................42 2.1.8.3 Flujo con un gradiente de presión .........................................................................43

2.2 DINÁMICA DE FLUIDOS COMPUTACIONALES.......................................................45 2.2.1 Principios de modelado de la turbulencia ....................................................................46 2.2.2 Solución numérica de las ecuaciones diferenciales parciales ......................................52 2.2.3 Técnicas de discretización numérica............................................................................53

2.2.3.1 Método de las diferencias finitas...........................................................................53 2.2.3.2 Método del elemento finito ...................................................................................56 2.2.3.3 Método del volumen finito....................................................................................59



2.3.4 Solución de las ecuaciones en su forma discreta..........................................................61 2.3.4.1 Convergencia y estabilidad ...................................................................................62

2.3.5 Obtención de la solución de la presión.........................................................................63 2.3.6 Proceso de análisis. ......................................................................................................65

2.3.6.1 Esquema básico de análisis ...................................................................................65 2.3.6.2 Formulación del problema ....................................................................................66 2.3.6.3 Definición de la geometría y la malla ...................................................................67 2.3.6.4 Parametrización del fluido ....................................................................................69 2.3.6.5 Solución numérica.................................................................................................69 2.3.6.6 Análisis de resultados............................................................................................70 2.3.6.7 Elementos físicos...................................................................................................70 2.3.6.8 Elementos lógicos .................................................................................................71

CAPÍTULO 3 DESCRIPCIÓN DEL MODELO NUMÉRICO DEL

SOFTWARE FLUENT .........................................................................74 3.1 PROGRAMA FLUENT........................................................................................................75

3.1.1 Estructura del programa ...............................................................................................75 3.1.2 Capacidades del programa ............................................................................................75 3.1.3 Planificación del análisis..............................................................................................76 3.1.4 Pasos para la resolución del problema .........................................................................76

3.2 MODELADO DEL FLUJO DE FLUIDO BÁSICO .........................................................77 3.2.1 Ecuaciones de continuidad y momentum.....................................................................77

3.2.1.1 Ecuación de conservación de masa. ......................................................................77 3.2.1.2 Ecuaciones de conservación de momentum..........................................................77

3.3 MODELADO DE LA TURBULENCIA ............................................................................78 3.3.1 Selección de un modelo de turbulencia........................................................................78 3.3.2 Aproximación de Reynolds-Promedio .........................................................................79

3.3.2.1 Ensamble de las ecuaciones Reynolds-Promedio .................................................79 3.3.3 Aproximación Boussinesq vs. Modelos de Transporte de Esfuerzos de Reynolds ......80

3.3.3.1 El modelo de Spalart-Allmaras .............................................................................81 3.3.3.2 El Modelo ε−k estándar.....................................................................................81 3.3.3.3 El modelo ε−k RNG............................................................................................82 3.3.3.4 El modelo ε−k Realizable. ................................................................................82 3.3.3.5 El modelo ω−k estándar .....................................................................................83 3.3.3.6 El modelo ω−k de Transporte de Esfuerzos Cortantes (SST) ............................83 3.3.3.7 El modelo de Esfuerzos de Reynolds (RSM)........................................................83

3.3.4 Esfuerzo computacional: Tiempo de CPU y comportamiento de la solución..............84 3.3.5 El Modelo de los Esfuerzos de Reynolds (RSM).........................................................85

3.3.5.1 Ecuaciones de Transporte de los Esfuerzos de Reynolds .....................................85 3.3.5.2 Modelado del transporte de la turbulencia difusiva ..............................................86 3.3.5.3 Modelado del Término Presión-Deformación......................................................86

3.3.5.3.1 Modelado lineal..............................................................................................86 3.3.5.3.2 Modelo Presión-Deformación Cuadrático .....................................................87



3.3.5.4 Modelado de la energía cinética turbulenta...........................................................88 3.3.5.5 Modelado de la tasa de disipación.........................................................................89 3.3.5.6 Modelado de la viscosidad turbulenta...................................................................89 3.3.5.7 Condiciones de frontera para los Esfuerzos de Reynolds .....................................89

3.4 TRATAMIENTOS CERCANOS A LA PARED PARA FLUJOS TURBULENTOS LIMITADOS POR PAREDES. ..........................................................................................90 3.4.1 Vista General................................................................................................................90 3.4.2 Funciones de pared vs. modelos cercanos a la pared ...................................................92

3.4.2.1 Funciones de pared................................................................................................93 3.4.2.1.1 Funciones de pared estándar ..........................................................................93 3.4.2.1.2 Funciones de pared desequilibradas...............................................................95 3.4.2.1.3 Funciones de pared estándar vs. funciones de pared desequilibradas............96 3.4.2.1.4 Limitaciones de la aproximación por funciones de pared..............................97

3.4.2.2 Tratamiento de pared extendido............................................................................97 3.4.2.2.1 Modelo de las dos capas para tratamientos de pared extendidos ...................98 3.4.2.2.2 Funciones de pared extendidas.....................................................................100

3.5 CONSIDERACIONES DE MALLADO PARA SIMULACIONES DE FLUJOS TURBULENTOS ...............................................................................................................102 3.5.1 Guías de mallado cercano a la pared para funciones de pared...................................102 3.5.2 Guías de mallado cercano a la pared para tratamientos de pared extendido..............103

3.6 USO DEL SOLUCIONADOR ..........................................................................................103 3.6.1 Panorama general de los esquemas numéricos ..........................................................103 3.6.2 Método de solución segregado...................................................................................104 3.6.3 Método de solución acoplado.....................................................................................105 3.6.4 Linealización: Implícita vs Explícita..........................................................................106

3.7 DISCRETIZACIÓN...........................................................................................................108 3.7.1 Esquema corriente arriba de primer orden .................................................................109 3.7.2 Esquema de ley de potencia .......................................................................................109 3.7.3 Esquema Corriente Arriba de Segundo Orden...........................................................111 3.7.4 Esquema QUICK .......................................................................................................111 3.7.5 Forma linealizada de la ecuación discreta..................................................................112 3.7.6 Bajo relajación............................................................................................................112

CAPÍTULO 4 SIMULACIÓN DEL CASO DE ESTUDIO Y ANÁLISIS DE

RESULTADOS.....................................................................................114 4.1 DESCRIPCIÓN DEL EXPERIMENTO DE LA DINÁMICA DE FLUIDOS EN UN

TUBO CON ALETAS INCLINADAS A 45° ..................................................................115 4.2 RECURSOS COMPUTACIONALES (HARDWARE Y SOFTWARE) USADOS EN

LA SIMULACIÓN. ...........................................................................................................118 4.3 DESCRIPCIÓN DE LA SIMULACIÓN .......................................................................118

4.3.1 Características del flujo..............................................................................................122 4.3.2 Dominio computacional. ............................................................................................123 4.3.3 Condiciones de operación ..........................................................................................123 4.3.4 Condiciones de frontera .............................................................................................123



4.4 ANÁLISIS DE INDEPENDENCIA DE MALLA ..........................................................124 4.5 VALIDACIÓN DE LA SIMULACIÓN ...........................................................................124 4.6 ANÁLISIS DE RESULTADOS ........................................................................................134

4.6.1 Resultados a 45º .........................................................................................................134 4.6.2 Resultados a 30º y 15º ................................................................................................139 4.6.3 Coeficientes de arrastre ..............................................................................................151

CONCLUSIONES................................................................................................152 ANEXO 1 DESCRIPCIÓN MATEMÁTICA DE LOS MODELOS DE

TURBULENCIA ..................................................................................154 ANEXO 2 RESULTADOS NUMÉRICOS EMPLEANDO DISTINTOS

MODELOS DE TURBULENCIA. .....................................................176 REFERENCIAS ...................................................................................................188



Lista de Figuras Capítulo 1

Figura 1.1 Intercambiador de calor de doble tubo 16 20 Figura 1.2 Intercambiador de calor de flujo cruzado16 20 Figura 1.3 Intercambiador de calor tipo tubo y armazón16 20 Figura 1.4 Configuraciones de intercambiadores de calor compactos16 21 Figura 1.5 Distintos tipos de tubos aletados las aletas10 24 Figura 1.6 Tubo con aletas circulares rectas y esquema de la dinámica del flujo entre las aletas10 24 Figura 1.7 Zonas características del flujo en la superficie de una aleta recta. 1.- Zona de intensa vorticidad 2.-

Zona posterior de contracorrientes10 25 Figura 1.8 Tubo con doblez de aleta y esquema de la dinámica del flujo entre las aletas10 25 Figura 1.9 Tubos aletados con cortes en el filo y doblado de las puntas en direcciones opuestas 26 Figura 1.10 Tubo con aletas recortadas 26 Figura 1.11 Tubo con aletas recortadas 27 Figura 1.12 Tubo con aletas inclinadas10 27

Capítulo 2

Figura 2.1 Esfuerzos en un elemento de volumen14 33 Figura 2.2 Desplazamiento de AB a '' BA 14 35 Figura 2.3 Capa límite sobre una placa plana16 40 Figura2.4 Distribución de velocidades de la capa límite sobre una placa plana en la región laminar16 43 Figura 2.5 Variación en la velocidad y sus derivadas a lo largo de la capa límite laminar para 0/ =dxdP 16 44 Figura 2.6 Variación en la velocidad y derivadas en la capa límite laminar con diferentes dxdp / 16 44 Figura 2.7 Perfil de velocidades en la región de separación del flujo16 45 Figura 2.8 Flujo turbulento alrededor de un cilindro18 47 Figura 2.9 Soluciones posibles para la función f(x)19 52 Figura 2.10 Localización de los puntos en la Serie de Taylor20 53 Figura 2.11 Malla en el espacio x-t20 55 Figura 2.12 Elemento bidimensional de dos nodos20 56 Figura 2.13 Volumen finito en una dimensión22 60 Figura 2.14 Esquemas de solución19 61 Figura 2.15 Información del flujo para un esquema explícito19 62 Figura 2.16 Diagrama de flujo para el análisis computacional 66 Figura 2.17 Tipos de estructura de malla22 67 Figura 2.18 Tipos de elementos22 68 Figura 2.19 Tipos de bloques para mallas22 68

Capítulo 3

Figura 3.1 Subdivisiones de la región cercana a la pared29 91 Figure 3.2 Tratamientos cercanos a la pared en FLUENT41 92 Figura 3.3 Vista general del método de solución Segregado 105



Figura 3.4 Vista general del método de solución Acoplado 106 Figura 3.5 Volumen de control usado para ilustrar la discretización de una ecuación de transporte escalar 109 Figura 3.6 Variación de una variable φ entre x=0 y x=L 110 Figure 3.7 Volumen de control unidimensional 111

Capítulo 4

Figura 4.1 Descripción del experimento 115 Figura 4.2 a) Distribución de coeficientes de presión a lo largo de la aleta a distintos ángulos (cara exterior)116 Figura 4.2 b) Distribución de coeficientes de presión a lo largo de la aleta a distintos ángulos (cara interior)117 Figura 4.3 Descripción de la simulación 118 Figura 4.4 Longitud de referencia Vs velocidad del flujo libre para la determinación de y+ inicial 119 Figura 4.5 Distribución del mallado del dominio computacional, mostrando un ciclo 121 Figura 4.6 Dimensiones del dominio computacional 122 Figura 4.7 Condiciones de frontera 124 Figura 4.8 a) Correlación de datos cara exterior de la aleta (Datos de la simulaciòn) 129 Figura 4.8 b) Correlación de datos cara exterior de la aleta (Datos experimentales) 130 Figura 4.9 a) Correlación de datos cara interior de la aleta (Datos de la simulaciòn) 131 Figura 4.9 b) Correlación de datos cara interior de la aleta (Datos experimentales) 132 Figura 4.10 Distribucións de coeficiente de presión 134 Figura 4.11 Distribucións de magnitud de la velocidad 135 Figura 4.12 Distribucións de la velocidad en dirección x 135 Figura 4.13 Distribucións de velocidad en dirección y 136 Figura 4.14 Distribución de velocidad en dirección z 136 Figura 4.15 Ángulo relativo de la velocidad 137 Figura 4.16 Distribución de magnitud y angulo relativo de velocidad en el tubo y en la cara exterior 137 Figura 4.17 Distribución de magnitud y angulo relativo de velocidad en el tubo y en la cara exterior 138 Figura 4.18 Distribución de la velocidad en dirección x 138 Figura 4.19 Distribución de mangnitud de la velocidad a 0º, 90º,180º y lìneas de corriente 139 Figura 4.20 Vista lateral de las mallas empleadas para los caso a 45º, 30º y 15ª. 139 Figura 4.21 Distribución de coeficiente de presión (45°) 140 Figura 4.22 Distribución de coeficiente de presión (30°) 140 Figura 4.23 Distribución de coeficiente de presión (15°) 140 Figura 4.24 Distribución de mangnitud de la velocidad (45°) 146 Figura 4.25 Distribución de mangnitud de la velocidad (30°) 146 Figura 4.26 Distribución de mangnitud de la velocidad (15°) 146 Figura 4.27 Distribución de velocidad en dirección x (45°) 147 Figura 4.28 Distribución de velocidad en dirección x (30°) 147 Figura 4.29 Distribución de velocidad en dirección x (15°) 147 Figura 4.30 Distribución de velocidad en dirección y (45°) 148 Figura 4.31 Distribución de velocidad en dirección y (30°) 148 Figura 4.32 Distribución de velocidad en dirección y (15°) 148 Figura 4.33 Distribución de velocidad en dirección z (45°) 149 Figura 4.34 Distribución de velocidad en dirección z (30°) 149 Figura 4.35 Distribución de velocidad en dirección z (15°) 149 Figura 4.36 Distribución de ángulo relativo de la velocidad (45°) 150 Figura 4.37 Distribución de ángulo relativo de la velocidad (30°) 150 Figura 4.38 Distribución de ángulo relativo de la velocidad (15°) 150

Figura 4.39 a) Distribución de coeficientes de presión sobre la aleta a 30° a distintos ángulos (Cara Exterior)141 Figura 4.39 b) Distribución de coeficientes de presión sobre la aleta a 30° a distintos ángulos (Cara Interior)142 Figura 4.40 a) Distribución de coeficientes de presión sobre la aleta a 15° a distintos ángulo (Cara Exterior)143 Figura 4.40 b) Distribución de coeficientes de presión sobre la aleta a 15° a distintos ángulos (Cara Interior)144



Anexo 1

Figura A2.1 Distribución de coeficientes de presión sobre la cara exterior de la aleta a 45° a distintos ángulos utilizando el modelo de turbulencia k-ε std. 177

Figura A2.2 Distribución de coeficientes de presión sobre la cara interior de la aleta a 45° a distintos ángulos utilizando el modelo de turbulencia k-ε std. 178

Figura A2.3 Distribución de coeficientes de presión sobre la cara exterior de la aleta a 45° a distintos ángulos utilizando el modelo de turbulencia k-ε RNG. 179

Figura A2.4 Distribución de coeficientes de presión sobre la cara interior de la aleta a 45° a distintos ángulos utilizando el modelo de turbulencia k-ε RNG. 180

Figura A2.5 Distribución de coeficientes de presión sobre la cara exterior de la aleta a 45° a distintos ángulos utilizando el modelo de turbulencia k-ε REAL. 181

Figura A2.6 Distribución de coeficientes de presión sobre la cara interior de la aleta a 45° a distintos ángulos utilizando el modelo de turbulencia k-ε REAL. 182

Figura A2.7 Distribución de coeficientes de presión sobre la cara exterior de la aleta a 45° a distintos ángulos utilizando el modelo de turbulencia k-ω. 183

Figura A2.8 Distribución de coeficientes de presión sobre la cara interior de la aleta a 45° a distintos ángulos utilizando el modelo de turbulencia k-ω. 184

Figura A2.9 Distribución de coeficientes de presión sobre la cara exterior de la aleta a 45° a distintos ángulos utilizando el modelo de turbulencia Spalart-Allmaras. 185

Figura A2.10 Distribución de coeficientes de presión sobre la cara interior de la aleta a 45° a distintos ángulos utilizando el modelo de turbulencia Spalart-Allmaras. 186



Nomenclatura

DCBA ,,, Matrices

ijb Tensor anisotrópico de esfuerzos [Pa]

pc Coeficiente de presión

fxC Coeficiente de fricción superficial local

fLC Coeficiente de fricción superficial medio

ijC Término de convección d Distancia normal a la pared [m]

ijLD , Término de difusión turbulenta

ijTD , Término de difusión molecular →

F Fuerzas de cuerpo por unidad de volumen. [N/m3] →

g Gravedad [m/s2] k Energía cinética turbulenta l Longitud de escala [m]

μl Longitud de escala turbulenta (3.43) p Presión [Pa] →

p Vector de esfuerzos [Pa] p Presión promedio [Pa]

'p Presión fluctuante [Pa]

∞p Presión de operación [Pa]

ijP Término de producción de esfuerzos →

P Fuerza de área por unidad de volumen [N/m3] q Presión dinámica [Pa] →

r Vector de posición [m] Re Número de Reynolds

xRe Número de Reynolds local

yRe Número de Reynolds turbulento →

s Vector de desplazamiento [m] ijS Tasa de deformación media [1/s]

S Superficie [m2] t Tiempo [s]

wvu ,, Velocidad componentes (x,y,z) [m/s] wvu ,, Velocidad promedio [m/s]



',',' wvu Velocidad fluctuante [m/s] Φ,U Funciones arbitrarias

*U Función de ley de pared ∞U Velocidad del flujo libre o velocidad de referencia [m/s]

→

v Vector Velocidad [m/s] V Volumen [m3]

+y Y más en la pared *y Y asterisco en la pared

vy Espesor físico de la subcapa viscosa [m]

ny Altura de la celda [m] δ Espesor de la capa límite / delta de Kronecker [m]

ijδ Delta de Kroenecker ε Tasa de disipación turbulenta

ijkε

ijkε Término de disipación •

ε Tensor de tasa de deformación ρ Densidad [kg/m3] σ Esfuerzo normal [Pa] σ Tensor de esfuerzos [Pa] τ Esfuerzo tangencial o cortante [Pa]

wτ Esfuerzo cortante en la pared [Pa]

Turbijτ Esfuerzos cortantes turbulentos [Pa] ζ Vorticidad [1/s] μ Viscosidad absoluta [kg/m.s]

tμ Viscosidad turbulenta [kg/m.s]

effμ Viscosidad efectiva [kg/m.s] =

τ Tensor de esfuerzos viscoso [Pa]

ελ Función de mezclado ν Volumen específico [kg/m3]

ijφ Término de presión deformación

ijΩ Tensor de tasa de rotación media κ Constante de Von Kárman v~ Viscosidad turbulenta modificada [kg/m.s] →

ω Velocidad angular con componentes ),,( zyx ωωω [rad/s]

ω Tasa de disipación específica



rel∠ Ángulo relativo de la velocidad [deg]



Resumen

Se llevó a cabo el estudio numérico del flujo de aire turbulento, tridimensional, estable e

incompresible alrededor de un tubo con aletas inclinadas a 45° dentro de un conducto para un número de Reynolds de 55800.

Se emplearon diversos modelos de turbulencia para hacer el estudio, los cuales fueron:

Spalart-Allmaras, ε−k estándar, ε−k RNG, ε−k Realizable, ω−k estándar, ω−k SST y RSM con las aproximaciones de función de pared de no-equilibrio. Se emplearon condiciones de frontera periódicas modelando únicamente un canal formado entre las caras de las aletas del tubo (interior y exterior).

Se estudiaron las distribuciones de coeficientes de presión sobre las caras de las aletas, así

como las magnitudes de la velocidad, sus componentes y ángulo relativo de la velocidad de las celdas adyacentes a las caras; para comprender la topología compleja del flujo. Los resultados se validaron con resultados experimentales y de los cuales se puede observar que los mejores resultados se obtuvieron con el modelo RSM con la formulación presión-deformación cuadrática. Se analizó la dinámica del flujo para obtener una mejor comprensión de la misma.

Se observó que la dinámica de flujo se puede dividir en dos zonas principales 1) a la

entrada del tubo (0º) existe una zona de desprendimiento donde se genera un vórtice el cual se desliza sobre toda la cara interior del tubo hasta los 90º aproximadamente; el cual incrementa la velocidad del flujo en esta región sobre la cara interior y 2) a la salida del tubo (140º-180º) existe una zona de recirculación de muy baja velocidad que afecta principalmente la cara interior, donde se genera otro vórtice en el centro del tubo a los 150°.

También se llevaron a cabo dos simulaciones más para la misma geometría pero con inclinación de las aletas de 30 y 15°. Se observó que conforme se va incrementando el ángulo de la aleta, la distribución de los coeficientes de presión es más compleja y se incrementa la resistencia al avance.



Abstract A numerical study of air around a tube with inclined fins at 45° inside a duct was carried out considering steady, turbulent, three-dimensional, and incompressible flow with a Reynolds number of 56000. Different turbulence models were used to make the study: Spalart-Allmaras, ε−k standard, ε−k RNG, ε−k Realizable, ω−k standard, ω−k SST and the Reynolds Stress Model with near wall functions and no-equilibrium wall treatment. Periodic boundary conditions were used modeling only the channel between de fins faces and the duct. Finwise pressure coefficient distribution at different angles over the outer and inner faces, magnitudes of velocity and their component and relative velocity angle at the near wall cells were studied to understand the topology of the flow. Numerical results were validated with experimental data, and it was found that the best results were obtained with the Reynolds Stress Turbulence Model and the cuadratic pressure-strain model. A complete fluid dynamic flow analysis was made to get a complete understanding of the flow. It was seen that the flow dynamics can be divided into two main zones 1) at the finned tube inlet (0°) there is a region where the flow deattaches and generates a vortex that slides all over the lower face up to 90°; which increases flow velocity all over this region and 2) at the finned tube outlet (140°-180°) there is a low velocity recirculation zone that affects the inner face, where a vortex generates at the tube wall (150°). It also was carried out two more simulations for the same geometry but at 30° and 15° incidence fin angle. It was seen that as the fin angle increases, pressure coefficient distribution gets more complex and drag coefficient increases.



Introducción

Debido a la creciente demanda de energía, es necesario el ahorro y uso eficiente de la misma. Uno de los problemas que surgen con más frecuencia en la industria es la de transferir energía de un fluido a otro, empleando para este fin diferentes intercambiadores de calor. El diseño y construcción de estos equipos requiere cada vez más de incrementar la eficiencia para asegurar el aprovechamiento de las fuentes de energía en forma óptima. Una forma común para incrementar la transferencia de calor entre una superficie y un fluido adyacentes, (cuando el fluido es un gas que por regla general posee una baja capacidad calorífica) es incrementar el área superficial en contacto con el fluido por medio de superficies extendidas o aletas. Más aún si se modifica el ángulo de incidencia de estas aletas con respecto al flujo se puede incrementar mucho más la transferencia de calor sin incrementar de manera considerable las caídas de presión o consumo de energía. Por otra parte la distribución de coeficientes de convección alrededor de toda la superficie de contacto en los intercambiadores de calor es completamente dependiente de la dinámica del flujo que se presenta alrededor del mismo. De aquí que la comprensión del comportamiento de la dinámica del flujo alrededor de los intercambiadores de calor sea tan importante. Sin embargo, la principal limitante radica en el hecho de que el flujo alrededor de los elementos de los intercambiadores de calor es muy complejo y por medio de un estudio experimental no es fácil obtener los datos necesarios, tales como campos de vectores, distribuciones de presiones, o visualizaciones del flujo alrededor de los elementos de estos equipos; por restricciones en costo, tiempo, dimensiones de los mismos, etc. De aquí que si se lleva a cabo una simulación numérica para el estudio de estos equipos; muchas de las limitaciones que se tienen cuando se lleva a cabo el estudio experimental quedan solventadas.

Es aquí donde se demuestran las virtudes del uso de la DFC tanto para el diseño como para el análisis de equipos intercambiadores de calor; ya que, está ampliamente reconocido que es una de las aproximaciones más prometedoras al complementar el análisis experimental con simulaciones computacionales, reduciendo de esta manera costos y tiempos, obteniendo una comprensión más completa de la dinámica del fluido e identificando las regiones o zonas críticas que afectan el desempeño, minimizando los factores adversos, resultando en la optimización del equipo. En este trabajo se llevó a cabo la simulación de la dinámica del flujo alrededor de un tubo con aletas inclinadas a 45° y validando los resultados con datos experimentales; para poder identificar los modelos de turbulencia, tratamientos de pared, método de discretización y dimensiones de la malla. Esta información se utiliza en la simulación de los casos en los que las aletas están inclinadas a 15 y 35° para poder y así llevar a cabo una comparación entre los tres casos.



La tesis se divide en los siguientes capítulos: En el Capítulo 1 se muestran los tipos de intercambiadores de calor, estudios e investigaciones orientados a incrementar la eficiencia de estos equipos, describiendo a detalle el uso de tubos con aletas inclinadas como una opción para conseguir este fin. Las ecuaciones básicas empleadas en la dinámica de fluidos, el uso de estas para describir el comportamiento de la capa límite laminar y con gradientes de presión adversos, así como estas ecuaciones son modificadas para modelar la turbulencia y como es posible resolverlas por medio de la discretización numérica como fundamentos de la dinámica de fluidos computacionales se muestra en el Capítulo 2. El modelo numérico del software FLUENT se describe en el Capítulo 3, desde las ecuaciones básicas, el modelo de turbulencia RSM, los distintos modelos de tratamientos de pared, consideraciones de mallado para cada tipo de tratamiento de pared, tipos de solucionadores y métodos de discretización. Por último en el Capítulo 4 se presenta la descripción del experimento usado para validar los resultados. Se describe el procedimiento que se siguió para realizar la simulación se validan y se analizan los resultados para el caso a 45°; finalizando con la comparación entre los casos a 45°, 30° y 15°.



Capítulo 1 Equipos de transferencia de calor

En este capítulo se muestran los tipos de intercambiadores de calor, estudios e investigaciones orientados a incrementar la eficiencia de estos equipos, describiendo a detalle el uso de tubos con aletas inclinadas como una opción para conseguir este fin.



Aquellos equipos cuyo principal propósito es la transferencia de energía entre dos fluidos

son llamadas intercambiadores de calor. Los intercambiadores de calor son usualmente clasificados en tres categorías:

1. regeneradores; 2. intercambiadores del tipo abierto; y 3. intercambiadores del tipo cerrado o recuperadores.

Los regeneradores son intercambiadores en los cuales los fluidos caliente como el frío fluyen alternadamente a través del mismo espacio con el menor mezclado físico entre las dos corrientes como sea posible. La cantidad de energía transferida depende de las propiedades tanto del fluido como del flujo así como de la geometría y las propiedades térmicas de la superficie. Los intercambiadores del tipo abierto son, como está implícito en su nombre, dispositivos donde se mezclan físicamente las corrientes de los dos fluidos. Los fluidos caliente y frío entran al intercambiador del tipo abierto y salen como una sola corriente. La naturaleza de la corriente de salida se predice empleando la ecuación de continuidad y la ecuación de la primera ley de la termodinámica; no son necesarias ecuaciones de tasas para el análisis de esta tipo de intercambiadores. El tercer tipo de intercambiadores de calor, los recuperadores, son los de primordial importancia en la industria. En los recuperadores las corrientes de fluido caliente y frío nunca entran en contacto entre sí, ya que están separadas por la pared de un tubo o superficie las cuales pueden ser planas o curvas de alguna manera. El intercambio de calor se lleva a cabo de un fluido hacia la superficie por convección, a través de la pared por conducción, y después por convección de la pared al segundo fluido.

1.1 Tipos de intercambiadores de calor En adición a lo considerado en los intercambiadores de calor del tipo cerrado, los recuperadores se clasifican de acuerdo a su configuración y al número de pasadas hechas por cada corriente de fluido al cruzar por intercambiador de calor. Los intercambiadores de calor de una sola pasada son aquellos en los que cada fluido cruza el intercambiador solamente una vez. Un término descriptivo adicional identifica las direcciones relativas de las dos corrientes, los términos flujo paralelo o flujo concurrente son usados cuando los fluidos fluyen en la misma dirección, flujo contra corrientes si los dos flujos de fluidos fluyen en direcciones opuestas, y flujo cruzado si los dos flujos de fluidos fluyen a ángulos rectángulos uno con respecto al otro. Una configuración de una sola pasada común es el arreglo de doble tubo mostrado en la figura 1.1. El arreglo de flujo cruzado se muestra en la figura 1.2.



Figura 1.1 Intercambiador de calor de doble tubo 16

Para conseguir la mayor transferencia de calor en el menor espacio posible, es deseable utilizar pasadas múltiples de uno o ambos fluidos. Una configuración popular es el arreglo tubo y armazón mostrado en la figura 1.3. En esta configuración el fluido del lado tubo hace dos pasadas mientras que el fluido del lado armazón hace solamente una pasada. El buen mezclado del fluido lado armazón se lleva a cabo con las guías mostradas. Sin estas guías el fluido se estancaría en ciertas partes del armazón, así el flujo es parcialmente acanalado en estas regiones de estancamiento, y se obtiene un desempeño ligeramente menor al óptimo.

Figura 1.2 Intercambiador de calor de flujo cruzado16

Figura 1.3 Intercambiador de calor tipo tubo y armazón16

Nuevas y mayores aplicaciones recientes, requieren configuraciones más compactas de las que se encuentran disponibles por el arreglo tubo y armazón. El término compactividad de los intercambiadores de calor ha sido investigado extensamente y con mucha profundidad en las últimas décadas. Ejemplos típicos de arreglos compactos se muestran en la figura 1.4.



Figura 1.4 Configuraciones de intercambiadores de calor compactos16

1.2 Investigaciones realizadas en el estudio para el incremento del intercambio de calor

Los fenómenos de flujo y transferencia de calor en espacios confinados han sido un tema de

gran interés, ya que en muchos procesos industriales este tipo de arreglos es muy utilizado. Así mismo debido a la creciente demanda de energía se ha hecho necesario aumentar la eficiencia de los equipos de proceso, buscando con ello, obtener el máximo aprovechamiento de las fuentes energéticas.

Algunos de los trabajos enfocados al estudio de este tipo de fenómeno son los siguientes:

• Gleenwood1 muestra en su trabajo que el uso de tubos aletados en intercambiadores de calor es una buena solución para aumentar la transferencia de calor. Los equipos que se benefician con este tipo de tubos son diversos; tales como evaporadores, recuperadores, condensadores, enfriadores, etc. El artículo discute la aplicación y utilización, así como las ventajas de los intercambiadores de calor con tubos aletados.

• Torri et al.2 proponen una técnica novedosa con la que se puede incrementar la transferencia de calor y no obstante puede reducir la caídas de presión en intercambiadores de calor que emplean tubos aletados con aletas continuas de placa plana y tubos circulares para flujos con números de Reynolds relativamente bajos, utilizando generadores de vórtice del tipo ala delta. La configuración propuesta retraza considerablemente la separación, reduce el arrastre, y remueve las zonas de baja transferencia de calor de la estela de los tubos. Se observó que al usar los generadores de vórtice en bancos de tubos alternados, la transferencia de calor se incremento de un 10 hasta un 30% con una reducción de las pérdidas de presión de un 34 hasta un 55% para números de Reynolds de 350 a 2100. Para bancos de tubos en línea, se observó un incremento de 10 hasta un 20%, y una reducción de 8 hasta un 15% respectivamente.

• Herchan Ay et al.3 llevaron a cabo un estudio experimental para monitorear la distribución de temperatura sobre una aleta tipo placa dentro de un intercambiador de calor de tubos aletados, utilizando visión térmica infrarroja. Empleando esta técnica demostraron que se pueden detectar fácilmente las regiones de separación de



la capa límite facilitando la comprensión e interpretación detallada del fenómeno de la dinámica del flujo. Sus resultados muestran también que para bancos de tubos alternados los coeficientes de transferencia de calor por convección son entre un 14 hasta un 32 % mayores que para bancos de tubos en línea.

• Gentry4 investiga como se incrementa la transferencia de calor al colocar generadores de vórtice tipo ala delta en el borde de ataque de una placa plana y un conducto. Estudia los coeficientes de convección locales y la estructura de los vórtices midiendo la fuerza de los mismos. Observa que en las regiones que los vórtices inducen un flujo hacia la placa los coeficientes de convección se incrementan hasta en un 300%, dependiendo de la fuerza del vórtice y su ubicación relativa con respecto a la capa límite. La intensidad de los vórtices se incrementa con el número de Reynolds, con el alargamiento del ala, con el ángulo de ataque del ala, y la intensidad de los mismos disminuyen corriente abajo. Considerando la superficie completa del canal, el mayor incremento en el coeficiente de transferencia de calor promedio espacial es del 55%, esto acompañado de un incremento en la caída de presión del 100% relativo al mismo canal sin el generado de vórtices tipo ala delta.

• O’Brien y Sohal5 presentan los resultados de un estudio experimental de transferencia de calor por convección forzada en un pequeño conducto rectangular el cual posee en su entrada pares de generadores de vórtices. El conducto fue diseñado para simular un pasaje único de un intercambiador de calor de tubos aletados. Llevaron a cabo mediciones de la transferencia de calor con una técnica transitoria en la cual aire caliente es introducida al conducto de manera repentina. Se llevaron estudios para un amplio rango de número de Reynolds (670-6300). En su estudio observaron que estos generadores de vórtice incrementaban la transferencia de calor en un 50%.

• Yanaoka y et al.6 investigaron las separaciones y contactos de un flujo laminar con transferencia de calor sobre una placa plana con espesor no despreciable dentro de un canal cuadrado por medio de simulaciones numéricas. Sus resultados muestran que la longitud de re-adherencia se incrementa al incrementar el Re y el flujo en la zona de recirculación se vuelve tridimensional. La línea de re-adherencia es curva por la influencia de las paredes. El comportamiento bidimensional del flujo se reduce al incrementar Re.

• Zhang7 llevo a cabo una investigación numérica del flujo e intercambio de calor en un conducto corrugado triangular transversal. Para su estudio empleo cuatro modelos de turbulencia, ε−k estándar (SKE), grupo renormalizado ε−k renormalizado (RNG), ω−k para bajos Re (LKW) y el RSM, con funciones no equilibradas de pared en el caso que aplique. En sus resultados observó que el modelo RSM de manera general presenta los mejores resultados para un rango de 2000<Re<20,000. Sin embargo, para el rango de 2000<Re<6000 el modelo LKW se aproxima mejor a los datos experimentales, mientras que el modelo SKE es el mejor en el rango de 2000<Re<20,000. Al comparar los resultados con conductos con placas planas, el conducto corrugado incrementa la transferencia de calor de un 40 a un 60%, pero con una penalidad en el incremento en la caída de presión 2 veces mayor. Se investigan los campos de velocidad, temperatura y turbulencia para observar los mecanismos en el incremento de la transferencia de calor.



• Abu-Hijleh8 investigó el problema de la dinámica del flujo con transferencia de calor sobre un cilindro horizontal con aletas múltiples, igualmente espaciadas, permeables de alta conductividad. Estudió las características de la transferencia de calor de un cilindro con aletas permeables contra otro con aletas sólidas para una gran cantidad de combinaciones del número de aletas y altura de las mismas para un rango del Re de 5-200. Las aletas permeables poseen tazas mucho mayores de transferencia de calor comparadas con las aletas sólidas tradicionales para las mismas configuraciones. En sus resultados muestra que el uso de 1 o 2 aletas permeables resulta en mucho mayores números de Nusselt que si se utilizarán 18 aletas sólidas.

• Tiwari et al.9 investigaron numéricamente la dinámica del flujo y transferencia de calor en un conducto rectangular en el cual se encontraba un tubo circular para moderados números de Reynolds y distintas relaciones de bloqueo. Ya que la transferencia de calor es dependiente de la dinámica del flujo se enfocaron al estudio de esta última. Observaron que las líneas de corriente entre la pared del conducto y el tubo presentan un campo de flujo muy complejo. Esta investigación la llevaron a cabo por la necesidad de incrementar la transferencia de calor en intercambiadores con tubos aletados para identificar las zonas de bajo intercambio de calor. Ya que se estudiaron bajos números de Reynolds no se empleo ningún modelo de turbulencia para describir la transferencia de calor.

De aquí queda claro que el estudio para el incremento del intercambio de calor en espacios

confinados sigue siendo un tema actual y de gran interés tanto para investigadores como para la industria. También se aprecia que ya que los fenómenos que están involucrados son muy complejos en estas investigaciones; una excelente herramienta y línea de investigación es la dinámica de fluidos computacionales, porque facilita en sobremanera su estudio y comprensión llevando a cabo estudios paramétricos analizando muchas variables para observar y comprender el comportamiento general del flujo e intercambio de calor.

1.3 Métodos no convencionales para el incremento de la eficiencia térmica en equipos de transferencia de calor con tubos aletados.

En los libros referentes a Mecánica de Fluidos, Transferencia de Calor o Fenómenos de

Transporte; no es raro encontrar algún capítulo encaminado al estudio de los fenómenos de flujo y transferencia de calor en tubos. Sin embargo, su análisis se concreta al estudio de geometrías simples y procesos globales. Estas investigaciones no descubren el mecanismo de la transferencia de calor ni la dinámica de flujo en los elementos de un intercambiador de calor, sean estos tubos aletados o placas. Al desconocer estos importantes fenómenos no se tiene una visión clara de la manera en que se puede incrementar la eficiencia térmica de los intercambiadores, es decir, de que modo se puede intensificar el proceso de transferencia de calor o disminuir la resistencia aerodinámica.



Figura 1.5 Distintos tipos de tubos aletados las aletas10

1) y2) Aletas circulares de espesor constante. 3) y 4) Aletas circulares dentadas 5) Aletas enrolladas 6) y 8) Aletas de ceras enroladas y 7) tubos dentados en espiral

Por este motivo en los últimos años varios investigadores se han dedicado a estudiar la

dinámica del flujo y la transferencia de calor local en tubos, tubos aletados y banco de tubos; varios de sus resultados han servido para aclarar muchas incógnitas sobre los fenómenos antes mencionados, lo que ha dado lugar a la aparición de una infinidad de soluciones para incrementar sustancialmente la eficiencia térmica de los intercambiadores de calor, principalmente modificando la forma de las aletas.

Figura 1.6 Tubo con aletas circulares rectas y esquema de la dinámica del flujo entre las aletas10

Una alternativa para incrementar la eficiencia de los intercambiadores de calor con tubos

aletados es utilizar una geometría diferente de la aleta. Esta claro que la creación de métodos efectivos para intensificar la transferencia de calor

debe estar basada en el estudio detallado de la dinámica del flujo en los canales entre las aletas y en el espacio entre los tubos. Así mismo es importante determinar la distribución del coeficiente de convección en las superficies de la aleta y del tubo ya que es el parámetro más importante para determinar el flujo de calor.

Estos datos experimentales proporcionan una visión del mecanismo de la transferencia de

calor y la influencia de los distintos parámetros del proceso (velocidades, régimen térmico, etc.),



de la geometría de las aletas (altura, espesor, distancia entre aletas) y arreglo del banco de tubos. Hasta el momento sigue siendo de gran actualidad el problema de la intensificación de la transferencia de calor en los bancos de tubos aletados expuestos a un flujo transversal.

Esto debido a que los diferentes intentos para incrementar la transferencia de calor de las

aletas recurriendo a cortes y perforaciones, y arreglos especiales de los bancos de tubos con aletas recortadas, no proporcionan una alta eficiencia térmica (en el mejor de los casos se alcanza un 35% en total). En la figura 1.5 se muestra algunas variedades de estos tubos empleados comercialmente

Figura 1.7 Zonas características del flujo en la superficie de una aleta recta. 1.- Zona de intensa vorticidad 2.-

Zona posterior de contracorrientes10 Varios investigadores han estudiado los fenómenos locales en las aletas, uno de ellos

Pismennyi10, presentó los resultados experimentales en los cuales la transferencia de calor y la corriente en los canales entre las aletas se caracteriza por la formación de macrovórtices en la parte frontal del tubo (figura 1.6), los cuales influyen en la transferencia de calor y en la aerodinámica de la parte posterior del sistema aleta-tubo (el llamado “horseshoe”) (figura 1.7).

Figura 1.8 Tubo con doblez de aleta y esquema de la dinámica del flujo entre las aletas10

Precisamente, aplicando estos resultados, Pismennyi propone una forma no convencional de

aleta para incrementar la transferencia de calor en las superficies extendidas (figura 1.8). a la parte posterior de la aleta se le hizo un doblez para crear una especia de deflector donde el flujo se acelera, incrementándose de esta manera la transferencia de calor en esta zona. Además parte del flujo es forzado a pasar a través del canal formado por las aletas lo que también contribuye a incrementar la transferencia de calor en la parte lateral de la misma. Estas medidas provocan un incremento hasta del 77% en la transferencia de calor con un valor cercano de la resistencia hidráulica.



Kuntysh11 et al. investigó las características térmicas y aerodinámicas de una superficie

extendida con cortes en el filo y doblando las puntas en direcciones opuestas como se muestra en la Figura 1.9. Los cortes prácticamente no disminuyen las superficie de las aletas y permiten incrementar la transmisión de calor entre un 12 y un 36% dependiendo de los parámetros de las aletas. El efecto de perturbación del flujo es mayor mientras más aumente la altura de la aleta, sin embargo, en todos los casos el incremento de la resistencia al avance sobrepasa notoriamente el incremento de la transmisión de calor.

Figura 1.9 Tubos aletados con cortes en el filo y doblado de las puntas en direcciones opuestas

a) corte recto b) corte en un ángulo

Kuntysh12 también llevo a cabo un estudio en un banco de tubos aletados recortando la parte trasera de la aleta (con respecto al flujo) como se muestra en la Figura 1.10, la cual se caracteriza por poseer bajos valores de coeficiente de convección local. Al mismo tiempo, se disminuyen el peso y las dimensiones de la superficie de intercambio. Los resultados que obtuvo muestran que los coeficients de convección en relación con la superficie total del tubo con aletas recortadas, aumenta en comparación con las de un tubo con aletas convecionales en un 23% para un número de Reynolds de 3000 y en un 30% para un número de Reynolds de 25000; mientras que la resistencia aerodinámica prácticamente no varía. Sin embargo, el calor transferido disipado por la superficie de intercambio se reduce de un 13% a un 23% debido a la disminución en el área de la superficie de intercambio de calor. Los autores suponen que al aplicar las aletas recortadas se puede economizar hasta un 28% de metal utilizado en la fabricación de las aletas.

Figura 1.10 Tubo con aletas recortadas

Weierman13 estudió la aplicación de tubos con aletas recortadas (Figura 1.11), sus

resultados muestran que la sustitución de las aletas circulares convencionales por aletas segmentadas, bajo condiciones equivalentes de operación, trae consigo una disminución de la cantidad de tubos en el banco de un 18 a un 20%. El intercambio de calor se intensifica debido a:



1. la disminución del espesor de la capa límite causada principalmente por la pequeña dimensión de cada segmento;

2. la perturbación del flujo debida a su desprendimiento de los filos de cada segmento; 3. cada segmento representa en si una aleta recta rectangular, la cual como se sabe,

tiene un coeficiente de eficiencia superior al de las aletas circulares.

Así mismo, debido a su particular configuración, se reduce el peso y la cantidad de metal utilizada en la fabricación de los equipos de intercambio de calor compuestos de tubos con aletas segmentada.

Figura 1.11 Tubo con aletas recortadas

1.4 Tubos con aletas inclinadas En estudios recientes realizados por Carvajal-Mariscal et al.14 sobre el estudio de la

dinámica del flujo en los canales formados por dos aletas inclinadas, se propone extender la superficie de calefacción e intensificar la transferencia de calor, inclinando la aleta radial en un ángulo dado con respecto al eje axial del tubo (figura 12). Se muestra además que la resistencia aerodinámica de este tipo de tubos aletados es ligeramente superior a la presentada por tubos lisos. Además se investigaron la distribución local del coeficiente de convección15 en un canal el cual poseía en su interior cilindros con aletas inclinadas a 20°. Los resultados de estos trabajos llevan a la conclusión de que este tipo de tubos tienen buenas perspectivas para poder ser utilizados en equipos de intercambio de calor.

Figura 1.12 Tubo con aletas inclinadas10

En este capítulo se presentaron los tipos de intercambiadores de calor, así como algunas investigaciones realizadas orientadas al incremento de estos equipos, así como el uso de tubos



con aletas inclinadas como método no convencional para el incremento de la eficiencia térmica en equipos de transferencia de calor.

En el siguiente capítulo se describen los fundamentos de la Dinámica de Fluidos Computacionales.



Capítulo 2 Fundamentos de la Dinámica de Fluidos Computacionales

En este capítulo se describen los modelos matemáticos para modelar la dinámica del flujo de fluidos viscosos y su aplicación para la resolución de la capa límite laminar y con gradientes de presión. También se describen los principios de modelado de la turbulencia, métodos de discretización, esquemas de resolución y el proceso de análisis empleados en la dinámica de fluidos computacionales.



2.1 Ecuaciones Básicas

2.1.1 Ecuación de continuidad La ecuación de continuidad o de conservación de masa expresa el hecho de que por unidad de volumen, la suma de toda la masa que esta fluyendo hacia adentro y hacia fuera de un volumen debe ser igual al cambio de masa debido al cambio de la densidad por unidad de tiempo. Para flujos transitorios, la conservación de masa en un volumen )(tV de cualquier material puede escribirse como16

∫ =)(

0tV

dVdtd ρ

o si se utiliza el teorema de transporte se tiene que

0)()(

=⎟⎠⎞

⎜⎝⎛ +

∂∂

∫→

dVvdivttV

ρρ

Ya que V es arbitrario, esto lleva a la ecuación diferencial

0)( =+∂∂ →

vdivt

ρρ (1.1)

la cual es valida en cualquier punto del fluido. Para la obtención de esta ecuación se ha

considerado que tanto ρ como →

v son continuas y diferenciables. Para un fluido incompresible, ρ es constante y la ecuación (1.1) se reduce a

0)( =→

vdiv (1.2) La condición de densidad constante en todo el flujo es suficiente pero no necesaria para tener un flujo incompresible ya que en el caso de flujos en los que se tiene densidad estratificada, la densidad en el flujo es variable, pero cada partícula de fluido mantiene su densidad.

2.1.2 Ecuación de momentum La ecuación de momentum es la ley básica de mecánica que expresa que la masa por la aceleración es igual a la suma de las fuerzas de cuerpo y de superficie (fuerzas de presión y



fricción). Las fuerzas de cuerpo se consideran como fuerzas externas, mientras que las fuerzas de superficie dependen en el estado de deformación o de movimiento del fluido. Si se considera el momentum lineal el fluido contenido en )(tV , las fuerzas que actúan en este volumen son las fuerzas internas superficiales que actúan en la frontera S de V junto con cualquier fuerza de cuerpo externa que pudiera actuar. Si se asume que el fluido es no viscoso entonces las fuerzas internas únicamente son aquellas debido a la presión, las cuales actúan a lo largo de una normal a la superficie en cualquier punto. Suponiendo que existe una fuerza de

cuerpo externa →

F por unidad de masa y que se aplica la ecuación de Newton al fluido entonces

∫∫∫→→

+−=)()()( tVtStV

dVFpdSdVvdtd ρρ

y usando el teorema de transporte en el lado izquierdo y el teorema de divergencia en la integral de superficie del lado derecho se obtiene

∫∫→→→→

+−=⎟⎠⎞

⎜⎝⎛ +

∂∂

)())(()()(

tVdVFpgraddVvdivvv

tρρρ

Si se recuerda que )(tV es arbitrario y usando la ecuación (1.1), se reduce esto a

)( pgradFtv

−=∂∂ →

→

ρ (1.3)

la cual es la ecuación de Euler para un fluido no viscoso. Si ambas ecuaciones (1.1) y (1.3) se satisfacen, se puede verificar que el momentum angular de cualquier volumen V también se conserva. Para un fluido incompresible, la ecuación (1.2) y (1.3) son suficientes para determinar p y v. Si se considera la ecuación de momentum en su forma general se tiene que:

→→→→→→

+=⋅+∂∂

= PFvgradvtv

DtvD )(ρ (1.4)

Las fuerzas de cuerpo se consideran como fuerzas externas prescritas, mientras que las fuerzas de superficie dependen en el estado de deformación o de movimiento del fluido. Todas las fuerzas de superficie en un elemento de volumen determinan el estado de esfuerzo. Para determinar la ecuación de transporte es necesario determinar la relación entre los esfuerzos y las deformaciones. Para llevar a cabo la determinación de la ecuación de transporte de momentum para flujos viscosos se consideran fluidos Newtonianos isotrópicos. Todos los gases y muchos fluidos, en particular el agua, son miembros de esta categoría. Un fluido es considerado isotrópico si la



relación entre el tensor de esfuerzos y el tensor de la tasa de deformación es la misma en todas direcciones. Si esta relación es lineal se consideran como fluidos Newtonianos.

2.1.3 Estado General de Esfuerzos de Cuerpos Deformables Para determinar las fuerzas de cuerpo, se considera un elemento de volumen diferencial donde dzdydxdV ⋅⋅= como se ve en la Figura 2.1., cuya esquina frontal izquierda posee las coordenadas ),,( zyx .

Figura 2.1 Esfuerzos en un elemento de volumen14

Los esfuerzos en el eje x actúan en las superficies normales a este de área dzdy ⋅ los cuales son17:

xp→

y dxxp

p xx ∂

∂+

→→

(1.5)

Si se consideran términos similares para los ejes y y z las fuerzas de superficie resultantes en los tres ejes son:

En el plano ⊥ a la dirección x: dzdydxxpx ⋅⋅⋅

∂∂

→

En el plano ⊥ a la dirección y: dzdydxypy ⋅⋅⋅

∂

∂→

En el plano ⊥ a la dirección z: dzdydxzpz ⋅⋅⋅

∂∂

→

La fuerza de superficie total →

P por unidad de volumen dV resultante estado de esfuerzos es:



zp

yp

xp

P zyx

∂∂

+∂

∂+

∂∂

=

→→→→

(1.6)

Donde xp→

, yp→

y zp→

son vectores los cuales pueden descomponerse en sus componentes normales (σ ) y tangenciales (τ ) de acuerdo a la cara donde esta siendo aplicada. Al llevar a cabo la descomposición se tiene que:

( ) ( ) ( )kjip xzxyxx ττσ ++=→

( ) ( ) ( )kjip yzyyxy τστ ++=→

(1.7)

( ) ( ) ( )kjip zzyzxz σττ ++=→

El estado de esfuerzos queda determinado por nueve cantidades escalares las cuales forman el tensor de esfuerzos. Ya que el tensor de esfuerzos es simétrico en forma matricial queda representado por:

⎟⎟⎟

⎠

⎞

⎜⎜⎜

⎝

⎛

=

zyzxz

yzyxy

xzxyx

στττστττσ

σ (1.8)

Si se sustituyen las ecuaciones (1.7) y (1.8) en la ecuación (1.6) se tiene que:

jzyx

jzyx

izyx

P zyzxzyzyxyxzxyx⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛∂

∂+

∂∂

+∂

∂+⎟⎟

⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛∂

∂+

∂∂

+∂

∂+⎟⎟

⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛∂

∂+

∂∂

+∂

∂=

→ στττστττσ (1.9)

Si se descomponen los términos de los esfuerzos normales de tal manera que contengan la presión hidródinámica:

pxxx += στ , pyyy += στ , pzzz += στ (1.10) Sustituyendo (1.9) y (1.10) en la ecuación (1.4) se tiene que:

⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛∂

∂+

∂∂

+∂

∂+

∂∂

−=⋅+∂∂

=→

zyxxpFugradv

tu

DtDu xzxyxx

xτττρ )(

⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛∂

∂+

∂∂

+∂

∂+

∂∂

−=⋅+∂∂

=→

zyxypFvgradv

tv

DtDv yzyyxy

y

τττρ )( (1.11)

⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛∂

∂+

∂∂

+∂

∂+

∂∂

−=⋅+∂∂

=→

zyxzpFwgradv

tw

DtDw zzyzxz

zτττρ )(



En notación vectorial

)()()( τρ divpgradFvgradvtv

DtvD

+−=⋅+∂∂

=→→→

→→

(1.12)

Donde τ es el tensor de esfuerzos viscoso definido por:

⎟⎟⎟

⎠

⎞

⎜⎜⎜

⎝

⎛

=

zzyzxz

yzyyxy

xzxyxx

τττττττττ

τ (1.13)

El sistema de tres ecuaciones (1.11) contiene seis componentes del tensor de esfuerzos viscoso. En seguida se deben determinar las relaciones entre estas seis cantidades y la tasa de deformación para introducir las componentes de la velocidad u, v y w o sus derivadas del lado derecho de las ecuaciones (1.11).

2.1.4 Estado General de Deformación del Flujo de Fluidos Cuando existe un flujo de un fluido, con el transcurso del tiempo, cada elemento del fluido se encontrará en una distinta posición. A lo largo de este movimiento el elemento de fluido experimenta cierta deformación. Ya que el movimiento del fluido esta completamente determinado si se conoce el vector velocidad como función del espacio y del tiempo,

),,,( tzyxvv→→

= , existen relaciones cinemáticas entre la tasa de deformación y esta función. La tasa de deformación para un elemento de fluido depende del movimiento relativo entre dos puntos. Si se consideran dos puntos A y B (Figura 2.2), como consecuencia del campo de

velocidad, el punto A se mueve a 'A en el intervalo dt, donde dtvs→→

=

Figura 2.2 Desplazamiento de AB a '' BA 14

Ya que la velocidad en el punto B , el cual esta a una distancia

→

rd del punto A , es diferente a la de A , B se mueve hacia el punto 'B , el cual esta a una distancia



dtvdvsds )(→→→→

+=+ del punto B . Si se conocen las componentes de la velocidad u, v y w en el punto A, las componentes de la velocidad en el punto B pueden encontrarse por la expansión de una serie de Taylor de primer orden para obtener

dzzudy

yudx

xuuduu

∂∂

+∂∂

+∂∂

+=+

dzzvdy

yvdx

xvvdvv

∂∂

+∂∂

+∂∂

+=+ (1.14)

dzzwdy

ywdx

xwwdww

∂∂

+∂∂

+∂∂

+=+

El movimiento del punto B relativo al punto A entonces queda descrito por la siguiente matriz de nueve derivadas parciales de la velocidad local:

⎟⎟⎟⎟⎟⎟⎟

⎠

⎞

⎜⎜⎜⎜⎜⎜⎜

⎝

⎛

∂∂

∂∂

∂∂

∂∂

∂∂

∂∂

∂∂

∂∂

∂∂

zw

yw

xw

zv

yv

xv

zu

yu

xu

(1.15)

Si se arreglan los términos de la expresión (1.14) relativo a las componentes de velocidad du , dv , dw de la siguiente manera:

( )dydzdzdydxdu zyxzxyx ωωεεε −+⎟⎠⎞

⎜⎝⎛ ++=

•••

( )dzdxdzdydxdv xzyzyxy ωωεεε −+⎟⎠⎞

⎜⎝⎛ ++=

•••

(1.16)

( )dxdydzdydxdw yxzzyzx ωωεεε −+⎟⎠⎞

⎜⎝⎛ ++=

•••

Se puede mostrar que las nuevas cantidades de la ecuación (1.16) poseen las siguientes definiciones

⎟⎟⎟⎟⎟⎟⎟⎟

⎠

⎞

⎜⎜⎜⎜⎜⎜⎜⎜

⎝

⎛

∂∂

⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛∂∂

+∂∂

⎟⎠⎞

⎜⎝⎛

∂∂

+∂∂

⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛∂∂

+∂∂

∂∂

⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛∂∂

+∂∂

⎟⎠⎞

⎜⎝⎛

∂∂

+∂∂

⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛∂∂

+∂∂

∂∂

=

⎟⎟⎟⎟⎟

⎠

⎞

⎜⎜⎜⎜⎜

⎝

⎛

=•••

•••

•••

•

zw

yw

zv

zw

zu

zv

yw

yv

xv

yu

zu

xw

yu

xv

xu

zzyzx

yzyxy

xzxyx

21

21

21

21

21

21

εεε

εεε

εεε

ε (1.17)



y

⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛∂∂

−∂∂

=zv

yw

x 21ω ; ⎟

⎠⎞

⎜⎝⎛

∂∂

−∂∂

=xw

zu

y 21ω ; ⎟⎟

⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛∂∂

−∂∂

=yu

xv

z 21ω (1.18)

donde •

ε es el tensor de la tasa de deformación y ,, yx ωω y zω son las componentes de la

velocidad angular del vector →

ω , el cual esta relacionado con el vector vorticidad por:

)(2→→

== vrotωζ A partir de esto, el movimiento de un elemento de fluido puede descomponerse en cuatro componentes:

a) Traslación pura, descrita por las componentes del vector velocidad →

v b) Rotación de cuerpo rígido, descrito por las componentes del vector de velocidad angular

→

ω c) Dilatación volumétrica, descrito por las componentes de la diagonal principal del tensor

de tasa de deformación las cuales representan dilataciones lineales y para flujos

incompresibles se tiene que 0)( =→

vdiv d) Deformaciones angulares, descrito por las componentes restantes del tensor de tasa de

deformación.

2.1.5 Relaciones Entre los Esfuerzos y la Tasa de Deformación Las ecuaciones que acoplan las fuerzas de superficie con el flujo del fluido pueden obtenerse solamente por la interpretación de resultados experimentales y debe recordarse que son para fluidos Newtonianos isotrópicos. Si el fluido esta en reposo, no existen esfuerzos tangenciales o los esfuerzos normales son iguales al negativo de la presión hidrostática. Como se vio en la sección anterior tanto los desplazamientos como las rotaciones de cuerpo rígido no generan esfuerzos en los elementos de fluido del flujo. De aquí se pude concluir que las componentes del tensor de esfuerzos viscoso dependan únicamente de los gradientes de velocidad y sus posibles combinaciones. Estas relaciones deben ser lineales y deben permanecer inalteradas cuando se lleve a cabo una rotación de los ejes, y, debido a la isotropía, cuando se intercambien los mismos. La condición de isotropía requiere que los ejes principales del tensor de esfuerzos coincidan con los ejes del tensor de tasa de deformación en todos los puntos del campo.



De esto se pude observar que la isotropía solo puede conservarse si cada uno de los tres esfuerzos normales xxτ , yyτ , zzτ depende solamente de las componentes del tensor de tasa de deformación en esas mismas direcciones, y de la suma de sus tres componentes. Con esto se tienen las siguientes expresiones que únicamente contienen las derivadas espaciales de las componentes de la velocidad:

xu

zw

yv

xu

xx ∂∂

+⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛∂∂

+∂∂

+∂∂

= μλτ 2

yv

zw

yv

xu

yy ∂∂

+⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛∂∂

+∂∂

+∂∂

= μλτ 2 (1.19)

zw

zw

yv

xu

zz ∂∂

+⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛∂∂

+∂∂

+∂∂

= μλτ 2

El primer término del lado derecho representa la dilatación volumétrica, y el segundo término representa la dilatación lineal. El factor de 2 es un término introducido para identificar a la constante μ con la viscosidad dinámica. El segundo factor λ solamente posee algún

significado para flujos compresibles ya que para flujos incompresibles 0)( =→

vdiv . De aquí también se tiene que:

⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛∂∂

+∂∂

=yu

xv

xy μτ

⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛∂∂

+∂∂

=zv

yw

yz μτ (1.20)

⎟⎠⎞

⎜⎝⎛

∂∂

+∂∂

=xw

zu

xz μτ

2.1.6 La Hipótesis de Stokes La hipótesis de Stokes plantea que:

023 =+ μλ o μλ32

−= (1.21)

Considerando esta la ecuación (1.19) queda de la siguiente forma

xuvdivpx ∂

∂+−−=

→

μμσ 2)(32

yvvdivpy ∂

∂+−−=

→

μμσ 2)(32 (1.19)



zwvdivpz ∂

∂+−−=

→

μμσ 2)(32

Aunque la ecuación (1.21) pude considerarse como una simple hipótesis, la validez de esta, esta comprobada por un gran número de experimentos, algunos de ellos en condiciones extremas, por lo que describen de manera muy aproximada los procesos físicos reales. En este punto debe notarse que si λ y μ son proporcionales, todos los términos que contengan a λ como factor pueden ser despreciados en la teoría de capa límite.

2.1.7 Ecuaciones de Navier-Stokes Si las ecuaciones de transporte (relaciones constitutivas) (1.19) y (1.20) se introducen en la ecuación de momentum (1.11) y se considera la hipótesis de Stokes (1.21) se tiene las ecuaciones de Navier-Stokes:

⎥⎦

⎤⎢⎣

⎡⎟⎠⎞

⎜⎝⎛

∂∂

+∂∂

∂∂

+⎥⎦

⎤⎢⎣

⎡⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛∂∂

+∂∂

∂∂

+⎥⎦

⎤⎢⎣

⎡⎟⎠⎞

⎜⎝⎛ −

∂∂

∂∂

+∂∂

−=→

zu

xw

zxv

yu

yvdiv

xu

xxpF

DtDu

x μμμρ )(322

⎥⎦

⎤⎢⎣

⎡⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛∂∂

+∂∂

∂∂

+⎥⎦

⎤⎢⎣

⎡⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛∂∂

+∂∂

∂∂

+⎥⎦

⎤⎢⎣

⎡⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛−

∂∂

∂∂

+∂∂

−=→

xv

yu

xyw

zv

zvdiv

yv

yypF

DtDv

y μμμρ )(322 (1.11)

⎥⎦

⎤⎢⎣

⎡⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛∂∂

+∂∂

∂∂

+⎥⎦

⎤⎢⎣

⎡⎟⎠⎞

⎜⎝⎛

∂∂

+∂∂

∂∂

+⎥⎦

⎤⎢⎣

⎡⎟⎠⎞

⎜⎝⎛ −

∂∂

∂∂

+∂∂

−=→

yw

zv

yzu

xw

xvdiv

zw

zzpF

DtDw

z μμμρ )(322

Utilizando notación vectorial se tiene que:

)()( τρ divpgradFDt

vD+−=

→→

donde

⎟⎠⎞

⎜⎝⎛ −=

→•

)(322 vdivδεπτ

2.1.8 Capa limite hidrodinámica En agosto de 1904 se llevó a cabo el Tercer congreso Internacional de Matemáticas en

Heidelberg18, donde Prandtl presentó su artículo “On the motion of fluids of very small viscosity”. Las principales conclusiones a las que llegó Prandtl en su artículo fue que el flujo alrededor de un cuerpo puede subdividirse en dos regiones3:



1. Una pequeña capa límite se forma sobre las paredes del sólido como resultado de la fricción viscosa. En esta capa la velocidad varía del valor del de la corriente libre hasta cero sobre la pared donde el fluido se adhiere a la frontera. La viscosidad del fluido, aunque es extremadamente pequeña, no puede despreciarse en comparación con el espesor δ de la capa límite.

2. En la región fuera de la capa límite, la viscosidad puede despreciarse y el flujo puede tratarse como no viscoso.

De acuerdo con la hipótesis de Prandtl, los efectos de la fricción del fluido a altos números de Reynolds están limitados únicamente a la capa límite. Esto significa que la presión en la capa límite es la misma que la presión en el flujo no viscoso fuera de la capa límite. La principal importancia de la teoría de Prandtl radica en la simplificación que permite el tratamiento analítico de los flujos viscosos. La presión, por ejemplo, puede obtenerse de experimentos o de la teoría de flujos no viscosos. De aquí que las únicas incógnitas sean las componentes de la velocidad. La figura 2.3 muestra la capa límite sobre una placa plana4. El espesor de la capa límite, δ, se considera como la dimensión arbitraria desde la superficie donde la velocidad alcanza un 99% de la velocidad del flujo libre.

Figura 2.3 Capa límite sobre una placa plana16

La figura 2.3 ilustra como el espesor de la capa límite se incrementa con la distancia x desde el borde de ataque. A valores relativamente pequeños de x, el flujo dentro de la capa límite es laminar, lo cual es considerado como la región laminar de la capa límite. A valores mayores de x la región de transición se muestra donde ocurren las fluctuaciones entre el flujo laminar y el flujo turbulento dentro de la capa límite. Finalmente, para cierto valor de x, y más adelante, la capa límite siempre es turbulenta. En la región en la que la capa límite es turbulenta, existe una muy pequeña capa de fluido llamada subcapa laminar, donde el flujo aún es laminar y existen grandes gradientes de velocidad. El criterio empleado para saber que tipo de capa límite esta presente es el número de Reynolds, Rex, conocido como número de Reynolds local, basado en la distancia x desde el borde de ataque. El número de Reynolds local se define como:

μρ∞≡

xvxRe (1.38)



Para el flujo sobre una placa plana, datos experimentales muestran que:

a) Rex<2x105 La capa límite es laminar b) 2x105< Rex <3x106 La capa límite puede ser laminar o turbulenta c) 3x106 <Rex La capa límite es turbulenta

2.1.8.1 Ecuación de la capa límite El concepto de una delgada capa límite a altos números de Reynolds lleva a importantes simplificaciones de las ecuaciones de Navier-Stokes19. Para un flujo incompresible, bidimensional sobre una placa plana, las ecuaciones de Navier-Stokes son:

yxyv

vxv

vt

v yxxxxy

xx

x

∂

∂+

∂∂

=⎭⎬⎫

⎩⎨⎧

∂∂

+∂∂

+∂

∂ τσρ (1.39)

y

yxyv

vxv

vt

v yyxyyy

yx

y

∂

∂+

∂

∂=

⎭⎬⎫

⎩⎨⎧

∂

∂+

∂

∂+

∂

∂ στρ (1.40)

donde )//( xvyv yxyxxy ∂∂+∂∂== μττ , )/(2 xvp xxx ∂∂+−= μσ y )/(2 yvp yyy ∂∂+−= μσ . El esfuerzo en una capa límite delgada se aproxima de la forma )/( yvx ∂∂μ . Esto puede verse al considerar las magnitudes relativas de yvx ∂∂ / y xvy ∂∂ / . De la figura 2.3 se puede escribir

δδ yx vv / ~ )/( δxΘ , donde Θ significa orden de magnitud. Entonces

yvx

∂∂ ~ Θ ⎟

⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛

δδxv

xvy

∂

∂~ Θ ⎟

⎟

⎠

⎞

⎜⎜

⎝

⎛

x

vy δ

de tal manera que

xvyv

y

x

∂∂∂∂

// ~ Θ

2

⎟⎠⎞

⎜⎝⎛

δx

Lo cual, para una capa límite relativamente delgada, es un gran número, y por lo tanto

xvyv yx ∂∂>>∂∂ // . El esfuerzo normal a grandes números de Reynolds es aproximadamente

cercano al negativo de la presión como )/( xvx ∂∂μ ~ )Re/()/( 2xvxv ∞∞ Θ=Θ ρμ ; por lo que

pyyxx −≈≈ σσ . Cuando estas simplificaciones en los esfuerzos son incorporadas, las ecuaciones del flujo sobre una placa plana se convierten en

2

2

yv

xp

yvv

xvv

tv xx

yx

xx

∂∂

+∂∂

=⎭⎬⎫

⎩⎨⎧

∂∂

+∂∂

+∂

∂ μρ (1.41)

y



2

2

xv

yp

yv

vxv

vt

v yyy

yx

y

∂∂

+∂∂

−=⎭⎬⎫

⎩⎨⎧

∂∂

+∂∂

+∂

∂μρ (1.42)

Más aún, los términos en la segunda ecuación son mucho más pequeños que aquellos en la primera ecuación, y por lo tanto 0/ ≈∂∂ yp ; mientras que dxdpxp // =∂∂ , lo cual de acuerdo a la ecuación de Bernoulli es igual a dxdvv /∞∞− ρ . Las ecuación (1.41) se convierte en

2

2

yv

xvv

yv

vxv

vt

v xxy

xx

x

∂∂

+∂

∂=

∂∂

+∂∂

+∂

∂ ∞∞ ν (1.43)

La ecuación (1.43) y la ecuación de continuidad

0=∂

∂+

∂∂

yv

xv yx (1.44)

Son conocidas como las ecuaciones de la capa límite.

2.1.8.2 Solución de Blasius de la capa límite laminar en una placa plana Un caso muy importante en el que una solución analítica de las ecuaciones de movimiento se ha llevado a cabo, es en el caso de la capa límite en una placa plana en flujo estable. Para un flujo paralelo a una superficie plana, ∞∞ = vxv )( , y 0/ =dxdp de acuerdo con la ecuación de Bernoulli. Las ecuaciones a resolver son entonces las siguientes:

2

2

yv

yv

vxv

v xxy

xx ∂

∂=

∂∂

+∂∂

ν (1.45a)

y

0=∂

∂+

∂∂

yv

xv yx (1.45b)

con las siguientes condiciones de frontera 0== yx vv en 0=y , y ∞= vvx en ∞=y . Blasius obtuvo la solución del conjunto de ecuaciones (1.45) al introducir la función de corriente Ψ , la cual satisface automáticamente la ecuación de continuidad bidimensional (1.45b). En la figura 2.4 se observa la distribución de velocidades de la capa límite en la región laminar sobre una placa plana. Los resultados más significativos del trabajo de Blaisus fueron:

a) El espesor de la capa límite esta determinado por la siguiente relación



xxvx Re55

==∞

ν

δ (1.46)

b) Debido a que la presión no contribuye al arrastre por el flujo sobre la placa plana,

toda la fuerza de arrastre es viscosa. El coeficiente de fricción superficial local esta determinado por la siguiente relación

xfx xv

CRe664.0664.0 ==

∞

ν (1.47)

Y si se integra este coeficiente a lo largo de toda la superficie el coeficiente de fricción superficial media queda determinado por

LfL Lv

CRe328.1328.1 ==

∞

ν (1.48)

Figura2.4 Distribución de velocidades de la capa límite sobre una placa plana en la región laminar16

2.1.8.3 Flujo con un gradiente de presión En la solución de Blasius para flujo laminar sobre una placa plana, el gradiente de presión es cero. Un flujo mucho más común involucra el flujo con un gradiente de presión. La gradiente de presión juega un papel importantísimo en la separación del flujo como puede apreciarse con la ayuda de la ecuación de la capa límite (1.41). Si hacemos que las condiciones de frontera en la pared 0== yx vv en 0=y , la ecuación (1.41) se convierte en

dxdp

yv

y

x =∂∂

=02

2

μ



lo cual relaciona la curvatura del perfil de velocidad en la superficie con el gradiente de presión. La figura 2.5 ilustra la variación en xv , yvx ∂∂ / , y 22 / dyvx∂ a lo largo de la capa límite para el caso de un gradiente de presión igual a cero.

Figura 2.5 Variación en la velocidad y sus derivadas a lo largo de la capa límite laminar para 0/ =dxdP 16

Cuando 0/ =dxdp , la derivada de segundo orden de la velocidad en la pared también debe ser cero; por lo tanto el perfil de velocidades es lineal cerca de la pared. Más allá de la capa límite el gradiente de velocidades se hace cada vez más pequeño y gradualmente se aproxima a cero. El decremento en el gradiente de la velocidad significa que la derivada de segundo orden de la velocidad forzosamente debe ser negativo. Se muestra que la derivada 22 / dyvx∂ debe ser cero en la pared, negativa dentro de la capa límite y debe aproximarse a cero en el borde externo de la capa límite. Es importante notar que la derivada de segundo orden debe aproximarse a cero del lado negativo mientras δ→y . Para valores de 0/ ≠dxdp , la variación de xv y sus derivadas se muestran en la figura 2.6.

Figura 2.6 Variación en la velocidad y derivadas en la capa límite laminar con diferentes dxdp / 16

Un gradiente de presión negativo produce una variación de velocidad similar al caso en el que el gradiente de presión es cero. Un valor positivo de dxdp / , sin embargo, requiere un valor positivo de 22 / dyvx∂ en la pared. Ya que esta derivada debe aproximarse a cero desde el lado negativo, en algún punto dentro de la capa límite la segunda derivada debe igualarse a cero. Una segunda derivada igual cero, debe recordarse que esta asociada con los puntos de inflexión. El punto de inflexión en el perfil de velocidad se muestra en la figura 2.6. Para que exista la separación de flujo, la velocidad en la capa de fluido adyacente a la pared debe ser cero o negativa, como se muestra en la figura 2.7. Este tipo de perfiles de velocidad debe poseer un punto de inflexión. Como el único flujo de capa límite que posee un punto de inflexión es el que tiene un gradiente de presión positivo, se concluye que un gradiente



de presión positivo es necesario para que exista separación del flujo. Por esto a un gradiente de presión positivo se le llama gradiente de presión adverso. Un flujo puede permanecer adherido a la superficie con un gradiente de presión adverso, por lo que 0/ >dxdp es necesario pero no suficiente para que exista la condición de separación. En contraste un gradiente de presión negativo, con la ausencia de esquinas puntiagudas, no puede producir la condición de separación del flujo. Por lo que a un gradiente de presión negativo se le conoce con el nombre de gradiente de presión favorable.

Figura 2.7 Perfil de velocidades en la región de separación del flujo16

La presencia de un gradiente te de presión también afecta la magnitud del coeficiente de fricción superficial, como puede inferirse de la figura 2.6. El gradiente de velocidades en la pared se incrementa mientras el gradiente de presión sea más favorable.

2.2 Dinámica de fluidos computacionales

En muchas ramas de la ingeniería existe una comprensión del movimiento de los fluidos. Un ejemplo clásico es la industria aeronáutica, donde se debe determinar la aerodinámica de la aeronave, tal como el levantamiento, el arrastre y momentos de cualquier prototipo antes del vuelo. Esto asegura que el levantamiento disponible será suficiente para cargar el peso de la aeronave y la carga, que los motores provean la potencia requerida junto con una buena economía de combustible, etc. Para obtener estos datos aerodinámicos son requeridos un sin número de modelos del diseño los cuales son probados en un túnel de viento con diversas configuraciones y orientaciones. Tales pruebas consumen una gran cantidad de tiempo y dinero.

Como ya se conocen las ecuaciones que gobiernan la dinámica de los fluidos, pueden

hacerse aproximaciones numéricas de estas ecuaciones, y algunas de estas estimaciones aerodinámicas pueden llevarse a cabo empleando estas herramientas computacionales. Esto no significa que los estudios en túnel de viento sean redundantes. En realidad, cuando se emplean análisis experimentales y computacionales para realizar estas predicciones, actualmente los ingenieros escogen reducir el tiempo del uso del túnel de viento. Algunas veces, sin embargo, los estudios experimentales se utilizan más o de igual manera que si el diseño se hubiera realizado únicamente por medio del túnel de viento. En ambos casos, las investigaciones en túnel de viento son usadas en problemas que son difíciles de resolver por medio de técnicas computacionales.



Efectivamente, el uso de las computadoras permite enfocar los análisis en túnel de viento a casos muy complejos y poco estudiados.

Aunque en la industria aeronáutica es común el empleo de una combinación de

investigación experimental y computacional, esta práctica no se ha extendido a todas las áreas industriales, pero se esta presentando poco a poco esta transición en diversas áreas industriales e investigaciones. De aquí que las aplicaciones pueden ser extremadamente variadas. A pesar de esto, las predicciones computacionales de diversos problemas pueden realizarse por medio de software y hardware que no son específicos para esos problemas. Actualmente estas herramientas computacionales están ampliamente disponibles, y la DFC ya es parte del proceso de diseño de ingeniería.

2.2.1 Principios de modelado de la turbulencia Las ecuaciones de Navier-Stokes son la herramienta más utilizada para la dinámica de

fluidos computacional, sin embargo son extremadamente difíciles de resolver en su forma completa. Incluso hoy en día es posible desarrollar soluciones con papel y lápiz sólo para una pequeña cantidad de casos especiales

( ) ( ) ( ) 0=∂

∂+

∂∂

+∂

∂zw

yv

xu ρρρ (2.1)

• Conservación del momentum en las tres direcciones espaciales x, y y z.

⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛∂∂

+∂∂

+∂∂

+∂∂

−=⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛∂∂

+∂∂

+∂∂

+∂∂

2

2

2

2

2

2

zu

yu

xu

xpg

zuw

yuv

xuu

tu

x μρρ (2.2)

⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛∂∂

+∂∂

+∂∂

+∂∂

−=⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛∂∂

+∂∂

+∂∂

+∂∂

2

2

2

2

2

2

zv

yv

xv

xpg

zvw

yvv

xvu

tv

y μρρ (2.3)

⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛∂∂

+∂∂

+∂∂

+∂∂

−=⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛∂∂

+∂∂

+∂∂

+∂∂

2

2

2

2

2

2

zw

yw

xw

xpg

zww

ywv

xwu

tw

z μρρ (2.4)

La resolución de estas ecuaciones es difícil aún para los matemáticos, y la razón es que están acopladas una con otra. Esto significa que no pueden ser resueltas una a la vez de manera independiente además de que los valores obtenidos para cada una afectan simultáneamente las soluciones en otros puntos del campo de flujo, lo que las complica aún más.

Entre los efectos de mayor importancia en la simulación del flujo de fluidos por

computadora se encuentran los generadores de turbulencia, y aunque sus leyes de comportamiento permanecen incompletas actualmente, el análisis matemático y físico de este fenómeno permite al menos conocer sus cualidades y aproximar modelos de su comportamiento conocidos como “modelos de turbulencia”. Incluso la propia definición del fenómeno de



turbulencia representa dificultades debido a su complejidad, sin embargo es posible establecer ciertos parámetros básicos que caracterizan a cualquier flujo turbulento. Las propiedades de un flujo turbulento son:

• Irregularidad o aleatoriedad • Difusividad (mezclado rápido) • Disipación • Altos números de Reynolds

Figura 2.8 Flujo turbulento alrededor de un cilindro18

La turbulencia es básicamente un fenómeno de disipación de energía en un fluido. Es decir,

un flujo que se encuentra inicialmente en reposo o que se desplaza de forma laminar pasa a un estado turbulento (debido a la adición de energía ya sea por medio de un incremento en su velocidad, la aplicación de un gradiente de presión de gran magnitud, etc.) donde dicho flujo ya no es capaz de disipar en estado laminar. La disipación de la energía acumulada se manifiesta en el flujo turbulento como desplazamientos “aleatorios” que generan torbellinos y movimiento “caóticos” de sus partículas (figura 2.8).

Estos desplazamientos calificados someramente como “aleatorios y caóticos” se deben a la

principal característica de un flujo turbulento que es la fluctuación en diferentes escalas de espacio y tiempo de sus parámetros básicos: la velocidad y la presión. De esta manera, en un flujo turbulento pueden coexistir gradientes de presión y velocidad de gran magnitud así como escalas en las que estos cambios son mínimos.

El número de Reynolds comprende una descripción de estos cambios ya que relaciona la

velocidad del flujo, la densidad y la viscosidad del sistema por lo que este parámetro adimensional es el más útil para la determinación del tipo de flujo definiendo los límites en la capacidad de disipación de energía de éste. Así, un flujo turbulento esta relacionado comúnmente con Números de Reynolds altos.

La complejidad del fenómeno se debe también a que la turbulencia es muy sensible a las condiciones iniciales y de frontera del flujo. Esta complejidad y aparente ausencia de relaciones que puedan describir el flujo turbulento se hacen evidentes en la experimentación ya que no es posible obtener resultados reproducibles debido a la imposibilidad de establecer condiciones iniciales y de frontera idénticas para cada experimento. La turbulencia es inherentemente tridimensional, no existe tal cosa como la turbulencia en dos dimensiones, cuando se trata de simular flujos turbulentos en dos dimensiones realmente no se esta simulando, se esta modelando la turbulencia.



A pesar de dichos obstáculos, las variables de un fenómeno turbulento pueden ser descritas mediante las ecuaciones de Navier-Stokes y se han tomado diversos enfoques matemáticos a lo largo del último siglo para su resolución20:

• Simulación numérica directa. (DNS) • Simulación de grandes torbellinos (LES) • Modelos de las ecuaciones de Navier-Stokes promediadas por Reynolds (RANS)

DNS (Direct Numerical Simulation)

Teóricamente todos los flujos turbulentos pueden ser simulados numéricamente al resolver las ecuaciones completas de Navier-Stokes (DNS). Si se resuelve todo el espectro de escalas no es necesario emplear modelos. Pero hacer esto para flujos industriales prácticos es prohibitivo por cuestiones de costo y de tiempo. Para resolver todas las escalas de un flujo turbulento dentro de un canal, se requerirían aproximadamente 4/9)Re088.0( hN = nodos. LES (Large Eddy Simulation)

La simulación de grandes torbellinos (LES) resuelve las ecuaciones de Navier-Stokes espacialmente promediadas (filtradas). Los torbellinos grandes son resueltos directamente, y los torbellinos de escala menor al de la malla son modelados. La simulación de grandes torbellinos es mucho menos costosa que la simulación numérica directa (10-100 veces menor), pero aún así los recursos y el tiempo empleados siguen siendo demasiado grandes para la mayoría de aplicaciones prácticas. RANS (Reynolds Averaged Navier-Stokes)

Los modelos de las ecuaciones de Navier-Stokes promediadas por Reynolds (RANS) resuelve el promedio conjunto de las ecuaciones de Navier-Stokes empleando análisis estadísticos en su formulación. Todas las escalas de turbulencia son modeladas. Al modelar todas las escalas de turbulencia esta aproximación es la más ampliamente usada para analizar flujos industriales y es la aproximación que se emplea en el desarrollo de este trabajo.

Este análisis21 es posible gracias a que se ha demostrado que tanto promedios como

derivadas parciales pueden coexistir e intercambiarse para definir la teoría matemática de la turbulencia. Los parámetros que serán los promedios puntuales corresponde a la velocidad u y la presión p (al trabajar con un flujo incompresible no es necesario promediar variables como la densidad). De esta manera se asume que la velocidad y la presión en un punto determinado del espacio y tiempo pueden ser encontradas en base a la superposición de componentes de velocidad y presión medias o promedio que varían de forma mínima y otras componentes fluctuantes que cambian rápidamente. Inicialmente se define el promedio con respecto al tiempo de una variable tal como la velocidad

∫+

=Tt

tudt

Tu 0

0

1

Si asumimos que:



'uuu += (2.6) 'vvv += (2.7)

'www += (2.8) 'ppp += (2.9)

En donde u , v , w y p son los “promedios de conjunto”, y son el resultado de promediar un número de experimentos independientes que “imaginariamente” tienen las mismas condiciones nominales. Por otra parte 'u , 'v , 'w y 'p son la velocidad y presión fluctuantes. Ya que cada uno de los supuestos independientes de flujo turbulento obedece las ecuaciones de continuidad y de Navier-Stokes para el flujo incompresible, al introducir la nueva notación se obtiene para la ecuación (2.1) de continuidad donde

( ) ( ) ( ) 0'''=

∂+∂

+∂+∂

+∂+∂

zww

yvv

xuu (2.10)

Si la ecuación anterior se promedia con respecto al tiempo

( ) ( ) ( ) 0'''=

∂+∂

+∂+∂

+∂+∂

zww

yvv

xuu

pero

uu = y 0' =u porque

0'1' 0

0

== ∫+Tt

tdtu

Tu

por lo que la ecuación de continuidad promediada por Reynolds es

0=∂∂

+∂∂

+∂∂

zw

yv

xu (2.11)

Si se lleva a cabo el mismo procedimiento para la ecuación (2.2) de momentum en el eje x sin considerar el término de las fuerzas de cuerpo se tiene que

( ) ( ) ( ) ( ) ( )+

∂+∂

++∂+∂

++∂+∂

yuuvv

xuuuu

tuu ''''' ρρρ

( ) ( ) ( ) ( )'''' 2 uux

ppz

uuww +∇=∂+∂

+∂+∂

+ μρ (2.12)



Expandiendo términos

( )uxp

zuw

zuw

yuv

yuv

xuu

xuu

tu 21'''''' ∇=

∂∂

+∂∂

+∂∂

+∂∂

+∂∂

+∂∂

+∂∂

+∂∂

ρμ

ρ

reordenando términos se tiene que

( )zuw

yuv

xuuu

xp

zuw

yuv

xuu

tu

∂∂

−∂∂

−∂∂

−∇=∂∂

+∂∂

+∂∂

+∂∂

+∂∂ ''''''1 2

ρμ

ρ (2.13)

( )zwu

yvu

xuuu

xp

zuw

yuv

xuu

tu

∂∂

−∂

∂−

∂∂

−∇=∂∂

+∂∂

+∂∂

+∂∂

+∂∂ ''''''2 ρρρμρρρρ

donde los últimos tres términos del lado derecho de la igualdad se conocen como esfuerzos de Reynolds. El tensor de Reynolds )( ''

jiuuρ− es uno de los parámetros de mayor importancia en las

teorías de turbulencia ya que relaciona el flujo medio con las fluctuaciones de velocidad, representando así el flujo promedio de momentum debido a dichas fluctuaciones y está dado por

)/(______

xuu ji ∂∂ que puede considerarse como la fuerza ejercida por la turbulencia sobre el flujo medio por unidad de masa.

Teóricamente, la solución de la ecuación (2.13) permitiría describir perfectamente el flujo

turbulento para un punto único cualquiera en el espacio y el tiempo; sin embargo al ser una forma promedio de la Ecuación de Navier-Stokes para la cantidad de movimiento, se produce prácticamente los mismos problemas para su resolución o “cerradura”, ya que se quiere resolver las cantidades promediadas con respecto al tiempo no las perturbaciones. El problema es que no se conoce el valor de los esfuerzos de Reynolds. Para superar estos problemas se modelan los términos de los esfuerzos de Reynolds mediante la aproximación de Boussinesq

xuu ji

ijTurb ∂∂

=''

ρτ (2.14)

y se asume que

⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛

∂∂

+∂∂

=i

j

j

iTurbij x

uxu

Turbμτ (2.15)

Donde Turbμ es la viscosidad turbulenta. En este caso todo se reduce al cálculo de la

viscosidad turbulenta y para llevar a cabo esto se emplean los modelos de turbulencia que pueden ser de distintos tipos

• Algebraicos o Modelo de Baldwin-Lomax

• Una ecuación diferencial parcial o Modelo de Spalart-Allmaras



• Dos ecuaciones diferenciales parciales o Modelo k-ε o Modelo k-ω

• Modelo de transporte de esfuerzo de Reynolds (RSM) En el caso de los modelos algebraicos

dyud

dyudyaTurb

2ρμ =

donde a se determina a través de validación por experimentación En el caso de los modelos de dos ecuaciones la viscosidad turbulenta, a partir de un análisis dimensional, posee la forma

VlTurb ρμ = (2.16) y como un estimado de V se puede emplear la energía cinética turbulenta

( ) kwvuV =++= 222 '''21

donde k es la energía cinética turbulenta, por lo que

lkTurb ρμ = Si ahora estimamos l, es posible calcular la viscosidad turbulenta. En este caso se emplea la tasa de disipación ε la cual esta dada por

lu3

=ε (2.17)

Pero se sabe que

ku ≈ (2.18) de tal manera que

ε

23

kl = (2.19)

Sustituyendo (2.19) en (2.16)



ερ

ερμ

223

kkkTurb == (2.20)

Entonces es aquí donde se emplean dos ecuaciones diferenciales parciales para modelar k y ε y poder así calcular la viscosidad turbulenta.

El uso de uno u otro modelo de turbulencia depende fuertemente del problema bajo análisis,

por lo que, si para un sistema un modelo presenta buenos resultados podría ser completamente ineficaz para otro.

2.2.2 Solución numérica de las ecuaciones diferenciales parciales

Hemos visto anteriormente que las ecuaciones que gobiernan el movimiento de un fluido (ecuaciones de Navier-Stokes) están compuestas por diferenciales parciales. Estas ecuaciones están construidas en base a combinaciones de las variables del flujo tales como las componentes de velocidad, la presión del fluido y sus derivadas, lo que evita que los ordenadores puedan ser usados directamente en su resolución. La razón principal de este hecho es que la solución teórica (analítica) es válida en cada punto del campo de flujo; mientras que la solución computacional (discreta) utilizada en la dinámica de fluidos computacional intenta resolver las ecuaciones sólo en un número específico de puntos o dominio, definido por una malla o volumen de control numérico. Como ejemplo podemos tomar una función f(x); en donde la solución analítica es posible y continua en todos los puntos; y por otro lado, la solución computacional no resulta en una función continua, sino que simplemente reporta una respuesta numérica en los puntos específicos donde hayamos decidido calcularla como se muestra en la figura 2.9

a) Solución analítica b) Solución discreta

Figura 2.9 Soluciones posibles para la función f(x)19

A pesar de sus limitaciones los ordenadores son capaces de almacenar grandes cantidades de datos y de realizar operaciones aritméticas básicas como la suma, resta, multiplicación y división en enormes cantidades numéricas a gran velocidad. De esta forma las operaciones pueden ser agrupadas en secuencias para solucionar problemas más complejos como los planteados por la dinámica de fluidos. Consecuentemente, las ecuaciones diferenciales parciales tienen que ser transformadas en ecuaciones que contengan solo números, y la combinación de estos tienen que estar descrita por operaciones simples.



A este proceso de transformación de las ecuaciones diferenciales parciales a una ecuación numérica análoga susceptible de ejecutarse en una computadora se le conoce como discretización numérica. En este proceso de discretización cada término dentro de la ecuación diferencial parcial debe ser traducido a un análogo numérico que puede ser calculado en la computadora mediante un programa. Existen varios métodos mediante los cuales la discretización numérica puede ser llevada a cabo, y pueden agruparse en:

• Diferencias finitas • Elemento finito • Volumen finito

2.2.3 Técnicas de discretización numérica

2.2.3.1 Método de las diferencias finitas

Este método está basado en el uso de las series de Taylor con el fin de construir una librería o conjunto de ecuaciones que describen las derivadas de una variable como resultado de la diferencia entre los valores de dicha variable en varios puntos del espacio o del tiempo.

Anteriormente se ha señalado que para la resolución de problemas en la dinámica de fluidos

es necesario encontrar los valores de presión en el fluido y las componentes de velocidad en éste, a estas variables se les considera como dependientes ya que su resolución está sujeta a las coordenadas espaciales y al tiempo las cuales son consideradas como variables independientes del sistema22.

Figura 2.10 Localización de los puntos en la Serie de Taylor20

Suponiendo que se conoce el valor de cualquier variable dependiente y todas sus derivadas

con respecto a otra variable independiente basada en una referencia, las series de Taylor se pueden usar para determinar dicha variable dependiente respecto a un valor de la independiente localizado a una distancia corta. Por ejemplo, se puede considerar que la variable dependiente U cambia con respecto a la variable independiente que esta representada por x; se consideran dos puntos a una pequeña distancia h a partir del punto central.



Estos puntos están situados entonces a (x+h) y (x-h) a lo largo del eje x y las expansiones de las series de Taylor para la variable U en los dos puntos son:

n

nn

dxUdh

dxUdh

dxUdh

dxduhxUhxU +++++=+ ...

61

21)()( 3

33

2

22 (2.21)

n

nn

dxUdh

dxUdh

dxUdh

dxduhxUhxU −+−+−=− ...

61

21)()( 3

33

2

22 (2.22)

Al sumar o sustraer estas dos ecuaciones se pueden encontrar nuevas ecuaciones para la primera y segunda derivadas respectivamente en la posición central x. Estas derivadas son:

0 [ ] )()()(2)(1 222

2

hOhxUxUhxUhdx

Ud+−+−+= (2.23)

[ ] )()()(21 2hOhxUhxUhdx

dU+−−+= (2.24)

Donde O(hn) denota que los términos de orden n o mayores existen. En la práctica como la distancia h es muy pequeña, estos términos son extremadamente pequeños y pueden ser ignorados, sin embargo se genera una fuente de error en los cálculos ya que se truncan las derivadas. Pueden formarse más derivadas considerando a las dos primeras series aisladamente, de esta manera, las derivadas son:

[ ] )()()(1 hOhxUhxUhdx

dU+−−+= (2.25)

[ ] )()()(1 hOhxUxUhdx

dU+−−= (2.26)

Estas cuatro expresiones describen las derivadas de la variable U en un punto x definido por

los valores de la variable en el punto mismo, en un punto justo atrás y otro justo adelante; y es conocida como formulación de diferencias. Juntas, estas diferencias forman un conjunto de herramientas para el análisis numérico por medio de las cuales es posible producir un análogo numérico de cada uno de los términos de la ecuación diferencial parcial. Esto se lleva a cabo al colocar puntos dentro del dominio por medio de una malla como se mostrará posteriormente. En cada uno de estos puntos, las derivadas pueden ser reemplazadas por la fórmula de diferencias adecuada, dando una ecuación que consiste únicamente de los valores de la variable en el punto dado y sus alrededores. Si este proceso se repite, se forma un conjunto de ecuaciones para las variables en todos los puntos y se resuelve dicho conjunto para obtener la solución numérica.

Cabe mencionar que primeramente, el dominio puede incluir una magnitud en el tiempo así

como una dirección espacial, y segundo, que una ecuación diferencial parcial válida para un sistema completo (número de puntos infinito), puede ser transformada en un número finito de ecuaciones para un dominio finito, de ahí el nombre de Diferencias Finitas. Para ver como se emplea el método de las diferencias finitas, se considerará la discretización de la ecuación transitoria de difusión



2

2

xU

tU

∂∂

=∂

∂ (2.27)

Esta ecuación consiste de una primera derivada en la dirección del tiempo t y una segunda

derivada en la dirección espacial x. Esta es una ecuación diferencial parabólica que puede usarse para modelar cambios temporales en la difusión de una cantidad a través de un medio. En este punto cabe mencionar que existen tres clasificaciones para las ecuaciones diferenciales parciales: elípticas, parabólicas e hiperbólicas. Las ecuaciones pertenecientes a cada una de estas clasificaciones se comporta de diferente forma, tanto física como numéricamente.

Figura 2.11 Malla en el espacio x-t20

En particular, la dirección a lo largo de la cual se transmiten los cambios es diferente para los tres tipos. Dependiendo de las condiciones, las ecuaciones que gobiernan el movimiento de un flujo pueden exhibir los tres comportamientos. Por ejemplo, las ecuaciones de Navier-Stokes para la cantidad de movimiento son parabólicas cuando la dependencia del tiempo como información de los cambios en el flujo, está descrita en cualquier lugar del espacio pero sólo en una dirección de tiempo continua. Esta se convierten a elípticas cuando la velocidad del flujo es baja y los cambios se pueden describir en cualquier punto del espacio y tiempo. Y finalmente las ecuaciones se transforman en hiperbólicas cuando la velocidad del flujo esta por encima de la velocidad del sonio y los cambios están señalados hacia direcciones específicas en el espacio. Para resolver esta ecuación por medio de diferencias finitas primero se debe establecer el dominio del problema, se establecen puntos dentro del mismo. La forma más simple de ubicar los puntos dentro del dominio se muestran en la figura 2.11 ya que posee un espaciamiento constante tanto de xδ como de tδ en ambas direcciones. Una vez definida la malla se selecciona la formulación diferencial para discretizar la ecuación (2.27). Existen varias formulaciones que pueden ser empleadas para la resolución de esta ecuación, pero la forma análoga más simple se obtiene al emplear la formulación de diferenciación frontal (ecuación (2.25)) para la derivada con respecto al tiempo, y la formulación de diferenciación central (ecuación (2.23)) para la derivada espacial. Si se toma la derivada espacial en el nivel de tiempo j centrado en punto i en x, la ecuación discreta puede escribirse como



2,1,,1,1, 2

xuuu

tuu jijijijiji

∂

+−=

∂

− −−− (2.28)

Reordenando términos se tiene que

jijijiji uxtu

xtu

xtu ,12,2,121, 21 −−− ∂

∂+⎟

⎠⎞

⎜⎝⎛

∂∂

−+∂∂

= (2.29)

De aquí puede observarse que el valor para la posición i, j+1, depende únicamente de tres valores en el intervalo de tiempo j. Consecuentemente, si se conoce el valor de U en el intervalo de tiempo j, los valores de U en el intervalo de tiempo j+1 son fácilmente calculables. Para empezar el cálculo, forzosamente se deben conocer todos los valores de U en todas las posiciones en x en el intervalo de tiempo t=0. Las cuales son las condiciones de frontera iniciales.

2.2.3.2 Método del elemento finito En este método23, el dominio sobre el cual aplica la ecuación diferencial se divide en un

número finito de subdominios conocidos como elementos. Sobre cada uno de estos elementos se asume una variación simple de las variables dependientes y este fragmento se usa para construir un bosquejo de cómo cambian las variables en todo el sistema. El primer paso es considerar un elemento (figura 2.12) sobre el cual la variable U cambia en forma simple. En la figura esta variación es lineal, pero puede ser cuadrática, cúbica o de orden mayor. Si la variación es lineal se puede describir el valor de U en cualquier punto del elemento como una función de la longitud x ya que estos valores son conocidos en los extremos del elemento. Estas posiciones que son usadas como referencias se conocen como nodos. Si la variación es cuadrática, se necesitaría conocer entonces los valores de U en tres nodos, por ejemplo, en los extremos y en el centro del elemento.

Figura 2.12 Elemento bidimensional de dos nodos20

Con la variación lineal mostrada, la primera derivada de U con respecto a x es simplemente

una constante y la segunda derivada no se puede definir. Esto se convierte en un problema ya que muchas ecuaciones diferenciales parciales tienen términos con segundas derivadas.



Para superar estos problemas, las derivadas de orden mayor se pueden transformar en derivadas de orden menor al multiplicar la ecuación diferencial por una función desconocida, entonces la ecuación entera puede ser integrada sobre el dominio sobre el cual aplica.

Finalmente, los términos que necesitan tener el orden de sus derivadas reducidas se integran

por partes. Este procedimiento se conoce como formulación variacional. Como ejemplo, se puede considerar la Ecuación de Laplace en dos dimensiones, donde una variable Φ se describe en función de las coordenadas espaciales x y y24.

02

2

2

2

=Φ∂

+Φ∂

dydx (2.30)

Para comenzar la formulación variacional, la ecuación se multiplica por una función v y se integra en el dominio de interés denotado por Ω para dar:

02

2

2

2

=Ω⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛ Φ∂+

Φ∂∫ d

dydxv (2.31)

En la ecuación anterior, cada término puede incluir segundas derivadas de Φ, así que ambos pueden ser integrados por partes resultando en:

0=Γ⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛ Φ∂+

Φ∂+Ω⎟⎟

⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛ Φ∂∂−

Φ∂∂− ∫∫ dn

dyn

dxvd

dydyv

dxdxv

yx (2.32)

donde Γ denota la frontera del dominio de Ω , y xn y yn son las componentes del vector normal de la frontera de Γ . Debe destacarse que los términos que contenían las derivadas de segundo orden en Φ han sido transformadas a términos los cuales son el producto de derivadas de primer orden tanto de Φ como de v . Esta reducción de orden de las derivadas es el principal objetivo de tal manera que la variación de menor orden de las variables puedan ser utilizadas en un elemento, pero como se observa existe una penalización al hacer esto ya que los términos de la condición de frontera del dominio aparecen, y deben ser considerados.

La ecuación (2.32) se conoce como la forma variacional de la ecuación (2.31), y se usa para producir la forma discreta para cada elemento del dominio. Esta forma discreta se origina al considerar el cambio de la variable sobre el elemento, el cual esta en función de la posición dentro del mismo y los valores de los nodos. Entonces se puede suponer la variación en la siguiente forma:

∑=

=Φnn

iiiN

1φ (2.33)

Donde nn es el número de nodos en el elemento. Los términos de Ni son conocidos como funciones de forma y están sujetos a la posición del elemento, mientras que los términos φi son



los valores nodales deΦ. Por ejemplo, para el elemento de dos nodos de la figura 2.12, las funciones de forma se pueden encontrar en base a U de la siguiente manera:

( )( )( )12

12

11)( uu

xxxxuxU −

−−

+= (2.34)

Esta ecuación puede rescribirse como:

⎥⎦

⎤⎢⎣

⎡−−

+⎥⎦

⎤⎢⎣

⎡−−

=12

12

12

21)(

xxxxu

xxxxuxU (2.35)

Comparando la ecuación anterior y la ecuación (2.33) las funciones de forma quedan como:

12

21 xx

xxN−−

= y 12

11 xx

xxN−−

=

Una vez que se conoce el cambio de la variable en el elemento se pueden encontrar las derivadas de ésta en un punto. Por ejemplo, para aproximar las primeras derivadas de Φ, la ecuación 2.33 se puede diferenciar como:

i

nn

i

i

dxdN

dxd φ∑

=

=Φ

1 (2.36)

En esta etapa es necesario conocer la función v ya que si hay dos nodos en el elemento, se necesitan dos funciones conocidas de v . Esto permite generar el mismo número de ecuaciones que valores desconocidos en el elemento. En la práctica, hay muchas formas para v y el procedimiento usual es dejar que sean las mismas funciones de forma para cada nodo las que la sustituyan. Si se utiliza esta definición de v el procedimiento se conoce como Método de Galerkin, pero cabe resaltar que se pueden usar otros métodos de especificación.

Finalmente, la discretización se completa al sustituir por un lado la ecuación (2.33) para las

variables, por otro, al sustituir las ecuaciones similares a la ecuación (2.36) para las derivadas y por último, al reemplazar las ecuaciones similares a las que descrien N1 y N2 para v en su forma variacional. Entonces se integran para construir series de ecuaciones para las variables en los nodos del elemento. De esta forma, para cada subdominio o elemento en el problema se generen muchas ecuaciones que pueden conjugarse para ser resueltas y así encontrar la solución al sistema.

El método del elemento finito fue originalmente desarrollado para solucionar problemas en

estado estable, pero también puede emplearse en la solución de problemas transitorios. Si se quiere plantear la solución de la ecuación 2.27 por método del elemento finito se emplea la ecuación 2.25 en el lado izquierdo de la ecuación para obtener



Ω⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛=Ω⎟⎟

⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛ −∫∫

−

dxUvd

tUUv

nn

2

21

δδ

δ (2.38)

la cual, al integrar la segunda derivada del lado derecho por partes

∫∫∫ Γ⎟⎠⎞

⎜⎝⎛

∂∂

+Ω⎟⎠⎞

⎜⎝⎛

∂∂

∂∂

−=Ω⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛ −−

dnxUvd

xU

xvd

tUUv x

nn

δ

1

(2.39)

la cual sería la forma variacional de la ecuación. Esta forma variacional debe transformarse en el análogo numérico al emplear aproximación de Galerkin, donde el multiplicador v se toma como la función de forma de un elemento. En cada elemento la variación de U se describe por

∑=

=nn

iiiuNU

1 (2.40)

Donde nn es el número de nodos del elemento y los términos Ni son las funciones de de forma, entonces se puede sustituir el multiplicador v , por los valores de U en los dos niveles de tiempo y para las derivadas espaciales de U en el intervalo de tiempo n para producir la forma explícita de la ecuación 2.39

∫∫∫ Γ⎟⎠⎞

⎜⎝⎛

∂∂

+Ω⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛

∂

∂

∂∂

−=Ω⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛ −−

dnxUvd

xuN

xN

dt

uNuNN x

njji

njj

njj

i δ

1

(2.41)

Aquí los subíndices i y j se refieren a sumatoria, y no a una posición dentro de los puntos de la malla. Debe notarse que el término de la frontera no se ha discretizado, ya que este llamado flujo es un valor que debe sumarse posteriormente. En las caras de la mayoría de los elementos el término de flujo es ignorado, ya que se asume que los flujos se cancelan a lo largo de las caras en el interior del domino. Esta es una condición de equilibrio. Únicamente en las fronteras del dominio es donde se requiere sumar el término de flujo. Si no se suman estos flujos, estos se calcularán en el método como cero, y por esto sus valores son conocidos como condiciones de frontera. Si se especifica un valor de U en la frontera entonces no se requiere el valor del término de flujo, lo cual es una condición de frontera esencial.

2.2.3.3 Método del volumen finito El tercer y probablemente más popular método de discretización numérica usado en la

dinámica de fluidos computacional es el método de volumen finito25. Este método es similar al método de diferencias finitas, pero algunas implementaciones de éste provienen también del método de elemento finito.



Figura 2.13 Volumen finito en una dimensión22

Esencialmente, las ecuaciones diferenciales parciales que gobiernan este sistema se

convierten a su forma numérica mediante una transformación basada en la física. Por ejemplo, las ecuaciones de Navier-Stokes para la cantidad de movimiento en los 3 ejes coordenados pueden ser consideradas como series de flujos dentro de un volumen junto con una fuente que sería el gradiente de presiones.

Para mostrar el método se evaluará la ecuación (2.27). Como primer paso en la

transformación, se usa una fórmula de diferencia de tiempo para modificar el lado izquierdo de la ecuación, quedando de la siguiente forma:

2

21

xU

tUU nn

∂∂

=∂−+

(2.42)

Donde los superíndices n y n+1 se refieren a 2 niveles de tiempo distintos para los valores

de U. A continuación se forma un volumen finito en la dirección x (figura 2.13). Por simplicidad, solo se tomarán los valores del nivel de tiempo n. El centroide del volumen que se localiza en el centro (punto c) es la referencia en la cual se desea encontrar el análogo numérico para la ecuación diferencial parcial.

La direcciones del dominio alrededor del punto de referencia están señaladas como O (oeste) y E (este) tendiendo sus centroides en o y e respectivamente. El volumen con centroide en c tendrá una cara colocada entre los volúmenes O y C así como otra entre los volúmenes C y E. Esta derivada espacial puede ser transformada ya que la segunda derivada de la variable C es la diferencia de las primeras derivadas calculadas en las caras de los volúmenes, resultando en:

oe

oe

P xxxU

xU

xU

−

⎥⎦

⎤⎢⎣

⎡∂∂

−∂∂

=⎥⎦

⎤⎢⎣

⎡∂∂

2

2

(2.43)

Donde los subíndices se refieren a las posiciones en que se calculan o conocen las cantidades. De forma similar, las primeras derivadas en las caras de los volúmenes pueden tomarse como diferencias entre los valores de la variable a los alrededores de los centroides:

CE

CE

E xxuu

xU

−−

=⎥⎦⎤

⎢⎣⎡

∂∂ y

OC

OC

O xxuu

xU

−−

=⎥⎦⎤

⎢⎣⎡

∂∂



Por último, una vez que se conocen estas tres expresiones para las derivadas, pueden ser usadas para producir un análogo numérico de la ecuación (2.27) en el punto c, finalizando el proceso.

2.3.4 Solución de las ecuaciones en su forma discreta

Una vez que se tienen las ecuaciones diferenciales parciales en su forma discreta, es siguiente paso es resolver estas ecuaciones para obtener el conjunto de valores de las variables para todos los puntos del domino. Existen principalmente dos esquemas de solución de estas ecuaciones

• Esquema explícito • Esquema implícito

Cuando el proceso de discretización puede encontrarse una incógnita directamente a partir

de valores conocidos de la propia variable, el proceso de cálculo es conocido como esquema explícito (figura 2.14 a), mientras que si la discretización produce una ecuación donde varios valores conocidos están ligados a varios valores desconocidos (figura 2.14 b) el proceso de cálculo se conoce como esquema implícito.

De esta forma, para producir una solución en un esquema explícito cada valor desconocido

de U puede ser fácilmente calculado. Por otra parte, si se realiza la solución con un esquema implícito se crea un conjunto de ecuaciones para encontrar los valores de U.

a) Esquema explícito b)Esquema implícito

Figura 2.14 Esquemas de solución19

Observando la figura, se puede notar que aún no es posible resolver todo el sistema ya que no se tienen suficientes datos. La figura 2.15 muestra un dominio para las variables x-t, en donde hay 6 puntos en la dirección x y dos niveles de tiempo en la escala t. Si se considera un esquema de solución explícito, a partir de las condiciones iniciales se pueden calcular las variables en algunos puntos del siguiente nivel, siendo posible calcular los valores por ejemplo en (2,2) y (5,2), pero no pueden ser resueltos para los valores de la variable en los puntos de frontera como (1,2) ó (6,2). Para obtener estos valores es necesario tener conocimiento de las condiciones de frontera del sistema.



Figura 2.15 Información del flujo para un esquema explícito19

Una vez que se han definido las condiciones de frontera se puede proceder con el cálculo.

Usando los valores conocidos en la primera línea de puntos, las incógnitas de las variables internas en la siguiente línea se pueden encontrar usando un esquema explícito. Entonces se aplican las condiciones de frontera para obtener los valores en los límites del sistema. Estos valores pueden usarse como nuevas condiciones iniciales y el proceso puede repetirse para dar la siguiente línea y así sucesivamente.

Para el caso de un esquema implícito, el manejo de ambos, tanto los valores de las

condiciones de frontera como de las derivadas de estas condiciones implican el uso de ecuaciones extra a aquellas ya generadas por la ecuación diferencial parcial. Con estos elementos extra, el número de ecuaciones debe corresponder al número de incógnitas y el sistema completo de ecuaciones simultáneas puede ser resuelto.

A primera vista puede parecer que los esquemas implícitos requieren más esfuerzo

computacional para producir una solución, sin embargo, la elección de uno u otro esquema radica en la estabilidad y convergencia para ese sistema en específico.

Los esquemas implícitos superan estas restricciones, y pueden ser usados en intervalos de

tiempo más grandes. Esto es conocido como esquema Crak-Nicholson y es estable para cualquier tamaño de intervalo. De esta forma el uso de un esquema implícito permite un menor esfuerzo computacional que la solución a base de un esquema explícito, al menos para este sistema en particular.

2.3.4.1 Convergencia y estabilidad En un sentido matemático estricto la convergencia es la capacidad de un conjunto de

ecuaciones de representar la solución analítica de un problema (si ésta existe). Se dice que las ecuaciones convergen si la solución numérica tiende a la solución analítica. Esto sucede cuando los espacios entre malla o el tamaño de los elementos se acercan a cero. De la misma forma, un proceso es estable si las ecuaciones llevan a una solución tal que cualquier error en la solución discreta no estanca los resultados mientras se realiza el proceso numérico.



En la práctica estos términos se usan de forma menos específica. Por ejemplo, se dice que un proceso numérico converge si los valores de las variables en los puntos del dominio tienden a aproximarse hacia un valor fijo en el proceso de solución. Esta acepción del término convergencia se ha producido debido a que la mayoría de los problemas físicos que se desean resolver mediante la dinámica de fluidos computacional, no existe una solución analítica para comparar con el resultado obtenido. Por otro lado, se dice que un proceso es estable si se desarrolla de forma que los resultados intermedios del cálculo son razonables. Como se señaló antes, cuando se produce un análogo numérico de las ecuaciones diferenciales parciales, el esquema explícito es válido solo en un nivel de tiempo pequeño. Si el intervalo es demasiado largo, los valores de la variable oscilan violentamente y se hacen extremadamente grandes. Esto se puede considerar como un proceso inestable y por tanto no tiene convergencia.

2.3.5 Obtención de la solución de la presión Una vez descritos los procesos básicos de discretización para la resolución de las

ecuaciones que gobiernan el fluido, se puede proceder a analizar con más detalle como obtener el equivalente físico de estas soluciones. Si se toman las tres ecuaciones que gobiernan el flujo incompresible bidimensional (la ecuación de continuidad y las de cantidad de movimiento para x y y), se puede notar que las ecuaciones de cantidad de movimiento contienen tres variables de flujo, mientras que la ecuación de continuidad contiene solo las componentes de velocidad. Ya que la mayoría de los términos en las ecuaciones de cantidad de movimiento son funciones de las componentes de velocidad, es natural usar estas ecuaciones para producir las soluciones. Esto genera otro problema, ya que la ecuación de continuidad no tiene términos que incluyan la presión del fluido.

Una forma de solución es discretizar las tres ecuaciones de forma que puedan ser resueltas

juntas. Esto genera un vector solución que contiene las tres variables y es 3 veces más grande de los que debe ser, pero que permite calcular la presión. Los programas de elemento finito fueron desarrollados sobre esta base durante mucho tiempo, pero este procedimiento produce matrices de gran tamaño para cada variable, y por tanto su solución requiere un gran esfuerzo computacional.

Un acercamiento alternativo es discretizar las ecuaciones de cantidad de movimiento en las

diferentes direcciones x, y y z de forma que se puedan encontrar las componentes de velocidad u, v y w. Entonces una forma modificada de la ecuación de continuidad tiene que ser desarrollada. Esto se lleva a cabo notando que las componentes de velocidad encontradas mediante las ecuaciones de cantidad de movimiento no satisfacen la ecuación de continuidad, y que deberían satisfacerla cuando la solución converge. Entonces, si se dividen las variables en dos partes, los valores que satisfacen las ecuaciones de cantidad de movimiento (marcadas con un asterisco) y las correcciones que aseguran la continuidad (marcadas con primas) pueden escribirse como:

__* uuu += (2.44)

__* vvv += (2.45)



__* ppp += (2.46)

Ya durante el proceso de solución se aseguró que la ecuación de continuidad fuera

satisfecha, se puede retomar y sustituirla en las expresiones anteriores:

yv

xu

yv

xu

∂∂

−∂

∂−=

∂∂

+∂∂ **

__

(2.47)

En esta ecuación las derivadas de las componentes de velocidad corregidas dependen de

las derivadas de las componentes de velocidad que satisfacen las ecuaciones de cantidad de movimiento. Ahora, cuando se discretizan las ecuaciones de momentum y continuidad dichas ecuaciones para x y y se pueden escribir en forma matricial como:

jj BpAu = y jj DpCv =

Donde A, B, C y D son matrices y uj, vj y pj son vectores de las variables en los nodos o extremos de la malla. Estas ecuaciones pueden rescribirse si se dividen las variables usando las ecuaciones para u, v y p, para dar:

jjjj pBBpuAAu_

*_

* +=+ (2.48)

jjjj pDDpvCCv_

*_

* +=+ (2.49)

Cuando se resuelven las ecuaciones de cantidad de movimiento se están resolviendo de hecho las siguientes dos ecuaciones:

**jj BpAu = y **

jj DpCv =

que al sustraerse de las ecuaciones matriciales (2.48) y (2.49) quedan como:

jj pBuA__

= y jj pDvC__

= despejando las dos ecuaciones se encuentran las expresiones que permiten la corrección de las magnitudes de las componentes de velocidad:

jj pBAu_

1_

−= (2.50)

jj pDCv_

1_

−= (2.51) Usando estas dos formas de las ecuaciones se encuentra la presión a partir de la ecuación de continuidad. Esto se hace al sustituirlas en la ecuación de continuidad modificada (2.47) para



producir una ecuación de la corrección de presión jp que tiene en su lado derecho la continuidad del flujo antes de que se resuelvan las ecuaciones de cantidad de movimiento. Una vez que jp ha sido encontrada ju y jv se forman usando las ecuaciones (2.48) y (2.49).

Finalmente las expresiones iniciales para u, v y p son utilizadas para encontrar los valores corregidos de velocidad y presión. En esta etapa, las componentes de velocidad satisfacen la ecuación de continuidad y se ha calculado un nuevo valor de presión, pero las componentes de velocidad no satisfacen las ecuaciones de cantidad de movimiento.

Para resolver ambas, la solución de las ecuaciones de cantidad de movimiento y la no-

linealidad, las ecuaciones de cantidad de movimiento se reutilizan para producir ecuaciones simultáneas que se resuelven siguiendo las nuevas correcciones de presión y velocidad. Este proceso forma un sistema de iteraciones sucesivas para obtener los conjuntos simultáneas para cada solución.

2.3.6 Proceso de análisis. Para encontrar la solución a las ecuaciones que gobiernan problemas de flujos en ciertas

condiciones pueden ser formulados una gran cantidad de paquetes computacionales (según la técnica de solución que se escoja). Este es el caso del flujo viscoso e incompresible, para el cual se han escrito gran cantidad de paquetes computacionales, producidos ya sea por la industria o por investigadores interesados, o por una empresa especializada en este tipo de programas. Por otra parte no solo el programa puede generalizarse para un tipo de flujo, sino todo el proceso de análisis puede ser generalizado también para obtener una metodología coherente en la simulación por computadora. Esto significa que sin importar que programa sea utilizado, hay una cantidad de etapas bien definidas que componen al proceso de análisis.

2.3.6.1 Esquema básico de análisis En las secciones anteriores se observó que el análisis matemático de un fluido desemboca

en la formulación de series de ecuaciones diferenciales parciales; posteriormente estas ecuaciones pueden discretizarse para obtener un análogo numérico al que se le aplican las condiciones de frontera e iniciales correspondientes al problema; por lo que puede ser resuelto entonces al usar una gran variedad de técnicas. Aunque una gran cantidad de estos aspectos son realizados por los paquetes de simulación de fluidos computacional, el usuario debe proveer todavía, una gran cantidad de datos como:

• Una malla de puntos, un conjunto de volúmenes, un grupo de elementos, etc. • Condiciones de frontera. • Condiciones iniciales. • Propiedades del flujo como la densidad y la viscosidad. • Parámetros de control.



Figura 2.16 Diagrama de flujo para el análisis computacional

Al ordenar estas necesidades de forma que se adapten a un método sencillo se puede

obtener un esquema general de los pasos necesarios para el análisis computacional (figura 2.16)

2.3.6.2 Formulación del problema Antes de comenzar la simulación de cualquier problema en la dinámica de fluidos es

necesario que los alcances, necesidades y expectativas del análisis computacional sean evaluados cuidadosamente para justificar el uso de tal herramienta ya que por lo general representa la aplicación de grandes recursos tanto económicos, técnicos y de personal.

Esta información proviene principalmente de un buen entendimiento del problema al cual se

enfrenta, lo que simplifica la formulación de las bases sobre las cuales se establecerán las condiciones de frontera, mallas, etc. En general la formulación del problema surge como respuesta a tres planteamientos básicos:

• ¿Por qué es requerida la simulación? • ¿Cuál es la geometría bajo análisis? • ¿Cuál es el posible comportamiento del flujo?

El primer punto implica conocer cual es el objeto de la investigación, que suele incluir la

determinación de las fuerzas y momentos en un cuerpo de forma que la dinámica del flujo alrededor de este pueda ser prevista o analizada. Entonces es posible esperar al final del análisis una serie de datos que corresponden generalmente a los cambios de presión en el sistema, los campos locales de presiones, las velocidades locales del flujo, la variación de una variable en un punto dado, etc.

El segundo punto consiste en identificar los elementos que intervendrán en la simulación

como modelos y paredes, así como establecer que tipo de dominio computacional se aplicará a éstos.



Finalmente, la comprensión de los fenómenos básicos que componen el problema se logra mediante la documentación sobre fenómenos similares, así como la comprensión de los fenómenos básicos que se presentan en la aerodinámica.

2.3.6.3 Definición de la geometría y la malla Como se mencionó anteriormente, las soluciones computacionales difieren de las analíticas

o teóricas en que sólo presentan resultados en puntos específicos del campo de flujo. Por tanto, antes de que se puedan realizar los cálculos deben generarse dichos puntos. Este proceso comienza con el establecimiento del área en que se realizarán los cálculos conocida como dominio computacional. Cuando se resuelven las ecuaciones que gobiernan un fluido usando una computadora (sin importar que método de discretización sea elegido), es necesario establecer un conjunto de puntos, elementos o volúmenes (por simplicidad se nombrarán únicamente como nodos) delimitando el dominio computacional en el que se ubicarán las variables. Estos puntos tienen que ser creados en las superficies bajo análisis del fluido, lo que hace imprescindible la descripción de la geometría de estas superficies. A este proceso se le conoce como generación de la malla o rejilla.

Cada problema relacionado a un flujo contiene una gran variedad de particularidades, esto

provoca que coexistan en un solo sistema fenómenos como vórtices, capas límites, transiciones y regiones de cambios rápidos de presión y velocidad. De esta manera la cualidad más importante de una malla es definir suficientes puntos para capturar con detalle cada uno de los fenómenos antes mencionados y permitir que puedan ser modelados en las regiones críticas donde ocurren. Esto ha provocado que los métodos de generación de mallas se hayan diversificado ya que dependiendo de la geometría bajo análisis se necesita una mayor cantidad de puntos en ciertas regiones en donde las fluctuaciones de las variables son de gran magnitud y por otra parte se requieren menos puntos en donde los cambios en el fluido son más pequeños y graduales. Los tipos de malla utilizados en la dinámica de fluidos computacional pueden agruparse según sus características básicas en:

Figura 2.17 Tipos de estructura de malla22

Estructuras regulares, irregulares e híbridas.

Las estructuras regulares están compuestas generalmente de mallas rectangulares o polares, o que provoca que su orientación sea uniforme. Por el contrario las mallas irregulares están



formadas por celdas generalmente tetraédricas, lo que origina una expansión no uniforme. Las mallas híbridas son aquellas con regiones regulares e irregulares para un mismo objeto como se muestra en la figura 2.17. Forma del elemento y número de nodos.

Las celdas que componen la malla pueden tener 3, 4 o más nodos formando ya sea triángulos, o cuadriláteros para el caso bidimensional o para el caso tridimensional formar tetraedros, prismas o hexaedros como se muestra en la figura 2.18.

Figura 2.18 Tipos de elementos22

Bloques

Los bloques son regiones con diferentes configuraciones de malla que pueden no tener relación directa o estar unidos de forma simple o compleja como se muestra en la figura 2.19.

Figura 2.19 Tipos de bloques para mallas22

Disposición

Se encuentran las cartesianas que se superponen al objeto de forma que el espaciado entre celdas es regular y las adaptativas que envuelven al objeto y se despliegan a partir de sus límites. Espacio

Pueden ser bidimensionales o tridimensionales, utilizando figuras planas o volúmenes respectivamente.

La generación de la geometría básica del objeto puede provenir ya sea de software de

diseño asistido por computadora (CAD) y luego ser introducido al generador de mallas; o puede construirse mediante un pre-procesador incluido generalmente en los paquetes de simulación actuales. Una vez que se han determinado los requerimientos de la simulación, las regiones



críticas de flujo han sido determinadas, puede elegirse una de las diferentes técnicas de generación de malla.

Algunas de estas técnicas son bastante simples e incluyen la división del flujo en regiones igualmente espaciadas, sin embargo, para geometrías complejas esto no es posible y las técnicas de generación implican usualmente la resolución de más ecuaciones diferenciales, por lo que la elección de la malla es siempre un proceso muy complejo.

2.3.6.4 Parametrización del fluido Una vez que ha sido creada la malla, pueden definirse los límites del dominio

computacional y las condiciones de frontera determinadas en la fase inicial (formulación) que se pueden aplicar. Estos límites, junto con las condiciones iniciales y algunos otros parámetros del fluido determinan el problema que será calculado posteriormente.

El primer paso consiste en visualizar lo que pasa en el flujo dentro de las superficies que lo

limitan. Esto se logra al conocer el tipo de fluido estudiado. Este pude ser aire, agua, o cualquier otro medio para los cuales deben encontrarse los valores de densidad y viscosidad. Con estos dos valores y algunas magnitudes propias de la geometría del objeto a simular se puede obtener la condición más importante del flujo, el número de Reynolds; que es de vital importancia para definir si el flujo es laminar o turbulento. Posteriormente se define la estructura del fluido que generalmente incluye parámetros como la dirección del flujo, localización de los vórtices, áreas de separación de flujo, capas límites y ondas de choque.

La elaboración de la estructura del flujo permite la identificación del tipo de condiciones de

frontera que deben ser aplicadas así como el estado inicial de sus variables. No hay que olvidar que la información del flujo en los alrededores del objeto, las condiciones de frontera, el estado de sus variables al inicio de la simulación y las condiciones de operación son los parámetros que determinan la simulación. Otros parámetros de importancia son:

• Establecimiento de la velocidad inicial (para flujos laminares a la entrada) • Establecimiento de un perfil de velocidades inicial (para flujos turbulentos a la

entrada) • Definición de una presión inicial (asociada a la altitud que se desea simular) • Establecimiento de la energía cinética y sus condiciones de disipación.

2.3.6.5 Solución numérica Una vez que se ha creado la malla para describir la geometría a simular y se han

especificado las propiedades del fluido en las condiciones iniciales y de frontera, el problema está completamente definido, y pude ejecutarse la solución numérica.

Cada paquete de simulación de flujos tiene un programa que resuelve las ecuaciones

numéricas para el problema en cuestión. Este programa obtiene toda la información relevante definida por un pre-procesador, el cual ha sido alimentado por el usuario con los datos identificados en la parametrización. De esta forma, el pre-procesador envía archivos de datos que



el programa de solución puede asimilar. Una vez que los datos han llegado a su destino, el programa se activa y el proceso de solución se lleva a cabo.

Al final de esta fase, estarán disponibles una inmensa cantidad de datos que deberán ser

transferidos de regreso a una computadora en donde se agruparán e interpretarán. De esta forma, a pesar de que el programa de solución de ecuaciones es el corazón de cualquier software de simulación, el usuario ve de forma mínima su operación.

2.3.6.6 Análisis de resultados Cuando se ha obtenido la solución numérica es necesario determinar si ésta corresponde al

fenómeno real, y si es así la información técnica puede extraerse de los resultados. Se puede decir entonces que el análisis de los resultados está compuesto de dos elementos, el primero, la revisión de los resultados para definir su veracidad y en segundo lugar, la interpretación de éstos. Como se mencionó anteriormente, la forma de las ecuaciones no permite una solución lineal al problema por lo que el proceso de solución debe ser iterativo sin importar si el problema es dependiente del tiempo o no. Esto significa que una solución inicial (condiciones iniciales) se requiere para comenzar el proceso, y entonces las ecuaciones numéricas son utilizadas para producir una aproximación más precisa a la solución numérica correcta (que es aquella solución que satisface todas las variables de las ecuaciones que gobiernan el flujo). Esta nueva aproximación es ahora usada como la condición inicial y el proceso se repite hasta que los errores en la solución son lo suficientemente pequeños. A cada repetición del proceso de solución se le conoce como iteración. Al inicio de la simulación, solo deben ejecutarse algunas iteraciones, lo que permite revisar la convergencia de la solución, y así discernir si los márgenes de error se reducen o se incrementan. Una vez que se ha revisado la convergencia, el número de iteraciones puede incrementarse para finalizar la simulación. Si se presenta una divergencia, el remedio inicial es descartar errores obvios (introducción incorrecta de datos) y revisar meticulosamente los datos ingresados al pre-procesador. De otra forma, los errores pueden provenir de errores de concepto como:

• Densidad inadecuada de la malla (lo que genera una simulación pobre) • Estimación incorrecta de las condiciones de frontera e iniciales. • Formulación incorrecta de la estructura del fluido. • Elección incorrecta del modelo de turbulencia (demasiado simple para el problema)

Si se sigue el procedimiento mencionado, se encontrará eventualmente una solución que

converja y el conjunto de datos obtenido puede interpretarse mediante esquemas o gráficas a través de diferentes tipos de herramientas.

2.3.6.7 Elementos físicos Naturalmente, para llevar a cabo una simulación, se necesitan computadoras que realicen

los cálculos repetitivos que producen las soluciones de las ecuaciones numéricas. Conforme la tecnología avanza, las diferencias entre una generación y otra de ordenadores son mayores, sin



embargo se puede considerar que las características de las computadoras usadas para simular flujos computacionales pueden dividirse en las siguientes 5 categorías:

• Computadoras personales: Sistemas generalmente aislados con un procesador

central y una memoria de acceso aleatoria (RAM) muy limitada. • Estaciones de trabajo: Máquinas con un procesador central, memoria (RAM)

aceptable, completadas con una pantalla de alta resolución y conectadas generalmente a una red.

• Mini computadoras: Máquinas con un procesador central y una gran capacidad de memoria, además de un sistema de almacenamiento central.

• Mini-supercomputadoras: Son casi superestaciones con excelente capacidad para manejar gráficas, y con velocidades cercanas a las de las supercomputadoras.

• Super-computadoras: Diseñadas para manejar datos numéricos de la forma más rápida, están dedicadas a realizar los cálculos matemáticos. Generalmente no cuentan con pantallas de visualización, pero suelen estar unidas a una red para repartir la información.

Cuando se opera o se especifica cierto hardware deben considerarse otros elementos además

de la computadora, ya que al llevar a cabo el análisis computacional se está sujeto a los periféricos disponible que son de gran ayuda para expresar los resultados de la simulación. Entre estos periféricos e interfases se cuentan:

• Dispositivos de almacenaje de datos secundarios • Dispositivos de protección de los datos (copias de seguridad) • Pantallas gráficas de alta resolución • Elementos de copia permanente (documentos en papel)

2.3.6.8 Elementos lógicos Cada paquete de simulación dedicado a la dinámica de fluidos en el mercado, asiste al

usuario en las tareas que forman el proceso de análisis. Esto se realiza al proveer (típicamente) varias piezas de programa principales, entre las que se cuentan:

• Pre-procesador • Solucionador • Post-procesador • Utilidades

Pre-procesador

Todas las tareas se llevan a cabo antes de la solución numérica, son llamadas pre-procesos. Esto incluye las primeras tres fases del proceso de análisis descrito anteriormente (formulación, creación de la malla y parametrización). El pre-procesador puede contener un programa generador de malla, y la mayoría de estos programas son compatibles con herramientas de CAD.



Solucionador

Aunque generalmente no se puede visualizar su operación, es la parte principal de cualquier software de simulación ya que se encarga de la discretización y resolución de las ecuaciones. Post-procesador

Ya que grandes cantidades de puntos tienen que ser creados dentro del flujo, y extensas cantidades de variables son obtenidas y almacenadas en cada nodo, las gráficas son frecuentemente el único medio de hacer compresibles dichos volúmenes de información.

En este capítulo se presentaron las ecuaciones de Navier-Stokes las cuales son modelos matemáticos para describir la dinámica del flujo de fluidos reales donde existen flujos no compresibles, turbulentos, con gradientes de presión altos, grandes zonas de desprendimiento, ya sean transitorios o estacionarios; y estas son ecuaciones diferenciales en derivadas parciales muy complejas las cuales son prácticamente imposibles de resolver de forma analítica.

Es aquí que donde se observa la importancia que tiene la Dinámica de Fluidos

Computacionales ya que por medio de métodos numéricos es posible resolver estas ecuaciones en una computadora; y así poder simular la dinámica del flujo alrededor de los intercambiadores de calor; observando el comportamiento del flujo en forma de contornos y vectores de las variables, así como líneas de corriente lo cual permite una comprensión del fenómeno más amplia, ya que de manera experimental es difícil llegar a ese nivel de visualización. Una vez comprendido la dinámica del flujo se pueden hacer estudios de modificaciones de la geometría reduciendo costos y tiempos de los experimentos para poder hacer así diseñar intercambiadores de calor mucho más eficientes. En este capítulo se presentaron los Fundamentos de la Dinámica de Fluidos Computacionales los cuales brindan un panorama general del desarrollo y el proceso que se debe llevar a cabo para implementar esta técnica, en el análisis y estudio de fenómenos reales del comportamiento de la dinámica del flujo en este caso, intercambiadores de calor.

En el siguiente capítulo se describe el modelo numérico usado por el software FLUENT.



Capítulo 3 Descripción del modelo numérico del software FLUENT

En este capítulo se describe la estructura del programa FLUENT así como los modelos matemáticos empleados en el modelado de la dinámico de fluidos básico así como del modelo de turbulencia RSM, los distintos tratamientos de pared y consideraciones de mallado para cada tipo, así como los modelos empleados en la discretización de las ecuaciones.



3.1 Programa FLUENT FLUENT es un programa de cómputo para modelar el flujo de fluidos y transferencia de

calor en geometrías complejas. FLUENT provee flexibilidad completa de mallado, ya que puede solucionar problemas con mallas no estructuradas las cuales se pueden generar en geometrías complejas con relativa facilidad. Los tipos de mallas soportadas en 2D son triangular/cuadrangular; en 3D son tetraedro, hexaedros, pirámides, cuñas y la mezcla de ellas (híbridas).

3.1.1 Estructura del programa FLUENT consta de los siguientes programas:

• FLUENT, el solucionador (solver) • GAMBIT, el pre-procesador para el modelado de la geometría y generación de la

malla. • TGrid, un preprocesador adicional que puede generar mallas de volúmenes a partir

de mallas de frontera existentes.

3.1.2 Capacidades del programa FLUENT posee las siguientes capacidades de modelado:

• Flujos 2D planares, 2D eje-simétrico, 2D eje-simétrico con vorticidades y flujos en 3D.

• Elementos de malla cuadriláteros, triangulares, hexaédricos, tetraedros, prismáticos y elementos mixtos.

• Flujos en estado estacionario o transitorio. • Flujos incompresibles o compresibles, incluyendo todos los regímenes de velocidad

(subsónico, transónico, supersónico e hipersónico) • Flujos no viscosos, laminares y turbulentos. • Flujos Newtonianos y no Newtonianos. • Transferencia de calor incluyendo convección forzada, natural y mixta, transferencia

de calor conjugada (sólido/fluido) y radiación. • Modelos de cavitación. • Modelos paramétricos para ventiladores, bombas, radiadores e intercambiadores de

calor. • Marcos de referencia inerciales (estacionarios) y no inerciales (rotativos o

acelerados)



• Marcos de referencia múltiples (MRF) y opciones de mallas deslizables para modelar múltiples marcos de referencia móviles.

• Modelos de mallas dinámicas para modelar dominios con mallas móviles y deformables.

3.1.3 Planificación del análisis. Cuando se planifica la resolución de un problema empleando FLUENT, se deben considerar

primero los siguientes puntos:

• Definición de las metas del modelado: ¿Que resultados específicos son requeridos del modelo de CFD y como van a ser empleados? ¿Qué grado de precisión es requerido del modelo?

• Selección del modelo computacional: ¿Cómo se va a aislar una pieza del sistema físico completo a modelar? ¿Dónde va a comenzar y a finalizar el modelo? ¿Qué condiciones de frontera serán utilizadas en las fronteras del modelo? ¿Pude ser modelado el problema en 2D o se requiere un modelo en 3D? ¿Qué tipo de topología de la malla es mejor para el problema?

• Selección del modelo físico: ¿El flujo es no viscoso, laminar o turbulento? ¿El flujo es transitorio o estacionario? ¿El problema puede ser resuelto considerando las restricciones de memoria y equipo computacional? ¿Que tanto tiempo tomará el problema en converger en la computadora?

Las consideraciones cuidadosas de estos puntos antes de comenzar el análisis de CFD

contribuirán significantemente en el éxito de la modelación.

3.1.4 Pasos para la resolución del problema Una vez que se han determinado las características importantes del problema que se quiere

resolver, se deben seguir el siguiente procedimiento básico mostrado enseguida:

1. Creación de la geometría y mallado del modelo. 2. Iniciar el solucionador apropiado para la modelación en 2D o 3D. 3. Importar la malla. 4. Revisar la malla. 5. Seleccionar la formulación del solucionador. 6. Seleccionar las ecuaciones básicas que se van a resolver: laminar o turbulento (o no

viscoso), modelos de transferencia de calor; etc. 7. Especificar las propiedades de los materiales. 8. Especificar las condiciones de frontera. 9. Ajustar los parámetros control de la solución. 10. Inicializar el campo de flujo. 11. Calcular la solución. 12. Examinar los resultados.



13. Salvar los resultados. 14. Si es necesario, refinar la malla o considerar las revisiones de los modelos físicos o

numéricos.

3.2 Modelado del flujo de fluido básico

3.2.1 Ecuaciones de continuidad y momentum Para todos los flujos, FLUENT resuelve las ecuaciones de conservación de masa y

momentum. Para flujos que incluyen transferencia de calor o compresibilidad, se resuelve una ecuación adicional para la conservación de la energía. Ecuaciones adicionales son resueltas cuando el flujo también es turbulento.

En esta sección, se muestran las ecuaciones de conservación para flujo laminar (en un

marco de referencia inercial (sin aceleración)).

3.2.1.1 Ecuación de conservación de masa. La ecuación de conservación de masa, o ecuación de continuidad, puede ser escrita de la

siguiente forma:

0=⎟⎠⎞

⎜⎝⎛⋅∇+

∂∂ →

vt

ρρ (3.1)

La ecuación 3.1 es la forma general de la ecuación de conservación de masa y es válida para

flujos incompresibles como compresibles.

3.2.1.2 Ecuaciones de conservación de momentum La conservación de momentum en un marco de referencia inercial (sin aceleración) se

describe por:

( ) ( ) ( ) Fgpvvvt

++⋅∇+−∇=⋅∇+∂∂ ρτρρ (3.2)

donde p es la presión estática, τ es el tensor de esfuerzos (descrito abajo), y grρ y F

r son las

fuerzas de cuerpo gravitacionales y las fuerzas de cuerpo externas, respectivamente. El tensor de esfuerzos τ esta dado por



⎥⎦⎤

⎢⎣⎡ ⋅∇−⎟

⎠⎞⎜

⎝⎛ ∇+∇= Ivvv

T

32μτ (3.3)

donde μ es la viscosidad molecular, I es el tensor unidad, y el segundo término de lado derecho de la ecuación es el efecto de la dilatación volumétrica.

3.3 Modelado de la turbulencia Los flujos turbulentos se caracterizan por fluctuaciones en los campos de velocidad. Estas

fluctuaciones mezclan cantidades transportadas tales como momentum y energía, y causan que las cantidades transportadas fluctúen también. Ya que estas fluctuaciones pueden ser de escala pequeña y de alta frecuencia, son altamente costosas computacionalmente para simularlas directamente en cálculos de ingeniería prácticos. En su lugar, las ecuaciones gobernantes instantáneas (exactas) pueden ser promediadas con respecto al tiempo, ensambladas de forma promediada, o pueden ser manipuladas eliminando las escalas pequeñas, resultando en un conjunto modificado de ecuaciones que son menos costosas de resolver computacionalmente. Sin embargo, las ecuaciones modificadas contienen variables desconocidas adicionales, y son necesarios modelos de turbulencia para determinar estas variables en términos de cantidades conocidas.

FLUENT posee los siguientes modelos de turbulencia:

• Modelo de Spalart-Allmaras • Modelo ε−k

o Estándar o Grupo Renormalizado (RNG) o Realizable

• Modelo ω−k o Estándar o Transporte de Esfuerzos de Corte (SST)

• Modelo de Esfuerzos de Reynolds (RSM)

3.3.1 Selección de un modelo de turbulencia

Es un hecho desafortunado que ningún modelo de turbulencia sea universalmente aceptado como superior para todas las clases de problemas. La selección del modelo de turbulencia dependerá de consideraciones tales como la física abarcada en el flujo, la práctica establecida en una clase específica del problema, el nivel de precisión requerido, los recursos computacionales disponibles, y la cantidad de tiempo disponible para la simulación. Para hacer la selección más apropiada del modelo para la aplicación específica, es necesario comprender las capacidades y limitaciones de las distintas opciones.



3.3.2 Aproximación de Reynolds-Promedio Una solución completa de las ecuaciones dependientes del tiempo de Navier-Stokes de

flujos turbulentos para altos números de Reynolds en geometrías complejas no es posible de ser llevado a cabo en un futuro cercano. Existen dos alternativas que pueden ser empleadas para transformar las ecuaciones de Navier-Stokes de tal manera que las fluctuaciones de escala pequeña no sean simuladas directamente: Promediado de Reynolds. Este método introduce términos adicionales en las ecuaciones gobernantes necesarios de tal manera que las ecuaciones puedan ser resueltas.

Las ecuaciones de Navier-Stokes Promediadas por Reynolds (RANS) representan las

ecuaciones de transporte solamente para cantidades en el flujo medio, modelando todas las escalas de turbulencia. La aproximación de permitir una solución para las variables del flujo medio reduce en gran medida el esfuerzo computacional. Si el flujo medio es estacionario, las ecuaciones gobernantes no contendrán las derivadas con respecto al tiempo y la solución en estado estacionario puede ser obtenida económicamente. Una ventaja computacional se observa también en flujos transitorios, ya que el escalón de tiempo será determinado por no transitoriedades globales en el flujo medio en lugar de la turbulencia. La aproximación Reynolds-Promedio es adoptada para cálculos de ingeniería prácticos, y emplea modelos tales como Spalart-Allmaras, ε−k y sus variantes, ω−k y sus variantes, y el RSM.

3.3.2.1 Ensamble de las ecuaciones Reynolds-Promedio En el promediado de Reynolds, las variables de solución en las ecuaciones de Navier-

Stokes instantáneas son descompuestas en componentes medios (ensamble-promediado o tiempo-promediado) y componentes fluctuantes. Para las componentes de la velocidad:

'iii uuu += (3.4)

donde iu_

y ''iu son las componentes de la velocidad media y fluctuante )3,2,1( =i . Similarmente, para la presión o cualquier otra cantidad escalar:

'iii φφφ += (3.5)

donde φ denota un escalar tal como presión, energía, o concentración de especies.

Sustituyendo expresiones de este tipo para las variables del flujo en las ecuaciones de

continuidad y momentum instantáneas y tomando un promedio del tiempo (o ensamble) producen

las ecuaciones de momentum de ensamble-promedio (quitando la testa en la velocidad media, _u ).

Estas pueden ser escritas forma tensorial cartesiana como:



( ) 0=∂∂

+∂∂

ii

uxt

ρρ (3.6)

( ) ( ) ( )''

32

jijl

lij

i

j

j

i

jiji

ji uu

xxu

xu

xu

xxpuu

xu

tρδμρρ −

∂∂

+⎥⎥⎦

⎤

⎢⎢⎣

⎡⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛

∂∂

−∂

∂+

∂∂

∂∂

+∂∂

−=∂∂

+∂∂ (3.7)

Las ecuaciones (3.7) son llamadas las ecuaciones de Navier-Stokes de Reynolds-Promedio

(RANS). Estas poseen la misma forma general que las ecuaciones de Navier-Stokes instantáneas, con las velocidades y otras variables de solución que ahora representan valores de ensamble-promedio (o tiempo-promedio). Términos adicionales aparecen que representan los efectos de la

turbulencia. Los esfuerzos de Reynolds, ________

'' ji uuρ− , deben ser modelados para que las ecuaciones (3.7) puedan ser resueltas.

3.3.3 Aproximación Boussinesq vs. Modelos de Transporte de Esfuerzos de Reynolds

La aproximación de Reynolds-Promedio para la modelación de turbulencia requiere que los

esfuerzos de Reynolds en la ecuación (3.7) puedan ser modelados apropiadamente. Un método común emplea la hipótesis de Boussinesq26 para relacionar los esfuerzos de Reynolds con los gradientes de velocidad media:

iji

it

i

j

j

itji x

uk

xu

xu

uu δμρμρ ⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛∂∂

+−⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛

∂

∂+

∂∂

=−32''

________

(3.8)

La hipótesis Boussinesq es usada en los modelos de Spalart-Allmaras, modelos ε−k , y

modelos ω−k . La ventaja de esta aproximación es relativamente bajo costo computacional asociado con el cálculo de la viscosidad turbulenta, tμ . En el caso del modelo de Spalart-Allmaras, solamente una ecuación adicional de transporte (representando la viscosidad turbulenta) es resuelta. En el caso de los modelos ε−k y ω−k , dos ecuaciones adicionales de transporte (para la energía cinética de turbulencia, k , y ya sea la razón de disipación de turbulencia, ε , o la razón de disipación específica, ω ) son resueltas, y tμ es una cantidad escalar isotrópica, la cual no es estrictamente verdadera.

La aproximación alternativa, incluido en el RSM, es el de resolver ecuaciones de transporte

para cada uno de los términos en el tensor de esfuerzos de Reynolds. Una ecuación adicional de determinación de escala (normalmente para ε ) también es requerida. Esto significa que siete ecuaciones de transporte adicionales deben ser resueltas.

En muchos casos, modelos basados en la hipótesis de Boussinesq se desempeñan muy bien,

y el gasto computacional adicional del modelo del tensor de esfuerzos de Reynolds no se



justifica. Sin embargo, el RSM es claramente superior para situaciones en los cuales la anisotropía de la turbulencia posee un efecto dominante en el flujo medio. En tales casos están incluidos flujos de alta vorticidad y flujos secundarios manejados por esfuerzos.

3.3.3.1 El modelo de Spalart-Allmaras El modelo de Spalart-Allmaras es un modelo relativamente simple de una ecuación que

resuelve una ecuación de transporte para la viscosidad cinemática turbulenta. Esta incluido en una relativamente nueva clase de modelos de una ecuación en los cuales no es necesario calcular una escala de longitud relacionada al espesor de la capa cortante local. El modelo Spalart-Allmaras fue diseñado específicamente para aplicaciones aeroespaciales incluyendo flujos limitados por pared y ha probado dar buenos resultados para capas límites sometidas a gradientes de presión adversos. También esta ganando popularidad en aplicaciones de turbo-maquinaria.

En su forma original, el modelo de Spalart-Allmaras es efectivamente un modelo de bajos

números de Reynolds, requiriendo la región viscosa afectada de la capa límite ser propiamente resuelta.

Como nota precautoria, sin embargo, el modelo Spalart-Allmaras es relativamente nuevo,

no se ha hecho ninguna afirmación con respecto a su aplicabilidad a cualquier tipo de flujo complejo existente en ingeniería. Por ejemplo, no es confiable su uso en la predicción de la caída de turbulencia homogénea e isotrópica. Además, modelos de una ecuación son criticados por su inhabilidad de acomodarse rápidamente a cambios de la escala de longitud, tal como pudiera ser necesario cuando el flujo cambia abruptamente de una región limitada por pared a un flujo cortante libre.

3.3.3.2 El Modelo ε−k estándar El más simple de los modelos completos de turbulencia son modelos de dos ecuaciones en

los cuales la solución de dos ecuaciones de transporte separadas permite que la velocidad turbulenta y las escalas de longitud sean determinadas independientemente. El modelo estándar

ε−k cae dentro de esta clase de modelos de turbulencia y se ha convertido en el caballo de trabajo para cálculos prácticos de flujo en ingeniería. Robusto, económico, y razonablemente preciso para un gran rango de flujos turbulentos explica su popularidad en flujos industriales y simulaciones de transferencia de calor. Es un modelo semi-empírico, y la derivación de las ecuaciones del modelo recae en consideraciones fenomenológicas y empíricas.

Ya que las fortalezas y debilidades del modelo estándar ε−k han sido conocidas, mejoras

han sido hechas al modelo para mejorar su desempeño. Dos de esas variantes están disponibles en FLUENT: el modelo RNG ε−k y el modelo realizable ε−k .



3.3.3.3 El modelo ε−k RNG El modelo RNG ε−k fue derivado usando una rigurosa técnica estadística. Es similar en

forma al modelo estándar ε−k , pero incluye los siguientes refinamientos:

• El modelo RNG posee un término adicional en la ecuación de ε que significativamente mejora la precisión en flujos rápidamente forzados.

• El efecto de vorticidad en la turbulencia es incluida en el modelo RNG, incrementando la precisión en flujos con vorticidades.

• La teoría de RNG provee una fórmula analítica para números turbulentos de Prandtl, mientras que el modelo estándar ε−k emplea valores constantes especificados por el usuario.

• Mientras que el modelo estándar ε−k es un modelo para altos números de Reynolds, la teoría del RNG provee una fórmula diferencial derivada analíticamente para la viscosidad efectiva que considera los efectos para bajos números de Reynolds. El uso efectivo de esta característica, sin embargo, depende de un buen tratamiento de la región cercana a la pared.

Estas características hacen del modelo RNG ε−k más preciso y confiable para clases de

flujos más amplia que el modelo estándar ε−k .

3.3.3.4 El modelo ε−k Realizable. El modelo Realizable ε−k es de desarrollo relativamente reciente y difiere del modelo

estándar ε−k en dos formas importantes:

• El modelo Realizable ε−k contiene una nueva formulación para la viscosidad turbulenta.

• Una nueva ecuación de transporte para la razón de disipación, ε , ha sido derivada de la ecuación de transporte exacta de la fluctuación de la vorticidad cuadrática media.

El término “Realizable” significa que el modelo satisface ciertas restricciones matemáticas

en los tensores de Reynolds, consistentes con la física de los flujos turbulentos. Ni el modelo Estándar ε−k ni el RNG ε−k son realizables.

Un beneficio inmediato de modelo Realizable ε−k es que predice con mayor precisión la

razón de propagación en chorros planares y redondos. También es probable que presente mejor desempeño para flujos que involucren rotación, capas límite bajo fuertes gradientes de presión adversos, separación y recirculación.

Ambos modelos ε−k , el Realizable y el RNG muestran mejoras substanciales sobre el

modelo estándar ε−k donde las características del flujo incluyen grandes curvaturas de las



líneas de corriente, vórtices y rotación. Ya que este modelo es relativamente nuevo, no esta claramente definido bajo que circunstancias el modelo Realizable ε−k es más consistente que el modelo ε−k RNG. Sin embargo, estudios iniciales han mostrado que el modelo realizable provee un mejor desempeño que todas las versiones de modelo ε−k para muchas validaciones de flujos separados y flujos con características complejas de flujos secundarios.

3.3.3.5 El modelo ω−k estándar El modelo Estándar ω−k se basa en el modelo Wilcox ω−k , el cual incorpora

modificaciones para considerar los efectos de bajos números de Reynolds, compresibilidad, y propagación de flujos cortantes. El modelo Wilcox predice la taza de propagación de flujos cortantes libres que están en cercano acuerdo con medidas de ondas lejanas, capas mezclantes, chorros planos, chorros redondos y chorros radiales, y también es aplicable a flujos delimitados por paredes y flujos de cortante libres.

3.3.3.6 El modelo ω−k de Transporte de Esfuerzos Cortantes (SST) El modelo ω−k de Transporte de Esfuerzos cortantes desarrollado para mezclar

efectivamente la complejidad de una formulación precisa del modelo ω−k en la región cercana a la pared con la independencia del flujo libre del modelo ε−k en el campo lejano del flujo. Para llevar a cabo esto, el modelo ε−k es convertido a una formulación ω−k . El modelo

ω−k SST es similar al modelo ω−k estándar, pero incluye los siguientes refinamientos: • Ambos modelos, el Estándar ω−k y el modelo transformado ε−k , son

multiplicados por una función de mezclado y ambos modelos son sumados juntos. La función de mezclado esta diseñada para que sea única en la región cercana a la pared, la cual activa el modelo ω−k estándar, y sea cero lejos de la superficie, lo cual activa el modelo transformado ε−k .

• El modelo SST incorpora un término amortiguador en las derivadas transversales de difusión de la ecuación ω .

• La definición de la viscosidad turbulenta es modificada para considerar el transporte del esfuerzo cortante turbulento.

• Las constantes del modelo son diferentes. Estas características hacen del modelo ω−k SST sea más preciso y confiable que el

modelo Estándar ε−k para una amplia gama de flujos (ej., flujos con gradientes de presión adversos, perfiles aerodinámicos, ondas de choque transónicas).

3.3.3.7 El modelo de Esfuerzos de Reynolds (RSM) El modelo de Esfuerzos de Reynolds (RSM) es el modelo de turbulencia más elaborado de

todos. Abandonando la hipótesis de la viscosidad turbulenta isotrópica, el RSM permite la solución de las ecuaciones de Navier-Stokes de Reynolds-Promedio por medio de la solución de



las ecuaciones de transporte de los Esfuerzos de Reynolds, junto con una ecuación para la tasa de disipación.

Ya que el RSM considera los efectos de curvatura de las líneas de corriente, vorticidad,

rotación, y cambios rápidos en la taza de deformación en una manera más rigurosa que los modelos de una o dos ecuaciones, posee un gran potencial para realizar predicciones precisas de flujos complejos. Sin embargo, la fidelidad de las predicciones del RSM aún está limitada por las consideraciones empleadas para modelar varios términos en las ecuaciones exactas de los esfuerzos de Reynolds. El modelado de la presión forzada y los términos de la tasa de disipación son particularmente desafiantes, y seguido son considerados como los responsables que comprometen la precisión de las predicciones del RSM.

El RSM puede que no siempre arroje resultados que sean claramente superiores a los

modelos más simples en todas las clases de flujos aún cuando requiera un gasto computacional mucho mayor. Sin embargo, el uso del RSM es imperativo cuando las características del flujo son el resultado de la anisotropía en los esfuerzos de Reynolds. Entre algunos ejemplos se encuentran flujos ciclónicos, flujos en cámaras de combustión, pasajes de flujo rotantes, y los esfuerzos inducidos de flujos secundarios en conductos.

3.3.4 Esfuerzo computacional: Tiempo de CPU y comportamiento de la solución

En términos computacionales, el modelo Spalart-Allmaras es el modelo menos caro de

todas las opciones provistas en FLUENT, ya que solo se resuelve una sola ecuación de transporte. El modelo estándar ε−k claramente requiere más esfuerzo computacional que el modelo

Spalart-Allmaras ya que se resuelve una ecuación adicional de transporte. El modelo Realizable ε−k requiere ligeramente más esfuerzo computacional que el modelo Estándar ε−k . Sin

embargo, debido a los términos y funciones extras en las ecuaciones gobernantes y a mayor grado de no linealidad, cálculos con el modelo RNG ε−k tienden a usar entre un 10 a un 15% más de tiempo de CPU que el modelo estándar ε−k . Como los modelos ε−k , los modelos ω−k también son de 2 ecuaciones, y por lo tanto requieren aproximadamente el mismo esfuerzo computacional.

Comparados con los modelos ε−k y ω−k , el RSM requiere memoria y tiempo de CPU

adicional debido al incremento en el número de ecuaciones de transporte para los esfuerzos de Reynolds. En promedio, el RSM requiere entre un 50 a un 60% mayor tiempo de procesamiento por iteración comparado con los modelos ε−k y ω−k . Además requiere entre un 15 y un 20% más de memoria.

Independientemente del tiempo por iteración, la selección del modelo de turbulencia puede

estar afectado por la habilidad para obtener una solución convergente. Por ejemplo, el modelo Estándar ε−k es conocido por sobre predecir la difusividad en ciertas circunstancias, mientras que el modelo RNG ε−k esta diseñado de tal manera que la viscosidad turbulenta sea reducida en respuesta a altas tasas de deformación. Ya que la difusión posee efectos estabilizantes en los



métodos numéricos, el modelo RNG es más susceptible a inestabilidades en soluciones de estado estable. Sin embargo, esto no debe ser visto como una desventaja del modelo RNG, mientras que esta característica lo hace más sensible a importantes inestabilidades físicas tales como vórtices turbulentos vertidos dependientes del tiempo.

Similarmente, el RSM requiere más iteraciones para converger que los modelos ε−k y

ω−k debido al fuerte acoplamiento entre los esfuerzos de Reynolds y el flujo medio.

3.3.5 El Modelo de los Esfuerzos de Reynolds (RSM) El modelo de los esfuerzos de Reynolds27 involucra el cálculo de los esfuerzos individuales

de Reynolds, ______

''jiuu , empleando ecuaciones de transporte diferenciales. Los esfuerzos

individuales de Reynolds son empleados para cerrar la ecuación de momentum promedio de Reynolds (ecuación 3.7).

La forma exacta de las ecuaciones de transporte de esfuerzos de Reynolds puede derivarse

tomando los momentos de la ecuación exacta de momentum. Este es un proceso donde las ecuaciones exactas de momentum son multiplicadas por una propiedad fluctuante, y entonces ese producto se promedia por Reynolds. Desafortunadamente, muchos de los términos en la ecuación exacta son desconocidos y deben hacerse consideraciones de modelado, para poder así cerrar las ecuaciones.

3.3.5.1 Ecuaciones de Transporte de los Esfuerzos de Reynolds

Las ecuaciones exactas de transporte de los esfuerzos de Reynolds, ______

''jiuu , pueden escribirse

de la siguiente manera:

( )43421

tiempodelocalDerivada

jiuut

___

''ρ∂∂

+ ( )44 344 21

ConvecciónC

jikk

ij

uuux

≡

∂∂ ''ρ = ( )[ ]

444444 3444444 21turbulentaDifusiónD

jikikjkjik

ijT

uupuuux

_

'''''

, ≡

++∂∂

− δδρ

+ ( )444 3444 21

molecularDifusiónD

jikk

ijL

uuxx

_

''

, ≡

⎥⎦

⎤⎢⎣

⎡∂∂

∂∂ μ

4444 34444 21esfuerzosdeoducciónP

k

ikj

k

jki

ij

xuuu

xu

uu

__Pr

''''

≡

⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛∂∂

+∂

∂− ρ

+ 44 344 21

presiónpornDeformació

i

j

j

i

ij

xu

xup

__

''

≡

⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛

∂

∂+

∂∂

φ

4434421

Disipación

k

j

k

i

ij

xu

xu

≡

∂

∂

∂∂

−

ε

μ''

2 ( )44444 344444 21sistemadelrotaciónlaporoducciónF

jkmmiikmmjk

ij

uuuu_____Pr

''''2≡

+Ω− εερ (3.9)



Varios términos esta ecuación, ijijLij PDC ,, , y ijF no requieren ser modeladas. Sin embargo, ,,, ijijTD φ y ijε necesitan ser modeladas para cerrar las ecuaciones. La siguiente sección describe

las consideraciones requeridas para modelar estas ecuaciones de cierre.

3.3.5.2 Modelado del transporte de la turbulencia difusiva

ijTD , puede modelarse por el modelo generalizado gradiente-difusión28:

⎟⎟

⎠

⎞

⎜⎜

⎝

⎛

∂

∂

∂∂

=l

jilk

ksijT x

uuuukx

CD''''

, ερ (3.10)

Sin embargo, esta ecuación puede resultar en inestabilidades numéricas, así que esta ha sido

simplificada para emplear una difusividad turbulenta escalar como se muestra29

⎟⎟

⎠

⎞

⎜⎜

⎝

⎛

∂

∂

∂∂

=k

ji

k

t

kijT x

uux

D''

, σμ (3.11)

La viscosidad turbulenta, tμ , se calcula empleando la ecuación 3.24.

3.3.5.3 Modelado del Término Presión-Deformación

El modelo RSM posee dos distintas formas para modelar el término presión-deformación. Estas opciones son modelos lineales o cuadráticos los cuales se describen enseguida.

3.3.5.3.1 Modelado lineal El acercamiento clásico para modelar ijφ emplea la siguiente descomposición30:

wijijijij ,2,1, φφφφ ++= (3.12)

donde 1,ijφ es el término presión-deformación lento, también conocido como el término regreso a isotropía, 2,ijφ es el término presión-deformación rápido, y ωφ ,ij es el término de reflexión de pared.

El término presión-deformación lento 1,ijφ se modela como



⎥⎦⎤

⎢⎣⎡ −−≡ kuu

kC ijjiij δερφ

32''

11, (3.13)

donde 8.11 =C

El término presión-deformación rápido 2,ijφ se modela como

( ) ( )⎥⎦⎤

⎢⎣⎡ −+−−++−≡ CGPCGFPC ijijijijijij δφ

32

22, (3.14)

donde C2= 0.60, Pij, Fij, Gij, y Cij están definidos en la ecuación 3.9, P=1/2Pkk, G=1/2Gkk, y C=1/2Ckk.

El término de reflexión de pared ωφ ,ij , es responsable de la redistribución de los esfuerzos

normales cercanos a la pared. Este tiende a amortiguar los esfuerzos normales perpendiculares a la pared, mientras que incrementa los esfuerzos paralelos a la pared. Este término se modela como

dCknnuunnuunnuu

kC

lkikjkjkiijmkmkwij ε

δεφ2/3

'''''''1, 2

323

⎟⎠⎞

⎜⎝⎛ −−≡

dCknnnnnnC

lkijkkjikijmkkm ε

φφδφ2/3

2,2,2,'2 2

323

⎟⎠⎞

⎜⎝⎛ −−+ (3.15)

Donde kCC η,3.0,5.0 '

2'1 == es la componente xk de la normal unitaria de la pared, d es la

distancia normal a la pared, y κμ /43

CCt = , donde 09.0=μC y κ es la constante de von Kármán (=0.4187).

wij ,φ está incluida por definición en el modelo de esfuerzos de Reynolds.

3.3.5.3.2 Modelo Presión-Deformación Cuadrático Es un modelo presión-deformación opcional propuesto que ha demostrado que provee un

desempeño superior en un rango de flujos cortantes básicos, incluyendo deformación planar, plano cortante giratorio, y expansión/contracción eje simétrica. Esta mejora en precisión puede ser benéfica para amplias clases de flujos complejos en ingeniería, particularmente aquellos con curvaturas de las líneas de corriente.

Este modelo esta descrito como



( ) ( ) ijijijijmnmnkjikijij kSbbCCbbbbCbPCC ρδρερεφ *332

*11 3

1−+⎟

⎠⎞

⎜⎝⎛ −++−=

( )ikjkjkikijmnmnikjkjkij bbkCSbSbSbkC Ω+Ω+⎟⎠⎞

⎜⎝⎛ −++ ρδρ 54 3

2 (3.16)

donde bij es el tensor anisotrópico de esfuerzos de Reynolds definido por

⎟⎟⎟

⎠

⎞

⎜⎜⎜

⎝

⎛ +−−=

k

kuub

ijjiij ρ

δρρ

23

2''

(3.17)

La tasa de deformación media, Sij, esta definida por

⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛

∂∂

+∂

∂=

j

i

i

jij x

uxu

S (3.18)

El tensor de la tasa de rotación media, ijΩ , esta definido por

⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛

∂

∂−

∂∂

=Ωi

j

j

iij x

uxu

21 (3.19)

Las constantes son

,4.31 =C ,8.1*

1 =C ,2.42 =C ,8.03 =C ,3.1*3 =C ,25.14 =C 4.05 =C

El modelo presión-deformación cuadrático no requiere correcciones para considerar los

efectos de reflexión de pared para así obtener una solución satisfactoria en la región logarítmica de la capa límite turbulenta. Debe destacarse, sin embargo, que el modelo presión-deformación cuadrático no esta disponible cuando se emplea tratamiento de pared extendido.

3.3.5.4 Modelado de la energía cinética turbulenta En general, cuando se necesita modelar un término específico de la energía cinética

turbulenta, se obtiene tomando la traza del tensor de los esfuerzos de Reynolds:

''

21

iiuuk = (3.20)

Como se describirá en la sección 3.3.5.7, existe una opción disponible para resolver la

ecuación de transporte de la energía cinética turbulenta para obtener las condiciones de frontera de los esfuerzos de Reynolds. En este caso, la se emplea la siguiente ecuación de modelado:



( ) ( ) ρεσμ

μρρ −+⎥⎥⎦

⎤

⎢⎢⎣

⎡

∂∂

⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛+

∂∂

=∂∂

+∂∂

iijk

t

ji

j

Pxk

xku

xk

t 21 (3.21)

La ecuación 3.21 es obtenible al contraer la ecuación del modelo de los esfuerzos de

Reynolds (ecuación 3.9). Como uno pudiera esperar, es esencialmente idéntica a la ecuación 3.24 empleada en el modelo ε−k estándar.

Aunque la ecuación 3.21 es resuelta globalmente a lo largo del dominio del flujo, los

valores obtenidos de k son empleados solamente para las condiciones de frontera. En cada otro caso, k se obtiene de la ecuación 3.20. Este es un punto menor, sin embargo, los valores de k que se obtienen por cualquier método deben ser muy similares.

3.3.5.5 Modelado de la tasa de disipación El tensor de disipación, ijε , se modela como

ρεδε ijij 32

= (3.22)

La tasa escalar de disipación, ε , se calcula con una ecuación de modelo de transporte

similar a la empleada en el modelo ε−k estándar:

( ) ( )k

Ck

PCxx

uxt ii

j

t

ji

i

2

21 21 ερεε

σμμρερε εε

ε

−⎥⎥⎦

⎤

⎢⎢⎣

⎡

∂∂

⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛+

∂∂

=∂∂

+∂∂ (3.23)

donde 92.1,44.1,0.1 21 === εεεσ CC .

3.3.5.6 Modelado de la viscosidad turbulenta La viscosidad turbulenta, tμ , se calcula de manera similar que los modelos ε−k :

ερμ μ

2kCt = (3.24)

3.3.5.7 Condiciones de frontera para los Esfuerzos de Reynolds Siempre que el flujo entra al dominio, FLUENT requiere valores individuales de los

esfuerzos de Reynolds,_____

''jiuu , y de la tasa de disipación turbulenta, ε . Estas cantidades pueden



ser introducidas directamente o derivadas de la intensidad de turbulencia y longitudes características.

En las paredes, se calculan los esfuerzos de Reynolds cercanos a la pared y ε de las

funciones de pared. Se aplican condiciones de frontera en paredes explícitas para los esfuerzos de Reynolds al usar la ley logarítmica y las consideraciones de equilibrio. Empleando un sistema coordenado local, donde τ es la coordenada tangencial, η es la coordenada normal, y λ es la coordinada binormal, los esfuerzos de Reynolds en las celdas adyacentes a las paredes se calculan de la siguiente manera

,098.12'

=k

uτ ,247.02'

=k

uη ,655.02'

=k

uλ ,255.0''

=kuu ητ (3.25)

Para obtener k, se resuelven las ecuaciones de transporte de la ecuación 3.21. Por razones

de conveniencia computacional, la ecuación es resuelta globalmente, aunque los valores de k así calculados sean necesarios únicamente en la pared; en la región de campo lejano k se obtiene directamente de los esfuerzos de Reynolds empleando la ecuación 3.20. Como caso predeterminado, los valores de los esfuerzos de Reynolds cercanos a la pared están fijos empleando valores calculados con la ecuación 3.25, y la ecuación de transporte 3.9 es resuelta únicamente en la región del flujo en el volumen.

Alternativamente, los esfuerzos de Reynolds pueden ser explícitamente especificados en

términos de los esfuerzos cortantes en la pared, en lugar de k:

,1.52'

2'

=τ

τ

uu ,0.12'

2'

=η

η

uu

,3.22'

2'

=λ

λ

uu ,0.12

''

=−τ

ητ

uuu

(3.26)

donde τu es la velocidad de fricción definida por ρτωτ /≡u , donde ωτ es el esfuerzo cortante en la pared. Cuando se selecciona esta opción, la ecuación de transporte de k no es resuelta. La descripción matemática de los demás modelos de turbulencia disponibles en FLUENT se muestran en el Anexo 1.

3.4 Tratamientos cercanos a la pared para flujos turbulentos limitados por paredes.

3.4.1 Vista General Los flujos turbulentos son significativamente afectados por la presencia de paredes.

Obviamente, el campo de velocidad media está afectado por la condición de no deslizamiento que tiene que ser satisfecha en la pared. Sin embargo, la turbulencia también se ve afectada por la



presencia de paredes de maneras no triviales. Muy cerca de la pared, la amortiguación viscosa reduce las fluctuaciones de la velocidad tangencial, mientras que el bloqueo cinemático reduce las fluctuaciones normales hacia la parte externa de la región cercana a la pared, sin embargo, la turbulencia se incrementa rápidamente por la producción de energía cinética debido a los grandes gradientes en la velocidad media.

El modelado cercano a la pared impacta significativamente la fidelidad de las soluciones

numéricas, ya que las paredes son la principal fuente de vorticidad media y turbulencia. Después de todo, es en la región cercana a la pared en la que las variables de la solución poseen grandes gradientes, y donde el momentum y otros escalares de transporte ocurren más vigorosamente. Por consiguiente, una representación precisa del flujo en la región cercana a la pared determinan predicciones exitosas de los flujos turbulentos limitados por paredes.

Los modelos ε−k , el RSM, y el modelo LES son primariamente válidos para flujos

turbulentos medulares (ej., flujo en la región distante a las paredes). Por lo tanto son necesarias consideraciones para hacer de estos modelos, modelos útiles para flujos limitados por paredes. Los modelos Spalart-Allmaras y ω−k fueron diseñados para ser aplicados a lo largo de la capa límite, teniendo en cuenta que la resolución de la malla de la región cercana a la pared sea suficiente.

Numerosos experimentos han demostrado que la región cercana a la pared puede ser

subdividida en 3 grandes capas. En la capa más cercana, llamada la subcapa viscosa, el flujo es casi laminar, y la viscosidad (molecular) juega un rol dominante en la transferencia de momentum y calor o masa. En la capa más lejana, llamada capa completamente turbulenta, la turbulencia juega el mayor rol. Finalmente, en la región entre la subcapa viscosa y la capa completamente turbulenta los efectos de la viscosidad molecular y la turbulencia son igualmente importantes. La Figura 3.1 ilustra estas subdivisiones de la región cercana a la pared, trazada en coordenadas semi-logarítmicas.

Figura 3.1 Subdivisiones de la región cercana a la pared29



3.4.2 Funciones de pared vs. modelos cercanos a la pared Tradicionalmente, existen dos aproximaciones del modelado de la región cercana a la pared.

En la primera aproximación, la viscosidad afectada en la región más cercana a la pared (subcapa viscosa y capa intermedia) no es resuelta. En su lugar, fórmulas semi-empíricas llamadas “funciones de pared” son empleadas para unir la región afectada por la viscosidad entre la pared y la región completamente turbulenta. El uso de funciones de pared obvia la necesidad de modificar los modelos de turbulencia para considerar la presencia de la pared.

En el segundo tipo de aproximación, los modelos de turbulencia son modificados para

permitirles resolver la región que está afectada por la viscosidad con una malla hasta la pared, la cual incluye la subcapa viscosa. Para propósitos de discusión, esta será llamado aproximación de “modelado cercano a la pared”. Estas dos aproximaciones son descritas esquemáticamente en la Figura 3.2.

Figure 3.2 Tratamientos cercanos a la pared en FLUENT41 En la mayoría de flujos con altos números de Reynolds, la aproximación de funciones de

pared substancialmente ahorra recursos computacionales, porque región cercana a la pared afectada por la viscosidad, en la cual las variables de solución cambian con mayor rapidez, no es necesario que sean resueltas. La aproximación de funciones de pared es popular porque es económica, robusta, y razonablemente precisa. Es una opción práctica para los tratamientos de pared en simulaciones de flujo industriales.

La aproximación de funciones de pared, sin embargo, es inadecuada en situaciones donde

los efectos de bajos números de Reynolds son penetrantes en el dominio del flujo en cuestión, y donde la hipótesis en la que recaen las funciones de pared dejan de ser válidas. Tales situaciones requieren de modelos cercanos a la pared que sean válidos en la región afectada por la viscosidad y que sean integrables a en toda la trayectoria hacia la pared.



3.4.2.1 Funciones de pared Las funciones de pared son una colección de fórmulas semi-empíricas y funciones que en

efecto “unen” o “entrelazan” las variables de solución en las celdas cercanas a la pared y sus correspondientes cantidades a la pared. Las funciones de pared incluyen

• Ley de la pared para la velocidad y temperatura medias (u otros escalares) • Fórmulas de cantidades turbulentas cercanas a la pared

FLUENT ofrece dos elecciones en la aproximación de funciones de pared:

• Funciones de pared estándar • Funciones de pared no equilibradas

3.4.2.1.1 Funciones de pared estándar Las funciones de pared estándar están basadas en la propuesta de Launder y Spalding31, y

han sido extensamente empleadas para propósitos industriales. Momentum

La ley de la pared para velocidades media es

( )** ln1 EyUκ

= (3.27)

donde

ρτ

μ

w

PP kCUU

2/14/1* ≡ (3.28)

μρ μ PP ykC

y2/14/1

* ≡ (3.29)

y

42.0=κ es la constante de von Kárman, 793.9=E la cual es una constante empírica, PU es la velocidad media en el punto P , Pk es la energía cinética turbulenta en el punto P , Py es la distancia del punto P a la pared y μ es la viscosidad dinámica del fluido.

La ley logarítmica para la velocidad media se sabe que es válida para valores de >*y entre

30 y 60. La ley logarítmica es empleada cuando 225.11* >y . Cuando la malla es de tal manera que 225.11* <y en las celdas adyacentes a la pared, se aplica la relación esfuerzo-deformación laminar que puede ser escrita como



** yU = (3.30)

Debe destacarse que, las leyes de pared para la velocidad y temperatura media están

basadas en la unidad de pared, y*, en lugar de y+ )/( μρ τ yu≡ . Estas cantidades son aproximadamente iguales en capas limites turbulentas en equilibrio. Turbulencia

En el modelo ε−k y en el RSM (si la opción para obtener condiciones de frontera de la

ecuación de k esta activada), la ecuación de k es resuelta en todo el dominio incluyendo las celdas adyacentes a la pared. La condición de frontera para k impuesta en la pared es

0=∂∂nk (3.31)

donde n es la coordenada local normal de la pared.

La producción de la energía cinética, Gk, y su tasa de disipación, ε , en las celdas

adyacentes a la pared, las cuales son los términos fuente en la ecuación de k, son calculados en base de la hipótesis del equilibrio local. Bajo esta consideración, la producción de k y su tasa de disipación son asumidas como iguales en la pared adyacente al volumen de control.

De aquí que, la producción de k se calcula como

PP

wwwk ykCy

UG 2/14/1μκρτττ =

∂∂

≈ (3.32)

y ε se calcula como

P

PP y

kCκ

ε μ2/34/3

= (3.33)

La ecuación de ε no es resuelta en las celdas adyacentes a la pared, pero en su lugar se

emplea la ecuación 3.33 para su cálculo. Debe notarse, como se muestra aquí, las condiciones de frontera de la pared para la solución

de variables, incluyendo la velocidad media, temperatura, k y ε , son todas resueltas por las funciones de pared. Porque lo que, no es necesario que se preocuparse por las condiciones de frontera en las paredes.

Las funciones de pared estándar trabajan razonablemente bien para un amplio rango de

flujos limitados por paredes. Sin embargo, estas pueden tender a ser menos confiables cuando las situaciones del flujo se alejan mucho de las condiciones ideales asumidas en su derivación. Entre



otros, el cortante constante y la hipótesis de equilibrio local son las que presentan la mayor restricción en la universalidad de las funciones de pared estándar. De acuerdo con lo anterior, cuando flujos cercanos a la pared están sometidos a gradientes de presión adversos, y cuando flujos están en fuerte desequilibrio, la calidad de las predicciones estará muy comprometida.

Las funciones de pared desequilibradas se ofrecen como una opción adicional que puede

mejorar los resultados en tales situaciones.

3.4.2.1.2 Funciones de pared desequilibradas En adición a las funciones estándar de pared descritas arriba, están disponibles funciones de

pared desequilibradas basadas en las dos capas32. Los principales elementos en las funciones de pared desequilibradas son las siguientes:

• La ley logarítmica de Launder y Spalding para la velocidad media está sensibilizada para efectos de gradientes de presión.

• El concepto base de dos capas es adoptados para el cálculo del presupuesto de la energía cinética turbulenta en las celdas cercanas a la vecindad de las paredes.

La ley logarítmica para la velocidad media sensibilizada a los gradientes de presión es

⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛=

μρ

κρ

τμμ ykC

EkCU

w

2/14/12/14/1

ln1~

(3.34)

donde

⎥⎦

⎤⎢⎣

⎡+

−+⎟⎟

⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛−=

μρκρκ

2

ln21~ vc

c

c yk

yyyy

ky

dxdpUU (3.35)

y vy es el espesor físico de la subcapa viscosa, y es calculada de la siguiente manera

4/14/1

*

P

vv kC

yyμρμ

≡ (3.36)

donde 225.11* =vy .

Las funciones de pared desequilibradas emplea el concepto de las dos capas para el cálculo

de la energía cinética en las celdas adyacentes a la pared, lo cual es necesario para resolver la ecuación de k en las celdas cercanas a la vecindad de las paredes. Las celdas cercanas a la vecindad de las paredes se asumen que consisten de una subcapa viscosa y de una capa completamente turbulenta. Las siguientes consideraciones de perfiles para cantidades de turbulencia son hechas:



⎩⎨⎧

=,

,0

wt τ

τv

v

yyyy

><

⎪⎩

⎪⎨

⎧⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛=

,

2

,

P

Pv

k

kyy

kv

v

yyyy

><

⎪⎪⎩

⎪⎪⎨

⎧

=,

,2

2/3

2

yCkyvk

l

ε v

v

yyyy

><

(3.37)

donde 43−= μκCCl , y vy es el espesor adimensional de la subcapa viscosa, definido en la

ecuación 3.36.

Empleando estos perfiles, la producción promedio en la celda de k, ___

kG , y la tasa de

disipación promedio en la celda, __ε , pueden calcularse del promedio del volumen de Gk y de ε en

las celdas adyacentes a la pared. Para celdas en forma de cuadriláteros y hexaedros para las cuales el promedio del volumen puede aproximarse con el promedio de su profundidad

⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛=

∂∂

≡ ∫v

n

P

w

n

y

tn

k yy

kCydy

yU

yG n ln11

2/14/1

2

0μρτ

κτ (3.38)

y

Pv

n

l

P

vn

y

n

kyy

Ck

yv

ydy

yn

⎥⎦

⎤⎢⎣

⎡⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛+=≡ ∫ ln211 2/1

0εε (3.39)

donde yn es la altura de la celda )2( Pn yy = . Para celdas con otras formas (ej., mallas triangulares o tetraédricas), se emplean los promedios de volúmenes apropiados.

En las ecuaciones 3.38 y 3.39, la energía cinética turbulenta para las celdas cercanas a la

vecindad de las paredes es sensibilizada efectivamente con las proporciones de la subcapa viscosa y la capa completamente turbulenta, la cual varía ampliamente de celda a celda en flujos altamente desequilibrados. Esto relaja efectivamente la consideración del equilibrio local (producción = disipación) que es adoptada por las funciones de pared estándar en el cálculo de la energía cinética turbulenta en las celdas cercanas a la vecindad de la pared. En consecuencia, las funciones de pared desequilibradas, en efecto, parcialmente toman en cuenta los efectos del desequilibrio despreciados en las funciones de pared estándar.

3.4.2.1.3 Funciones de pared estándar vs. funciones de pared desequilibradas Debido a la capacidad de parcialmente tomar en cuenta los efectos de gradientes de presión

y poder estar fuera del equilibrio, es recomendable el uso de las funciones de pared desequilibradas en flujos complejos que involucren separación, re-adherencia, he intrusión donde el flujo medio y la turbulencia estén sometidos a gradientes de presión severos y que estos



cambien rápidamente. En tales flujos, pueden obtenerse mejoras, particularmente en la predicción de los cortantes en la pared (coeficiente de fricción en la piel) y transferencia de calor.

3.4.2.1.4 Limitaciones de la aproximación por funciones de pared Las funciones de pared estándar proveen predicciones razonablemente precisas para la

mayoría flujos limitados por paredes con altos números de Reynolds. Las funciones de pared desequilibradas extienden más allá esta capacidad de la aproximación por funciones de pared al incluir los efectos de gradientes de presión y fuerte desequilibrio. Sin embargo, la aproximación por funciones de pared no es tan confiable cuando las condiciones del flujo están muy distantes de las condiciones ideales en las que recaen las funciones de pared. Algunos ejemplos se muestran a continuación:

• Efectos penetrantes de bajos números de Reynolds o efectos cercanos a las paredes (ej., flujo a través de pequeños huecos o alta viscosidad, flujo de fluidos a baja velocidad)

• Transpiración masiva a través de la pared (soplado/succión) • Gradientes de presión severos que lleven a la separación de la capa límite • Grandes fuerzas de cuerpo (ej., flujo cercano a discos giratorios, flujos manejados

por flotabilidad) • Alta tridimensionalidad en la región cercana a la pared (ej., flujos espirales de

Ekman, Capas límite tridimensionales altamente sesgadas. Si alguno de los elementos mencionados arriba es una característica prevaleciente del flujo

que se está modelando, y si es considerado críticamente importante la captura de esa característica para una simulación exitosa, se debe emplear la aproximación del modelado cercano a la pared combinado con una resolución de la malla adecuada en la región cercana a la pared. FLUENT posee el tratamiento de pared extendido para tales situaciones. Esta aproximación puede ser usada con los tres modelos ε−k y el RSM.

3.4.2.2 Tratamiento de pared extendido El tratamiento de pared extendido es un método cercano a la pared que combina el modelo

de las dos capas y funciones de pared extendidas. Si la malla de la región cercana a la pared es lo suficientemente fina para resolver la subcapa laminar (típicamente 1≈+y ), entonces el tratamiento de pared extendido será idéntico al modelo de zona de las dos capas. Sin embargo, la restricción de que la malla en la región cercana a la pared sea lo suficientemente fina impone grandes requerimientos computacionales. Entonces, idealmente, uno pudiera desear tener una formulación de tratamiento de pared que pudiera usarse con mallas toscas (usualmente referidas como mallas de funciones de pared) así como con mallas finas (mallas de bajos números de Reynolds). En adición, no debe incurrirse en errores excesivos en mallas intermedias que sean muy finas para que el centroide de la celda cercano a la pared caiga en la región completamente turbulenta, pero que tampoco sea muy burda para resolver apropiadamente la subcapa.



Para alcanzar la meta de tener una aproximación de modelado cercano a la pared que posea la precisión de la aproximación de las dos capas estándar para mallas finas cercanas a la pared y que, al mismo tiempo, no reduzca significativamente la precisión de las funciones de pared, FLUENT puede combinar el modelo de las dos capas con las funciones de pared extendida, como se describe en las siguientes secciones.

3.4.2.2.1 Modelo de las dos capas para tratamientos de pared extendidos En los modelos cercanos a las paredes, la región cercana a la pared afectada por la

viscosidad es resuelta completamente todo el camino hacia la subcapa viscosa. La aproximación de las dos capas es una parte integral del tratamiento de pared extendido y es usado para especificar ambos valores, ε y la viscosidad turbulenta en las celdas cercanas a la pared. En esta aproximación, todo el dominio es subdividido en una región afectada por la viscosidad y en una región completamente turbulenta. La demarcación de las dos regiones está determinada en base a la distancia de la pared, el número de Reynolds turbulento, Rey, definido como

μρ ky

y ≡Re (3.40)

donde y es la distancia normal de la pared a los centros de las celda. y es interpretada como la distancia a la pared más cercana:

wrryww

rrv −≡

Γ∈τmin (3.41)

donde rr es el vector de posición al punto del campo, y wr

r es el vector de posición en la frontera de la pared. wΓ es la unión de todas las fronteras de pared involucradas. Esta interpretación permite que y esté definida únicamente en los dominios del flujo de siluetas complejas que involucren paredes múltiples. Más aún, al definir a y de esta manera es independiente de la topología de la malla empleada, y es definible aún en mallas no estructuradas.

En la región completamente turbulenta ( *ReRe yy > ; 200Re* =y ), se emplean los modelos

ε−k o el RSM. En la región cercana a la pared afectada por la viscosidad ( *ReRe yy < ), se emplea el

modelo de una ecuación de Wolfstein33. En este modelo de una ecuación, las ecuaciones de momentum y de k son retenidas como se describe en la sección 3.3.5. Sin embargo, la viscosidad turbulenta, tμ , es calculada a partir de

klClayert μμρμ =2, (3.42) donde la escala de longitud que aparece en la ecuación 3.42 se calcula de



( )μμ

Al

yeycl /Re1 −−= (3.43) La formulación de las dos capas para la viscosidad turbulenta descrita arriba es empleada

como parte del tratamiento de pared extendido, en el cual la definición de las dos capas es suavemente mezclado con la definición de tμ para altos números de Reynolds desde la región mas alejada

( ) layerttenht 2,, 1 μλλμμ ε−+= (3.44)

donde tμ es la definición para altos números de Reynolds empleada en el modelo RSM. Una función de mezclado, ελ , está definida de tal manera que sea igual a la unidad lejos de la pared y que sea cero muy cerca de la pared. La función de mezclado seleccionada es

⎥⎥⎦

⎤

⎢⎢⎣

⎡⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛ −+=

Ayy*ReRe

tanh121

ελ (3.45)

La constante A determina el espesor de la función de mezclado. Definiendo un espesor de

tal manera que el valor de ελ este dentro del 1% de su valor en el campo lejano dada una variación de yReΔ , resulta que

( )98.0tanhRe yA

Δ= (3.46)

Típicamente, yReΔ se le asigna un valor entre el 5% y el 20% de *Re y . El principal

propósito de la función de mezclado ελ es prevenir que se impida la convergencia de la solución cuando la solución de ε−k en la capa externa no coincide con la formulación de las dos capas.

El campo de ε se calcula de

ε

εl

k 2/3

= (3.47)

Las escalas de longitud que aparecen en la ecuación 3.47 son nuevamente calculadas

( )ε

εA

lyeycl /Re1 −−= (3.48)

Si todo el dominio del flujo dentro de la región afectada por la viscosidad (Rey<200), ε no

se obtiene resolviendo la ecuación de transporte; en su lugar se emplea la ecuación algebraica 3.50. Se usa un procedimiento para la especificación de ε que es similar al mezclado de tμ de manera que se asegure una transición suave entre la especificación algebraica de ε en la región



interna de la capa límite y la solución obtenida de ε por medio de la ecuación de transporte en la región externa de la capa límite.

Las constantes en las fórmulas de escala de longitud, ecuaciones 3.43 y 3.48, son

,4/3−= μκCcl ,70=μA lcA 2=ε (3.49)

3.4.2.2.2 Funciones de pared extendidas Para tener un método que pueda extender su aplicabilidad a lo largo de la región cercana a

la pared (ej., subcapa laminar, región intermedia, y región externa completamente turbulenta) es necesario formular la ley de pared como una sola ley para toda la región de la pared. Esto se lleva a cabo al mezclar las leyes de pared lineal (laminar) y la logarítmica (turbulenta) empleando la función sugerida por Kader34:

+Γ+Γ+ += turblam ueueu /1 (3.50) donde la función de mezclado esta dada por:

( )+

+

+−=Γ

byya

1

4

(3.51)

⎟⎠⎞

⎜⎝⎛ −= 0.1exp nE

Ec (3.52)

ca 01.0= (3.53)

cb 5

= (3.54)

Donde E=9.793 y E’’ es igual a rfE / , donde fr es la función de rugosidad.

Similarmente, la ecuación general de la derivada de ++ dydu / es

+

+Γ

+

+Γ

+

+

+=dy

duedy

duedydu turblam /1 (3.55)

Esta aproximación permite que la ley completamente turbulenta sea fácilmente modificada

y extendida para tomar en cuenta la consideración de otros efectos tales como gradientes de presión o propiedades variables. Esta fórmula también garantiza el comportamiento correcto asintótico para grandes y pequeños valores de y+ y una razonable representación de los perfiles de velocidad en los casos donde y+ cae dentro de la región intermedia (3< y+<10).



Las funciones de pared extendidas fueron desarrolladas para mezclar suavemente una ley

turbulenta extendida con la ley de pared laminar. La ley de la pared turbulenta extendida para flujos compresibles con transferencia de calor y gradientes de presión ha sido derivada al combinar las aproximaciones de White y Cristoph35 y las de Huang36

( )( )[ ] 2/12' 11 ++++

+

−−= uuSydy

duturb γβκ

(3.56)

donde

⎪⎩

⎪⎨⎧

+

+=

+

+

,1,1'

syy

Sα

α

++

++

≥

<

s

s

yy

yy (3.57)

y

( ) dxdp

udxdp

uv

w

w3*2*

ρμ

τα =≡

wp

wt

wwp

wt

Tucq

Tcuq

*

*

ρσ

τσβ =≡ (3.58)

( )

wp

t

Tcu

2

2*σγ ≡ (3.59)

Donde +

sy es la ubicación en la que la pendiente de la ley logarítmica permanecerá constante. Como valor predeterminado, 60=+

sy . El coeficiente α en la ecuación 3.56 representa la influencia de los gradientes de presión mientras que los coeficientes β y γ representan los efectos térmicos. La ecuación 3.56 es una ecuación diferencial ordinaria y a la cual se le aplica una solución analítica apropiada. Si a, b y c son iguales a 0, la solución analítica guiará a la solución clásica de la ley de la pared logarítmica turbulenta.

La ley de la pared laminar está determinada por la siguiente expresión:

+

+

+

+= ydy

dulam α1 (3.60)

Debe notarse que la expresión anterior solamente incluye los efectos de los gradientes de

presión a través de α, mientras que los efectos de propiedades variables debidos a transferencia de calor y compresibilidad en la ley de pared laminar son despreciados. Estos efectos son despreciados porque se consideran que son de menor importancia cuando ocurren cerca de la pared. La integración de la ecuación 3.60 resulta en



⎟⎠⎞

⎜⎝⎛ += +++ yyulam 21 α (3.61)

La condición de frontera para la energía cinética turbulenta es la misma que para las

funciones de pared estándar (ecuación 3.31). Sin embargo, la producción de la energía cinética turbulenta Gk es calculada usando los gradientes de velocidad que son consistentes con la ley de la pared extendida (ecuación 3.50 y 3.55), asegurándose que la formulación sea valida a través de la región cercana a la pared.

3.5 Consideraciones de Mallado para Simulaciones de Flujos Turbulentos

Cálculos exitosos de flujos turbulentos requieren ciertas consideraciones durante la

generación de la malla. Ya que la turbulencia (a través de la variación espacial de la viscosidad efectiva) juega un papel dominante en el transporte del momentum medio y de otros escalares de mayor complejidad en flujos turbulentos, uno debe asegurarse que las cantidades de turbulencia sean resueltas apropiadamente, si es requerido una alta precisión. Debido a la fuerte interacción del flujo medio y la turbulencia, los resultados numéricos para flujos turbulentos tienden a ser más susceptibles a dependencias de mallado que los flujos laminares.

Por lo tanto se recomienda que se resuelva, con la fineza de mallado requerida, las regiones

donde el flujo medio cambia rápidamente y donde existan capas cortantes con grandes tazas medias de deformación.

Se puede probar el mallado cercano a la pared desplegando o graficando los valores de y+ o

y*, y Rey. Debe recordarse que los valores de y+ o y*, y Rey no son cantidades geométricas fijas. Son dependientes de la solución. Por ejemplo, cuando se duplica la malla (dividiendo a la mitad la distancia a la pared), el nuevo valor de y+ no necesariamente se reduce a la mitad del valor original de y+.

Para el mallado en la región cercana a la pared, se deben seguir distintas estrategias

dependiendo de que opción cercana a la pared se vaya a usar.

3.5.1 Guías de mallado cercano a la pared para funciones de pared La distancia de la pared a la celda adyacente a la pared debe determinarse para considerar el

rango sobre el cual la ley logarítmica es valida. La distancia es usualmente medida en la unidad de la pared, )/( μρ τ yuy ≡+ , o y*. Cabe destacar que y+ y y*, poseen valores similares cuando la primera celda esta ubicada en la capa logarítmica.

• Es sabido que la ley logarítmica es valida para y+>30 a 60,



• Aunque se emplea la ley lineal (laminar) cuando y+<11.225, debe evitarse el uso de una malla excesivamente fina, porque las funciones de pared cesan de ser validas en la subcapa viscosa.

• El límite superior de la capa logarítmica depende de, entre otros, gradientes de presión y número de Reynolds. Mientras se incrementa el número de Reynolds, el límite superior tiende también a incrementarse. No son deseables valores muy grandes de y+ porque los componentes de la estela son substancialmente grandes sobre la capa logarítmica.

• Un valor de y+ cercano a límite inferior de )30( ≈+y es mucho más deseable. • Debe evitarse el estiramiento excesivo de las celdas en la dirección normal a la

pared. • Es importante tener al menos unas cuantas celdas dentro de la capa límite.

3.5.2 Guías de mallado cercano a la pared para tratamientos de pared extendido

Aunque el tratamiento de pared extendido está diseñado para extender la validez del

modelado cercano a la pared más allá de la subcapa viscosa, es recomendable que se construya una malla que resuelva completamente la región cercana a la pared afectada por la viscosidad. En tales casos, la componente de las dos capas del tratamiento de pared extendido será dominante y se requieren las siguientes recomendaciones para el mallado (nótese, aquí que, los requerimientos del mallado se dan en términos de y+, no en términos de y*):

• Cuando se emplee el tratamiento de pared extendido con la intención de resolver la

subcapa laminar, y+ en la celda adyacente debe ser del orden de y+=1. Sin embargo, un valor de y+ mayor es aceptable mientras este se mantenga dentro de la subcapa viscosa (y+<4 o 5).

• Se deben tener al menos 10 celdas dentro de la región cercana a la pared que es afectada por la viscosidad (Rey<200) para que se pueda resolver la velocidad media y las cantidades de turbulencia en esa región.

3.6 Uso del solucionador

3.6.1 Panorama general de los esquemas numéricos

FLUENT permite seleccionar el uso de dos métodos numéricos:

• El Solucionador Segregado • El Solucionador Acoplado.

Independientemente de que método se este empleando, se resolverán las ecuaciones gobernantes integrales para la conservación de masa y momentum, y (cuando sea apropiado) la



ecuación de la energía y otros escalares como turbulencia. En ambos casos una técnica basada en el volumen de control es empleada que consiste de:

• División del dominio en volúmenes de control discretos usando una malla

computacional. • Integración de las ecuaciones gobernantes en los volúmenes de control individuales

para construir las ecuaciones algebraicas para las variables discretas dependientes (“incógnitas”) tales como velocidades, presión, temperatura, y escalares conservados.

• Linealización de las ecuaciones discretizadas y solución del sistema de ecuaciones resultante que brinde la actualización de los valores de las variables dependientes.

Los dos métodos numéricos empleados usan un proceso de discretización similar (volumen

finito), pero la aproximación empleado para linealizar y resolver las ecuaciones discretizadas es distinto.

3.6.2 Método de solución segregado Usando esta aproximación, las ecuaciones gobernantes son resueltas de forma secuencial

(segregando uno de otra). Ya que las ecuaciones gobernantes son no lineales (y acopladas), es necesario llevar a cabo una gran cantidad de iteraciones en el ciclo de solución para poder así obtener una solución que converja. Cada iteración consiste de los pasos ilustrados en la Figura 3.3 y son descritos enseguida:

1. Las propiedades del fluido son actualizadas, en base a la solución en turno. (Si los

cálculos apenas empezaron, las propiedades del fluido serán actualizado en base a la solución inicializada)

2. Las ecuaciones de momentum de u, v y w son resueltas de vuelta empleando los valores actuales de presión y flujos másicos en las caras, para poder así actualizar el campo de velocidad.

3. Ya que las velocidades obtenidas en el paso 2 puede que no satisfagan la ecuación local de continuidad, una ecuación “tipo poisson” para la corrección de la presión es derivada de la ecuación de continuidad y de las ecuaciones linealizadas de momentum. Esta ecuación de corrección de la presión entonces es resuelta para obtener las correcciones necesarias de los campos de presión y velocidad y los flujos de masa en las caras de tal manera que se satisfaga la continuidad.

4. Cuando sea apropiado, ecuaciones para los escalares tales como turbulencia, energía, especies y radiación son resueltas usando los valores previamente actualizados de las otras variables.

5. Cuando esta incluido el acoplamiento de interfases, los términos fuentes en las ecuaciones de fases continuas apropiadas pueden actualizarse con un calculo de la trayectoria de fase discreta.

6. Se lleva a cabo una revisión de la convergencia del sistema de ecuaciones. Se continúan con estos pasos hasta que se alcance el criterio de convergencia.



Figura 3.3 Vista general del método de solución Segregado

3.6.3 Método de solución acoplado El solucionador acoplado resuelve las ecuaciones gobernantes de continuidad, momentum,

y (cuando sea necesario) energía y transporte de especies simultáneamente (acopladas juntas). Las ecuaciones gobernantes de escalares adicionales serán resueltas secuencialmente (de forma segregada una tras otra y del conjunto acoplado) empleando el procedimiento descrito para el solucionador segregado en la sección 3.6.2. Debido a que las ecuaciones gobernantes son no lineales (y acopladas), deben realizarse una gran cantidad de iteraciones del ciclo de solución para obtener una solución que converja. Cada iteración consiste de los pasos ilustrados en la Figura 3.4 y serán descritos a continuación.

1. Las propiedades del fluido son actualizadas, en base a la solución en turno. (Si los

cálculos apenas empezaron, las propiedades del fluido serán actualizadas en base a la solución inicializada)

2. Las ecuaciones de continuidad, momentum y (cuando sea apropiado) energía y especies son resueltas simultáneamente.

3. Cuando sea apropiado, las ecuaciones de escalares tales como turbulencia son resueltas empleando los valores previamente actualizados de las otras variables.

4. Cuando esta incluido el acoplamiento de interfases, los términos fuentes en las ecuaciones de fases continuas apropiadas pueden actualizarse con un calculo de la trayectoria de fase discreta.

5. Se lleva a cabo una revisión de la convergencia del sistema de ecuaciones. Se continúan con estos pasos hasta que se alcance el criterio de convergencia.



Figura 3.4 Vista general del método de solución Acoplado

3.6.4 Linealización: Implícita vs Explícita En ambos métodos de solución, el segregado y el acoplado, las ecuaciones gobernantes no

lineales son linealizadas para producir un sistema de ecuaciones para las variables dependientes en cada celda computacional. El sistema lineal resultante es resuelto para obtener una solución del campo del flujo actualizado.

La manera en que las ecuaciones gobernantes son linealizadas puede tomar una forma

“implícita” o “explicita” con respecto a las variables dependientes (o conjunto de variables) de interés. Por implícito o explícito se entiende lo siguiente:

• Implícito: Dada una variable, el valor de la incógnita en cada celda es calculado

empleando una relación que incluye valores existentes e incógnitas de las celdas de la vecindad. Por lo que cada incógnita aparecerá en más de una ecuación del sistema, y estas ecuaciones deben ser resultas simultáneamente para dar las cantidades de las incógnitas.

• Explícito: Dada una variable, el valor de la incógnita en cada celda es calculado empleando una relación que incluye solamente los valores existentes. Por lo que cada incógnita aparecerá únicamente en una sola ecuación del sistema y las ecuaciones para el valor de la incógnita en cada celda pude ser resuelta una a la vez para dar las cantidades de las incógnitas.

En el método de solución segregado cada ecuación gobernante discreta es linealizada

implícitamente con respecto a esa ecuación de la variable dependiente. Esto resultara en un sistema de ecuaciones lineales con una ecuación por cada celda del dominio. Ya que solamente hay una ecuación por celda, a esto se le suele llamar un sistema de ecuaciones “escalar”. Un solucionador de ecuaciones lineales de punto implícito (Gauss-Seidel) es empleado en conjunción



con un método algebraico de multimallado (AMG) para dar solución al sistema de ecuaciones resultante para las variables dependientes en cada celda. Por ejemplo, la ecuación de momentum en x es linealizada para producir un sistema de ecuaciones en el cual la velocidad u sea la incógnita. Soluciones simultaneas del sistema de ecuaciones (usando el solucionador escalar AMG) brinda la actualización del campo de velocidad de u.

Como resumen, la aproximación segregada resuelve para una sola variable del campo (ej.,

p) al considerar todas las celdas al mismo tiempo. Después este resuelve para la siguiente variable del campo considerando nuevamente todas las celdas al mismo tiempo, y así sucesivamente. No existe una opción explícita para el solucionador segregado.

En el método de solución acoplado el usuario puede emplear la linealización de las

ecuaciones gobernantes implícito o explícito. Esta selección aplica solamente para el conjunto de ecuaciones gobernantes acopladas. Las ecuaciones gobernante de escalares adicionales que son resueltas en forma segregada del conjunto acoplado, tales como turbulencia, radiación, etc., son linealizadas y resueltas de forma implícita usando el mismo procedimiento del método de solución segregado. Independientemente de que se seleccione el esquema implícito o el explícito, el procedimiento de solución es el mostrado en la Figura 3.4.

Si se selecciona la opción implícita del solucionador acoplado, cada ecuación del conjunto

acoplado de ecuaciones gobernantes es linealizado implícitamente con respecto a todo el conjunto de variables dependientes. Esto resultara en un sistema de ecuaciones lineales con N ecuaciones para cada celda en el dominio, donde N es el número de ecuaciones acopladas en el conjunto. Ya que hay N ecuaciones por celda, a este sistema de ecuaciones suele llamársele como “bloque”. Un solucionador de ecuaciones lineales de punto implícito (Gauss-Seidel de bloque) es empleado en conjunción con un método algebraico de multimallado (AMG) para dar solución al sistema de ecuaciones de bloque resultante para todas las N variables dependientes en cada celda. Por ejemplo, la lienalización acoplada de las ecuaciones de continuidad, momentum en x, y y z, y la ecuación de la energía producirá un sistema de ecuaciones en el cual p, u, v, w y T sean las incógnitas. La solución simultánea de este sistema de ecuaciones (usando el solucionador de bloque AMG) brindará lo campos de presión, de velocidad u, v, w, y temperatura al mismo tiempo.

Como resumen, la aproximación acoplada implícita resuelve para todas las variables (p, u,

v, w, T) en todas las celdas al mismo tiempo. Si se escoge la opción explícita del solucionador acoplado, cada ecuación en el conjunto

acoplado de ecuaciones gobernantes es linealizado explícitamente. Como en la opción implícita, esto también resultará en un sistema de ecuaciones con N ecuaciones para cada celda del dominio. Y similarmente, la ecuación del momentum en x es escrita de tal manera que el valor actualizado de la velocidad en x sea función de valores existentes de las variables del campo. Debido a esto, el solucionador de ecuaciones lineales no es necesario. En su lugar, la solución es actualizada empleando el solucionador de etapas múltiples (Runge-Kutta). Aquí se cuenta con la opción adicional de emplear un esquema de multimallado de aproximación completa de almacenamiento (FAS) para acelerar el solucionador de etapas múltiples.



Como resumen, la aproximación acoplada explícita resuelve para todas las variables (p, u ,v, w, T) una celda a la vez.

Cabe destacar que el multimallado FAS es una componente opcional de la aproximación

explícita, mientras que el AMG es un elemento requerido en las aproximaciones segregada y acoplada implícita.

3.7 Discretización FLUENT usa la técnica basada en el volumen de control para convertir las ecuaciones

gobernantes en ecuaciones algebraicas que puedan ser resueltas numéricamente. Esta técnica del volumen de control consiste en integrar las ecuaciones gobernantes a lo largo de cada volumen de control, produciendo las ecuaciones discretas que conservan cada cantidad en base al volumen de control.

La discretización de las ecuaciones gobernantes puede ilustrarse más fácilmente al

considerar la ecuación de conservación en estado estable para el transporte de una cantidad escalar φ . Eso se demuestra con la siguiente ecuación escrita en forma integral para un volumen de control arbitrario V:

∫∫∫ +⋅∇Γ=⋅V

dVSAdAdv φφφρφrrr (3.62)

donde vr es el vector velocidad (= jviu ˆˆ +& ), A

r es el vector del área de la superficie, φΓ es el

coeficiente de difusión para φ , φ∇ es el gradiente de φ = ( ) ( ) jyix ˆ/ˆ/ ∂∂+∂∂ φφ y φS es la fuente de φ por unidad de volumen.

La ecuación (3.62) es aplicada a cada volumen de control, o celda, en el dominio

computacional. La celda bidimensional triangular en la Figura 3.5 es un ejemplo de tal volumen de control. La discretización de la ecuación 3.62 en una celda dada proporciona

( )∑ ∑ +⋅∇Γ=⋅caras carasN

f

N

ffnffff VSAAv φφ φφρrrr (3.63)

donde |carasN es el número de caras que encierran la celda, fφ es el valor de φ de convección a

través de al cara f, ffff Avrr

⋅φρ es el flujo de masa a través de la cara, fAr

es el área de la cara f,

A = jAiA yx ˆˆ + , ( )nφ∇ es la magnitud de φ∇ normal a la cara f y V es el volumen de la celda. La ecuación resuelta por toma la misma forma general que la que se muestra arriba y se

aplica sin esfuerzo a mallas no estructuradas multi-dimensionales, compuestas por poliedros arbitrarios.



Figura 3.5 Volumen de control usado para ilustrar la discretización de una ecuación de transporte escalar

Por defecto, se almacenan valores discretos del escalar φ en el centro de las celdas (c0 y c1

en la figura 3.5). Sin embargo, los valores en las caras fφ son requeridos para términos convectivos en la ecuación 3.63 y deben interpolarse de los valores en el centro de las celdas. Esto se lleva a cabo al usar el esquema corriente arriba. Upwinding significa que el valor de la cara fφ es derivado de cantidades en la celda corriente arriba, o “upwind”, relativo a la dirección de la velocidad normal vn en la ecuación 3.63. Es posible emplear distintos esquemas corriente arriba: upwind de primer orden, upwind de segundo orden, ley de poder y QUICK.

Los términos de difusión en la ecuación 3.63 son diferenciados centralmente y poseen

precisión de segundo orden.

3.7.1 Esquema corriente arriba de primer orden Cuando se desea una precisión de primer orden, las cantidades en las caras de las celdas son

determinadas con la consideración de que los valores de campo de cualquier variable en el centro de las celdas representa un valor promedio de la celda y se mantiene a lo largo de toda la celda; las cantidades en las caras son idénticas a las cantidades de las celdas. Por lo que cuando el esquema corriente arriba de primer orden es seleccionado, el valor de la cara fφ es asignado como el mismo valor que en el centro de la celda de φ de la celda corriente arriba.

3.7.2 Esquema de ley de potencia El esquema de discretización de ley de potencia interpola el valor en la cara de una variable,

φ, empleando la solución exacta a una ecuación convección-difusión unidimensional

( )xx

ux ∂

∂Γ

∂∂

=∂∂ φφρ (3.64)

Donde Γ y uρ son constantes a lo largo del intervalo x∂ . La ecuación 3.64 puede ser integrada para proporcionar la siguiente solución que describe como varía φ con respecto a x:



( )( ) 1exp

1exp

0

0

−

−⎟⎠⎞

⎜⎝⎛

=−−

PeLxPe

x

L φφφφ (3.65)

donde

00 ==

xφφ

LxL == φφ

Y Pe es el número de Peclet:

Γ=

uLPe ρ (3.66)

La variación de )(xφ entre x=0 y x=L es mostrada en la figura 3.6.2 para un rango de

valores distintos de números de Peclet. La figura 3.6 muestra que para grandes Pe , el valor de φ en x=L/2 es aproximadamente igual al del valor corriente arriba. Esto implica que cuando el flujo es dominado por convección, la interpolación puede llevarse a cabo simplemente dejando que el valor de la cara de un conjunto de variables sea igual a los valores corriente arriba. Este es el esquema estándar de primer orden.

Si el esquema de ley de potencia es seleccionado, se usa la ecuación 3.65 en un formato equivalente para la ley de potencia, como esquema de interpolación. Como se discutió en la sección 3.7.1, la Figura 3.6 muestra que para valores grandes de Pe , el valor de φ en x=L/2 es aproximadamente igual al valor corriente arriba. Cuando 0=Pe (sin flujo, o difusión pura), la Figura 3.6 muestra que φ puede interpolarse empleando un promedio lineal simple entre los valores en x=0 y x=L. Cuando el número de Peclet posee un valor intermedio, el valor de interpolación de φ en x=L/2 debe derivarse aplicando la “ley de potencia” equivalente de la ecuación 3.65.

Figura 3.6 Variación de una variable φ entre x=0 y x=L



3.7.3 Esquema Corriente Arriba de Segundo Orden Cuando se desea una precisión de segundo orden, las cantidades en las caras de las celdas

son calculadas empleando una aproximación de reconstrucción lineal multidimensional. En esta aproximación, la precisión de alto orden es alcanzada en las caras de las celdas a través de expansiones de las series de Taylor de la solución en el centro de la celda alrededor del centroide de la celda. Por consiguiente cuando se selecciona el esquema corriente arriba de segundo orden, el valor de la cara de fφ es calculado usando la siguiente expresión:

sfr

Δ⋅∇+= φφφ (3.67) donde φ y φ∇ son el valor en el centro de la celda y su gradiente en la celda corriente arriba, y

srΔ es el vector de desplazamiento del centroide de la celda corriente arriba al centroide de la cara. Esta formulación requiere la determinación del gradiente φ∇ en cada celda. Este gradiente es calculado empleando el teorema de divergencia, el cual en forma discreta se escribe como

∑=∇carasN

ff A

V

rφφ 1 (3.68)

Aquí los valores de la cara f

__φ son calculados promediando φ de las dos celdas adyacentes

de la cara. Finalmente, el gradiente φ∇ es limitado de tal manera que no se introduzcan nuevos máximos ni mínimos.

3.7.4 Esquema QUICK

Para mallas cuadriláteras o hexaédricas, donde pueden identificarse únicamente caras y celdas corriente arriba y corriente abajo, se puede emplear el esquema QUICK para el cálculo de valores de alto orden de variables convectivas φ en alguna cara. Los esquemas tipo QUICK están basados en un promediado de peso de segundo orden corriente arriba e interpolaciones centrales de la variable. Para la cara e en la Figura 3.7, si el flujo va de izquierda a derecha, tal valor puede ser escrito como

( ) ⎥⎦

⎤⎢⎣

⎡+

++

+−+⎥

⎦

⎤⎢⎣

⎡+

++

= Wcu

cP

cu

cuE

dc

cP

dc

de SS

SSSSS

SSS

SSS φφθφφθφ 21 (3.69)

Figure 3.7 Volumen de control unidimensional



θ=1 en la ecuación de arriba resulta de la interpolación central de segundo orden mientras que θ=0 es el valor de segundo orden obtenido corriente arriba. El esquema tradicional QUICK es obtenido al aplicar un valor de θ=1/8. La implementación de este esquema usa una variable, el valor de θ dependiente de la solución, seleccionado de tal manera que se evite la introducción de nuevas soluciones extremas.

El esquema QUICK será típicamente más preciso en mallas estructuradas alineadas con la

dirección del flujo. Cabe destacarse que se permite el uso de este esquema en mallas no estructuradas o híbridas; en tales casos el esquema de discretización corriente arriba de segundo orden será utilizado en las caras de las celdas que no sean hexaédricas (o no cuadriláteras, en 2D).

3.7.5 Forma linealizada de la ecuación discreta La ecuación escalar discretizada (ecuación 3.62) contiene las incógnitas de la variable

escalar φ en el centro de la celda así como los valores de las incógnitas en las celdas que rodean su vecindad. Esta ecuación será en general, no lineal con respecto a estas variables. Una forma linealizada de la ecuación 3.62 puede ser escrita de la siguiente manera

∑ +=nb

nbnbP baa φφ (3.70)

donde el subíndice nb se refiere a las celdas de la vecindad, y ap y anb son los coeficientes linealizados de φ y nbφ .

El número de vecinos para cada celda depende de la topología de la malla, pero serán

típicamente igual al número de caras que engloban la celda (celdas de frontera son la excepción). Ecuaciones similares pueden ser escritas para cada celda en la malla. Esto resulta en un

conjunto de ecuaciones algebraicas con un coeficiente de matriz escaso. Para ecuaciones escalares, se resuelve el sistema lineal usando el solucionador de ecuaciones lineal de punto implícito (Gauss-Seidel) en conjunción con el método algebraico de multimallado (AMG).

3.7.6 Bajo relajación Debido a la no linealidad del conjunto de ecuaciones que están siendo resueltas, es

necesario controlar el cambio de φ . Esto es típicamente llevado a cabo por la baja-relajación, la cual reduce el cambio de φ producido durante cada iteración. En una forma simple, el nuevo valor de la variable φ dentro de una celda depende del antiguo valor, φ old, el cálculo del cambio de φ , φΔ , y el factor de baja-relajación, α, es como sigue:

φαφφ Δ+= old (3.71)



En el siguiente capítulo se describirá el procedimiento seguido para llevar a cabo la simulación para el caso de estudio planteado, se analizarán los resultados, y validarán los mismos.



Capítulo 4 Simulación del caso de estudio y análisis de resultados

En este capítulo se describe el experimento el cual representa el caso de estudio para llevar a cabo la simulación y con el cual, se validarán los resultados y posteriormente se lleva a cabo un análisis de los mismos para tener una comprensión mucho más amplia de la dinámica del flujo.



4.1 Descripción del experimento de la dinámica de fluidos en un tubo con aletas inclinadas a 45°

Se llevó a cabo un programa experimental12 en el cual se midieron las presiones estáticas

sobre las caras interna y externa (figura 4.1 a) de la aleta y sobre la periferia del tubo, el cual estuvo expuesto a un flujo transversal de aire. El ángulo de inclinación de las aletas es con respecto al eje del tubo.

Figura 4.1 Descripción del experimento

Este estudio se llevó a cabo para diferentes números de Reynolds (Red = 6x103 – 56x103),

obteniéndose la distribución de coeficientes de presión, a lo largo de la cara exterior como de la interior, de forma radial y a diferentes ángulos.

El modelo experimental consistió de un tubo de D = 42 mm de diámetro, en el cual se

montaron cinco aletas con una separación entre ellas de h = 16 mm, una longitud de la aleta de H = 20 mm y un espesor de δ = 2 mm de las mismas (Figura 4.1 b). El modelo se expuso a un flujo transversal en el túnel de viento cuya sección es de 120 x 106 mm y con una longitud de 950 mm (Figura 4.1 c).

En la comparación con los datos experimentales únicamente se consideraran los resultados

obtenidos para un número de Reynolds de 56000 debido a que los modelos de turbulencia están formulados principalmente para altos números de Reynolds por lo que se obtienen mejores resultados para estos casos; y se limita solamente a un Reynolds para limitar las variables ya que se tiene que estudiar el comportamiento de los distintos modelos de turbulencia y hacer un estudio de independencia de malla, lo cual complicaría el análisis. Estos resultados se muestran en las figuras 4.2 a) y b).



Exterior (experimental)

-2.5

-2.0

-1.5

-1.0

-0.5

0.0

0.5

1.0

1.5

2.0

2.5

0 0.2 0.4 0.6 0.8 1

x/h

cp

ext_0ext_12ext_24ext_36ext_48ext_60ext_72ext_84ext_90ext_102ext_114ext_126ext_138ext_150ext_162ext_174ext_180

ººº

Figura 4.2 a) Distribución de coeficientes de presión a lo largo de la aleta a distintos ángulos (cara exterior)



Interior (experimental)

-1.5

-1.0

-0.5

0.0

0.5

1.0

1.5

2.0

2.5

0 0.2 0.4 0.6 0.8 1

x/h

cp

int_0int_12int_24int_36int_48int_60int_72int_84int_90int_102int_114int_126int_138int_150int_162int_174int_180

Figura 4.2 b) Distribución de coeficientes de presión a lo largo de la aleta a distintos ángulos (cara interior)



4.2 Recursos computacionales (hardware y software) usados en la simulación.

Para llevar a cabo las simulaciones se empleó una PC con las siguientes características:

• Procesador Intel Pentium 4 a 2.6 GHz. • 1250 MB de memoria RAM.

Los programas empleados fueron:

• Windows XP Professional • Fluent 6.1 • Gambit 2.04

4.3 Descripción de la simulación

Para la realización de la simulación se siguió el siguiente procedimiento descrito en el siguiente diagrama de flujo (figura 4.3)

Figura 4.3 Descripción de la simulación



Mallado

El mallado del volumen de control debe cumplir con muchos requisitos. La distribución de presiones sobre el cuerpo esta fuertemente influenciada por las ubicaciones de los puntos de separación del flujo y puntos de contacto del mismo. De aquí que es importante que el mallado del volumen de control resuelva esos detalles relevantes sobre la geometría y satisfaga los requerimientos de los modelos físicos empleados en la simulación.

Para flujos con altos números de Reynolds, es un hecho reconocido que el resolver la

región cercana34 a la pared hasta la capa sub-viscosa no es una opción práctica debido a que el número de celdas requeridas en esa región es prohibitivamente grande. Para superar esta limitante se empleara el tratamiento de pared de funciones no equilibradas ya que están sensibilizadas a los efectos de gradientes de presión. Aparte de estar sensibilizadas las funciones de pared no equilibradas, estas consideran los efectos de la variación local del espesor de la capa sub-viscosa durante el cálculo de la energía cinética turbulenta en las celdas adyacentes a las paredes, y comparadas con las funciones de pared tradicionales, estas proveen predicciones más realistas del comportamiento de las capas límites turbulentas, incluyendo separación de flujo, sin incrementar significativamente el tiempo de computo o la memoria dinámica.

Un primer paso para el cálculo del tamaño de un elemento promedio, es por medio de los

valores deseados de y+ cerca de las paredes del modelo. Este valor será asignado posteriormente a todos los bordes de la geometría, para obtener una distribución inicial de la malla del volumen.

La figura 4.4 muestra un método gráfico para la determinación de una longitud de

elemento promedio basado en la velocidad del flujo libre y el grado de resolución que se busca en función de la distancia entre la pared y la altura a la primera celda.

Figura 4.4 Longitud de referencia Vs velocidad del flujo libre para la determinación de y+ inicial



Se debe determinar inicialmente el grado de resolución requerido para la simulación, y cuales son los recursos computacionales disponibles.

El valor de y+ esta determinado por pyyμρτ

=+ ; donde

• μ es la viscosidad absoluta • τ es el esfuerzos cortante en la pared • ρ es la densidad y • py es la distancia de la pared al nodo de la celda

Si se usa como referencia la figura 4.4 y considerando una velocidad del flujo libre de

12.6 m/s se tiene que la longitud de la primera celda sería aproximadamente de 5 mm, lo cual es excesivo ya que la separación entre aletas en este caso es de 16 mm. Tampoco es posible aplicar la formula de y+ ya que es dependiente del esfuerzo en la pared y la viscosidad efectiva, ambas se van calculando y actualizando durante proceso de calculo en cada iteración.

Por otra parte, para evitar que la solución diverga es necesario asegurar una baja

oblicuidad de los elementos del volumen de control. Para conseguir esto se extruyen elementos normales a las paredes del tubo donde los efectos viscosos son grandes y en el resto del volumen se emplean celdas híbridas con mayor oblicuidad. Aspectos importantes que se deben considerar al mallar son:

• Los elementos extruidos cercanos a la pared deben tener un alargamiento máximo

de 5 (para los elementos de la primera capa), una taza de crecimiento de 1.2 como máximo y se emplean como mínimo 5 capas de elementos.

• En la transición entre los elementos extruidos y los híbridos no deben existir grandes gradientes volumétricos.

• Las esquinas del borde de la aleta deben resolverse con bastante precisión mientras que las caras planas pueden mallarse relativamente burdas.

• La tasa de crecimiento máximo que se deben emplear en elementos de superficie no debe sobrepasar el 20%.

• La oblicuidad de los elementos debe ser la menor posible, idealmente <0.45.

En la figura 4.5 se muestra el tipo de mallado utilizado para el caso de estudio, la cual considera los puntos mencionados anteriormente.

Modelo de turbulencia

La fidelidad de las predicciones en CFD para flujos turbulentos es extremadamente dependiente de la calidad del modelo de turbulencia. Esto es mucho más importante cuando se simulan capas limites tridimensionales con fuertes curvaturas de las líneas de corriente, separación y grandes vórtices. Simular estos fenómenos requiere considerar efectos de no equilibrio y anisotropía.



Figura 4.5 Distribución del mallado del dominio computacional, mostrando un ciclo

Se llevó a cabo un estudio previo del comportamiento de distintos modelos de

turbulencia. Los modelos que se estudiaron previamente fueron (Anexo 1 y 3):

• Spalart-Allmaras • k-e estándar • k-e RNG • k-e Realizable • k-w estándar • k-w SST • RSM

Los resultados numéricos empleando distintos modelos de turbulencia se muestran en el

Anexo 3. El modelo que mejor se ajusta a los resultados experimentales es el RSM por lo que únicamente se muestran estos resultados en este capítulo. Modelo de esfuerzos de Reynolds (RSM)

Como se mostró en el capítulo 3 el uso de modelos de cierre de momento de segundo orden en los cuales las ecuaciones de transporte son resueltas individualmente se ha extendido ampliamente. El modelo RSM rigurosamente considera la anisotropía de la turbulencia y del transporte de los esfuerzos de Reynolds. Pero estas ventajas se obtienen a un precio de mayor costo computacional (+40%) y recursos de memoria (+20%).

Los valores que se recomiendan para los factores de relajación son37:

• 0.65 para la presión • 0.35 para el momentum • 0.50 para k y epsilon



Y los modelos de discretización recomendados son de segundo orden para todas las

variables. Los modelos de discretización de segundo orden son recomendados para mallas tetraédricas o mallas libres ya que las caras de los elementos no están alineadas con respecto a la dirección del flujo y los resultados se ven afectados por este factor de gran forma. En esta simulación se emplearon modelos de discretización de primer orden para todas las variables, ya que la malla en la zona de interés es una malla estructurada con lo cual la variación en los resultados obtenidos entre los casos de que se empleen discretizaciòn de primer o segundo orden se ven minimizados reduciendo en gran parte el tiempo de computo. Criterios de convergencia

La convergencia de la solución debe monitorearse de acuerdo a las siguientes

condiciones:

1. Información del campo del flujo. 2. Historia de los residuales. Los criterios de convergencia empleados34 para todas

las variables fue de 1x10-8. 3. El coeficiente de arrastre debe monitorearse para poder determinar cuando se ha

alcanzado la solución.

4.3.1 Características del flujo

El flujo que se va a simular es un flujo estacionario, tridimensional, simétrico, incompresible, turbulento y periódico.

Figura 4.6 Dimensiones del dominio computacional



4.3.2 Dominio computacional. Las dimensiones del dominio computacional empleado se muestran en la Figura 4.6., en

esta se puede apreciar que únicamente se modelo el volumen comprendido entre la cara interior y la cara exterior del tubo (un periodo), tomando como plano de periodicidad el plano perpendicular al eje del tubo y que pasa por la mitad del espesor de la punta de la aleta. A diferencia del experimento en el dominio computacional se incremento la longitud del conducto de 950 mm a 2020 mm; esto debido a que como condición de frontera se utilizó la condición de velocidad de entrada con un perfil de velocidad constante, por lo que el incremento en la longitud permite que se desarrolle el perfil de velocidades turbulento similar al que se tenia en el experimento.

4.3.3 Condiciones de operación

Las condiciones de operación empleadas fueron:

• Presión de operación: 0 Pa • Densidad del aire: 1.222 3m

kg

• Viscosidad absoluta 1.16x10-05 mskg

• Velocidad del flujo a la entrada 12.6 sm

• Reynolds 56000

La presión de operación se considera como cero y como ubicación las coordenadas a la salida del ducto; ya que como se esta empleando una condición de frontera de flujo de salida, esta para flujos incompresibles asigna una presión estática en esta frontera igual a cero.

4.3.4 Condiciones de frontera

La especificación de las condiciones de frontera deben ser los más cercano posible a las mediciones en el túnel de viento. En la mayoría de los casos, la velocidad del flujo y la intensidad de turbulencia son datos conocidos. Desafortunadamente en este caso no se cuentan con esos datos y las condiciones de frontera que se emplearon son (figura 4.6):

• Entrada

o Velocidad de entrada 12.6 m/s o Energía cinética turbulenta 1 m2/s2 o Tasa de disipación de turbulencia 1 m2/s3

• Salida • Simetría • Periodicidad • Pared



Figura 4.7 Condiciones de frontera

4.4 Análisis de independencia de malla

Un análisis de este tipo es bastante complejo ya que para la geometría que se esta estudiando se tiene un gran número de variables a considerar. Para los 3 casos para los cuales se obtuvieron resultados únicamente se variaron la distribución de los elementos en forma radial, angular y vertical, manteniendo constante la distribución de elementos cercanos a la pared y a la entrada y a la salida del ducto. El elemento más pequeño posee un volumen de 6.7454x10-14 m3 y la altura de la pared de la aleta al primer elemento es de 0.05 mm para todos los casos.

Se llevo a cabo este estudio para tres casos. El primer caso consistió de 271 328 celdas, el segundo caso consistió de 523 780 celdas y por último el tercero consistió de 631 900 celdas.

La desviación máxima entre el caso 1 y el caso 2 es de 25 % reduciéndose a un 2% entre los

casos 2 y 3.

4.5 Validación de la simulación

La dinámica de fluidos computacionales (CFD) es una tecnología nueva con la cual actualmente es posible aplicar métodos completos a la solución de las ecuaciones Navier-Stokes promediadas por Reynolds (RANS) en supercomputadoras o en estaciones de trabajo, a problemas realistas en geometrías tridimensionales. Sin embargo, está claro que CFD no es una tecnología madura como en el caso de la Mecánica Estructural Computacional (CSM). En CSM se posee la habilidad de emplear métodos de elemento finito adaptativo que se aplican en geometrías generales y que requieren modestos recursos computacionales para producir



resultados útiles en poco tiempo, y estos han sido factores importantes de su implementación en el diseño y optimización de estructuras. Hoy en día, la situación de CFD es distinta. En CFD se requiere lidiar con modelos físicos complejos, múltiples longitudes de escala y flujos turbulentos o reactivos, lo cual resulta en requerimientos computacionales significativamente mayores y en una serie de distintos y diversos códigos de CFD limitados a problemas específicos. Esto acoplado con el hecho de que estos códigos no son (en la mayoría de los casos) validados para la clase de problemas que están siendo considerados, ha producido limitaciones que no están claramente definidas. Consecuentemente el uso de CFD para tareas de diseño requiere especialistas altamente especializados para que seleccionen los modelos físicos para una aplicación específica, ejecutarla, y extraer la información útil de ella.

Las simulaciones de CFD son empleadas en:

• La investigación para ayudar a la comprensión de la dinámica de fluidos • En el desarrollo de tecnología para desarrollar modelos teóricos y de simulación • En ingeniería para complementar el proceso de diseño con las pruebas de túnel de

viento. Los campos de flujo alrededor de una gran diversidad de objetos pueden ser generados

numéricamente y estudiados como experimentos para ayudar a comprender las características del flujo y determinar tendencias de desempeño. Por lo que los desarrolladores y los usuarios de simulaciones de CFD, son aquellos que están siendo afectados por las decisiones que se toman basados en estas simulaciones, así como los compradores de software de CFD; los cuales están preocupados con el hecho de que si las simulaciones llevadas a cabo son creíbles o si el nivel de credibilidad es aceptable para los propósitos para los cuales están siendo utilizados.

Siempre que se presenten simulaciones, una declaración que tome en cuenta su credibilidad

es esencial; también debe mostrarse que el nivel de credibilidad es aceptable para los propósitos para los cuales la simulación esta siendo usada.

El primer intento serio para definir términos para evaluar la credibilidad de CFD fue hecho

en “Symposium on Validation of Computacional Fluid Dynamics”38 en 1987, en donde se introdujeron las frases validación de códigos DFC. Las definiciones de estas frases poseían limitaciones, y habían sido usadas con diferentes significados; por lo que actualmente se cuenta con las siguientes definiciones39:

• Verificación: Es el proceso que demuestra la habilidad de un programa de computadora para resolver un conjunto específico de ecuaciones gobernantes y condiciones de frontera planteadas a la computadora por el modelo de simulación y sus entradas. Establece el nivel de precisión de la solución y la sensibilidad de los resultados a parámetros que aparezcan en la formulación numérica a través de experimentos puramente numéricos que involucren estudios de refinamientos de la malla y comparación con soluciones exactas disponibles. Se lleva a cabo esto para todas las variables de salida e identifica la malla requerida para alcanzar el nivel de precisión especificado.

• Validación: Es el proceso de establecer el grado en el cual el modelo físico es una representación precisa de la realidad desde la perspectiva de la intención de su uso y



el rango de parámetros de espacio sobre el cual el modelo puede ser aplicado, y así poder establecer la confiabilidad y certidumbre en la habilidad de predicción del código.

Comparaciones con casos experimentales con buena calidad no proveen medios factibles o

aceptables para establecer la credibilidad de los resultados producidos por un código. Esta conclusión está soportada principalmente por las siguientes observaciones36:

1. La generalización no puede ser confiable para prácticas de simulación (computacional o experimental).

2. No debe esperarse que las simulaciones computacionales sean exactamente igual que los datos obtenidos en el túnel de viento.

3. No debe esperarse que las simulaciones computacionales sean exactamente igual que los datos obtenidos en el túnel de viento.

4. Es necesario que la evaluación de la credibilidad de la simulación se lleve a cabo para cada nuevo problema.

Metha40 sugiere reemplazar el concepto de validación de código CFD basado en datos

archivados de experimentos en túneles de viento por uno basado en el manejo de incertidumbre. En matemáticas, la palabra error se define como la diferencia entre un valor observado o

calculado y un verdadero valor. Cuando el valor verdadero es incierto o desconocido, el error en el valor observado o calculado no puede determinarse. La palabra incertidumbre se define como una estimación del error. De aquí que se debe conocer la credibilidad de datos experimentales obtenidos en túnel de viento siempre que quieren ser empleados para establecer la credibilidad de simulaciones computacionales de la realidad ya que la validación de simulaciones por CFD deben poseer el nivel requerido de la información con la que se cuente a la mano.

Todo el modelado involucra aproximaciones de cualquier tipo. Estas aproximaciones

definitivamente determinan la precisión de las predicciones. El resultado de una validación no posee significado alguno si no se provee indicación alguna de los efectos de los errores numéricos del modelo físico. Específicamente, debe establecerse la sensibilidad de las simulaciones a los errores de discretización, en el más simple de los casos al comparar dos simulaciones con diferentes resoluciones de malla. Idealmente, validaciones pueden llevarse acabo inequívocamente si se separan los errores computacionales de los errores del modelo físico. Problemas relacionados a la interacción de estas dos fuentes de errores han sido una preocupación constante de las comunidades de CFD y turbulencia porque la cancelación fortuita de errores puede llevar a conclusiones de validación erróneas. Un buen ejemplo sería la simulación de una onda de choque que interactúa con la capa límite empleando, por ejemplo, el modelo de turbulencia de Baldwin-Lomax. En un primer nivel de resolución de la malla los resultados de la simulación se ajustan bastante bien con los datos experimentales en términos de la posición de la onda de choque, y uno podría concluir que se ha validado. Sin embargo, en una simulación empleando una malla mucho más fina se observa que los resultados no se ajustan tan bien; la posición de la onda de choque ha cambiado. La razón de esto es que el modelo de turbulencia no posee un tiempo de relajación finito y no es muy preciso para este caso. La comparación es mejor en la simulación con la malla burda porque los errores de discretización fortuitos cancelaron los errores del modelo de turbulencia. En lugar de mejorar la comparación,



al refinar la malla se reducen los errores de discretización, y la cancelación es menor y, por lo tanto, se degrada la comparación.

Algunos ejemplos de incertidumbres que surgen por falta de precisión numérica son:

1. Discretización, la cual incluye definiciones pobres de la forma de la configuración debido a cambios de diseño, calidad de la malla, errores de truncado y viscosidad artificial

2. Errores introducidos al post procesar los resultados simulados. El nivel de validación y el grado de certidumbre depende en gran medida de su uso final y

del usuario. Mientras más completa sea la validación, menor será la incertidumbre de los resultados. Pero estudios de validaciones completas requieren mucho tiempo y largas corridas computacionales, llevando implícito altos costos. Esto es particularmente crítico en la industria, por lo que se deben de hacer ajustes. La aplicación es la que determina la selección de los modelos de simulación, y en la industria esto es usualmente en la dirección de la suficiente certidumbre del problema en cuestión. En muchas aplicaciones industriales la resolución de la capa límite no siempre es la requerida debido a restricciones en el número de nodos de la malla que pueden ser empleados y debido a restricciones del sistema generador de mallas. Por ejemplo, en la industria aeroespacial, se llevan a cabo simulaciones tridimensionales sobre configuraciones de ala-fuselaje-carenado empleando más de 1x106 nodos, pero se estima que para resolver todos los efectos viscosos del flujo se requieren por lo menos 10 veces más nodos. Sin embargo, la simulación con 1x106 nodos toma al menos 30 h, y el tiempo transcurrido con 10 veces más nodos sería de varios días. Por lo que, se hace el compromiso en dirección a la conveniencia.

El usuario final del código necesita estar consiente de estos compromisos y necesita saber

cuando un código puede predecir los parámetros de diseño de interés, cuando puede predecir tendencias (derivadas) de esto parámetros, o cuando puede solamente predecir las características del flujo en general. Para simulaciones complejas, el usuario final debe decidir:

1. Modelos físicos mínimos necesarios para predecir las cantidades de interés (Euler flows, RANS, turbulence model, etc.),

2. Aspectos numéricos, por ejemplo, esquema numérico, disipación numérica, númros de Courant-Fredrichs-Lewy, y condiciones de frontera; y

3. Aglomeramiento de la malla para obtener las cantidades de interés con el nivel requerido de precisión.

En este trabajo se validaron los resultados obtenidos por medio de la simulación numérica

con los resultados experimentales realizados por Carvajal-Mariscal y et al.12. La descripción del experimento se lleva a cabo en la siguiente sección.

Para la validación de los datos obtenidos numéricamente con los datos experimentales se

emplearon los siguientes descriptores estadísticos:

1. Desviación absoluta promedio (AAD) 2. Desviación promedio (Bias)

Los cuales están definidos de la siguiente manera:



∑=

−=

N

i i

teoii

NAAD

1exp

exp100ρ

ρρ (1)

∑=

−=

N

i i

teoii

NBias

1exp

exp100ρ

ρρ (2)

La tabla 4.1 muestra los descriptores estadísticos para el caso 2 que consistió de 523 780

celdas para distintos ángulos sobre las caras de la aleta.

Tabla 4.1 Descriptores estadísticos para la cara interior y exterior cara interior cara exterior

α AAD Bias AAD Bias 0 27.1 7.9 1.6 1.3

12 37.5 -7.9 10.0 -9.6 24 62.3 -32.2 16.1 -16.1 36 163.9 129.5 100.0 -100.0 48 144.2 131.7 216.6 -160.9 60 166.1 -103.1 70.4 70.4 72 217.2 -203.8 28.4 28.4 84 19.3 -5.8 13.5 13.5 90 20.7 -12.1 4.3 4.3 102 23.7 -14.3 3.9 0.1 114 71.0 -63.2 6.0 1.1 126 25.9 -7.8 8.6 8.6 138 4.7 0.8 6.4 3.0 150 8.6 -8.6 10.2 8.8 162 17.0 -17.0 15.2 -11.5 174 13.5 -13.5 51.7 -51.7 180 305.2 -4.3 51.0 39.2

De la tabla 4.1 se aprecia que para la cara interior para los ángulos 24, 36, 48, 60, 72, 114 y

180 y para la cara exterior para los ángulos 36, 48 y 60 las desviaciones son mayores del 50%. Esto es debido a que para obtener mejores resultados es necesario incrementar el número de elementos en el volumen de control a la entrada y a la salida del tubo, debido a que tienen una gran influencia ya que la estela generada por el tubo aletado es muy compleja y con los elementos utilizados no es posible describir completamente el fenómeno. Al intentar hacer esto se presentan problemas de restricciones en el equipo de cómputo ya que la estación de trabajo con la que se cuenta presenta limitaciones por memoria RAM y procesador.

Las Figuras 4.7 y 4.8 muestran las gráficas donde se correlacionan los datos obtenidos numéricamente con los datos experimentales tanto para la cara exterior como para la interior. De estas gráficas se puede apreciar que aunque existen diferencias entre los resultados numéricos y los experimentales las tendencias de las distribuciones de los coeficientes de presión sobre las caras de la aleta se aproximan bastante a los datos experimentales. Por lo que los parámetros utilizados en esta simulación se emplearán para las simulaciones a 15 y 30°.



Exterior (RSM)

-2.5

-2

-1.5

-1

-0.5

0

0.5

1

1.5

2

2.5

0 0.2 0.4 0.6 0.8 1

x/h

cp


Figura 4.8 a) Correlación de datos cara exterior de la aleta (Datos de la simulaciòn)



Exterior (experimental)

-2.5

-2.0

-1.5

-1.0

-0.5

0.0

0.5

1.0

1.5

2.0

2.5

0 0.2 0.4 0.6 0.8 1

x/h

cp


ººº

Figura 4.8 b) Correlación de datos cara exterior de la aleta (Datos experimentales)



Interior (RSM)

-1.5

-1

-0.5

0

0.5

1

1.5

2

2.5

0 0.2 0.4 0.6 0.8 1

x/h

cp


Figura 4.9 a) Correlación de datos cara interior de la aleta (Datos de la simulaciòn)



Interior (experimental)

-1.5

-1.0

-0.5

0.0

0.5

1.0

1.5

2.0

2.5

0 0.2 0.4 0.6 0.8 1

x/h

cp


Figura 4.9 b) Correlación de datos cara interior de la aleta (Datos experimentales)



Se realizó la simulación numérica de la dinámica del flujo en un tubo con aletas inclinadas

45º con respecto al eje del tubo empleando una gran variedad de modelos de turbulencia. Ya que la dinámica del flujo es muy compleja el modelo RSM es el que mejor predice este comportamiento al compararlo con datos experimentales, a un mayor costo de recursos computacionales.

El modelo de turbulencia RSM involucra en el cálculo los esfuerzos de Reynolds

individuales, empleando ecuaciones diferenciales de transporte. Los esfuerzos de Reynolds individuales son entonces utilizados para obtener el cierre a las ecuaciones RANS. La forma exacta de las ecuaciones de transporte de los esfuerzos de Reynolds se derivan al tomar momentos de las ecuaciones exactas de momentum. Este es un proceso donde las ecuaciones de momentum se multiplican por una propiedad fluctuante, y este producto después se promedia por Reynolds. Desafortunadamente, muchos de los términos en la ecuación exacta se desconocen y consideraciones de modelado son requeridas para obtener un cierre de las ecuaciones.

Aunque el modelo RSM considera la anisotropía de la turbulencia lo cual representa

grandes ventajas sobre los otros modelos cuando se tienen flujos con grandes vórtices, remolinos y flujos influenciados por esfuerzos de flujos secundarios, sus predicciones aún están limitadas por las consideraciones de cierre empleadas al modelar varios de los términos en las ecuaciones de transporte exactas para los esfuerzos de Reynolds.

Observando los resultados obtenidos se ve claramente que la dinámica del flujo alrededor

del tubo con aletas inclinadas a 45° es muy complejo porque tenemos muchas zonas de separación, capas de cortante y recirculación lo cual genera una gran cantidad de vórtices que afectan directamente la distribución de presiones sobre las caras de la aleta y del tubo.

Las principales variaciones entre los resultados numéricos y los datos experimentales se

deben a que la geometría de la aleta en la punta tiene ángulos rectos y al llevar a cabo el modelo discreto de la geometría, no es posible darle la resolución necesaria en esta zona (por restricción del número de nodos) para obtener mejores resultados. También por restricciones en el equipo de cómputo no fue posible asignar un mayor número de elementos a la entrada y a la salida del tubo aletado ya que la estela del tubo tiene una gran influencia en los resultados obtenidos porque el numero de elementos fue relativamente bajo ya que se concentró mayor número de celdas sobre el canal formado entre las aletas del tubo.

Otro aspecto importante que debe considerarse en la variación de los resultados es que los

datos experimentales se obtuvieron para un tubo con 6 canales (6 periodos del modelo) y las paredes tanto superior como inferior afectan de manera significativa los resultados. Con lo que respecta a las condiciones de frontera tampoco se conocían valores de la taxonomía del flujo tales como presiones, intensidades de turbulencia, o perfiles de velocidad de entrada los cuales son determinantes para establecer las condiciones de frontera en la simulación y obtener mejores resultados.

Una vez considerado esto, se aprecia que dado que la dinámica del flujo es muy compleja

como se describió en la sección 4.7.1, los modelos con que se cuentan hasta el momento únicamente poseen la capacidad de clasificar alternativas de diseño, como se alcanza a apreciar



en la reducción de resistencia al avance que existe para el caso de 30º con respecto a los casos de 15 y 45º pero es imperativo validar estos resultados.

4.6 Análisis de resultados

En esta sección se lleva a cabo el análisis de los resultados para los casos a 45°, 30° y 15°. Para llevar a cabo esto se emplean contornos de coeficientes de presión, magnitud de la velocidad, velocidad en direcciones (x,y,z), así como ángulo relativo de la velocidad sobre las caras de la aleta.

4.6.1 Resultados a 45º En la figura 4.10 se observan la distribución de coeficiente de presión sobre la aleta. El

coeficiente de presión estática se define como qppcp

0−= donde p es la presión estática, 0p es

la presión de operación y q es la presión dinámica. En la figura se observan las zonas de baja y alta presión. Las zonas de alta presión (cp positivo) se caracterizan por ser zonas de baja velocidad y donde la presión actúa hacia las caras mientras que la zonas de baja presión son zonas de alta velocidad (cp negativo) y la presión actúa hacia afuera de las caras (succión).

a) b)

Figura 4.10 Distribucións de coeficiente de presión En las figuras 4.11 a 4.14 se despliegan distintos contornos de velocidad. Los valores empleados para desplegar la distribución de estos contornos son los valores promedios en el centroide de las celdas o elementos mas cercanos a la pared ya que en las paredes se empleó la condición de no deslizamiento. En la figura 4.11 se despliega la distribución de magnitud de la velocidad en la cara exterior (a) y en la cara interior (b) y sobre esta se observan perfiles de vectores de magnitud



constante para poder identificar la dirección del flujo. Se aprecia que en la figura 4.11 a) en la zona 1 se presenta una gran zona de recirculación a la salida del tubo esto es debido a que sobre esta cara es donde se encuentran los mayores coeficientes de presión negativos, en la región comprendida entre los 67° a los 90° desde la raíz de la aleta hasta x/h= 0.25, lo cual provoca la recirculación en esta zona. En la figura 4.11 b) la zona 1 es una región en la cual por debajo de esta cara se desplaza un vórtice donde la velocidad se incrementa hasta los 2.5 m/s y el cual se desprende aproximadamente a los 90º. Este vórtice se genera debido al desprendimiento del flujo a 0° en esta cara. Las zonas 2 y 3 son regiones de baja velocidad en las que se presenta recirculación a la salida del tubo.

a) b) Figura 4.11 Distribucións de magnitud de la velocidad

Las figuras 4.12 a) y b) muestra la distribución de velocidad en la dirección x. Las figuras 4.13 a) y b) muestra la distribución de velocidad en la dirección y. Las figuras 4.14 a) y b) muestra la distribución de velocidad en la dirección z. Las zonas marcadas en estas figuras representan regiones donde la dirección del flujo se invierte.

a) b)

Figura 4.12 Distribucións de la velocidad en dirección x



a) b)

Figura 4.13 Distribucións de velocidad en dirección y

a) b) Figura 4.14 Distribución de velocidad en dirección z

La figura 4.15 a) y b) muestran la distribución de ángulo relativo de la velocidad el cual

se define como ⎟⎠⎞

⎜⎝⎛=∠ −

axial

gencialrel vel

veltan1tan . En este caso la velocidad axial es la velocidad en

el eje z y la velocidad tangencial se considera tangente a la circunferencia de la aleta a lo largo de la misma desde x/h = 0 hasta x/h = 1. Sobre los contornos de ángulo relativo de la velocidad se muestran perfiles de velocidad, en los cuales la longitud del vector es proporcional a su magnitud. Estas figuras son representativas ya que muestran claramente las zonas de recirculación sobre las caras de la aleta.



a) b)

Figura 4.15 Ángulo relativo de la velocidad La figura 4.16 muestra la distribución de contornos de coeficiente de presión sobre la cara externa y sobre la superficie del tubo apreciándose que existe una zona de succión la cual provoca la recirculación del flujo a la salida del tubo. La figura 4.17 a) muestra la distribución de magnitud de la velocidad y vectores de velocidad de longitud uniforme sobre la cara exterior y sobre el tubo. La zona 1 es una zona de recirculación de baja velocidad. Esta misma zona de recirculación se observa en la figura 4.17 b) desplegada en forma de contornos de ángulo relativo de la velocidad y con vectores de velocidad de longitud proporcional a su magnitud.

Figura 4.16 Distribución de magnitud y angulo relativo de velocidad en el tubo y en la cara exterior



a) b)

Figura 4.17 Distribución de magnitud y angulo relativo de velocidad en el tubo y en la cara exterior En la Figura 4.18 se muestra la distribución de magnitud de la velocidad en el plano de simetría del conducto y sobre estos se muestran vectores de longitud constante para que se pueda apreciar la dirección del flujo. En esta figura se puede apreciar como se genera el vórtice que se desplaza por toda la cara interior.

Figura 4.18 Distribución de la velocidad en dirección x

En la figura 4.19 a) y b) se muestra la distribución de magnitud de la velocidad en los

planos a 0°, 90° y 180° y distintas líneas de corriente las cuales representan las características principales presentes en la dinámica del flujo presente en el caso de estudio. En la figura 4.19 a) en la región marcada



a) b)

Figura 4.19 Distribución de mangnitud de la velocidad a 0º, 90º,180º y lìneas de corriente

4.6.2 Resultados a 30º y 15º

Para la obtención de los resultados a 15º y a 30° se empleó una malla con los mismos parámetros y características, así como las mismas condiciones de frontera y operación empleados para el caso a 45º.. En la Figura 4.20 se aprecia una comparación entre las mallas empleadas para el análisis de los distintos casos.

Figura 4.20 Vista lateral de las mallas empleadas para los caso a 45º, 30º y 15ª.



a) b)

Figura 4.21 Distribución de coeficiente de presión (45°)

a) b)


a) b)




Exterior (30°)

-2.5

-2

-1.5

-1

-0.5

0

0.5

1

1.5

2

2.5

0 0.2 0.4 0.6 0.8 1

x/h

cp


Figura 4.39 a) Distribución de coeficientes de presión sobre la aleta a 30° a distintos ángulos (Cara Exterior)



Interior (30°)

-1.5

-1

-0.5

0

0.5

1

1.5

2

2.5

0 0.2 0.4 0.6 0.8 1

x/h

cp


Figura 4.39 b) Distribución de coeficientes de presión sobre la aleta a 30° a distintos ángulos (Cara Interior)



Exterior (15°)

-2.5

-2

-1.5

-1

-0.5

0

0.5

1

1.5

2

2.5

0 0.2 0.4 0.6 0.8 1

x/h

cp


Figura 4.40 a) Distribución de coeficientes de presión sobre la aleta a 15° a distintos ángulo (Cara Exterior)



Interior (15°)

-1.5

-1

-0.5

0

0.5

1

1.5

2

2.5

0 0.2 0.4 0.6 0.8 1

x/h

cp


Figura 4.40 b) Distribución de coeficientes de presión sobre la aleta a 15° a distintos ángulos (Cara Interior)



Una vez descrito el comportamiento general de la dinámica del flujo con la aleta inclinada a 45º se presenta la comparación entre este y los casos a 30 y 15º. En las figuras 4.21 a 4.23 se presentan la distribución de coeficientes de presión tanto en la cara externa como interna para los distintos casos En las figuras 4.39 y 4.40 se presentan las gráficas de esta misma distribución a lo largo de las caras de la aleta para los casos de 30º y 15º respectivamente. En las figuras se aprecia que a 0º sobre la cara externa para el caso a 45º el mayor coeficiente de presión se presenta en la punta de la aleta (x/h =1) mientras que para el caso a 15º el máximo valor se presenta en la base del tubo (x/h = 0). Observando esto en las graficas de distribución se aprecia que la pendiente de la curva de 45º a 15º cambia de positiva a negativa desplazándose la zona de estancamiento de la punta de la aleta para el caso a 45º a la base del tubo para el caso a15º. Esta tendencia se mantiene hasta una ángulo sobre la aleta de 24º para el caso de 15º donde la pendiente de la curva es aproximadamente de 0.

También se aprecia que a 0º sobre la cara interna para los tres casos se presenta el valor

mínimo de coeficiente de presión entre x/h = 0.65 a 0.69 la cual es debido a la recirculación que se presenta por el desprendimiento del flujo por la inclinación de la aleta. Y conforme se va reduciendo el ángulo de inclinación de la aleta se aprecia que entre los 150º a 180º sobre las cara interna se incrementa la magnitud del coeficiente de presión.

Las figuras 4.24 a 4.26 se muestra la distribución de magnitud de la velocidad en las

celdas adyacentes a la cara con vectores de igual magnitud para identificar la dirección del flujo. Se puede observar que para los tres casos se presenta la zona de recirculación la cual, conforme se reduce el ángulo de inclinación de la aleta, también se va reduciendo esta zona a la salida del tubo. La región donde se incrementa la velocidad dentro de esta zona de recirculación se mantiene a los 160º reduciéndose únicamente de x/h=0 hasta x/h = 0.75 para el caso a 15º. Con lo que respecta a la cara interior se aprecia que para los tres casos la zona de mayor velocidad se encuentra entre los 45º a los 90º y entre x/h = 0 a 0.5. y en una pequeña franja de los 0º a los 45º entre x/h = 0.4 a 0.6 lo cual es debido al vórtice que se genera en esta cara. También se aprecia que conforme se reduce el ángulo de la aleta la zona de recirculación a la salida del tubo se incrementa.

En las figuras 4.27 a 4.29 se muestran la distribución de velocidad en dirección x, en las

figuras 4.30 a 4.32 se muestran la distribución de velocidades en dirección en donde es posible observar las zonas de recirculación existentes tanto en la caras superiores como inferiores para los distintos casos y en las figuras 4. 33 a 4.35 se muestran la distribución de velocidades en dirección z.

Por último en las figuras 4.36 a 4.38 se muestran los contornos de ángulo relativo de la

velocidad y sobrepuestos se muestran vectores de longitud proporcional a su magnitud. En estas figuras es posible apreciar principalmente las zonas de recirculación sobre las caras a la salida del tubo y el vórtice que se genera a los 0º, el cual conforme se va reduciendo el ángulo de la aleta se va reduciendo su diámetro. Se puede observar el desplazamiento del mismo porque en la coordenada radial x/h = 0.68 se ve como los vectores se entrelazan entre si.



a) b)

Figura 4.24 Distribución de mangnitud de la velocidad (45°)

a) b)


a) b)




a) b)

Figura 4.27 Distribución de velocidad en dirección x (45°)

a) b)


a) b)




a) b)

Figura 4.30 Distribución de velocidad en dirección y (45°)

a) b)


a) b)




a) b)

Figura 4.33 Distribución de velocidad en dirección z (45°)

a) b)


a) b)




a) b)

Figura 4.36 Distribución de ángulo relativo de la velocidad (45°)

a) b)


a) Cara Exterior b) Cara interior




4.6.3 Coeficientes de arrastre

El coeficiente de arrastre es una medición importante y m9uy representativa de la caída de presión o diferencia de presión que existe antes y después de un cuerpo que esta sumergido en el fluido. Estas caídas de presión son perdidas de energía debidas a la generación de turbulencia por recirculaciones, desprendimientos y vorticidades.

El coeficiente de arrastre esta definido de la siguiente forma SvFC

refref

AD 2

2ρ= ; donde AF es la

fuerza sobre el tubo aletado en dirección del flujo libre, refρ es la densidad del flujo libre, refv es la velocidad del flujo libre y S es la superficie proyectada al plano perpendicular al flujo libre de la aleta inclinada. El coeficiente de arrastre para los tres casos estudiados se muestran en la tabla 1.2

Tabla 1.2 Coeficiente de arrastre para los distintos casos estudiados

α CD 45º 1.950 30º 1.630 15º 1.217

De la tabla se puede observar que al irse incrementando el ángulo de aleta se va incrementando el coeficiente de resistencia al avance. Esto se debe principalmente al gran desprendimiento que existe en toda la cara interior de la aleta incrementándose también así la intensidad de turbulencia. Comparando los resultados del coeficiente de resistencia al avance para 45º con los obtenidos por Carvajal-Mariscal et al.16 se observa una excelente correspondencia ya que ellos para este número de Reynolds obtuvieron un coeficiente de resistencia al avance de 1.94.



Conclusiones

Como etapa preliminar se realizó la simulación numérica de la dinámica del flujo en un

tubo con aletas inclinadas 45º con respecto al eje del tubo empleando diferentes modelos de turbulencia usados en el paquete FLUENT. Al validar la simulación con resultados experimentales se puede concluir que: • El modelo RSM con el modelo de presión deformación cuadrático es el que mejor predice

este comportamiento al compararlo con datos experimentales. Aunque el modelo considera la anisotropía de la turbulencia lo cual representa grandes ventajas sobre los otros modelos cuando se tienen flujos con grandes vórtices, remolinos y flujos influenciados por esfuerzos de flujos secundarios, sus predicciones aún están limitadas por las consideraciones de cierre empleadas al modelar varios de los términos en las ecuaciones de transporte exactas para los esfuerzos de Reynolds. Con lo que respecta al tratamiento de pared, el modelo presión deformación cuadrático posee únicamente funciones de pared no equilibradas como tratamiento cercano a la pared lo cual para los casos en los cuales las geometrías son pequeñas es necesario emplear tratamientos de pared extendidos.

• Con lo que respecta a la dinámica del flujo uno de los aspectos importantes que cabe destacar es el vórtice que se genera a 0º y se desplaza por toda la cara interior de la aleta; ya que este incrementa la velocidad en la zona adyacente a la cara interior.

• A la salida del tubo (140°-180°) existe una zona de baja velocidad. En esta zona sobre la cara exterior el flujo presenta una gran recirculación y debido a esta, se genera un vórtice en el centro del tubo a los 150°.

Como segunda etapa se llevó a cabo la simulación de un tubo con aletas inclinadas a 30 y 15º de lo que se puede concluir que: • Al incrementar el ángulo de la aleta se incrementan las magnitudes de las velocidades así

como la resistencia al avance. El decremento en el coeficiente de arrastre para el caso de 30º es de un 16.4% y para el caso de 15º es de 37.5% con respecto al obtenido para 45º.

Si se emplean tubos con aletas inclinadas es una opción viable para incrementar la transferencia de calor en equipos de intercambio de calor sin un gran incremento en la caída de presión.



Anexo 1 Descripción matemática de los modelos de turbulencia



A.1 El modelo Spalart-Allmaras

En los modelos de turbulencia que emplean la aproximación Boussinesq, la parte más importante es el como calcular la viscosidad turbulenta. El modelo propuesto por Spalart y Allmaras41 resuelve una ecuación de transporte para una cantidad que es modificada a partir de la viscosidad cinemática turbulenta. A.1.1 La ecuación de transporte del modelo Spalart-Allmaras

La variable de transporte en el modelo Spalart-Allmaras, v~ , es idéntica a la viscosidad

cinemática turbulenta excepto en la región cercana a la pared (afectado por la viscosidad). La ecuación de transporte para v~ es

( ) ( ) ( ) vj

bjjv

vii

YxvC

xvv

xGuv

xv

t−

⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢

⎣

⎡

⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛

∂∂

+⎪⎭

⎪⎬⎫

⎪⎩

⎪⎨⎧

∂∂

+∂∂

+=∂∂

+∂∂

2

2~

~~~1~~ ρρμσ

ρρ (A-1)

donde vG es la producción de viscosidad turbulenta y vY es la destrucción de viscosidad turbulenta que ocurren en la región cercana a la pared debido al bloqueo de la pared y amortiguación viscosa. v~σ y 2bC son constantes y v es la viscosidad cinemática molecular. Cabe resaltar que la energía cinética turbulenta k no se calcula en el modelo de Spalart-Allmaras, el último término en la ecuación 3.8 se ignora cuando se estiman los esfuerzos de Reynolds. A.1.2 Modelado de la Viscosidad Turbulenta

La viscosidad turbulenta, tμ , se calcula de

1~

vt fvρμ = (A-2) donde la función de amortiguación viscosa, 1vf , esta dada por

31

3

3

1v

v Cf

+=

χχ (A-3)

y

vv~

≡χ (A-4)

A.1.3 Modelado de la Producción Turbulenta



El término de producción turbulenta, vG , se modela como

vSCG bv~~

1ρ= (A-5)

donde

222

~~vfd

vSSκ

+≡ (A-6)

y

12 1

1v

v ff

χχ

+−= (A-7)

1bC y κ son constantes, d es la distancia de la pared, y S es la medida escalar del tensor de

deformación. En el modelo original propuesto por Spalart-Allmaras, S está basado en la magnitud de la vorticidad:

ijijS ΩΩ≡ 2 (A-8) donde ijΩ es la tasa de rotación media del tensor y esta definida por:

⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛

∂∂

−∂∂

=Ωi

j

j

iij x

uxu

21 (A-9)

La justificación de la expresión S es que, para flujos limitados por pared que fueron de

mayor interés cuando el modelo fue formulado, la turbulencia se encuentra solamente donde se genera la vorticidad cercana a las paredes. Sin embargo, se ha podido reconocer que se debe tomar en cuenta los efectos de la deformación media en la producción de la turbulencia, y una modificación al modelo ha sido incorporada42 en FLUENT.

Esta modificación combina ambas medidas de S en el tensor de rotación y deformación:

( )ijijprodij SCS Ω−+Ω≡ ,0min (A-10)

donde

ijijijijijijprod SSSC 2,2,0.2 ≡ΩΩ≡Ω=



con la tasa de deformación media, ijS , definida como

⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛

∂∂

+∂∂

=j

i

i

jij x

uxu

S21 (A-11)

Incluyendo ambos tensores, el de rotación y el de deformación, se reduce la producción de

viscosidad turbulenta y consecuentemente se reduce la misma viscosidad turbulenta en las regiones donde la medida de la vorticidad excede la tasa de deformación. Incluyendo ambos tensores, el de rotación y el de deformación, se considera de una mejor manera los efectos de la rotación en la turbulencia. Si se considera únicamente el tensor de rotación, se tiende a sobre predecir la producción viscosidad turbulenta y por lo tanto se sobre predice la misma viscosidad turbulenta en ciertas circunstancias. A.1.4 Modelado de la Destrucción de Turbulencia

El término de destrucción se modela como

2

1

~⎟⎠⎞

⎜⎝⎛=

dvfcY wwv ρ (A-12)

donde

61

63

6

631

⎥⎦

⎤⎢⎣

⎡+

+=

w

ww Cg

Cgf (A-13)

( )rrCrg w −+= 6

2 (A-14)

22~~

dSvr

κ≡ (A-15)

1wC , 2wC , y 3wC son constantes, y S~ se da en la ecuación A-6. Se debe notar que la

modificación descrita arriba que incluye los efectos de la deformación media S , también afectara el valor de S~ empleado en el cálculo de .r A.1.5 Constantes del modelo

,1355.01 =bC ,622.02 =bC ,32

~ =vσ 1.71 =vC

( ) ,1

~

221

1v

bbw

CCCσκ+

+= ,3.02 =wC ,0.23 =wC 4187.0=κ



A.1.6 Condiciones de frontera de pared

En las paredes, la viscosidad cinemática turbulenta modificada, v~ , es igual a cero. Cuando la malla es lo suficientemente fina para resolver la subcapa laminar, el esfuerzo

cortante en la pared se obtiene de la relación esfuerzo-deformación laminar:

μρ τ

τ

yuuu

=

Si la malla es muy burda para resolver la subcapa viscosa, se asume que el centroide de la celda adyacente a la pared está dentro de la región logarítmica de la capa límite, y se emplea la ley de la pared:

⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛=

μρ

κτ

τ

yuEuu ln1

donde u es la velocidad paralela a la pared, τu es la velocidad cortante, y es la distancia desde la pared, κ es la constante de von Kármán (=0.4187), y 793.9=E . A.2 Los modelos ε−k Estándar, RNG y Realizable.

Estos tres modelos poseen formas similares, con ecuaciones de transporte para k y ε . Las

principales diferencia en los modelos son las siguientes:

• El método de calculó para la viscosidad turbulenta. • Los números de Prandtl que gobiernan la difusión turbulenta de k y ε . • Los términos de generación y destrucción en la ecuación de ε .

Las ecuaciones de transporte, métodos de cálculo de la viscosidad turbulenta, y las

constantes de los modelos se muestran por separado para cada modelo. A.2.1 El modelo ε−k estándar

El modelo ε−k estándar es un modelo semi-empírico basado en ecuaciones de modelo de

transporte de la energía cinética turbulenta )(k y su tasa de disipación )(ε . La ecuación del modelo de transporte para k se deriva de la ecuación exacta, mientras que la ecuación del modelo de transporte para ε fue obtenida empleando un razonamiento físico y posee muy poca similaridad con su contra parte matemática exacta.

En la derivación del modelo ε−k , se considera que el flujo es completamente turbulento, y

que los efectos de la viscosidad molecular son despreciables. El modelo estándar ε−k es válido únicamente para flujos completamente turbulentos.



A.2.1.1 Ecuaciones de transporte del modelo ε−k estándar La energía cinética turbulenta, k , y su tasa de disipación, ε , se obtienen de las siguientes

ecuaciones de transporte:

( ) ( ) ρεσμμρρ −+

⎥⎥⎦

⎤

⎢⎢⎣

⎡

∂∂

⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛+

∂∂

=∂∂

+∂∂

kjk

t

ji

i

Gxk

xku

xk

t (A-16)

y

( ) ( )k

CGk

Cxx

uxt k

j

t

ji

i

2

21ερεε

σμμρερε εε

ε

−+⎥⎥⎦

⎤

⎢⎢⎣

⎡

∂∂

⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛+

∂∂

=∂∂

+∂∂ (A-17)

En estas ecuaciones kG representa la generación de la energía cinética turbulenta debido a

los gradientes de velocidad media, calculado como se describe en la sección A.2.4. ε1C y ε2C son constantes. kσ y εσ son los números turbulentos de Prandtl para k y ε , respectivamente. A.2.1.2 Modelado de la viscosidad turbulenta

La viscosidad turbulenta, tμ , se calcula al combinar k y ε de la siguiente manera:

ερμ μ

2kCt = (A-18)

donde μC es una constante. A.2.1.3 Constantes del Modelo

Las constantes del modelo poseen los siguientes valores predeterminados:

,44.11 =εC ,92.12 =εC ,09.0=μC ,0.1=kσ 3.1=εσ

Estos valores predeterminados han sido determinados de experimentos con aire y agua para

flujos cortantes turbulentos fundamentales incluyendo flujo cortante homogéneo y caída isotrópica de la malla turbulenta. Se ha observado que funcionan bastante bien para un amplio rango de flujos limitados por paredes y flujos libres cortantes. A.2.2 El modelo ε−k RNG

El modelo de turbulencia RNG ε−k se deriva de las ecuaciones de Navier-Stokes

instantáneas, empleando una técnica matemática llamada métodos de Grupos de Renormalización. La derivación analítica resulta en un modelo con diferentes constantes de



aquellas obtenidas del modelo Estándar ε−k , y términos y funciones adicionales en las ecuaciones de transporte para k y ε . A.2.2.1 Ecuaciones de transporte del modelo ε−k RNG

El modelo ε−k RNG posee una forma similar al modelo estándar ε−k :

( ) ( ) ρεμαρρ −+⎥⎥⎦

⎤

⎢⎢⎣

⎡

∂∂

∂∂

=∂∂

+∂∂

kj

effkj

ii

Gxk

xku

xk

t (A-19)

y

( ) ( ) εεεεερεεμαρερε Rk

CGk

Cxx

uxt k

jeff

ji

i

+−+⎥⎥⎦

⎤

⎢⎢⎣

⎡

∂∂

∂∂

=∂∂

+∂∂ 2

21 (A-20)

En estas ecuaciones, kG representa la generación de energía cinética turbulenta debido a los

gradientes de velocidad media, que se calculan como se describe en la sección A.2.4. Las cantidades kα y εα son los números de Prandtl efectivos inversos de k y ε , respectivamente. A.2.2.2 Modelado de la viscosidad efectiva

El procedimiento de eliminación de escala en la teoría RNG resulta en la ecuación

diferencial de la viscosidad turbulenta:

vdCv

vkdv

ˆ1ˆˆ

72.13

2

+−=⎟

⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛

εμρ (A-21)

donde

μμ /ˆ effv = y

100≈vC

La ecuación A-21 se integra para obtener una descripción precisa de cómo varía el

transporte de la turbulencia efectiva con el número de Reynolds (o escala turbulenta), dándole la capacidad al modelo de un mejor manejo de flujos con bajos números de Reynolds y flujos cercanos a la pared.

En el límite de altos números de Reynolds, la ecuación A-21 da



ερμ μ

2kCt = (A-22)

con 0845.0=μC , derivado usando la teoría RNG. Es interesante notar que este valor de μC esta muy cercano al valor determinado empíricamente de 0.09 empleado en el modelo estándar ε−k .

En FLUENT, la viscosidad efectiva se calcula empleando la ecuación A-22 en la forma de

altos números de Reynolds. Sin embargo, existe una opción disponible que permite el uso de la relación diferencial dado por la ecuación A-21 donde se incluyen los efectos de bajos números de Reynolds. A.2.2.3 Cálculo de los números de Prandtl efectivos inversos

Los números de Prandtl efectivos inversos, kα y εα , se calculan empleando la siguiente

fórmula analítica derivada de la teoría RNG:

eff

mol

μμ

αα

αα

=−−

−−

3679.0

0

6321.0

0 3929.23929.2

3929.13929.1 (A-23)

donde 0.10 =α . En el límite de altos números de Reynolds ( )1/ <<effmol μμ , 393.1≈= εαα k . A.2.2.4 El término εR en la ecuación de ε

La principal diferencia entre los modelos RNG y el estándar ε−k es el término adicional

en la ecuación de ε dado por

( )k

CR

2

30

3

1/1 ε

βηηηρημ

ε +−

= (A-24)

donde εη /kS≅ , ,38.40 =η 012.0=β .

Los efectos de este término en la ecuación ε del modelo RNG pueden ser vistos más

claramente arreglando los términos de la ecuación A-20. Usando la ecuación A-24, los tercer y cuarto términos del lado derecho de la ecuación A-20 pueden fusionarse, y la ecuación de ε resultante puede ser rescrita de la siguiente forma

( ) ( )k

CGk

Cxx

uxt k

jeff

ji

i

2*21

ερεεμαρερε εεε −+⎥⎥⎦

⎤

⎢⎢⎣

⎡

∂∂

∂∂

=∂∂

+∂∂ (A-25)

donde *

2εC está dado por



( )3

03

2*2 1

/1βη

ηηρημεε +

−+≡

CCC (A-26)

En las regiones donde 0ηη < , el término R hace una contribución positiva, y *

2εC se hace más grande que ε2C . En la capa logarítmica, por ejemplo, se puede demostrar que 0.3≈η , dando 0.2*

2 ≈εC , el cual es cercano en magnitud al valor de ε2C en el modelo estándar ε−k . Como resultado, para flujos altamente o moderadamente deformados, el modelo RNG tiende a arrojar resultados similares al modelo estándar ε−k .

En las regiones de alta tasa de deformación )( 0ηη > , el término R hace una contribución

negativa, haciendo que el valor de *2εC sea menor que el valor de ε2C . En comparación con el

modelo estándar ε−k , mientras menor sea la destrucción de ε ; ε es mayor, reduciendo k y, eventualmente, reduciendo la viscosidad efectiva. Como resultado, en flujos rápidamente deformados, el modelo RNG arroja una viscosidad turbulenta menor que el modelo estándar

ε−k . Así, el modelo RNG es más responsivo a efectos de rápida deformación y curvatura de las

líneas de corriente que el modelo estándar ε−k , lo cual explica el desempeño superior del modelo RNG en ciertas clases de flujos. A.2.2.5 Constantes del modelo

Las constantes del modelo ε1C y ε2C en la ecuación A-20 poseen valores derivados de la

teoría RNG. Estos valores, predeterminados son

,42.11 =εC ,68.12 =εC A.2.3 El modelo Realizable ε−k

El término “realizable” significa que el modelo satisface ciertas restricciones matemáticas

en los esfuerzos normales, consistente con la física de los flujos turbulentos. Para comprender esto, se considera la relación Boussinesq (ecuación 3.8) y la definición de viscosidad turbulenta (ecuación A-18) para obtener la siguiente expresión de los esfuerzos normales de Reynolds en el flujo medio (flujo incompresible):

xUvku t ∂

∂−= 2

322 (A-27)

Usando la ecuación A-18 para ρμν /tt ≡ , se obtiene que los esfuerzos normales, 2u , que

por definición es una cantidad positiva, se convierte negativo, “no realizable”, cuando la deformación es lo suficientemente grande para satisfacer



7.33

1≈>

∂∂

με CxUk

Similarmente, se puede demostrar que la desigualdad Schwarz para los esfuerzos cortantes

_____22

_____2 )( βαβα uuuu ≤ puede ser violada cuando la tasa de deformación media es grande. La manera

más directa para asegurar la realización es hacer μC variable sensibilizándola al flujo medio (deformación media) y a la turbulencia ( ε,k ). La noción de μC variable se sugiere en varios modelos, y esta sustentada en evidencia experimental. Por ejemplo, se ve que μC es alrededor de 0.09 en la subcapa límite inercial de capas límite de equilibrio, y 0.05 en flujos con altos esfuerzos cortantes homogéneos.

Otra debilidad del modelo estándar ε−k o de otros modelos tradicionales ε−k recae en la

ecuación del modelo de la tasa de disipación )(ε . La bien conocida anomalía de redondeo de chorro (llamada en base a los descubrimientos de la tasa de difusión en chorros planares se predice razonablemente bien, pero la tasa de difusión de chorros ejesimétricos presenta malas predicciones) se considera que es principalmente debido a la ecuación de disipación.

El modelo ε−k propuesto corrige estas anomalías adoptando las siguientes

consideraciones:

• Una nueva fórmula de la viscosidad turbulenta involucrando la variable μC originalmente propuesta por Reynolds43

• Un nuevo modelo de la ecuación de disipación basado en la ecuación dinámica de las fluctuaciones de vorticidades cuadradas medias.

A.2.3.1 Ecuaciones de transporte del modelo ε−k Realizable

Las ecuaciones de transporte para k y para ε en el modelo ε−k Realizable son:

( ) ( ) ρεσμμρρ −+

⎥⎥⎦

⎤

⎢⎢⎣

⎡

∂∂

⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛+

∂∂

=∂∂

+∂∂

kjk

t

ij

i

Gxk

xku

xk

t (A-28)

y

( ) ( )ε

ερερεσμμρερε

ε vkCSC

xxu

xt j

t

jj

j +−+

⎥⎥⎦

⎤

⎢⎢⎣

⎡

∂∂

⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛+

∂∂

=∂∂

+∂∂ 2

21 (A-29)

donde

,5

43.0max1 ⎥⎦

⎤⎢⎣

⎡+

=η

ηC ε

η kS=



En estas ecuaciones, kG representa la generación de energía cinética turbulenta debido a

los gradientes de velocidad media, calculados como se describe en la sección A.2.4. 2C y ε1C son constantes. kσ y εσ son los números de Prandtl turbulentos para k y para ε respectivamente.

Debe notarse que la ecuación de k (ecuación A-20) es la misma que la del modelo estándar

ε−k (ecuación A-16) y que la ecuación del modelo ε−k RNG (ecuación A-19), excepto por las constantes del modelo. Sin embargo, la forma de la ecuación de ε es considerablemente diferente de aquellas empleadas en los modelos basados en ε−k estándar y RNG (ecuación A-17 y A-20). Una de las características a destacar es el término de producción en la ecuación ε (el segundo término del lado derecho de la ecuación A-29) que no posee ninguna singularidad; su denominador nunca desaparece, aún cuando k desaparezca o sea menor que cero. Esta característica es contrastante con los modelos tradicionales ε−k los cuales poseen una singularidad en el denominador debido a k.

Este modelo ha sido extensamente validado para un gran rango de flujos44 incluyendo flujos

cortantes rotacionales homogéneos, flujos libres incluyendo chorros y capas mezclantes, flujos en canales y capas límite, y flujos separados. Para todos estos casos, se ha observado que el desempeño del modelo es mejor que el modelo ε−k estándar. A.2.3.2 Modelado de la viscosidad turbulenta

Como en los otros modelos ε−k , la viscosidad turbulenta es calculada

ερμ μ

2kCt = (A-30)

La diferencia entre el modelo ε−k Realizable y los modelos estándar y RNG es que μC no

es una constante. Esta se calcula de

ε

μ *

0

1kUAA

Cs+

= (A-31)

donde

ijijijij SSU ΩΩ+= ~~* (A-32) y

kijkijij ωε2~ −Ω=Ω



kijkijij ωε−Ω=Ω

Donde ___

ijΩ es el tensor de tasa de rotación media visto en un marco de referencia rotativo con una velocidad angular kω . Las constantes del modelo 0A y SA están dadas por

,04.40 =A φcos6=sA donde

( ),6cos31 1 W−=φ ,

SSSS

W kijkij= ,~ijij SSS = ⎟

⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛

∂∂

+∂∂

=j

i

i

jij x

uxu

S21

Puede observarse que μC es función de la deformación media y las tasas de rotación, la

velocidad angular del sistema de rotación, y los campos de turbulencia (k y ε). μC en la ecuación A-22 puede mostrarse que recupera su valor estándar de 0.09 para una subcapa inercial en una capa límite en equilibrio.

En FLUENT, el término kijkωε2− , posee un valor predeterminado no incluido en el cálculo

de ___

ijΩ . Este es un término extra de rotación que no es compatible con los casos que involucran mallas deslizables o múltiples marcos de referencia. A.2.3.3 Constantes del modelo

Las constantes del modelo 2C , kσ , y εσ han sido establecidas para asegurar que el modelo

se desempeñe de manera correcta para ciertos flujos canónicos. Las constantes del modelo son

,44.11 =εC ,9.12 =C ,0.1=kσ 2.1=εσ A.2.4 Modelado de la Producción Turbulenta en los modelos ε−k .

El término kG , que representa la producción de energía cinética turbulenta, es modelado de

manera idéntica que los modelos ε−k estándar, RNG, y Realizable. De la ecuación exacta de la ecuación de transporte de k, este término se define como

i

jjik x

uuuG

∂∂

−= ''ρ (A-33)

Para evaluar kG en una manera consistente con la hipótesis de Boussinesq,



2SG tk μ= (A-34) donde S es el tensor del modulo de la tasa de deformación media, definida por

ijij SSS 2≡ (A-35) A.3 Los Modelos ω−k estándar y SST

Esta sección presenta los modelos ω−k estándar y SST. Ambos modelos poseen formas similares, con ecuaciones de transporte para k y ω. La principal manera en que el modelo SST varía con respecto al modelo estándar son las siguientes:

• Cambio gradual del modelo estándar ω−k en la región interna de la capa límite al

la versión del modelo ε−k para altos números de Reynolds en la parte externa de la capa límite.

• Formulación modificada de la viscosidad turbulenta para considerar los efectos de transporte de los esfuerzos cortantes turbulentos principales.

A.3.1 El modelo ω−k Estándar

El modelo ω−k Estándar está basado en un modelo empírico para el modelado de las

ecuaciones de trasporte de la energía cinética turbulenta (k) y la tasa de disipación específica (ω), la cual también puede considerarse como la razón entre ε en k.

Como el modelo ω−k ha sido modificado al paso de los años, términos de producción han

sido agregados a ambas ecuaciones de k y ω, que han mejorado la precisión del modelo para predecir flujos cortantes libres.

A.3.1.1 Ecuaciones de transporte del modelo ω−k estándar

La energía cinética turbulenta, k, y la tasa de disipación específica, ω, se obtienen de las

siguientes ecuaciones de transporte:

( ) ( ) kkj

kj

ii

YGxk

xku

xk

t−+⎟

⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛

∂∂

Γ∂∂

=∂∂

+∂∂ ρρ (A-36)

y

( ) ( ) ωωωωρωρω YGxx

uxt jj

ii

−+⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛

∂∂

Γ∂∂

=∂∂

+∂∂ (A-37)



En estas ecuaciones, kG representa la generación de energía cinética turbulenta debido a los gradientes de velocidad media. ωG representa la generación de ω. kΓ y ωΓ representan la difusividad efectiva de k y ω, respectivamente. kY y ωY representan la disipación de k y ω debido a la turbulencia. Todos los términos de arriba se calculan como se describe a continuación. A.3.1.2 Modelado de la difusividad efectiva

La difusividad efectiva para el modelo ω−k se muestra a continuación

k

tk σ

μμ +=Γ (A-38)

ωω σ

μμ t+=Γ (A-39)

Donde kσ y ωσ son los números de Prandtl turbulentos para k y ω, respectivamente. La viscosidad turbulenta, tμ , se calcula combinando k y ω como se muestra en seguida:

ωραμ k

t*= (A-40)

A.3.1.3 Corrección de bajos números de Reynolds

El coeficiente *α amortigua la viscosidad turbulenta causando una corrección a bajos

números de Reynolds. Esta está dada por

⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛++

= ∞kt

kt

RR

/Re1/Re*

0** ααα (A-41)

donde

μωρk

t =Re (A-42)

6=kR (A-43)

3*0

iβα = (A-44)

072.0=iβ (A-45) Se debe notar, que en la forma de altos números de Reynolds del modelo ω−k ,

1* * == ∞αα .



A.3.1.4 Modelado de la producción turbulenta Producción de k

El término kG representa la producción de energía cinética turbulenta. De la ecuación

exacta del transporte de k, este término puede definirse como

i

jjik x

uuuG

∂∂

−= '' (A-46)

Para evaluar kG en una manera consistente con la hipótesis de Boussinesq,

2SG tk μ= (A-47)

donde S es el tensor del modulo de la tasa de deformación media, definida de la misma manera que para el modelo ε−k (ver ecuación A-35). Producción de ω.

La producción de ω está dada por

kGk

G ωαω = (A-48)

donde kG está dado por la ecuación A-46.

El coeficiente α está dado por

⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛++

= ∞

ω

ωαααα

RR

t

t

/Re1/Re0

* (A-49)

donde 95.2=ωR . *α y tRe están dados por la ecuación A-41 y A-42, respectivamente.

Debe notarse, que en la forma de altos números de Reynolds del modelo ω−k ,

1== ∞αα . A.3.1.5 Modelado de la disipación turbulenta Disipación de k

La disipación de k está dada por



ωρββ

kfYk **= (A-50)

donde

⎪⎩

⎪⎨

⎧

++=

2

2

40016801

1*

k

kfχχβ

00

>≤

k

k

χχ

(A-51)

donde

jjk xx

k∂∂

∂∂

≡ω

ωχ 3

1 (A-52)

y

( )[ ]ti MF*** 1 ςββ += (A-53)

( )( ) ⎟

⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛

+

+= ∞ 4

4**

/Re1/Re15/4

β

βββR

R

t

ti (A-54)

5.1* =ς (A-55)

8=βR (A-56)

09.0* =∞R (A-57)

donde tRe está dado por la ecuación A-42. Disipación de ω

La disipación de ω esta dada por

2ωρβ βω fY = (A-58)

donde

ω

ωβ χ

χ801701

++

=f (A-59)



( )3*ωβχω

∞

ΩΩ= kijkij S

(A-60)

⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛

∂

∂−

∂∂

=Ωi

j

j

iij x

uxu

21 (A-61)

El tensor de la tasa de deformación, ijS está definido en la ecuación A-11. También,

iββ = (A-62)

*iβ se define por la ecuaciones A-54.

A.3.1.6 Constantes del modelo

,1* =∞α ,52.0=∞α ,91

0 =α ,09.0* =∞β ,072.0=iβ 8=βR

,6=kR ,95.2=ωR ,5.1* =ς ,25.00 =tM ,0.2=kσ 0.2=ωσ

A.3.1.7 Condiciones de frontera en la pared

Las condiciones de frontera de la ecuación k en el modelo ω−k son tratadas de la misma

manera que en la ecuación de k para el modelo ε−k con tratamiento de pared extendido. Esto significa que las condiciones de frontera para la malla con funciones de pared corresponderá a la aproximación de funciones de pared, mientras que para mallas finas, las condiciones de frontera apropiadas serán aplicadas para bajos números de Reynolds.

En FLUENT el valor de ω en la pared está especificado como

( ) += ωμ

ρω2*u

w (A-63)

El valor asintótico de ω+ en la subcapa laminar esta dado por

( ) ⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛=

+∞

++2*

6,miny

wβ

ωω (A-64)

donde



⎪⎪

⎩

⎪⎪

⎨

⎧⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛

=

+

++

s

sw

k

k100

502

ω 25

25

≥

<+

+

s

s

k

k (A-65)

donde

⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛=+

μρ *

,0.1max ukk ss (A-66)

y ks es la altura de la rugosidad.

En la región logarítmica (o turbulenta), el valor de ω+ es

+

+

∞

+ =dy

duturb*

1β

ω (A-67)

lo cual nos da el valor de ω en la celda de la pared como

yu

κβω

*

*

∞

= (A-68)

Debe notarse que en el caso de que una celda de pared sea reemplazada en la región

intermedia, FLUENT mezclara los valores de ω+ entre la subcapa logarítmica y la laminar. A.3.2 El modelo ω−k de Transporte de Esfuerzos Cortantes (SST)

Este modelo es llamado de esta manera por que la definición de la viscosidad turbulenta es modificada para considerar el transporte de los esfuerzos cortantes turbulentos principales. Es esta característica que brinda al modelo ω−k SST una ventaja en términos de desempeño sobre el modelo ω−k estándar y el modelo ε−k estándar. Otras modificaciones incluyen la adición de un término de difusión cruzada en la ecuación de ω y una función de mezclado para asegurar que las ecuaciones del modelo se comporten apropiadamente en ambas zonas; cercanas a la pared y en el campo lejano. A.3.2.1 Ecuaciones de transporte del modelo ω−k SST

El modelo ω−k SST posee una forma similar al modelo ω−k estándar:

( ) ( ) kkj

kj

ii

YGxk

xku

xk

t−+⎟

⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛

∂∂

Γ∂∂

=∂∂

+∂∂ ρρ (A-69)



y

( ) ( ) ωωωωωρωρω DYGxx

uxt jj

ii

+−+⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛

∂∂

Γ∂∂

=∂∂

+∂∂ (A-70)

En estas ecuaciones, kG representa la generación de energía cinética turbulenta debido a

los gradientes de velocidad media. ωG representa la generación de ω, calculados como se describió en la sección A.3.1.4. kΓ y ωΓ representan la difusividad efectiva de k y ω, respectivamente, los cuales se calculan como se describe en seguida. kY y ωY representan la disipación de k y ω debido a la turbulencia, calculados como se describió en la sección A.3.1.5.

ωD representa el término de difusión cruzada, calculado como se muestra en seguida. A.3.2.2 Modelado de la difusividad efectiva.

Las difusividades efectivas del modelo ω−k SST están dadas por

k

tk σ

μμ +=Γ (A-71)

ωω σ

μμ t+=Γ (A-72)

donde kσ y ωσ son los números de Prandtl turbulentos para k y ω, respectivamente. La viscosidad turbulenta, tμ , se calcula de la siguiente manera:

⎥⎦

⎤⎢⎣

⎡ Ω=

ωαωρμ

1

2* ,1max

1

aF

kt (A-73)

donde

ijijΩΩ≡Ω 2 (A-74)

( ) 2,11,1 /1/1

kkk FF σσ

σ−+

= (A-75)

( ) 2,11,1 /1/1

ωωω σσ

σFF −+

= (A-76)



ijΩ es el tensor de la tasa de rotación media y α* está definido por la ecuación A-41. Las

funciones de mezclado, F1 y F2, están dadas por

( )411 tanh Φ=F (A-77)

⎥⎥⎦

⎤

⎢⎢⎣

⎡⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛=Φ + 2

2,21

4,500,09.0

maxminyD

kyy

k

ωωσρ

ωρμ

ω (A-78)

⎥⎥⎦

⎤

⎢⎢⎣

⎡

∂∂

∂∂

= −+ 20

2,

10,112maxjj xx

kD ωωσ

ρω

ω (A-79)

( )2

22 tanh Φ=F (A-80)

⎥⎦

⎤⎢⎣

⎡=Φ

ωρμ

ω 22500,

09.02max

yyk (A-81)

donde y es la distancia a la siguiente superficie y +

ωD es la porción positiva del término de difusión cruzada (ver ecuación 3.3-110). A.3.2.3 Modelado de la producción de turbulenta Producción de k

El término kG representa la producción de energía cinética turbulenta, y está definido de la

misma manera como está definida en el modelo ω−k estándar. Producción de ω

El término ωG representa la producción de ω y está dada por

kt

Gv

G αω = (A-82)

Debe notarse que esta formulación difiere de la del modelo ω−k . La diferencia entre los

dos modelos también existe en la manera en que se evalúa el término ∞α . En el modelo ω−k estándar, ∞α se define como una constante (0.52). Para el modelo ω−k SST, ∞α está dada por

( ) 2,11,1 1 ∞∞∞ −+= ααα FF (A-83)



donde

*1,

2

*1,

1,

∞∞∞ −=

βσκ

ββ

αw

i (A-84)

*2,

2

*2,

2,

∞∞∞ −=

βσκ

ββ

αw

i (A-85)

Donde κ es 0.41. 1,iβ y 2,iβ están dada por las ecuaciones A-89 y A-90, respectivamente. A.3.2.4 Modelado de la disipación turbulenta

Disipación de k

El término kY representa la disipación de la energía cinética turbulenta, y esta definida de

manera similar que el modelo ω−k estándar. La diferencia es la manera en que se evalúa el término *βf . En el modelo estándar ω−k , *βf es definida como una función. Para el modelo

ω−k SST, *βf es una constante igual a 1. Por lo que

ωρβ kYk*= (A-86)

Disipación de ω

El término ωY representa la disipación de ω, y está definida de manera similar que el

modelo ω−k estándar. La diferencia radica en la manera en que los términos iβ y βf son evaluados. En el modelo ω−k estándar, iβ está definida como una constante (0.072) y βf está definida por la ecuación A-59. Para el modelo ω−k SST, βf es una constante igual a 1. De aquí que,

2ρβωω =Y (A-87) En lugar de tener un valor constante, iβ está dada por

( ) 2,1,1 1 iiii FF βββ −+= (A-88)

donde

075.01, =iβ (A-89)



0828.02, =iβ (A-90)

y F1 se obtiene de la ecuación A-77. A.3.2.5 Modificación de la difusión cruzada

El modelo ω−k SST está basado en ambos modelos, el modelo ω−k estándar y el

modelo ε−k estándar. Para mezclar estos modelos, el modelo ε−k estándar ha sido transformado en ecuaciones basadas en k y ω, lo cual nos lleva a la introducción del término de difusión cruzada ( ωD en la ecuación A-70). ωD está definida de la siguiente manera

( )jj xx

kFD∂∂

∂∂

−=ω

ωρσ ωω

112 2,1 (A-91)

A.3.2.6 Constantes del modelo

,176.11, =kσ ,0.21, =ωσ ,0.12, =kσ ,168.12, =ωσ

,31.01 =a ,075.01, =iβ 0828.02, =iβ

Todas las constantes adicionales del modelo ( ,,,,,,,, **

0* ζβααα ωβ RRR k∞∞∞ y )0tM poseen

los mismos valores que el modelo ω−k .



Anexo 2 Resultados numéricos empleando distintos modelos de turbulencia.



Exterior (kε-std)

-3

-2

-1

0

1

2

3

0 0.2 0.4 0.6 0.8 1

x/h

cp


Figura A2.1 Distribución de coeficientes de presión sobre la cara exterior de la aleta a 45° a distintos ángulos utilizando el modelo de turbulencia k-ε std.



Interior (kε-std)

-1.5

-1

-0.5

0

0.5

1

1.5

2

2.5

0 0.2 0.4 0.6 0.8 1

x/h

cp


Figura A2.2 Distribución de coeficientes de presión sobre la cara interior de la aleta a 45° a distintos ángulos utilizando el modelo de turbulencia k-ε std.



Exterior (kε-RNG)

-3

-2

-1

0

1

2

3

0 0.2 0.4 0.6 0.8 1

x/h

cp


Figura A2.3 Distribución de coeficientes de presión sobre la cara exterior de la aleta a 45° a distintos ángulos utilizando el modelo de turbulencia k-ε RNG.



Interior (kε-RNG)

-2

-1.5

-1

-0.5

0

0.5

1

1.5

2

2.5

0 0.2 0.4 0.6 0.8 1

x/h

cp


Figura A2.4 Distribución de coeficientes de presión sobre la cara interior de la aleta a 45° a distintos ángulos utilizando el modelo de turbulencia k-ε RNG.



Exterior (k-ε REAL)

-3

-2

-1

0

1

2

3

0 0.2 0.4 0.6 0.8 1

x/h

cp

ext_0

ext_12

ext_24

ext_36

ext_48

ext_60

ext_72

ext_84

ext_90

ext_102

ext_114

ext_126

ext_138

ext_150

ext_162

ext_174

ext_180

Figura A2.5 Distribución de coeficientes de presión sobre la cara exterior de la aleta a 45° a distintos ángulos utilizando el modelo de turbulencia k-ε REAL.



Interior (k-ε REAL)

-1.5

-1

-0.5

0

0.5

1

1.5

2

2.5

0 0.2 0.4 0.6 0.8 1

x/h

cp

int_0

int_12

int_24

int_36

int_48

int_60

int_72

int_84

int_90

int_102

int_114

int_126

int_138

int_150

int_162

int_174

int_180

Figura A2.6 Distribución de coeficientes de presión sobre la cara interior de la aleta a 45° a distintos ángulos utilizando el modelo de turbulencia k-ε REAL.



Exterior (k-ω )

-3

-2

-1

0

1

2

3

0 0.2 0.4 0.6 0.8 1

x/h

cp


Figura A2.7 Distribución de coeficientes de presión sobre la cara exterior de la aleta a 45° a distintos ángulos utilizando el modelo de turbulencia k-ω.



Interior (k-ω )

-1.5

-1

-0.5

0

0.5

1

1.5

2

2.5

0 0.2 0.4 0.6 0.8 1

x/h

cp


Figura A2.8 Distribución de coeficientes de presión sobre la cara interior de la aleta a 45° a distintos ángulos utilizando el modelo de turbulencia k-ω.



Exterior (Spalart-Allmaras)

-3

-2

-1

0

1

2

3

0 0.2 0.4 0.6 0.8 1

x/h

cp


Figura A2.9 Distribución de coeficientes de presión sobre la cara exterior de la aleta a 45° a distintos ángulos utilizando el modelo de turbulencia Spalart-Allmaras.



Interior (Spalart-Allmaras)

-1.5

-1

-0.5

0

0.5

1

1.5

2

2.5

0 0.2 0.4 0.6 0.8 1

x/h

cp


Figura A2.10 Distribución de coeficientes de presión sobre la cara interior de la aleta a 45° a distintos ángulos

utilizando el modelo de turbulencia Spalart-Allmaras.



Referencias 1 Pase Gleenwood K.; “Closer look at integrally finned-tube Heat Exchangers”, Chemical Engineering, N.Y. 1996, Vol 103, N2, pp. 76-77. 2 Torri K., Kwak K.M., Nishino K., “Heat transfer enhancement accompanying pressure-loss reduction with winglet-type vortex generators for fin-tube heat exchangers”, I. J. of Heat and Mass Transfer, Vol. 45, 2002, pp. 3795-3801. 3 Herchang Ay, Jiin Yuh Jang, Jer-Nan Yeh; “Local heat transfer measurement of plate finned-tube heat exchangers by infrared thermography”; I. J. of Heat and Mass Transfer, Vol. 45, 2002, pp. 4069-4078. 4 Gentry M.C., Jacobi A.M.; “Heat Transfer Enhancement by Delta-Wing-Generated Tip Vortices in Flat-Plate and Developing Channel Flows, ASME J. of Fluids Engineering, December 2002, Vol. 124, pp. 1158-1168. 5 O’Brien J.E., Sohal M.S.; “Heat Transfer Enhancement for Finned-Tube Heat Exchangers with Winglets”, ASME J. of Fluids Engineering, February 2005, Vol. 127, pp. 171-178. 6 Yanaoka H., Yoshikawa H., Ota T; “Numerical Simulation of Laminar Flow and Heat Transfer Over a Blunt Flat Plate in Square Channel”, ASME J. of Fluids Engineering, February 2002, Vol. 124, pp. 8-16. 7 Zhang Li-Zhi; “Turbulent Three-Dimensional Air Flow and Heat Transfer in a Cross-corrugated Triangular Duct”, ASME J. of Fluids Engineering, October 2005, Vol. 127, pp. 1151-1158. 8 Abu-Hijleh B. A/K; “Enhanced Forced Convection Heat Transfer from a cylinder using permeable fins”, ASME J.of Fluids Engineering, October 2003, Vol. 125, pp. 804-811. 9 Tiwari S., Biswas G., Prasand P.L.N. y Basu S; “Numerical Prediction of Flow and Heat Transfer in a Rectangular Channel with a Built-In Circular Tube; ASME J. of Fluids Engineering, June 2003, Vol. 125, pp. 413-421. 10 Pismennyi, E.N. “Investigation of Flow Dynamics in Surfaces of Fin of Cross-Finned Pipe” j. of Engineering and Physics, 1984, V.47, pp. 28-34. 11 Kuntysh V., Lokhovedov F.; “Heat Transfer and aerodynamic resistance of bundles of tubes with slotted fins”, Refrigeration Engineering, 1968, No. 6, pp.14-18. 12 Kuntysh V., Kuyetsov N; “Thermal and aerodynamic calculations of finned air-cooled heat exchangers”, St. Petersburg, Energoatomizdat Press, 1992. 13 Weierman Ch; “Correlation to ease the selection of finned tubes”, The Oil and Gas Journal, 1976, V.74, No. 36, pp. 94-100. 14 Carvajal-Mariscal I., Sanchez-Silva F., Quinto-Diez P.; “Flow Dynamics between the inclined fins of a finned tube”, I. J. of Heat and Fluid Flow, 22, 2001, pp. 519-524. 15 Carvajal-Mariscal I., Sanchez-Silva F., Quinto-Diez P., Pronin V.A.; “Experimental Study on the Local Convective Coefficient Distribution on a Pipe Surface with Inclined Fins”, I. J. of Heat and Fluid Flow, 25, 2001, pp. 293-299. 16 Ockendon H, Tayler A.B; “Applied Mathematical Sciences: Inviscid Fluid Flows”, Springer- Verlag, USA, 1983, 1-19 pp. 17 Schlichting H., Gersten K.; “Boundary Layer Theory”, Springer, New York, 2000, 215-218 pp. 18 Acheson D.J.; “Elementary Fluid Dynamics”, U.S.A., Ed. Oxford, 1990, pp. 261-265. 19 Welty J.R., Wicks C.E., Wilson R. E.; “ Fundamentals of Momentum, Heat and Mass Transfer”, John Wiley & Sons, USA 1984, 169-178 pp. 20 M.R. Abbott and D.R. Basco, Computational Fluid Dynamics - An Introduction For Engineers, Longman, 1989. 21 Long L. “Introduction to Turbulence Modeling”, Fluent Lectures, Germany 2001. 22 G.D. Smith; “Numerical Solution of Partial Differential Equations: Finite Difference Methods”,Oxford University Press, Oxford, 1985. 23 J.N. Reddy; “An Introduction to the Finite Element Method”, McGraw-Hill, New York, 1984. 24 O.C. Zienkiewicz and R.L. Taylor; “The Finite Element Method Vol 1: Basic Formulation and Linear Problems”, McGraw-Hill, New York, 1989. 25 C. Hirsch; “Numerical Computation of Internal and External Flows, Volume 1: Fundamentals of Numerical Discretisation”, Wiley, 1988. 26 J.O. Hinze; “Turbulence”. McGraw-Hill Publishing Co., New York, 1975.



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simulacion numerica de la dinamica del flujo alrededor de un tubo con aletas inclinadas a distint

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