fisica unidad2 movimiento

UNIDAD II.- MOVIMIENTO 2.1. Movimiento en una dimensión Todo el universo se encuentra en constante movimiento. Los cuerpos presentan movimientos rápidos, lentos, periódicos y azarosos. La tierra describe un movimiento giratorio sobre su propio eje, al mismo tiempo describe un movimiento de traslación alrededor del sol. La luna gira alrededor de la tierra; los electrones alrededor del núcleo atómico. Así, a nuestro alrededor siempre observamos algo en movimiento: niños corriendo y saltando, nubes desplazándose por el cielo, pájaros volando, árboles balanceándose a uno y otro lado por un fuerte viento. Todo es movimiento. La mecánica es la rama de la física encargada de estudiar los movimientos y estados de los cuerpos. Se dividen en dos partes: 1. Cinemática, estudia las diferentes clases de movimientos de los cuerpos sin atender las causas que los producen; 2. Dinámica, estudia las causas que originan el movimiento de los cuerpos. Un cuerpo tiene movimiento cuando cambia su posición a medida que trascurre el tiempo. Para poder expresar en forma correcta un movimiento o cambio de posición, debemos relacionarlo con un marco o sistema de referencia claramente establecido. Un sistema de referencia es absoluto cuando toma en cuanta un sistema fijo de referencia, tal es el caso de considerar a la tierra como sistema fijo para analizar el movimiento de automóviles, trenes, barcos o aviones, entre otros. En cambio, un sistema de referencia relativo considera móvil al sistema de referencia, un caso representativo lo tenemos al determinar la trayectoria a seguir por una nave espacial que parte de la tierra a la luna, pues se debe considerar que las posiciones de la tierra, la luna y la nave cambian constantemente. En realidad el sistema de referencia absoluto no existe, porque todo se encuentra en constante movimiento. El movimiento de los cuerpos puede ser en una dimensión o sobre un eje; por ejemplo, el desplazamiento en línea recta de un automóvil o el de un tren; en dos dimensiones o sobre un plano, como el movimiento de la rueda de la fortuna, de un disco fonográfico, el de un avión al despegar o aterrizar, o el de un proyectil cuya trayectoria es curva; en tres dimensiones o en el espacio, como el vuelo de un mosquito hacia arriba, hacia adelante y hacia un lado, o el de un tornillo al hacerlo girar con un desarmador penetrando la pared. La tierra, la luna, un avión, un tren, un automóvil, una pelota y en general un cuerpo físico cualquiera, puede ser considerado como una partícula, lo cual nos facilita describir su movimiento. La velocidad experimentada por un cuerpo puede ser constante o variable toda vez que es una magnitud vectorial, y su dirección queda determinada por la dirección del desplazamiento.

CONCEPTO DE PARTÍCULA MATERIAL EN MOVIMIENTO En la descripción del movimiento de cualquier objeto material, también llamado cuerpo físico, resulta útil interpretar como una partícula material en movimiento, es decir, como si fuera un solo punto en movimiento. Para ellos, se considera la masa de un cuerpo concentrada en un punto. Por su puesto, no se requiere que el cuerpo sea de dimensiones pequeñas para considerarlo como una partícula material, pues solo se pretende facilitar la descripción de sus cambios de posición al suponer que todas sus partes constitutivas están animadas del mismo movimiento.

SISTEMA DE REFERENCIA

En la descripción del movimiento de una partícula es necesario señalar perfectamente cual es su poción, para ello, se usa un sistema de referencia, existen dos clases de sistema de referencia: el absoluto y el relativo. El sistema de referencia absoluto es aquel que considera un sistema fijo de referencia y el sistema de referencia es el que considera móvil al sistema de referencias. En realidad, el sistema de referencia absoluto no existe; por ejemplo, si una persona parada en una esquina observa un automóvil circular a una velocidad de 50 km/h hacia el norte, podría considerarse se mueve respecto a un punto fijo, en el cual la persona misma esta parada en la esquina; pero en realidad, la persona también se mueve, pues la tierra esta en continuo movimiento de rotación y de traslación alrededor del sol. Sin embargo, resulta útil tomar en cuenta los movimientos que se producen sobre la superficie de la tierra, suponiendo a esta como un sistema de referencia absoluto, es decir, fijo. La importancia de definir claramente el sistema de referencia empleado al describir el movimiento de un cuerpo, se comprenderá mejor con los siguientes ejemplos: en un tren cuya marcha es de 80 km/h viaja a una persona a la cual se le ocurre caminar en el vagón en la misma dirección que la maquina y a una velocidad de 5 km/h, esto lo hace considerando al tren como un sistema de referencia inmóvil sin embargo, si la otra persona observa el paso del tren, su sistema de referencia será la tierra, y para el la velocidad del pasajero se obtendrá sumando la velocidad de este y la del tren, dando como resultado 85 km/h. de igual manera cuando viajamos en un avión y observamos el movimiento de las azafatas por el pasillo central lo referimos respecto al avión, considerando como un sistema de referencia fijo. Pero para el piloto que supervisa meticulosamente el vuelo del avión y mira de forma permanente el exterior, tendrá como sistema de referencia la tierra considerada fija o inmóvil.

Para describir la posición particular de una partícula sobre una superficie, se utiliza un sistema de coordenadas cartesianas o coordenadas rectangulares. En este sistema, los ejes se cortan perpendicularmente en un punto 0 llamado origen. El eje horizontal es de las abscisas o el de las x y el eje vertical es de las ordenas o el de las y. observemos la siguiente Fig.: y P M r x

0 Q La posición de una partícula M situada en el plano esta determinado por dos magnitudes: la abscisa o la distancia 0Q medida entre el origen y la intersección en Q de la línea que pasa por M, y la ordenada o distancia 0P existen entre el origen y la intersección en P de una línea que pasa por M. por tanto: M = (x,y) Donde: x = 40

y = 30 M = (40, 30)

La posición de la partícula también puede representarse por el vector r llamado vector de posición, cuyas componentes rectangulares son x, y. Según el cuadrante en que se encuentran las coordinas están tenderán signo positivo o negativo:

YP

Primer cuadrante

Segundo cuadrante M X D Tercer

cuadrante

Cuarto cuadrante

S

En el primer cuadrante x, y son positivas M = (2, 2) En el segundo cuadrante x es negativa, y positivas P = (-2, 3) En el tercero cuadrante x, y son negativas D = (-2, 1-) En el cuarto cuadrante x es positiva y y en negativa S = (3, -2) Para determinar la posición de una partícula también se utiliza las llamadas coordenadas polares. Considerando la siguiente figura Q

x

r = 4.5 km 35° 0 La posición del punto Q queda determinada ppunto al origen 0, así como por el ángulo fo0x, recta del plano que recibe el nombre de eel punto Q las coordenadas polares son r Observamos que la posición del punto Q esvector de posición R cuya magnitud es de 4.35° respecto al eje polar.

or la distancia de este rmado por 0Q respecto je polar. Por tanto para = 45 km, θ = 35°. ta determinada por el

5 km con un ángulo de

DISTANCIA, DESPLAZAMIENTO, VELOCIDAD Y RAPIDEZ La distancia recorrida por un móvil es una magnitud escalar, ya que solo interesa saber cual fue la magnitud de la longitud recorrida por el móvil durante su trayectoria seguida, sin importar en que dirección lo hizo. Por ejemplo, si a una persona le recomiendan correr 3 Km. todos los días para mantener una buena condición física, no importa si lo hace en línea recta corriendo 1.5 Km. de ida y de 1.5 de regreso, o los recorre dando vueltas a un parque hasta completar los 3 kilómetros. En cambio, el desplazamiento de un móvil es una magnitud vectorial, pues corresponde a una distancia medida en una dirección particular entre dos puntos: el de partida y el de llegada. Así, una persona puede caminar 10 m al norte y 10 m al sur para regresar al mismo punto de donde partio. Tendremos entonces que su distancia recorrida es de 20 m, sin embargo, su desplazamiento es igual a cero, porque regreso al mismo lugar de partida.

VELOCIDAD Y RAPIDEZ La velocidad y la rapidez generalmente se usan como sinónimos en forma equivocada; no obstante, que la rapidez es una cantidad escalar que únicamente indica la magnitud de la velocidad; y la velocidad es una magnitud vectorial, pues para quedar bien definida requiere que señale, además de su magnitud, su dirección y su sentido. Cuando un móvil sigue una trayectoria en línea recta, recorriendo distancias iguales en cada unidad de tiempo, su rapidez y velocidad permanecen constantes; en cambio, si en una trayectoria curva el móvil logra conservar una rapidez constante, por ejemplo 30 km/h, su velocidad va cambiando, aunque su magnitud, o rapidez, no varía, pero su sentido si va modificándose. En conclusión, cuando en física se habla de velocidad, no se refiere solo a la rapidez con que se mueve un cuerpo, si no también en que dirección lo hace. La dirección de la velocidad de un cuerpo móvil queda determinada por la dirección en la cual se efectúa su desplazamiento. La velocidad de un cuerpo puede ser constante o variable. Por ejemplo, un ciclista al inicio de una carrera va aumentando paulatinamente su velocidad durante algunos tramos en línea recta, la conserva constante; al subir una cuesta reduce su velocidad, misma que se incrementa durante la bajada. Al final de la carrera, trata de incrementar al máximo su velocidad hasta llegar a la meta, después la va disminuyendo hasta detenerse totalmente. La velocidad se define como el desplazamiento realizado por un móvil, dividido entre el tiempo que tarda en efectuarlo.

tdv→

→

=

Donde = velocidad del móvil →

v

= desplazamiento del móvil. →

d t = tiempo Las unidades de velocidad son:

En el SI = m/s →

v

En el CGS = cm/s →

v

MOVIMIENTO RECTILÍNEO UNIFORME (M.R.U.) Cuando un móvil sigue una trayectoria recta en la cual realiza desplazamientos iguales en tiempos iguales se dice que efectuaran un movimiento rectilíneo uniforme. Supongamos que en 1 segundo, se habrá desplazado 2 metros; al transcurrir 2 segundos, se habrá desplazado 4 metros; al transcurrir 3 segundos se habrá desplazado 6 metros y así sucesivamente; en este caso observaremos que la velocidad permanece constante ya que por cada incremento en el tiempo de 1 segundo, tendrá un incremento de 2 metros en su desplazamiento. Para representar algún cambio en una variable se utiliza la letra griega ∆ (delta), por tanto, podemos escribir la formula de la velocidad en función de los cambios en su desplazamiento respecto al cambio en el tiempo de la siguiente formula:

22

12

ttdd

tdv

−−

=∆∆

=

→→→→

Siempre que se trate del movimiento en línea recta, recorriendo

desplazamientos iguales en tiempos iguales la relación td∆∆→

será un

valor constante donde td∆∆→

= k = constante

RESOLUCIÓN DE PROBLEMAS DE MOVIMIENTO RECTILÍNEO UNIFORME

Ejercicios resueltos

1. Encontrar la velocidad en m/s de un automóvil cuyo desplazamiento es de 7 km al norte en 6 minutos Datos: Fórmula:

smVt

kmd

/?.min6

7

===

td

=V

Conversión de unidades

mkm

mkm 70001

10007 =× ss 360min160min6 =×

Sustitución y resultado

smsmV /44.19

3607000

== Al norte

al norte

2. Determinar el desplazamiento en m que realizara un ciclista al viajar hacia el sur a una velocidad de 35 km/h durante 1.5 minutos Datos: Fórmula:

.min5.1/35

?

===

thkhV

md al sur vtd

tdV =∴=


sm

kmm

hkm 7.9

1100035 =× ss 90

min160min5.1 =×


mssmd 873907.9 =×= Al sur

EJERCICIOS PROPUESTOS DE MOVIMIENTO RECTILÍNEO

UNIFORME

1. Determinar el desplazamiento en metros de un automóvil que va a una velocidad de 80 km/h al este, durante 0.5 min.

Respuesta: d = 666 m al este 2. calcular el tiempo en segundos que tardara un tren desplazarse

3 km en línea recta hacia el sur con una velocidad de 70 km/h Respuesta. t = 154.1 s 3. un barco navega a una velocidad de 60 km/h en un río cuya

velocidad es de 15 km/h al norte. Calcular a. La velocidad del barco si va en la misma dirección y

sentido que la corriente del rió b. La velocidad del barco si va en la misma dirección, pero

en sentido contrario a la corriente del rió c. La velocidad del barco al cruzar el rió de una orilla a la

otra. Encontrar también la dirección que llevará el barco Respuestas:

a) v = 75 km/h al norte b) v = -45 km/h al sur c) la velocidad del barco al cruzar el rió es de 62 km/h con ángulo

de 14° en dirección noreste

RESOLUCIÓN DE PROBLEMAS DEL MOVIMIENTO RECTILÍNEO UNIFORMEMENTE VARIADO

Ejercicios Resueltos

1. Un automóvil adquiere una velocidad de 40km/h al sur en 4 s ¿Cuál es su aceleración en m/s2? Datos: Fórmula:

.4/40

/? 2

sthkhV

sma

===

al sur tva =


sm

sh

kmm

hkm 1.11

36001

1100040 =××


2/77.24

/1.11 sms

sma ==

2. Un motociclista lleva una velocidad inicial de 2 m/s al sur, a los

3 segundos su velocidad es de 6 m/s. Calcular a) Su aceleración media b) Su desplazamiento en ese tiempo

Datos: Fórmula:

.3

/6/2

?)?)

0

st

smVsmV

dbaa

f

=

====

2

2

0

0

attvd

tvv

a f

+=

−=


2/3.13

/2/6 sms

smsma =−

=

2)3(/33.13/2

22 ssmssmd +×= mmm 985.11985.56 =+= al sur

3. Determine la rapidez que llevara un ciclista a los 5 segundos, si

baja por una pendiente adquiere una aceleración de 1.5 m/s y parte con una rapidez inicial de 3 m/s Datos: Fórmula:

.5?

/3/5.1

0

2

st

VsmVsma

f

=

===

atvv f += 0


smsmsmsmsmv f /5.10/5.7/3)5/5.1/3 2 =+=×+=

4. Una lancha de motor parte del reposo hacia el sur y en 0.3

minutos alcanza una velocidad de 50km/h. Calcular: a) ¿Cuál fue su aceleración en m/s? b) ¿Cuántos metros se desplazo en ese tiempo? Datos: Fórmula:

min3.00

/50?)

/?)

0

2

=====

tV

hkhVmdb

smaa

t

2

2atd

tva

=

=


sm

sh

kmm

hkm 89.13

36001

1100050 =×× ss 18

min160min3.0 =×


a) 2/77.018

/89.13 sms

sma == al sur

b) mssmd 74.1242

)18(/77.0 2

== al sur

5. Un tren parte del reposo al este y experimenta una aceleración de 0.3 m/s2 durante 0.5 minutos. Calcular Datos: Fórmula:

2

0

/3.0min5.0

0?)?)

smatV

dbVa f

=

===

=

2

2atd

atVf

=

=


ss 30min160min5.0 =×


mssmd 1352

)30(/3.0 22

=×

=

smssmVf /930/3.0 2 =×= al este

6. Un móvil tiene una velocidad inicial de 4 m/s al sur y

experimenta una aceleración de 2 m/s la cual dura 12 segundos. Calcular a) ¿Qué desplazamiento tiene a los 12 segundos? b) ¿Qué velocidad lleva a los 12 segundos? Datos: Fórmula:

2

0

/212

/4?)?)

smast

smVdbVa f

=

===

=

2

2

0

0

attvd

tvv

a f

+=

−=


a) mmmssmssmd 192144482

)12(/212/422

=+=×

×= al sur

b) al este smsmsmssmsmVf /28/24/4)12/2(/4 2 =+=×+=

7. Un automóvil con una rapidez de 20km/h se lanza cuesta debajo de una pendiente y adquiere una rapidez de 70km/h en un minuto. Si se considera que su aceleración fue constante, calcular: a) La aceleración en m/s2 b) la distancia recorrida en metros durante ese tiempo

Datos: Fórmula:

min1

4/70/20

?)?)

0

=

====

t

kmVhkmV

dbaa

f

2

2

0

0

attvd

tvv

a f

+=

−=


sms

hkm

mh

kmV /55.53600

11

1000200 =××=

sms

hkm

mh

kmVf /44.193600

11

100070 =××=


a) 2/23.060

/55.5/19 sms

smsma =−

=

d) mmmssmssmVf 7474143332

)60(/23.060/554.522

=+=+×=

8. Una motocicleta arranca desde el reposo y mantiene una

aceleración constante de 0.14m/s2. calcular: a) ¿En que tiempo recorrerá una distancia de 1.3km? b) ¿Qué rapidez llevara en ese tiempo en m/s y en km/h? Datos: Fórmula:

mkmdsma

VVbta

f

13003.1/14.0

0?)

?)

2

0

===

=

==

adtatd

atVf

22

22

2

=∴=

=


a) ssmmt 28.136

/14.013002

2 =×

=

d) smssmVf /08.1928.136/14.0 2 =×=


skmh

sm

kmsm /7.68

13600

1000108.19 =××

9. un camión de carga que viaja al norte con una velocidad de

70km/h, aplica bruscamente los frenos y se detiene en 15 segundos. Calcular

a) La aceleración b) La distancia total recorrida desde que aplico los frenos hasta

detenerse c) La velocidad que lleva a los 6 segundos de haber aplicado los

frenos d) La distancia que recorrió durante los primeros 6 segundos de

haber frenado Datos: Fórmula:

?)?)

?)?)

/7015

6

6

0

===

==

=

salos

salos

total

ddVcdbaa

hkmVst

tVV

d

atVv

attVd

tVV

a

f

f

2

2

0

0

2

0

0

+=

+=

+=

−=


a) ssmmt 28.136

/14.013002

2 =×

=

d) smssmVf /08.1928.136/14.0 2 =×=


skmh

sm

kmsm /7.68

13600

1000108.19 =××

10. Un avión lleva una velocidad de 110 km/h al Norte en el

momento en que inicia su aterrizaje y ha recorrido 1.3 km antes de detenerse. Si la aceleración es constante determinar: a) La aceleración b) El tiempo que emplea para detenerse

c) La distancia que recorre a los 7 segundos de haber iniciado su aterrizaje

NOTA: De los resultados en el SI

Datos: Fórmula:

?)?)

?)13003.1

/55.30/110

7

0

=

==

====

segalos

enparar

dctbaa

mkmdsmhkmV

&

2

22

2

0

00

202

02

attVd

aVtatVV

dVaadVV

f

f

+=

−=∴+=

=∴+=


a) 22

/359.013002

)/55.30( smmsma −=

×−=

d) ssmsma 1.85

/359.0/55.30

2 =−

−= en detenerse

c) mmmssmssmd 05.2058.885.2132

)7(/359.07/55.3022

=−=−

+×=

CAÍDA LIBRE DE LOS CUERPOS EN REPOSO Y TIRO VERTICAL

CAÍDA LIBRE En cinemática, la caída libre es un movimiento de un cuerpo dónde solamente influye la gravedad. En este movimiento se desprecia el rozamiento del cuerpo con el aire, es decir, se estudia en el vacío. El movimiento de la caída libre es un movimiento uniformemente acelerado. La aceleración instantánea es independiente de la masa del cuerpo, es decir, si dejamos caer un coche y una pulga, ambos cuerpo tendrán la misma aceleración, que coincide con la aceleración de la gravedad (g). Esto lo podemos demostrar del siguiente modo: Aceleración en caída libre Sabemos por la segunda ley de Newton que la fuerza es igual al producto entre la masa del cuerpo y la aceleración.

La aceleración de la gravedad se indica con signo negativo, porque tomamos el eje de referencia desde él, los vectores ascendentes los consideraremos positivos y los descendentes negativos, la aceleración de la gravedad es descendentes, por eso el signo -. Donde:

: es la fuerza neta que actúa sobre el cuerpo. : es la masa del cuerpo

: es la aceleración del cuerpo, que determina su movimiento.

: es el peso del cuerpo, la fuerza con que la Tierra lo atrae

: es la aceleración de la gravedad, Luego:

Por lo tanto nos queda que la aceleración del cuerpo siempre coincide con la constante gravitatoria

Otra forma de demostrar que la aceleración de los cuerpos en caída libre en el vacío tiene que ser la misma sin importar el peso de los objetos, es mediante un simple desarrollo lógico: Supongamos dos cuerpos, el primero del doble de peso que el segundo. Ahora, interpretemos al primer objeto como dos de los segundos objetos unidos de alguna forma, entonces la aceleración del objeto más pesado debería ser la misma que la de cada uno de los dos objetos más livianos, puesto que si así no fuera entonces un cuerpo debería caer a diferentes velocidades dependiendo de si lo vemos como un solo objeto o como sus partes unidas. La aceleración de la gravedad en la Tierra varía según la altura respecto a la superficie. En la superficie de la Tierra está definida por 9.80665 m/s². La siguiente lista muestra las diferentes aceleraciones (múltiples valores de la constante g) en el Sol, las superficies de cada planeta del Sistema Solar y la de la Luna. Trayectoria en caída libre El movimiento del cuerpo en caída libre es vertical con velocidad uniformemente acelerado, con aceleración g constante, como ya hemos visto, veamos las ecuaciones de la velocidad y del espacio recorrido. Aunque no es necesario, en este caso, al ser un movimiento en una sola dimensión, todas las variables son exclusivamente verticales, emplearemos notación vectorial, que puede resultar artificiosa, para

este caso concreto, pero didáctica para casos en dos o tres

dimensiones, el vector unitario: vertical hacia arriba. La aceleración En caída libre la aceleración es la de la gravedad, que es vertical, hacia abajo y constante, como ya se ha dicho:

La velocidad Calcularemos la velocidad en función del tiempo, partiendo de la ecuación de la aceleración y de la definición de aceleración:

tenemos:

ordenando términos:

integrando:

extrayendo términos de la integral

realizando la integral:

ordenando términos

al ser un movimiento vertical

sustituyendo:

y ordenando:

La velocidad de un cuerpo en caída libre es igual a la velocidad inicial del cuerpo menos la aceleración de la gravedad por el tiempo, si la velocidad resultante es positiva, quiere decir que el cuerpo asciende, si es negativa que desciende. Un caso particular es cuando la velocidad inicial: V = 00 , en el que partiendo del reposo, la velocidad se incrementa, en modulo, a medida que pasa el tiempo, según una trayectoria vertical hacia abajo. Si lanzamos un cuerpo verticalmente hacia arriba, con una velocidad positiva V0, podemos calcular el instante en el que su velocidad sea cero, cuando la aceleración de la gravedad haya compensado la velocidad inicial, en ese instante el cuerpo esta en el punto mas alto de su trayectoria.

por tanto:

esto es:

por fin:

En este instante t, el cuerpo esta en el punto más alto de su trayectoria vertical, y su velocidad es cero. Partiendo de la ecuación de la velocidad y de la definición de velocidad, por un método similar podemos calcular la ecuación de posición del cuerpo, veamos:

lo que resulta:

ordenando:

integrando:

descomponiendo la integral:

realizando la integral:

ordenando:

al ser un movimiento solo vertical

sustituyendo:

ordenando:

Donde r0 es el vector de posición del cuerpo para t = 0. Tiro Vertical Al tirar una piedra hacia arriba, tenemos dos posibilidades: que la trayectoria sea rectilínea o que no lo sea. Del segundo caso nos ocuparemos al llegar al movimiento en dos dimensiones, mientras tanto razonemos lo que ocurre al tirar "verticalmente" una piedra hacia arriba. Primeramente analicemos si el tiro vertical es un movimiento acelerado o desacelerado. La velocidad con que arrojamos verticalmente hacia arriba una piedra, velocidad inicial, tiene que ser distinta de cero, sino caería. El

cuerpo va subiendo hasta que se detiene en una posición a la que denominaremos altura máxima (ymax). En esta posición, en la que se detuvo el objeto, la velocidad debe ser cero. Estamos frente a un movimiento desacelerado. Por comodidad, coloquemos sobre el sentido de la velocidad inicial el signo positivo. Dicho de manera más fácil, la velocidad inicial será siempre positiva, por ende su sentido será positivo. Todo vector que tenga su mismo sentido que la velocidad será positivo y aquel que vaya en sentido contrario será negativo. Este movimiento es desacelerado, la velocidad y la aceleración tienen distinto sentido, sus signos son opuestos, concluimos entonces que la gravedad tiene signo negativo. g = - 9,8 m/seg2. * Es importante destacar que cuando la piedra llegue a su altura máxima y comience a caer, el signo de su velocidad (durante la caída) será también negativo. Así pues, para el tiro vertical y la caída libre puede utilizarse:

como ecuación horaria. * En los problemas, para que resulte más fácil su resolución, utilizaremos como valor de la gravedad "– 10 m/seg2 ". Obtención de las ecuaciones mediante integrales: La aceleración es un vector que depende de la variación de la velocidad en función del tiempo. Si el intervalo de tiempo tiende a cero podemos hallar a la aceleración instantánea, para ello apliquemos el concepto de derivada.

Para hallar la ecuación de la velocidad en función del tiempo debemos aplicar integrales definidas, el límite de la integración será: t y to para el tiempo, v y vo para la velocidad.

v = a (t – to) + vo (1) La velocidad es otro vector que depende de la variación del espacio en función del tiempo. Cuando el intervalo tiende a cero obtenemos la velocidad instantánea.

Para hallar la ecuación del espacio en función del tiempo, llamada ecuación horaria, debemos aplicar nuevamente integrales definidas. El límite de la integración será: t y to para el tiempo, x y xo para las distintas posiciones.

Reemplacemos v por la ecuación (1), donde para facilitar la operación matemática supondremos que to = 0.

RESOLUCIÓN DE PROBLEMAS DE CAÍDA LIBRE Y TIRO VERTICAL

Ejercicios resueltos 1. Una piedra se deja caer desde la azotea de un edificio y tarda en

llegar al suelo 4 segundos. Calcular a) La altura de un edificio b) La velocidad con que choca en el suelo

Datos: Fórmula:

?)?)

/8.9

04

20

==

=

==

fVbha

msg

Vst

gtVV

gttVh

f +=

+=

0

2

0 2

Como V0 = 0; las ecuaciones quedan así:

gtV

gth

f =

=2

2


a) mssmh 4.782

)4(/8.9 22

−=−

=

El signo menos de la altura es por que se mide desde la azotea hasta el suelo b) smssmVf /2.394/8.9 2 −=×−=

El signo menos es porque la velocidad es hacia abajo

2. Un niño deja caer una pelota desde una ventana que esta a 60 m de altura sobre el suelo. a) ¿Qué tiempo tardara en caer? b) ¿Con qué velocidad choca contra el suelo?

Datos: Fórmula:

?)?)

/8.9600

2

0

==

=

−==

fVbta

msgmh

V

gtVghtgth

f =

=∴=2

2

2


ssm

mt 5.3/8.9

)60(22 =

−−

=

smssmVf /3.345.3/8.9 2 =×−=

3. Se lanza una piedra al vació con una velocidad de 5 m/s. Calcular

a) ¿Qué velocidad llevara a los 3 segundos de su caída? b) ¿Qué distancia recorrerá entre los segundos 3 y 4?

Datos: Fórmula:

?)?)

/8.9

/5

43

3

20

==

=

−=

syentre

salos

dbVa

msg

smV

2

2

0

0

gttVd

gtVVf

+=

+=


=×−+−= )3/8.9(/5 ssmsmVf

smsmsm /4.34/4.29/5 −=−−=

2)3(/83.93/5

22

3ssssmd s +×−=

mmm 1.591.4415 −=−−=

2)4(/83.9/5

22

4ssssmd s +×−=

mmm 4.984.7820 −=−−=

3.39)1.59(4.9834 −=−−−=− mmdd ss

4. Un cuerpo es lanzado verticalmente hacia arriba con una velocidad

de 29.4 m/s a) ¿Qué altura habrá subido al primer segundo? b) ¿Qué velocidad llevara al primer segundo? c) ¿Qué altura máxima alcanzara? d) ¿Qué tiempo tardara en subir? e) ¿Cuánto tiempo durara en el aire?

Datos: Fórmula:

?)

?)?)

?)?)

/8.9

/4.29

)(

)(

max

1

1

20

=

====

=

=

aire

subir

s

s

te

tdhcVbha

msg

smV

)()(

0)(

20

max

0

2

0

2)

)

2)

)2

)

subiraire

subir

f

tteg

Vtd

gVhc

gtVVb

gttVha

=

=

=

+=

+=


2)1(/8.91/4.29)

22 ssmssmha −+×=

mmsm 5.249.4/4.29 =−=

)1/8.9(/4.29) 2 ssmsmVb f ×−+=

smsmsm /6.19/8.9/4.29 =−=

msmsmhc 1.44

)/8.9(2)/4.29() 2

2

max =−

=

ssmsmtd subir 3

/8.9/4.29) 2)( =

−=

sste aire 6)3(2) )( ==

2.2 MOVIMIENTO EN DOS DIMENSIONES

TIRO PARABÓLICO Otro tipo de movimiento sencillo que se observa frecuentemente es el de una pelota que se lanza al aire formando un ángulo con la horizontal. Debido a la gravedad, la pelota experimenta una aceleración constante dirigida hacia abajo que primero reduce la velocidad vertical hacia arriba que tenía al principio y después aumenta su velocidad hacia abajo mientras cae hacia el suelo. Entretanto, la componente horizontal de la velocidad inicial permanece constante (si se prescinde de la resistencia del aire), lo que hace que la pelota se desplace a velocidad constante en dirección horizontal hasta que alcanza el suelo. Las componentes vertical y horizontal del movimiento son independientes, y se pueden analizar por separado. La trayectoria de la pelota resulta ser una parábola. Es un movimiento cuya velocidad inicial tiene componentes en los ejes x e y, en el eje y se comporta como tiro vertical, mientras que en el eje x como M.R.U. En eje x:

v = cte. a = 0 En eje y:

a = g vo ≠ 0 Tiro parabólico horizontal Se caracteriza por la trayectoria o cambio curvo que sigue un cuerpo al ser lanzado horizontalmente al vació, resultado de dos movimientos independientes: un movimiento horizontal con velocidades constantes y otro vertical, el cual se inicia con una velocidad cero y va aumentando en la misma proporción de otro cuerpo que se deja caer en el mismo punto en el mismo instante. La forma de la curva descrita es abierta, simétrica respecto a un eje y con un solo foco, es decir, una parábola. Por ejemplo, en la figura 1.1 se grafica el descenso al mismo tiempo de dos pelotas, solo que la pelota del lado derecho es lanzada con una velocidad horizontal de 15 m/s. Al termino del primer segundo ambas pelotas han recorrido 4.9 m en su caída, sin embargo, la pelota de la derecha también a avanzado 15 m respecto a su posición inicial. A los dos segundos ambas caídas ya ha recorrido 19.6 m en su caída, pero la pelota de la derecha ya lleva 30 m recorridos como resultado de su movimiento horizontal. Si se desea calcular la distancia recorrida en forma horizontal puede hacerse con la expresión: d = vt, pues la pelota lanzada con una velocidad horizontal tendrá una rapidez constante

durante su recorrido horizontal e independiente de su movimiento vertical originado por la aceleración de la gravedad durante su caída libre. 4.9 m

19.6 m 1 s15 m

44.1 m 2 s 30 m

78.4 m 3 s 45 m 4 s 60 m FIg. 1 La trayectoria de esde un avión en movimiento, es otro ejemplo de tiro parabólico horizontal. Supongamos que un avión vuela a 250 m/s y deja caer un proyectil, la velocidad adquirida por dicho proyectil, en los diferentes momentos de su caída libre, se puede determinar por medio del método del paralelogramo; para ello, basta representar mediante vectores las componentes horizontal y vertical del movimiento. Al primer segundo de su caída la componente tendrá un valor de 9.8 m/s, mientras la componente horizontal de su velocidad será la misma que lleva el avión al soltar el proyectil, es decir, 250 m/s. trazamos el paralelogramo y obtenemos la resultante de las dos velocidades. Al instante, dos segundos la componente vertical tiene un valor de 19.6 m/s y la horizontal, como ya señalamos, conserva su mismo valor: 250 m/s. así continuaríamos hasta que el proyectil llegue al suelo.

scrita por un proyectil cuya caída es d

iro parabólico oblicuo

e caracteriza por la trayectoria que sigue un cuerpo cuando es

T Slanzado con una velocidad inicial que forma un ángulo con el eje horizontal.

RESOLUCIÓN DE PROBLEMAS DE TIRO PARABÓLICO Ejercicios Resueltos

1. Se lanza una piedra horizontalmente con una velocidad de 25 m/s desde una altura de 60 m. Calcular:

a) El tiempo que tarda en llegar al suelo b) La velocidad vertical que lleva a los 2 segundos c) La distancia a la que cae la piedra

Datos: Fórmula:

?)?)

?)60

/25

2

)(

==

=−==

H

s

caer

H

dcVb

tamh

smV

tVdcgtVb

ghta

HH

s

caer

==

=

))

2)

2

)(


ssm

mta caer 5.3/8.9

)60(2) 2)( =−

−=

smssmVb s /6.192/8.9) 2

2 −=×−=

mssmdc H 5.875.3/25) =×=

2. un jugador le pega a una pelota con un ángulo de 37° con

respecto al plano horizontal, comunicándole una velocidad inicial de 15 m/s. Calcular:

a) El tiempo que dura la pelota en el aire b) La altura máxima alcanzada c) El alcance horizontal de la pelota

Datos: Fórmula:

??

?37

/15

max

)(

0

==

=°=

=

H

aire

dh

t

smVθ

)(

20

max

)(

0

00

)2

)

2)

cos

0

aireHH

v

Vaire

h

v

tVdcg

Vhb

gta

vVsenvV

v

=

−=

=

==

θθ


smsmV v /027.96018.0/150 =×= smsmVh /979.117986.0/15 =×=

ssm

smta aire 842.1/8.9

/027.92) 2)( =−×

−=

)/8.9(2)/027.9() 2

2

max smsmhb

−−= =4.157m

mssmdc H 06.22842.1/979.11) =×=

3. Un proyectil se lanza con una velocidad inicial de 200 m/s, si se

desea que de un blanco localizado a 2500 m, calcular a) El ángulo con el cual debe ser lanzado b) El tiempo que tarda en llegar al blanco Datos: Fórmula:

??

2500/200

)(

0

====

aire

H

t

mdsmV

θ

θ

θ

θ

senvVgvtb

vgdsen

gsenVda

v

vaire

h

h

00

0)(

20

20

2)

2

2)

=

=

=−

−=


ssm

smt

smsxmsenvvgvtb

senoesangulocuyosen

smsmmsena

aire

v

vaire

18.13/8.9

/6.642/6.6403230./200º88.18

2)

'53º18º88.18º76.3726125.02

6125.02)/200(

)/8.9(25002)

2)(

00

0)(

2

2

=−×

=

===

=

===

=

−=−

θθ

θ

θ

MOVIMIENTO CIRCULAR Este movimiento se produce cuando un cuerpo con velocidad angular constante describe ángulos iguales en tiempos iguales. El origen de este movimiento se debe a una fuerza constante, cuya acción es perpendicular a la trayectoria del cuerpo y produce una aceleración que afectara solo la dirección del movimiento sin modificar la magnitud de la velocidad, es decir, la rapidez que lleva el cuerpo. Por tanto, en movimiento circular uniforme el vector velocidad mantiene constante su magnitud, pero no su dirección, toda vez que este siempre se conserva tangente a la trayectoria del cuerpo. Velocidad angular media Cuando la velocidad angular de un cuerpo no es constante o uniforme, podemos determinar ka velocidad angular media al conocer su velocidad angular inicial y su velocidad angular final:

20ϖϖ

ϖ−

= fm

Donde: mϖ = velocidad angular media en rad/s

fϖ = velocidad angular final en rad/s

0ϖ = velocidad angular inicial en rad/s

La velocidad angular representa el cociente entre el desplazamiento angular de un cuerpo y el tiempo que tarda en efectuarlo:

tmθϖ =

Donde: ϖ = velocidad angular en rad/s θ = desplazamiento angular en rad t = tiempo en que efectúa el desplazamiento en segundos(s)

La velocidad angular también se puede determinar si sabemos el tiempo que tarda en dar una vuelta completa:

Tπϖ 2

= en rad/s

Como T = 1/F ϖ = 2π F en rad/s

INTERPRETACIÓN DE GRAFICAS DESPLAZAMIENTO ANGULAR-TIEMPO Y VELOCIDAD ANGULAR-TIEMPO

Como los movimientos rectilíneo uniforme y circular uniforme son muy similares, la interpretación de gráficas para el movimiento circular uniforme será en forma idéntica a la realizada para el movimiento rectilíneo uniforme. Sin embargo, es conveniente recordar que uno tiene una trayectoria circular y otro una trayectoria rectilínea. Además, en el movimiento rectilíneo uniforme la velocidad y la rapidez son constantes porque caen en línea recta. En cambio, en el circular uniforme solo permanece constante la rapidez, es decir, la magnitud de la velocidad angular, pues esta cambia de dirección, misma que siempre será tangente a la circunferencia y, por tanto, perpendicular al radio de la misma como se ve en la siguiente figura.

v v

v

v

RESOLUCIÓN DE UN PROBLEMA DE INTERPRETACIÓN DE GRAFICAS PARA MCU

En el movimiento circular uniforme de un cuerpo se obtuvieron los siguientes datos:

1. graficar el desplazamiento en función del tiempo e interpretar el significado físico de la pendiente obtenida al unir dos puntos.

2. Graficar la velocidad angular del cuerpo en función del tiempo e interpretar el significado físico del área obtenida al unir los puntos.

MOVIMIENTO CIRCULAR UNIFORMEMENTE VARIADO

(M.C.U.V.) Este movimiento se presenta cuando un móvil con trayectoria circular aumenta en cada unidad de tiempo su velocidad angular es forma constante, por lo que su aceleración angular permanece constante.

Velocidad angular instantánea.

a velocidad angular instantánea representa el desplazamiento Langular efectuado por un móvil en un tiempo muy pequeño que casi tienda a cero.

ttinst ∆∆

→∆=

θϖ0

lim

celeración angular media

uando durante el movimiento circular de un móvil su velocidad

A Cangular no permanece constante, sino que varía, decimos que sufre una aceleración angular. Cuando la velocidad angular varía es conveniente determinar cual es su aceleración angular media, misma que se expresa de la siguiente forma:

ttt f

ffm ∆

∆=

−−

=ωωω

α0

celeración angular instantánea

uando en el movimiento acelerando de un cuerpo que sigue una

tan pequeño que tiende a cero, la

A Ctrayectoria circular, los intervalos de tiempo considerados son cada vez más pequeños, la aceleración angular media se aproxima a una aceleración angular instantánea. Cuando el intervalo de tiempo esaceleración angular del cuerpo será la instantánea.

ttinst ∆∆

→∆=

ϖα0

lim

S, DESPLAZAMIENTO ANGULAR-TIEMPO, VELOCIDAD

El movimiento rectilíneo uniforme tiene gran similitud con el circular

GRAFICAANGULAR-TIEMPO Y DESPLAZAMIENTO ANGULAR-TIEMPO AL

CUADRADO, PARA EL M.C.U.V.

uniforme, al igual que lo tiene el rectilíneo uniformemente variado con el circular uniformemente variado. Así, en una gráfica, desplazamiento angular-tiempo, la pendiente de la curva representa la velocidad angular; en una grafica velocidad angular-tiempo, el área bajo la curva representa el desplazamiento angular; en una gráfica desplazamiento angular-tiempo al cuadrado, la pendiente de la recta representa un medio de la aceleración angular.

RESOLUCIÓN DE UN PROBLEMA INTERPRETACIÓN DE GRAFICAS PARA M.C.U.V.

En el movimiento circular uniformemente variado de un cuerpo se obtuvieron los siguientes datos:

Cuadro de datos de movimiento circular uniformemente variado Tiempo (s) Desplazamiento

angular (radianes) Velocidad angular instantánea rad/s

1 2 3 4 5 6

1 4 9 16 25 36

2 4 6 8 10 12

Con los datos de la tabla realice lo siguiente:

1. Graficar el desplazamiento en función del tiempo e interpretar el significado físico de la curva obtenida al unir los puntos

2. Grafica el desplazamiento en función del tiempo elevado al cuadrado e interpretar el significado físico de la recta obtenida al unir los puntos. Determinar el valor de la pendiente.

3. Graficar los datos de la velocidad instantánea en función del tiempo y hallar el valor de la pendiente de la recta obtenida al unir los puntos. ¿Cuál es el significado físico de la pendiente de la recta?

Solución: 1.

0

10

20

30

40

0 1 2 3 4 5 6

Θ rads

t(s)

Al unir los puntos se obtiene una curva que representa la velocidad angular del móvil, la cual aumenta en forma constante mientras trascurre el tiempo. 2.

Θ(rad)

Al graficar el desplazamiento angular en función del tiempo al cuadrado encontramos una recta que representa un valor constante cuyo valor será igual a la pendiente de la recta:

22222 /1

1616

925925 srad

srad

ssradrad

tK ==

−−

=∆∆

=θ

Este valor representa la mitad de la aceleración angular que tiene el móvil durante su movimiento. Por tanto, la aceleración angular es igual a:

α = 2k = 2 rad/s2

La pendiente que resulta de graficar la velocidad angular instantánea en función del tiempo, representa la aceleración angular del cuerpo, cuyo valor constante es:

23

/625

/4/10==

−−

=∆∆

=s

sradss

sradsradtϖα

ECUACIONES UTILIZADAS EN EL MOVIMIENTO CIRCULAR

UNIFORMEMENTE VARIADO (M.C.U.V.) Las ecuaciones empleadas para el movimiento circular uniformemente variado son las mismas que se utilizan para el rectilíneo uniformemente variado con las siguientes variantes:

∆t

∆ω

T(s)

ωinst(rad)

1 2 3 4 5 6

5 10 15

α =aceleración angular

∆t2

∆t2

T2(s2)

αθ21

2 =∆∆

=t

K

5 10 15 20 25 30

10 20 30

1. En lugar de desplazamiento en metro hablaremos de

desplazamiento angular en radianes (θ en lugar de d) 2. La velocidad en m/s se dará como velocidad angular en

radianes/s (ω en lugar de v) 3. La aceleración en m/s2 se cambiara a aceleración angular en

radianes/s2 (α en lugar de a) En conclusión, las ecuaciones serán:

a) para calcular desplazamientos angulares:

1. 2

2

0tt αϖθ +=

2. αϖϖ

θ2

20

2 −+= f

3. tf

20ϖϖ

θ−

+=

Si el cuerpo parte del reposo su velocidad angular inicial ( 0ϖ ) es cero,

y las tres ecuaciones anteriores se reducen a:

1. 2

2tαθ =

2. α

ϖθ

2

2f=

3. tf

2ϖ

θ =

b) Para calcular velocidades angulares finales

1. tf αϖϖ += 0

2. αθϖϖ 220

2 +=f

Si el cuerpo parte del reposo su velocidad inicial ( 0ϖ ) es cero, y las

dos ecuaciones anteriores se reducen a:

1. tf αϖ =

2. αθϖ 22 =f

VELOCIDAD LINEAL TANGENCIAL Cuando un cuerpo se encuentra girando, cada una de las partículas del mismo se mueve a lo largo de la circunferencia descrita por él con una velocidad lineal mayor a medida que aumenta el radio de la circunferencia. Esta velocidad lineal también recibe el nombre de tangencia, porque la dirección del movimiento siempre es tangente a la circunferencia recorrida por la partícula y representa la velocidad que llagaría esta si disparada tangencialmente como se ve a continuación:

VL

VL

VL Para calcular el valor de la velocidad tangencial o lineal se usa la ecuación:

TrVLπ2

=

Donde r = radio de la circunferencia en metros (m) T = periodo en segundos (s) VL= velocidad lineal en m/s

Como Tπϖ 2

= la velocidad lineal puede escribirse:

rVL ϖ=

Donde VL = velocidad lineal en m/s ω = velocidad angular en rad/s r = radio de la circunferencia en metros (m)

ACELERACIÓN LINEAL Y RADIAL

Aceleración lineal

Una partícula presenta esta aceleración cuando durante su movimiento circular cambia su velocidad lineal ( 0LL VV

f− ):

)1...(0

t

VVa LL

Lf−

=

Como VL = ωr . . . (2)

)3...(00

ttrr

a ffL

ϖϖϖϖ −=

−=

Sabemos que )4...(0

tf ϖϖ

α−

=

Sustituyendo 4 en 3 nos queda:

raL α= Donde aL = aceleración lineal en m/s2

α = aceleración angular en rad/s2

r = radio de la circunferencia en metros (m) Aceleración radial En un movimiento circular uniforme la magnitud de la velocidad lineal permanece constante, pero su dirección cambia permanentemente en forma tangencial a la circunferencia. Dicho cambio en la dirección de la velocidad se debe a la existencia de la llamada aceleración radial o centrípeta. Es radial porque actúa perpendicularmente a la velocidad lineal y centrípeta porque su sentido es hacia el centro de giro o eje de rotación. Su expresión es:

rVa L

r

2

=

Donde ar = aceleración lineal en m/s2

VL = velocidad lineal del cuerpo en m/s r = radio de la circunferencia en metros (m) Como VL = ωr

rr

rrar

222)( ϖϖ==

rar

2ϖ=

Donde ar = aceleración radial en m/s2

ω = velocidad angular en rad/s r = radio de la circunferencia en metros (m) Como la aceleración lineal representa un cambio en la velocidad lineal y la aceleración radial representa un cambio en la dirección de la velocidad, se puede encontrar la resultante de las dos aceleraciones mediante la suma vectorial de ellas, como se ve a continuación en la figura:

ar

aL

a resultante

La resultante de la suma vectorial de la aceleración lineal y la aceleración radial es igual a:

22tan rLteresul aaa +=

RESOLUCIÓN DE PROBLEMAS DEL MOVIMIENTO CIRCULAR Ejercicios Resueltos

1. Un móvil con trayectoria circular recorrió 820º ¿Cuántos radianes fueron? Solución: 1 rad = 57.3º

31.14º3.57

1º820 =×rad

Radianes

2. Un cuerpo A recorrió 515 radianes y un cuerpo B recorrió 472

radianes. ¿A cuántos grados equivalen los radianes en cada caso? Solución:

Cuerpo A: º5.295091

º3.57º515 =×rad

Cuerpo B: º6.270451

º3.57º472 =×rad

3. ¿Cuál es la velocidad angular de una rueda que gira

desplazándose 15 rad en 0.2 segundos? Datos: Fórmula:

strad

2.015?

===

θω

tθω −=


srads

rad /752.0

15=−=ω

4. Determinar la velocidad angular y la frecuencia de una piedra

atada a un hilo, si gira con un periodo de 0.5 s. Datos: Fórmula:

sTF

5.0??

===ω

TF

T1

2

=

−=πω


srads

/56.125.01416.32

=×

−=ω scicloss

F /25.01

==

5. Hallar la velocidad angular y el periodo de una rueda que gira con una frecuencia de 430 revoluciones por minuto Datos: Fórmula:

?430?

===

TrpmF

ω

FT

T1

2

=

−=πω


srevs

rpm /17.760min1430 =×

srad /4517.71416.32 =××=ω

revssrev

T /139.0/17.7

1==

6. Encontrar la velocidad angular de un disco de 45 rpm, así como

su desplazamiento angular, si su movimiento duro 3 minutos.

Datos: Fórmula:

strpmF

180min345??

=====

θω

tF

ωθπω

== 2


srevs

rpm /75.060min145 =×

sradsrev /71.4/75.01416.32 =××=ω radssrad 8.847180/71.4 =×=θ

fisica unidad2 movimiento

Documents