FISICA I

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“Si el alumno no supera al maestro, ni es bueno el alumno; ni es bueno el maestro” (Proverbio Chino)

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Conjuntos numéricos

- Conjunto de los números naturales (N)

Surgieron en el proceso de aprendizaje que tuvo el hombre cuando descubrió la forma de contar. Son los números más simples de los que hacemos uso, están formados por los números 1,2,3,4,5...

El conjunto de los números naturales, se define por extensión de esta forma:

- Conjunto de los números enteros (Z)

Surgen como la necesidad que vio el hombre de reunir en un solo conjunto a los enteros positivos (naturales) con los enteros negativos y con el elemento cero. El conjunto de los números enteros incluye a los naturales

Naturaleza de los números enteros positivos

Los números enteros pueden definirse de la siguiente forma: Sean dos números cualesquiera cuyo resultado en la división sea entera (no arroje ningún resto, o el resto sea cero) el resultado obtenido es un número entero.

Números Enteros Negativos

Surgen por la necesidad que tuvo el hombre de expresar situaciones tales como: Temperaturas bajo cero, deudas, posiciones bajo el nivel del mar (10 pies bajo el nivel del mar, por ejemplo). Se denotan por _-y están formados por los números inversos aditivos de los naturales.

_- = { ……, - 4, - 3, - 2, - 1}

- Conjunto de los números fraccionarios (F)

Surgen por la necesidad que tuvo el hombre de tomar algunas partes de la unidad. Son todos

aquellos fraccionarios que se pueden expresar de la formaq

p, donde p y q son enteros, por ejemplo:

5

3;

3

2; etc.

En general:

Los números enteros son también racionales porque se les puede colocar como denominador la unidad (1).

- Conjunto de números racionales (Q)

El conjunto de los números racionales es igual a la suma del conjunto de los números enteros y los fraccionarios.

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- Conjunto de números irracionales (I)

En matemáticas, un número irracional es cualquier número real que no es racional, es decir, es un

número que no puede ser expresado como una fracciónq

p, donde p y q son enteros, con q diferente de

cero y donde esta fracción es irreducible.

Ejemplos:

- El número = 3,1416… razón entre la longitud de una circunferencia y su diámetro.- El número e = 2,7182…

- 2

- Conjunto de números reales (R)

Surgen de la necesidad de reunir los racionales y los irracionales en un solo conjunto. Se denotan por R.

Propiedades de los números Reales

Para todo número real a, b y c:

Propiedad Conmutativa: a + b = b + a (de la suma).

a • b = b • a (de la multiplicación)

Ejemplos: 5 + 3 = 3 + 5

2 x 4 = 4 x 2

Propiedad Asociativa: a + (b + c) = (a + b) + c (de la suma)

a • (b • c) = (a • b) • c (de la multiplicación)

Ejemplos: 2 + (3 + 4) = (2 + 3 ) + 4

5 x (1 x 7) = (5 x 1) x 7

Propiedad neutra de la suma: a + 0 = a

Ejemplos: 8 + 0 = 8; -4 + 0 = -4

Propiedad neutra de la multiplicación: a • 1 = a

Ejemplos: 9 x 1 = 9; -3 x 1 = -3

Propiedad del Inverso Aditivo (simétrica) : a + (-a) = 0

Ejemplo: 6 + (-6) = 0

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Propiedad del Inverso Multiplicativo (simétrica) :a . (1/a)= 1

Ejemplos: 5. 1/5 = 1; 123. 1/123 = 1

Propiedad Distributiva: a • (b + c) = a • b + a • c (del producto con respecto a la suma y/o Resta).

Ejemplo: 5 • (3 + 4) = 5 • 3 + 5 • 4

Propiedad de completez

Siempre entre dos números reales hay otro número real; de ahí que se asocie al conjunto de los números reales con una recta. La recta está formada por infinitos puntos y cada punto en la recta le corresponde un número real y a cada número real le corresponde un número en la recta.

Potenciación entera

POTENCIAS DE EXPONENTE ENTERO Y BASE UN NÚMERO REAL. La potenciación es una expresión

matemática que incluye dos términos denominados: base a y exponente n. Se escribe na , y se lee: «a

elevado a n». Su definición varía según el conjunto numérico al que pertenezca el exponente:

Cuando el exponente es un número natural, equivale a multiplicar un número por si mismo varias veces: el exponente determina la cantidad de veces.

Por ejemplo: Sea a=3 y n=5 (n=número natural distinto de cero), se define potencia de base 3 y

exponente 5 a: 53 3.3.3.3.3

Propiedades de la potenciación

Multiplicación de potencias de igual base

El producto de dos o más potencias de igual a base «a» es igual a la potencia de base a y exponente igual a la suma de los exponentes respectivos.

Ejemplos:

División de Potencias de Igual Base

La división de dos potencias de igual base a es igual a la potencia de base a y exponente igual a la resta de los exponentes respectivos (la misma base y se restan los exponentes.

Potencia de una potencia

La potencia de una potencia de base a es igual a la potencia de base a elevada a la multiplicación de ambos exponentes.

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Potencia de base 10

En las potencias con base 10, el resultado será la unidad seguida de tantos ceros como indica la cifra del exponente.

Ejemplos:

Potencia de un producto

La potencia de un producto es igual a cada uno de los factores del producto elevados al exponente de dicha potencia. Es decir, una potencia de base (a.b) y de exponente "n", es igual al factor "a" elevado a "n" por el factor "b" elevado a "n"

Propiedad distributiva

La potenciación es distributiva con respecto a la multiplicación y a la división:

pero no lo es con respecto a la suma ni a la resta.

¿Cómo se resuelven los ejercicios combinados?

Los ejercicios combinados, done podemos encontrar paréntesis, corchetes y llaves, se resuelven eliminando los mismos desde adentro hacia fuera.

Ejemplo:

3+{2-[4.(3-2)]-1}=3+{2-[4.1]-1}

3+{2-4-1}3-3 = 0

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Propiedad fundamental

d

c

b

abcda ..

Máximo común divisor (MCD)

Mínimo común múltiplo (MCM)

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Números periódicos

Se divide al 5 por tantos 9 como unidades periódicas haya.

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Fracciones mixtas

Resolución de ecuaciones

Dada una ecuación, el álgebra se ocupa de encontrar sus soluciones siguiendo el concepto general de identidad a = a.

Siempre que se apliquen las mismas operaciones aritméticas o algebraicas en ambos lados de la ecuación la igualdad se mantiene inalterada.

La estrategia básica es despejar la incógnita en un lado de la igualdad y la solución será el otro lado. Por ejemplo, para resolver la siguiente ecuación lineal con una incógnita 5x + 6 = 3x + 12 los términos que contienen la variable se despejan en un lado y las constantes en el otro.

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5x - 3x = 12 – 62x = 6

x = 2

6

x = 3

Para comprobar este resultado basta con sustituir el valor x = 3 en la ecuación original:

“En la mayoría de los países no interesa educar al pueblo, porque cuando aprende a leer se interesa por los problemas y pide cuentas; los analfabetos no dicen nada”

(Plácido Domingo)