Universidad Pedagogica Nacional

Departamento De Fisica

Guıa Uno: Repaso de Electromagnetismo.

OBJETIVOS

Recordar conceptos basicos de electromagnetismovistos en cursos anteriores.

Identificar y analizar las leyes de Maxwell para laresolucion de futuros problemas.

1. Electromagnetismo.

Al finalizar el siglo XIX muchos de los fenomenos electri-cos y magneticos eran de por si bien conocidos, se sabia quehay dos tipos de cargas electricas que se atraen o se repelencon una fuerza cuya magnitud fue establecida por CharlesAugustin de Coulomb (1736-1806) y que es inversamenteproporcional al cuadrado de la distancia entre ellas y directa-mente proporcional al producto de sus cargas, se sabıa tam-bien que trozos de magnetita (iman natural) pueden atraerseo repelerse entre si y que suspendidas libremente se orientanen direccion norte-sur lo que condujo al util invento de labrujula, fue ası como electricidad y magnetismo se desarrol-laron como ciencias independientes una de la otra, hasta queen el ano 1820 un docente de fısica danes, mientras dictabasu clase, se dio cuenta de que existıa una interaccion en-tre los imanes y la electricidad en movimiento, ya que unabrujula se orientaba perpendicularmente a un alambre concorriente, a esta interaccion Hans Christian Oersted (1777-1851) la llamo electromagnetismo y no fue la unica, posterior-mente Andre Marie Ampere (1775-1836) y Michael Faraday(1791-1867) mostrarıan que corrientes electricas producenefectos magneticos e imanes en movimiento producen corri-entes electricas. En 1864 se formularon cuatro ecuaciones quesintetizaron las interacciones entre electricidad, magnetismoy las propiedades de cada uno y ademas, predijeron la exis-tencia de ondas electromagneticas ası como su velocidad, laimportancia de dichas formulaciones radica en la expresionmatematica del electromagnetismo y son fruto del trabajo deJames Clerk Maxwell (1831-1879), posteriormente HeinrichHertz (1857-1894) produjo ondas cortas de radio, una apli-cacion practica de las ondas electromagneticas de Maxwell.

2. La Carga Electrica.

Por experiencia en el laboratorio sabemos que al frotaruna barra de plastico con piel animal adquiere carga neg-ativa y al frotar una barra de vidrio con un trozo de sedaadquiere carga positiva, sabemos tambien que cargas op-

uestas se atraen y cargas iguales se repelen y que un cuerpo sepuede electrificar por conduccion o por induccion. Cuan-do la materia que se encuentra en un sistema determinadono atraviesa los limites de este decimos que dicho sistemaesta aislado, partiendo de esto se enuncia la ley de conser-vacion de la carga: La carga electrica total en un sistemaaislado nunca varıa.1Ademas, la carga esta cuantizada,es decir, la magnitud de la carga del electron o del protones una unidad natural de carga y toda cantidad observablede carga electrica siempre sera un multiplo entero de estaunidad basica.

2.1. Interaccion Entre Partıculas Cargadas.

Cuando dos partıculas cargadas electricamente interactuan,ejercen entre si una fuerza conocida como fuerza electrica,Charles Augustin de Coulomb (1736-1806) estudio con de-talle esta fuerza y enuncio que la magnitud de cada una delas fuerzas electricas con que interactuan dos cargas pun-tuales es directamente proporcional al producto de las cargase inversamente proporcional al cuadrado de la distancia quelas separa. Figura 1.

F = k|q1q2|

r2(1)

+q

+Q

+Q

-q

r

F+Q-qF-q+Q

F+q+Q F+Q+q

Figura 1: Fuerza entre partıculas cargadas. Cargas iguales se repeleny cargas opuestas se atraen.

1Por carga electrica total se entiende la suma algebraica de lacarga positiva y la carga negativa presente en cierto instante.

1

Esta llamada Ley de Coulomb es un buen ejemplo deuna ley de accion a distancia de una carga sobre otra cuan-do se conoce la separacion entre ellas, sin embargo, no nosda cuenta de como la primera carga ”se percata”de que lasegunda se encuentra allı y se asume que la accion fue in-stantanea.

Debido a esto, es conveniente considerar que una cargafuente ubicada en un punto del espacio tiene un efecto sobreel campo que la rodea y que a su vez este campo afecta a unacarga ubicada dentro de el, es decir, el campo es un medio en-tre las cargas que permite su interaccion y es llamado campoelectrico, este concepto nos ofrece otra manera de formularla ley de Coulomb, ya que la fuerza electrica sobre un cuerpocargado es ejercida por el campo electrico creado por otroscuerpos cargados. La intensidad de campo electrico E es lafuerza sobre una carga de prueba en un punto del campo deuna carga fuente.

E = F/q0 (2)

La unidad de magnitud de intensidad de campo electrico Ees N/C. Como la fuerza es una magnitud vectorial, el campoelectrico tambien lo es, si la carga de prueba es positiva elcampo tiene la misma direccion de la fuerza mientras quesi la carga de prueba es negativa el campo tiene direccionopuesta a la fuerza. Graficamente E se representa mediantelıneas de fuerza, que son rectas o curvas imaginarias que setrazan en una region del espacio (de cargas positivas a cargasnegativas) y cuyas tangentes muestran la direccion del vectorcampo electrico en un punto dado, estas nunca se cruzan ysu separacion da la idea de la magnitud del campo. Figura2.

+ -

Figura 2: Campo electrico de una carga puntual positiva y una cargapuntual negativa.

Las partıculas cargadas en reposo son fuentes de camposelectricos, sin embargo cuando una partıcula cargada esta enmovimiento ademas de generar este campo tambien induceun campo magnetico, este campo usualmente es asociadoa imanes permanentes cuyas propiedades fueron estudiadasdurante siglos, sin embargo en un iman el movimiento decargas se encuentra en el movimiento de los electrones quelo conforman. El campo magnetico tambien es una magnitudvectorial y ası mismo se puede representar mediante lıneas de

induccion (analogas a las lıneas de fuerza del campo electri-co), figura 3. La induccion magnetica B se define partien-do del hecho de que si una carga positiva de prueba q0 quese mueve con una velocidad v es desviada por una fuerza Fen un punto P, entonces hay una induccion magnetica B enel punto P, siendo B un vector que satisface la relacion:

F = q0v×B (3)

Donde F es la fuerza magnetica perpendicular al planoformado por v y B. F se anula cuando v es cero o paralela aB y toma su maximo valor cuando v es perpendicular a B :F = q0vB. La unidad de B es N · s/m2 tambien conocidacomo weber/m2.

N

S

Figura 3: Campo magnetico alrededor de un iman recto.

La ley de Coulomb expresa la fuerza ejercida sobre unapartıcula cargada en movimiento o en reposo producida poruna carga en reposo ası como la fuerza magnetica esta aso-ciada a las cargas fuente que se encuentran en movimiento.Si una partıcula cargada se mueve en un medio en el quehay tanto un campo electrico como un campo magnetico, lafuerza resultante sobre la partıcula es la suma de la fuerzaelectrica mas la fuerza magnetica, es decir una fuerza elec-tromagnetica expresada por:

F = q0E + q0v×B (4)

Con esta formula se pueden definir B y E en funcion dela fuerzas que se ejercen sobre las cargas en diversos esta-dos de movimiento (incluyendo el reposo) en un punto dado,es conocida como fuerza de Lorentz en homenaje a H.ALorentz.

3. Ecuaciones de Maxwell.

Las leyes que se veran a continuacion relacionan entre sı elcampo magnetico, el campo electrico y las corrientes y car-gas que los crean. A lo largo del siglo XIX diferentes cientıfi-cos conocieron de estas leyes a partir de metodos empıricos,pero fue Maxwell quien se dio cuenta de que con tan soloestas cuatro ecuaciones se describe el electromagnetismo ensu totalidad; estas ecuaciones se expresan normalmente ensu forma integral, como se ve aquı, ya que ası es posible uti-lizarlas en problemas muy concretos en que la geometrıa delsistema presenta simetrıas que faciliten la integracion, para

2

otro tipo de problemas se usan las ecuaciones en su formadiferencial.

3.1. Ley de Gauss para La Electricidad.

El flujo electrico a traves de una superficie cerrada esproporcional a la carga total encerrada. Figura 4

ε0

∮E · dS = q (5)

Donde ε0 se llama constante de permitividad (ε0 = 8,85 ×10−12C2/N − m2) y q es la carga neta encerrada por unasuperficie gaussiana. Esta ecuacion expresa la geometrıa delcampo electrico, es decir como una fuente de campo electricomodifica el espacio, se dedujo a partir de experimentos enlos que cargas iguales se repelen y cargas diferentes se atraensegun la inversa del cuadrado de la distancia que las separa yademas se evidencio que una carga aplicada a un conductoraislado se mueve a su superficie exterior.

+

+

+

+

+ +

+

++

+

++

+-

-

-

-

- -

-

--

-

--

-

--

-

-

--

Φtotal = 0

Φ <total 0Φ >total 0 E

Figura 4: Flujo electrico a traves de una superficie cerrada.

3.2. Ley de Gauss Para El Magnetismo.

El flujo magnetico a traves de una superficie cerrada escero. ∮

B · dS = 0 (6)

Esta ley expresa que no existen monopolos magneticos ası co-mo es imposible crearlos y describe el campo magnetico.

3.3. Ley de Ampere-Maxwell.

Las corrientes electricas ası como las variaciones del flujode campo electrico generan campos magneticos.

∮B · dl = µ0(ε0

dφE

dt+ i) (7)

Donde µ0 se llama constante de permeabilidad (µ0 = 4π ×10−7weber/amp −m) y dφE es el flujo de campo electrico.Con esta ecuacion Ampere describe el efecto magnetico de

una corriente o un campo electrico que cambia, figura 5. De-spues Maxwell verıa experimentalmente el hecho de que lavelocidad de la luz se puede calcular mediante medicionespuramente electromagneticas. Este es el principio del elec-troiman.

I

+

-

B

Figura 5: Campo magnetico alrededor de un cable por el que circulacorriente.

3.4. Ley De Induccion De Faraday.

La variacion del flujo de campo magnetico a traves de unaespira induce una corriente. Figura 6.

∮E · dl = −dφB

dt(8)

Donde φB es el flujo de campo magnetico. Esta ecuaciondescribe el efecto electrico de un campo magnetico cambiantepartiendo de la experiencia en la que un iman recto pasapor una espira cerrada de alambre e induce corriente en laespira, ya que el campo electrico generado mueve las cargasa lo largo de la espira produciendo una corriente electrica.Este es el principio del generador electrico.

S

N

Figura 6: Un campo magnetico en movimiento induce una corriente.

4. Ejercicios.

1. Defiende la aseveracion: ”si hubiese una sola partıculacon carga electrica en todo el universo el concepto decarga electrica carecerıa de significado.”

3

2. Tres cargas puntuales estan dispuestas en lınea. La car-ga q3 = 5nC esta en el origen. La carga q2 = 3nCesta en x = 4cm. La carga q1 esta en x = 2cm. ¿Cuales la magnitud y el signo de q1 si la fuerza neta sobreq3 es cero?

3. Una partıcula alfa (carga +2e y masa 6,64× 10−27kg)viaja hacia la derecha a 1,5km/s. ¿Que campo electricouniforme (magnitud y direccion) se necesita para hacerque viaje hacia la izquierda con la misma rapidez alcabo de 2,65µs?

4. Una superficie cerrada contiene una carga neta de−3,60µC.

a) ¿Cual es el flujo electrico neto a traves de la su-perficie?.

b) El flujo electrico a traves de la superficie cerradaresulta ser de 780Nm2/C ¿Que cantidad de cargaencierra la superficie?

c) La superficie cerrada del numeral b es un cubocon lado 2,50cm de longitud, con base en la in-formacion dad en el numeral b ¿es posible saberdonde esta la carga dentro del cubo? Explique surespuesta.

5. Una superficie gaussiana esferica encierra una cargapuntual q. Si la carga puntual se desplaza del centrode la esfera a un punto alejado del centro. ¿cambia elcampo electrico en un punto de la superficie?¿cambia elflujo total a traves de la superficie gaussiana? Explicatu respuesta.

6. ¿Puede una partıcula con carga trasladarse a traves deun campo magnetico sin experimentar ninguna fuerza?Explica tu respuesta.

7. Un electron experimenta una fuerza magnetica cuyamagnitud es de 4,6× 10−15N cuando se desplaza a unangulo de 60o con respecto a un campo magnetico conuna magnitud de 3,50× 10−3T . Proporcione la rapidezdel electron.

8. Una partıcula con carga de −1,24× 10−8C se desplazacon una velocidad instantanea v = (4,19× 104m/s)i +(−3,85×104m/s)j ¿que fuerza ejerce sobre esta partıcu-la un campo magnetico

a) B = (1,40T )i,

b) B = (1,40T )k

9. La figura 7 muestra en seccion transversal varios con-ductores que transportan corriente a traves del plano dela figura. Las magnitudes de las corrientes son i1 = 4A,i2 = 6A e i3 = 2A y las direcciones son las que se indi-can, se muestran cuatro trayectos identificados de a ad. ¿Cual es la integral de linea

∮Bdl correspondiente

a cada trayecto?

Figura 7: Tomada de Sears, Zemansky, Young y Freedman.FısicaUniversitaria.Vol 1. Ed. Pearson.2008. P. 1103

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