fenomenos de transporte

Fenómenos de TransporteVISCOSIDAD Y LOS MECANISMOS DE TRANSPORTE DE CANTID AD DE

MOVIMIENTO

�Par de láminas paralelas de área A

�Separadas una distancia L

�En el espacio entre ellas se encuentra un fluido (gas o líquido)

�Inicialmente se encuentra en reposo

�A t=0 el plato inferior se pone en movimiento en la dirección positiva x a velocidad constante V mientras que el plato superior se encuentra fijo

�Restricción: V es lo suficientemente baja como para que el fluido se mueva en régimen laminar

L t ‹ 0

L t = 0

L t > 0

L t > 0

y

x

Dra. Ing. Susana Larrondo – Año 2013 Semana 3-1


MOVIMIENTO

L t ‹ 0

L t = 0

L t > 0

L t > 0

Se requiere aplicar una fuerza constanteF para mantener el movimiento avelocidad constante en el plato inferior.

¿Qué podríamos decir de esa fuerza?

1) Es directamente proporcional al áreade la placa

2) Es directamente proporcional a lavelocidad V

3) Será inversamente proporcional a ladistancia entre las placas

4)También dependerá de laspropiedades del fluido entre las placas

y

x



MOVIMIENTO

L t ‹ 0

L t = 0

L t > 0

L t > 0

L

V.AF ∝

L

V

A

F ⋅∝

⋅−=dy

dv

L

V

dy

dv xyx ⋅µ−=τ

y

x

Fluidos Newtonianos



MOVIMIENTO

L t ‹ 0

L t = 0

L t > 0

L t > 0

dy

dv xyx ⋅µ−=τ

y

x

Fluidos Newtonianos

[ ]

tLtL

.M

tL

L.M

L

Fyx

2

222

=

==τ



MOVIMIENTO

L t ‹ 0

L t = 0

L t > 0

L t > 0

dy

dv xyx ⋅µ−=τ

y

x

Fluidos Newtonianos

Unidades SI

[ ]2m

NPayx ==τ

sdy

dv x 1=

[ ]s.m

kg

m

s.Ns.Pa ===µ

2

Velocidad de deformación


Fenómenos de Transporte

RELACIÓN CON LA DEFORMACIÓN EN EL FLUIDO

y

xδ

γ

y

x

δ ∆y

∆x

y y yx x

y 0

x

(v v ).dtlim arctg d

y

d dv

dt dy

γ

γ

+∆

∆ →

− =∆

=

y y yx x(v v ).dt+∆ −

Vx

dt

d

dt

d γ=ε


Fenómenos de TransporteGlicerina y agua �� fluidos newtonianos.

Glicerina µµµµ= 1Pa•s

Agua µµµµ= 10-3 Pa•s

Aún se siguen utilizando las unidades del sistema cg s

[ ]2cm

dinayx =τ

sdy

dv x 1=

[ ] poises.cm

g

cm

s.dina ===µ2

s.Pas.m

kg

s.cm

gpoise 1

2

3

1010

1011

−−

−

====µ

s.Pas.m

kg

s.cm

gcp 3

2

5

210

10

10101

−−

−− ====µ

Glicerina µµµµ= 1Pa•s=10 poise= 1000 cp

Agua m= 10 -3 Pa•s = 1cp



Sustancia Temperatura(°C)

Viscosidad (Pa.s)

Viscosidad(cp)

Aire 20 1,716.10-5 1,726. 10-2

Agua 20 1.10-3 1

Mercurio 20 1,552.10-3 1,552

Ac. sulfúrico 25 25,54.10-3 25,54

Glicerina 25 934.10-3 934



VARIABLES QUE INFLUYEN EN LA VISCOSIDAD

1) Temperatura y Presión

2) La velocidad de deformación (fluidos pseudoplásticos y dilatantes)

3) El tiempo de aplicación del esfuerzo de corte (fluidos tixocrópicos y reopécticos)



TEORIA DE LA VISCOSIDAD EN GASES A BAJA PRESION

En el caso de caso de gases a baja presión es posible deduciruna expresión matemática para calcular la viscosidadempleando la naturaleza molecular de la materia.Modelo: Gas Ideal (Teoría Cinética de los Gases)Suposiciones:El gas está constituido por esferas rígidas de masa m y diámetro d que no interactúan entre sí y se mueven en líneas rectas hasta chocar con otra molécula o con las paredes del recipiente. El gas tiene una concentración “n” de moléculas por unidad de volumen.



TEORIA DE LA VISCOSIDAD EN GASES A BAJA PRESION

Resultados de la Teoría Cinética de los Gases

Velocidad molecular media

Número de choques por unidad de tiempo y área

Camino libre medio de las moléculas

Distancia media entre colisiones




VARIACIÓN DE LA VISCOSIDAD CON LA TEMPERATURALÍQUIDOSGASES

A mayor temperatura, mayor agitación y aumento en el número de choques de las moléculas del gas, produciendo un aumento de la viscosidad del gas.

Leer cuidadosamente del libro “Transport Phenomena” Bird, Stewart andLightfoot el tema predicción de viscosidades.

Leer cuidadosamente del “Handbook of Chemical Engineering” Perry, predicciónde la viscosidad




VARIACIÓN DE LA VISCOSIDAD CON LA TEMPERATURAGASES


Variación de la viscosidad con P y T




VARIACIÓN DE LA VISCOSIDAD CON LA TEMPERATURA Y LA PRESIÓN

LÍQUIDOSLa viscosidad disminuye con la temperatura. Aumenta la

temperatura � las fuerzas viscosas son superadas por laenergía cinética � disminuye la viscosidad. La viscosidadde los líquidos varía muy poco con la presión

La ecuación de Arrhenius

µ : viscosidad [Pa·s]A y B: constantes dependientes del líquidoT: es la temperatura absoluta en K

T

B

eA·=µ



VARIACIÓN DE LA VISCOSIDAD CON LA VELOCIDAD DE DEFORMACIÓN

Existen 3 tipos principales de fluidos:

�� NEWTONIANOS (proporcionalidad entre el esfuerzocortante y la velocidad de deformación).

�� NO NEWTONIANOS (no hay proporcionalidad entre elesfuerzo cortante y la velocidad de deformación; respuentaindependiente o dependiente del tiempo)

�� VISCOELÁSTICOS (se comportan como líquidos ysólidos, presentando propiedades de ambos)


Fenómenos de Transporte�� NEWTONIANOS (proporcionalidad entre el esfuerzo cortante y la velocidadde deformación).

yxτ

−dy

dvx

µ

−dy

dvx

Agua, aceite, hidrocarburos, glicerina, etc.


Fenómenos de Transporte�NO NEWTONIANOSFLUIDOS QUE NO CAMBIAN SU RESPUESTA CON EL TIEMPO DE APLICACI ÓNDEL ESFUERZO DE CORTEA) Fluidos pseudoplásticos (shear-thinning)

µ

−dy

dvx

yxτ

−dy

dvx

Ejemplos: ketchup, condimento mostaza, algunas pinturas, suspensiones acuosas de arcilla,etc.

Viscosidad aparente


Fenómenos de Transporte�NO NEWTONIANOSFLUIDOS QUE NO CAMBIAN SU RESPUESTA CON EL TIEMPO DE APLICACI ÓNDEL ESFUERZO DE CORTEA) Fluidos pseudoplásticos (shear-thinning)

µ

−dy

dvx

yxτ

−dy

dvx

Modelos que tratan de explicar este comportamiento

a) Varillas rígidas suspendida en líquido newtoniano

A medida que aumenta el esfuerzo aplicado se van orientando las varillas y la resistencia al flujo es menor por lo tanto disminuye la viscosidad

b) Moléculas tipo filamentos en líquido newtoniano

El comienzo los filamentos están enredados, a medida que aumenta el esfuerzo aplicado se produce un ordenamiendo de los filamentos y aumenta la movilidad.


Fenómenos de Transporte�NO NEWTONIANOSFLUIDOS QUE NO CAMBIAN SU RESPUESTA CON EL TIEMPO DE APLICACI ÓNDEL ESFUERZO DE CORTEB) Fluidos dilatantes (Shear-Thickening)

µ

−dy

dvx

yxτ

−dy

dvx

Viscosidad aparente



µ

−dydvx

yxτ

−dy

dvx

Ecuaciones constitutivas para fluidos no newtonianos- Pseuodplásticos o dilatantes

µ

−dy

dvx

yxτ

−dy

dvx

Ley de la potencia (Ostwald)

η: constante cuyas dimensiones dependen del valor de n

dy

dv.

dy

dv x

n

xyx

1−

η−=τ

n>1 � dilatantes

n<1 � pseudoplásticos



µ

−dydvx

yxτ

−dy

dvx

Ecuaciones constitutivas para fluidos no newtonianos- Pseuodplásticos o dilatantes

µ

−dy

dvx

yxτ

−dy

dvx

Ley de la potencia (Ostwald)

dy

dv.

dy

dv x

n

xyx

1−

η−=τ

n>1 � dilatantes

n<1 � pseudoplásticos)

dy

dvlog( x

η

−1n

x

dy

dvlog

n<1


Fenómenos de Transporte�NO NEWTONIANOSFLUIDOS QUE NO CAMBIAN SU RESPUESTA CON EL TIEMPO DE APLICACI ÓNDEL ESFUERZO DE CORTEc) Fluidos Plásticos (con esfuerzo umbral o Plástico de Bingh am)

yxτ

−dy

dvx

µ

−dy

dvx

Ecuaciones constitutivas para fluidos no newtonianos- Plástico de Bingham

0τ>τ yx

0τ<τ yx 0=−→

dy

dvx

µτ

=−→ yxx

dy

dv


Fenómenos de Transporte� NO NEWTONIANOSFLUIDOS CUYA VISCOSIDAD APARENTE VARÍA CON EL TIEMPO

A) Fluidos tixotrópicosEn este tipo de fluidos su viscosidad disminuye al aumentar e l tiempo deaplicación del esfuerzo cortante. Se caracterizan por un camb io de suestructura interna al aplicar un esfuerzo cortante. Se produ ce la rotura de laslargas cadenas de moléculas que los forman. Estos fluidos pu eden o norecuperar su viscosidad inicial tras un tiempo de reposo.Ejemplos típicos se fluidos tixotrópicos son: el yogur, tin tas de impresión, salsade tomate, algunos aceites del petróleo, el nylon, etc.

B) Fluidos reopécticosEn este tipo de fluidos su viscosidad aumenta con el aumento d el tiempo deaplicación del esfuerzo cortante. En general son suspension es Ej.: pastas deyeso, crema de leche, etc.



GENERALIZACIÓN DE LA ECUACIÓN DE NEWTON • Fluido con un patrón de movimiento general, es decir

con movimiento en las tres direcciones del espacio• Cada una de las componentes de la velocidad es

función de la posición en el espacio y del tiempo• Existirán 9 componentes del tensor de tensiones

Restricciones:1) Fluido isotrópico 2) Flujo incompresible3) Tensor simétrico (no hay esfuerzos

viscosos en rotación pura)



GENERALIZACIÓN DE LA ECUACIÓN DE NEWTON

στττστττσ

=τ

zzzyzx

yzzyyyx

xzxyxx

yx x x z

y y yx z

yz x z z

vv v v v2 ( ) ( )

x y x z x

v v vv v( ) 2 ( )

x y y z y

vv v v v( ) ( ) 2

x z y z z

µ µ µ

τ µ µ µ

µ µ µ

∂ ∂ ∂ ∂ ∂− − + − + ∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂∂ ∂= − + − − +

∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂∂ ∂ ∂ ∂ − + − + − ∂ ∂ ∂ ∂ ∂



BALANCES DIFERENCIALES

στττστττσ

=τ

zzzyzx

yzzyyyx

xzxyxx

yx x x z

y y yx z

yz x z z

vv v v v2 ( ) ( )

x y x z x

v v vv v( ) 2 ( )

x y y z y

vv v v v( ) ( ) 2

x z y z z

µ µ µ

τ µ µ µ

µ µ µ

∂ ∂ ∂ ∂ ∂− − + − + ∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂∂ ∂= − + − − +

∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂∂ ∂ ∂ ∂ − + − + − ∂ ∂ ∂ ∂ ∂


=

zzzyzx

yzyyyx

xzxyxx

τττττττττ

τTENSOR DE TENSIONES

RELACIONES DE STOKES

y

δ

γ

y y yx x(v v ).dt+∆ −

β

y

x

δ ∆y

∆x

x x xy y(v v ).dt+∆ −

y y yx x

y 0

x x xy y

x 0

yx


y


xvd d v

dt dt y x

γ

β

γ β

+ ∆

∆ →

+ ∆

∆ →

− =∆

−=

∆∂∂+ = +

∂ ∂

∂∂+

∂∂

⋅−=j

i

i

jij x

v

x

vµτ


yx x x z

y y yx z

yz x z z

vv v v v2 ( ) ( )

x y x z x

v v vv v( ) 2 ( )

x y y z y

vv v v v( ) ( ) 2

x z y z z

µ µ µ

τ µ µ µ

µ µ µ

∂ ∂ ∂ ∂ ∂− − + − + ∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂∂ ∂= − + − − +

∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂∂ ∂ ∂ ∂ − + − + − ∂ ∂ ∂ ∂ ∂

Expresión del Tensor de tensiones en función de las velocidades de deformación

Para fluidos compresibles aparece una corrección en las tensiones normales en función del cambio de la densidad


x

z

y

k

j

i

Entradas de materia al sistema

Salidas de materia del sistema

∆∆∆∆x∆∆∆∆y

∆∆∆∆z


yxvzxvzyvmzzyyxxe ∆∆+∆∆+∆∆=

•... ρρρ

yxvzxvzyvmzzzyyyxxxs ∆∆+∆∆+∆∆=

∆+∆+∆+

•... ρρρ

••−=∆∆∆

∂∂=

∂∂∫ se

V

mmzyxt

dVt

....ρρ

Dividiendo m.a.m por

tomando el lim

zyx ∆∆∆ ..

0,, →∆∆∆ zyx

vz

v

y

v

x

v

t

zyx ρρρρρ •∇−=

∂∂+

∂∂

+∂

∂−=∂∂

vt

ρρ •∇−=∂∂


BALANCES DIFERENCIALES: Ecuación de Continuidad

vt

ρρ •∇−=∂∂

( ) ρρρ ∇•−•∇−=∂∂

vvt

( )vvtDt

D •∇−=∇•+∂∂= ρρρρ


BALANCES DIFERENCIALES: Ecuación de Continuidad

vt

ρρ •∇−=∂∂ ( )v

Dt

D •∇−= ρρ

1) Estado estacionario

2) Fluido incompresible

D0 v 0

Dt

ρ = → ∇ • =

00 =•∇→=∂∂

vt

ρρ




BALANCE DE CANTIDAD DE MOVIMIENTO

ϕ=ρ vvTensor flujo de cantidad de movimiento por transporte convectivo

=

τ+ττττ+ττττ+

=δ+τ

zzzyzx

yzyyyx

xzxyxx

p

p

p

pTensor flujo de cantidad de movimiento por transporte molecular

θ=δ+τ p





φ=θ+ϕ=δ+τ+ρ pvv





( ) ( )[ ] ( ) ( )[ ] ( ) ( )[ ] +φ−φ∆∆+φ−φ∆∆+φ−φ∆∆= ∆+∆+∆+ i}yxzxzy{ zzzxzzxyyyxyyxxxxxxxx

(

( ) ( )[ ] ( ) ( )[ ] ( ) ( )[ ] k}yxzxzy{ zzzzzzzyyyzyyzxxxzxxz

(

∆+∆+∆+ φ−φ∆∆+φ−φ∆∆+φ−φ∆∆+

( ) ( )[ ] ( ) ( )[ ] ( ) ( )[ ] +φ−φ∆∆+φ−φ∆∆+φ−φ∆∆+∆+∆+∆+

j}yxzxzy{zzzyzzyyyyyyyyxxxyxxy

(

Velocidad neta de ingreso de cantidad de movimiento por el ingreso y egreso de

materia TRANSPORTE CONVECTIVO

Velocidad neta de ingreso de cantidad de

movimiento por TRANSPORTE MOLECULAR

+ =





Fuerza gravitatoria =

)kgjgig(zyx zyx

(((ρ+ρ+ρ∆∆∆





Dividimos m.a.m por zyx ∆∆∆

Hallamos el límite para los tres lados del cubo →0





=

Velocidad de incremento de la cantidad de movimiento en el sistema

)v.(t

.z.y.x ρ∂∂∆∆∆

=ρ∂∂

)v.(t





( ) ( )[ ] ( ) ( )[ ] ( ) ( )[ ] +φ−φ∆∆+φ−φ∆∆+φ−φ∆∆= ∆+∆+∆+ i}yxzxzy{ zzzxzzxyyyxyyxxxxxxxx

(

( ) ( )[ ] ( ) ( )[ ] ( ) ( )[ ] k}yxzxzy{ zzzzzzzyyyzyyzxxxzxxz

(

∆+∆+∆+ φ−φ∆∆+φ−φ∆∆+φ−φ∆∆+

( ) ( )[ ] ( ) ( )[ ] ( ) ( )[ ] +φ−φ∆∆+φ−φ∆∆+φ−φ∆∆+∆+∆+∆+

j}yxzxzy{zzzyzzyyyyyyyyxxxyxxy

(

Velocidad neta de ingreso de cantidad de movimiento por el

ingreso y egreso de materia TRANSPORTE CONVECTIVO

Velocidad neta de ingreso de cantidad de movimiento por

TRANSPORTE MOLECULAR

+ =

k}zyx

{ zzyzxz(

∂φ∂−

∂φ∂

−∂φ∂−+j}

zyx{ zyyyxy

(

∂φ∂

−∂φ∂

−∂φ∂

−+i}zyx

{ zxyxxx(

∂φ∂−

∂φ∂

−∂φ∂−




BALANCE DE CANTIDAD DE MOVIMIENTOVelocidad neta de ingreso de

cantidad de movimiento por el ingreso y egreso de materia TRANSPORTE CONVECTIVO

Velocidad neta de ingreso de cantidad de movimiento por

TRANSPORTE MOLECULAR

+ =

=∂φ∂−

∂φ∂

−∂φ∂−+ k}

zyx{ zzyzxz

(

j}zyx

{ zyyyxy(

∂φ∂

−∂φ∂

−∂φ∂

−+i}zyx

{ zxyxxx(

∂φ∂−

∂φ∂

−∂φ∂−

[ ] τ•∇−∇−ρ•∇−=τ+δ+ρ•∇−=φ•∇−= pvvpvv





Fuerza gravitatoria = )kgjgig(zyx zyx

(((ρ+ρ+ρ∆∆∆

)kgjgig( zyx

(((ρ+ρ+ρ





gp)vv(t

v ρ+τ•∇−∇−ρ•∇−=∂ρ∂

gp)vv(tv

vvtv

DtvD ρ+τ•∇−∇−=ρ•∇+

∂ρ∂=

∇•+∂∂ρ=ρ

( ) gp)vv(vvtv ρ+τ•∇−∇−=ρ•∇+ρ•∇−+

∂∂ρ

( ) gp)v(v)v(vvvtv ρ+τ•∇−∇−=∇•ρ+ρ•∇+ρ•∇−

∂∂ρ

gp)v(vtv ρ+τ•∇−∇−=

∇•+∂∂ρ

DEMOSTRACIÓN





Simplificaciones más comunes

1) Flujo incompresible, fluido newtoniano= Ecuacion es de Navier-Stokes

gp)vv(tv

vvtv

DtvD ρ+τ•∇−∇−=ρ•∇+

∂ρ∂=

∇•+∂∂ρ=ρ

gvp)vv(tv

vvtv

DtvD 2 ρ+∇µ+∇−=ρ•∇+

∂ρ∂=

∇•+∂∂ρ=ρ

0v =•∇






2) Flujo incompresible, fluido newtoniano, estado estacionario y despreciable el término convectivo = Flujo de Stokes o flujo Reptante

gvp0

0v2 ρ+∇µ+∇−=

=•∇

gp)vv(tv

vvtv

DtvD ρ+τ•∇−∇−=ρ•∇+

∂ρ∂=

∇•+∂∂ρ=ρ






3) Fuerzas viscosas despreciables = Flujo de Euler p ara fluidos “no viscosos”

gp)vv(tv

vvtv

DtvD ρ+τ•∇−∇−=ρ•∇+

∂ρ∂=

∇•+∂∂ρ=ρ

gp)vv(tv

vvtv

DtvD ρ+∇−=ρ•∇+

∂ρ∂=

∇•+∂∂ρ=ρ


fenomenos de transporte

Documents