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UNIVERSIDADE PRESBITERIANA MACKENZIE ESCOLA DE ENGENHARIA

ENGENHARIAS CIVIL, ELÉTRICA, DE PRODUÇÃO E DE MATERIAIS Turmas: 3A / 3B / 3H / 3J/ 3L / 3M / 4C / 4E / 5R / 5P Fenômenos de Transporte I – Transporte de Fluidos

Professoras da disciplina: Esleide/ Maria Olívia/ Miriam C./ Miriam T. Ano 2015 (1º semestre) - Lista de exercícios

1ª parte: Quantificação da matéria, definições e co nceitos básicos Exercício 1.1 No interior de um tanque cilíndrico de 2 m de altura e diâmetro interno de 1 m, encontram-se um líquido e ar a 60oC. A pressão do ar é de 3 bar e a massa do líquido no tanque é de 1,2 ton. Determine a massa de ar no tanque, assumindo que este se comporte como um gás ideal. Sabe-se que a densidade relativa do líquido em relação à água a 4oC é de 0,9. Resposta : 0,76 kg Exercício 1.2 Uma sala de dimensões 4m x 5m x 6m encontra-se inicialmente a 25 °C. Na sala é instalado um manômetro de Bourdon que registra 0 kPa no instante inicial. Pede-se: a-) Determinar a massa específica e a massa de ar no instante inicial. b-) Considerando-se que a sala seja hermética, determinar a pressão absoluta e efetiva na sala, quando a temperatura aumentar para 35oC. Resposta : 1,16 kg/m3; 140kg; 103354Pa; 103,4kPa Exercício 1.3 Um cilindro com um pistão tem um volume inicial de 0,5 m3 e contém 2 kg de ar a 400 kPa. Calor é transferido ao ar até atingir a temperatura de 300°C, permanecendo a pressão constante. Calcular a temperatura no estado inicial e o volume do ar dentro do cilindro no estado final. Resposta : 347 K; 0,8 m3 Exercício 1.4 Quando um pneu está cheio com “32 lb” significa que a pressão interna do mesmo é de 32 lbf/in2 acima da pressão atmosférica. Considerando que o pneu está em uma localidade aonde a pressão atmosférica seja de 101325 Pa, e que a temperatura do ar no pneu seja de 24 °C e o volume de ar no pneu seja de 35 litros, calcule a massa de ar no interior do pneu. Resposta : 0,13kg Exercício 1.5 Um tanque com volume de 0,2 m3 contém 0,5 kg de N2 a temperatura de 20 °C. Calcular a pressão do sistema. Resposta : 218 kPa Exercício 1.6 Ar escoa ao longo de uma tubulação. Em uma seção (1), a pressão e a temperatura são respectivamente 2x105 N/m2 e 50 °C. Em uma seção (2), a pressão e a temperatura são respectivamente 1,5x105 Pa e 20°C. Determinar a variação porcentual da massa específica de (1) para (2). Resposta : 17,3% Exercício 1.7 Um líquido apresenta densidade 890 kg/m3 e massa molar 46 g/mol e preenche totalmente o interior de um recipiente cilíndrico de 0,5 m de diâmetro. Sabendo-se que a massa desse líquido no recipiente é de 90 kg, pede-se calcular:

• a densidade relativa do líquido em relação à água a 20oC. • o peso específico do líquido. • o volume e a altura do recipiente • o número de moles do líquido no interior do recipiente • o peso do líquido

Resposta : 0,8918/ 8731 N/m3/ 0,1011 m3 / 0,5150 m/ 1957 moles / 882,9 N Exercício 1.8 Obtenha a densidade relativa de um líquido a 40oC em relação à água a 80oC e 1 atm, sabendo-se que a massa específica do líquido a 40oC é de 880 kg/m3. Resposta : 0,9065

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Exercício 1.9 A massa específica de um líquido é avaliada experimentalmente a partir das seguintes medidas: a massa de líquido que ocupou 100 ml é de 86 g. Qual é o peso específico medido desse líquido num local em que a aceleração da gravidade é de 9,78 m/s2? Resposta : 8411 N/m3 Exercício 1.10 (exercício 1.1 de Tosum, 2002) Um economista escreve uma equação de balanço de dinheiro da seguinte forma: (variação da quantidade de dólares) = (rendimentos das aplicações) – (taxa de serviço) + (depósitos efetuados) – (cheques passados) Caracterize cada um dos termos na equação acima. Exercício 1.11 Classifique cada um dos problemas a seguir em estacionário (pseudo-estacionário) ou dinâmico.

a) Deseja-se avaliar a temperatura do gás no interior de um balão à medida em que ele sobe na camada atmosférica.

b) Deseja-se monitorar o nível do Córrego Pirajuçara ao longo de um dia com chuvas torrenciais c) Deseja-se monitorar o nível da represa Guarapiranga ao longo de um dia sem chuvas. d) Deseja-se monitorar o nível da represa Guarapiranga ao longo de um ano.

Exercício 1.12 (adaptado do exemplo 1.2 de Tosum, 2002) Um tanque cilíndrico encontra-se inicialmente cheio pela metade. Água é alimentada pelo topo do tanque e uma existe ainda uma corrente de saída de água do tanque. As vazões de entrada e saída são diferentes. A equação diferencial descrevendo a taxa de variação de nível no tanque é dada por:

sendo, h a altura de água no tanque expressa em m. Pede-se:

a) desenhar o volume de controle que descreve a variação de nível de água no tanque. b) calcular a altura de água no tanque em condições estacionárias.

Resposta : 0,56m Exercício 1.13 Tem-se um tanque cilíndrico perfeitamente agitado de 2 m de diâmetro interno em que se mantém a temperatura controlada e constante. O tanque é alimentado por duas correntes com composições diferentes. Um esquema do processo é representado na figura ao lado. A seguinte equação para descrever a altura de líquido no tanque foi postulada para o processo a partir de medições existentes.

4990 0,6032 1,68 10 0,8dh

tdt

−π = + × −

sendo, h a altura medida em (m) e t o tempo avaliado em (s). A quantidade de matéria que é retirada do tanque é 0,8 kg/s e a quantidade de matéria que é introduzida pela tubulação à esquerda é de 0,6032 m/s. A densidade do líquido no tanque é 990 kg/m3. Pede-se: a) Para representar a variação de altura com o tempo, o volume de controle selecionado deve ser classificado

como macroscópico ou microscópico? b) Para representar a composição do líquido no tanque o volume de controle selecionado deve ser classificado

como macroscópico ou microscópico? E a se a mistura não fosse perfeita? c) Indicar o número de correntes que atravessam a superfície de controle. Quantas destas correntes são de

entrada e quantas são de saída? d) No modelo fornecido, localizar os termos de acúmulo, entradas e saída. e) Calcular a taxa de variação de altura de líquido no tanque nos instantes 15 e 60 min. f) Calcular a variação de altura de líquido no tanque em relação ao instante inicial transcorridos 15 min e 60

min de operação. g) Determinar a vazão que deveria ser introduzida pela tubulação à direita para que o nível no tanque

permanecesse constante h) A equação da variação da altura de líquido representa um processo estacionário ou dinâmico? i) A situação descrita no item g) pode ser classificada como estacionária?

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Exercício 1.14 (exemplo 1.1 de Tosum, 2002) Um fluido Newtoniano de propriedades constantes encontra-se inicialmente em repouso dentro de uma tubulação horizontal muito comprida de raio interno R. No instante inicial t=0, é aplicado um gradiente de pressão axial ao sistema, resultando na promoção de um escoamento com vazão volumétrica Q expressa

por:

sendo, , com µ e ρ propriedades do fluido e t o tempo, λ1=2,405, λ1=5,52, λ1=8,654, etc..

Pede-se obter a vazão volumétrica em condições estacionárias.

Resposta:

Exercício 1.15 Tem-se um trocador de calor constituído por dois tubos concêntricos. No interior do tubo interno, entra pela seção 1 um fluido quente. Através da seção 2 entra pelo casco (espaço anular entre o tubo interno e externo) o fluido frio. Considere os dois modelos a seguir.

Modelo A: ( )1 30 a T T q= − − sendo, a uma constante, T1 e T3, respectivamente as temperaturas nas seções 1 e 3, sendo 3 a seção de saída do tubo interno e q a taxa de energia transferida para o fluido escoando pelo espaço anular.

Modelo B: ( )p

dTa b T T

dz= −

sendo, a e b constantes, z a posição axial ao longo do tubo interno, T a temperatura do fluido quente em uma posição z qualquer e Tp a temperatura da parede do tubo na posição z. Pede-se: a-) O modelo A considera um volume de controle macroscópico ou microscópico? Ele permite calcular a distribuição de temperatura ao longo do tubo? b-) O modelo B considera um volume de controle macroscópico ou microscópico? Ele permite calcular a distribuição de temperatura ao longo do tubo? c-) Os modelos A e B representam a operação estacionária ou dinâmica do trocador de calor? Exercício 1.16 (exercício 1.1 de Tosum, 2002) Um líquido escoa na direção z pelo espaço existente entre duas placas planas paralelas horizontais separadas por uma distância de 2B, como esquematizado na figura (a). O comprimento e largura de cada placa são, respectivamente, L e W. A distribuição de velocidade do fluido em condições estacionárias é dada por:

Pede-se:

a) Para o sistema de coordenadas da figura (b), mostre que a distribuição de velocidades assume a forma:

b) Obtenha a expressão para a vazão volumétrica de escoamento. A expressão para a vazão de

escoamento é dependente do sistema de coordenadas?

Resposta :

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Exercício 1.17 Verifique se o efeito da pressão na densidade do ar a 40oC escoando no interior de uma tubulação com 15 m/s pode ser desprezado. Justifique, classificando o tipo de escoamento. Exercício 1.18 Preencha as lacunas: Um fluido escoa numa tubulação com Ma>0,3. Se a tubulação é aberta à atmosfera a pressão na seção de saída ____________ (será/ não será) igual à atmosférica. Um fluido escoa numa tubulação com Ma=0,2 quando entra em um bocal convergente. Na saída deste bocal tem-se Ma=0,4. Com relação a este escoamento ______________ (haverá/ não haverá) uma descontinuidade na pressão no interior do bocal. Para __________ (escoamentos incompressíveis/escoamentos compressíveis/ escoamentos permanentes/ escoamentos transitórios), caracterizados por ___________ (apresentar o critério) é usual se desprezar o efeito da pressão na variação da densidade de um fluido em escoamento. Respostas : não será/ haverá/ incompressíveis/ Ma<0,3

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2ª parte: Balanço de Massa Global em Volumes de Con trole Homogêneos (BMG – VCH) Exercício 2.0 Relacione as duas colunas. (1) Volume de controle ( ) Interações entre moléculas (2) Sistema ( ) Volume específico (3) Volume de controle macroscópico ( ) Região fixa do espaço com massa constante ou

variável no tempo (4) Volume de controle microscópico ( ) Continuidade nas propriedades ao longo de

cada fase (5) Volume de controle molecular ( ) Região fixa do espaço com massa constante ou

variável no tempo em que relações de entrada e saída são levadas em conta juntamente com efeitos de geração, mas não se tem uma descrição pontual das variáveis.

(6) Meio Contínuo ( ) Massa constante (7) Conversão de massa em volume ( ) Massa molar (8) Conversão de massa em número de moles ( ) Descrição de variações em propriedades

pontuais Resposta: 5; 7; 1; 6; 3; 2; 8; 4 Exercício 2.1 (Çengel modificado. Exemplo resolvido 5.1) Uma mangueira de jardim conectada a um bocal é usada para encher um balde de 37,85 litros. O diâmetro interno da mangueira é de 2 cm sendo reduzindo a 0,8 cm na saída do bocal. São necessários 50 s para encher o balde com água. Admita que a temperatura da água seja de 4ºC. Determine:

a) As vazões em volume e em massa de água através da mangueira b) A velocidade média da água na saída do bocal c) A velocidade média da água na mangueira

Resposta: 0,757 l/s; 0,757 kg/s; 15,1 m/s; 2,41 m/s Exercício 2.2 (prova final turma 4C- 2ºS2002- exercício adaptado Fox ex. 4.60)

O bocal mostrado descarrega uma lâmina de água por um arco de 180º. A velocidade média de água através desta lâmina é 1,5 m/s e a espessura do jato é de 30 mm, numa distância radial de 0,3m, a partir da linha de centro do duto de suprimento. Admita que o escoamento seja isotérmico a 20ºC. Determine a vazão em volume de água no jato de lâmina e a velocidade no duto de alimentação. È dado, ainda, o diâmetro interno do duto de alimentação de 30 cm. Resposta s: 42,41 l/s; 0,6 m/s

Exercício 2.3 (prova turma 3E 1ºS 2004)

A figura a seguir mostra uma instalação hidráulica. Os seguintes dados são conhecidos: - Densidade do fluido em escoamento no ponto 1: 960 kg/m3 - Densidade do fluido em escoamento no ponto 2: 998 kg/m3 - Densidade do fluido em escoamento no ponto 4: 1000 kg/m3 - Vazão mássica no ponto 3: 0,71kg/s - Diâmetro da tubulação no ponto 2: 2”SCH40S (diâmetro externo de 6,033 cm e

espessura de 0,391 cm) - Sentido do escoamento: 1 para 4

Resposta : 2 m/s ; 5,24x10-3m3/s

Sabe-se que o fluido em escoamento é incompressível e que a seguinte medida direta de vazão foi tomada na saída da instalação hidráulica (ponto 4): 302 litros em 1 minuto. Pede-se: a) A velocidade de escoamento no ponto 2 e a

vazão volumétrica de escoamento na tubulação 1.

b) Explicar a causa de alteração no valor da densidade do fluido.

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Exercício 2.4 (exemplo adaptado de Granger) Qual a vazão mássica e o sentido do escoamento pelo tubo lateral no sistema esquematizado ao lado? Considere que o fluido seja água à temperatura ambiente alimentada na seção 1 com uma velocidade uniforme de 1,5 m/s e que a tubulação de entrada tenha 2 cm de diâmetro interno e que a saída do bocal tenha um diâmetro de 4 cm, aonde se mede uma vazão mássica de 1,6 kg/s. O escoamento é isotérmico. Resposta : 1,13 kg/s (entrando)

Exercício 2.5 (exercício 4.51 adaptado de Munson et. al. 4º edição)

Após a saída de água por uma comporta é possível a ocorrência de escoamento reverso como indicado na figura ao lado. Na seção de saída do volume de controle indicado na figura, são mostradas duas regiões, ambas com perfis uniformes. A largura do canal é de 20 ft. Pede-se determinara vazão volumétrica de água que deve ser adicionada à comporta para manutenção de escoamento em regime permanente.

Resposta : 132 ft3/s

Exercício 2.6 ( exercício cedido pelo Prof. Edvaldo Ângelo) A figura abaixo representa o sistema de Torre de Resfriamento de uma indústria química. A água quente do processo entra na torre pelo teto na seção (2) com uma temperatura de 45oC e é parcialmente evaporada por meio do ar atmosférico que entra por frestas existentes nas paredes laterais da torre, como esquematizado. Ar e vapor são retirados pelos três exaustores do teto na seção (4). O acúmulo de ar no interior da torre pode desta forma ser desprezado. A água que não evaporou é coletada no piso da torre e é bombeada pela seção (1) de volta ao processo a uma temperatura de 30ºC, juntamente com a água de reposição, que entra pela seção (5) a 30ºC. A reposição é necessária devido à evaporação da água na torre e a eventuais perdas de água existentes no processo, representadas pela corrente (3). A temperatura média da água descartada no processo na seção (3) é considerada como 40ºC. São fornecidos os seguintes valores: vazões volumétricas nas correntes (2), (3) e (5) iguais a, respectivamente, 40 m3/h; 5,262 m3/h e 6,33 m3/h, bem como as densidades mostradas na tabela junto à figura. Pede-se calcular a taxa com que a água evapora na torre, em kg/h (seção 4), e a vazão volumétrica de água fria para o processo, em m3/h (seção 1). Considere condições de regime permanente em seus cálculos.

Resposta : 1085 kg/h; 45 m3/h Exercício 2.7 (adaptado de exercício cedido pelo prof. Edvaldo Ângelo) Uma instalação hidráulica alimenta 5 dispersores de uma fonte decorativa localizada na entrada de um edifício comercial. Um dispersor é indicado na figura ao lado. Sabe-se que cada pequeno orifício, de diâmetro de 1 cm, do dispersor foi projetado para lançar água a uma velocidade de 50 cm/s. Determine a vazão volumétrica de água que deve atravessar a bomba para alimentar todos os dispersores. Admita que a temperatura do fluido seja de 20ºC. Resposta : 19,6 l/s

(5) Água de reposição

ar

(4) Água evaporada + ar

(2) Água quente do processo

(1) Água fria para o processo

(3) Perdas de água no processo

T (ºC) ρ (kg/m3) 30 996 40 992 45 990

TORRE DE RESFRIAMENTO

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Exercício 2.8 (exercício adaptado 5.10 Çengel) Um computador pessoal deve ser resfriado por um ventilador cuja vazão é de 0,34 m3/min. Determine a vazão mássica de ar através do ventilador a uma elevação de 3400 m de altitude, onde a densidade do ar é 0,7 kg/m3. Determine o diâmetro do gabinete do ventilador de forma que a velocidade média do ar não exceda 110 m/min. Resposta : 0,238 kg/min; 0,063m. Exercício 2.9 (exercício Geankoplis, ex. 2.6.2 p.106) Um hidrocarboneto líquido entra por uma tubulação que está sendo aquecida com uma velocidade média de 1,282 m/s e densidade 902 (SI). A seção transversal do duto na entrada da tubulação mede 0,00433 m2. Na saída da tubulação a densidade do líquido é avaliada em 875 (SI) e a seção transversal do tubo vale 0,00526 m2. Pede-se: a) A vazão mássica na entrada e saída da tubulação em condições normais de operação; b) As vazões volumétricas na entrada e na saída das tubulações; c) Os fluxos mássicos na entrada e na saída da tubulação; d) A velocidade média na saída da tubulação; e) Variações na área da seção transversal promovem alterações no valor da vazão volumétrica em um escoamento isotérmico de um fluido incompressível no interior de uma tubulação? f) Variações na área da seção transversal promovem alterações na velocidade média de um escoamento isotérmico de um fluido incompressível no interior de uma tubulação? g) Variações na densidade afetam o valor da vazão volumétrica no escoamento no interior de uma tubulação em estado estacionário? h) Variações na densidade afetam o valor da velocidade média de escoamento no interior de tubulações com área da seção transversal constante? Resposta : a) 5,007 kg/s; b) 5,55 l/s; 5,72 l/s ; c) 1156 kg/(m2s); 951,9 (kg/m2s); d) 1,088 m/s; e-) Não. F) Sim. G) sim h) sim Exercício 2.10 (Çengel com texto resumido Ex. 5.12) 35% de todo ar contido em uma residência deve ser substituído por ar externo fresco a cada hora. Se a necessidade de ventilação de uma residência com 2,7 m de altura e 200 m2 deve ser satisfeita completamente por um ventilador, determine a capacidade de escoamento em L/min do ventilador que precisa ser instalado. Determine também o diâmetro do duto se a velocidade do ar não deve exceder o valor de 6 m/s. Resposta : 3150 l/min (litros/min); 0,106 m Exercício 2.11 (exercício 3.32 White- Prova 1S2012)

Água a 20ºC escoa em regime permanente através da bifurcação de tubulação mostrada na figura, entrando na seção (1) com vazão volumétrica de 75 L/min. Os diâmetros nas seções (1) e (2) são iguais a 2 cm. A velocidade média na seção (2) é 2,5 m/s. Uma porção do escoamento é desviada para um chuveiro que contém 100 orifícios de 1 mm de diâmetro. Considerando uniforme o escoamento na ducha, determine a velocidade de saída dos jatos do chuveiro. Resposta: 6,06 m/s

Exercício 2.12 (exercício Brunetti)

Resposta : 4,14 m/s

Considere os reservatórios da figura cúbicos, com lados L1=5 m (reservatório 1) e lados L2=10 m (reservatório 2). Ambos os reservatórios são alimentados pela tubulação indicada na figura e são cheios, respectivamente em 100 segundos (reservatório 1) e 500 segundos (reservatório 2). Determinar a velocidade da água na seção (A), sabendo que o diâmetro do tubo nesta seção é de 1m.

Exercício 2.13 (exercício 3.3 Brunetti) Um gás com peso específico 5 N/m3 escoa em regime permanente com uma vazão de 5 kg/s pela seção A de um conduto retangular de seção constante de 0,5 m por 1 m. Em uma seção B, o peso específico do gás é de 10 N/m3. Calcule a velocidade média do escoamento nas seções A e B. Resposta : 19,62 m/s ; 9,81 m/s

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Exercício 2.14 (adaptado prova turma 3D- 1ºS2002- Prof. Edvaldo Ângelo) Para resfriar um fluido foi desenvolvido um trocador de calor duplo tubo, conforme desenho. O fluido frio circula pelo casco sem se misturar ao fluido quente o qual escoa pelo tubo interno. Supondo que as variações de temperatura no fluido frio sejam baixas, determine o diâmetro externo do tubo (1) para que a velocidade média do fluido frio na seção X-X seja de 3 m/s , sabendo-se que o fluido frio entra no trocador com uma vazão de 4,409 kg/s . O diâmetro interno do casco (tubo 2) é D=5cm e a densidade do fluido frio pode ser considerada como sendo 998 kg/m 3. Resposta : 2,5cm

Exercício 2.15 (adaptação de exercício cedido pelo prof. Edvaldo Ângelo)

Entre as seções B e A do circuito hidráulico da figura está um conjunto de elementos sólidos combustíveis, sobre os quais escoa água líquida. Sabendo que a vazão de água que passa pela bomba é de 50 (l/s) e que a velocidade média de água na seção X-X não deve ultrapassar 2 m/s e que existem 28 barras de combustível sólido, cada uma com diâmetro de cm3d ==== , calcule o diâmetro D do trecho AB .

Considere que na saída da bomba a temperatura seja de 20 oC e que na seção X-X a temperatura da água seja de 60 oC. Entre a seção A e a bomba existe um sistema de resfriamento da água (não indicado na figura). Resposta : 0,2398 m Exercício 2.16 (prova final turma 3E 2oS 2001): A figura a seguir ilustra um equipamento bastante encontrado nas indústrias químicas, em que um fluido entra pelo tubo (1) e a sua vazão é dividida ao longo de inúmeros tubos de diâmetros menores. Assumindo que os 200 tubos internos do equipamento sejam idênticos e de diâmetro 0,5cm e que o tubo (1) tenha 10 cm de diâmetro, pede-se calcular a velocidade de escoamento em cada tubo interno, sabendo-se que a velocidade de escoamento do fluido no tubo (1) é 1 m/s. Resposta : 2 m/s

Exercício 2.17 (adaptado de exercício de Çengel- figura cedida pelo prof. Edvaldo Ângelo)

(1)(2)

resistências Resposta : aumento 11,9%

Um secador de cabelos é basicamente um duto com diâmetro constante no qual são colocadas algumas camadas de resistores elétricos. Um ventilador pequeno empurra o ar para dentro e o força a passar através dos resistores, onde ele é aquecido. Se a temperatura do ar na entrada é de 20oC e na saída é de 55oC, determine o aumento percentual na velocidade do ar quanto ele escoa através do secador. Despreze variações na pressão do ar no escoamento.

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Exercício 2.18 (exercício cedido pelo Prof. Edvaldo Ângelo, adaptado dos exercícios 3.36 de White e exemplo 7.6-2 de Bird) Uma bomba de jato de água tem a configuração ilustrada esquematicamente na figura ao lado. A seção transversal do jato é de Aj = 0,01 m2 e a velocidade do jato é de Vj = 35 m/s. A velocidade da corrente secundária de água é de Vs = 4 m/s e a área da seção transversal do duto é de A2 = 0,08 m2. Assuma que o escoamento do jato e da corrente secundária são misturados completamente e deixam a bomba na seção (2) como um fluxo uniforme. Determine a velocidade de saída na seção (2). Resposta : 7,875 m/s

Exercício 2.19 (exercício cedido pelo prof. Edvaldo Ângelo) Um pré-projeto de instalação precisa informar qual a demanda de um líquido para uma indústria química. Devido à natureza dos processos químicos, o arranjo da figura se faz necessário. Um reservatório intermediário (reservatório A) alimenta outros reservatórios. Sabendo que os processos químicos alimentados pelos tanques I, II e III devem receber vazões constantes, determine quanto deve ser a vazão em volume no tubo I para manter tal situação.

Resposta : 9,7 l/s Exercício 2.20

Existem equipamentos que consistem de um casco (tubo de diâmetro grande), em cujo interior se encontram tubos menores, como mostrado na figura a seguir: No interior destes tubos circula um fluido e externamente a eles no interior do casco circula outro fluido. É o caso do reator indicado na figura a seguir, em que pelo casco circula um óleo usado para a refrigeração dos tubos, em cujo interior circulam reagentes. Diversos reatores industriais tem uma configuração semelhante a essa, como os reatores em que se produz amônia a partir do nitrogênio e hidrogênio (a configuração do reator de amônia no início do século XX foi

merecedora de um prêmio Nobel e revolucionou a indústria química) ou em que se produz óxido de eteno, substância que serve de matéria prima para inúmeros produtos consumidos no dia a dia. Conhecendo-se a velocidade do tubo de alimentação do casco de 2 cm de diâmetro, a saber 2m/s, qual a vazão volumétrica e velocidade média da corrente que escoa pelo casco de 20 cm, sabendo-se que em seu interior existem 10 tubos de 1 cm de diâmetro externo? Considere que o fluido que escoa pelo casco seja incompressível, sem variação na composição e que o escoamento seja isotérmico. Respostas : 6,28×10-4 m3/s; 0,0205m/s

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Exercício 2.21 (exercício adaptado Bennett, ex. 3.5 p.33) Vapor de água entra em uma seção de um tubo de aço com uma pressão absoluta de 14 kgf/cm2, uma temperatura de 315,5oC e uma velocidade média do fluido de 3.0m/s. Em um ponto da corrente distante da entrada, a pressão é de 10 kgf/cm2 e a temperatura 315,0oC. Qual é a velocidade neste ponto e o fluxo mássico? O fluxo mássico na entrada e saída são iguais ou diferentes? E a vazão volumétrica? Efetue os cálculos assumindo que o vapor d´água se comporte como um gás ideal não obstante as pressões elevadas de operação. Monte o esquema do problema, desenhando o volume de controle e equacionando o balanço de massa. Resposta : 4,2 m/s; 5,1 kg/m2s; a vazão volumétrica não permanece constante Exercício 2.22 (exercício cedido pelo Prof. Edvaldo Ângelo) Através da instalação da figura escoa ar em regime permanente. Em um determinado trecho da tubulação o ar é aquecido. Sabendo que a vazão em massa que atravessa a seção (2) é de 0,5 kg/s e que a vazão em volume de alimentação [seção (1)] é de 800 litros por segundo e o volume específico na seção 1 é de 0,7692 m3/kg, determine qual é a velocidade do ar que sai pela seção (3) se a temperatura de saída do ar é 137°C e a pressão indicada por um manômetro é de 100 Pa. A pressão atmosférica local é de 100 kPa. Note que se a pressão indicada pelo manômetro é de 100 Pa, a pressão do ar na seção 3 será de 100,1 kPa.

Resposta : 17,44 m/s

(dimensões em centímetros)

Exercício 2.23 (adaptado de exercício da disciplina de FT da FEM/UNICAMP) Um gerador de vapor consiste de um tanque que é alimentado com água líquida a qual é aquecida até à ebulição, saindo do tanque na forma de vapor saturado. Se um gerador é alimentado com água a 25oC com uma vazão volumétrica de 20 l/h (litros por hora) e opera em regime permanente a uma temperatura de 120oC, pede-se a velocidade média do vapor de água e a vazão mássica que sai por uma tubulação de 4 cm de diâmetro interno. A pressão de saturação da água a 120oC é 1,992 bar. Assuma que o vapor de água se comporte idealmente. Resposta : 4,017 m/s; 0,005539 kg/s

Exercício 2.24 (prova turma 3E 1oS 2004- exercício adaptado de Potter)

A figura a seguir apresenta um tanque que contém gás e um combustível líquido. À medida que o gás é expelido do tanque, o combustível líquido ocupa o lugar deixado pelo gás. O gás no tanque encontra-se a 400oC e o manômetro da figura indica uma leitura de 8MPa. O gás sai da tubulação a uma velocidade uniforme de 300 m/s e com uma densidade de 1,5 kg/m3. O diâmetro do tanque é de 2m e o da tubulação de saída é de 30 cm. Encontre a velocidade de deslocamento da interface gás-combustível. Para descrever o comportamento do gás no tanque, assuma que este se comporta idealmente , não obstante a pressão elevada no tanque. A pressão atmosférica local é de 100 kPa. Dados : massa molar do gás de 28 g/mol. Resposta : 0,25 m/s

Exercício 2.25 (exercício 3.19 White 4º edição) Um tanque de água de seção transversal constante parcialmente cheio, recebe água a 20oC com uma vazão em peso de 85 N/s, enquanto descarrega água do outro lado com vazão de 5500 cm3/s. A camada de ar no tanque tem um suspiro no topo e está a 20oC e 1 atm. Qual a vazão em peso de ar que está atravessando o suspiro? Em que sentido? Resposta : 135 N/h (para fora)

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Exercício 2.26 (exercício White)

Em alguns túneis de vento, a seção de teste é perfurada para promover o escoamento de ar. A parede na seção de teste contém 1200 orifícios/m2 (diâmetro do orifício 5 mm). Conforme a figura indica, a seção de teste apresenta comprimento L = 4m e diâmetro Ds =0,8m. A velocidade de sucção do ar em cada orifício é 8 m/s . A velocidade do ar na entrada da seção de teste é V1 = 35 m/s.

Considere escoamento em regime permanente a 20ºC e que o ar possa ser modelado como um gás ideal e como um fluido incompressível com razão entre as capacidades caloríficas de 1,4. Determine: a) a velocidade Vo na tubulação com diâmetro Do=2,5 m; b) o número de Mach na tubulação de diâmetro Do=2,5 m e o tipo de escoamento; A hipótese de desprezar

variações na densidade devidas a variações na pressão pode ser feita? d) a vazão mássica na tubulação de diâmetro 2,2 m, assumindo que a pressão nesta seção seja 100kPa; Resposta : Vo=3,58 m/s; Ma =0,01/incompressível; 18,6 kg/s Exercício 2.27 (exercício 3.14 White) O tanque aberto da figura contém água e está sendo abastecido pelos dutos de seção 1 e 3. Considere temperatura ambiente. Pede-se: a) Deduza uma expressão analítica para a taxa de variação do nível da água, em termos das vazões volumétricas nas seções (1), (2) e (3) e do diâmetro do tanque (cilíndrico) D, arbitrário; b) Se o nível de água for constante, determine a velocidade na seção (2), supondo velocidade na seção (1) igual a 3 m/s e vazão em volume na seção (3) de 0,01 m3/s. Resposta: 4,13 m/s

Exercício 2.28 Água, a 20ºC entra no tanque mostrado ao lado através da seção (1) com velocidade igual a 0,35 m/s, e sai através da seção (3) a uma taxa de 3850 kg/h. Sabendo que o nível de água no tanque é constante, que o diâmetro da tubulação na seção (1) é de 6,35 cm e na seção (2) é de 1,27 cm, pede-se: a) Fazer um balanço de massa (indique no desenho o volume de controle usado) e calcular a vazão volumétrica em m3/h na seção (2). Calcular, também, a vazão mássica em kg/h e a velocidade em m/s nessa seção; b) Indicar se a água está entrando ou saindo do tanque através da seção (2). Resposta: 0,0365 kg/s; 3,66x10-5m3/s; 0,29 m/s

Exercício 2.29 (exercício adaptado White 3.13 6º edição)

O recipiente cilíndrico apresenta 20 cm de diâmetro e contração cônica no fundo à qual está conectada uma tubulação de 3 cm de diâmetro. O tanque está aberto e contém água nas condições padrão ao nível do mar. Se o nível de água (h) estiver subindo a uma taxa constante de 0,072 m/s, pede-se: a) A velocidade média da água na tubulação inferior do recipiente durante a condição estabelecida. b) A vazão de transbordo quando o nível de água atingir a altura do tanque, assumindo que a vazão na tubulação não se altere. Resposta : 3,2 m/s; 0.002261 m3/s

Exercício 2.30 (adaptado exemplo 3.1 Bennet - P1 turma 3E 2006/2S) Um tanque cilíndrico com seção transversal de área igual a 0,372 m2 é cheio com água a 20oC até uma profundidade de 1,83m. Neste momento a alimentação é interrompida e uma válvula é aberta no fundo do tanque. A vazão mássica de água que sai do tanque diminui à medida que a altura do líquido diminui de acordo

com a expressão 16,44 z , sendo que z corresponde à altura de líquido no tanque e nessa expressão a vazão é dada em kg/min e z em m. A partir do desenvolvimento de BM, determinar: a) a taxa de variação da altura de água no tanque no instante inicial e a taxa de variação do nível de água no

instante em que o nível de água no tanque atinge 0,61m. b) o tempo para que a altura da água no tanque atinja 0,61m. c) a vazão volumétrica e a vazão em peso que deveria ser introduzida no tanque para que o tanque operasse

em regime estacionário com uma altura de 0,61m. d) a velocidade média de escoamento pela tubulação de entrada em operação estacionária do tanque

correspondente a uma altura de água de 0,61m. Admita que a tubulação de entrada tenha um diâmetro interno de 10 cm e que a temperatura da água na corrente de entrada também seja de 20oC.

Resposta : 0,062 m/min; 0.035 m/min; 25,8 min; 0,0129 m3/min; 127 N/min; 1,6 m/s

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Exercício 2.31 (adaptado exemplo 7.7-1 Bird et al., 2004) Um cilindro aberto, de altura H e raio R, está inicialmente cheio por completo com um líquido. No tempo t=0, drena-se o líquido através do pequeno orifício de raio Ro aberto à atmosfera situado no fundo do tanque como mostra a figura. Pede-se encontrar o tempo de descarga do tanque , assumindo que a velocidade de saída possa ser

representada pela equação de Torricelli, 2v gh= .

Resposta: 2

0

R 2Ht

R g

=

Curiosidade: A expressão de Torricelli é uma

boa aproximação quando ( )41>>

o

RR .

Exercício 2.32 (adaptado do exercício 3.24 White 6º edição)

Água entra pelo fundo de um tanque cônico, inicialmente vazio com velocidade média (V) uniformemente crescente com o tempo, expressa por V=kt, sendo k uma constante. O fundo do cone apresenta uma tubulação com diâmetro d. O escoamento é isotérmico e o diâmetro d é muito menor que o diâmetro D da superfície superior do tanque cônico. A altura do tanque cônico é H. a) Desenvolva uma expressão analítica da altura do nível

de água h(t) em função do diâmetro do tubo d, do raio de abertura do cone θθθθ, da constante k e do tempo t durante o enchimento.

b) Transcorridos T instantes de tempo, a altura de líquido é ho e o enchimento é interrompido e a água passa

a ser retirada do tanque a uma velocidade média dada por 2V gh= , sendo g a aceleração da gravidade

e h a altura de água no tanque. Determine o instante de tempo t em que a altura de água atinge o valor de

2oh

em função de D, d, ho, g, H e T.

Resposta :

1/322

2

3 kdh t

8 tg

= θ ;

( )2 2,5

2 2,5

11

22,5 2oD h

t Tg dH

= + −

Exercício 2.33 (prova FT-I turmas 3E- 3D) A figura mostra um tanque cilíndrico aberto de 2m de diâmetro interno, o qual é usado para estocar água à

temperatura ambiente. O tanque pode ser alimentado por duas correntes com vazões volumétricas 1V& (cuja

vazão volumétrica é mantida constante em 0,98125 l/s) e 2V& . O tanque possui uma única corrente de saída,

cuja vazão sV& é controlada. Na tubulação 2 a vazão não é constante.

Vazão da corrente 1:

1 0,98125 0 20minV t= ≤ ≤&

Vazão da corrente 2:

2

0 10min

0,0008175 10 20min

tV

t t

<= ≤ ≤

&

Vazão da corrente de saída: 0,98125 0 10min

1,20000 10 20mins

tV

t

≤ <= ≤ <

&

Pede-se: a) Quando não há escoamento através da corrente (2) e a vazão de saída é de 0,98125 l/s, indicar se o

processo se encontra em regime permanente ou transitório. b) O escoamento através da corrente (2) se inicia no instante 10 min, na forma de uma perturbação do tipo

“rampa”, a qual pode ser modelada como: 2 0,0008175V t=& , sendo t o tempo medido em segundos e 2V&

dado em (l/s). No instante 10 min a altura de água do tanque é de 2,0 m e o engenheiro de processos ajusta a vazão de saída para 1,2 l/s. Calcule a altura de água no tanque sendo transcorridos mais 10 minutos, ou seja, a altura de água no instante 20min.

Resposta : E.E.; 2,099 m

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Exercício 2.34 (adaptado exercício 3.29 White 6º edição) De acordo com a teoria elementar de escoamento compressível a vazão mássica de saída de ar através de um pequeno orifício de um tanque é diretamente proporcional à densidade do ar no tanque. Considere que para um tanque esférico rígido de diâmetro 50 cm, a vazão mássica inicial seja de 0,01 kg/s e que a temperatura inicial seja de 100oC e a pressão de 300kPa. Determine o tempo necessário para que a densidade do tanque caia pela metade. Considere que para qualquer instante de tempo a densidade do ar na saída do tanque seja igual à densidade do ar dentro do tanque. Admita que o ar se comporte como um gás ideal. Dados: Massa Molar do ar de 0,02897 kg/mol. Resposta : 1,3 s Exercício 2.35 (exemplo 4.3 de Fox, 2001) Um tanque de 0,05 m3 contém ar a 800 kPa e 15oC. No instante inicial ar escapa do tanque através de uma válvula de escoamento de 65 mm2. O ar que passa pela válvula tem uma velocidade de 311 m/s e uma massa específica de 6.13 kg/m3. As propriedades no resto do tanque podem ser consideradas uniformes a cada instante. Determine a taxa instantânea de variação da massa específica do ar no tanque em t=0s. Resposta : -2,48 kg/(m3s) Exercício 2.36 Um tanque de tampa móvel controlável contém ar com massa específica de 1,18 kg/m3 ocupando um volume inicial de 1 m3. O tanque é conectado a uma linha de ar comprimido por meio de uma válvula. A válvula é aberta e o ar entra no tanque até que a densidade do ar no tanque se eleve a 7,20 kg/m3 e o volume do ar no tanque seja de 2 m3. O tempo transcorrido para essa adição de ar é de 1 hora. Sabe-se que a vazão mássica de ar que entra é mantida constante. Pede-se: a-) Determinar, através do equacionamento por meio de balanço de massa, a massa de ar que entrou no tanque e a vazão mássica de entrada. b-) Se a temperatura do ar no tanque no instante final foi medida como sendo 30oC, determine a pressão do ar no tanque no instante final. Resposta : 13,22 kg; 13,22 kg/h; 629 kPa Exercício 2.37 (exercício de prova)

O tanque de água a 20oC cilíndrico de diâmetro interno de 20 cm mostrado na figura é abastecido com uma vazão de 7,58 litros/min, enquanto a água também é drenada por uma tubulação na parte inferior do tanque de diâmetro interno de 1 cm. O nível do tanque sobe com velocidade constante de 3 mm/s. A partir do equacionamento do problema na forma de equações de balanço e indicação do volume de controle escolhido, pede-se:

a) A velocidade de saída da água pelo furo na parte inferior do tanque, assumindo que a vazão de saída seja mantida constante.

b) O tempo até o tanque começar a transbordar, considerando que no instante inicial a profundidade da água no tanque é de 8 cm e que a altura do tanque é de 40 cm.

Resposta : 0,4 m/s; 107 s

Exercício 2.38 (exercício adaptado do Woodrow Roma, cap. 3 ) Um tanque cilíndrico de 0,3 m de diâmetro é drenado através de um orifício em seu fundo. No instante em que a profundidade da água é de 0,6 m, constata-se que a descarga de saída pelo orifício é de 4 kg/s. Determine a velocidade de variação do nível da água neste instante. Para as condições do escoamento considere a densidade de água de 1000 kg/m3. Admita um sistema de coordenadas posicionado no fundo do tanque e um eixo x posicionado verticalmente. Resposta : -0,05659 m/s Exercício 2.39 Considere um tanque cilíndrico com uma corrente de alimentação e uma corrente de saída. Num dado instante, observa-se que no tanque estão contidos 150 ton de um fluido e, nesse instante, a vazão de alimentação do tanque é de 1,2 ton/h e a vazão de saída é de 1,2 + 0,05 t (ton/h), sendo o t tempo contado a partir deste instante e computado em horas. Sabendo-se que estas vazões permanecerão inalteradas por 15 horas, calcule a massa no tanque ao final desse período. Resposta : 144, 375 ton.

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Exercício 2.40 ( exercício adaptado de Woodrow Roma, cap.3, figuras cedidas pelo prof. Edvaldo Ângelo) Tem-se um reservatório de água sendo esvaziado através de um orifício a uma vazão variável no tempo, porém, constante dentro de determinados intervalos. São dados: d = 0,564 m, D = 4,37 m e no instante inicial t=0 o nível indica h=3 m. Pede-se:

a- Obter as expressões analíticas de variação do nível em função do tempo. b- Traçar o gráfico do nível do tanque em função do tempo. c- Determinar quando o tanque estará vazio.

Resposta :

Exercício 2.41 (Exercício Potter adaptado prova 4E 2S2012)

Por um tanque cilíndrico com diâmetro de 120 cm, água entra pela tubulação (1) com vazão volumétrica

expressa por 1V kt=& (m3/s), sendo k=1,2x10-5 m3/s2

e t (s). Água também entra pela tubulação (2) com vazão volumétrica de 1,0 l/s (litros por segundo). A saída da água no tanque ocorre pela tubulação (3) com diâmetro D3=4 cm e velocidade V3=0,5 m/s. Considere que no instante inicial o tanque esteja vazio. A partir do desenvolvimento de balanço de massa determine, assumindo que o processo se dê isotermicamente a 35 oC:

a) O nível (h) de água no tanque em 30 minutos; b) A vazão mássica na seção (2) para que o nível do tanque permaneça constante. Resposta : 17,79 m; 0,01198t-0,6271 Exercício 2.42 Um tanque esférico de raio 2 m, contendo inicialmente 20,51 m3 de combustível líquido com massa específica de 1000 kg/m3, é alimentado com combustível líquido, de densidade 1000 kg/m3, por três tubulações. As vazões em massa das correntes de alimentação variam em função do tempo, sendo expressas por:

1 0,01m t=& , 2 0,02m t=& e 3 0,02m t=& (a vazão em massa é medida em kg /s e o tempo em segundos).

Determine o tempo para atingir o limite de capacidade do tanque. Resposta : 721,11 s

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Exercício 2.43 (exercício White 3.12 adaptado – prova 4E 2S2012) O escoamento de água através de um tubo cilíndrico horizontal de diâmetro constante d= 12 cm permite que um tanque cilíndrico, acoplado à tubulação, contenha água. O diâmetro do tanque cilíndrico é 75 cm e a altura do tanque é 1 m e no instante inicial, a profundidade da água no tanque é 30 cm. Na tubulação horizontal, a velocidade da água na seção (1) é V1 = 2,5 m/s e a velocidade da água na seção (2) é V2 = 1,9 m/s, conforme mostrado na figura. O fluido escoa nas tubulações em escoamento isotérmico a 20oC, mas a temperatura no interior do tanque é mantida constante em 60oC. A partir da aplicação de balanço de massa em um volume de controle pede-se: a) A vazão volumétrica de água na entrada do tanque cilíndrico; b) A partir do equacionamento do balanço de massa, determinar a taxa de variação do nível de água no

tanque e o tempo para encher completamente o tanque com água. c) Determinar a vazão volumétrica de transbordo. Resposta : a) 6,786 l/s; b) 0,01559 m/s; t= 45 s; c) 6,888 l/s

Exercício 2.44 (exercício cedido pelo Prof. Edvaldo Ângelo) É muito comum em processos industriais a necessidade da diminuição da temperatura da água. A figura abaixo ilustra um circuito em que água, oriunda de trocadores de calor (em temperatura maior que a temperatura ambiente), é submetida a uma passagem por uma torre de resfriamento. Na torre de resfriamento ar é admitido por aberturas inferiores e escoa de modo ascendente trocando calor com a água que cai por ação da gravidade. O ar é então lançado no ambiente, entretanto, carregando uma certa quantidade de vapor de água. Em função da quantidade de vapor de água lançada na atmosfera, para que não ocorra falta de água no circuito é necessário utilizar um tanque de reposição de água.

Sabendo que o volume de água inicial do tanque de reposição é de 0,9 m3, determine qual o tempo necessário para esvaziar o tanque de reposição comp letamente . Admita que toda água arrastada pelo ar seja reposta pelo tanque de reposição. O tanque de reposição não conta com nenhuma corrente de alimentação, ou seja, apresenta apenas uma saída e nenhuma entrada. A densidade da água nas condições do tanque de alimentação é de 998 kg/m3. Resposta : 9,98 dias (~10 dias)

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Exercício 2.45 (adaptação de exercício de prova turma 3F, cedido pelo Prof. Dr. José Placido/UNIFESP)

Após um período de racionamento de água, a caixa mostrada “finalmente” volta a receber seu precioso líquido a uma taxa de 1450 kg/h através da tubulação 1. No entanto, alguém esqueceu aberta a torneira da pia externa à casa, sendo a velocidade do escoamento nessa seção (seção 3) igual a 0,113 m/s. Transcorrido um certo período de tempo, alguém decide tomar banho consumindo água a uma taxa de 0,5 m3/h através da tubulação 2. O diâmetro da tubulação que passa nas seções 2 e 3 é de 2.5cm.

A caixa tem 1m de altura por 1m de profundidade por 1,5 m de largura. Sabendo-se que a altura da bóia é de 80cm, e que a água está a 20oC, pede-se: a) Supondo que a altura da caixa da água quando esta começa a ser enchida seja de 5cm e que o banho de

45minutos seja tomado transcorridos 15 minutos do início de enchimento da caixa d’água, determinar o tempo até a caixa d’água ser enchida até a altura da bóia de 80cm.

b) Qual a massa de água contida na caixa ao final do tempo calculado no item anterior? Resposta: 72min Exercício 2.46

A figura ao lado mostra um esquema de uma unidade industrial para a produção de um hidrocarboneto, a qual opera em condições estacionárias. Desconfia-se que esteja havendo um vazamento e para tanto, deseja-se avaliar as vazões esperadas em todas as correntes de modo que os valores calculados possam ser confrontados com medições realizadas na planta industrial. Na tabela a seguir são dados valores conhecidos das vazões mássicas em unidades do Sistema Internacional de algumas correntes. Pede-se completar a tabela, assumindo operação estacionária e indicando os cálculos efetuados e os volumes de controle adotados.

1m& = 50 4m& = 7m& = 10m& = 13m& = 16m& = 40

2m =& 40 5m& = 8m& = 11m& = 14m& = 17m& =

3m& = 200 6m& = 9m& =90 12m& = 80 15m& = 18m& = 30

Sugestão: inicie os cálculos, obtendo as vazões das correntes 14, 15 e 17. Respostas: 240; 60; 110; 350; 350; 440; 440; 360; 20; 270; 230 Exercício 2.47 (exercício de prova)

A figura mostra um sistema de distribuição de água em tubulações. A tubulação da entrada apresenta diâmetro D1= 300 mm, sendo dividida em três tubulações de diâmetros D2=300 mm, D3=200 mm e D4=375 mm. As três tubulações se juntam num tubo com diâmetro D5=300 mm. A densidade da água nas seções (1), (2), (3) e (4) é 998 kg/m3, mas na seção (5) a densidade é 880 kg/m3. A vazão volumétrica na seção (1) é igual a 0,05 m3/s e a vazão mássica na seção (3) é igual a 15 kg/s.

Considere que a vazão mássica na seção (2) é igual à vazão mássica na seção (4). O regime de escoamento é permanente e incompressível. Apresentando o equacionamento por balanço de massa e indicando o(s) volume(s) de controle(s) adotado(s), pede-se: a) A vazão volumétrica na seção (5) em m3/s; b) A velocidade da corrente (2); c) A velocidade da corrente (4). Resposta : 0,057 m3/s; 0,25 m/s; 0,16 m/s

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Exercício 2.48 (exercício de prova) A figura a seguir mostra uma unidade produtiva de suco de laranja obtido a partir da diluição com água de um suco concentrado. A água para a diluição é armazenada no tanque 1, o qual recebe água de reposição pela seção (1). Do tanque de água é retirada uma corrente pela seção (3). Parte da água da corrente (3) é reciclada para o tanque e uma parte é enviada para o tanque de diluição de suco (tanque 2). Foi constatado um vazamento na tubulação de envio de água para o tanque 2, indicado como seção (6) no desenho. As seguintes informações são conhecidas: ∗ O nível e a densidade do tanque 1 que contém água pura são constantes. A densidade da água é de 1000

kg/m3. ∗ Densidade das correntes que contém água (seções 1 a 7) constante de 1000 kg/m3. ∗ Vazão volumétrica da corrente 1 de 10 m3/h. ∗ Vazão volumétrica da corrente 3 de 15 m3/h. ∗ Vazão mássica de suco concentrado introduzida no tanque constante de 1,5 kg/s. ∗ Densidade no tanque 2 é assumida constante e igual a 1200 kg/m3. Pede-se, a partir do equacionamento das equações de balanço de massa e indicação dos volumes de controle e documentação das hipóteses usadas: a-) Obter a vazão de água na seção (5). b-) Sabendo-se que inicialmente o tanque 2 encontra-se vazio e que o nível de 12000 litros é alcançado no

tanque (2) em 60 minutos, determinar a vazão volumétrica da corrente (7) de água que alimenta o tanque 2.

c-) Obter a vazão volumétrica do vazamento pela seção (6).

Exercício 2.49 (exercício cedido pelo Prof. Edvaldo Ângelo)

Um tanque inicialmente vazio é alimentado por uma vazão constante 30 litros/minuto. Determine uma expressão do nível h do fluido em função do tempo t (faça um gráfico do nível versus tempo, indicando quando é atingida a capacidade do tanque). Resposta :

Equação: 2550 330= +t h h

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3ª parte: Definição e comportamento reológico de fl uidos; introdução ao BQM Exercício 3.1 Esboce em um gráfico de tensão cisalhante por deformação angular o comportamento característico de fluidos Newtonianos e não Newtonianos . Exercício 3.2 (exercício de prova) Considerando que a viscosidade da água e do etanol a 20 oC sejam, respectivamente de 1,0 cP e de 1,2 cP, esboce em um gráfico de tensão de cisalhamento em função da taxa de deformação angular, o comportamento reológico destes dois fluidos. Exercício 3.3 Esboce em um gráfico de deformação angular por tempo, assumindo tensão de cisalhamento, temperatura, composição e pressão constantes, o comportamento característico de fluidos Newtonianos. Caracterize também exemplos de possíveis comportamentos de fluidos não Newtonianos. Exercício 3.4 Indique com um (V) se a afirmativa for verdadeira e com um (F) se for falsa. Corrigir a frase se necessário:

( ) A viscosidade de gases aumenta com o aumento da temperatura, enquanto que a de líquidos diminui com o aumento da temperatura. Nos líquidos o comportamento observado é explicado pela diminuição da intensidade das forças de atrações intermoleculares com o aumento da temperatura. Nos gases ocorre uma intensificação das mesmas com o aumento da temperatura.

( ) Os fluidos a, b mostrados na figura apresentam comportamento Newtoniano.

( ) Os fluidos c, d mostrados na figura apresentam comportamento não-Newtoniano.

( ) Fluidos ideais apresentam gradiente não nulo de velocidades.

( ) Perfis uniformes de velocidade são característicos de fluidos Newtonianos, os quais têm viscosidade não nula.

( ) O comportamento reológico do fluido d mostrado na figura indica que quanto maior a tensão de cisalhamento aplicada menor é a resistência ao escoamento.

Exercício 3.5 (figura cedida pelo Prof. Edvaldo) O gráfico ao lado indica a variação tensão de cisalhamento em função do tempo para um determinado fluido (supondo a taxa de deformação, temperatura, composição e pressão constantes durante o escoamento). Este fluido é do tipo newtoniano? Caso não seja, como seria o gráfico para um fluido newtoniano?

Exercício 3.6 (adaptado de exercício de prova)

Um polímero fundido é descrito pela equação:

0,3841

4 xxy

dv0,9609 10

dy

τ = − ×

. Este fluido é Newtoniano?

Justifique a resposta.

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Exercício 3.7 (exercício de prova) Complete as frases a seguir apresentadas: Fluidos de Sisko, os quais são fluidos _________________ (Newtonianos/não Newtonianos) obedecem à

seguinte equação

1s

x xxy s

dv dvK

dy dy

α

τ µ−

∞

= − +

, sendo, µ∞, Ks e αs constantes de um dado fluido.

A viscosidade de um dado fluido Newtoniano que não sofre alteração em sua composição é função de _____________ e ______________ (citar o nome das grandezas das quais o valor da viscosidade é dependente). Exercício 3.8 (exercício de prova) Indique com um (V) se a afirmativa for verdadeira e com um (F) se for falsa. No último caso, corrija a frase. Para avaliar as frases, analise os gráficos a seguir, em que u indica a velocidade do fluido. Gráfico 1 Gráfico 2

(figuras extraídas de Munson, B. R.; Young, D. F.; Okiishi, T. H. Fundamentos da Mecânica dos Fluidos) ( ) Analisando-se o gráfico 1 conclui-se que o ar apresenta viscosidade dinâmica inferior à dos líquidos

considerados. ( ) No gráfico 1 são apresentadas duas retas para a água líquida em diferentes temperaturas. Conclui-se que

T1 é maior do que T2. ( ) A água apresenta uma resistência ao escoamento superior ao petróleo. ( ) Para os fluidos dilatantes (curva imediatamente abaixo da referente ao fluido newtoniano no gráfico 2), a

viscosidade aparente se torna menor quanto maior for a tensão de cisalhamento imposta ao fluido. ( ) Tanto para os fluidos newtonianos como para os não newtonianos a viscosidade dinâmica depende da

taxa de cisalhamento du/dy. ( ) Se no gráfico 1 fosse representada a reta para ar atmosférico a 30 °C, essa reta estaria acima da reta

para ar a 16 °C. ( ) O plástico de Bingham é uma substância que requer uma tensão de cisalhamento finita para começar a

escoar. Exemplos dessa substância são a pasta de dente e o “ketchup”. Plásticos de Bingham são fluidos Newtonianos.

Exercício 3.9 (figura cedida pelo Prof. Edvaldo Ângelo)

Um fluido Newtoniano de viscosidade µ escoa no interior de um duto de seção retangular desenvolvendo um perfil de velocidades dado por

04 1y y

V VH H = −

, onde 0V é a velocidade no centro do duto

retangular. Pede-se: a) Verificar que a condição de não escorregamento é atendida. b) Calcular o gradiente de velocidade na parede superior. c) Determinar a tensão de cisalhamento na parede superior. d) Determinar a tensão de cisalhamento no centro do duto.

Respostas : 04 V

H

µ; 0

T1

1

T2

20

Exercício 3.10 (exercício Bird- pág.15)

Determinar a tensão de cisalhamento em um fluido confinado entre duas placas paralelas distanciadas de 0,3 mm. Considere a placa inferior com velocidade de 0,3 m/s e que a placa superior esteja parada. A viscosidade do fluido é 0,7 cP. Assuma que o perfil de velocidades seja linear. Resposta : 0,7 Pa. Exercício 3.11 (figura extraída de Bird) A figura a seguir mostra o escoamento descendente de um fluido Newtoniano sobre uma parede plana inclinada de comprimento L e largura W. A espessura da camada de fluido é δ.

Pede-se: a) Mostrar se o perfil de velocidades indicado obedece ao princípio de aderência. Na equação do perfil de

velocidades δ indica a espessura da camada de líquido. b) Calcular a tensão de cisalhamento na superfície da placa inclinada, admitindo que o fluido seja água

escoando a 20oC e que a espessura do filme de água seja de 3 mm e o ângulo de inclinação β seja de 45º. Resposta : 20,77Pa Exercício 3.12 (PAIE – turma 5X) Um fluido Newtoniano de viscosidade 1 Pa s escoa entre duas placas planas paralelas distanciadas de 1 cm em escoamento laminar. A placa inferior está parada e a superior é movida com velocidade constante de 2 m/s. O perfil de velocidades no fluido é dado por:

22

1 12 2o o

xo o

v Pyy yv

y L y

∆ = + + − µ

Sendo, vx a velocidade na direção paralela às placas, vo a velocidade da placa superior, 2yo a distância entre as placas, L o comprimento das placas, µ a viscosidade do fluido e ∆P a queda de pressão no escoamento. A origem do sistema de coordenadas está entre as duas placas.

O comprimento de cada placa em contato com o fluido é de 4 m e a largura da placa é de 2m. Pede-se para uma queda de pressão ∆P=8000 Pa : a-) verificar que o perfil de velocidades atende à condição de não escorregamento. b-) determinar o gradiente de velocidades em contato com a placa superior. c-) determinar a tensão de cisalhamento em contato com a placa superior.

Respostas :

1; para (placa superior): 190( );2

190(Pa); (sentido do eixo contrário à transferência de quantidade de movimento)

x o xo

o

xy

dv v dvPyy y s

dy y L dy−∆= − = =

µτ = −

21

Exercício 3.13 São dadas duas placas paralelas distanciadas de 2 mm preenchidas com óleo de viscosidade cinemática 0,1 St e densidade 830 kg/m3. A placa superior move-se com velocidade constante de 4 m/s e a placa inferior está fixa. Admita que o perfil de velocidades no óleo possa ser considerado linear e que a condição de não escorregamento é verificada. Pede-se, definindo a orientação dos eixos conforme o sentido da transferência de quantidade de movimento, ou seja, no sentido da maior para a menor velocidade: a) obter o perfil de velocidades b) calcular o gradiente de velocidades em contato com a placa superior. c) determinar a tensão de cisalhamento que age no óleo em contato com cada uma das placas. d) Calcular a força de arrasto em cada placa, sabendo que a área de contato entre a placa e o óleo é de 2

m2. e) Determinar a potência que um motor deve fornecer à placa superior para desloca-la, considerando que a

única resistência significativa ao deslocamento da placa seja aquela promovida pelo fluido. Resposta: v=-2000y+4 (m/s); y em (m); - 2000 s-1; 16,6 Pa; 33,2 N; 133W Exercício 3.14: (Adaptado d0 exercício 1.17 Brunetti, figura cedida pelo Prof. Edvaldo Ângelo)

Na figura, uma placa de espessura desprezível e área superficial de contato com cada fluido de A1 = 2 m2 desloca-se com velocidade constante de 5 m/s, na interface de dois fluidos imiscíveis, tracionada por uma força F = 400 N. Na parte superior, a espessura da camada de fluido é de 1 mm e o diagrama de velocidades pode ser considerado linear. Na parte

inferior, o diagrama é dado por 2V a y b y c= + + . Pede-se, admitindo válido o Princípio de Aderência para ambos os fluidos: a) a expressão do diagrama de velocidades no fluido superior ( ( )V V Y= ); b) a tensão de cisalhamento na parte superior da placa em movimento; c) a tensão de cisalhamento na face inferior da mesma placa; (Dica: aplique o BQM sobre a placa) d) a expressão do diagrama de velocidades do fluido inferior ( ( )V V y= ). (Dica: aplique a Lei da Viscosidade de Newton e escreva as condições de contorno para o fluido) e) As forças de arrasto sobre cada uma das paredes fixas. Considere que a área de cada parede em contato com cada fluido seja de 2m2.

Respostas : a) 5000V Y= ; b) |150| Pa; c) |50| Pa; d) 25 7,5V y y= + .

Exercício 3.15:

Na figura, uma placa de espessura desprezível e área superficial de contato com cada fluido de A1 = 2 m2, desloca-se com velocidade constante de 5 m/s, na interface de dois fluidos imiscíveis, tracionada por uma força F = 400 N. Considere válido o princípio de aderência para ambos os fluidos. Na parte superior, a espessura da camada de fluido é de 1 mm e o diagrama de velocidades pode ser considerado linear.

Na parte inferior, o diagrama é dado por 2V a y b y c= + + . Cada uma das paredes fixas tem área de contato com o fluido adjacente de 2m2. Pede-se: a) A expressão do diagrama de velocidades no fluido superior ( ( )V V Y= ); b) A tensão de cisalhamento na parte superior da placa em movimento; c) A força de arrasto exercida sobre a parede superior fixa. d) A tensão de cisalhamento na face inferior da mesma placa. e) A expressão do diagrama de velocidades do fluido inferior ( ( )V V y= ). f) A tensão de cisalhamento exercida sobre a parede inferior fixa. g) A força de arrasto exercida sobre a parede inferior fixa.

22

Exercício 3.16 (adaptado do exercício 1.52 White- 6º edição)

A figura ao lado mostra uma correia que se move com velocidade constante de 2,5 m/s. Admita que o escoamento do óleo SAE 30 W seja unidirecional, isotérmico e que o perfil de velocidades no óleo seja linear. A largura da correia é 60 cm.

Considere que o princípio da aderência seja válido. A espessura da camada de óleo é de 3 cm e o comprimento da correia em contato com o fluido (L) é de 2 m. O óleo está a 20oC. Pede-se: a) Determinar a tensão de cisalhamento do fluido em contato com a correia. b) A potência do motor para acionar a correia, considerando que o atrito com o ar e nas partes engrenagens

seja desprezível. Resposta: 24 Pa; 72W Exercício 3.17

Considere dois fluidos newtonianos com viscosidades µ1=

0,1 Pa.s e µ2= 0,15 Pa.s, contidos entre duas placas planas paralelas, cada placa com área de 1 m2 como indicado na figura. As espessuras das camadas de fluido são h1= 0,5 mm e h2=0,3 mm, respectivamente. Uma força F é aplicada sobre a placa superior de forma que a placa superior se move a uma velocidade constante de 1 m/s. A placa inferior permanece parada. Os perfis de velocidades nos dois fluidos são lineares como indicado na figura. A placa inferior encontra-se parada e os dois fluidos obedecem ao princípio da aderência. A velocidade dos dois fluidos na interface de contato entre eles é a mesma, conforme mostrado na figura. A tensão de cisalhamento entre os dois fluidos também é a mesma. Pede-se:

a) Obter a expressão para os perfis de velocidade em cada fluido e a velocidade na interface entre os dois fluidos.

b) Determinar a tensão de cisalhamento do fluido em contato com a face superior. c) Calcular a força F que deve ser aplicada na placa superior.

Resposta: 0,71 m/s; 143 Pa; 143 N Exercício 3.18

Uma fita adesiva de espessura (t) igual a 0,038 cm e largura (b) igual a 2,5 cm de deve ser revestida em ambos os lados com cola. Para isso, ela é puxada em posição centrada através de uma ranhura retangular estreita, sobrando um espaço (c) igual a 0,03 m em cada lado. A cola tem viscosidade de 0,96 (Pa.s) e preenche completamente os espaços entre a fita e a ranhura. Assuma que os perfis de velocidade sejam lineares em cada espaço como indicado na figura e que a cola obedece ao princípio da aderência. Sabe-se que a fita pode suportar uma força máxima de tração (F) de 111 N e que deve ser puxada com uma velocidade constante V de 1 m/s. Pede-se: a) A expressão para o perfil de velocidades.

Observação : note que os perfis de velocidade são os mesmos acima e abaixo da fita.

b) A tensão de cisalhamento em cada face da fita exposta à cola.

c) Determinar o comprimento L através da ranhura até onde a fita pode ser puxada com a força máxima de tração F.

Resposta: 1 33,33= −v y (y em m); 32 Pa; 69,4 m

23

Exercício 3.19 ( exercício 1.45 White 6 edição)

Resposta: v=hmgsen

A

θµ

; v=15 m/s

Um bloco de massa m desliza para baixo em um plano inclinado enquanto é lubrificado por uma película fina de óleo de viscosidade dinâmica µ, como mostra a figura. A área de contato do filme é A e a espessura da película é h. Assumindo uma distribuição linear da velocidade do óleo, deduzir uma expressão para a velocidade terminal V do bloco (com aceleração igual a zero) em função de seu peso, do ângulo de inclinação θ, da viscosidade do óleo µ, da área de contato do bloco A e da espessura da camada de óleo h. Determine a velocidade do bloco se a massa do bloco é de 6 kg, A = 35 cm2, θ=15º e a película consta de óleo SAE 30 com espessura de 1 mm a 20ºC. (Dica: aplique o BQM sobre o bloco para obter o valor da força de atrito com o fluido.)

Exercício 3.20 (ENADE/ 2000)

A teoria da camada limite, desenvolvida no início do século XX, é segundo alguns autores, um dos últimos grandes avanços teóricos no campo da Mecânica dos Fluidos. A possibilidade de previsão teórica da força de arrasto em corpos submersos com diversas geometrias forneceu uma maior consistência aos projetos envolvendo este parâmetro. Uma geometria típica neste tipo de problema é a placa plana, cujos procedimentos de cálculo podem ser adaptados a outras geometrias. Considere que o escoamento sobre as duas superfícies da placa (ver figura) ocorre em regime laminar e pode ser descrito por:

2

2xv y y

V δ δ∞

= −

0,5

5,48

Rexx

δ = sendo Rex

V xρµ

∞=

onde V∞ é a velocidade do escoamento em região afastada da placa; δ é a espessura da camada limite; Rex

é o Número de Reynolds local; eρ µ são, respectivamente, a densidade e a velocidade do fluido escoando.

Determine a força de arrasto AF em uma placa plana (3m×1,5m), de espessura desprezível, quando o ar (fluido newtoniano com massa específica de 1,2 kg m-3 e viscosidade de 2×10-5 kgm-1s-1) se desloca a uma

velocidade de -15ms , na direção normal à aresta de 3,0m. Resposta : 0,2934N Exercício 3.21: (adaptado de exercício 2.34 - Fox)

Um bloco de massa M desliza sobre uma fina película de óleo de espessura h e viscosidade µ que se encontra sobre uma superfície plana horizontal. A área do bloco em contato com o óleo é A. O bloco encontra-se conectado por meio de um cabo a um outro corpo de massa m conforme mostrado na figura. Quando o corpo de massa m é solto, ele exerce tração no cabo, causando aceleração no bloco de massa M. Desprezando o atrito com a polia e com o ar e assumindo que o perfil de velocidades na camada de óleo seja linear, pede-se: a) obter a expressão para a força viscosa que atua

sobre o bloco de massa M quando ele se desloca com velocidade V.

b) deduzir a equação diferencial que descreve o comportamento da velocidade V em função do tempo c) determinar a expressão para a velocidade V(t).

Resposta :

24

Exercício 3.22: (adaptado de exercício de prova cedido pelo Prof. Edvaldo Ângelo) Dez latas cilíndricas são puxadas por um cabo através de um canal conforme a figura. As latas se deslocam com uma velocidade constante de 1 m/s. Sabendo que o diâmetro da lata é de 65 mm e seu comprimento é de 120 mm, e que existe uma fina camada de óleo SAE 30 W a 20oC de 0,3 mm de espessura entre cada lata e o canal, calcule a força necessária para manter o movimento, admitindo que o perfil de velocidades no óleo seja linear e que não haja queda de pressão significativa na direção axial.

Resposta : 118,4N Exercício 3.23 : (prova das turmas 3L/M do 2o semestre de 2012, exercício cedido pelo Prof. Edvaldo)

Resposta: 25,4N

Um painel publicitário (placa) é suspenso através da aplicação de uma força vertical F a um determinado conjunto. O processo de levantamento é realizado com velocidade constante igual a 0,75 m/s. O painel é fixado a uma barra que está solidária a duas camisas que deslizam sobre dois eixos cilíndricos. Os eixos (fixos) estão lubrificados com óleo de viscosidade dinâmica igual a 0,1 Pa.s. Sabendo que as folgas entre as camisas e os eixos são preenchidas completamente com óleo e sabendo que a massa de cada camisa, da barra e da placa valem 0,25 kg, 0,15 kg e 0,5 kg, respectivamente, determine qual é a força F. Admita que o conjunto se mova sem travamentos, que a temperatura do óleo se mantenha constante, que o perfil de velocidades no óleo seja linear e que não haja variações de pressão na direção do escoamento. São dados: r1 = 30 mm; r2 = 29,9 mm; L1 = 50 mm.

Exercício 3.24: (exercício 1.8 Brunetti) O dispositivo da figura é constituído de dois pistões de mesmas dimensões geométricas e materiais diferentes, que se deslocam em dois cilindros de mesmas dimensões. Entre os pistões e os cilindros existe um lubrificante de viscosidade dinâmica 0,01 Pa.s. O peso específico do pistão 1 é de 20 kN/m3. Determine o peso específico do pistão 2 para que o conjunto se desloque na direção indicada com velocidade de 2 m/s constante. Assuma perfis de velocidade lineares no óleo e despreze variações de pressão na direção do escoamento do óleo. Resposta : 16800 kN/m3

Exercício 3.25 (adaptado do exercício 1.40 Potter) A distribuição de velocidades de um fluido Newtoniano escoando no interior de um tubo horizontal de 4 cm de diâmetro é dada pela expressão V= 10(1 – 2500 r2), em que V é a velocidade do fluido em m/s na posição radial r medida em metros a partir do centro do duto. Sabe-se que a viscosidade do fluido é de 1,49 Pa s. Pede-se:

a) Determinar se o perfil de velocidades obedece ao Princípio de Aderência. b) Determinar o gradiente de velocidades na parede e a tensão de cisalhamento na parede. c) Se o tubo tem 100 metros de comprimento, determinar a força de arrasto imposta ao fluido pela tensão

de cisalhamento na parede. d) Obter o gradiente de pressão axial.

Resposta: Sim (v=0 para r =0,02m); dv/dr = - 50000 r (r em m e dv/dr em s-1); 1490 Pa; 18,7 kN; -149000 Pa/m

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4ª parte: Balanço de Quantidade de Movimento para V Cs macroscópicos – cálculo de forças de sustentação de instalações hidráulicas Exercício 4.1 (exercício 3.68 White 6º edição)

Resposta :

2e e e e a eF A V (p p )A= ρ + −

O foguete da figura tem uma descarga supersônica e a pressão de saída pe não é igual à pressão atmosférica pa. Determine a força F indicada no desenho necessária para conter esse foguete em estado estacionário na bancada de teste, bem como a velocidade de saída dos gases de combustão Ve pela seção de escape (seção e). Considere que na saída o perfil de velocidades seja uniforme. Sabe-se que o foguete é alimentado com combustível a uma vazão mássica fm& e com um oxidante a uma vazão

mássica om& . A área da seção de escape é Ae e a

densidade dos gases de combustão é eρ .

Exercício 4.2 (exercício 3.64 White 6º edição)

Um jato de água a 20oC em formato cilíndrico de 6cm de diâmetro atinge uma placa contendo um orifício de 4cm de diâmetro, conforme mostra a figura. Parte do jato atravessa o orifício e parte é defletida. Observou-se que o perfil de velocidades do jato antes de atingir a placa é uniforme com velocidade de 25m/s e não se altera ao passar pelo orifício. Determine a força na direção horizontal necessária para conter a placa. Admita escoamento incompressível e permanente. Resposta : 980N

Exercício 4.3 (exercício 3.40 White 6º edição )

O jato de água em escoamento incompressível estacionário da figura ao lado atinge a placa fixa na normal. Despreze o atrito com o ar, assuma perfis uniformes de velocidade e calcule a força na horizontal F necessária para manter a placa fixa.

Resposta : 500N

Exercício 4.4 (exercício 3.43 White)

Água a 20oC escoa através de um tubo de 5 cm de diâmetro com uma curva vertical de 180º, como na figura ao lado. O comprimento total do tubo entre as flanges 1 e 2 é de 75cm. Quando a vazão em peso é de 230 N/s, tem-se que a pressão do fluido na seção 1 é de 165kPa e na seção 2 de 134 kPa. Desprezando-se o peso da tubulação e das flanges, determine a força total (vertical e horizontal) que as flanges devem suportar para esse escoamento permanente, admitindo perfis uniformes de velocidade nas seções 1 e 2. Resposta : 755N (horizontal); 14,4 N (vertical)

Exercício 4.5 (exemplo 7.6 de Brodkey & Hershey)

Resposta : Fx=-2200 lbf; Fy = 2080 lbf

Água escoa em estado estacionário a uma vazão de 10 ft3/s através de um cotovelo horizontal de 60o com redução na saída. A pressão absoluta na entrada do cotovelo é de 100 psia e a pressão de saída é de 29 psia. Os diâmetros na entrada e saída são, respectivamente, de 6 e 4 polegadas. A pressão atmosférica local vale 1 atm. Assuma perfis uniformes de velocidade. Se o cotovelo é segurado por flanges, determine a força que deve ser exercida pelos parafusos das flanges.

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Exercício 4.6 (exercício de prova)

Quando em operação permanente, o ventilador mostrado na figura descarrega ar em escoamento incompressível com um perfil uniforme de velocidades de 20 m/s na forma de um jato cilíndrico com diâmetro de 0.5 m. Considerando a massa molar do ar atmosférico de 28.8 g/mol e sua temperatura de 298K, determine a força na direção horizontal do escoamento da reação em C para manter o ventilador fixo. Note que na seção de sucção do ventilador (seção A), tem-se ar parado. Resposta: 91 N

Exercício 4.7 (Prova 3E)

Respostas : 8,44 m/s; 2247N; 56,8N

Uma peça horizontal é conectada (por flanges nas seções 1 e 2) em uma instalação hidráulica horizontal , conforme a figura. Água a 20oC em escoamento incompressível e estacionário adentra na peça pela seção 1 e sai pelas seções 2 e 3. A seção 3 lança o fluido na atmosfera por um jato livre. São dados: diâmetro do tubo 1 de 6 cm, diâmetro do tubo 2 de 6 cm, diâmetro do tubo 3 de 4 cm, velocidade média do fluido na seção 1 de 12 m/s, velocidade média do fluido na seção 3 de 8m/s, a pressão medida por um manômetro na seção 1 de 500kPa, a pressão manométrica na seção 2 de 100kPa. Assuma que em cada seção de escoamento, o perfil de velocidades seja uniforme. Determine: a velocidade média na seção 2 e as forças horizontais (em ambas as direções horizontais), necessárias para manter a peça parada em condições estacionárias.

Exercício 4.8: (adaptado 3.55 White 6º edição; figura cedida pelo prof. Edvaldo Ângelo)

O bocal da esquerda tem uma área de 30 cm2 e lança um janto livre de água a 20oC com velocidade de 10 m/s contra a pá montada sobre um carrinho, conforme indicado abaixo. Um segundo jato livre também incide sobre a pá. O sistema está em equilíbrio. Qual é a vazão do segundo bocal sabendo que a área do mesmo é igual a 10 cm2? Admita que as áreas das seções transversais dos jatos se mantenham constantes ao longo do escoamento permanente. Assuma que em cada seção o perfil de velocidades seja uniforme. Resposta : 10 l/s.

Exercício 4.9: (exercício 3.102 White – 6º edição)

A figura ao lado representa o escoamento permanente em um canal aberto horizontal. Desprezando o atrito, admitindo perfis uniformes de velocidade nas seções 1 e 2 e considerando que as pressões nas seções 1 e 2 sejam as hidrostáticas e que a largura do canal seja b, utilize as equações de conservação de massa, estática de fluidos e quantidade de movimento linear

para mostrar que: 2

2 1

1 1

81 11

2 2

h v

h h g= − + + .

Exercício 4.10 (adaptado 3.49 White 6º edição)

Resposta: 7624 N

O bocal horizontal da figura tem na seção (1) diâmetro de 300 mm e na seção (2) diâmetro de 150 mm. Água escoa a 20ºC. A pressão do fluido na seção (1) é de 262 kPa (abs). A pressão de saída (2) do jato é atmosférica (jato livre). Na saída (2) o bocal descarrega água para a atmosfera com uma velocidade média de 17m/s. Admitindo condições estacionárias, que o jato sai com formato cilíndrico e que o perfil de velocidades seja uniforme no interior do bocal, determine a força total na direção horizontal suportada pelos parafusos dos flanges para manter o bocal fixo.

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Exercício 4.11 (adaptado de White & Munson)

A figura ao lado mostra o escoamento estacionário através de uma comporta em um canal aberto de largura b. Despreze forças de atrito e assuma que nas seções 1 e 2, a pressão possa ser considerada hidrostática. Os perfis de velocidade podem ser assumidos uniformes nas seções 1 e 2 e o escoamento permanente. Pede-se deduzir a expressão para a força na horizontal que deve ser aplicada para manter a comporta fixa.

Resposta :

2

2 22 11 1 1

1 2

1 12

= − − −

comporta

h hF gbh bh v

h h

ρ ρ

Exercício 4.12 (exercício de prova)

Água a 20ºC está sendo descarregada na atmosfera em escoamento incompressível e permanente a partir das duas saídas a 30º (medidas em relação à horizontal) na vazão total de 1,5 m3/min. Cada um dos bocais de descarga possui um diâmetro de 100 mm, e o diâmetro interno da tubulação na seção de conexão A é 250 mm. A pressão efetiva da água na seção A-A é 5 kPa. Determine as forças nas direções x e y que os parafusos do flange terão de suportar. Despreze o peso próprio da peça acima do flange, assim como o peso próprio da água em seu interior. Admita que a vazão é dividida igualmente entre as duas saídas. Resposta: 278 N

Exercício 4.13 (exercício cedido pelo Prof. Edvaldo Ângelo) As turbinas Pelton são normalmente usadas nas usinas hidrelétricas para a geração de energia elétrica. Nessas turbinas um jato de água de alta velocidade é lançado contra as pás da turbina forçando o eixo da turbina a girar. Suponha que o eixo da turbina tenha sido bloqueado completamente em uma condição acidental, restringindo a rotação do sistema. Admita que a densidade da água possa ser considera como sendo 1000 kg/m3 e que os perfis de velocidade na água sejam uniformes em cada seção de escoamento. Determine o torque na roda nesta condição, desprezando o efeito de deflexão do jato devido à existência de uma pá imediatamente anterior e que todo o fluido oriundo do bocal esteja se chocando contra uma única pá da turbina. São conhecidas, ainda, as seguintes informações: Seção (1) de escoamento da água: velocidade média de escoamento de 20 m/s, vazão em volume de 5 m3/s. Seções (2) e (3) de escoamento da água: área do jato 0,1 m2, vazão volumétrica em cada seção de 2,5 m3/s. Raio da roda da turbina de 1 m (medida entre o centro da roda e o centro da pá) Ângulo α de 150o. Resposta : 208,2 kN

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5ª parte: Estática de fluidos. Exercício 5.1 (P2 das turmas 3E/F do 2º semestre de 2006) Complete a redação a seguir. As leis da estática são válidas para fluidos em repouso e podem ser enunciadas como: 1a Lei da estática: “em um plano horizontal a pressão de qualquer fluido é constante” 2a Lei da estática: “em um plano vertical a pressão de um fluido qualquer é regida pela equação (i), sendo

que nesta equação a orientação do eixo z é de baixo para cima”

0dP

gdz

ρ+ = (i)

A equação (i) é uma equação _______________ (diferencial ordinária, algébrica) e corresponde a um balanço

de ________________________ (massa, energia, quantidade de movimento) escrito para um volume de

controle _____________________ (macroscópico/microscópico).

A equação (i) é integrada para cada situação efetuando-se hipóteses adequadas. Por exemplo, da equação (i) pode-se obter a equação (ii), aplicando-se as hipóteses apresentadas em (A). Analogamente, aplicando-se as hipóteses constantes em (B), chega-se à equação (iii). ______________________ e __________________________ (A)

( )o oP P g z zρ− = − − (ii)

sendo, P a pressão em z e Po a pressão em zo, com z>zo. ______________________ e __________________________ (B)

( )MMg z zoRT

oP P e− −

= (iii)

sendo, MM a massa molar do fluido, R a constante universal dos gases, T a temperatura do fluido, P a pressão em z e Po a pressão em zo, com z>zo. Exercício 5.2 Se um manômetro diferencial registra 25,5 mca a 20oC. Qual é o valor registrado em kPa? Resposta : 250 kPa Exercício 5.3 (adaptado de 2.21 White 6ºedição). A 20ºC o manômetro A registra 250 kPa. Pede-se: a) a altura h de água. b) a pressão da água ao fundo do tanque e a leitura do manômetro B em kPa. Respostas : a)6,5m b)251kPa;151kPa;

Exercício 5.4 (Exercício de prova, figura cedida pelo Prof. Edvaldo Ângelo) O sistema indicado na figura (sem escala) abaixo está em equilíbrio. Admita que a temperatura de todos os fluidos seja de 20ºC. Determine a diferença de pressão entre a câmara A e a câmara B. Admita que a densidade do ar seja pequena quando comparada à dos líquidos. Resposta : 82 kPa

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Exercício 5.5 (Exercício de White) Na figura a pressão no ponto A na escala efetiva é de 172370 Pa. A densidade relativa do benzeno em relação à água a 20oC é de 0,8828 e o volume específico de querosene é de 0,001244 m3/kg. A pressão atmosférica local é de 98 kPa. Qual é a pressão do ar na câmara fechada em B (na escala efetiva e absoluta)? Respostas : 163 kPa (efetiva) ou 261kPa (absoluta).

Exercício 5.6 (exercício de autoria do Prof. Dr. José Plácido - UNIFESP)

Os fluidos no tanque ao lado estão a 20oC. O ar atmosférico externo à figura apresenta uma pressão absoluta de Patm = 101,3 kPa. Sabendo que o óleo tem uma densidade relativa igual a 0,9 em relação à água a 20oC conforme indicado na figura, pede-se: (a) Calcular as pressões relativas nos pontos A, B, C e

D indicados. (b) Indique quais desses pontos estão sob vácuo e

quais estão pressurizados.

(c) Sabendo-se que a área da caixa de ar logo acima do ponto A é igual a 3 m2, e que a altura h de ar é igual a 0,4 m, calcule a massa de ar contida na região acima do ponto A.

(d) Se o tanque sofrer uma rachadura no teto logo acima do ponto A, a altura h de ar vai ( ) aumentar ou ( ) diminuir? Por quê? Respostas : -5874 Pa (vácuo); 5874 Pa (pressurizado); ≅5874 Pa (pressurizado); 22616 Pa (pressurizado); 1,4 kg; irá aumentar pois a pressão PA é inferior à atmosférica, logo entrará ar. Exercício 5.7 (exercício de White) Considere um escoamento de água em um tubo inclinado de 30º, no sentido indicado na figura. O manômetro de mercúrio marca h = 12 cm. Ambos os fluidos estão à temperatura constante de 20ºC. Qual a diferença de pressão entre as seções (1) e (2)? Resposta : 26,1 kPa

Exercício 5.8 (PAIE do 2o semestre de 2012 – turmas 5PRX)

Óleo (SAE 10) a 20ºC escoa pelo tubo vertical de 4 cm de diâmetro. Para a leitura de 42 cm do manômetro de mercúrio, determine a diferença de pressão entre as seções B e A da tubulação onde são feitas as tomadas de pressão. Respostas: 77,8 kPa

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Exercício 5.9 (adaptado de exercício de ENADE/2001)

O dispositivo mostrado na figura ao lado mede o diferencial de pressão entre os pontos A e B de uma tubulação por onde escoa água. Considere que a densidade da água seja 1000 (SI) e a do ar de 1,2 (SI) e que a aceleração da gravidade vale 9,8 (SI). Com base nos dados da figura determine:

(a) o diferencial de pressão entre os pontos A e B em Pa (b) a pressão absoluta no interior da camada de ar, sendo a leitura do manômetro de Bourdon de 104 Pa e

pressão atmosférica local de 105 Pa. (c) o sentido do escoamento. Respostas: 978,8 Pa; 1.1 × 105 Pa; B → A Exercício 5.10 (exercício de White) Uma bomba introduz mercúrio a 20oC pelo fundo do tanque cilíndrico fechado. No momento apresentado pela figura, a pressão do ar é indicada por um manômetro, instalado no topo do reservatório, o qual lê uma pressão de -20 kPa. O processo de bombeamento de mercúrio é interrompido quando o manômetro de ar indica uma pressão de 10 kPa. Todos os fluidos permanecem a 20ºC. Qual deve ser a leitura h do tubo manométrico de mercúrio que está conectado com o tanque e o ar ambiente, quando a bomba pára? Resposta: 22,4 cm

Exercício 5.11 Num dia em que a pressão atmosférica local é de 0,98 atm, o manômetro de tubo foi acoplado à tubulação A, estando o outro lado exposto ao ar atmosférico local. Todos os fluidos encontram-se a 20oC. Sabendo que a pressão absoluta no ponto B é igual a 151,81 kPa, a altura h1 é igual a 45 cm, pede-se: a) a pressão relativa no ponto C; b) a altura h2;

c) a pressão absoluta no ponto A. Respostas: 52,5 kPa; 39,5 cm; 147,4 kPa

Exercício 5.12 (PAIE – turma 5X)

Respostas :1958kPa(man); 9,504cm; 0,0682kg; 78,6 N

A figura ao lado mostra um reservatório cilíndrico contendo ar imerso em um tanque grande contendo água em contato com ar atmosférico. Ao reservatório é acoplado um manômetro diferencial. Todos os fluidos encontram-se a 20oC e a densidade relativa do fluido manométrico é de 2,1 em relação à água a 4oC. Pede-se: a-) A pressão do ar no tanque. b-) a altura h no manômetro. c-) Sabendo-se que a altura da camada de ar no

reservatório seja de 80 cm, determinar a massa de ar no reservatório. Observação: Desconsidere a quantidade de ar presente no manômetro).

d-) Sabendo-se que o peso das paredes do reservatório é 59N, calcule a força F necessária para manter o reservatório na posição indicada.

31

Exercício 5.13 (Exercício de prova, cedido pelo Prof. Edvaldo Ângelo) Sabe-se que a barcaça de seção retangular de 15 m de comprimento e largura de 6 m (perpendicular ao plano do papel no desenho) tem calado de 30 cm (calado é a dimensão da embarcação imersa na água, medida a partir do nível da água até o fundo da embarcação). Pede-se: a) Determinar a pressão efetiva no fundo da barcaça. b) Calcular o peso da barcaça mais o peso do material que a mesma carrega.

Respostas : 2,9 kPa; 264 kN

Exercício 5.14 (exercício de White) O tanque contendo água e um óleo e o piezômetro inclinado encontram-se abertos à atmosfera. Se o comprimento L é de 2,13m, qual é o ângulo de inclinação do piezômetro? A densidade relativa do óleo em relação à água a 20oC é de 0,8. Todos os fluidos estão a 20oC. Resposta : 25o

Exercício 5.15 (exercício de prova, cedido pelo Prof. Edvaldo Ângelo) Um tanque possui um tampão de diâmetro de 4cm que se romperá se a força sobre ele for de 25 N, determine a altura da água do tanque H em que ocorrerá o rompimento. Determine também a altura h do manômetro de mercúrio localizado à esquerda do tanque, correspondente a essa condição. Dado: temperatura do tanque de 20 ºC. Respostas : H = 2,05 m h = 0,153 m

Exercício 5.16 (Exercício de Prova, cedido pelo Prof. Edvaldo) Concreto que acaba de ser preparado é colocado em uma forma conforme indicado na figura. A forma contém 4 parafusos que mantém duas placas verticais unidas. Os parafusos atravessam as placas e são fixados por porcas. O concreto apresenta densidade relativa à água a 20oC de 2,4. Pede-se: a) Determinar a força horizontal total suportada pelos 4 parafusos juntos. b) Caso a forma fosse usada (após modificação) para uma espessura de

concreto de 36” ao invés de 8”, qual seria o acréscimo percentual na força suportada pelos parafusos? Justifique.

Respostas : 431,2kN; 0%

Exercício 5.17 Determine qual é a dimensão mínima L para que a barragem não deslize horizontalmente sobre o solo. Despreze a possibilidade de que a mesma possa sofrer rotação. Admita que a água tenha (do lado esquerdo da barragem) densidade de 998 kg/m3 e que o concreto tenha peso específico de 23560 N/m3. O coeficiente de atrito estático entre a barragem e o solo é de 0,42. Lembre-se que a força de atrito entre sólidos pode ser determinada pelo produto da força normal e o coeficiente de atrito. A dimensão da barragem perpendicular ao plano do papel pode ser adotado como 1m. A barragem está apenas apoiada sobre o solo, não tendo nenhum elemento de fixação como parafusos. Resposta : 1,72m

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Exercício 5.18 (P2 do 2o semestre de 2004 – turma 3E)

Um cubo de carvalho maciço com 1 pé de aresta é mantido submerso por um tirante, conforme mostrado na figura ao lado. Calcule a força de tração no tirante e a pressão na superfície superior do cubo de carvalho, sabendo-se que a densidade relativa do óleo em relação à água a 20oC é de 0.8. Todos os fluidos estão a 20oC e a pressão atmosférica local é de 1 atm. Dado: massa específica do carvalho de 720 kg/m3. Resposta :77N; 121 kPa

Exercício 5.19 (exercício cedido pelo Prof. Dr. José Placido – UNIFESP) Calcule as pressões efetivas e absolutas nos pontos A, B e C, a altura h de óleo, o peso W do êmbolo e o valor da leitura no manômetro. O ar contido no tanque está pressurizado ou sob vácuo? A densidade relativa do óleo em relação à água a 20oC é 0,8.

Respostas : 9790 Pa/ 109,8 kPa; 29,37 kPa/ 129,4 kPa; 14,69 kPa/ 114,7 kPa; 1,87 m; 9,79 N; 9790 Pa

Exercício 5.20 (exercício cedido pelo Prof. Edvaldo Ângelo)

Uma panela de pressão está sendo testada em um laboratório. Para tanto, a válvula superior foi fechada, de modo que não há vapor sendo lançado na atmosfera. O ensaio elevou a temperatura de todo o fluido no interior da panela até 110ºC. A pressão do vapor de água é conhecida como pressão de saturação e corresponde à pressão na mudança de fase. Um manômetro instalado no fundo da panela, especialmente para o experimento, indica um valor de 45310,8 Pa em um dia em que a pressão atmosférica foi medida em um barômetro como sendo 720 mmHg. A temperatura ambiente é de 20oC

Sabe-se que na panela há apenas água (nos estados líquido e vapor), sendo o nível de água líquida no instante em que a leitura no manômetro é efetuada é de 7,5 cm. A densidade da água saturada a 110oC é 950,57 kg/m3. Pede-se determinar, assumindo que a panela seja um cilindro: a) A pressão do vapor de água. b) A massa de vapor de água dentro da panela nas condições indicadas assumindo que a mesma se

comporte como um gás ideal. Respostas : 140603,52 Pa abs (escala absoluta);7,48 g Exercício 5.21 (adaptado de Granger)

Um tanque contendo óleo com densidade relativa de 0,802 em relação à água a 20oC tem uma pressão no ponto O de 525 lbf/ft2. O tanque tem largura a ao plano do papel) de 10 ft. A superfície circular Aindica uma válvula por onde se faz o dreno. Pede• a pressão no ponto K expressa em pés de óleo • a força ao longo da na superfície K-L-M-N • a força (Fp) na superfície A-B, que atua no centro da

superfície A-B. Respostas: 2ft; 19500lbf; 9326.6 lbf

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Exercício 5.22 (adaptado da exposição teórica de Geankoplis p. 39)

A figura ao lado mostra um separador contínuo atmosférico gravitacional (decantador), usado para separar dois líquidos imiscíveis A e B. Ambos os líquidos são alimentados em uma extremidade e conduzidos lentamente até à outra extremidade de modo que a resistência ao escoamento por atrito pode ser desprezada e de forma que duas fases distintas são observadas no decantador.

A posição hT é normalmente fixa no equipamento industrial, podendo-se no entanto ajustar a altura hA2. Mostre

que: 2

1

1

BA T

AA

B

A

h hh

ρρ

ρρ

−=

−

Exercício 5.23 (Exercício de Prova, cedido pelo Prof. Edvaldo) Uma barragem será construída e durante o projeto, após uma reunião do setor de engenharia, foi constatado que por medidas econômicas esta barragem não deve ser solicitada a carregamentos laterais superiores a 48950 kN. A barragem possui comprimento total de 100 metros e a área de atuação da água pode ser obtida pelo produto de seu comprimento pela altura de água (área de um retângulo). Também como medida econômica, este reservatório deve armazenar a máxima quantidade de água possível. Um dos engenheiros sugere que drenos sejam instalados em alturas determinadas e assim, quando o nível da água se elevar, esta irá escoar pelos mesmos, mantendo a condição de segurança para a barragem. Sua incumbência após a reunião é: Determinar a altura MÁXIMA que devem ser inseridos os drenos para que esta barragem não venha a se romper [indicar a altura em relação ao fundo do lago]. Despreze a força da água sobre a barragem após a sua transposição.

Resposta : 10 m Exercício 5.24 (Exercício de Prova) A figura ao lado mostra um tanque fechado preenchido com água e um gás de massa molar 0,028 kg/mol. O volume ocupado pelo gás é de 2 m3. Ao gás é acoplado um manômetro que contém água e mercúrio. A coluna de água no manômetro encontra-se aberta à atmosfera. Todos os fluidos estão a 20oC e o gás pode ser assumido como sendo um gás ideal. Pede-se: a) Obter a pressão do gás no tanque quando

se mede um desnível entre as colunas de mercúrio de 25 mm conforme mostrado na figura.

b) Considerando que o peso da tampa do tanque sobre a água seja de 1500 N e que a área da tampa seja de 2 m2, obter o valor da cota “z”.

c) Obter a massa de gás no tanque. Resposta: 105 kPa (abs); 42,3 cm; 2,4 kg

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Exercício 5.25 (Exercício de Prova)

A figura ao lado mostra um tanque pressurizado em que todos os fluidos estão a 20oC. Sabe-se que a força aplicada sobre o painel de dimensões 30cm por 40 cm localizado ao fundo do tanque para mantê-lo fixo é de 8450 N. Pede-se: a-) obter a pressão do ar no tanque b-) a massa de ar no tanque (despreze a massa de ar no tubo

manométrico) c-) a leitura h no manômetro diferencial de mercúrio Resposta: 160,1 kPa; 3 kg; 44,2 cm

Exercício 5.26

A figura ao lado mostra um tanque fechado em que o ar e a água encontram-se no instante inicial a 20oC. A altura de água nesse instante é de 1,2 m e a pressão lida no manômetro é de 200 kPa. A altura física interna do tanque é de 2 m. Os fluidos são aquecidos até 80oC e mantidos nessa temperatura. Considere que a massa de água na fase líquida permaneça inalterada e também a massa de ar (desconsidere efeitos de transferência de água para o ar). Pede-se: a-) determinar a altura de água a 80oC no tanque. b-) determinar a pressão lida no manômetro quando os fluidos estão a 80oC. Resposta :1,23 m; 276 kPa

Exercício 5.27 (exercício de prova, turma 5P/R)

O silo ao lado encontra-se inicialmente totalmente preenchido com ar atmosférico. Um fluido incompressível de densidade 850 kg/m3 passa então a ser introduzido pela tubulação de diâmetro interno 10 cm com uma velocidade v = K t, sendo t o tempo medido em s e K = 0,0015 m/s2. O diâmetro do silo é 4 m, a altura da parte cilíndrica é HT = 10 m e a altura da parte cônica é HF = 2m. Ao silo é acoplado um manômetro de água . Todos os fluidos encontram-se a 20oC. Admita que a temperatura permaneça constante durante todo o enchimento do silo. Pede-se: a) determinar o tempo para que a altura do fluido no silo

atinja o valor de 1 m.

b) determinar a pressão da fase gasosa quando a altura de fluido no silo atingir o valor de 1 m. Admita que a fase gasosa se comporte como um gás ideal.

c) determinar o desnível de água x no manômetro quando a altura do fluido no tanque atingir o valor de 1 m. Exercício 5.28 (exercício de prova, turma 3L)

A figura ao lado mostra um reservatório de água. O comprimento da superfície superior e a largura do reservatório são de 10m. Na porção lateral inferior do tanque é instalada uma comporta, como indicado na figura. Inicialmente o tanque está cheio com água a 20oC até uma altura de 3m . Neste instante, passa a ser introduzida uma corrente de água a uma vazão de 5,144x10-6 t em m3/s, sendo o tempo t avaliado em s. Pede-se: (a) Determinar o volume de água no tanque no instante

inicial e o comprimento L da comporta. (b) Determinar através do equacionamento por

balanço de massa e indicação do volume de controle adotado o tempo em horas até a altura de água no tanque atingir 6m.

(c) Determinar a força total exercida sobre a comporta quando o nível de água for de 6m.

Dados: x=2,4 m, y=1,8 m, z= 10 m, w=6 m. Largura do tanque 10m. DESENHO SEM ESCALA.

35

6ª parte: Regimes & desenvolvimento de escoamento; perfis de velocidade Exercício 6.1 Para o escoamento isotérmico de um fluido incompressível no interior de uma tubulação de diâmetro constante em condições normais de operação, esboce em um gráfico um comportamento típico da velocidade média de escoamento ao longo do tempo para os regimes de escoamento laminar e turbulento. Exercício 6.2 (adaptado de exercício de prova, cedido pelo prof. Edvaldo) Um medidor de velocidade está fixo e obtém o sinal para um determinado escoamento conforme mostrado na figura. Assinale V para verdadeiro e F para Falso, corrigindo as frases falsas.

( ) Durante o intervalo tA e tC o escoamento encontra-se em regime transitório.

( ) As flutuações de velocidade indicam que o escoamento em tB e tC é turbulento.

( ) Efeitos viscosos são responsáveis pela ausência de oscilações de velocidade durante tA

( ) Se o escoamento estivesse ocorrendo dentro de um misturador de fluidos, a eficiência do processo de mistura seria maior durante o tempo tC

( ) Não é possível, apenas avaliando o gráfico, determinar se o fluido é newtoniano ou não newtoniano.

Exercício 6.3 (exercício de prova)

A partir da interpretação do gráfico ao lado em que Trx representa a temperatura em um reator químico, respondendo às seguintes indagações: a-) Identifique as regiões de operação em estado

estacionário. b-) O comportamento da temperatura no reator

assemelha-se a qual regime de escoamento? Justifique brevemente.

Exercício 6.4 Indique com um V se a afirmativa abaixo for verdadeira e com um F se a afirmativa abaixo for falsa. No último caso, corrigir a redação. ( ) Quando o número de Reynolds atinge 2300, o escoamento no interior de tubos necessariamente deixa

de ser laminar. ( ) Constatou-se que o número de Reynolds no escoamento no interior de um tubo de fluido de alta

viscosidade é de 3000. Pode-se afirmar categoricamente que o escoamento é turbulento. ( ) O aumento da velocidade de escoamento de um fluido no interior de um tubo favorece a uniformização

do perfil de velocidades. ( ) A diminuição da viscosidade de um fluido em escoamento no interior de um tubo favorece a

uniformização do perfil de velocidades. ( ) No escoamento turbulento, a velocidade média de um fluido incompressível escoando no interior de uma

tubulação em escoamento permanente e isotérmico não apresenta oscilações temporais em alta frequência.

( ) Em um escoamento turbulento de um líquido Newtoniano no interior de uma tubulação de diâmetro constante, o aumento da temperatura do fluido não levará a uma alteração do regime de escoamento.

Exercício 6.5: (concurso Petrobras) Qual dos intervalos indicados abrange a típica transição entre escoamentos laminar e turbulento?

(A) 500<Re<1000 (B) 2500< Re<5000 (C) 10000<Re<20000 (D) 50000<Re<100000 (E) 100000<Re<150000

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Exercício 6.6 Considere o escoamento de um fluido incompressível no interior de uma tubulação. Pede-se (dica: é necessário efetuar um balanço de massa e verifique o que ocorre com a razão entre os números de Reynolds nas seções consideradas! ): a-) um líquido Newtoniano escoa numa tubulação de diâmetro constante, a qual é aquecida. Se o

escoamento na entrada da tubulação é laminar, poderá haver alteração do regime de escoamento para turbulento? Haverá deformação no perfil de velocidades?

b-) discutir se poderá haver uma alteração no regime de escoamento se ocorrer uma variação da temperatura durante o escoamento no interior de um tubo de diâmetro constante.

c-) admitindo o escoamento como sendo isotérmico, verificar se poderá haver uma alteração no regime de escoamento se o diâmetro da tubulação não for constante.

Exercício 6.7 (concurso Petrobras)

Um escoamento laminar em tubos, com temperatura de parede constante, que apresenta uma diferença muito grande entre a temperatura da parede e do fluido, altera o perfil de velocidade, conforme mostrado na figura ao lado. Os números (I) e (II) da figura representam: ( ) gás aquecendo ( ) gás resfriando ( ) líquido aquecendo ( ) líquido resfriando

A sequência correta é: (A) I, II, I, II (B) I, II, II, I (C) II, I, I, II (D) II, I, II, I (E) II, II, I, I

Exercício 6.8 Relacione as duas colunas, preenchendo as lacunas com o tipo de escoamento (laminar/turbulento/de transição) ou tipo de regime de operação (estacionário/transitório).

(1) Uma esfera a 100oC é inserida em um recipiente contendo um fluido a 20oC.

( ) Re = 1800 Escoamento ___________________

(2)

( ) Regime __________________.

(3) ( ) Escoamento _________________

37

Exercício 6.9 Classifique os seguintes casos com o tipo de escoamento (laminar/turbulento/de transição) Fumaça da vela

Injeção de tinta no escoamento de água dentro de um tubo:

Exercício 6.10 : Complete as lacunas.

Um fluido escoa em escoamento incompressível quando o número de Mach é ____________ (menor que, igual a, maior que) 0.3. Nesta situação ao sair de uma tubulação aberta à atmosfera a pressão na saída da tubulação __________ (pode/ não pode) ser considerada como sendo a pressão atmosférica. A figura mostra o escoamento _____________________ (desenvolvido/em desenvolvimento) de um fluido sobre uma placa plana de largura b e comprimento L. A região destacada em cinza é denominada de _________________ e corresponde à região em que o gradiente de velocidades é __________________ (nulo/ não nulo), sendo o escoamento considerado _________________ (viscoso/ não viscoso). Na região marcada em cinza na posição em que se tem a espessura de δL o escoamento é ________________ (laminar/ turbulento/ de transição). Para este regime de escoamento, pode-se afirmar que se o escoamento fosse no interior de um tubo o número de Reynolds deveria ser ______________________ (apresentar o critério). Fora da região marcada em cinza, o escoamento pode ser equacionado como a de um fluido ___________ (ideal/ não ideal), para o qual o atrito é ____________. Ainda, com relação à figura apresentada, o regime de escoamento na região que apresenta como espessura δt, o regime de escoamento é __________________ (laminar/ turbulento/ de transição), sendo que uma das características deste regime de escoamento, ilustrada na figura é ____________________________ (comentar a característica que pode ser observada da apreciação do perfil de velocidades). Exercício 6.11 Indique com um V se a afirmativa abaixo for verdadeira e com um F se a afirmativa abaixo for falsa. No último caso, grifar os trechos com erro e corrigir a redaç ão.

( ) A equação

2Re

1.8log6.9

f−

= pode ser usada para o cálculo do fator de atrito de Darcy-

Weissbach para o escoamento de maionese em regime turbulento no interior de uma tubulação de vidro.

( ) A equação ( ) 22

1 2 14

P P R rv

L Rµ − = −

apresenta o perfil de velocidades de fluidos Newtonianos no

interior de uma tubulação em escoamento laminar. A partir desta equação pode-se mostrar que a velocidade média de escoamento é 75% da velocidade máxima.

( ) A expressão Revd

ν= serve para avaliar se o escoamento de ar sobre uma placa plana se dá em

regime laminar (v é velocidade e ν é a viscosidade cinemática).

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Exercício 6.12 : Determine o regime de escoamento para cada um dos casos a seguir: a-) Glicerina escoando a 20oC no interior de um tubo de diâmetro de 1cm a 2 m/s. b-) Água escoando a 20oC no interior de um tubo de diâmetro de 1cm a 2 m/s. Respostas : Re=16,9 (laminar); 19960 (turbulento); Exercício 6.13 Este problema trata da análise do perfil de velocidades dado na equação (1) obtido para o escoamento no interior de um tubo:

( ) 221 2 1

4

P P R rv

L Rµ − = −

(1)

Indique com um V se a afirmativa abaixo for verdadeira e com um F se a afirmativa abaixo for falsa. No último caso, grifar os trechos com erro e corrigir a redaç ão. ( ) Para a dedução da equação (1) não foi usado o princípio da aderência. ( ) A equação (1) corresponde a um balanço de quantidade de movimento ou balanço de energia

mecânica microscópico. ( ) A equação (1) é válida apenas para os fluidos para os quais a relação entre a tensão de cisalhamento

e a taxa de deformação angular é constante. ( ) A equação (1) pode ser usada tanto para tubos lisos como rugosos. ( ) A equação (1) é verdadeira para todos os regimes de escoamento. ( ) O volume de controle infinitesimal que foi escolhido para a dedução da equação (1) apresenta como

única dimensão infinitesimal a direção radial. ( ) A equação (1) é válida também para o regime de escoamento em que ocorre a formação de vórtices. ( ) A equação (1) é uma equação de balanço macroscópica. ( ) Sangue escoando pelas veias tem um perfil de velocidades idêntico ao da equação (1). ( ) Para os escoamentos que têm o mesmo regime de escoamento que o da equação (1) a força de atrito

é cisalhante às camadas de fluido em escoamento. Exercício 6.14 (questão do ENADE/2011 – grupo V) Um tanque industrial cilíndrico com 1m de raio, preenchido com óleo viscoso até um nível situado a uma altura h de sua base, deve ser drenado através de um tubo com 0,2 m de raio e comprimento L, conectado à sua base. O perfil de velocidades do óleo no tubo de drenagem pode ser escrito pela equação:

2

max

rv v 1

R

= −

, em que v é a velocidade do óleo, vmax é a velocidade máxima do óleo, r é a posição

radial e R é o raio do tubo. Considerando essa situação problema, faça o que se pede nos itens a seguir, justificando suas respostas. a) Qual o volume de óleo retirado do tanque após 10 segundos se a velocidade máxima de descarga do óleo

alcançar 0,35 m/s? b) Mantida a mesma velocidade média, se, em vez do óleo, o tanque estivesse preenchido com água, quais

modificações seriam esperadas no processo? Dados: massas específicas do óleo e da água, respectivamente de de 800 kg/m3 e 1000 kg/m3, viscosidades do óleo e da água, respectivamente de 0,056 Pa s e 0,001 Pa s.

Exercício 6.15 (adaptado do exercício 1.40 Potter) A distribuição de velocidades de um fluido Newtoniano escoando no interior de um tubo horizontal de 4 cm de diâmetro é dada pela expressão V= 10(1 – 2500 r2), em que V é a velocidade do fluido em m/s na posição radial r medida em metros a partir do centro do duto. Sabe-se que a viscosidade do fluido é de 1,49 Pa s. Pede-se:

e) A partir da avaliação da expressão do perfil de velocidades, é possível saber qual o regime de escoamento?

f) Qual o número de Reynolds, sabendo-se que a massa específica do fluido é de 1260 kg/m3? Resposta: Sim: laminar (perfil parabólico). Re= 169,1;

39

7ª parte – Balanço de Energia e Balanço de Energia Mecânica Exercício 7.1: (exercício de prova) Numere a segunda coluna de acordo com a primeira sem repetir números na segunda coluna.

(1)

( ) Fluido Não Newtoniano

(2) x xy yFat A= τ ( ) Oscilações em alta frequência

(3) g o

MMgz

R T

oP P e−

=

( ) Líquidos

(4) Sólido inicialmente a 100oC inserido em um fluido a 20 oC. ( ) Passagem de corrente elétrica (5) Perfil Uniforme de velocidades ( ) Gases

(6) fP

W m ∆ = ∆ ρ & ( ) 1000mv dρ =

µ

(7) Ar ( ) 0VCdU

dt≠

(8) Aumento da viscosidade com a diminuição da temperatura ( ) Trabalho de fluido (9) Geração de energia ( ) Fluido Newtoniano

(10) 1

1

o xxr n

x

dv

drdv

dr

−κ κ

µτ = − + λ

( ) Fluido Ideal

Resposta : 10; 1; 8; 9; 3; 2; 4; 6; 7; 5 Exercício 7.2: Considere as seguintes equações:

( ) 21

2VC c p M g

d PU E E m v gz U W q E

dt

+ + = ∆ + + + + + + α ρ

&& (i)

2

02

ma M

v Pm gz E W

= ∆ + + − + ∆

&&α ρ

(ii)

Pede-se: 1. As equações (i) e (ii) correspondem a que equações de balanço? 2. Em que situações típicas existirá o termo de geração na equação (i)? 3. Localize na equação (i) a energia interna do volume de controle. 4. Identifique os termos de entrada e saída de calor na equação (i). 5. A equação (ii) pode ser usada para descrever escoamentos de fluidos compressíveis? 6. Qual o termo correspondente às entradas e saídas de energia potencial nas equações (i) e (ii)? 7. O que significa WM? 8. Nas equações (i) e (ii) como é chamado α e como ele é definido? Qual o valor de α para o escoamento

laminar de fluidos Newtonianos incompressíveis em escoamento isotérmico no interior de tubulações? E qual o valor de α para escoamentos turbulentos?

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Exercício 7.3 Relacione as duas colunas. Preencha a segunda coluna com apenas um número. (1) Somatória das energias cinéticas e potenciais de todas

as partículas elementares. ( ) Energia gerada

(2) Calor. ( ) Existência de matéria (3) Nomes das taxas de energia que podem entrar e sair de

um volume de controle associadas a entradas e saídas de correntes materiais.

( ) Energia interna, energia cinética e energia potencial

(4) Acúmulo de energia. ( ) Energia interna (5) Nomes das taxas de energia que atravessam a superfície

de controle não associadas a correntes materiais. ( ) Transferência de Energia devido à

existência de diferença de temperatura (5) Reações químicas ou nucleares ou passagem de

corrente elétrica no interior do VC. ( ) Calor e trabalho

Exercício 7.4:

O BEM sob certas hipóteses pode ser escrito como: 2

02

e

s

P

mM a

P

v dPz H H

g

= ∆ + + + −

∫α γ

. Pede-se:

1. O que significa o termo e

s

P

P

dP

γ∫ ? Como ele pode ser simplificado para escoamentos isotérmicos de fluidos

incompressíveis? 2. Qual o valor de Ha e de α para fluidos ideais? 3. Indique os termos correspondentes às cargas cinética e potencial. 4. Qual termo corresponde à perda de carga? 5. A partir de qual termo pode ser calculada a energia transferida entre fluido e máquina? Exercício 7.5: Complete as frases, mostrando o raciocínio usado (dica : efetue um BMG e BEM): A velocidade de escoamento de fluido ideal no interior de uma instalação hidráulica horizontal irá _____________ (aumentar/ diminuir/ permanecer inalterada) quando a seção transversal for reduzida e a pressão na linha de centro irá _______________ (aumentar/ diminuir/ permanecer inalterada). Se a temperatura aumentar ao longo do escoamento permanente de um fluido incompressível em uma tubulação de diâmetro constante e horizontal, em que a perda de carga possa ser desprezada, a velocidade média de escoamento irá ______________ (aumentar/ diminuir/ permanecer inalterada) e a pressão na linha de centro irá ______________ (aumentar/ diminuir/ permanecer inalterada). A pressão de um líquido em escoamento permanente e isotérmico no interior de uma tubulação horizontal de diâmetro constante irá _____________ (aumentar/ diminuir/ permanecer inalterada) ao longo do escoamento. Assim, para o reestabelecimento da pressão, pode-se ___________________ (aumentar/ reduzir/ não alterar) o diâmetro da tubulação. Alternativamente, pode-se instalar ______________________ (uma bomba, um compressor, uma turbina). Exercício 7.6 (PAF das turmas 3E/3F do 2o semestre de 2003)

O tubo de 6 cm de diâmetro da figura ao lado contém glicerina a 20oC escoando a uma taxa de 6 m3/h. Pede-se para as medidas manométricas indicadas na figura determinar se o escoamento é para cima ou para baixo e calcular a perda de carga. Resposta : 25,2 m

Exercício 7.7 (P1 da turma 3E do 2o semestre de 2003) Considere a tubulação de diâmetro constante pela qual escoa um fluido incompressível com peso específico de 5000 (SI) e para a qual se quer que o escoamento se dê de (1) para (2). Pede-se determinar a máxima elevação do ponto (2) em relação ao ponto (1) para que haja escoamento. Considere que o fluido possa ser representado como um fluido ideal. Resposta : 0,5m

41

Exercício 7.8 (adaptado do exercício 6.19 de White) Um tubo horizontal capilar de 5 mm de diâmetro é usado como um viscosímetro para óleos. Quando a vazão é de 0,071 m3/h, o gradiente de pressão axial medido é -375 kPa/m. Calcule a viscosidade do fluido, assumindo

que a perda de carga seja dada por 2

2

v Lf

g d, sendo v a velocidade média do fluido, g a aceleração da

gravidade, L o comprimento do tubo, d o diâmetro do tubo e f o fator de atrito, avaliado para escoamento

laminar como 64

Ref = , sendo Re o número de Reynolds.

Resposta : 0,292 Pa s. Exercício 7.9: (Prova FT – 5P/R, 2012/1S, exercício White)

Água a 20oC escoa pela instalação hidráulica da figura. A seção 2 encontra-se 3 m acima da linha de centro da seção 1. Se a velocidade média de escoamento da água na seção 1 é de 0,52 m/s, desprezando a perda de carga, qual será a leitura h no manômetro? Resposta : 0,35 m

Exercício 7.10: Água a 20oC escoa através da tubulação horizontal esquematizada ao lado. Na seção (1) mede-se uma vazão de 200 l/s (litros por segundo). A diferença de pressão entre as duas seções do tubo é medida por um manômetro de mercúrio a 20oC. Pede-se considerando que a perda de carga seja desprezível: a-) Calcular a altura diferencial do mercúrio (h). b-) Determinar a pressão na seção 2, sabendo-se na seção 1 existe um manômetro de Bourbon que registra uma pressão de 340 kPa. Resposta : 2,46 m; 137 kPa Exercício 7.11: (Prova FT – 5P/R, 2012/1S)

Um tubo manométrico contendo água a 20oC como fluido manométrico é conectado a uma tubulação de diâmetro constante por onde escoa ar entre os pontos 1 e 2 à temperatura constante de 20oC. Sabe-se que em algum ponto intermediário entre as seções (1) e (2) no trecho vertical da tubulação a pressão absoluta é de 1 atm. No tubo manométrico lê-se a altura h=0,1182m e a distância vertical entre os tubos horizontais é de 90m conforme a figura a seguir. Assuma que a densidade do ar possa ser considerada constante, i.e., que o ar se comporte como um fluido incompressível. Pede-se:

a) a diferença de pressão entre os pontos 1 e 2 e o provável sentido do escoamento. A distância entre a linha de centro na seção 2 e o menisco de água pode ser considerando como sendo de 91m.

b) a perda de carga entre os pontos 1 e 2, indicando o volume de controle usado. Respostas: 2214 Pa; 98,2 m

42

Exercício 7.12: Na seção (0) de uma tubulação horizontal por onde escoa óleo com peso específico de 8000 N/m3 foi instalado um piezômetro. Qual é a vazão mássica de óleo no tubo convergente da figura para elevar uma coluna de 20 cm de óleo no ponto (0)? Desprezar as perdas por atrito e considere que a saída em (1) é para a atmosfera. Resposta : 2,1 kg/s Exercício 7.13: (exercício de prova) A figura a seguir apresenta uma instalação hidráulica, em que água escoa a 20oC de 1 para 3. As seções 1 e 2 são circulares e apresentam mesmo diâmetro de 5 cm. A seção 3 é circular de diâmetro interno igual a 10 cm e encontra-se 5 m acima da seção 1. O manômetro de mercúrio apresenta uma leitura h = 42,5 cm. Pede-se: a) Determinar a queda de pressão entre 1 e 2. b) Se a perda de carga entre 1 e 2 é dada por 0.85v2, sendo v a velocidade média avaliada em m/s,

determinar a velocidade média de escoamento nas seções 1 e 3. c) Se a perda de carga total entre 1 e 3 é de 20m, determinar a diferença de pressão entre 1 e 3.

Respostas : 52,3 kPa; 2,5 m/s; 0,6 m/s; 242 kPa

Exercício 7.14 (Exercício de White)

Um medidor Venturi usado para a avaliação da vazão volumétrica de fluidos em escoamento interno consiste de um dispositivo que se acopla à tubulação que promove uma redução na área da seção transversal de escoamento, como mostrado na figura ao lado. A região de área reduzida é chamada de garganta. Quando o fluido escoa pela garganta sofre uma alteração na pressão e a diferença de pressão é medida.

A partir da medição da diferença de pressão, é possível calcular a vazão de escoamento. Aplicando a equação de Bernoulli para escoamento isotérmico de um fluido incompressível, mostre que a vazão volumétrica relaciona-se à leitura h do manômetro por:

2

42 1

2 ( )

1 ( / )

−=−

& mghAV

D D

ρ ρρ

,

sendo, ρm a densidade do fluido manométrico e ρ a densidade do fluido de processo. Observação : nas aplicações reais, introduz-se um fator de correção (C) para se levar em conta o atrito, como indicado na equação abaixo.

2

42 1

2 ( )

1 ( / )

−=−

& mghA CV

D D

ρ ρρ

Exercício 7.15 Estime a vazão volumétrica medida em um medidor Venturi através do qual escoa água a 20oC. Ao Venturi é acoplado um manômetro de mercúrio que acusa um desnível no fluido manométrico de 10 cm. Considere que a área da seção transversal na garganta seja de 10 cm2 e na seção de entrada seja de 20cm2.

43

Exercício 7.16 : (PAF de FT-I E/F 2oS2003) – adaptado do exercício 3.161 de White

Resposta: 2

22 1,min 2,min4

12

1

2;

1

gh Dv v v

DD

D

≥ =

−

A figura ao lado mostra um tubo convergente-divergente, também denominado de venturi. Na garganta do venturi (seção 1) pode ser acoplado um tubo que poderá permitir a sucção de fluido de um reservatório. Este problema trata desta aplicação do venturi. Pede-se: a) determinar em função de h, Patm e do peso específico do fluido a pressão limite na garganta para que o fluido comece a subir. O que acontecerá com o fluido no tubo vertical se o valor da pressão na garganta foi maior que o do limite calculado? (dica : pense na estática de fluidos). b) use a equação de Bernoulli entre as seções 1 e 2 para determinar a velocidade limite na garganta em função de h, D1 e D2 e da aceleração da gravidade para que ocorra a aspersão de líquido do tanque. (dicas : na situação limite a velocidade de sucção do líquido pode ser considerada nula? Não se esqueça da Lei de Conservação de massas!)

Exercício 7.17: (Prova FT – 5P/R, 2012/1S, exercício White)

Se a velocidade de aproximação não for alta demais, uma saliência no fundo de um canal aberto (seção transversal de escoamento retangular) causará um afundamento ∆h do nível da água, como indicado na figura ao lado, o que pode servir para medição de vazão. Considere que a largura do canal seja de 10 m. Pede-se determinar a vazão volumétrica de escoamento da água a 20oC pelo canal, desprezando-se perdas por atrito. Resposta : 37,4 m3/s

Exercício 7.18: (exercício de Potter)

Um fluido com densidade relativa em relação à água a 20oC de 1 escoa por uma tubulação conectada a um tanque aberto de grandes dimensões, com velocidade média de 10 m/s. O tanque está aberto à atmosfera e pode ser considerado de grandes dimensões. Assumindo escoamento não viscoso e em regime permanente na tubulação , Pede-se: a) A pressão que será indicada pelo manômetro no ponto (C). b) A pressão manométrica na seção (A). Respostas: PA = 39,2 kPa; PC = - 10,7 kPa

Exercício 7.19: (adaptado do exemplo 7.7-1 de Bird et al., 2004) Um cilindro aberto, de altura H e raio R, está inicialmente cheio por completo com um líquido. No tempo t=0, drena-se o líquido através do pequeno orifício de raio Ro aberto à atmosfera situado no fundo do tanque como mostra a figura.

Considere que a descarga do tanque se dê em regime pseudo-estacionário (i.e., que o tanque possa ser assumido de grandes dimensões) e despreze todas as perdas por atrito . Nestas condições, deduza a seguinte expressão para a velocidade de descarga pelo duto (chamada de equação de Torricelli):

2v gh= .

Esta expressão é uma boa aproximação quando :

4

1o

R

R

<<<

44

Exercício 7.20: Um tanque grande aberto à atmosfera está cheio de água até a altura de 5m. No fundo do tanque há uma torneira, que é aberta e a água escoa para fora da torneira de maneira suave. Determine a velocidade da água na saída no instante em que a altura é de 5m. A vazão de água permanecerá constante? Exercício 7.21: (adaptado de exercício do Potter)

Considere a instalação hidráulica a seguir, em que o tanque aberto à atmosfera é de grandes dimensões e nos tubos o escoamento de água a 20oC pode ser assumido permanente. Despreze as perdas por atrito. O tanque é ligado a uma tubulação de diâmetro D1 =14 cm, à qual se conecta um medidor Venturi. O diâmetro na garganta do Venturi é D2=10cm. O diâmetro na saída do Venturi é reestabelecido para D4=14cm.

O bocal de saída apresenta diâmetro D3=5cm e a água escoa como jato livre em escoamento incompressível. Há um manômetro de tubo em U apresentando desnível h = 20 cm, conectado na seção de medição de vazão e o fluido manométrico é mercúrio a 20oC. Determine: a) a diferença de pressão entre as seções do manômetro diferencial (seções 1 e 2); b) a vazão volumétrica; c) a velocidade média na seção com D1=14 cm; d) o nível H do tanque; e) a pressão P no manômetro metálico de Bourdon (seção de diâmetro D4). f) a pressão na seção de diâmetro D1. Este valor será observado no escoamento real do fluido (i.e. no escoamento com atrito)? Respostas: a) 24,6 kPa; b) 64,2 l/s; c) 4,2 m/s; d ) 54,4 m e) 524,7 kPa; f) 524,7 kPa; não Exercício 7.22: O nível da água em um tanque de grandes dimensões fechado é de 20 m acima do solo. A pressão manométrica do ar acima da superfície da água é de 2 atm. Uma mangueira está conectada à parte inferior do tanque cujo bocal de saída de 5 cm de diâmetro está a 2m acima do solo e aponta diretamente para cima. Determine a altura máxima que o jato de água pode atingir e a velocidade da água que passa pelo bocal. Desprezar perdas por atrito.

Exercício 7.23: (adaptado de PAF de FT-I da turma 3E do 1o semestre de 2002)

Calcule para o sifão da figura ao lado qual a altura h para que a pressão em A seja de 2338,5 Pa (abs)? Despreze as perdas por atrito e considere escoamento isotérmico . O diâmetro do tubo do sifão é constante. A seção (2) expele o fluido para a atmosfera em escoamento incompressível. Adote para o fluido uma densidade de 998 (SI). Resposta: 2.98m

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Exercício 7.24: (Prova FT – 5P/R, 2012/1S, exercício White)

Água escoando a 35oC pelo sistema mostrado ao lado é descarregada para a atmosfera em escoamento incompressível. Desprezando as perdas por atrito, para qual diâmetro d3 do bocal a pressão em 2 é de 5600 Pa? São dados: h = 6 ft; d1=3 in; d2=1 in. Resposta : 0,132 ft

Exercício 7.25 (adaptado de exercício de White) Uma bomba é instalada em uma tubulação horizontal. O diâmetro da tubulação de sucção (entrada da bomba) é de 9cm e o diâmetro da tubulação de recalque é de 3cm. Foram instalados dois manômetros, um na entrada da bomba e o outro na saída, os quais acusam leituras, respectivamente de 120kPa e 400kPa. Se o fluido que escoa a uma vazão de 57 m3/h é benzeno a 20oC e desprezando a perda de carga entre os locais de medição de pressão, qual a energia que deve ser transferida pela bomba ao fluido? Resposta : 7,9 kW Exercício 7.26: (exercício de Brunetti, figura cedida pelo Prof. Edvaldo Ângelo) Uma turbina aciona uma bomba conforme o esquema ao lado. A variação de pressão entre a entrada e a saída da turbina é 392000 Pa. Todos os diâmetros das tubulações são iguais, i.e., D1 = D2 = D3 = D4. Estando as duas máquinas em funcionamento em regime permanente, a vazão que atravessa a turbina é o dobro da vazão que atravessa a bomba. Considerando os fluidos a 20oC e sendo os rendimentos globais da bomba e da turbina respectivamente 80% e 70%, determine: a) a diferença de pressão entre a saída e a entrada da bomba; b) o desnível h do manômetro diferencial de mercúrio instalado entre a seção de entrada e saída da bomba. Respostas: a) P4 – P3 = 439 kPa b) 3,57 m

Exercício 7.27: (exercício de White)

O sistema bomba-turbina da figura ao lado retira água do reservatório superior durante o dia para produzir potência para uma cidade. À noite, o sistema bombeia água do reservatório inferior para o superior para restaurar a situação. Para uma vazão de projeto de 56,8 m3/min em ambos os sentidos, a perda de carga por atrito é de 5,2 m. Calcule a potência extraída pela turbina e a potência entregue pela bomba. Resposta: 410hp/540 hp

Exercício 7.28: (adaptado de White)

Respostas :44,93 kW; 33,7 kW; 144,2 kPa; 158,7 kPa; -551,5 kPa

Considere escoamento de água a 20ºC em regime permanente na tubulação. A bomba promove o escoamento da água pela tubulação com uma vazão volumétrica de 220 m3/h, a partir do reservatório aberto à atmosfera, o qual pode ser considerado de grandes dimensões. Sabe-se que a perda de carga total do fluido na instalação hidráulica é de 5 m. O diâmetro da tubulação antes e depois da bomba é igual a 12 cm, mas na saída, água escoa em escoamento incompressível para a atmosfera (jato livre) através de um bocal com diâmetro de 5 cm. Se a bomba tem rendimento de 75%, pede-se: a) A potência necessária para acionar a bomba e a potência

transferida pela bomba ao fluido. b) A pressão na entrada da tubulação, desprezando-se a

perda de carga na entrada da tubulação. c) A pressão no tanque a uma profundidade de 6m. d) A diferença entre a pressão na entrada e saída da bomba.

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Exercício 7.29 (exercício de prova)

Óleo SAE 30 a 20ºC escoa em sentido ascendente em uma tubulação inclinada de 3 cm de diâmetro constante. As pressões são medidas por manômetros nos trechos (A) e (B), respectivamente como 500 kPa e 180 kPa. Admita regime permanente. Pede-se: A) O valor da perda de carga entre as seções A e B. B) A velocidade média e vazão volumétrica de escoamento

pelo tubo inclinado. (Dica: qual deve ser o regime de escoamento? Não se esqueça de verificar a hipótese!)

Resposta : 21,6m ; 0,73 m/s; 0,52 l/s

Exercício 7.30 (adaptado do exercício 6.20 de White) Um canudo para refrigerante tem 20cm de comprimento e 2 mm de diâmetro. Ele fornece refrigerante gelado aproximado como água a 10oC, à taxa de 3 cm3/s. Qual é o gradiente de pressão axial se o escoamento é: a-) verticalmente para cima. b-) horizontal. Respostas : 9980 Pa/m; 19800 Pa/m Exercício 7.31 (Exercício de White)

Óleo SAE 10 a 20oC escoa pelo tubo vertical de 4 cm de diâmetro interno. Para o manômetro de mercúrio que indica um desnível de 42 cm, calcule a vazão volumétrica pelo tubo vertical, especificando o sentido do escoamento e indicando o valor do número de Reynolds. Resposta : 19,3 m3/h; ascendente; Re=1430

Exercício 7.32 (exercício 6.50 - White, 4ª edição) Etanol a 20oC escoa a 473 l/min (litros por minuto) por um tubo horizontal de ferro fundido com 12 m de comprimento e 5 cm de diâmetro. Desprezando efeitos de entrada, calcule: a) O gradiente de pressão axial. b) A tensão de cisalhamento na parede

Resposta: -4024 Pa/m; 50 Pa Exercício 7.33: (exercício de White) Uma bomba deve bombear água a 20oC de um lago para um tanque elevado. A bomba está 1m acima do lago

e a superfície livre do tanque está 20 m acima da bomba. A perda de carga no sistema é dada por 2CV& sendo C=0,08 h2/m5. Se a bomba tem eficiência de 72% e é acionada por um motor de 500W, determine a vazão volumétrica pela bomba. Resposta: 5,6 m3/h Exercício 7.34: (Concurso Petrobras)

No intervalo 3 85 10 Re 10× < < , o fator de atrito para escoamento em tubulação lisa pode ser avaliado pela

equação: ( )2

0,25

0,76 0,9 log Re=

−f . Para água apresentando uma densidade de 1000 kg/m3 e viscosidade

de 10-3 Pa.s, escoando com 5Re 10= em uma tubulação de 10 mm de diâmetro, a perda de carga, em metros de coluna por metro linear de tubulação, pode ser estimada em: (A) 21 (B) 18 (C) 15 (D) 12 (E) 9

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Exercício 7.35: (exercício 7A.2 de Bird et al.)

Uma solução diluída de ácido clorídrico, de densidade e viscosidade constantes e iguais respectivamente a 62,4lb/ft3 e 1 cP, deve ser bombeada do tanque 1 para o tanque 2, sem variação global na elevação. As pressões nos espaços contendo gás dos dois tanques são P1=1atm e P2=4atm. O raio interno do tubo é 2” e o número de Reynolds é 7,11 ×104. Desprezando os efeitos de entrada e saída e considerando que o tubo seja liso, qual a potência que tem de ser transferida pela bomba ao fluido? Resposta: 1,75 kW

Exercício 7.36: (exercício de Munson, prova FT-I 3E, 3F, 3D do 2oS 2002)

Dica: Note que a densidade da água é muito superior à densidade do ar!

Um tanque de grandes dimensões contém ar levemente pressurizado. Admita que o ar se comporte como um fluido incompressível em escoamento incompressível e que a vazão volumétrica que sai do tanque pela tubulação de 2,7 mm de diâmetro interno e 610 mm de comprimento seja de 5,4x10-5 m3/s. Essa tubulação está aberta à atmosfera e é feita por um material liso. São dados para o ar as seguintes propriedades: viscosidade

de 51,8 10 Pa s−⋅ e massa específica de 30,736kg/m . Pede-se calcular o desnível h na coluna de água de um tubo manométrico de vidro instalado na parte superior do reservatório. Considere que a densidade da água seja 1000 kg/m3 e que as diferenças de cota sejam desprezíveis, i.e, x é pequeno e a diferença entre os níveis das seções (0) e (1) sejam desprezíveis. Despreze também efeitos de entrada e saída da tubulação. Resposta: 5,35cm

Exercício 7.37: (prova FT-I 3B)

Água a 20oC (densidade de 998 kg/m3 e viscosidade de 1 cP) escoa pela instalação hidráulica esquematizada ao lado com uma velocidade de 2 m/s, onde há uma válvula esfera compacta e um cotovelo de 45º. Considere que o fator de atrito no escoamento seja de 0,02. Pede-se calcular a perda de carga localizada total entre as seções A e B. Dados: Coeficiente de perda de carga singular no cotovelo: 0,32 Razão entre comprimento equivalente e diâmetro para a válvula esfera: 3

Exercício 7.38:

Considere a instalação hidráulica horizontal de diâmetro interno constante igual a 2,5 cm desenhada a seguir, em que a válvula é flangeada e o cotovelo rosqueado à tubulação. Sabe-se que pela instalação hidráulica escoa um fluido com velocidade média de 2 m/s da seção (1) para a seção (2) e que o fator de atrito de Darcy-Weissbach é de 0,02. Sabendo-se que entre os pontos 1 e 2 a perda de carga distribuída é de 2m, pede-se: a) a perda de carga total entre pontos 1 e 2; b) o comprimento equivalente associado à perda de carga na válvula? c) o comprimento da tubulação entre os pontos 1 e 2 d) a queda de pressão entre os pontos 1 e 2.

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Exercício 7.39:

Na instalação hidráulica ao lado, água a 20oC escoa por uma tubulação de aço comercial novo 2”SCH40S com uma vazão de 2 l/s (litros/segundo). O comprimento da tubulação entre as seções (1) e (5) é 5 m. Na seção (2) encontra-se uma válvula gaveta e na seção (3) uma válvula globo. Pede-se determinar a perda de carga total entre as seções (1) e (5). Dados: Comprimentos equivalentes das singularidades: válvula de gaveta 2”: 0,335 m Válvula tipo globo 2”: 17,61 m Cotovelo de raio médio de 90º de 2”: 3,01 m

Exercício 7.40: (exercício de Munson, figuras cedidas pelo Prof. Edvaldo Angelo) Um túnel de vento consiste basicamente de um bocal convergente, uma seção de testes (local onde os experimentos são conduzidos), um sistema de circulação de ar e um ventilador. A seção de testes do túnel em questão possui diâmetro de 3 m e todo o restante do sistema de recirculação possui 6 m de diâmetro. Admita ar à 20ºC, escoamento unidimensional, velocidade do escoamento na seção de testes de 72 m/s e densidade do ar constante de 1,2 kg/m3 (i.e. considere que o ar se comporte como um fluido incompressível). Admita,

ainda que a perda de carga no bocal convergente seja 210,002039v , sendo v1 a velocidade na seção 1 e que

todas as outras perdas de carga podem ser estimadas como: 20,01019ov sendo vo a velocidade na seção 0.

Calcule: a) a queda de pressão a que o ar é submetido ao passar pelo bocal convergente. b) a potência do motor do ventilador admitindo rendimento de 85%. Respostas : 3040 Pa; 97,8 kW Exercício 7.41: (prova de FT-I das turmas 3E/F do 1o semestre de 2003)

Água a 4oC escoa pela tubulação de vidro de 13,75cm de diâmetro interno, na qual nas localidades A e B encontram-se dois piezômetros abertos ao ar ambiente. Entre os pontos A e B localiza-se uma válvula gaveta totalmente aberta que apresenta comprimento equivalente de 1m. A distância entre os pontos A e B é de 30 ft. Pede-se, sabendo-se que o comprimento equivalente da perda de carga localizada na válvula gaveta é de 1m:

a-) indicar o sentido do escoamento do fluido, justificando. c-) determinar a vazão mássica de escoamento pela tubulação. Respostas: 1,25 m/s; 18,6 kg/s

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Exercício 7.42: Água à 60oC escoa através de um convergente conforme mostrado na figura. São dados: Densidade do mercúrio à 60oC: 13000 kg/m3. Seção 1: Diâmetro de 7 cm, pressão manométrica de 101325 Pa Seção 2: Diâmetro de 4 cm, vazão volumétrica de 0,010 m3/s. Admita desprezíveis todos os tipos de perdas por atrito e também que a dimensão a seja muito menor que a dimensão h . Determine: a) A pressão na seção 2. b) O desnível do manômetro diferencial de mercúrio. c) A força total na direção horizontal que deve ser aplicada para

manter o convergente estático.

Respostas : 73,4 kPa; 86 cm;

Exercício 7.43: (Prova – FT-1, 3A, 3B, 3H)

Água a 20ºC escoa por uma tubulação com diâmetro 10 cm na seção (1), passando por um redutor, o qual reduz o diâmetro na seção (2) para 3 cm. O diâmetro na seção 2 se mantém até a saída da tubulação (seção 3), aonde a água é descarregada para a atmosfera e atinge uma placa, conforme mostrado na figura abaixo. O escoamento é incompressível e em regime permanente . Pede-se, indicando todos os volumes de controle e apresentando o equacionamento com as hipóteses: A) A velocidade na saída da tubulação (seção 3),

sabendo-se que para manter a placa estacionária é necessário aplicar uma força na horizontal (F) de 70N. Admita que na saída da tubulação, o perfil de velocidades seja uniforme.

B) A velocidade na seção 1. C) A diferença de pressão entre as seções (1) e (2) desconsiderando-se o atrito entre as seções 1 e 2. D) A leitura h do manômetro de mercúrio. Resposta : 9,96 m/s; 0,8964 m/s; 49 kPa; 0,4 m Exercício 7.44 (exercício de Bird, figura cedida pelo Prof. Edvaldo Ângelo)

Na fabricação de polpa de papel, as fibras de celulose de lascas de madeira ficam livres do aglutinante lignina pelo aquecimento, sob pressão, em soluções alcalinas em tanques cilíndricos chamados digestores. No final do período de “cozimento”, uma pequena janela é aberta em uma extremidade do digestor, permitindo assim que a lama de lascas de madeira polida seja soprada sobre um prato de impacto de modo a completar a quebra das lascas e a separação das fibras. Estime a velocidade da corrente de descarga e a força adicional no prato de impacto, imediatamente depois da descarga começar, desprezando o peso do prato. Efeitos de atrito dentro do digestor e a baixa energia cinética do fluido dentro do tanque podem ser negligenciados. Adote para o fluido a densidade de 1060 kg/m3. Use o volume de controle sugerido no desenho para o cálculo da força. Resposta : 35,2 m/s e 41363,4 N.

50

Exercício 7.45: (adaptado de exercício cedido pelo Prof. Edvaldo)

Durante a fase de pré-projeto de um espargidor (soprador de folhas), deseja-se determinar os esforços aos quais o operador do equipamento será submetido. Um esquema do dispositivo é mostrado em duas vistas na figura. O ar a 20oC entra por um duto lateral (designado na figura por duto de entrada de ar, seção 1), passa por um ventilador e é direcionado por um duto de plástico estirado de 10 cm de diâmetro interno e 120 cm de comprimento (seção 2) até um bocal de saída (seção 3) de área de seção transversal de 30 cm2, aonde se registra uma velocidade de 240 km/h. A velocidade do ar na seção 1 pode ser considerada nula. Admita que as pressões nas seções 1 e 3 sejam a atmosférica e que o ar se comporte como um fluido incompressível. Suponha também, que apenas a perda de carga no duto de plástico estirado seja significativa (em outras palavras, despreze todas as outras perdas por atrito, inclusive a perda no bocal de saída).

Desconsidere variações na energia potencial e despreze o peso do ar no interior do espargidor e considere que a massa do conjunto (ventilador, duto, bocal e demais acessórios sólidos) seja de 10 kg. A operação do espargidor é estacionária. Pede-se: a) Determinar a potência do ventilador supondo um rendimento de 65%. b) Calcular os esforços que o operador terá que realizar, a saber: a força horizontal (paralela ao eixo x) e a

força vertical (paralela ao eixo y). Exercício 7.46: (exercício 7B.4 de Bird et al.) Caso I : Um fluido está escoando entre dois tanques A e B, pelo fato de PA>PB. Os tanques estão no mesmo

nível e não há bomba na linha. A linha de conexão tem uma área de seção transversal SI e a vazão mássica é w para uma queda de pressão de (PA-PB)I.

Caso II : Deseja-se trocar a linha de conexão por duas linhas, cada uma com seção transversal SII=SI/2. Qual é a diferença de pressão (PA-PB)II necessária para fornecer a mesma vazão mássica total igual à do caso I? Considere escoamento turbulento e use a fórmula de Blasius para o fator de atrito. Despreze as perdas na entrada e na saída dos tanques.

Resposta : ( )( )

582A B II

A B I

P P

P P

−=

−

Exercício 7.47: (PAF de FT-I 2o semestre de 2014)

Água a 20oC é retirada do tanque aberto de grandes dimensões, mostrado no esquema a seguir, por uma tubulação de diâmetro interno constante de 10 cm. A velocidade média da água escoando a 20oC na seção A da tubulação é de 3 m/s. A perda de carga até a seção A é de 0,8 m e a perda de carga entre as seções B e C é de 3,2 m. O diâmetro da tubulação de saída da bomba também é constante e igual a 10 cm. A potência requerida pelo motor da bomba para o transporte da água é de 4300 W.

A pressão efetiva na seção C é de 200kPa. A superfície livre da água no tanque encontra-se 30 m acima da linha de centro da tubulação que alimenta a bomba. A linha de centro da seção C da tubulação de saída da bomba encontra-se e a 10 m abaixo da superfície de água no tanque. Pede-se: A) Calcular o rendimento da bomba. B) Calcular a diferença de pressão entre as seções A e B (antes e depois da bomba).

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Exercício 7.48 (exercício de prova) A figura a seguir mostra um tanque de grandes dimensões pressurizado e fechado no interior do qual se encontra água e um gás. A altura H de água no tanque é de 4,7 m. No topo do tanque existe um manômetro que apresenta uma medição de 10 kPa. Ao fundo do tanque é acoplada uma tubulação de diâmetro interno constante de 10 cm. Na seção 1 da tubulação encontra-se um manômetro diferencial de mercúrio que tem a sua outra extremidade aberta ao ar atmosférico. A distância entre a superfície livre do mercúrio no tubo aberto à atmosfera e a tubulação por onde escoa água é de 95 cm conforme indicado na figura. A velocidade média da água medida na seção 1 é de 2 m/s. A perda de carga no escoamento até a seção 1 pode ser considerada como sendo de 4 m. A perda de carga total entre a seção 1 e 2 é de 70cm. Entre a seção 1 e a seção 2 da tubulação encontra-se uma bomba com rendimento de 85% e uma válvula gaveta totalmente aberta que apresenta um comprimento equivalente de 0,7 m. Todos os fluidos estão a 20oC. A pressão (absoluta) do fluido na seção 2 é 200kPa. As tubulações podem ser consideradas lisas. Pede-se, indicando todos os volumes de controle e apresentando a modelagem matemática: a-) o desnível h no manômetro de mercúrio; b-) a potência da bomba; c-) o comprimento da tubulação entre as seções 1 e 2. d-) o coeficiente de perda de carga singular da válvula gaveta. Resposta : 20 cm; 1700W; 22,3 m; 0,1047

Exercício 7.49: (exercício de Munson, prova FT-I 3E, 3F, 3D 2oS2002)

A instalação de um redutor de pressão em chuveiros elétricos pode diminuir, em alguns casos, os consumos de água e energia. Admitindo que a pressão relativa no ponto (1) da figura permaneça constante em 200 kPa e que todas as perdas de carga, exceto aquela causada pela instalação do redutor de pressão (no local indicado), possam ser desconsideradas, determine para o chuveiro da figura a vazão volumétrica de água escoando a 4oC.

Informações complementares: As diferenças de cotas são desprezíveis. Diâmetro da tubulação de alimentação do chuveiro: mm7,12D = Diâmetro do orifício do redutor de pressão, d = 5,7 mm Diâmetro dos furos na saída do chuveiro, mm3,1df = Para o cálculo da perda de carga no redutor, utilize a figura ao lado, a qual considera que a velocidade seja avaliada na seção de menor diâmetro, i.e., saída do redutor. Resposta: 21,1 l/min

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Exercício 7.50: (PAF de FT-I da turma 4C do 1o semestre de 2002)

Fenol a 40oC (densidade 1059 (SI); viscosidade dinâmica de 0.005 (SI)) escoa de 1 para 4 pela instalação desenhada a seguir com uma vazão mássica de 1,08 (SI). Sabe-se que o ponto 3 está a 10 m acima dos pontos 1 e 2 (que podem ser considerados à mesma cota). O rendimento da bomba é de 80% e a energia elétrica fornecida à bomba é de 1 kW. Considere neste exercício a aceleração da gravidade como sendo 8.8 m/s2 e que a perda de carga na tubulação de sucção (entrada da bomba) seja de 60m. Pede-se:

(a) Se o tubo 2 tem um diâmetro de 2 cm e nele escoa o fenol com uma velocidade de 1,5 m/s, qual a vazão volumétrica que passa pelo tubo 3?

(b) Qual a pressão na saída da bomba (Ps), sabendo-se que a pressão em 1 (P1) é de 46 10× (Pa)? Considere que a tubulação imediatamente à saída da bomba tenha o mesmo diâmetro da tubulação de entrada, i.e., que o diâmetro do tubo 4 seja idêntico ao do tubo 1.

(c) Entre os pontos 2 e 3 a perda de carga distribuída na tubulação 2 é de 9 m e o único acessório presente é o cotovelo, cujo coeficiente de perda de carga localizada pode ser considerado como sendo 0,9. Qual a perda de carga na tubulação 2 entre os pontos 2 e 3?

(d) Qual a pressão em 3? Considere (para facilitar a resolução) que a pressão em 2 seja a mesma da saída da bomba, obtida no item (a).

(e) Qual a perda de carga na tubulação 3 entre os pontos 2 e 3? (f) Se o tubo 3 também tem um diâmetro de 2 cm, qual o seu comprimento? Considere que o fator de atrito

de Darcy seja de 0,02 no tubo 3 e que apenas a perda de carga distribuída seja significativa neste trecho da tubulação.

Respostas : a) 0,0005488 m3/s; b) 221796 Pa; c) 9,103m; d) 23541Pa; e) 9,103m; f) 58,4m