eym3d laplace c unicidad - upminterfase.condicionesde regularidad. teorema de unicidad, teorema del...

Electricidad y Magnetismo 2010/2011

Potencial Escalar, Ecuaciones de Poisson y de Laplace. Condiciones de

frontera. Unicidad. Página 1

Electrostática

• Definición

• Los conductores en electrostática.

• Campo de una carga puntual.

• Aplicaciones de la Ley de Gauss

• Integrales de superposición.

• Potencial electrostático

– Definición e Interpretación. Integrales de superposición.

– Ecuaciones de Poisson y Laplace. Condiciones de Interfase.Condiciones de regularidad. Teorema de unicidad, teorema del valor medio.

• Campo y potencial eléctrico en puntos alejados: dipolo, momento dipolar, ...

• Polarización de materiales.

• Método de las imágenes.

• Sistemas de conductores. Condensadores.

• Energía y Fuerzas. EyM 3d-1J.L. Fernández Jambrina

Ecuaciones de Poisson y Laplace

• Se puede ligar el potencial con las densidades de carga, así para medios isótropos:

• La ecuación para medios homogéneos, lineales e isótropos recibe el nombre de Ecuación de Poisson:

• En el caso de regiones sin carga, la ecuación de Poisson se reduce a la Ecuación de Laplace:

• Todas estas ecuaciones son de segundo orden.

( ) ( ) ρεερεεερ

−=∆Φ+Φ∇⋅∇⇒=Φ∇−⋅∇=⋅∇⇒

Φ−∇=

=

=⋅∇

E

E

ED

Dr

r

rr

r

ερ

−=∆Φ

0=∆Φ

EyM 3d-2J.L. Fernández Jambrina




Soluciones generales con dependencia de una única coordenada

• En muchas situaciones se puede suponer en primera aproximación que el potencial sólo depende de una coordenada:

– Es interesante conocer las soluciones correspondientes.

( ) xAEBAxrxzy

ˆ002

2

−=+=Φ⇒=Φ

=∆Φ⇒=Φ

=Φ rr

∂∂

∂∂

∂∂

( )

( )

( ) zAEBAzrz

AEBAr

z

AEBAr

z

rrr

rr

rr

−=+=Φ⇒=Φ

=∆Φ⇒=Φ

=Φ

≠−=+=Φ⇒=Φ

=∆Φ⇒=Φ

=Φ

≠−=+=Φ⇒=

Φ=∆Φ⇒=

Φ=

Φ

00

0;ˆ01

0

0;ˆln01

0

2

2

2

2

2

∂∂

∂ϕ∂

∂ρ∂

ρϕρ

ϕ∂ϕ∂

ρ∂∂

∂ρ∂

ρρρ

ρ∂ρ∂

ρ∂ρ∂

ρ∂∂

∂ϕ∂

Cartesianas:

Cilíndricas:


Soluciones generales con dependencia de una única coordenada (2)

• Esféricas

( )

( )

( )0ˆ0

10

0ˆ

2ln

01

0

0

ˆ

01

0

2

2

2

2

2

2

2

≠θ

θϕ

−=

+ϕ=Φ⇒=

∂ϕΦ∂

θ=∆Φ⇒=

∂θΦ∂

=∂Φ∂

≠θ

θθ−

=

+

θ=Φ

⇒=

∂θΦ∂

θ∂θ∂

θ=∆Φ⇒=

∂ϕΦ∂

=∂Φ∂

≠

=

+=Φ⇒=

∂Φ∂

∂∂

=∆Φ⇒=∂ϕΦ∂

=∂θΦ∂

rsen

rsen

AE

BAr

senrr

rsen

rsen

AE

BtgAr

sensenrr

r

rr

AE

Br

Ar

rr

rr

r

r

r

r

r

r





Condiciones de interfase del Potencial

• La ecuación de Poisson, por ser una ecuación diferencial, sólo se puede aplicar en puntos ordinarios del espacio:

– no se puede aplicar en las interfases entre medios.

• Es necesario obtener las condiciones de interfase:

– A partir de la condición para la componente normal de :

– A partir de la condición para las componentes tangenciales de :

– No obstante, esta última condición puede mejorarse substancialmente:...

( ) ( ) s

S

sSnnsS nn

EEDDn ρ∂

∂ε

∂∂

ερεερ =

Φ−

Φ⇒=−⇒=−⋅ 2

2

1

1112212ˆ

rr

r

D

r

E

( ) ( ) ( ) cte0ˆ12

12

1212 =Φ+Φ−⇒=

Φ+

Φ−=−=−×

S

SS

ttS tt

EEEEn∂

∂∂

∂rrrr

Medio 1

Medio 2

$n

ε σ2 2

2 2 2

,

, ,r r

E D Φ

ε σ1 1

1 1 1

,

, ,r r

E D Φ


Condiciones de interfase del Potencial (2)

• Utilizando la idea de una zona de transición continua entre medios cuyo espesor ∆n se hace tender a cero,

– Se escogen sendos puntos A y C, uno en cada medio y en el límite de la zona de transición, de forma que se cumpla:

– En estas condiciones:

– y puesto que los campos no se hacen infinitos:

• En resumen, el potencial es continuo en las interfases:

– Equivalencias entre condiciones de interfase:

Medio 1

Medio 2$n

ε σ2 2

2 2 2

,

, ,r r

E D Φ

ε σ1 1

1 1 1

,

, ,r r

E D Φ

A

BC

∆n

( ) ( ) ( ) ( )[ ] ( ) ( )[ ] ∫∫ ⋅−⋅−=Φ−Φ+Φ−Φ=Φ−ΦB

A

C

BldEldEABBCACrrrr

12112212

( ) ( )( ) 0limlimlim 10

20

120

=⋅−⋅−=Φ−Φ ∫∫ →∆→∆→∆

B

An

C

BnnldEldEACrrrr

BCBAn →→⇒→∆ ;0

( ) 012

=Φ−ΦS

( )( ) ( ) 00ˆ

ˆ

2112

2

2

1

112

=Φ−Φ⇐=−×

=

Φ−

Φ⇔=−⋅

SS

s

S

sS

EEn

nnDDn

rr

rr

ρ∂

∂ε

∂∂

ερ





Condiciones de Regularidad en el Infinito.

• Se ha ido haciendo hincapié en todos ejemplos con distribuciones de dimensiones finitas en que el potencial tiende al de una carga puntual a medida que el punto de cálculo se aleja de la distribución.

• Esto lleva a la llamada Condición de Regularidad en el Infinito:

• Puede expresarse una condición similar para el campo eléctrico:

– Las condiciones de regularidad en el infinito del campo y del potencial son equivalentes.

– Son aplicables siempre que el medio en el infinito sea homogéneo, lineal e isótropo.

( )r

Qqd

rrr

qdr

QQrrrrrr

r

rr πε=′

πε=

′−

′

πε=Φ ∫∫ ′∞→∞→ 44

1

4

1limlim

( ) Krrr

=Φ∞→

rr

rlim

( ) ( )233

4

ˆ

44

1limlim

r

rQqd

r

r

rr

qdrrrE

QQrrrr

r

rr

rrrr

rr

πεπεπε=′=

′−

′′−= ∫∫ ′∞→∞→

( ) rKrErr

ˆlim2

=∞→

rrr

r


• Sea una distribución esférica de carga de densidad y radio a. Determinar el potencial y el campo producidos.

• Método de Gauss:

– Campo en la región exterior:

– Campo en la región interior:

– El potencial en la región exterior:

– El potencial en la región interior:

( ) ( ) rrrErrrD iriˆ

33

44 0

0

32

, ερ

ρππ =⇒=r

( ) ( )r

q

r

adr

r

adrrrrEr

rr

ee

00

3

0

2

0

3

0

43

1

3ˆˆ

πεερ

ερ

==−=⋅−=Φ ∫∫ ∞∞

Ejercicio: potencial y campo de una distribución esférica

a(i)

(e)

εεεεεεεε0000

ρρρρ0000

0ρ

( ) ( ) ( ) ( )ε

ρε

ρε

ρε

ρ6333

22

0

0

2

00

0

2

0raa

rdra

drrEarr

a

r

aiii

−+=−=−Φ=Φ ∫∫

( )

( ) rr

qr

r

ar

r

arE

arrD

re

re

ˆ4

ˆ3

ˆ4

4

2

0

2

0

3

0

2

0

0

3

3

4

,

0

3

3

42

,

πεερ

πε

ρπ

ρππ

===

=

r





• Por integración directa de la ecuación de Poisson.

– El potencial sólo depende de r:

– Región exterior:

» Ecuación homogénea => Solución general:

– Región interior:

» Ecuación no homogénea => Solución general + particular:

excepto en el origen de coordenadas.

– Hay cuatro constantes a determinar con las condiciones de contorno.

Ejercicio: potencial y campo de una distribución esférica (2)

ερ

−=∆Φ

i

i

i

ii

i

i

iii

Br

Ar

r

Ar

dr

dAr

dr

dr

drrdr

drd

dr

dr

dr

d

r

+−−=Φ⇒+−=Φ

⇒+−=Φ

⇒

⇒−=

Φ⇒−=

Φ=∆Φ

20

2

0302

20202

2

633

1

ερ

ερ

ερ

ερ

ερ

e

e

e

ee

e

ee

e Br

A

r

A

dr

dA

dr

dr

dr

dr

dr

d

r+−=Φ⇒=

Φ⇒=

Φ⇒=

Φ=∆Φ

2

22

20

1


• Condiciones de contorno:

– Regularidad en el infinito: potencial nulo en el infinito.

– El origen es un punto ordinario: no tiene que haber singularidades.

– No hay densidades de carga en r=a: continuidad de la derivada

– Potencial continuo en r=a.


r

aaAa

a

A

dr

d

dr

dee

e

ar

i

ar

e

S

1

330

30

0

3

0

0

3

00

200 ερ

ερρ

εεερ =Φ⇒−=⇒=−−⇒Φ

+Φ

−====

r

ABB

r

A e

ee

r

e

e

re −=Φ⇒==

+−=Φ

∞→∞→

0

ερ

ερ

ερ

ερ

6336

2

0

0

2

0

0

2

0

2

0aa

Ba

a

AB

ai

e

areiari +=⇒=−=Φ=+−=Φ==

iii

r

ii

ri Br

ABr

Ar+−=Φ⇒=⇒∞≠

+−−=Φ

=

= ερ

ερ

60

6

2

0

0

2

0

0

( )0

2

0

22

0

2

0

0

3

0

3663 ερ

+ε−ρ

=+ε

ρ−=Φ

ερ

=−=Φara

Br

r

a

r

Aii

ee





• Método de aportaciones infinitesimales.

– En principio no es válido: requiere medio homogéneo.

– Suponiendo medio homogéneo el potencial en cualquier punto se obtiene mediante la expresión:

– Restringiendo el cálculo al eje Z. (Que puede ir en cualquier dirección)


( ) ( )Vd

rr

rr

V′

′−

′=Φ ∫∫∫ rr

rr ρ

πε41

ϕθθ ′′′′′=′ ddrdrVd sen2

a

(i)

(e)

εεεε

εεεε

ρρρρ

x

y

z

rr

r′r

r rr r− ′

( ) 21

cos2ˆ

ˆ220 θθ ′′−′+=′−⇒

′′=′

== rrrrrrrrr

rrr rr

r

r

( )( )

( )L

r

=′′−′+

′′′′=

=′′−′+

′′′′′=Φ

∫ ∫

∫ ∫ ∫

=′ =′

=′ =′ =′

a

r

a

r

rrrr

drdr

rrrr

ddrdrr

0 0 22

2

0

0 0

2

0 22

2

0

21

21

cos2

sen

2

cos2

sen

4

π

θ

π

θ

π

ϕ

θ

θθε

ρ

θ

ϕθθπερ


( )( )

( )

( ) ( ) ( )[ ]∫∫

∫∫ ∫

=′=′

=′=′ =′

′′−−′+′=′

′−−′+′=

=′

′′−′+′=′′−′+

′′′′=Φ

a

r

a

r

a

r

a

r

rdrrrrrr

rdrrrrrr

rdrrrrr

rrrrr

drdrr

0

0

0

20

0 0

220

0 0 22

2

0

22

cos21

2cos2

sen

2

21

21

ερ

ερ

θε

ρ

θ

θθε

ρ ππ

θ

r


• En la región exterior

• En la región interior hay que descomponer la integral en dos tramos [0,r] y [r,a]:

rrrrrar ′−=′−⇒≤≤′

( ) ( ) ( )[ ]r

a

r

rrdr

rrdrrrrr

rr

a

r

a

r

a

re ε

ρε

ρερ

ερ

332

3

0

0

3

0

0

20

0

0 =′

=′′=′′−−′+′=Φ=′

=′=′ ∫∫r

( ) ( ) ( )[ ] ( ) ( )[ ]

( )ε−ρ

+ε

ρ=

ε

′ρ+

ε

′ρ=′′

ερ

+′′ερ

=

=′′−+′+′ε

ρ+′′−−′+′

ερ

=Φ

=′=′=′=′

=′=′

∫∫

∫∫

2323

22

22

0

2

0

2

0

0

3

00

0

20

0

0

0

rarr

r

rrdrrdr

r

rdrrrrrr

rdrrrrrr

r

a

rr

r

r

a

rr

r

r

a

rr

r

ri

r

rrrrarr

rrrrarr

−′=′−⇒≤′≤

′−=′−⇒≤≤′





Condiciones para la unicidad de la solución de la ecuación de Poisson

• ¿Qué condiciones hay que aplicar a la ecuación de Poisson para que su solución sea única?

– Esquema:

» Supongamos dos soluciones de un mismo problema que en principio se consideran diferentes:

» Construyamos el escalar auxiliar

» Si logramos determinar bajo que condiciones U=0, entonces, bajo esas mismas condiciones:

• En algunos casos habrá que conformarse con

• Esta ambigüedad no afecta a la unicidad del campo.

21Φ=Φ

21

22

11

;

:

:

Φ≠Φ

−=∆ΦΦ

−=∆ΦΦ⇒

ερερ

Vρ

C.C. ε

01212

=∆Φ−∆Φ=∆Φ−Φ= UU

( )2221121

ctectecte EEUrr

=Φ−∇=+Φ−∇=Φ−∇=⇒+Φ=Φ⇒=

ctecte 21 +Φ=Φ⇒=U


Unicidad (2)

• Considerando medios lineales, homogéneos e isótropos:

– Punto de partida:

– Por la definición de U, ∆U=0:

– Aplicando Gauss:

– Si se consigue demostrar que bajo ciertas condiciones:

– Entonces, en esas mismas condiciones

( )[ ] ( ) UUUUUUUUU ∆+∇=∇⋅∇+∇⋅∇=∇⋅∇ εεεεε 2

( ) 02

≥∇=⋅∇=∇⋅∇ ∫∫∫∫∫∫∫∫ VSVdVUSdUUdVUU εεε

r

( ) 2UUU ∇=∇⋅∇ εε

0==⋅∇ ∫∫∫∫ SSdS

n

UUSdUU

∂∂

εεr

Buscar las condiciones de contorno de Φ que hagan que: 0=∫∫S dSn

UU

∂∂

εObjetivo:

cte00

012

2

+Φ=Φ⇒=∇⇒

>

=∇∫∫∫ UdVU

V

ε

ε





Unicidad (3): Dirichlet y Neumann.

• Si sobre parte del contorno se especifica el valor que debe tomar el potencial:

– Este es el caso de conductores a potencial conocido.

• Si sobre parte del contorno se especifica el valor que debe tomar la derivada del potencial:

( )( )( ) 0,

,,

212

211

21=⇒

=Φ

=Φ⇒=Φ

⊂⊂

⊂

⊂ SS

SS

SS

SS D

D

D

D

UuuF

uuFuuFV

ρ

εS

( )( )

( )0

,

,

,

21

2

21

1

21=⇒

=Φ

=Φ

⇒=Φ

⊂

⊂

⊂

⊂ SS

SS

SS

SS N

N

N

Nn

U

uuGn

uuGn

uuGn ∂

∂

∂∂∂

∂

∂∂V

ρ

εS

0=∫∫S dSn

UU

∂∂

ε


Unicidad (4):Regularidad en el infinito.

• Si parte de la superficie que limita la región de estudio es la superficie del infinito y en ella se verifica la condición de regularidad:

S S∞

0=∫∫S dSn

UU

∂∂

ε

U

U

cter

Ur

rlim

cter

rrlim

cter

rrlim

cteUrrlim

cterrlim

cterrlim

=−∞→

⇒

=Φ

−∞→

=Φ

−∞→

=∞→

⇒

=Φ∞→

=Φ∞→

rr

r

rr

r

rr

r

r

rr

r

r

r

∂∂

∂∂

∂∂

2

2

22

1

12

22

11

02

3

2

=Ω∞→

=∞→ ∫∫

∞

rr

cte

rlimdS

n

UU

rlim U

S

r

rrr ∂∂

Ω== drddrdS22

senr

ϕθθ

ΩΩΩΩ





Unicidad (5): Conductor cargado y aislado.

• Si parte de la superficie es un conductor aislado y de carga conocida:

0=∫∫S dSn

UU

∂∂

ε

ρε

S

q

σ

SC

$n

0

0

1

2

1

1

22

11

==⇒

=⇒

Φ=

Φ=

=⇒

=Φ

=Φ

∫∫∫∫∫∫

∫∫

∫∫ CS

CS

CS

CS

CS

CS

CS

CS

dSn

UUdS

n

UU

dSn

U

dSn

q

dSn

q

UUV

V

∂∂

ε∂∂

ε

∂∂

ε

∂∂

ε

∂∂

ε


Unicidad (6): Conclusiones.

• Si en todos los puntos de la superficie que limita el recinto se impone una y sólo una de las condiciones:

» Dirichlet.

» Neumann.

» Regularidad en el infinito.

» Conductor de carga conocida.

• entonces:

• Y la solución del potencial será única salvo una constante aditiva.

• Si alguna de las condiciones es del tipo Dirichlet o Regularidad en el infinito, entonces la constante es nula.

• Si se impone más de una condición en un punto, puede que el problema no tenga solución.

ctecteUUdSn

UU

S+Φ=Φ⇒=⇒=∇⇒=∫∫ 1200

∂∂

ε





J.L. Fernández Jambrina

Problema 2. Junio 1993 (Conv. Ordinaria)

• Sistema de dos conductores esféricos.

• El interior es macizo y el exterior hueco.

• Exterior a tierra.

• Dieléctrico interior cargado.

ε

ab

c

0ρ

• ¿Cuándo hay solución única?

a) Con los datos anteriores.

b) Cuando el interior está descargado.

c) Cuando la carga total es nula.

d) Cuando la carga total es nula y el interior está a tierra.

e) Cuando el conductor interior está puesto a tierra y descargado.

• Resolver lo que se pueda.

EyM 3d-19

• Enunciado: En una región homogénea sin cargas el valor medio del potencial en una superficie esférica es igual al potencial en su centro.

– Escogiendo el origen de coordenadas en el centro de la esfera se calcula el valor medio del potencial sobre la esfera de radio R:

– Se deriva respecto de R y resulta que la derivada es nula:

» La carga encerrada por la esfera, q, es 0 ya que se trata de una región sin cargas.

– El valor medio es independiente del radio de la esfera.

– Como para R=0 la esfera degenera en su centro, el valor medio coincide con el valor del potencial en el punto y queda demostrado el teorema.

Teorema del Valor Medio.

∫ ∫∫ ∫∫∫π

=ϕ

π

=ϑ

π

=ϕ

π

=ϑϕθθΦ

π=ϕθθΦ

π=Φ

π=Φ

2

0 0

2

0 0

2

22sen

4

1sen

4

1

4

1ddddR

RdS

R S

044

1

4

1

4

1

4

1sen

4

1sen

4

1

2222

2

2

0 0

2

2

2

0 0

=−

=⋅−

=⋅−

=⋅Φ∇=

=Φ

=Φ

=Φ

=Φ

∫∫∫∫∫∫

∫∫∫ ∫∫ ∫ = == =

r

qSdD

RSdE

RSd

R

dSdR

d

RddR

dR

d

Rdd

dR

d

dR

d

SSS

S

πεπεππ

πϕθθ

πϕθθ

π

π

ϕ

π

ϑ

π

ϕ

π

ϑ

rrrrr





Teorema del valor medio.Aplicaciones

• El potencial en una región sin cargas no puede tener ni máximos ni mínimos:

– Si en un punto el potencial tuviera un máximo (mínimo) entonces:

» El potencial en dicho punto es mayor (menor) que en su entorno.

» Existiría una esfera centrada en ese punto tal que el valor medio del potencial sobre ella sería menor (mayor) que en su centro.

– Lo que contradice el teorema de la media: Luego es falso que exista un máximo o un mínimo.

• Si no hay cargas en el interior de una superficie equipotencial, el potencial es constante en su interior.

– Si no fuera constante, habría al menos un máximo o un mínimo.

– Pero, para no contradecir el teorema de la media, no puede haber ni máximos ni mínimos.

– Luego el potencial debe ser constante.


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