tema 1: ecuaciones y principios electromagnéticos en ... · 4.1 teorema de dualidad 4.2 teorema de...

1

TEMA 1: Ecuaciones y principios electromagnéticos en radiación y dispersión

Índice:1. Ecuaciones de Maxwell y condiciones de frontera2. Obtención de los potenciales retardados3. Radiación de un elemento de corriente 4. Principios y teoremas del electromagnetismo

4.1 Teorema de dualidad 4.2 Teorema de unicidad 4.3 Teoría de imágenes 4.4 Teorema de reciprocidad 4.5 Teorema de reacción4.6 Teorema de equivalencia volumétrica4.7 Teorema de equivalencia superficial 4.8 Teorema de inducción 4.9 Teorema de equivalencia física

Bibliografía: C.A. Balanis. “Advanced Engineering Electromagnetics”. Capítulos 6 y 7. Ed. John Wiley and Sons. 1989.

2

Pioneros del electromagnetismo

Ejercicio 1: ¿Quién es quién?

1

2

3 4

5

6

3

EJ

HB

ED

0jJ

0B

D

JDjH

BjE

c

rr

rr

rr

r

r

r

rrr

rr

σ=

µ=

ε=

=ωρ+⋅∇

=⋅∇

ρ=⋅∇

+ω=×∇

ω−=×∇ Ley de FaradayLey de Amper generalizadaLey de GaussContinuidad de Flujo Magnético

Ecuación de ContinuidadEcuacionesConstitutivasde la Materia

FUENTESρ: Densidad de carga eléctrica

J: Densidad de corrienteJc: D. de Corriente de Conducción

MEDIOε: Permitividad eléctrica

µ: Permeabilidad magnéticaσ: Conductividad

CAMPOSE: Intensidad de campo eléctrico

H: Intensidad de campo magnéticoD: Inducción de campo eléctrico

B: Inducción de campo magnético

⎟⎠⎞

⎜⎝⎛

ωεσ

−ε=ε ′′−ε′=ε⇒⎪⎭

⎪⎬

⎫

+⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛ωσ

+εω=×∇

σ=

j1jJE

jjH

EJ

cext

c

rrr

rr

Permitividad Complejaen un medio con pérdidas

1. Ecuaciones de Maxwell

4

Condiciones de Frontera deConductor Perfecto.

Condiciones de Frontera deConductor Real

Condiciones de Fronteraentre dos Dieléctricos

0H0Hn

0E0En

nor

tan

=⇒=⋅

=⇒=×rr

r

Dn

HnJ

s

sr

rr

⋅=ρ

×=

n

∞=σ

sJ

tanH0H

0E

=

=r

r

n

1ε 2ε

21

21

21

21

BnBn

DnDn

HnHn

EnEn

rr

rr

rr

rr

⋅=⋅

⋅=⋅

×=×

×=×

0H0Hn

HZEn

nor

tans

=⇒=⋅

−=×rr

rrn

∞≠σ

J

tanHδ

−∝

⎪⎭

⎪⎬

⎫ z

eJHE

r

r

r

σδ+

=µσπ=δj1Zf1 s

[ ] [ ] 2

sdis JZRe21HERe

21P

rrr=×=

tanEz

1. Condiciones de frontera

5

1. Ecuaciones de Maxwell

µρ

=⋅∇

ερ

=⋅∇

ωε+=×∇

ωµ−−=×∇

mH

E

EjJHHjME

r

r

rrr

rrr

Ecuaciones de Maxwell generalizadas en un medio homogéneo: incluyen corrientes y cargas magnéticas equivalentes

Si se desarrollan, llegamos a las ecuaciones de onda vectoriales de E y H:

( )

( )( ) HMjJHH

HMjJH

HjMJHj1

22

2

rrrrr

rrrr

rrrr

β+ωε−×∇=∇−⋅∇∇

µεω+ωε−×∇=×∇×∇

ωµ−−=−×∇×∇ωε

ρ∇ε

+ωµ+×∇=β+∇

ρ∇µ

+ωε+×−∇=β+∇

1JjMEE

1MjJHH

22

m22

rrrr

rrrr

6

2. Potenciales retardados (I)

7

• Los problemas electromagnéticos de geometría abierta como los de antenas se resuelven más fácilmente si se introducen unos potenciales auxiliares derivados de las Ecuaciones de Maxwell. Haciendo M=0 y ρm=0:

– (potencial vector magnético)

– (potencial escalar eléctrico)

Ar

Φ

AB0Brrr

×∇=⇒=⋅∇ ya que ( ) 0A ≡×∇⋅∇r

( ) Φ−∇=ω+⇒=ω+×∇

×∇ω−=×∇

ω−=×∇

AjE0AjE

AjE

BjE

rrrr

rr

rr

ya que ( ) 0≡Φ∇×∇

AjErr

ω−Φ−∇=

2. Potenciales retardados (II)

8

( ) ( )( ) ( )

( )Φωµε+⋅∇∇+µ−=µεω+∆⇒

∆−⋅∇∇≡×∇×∇

ω−Φ∇−ωµε+µ=×∇×∇

ωµε+µ=µ×∇ωε+=×∇

jAJAA

AAAAjjJA

EjJHEjJH

2 rrrr

rrr

rrr

rrrrrr

• Las otras dos Ecuaciones de Maxwell se pueden reescribir en función de estos potenciales:

JAA

0jA2 rrr

r

µ−=µεω+∆

=Φωµε+⋅∇• Condición de Lorentz (fijación de ∇⋅A)• Ecuación de Helmholtz para A

( )

ερ

−=Φµεω+∆Φ

⇓

=Φωµε+⋅∇

ερ

−=⋅∇ω+∆Φ

ρ=ω−Φ∇−ε⋅∇

ρ=ε⋅∇ρ=⋅∇

2

0jA

Aj

AjED

r

r

r

rr

( )ωµε

⋅∇∇+ω−=⇒

⎭⎬⎫

=Φωµε+⋅∇

ω−Φ−∇=j

AAjE0jA

AjE rrr

r

rr

Hj1E

rr×∇

ωε=Fuera de

las Fuentes

2. Potenciales retardados (III)

9

• Se puede hacer lo mismo con las corrientes y cargas magnéticas (J=0, ρ=0)– (potencial vector eléctrico)

– (potencial escalar magnético)

Fr

mΦ

( ) F1EFD0F0Drrrrrr

×∇ε

−=⇒×−∇=⇒=×∇⋅∇⇒=⋅∇

( ) mFjH0FjH

FjF1jH

EjH

Φ−∇=ω+⇒=ω+×∇

×∇ω−=⎟⎠⎞

⎜⎝⎛ ×∇

ε−ωε=×∇

ωε=×∇

rrrr

rrr

rr

ya que ( ) 0m ≡Φ∇×∇

FjE mrr

ω−Φ−∇=

2. Potenciales retardados (IV)

10

( ) ( )( ) ( )

( )m2

m

jFMFF

FFFFjHjMF

HjMEHjME

Φωµε+⋅∇∇+ε−=µεω+∆⇒

∆−⋅∇∇≡×∇×∇

ω−Φ∇−ωµε−ε−=×∇×∇−

ωµε−ε−=ε×∇ωµ−−=×∇

rrrr

rrr

rrrr

rrrrrr

• Las otras dos Ecuaciones de Maxwell se pueden reescribir en función de estos potenciales:

MFF

0jF2

mrrr

r

ε−=µεω+∆

=Φωµε+⋅∇• Condición de Lorentz (fijación de ∇⋅F)• Ecuación de Helmholtz para F

( )

µρ

−=Φµεω+∆Φ

⇓

=Φωµε+⋅∇

µρ

−=⋅∇ω+∆Φ

ρ=ω−Φ∇−µ⋅∇

ρ=µ⋅∇ρ=⋅∇

mm

2m

m

mm

mm

mm 0jF

Fj

FjHB

r

r

r

rr

( )ωµε

⋅∇∇+ω−=⇒

⎭⎬⎫

=Φωµε+⋅∇

ω−Φ−∇=j

FFjH0jF

FjH

m

mr

rrr

rr

Ej1H

rr×∇

ωµ=Fuera de

las Fuentes

2. Potenciales retardados (V)

11

2. Potenciales retardados (VI)

Para calcular los campos totales E y H, aplicamos el principio de superposición:

( )

( ) A1FjFjHHH

F1AjAjEEE

FA

FA

rrrrrr

rrrrrr

×∇µ

+⋅∇∇ωµε

−ω−=+=

×∇ε

−⋅∇∇ωµε

−ω−=+=

12

3. Radiación de un elemento de corriente (I)

• La fuente de radiación más simple es un elemento lineal de corriente situado en elseno de un medio isótropo, homogéneo, indefinido y sin pérdidas.

• Como en la ec. escalar la fuente se puede considerar puntual, el problema presenta simetría esférica y queda:

• La parte homogénea es la ecuación esférica de Bessel cuyas soluciones son:

Idlx y

z rr

00 ,εµJ I dSdV dl dS

z == ⋅ Idl

x y

z rr

00 ,εµJ I dSdV dl dS

z == ⋅

Ec. escalar, con fuente Jz puntual

z0z20

z22 JAk

drdAr

drd

r1 µ−=+⎟

⎠⎞

⎜⎝⎛

Propagación hacia el ∞

Propagación hacia el origen

La solución física del problema de radiación

Idl4

dVJ4

C 0z

01 π

µ=

πµ

=Integrando la Ecuación Completasobre una esfera de r → 0

La solución física del problema de reflexión

( ) ( ) ( ) ( ) z0z20

0022

0

020 JAk

krJrAkrA

µ−=+∆⎭⎬⎫

εµω=

′µ−=+∆rrrrrr

( )

( )r

eCrA

reCrA

rjk

22z

rjk

11z

0

0

=

=−

13

• Los campos que produce el elemento de corriente son:

• La densidad de Potencia Radiada (dada por el vector de Poynting) está dirigida radialmente hacia afuera y decrece como 1/r2 (onda esférica progresiva):

Hj

1E

A1H

0

0rr

rr

×∇ωε

=

×∇µ

=( )

44 844 76rz

senˆcosrIdlr

e4

Arjk

00

θθ−θπ

µ=

−

( )

rjk32

020

320

0

rjk0r

0

0

er1

rjk

rk

2senˆ

r1

rjkcosr

k2IdljE

er1jk

r4senIdlˆArA

rˆH

−

−θ

⎥⎦

⎤⎢⎣

⎡⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛++−

θθ+⎟

⎠⎞

⎜⎝⎛ +θ

πη

=

⎟⎠⎞

⎜⎝⎛ +

πθ

φ=⎥⎦⎤

⎢⎣⎡

∂θ∂

−∂∂

φ=

r

r

θπ

θη=

φπ

θ=−

−

ˆr4

esendlIkjE

ˆr4

esendlIjkHrjk

0

rjk

0

0

0

r

r

Sustituyendo

Si k0r>>1 (r>>λ) predominan los términos en 1/r frente a 1/r2 o 1/r3

Campos de radiación:E ⊥ r, H⊥ r, E⊥ H

[ ] ( ) ( )< >= × =r r rS E H r I dl

kr

12 32

2 22 2

2 2Re $sen* η θπ

3. Radiación de un elemento de corriente (II)

14

• Una distribución real de corrientese supone formada por infinitos elementosdV de corriente J situados en r’.

• El potencial total radiado será la superposición.

( ) ( )∫ ′

′−−

′′−

′π

µ=

V

rrjk0 Vd

rrerJ

4rA

0

rr

rrrr

rr

( ) ( )dVrJrr

e4

rAdrrjk

00 rrrr

rrrr

′′−π

µ=

′−−

( ) ( )∫ ′

′−−

′′−

′π

µ=

S

rrjks0 Sd

rrerJ

4rA

0

rr

rrrr

rr

( ) ( )∫ ′

′−−

′′−

′π

µ=

L

rrjk0 ld

rrerI

4rA

0 rrr

rrr

rr

Volumen Superficie Línea

′rr

P

x y

z

j

rr

( )r rJ r′ r rr r− ′

'rr

dV

′rr

P

x y

z

j

rr


'rr

dV

3. Radiación de un elemento de corriente (III)

15

• Estamos en Campo lejano cuando k0 r >>1 y r>>r’max ⇔ r >>λ , r ≥ (2D2)/λ

• Los campos de Radiación cuando k0r >>1 valen:

[ ]R r r r r r r r rr

r rr

= − ′ = + ′ − ⋅ ′ = +′⎛

⎝⎜⎞⎠⎟

−⋅ ′⎡

⎣⎢⎢

⎤

⎦⎥⎥

r r r rr

2 2 1 22 1 2

2 1 2$

( ) ( )∫∫ ′′π

µ= ′⋅

−

S

rrjks

rjk0 SderJ

re

4rA 0

0 rrrrrR r r r

rr r r≈ −

⋅ ′⎛⎝⎜

⎞⎠⎟

⎡

⎣⎢

⎤

⎦⎥ = − ⋅ ′1 1

22$

$r

r

( ) ( )∫ ′

′−′

πµ

=′−−

S

rrjks0 Sd

rrerJ

4rA

0

rr

rrrr

rr

r rr rmax>> ′

( )( )( ) ( )

r r rr

r r r r

H j r A H r E

E j r A r E H r

= − × =×

= − × × = ×

ωη ηω η

$$

$ $ $

r r

r

r

E HE rH r

⊥⊥⊥

$

$

′rr

P

x y

z

j

rr


'rr′rr

P

x y

z

j

rr


'rr

3. Radiación de un elemento de corriente (IV)

16

• La interpretación geométrica de la aproximación de campo lejano es la que se da en la figura– Si el punto de observación se considera a distancia infinita el vector de distancia R se

considera paralelo a la dirección de observación r por lo que entonces:

r′r

$r r⋅ ′r

R r r= − ′r r

rr

rJs

P

r′r

$r r⋅ ′r

R r r= − ′r r

rr

rJs

PR r r r r r= − ′ ≈ − ⋅ ′

r r r$

3. Radiación de un elemento de corriente (V)

17

4. Teoremas y Principios del electromagnetismo

1. Teorema de dualidad

18

Idlx y

z rr

00 , εµ


1. Teorema de dualidad: aplicación práctica

θπ

θη

φπ

θ

ˆ4

ˆ4

0

0

0

0

redlsenIkjE

redlsenIjkH

rjk

rjk

−

−

=

=

r

r

Dipolo eléctrico

θπ

θη

φπ

θ

ˆ4

ˆ4

0

0

0

0

redlsenIkjH

redlsenIjkE

rjk

m

rjk

m

−

−

=

−=

r

r

Nota: los dipolos magnéticos se utilizan para representar los cuadros eléctricos, y generan los mismos campos radiados, haciendo:

x y

z rr

00 , εµ

Dipolo magnético

dlIml2b2C ≈π=

b

Cuadro eléctrico

Io(φ)

( )

( ) θθ−=

φθη=−

−

ˆr4

esenIbkH

ˆr4

esenIbkErjk

o2

0

rjk

o2

0

0

0

r

r

( ) o2

m IbjdlI ωµπ=

19

2. Teorema de unicidad

E,Hv

S

Et, Ht

En una región V, sin fuentes y con pérdidas, los campos E y H en dicha región son únicos y quedan determinados:- si se conocen las componentes tangenciales de E en la frontera S-si se conocen las componentes tangenciales de H en la frontera S- si se conocen en una parte de la frontera las componentes tangenciales de E y en la otra las de H.- En un medio sin pérdidas se analiza como el límite cuando las pérdidas tienden a 0.

Aplicación práctica:

• De aquí se derivan los principios de equivalencia.


20

3. Teoría de imágenes


dV

rJ

ρ

Conductor EléctricoPerfecto, Plano e Indefinido

dV

rJ

ρ

dV

rJi

ρ ρi = −

h

h

Resultadosválidos sólo para z ≥0

ρρ ρi

x y z

i x y z

J J x J y J zJ J x J y J z= −

⎧⎨⎩

= + += − − +

⎧⎨⎪

⎩⎪

r

r$ $ $

$ $ $

$z

( )rE zt = =0 0

Cargas y Corrientes Imágenes

>< ( )rE zt = =0 0

⎪⎩

⎪⎨⎧

−+=++=

⎩⎨⎧

ρ=ρρ

zMyMxMJzMyMxMM

zyxi

zyx

mm,i

mr

r

Si el conductor es magnético perfecto, los resultados son los duales.

21

3. Teoría de imágenes: aplicación práctica


><V

IIN

z

h I(z)

2V

IIN

z

2hIIN

I(z)

><

I1

z

h

z

I1

h

I2=-I1h

MonopoloDipolo sobre un plano conductor

22

4. Teorema de reciprocidad

Dados dos conjuntos de corrientes eléctricas y magnéticas que radian un campo simultáneamente en el mismo medio y a la misma frecuencia, el teorema de reciprocidad relaciona los campos creados por ambos conjuntos con dichas corrientes.

11 M,J 11 H,E22 M,J 22 H,E

( ) ( ) dvMHJEdvMHJEv

1212v

2121 ∫∫∫∫∫∫ ⋅−⋅=⋅−⋅rrrrrrrr

Si

Aplicación práctica:• Propiedades en recepción son las mismas que en transmisión.• En medidas en campo próximo existe relación entre modos esféricos en transmisión y recepción


El teorema de reciprocidad en circuitos equivale a decir que las posiciones de un fuente de tensión ideal y de una fuente de corriente ideal se pueden intercambiar sin afectar el comportamiento.

nmsmsmn TR )()1( −−=

23

5. Teorema de reacción

( )∫∫∫ ⋅−⋅=v 2121 dvMHJE2,1

rrrr

( )∫∫∫ ⋅−⋅=v 1212 dvMHJE1,2

rrrr 1,22,1 =

En términos de corrientes y voltajes: la corriente inducida en una fuente j debida a unafuente i multiplicada por el voltaje aplicado a dicha fuente i, es igual a la corriente inducidaen la fuente i, debida a la fuente j, multiplicada por el voltaje aplicado a la fuente j.


24

5. Teorema de reacción: aplicación práctica

• En obtención de la matriz del método de los momentos, sólo tienes que obtener la mitad superior/inferior de la matriz del sistema, porque las otras interacciones son las mismas.


VV

V

Z Z ZZ Z Z

Z Z Z

II

IN

N

N

N N NN N

1

2

11 12 1

21 22 2

1 2

1

2

M

L

L

M M O M

L

M

⎡

⎣

⎢⎢⎢⎢

⎤

⎦

⎥⎥⎥⎥

=

⎡

⎣

⎢⎢⎢⎢

⎤

⎦

⎥⎥⎥⎥

⋅

⎡

⎣

⎢⎢⎢⎢

⎤

⎦

⎥⎥⎥⎥

I1

I2

V1

V2

VN

IN

...

• Análisis de acoplos en arrays de antenas: jiij ZZ =

25

6. Teorema de equivalencia volumétrica

11 M,J oo H,E

11 M,J so EEErrr

+=

so HHHrrr

+=

En el vacío:

Si se introduceun material (ε, µ) :

eqeqss M,JH,Errrr

⇔ ( )EjJ oeq

rrε−εω=

( )HjM oeq

rrµ−µω=

Aplicación práctica:

• Formulación volumétrica en método de los momentos para el cálculo de RCS, de modo que el mismo operador para medio dieléctrico te vale para medio conductor, sustituyendo el medio por Jeq y/o Meq.


26

7. Teorema de equivalencia superficial: principio de Huygens


Configuración física

HE,

Campos internos y corrientes en la superficie

HE,

11 H,E

)(ˆ)(ˆ

1

1E EnM

H HnJ−×=

−×=s

sn

Principio de equivalencia de Love

HE,

00,

E nMHnJ×−=

×=ˆ

ˆs

sn

HE,

PEC

EnM ×−= ˆsn

Situación con conductor eléctrico perfecto

Nota: se podría hacer lo dual con un conductor magnético perfecto

27

Análisis de una guía abierta o de una ranura sobre plano conductor


7. Teorema de equivalencia superficial: aplicación práctica

><as EnM ×−= ˆ

0=sM

aE

sJ

sJ ><as EnM ×−= ˆ

0=sM0=sJ

0=sJ

PEC PECAire Aire Aire

as EnM ×−= ˆ

0=sM

Aire Aire

><

Aire

0=sJ)(imagen

Ms

as EnM ×−= ˆ2

0=sM

Aire Aire

0=sJ><

0=sJ 0=sJ

28

Transformación de campo próximo adquirido a campo lejano calculado en medida de antenas


7. Teorema de equivalencia superficial: aplicación práctica

dipolew

Campo radiado por la antena en el infinito

29

8. Teorema de inducción (para dispersión)


a) Situación sin obstáculo b) Si se introduce un obstáculo

)(ˆ

)(ˆts

ts

E EnM

H HnJ

−×−=

−×=

i

i

n

c) Principio de equivalencia

1

1

E nMHnJ

×=×−=

ˆˆ

i

i

n n

d) Despejando H1 y E1

J1M1

ε1 µ1

ε1 µ1E1,H1

E1,H1

J1M1

ε1 µ1

E=E1+Es

H=H1+HsEt,Ht

ε2 µ2

Et,Ht

ε2 µ2

Es, HsEt,Ht

ε2 µ2

ε1 µ1ε1 µ1

30

Teorema equivalente de inducción para la dispersión de una placa conductora infinitamente extensa:


8. Teorema de inducción (para dispersión): aplicación práctica

><0== tt HE

Aire PEC

1ˆ2 EnMi ×=

Aire Aire

1ˆ EnMi ×=

ss HE ,

31

9. Teorema de equivalencia física (para dispersión)


PEC

n

J1M1

ε1 µ1

E=E1+Es

H=H1+Hs

Et=Ht=0

0ˆ

=

×=

pM

H nJpnε1 µ1

Es, Hs

-E1,-H1

ε1 µ1

a) Problema físico de dispersión de PEC

b) Problema equivalente

32

9. Teorema de equivalencia física (para dispersión): aplicación práctica

Formulación de óptica física para cálculo de el campo dispersado por un objeto (placa metálica infinita).


><0== tt HE

Aire PEC

0ˆ2 1

=

×=

p

p

M

HnJ

Aire Aire

1ˆ EnMi ×=

ss HE ,

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