“Año de la Diversificación Productiva y del Fortalecimiento de

la Educación”

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INGENIERÍA

INGENIERÍA CIVIL

ANALISIS ESTRUCTURAL II

ING. VASQUEZ SANCHEZ MARCO

“ANÁLISIS DE SEGUNDO ORDEN (EFECTOS P-∆)”

CICLO: VIII

ACUÑA MILIAN MILTON

ESTRADA ZUÑIGA ERICK

MARCHENA GAMEZ JHOAN

PEREZ MARIN KELSEY

RAMOS VILLALOBOS LUIS

RESUMEN

En esta investigación se presenta una revisión de los aspectos básicos del efecto PΔ en la

respuesta sísmica elástica e inelástica de sistemas de un grado de libertad. Para el caso de

comportamiento elástico, se ilustra como las restricciones reglamentarias sobre distorsiones

de entrepiso, aunadas (unir) a la forma típica de los aspectos de desplazamiento relativo,

limitan los efectos PΔ a valores usualmente despreciables. A continuación se tratará el

problema de la estabilidad post sismo de estructuras diseñadas para responder en el rango

no lineal. Se ilustra en el presente trabajo que la ductilidad de diseño puede estar limitada

por consideraciones de estabilidad. La parte principal del trabajo está dedicado al cálculo

de factores de la amplificación PΔ dinámicos en estructuras con respuesta no lineal. El

criterio utilizado para definir las amplificaciones es esencialmente el de mantener la máxima

ductilidad desplegada independiente de la carga vertical. En base a los resultados

obtenidos se propone una expresión analítica para evaluar las amplificaciones PΔ en el

diseño sísmico.

INTRODUCCIÓN

Los métodos de análisis son, en la mayoría de los casos, elásticos de primer orden, es decir, se basan en

la suposición de que la respuesta de la estructura es elástica lineal durante todo el proceso de carga.

Se ignoran en ellos dos causas importantes de respuesta no lineal: la plastificación parcial de la

estructura, que suele preceder al colapso y la interacción de cargas y deformaciones que ocasiona

una amplificación de los efectos de las primeras.

La no linealidad de la respuesta del material se incluye en el diseño con las fórmulas que se emplean

para dimensionar las columnas, que tienen su origen en investigaciones de laboratorio llevadas a cabo

con columnas reales, o están calibradas tomando como base los resultados de esas investigaciones.

La no linealidad geométrica comprende los llamados efectos Pδ y PΔ.

La norma de sismorresistente (E.030) establece unos requisitos para el control del índice de estabilidad,

así mismo especifica que cuando este último sobrepasa su límite se deben calcular los efectos de

segundo orden.

El presente estudio se justifica por la necesidad de conocer los efectos PΔ y el desplazamiento lateral

producido por una carga P vertical con la finalidad de conocer el índice de estabilidad en las

estructuras hiperestáticas bajo amenaza sísmica baja.

ANALISIS DE SEGUNDO ORDEN

La no linealidad geométrica comprende los llamados efectos Pδ y PΔ , que se ilustran en la figura 1 y 2.

Cuando los extremos de la columna están fijos linealmente (figura 1) los únicos momentos de segundo

orden se obtiene multiplicando la fuerza P por las distancias de los puntos del eje deformado a la recta

que une sus extremos (efecto Pδ); en cambio, los desplazamientos lineales relativos de los extremos de

las columnas de marcos no contraventeados originan momentos adicionales, los llamados momentos

PΔ (figura 2).

Las formulas para el diseño de columnas flexocomprimidas incluyen términos que amplifican los

momentos provenientes de un análisis elástico de primer orden para tener en cuenta, de manera

aproximada, los efectos lineales de segundo orden. El efecto Pδ se incluye en las formulas con buena

precisión pero no sucede lo mismo con el PΔ, pues los factores de amplificación correspondientes son

poco precisos y no del todo racionales. Por este motivo, se recomienda que los elementos mecánicos

de diseño se obtengan con un análisis de segundo orden en el que se incluyan, como mínimo, los

incrementos de las acciones internas producidos por las cargas verticales al actuar sobre la estructura

deformada.

EFECTOS DE SEGUNDO ORDEN P-Δ

En el Reglamento Nacional de Edificaciones los efectos de Segundo Orden (P-Δ), deberán ser

considerados cuando produzcan un incremento de más del 10% en las fuerzas internas.

Para estimar la importancia de los efectos de segundo orden, podrá usarse para cada nivel el

siguiente cociente como índice de estabilidad:

Ni x Δi

Q = ------------------------

Vi x hei x R

Los efectos de segundo orden deberán ser tomados en cuenta cuando Q > 0.1

EFECTOS GEOMETRICOS DE SEGUNDO ORDEN

En la figura 3 se ilustran los dos efectos geométricos de segundo orden.

DONDE:

Q = Coeficiente de estabilidad para efecto P-delta

global

Ni = Sumatoria de los pesos sobre el nivel « i »

Δi = Desplazamiento relativo del entre piso

Vi = Fuerza cortante del entre piso « i »

hei = altura del entrepiso « i »

R = Coeficiente de reducción de solicitaciones sismicas

Aparecen aquí los momentos debidos a los dos efectos

geométricos de segundo orden: P(Δ/h) y que sería el

momento total de segundo orden si la columna

permaneciese recta al desplazarse lateralmente su extremo

superior, y Pδ ocasionado por la deformación del eje entre los

extremos.

El momento en la base de la columna es Hh + PΔ; el efecto Pδ

no interviene en él. Si se conociesen el desplazamiento Δ del

extremo superior de la columna y la configuración deformada

del eje cuando se llega al equilibrio, los momentos de

segundo orden y por consiguiente, los momentos finales, se

determinarían sin dificultad.

Cuando la columna se deforma, la línea de acción de la carga vertical P deja de coincidir con el eje y

produce momentos adicionales que, a su vez originan aumentos de los desplazamientos laterales y nuevos

incrementos en los momentos; el proceso continua hasta que la columna desarrolla las acciones internas

necesarias para equilibrar los efectos de las cargas, en una configuración deformada o si su resistencia y

rigidez son insuficientes, hasta que falla por inestabilidad. El momento total en una sección transversal

situada a una distancia y del extremo superior( figura 3e)

Análisis elástico de segundo orden

En el análisis elástico de segundo orden el

equilibrio se formula sobre la estructura

deformada. Este tipo de análisis tiene en

cuenta los momentos producidos por los

esfuerzos de los extremos de la barras

combinados con los desplazamientos que se

han producido en dichas barras. Si estos

desplazamientos son los de los extremos de

la barras, se les denomina efecto P-Δ, si los

desplazamientos son los que se producen en

el interior de la barra, suponiendo que sus

extremos no han sufrido movimientos, se les

denomina P-δ (figura 4). Fig. 4: Efecto PΔ y Pδ

Como el principio de superposición (El Principio de superposición constituye la base de gran parte del

análisis estructural) es el desplazamiento o esfuerzo total en un punto de una estructura sometida a

varias cargas, se puede determinar sumando los desplazamientos o esfuerzos que ocasiona cada una

de las cargas que actúa por separado. Para que esto sea válido es necesario que exista una relación

lineal entre las cargas, esfuerzos y desplazamientos.

Requisitos para que el principio de superposición sea aplicable:

1. El material estructural debe comportarse de manera elástico-lineal, a fin de que sea válida la ley de

Hooke y la carga sea proporcional al desplazamiento.

2. La geometría de la estructura no debe sufrir cambios importantes cuando se apliquen las cargas. Si

los desplazamientos son grandes, entonces cambian considerablemente, la posición y orientación de

las cargas. Un ejemplo es el caso de una columna sometida a una carga de pandeo, no es siempre

válido, se debe acudir a un reparto de cargas especificado, que se incrementa por pasos mediante

un multiplicador de carga (figura 5). Se escogen incrementos tan pequeños que permitan suponer un

comportamiento lineal durante este aumento de la carga.

La configuración deformada que se obtiene al acabar cada aumento especificado de la

carga, es la geometría de referencia para el siguiente paso. Así pues, la teoría elástica de

segundo orden consiste en resolver una sucesión de análisis de primer orden de una

estructura cuya geometría cambia en cada paso con respecto a los anteriores. Estos cálculos

pronto se hacen inmanejables a mano y se necesitan programas informáticos (SAP 2000).

Figura 5: Diagrama de carga- deformación

Análisis inelástico de segundo orden

Un cálculo de segundo orden inelástico es el único método que se presenta como riguroso

en el análisis estructural.

Figura Nº6: Tipos de análisis

En el diseño basado sobre un análisis elástico, es necesario emplear métodos aproximados

para considerar los efectos de estabilidad sobre los elementos y el sistema

interdependiente.

Pero está basado en un modelo de columna aislada y no predice el comportamiento real

de estabilidad del marco como un todo, es decir, el pandeo de las columnas y la

deformación lateral del marco.

Se mencionan algunas dificultades asociadas con el uso del método de longitud efectiva:

1. No puede considerar con exactitud la interacción entre el sistema estructural y sus

elementos. Como resultado este método no predice con exactitud los esfuerzos a los

cuáles van a estar sometidos los miembros de una estructura.

2. En un análisis elástico de primer orden, con los factores de amplificación B1 y B2, (B1 es un

factor de amplificación para considerar efectos de segundo orden causados por

desplazamientos entre puntos de intermedios (P-δ) y B2 es un factor de amplificación para

considerar efectos de segundo orden causados por desplazamientos en los extremos del

elemento, cuando no está arriostrado (P-Δ)) se consideran solo los efectos de segundo orden

pero no la redistribución de estos esfuerzos en la estructura. Este método proporciona una

estimación conservadora de la capacidad última de carga que puede soportar una

estructura.

3. El método requiere realizar un análisis de primer orden de la estructura, se debe chequear la

capacidad de cada uno de sus elementos (vigas y columnas), involucrando el cálculo de los

factores de longitud efectiva K.

Por otro lado un análisis más exacto (incluyendo propiedades inelásticas del material) de

segundo orden debe incluir los factores que se enumeran a continuación:

1. Las propiedades de los elementos en las diversas etapas del proceso de carga, que deben

definirse por medio de relaciones fuerza axial-momento-curvatura (M-P-φ) realistas.

2. Los cambios que el comportamiento inelástico y las articulaciones plásticas introducen en las

rigideces de los elementos.

3. Los cambios en las rigideces y desplazamientos de las columnas, ocasionadas por las fuerzas

axiales que actúan sobre ellas.

4. Los momentos, fuerzas axiales y cortantes, resultantes de la interacción de la cargas verticales

con los desplazamientos laterales de los entrepisos (efecto P-Δ) y con los desplazamientos del

eje de las columnas con respecto a la recta que une sus extremos (efecto P-δ).

Efectos P-Δ en la respuesta Inelástica: Criterio de Cuantificación

Con este tema se persigue:

Idealmente, la metodología para tomar en cuenta los efectos P-Δ debería, cuando se utilice en

conjunción con especificaciones reglamentos, conducir a diseños estructurales cuyas

confiabilidades (probabilidad de cumplir su función adecuadamente) sean independientes de las

cargas gravitacionales actuantes.

En el caso elástico la intención general del párrafo anterior puede suponerse satisfecha

especificando factores de amplificación definidos como el cociente entre las máximas respuestas

obtenidas, primero incluyendo y luego despreciando los efectos de la gravedad sobre las

deformaciones.

Ya que el objetivo básico de un diseño sísmico inelástico es la selección del nivel de fluencia para

una ductilidad dada, es posible definir los factores de amplificación P-Δ en base al incremento

necesario en dicho nivel para mantener la ductilidad desplegada independiente de los efectos

de la carga vertical.

EFECTOS DE SEGUNDO ORDEN EN LOS PÓRTICOS

Comportamiento de la estructura

Las comprobaciones de la resistencia de cualquier estructura únicamente son válidas si el análisis

global ofrece una representación adecuada del comportamiento de la estructura real.

Cuando una estructura se somete a carga se de forma, y su forma en esas condiciones es distinta

de la forma inicial. La deformación hace que las cargas axiles aplicadas en los elementos actúen

siguiendo unas líneas distintas a las supuestas en el análisis, tal como se muestra en los diagramas de

la Figura 2.1 y Figura 2.2. Si únicamente se producen pequeñas deformaciones, las consecuencias

serán muy limitadas, y un análisis de primer orden (ignorando el efecto de la forma deformada)

resultará suficientemente preciso. Sin embargo, si las deformaciones son de tal magnitud que los

efectos de las cargas axiles sobre la estructura deformada son lo suficientemente importantes como

para provocar momentos adicionales y una deformación aún mayor, se considera que la estructura

es sensible a los efectos de segundo orden.

Dichos efectos (también denominados efectos P-delta) pueden llegar a reducir la resistencia de la estructura.

Los efectos de segundo orden son efectos geométricos que no deberían confundirse con el comportamiento no lineal

de los materiales.

Tal como se muestra en la Figura 2.1, existen dos categorías de efectos de segundo orden:

Efectos de las deformaciones a lo largo de los elementos, habitualmente denominados efectos P-δ.

Efectos del desplazamiento de las intersecciones de los elementos, habitualmente denominados efectos P-Δ

En la práctica, los efectos P-δ y P-Δ tienen como consecuencia la reducción de la rigidez de las

estructuras y sus elementos hasta un valor inferior al obtenido mediante un análisis de primer orden. Los

pórticos en edificios de una sola planta son sensibles a los efectos de los esfuerzos de compresión axil

sobre los dinteles y pilares.

Dichos esfuerzos axiles habitualmente tienen un valor de aproximadamente el 10 % de las cargas

críticas de pandeo elástico de los dinteles y pilares, un nivel en torno al cual se produce una reducción

importante de la rigidez efectiva.

Efectos de segundo orden

Los efectos de segundo orden no sólo aumentan los valores de las deformaciones, sino también los de

los momentos y los esfuerzos con respecto a los valores obtenidos mediante un análisis de primer orden.

El término “análisis de segundo orden” engloba los métodos de análisis en los que la solución tiene

explícitamente en cuenta los efectos del aumento de la deformación debido al incremento de la

carga, de forma que los resultados obtenidos incluyen los efectos P-Δ y P-δ. La variación con respecto a

los resultados obtenidos mediante el análisis de primer orden dependerá de la magnitud de los efectos

P-Δ y P-δ

Los efectos de la deformación de la geometría se emplea el factor αcr, que se calcula

utilizando la siguiente expresión:

Fcr

αcr = ----------

Fed

Dónde:

Fcr: es el vector de carga crítica elástica que genera inestabilidad global, tomando como

referencia la rigidez elástica inicial

FEd: es el vector de cargas de cálculo de la estructura

Los efectos de segundo orden pueden ignorarse en un análisis de primer orden si la estructura

posee una rigidez suficientemente elevada. Tal como se indica en el apartado los efectos de

segundo orden pueden ignorarse en los siguientes casos:

- Para el análisis elástico, cuando a αcr ≥10

- Para el análisis plástico, cuando a αcr ≥15

Cuando los efectos de segundo orden son significativos existen dos opciones:

- Un análisis riguroso de 2º orden (en la práctica, eso implica utilizar un software de

análisis de segundo orden adecuado);

- Un análisis aproximado de 2º orden (es decir, efectuar cálculos a mano aplicando

un análisis de primer orden que tenga en consideración los efectos de segundo

orden de manera apropiada).

En este segundo método (también denominado “análisis de primer orden

modificado”), las acciones aplicadas se amplifican para permitir considerar los

efectos de segundo orden utilizando cálculos de primer orden.

Método de la Matriz Geométrica para incorporar efectos de segundo orden

Este método consiste en la utilización de funciones aproximantes de tipo polinómico,

cúbicas y lineales para los desplazamientos transversales de flexión y longitudinales

debidos a los esfuerzos axiales, respectivamente, que interpolan en cada nodo de la

discretización (modificación) de ciertas variables del problema consideradas como

incógnitas.

De esta forma se llega a la matriz de rigidez Kt, que refleja las relaciones no lineales entre

fuerzas y desplazamientos del elemento, a través de la matriz de rigidez del elemento no

lineal, que depende no solamente de la geometría, sino también de las fuerzas internas

del elemento existente (tensión y compresión). La matriz de rigidez total del elemento

permite plantear la ecuación de equilibrio de éste.

Figura 7.

Si se utilizan las Funciones de Estabilidad la matriz de rigidez en dos dimensiones para

un elemento viga-columna queda de la siguiente manera:

Dónde:

sii y sij son los coeficientes de rigidez del miembro obtenidos a partir de las Funciones de

Estabilidad elástica de una viga-columna. Estos coeficientes se pueden expresar de distintas

formas según sea la fuerza de compresión o tracción

CONCLUSIONES:

Tomando como base la investigación del estudios de analisis de segundo orden (P-

Delta) que se presentan en este trabajo, en el que se incluyen un ejemplo de

aplicación, se lleva a las conclusiones siguientes:

El efecto P Δ en estructuras de edificios puede determinarse por medio de métodos

iterativos aplicados manualmente. Se han presentado formulas muy sencillos para

ello.

El efecto Pδ se puede incluir sin dificultad en los análisis de segundo orden.

En la mayoría de los casos de interés practico, al menos cuando se refieren a marcos

regulares que se deforman predominantemente por cortante, es necesario hacer el

análisis de segundo orden de la estructura completa, puesto que el estudio de

entrepisos aislados proporciona la misma información con un trabajo numérico

mucho menor.

BIBLIOGRAFIAS:

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GRACIAS „---‟