ESCUELA SUPERIO POLITECNICA DEL LITORAL

FACULTAD DE ECONOMIA Y NEGOCIOS

PRIMERA EVALUACION DE METODOS CUANTITATIVOS II

NOMBRE: PARALELO: 121 FECHA: 2/12/09

Tema 1……………………………………………………………………………………………………………………………………………..

Sea la función z=e√x2−2x +1− y

a) Defina y grafique el dominio de la función b) Determine el rango de la función

a) Dom f: { ( x , y ) ϵ R2 x2

−2x+1− y≥0

x²-2x+1-y=0

y=x²-2x+1

p(0,0)

0²-2(0)+1-0≥0

1≥0

b) Rg = R+¿ ¿

Tema 2………………………………………………………………………………………………………………………………………………..

Dada la Funcion w= xy ²−3 y ³−z ³x ²+ y ²−4

x=ln(t 2+s) ; y=s ³

t ²+1 ; z=e√2 s ²−t ³

Encuentre

a)∂w∂ t

, ∂w∂s

b) ∂ x∂ y

, ∂ z∂w

a)∂w∂ t

=

[ y2 (x2+ y2−4 )−2 x ( x y2−3 y3−z3 )(x2+ y2−4 )2 ] 2 tt

2+s+[ (2xy−9 y2 ) (x2+ y2−4 )−2 y (x y2−3 y3−z3 )

(x2+ y2−4 )2 ][−2 s3 t(t2+1 )2 ]+[ −3 z2

x2+ y

2−4 ] (e√2 s2− z3 ) 12

(2 s2−z3 )−12 (−3 z2)

∂w∂s

=[ y2 (x2+ y2−4 )−2 x (x y2−3 y3−z3 )(x2+ y2−4 )2 ]( 1

t2+s )+[ (2xy−9 y2 ) ( x2+ y2−4 )−2 y (x y2−3 y3−z3)

(x2+ y2−4) ² ] 3 s ²t ²+1

+[ −3 z2

x2+ y

2−4 ] (e√2 s2−z3 ) 12

(2 s2−z3 )−12 (4 s )

b)

∂ x∂ y

=−

(2 xy−9 y2 ) (x2+ y2−4 )−2 y (x y2−3 y3−z3 )(x2+ y2−4 )

y2 (x2+ y2−4 )−2 x ( x y2−3 y3−z3 )(x2+ y2−4 )2

¿−(2xy−9 y2 ) (x2+ y2−4 )−2 y (x y2−3 y3−z3)

y2 (x2+ y2−4 )−2x (x y2−3 y3−z3)

∂ z∂w

= −−1−3 z ²

x ²+ y ²−4

=−x ²+ y ²−43 z ²

Tema 3……………………………………………………………………………………………………………………………………….

Optimizar y clasificar loa puntos criticos de la funcion:

f ( x 1 , x 2, x 3 )=−2 x1³+6 x1 x3+2 x2−x2²−6 x3²+5

∂ f∂ x1

=−6 x1²+6 x3=0 x3=x1² x3=1/4

∂ f∂ x2

=2−2 x 2=0 x2=1

∂ f∂ x3

=6 x 1−12x 3=0 ,6 x 1−12 x12=0 ,6 (1−2x 1 )=0 , x1=0x 1=12

Pto1(x 1=12 , x2=1, x3=14 )Pto 2(x1=0 , x 2=1 , x3=0)

H=|−12x 1 0 60 −2 06 0 −12|

H ( 12 ,1 , 14 )=|−6 0 60 −2 06 0 −12|=|H 1|=|−6|=−6<0 ,|H 2|=|−6 0

0 −2|=12>0 ,|H 3|=−2|−6 66 −12|=−72<0

Pto( 12 ,1 , 14 )hayunMaximo Local

H (0,1,0 )=|0 0 60 −2 06 0 −12|=|H 1|=|0|=0 ,|H 2|=|0 0

0 −2|=0 ,|H 3|=6|0 00 −2|=0

Criterio Falla

Valores Propios

H=|0 0 60 −2 06 0 −12|+|

−λ 0 60 −λ 06 0 −λ|=|−λ 0 6

0 −2−λ 06 0 −12−λ|=(−2−λ )|−λ 6

6 −12− λ|=(−2−λ ) [12 λ+ λ2−36 ]=0 , λ=−2<0

12 λ+λ2−36=0

λ=−b±√b2−4 ac2a

=−b2a

=−122

=−6

λ=−6<0Hay unMaximo Local

Tema 4……………………………………………………………………………………………………………………………………………….

Optimizar y Clasificar los puntos críticos de la Funcion

Sea f ( x , y , z )=xy ² z sujetaa { x+ y+z=1x− y+z=0

L=xy ² z−λ1 ( x+ y+z−1 )−λ 2(x− y+z)

∂ L∂ x

= y ² z− λ1−λ2=0 , λ1= y ² z−λ2

∂ L∂ y

=2xyz−λ1+λ2=0, λ1=2xyz+λ2

∂ L∂ z

=xy ²−λ1− λ2=0 , λ1=xy ²−λ2

∂ L∂ λ1

=−(x+ y+z−1)=0

∂ L∂ λ2

=−(x− y+ z)=0

λ1= λ1 , y ² z−λ2=2xyz+ λ2, λ2= y ² z−2 xyz2

λ1= λ1 ,2 xyz+λ2=xy ²−λ2 , λ2= xy ²−2 xyz2

λ2=λ2 ,y ² z−2xyz

2= xy ²−2xyz

2, y ² z=xy ² , y ² z−xy ²=0 , y2 ( z−x )=0 , z=x

z=x , x=14, z= 1

4, y=1−2 x , y=1−2( 14 )=12 , λ2=0 , λ1=1/16

Pto x=14, y=1

2, z=1

4, λ2=0 , λ1=1/16

Punto Critico

H=| 00111001−111102 yz y ²

1−12 yz 2 xz2 xy11 y ² 2 xy0

|

|H|=|00111001−11

1101414

1−1141814

1114140

|

|H 4|=|¿0011001−1

11014

1−1−1418|=|

¿00−1

1114

1−1 18|−|

¿001110

1−1− 14|=−1 (−1−1 )−1 (−1−1 )=2+2=4>0

|H 5|=|¿000−2

11−140

1−10−18

111414

|=2| ¿

11− 14

1−10

1114

|=2(−1( 14 + 14 )−1( 14+ 14 ))=2(−12 −1

2 )=−2<0HayunMaximo Local

Tema 5…………………………………………………………………………………………………………………………………..

Determine si la siguiente función es homogénea, y si lo es indique el grado.

h ( x , y , z )=√x+√ y+√ zx+ y+z

=h ( tx ,ty , tz )=√tx+√ty+√tztx+ty+tz

=t 1/2√x+t 1/2√ y+t1 /2√zt (x+ y+z)

=t−1 /2[ √x+√ y+√zx+ y+z ]=Si es Homogenea, No existeGradonegativo