Download - Examen Parcial de Metodos Cuantitativos II
ESCUELA SUPERIO POLITECNICA DEL LITORAL
FACULTAD DE ECONOMIA Y NEGOCIOS
PRIMERA EVALUACION DE METODOS CUANTITATIVOS II
NOMBRE: PARALELO: 121 FECHA: 2/12/09
Tema 1……………………………………………………………………………………………………………………………………………..
Sea la función z=e√x2−2x +1− y
a) Defina y grafique el dominio de la función b) Determine el rango de la función
a) Dom f: { ( x , y ) ϵ R2 x2
−2x+1− y≥0
x²-2x+1-y=0
y=x²-2x+1
p(0,0)
0²-2(0)+1-0≥0
1≥0
b) Rg = R+¿ ¿
Tema 2………………………………………………………………………………………………………………………………………………..
Dada la Funcion w= xy ²−3 y ³−z ³x ²+ y ²−4
x=ln(t 2+s) ; y=s ³
t ²+1 ; z=e√2 s ²−t ³
Encuentre
a)∂w∂ t
, ∂w∂s
b) ∂ x∂ y
, ∂ z∂w
a)∂w∂ t
=
[ y2 (x2+ y2−4 )−2 x ( x y2−3 y3−z3 )(x2+ y2−4 )2 ] 2 tt
2+s+[ (2xy−9 y2 ) (x2+ y2−4 )−2 y (x y2−3 y3−z3 )
(x2+ y2−4 )2 ][−2 s3 t(t2+1 )2 ]+[ −3 z2
x2+ y
2−4 ] (e√2 s2− z3 ) 12
(2 s2−z3 )−12 (−3 z2)
∂w∂s
=[ y2 (x2+ y2−4 )−2 x (x y2−3 y3−z3 )(x2+ y2−4 )2 ]( 1
t2+s )+[ (2xy−9 y2 ) ( x2+ y2−4 )−2 y (x y2−3 y3−z3)
(x2+ y2−4) ² ] 3 s ²t ²+1
+[ −3 z2
x2+ y
2−4 ] (e√2 s2−z3 ) 12
(2 s2−z3 )−12 (4 s )
b)
∂ x∂ y
=−
(2 xy−9 y2 ) (x2+ y2−4 )−2 y (x y2−3 y3−z3 )(x2+ y2−4 )
y2 (x2+ y2−4 )−2 x ( x y2−3 y3−z3 )(x2+ y2−4 )2
¿−(2xy−9 y2 ) (x2+ y2−4 )−2 y (x y2−3 y3−z3)
y2 (x2+ y2−4 )−2x (x y2−3 y3−z3)
∂ z∂w
= −−1−3 z ²
x ²+ y ²−4
=−x ²+ y ²−43 z ²
Tema 3……………………………………………………………………………………………………………………………………….
Optimizar y clasificar loa puntos criticos de la funcion:
f ( x 1 , x 2, x 3 )=−2 x1³+6 x1 x3+2 x2−x2²−6 x3²+5
∂ f∂ x1
=−6 x1²+6 x3=0 x3=x1² x3=1/4
∂ f∂ x2
=2−2 x 2=0 x2=1
∂ f∂ x3
=6 x 1−12x 3=0 ,6 x 1−12 x12=0 ,6 (1−2x 1 )=0 , x1=0x 1=12
Pto1(x 1=12 , x2=1, x3=14 )Pto 2(x1=0 , x 2=1 , x3=0)
H=|−12x 1 0 60 −2 06 0 −12|
H ( 12 ,1 , 14 )=|−6 0 60 −2 06 0 −12|=|H 1|=|−6|=−6<0 ,|H 2|=|−6 0
0 −2|=12>0 ,|H 3|=−2|−6 66 −12|=−72<0
Pto( 12 ,1 , 14 )hayunMaximo Local
H (0,1,0 )=|0 0 60 −2 06 0 −12|=|H 1|=|0|=0 ,|H 2|=|0 0
0 −2|=0 ,|H 3|=6|0 00 −2|=0
Criterio Falla
Valores Propios
H=|0 0 60 −2 06 0 −12|+|
−λ 0 60 −λ 06 0 −λ|=|−λ 0 6
0 −2−λ 06 0 −12−λ|=(−2−λ )|−λ 6
6 −12− λ|=(−2−λ ) [12 λ+ λ2−36 ]=0 , λ=−2<0
12 λ+λ2−36=0
λ=−b±√b2−4 ac2a
=−b2a
=−122
=−6
λ=−6<0Hay unMaximo Local
Tema 4……………………………………………………………………………………………………………………………………………….
Optimizar y Clasificar los puntos críticos de la Funcion
Sea f ( x , y , z )=xy ² z sujetaa { x+ y+z=1x− y+z=0
L=xy ² z−λ1 ( x+ y+z−1 )−λ 2(x− y+z)
∂ L∂ x
= y ² z− λ1−λ2=0 , λ1= y ² z−λ2
∂ L∂ y
=2xyz−λ1+λ2=0, λ1=2xyz+λ2
∂ L∂ z
=xy ²−λ1− λ2=0 , λ1=xy ²−λ2
∂ L∂ λ1
=−(x+ y+z−1)=0
∂ L∂ λ2
=−(x− y+ z)=0
λ1= λ1 , y ² z−λ2=2xyz+ λ2, λ2= y ² z−2 xyz2
λ1= λ1 ,2 xyz+λ2=xy ²−λ2 , λ2= xy ²−2 xyz2
λ2=λ2 ,y ² z−2xyz
2= xy ²−2xyz
2, y ² z=xy ² , y ² z−xy ²=0 , y2 ( z−x )=0 , z=x
z=x , x=14, z= 1
4, y=1−2 x , y=1−2( 14 )=12 , λ2=0 , λ1=1/16
Pto x=14, y=1
2, z=1
4, λ2=0 , λ1=1/16
Punto Critico
H=| 00111001−111102 yz y ²
1−12 yz 2 xz2 xy11 y ² 2 xy0
|
|H|=|00111001−11
1101414
1−1141814
1114140
|
|H 4|=|¿0011001−1
11014
1−1−1418|=|
¿00−1
1114
1−1 18|−|
¿001110
1−1− 14|=−1 (−1−1 )−1 (−1−1 )=2+2=4>0
|H 5|=|¿000−2
11−140
1−10−18
111414
|=2| ¿
11− 14
1−10
1114
|=2(−1( 14 + 14 )−1( 14+ 14 ))=2(−12 −1
2 )=−2<0HayunMaximo Local
Tema 5…………………………………………………………………………………………………………………………………..
Determine si la siguiente función es homogénea, y si lo es indique el grado.
h ( x , y , z )=√x+√ y+√ zx+ y+z
=h ( tx ,ty , tz )=√tx+√ty+√tztx+ty+tz
=t 1/2√x+t 1/2√ y+t1 /2√zt (x+ y+z)
=t−1 /2[ √x+√ y+√zx+ y+z ]=Si es Homogenea, No existeGradonegativo