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ETSI AERONÁUTICOS

ENSAYOS DINÁMICOS: SIMULACIÓN Y ANÁLISIS i

Ensayos dinámicos: simulación y análisis

Análisis modal teórico

1. Objetivo y alcance ................................................................................. 1 2. Sistemas de un grado de libertad ......................................................... 3 2.1. Introducción ......................................................................................... 3 2.2. Respuesta libre de un sistema de un grado de libertad ....................... 3 2.2.1. Sistema conservativo ............................................................................ 3 2.2.2. Sistema no conservativo ....................................................................... 4 2.3. Frecuencia propia y frecuencia natural ................................................ 6 2.4. Características de un sistema de un grado de libertad ........................ 6 2.5. Comparación entre técnicas experimentales y resultado analítico ..... 7 2.6. Conclusiones ......................................................................................... 8 3. Sistemas de dos grados de libertad ...................................................... 9 3.1. Sistema conservativo ............................................................................ 9 3.1.1. Respuesta a carga armónica ............................................................... 10 3.1.2. Concepto de modos y frecuencias propias .......................................... 11 3.1.2.1 Determinación de los modos propios .................................................. 11 3.1.2.2 Propiedades de los modos propios ..................................................... 12 3.1.3. Concepto de matriz de transferencia .................................................. 13 3.2. Sistema no conservativo ..................................................................... 16 3.2.1. Matriz de rigidez dinámica ................................................................. 16 3.2.2. Matriz aumentada. Espacio de estado ................................................ 17 3.3. Ejemplo ............................................................................................... 18 3.3.1. Comparación de solución analítica y mediante un modelo discreto. 18 3.3.2. Sistema discreto con amortiguamiento .............................................. 19 4. Sistemas de múltiples grados de libertad ........................................... 22 4.1. Introducción ....................................................................................... 22 4.2. Sistema conservativo .......................................................................... 23 4.2.1. Modos normales de vibración. Propiedades ...................................... 24 4.3. Sistemas no conservativos .................................................................. 25 4.3.1. Amortiguamiento proporcional .......................................................... 25 4.3.2. Caso general ........................................................................................ 25 5. Análisis teórico para su comparación con ensayos ............................ 27 5.1. Introducción ....................................................................................... 27 5.2. Modos objetivo. Criterios de selección. .............................................. 27 5.2.1. Masa modal efectiva ........................................................................... 28 5.2.2. Fracciones de energía cinética y de energía de deformación ........... 28 5.2.3. Factor de participación modal ............................................................ 29 5.3. Modos característicos. Reducción del modelo ................................... 29 5.3.1. Determinación de los modos como sólido rígido ............................... 29 5.3.2. Eliminación de los modos como sólido rígido ................................... 31 5.3.3. Reducción del modelo ........................................................................ 32 5.3.4. Ejemplo ............................................................................................... 33 6. Referencias .......................................................................................... 36 Anexo I Determinación del margen de flameo

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ENSAYOS DINÁMICOS: SIMULACIÓN Y ANÁLISIS ii

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ENSAYOS DINÁMICOS: SIMULACIÓN Y ANÁLISIS 1

1. OBJETIVO Y ALCANCE

Uno de los aspectos característicos de las estructuras es su comportamiento

dinámico. Las frecuencias y modos propios de una estructura son los aspectos

intrínsecos de la misma que definen su comportamiento frente a cargas

exteriores dependientes del tiempo. Además, es conocido desde antiguo que si a

una estructura se le somete a cargas armónicas de frecuencia muy similar a una

de sus frecuencias propias, las amplitudes del movimiento de la estructura

pueden ser muy elevadas, pudiendo producir el colapso de la misma o, en

cualquier caso, reduciendo considerablemente la vida en fatiga..Por eso, tanto

en Ingeniería aeronáutica y como en ingeniería espacial se dedica tiempo a

determinar tanto experimental como teóricamente los modos y las frecuencias

propias de una estructura.

Los modos y las frecuencias propias dependen de características intrínsecas de

la estructura (distribución de masa, rigidez y amortiguamiento, así como de las

condiciones de apoyo). De esta forma, la determinación teórica de las

características modales se basa en un cálculo de autovalores y autofunciones.

Sin embargo, experimentalmente no es posible realizar esta operación, y la

estructura se debe excitar de formas específicas y en puntos adecuados para

poder medir su respuesta, y, a partir de ésta, obtener los modos y las

frecuencias.

El objetivo de este capítulo no es un redactar un tratado sobre los diferentes

algoritmos que existen para determinar teóricamente los modos y las

frecuencias propias, si no explicar las diferencias existentes entre cómo se

determinar estas características de forma experimental y teórica y cómo se

comparan los resultados.

Como los modelos teóricos suelen ser muy diferentes a los modelos

experimentales, se introducen los métodos actuales empleados en ingeniería

aeronáutica para reducir los modelos teóricos al mismo tamaño que los

experimentales. La figura 1 intenta representar esquemáticamente la diferencia

entre el comportamiento real de la estructura, su análisis teórico y su análisis

experimental.

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ENSAYOS DINÁMICOS: SIMULACIÓN Y ANÁLISIS 2

Modelo RealAnálisis

Modal teórico

Acelerómetros (sensores)

Registro de la señal temporal Transformada al

plano de la frecuencia Transformada al

plano de la frecuencia

Análisis Modal Experimental

Dominio de la frecuencia

Dominio del tiempo

Figura 1.1 Esquema comparativo entre el análisis modal teórico y experimental

Hoy en día, el análisis modal teórico suele hacerse realizando modelos discretos

(generalmente por elementos finitos) con un mayor o menor grado de

idealización.

Figura 1.2 Modelo de elementos finitos con diferentes grados de idealización

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ENSAYOS DINÁMICOS: SIMULACIÓN Y ANÁLISIS

3

2. SISTEMAS DE UN GRADO DE LIBERTAD

2.1. INTRODUCCIÓN

Se dice que un sistema mecánico es de un grado de libertad cuando una única

variable permite describir su movimiento. El sistema de un grado de libertad es

el caso más simple de los sistemas que se pueden estudiar pero, didácticamente,

permite explicar cada uno de los conceptos que aparecen posteriormente, y,

definir algunos conceptos que aparecen posteriormente en los casos más

complicados.

Este capítulo se ha organizado del siguiente modo: en primer lugar se analizan

el caso de la respuesta libre del sistema y se definen los parámetros que

caracterizan el sistema. Posteriormente se analiza la respuesta del sistema

frente a una carga armónica porque permite comparar ésta con uno de los

métodos experimentales para determinar experimentalmente el

amortiguamiento y la frecuencia propia de un sistema. Concretamente los

objetivos son:

• Reconocer un sistema de un grado de libertad

• Resolver la ecuación del movimiento de la misma sometido a los estados de

carga que habitualmente se emplean experimentalmente

• Entender el efecto del amortiguamiento en el movimiento del sistema.

• Comparar los resultados analíticos con los experimentales y entender las

causas de las posibles diferencias.

2.2. RESPUESTA LIBRE DE UN SISTEMA DE UN GRADO DE

LIBERTAD

2.2.1. Sistema conservativo

Se dice que un sistema es conservativo cuando no tiene ningún elemento que le

haga disipar energía. Por tanto, la estructura se puede representar como una

masa, m, que puede moverse únicamente según una recta, unida a un punto fijo

mediante un muelle de constante de rigidez ,k. La figura 2.1 muestra un sistema

ideal compuesto por una masa unida a un punto fijo mediante un muelle. La

masa desliza sobre un plano fijo sin rozamiento.

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4

m

x0

Superficie sin rozamiento

Posición de equilibrio

k + —

0

Figura 2.1 Sistema de un grado de libertad sin amortiguamiento

Las ecuaciones del movimiento del sistema cuando este se le desplaza de su

posición de equilibrio una cantidad x0 y se le suelta repentinamente es:

0mx kx+ = (2.1)

0(0) ; (0) 0x x x= = (2.2)

La solución de esta ecuación diferencial ordinaria es:

0 0 0 0( ) cos ; ( ) cos ;k kx t x t x t x tm m

= = Ω Ω = (2.3)

Se observa que se obtiene un movimiento armónico a una frecuencia que sólo

depende de las características del sistema (masa y rigidez), y no depende de las

condiciones iniciales. A esta frecuencia se la conoce como frecuencia natural del

sistema, y es la raíz cuadrada de la relación entre la rigidez y la masa del

sistema.

2.2.2. Sistema no conservativo

La figura 2.2 muestra un sistema con un amortiguador viscoso de constante c.

El movimiento en este caso responde a la ecuación diferencial:

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5

Figura 2.2 Sistema de un grado de libertad con amortiguamiento

0mx cx kx+ + = ; con 0(0) ; (0) 0x x x= = (2.4)

La solución de esta ecuación diferencial ordinaria es:

1 2( ) r t r tx t Ae Be= + (2.5)

siendo 21,2 ( 4 ) / 2r c c mk m= − ± −

como es bien sabido, dependiendo del valor del amortiguamiento con relación al

producto de la masa y de la rigidez la respuesta del sistema tiene carácter

oscilatorio ( 2c mk< , valor éste último conocido como amortiguamiento

crítico) o no. A este valor se le conoce como amortiguamiento crítico del

sistema.

En general, en los sistemas aeronáuticos el amortiguamiento es inferior al

crítico, y la respuesta es de la forma:

0 20( ) cos( 1 )tx t Ae tγ γ ϕ− Ω= Ω − + ; / críticoc cγ = (2.6)

Las constantes A y ϕ se determinan a partir de las condiciones iniciales.

Se observa que, al igual que en el caso anterior, la respuesta es armónica de una

determinada frecuencia ( 20 1 γΩ − ) que sólo depende de las características del

sistema, m, c y k. Por otro lado, la respuesta, que en el caso anterior era un

movimiento armónico de amplitud constante, ahora, ésta disminuye con el

tiempo, debido a la presencia del amortiguamiento.

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6

2.3. FRECUENCIA PROPIA Y FRECUENCIA NATURAL

Teóricamente se habla de dos valores en un sistema de un grado de libertad, la

frecuencia natural y la frecuencia propia. La frecuencia natural es aquella

frecuencia a la que, si el amortiguamiento fuese nulo, el sistema oscilaría si se le

separa de su posición de equilibrio y se le deja evolucionar libremente. Por tanto

es 0 /k mΩ = , y la frecuencia propia es a la que el sistema oscila cuando

evoluciona libremente tras sacarle de la situación de equilibrio: 20 1p γΩ = Ω −

La diferencia entre ambas radica únicamente en el amortiguamiento. La tabla

siguiente muestra la diferencia porcentual entre una y otra para distintos

valores del coeficiente de amortiguamiento γ.

γ Ω/Ω0 ΔΩ

0,00500 0,99999 0,0013% 0,01000 0,99995 0,01% 0,02000 0,99980 0,02% 0,05000 0,99875 0,13% 0,10000 0,99499 0,50% 0,20000 0,97980 2,02% 0,50000 0,86603 13,40% 0,75000 0,66144 33,86%

Como se observa, aunque teóricamente ambos valores son diferentes, para un

coeficiente de amortiguamiento del 10% la diferencia en la frecuencia no alcanza

un 0,5%. En ingeniería aeroespacial, un valor típico del coeficiente del

amortiguamiento es el 5%, lo que implica una diferencia del 0,5% entre la

frecuencia natural y la propia. Puesto que un valor razonable de la primera

frecuencia es de 10 Hz, la diferencia no supera los 0,05 Hz.

2.4. CARACTERÍSTICAS DE UN SISTEMA DE UN GRADO DE

LIBERTAD

Así, hay dos parámetros de un sistema de un grado de libertad que dependen

únicamente de los coeficientes de la ecuación diferencial que son:

Frecuencia natural: 0 /k mΩ = (rad/s)

Coeficiente de amortiguamiento: / críticoc cγ =

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7

Así, a diferencia del caso experimental (parte II), cuando se analiza el sistema, el

cálculo de las características del mismo no requiere analizar cómo responde a

determinados impulsos y a partir de esta respuesta determinar las frecuencias y

amortiguamientos.

2.5. COMPARACIÓN ENTRE TÉCNICAS EXPERIMENTALES Y

RESULTADO ANALÍTICO

A modo de ejemplo se comparan los resultados teóricos con los experimentales

utilizando un o de los múltiples métodos (ver parte II) que existen para

determinar los parámetros del sistema.

Así, sea un sistema de 10 kg de masa, una rigidez de 1000 N/m y un

amortiguamiento de 10 N·s/m.

La frecuencia natural será: Ω0=10 rad·s-1; el coeficiente de

amortiguamiento γ=0,05, y la frecuencia propia 9,987 rad·s-1.

Desde el punto de vista experimental, aplicando, por ejemplo, el método del

semiancho de banda, para identificar el sistema habría que deteminar la

respuesta en frecuencia. El máximo de esta gráfica se corresponde

prácticamente con la frecuencia propia, y el coeficiente de amortiguamiento se

obtiene a partir del semiancho de banda. Así, por ejemplo, la gráfica adujanta

muestra el desplazamiento máximo de la masa cuando se aplica una fuerza

armónica de 1000 N con frecuencias entre 0 y 100 rad/s.

FRF

0

1

2

3

4

5

6

7

8

9

1 10 100

frecuencia (rad/s)

desp

laza

mient

o (m

)

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8

Sobre esta gráfica, se observa que el máximo tiene lugar a frecuencia 9,64 rad/s,

y que el semiancho de banda está entre las frecuencias a las cuales la amplitud

es 7,07 m. Por tanto ΔΩ=0,777 Hz , y el coeficiente de amortiguamiento:

γ=0,0403. Otra alternativa sería calcular el inverso del factor de amplificación:

Q=1/(2 γ). Luego γ =1/2·8,39=0,05962

Ω(rad/s) A (m)

7,50 2,25 8,57 3,59 9,64 8,39 10,71 5,47 11,79 2,46

Se ve que la determinación experimental tiene una cierta imprecisión,

pudiéndose establecer que el coeficiente de amortiguamiento es: 0,499±0,0096

La frecuencia a la cual se produce el máximo es 20 1 2pico γΩ = Ω − . Luego se

pueden deducir tanto la frecuencia natural como la propia una vez conocida la

frecuencia del máximo (9,64 rad·s-1) y el amortiguamiento, lo que lleva a

9,67±0,07 y9,65±0,07 rad·s-1 respectivamente.

Se observa, que el cálculo experimental de la frecuencia natural exige tener una

mayor precisión en el barrido en frecuencia del empleado en este ejercicio, y, la

necesidad de elaboración de datos es mucho mayo.

2.6. CONCLUSIONES

Como conclusión, se puede establecer que las características modales de un

sistema teóricamente se determinan de una forma muy simple, dependiendo

únicamente de las características del sistema (masa, rigidez y amortiguamiento)

La frecuencia propia de un sistema aquella a la cual es posible tener un

movimiento armónico sin necesidad de aplicar ninguna acción exterior, es decir,

la ecuación (diferencial) homogénea tiene una solución no nula, lo que

evidentemente es el concepto de autovalores y autovectores.

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9

Figura 3.1 Sistema conservativo de dos grados de libertad.

3. SISTEMAS DE DOS GRADOS DE LIBERTAD

El sistema de un grado de libertad permite poner de manifiesto de forma

sencilla el concepto de frecuencia propia. En éste capítulo se analiza brevemente

un sistema de dos grados de libertad para ilustrar de forma simple qué son las

formas modales. En primer lugar se analiza un sistema conservativo porque

matemáticamente es más sencillo de resolver. El objetivo del capítulo no es

redactar un tratado sobre cálculo de modos y frecuencias propias; se pretende

repasar ligeramente los conceptos básicos para ser utilizados posteriormente en

el capítulo 4.

3.1. SISTEMA CONSERVATIVO

La figura 3.1 muestra un sistema de dos grados de libertad. Tal como se observa,

para conocer en cada momento el estado del sistema basta con conocer el valor

de las coordenadas [x1(t) x2(t)]. En la figura se muestran las coordenadas

elegidas. Para cada elemento se toma como referencia su posición de equilibrio.

Se dice que el sistema es conservativo cuando no existe ningún mecanismo

disipador de energía. En este caso, se puede demostrar (ver Shabana) que el

sistema puede oscilar libremente de dos formas diferentes (tantas como grados

de libertad). A las dos frecuencias a las que es posible este movimiento se les

denomina frecuencias propias, denominándose frecuencia fundamental

a la menor de las dos. Cuando no hay disipación, todas las coordenadas se

mueven de forma síncrona; las dos coordenadas alcanzan los máximos y/o

mínimos simultáneamente, y pasan por cero a la vez.

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10

Aunque no es el caso real (todos los sistemas tienen un cierto grado de

disipación), las herramientas matemáticas empleadas y las conclusiones

obtenidas permiten establecer mejor cómo se comportan los sistemas más

complejos.

3.1.1. Respuesta a carga armónica

Las ecuaciones que permiten conocer el movimiento del sistema en cada

momento son:

1 1 1 2 2 1 1

2 2 2 2 2 2

0 ( ) ( ) ( )0 ( ) ( ) ( )m x t k k k x t F t

m x t k k x t F t+ −⎡ ⎤ ⎧ ⎫ ⎡ ⎤ ⎧ ⎫ ⎧ ⎫

+ =⎨ ⎬ ⎨ ⎬ ⎨ ⎬⎢ ⎥ ⎢ ⎥−⎣ ⎦ ⎩ ⎭ ⎣ ⎦ ⎩ ⎭ ⎩ ⎭ (3.1a)

1 1

2 2

(0)(0)

o

o

x xx x

⎧ ⎫⎧ ⎫=⎨ ⎬ ⎨ ⎬

⎩ ⎭ ⎩ ⎭; 1 1

2 2

(0)(0)

o

o

x vx v

⎧ ⎫⎧ ⎫=⎨ ⎬ ⎨ ⎬

⎩ ⎭ ⎩ ⎭ (3.1b)

Le estructura es semejante a la de la ecuación anterior, sólo que ahora tenemos

dos ecuaciones diferenciales ordinarias, y se imponen condiciones iniciales en

velocidad y desplazamiento (con relación a la posición de equilibrio estable) a

las dos coordenadas que se han elegido para determinar el estado del sistema.

Si las cargas aplicadas son armónicas de la misma frecuencia ω y amplitudes 0-

pico F1 y F2 respectivamente1, el sistema de ecuaciones 3.1a queda:

1 1 1 2 2 1 1

2 2 2 2 2 2

0 ( ) ( )0 ( ) ( )

i tm x t k k k x t Fe

m x t k k x t Fω+ −⎡ ⎤ ⎧ ⎫ ⎡ ⎤ ⎧ ⎫ ⎧ ⎫

+ =⎨ ⎬ ⎨ ⎬ ⎨ ⎬⎢ ⎥ ⎢ ⎥−⎣ ⎦ ⎩ ⎭ ⎣ ⎦ ⎩ ⎭ ⎩ ⎭ (3.2)

En esta situación, el movimiento de las dos coordenadas generalizadas también

será armónico y de la misma frecuencia que la carga aplicada. A esta respuesta

se le conoce como respuesta permanente2.

1 Se maneja la carga en forma compleja (i) para poder considerar de forma sencilla el desfase

entre las cargas aplicadas en cada coordenada.

2 Aunque teóricamente el sistema no tiene amortiguamiento, en la realidad todos los sistemas

tienen un cierto grado de disipación. Ante una carga armónica, de duración muy grande, la

disipación hace que el efecto de las condiciones iniciales deje de tener influencia en la respuesta

del sistema. Para ello basta con esperar suficiente número de ciclos de la carga aplicada, hasta

que se establece el régimen permanente. Esto no ocurre cuando el amortiguamiento es

exactamente nulo, pero nunca se da en la realidad.

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11

1 1

2 2

( )( )

Ai t

A

x t xe

x t xω⎧ ⎫⎧ ⎫

=⎨ ⎬ ⎨ ⎬⎩ ⎭ ⎩ ⎭

(3.3)

Las incógnitas pasan a ser ahora las amplitudes cero-pico de ambas

coordenadas (no la ley temporal) ya que se asume que el movimiento es

armónico de frecuencia igual a la de la carga.

En este caso, la solución queda:

1 2 2 1 12 1

2 2 2 22

00

Ai t i t

A

k k k m Fxe e

k k m Fxω ωω

⎛ ⎞+ − ⎧ ⎫⎡ ⎤ ⎡ ⎤ ⎧ ⎫− =⎜ ⎟ ⎨ ⎬ ⎨ ⎬⎢ ⎥ ⎢ ⎥−⎣ ⎦ ⎣ ⎦ ⎩ ⎭⎩ ⎭⎝ ⎠

(3.4)

Para determinar las amplitudes se ha obtenido un sistema de ecuaciones

algebraicas para cada frecuencia de excitación, ω. La matriz de coeficientes de

este sistema de ecuaciones es una matriz que se conoce como rigidez dinámica y

sus coeficientes depende de la frecuencia.

2

1 2 1 22

2 2 2

( )k k m k

Dk k m

ωω

ω⎡ ⎤+ − −

= ⎢ ⎥− −⎣ ⎦ (3.5)

Así, para cada frecuencia la solución se obtiene invirtiendo la matriz de rigidez

dinámica.

[ ]12

1 11 1 2 1 22

2 22 2 2 2

( )A

A

F Fx k k m kH

F Fx k k mω

ωω

−⎧ ⎫ ⎡ ⎤+ − − ⎧ ⎫ ⎧ ⎫

= =⎨ ⎬ ⎨ ⎬ ⎨ ⎬⎢ ⎥− − ⎩ ⎭ ⎩ ⎭⎩ ⎭ ⎣ ⎦ (3.6)

A la inversa de esta matriz se le conoce como matriz de transferencia, H(ω),

y sus coeficientes dependen de la frecuencia. En el análisis modal experimental,

una de las vertientes se basa en intentar identificar las características más

importante de cada uno de los elementos de esta matriz.

3.1.2. Concepto de modos y frecuencias propias

3.1.2.1 Determinación de los modos propios

Como en el sistema de un grado de libertad, se desea conocer si existe alguna

frecuencia a la cual el sistema se puede mover libremente, sin aplicarle ninguna

acción.

En este caso, el problema se formula de la siguiente manera:

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12

1 2 2 12 1

2 2 2 2

0 00 0

Ai t

A

k k k m xe

k k m xωω

⎛ ⎞+ − ⎧ ⎫⎡ ⎤ ⎡ ⎤ ⎧ ⎫− =⎜ ⎟ ⎨ ⎬ ⎨ ⎬⎢ ⎥ ⎢ ⎥− ⎩ ⎭⎣ ⎦ ⎣ ⎦ ⎩ ⎭⎝ ⎠

(3.7)

Para que haya solución diferente de la trivial, es necesario que la matriz de

coeficientes sea singular, y, por tanto, esto sólo ocurre a aquellas frecuencias a

las cuales el determinante de la matriz de coeficientes es singular.

1 2 2 12

2 2 2

00

0k k k m

k k mω

+ −⎡ ⎤ ⎡ ⎤− =⎢ ⎥ ⎢ ⎥−⎣ ⎦ ⎣ ⎦

(3.8)

A esta ecuación se le conoce como ecuación característica. Para el caso

planteado es el siguiente polinomio:

2 2 21 2 2 1 2 1 2 1 2( ) [ ( ) ] 0m m k m m k m k kω ω− + + + = (3.9)

Se obtiene por tanto un polinomio de coeficientes reales de segundo grado en la

variable ω2. Se puede demostrar que tiene dos raíces reales positivas. A cada una

de estas raíces (a su raíz cuadrada) se le conoce como frecuencia propia.

Para cada frecuencia propia (cada autovalor) el sistema de ecuaciones

algebraicas se convierte en un sistema (3.7) permite determinar la amplitud del

movimiento de cada coordenada.

1 2 2 12 11

2 2 2 2 1

0 00 0

A

A

k k k m xk k m x

⎛ ⎞+ − ⎧ ⎫⎡ ⎤ ⎡ ⎤ ⎧ ⎫− Ω =⎜ ⎟ ⎨ ⎬ ⎨ ⎬⎢ ⎥ ⎢ ⎥− ⎩ ⎭⎣ ⎦ ⎣ ⎦ ⎩ ⎭⎝ ⎠

; 1 2 2 12 12

2 2 2 2 2

0 00 0

A

A

k k k m xk k m x

⎛ ⎞+ − ⎧ ⎫⎡ ⎤ ⎡ ⎤ ⎧ ⎫− Ω =⎜ ⎟ ⎨ ⎬ ⎨ ⎬⎢ ⎥ ⎢ ⎥− ⎩ ⎭⎣ ⎦ ⎣ ⎦ ⎩ ⎭⎝ ⎠

(3.10)

como el sistema es homogéneo, en realidad se obtiene una relación entre las

coordenada x1 y x2 a cada frecuencia.

A cada uno de los vectores, independientemente de su escala, se les conoce

como modos propios o modos normales de vibración.

3.1.2.2 Propiedades de los modos propios

Los modos propios se suelen agrupar en una matriz, conocida como matriz

modal. La matriz se construye disponiendo por columnas los modos

determinados anteriormente.

[ ] 11 12

21 22

A A

A A

x xx x

⎡ ⎤Ψ = ⎢ ⎥

⎣ ⎦ (3.11)

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13

Esta matriz tiene una serie de propiedades, de las cuales las más importantes

son:

Ortogonalidad con relación a la matriz de masa:

[ ] [ ][ ] 11

22

00

T mM

m⎡ ⎤

Ψ Ψ = ⎢ ⎥⎣ ⎦

(3.12)

A los elementos de la diagonal principal se les denomina masas modales. Puesto

que los autovectores tienen un factor de escala libre, estos se pueden normalizar

con diferentes criterios. El criterio más habitual es dividir cada modo por la raíz

de la masa modal:

[ ] [ ] 11

22

01/1/0

mm

⎡ ⎤Φ = Ψ ⎢ ⎥

⎢ ⎥⎣ ⎦ (3.12)

y, por tanto, se cumple que:

[ ] [ ][ ] [ ]1001

T M I⎡ ⎤

Φ Φ = =⎢ ⎥⎣ ⎦

(3.14)

En relación con la matriz de rigidez, las propiedades de ortogonalidad son

semejantes:

[ ] [ ][ ] 11

22

00

T kK

k⎡ ⎤

Ψ Ψ = ⎢ ⎥⎣ ⎦

(3.15)

A los elementos de la diagonal principal se les denomina rigideces modales, y

cumplen que:

2ii ii ik m= Ω (3.16)

Cuando se usan modos ortonormalizados

[ ] [ ][ ]21

22

00

T K⎡ ⎤Ω

Φ Φ = ⎢ ⎥Ω⎣ ⎦ (3.17)

3.1.3. Concepto de matriz de transferencia

La matriz de transferencia [H(ω)] se definió en la ecuación (3.6). En este

apartado se analizan las propiedades de esta matriz y su relación con los modos

normales.

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14

La ecuación (3.6) muestra que la matriz de transferencia tiene en el

denominador la ecuación característica (3.9). Por tanto, cuando la frecuencia de

excitación coincide con alguna de las frecuencias propias, el denominador “se

hace infinito”3 Por tanto, la matriz de transferencia contiene toda la

información relativa a las frecuencias y modos propios. Para poner de

manifiesto este hecho, se puede resolver la ecuación (3.2) haciendo un cambio

de variable, trabajando en coordenadas modales. Así, si en lugar de usar las

coordenadas originales {x(t)}, se usan las coordenadas modales, definidas

como:

1 11 12 1

2 21 22 2

( ) ( )( ) ( )

x t tx t t

ηη

Φ Φ⎧ ⎫ ⎡ ⎤ ⎧ ⎫=⎨ ⎬ ⎨ ⎬⎢ ⎥Φ Φ⎩ ⎭ ⎣ ⎦ ⎩ ⎭

(3.18)

Haciendo el cambio de variable y pre-multiplicando por la transpuesta de la

matriz modal:

11 21 1 11 12 1

12 22 2 21 22 2

0 ( )0 ( )m t

m tηη

Φ Φ Φ Φ⎡ ⎤ ⎡ ⎤ ⎡ ⎤ ⎧ ⎫+⎨ ⎬⎢ ⎥ ⎢ ⎥ ⎢ ⎥Φ Φ Φ Φ⎣ ⎦ ⎣ ⎦ ⎣ ⎦ ⎩ ⎭

11 21 1 2 2 11 12 1 11 21 1

12 22 2 2 21 22 2 12 22 2

( )( )

i tk k k t Fe

k k t Fωη

ηΦ Φ + − Φ Φ Φ Φ⎡ ⎤ ⎡ ⎤ ⎡ ⎤ ⎧ ⎫ ⎡ ⎤ ⎧ ⎫

=⎨ ⎬ ⎨ ⎬⎢ ⎥ ⎢ ⎥ ⎢ ⎥ ⎢ ⎥Φ Φ − Φ Φ Φ Φ⎣ ⎦ ⎣ ⎦ ⎣ ⎦ ⎩ ⎭ ⎣ ⎦ ⎩ ⎭ (3.19)

y teniendo en cuenta (3.14) y (3.17) queda un sistema de ecuaciones

desacoplado que permite determinar cada una de las coordenadas modales por

separado.

2

1 1 11 21 112

2 2 12 22 22

( ) ( )1 0 0( ) ( )0 1 0

i tt t Fe

t t Fωη η

η ηΦ Φ⎡ ⎤Ω⎧ ⎫ ⎧ ⎫ ⎡ ⎤ ⎧ ⎫⎡ ⎤

+ =⎨ ⎬ ⎨ ⎬ ⎨ ⎬⎢ ⎥ ⎢ ⎥⎢ ⎥ Φ ΦΩ⎣ ⎦ ⎩ ⎭ ⎩ ⎭ ⎣ ⎦ ⎩ ⎭⎣ ⎦ (3.20)

Las coordenadas modales también serán funciones armónicas de frecuencia

igual a la de la excitación:

1 1

2 2

( )( )

Ai t

A

te

tωη η

η η⎧ ⎫⎧ ⎫

=⎨ ⎬ ⎨ ⎬⎩ ⎭ ⎩ ⎭

(3.21)

3 Matemáticamente, cuando la frecuencia de excitación coincide con una frecuencia propia en

un sistema conservativo, la solución no es una respuesta armónica; la solución si es oscilatoria a

la frecuencia de excitación, pero la amplitud del movimiento no permanece acotada sino que

crece d forma monótona con el tiempo.

ETSI AERONÁUTICOS


15

y, por tanto, estas se obtiene de la ecuación siguiente:

2 2

11 21 11 12 2

12 22 22 2

00

Ai t i t

A

Fe e

Fω ωω η

ω ηΦ Φ⎡ ⎤ ⎧ ⎫Ω − ⎡ ⎤ ⎧ ⎫

=⎨ ⎬ ⎨ ⎬⎢ ⎥ ⎢ ⎥Φ ΦΩ − ⎣ ⎦ ⎩ ⎭⎣ ⎦ ⎩ ⎭ (3.22)

lo que es lo mismo que:

2 21 11 21 11

12 22 222 22

1 0

10

A

A

FF

ωηη

ω

⎡ ⎤⎢ ⎥Ω − Φ Φ⎧ ⎫ ⎡ ⎤ ⎧ ⎫⎢ ⎥=⎨ ⎬ ⎨ ⎬⎢ ⎥Φ Φ⎢ ⎥ ⎣ ⎦ ⎩ ⎭⎩ ⎭⎢ ⎥Ω −⎣ ⎦

(3.23)

Una vez conocidas las coordenadas modales, las coordenadas originales se

calculan deshaciendo el cambio de variable (3.18):

2 211 11 12 11 21 1

2 21 22 12 22 22 22

1 0( )( ) 10

i tx t Fe

x t Fωω

ω

⎡ ⎤⎢ ⎥Ω −Φ Φ Φ Φ⎧ ⎫ ⎡ ⎤ ⎡ ⎤ ⎧ ⎫⎢ ⎥=⎨ ⎬ ⎨ ⎬⎢ ⎥ ⎢ ⎥Φ Φ Φ Φ⎢ ⎥⎩ ⎭ ⎣ ⎦ ⎣ ⎦ ⎩ ⎭⎢ ⎥Ω −⎣ ⎦

(3.24)

Comparando esta última expresión con (3.6) se puede ver que la matriz de

transferencia depende de los modos y frecuencias propias de la forma:

[ ] [ ] [ ]2 2

1111 12 11 21 2 2

21 22 12 222 22

1 0( )

10

TiH

ωω ω

ω

−

⎡ ⎤⎢ ⎥Ω −Φ Φ Φ Φ⎡ ⎤ ⎡ ⎤⎢ ⎥ ⎡ ⎤= = Φ Ω − Φ⎢ ⎥ ⎢ ⎥ ⎣ ⎦Φ Φ Φ Φ⎢ ⎥⎣ ⎦ ⎣ ⎦⎢ ⎥Ω −⎣ ⎦

(3.25)

y cada elemento de la matriz de transferencia será:

2 2

1

( )n

ik jkij

k k

H ωω=

Φ Φ=

Ω −∑ (3.26)

Como que de forma explícita, cada elemento de la matriz de transferencia

contiene sumandos correspondientes a todas las frecuencias propias del

sistema, y, en los numeradores de cada término aparecen coeficientes

relacionados con las formas modales. Así, en la segunda parte, se utilizará esta

expresión para determinar experimentalmente cada uno de los términos de la

matriz de transferencia y, con ellos, las formas modales.

Fíjense que, físicamente, cada término de la matriz de transferencia expresa

como responde el grado de libertad i-ésimo ante una carga armónica aplicada en

ETSI AERONÁUTICOS


16

el grado de libertad k-ésimo. En la segunda parte de este tema, se empleará esta

expresión para determinar los modos propios de un sistema.

3.2. SISTEMA NO CONSERVATIVO

En el apartado 3.1 se ha considerado que el sistema no tiene amortiguamiento.

Aunque en el caso general de sistemas con múltiples grados de libertad la

situación es más compleja, para el caso de dos grados de libertad, es

relativamente cómo operar sobre las expresiones que se obtienen a la hora de

conocer el comportamiento del sistema y determinar una matriz de

transferencia incluyendo los términos disipadores.

3.2.1. Matriz de rigidez dinámica

Si se incluyera términos disipadores, la ecuación (3.4) quedaría:

11 21 11 21 11 21 12 1

22 22 22 22 22 22 22

Ai t i t

A

k k m m c c Fxi e e

k k m m c c Fxω ωω ω

⎛ ⎞ ⎧ ⎫⎡ ⎤ ⎡ ⎤ ⎡ ⎤ ⎧ ⎫− + =⎜ ⎟ ⎨ ⎬ ⎨ ⎬⎢ ⎥ ⎢ ⎥ ⎢ ⎥

⎣ ⎦ ⎣ ⎦ ⎣ ⎦ ⎩ ⎭⎩ ⎭⎝ ⎠(3.27)

Una vez expresada esta ecuación, basta con invertir la matriz de coeficientes a

cada frecuencia para determinar la matriz de transferencia. No se ha trabajado

en el espacio modal porque, salvo en caos especiales, no existen unos modos que

permitan desacoplar simultáneamente las tres matrices. De todas formas, esta

expresión permite poner de manifiesto que cada elemento de la matriz de

transferencia contiene información simultánea de todas las frecuencias y

amortiguamiento del sistema.

[ ]1

11 21 11 21 11 212

22 22 22 22 22 22

( )k k m m c c

H ik k m m c c

ω ω ω−

⎛ ⎞⎡ ⎤ ⎡ ⎤ ⎡ ⎤= − +⎜ ⎟⎢ ⎥ ⎢ ⎥ ⎢ ⎥

⎣ ⎦ ⎣ ⎦ ⎣ ⎦⎝ ⎠ (3.28)

Al ser los elementos de la matriz números complejos, tanto los autovalores

como los autovectores serán números complejos. Físicamente, el que los

autovalores sean números complejos indica que el movimiento es amortiguado,

y que el autovector contenga componentes complejas señala que, las

coordenadas no se mueven de forma síncrona, habiendo un cierto desfase entre

unas coordenadas y otras. Así, la existencia de desfase entre el movimiento de

ETSI AERONÁUTICOS


17

diferentes partes del sistema es un indicativo de la intensidad del

amortiguamiento.4

3.2.2. Matriz aumentada. Espacio de estado

La forma de operar anterior es práctica sólo cuando el número de grados de

libertad del sistema es pequeño, o, cuando se cumplen ciertas condiciones que

permiten desacoplar simultanéate las tres matrices (masa, rigidez y

amortiguamiento) con la matriz de modos normales.

Cuando no res así, se trabaja en el espacio de estado, convirtiendo el sistema de

ecuaciones anterior (3.1) en un sistema de cuatro ecuaciones de primer orden.

Para ello, se utilizan como incógnitas tanto la velocidad como la posición,

quedando la expresión de la forma:

11 12 1 11 12 11 12 1 1

21 22 2 21 22 21 22 2 2

11 12 1 11 12 1

21 22 2 21 22 2

0 0 ( ) ( ) ( )0 0 ( ) ( ) ( )

0 0 ( ) 0 0 ( ) 00 0 ( ) 0 0 ( ) 0

m m x t c c k k x t F tm m x t c c k k x t F t

k k x t k k x tk k x t k k x t

⎡ ⎤ ⎧ ⎫ ⎡ ⎤ ⎧ ⎫ ⎧ ⎫⎢ ⎥ ⎪ ⎪ ⎢ ⎥ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪

⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎢ ⎥ ⎢ ⎥+ =⎨ ⎬ ⎨ ⎬ ⎨ ⎬⎢ ⎥ ⎢ ⎥− − ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎢ ⎥ ⎢ ⎥⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪− − ⎩⎣ ⎦ ⎩ ⎭ ⎣ ⎦ ⎩ ⎭

⎪

⎪⎪⎭

(3.29a)

01 1

02 2

01 1

02 2

(0)(0)(0)(0)

x vx vx xx x

⎧ ⎫⎧ ⎫⎪ ⎪⎪ ⎪

⎪ ⎪ ⎪ ⎪=⎨ ⎬ ⎨ ⎬⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎩ ⎭ ⎩ ⎭

; (3.29b)

para no extenderse en la discusión, la forma de la solución es semejante a la

anterior. Ahora, para el movimiento libre del sistema, al ser un sistema de

primer orden, la solución será de forma exponencial: { } { }0( ) tr t r eλ= . La

ecuación (3.29a) se ha formulado de la manera anterior para mantener el uso de

matrices simétricas, ya que la mayoría de los algoritmos de cálculo de

autovalores y autovectores trabajan más eficientemente cuando las matrices son

simétricas.

Es importante destacar que ahora no se asume que la raíz es imaginaria, por

tanto, al obtener ésta, su parte real será el amortiguamiento, y su parte

imaginaria será la frecuencia e oscilación. Ahora se obtienen cuatro raíces, no

4 El contrario no es cierto.

ETSI AERONÁUTICOS


18

dos, pero, al ser la ecuación característica un polinomio de cuarto orden en l de

coeficientes reales, las cuatro raíces serán complejas conjugadas dos a dos, y,

por tanto tenemos sólo dos movimientos armónicos. Los autovectores son

también modos complejos conjugados, y, únicamente las coordenadas inferiores

representan la forma modal (las dos superiores están relacionadas con la

velocidad).

3.3. EJEMPLO

3.3.1. Comparación de solución analítica y mediante un modelo

discreto.

Se considera la viga de la figura. La solución de los modos y frecuencias propias

de una viga uniforme libre en un extremo y empotrada en el otro es un

problema de autovalores y autofunciones de una ecuación diferencial en

derivadas parciales, y puede encontrarse en múltiples referencias. Aquí se

presenta un modelo de dos grados de libertad, reteniendo el desplazamiento

vertical y la rotación del extremo libre.

22

2

00

vω

θ⎧ ⎫ ⎧ ⎫

⎡ ⎤− =⎨ ⎬ ⎨ ⎬⎣ ⎦ ⎩ ⎭⎩ ⎭K M

siendo: 23

12 66 4

LEIL LL

−⎡ ⎤= ⎢ ⎥−⎣ ⎦

K ; 2

156 2222 4420

LALL L

ρ −⎡ ⎤= ⎢ ⎥−⎣ ⎦

M

El determinante de la ecuación característica queda:

2

12(1 13 ) (22 6)0

(22 6) 4 (1 )L

L Lλ λ

λ λ− −

=− −

siendo 4

2

420AL

EIρλ ω=

La solución de autovalores y autovectores es:

1/ 2

1 43.533 EIAL

ωρ

⎛ ⎞= ⎜ ⎟

⎝ ⎠, 2

2 1

11.38 /

vLθ

⎧ ⎫ ⎧ ⎫=⎨ ⎬ ⎨ ⎬

⎩ ⎭⎩ ⎭

1/ 2

2 434,81 EIAL

ωρ

⎛ ⎞= ⎜ ⎟

⎝ ⎠, 2

2 2

17.62 /

vLθ

⎧ ⎫ ⎧ ⎫=⎨ ⎬ ⎨ ⎬

⎩ ⎭⎩ ⎭

ETSI AERONÁUTICOS


19

La solución de la ecuación diferencial en derivadas parciales que representa el

movimiento libre de una viga en flexión lleva a las siguientes soluciones para las

dos primeras frecuencias propias:

1/ 2

1 43.516 EIAL

ωρ

⎛ ⎞= ⎜ ⎟

⎝ ⎠,

1/ 2

2 422,03 EIAL

ωρ

⎛ ⎞= ⎜ ⎟

⎝ ⎠

La figura muestra las formas modales de los tres primeros modos, ya que, en la

viga real hay “infinitos modos”. Así, el modelo discreto realizado sólo permite

estimar dos frecuencias, la primera con gran precisión (3.533 frente a 3.561,

pero en la segunda la estimación del modelo teórico es muy pobre, 34.81 frente

a 22.03), y no es capaz de determinar más modos.

Este ejemplo muestra las limitaciones de las predicciones teóricas, y cómo es

necesario contrastarlas mediante experimentación (análisis modal

experimental en este caso) o modelos matemáticos alternativos (ecuación

diferencial en derivadas parciales).

3.3.2. Sistema discreto con amortiguamiento

Para fijar ideas, se presenta un ejemplo, poniendo de manifiesto la diferencia

entre frecuencias propias, modos normales y modos amortiguados.

El ejemplo se basa en el sistema anterior al cual se le ha añadido un

amortiguador entre las dos masas y otro entre la masa fija y la pared.

Las matrices de masa, amortiguamiento y rigidez son:

100 0 110 100 11000 10000; ;

0 100 100 100 10000 10000M C K

− −⎡ ⎤ ⎡ ⎤ ⎡ ⎤= = =⎢ ⎥ ⎢ ⎥ ⎢ ⎥− −⎣ ⎦ ⎣ ⎦ ⎣ ⎦

Los modos normales de vibración y las frecuencias del sistema no amortiguados

se obtiene a partir de los autovectores y autovalores del problema:

ETSI AERONÁUTICOS


20

[ ] [ ]( ){ } { }2 0K Mω− Φ =

Se puede resolver manualmente o, mediante por ejemplo, MATLAB©, con

[V,D]=eig(K,M), siendo V la matriz que contiene los modos normales y D una

matriz diagonal en cuya diagonal principal están las frecuencias naturales

elevada al cuadrado.

Así en este caso, las matrices modales son:

[ ] 2-0,0880 -0,3037 8,392 0;

-0,0961 0,0278 0 1191,6⎡ ⎤ ⎡ ⎤⎡ ⎤Φ = Ω =⎢ ⎥ ⎢ ⎥⎣ ⎦⎣ ⎦ ⎣ ⎦

Luego la primera frecuencia propia es Ω1=2,8969 rad·s-1, asociada al vector

[-0,088 -0,0961]T, y la segunda Ω1=34,52 rad·s-1, asociada a

[-0,3037 -0,0278]T.

Considerando ahora el amortiguamiento, el sistema de ecuaciones es:

1 1 1

2 2 2

100 0 110 100 11000 10000 00 100 100 100 10000 10000 0

x x xx x x

− −⎧ ⎫ ⎧ ⎫ ⎧ ⎫⎡ ⎤ ⎡ ⎤ ⎡ ⎤ ⎧ ⎫+ + =⎨ ⎬ ⎨ ⎬ ⎨ ⎬ ⎨ ⎬⎢ ⎥ ⎢ ⎥ ⎢ ⎥− −⎣ ⎦ ⎣ ⎦ ⎣ ⎦ ⎩ ⎭⎩ ⎭ ⎩ ⎭ ⎩ ⎭

Utilizando la matriz de modos normales [Φ] para cambiar a coordenadas

modales: {x}=[Φ]{η}, se llega al sistema:

1 1 1

2 2 2

1 0 0,0839 0 8,3920 00

0 1 0 11,9161 0 1191,6η η ηη η η

⎧ ⎫ ⎧ ⎫ ⎧ ⎫⎡ ⎤ ⎡ ⎤ ⎡ ⎤+ + =⎨ ⎬ ⎨ ⎬ ⎨ ⎬⎢ ⎥ ⎢ ⎥ ⎢ ⎥

⎣ ⎦ ⎣ ⎦ ⎣ ⎦⎩ ⎭ ⎩ ⎭ ⎩ ⎭

En este caso el amortiguamiento ha permitido tiene una forma tal que los

modos normales de vibración coinciden con los modos del sistema cuando se

considera el amortiguamiento. Para el primero de los modos el movimiento

será:

0 01 1 12 0,0839 rad/s; 8,3920 2,8969 rad/sγ Ω = Ω = =

Luego el coeficiente de amortiguamiento vale: 1 0,0145γ = y la frecuencia

propia: 0 21 1 11 2,8966 rad/sγΩ = Ω − = . Es decir, la amplitud del movimiento oscila

a esta frecuencia y decae de forma exponencial según: 1 1 0,042t te eγ− Ω −= .

ETSI AERONÁUTICOS


21

Para el segundo modo se obtiene: 2 0,1726γ = 0 22 2 21 34,0016 rad/sγΩ = Ω − = y

2 2 5,9580t te eγ− Ω −= .

Si se trabajase en el espacio de estado, las matrices son:

1

2

1

2

100 0 0 0 100 100 11000 100000 100 0 0 100 100 10000 10000

0 0 11000 10000 11000 10000 0 00 0 10000 10000 10000 10000 0 0

xxxx

⎡ ⎤ ⎡ − − ⎤⎡ ⎤ ⎡ ⎤ ⎡ ⎤ ⎡ ⎤⎧ ⎫⎢ ⎥ ⎢⎢ ⎥ ⎢ ⎥ ⎢ ⎥ ⎢ ⎥⎪ ⎪ − −⎣ ⎦ ⎣ ⎦ ⎣ ⎦ ⎣ ⎦⎪ ⎪⎢ ⎥ ⎢+⎨ ⎬⎢ ⎥ ⎢− −⎡ ⎤ ⎡ ⎤ ⎡ ⎤ ⎡ ⎤⎪ ⎪⎢ ⎥ ⎢⎢ ⎥ ⎢ ⎥ ⎢ ⎥ ⎢ ⎥⎪ ⎪− −⎢ ⎥ ⎢⎣ ⎦ ⎣ ⎦ ⎣ ⎦ ⎣ ⎦⎩ ⎭⎣ ⎦ ⎣ ⎦

1

2

1

2

0000

xxxx

⎧ ⎫ ⎧ ⎫⎥ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪

⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎥ =⎨ ⎬ ⎨ ⎬⎥⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎥⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎥ ⎩ ⎭⎩ ⎭

y, utilizando, por ejemplo, MATLAB©, eig(K , M) se obtiene:

5.9580 +34.0016i5.9580 -34.0016i0.0420 + 2.8966i0.0420 - 2.8966i

⎧ ⎫⎪ ⎪⎪ ⎪⎨ ⎬⎪ ⎪⎪ ⎪⎩ ⎭

; 1.0000 - 0.0000i 1.0000 + 0.0000i 0.9161 + 0.0000i 0.9161 - 0.0000i-0.0916 - 0.0000i -0.0916 + 0.0000i 1.0000 - 0.0000i 1.0000 + 0.0000i-0.0050 + 0.0285i -0.0050 - 0.0285i -0.0046 + 0.3162i -0.0046 - 0.3162i0.0005 - 0.0026i 0.0005 +0.0026i -0.0050 + 0.3452i -0.0050 - 0.3452i

⎡ ⎤⎢ ⎥⎢ ⎥⎢ ⎥⎢ ⎥⎣ ⎦

Los dos primeros elementos del vector de autovalores se corresponden con el

segundo modo de vibración, y, los dos siguientes están asociados al primero de

los modos. Con los autovectores, se observa que son complejos conjugados 2dos

a dos, y, también que en cada columna, las dos primeras componentes son igual

a las dos últimas multiplicadas por el autovalor correspondiente (ya que las dos

primeras componentes están asociadas con la velocidad, y las dos últimas, con el

desplazamiento). Los modos se han presentado tal como aparecen en

MATLAB©, pero, cogiendo las dos componentes inferiores de los modos 1 y 3,

por ejemplo, se tiene:

[ ] -0.0050 + 0.0285i -0.0046 + 0.3162i0.0005 - 0.0026i -0.0050 + 0.3452i

⎡ ⎤Ψ = ⎢ ⎥

⎣ ⎦,

y, normalizándolos con relación a la matriz de masas se obtiene la matriz de

modos normales (ahora el orden de las columnas es contrario porque se han

obtenido los autovalores de mayor a menor).

ETSI AERONÁUTICOS


22

4. SISTEMAS DE MÚLTIPLES GRADOS DE LIBERTAD

4.1. INTRODUCCIÓN

Hoy en día, el caso general en cualquier rama de la ingeniería emplea modelos

con un gran número de grados de libertad como el de la figura. En estos casos,

los modelos matriciales es que se obtienen son de un tamaño muy grande para

manejarlos de forma analítica, como se ha hecho en el capítulo anterior. Así, el

tratamiento de los modelos se hace numéricamente. A pesar del desarrollo de

los ordenadores, no resulta útil hoy en día trabajar con todos los modos de un

sistema, por lo que siempre se retiene un número limitado de modos. El hecho

de retener un número finito de modos implica que se limita el contenido

frecuencial que se reproduce.

En este capítulo no se pretenden explicar los fundamentos matemáticos de las

diferentes técnicas de extracción de autovalores y autovectores, sino presentar

cómo se emplean éstos para y los aspectos más relevantes cuando se comparan

con la determinación experimental, y su empleo en una posterior comparación

entre resultados de ensayos y teóricos (ver parte II).

ETSI AERONÁUTICOS


23

4.2. SISTEMA CONSERVATIVO

Como ya se comentó, el tratamiento de los sistemas conservativos es,

matemáticamente, más simple que el de los no conservativos, y, permite,

presentar las propiedades más relevantes desde el punto de vista experimental.

En primer lugar, el sistema se caracteriza por dos matrices, de tamaño nxn,

siendo n en el número de grado de libertad del sistema. La capacidad para

absorber energía cinética viene caracterizada por la matriz de masa, [M]que en

general es la correspondiente a una forma cuadrática definida positiva. La

capacidad para absorber energía elástica de deformación está caracterizada por

la matriz de rigidez, [K], que en general proviene de una forma cuadrática

semi-definida positiva. La matriz de rigidez es semi-definida positiva cuando el

sistema tiene grados de libertad como sólido rígido, que suele ser lo habitual en

vehículos, y en particular en aviones.

Así, de los diversos métodos de cálculo de autovalores (Lanczos, iteración,

Heissenberg ...) es preferible seleccionar aquellos que calculan directamente el

autovalor (no su inverso), y son adecuados para manejar matices singulares. Por

otro lado, al ser los modos como sólido rígido importantes en otras disciplinas

como aeroelasticidad o mecánica de vuelo, se aconseja determinar éstos de

forma independiente y con precisión, y, posteriormente, eliminarlos del análisis

dinámico, calculando por separado la respuesta frente a cargas no estacionarias

de las componentes como sólido rígido y de las vibraciones debidas a la

elasticidad del sistema. Entre las propiedades de los modos propios hay que

destacar la ortogonalidad con relación a la matriz de masa y a la matriz de

rigidez. La ecuación de la dinámica del movimiento general de un sistema es:

( ) ( ) ( ) ( )tttt pKuuBuM =++

FFuueerrzzaass ddee iinneerrcciiaa AAmmoorrttiigguuaammiieennttoo FFuueerrzzaass eelláássttiiccaass FFuueerrzzaass eexxtteerriioorreess

ETSI AERONÁUTICOS


24

Teniendo en cuenta las formas de determinación experimental de los modos, es

importante recordar que la respuesta ante una excitación armónica es un

movimiento armónico de todos los grados de libertad de la misma frecuencia

que la excitación. Así:

( ) ( ) ( )ωωωω PUKBM =++− i2

(4.1b)

donde la notación compleja utilizada para fuerzas y desplazamientos responde

a:

( ) ( ) ( )[ ]tit ωω expPp ℜ= ; ( ) ( ) ( )[ ]tit ωω expUu ℜ= (4.2)

En el caso conservativo, la matriz de amortiguamiento, B, es nula.

4.2.1. Modos normales de vibración. Propiedades

Como se vio anteriormente, los modos normales de vibración es la traza que

deja el desplazamiento de los nodos cuando se mueven en ausencia de

excitación exterior.

( ) 0UKM =+− 2ω

(4.3)

matemáticamente el sistema tiene tantos modos y frecuencias propias como

grados de libertad. En la práctica, el número de ellos que se pueden determinar

es limitado.

Entre las propiedades de los modos cabe destacar la otogonalidad con relación a

las matrices de masa y rigidez

0Tn mx Mx = ; 0T

n mx Kx = para m n≠ (4.4a)

1Tn nx Mx = ; 2T

n n nx Kx ω= (4.4b)

Siendo x cada uno de los modos normales de vibración

Es importante señalar que cualquier posible movimiento de la estructura se

puede expresar como superposición de los modos propios, aunque, en la

realidad, el número de éstos en un modelo ingenieril es tan elevado que sólo se

trabaja con un número reducido.

ETSI AERONÁUTICOS


25

4.3. SISTEMAS NO CONSERVATIVOS

Al igual que ocurría en el apartado 3, la necesidad de retener en algunos caso el

amortiguamiento requiere el uso de técnicas alternativas. En este apartado se

analizan dos casos particulares, el de amortiguamiento proporcional y el caso

general.

4.3.1. Amortiguamiento proporcional

En general los modos normales de vibración no son ortogonales con relación a

la matriz de amortiguamiento, por lo que, trabajar con modos desacoplados n o

es viable en un modelo teórico.

Se dice que un sistema tiene amortiguamiento proporcional, cuando, una vez

calculados los modos normales de vibración (considerando que el

amortiguamiento es nulo) se cumple que:

0Tn mx Bx = ; para m n≠ (4.5)

A este tipo de amortiguamiento se le conoce como amortiguamiento

proporcional.

En este caso, el amortiguamiento se puede expresar mediante un coeficiente de

amortiguamiento modal, γn:

2Tn n n n nx Bx mγ ω= (4.6)

4.3.2. Caso general

En el caso general en el que el amortiguamiento no sea proporcional, no es

posible desacoplar las ecuaciones a partir de los modos normales de vibración.

La determinación de modos y frecuencias se convierte así en un problema de

variable compleja, y para abordarlo es necesario trabajar en este plano. Lo

habitual es proceder de forma similar a como se hizo en el apartado 3.2.2. Para

ello, se trabaja con el vector de estado, que se obtiene combinando los

vectores correspondientes a velocidades y desplazamientos.

En este caso el vector es de dimensión 2n, siendo n el número de grados de

libertad del sistema, pero, en lugar de trabajar con un sistema de ecuaciones de

segundo orden, se trabaja con el doble de ecuaciones pero de primer orden.

ETSI AERONÁUTICOS


26

Figura 5.1 Secuencia fotográfica de un ensayo en vuelo con resultado catastrófico

Así, al pasar al espacio de estado, la ecuación (4.1a) queda:

[ ] [ ][ ] [ ]

{ }{ }

[ ] [ ][ ] [ ]

{ }{ }

{ }{ }

000 0

x x FM B Kx xK K

⎡ ⎤ ⎡ ⎤⎧ ⎫ ⎧ ⎫ ⎧ ⎫⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪+ =⎢ ⎥ ⎢ ⎥⎨ ⎬ ⎨ ⎬ ⎨ ⎬−⎢ ⎥ ⎢ ⎥⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎩ ⎭ ⎩ ⎭ ⎩ ⎭⎣ ⎦ ⎣ ⎦ (4.7)

Siendo el vector de estado el resultante de unir en un solo vector la velocidad y

el desplazamiento:

{ }{ }{ }

xu

x⎧ ⎫⎪ ⎪= ⎨ ⎬⎪ ⎪⎩ ⎭

(4.8)

El sistema tiene ahora 2xn autovalores, pero como el polinomio

característico es de coeficientes reales, las raíces son complejas conjugadas,

siendo la parte real el amortiguamiento de cada modo y la parte imaginaria la

frecuencia. Los modos asociados, también son modos complejos conjugados, y

la parte compleja de cada componente representa el desfase entre el

movimiento de cada grado de libertad, porque ahora el movimiento no resulta

síncrono (como en el caso conservativo).

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27

5. ANÁLISIS TEÓRICO PARA SU COMPARACIÓN CON

ENSAYOS

5.1. INTRODUCCIÓN

El uso combinado del estudio teórico y el experimental es una de las

herramientas con las que se cuenta a la hora de realizar un análisis eficaz de una

aeronave.

El estudio analítico, en general son de carácter predictivo, y tienen por objeto

conocer el comportamiento de la aeronave en operación para garantizar su

integridad antes de la fase de producción de prototipos. Los ensayos que se

realizan en el prototipo analizan el comportamiento real de la estructura en

diferentes condiciones de carga que pueden ser reproducidas en el laboratorio o

en vuelo. En general, no todas las condiciones a las que se va a ver sometida la

aeronave son reproducibles en el laboratorio, o bien, su reproducción en vuelo

implica un riesgo para la seguridad de la tripulación (la figura 5.1 muestra como

durante un ensayo de flameo se produce el fallo catastrófico de la aeronave).

Así, las predicciones analíticas requieren que el modelo refleje fielmente el

comportamiento real de la estructura, mientras que los ensayos no siempre

pueden reproducir las condiciones reales de la estructura. Por eso, la

combinación del análisis experimental y el teórico resulta de gran utilidad.

5.2. Modos objetivo. Criterios de selección.

Un paso muy importante en la predicción de ensayos es la selección de los

modos que se pretenden medir, ya que la densidad modal suele ser alta dentro

del rango de frecuencias de interés en los aviones . Estos modos se conocen

como modos objetivo. Se destaca aquí que no es necesario determinar todos los

modos durante un barrido modal, y es importante centrarse en aquellos que

contribuyen de forma significativa a la respuesta del sistema; a éstos es a los que

se denomina modos objetivo, y su selección es crítica para la generación de

modelos analíticos precisos. Un modelo será bueno cuando la correlación que

hay entre los modos objetivo determinados experimentalmente y analíticamente

es alta, pero no es necesario que la correlación sea buena en otros modos.

ETSI AERONÁUTICOS


28

Generalmente se emplean cuatro métodos en la industria aeronáutica para

determinar los modos objetivo:

• Masa modal efectiva con relación a los modos como sólido rígido

• Masa modal efectiva con relación a los modos empotrados

• Fracción de energía cinética.

• Fracción de energía de deformación

5.2.1. Masa Modal efectiva

La masa modal efectiva asociada a un modo está relacionada con la cantidad de

movimiento que absorbe el sistema cuando se mueve según un determinado

modo. De forma coloquial, se puede decir que es algo así como la cantidad de

masa que se movería cuando el sistema se deforma según un determinado

modo.

Así, un modo con una masa modal efectiva alta contribuye de forma

significativa a la respuesta, mientras que si es muy baja, dicho modo no es muy

importante a la hora de representar la respuesta del sistema.

Un requisito típico es que los modos cuya masa modal efectiva relativa a los

modos de traslación sea superior al 2% de la masa total deben retenerse en el

análisis. Si los modos se han calculado normalizándolos con relación a la matriz

de masas, la masa modal efectiva es:

[ ][ ][ ] 2eff d RBM M⎡ ⎤= Φ Φ⎣ ⎦ (5.1)

Si en lugar de usar los modos como sólido rígido en la fórmula anterior, se

emplean los modos empotrados se obtiene el segundo criterio. Éste criterio

suele ser empleado cuando se estudian vehículos que están apoyados de forma

hiperestática.

5.2.2. Fracciones de energía cinética y de energía de deformación

El criterio anterior permite determinar cuales son los modos importantes desde

el punto de vista de la respuesta global de la estructura, pero es menos útil a la

hora de identificar modos que localmente sí sean importante.

Así, el criterio de la fracción de energía de deformación (o el de energía cinética)

se emplean como complemento al anterior, y sí permite tener en cuenta modos

ETSI AERONÁUTICOS


29

locales. Este criterio analiza la porción de energía de deformación asociada a

cada modo relativa a la energía de deformación total del sistema. Así, cuando el

contenido de energía de deformación supere un 5% del total, el modo suele ser

importante. Si los modos están normalizados con relación a la matriz de masa,

este criterio se determina de la forma siguiente:

[ ][ ][ ][ ][ ][ ]

c c

c c

KEF diag M

SEF diag K

⎡ ⎤= Φ Φ⎣ ⎦⎡ ⎤= Φ Φ⎣ ⎦

(5.2)

5.2.3. Factor de participación modal

Los métodos anteriores identifican la mayoría de los modos de interés, pero

algún modo que afecte prácticamente sólo a un componente puede ser no

considerado ya que en ellos no se considera la excitación a la que el sistema será

sometido. La integridad estructural depende no sólo de las frecuencias de

resonancia, el amortiguamiento y la forma modal, también depende de cómo

sea la excitación. Así, este criterio tienen en cuenta las características de la

excitación a la hora de seleccionar los modos que se retiene en el análisis.

Así este criterio queda como:

[ ]

2 2

Ti

ii

FPF

ω ωΦ

=−

(5.3)

5.3. Modos Característicos. Reducción del modelo

A la hora de comparar el modelo analítico con el experimental suele ser habitual

reducir el tamaño del modelo original al del número de sensores con que se

instrumente el modelo. Existen una gran variedad de técnicas s de reducción,

pero la más empleada es la reducción estática o de Guyan. Como los modelos de

aviones suelen disponer de grados de libertad como sólido rígido, antes de

reducir el tamaño del modelo, éstos suelen determinarse y eliminarse del

análisis.

5.3.1. Determinación de los modos como sólido rígido

Aunque el cálculo de autovalores siguiendo el apartado 4.2.1 es adecuado, los

modos como sólido rígido se calculan de forma más precisa cuando se tiene sólo

ETSI AERONÁUTICOS


30

en cuenta que éstos no implican deformación de la estructura, y, por tanto su

producto con relación a la matriz de rigidez es nulo.

El número de grados de libertad como sólido rígido de un sistema está

relacionado con el rango de la matriz de rigidez. Así, si el sistema tiene n grados

de libertad, y, n modos como sólido rígido, el conjunto de grados de libertad se

divide en dos subconjuntos, uno de tamaño r y otro de tamaño e,

complementario del anterior:

{ }{ }{ }

e

r

xx

x⎧ ⎫⎪ ⎪= ⎨ ⎬⎪ ⎪⎩ ⎭

(5.4)

el primer subconjunto es de tamaño ex1 y el segundo rx1, siendo n=r+e.

Si a cualquiera de los grados de libertad del segundo subconjunto (rígidos o

r-set) se le aplica un desplazamiento unitario mientras que al resto se le deja en

su posición, la estructura se desplazará sin deformarse, y, por tanto el producto

[K]{x} será nulo. Expresando esta relación para cada uno de los r grados de

libertad del subconjunto segundo se tienen r ecuaciones de la forma:

[ ] [ ][ ] [ ]0eKI

φ⎡ ⎤=⎢ ⎥

⎢ ⎥⎣ ⎦ (5.5)

Particionando la matriz de rigidez en cuatro partes:

[ ] [ ]

[ ] [ ]

[ ]

[ ]

[ ]

[ ]

0

0

ee er ee e e e e

re rre

K K

K K I

φ⎡ ⎤ ⎡ ⎤ ⎡ ⎤⎢ ⎥ ⎢ ⎥ ⎢ ⎥=⎢ ⎥ ⎢ ⎥ ⎢ ⎥⎢ ⎥ ⎢ ⎥ ⎢ ⎥⎣ ⎦ ⎣ ⎦⎣ ⎦

x xr xr xr

rx rxr rxr rxr

(5.6)5

Así, del conjunto de ecuaciones superiores se tiene que:

[ ] [ ] [ ]1e ee erK Kφ −= − (5.7)

y los modos como sólido rígido son:

[ ] [ ] [ ][ ]

1ee er

RB

K KI

φ−⎡ ⎤−

= ⎢ ⎥⎢ ⎥⎣ ⎦

(5.7)6

5 Por , se ha indicado el tamaño de cada caja de la matriz debajo de la misma.

ETSI AERONÁUTICOS


31

5.3.2. Eliminación de los modos como sólido rígido

Una vez que se han determinado los modos como sólido rígido, suele ser

conveniente eliminar éstos de las matrices de masa y rigidez, para obtener un

nuevo modelo que únicamente contiene modos dinámicos elásticos.

Para ello, teniendo en cuenta que en el caso de una estructura libre los modos

elásticos no aportan cantidad de movimiento ni momento cinético con relación

al centro de gravedad al sistema7, los modos elásticos deben cumplir :

[ ] [ ][ ] [ ]0TRB Er n r n n e r e

Mφ φ =x x x x

(5.8)

Los grados de libertad se dividen en dos conjuntos, al igual que en (5.4), y

multiplicando las dos primeras matrices:

[ ] [ ] [ ][ ][ ] [ ]0

r e

ErTRB r e e

Eer n n r n e r ee e

M Mφ

φ φφ

⎡ ⎤⎡ ⎤ ⎢ ⎥ =⎢ ⎥ ⎢ ⎥⎣ ⎦ ⎢ ⎥⎣ ⎦

x

x x x xx

(5.9)

y, operando:

[ ] [ ][ ][ ] [ ]0

r e

ErRB r RB e

Eer r e r ee e

M Mφ

φ φ φ

⎡ ⎤⎡ ⎤ ⎢ ⎥ =⎢ ⎥ ⎢ ⎥⎣ ⎦ ⎢ ⎥⎣ ⎦

x

x rx xx

(5.9)

Por tanto,

[ ] [ ] [ ][ ]1Er RB r RB e EeM Mφ φ φ φ−= − (5.10)

y las componentes de los modos elásticos se pueden relacionar únicamente con

las componentes debidas a la flexibilidad de la estructura de la forma:

[ ] [ ] [ ][ ] [ ] [ ][ ] [ ]

1RB r RB e

E Ee RB Ee EE

M MT T

Iφ φ

φ φ φ−⎡ ⎤−

= = =⎢ ⎥⎢ ⎥⎣ ⎦

(5.11)

Así, la respuesta del sistema se descompone en dos partes:

6 Estos modos también se pueden determinar mediante el cálculo de autovalores y autovectores,

pero esta segunda forma suele ser más precisa y menos costosa en recursos.

7 A la misma conclusión se llega imponiendo la propiedad de ortogonalidad de modos.

ETSI AERONÁUTICOS


32

{ } [ ]{ } [ ]{ } [ ]{ } { } { }RB R E e RB ex x xη φ η φ η= Φ = + = + (5.12)

como en coordenadas modales las ecuaciones están desacopladas, le parte

elástica se puede expresar como:

{ } [ ]{ } [ ][ ]{ } [ ]{ }1 1 11

E e RB Ee e RBelásticae e en e n e e e n en

x T T uφ η φ η= = =x x xx x x xx

(5.12b)

Con este cambio de variable, las ecuaciones del movimiento del sistema se

plantean en la variable u que sólo incluye movimientos como sólido elástico,

siendo las matrices:

[ ] [ ] [ ][ ] [ ] [ ] [ ][ ]; ;T TEE RB RB EE RB RBM T M T K T K T= = (5.14)

y la ecuación es:

[ ]{ } [ ]{ } { }0EE EEM u K u+ = (5.15)

5.3.3. Reducción del modelo

En general, los modelos teóricos son de mayor tamaño que los experimentales;

por eso, a la hora de predecir el comportamiento de un modelo se suelen aplicar

técnicas de reducción. Hoy en día existen diferentes técnicas de reducción, y,

que consiguen modelos de gran precisión con tamaños muy inferiores al del

modelo original. No obstante, loa primera fue desarrollada por Guyan y Irons de

forma independiente en los años sesenta. Esta técnica no está obsoleta, y hoy en

día sigue siendo fundamental . No es le propósito de este curso desarrollar las

diferntes técnicas de reducción, por lo que únicamente se introduce la técnica de

reducción estática o de Guyan.

En este caso, los grados de libertad del modelo se agrupan en dos subconjuntos,

aquellos en los que se instala un sensor para medir o un actuador para aplicar

cargas, subconjunto m, y el de aquellos que se van a omitir, denominado

subconjunto o. Guyan y Irons establecieron el equilibrio del sistema cuando sólo

se aplicaban cargas en el subconjunto m. Dividiendo el problema estático en las

cuatro cajas se tiene:

[ ] [ ][ ] [ ]

{ }{ }

{ }{ }0

m mmm mo

oom oo

x PK KxK K

⎡ ⎤ ⎧ ⎫ ⎧ ⎫⎪ ⎪ ⎪ ⎪=⎢ ⎥ ⎨ ⎬ ⎨ ⎬⎢ ⎥ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎩ ⎭ ⎩ ⎭⎣ ⎦

(5.16)

ETSI AERONÁUTICOS


33

Así, los grados de libertad que no se retienen, {xo}, se pueden determinar a

partir del resto, {xm}, imponiendo que se cumpla el grupo de ecuaciones

situados en la parte inferior de (5.16).

{ } [ ] [ ]{ }1o oo om mx K K x−= − (5.17)

La ecuación anterior se emplea para obtener una matriz de transformación,

TGUYAN, que exprese el conjunto de grados de libertad original, {x}, en función

únicamente de los retenidos, {xm}.

{ }{ }{ }

[ ][ ] [ ]

{ } [ ]{ }1m

m GUYAN mo oo om

Ixx x T x

x K K−

⎡ ⎤⎧ ⎫⎪ ⎪ ⎢ ⎥= = =⎨ ⎬−⎢ ⎥⎪ ⎪⎩ ⎭ ⎣ ⎦

(5.18)

Introduciendo esta relación en el cálculo de las energías cinética y potencial, y

en el trabajo de las fuerzas aplicadas, se obtiene un sistema de ecuaciones de

tamaño mxm, inferior al original, nxn.

Así:

{ } [ ]{ } { } [ ] [ ][ ]{ }1 12 2

TT Tm GUYAN GUYAN mT x M x x T M T x= = (5.19a)

{ } [ ]{ } { } [ ] [ ][ ]{ }1 12 2

TT Tm GUYAN GUYAN mV x K x x T K T x= = (5.19b)

Luego las matrices de masa y rigidez del modelo reducido quedan:

[ ] [ ] [ ][ ]=,mxm x

TGUYAN GUYAN

n nM T M T (5.20a)

[ ] [ ] [ ][ ]=,mxm x

TGUYAN GUYAN

n nK T K T (5.20b)

5.3.4. Ejemplo

Se presenta un modelo muy simple de misil, que consiste en tres masas iguales,

m, unidas mediante dos muelles de rigidez, k. Como el sistema de guiado

navegación y control suele alojarse en la cabeza del misil, en el ensayo modal se

presta especial interés a ésta.

ETSI AERONÁUTICOS


34

Figura 5.5 Figuras obtenidas en la páginahttp://www.global-defence.com/2000/pages/meteor.htmlx y www.global-defence.com/2001/MSpart1.html

Las ecuaciones del movimiento son:

0 0

1 1

2 2

0 0 ( ) 0 ( ) 00 0 ( ) 2 ( ) 00 0 ( ) 0 ( ) 0

−⎡ ⎤ ⎧ ⎫ ⎡ ⎤ ⎧ ⎫ ⎧ ⎫⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎢ ⎥ ⎢ ⎥+ − − =⎨ ⎬ ⎨ ⎬ ⎨ ⎬⎢ ⎥ ⎢ ⎥⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎢ ⎥ ⎢ ⎥−⎣ ⎦ ⎩ ⎭ ⎣ ⎦ ⎩ ⎭ ⎩ ⎭

m x t k k x tm x t k k k x t

m x t k k x t

Mediante el cálculo directo se obtiene con facilidad para este problema los

modos y frecuencias propias (0, 1, 31/2). Cuando el modelo es más complejo, el

cálculo requiere del uso de métodos numéricos. El propósito del ejemplo es

ilustrar que las técnicas de extracción de modos como sólido rígido

proporcionan los resultados adecuados, y, aplicar la reducción estática en un

caso sencillo.

En el caso del modo como sólido rígido, se elige por ejemplo, el grado de

libertad de la izquierda como referencia y se obtiene los otros dos con (5.6):

0

1

2

1 1 0 01 2 1 0

0 1 1 0

−⎡ ⎤ ⎧ ⎫ ⎧ ⎫⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎢ ⎥− − =⎨ ⎬ ⎨ ⎬⎢ ⎥⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎢ ⎥−⎣ ⎦ ⎩ ⎭ ⎩ ⎭

xk x

x

Así, el modo como sólido rígido queda:

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35

11

02

2 1 11 1 0

−− −⎧ ⎫ ⎡ ⎤ ⎧ ⎫= −⎨ ⎬ ⎨ ⎬⎢ ⎥−⎣ ⎦ ⎩ ⎭⎩ ⎭

xx

x;

Luego el modo sin normalizar queda [1 1 1], es decir, un desplazamiento de

todos los elementos.

El siguiente método consiste en eliminar del sistema el modo como sólido

rígido, aplicando (5.11)

[ ] [ ]0 0

1 1

2 2

0 01 1 1 0 0 0; 1 1 1 0

0 0

⎡ ⎤ ⎧ ⎫ ⎧ ⎫⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎢ ⎥ = =⎨ ⎬ ⎨ ⎬⎢ ⎥⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎢ ⎥⎣ ⎦ ⎩ ⎭ ⎩ ⎭

m x xm x m x

m x x

Por tanto, la matriz de transformación TRB de (5.11) queda:

1 11 00 1

− −⎡ ⎤⎢ ⎥= ⎢ ⎥⎢ ⎥⎣ ⎦

RBT

Y así, las matrices de masa y rigidez del sistema en el que sólo hay grados de

libertad elásticos quedan:

2 1 5 1;

1 2 1 2⎡ ⎤ ⎡ ⎤

= =⎢ ⎥ ⎢ ⎥⎣ ⎦ ⎣ ⎦

m k

Así, en el nuevo sistema, los modos y las frecuencias son:

2 1 0 0 2;

0 3 1 1φ

⎡ ⎤ ⎡ ⎤Ω = =⎢ ⎥ ⎢ ⎥− −⎣ ⎦ ⎣ ⎦

Ee ; es decir : 1 10 21 1

φ φ−⎡ ⎤

⎢ ⎥= = ⎢ ⎥⎢ ⎥− −⎣ ⎦

E RB EeT

Por último si a éste sistema se le aplica la reducción de Guyan:

0,21

−⎡ ⎤= ⎢ ⎥

⎣ ⎦GUYANT ;

1,68 1,8 0+ =mv kv

Y así, la frecuencia propia del modelo reducido queda 1,0351 algo superior a 1

que es el valor exacto.

La forma modal en coordenadas originales será:

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36

{ } { } { }1 1 0,80, 2

1 0 1 0.2 110 1 1

φ φ− − −⎡ ⎤ ⎡ ⎤−⎡ ⎤⎢ ⎥ ⎢ ⎥= = = −⎢ ⎥⎢ ⎥ ⎢ ⎥

⎣ ⎦⎢ ⎥ ⎢ ⎥⎣ ⎦ ⎣ ⎦RB GUYAN RED

T T

Que se parece al [-1 0 1] del modelo original.

Este ejemplo ha tratado de mostrar cómo se aplican las técnicas de reducción y

eliminación modal a la hora de desarrollar el denominado TAM (Test Análisis

Model).

6. REFERENCIAS

• D. Inman and E. Austin, “Engineering Vibration,” 2nd edition, Prentice Hall,

2001

• • S.G. Kelly, “Fundamentals of Mechanical Vibrations,” 2nd edition, McGraw

Hill, 2000.

• • A. A. Shabana, "Vibration of Discrete and Continuous Systems," 2nd edition,

Springer, 1997.

• • M. Bismarck- Nasr, "Structural Dynamics in Aeronautical Engineering,"

AIAA Educational. Series, 1999

ETSI AERONÁUTICOS


37

ANEXO I. Margen de flameo.

Flutter margin with non-linearities: real-time prediction of flutter

onset speed

Proceedings of the Institution of Mechanical Engineers, Part G: Journal of

Aerospace Engineering; Volume 222, Number 6 / 2008

D. José Leopoldo Casado Corpas y D. Jesús López Díez, PhD.

1. Background

Flight flutter testing remains a challenging research area because of the

concerns with cost, time and safety. In particular, adding a new external store to

a combat aircraft continues to be a demanding task which requires great effort

[1]. Theoretical calculations and ground tests are carried out before flying in

order to assure safety. Precise linear models have been developed to help test

teams to expand flight envelopes during the external store integration process.

However, non linearities involved in the structure and in the aerodynamics have

addressed to come up with new techniques in order to determine the flight

stability prediction [2]. Research is focused on three main areas:

a) Enhanced vibration mechanisms.

b) Post-flight data analysis, including signal processing, stability estimation

and system identification.

c) New flutter prediction methods, incorporating non-linear issues in order

to reduce the flutter test matrix [3].

The flutter margin concept [4] has been used as a valuable tool to predict the

flight flutter boundaries. However, the main hypothesis of that concept, based

on two linear structural modes involved in the aeroelastic instability, makes its

reliability low when non-linearities are present.

ETSI AERONÁUTICOS


38

The above considerations arise when the external configuration of a combat

aircraft is chosen to expand its flutter envelope. In particular, for the F-18

aircraft (Figure 1), an exhaustive pre-flight inspection is done before the sortie.

Special care is taken in order to eliminate the freeplay of the structure. Preload

devices and sway braces are installed in the pylons to assure the correct contact

between the aircraft and the store. Flight control surfaces are rigged into

tolerances and the wing fold freeplay, if it exists, is fixed. However, structural

freeplay persists and it is mandatory to evaluate its influence in flight just to

determine precisely the flight flutter envelope. In that sense, it is well known

how Limit Cycle Oscillations (LCO) can arise if structural freeplay is present [5],

although aerodynamic influence has been also identified [6]. A revision of the

Flutter Onset Speed Method at subcritical conditions [4] is proposed in order to

include the non-linear influence in the predicted flutter speed. The standard

procedure to expand the flutter envelope is kept, but the split in the

characteristic frequencies due to non-linearities is taken into account to clear

new flight conditions. This new approach lets the test engineer work with

standard procedures without risking safety .

Figure 1. F.18 aircraft in flight

ETSI AERONÁUTICOS


39

Frequencies and damping of the most important aeroelastic modes are

determined from flight test flying in a ‘Build-Up approach’ way in terms of

dynamic pressure. Starting from a low dynamic pressure condition, determined

by an initial low Mach and high altitude, several excitations at different

frequencies are performed on the test aircraft in order to characterize its

aeroelastic behavior at those conditions. Once the whole excitation test has been

completed, a lower altitude, keeping constant the dynamic pressure, is chosen to

repeat the process. The procedure is applied at the same dynamic pressure as

many times as the test engineer considers appropriate. When the free flutter

conditions are confirmed, the test aircraft is allowed to increase its dynamic

pressure, typically increasing Mach, and the process begins again. All the

collected data, frequencies and damping, are used to feed the flutter margin

equation proposed in this paper.

ETSI AERONÁUTICOS


40

2. Theory

The aeroelastic system is modeled in Matlab/Simulink as an airfoil with two

degrees of freedom and freeplay permitted in the plunging motion. No

structural damping is considered. In that case, the equations are:

LNyKmrNym y −=⋅++⋅ )(''')'( α (2.1)

MKINymr =⋅++⋅ αα α''')'( (2.2)

Where the double dot represents the second time derivative and (Ny)

corresponds to the nonlinear function (freeplay) of the plunge motion. The

aerodynamic lift and moment are modeled by the unsteady aerodynamic theory

of Theodorsen [7].

]')21('[2)'''''(2 ααπρααπρ abVyVCbbaVybL −⋅++⋅+−+⋅= (2.3)

]')21('[)2

1(2]'')81(')2

1(''[ 223 ααπρααπρ abVyaVCbbaVaaybM −⋅++⋅++−+−+−⋅−= (2.4)

Liu and Wong [8] have extensively investigated the behaviour of the above

system using the point-transformation method. That method is capable of

detecting any type of steady state and chaotic motions. Different LCOs with the

same system can be achieved with different initial conditions, usually velocity.

However, determining the flutter boundary in flight test can not deal with initial

conditions. That boundary, given for flying safe, must only depend on the

aircraft (external configuration), the velocity, the speed and the load factor. So,

the analysis of the equations is made with the following assumptions:

- Only initial condition in plunge velocity is considered.

ETSI AERONÁUTICOS


41

- The Theodorsen function has been replaced by the Wagner function

in the time domain. This hypothesis is only valid for low values of the

reduced frequency (high speed and/or low characteristic modes

frequency).

- a = 1/2

- Kα >> Kh

- Freeplay in plunge motion is permitted.

Consequently, the simplified equations of motion are:

⎭⎬⎫

⎩⎨⎧

=⎭⎬⎫

⎩⎨⎧

⎥⎦

⎥⎢⎣

⎢

−−

+⎭⎬⎫

⎩⎨⎧

⎥⎦

⎤⎢⎣

⎡−

⎭⎬⎫

⎩⎨⎧

⎥⎦

⎤⎢⎣

⎡00

202

''

002

''''

2

22

απρπρ

απρπρ

α α

NybCVK

bCVKyVbVbCNyImr

mrm y (2.5)

Translating the equations into a Matlab/Simulink Model:

z

1

z

1

T

Y

Aerodinamics

Bending FreePlay Model

K*u

T_sim

K*u

T_sim

Clock

Figure 2. 2D aeroelastic Matlab/Simulink model with freeplay in the plunge motion

Several simulations have been performed for different characteristics and

conditions. In particular, the freeplay influence on the stability of the system has

been analyzed when a plunge velocity is injected to the system. Both cases,

stable and unstable preliminary no freeplay conditions are shown.

ETSI AERONÁUTICOS


42

Figures 3 through 5 show the response to an impulse of a 2-D linear unstable

system when freeplay is present. Figures 6 through 8 show the response to an

impulse of a 2-D linear stable system when freeplay is present. In both cases, no

freeplay, weak freeplay and large freeplay are considered.

Figure 3. Preliminary unstable conditions: Plunge and pitch evolution in time with no freeplay

allowed. No freeplay allowed.

Figure 4. Preliminary unstable conditions: Plunge and pitch evolution in time with 0.002

freeplay allowed. Non dimensional freeplay interval: [+0.001 -0.001].

Figure 5. Preliminary stable conditions: Plunge and pitch evolution in time with 0.14

freeplay allowed. Non dimensional freeplay interval: [+0.070 -0.070].

ETSI AERONÁUTICOS


43

Figure 6. Preliminary stable conditions: Plunge and pitch evolution in time with no freeplay

allowed

Figure 7. Preliminary stable conditions: Plunge and pitch evolution in time with 0.002 freeplay

allowed. - Non dimensional freeplay interval: [+0.001 -0.001]

Figure 8. Preliminary stable conditions: Plunge and pitch evolution in time with 0.14 freeplay

allowed. Non dimensional freeplay interval: [+0.070 -0.070].

From the above figures, and within the assumptions made, some conclusions

can be addressed:

A system instability can be hidden behind a freeplay. As seen in the

previous figures, an unstable condition can arise as a LCO if light freeplay is

present. If freeplay grows, a new unstable condition can be brought back.

ETSI AERONÁUTICOS


44

LCOs can be meanly identified in the torsion frequency, although the

coalescence of critical modes persists.

If the stability of the system, without freeplay, is assured up to a value of

dynamic pressure, that stability can be confirm even with light freeplay

present.

The above conclusions permit a revision of the flutter margin method in order

to evaluate the influence of the freeplay in the determination of the flutter

boundary of an aircraft. In the following paragraphs, that revision is shown.

6.1. 3. Flutter margin

The basic idea behind the proposed concepts of the flutter margin is based on

the above two-degree-of-freedom analysis. This approach has been widely used

in the determination of the stability boundaries of several configurations of

combat aircrafts such as the F-18. In that particular case, the aeroelastic

instabilities are associated with the coupling of two main structural modes: One

bending mode and one torsion mode, whose characteristics depend on the

external configurations. Stating that the flutter is driven by those main modes,

and designating the four roots of the characteristic equation by s1,2 = β ± jω1 and

s3,4 = β ± jω2.

where the ω ’s represent the modes frequencies and the β ’s represent the

negative of the decay rates. The above solutions are introduced into the flight

flutter margin expression ([4], page 193) yielding (3.1):

22 2 22 2 2 2 2 2 2 22 1 2 1 2 1 2 1 2 1 2 1 2 1

1 21 2

4 2 22 2 2 2 2 2

F ω ω β β ω ω β β β β ω ω β ββ ββ β

⎡ ⎤ ⎡ ⎤⎡ ⎤ ⎛ ⎞⎛ ⎞ ⎛ ⎞ ⎛ ⎞ ⎛ ⎞ ⎛ ⎞ ⎛ ⎞− − + + − − += + + + − +⎢ ⎥ ⎢ ⎥⎢ ⎥ ⎜ ⎟⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟+⎢ ⎥ ⎢ ⎥⎝ ⎠ ⎝ ⎠ ⎝ ⎠ ⎝ ⎠ ⎝ ⎠ ⎝ ⎠⎝ ⎠⎣ ⎦ ⎣ ⎦ ⎣ ⎦

(3.1)

ETSI AERONÁUTICOS


45

In order to take into account non-linearities and re-define the flutter margin,

the following assumptions are made:

- Freeplay non-linearity affecting only the bending mode.

- Flutter conditions identified by coalescence of both modes (bending and

torsion).

- Zero damping at flutter conditions.

- Combinations of system frequencies prone to LCO correspond to a

minimum of the flutter margin equation.

Considering the oscillatory motion of the LCO, the bending non-linearity is

modeled using a generalized function introduced in the two-mode system

rearranged as a feedback system.

So, the transfer function in open loop for a one-dimension system is:

(3.2)

Converting the above function into an equivalent feedback system,

222 s2s1G

β+ω+β+=ω±β= js 2,1

G Input Output

H Input Output

G1GH−

=

ETSI AERONÁUTICOS


46

Figure 9. Conversion from an open-loop function to an equivalent closed-loop one

Introducing the generalized function N and getting back the transfer function

GNon-Linear, the following expression is obtained:

(3.3)

Several generalized functions have been proposed in the literature ([5], [9]) in

order to model the freeplay. In our case, where the physical phenomenon comes

along like an oscillatory motion, N will be a constant depending of the freeplay

(h) and the initial conditions (plunging velocity, vo). That constant is:

(3.4)

Replacing the transfer function G into GNon_Linear and re-arranging,

(3.5)

So, the characteristic equation for a two-degree of freedom system (bending

with weak freeplay and torsion) at flutter or LCO conditions is:

(3.6)

Considering low damping for both modes, the linear Flutter Margin and the

Flutter Margin derived from the above equation are:

22 22 1

LinearF2

ω ω⎛ ⎞− ⋅= ⎜ ⎟

⎝ ⎠ (3.7)

G)1N(1GNG LinearNon ⋅−+

⋅=−

,41πα dN −= od vh /)sin( ωα =

1Ns2sNG

222Linear_Non −+β+ω+β+=

( ) 02s42s 22

222

22

21

211

21 =β+ω+β+⋅⎟

⎠⎞

⎜⎝⎛

πα

−β+ω+β+

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222 22 1

Freeplay_Bending

1F

2

dαω ω π⎛ ⎞⎛ ⎞− ⋅ −⎜ ⎟⎜ ⎟⎝ ⎠⎜ ⎟=⎜ ⎟⎜ ⎟⎝ ⎠

(3.8)

This equation (3.8) considers a new parameter (αd) in the experimental flutter

onset speed estimation. It implies that the fitting of the real data with the model

will need to be done in a 3-D variable space thus increasing the computation

cost. However, two main advantages are obtained with respect the standard

generalized function: Non-linearities are taken into account (parameter αd) and

a conservative approach is implemented. Comparing both expressions for a

parameter freeplay αd of 0.08 yields to:

Figure 10. Flutter margin: Comparison between linear and non linear behavior

Basic on the Fig 10 graphs, two main considerations were addressed:

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48

- The linear Flutter Margin predicts instabilities when both frequencies

merge. In case of freeplay in the bending mode, LCOs can arise with

different combinations of frequencies.

- The freeplay and the initial conditions play an important role in the

frequencies involved in the oscillatory phenomena anticipating

dramatic changes in the predicted flutter speed. That influence was

described theoretically by Brase [10], finding divergent pitch

oscillations when torsion freeplay was present.

6.2. 4. Experimental Results and General Conclusions

All of the above considerations were checked during in-flight flutter testing of

heavy external stores configurations on an EF-18 aircraft specifically

instrumented to perform flutter testing. Specific Flight Control Computers were

used to command in flight pre-programmed deflection profiles to the ailerons.

Those profiles consisted on dwells and sweeps at different frequencies and

amplitudes.

Several flight conditions (altitude and velocity) were flown and the stability of

each configuration was investigated in real time by means of the structure

damping, the modal frequencies, the flutter margin and a fixed freeplay between

the store and the rack/launcher (5 millimeters). All flights were monitored and

conducted by Test Engineers from a Ground Station linked in real time with the

test aircraft. Once the test conditions (altitude and velocity) were reached, the

different excitation programs (dwells and sweeps) were sequentially launched to

vibrate the aircraft in flight. The characteristic modes (bending and torsion)

were identified for every test condition and, in order to analyze the stability

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49

boundaries, classical and revised Flutter Margin calculations were made at the

end of every excitation round. Table 1 and Figure 11 present the results at 15 and

10 KFt as function of the freeplay and speed, non dimensionalized with

maximum estimated linear onset flutter speed.

Table1. Experimental results for two modes (bending-torsion) tracking at 15 and 10 KFt

Altitude (KFt)

Frequency (Hz)

[Bending]

Frequency (Hz)

[Torsion]

Adimens. Velocity [Linear]

Linear flutter margin

parameter

Adimens. Velocity

[Non-Linear]

Non-linear flutter margin

parameter (maximum

allowed freeplay)

15 4.7 8.9 0.79 980 0.74 1150 4.8 8.7 0.89 720 0.84 1040 5.6 8.6 0.94 450 0.87 840

10 5 8.6 0.83 940 0.80 1260

5.1 8.3 0.94 420 0.91 735 5.3 7.5 0.97 160 0.95 380

Figure 11. Flutter margin: Experimental results comparing linear and non linear behavior

From the results shown above, the following considerations were addressed:

Flutter Margin [H = 15 KFt / 4950 mts]

0

200

400

600

800

1000

1200

0,4 0,6 0,8 1 1,2

FlutterMarginFlutterMargin_Low FreeplayFlutterMargin_MediumFreeplayFlutterMargin_HighFreeplaySecond order polinomicsSecond order polinomics (Max. Freeplay)

V_Equivalent Predicted Max. Freeplay

V_Equivalent Predicted

Flutter Margin [H = 10 KFt / 3300 mts]

0

200

400

600

800

1000

1200

0,4 0,6 0,8 1 1,2

FlutterMarginFlutterMargin_Low FreeplayFlutterMargin_MediumFreeplayFlutterMargin_HighFreeplaySecond order polinomicsSecond order polinomics (Max. Freeplay)

V_Equivalent Predicted Max. Freeplay

V_Equivalent Predicted

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No LCO due to store/pylon and wing freeplay was identified in the EF-18

with heavy stores under wing. Therefore, the extrapolation made using

the revised Flutter Margin Method indicated that no LCO conditions

would be fulfilled at airspeeds below the Flutter Onset (no curves

crossing).

Moderate freeplay between the store/pylon and the wing (5 mm) made

the predicted Flutter Onset speed higher. However, from a practical point

of view, particular care should be taken when determining the carriage

envelope limits. In combat aircrafts, freeplays are not welcome and are

usually eliminated to avoid structural deterioration and flying qualities

degradation. In consequence, to provide a safe carriage envelope, before

each flight involving external stores, the aircraft should be carefully

revised to fix possible freeplays.

The freeplay used in the present tests (5 millimeters) was low enough to

minimize the influence of the initial conditions. In addition, the energy

transmitted to the aircraft by the excitation system via the ailerons was

high enough to have the freeplay present.

Although future refinements are to be expected, general conclusions can be

addressed from this preliminary approach:

A system instability can be hidden behind a freeplay. LCOs generated by

means of freeplay can become divergent oscillations if that non-linearity

is corrected.

Initial conditions play a key role when non-linearities are present.

However, in flight testing, the stability boundaries must not depend on

initial conditions. That is why LCOs must be identified. In this particular

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case, with bending freeplay (typically, pylon-wing freeplay or wing fold

freeplay), the flutter margin and torsion frequency monitoring, as

indicated in Reference [11], can be used as indicators of LCOs.

References

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Aircraft/Stores Compatibility Symposium, Fort Walton Beach, Florida,

November 1969.

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Testing Research at NASA Dryden’. NASA Technical Memorandum 4792,

1997.

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Robust Flutter Margins’, Journal of Aircraft, Vol. 37, Nº 6, November-

December 2000.

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Flight Flutter Testing at Subcritical Speeds’. McDonnell Aircraft

Corporation, St. Louis (Missouri). Journal of Aircraft, July-August 1964.

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1992. Ed. McGraw-Hill Inc.

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Company, Saint Louis (Missouri), AIAA 2003-1424.

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Mechanism of Flutter’, NACA Report 496, 1935. Hampton, Virginia.

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[8] L. Liu, Y. S. Wong, ‘Non-Linear Aeroelastic Analysis using the Point-

Transformation Method. Part 1: Freeplay model’, Journal of Sound and

Vibration, Vol. 253, Pages 447-469.

[9] R. R. Rankine, ‘An Evaluation of Selected Describing Functions of

Control System NonLinearities’, M.Sc. Thesis, Air Force Institute of

Technology, Dayton, Ohio, 1964.

[10] L. O. Brase, W. Eversman, ‘Application of Transient Aerodynamic to the

Structural NonLinear Flutter Problem’, Journal of Aircraft, Vol. 25, Nº 11,

1988.

[11] MIL-A-8870. Military Specification: Airplane Strength and Rigidity

Vibration, Flutter and Divergence. 20 May 1987.

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