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Idealización de estructuras

Introducción

• En el curso de resistencia de materiales,

se trabajó con secciones estructurales

relativamente simples las cuales, en la

practica, podrían formarse a partir de

láminas o por el proceso de extrusión (no

hay cambios en la sección transversal).

Introducción

• Mientras estas secciones existen como

miembros estructurales, estas son

frecuentemente usadas para dar rigidez a

formas estructurales más complejas como

fuselajes, alas y estabilizadores.

• Las alas de las aeronaves están construidas por

varias compartimentos de celda.

Introducción

• Así, la sección de un ala con dos spar (vigas principales)

podría tomar la siguiente forma:

Dar rigidez a la

piel.

Secciones angulares forman las pestañas

de los spar.

Cell

comparment

Cada sección del ala es

cubierta por una piel

delgada.

La piel es

reforzada por los

stringer Z, C o T.

Introducción

Porque?

• El análisis de una sección de este tipo sería

complicado y tedioso a menos que se hagan

algunas suposiciones y simplificaciones.

• Generalmente, el número y la naturaleza de

estas suposiciones y simplificaciones

determinan la precisión y grado de complejidad

del análisis; cuanto más complejo el análisis,

mayor precisión se obtiene.

Porque?

• Estimaciones de las cargas.

• Estimaciones de las resistencias de los

materiales que componen la estructura.

• En algunos casos los puntos de aplicación

de las cargas deben también estimarse.

Introducción

Grado de simplificación

Situación particular de

aplicación

Que debemos

tener en cuenta

Rapidez

Simplicidad

Extrema precisión

Introducción

Secciones

estructurales complejas

Idealización

Modelos mecánicos

Simplicidad

en el análisis

Comportamiento, bajo ciertas condiciones

de carga, de la misma forma o de una

forma muy cercana a la estructura real.

Se requieren diferentes modelos de una

misma estructura para simular el

comportamiento real bajo diferentes

sistemas de carga.

Principio

Stringers y las pestañas de los spar

tienen secciones transversales

pequeñas Comparadas

Sección

transversal

completa.

Por lo tanto, la variación en el esfuerzo a lo largo de la sección

transversal de un stringer debido a, digamos, la flexión del ala

sería pequeña.

Principio

• Adicionalmente, la diferencia entre las

distancias de los centroides de los stringer y la

piel adyacente del eje de la sección del ala es

pequeña.

• Sería razonable asumir, por lo tanto, que el

esfuerzo directo es constante sobre el área

transversal de los stringers.

• Revestimiento:

– El revestimiento solo soportará esfuerzos

cortantes.

– El esfuerzo axial que soportará el

revestimiento será tenido en cuenta

añadiendo áreas a los larguerillos.

– El esfuerzo cortante se distribuye

uniformemente a través del espesor del

recubrimiento.

Principio

• Entonces se reemplazan los stringers y las pestañas de

los spar por concentraciones de área, conocidas como

booms, sobre las cuales el esfuerzo directo es

constante y están localizados a lo largo de la línea

media de la piel como muestra la siguiente figura.

Principio

• En un ala o fuse-laje de seccióntransversal co-mo la mostradainicialmente, los stringers y las pestañas de los spar resisten la mayoría de los esfuerzos directos mientras que la piel es más efectiva resistiendo esfuerzos cortantes, aunque también resiste una parte de los esfuerzos directos.

Principio

• La idealización

mostrada en la

figura, puede

ser llevada más allá

asumiendo que todos los esfuerzos

directos son resistidos por los booms

mientras que la piel sólo es efectiva

resistiendo esfuerzos cortantes.

1. The longitudinal stiffeners and spar flanges carry only

axial stresses.

2. The web, skin and spars webs carry only shear

stresses.

3. The axial stress is constant over the cross section of

each longitudinal stiffener.

4. The shearing stress is uniform through the thickness of

the webs.

5. Transverse frames and ribs are rigid within their own

planes and have no rigidity normal to their plane.

Take into account this points to understand the

idealization principle.

Summary

The direct stresses are

calculated at the centroid of

these booms and are

assumed to have constant

stress through their cross-

section.

The stiffeners are represented by circles

called booms, which have a concentrated

mass in the plane of the skin.

Shear stresses are

assumed uniform through

the thickness of the skins

and webs.

How is the idealization for the next structure

• Must be considered, force (stress) equilibrium and compatibility

(displacement).

IDEALISED SHEET TO SUPPORT

TENSILE LOAD P

tD = Actual skin thickness t, if skin resists totally

direct load

tD = Percentage of t, if partially resists applied

load

tD = 0 if skin only able to resist shear load

Idealización de un panel

• Suponga que se desea idealizar el panel que se muestra

en la siguiente figura a la izquierda en una combinación

de booms que resistan esfuerzos directos y piel que

resista esfuerzos cortantes solamente como se muestra

en el lado derecho de la figura.


Espesor de la piel que resiste

esfuerzos directos 𝑡𝐷 es igual al

espesor real 𝑡. Figura idealizada, 𝑡𝐷 = 0.

Suponer que la distribución de esfuerzos en el panel

real varía desde un valor desconocido 𝜎1 a un valor

desconocido 𝜎2.


• Claramente, el análisis debería predecir los

valores extremos 𝜎1 y 𝜎2, mas la distribución de

esfuerzos directos se pierde.

• Dado que la carga que produce los esfuerzos

directos en la estructura real y en la idealizada

debe ser la misma, se calculan los momentos

para obtener expresiones para las áreas de los

booms 𝐵1 y 𝐵2.


• Obteniendo las cargas a lo largo del eje z:

• Tomando momentos alrededor de un plano neutral se obtiene:


• De donde se obtiene:

𝐵1 =𝑡𝐷𝑏

62 +𝜎2𝜎1

• De forma similar se obtiene para 𝐵2

𝐵2 =𝑡𝐷𝑏

62 +𝜎1𝜎2

PARA LA CLASE DEL MIERCOLES EN PAREJAS CON LAS

ECUACIONES OBTENIDAS DEMOSTRAR QUE LAS SIGUIENTES

ECUACIONES SON VALIDAS.


• En estas ecuaciones, si no se conoce la relación de 𝜎1 y

𝜎2, puede asumirse. La distribución directa de esfuerzos

para este panel es causada por la combinación de carga

axial y momento flector.

• Para carga axial solamente, 𝜎1 𝜎2 = 1 y 𝐵1 = 𝐵2 = 𝑡𝐷𝑏 2; para momento flector solamente, 𝜎1 𝜎2 = −1 y

𝐵1 = 𝐵2 = 𝑡𝐷𝑏 6 . Por lo que se requieren diferentes

idealizaciones para la misma estructura para diferentes

condiciones de carga.


• Ejemplo: Parte de una sección de un ala tiene la forma

mostrada en la figura, en la cual, los spars están

conectados a la piel del ala mediante secciones

angulares de 300 mm² cada una. Idealice la sección en

un arreglo de booms que soporten esfuerzos directos y

de páneles que sólo soporten esfuerzos cortantes

apropiados para resistir

momentos flectores en un

plano vertical. Posicione

los booms en las uniones

piel/spars.


• Solución:

1. Como quedaría la sección idealizada?

2. En esta sección, por simetría, se tiene que 𝐵1 = 𝐵6,𝐵2 = 𝐵5 y 𝐵3 = 𝐵4.

3. Dado que se requiere que la sección resista momentos

flectores en un plano vertical, el esfuerzo directo en

cualquier sección del ala es directamente proporcional

a su distancia del eje horizontal de simetría.


• Además, la distribución del esfuerzo directo en

todos los paneles será lineal, por lo que las

ecuaciones vistas anteriormente pueden ser

empleadas. Adicionalmente, además de la

contribución de los paneles adyacentes, los

booms incluyen las pestañas de los “spars

flanges” existentes.


• Tenemos entonces:

𝐵1 = 300 +3 × 400

62 +𝜎6𝜎1+2 × 600

62 +𝜎2𝜎1

𝐵1 = 300 +3 × 400

62 − 1 +

2 × 600

62 +150

200

𝐵1 = 𝐵6 = 1050 𝑚𝑚2

Área del spar capContribución de área de las dos pieles

adyacentes

????


• Además se tiene:

𝐵2 = 2 × 300 +2 × 600

62 +𝜎1𝜎2+2.5 × 300

62 +𝜎5𝜎2+1.5 × 600

62 +𝜎3𝜎2

𝐵2 = 2 × 300 +2 × 600

62 +200

150+2.5 × 300

62 − 1 +

1.5 × 600

62 +100

150

𝐵2 = 𝐵5 = 1791.67 𝑚𝑚2

De acuerdo al análisis realizado para B1 en parejas

discuta y entregue las áreas de idealización B2 y B3.

????mm


• Finalmente se tiene:

𝐵3 = 300 +1.5 × 600

62 +𝜎2𝜎3+2 × 200

62 +𝜎4𝜎3

𝐵3 = 300 +1.5 × 600

62 +150

100+2 × 200

62 − 1

𝐵3 = 𝐵4 = 891.667 𝑚𝑚2

Efecto de la idealización en el análisis

de vigas de sección abierta y cerrada

• Generalmente, en cualquier idealización,diferentes condiciones de carga requierendiferentes idealizaciones de la mismaestructura.

• En el ejemplo anterior, la carga es aplicadaen un plano vertical. Sin embargo, si lacarga hubiese sido aplicada en un planohorizontal, la distribución de esfuerzos en lospaneles de la sección habría sido diferente,lo que hubiera conllevado a diferentesvalores de área para los booms.

Efecto de la idealización en el análisis

de vigas de sección abierta y cerrada

• Suponga que la sección de una viga

abierta o cerrada se somete a unas

cargas de flexión o cortante dadas y que

ya se realizó la idealización requerida. El

análisis de esas secciones usualmente

involucra la determinación de la posición

del eje neutro y el cálculo de las pro-

piedades de la sección.

• La posición del eje neutro se deriva de la

condición de que la carga resultante en la

sección transversal de la viga es cero, es

decir:

𝐴

𝜎𝑧 𝑑𝐴 = 0

Flexión de vigas de sección abierta

y cerrada

• La ecuación que se ha trabajado hasta el momento para

calcular el esfuerzo flector (𝜎 = 𝑀𝑐/𝐼) aplica para el

cálculo en secciones idealizadas.

• Las coordenadas (𝑥, 𝑦) de puntos en la sección

transversal son referidas a ejes que tienen su origen en

el centroide del área que soporta el esfuerzo directo.

Además, los momentos de inercia son calculados

solamente para el área que soporta los esfuerzos

directos.


y cerrada

• En el caso en que la sección transversal de la

viga haya sido idealizada completamente en

booms que soportan esfuerzos directos y

paneles que sólo soportan esfuerzos cortantes,

la distribución de esfuerzos directos consiste en

una serie de esfuerzos directos concentrados en

los centroides de las áreas boom.

Flexión de vigas de sección abierta y

cerrada

• Ejemplo: La sección del fuselaje mostrada en la figura

es sometida a un momento flector de 100 kN·m aplicado

en el plano vertical de simetría. Si la sección ha sido

completamente idealizada en una combi-

nación de booms que so-

portan esfuerzos directos

y paneles que sólo sopor-

tan esfuerzos cortantes,

determine el esfuerzo di-

recto sobre cada boom.

• La sección tiene un eje de simetría 𝐶𝑦 y soporta

un momento flector 𝑀𝑥 = 100 𝑘𝑁.

• Para calcular los esfuerzos producidos sobre

cada boom se puede aplicar la ecuación que ya

conocemos para esfuerzos flectores:

𝜎𝑧 =𝑀𝑥

𝐼𝑥𝑥𝑦

Consideraciones iniciales


y cerrada

• El origen de los ejes 𝐶𝑥𝑦 coincide con la

posición del centroide del área que soporta los

esfuerzos directos, en este caso, es el centroide

de las áreas boom.

• Para calcular los esfuerzos sobre cada área

boom, se requiere el momento de inercia de

cada área, para ello, se requiere saber la

posición del centroide del área que soporta los

esfuerzos directos.


cerrada

• Recordar que la posición del centroide

para áreas compuestas está dado por:

𝑥 = 𝑖=1𝑛 𝑥𝑖𝐴𝑖 𝑖=1𝑛 𝐴𝑖

𝑦 = 𝑖=1𝑛 𝑦𝑖𝐴𝑖 𝑖=1𝑛 𝐴𝑖

Calcular 𝑦

• Se tiene entonces:

6 × 640 + 6 × 600 + 2 × 620 + 2 × 850 𝑦= 640 × 1200 + 2 × 600 × 1140 + 2 × 600 × 960 + 2 × 600 × 768 + 2× 620 × 565 + 2 × 640 × 336 + 2 × 640 × 144 + 2 × 850 × 38

𝑦 = 540 𝑚𝑚


cerrada

• Para calcular el momento de área del área que

soporta los esfuerzos directos, se calcula la

siguiente tabla:


y cerrada

• De la columna 4 se calcula el momento de

inercia del área:

𝐼𝑥𝑥 =

𝑖=1

𝑛

∆𝐼𝑥𝑥𝑖 = 1855 × 106 𝑚𝑚4


cerrada

• Una vez se tiene el momento de área de la

sección, se calculan los esfuerzos por momento

flector:

𝜎𝑧 =𝑀𝑥

𝐼𝑥𝑥𝑦

• Idealize the box section shown in figure into an arrangement of

direct stress carrying booms positioned at the four corners and

panels which are assumed to carry only shear stresses. Determine

the boom areas.

1 2

34

50 x 38 x 8 mm

Quiz individual

• Determine la posición e del centro de cortante,

punto O, para el miembro de pared delgada que

tiene una ranura a lo ancho de uno de sus

lados.

Demuestre que:

I =10

3𝑎3𝑡

Considere que la abertura es muy pequeña, por lo

cual, puede considerar iguales la parte derecha e

izquierda.

Quiz individual

idealización estrcutural (1).pdf

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