estudio de series de potencia solucionario – guía … · 2018. 9. 11. · cálculo i integral...

Cálculo I Integral (MAT201), Secc.675 3er Trimestre, 2do Semestre 2015; 2doParcial – 7maGuíaEstudio Documento elaborado por: M.Sc. Ing. Julio César López Zerón CICH4363

SOLUCIONARIO – Guía Complementaria No.07: Estudio de Series de Potencia Página 1 de 25

7ma Guía de Estudio – 2do Parcial

Estudio de Series de Potencia SOLUCIONARIO – Guía Complementaria No.07

Comentarios Generales Ésta guía cumple única y exclusivamente la función de repaso o complemento de los temas que posiblemente serán evaluados en el segundo examen parcial, además, se establece que en ningún momento ésta guía de estudio pretende reemplazar el libro de texto y mucho menos, proporcionar un formato de los ejercicios que podrían ser evaluados en un examen; se hace ésta aclaración para evitar especulaciones y conjeturas desacertadas entre los estudiantes de ésta y las otras secciones de Cálculo I Integral, dado que ésta herramienta ha sido elaborada tomando como referencia diferentes textos de Cálculo y guías de universidades extranjeras, que a criterio del Catedrático (Autor), genera un valor agregado en el conocimiento de los futuros profesionales de la Ingeniería. Se le recuerda la importancia de trabajar con disciplina, perseverancia y honestidad cada ejercicio, dado que Ud. es el único responsable de su éxito o fracaso, el catedrático no es más que un facilitador del conocimiento, por lo tanto, ante cualquier inquietud no dude en consultarlo. Instrucciones Específicas: Para que el trabajo grupal sea aceptado y revisado por la totalidad del puntaje, el documento deberá cumplir las siguientes condiciones: a) Desarrollo en hojas blancas o rayadas (sin espiral) tamaño carta utilizando ambas caras de la

hoja. b) Formato de presentación conforme a lo estipulado en el silabo de curso (portada y todos los

demás elementos que apliquen según sea el caso). c) Los ejercicios deberán estar listados en el orden numérico correlativo de la guía. d) Todas las páginas que conformen el trabajo (excepto la portada) deberán estar etiquetadas con

su respectivo número de página en la esquina inferior derecha de las mismas y el formato será: “X de Y”, donde: X = página cualquiera; Y = número total de páginas que forman el trabajo.

e) Ser entregado en la fecha estipulada en el calendario del aula virtual. A.-) En los problemas del 1 al 28, determine el radio e intervalo de convergencia de las series planteadas

CC

n

1

n1nn

2n1n

n1nn

11n1n

nn

1n

n

0n

1nn

R;xI;Finalmente

Rxtodoparaconvergetotanlopor;103x21n

1lim3x2

1n3x2

lim3x3x2!n1n

!n3x3x22lim

!n3x2

!1n3x2

lima

alim

!n3x2

).1



0R;1I;Finalmente

1xdevaloreslostodosparadivergeserielatotanlopor;1x03

1x.realeslostodosincluyequefuncioneslasentrabajado

initoinfdeldiferenciaa,naturalesnúmeroslosaorestringidestáinifinitoelporqueseriesdecasoesteparadefinidaestáque,00operaciónlarealizarpoderresultadocomodenosque"x"devalorelbuscardebemos,porciónmultiplicaunatenemosquedado

31x

1n22lim3

1x1n

1n21n2lim

31x

31n1x1n22n2

lim

1x!n233!n1n

3!n1x1x!n21n22n2lim

3!n

1x!n2

3!1n

1x!1n2

lima

alim

3!n

1x!n2).2

CC

nnn

n1n

n1n

n

n

n

1n

1n

nn

1n

n

0nn

n

-----------------------------------------------------------------------------------------------------



1R;1x1I;Finalmente

121pcon,pserieunaesporquediverge;

n

1n

1n

1

1xcuando

alternasseriesdecriterio

porconvergen1

seriela

1ntodoparacumplesen

11n

1aa

0n

1lim

n1

limalim

alternaserien1

1xcuando

1x1

1x

x1x1n

nlimx

1nnx

limx1nnxx

lim

nx

1nx

lima

alim

nx

).3

CC

1n 21

1n1n

n

1n

n

n1n

n

n

nn

n

1n

n

nnn

1n

nn

1n

nn

1n

n

1n

n

-----------------------------------------------------------------------------------------------------



1R;1x1I;Finalmente


porconvergen1

seriela

1ntodoparacumplese1n

12n

1aa

01n

1lim

1n1

limalim

alternaserie1n

11n11

1xcuando

armónicaseriepordiverge;1n

11n

11n11

1n11

1xcuando

1x1

1x

x1x2n1n

limx2n1nx

limx2n

1nxxlim

1nx

11nx

lima

alim

1nx1

).4

CC

1n

n

n1n

n

n

nn

n

0n

n

0n

nn

0n0n

n

0n

n

0n

nn

nnn

1n

nn

1n

nn

1n

n

0n

nn

-----------------------------------------------------------------------------------------------------



1R;1x1I;Finalmente


porconvergen1

seriela

1ntodoparacumplesen1

1n

1aa

0n1

limn1

limalim

alternaserien1

n11

1xcuando

13pconeconvergentpserie;n1

n1

n11

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1x1

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nlimx

1n

xnlim

x1n

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nx

1n

x

lima

alim

n

x1).5

CC

1n

n

33n1n

3n3

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nn

n

1n3

1n

1n3

n1n

1n3

1n3

1n3

n1n

3

3

n3

3

nn3

31n

n

3

n

3

1n

nn

1n

n

1n3

n1n

-----------------------------------------------------------------------------------------------------



1R;1x1I;Finalmente

omintérésimondelcriteriopordivergente;nlimalim

n1n

1xcuando


pordivergen1

seriela

aa

nlim1nlimalim

alternaserie1n

1xcuando

1x1

1x

x1xn

1nlimx

n1n

limxxn

xx1nlim

xn

x1nlim

aa

lim

xn).6

CC

nn

n

1n1n

n

1n

n

n1n

n

n

nn

n

1n

n

nnn

1n

nn

1n

nn

1n

n

1n

n

-----------------------------------------------------------------------------------------------------

CC

nn

1n

nn

1n

nn

1n

n

0n

n

R;xI;Finalmente

Rxtodoparaconvergetotanlopor

100x1n

1limx

x!n1n

!nxxlim

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!1nx

lima

alim

!nx

).7



e

22e2e

R;2ex2eI;Finalmente

2ex2ee2xe

e2x1e

2x

e12x

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lim2x

e1ee

1nn

nlim

n

1nn

1

lim

n

11n

1n1

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n1

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n1

1nn

lnlim

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nlnnlim

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1nn

lim2x

1n

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2x!n1n1n

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n

2x!n

1n

2x!1n

lima

alim

n

2x!n).8

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n

n

11nn

lnnlim

2

2

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2

n2

nnn

n

1nn

lnnlimn

n

n

n

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n

nn1n

n1n

n

n

n

1n

1n

nn

1n

n

1nn

n

n

n

-----------------------------------------------------------------------------------------------------



2R;2x2IFinalmente

omintérésimondelcriterioelpordivergente;nlimn1limalim

n122n

1

omintérésimondelcriterioelpordivergente;nlimn1limalim

n12

21n1

22n

1

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2x

12x

12x

n1n

lim2x

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2xx1nlim

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2x1n

lima

alim

2

xn1).9

CC

2

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nn

n

1n

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2

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nn

n

1n

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nn2n

1nn

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n1n2

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n

n2

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nn

1n

n

1nn

n2n

-----------------------------------------------------------------------------------------------------



101R;10

1x101I;Finalmente

13pconeconvergentpserie;n

1

n10

110

n10

110

101xcuando


porconvergen1

seriela


1n

1aa

0n1

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alternaserien

1

n10

110

n10

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101xcuando

101x10

11x101

1x10

1x101x101n

nlimx10

1n

nlimx10

1n

xn10lim

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nxx1010lim

nx10

1n

x10

lima

alim

nx10

).10

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1n3

1n3

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nn

1n3

nn

1n

n

33n1n

3n3

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nn

n

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n

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n

nn

1n3

nn

3

n

3

3

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31n1n

n

3

nn

3

1n1n

nn

1n

n

1n3

nn

-----------------------------------------------------------------------------------------------------



21R;2

1x21I;Finalmente

141pcondivergentepserie;

n1

n1

n21

2

n2

12

21xcuando


porconvergen1

seriela

1ntodoparacumplesen

11n

1aa

0n

1lim

n1

limalim

alternaserien1

n21

2

n2

12

21xcuando

21x2

1

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1x21x21n

nlimx2

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limx21n

nx2lim

x21n

nxx22lim

nx2

1nx2

lima

alim

nx2

).11

CC

1n4

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n

1n4

n

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nn

1n4

n

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n

nn

n

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n

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n

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nn

44n

4

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n

4

nn

4

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nn

1n

n

1n4

nn

-----------------------------------------------------------------------------------------------------



5R;5x5I

15pserieporeconvergent;n1

n1

n55

alternaserieladepruebalaporeconvergent;n

1

n1

n551

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15x

1n

nlim

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lima

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1n5

1n5

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n

1n5

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5

n

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nn

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n

5

5

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5

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5n1n

n

5n

n

51n

1n

nn

1n

n

1n5n

n

-----------------------------------------------------------------------------------------------------



4R;4x4I;Finalmente

divergenteesnln

1totanlopor,2ntodoparacumplese

nln1

n1

.divarmónican1

conordinariancomparació;nln

1

nln4

41

nln4

41

4xcuando


porconvergenln1

seriela

1ntodoparacumplesenln

11nln

1aa

0nln

1lim

nln1

limalim

alternaserienln1

nln44

1

4xcuando

4x414x

1

14x

14x

1nlnnln

lim4x

1n

1nlim

1n1

n1

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nlnlim

1nlnnln

lim4x

1nln4nlnx

limx1nln44

nln4xxlim

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x

1nln4x

lima

alim

nln4x

1).13

CC

1n

1n1n1nn

n

1nn

nn

1n

n

n1n

n

n

nn

n

1n

n

1nn

nn

n

nnn

nnn1n

n1n

n

n

n

1n

1n

nn

1n

n

2nn

nn

-----------------------------------------------------------------------------------------------------



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2

n

2

2

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1n2

nn

1n

n

0n

n2n

R;xI;Finalmente


100x1n22n2

1limx

1n22n2x

limx!n21n22n2

!n2xxlim

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lima

alim

!n2x

1).14

-----------------------------------------------------------------------------------------------------



1R;3x1I;Finalmente

econvergentes1n

1totanlopor,0ntodoparacumplese

n1

1n1

12peconvergentn

1pserieconncomparació;

1n

1

1n

1

1n

31

3xcuando


porconverge1n

1seriela


1

11n

1aa

01n

1lim

1n

1limalim

alternaserie1n

11n

21

1xcuando

3x112x1

12x

12x12x2n2n

1nlim2x

11n

1n2xlim

2x11n

1n2x2xlim

1n

2x

11n

2x

lima

alim

1n2x

).15

CC

0n222

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0n2

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n

0n2

n

0n2

n

22n1n

2n2

n

nn

n

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n

0n2

n

2

2

n

2

2

nn2

21n

n

2

n

2

1n

nn

1n

n

0n2

n

-----------------------------------------------------------------------------------------------------



1R;4x2I;Finalmente

armónicaserieunaconlímiteelenncomparació

pordiverge1n2

1totanlopor,02

11n2

nlim

n1

1n21

limba

lim

definiciónpordivergenten1

armónicaconlímiteelenncomparació1n2

1

1n21

1n21

1n211

1n232

1

2xcuando


porconverge1n2

1seriela

0ntodoparacumplese1n2

111n2

1aa

01n2

1lim

1n21

limalim

alternaserie1n2

11n211

1n234

1

4xcuando

4x213x1

13x

13x13x3n21n2

lim3x

3n21n23x

lim3x3n2

1n23x3xlim

1n23x

11n23x

lima

alim

1n23x

1).16

CC

0nnnn

nn

0n0n

0n0n

n

0n

nn

0n

nn

0n

n

n1n

n

n

nn

n

0n

n

0n

nn

0n

nn

n

nn

1n

nn

1n

nn

1n

n

0n

nn

-----------------------------------------------------------------------------------------------------



31R;3

11x313I;Finalmente

121pporquedivergepserielatotanlopor;

n

1n

1

n1

n1

n3

13

n3

13

n

43113

311xcuando


porconvergen1

seriela

1ntodoparacumplesen

11n

1aa

0n

1lim

n1

limalim

alternaserien1

n3

13

n3

13

n

43133

313xcuando

311x3

133

14x3114x31

14x3

14x314x31n

nlim4x3

1nn

lim4x3

1nn4x3

lim4x31n

n4x4x33lim

n4x3

1n4x3

lima

alim

n4x3

).17

CC

1n 21

1n

1n1n

n

1n

n

1n

nn

1n

nn

1n

n

n1n

n

n

nn

n

1n

n

1n

n

1n

nn

1n

nn

nn

nnn

1n1n

nnn

1n1n

nn

1n

n

1n

nn

-----------------------------------------------------------------------------------------------------



4R;3x5I;Finalmente

omintérésimondelcriterioelpordivergentotanlopor;nlimalim

nn1n44

44

n13

4

n

3xcuando


pordivergen1seriela

aa

nlimn1limalim

alternaserien1n44

44

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4

n

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1x1

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1x

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lim1xn44

41x1x1nlim

4

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4

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lima

alim

1x4

n).18

CC

1nnn

n

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n

1n

n

1n

nn

1n

nn

1n

n

n1n

n

n

nn

n

1n

n

1n

n

1n

nn

1n

nn

n

nn1n

n1n

n

n

n

1n

1n

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1n

n

1n

nn

-----------------------------------------------------------------------------------------------------



CC

n

n

n

n

11nn

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2

2

n2

2

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nnn

n

1nn

lnnlimn

n

n

n

nnn

n

nn

n

n

n

n

nn1n

n1n

n

n

n

1n

1n

nn

1n

n

1nn

n

R;xI;Finalmente


100e12x

1n1

lim1n

nlim2x

01n

1lim

e1ee

1nn

nlim

n

1nn

1

lim

n

11n

1n1

limH'L

n1

1nlnnlnlim

00

n1

1nn

lnlim

01n

nlnnlim

e1n

nlim

1n1

lim1n

nlim2x

1n1

lim1n

nlim2x

1n1n

nlim2x

1n1n

n2xlim

2x1n1n

n2x2xlim

n

2x

1n

2x

lima

alim

n

2x).19

n

n

-----------------------------------------------------------------------------------------------------



1R;35x3

1I;Finalmente

armónicaserieunaesqueyadefiniciónpordiverge

n1

n1

1n1

33

3n

3

3n

2353

35xcuando


porconvergen1

1seriela


1n1

aa

0n1

limn1

1limalim

alternaserien1

1n1

33

3n

3

3n

2313

31xcuando

35x3

15x3132x3313

2x31

13

2x3

13

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32x3

1nn

lim3

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31nn2x3

lim2x3331n

3n2x32x3lim

3n

2x3

31n

2x3

lima

alim

3n

2x3).20

CC

1n1n

n

1n

n

1nn

n

1nn

n

1n

n

n1n

n

n

nn

n

1n

n

1n

n

1nn

n

1nn

n

n

nn1n

n1n

n

n

n

1n

1n

nn

1n

n

1nn

n

-----------------------------------------------------------------------------------------------------



bR;abxbaI;Finalmente

omintérésimondelcriteriopordiverge;nlimalim

nn1nbb

nb

baab

b

n

abxcuando


pordivergen1seriela

aa

nlimn1limalim

alternaserien1nbb

nb

baba

b

n

baxcuando

abxbabaxb1b

ax1

1b

ax

1b

ax1

bax

n1n

limb

ax

nbax1n

limaxnbb

baxax1nlim

b

axn

b

ax1n

lima

alim

0b;axb

n).21

CC

nn

n

1n1n

n

1n

n

1nn

n

1n

nn

1n

n

n1n

n

n

nn

n

1n

n

1n

n

1nn

n

1n

nn

n

nn1n

n1n

n

n

n

1n

1n

nn

1n

n

1n

nn

-----------------------------------------------------------------------------------------------------



1R;5x3I;Finalmente

econvergentpserieunaconlímiteelenncomparació

porconverge1n

ntotanlopor,01

1n

nlim

n

11n

n

limba

lim

12pporqueeconvergentn

1pserieconlímiteelenncomparació

1n

n

1n

n

1n

1n

1n

45n

5xcuando


porconverge1n

1nseriela


n

11n

1naa

01n

nlim

1n

1nlimalim

alternaserie1n

1n

1n

43n

3xcuando

5x314x1

14x114x

11n

1nlim

n1

1lim4x11n

1nlim

n1n

lim4xn11n

1n1nlim4x

n11n

1n4x1nlim

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1n3

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--------------------------------------------------------------------------------------------------



0R;21I;Finalmente

21xdevaloreslostodosparadivergeserielatotanlopor

21x

01x2.realeslostodosincluyequefuncioneslasentrabajado

initoinfdeldiferenciaa,naturalesnúmeroslosaorestringidestáinifinitoelporqueseriesdecasoesteparadefinidaestáque00operaciónlarealizarpoderresultadocomodenosque"x"devalorelbuscardebemos,porciónmultiplicaunatenemosquedado

1x21nlim1x2

1x21nlim1x2!n

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lim

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R;R,I

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lima

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).24

-----------------------------------------------------------------------------------------------------



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1x411x41n

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n1x41x4lim

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n

-----------------------------------------------------------------------------------------------------



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1xln

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1lim

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1

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xlnx

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1

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1

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1x11x1xIcquetenemoscocientedelcriterioelPor

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1nlim1

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lim1

límitesegundoelenLHopitaldereglaaplicando

1nlnnln

lim1n

nlim

1nlnnln

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nlim

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1n2...531a

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--------------------------------------------------------------------------------------------------

22

22R;R2,2I

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xcocientedelcriterioelPor/R

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lim

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