geometria 2do secc

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9 10

COLEGIO PRE UNIVERSITARIO Segundo Año COLEGIO PRE UNIVERSITARIO Segundo Año

TEMA: ELEMENTOS DE LA GEOMETRÍA - SEGMENTOS

ELEMENTOS DE LA GEOMETRÍAEl Plano

Imagina una hoja de papel que se extiende indefinidamente en todas sus direcciones. Esto te dará una idea de Plano.

El plano no tiene límite y solamente podemos representar una parte de él.

La RectaEl borde de una regla, el pliegue de una hoja doblada, etc., nos

dan una idea aproximada de lo que es una Recta.La recta es una línea que se extiende indefinidamente en ambos

sentidos. Se designa a veces por dos letras mayúsculas o por una sola letra (mayúscula o minúscula).

La recta es un sub conjunto de plano, esto quiere decir que el plano contiene infinitas rectas.

Notación:

: Se lee “recta AB” : Se lee “recta L” : Se lee recta “m”

El PuntoEn el plano P se han trazado las rectas m y n las cuales se cortan

en el punto “A”, o sea la intersección de las dos rectas en el punto “A”. Luego:

Semirrecta

. .

El punto A divide a la recta en dos partes, cada parte recibe el nombre de semirrecta.

Rayo

: Rayo de Origen “O” y que pasa por “B”: Rayo de Origen “O” y que pasa por “A”

A la unión de una semirrecta con un punto frontera se llama rayo. El punto donde se inicia el rayo se llama origen.Segmento

: Se lee “Segmento AB”: Se lee “Segmento BA”

Geometría Geometría


La parte de una recta comprendida entre dos puntos, incluyendo a dichos puntos se llama segmento.

Un segmento se denota por letras mayúsculas que corresponden a sus extremos, con una rayita superior. El segmento se diferencia de la recta, el rayo y la semirrecta, por tener longitud.

SEGMENTOSMedición o Comparación de Segmentos

La longitud de un segmento es la distancia que hay entre los dos puntos de cada uno de sus extremos.

Ejemplo:Al medir el segmento con una regla graduada en centímetros

comprobamos que su medida es de 4 cm.

PQ = 4 cm o m( ) = 4 cm

Operaciones con SegmentosLas operaciones se realizan con los números que indican las

longitudes.Ejemplo:

Con respecto a la figura que se muestra, realizar las operaciones siguientes:

1) AM + MN – NB

Rpta. _ _ _ _ _ _

2) 2AM + 3MN

Rpta. _ _ _ _ _ _

3) AM . MN + MN . NB

Rpta. _ _ _ _ _ _

4)

Rpta. _ _ _ _ _ _

5) NB2 – AM2

Rpta. _ _ _ _ _ _

PROBLEMAS PARA LA CLASE

1. Dados los puntos colineales P, Q, R, S tal que PR = 18m,QS = 16m, PS = 20m.Hallar QR

Rpta.

2. Sobre una recta, se ubican los puntos consecutivos A, B, C, D, E de manera que:

4. Si A, B, C, y D son puntos consecutivos sobre una recta tal que AC = 4, BD = 7.Hallar la distancia entre los

puntos medios de y .

Rpta.

5. Los puntos colineales A, M, I, cumplen con la condición


11 12


Calcular BC, si AE = 28

Rpta.

3. P, Q, R, T, son puntos colineales tales que QR = 3,PT = 5.Hallar PQ si:

Rpta.

AI + MI = AM

Hallar

Rpta.

6. Dado los puntos colineales A, B, C, D y E que verificanAB = BC/4; AC = AD/2,DE = AE/3.Hallar BD, si CD = 5

Rpta.

7. Sobre una recta se ubican los puntos consecutivos A, B, C, D tales que “B” es punto medio de

.Calcular “BD” sabiendo que:AD + CD = 18

Rpta.

8. Sobre una recta, se ubican los puntos consecutivos P, Q, R, S, tal que “Q” es punto medio de

.

10. Sobre una recta se

ubican los puntos

consecutivos A, B y C, tal

que BC = 2AB y AC = 6.

Calcular BC

Rpta.

11. Hallar la distancia de

“A” al punto medio de

Calcular “BD” sabiendo que:

PS + RS = 24

Rpta.

9. Sobre una recta se tiene los puntos consecutivos A, B, M, C donde M es punto

medio de , sabiendo que BC – AB = 24.Calcular “BM”

Rpta.

Rpta.

12. Hallar “x” si EG = 24

Rpta.

13. Hallar “x”, si AB + AD = 40

Rpta.

14. Hallar MN, si AC + BD = 52

Rpta.

15. Si “M” y “N” son puntos medios de y Hallar AC si NC = 48

Rpta.


13

14


PROBLEMAS PARA LA CASA

1. Dados los puntos colineales P Q, R, S, tal que PR = 24,QS = 36, PS = 50.Hallar QR

A) B) C)D) E)

2. Sobre una recta se ubican los puntos consecutivos A, B, C, D, E de manera que

Calcular CD, si AE = 72

4. Si A, B, C y D son puntos consecutivos sobre una recta tal que AC = 6, BD = 8.Hallar la distancia entre los puntos medios de y

A) B) C)D) E)

5. Los puntos colineales A, M, I, cumplen con la condición:

AI + MI = AM

Hallar

A) B) C)D) E)

3. P, Q, R, T, son puntos colineales tales que QR = 4,PT = 8

Hallar PQ, si

A) B) C)D) E)

A) B) C)

D)E)

DPTO. DE PUBLICACIONES

“Manuel Scorza”

V.L.E.B.

6. Dados los puntos colineales A, B, C, D y E, que verifican:

, ,

Hallar BD, si CD = 24

A) B) C)D) E)

7. Sobre una recta se toman los puntos consecutivos A, B, C, D tales que “B” es punto medio de

.Calcular BD, sabiendo queAD + CD = 24

9. Sobre una recta se ubican los puntos consecutivos A, B, y C tal que BC = AB y AC = 9.Calcular BC

A) B) C)D) E)

10. Hallar la distancia de “A” al punto medio de CD

A) B) C)D) E)


15 16


A) B) C)D) E)

8. Sobre una recta se ubican los puntos consecutivos, A, B, M, C, donde M es punto medio de

, sabiendo que BC – AB = 124.Calcular BM

A) B) C)D) E)


“Manuel Scorza”

V.L.E.B.

CLAVES

1. A

2. E

3. C

4. C

5. E

6. D

7. C

8. B

9. D

10. A

TEMA: ÁNGULOS

Observa como en cada momento las manecillas del reloj forman un ángulo.

DEFINICIÓNÁngulo es la unión de dos rayos que tienen un origen común.

ELEMENTOS- Lados: Son los rayos y - Vértice: Es el origen común “B”

Notación:


17

18


En general los ángulos se designan con tres letras mayúsculas; la letra central corresponde al vértice.

Algunas veces, cuando no hay lugar a confusión un ángulo se nombra con la letra del vértice.

∢ABC,

El símbolo ∢ se lee “ángulo”

MEDIDA DE UN ÁNGULOLos ángulos se miden en grados sexagesimales.Para encontrar la medida de un ángulo se utiliza un instrumento

llamado transportador. Cuando no se conoce la medida, se representa mediante una letra griega en la abertura.

BISECTRIZ DE UN ÁNGULOEs el rayo que partiendo del vértice, divide al ángulo en dos

ángulos congruentes.

divide al ∢A0B en dos ángulos.

y que son congruentes por tener la misma

medida “” luego. es bisectriz de ∢A0B

CLASIFICACIÓN DE LOS ÁNGULOS SEGÚN SU MEDIDAÁngulo Nulo

Cuando sus dos lados coinciden midiendo de esta manera 0º.

. m∢A0B = 0º .Ángulo Agudo

Es el ángulo cuya medida es menor que 90º y mayor que 0º.

. 0º < m∢A0B < 90º .

Ángulo RectoEs el ángulo cuya medida es igual a 90º.

. m∢A0B = 90º .

Ángulo ObtusoEs el ángulo cuya medida es menor que 180º pero mayor que

90º.


19

20


. 90 < m∢A0B < 180º .Ángulo Llano

Es aquel cuya medida es 180º. (sus lados se encuentran extendidos en direcciones opuestas)

. m∢A0B = 180º .

Ángulo de una VueltaEs el ángulo cuya medida es 360º

. m∢A0B = 360º .

CLASIFICACIÓN DE LOS ÁNGULOS SEGÚN SU POSICIÓNÁngulo Consecutivos

Son los que tienen lados en común y el mismo vértice

Ángulo Opuestos por el VérticeSon dos ángulos que tienen el mismo vértice y sus lados son

opuestos (tienen la misma medida)

CLASIFICACIÓN DE LOS ÁNGULOS SEGÚN LA COMPARACIÓN DE SUS MEDIDASÁngulo Complementarios

Dos ángulos son complementarios si la suma de sus medidas es 90º.

. + = 90º .


21

22


Ángulo SuplementariosDos ángulos son suplementarios si la suma de sus medidas es

180º

. + = 180º .TEOREMAS FUNDAMENTALESTeorema I

La suma de las medidas de los ángulos consecutivos formados alrededor de un mismo vértice y a un mismo lado de una recta es 180º

. + + + = 180º .

Teorema IILa suma de las medidas de los ángulos consecutivos formados

alrededor de un punto en un plano es 360º.

. + + + + = 360º .


1. En la figura mostrada.

Hallar la medida de los ángulos y

Rpta.

2. En la figura mostrada.m∢A0B + m∢B0C + m∢C0D = 80º

3. En la figura mostrada = 3x – 10º = 2x + 5º

Hallar el complemento de “”

Rpta.

4. En la figura mostrada = x + 8º


23

24


Hallar la medida del ángulo BOD.

Rpta.

= 3x + 4º = x – 2º

Hallar el suplemento de

Rpta.

5. Dos ángulos complementarios están en la relación de 3 a 2.Hallar la medida de cada uno de estos ángulos.

Rpta.

6. En la figura mostrada = x + 5º = x + 20º = 4x + 10º = 100º – x

Hallar el valor de: “”

7. En la figura mostrada

es bisectriz de A0B

es bisectriz de B0C

Rpta.

8. En la figura // . Aplicando las propiedades que conoces calcula todos los ángulos que faltan.

Rpta.


“Manuel Scorza”V.L.E.B.

Rpta.

9. En la figura // .

Aplicando las propiedades

que conoces calcula todos

los ángulos que faltan.

Rpta.

10. En la figura // .

Aplicando las propiedades

que conoces calcula todos

los ángulos que faltan.

11. En la figura // . Aplicando las propiedades que conoces calcula todos los ángulos que faltan.

Rpta.

12. En la figura identifica qué tipo de parejas son los ángulos “marcados” y escribe la propiedad que le corresponde, sabiendo que:

// .


25 26


Rpta. Rpta.


// .

Rpta.


// .


// .

Rpta.

AMIGOS SON LOS QUE EN LAS PROSPERIDADES ACUDEN AL

Rpta.

SER LLAMADOS Y EN LAS ADVERSIDADES SIN SERLO

DEMETRIO I


1. la figura.m∢P0R = 120º. ¿Cuánto mide el ángulo R0S?

A) B) C)D) E)

2. Indicar verdadero (V) o falso (F) con respecto a la siguiente figura

I. El m∢M0P es agudo ( )II. El m∢P0Q es obtuso

( )

3. Completar la siguiente oración:“2 rectas en un plano son ......................... cuando por más que se prolonguen no llegan a cortarse”

A) Perpendiculares

B) C)D) E)

4. ¿Cuánto mide el ángulo A0B?

A) B) C)D) E)


2728


III. El m∢Q0T es llano ( )IV. El m∢M0Q es recto ( )

A) VFVF B) C)D) E)


“Manuel Scorza”

V.L.E.B.

5. Dos ángulos adyacentes suplementarios difieren en 40º. Hallar la medida del mayor ángulo.

A) B) C)D) E)

6. ¿Cuánto mide un ángulo si la diferencia entre su suplemento y su complemento es seis veces el ángulo?

A) B) C) 22º30'

D) E)

7. Si: //Hallar “x”

8. Si: //Hallar “y”

A) 137º59’60”

B) 137º

C) 137º43’42”

D)147º

E) 137º42’46”

9. Si: //Hallar “”

A) 40º20’

B) 44º20’

C) 34º20’

D)41º20’

E) 45º20’

A) B)C) D)

”E)

10. Si: //Hallar “”

A) 179º

B) 107º

C) 107º42’49”

D) 117º42’49”

E) 107º49’42”

CLAVES

1. C

2. D

3. C

6. A

7. B

8. C


29 30

31


4. C

5. B

9. C

10. E

TEMA: TRIÁNGULOS I – PROPIEDADES BÁSICAS

CONCEPTOEs un polígono que tiene tres lados

CLASIFICACIÓNSegún la Medida de sus Lados

Escaleno Isósceles Equilátero

Según la Medida de sus Ángulos

Obtusángulo Acutángulo Rectángulo

PROPIEDADES BÁSICAS1. La suma de los ángulos interiores en un triángulo es 180º

. + + = 180º .2. Un ángulo exterior cualquiera es siempre igual a la suma de los

ángulos interiores no adyacentes a él.

. = + .

LA CARRERA PROFESIONAL DEINGENIERÍA DE SISTEMAS E INFORMÁTICA

El ingeniero de sistemas tiene como función principal elaborar soluciones sobre la base de elementos tecnológicos (hardware, software y de comunicación); estas soluciones pueden corresponder a construcción, adaptación y/o implantación de dichos elementos integrados para satisfacer las necesidades de las empresas, en todos sus niveles de gestión (operativa, táctica y estratégica).


1. En un ABC: m∢A = 3. El triángulo ABC, en el


32 33


35º20’45” y m∢B = 72º25.Calcular m∢C

Rpta.

2. Un ángulo de un triángulo mide 48º35’20”.Calcular la medida del ángulo exterior del mismo vértice.

Rpta.

cual m y m .

¿De qué clase de triángulo se trata?

Rpta.

4. En un triángulo ABC: m

, m y .

Hallar el valor de cada ángulo de dicho triángulo

Rpta.

5. Si ≅ , m

y m

¿Cuánto mide el ángulo

ADC?

7. Dado el ABC:

Rpta.

6. En la figura mostrada:

// .

Calcular la medida de “”

Rpta.

¿Cuál es el menor

perímetro entero que puede

tener dicho triángulo?

Rpta.


Calcular el valor de “a”

Rpta.

9. En la figura mostrada: 11. En la figura mostrada:


34 35


Hallar el valor de “b”

Rpta.


Hallar el valor de “c”

Rpta.

Hallar el valor de “d”

Rpta.

12. En la figura mostrada.

Calcular el valor de “”

Rpta.

EL AMOR SEMEJA A UN ÁRBOL; SE INCLINA POR SU PROPIO PESO, ARRAIGA PROFUNDAMENTE EN TODO NUESTRO SER Y A VECES SIGUE VERDECIENDO EN LAS RUINAS DEL CORAZÓN.

VÍCTOR HUGO

13. En la figura mostrada: 15. En la figura mostrada:

Hallar el valor de “”

Rpta.



Rpta.


Rpta.

EL AMOR ES LA MÁS FUERTE DE TODAS LAS PASIONES, PORQUE ATACA AL MISMO TIEMPO A LA CABEZA, AL CORAZÓN Y AL CUERPO.

VOLTAIRE


1. En la figura.Hallar “x”

3. Hallar “x” en:


36

37


A) B) C)D) E)


A) B) C)D) E)

A) B) C)D) E)

4. En la figura:Hallar “x”

A) B) C)D) E)

ES AMIGO MÍO AQUEL QUE ME SOCORRE, NO EL QUE ME COMPADECE.

THOMAS FULLER

5. Hallar “x” en: 7. Hallar el valor de “x” en:

A) B) C)

D) E)

6. ¿Qué valor puede tener el

lado BC en el triángulo ABC

que se muestra?

A) B) C)

D) E)

A) B) C)

D) E)

8. Hallar el valor de “x” en:

Si AB = BC

A) B) C)

D) E)

9. En la figura: 10.En la figura, hallar “x”


38

39


Hallar el valor de “x” en la figura. Si BP = PC

A) B) C)D) E)

A) B) C)D) E)

CLAVES

1. C

2. B

3. C

4. B

5. C

6. A

7. B

8. C

9. B

10. C

TEMA: TRIÁNGULOS II: LÍNEAS Y PUNTOS NOTABLES

ALTURA

Segmento que sale de un vértice y corta en forma perpendicular

al lado opuesto o a su prolongación.

Ortocentro (H)

Es el punto donde se intersectan las tres alturas de un triángulo.

H: Ortocentro.

PARA RECORDAR.TODO TRIÁNGULO TIENE UN SOLO ORTOCENTRO.ES UN PUNTO INTERIOR SI EL TRIÁNGULO ES ACUTÁNGULO.ES UN PUNTO EXTERIOR SI EL TRIÁNGULO ES OBTUSÁNGULO.SI ES RECTÁNGULO ESTÁ EN EL VÉRTICE DEL ÁNGULO RECTO.

MEDIANASegmento que une un vértice con el punto medio del lado

opuesto a dicho vértice.

Baricentro (G)


40

41


Es el punto donde se intersectan las tres medianas de un triángulo.G: Baricentro

PARA RECORDAR.TODO TRIÁNGULO TIENE UN SOLO BARICENTRO.DIVIDE A CADA MEDIANA EN RELACIÓN COMO 1 ES A 2.EL BARICENTRO ES SIEMPRE UN PUNTO INTERIOR.ES LLAMADO TAMBIÉN GRAVICENTRO O CENTRO DE GRAVEDAD DE LA REGIÓN TRIANGULAR.

BISECTRIZSegmento que divide a un ángulo interior o exterior en dos

ángulos de igual medida.

Incentro (I)Es el punto donde se intersectan las tres bisectrices interiores de

un triángulo, es el centro de la circunferencia inscrita

PARA RECORDAR.TODO TRIÁNGULO TIENE UN SOLO INCENTRO.EL INCENTRO EQUIDISTA E LOS LADOS DEL TRIÁNGULO.EL INCENTRO ES SIEMPRE UN PUNTO INTERIOR DEL TRIÁNGULO.

Excentro (E)Es el punto donde se intersectan dos bisectrices exteriores con

una bisectriz interior en un triángulo, es el centro de la circunferencia exinscrita

E: Encentro relativo de

PARA RECORDAR.TODO TRIÁNGULO TIENE TRES EXCENTROS.LOS EXCENTROS SON SIEMPRE PUNTOS EXTERIORES AL TRIÁNGULO.

MEDIATRIZEs una recta que pasa por el punto medio de un lado cortándolo

en forma perpendicular.

: Mediatriz de

Circuncentro (O)Es el punto donde se corta las tres mediatices de un triángulo.


42

43


C: Circuncentro, es el centro de la circunferencia circunscrita

PARA RECORDAR.TODO TRIÁNGULO TIENE UN SOLO CIRCUNCENTRO.EL CIRCUNCENTRO EQUIDISTA DE LOS VÉRTICES DEL TRIÁNGULO.ES UN PUNTO INTERIOR SI EL TRIÁNGULO ES ACUTÁNGULO.ES UN PUNTO EXTERIOR SI EL TRIÁNGULO ES OBTUSÁNGULO.SI ES RECTÁNGULO ESTÁ EN EL PUNTO MEDIO DE LA HIPOTENUSA.

Propiedad:Si: “0” es circuncentro

. x = 2 .

CEVIANASegmento que une un vértice con un punto cualquiera del lado

opuesto o de su prolongación.

Cevacentro (C)Es el punto donde se intersectan tres cevianas de un triángulo.

PARA RECORDAR:TODO TRIÁNGULO TIENE INFINITOS CEVACENTROS.


44

45


OBSERVACIONES:- PARA UBICAR UN PUNTO NOTABLE SÓLO ES NECESARIO TRAZAR

DOS LÍNEAS NOTABLES DE LA MISMA ESPECIE.- EN TODOS LOS TRIÁNGULOS ISÓSCELES SI SE TRAZA UNA DE

LAS CUATRO PRIMERAS LÍNEAS NOTABLES HACIA LA BASE; DICHA LÍNEA CUMPLE LAS MISMAS FUNCIONES QUE LAS OTRAS.

- EN TODO TRIÁNGULO EQUILÁTERO EL ORTOCENTRO, BARICENTRO, INCENTRO Y CIRCUNCENTRO COINCIDEN.

- EN TODO TRIÁNGULO ISÓSCELES, EL ORTOCENTRO, BARICENTRO, INCENTRO Y EL EXCENTRO RELATIVO A LA BASE, SE ENCUENTRAN ALINEADOS EN LA MEDIATRIZ DE LA BASE.

PROPIEDADES CON LÍNEAS NOTABLES1. Ángulo formado por dos

bisectrices interiores.

. .

2. Ángulo formado por dos

bisectrices exteriores.

. .

3. Ángulo formado por una

bisectriz interior y una

bisectriz exterior.

. .

4.. .

5.

. .

6.. .


46

47


7.

. .


“Manuel Scorza”V.L.E.B.



Rpta.

4. En la figura.Hallar “x”

Rpta.


Rpta.


Rpta.


Rpta.


“Manuel Scorza”

V.L.E.B.


Rpta.



Rpta.


48

49


Rpta.


Rpta.

AMIGOS SON LOS QUE EN LAS PROSPERIDADES ACUDEN AL SER LLAMADOS Y EN LAS ADVERSIDADES SIN SERLO

DEMETRIO I


Rpta.


Rpta.



Rpta.

Rpta.


“Manuel Scorza”

V.L.E.B.


Rpta.


Rpta.

TENEMOS LA VIRTUD, QUE A VECES ES DEFECTO, DE LA GENEROSIDAD EN EL MOMENTO DEL TRIUNFO, SIN DARNOS


5051


CUENTA DE QUE AQUEL QUE HA SIDO PROVISIONALMENTE, INTERPRETA LA GENEROSIDAD COMO DEBILIDAD, Y APROVECHARÁ LA SITUACIÓN PARA INVERTIRLA.

PABLO MACERA


1. Hallar el valor de “ + ” en:

A) B) C)D) E)

2. En la figura que se muestra.Hallar el valor de “x”


A) B) C)D) E)

4. Hallar el valor de “x” en

A) B) C)D) 25º30’ E)

A) B) C)D) E)


“Manuel Scorza”

V.L.E.B.

5. Hallar el valor de “x”, sabiendo que M es punto medio de AB

A) B) C)D) E)


A) B) C)


A) B) C)D) E)


A) B) C)D) E)


52

53

54


D) E)

EN LA VIDA LA PACIENCIA HA DE SER EL PANDE CADA DÍA; PERO LA NECESITAMOS EN PARTICULAR PARA NOSOTROS, PORQUE NADIE SE NOS HACE TAN PESADO COMO NOSOTROS MISMOS.

SAN FRANCISCO DE SALES

9. Hallar el valor de “x”

A) B) C)D) E)


A) B) C)D) E)

CLAVES

1. C

2. C

3. C

4. B

5. B

6. B

7. B

8. A

9. B

10. D

¿SABÍAS QUÉ...

LA CARRERA PROFESIONAL DEADMINISTRACIÓN DE NEGOCIOS INTERNACIONALES

La globalización y la modernidad han permitido a la naciones desarrollar redes de relaciones multilaterales que facilitan la integración económica internacional.

Es importante que la administración de negocios internacionales esté dirigida por expertos con visión estratégica que responda a criterios de productividad, competitividad y calidad, que permita ver el mundo como una verdadera aldea global y propicie un fuerte intercambio de mercaderías, de personas y de tecnología.

TEMA: CONGRUENCIA DE TRIÁNGULOS


5556


DEFINICIÓN

Dos triángulos son congruentes, si tienen sus tres lados

congruentes y sus tres ángulos congruentes respectivamente.

ABC = PQR

OBSERVACIÓN:

EN UN PROBLEMA DADO SE PODRÁ AFIRMAR QUE DOS TRIÁNGULOS SON

CONGRUENTES SI TIENEN COMO MÍNIMO TRES ELEMENTOS IGUALES, DE

LOS CUALES UNO DE ELLOS DEBE SER UN LADO.

CASOS DE CONGRUENCIA EN TRIÁNGULOS

1. Caso (L.A.L.)

2. Caso (A.L.A.)

3. CASO (L.L.L.)

4. Caso (L.L.A.)

: Opuesto al mayor lado

PROPIEDADES EN CONGRUENCIA DE TRIÁNGULOS

1. De la BisectrizTodo punto situado en la bisectriz siempre equidista de los lados del ángulo.


57

58


. .

2. De la MediatrizTodo punto situado en la mediatriz e un segmento, siempre equidista de los extremos de dicho segmento.

. PA = PB .

3. De la Base Media de un TriánguloEl segmento que une los puntos medios de dos lados de un triángulo, es paralelo al tercer lado y mide la mitad de lo que mide el tercer lado.

Si: // Si: M y N son puntos medios

. BN = NC . . .

4. De la Mediana Relativa a la Hipotenusa

La mediana relativa a la hipotenusa siempre mide la mitad de lo que mide la hipotenusa.

. .

CÓMO DEMOSTRAR CUALQUIER COSA

Bertrand Russell estaba tratando sobre los enunciados condicionales y sosteniendo que un enunciado falso implica cualquier cosa, todo. Un filósofo escéptico le preguntó:

- ¿Quiere usted decir que si 2 + 2 = 5, entonces es usted el Papa?

Russell contestó afirmativamente y dio la divertida "prueba" que sigue:

- Si suponemos que 2 + 2 = 5, entonces seguramente estará usted de acuerdo en que si restamos 2 de cada lado de la ecuación, nos da 2 = 3. Invirtiendo los términos, tenemos que 3 = 2 y restando 1 de cada lado, nos da 2 = 1. De modo, que como el Papa y yo somos dos personas, y 2 = 1, entonces el Papa y yo somos uno. Luego, yo soy el Papa.


1. Calcular AE, si BD = 6,

DE = 2, BC = 7 y //

3. En el gráfico.Calcular CD, si BE = EC = 10


5960


Rpta.

2. Calcular “x”, si AD = DE

y

AB = EC

Rpta.

Rpta.

4. Según los gráficos mostrados. Calcular x + y

Rpta.


“Manuel Scorza”

V.L.E.B.

5. Según el gráfico calcular

“x”, si // , ED = DC y

AD = BC

7. Según el gráfico.

Calcular AB, si AD = DC =

10

Rpta.

6. Calcular “x”, si AD = DE

y

AB = EC

Rpta.

Rpta.

8. En el gráfico: AB = .

Calcular BD

Rpta.

9. Según el gráfico AB = 10

y

+ = 240º

Calcular BH

11. Del gráfico PQ = QR, QR

= ER.

Calcular


61

62


Rpta.

10. Del gráfico

Calcular “x”; LC = 2(AL)

Rpta.

Rpta.


AB//CD

Rpta.

13. Hallar “x” en: 15. Hallar “x” en la figura, six = a + b + c

Rpta.


ABCD cuadrado

PQRS puntos medios

Rpta.

Rpta.

EL AMOR SEMEJA A UN ÁRBOL; SE INCLINA POR SU PROPIO PESO, ARRAIGA PROFUNDAMENTE EN TODO NUESTRO SER Y A VECES SIGUE VERDECIENDO EN LAS RUINAS DEL CORAZÓN.

VÍCTOR HUGO


1. Calcular AE, si BD = 4, DE = 1, BC = 5 y //

3. En el gráfico, calcular

CD, si AB = EC = 6


63

64


A) B) C)D) E)

2. Calcular x, si AD = DE yAB = BC

A) B) C)D) E)

A) B) C)

D) E)

4. Según los gráficos

mostrados, calcular x + y

A) B) C)

D) E)

5. Según el gráfico, calcular “x”, si AM = MCT.R. BHA ≅ T.R. CNM.

7. En el gráfico AB = .

Calcular BD

A) B) C)D) E)

6. Según el gráfico, calcular AB, si AD = DC = 8

A) B) C)

D) E)

A) B) C)

D) E)

8. Según el gráfico AB = 8 y + = 240º.Calcular BH

A) B) C)

D) E)

9. De gráfico:Calcular x, si LC = 2(BL)

10. Del gráfico: AM = MC,MF = EC.

Calcular


65 66


A) B) C)D) E)

A) B) C)D) E)

CLAVES

1. B

2. A

3. E

4. E

5. B

6. D

7. C

8. C

9. C

10. C

TEMA: POLÍGONOS Y CUADRILÁTEROS

POLÍGONODefinición

Es la reunión de tres o más segmentos consecutivos o coplanares, tal que el extremo del primero coincide con el extremo del último; ningún par de segmentos, se intercepten, excepto en sus extremos y dos segmentos consecutivos nos sean colineales.

ElementosVértices : A, B, C, D,...Lados : , , , ,...m ∢ internos : , , ,...m ∢ externos : x, y, z,...Diagonales : , , ,...Diagonales medias : , , ,...

Polígono ConvexoEs cuando tienen todos sus ángulos internos convexos, es decir,

mayores que cero y menores que 180º.

Clasificación de los Polígonos Convexos1. Polígono Equiángulo

Cuando tienen todos sus ángulos internos congruentes

2. Polígono EquiláteroCuando tienen todos su lados congruentes


67

68


3. Polígono RegularCuanto tienen todos sus ángulos internos congruentes y todos sus lados congruentes

Polígonos No ConvexosCuando tienen uno más ángulos internos no convexos es decir

mayores que 180º y menores que 360º.

Denominación de los PolígonosTriángulo.................................................3 ladosCuadrilátero............................................4 ladosPentágono...............................................5 ladosHexágono................................................6 ladosHeptágono..............................................7 ladosOctógono................................................8 ladosNonágono o eneágono............................9 ladosDecágono..............................................10 ladosEndecágono o Undecágono...................11 ladosDodecágono..........................................12 ladosPentadecágono.....................................15 ladosIcoságono..............................................20 ladosEnégono..................................................n lados

Propiedad para todo Polígono Convexo

Si “n” es el número de lados de un polígono convexo, se cumple que:1. Suma de las medidas de sus ángulos internos:

. Sm∢i = 180 (n – 2) .

2. Suma de las medidas de sus ángulos externos:. Sm∢i = 360 .

3. Diagonales trazadas desde un solo vértice:. Di = (n – 3) .

4. Número total de diagonales:

. .

5. Número total de diagonales medias:

. .

6. Diagonales trazadas desde “v” vértices consecutivos

. .

En Polígonos Regulares y Equiángulos7. Medida de un ángulo interno:

. .

8. Medida de un ángulo exterior:

. .

CUADRILÁTERODefinición

Es un polígono de 4 lados.


6970


. x + y + z + w = a + b + c + d = 360 .

Clasificación General

Clasificación de los Cuadriláteros Convexos1. Trapezoide

Aquellos que no tienen lado opuestos paralelos

2. TrapeciosTienen dos lados opuestos paralelos llamados bases y los otros lados, llamados lados no paralelos

Propiedad del Trapecio- Mediana de un trapecio

. .

- Segmento que une los puntos medios de las diagonales

. .

3. ParalelogramosAquellos de lados opuestos paralelos y congruentes; ángulos opuestos de igual medida y dos ángulos consecutivos siempre suplementarios. Sus diagonales se bisecan.


7172


Propiedades Generales1.

. .

2.

. .

3.

// PQ = RS

4.

. .

5. En trapecios isósceles. .

. .

6. En triángulos

7. En trapecios

8. Segmento que une los puntos medios de las bases

Si: + = 90º : . .

9. En paralelogramos . x = b – a .


73

74


10. En paralelogramos

. .


1. Hallar la suma de los ángulos internos de un eneágono.

Rpta.

2. Hallar el número de diagonales de un polígono cuyos ángulos internos suman 1080º

Rpta.

3. ¿Cuántos lados tiene el polígono, si la suma total de sus ángulos internos y externos es 1 440º?

Rpta.

6. En la figura.

Calcular xº

Rpta.

7. En la figura.

4. Hallar el número de lados de un polígono, sabiendo que en él se pueden trazar 104 diagonales.

Rpta.

5. El número de diagonales más el número de vértices es igual a siete veces el número de lados. Hallar el número de lados.

Rpta.

Calcular xº

Rpta.

8. En la figura ABCD y DEFG son cuadrados.Calcular x.

Rpta.

9. En la figura, ABCD es un rectángulo AF = FC.Calcular x.

10. En la figura ABCD es un cuadrado, si BE = 4.Calcular BC

Rpta.

11. En la figura, ABCE es un paralelogramo y BC + CD = 12.Calcular AD


75

76


Rpta. Rpta.

12. En la figura, ABCD es un rectángulo AC = 4 .Calcular FC.

Rpta.

13. En la figura, ABCD es un cuadrado de centro 0 y OPQR es un paralelogramo, sim∢R0P=120º.Calcular m∢RQA.

14. Se tiene un trapecio ABCD. // se trazan bisectriz interiores de los ángulos C y D.Calcular el menor ángulo formado por dichas interiores

Rpta.

15. Según el gráfico MN=3(ND)=12.Calcular BD

Rpta.

Rpta.


“Manuel Scorza”

V.L.E.B.


1. Según el gráfico ABCD es un paralelogramo; BT = 5(AT) Y BC = 4(AT).Calcular “”

A) B) C)D) E)

2. Según el gráfico ABCD es un cuadrado AB = 4.Calcula BH

3. Según la figura ABCD es un romboide y BH = 8.Calcular AD

A) B) C)D) E)

4. De la figura BM = MC, MN = 8 y CD = 10.Calcular AB.


77 78


A) B) C)D) E)

A) B) C)D) E)

5. Según la figura ABCD es un trapecio isósceles.Calcule .

A) B) C)D) E)

6. Del gráfico ABCD y DEFG son cuadrados.Calcula +

7. Según el gráfico calcular x. si ABCD es un paralelogramo

A) B) C)D) E)

8. Del gráfico. Calcular CH si ABCD es un paralelogramo y AB = 6.

A) B) C)D) E)

A) B) C)

D) E)

9. Según el gráfico ABCD es un paralelogramo.Calcule + .

A) B) C)D) E)

10. Según el gráfico ABCD es un cuadrado, CD = DE.Calcular: 2

A) B) C)D) E)

CLAVES

1. C 6. D


79

80


2. C

3. D

4. A

5. A

7. C

8. B

9. B

10. C

ÍNDICE

PÁG.

ELEMENTOS DE LA GEOMETRÍA - SEGMENTOS.............................................. 7

ÁNGULOS............................................................................................. 17

TRIÁNGULOS I – PROPIEDADES BÁSICAS..................................................... 30

TRIÁNGULOS II: LÍNEAS Y PUNTOS NOTABLES.............................................. 39

CONGRUENCIA DE TRIÁNGULOS................................................................ 55

POLÍGONOS Y CUADRILÁTEROS................................................................. 66


geometria 2do secc

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