estudio de mejora del mantenimiento mediante la aplicación de la distribución de weibull a un...

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PROYECTO FIN DE POSTGRADO

Estudio de mejora delmantenimiento mediante la

aplicación de la distribución deWeibull a un histórico de fallos.

Eduardo Romero LópezIngeniero Técnico Industrial (Mecánica)

4 de septiembre de 2012

Índice general

1 Introducción y objetivo de este estudio. 11.1 Introducción . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 11.2 Objetivo . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1

2 Fundamentos Teóricos. 22.1 Evolución histórica sobre el desarrollo de fallos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2

2.1.1 Curva de Bañera o de Davies . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22.1.2 Curvas de Fallos actuales . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3

2.2 Fiabilidad, Mantenibilidad y Disponibilidad . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 52.2.1 Fiabilidad . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 52.2.2 Mantenibilidad . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 62.2.3 Disponibilidad . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 7

2.3 Distribuciones estadísticas aplicadas al mantenimiento . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 72.3.1 Distribución Normal . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 82.3.2 Distribución Lognormal . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 92.3.3 Distribución Rayleigh . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 102.3.4 Distribución Exponencial . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 122.3.5 Distribución de Gamma . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 132.3.6 Distribución de Weibull . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 14

2.3.6.1 Característica de vida, η . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 162.3.6.2 Características de la distribución Weibull . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 17

2.4 Cálculo de los parámetros Weibull . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 182.4.1 Rango de la mediana . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 182.4.2 Cálculo de los parámetros β y η . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 192.4.3 Cálculo del parámetro γ . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 202.4.4 Consideraciones sobre el parámetro γ . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21

2.5 Verificación del modelo . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 212.5.1 Test χ2 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 222.5.2 Test de Kolmogorov-Smirnov (KS) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23

3 Aplicación del método de Weibull. 253.1 Ejemplo biparamétrico . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 253.2 Ejemplo biparamétrico . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 273.3 Ejemplo triparamétrico . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 283.4 Ejemplo triparamétrico . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 293.5 Ejemplo biparamétrico . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 33

4 Conclusiones 36

Apéndices 37

A Diagrama del proceso de trabajo 38

B Software de estadística aplicada, R 40B.1 Solución distribución biparamétrica . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 41B.2 Cálculo del parámetro γ . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 42B.3 Solución distribución triparamétrica . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 44B.4 Paquete Weibull toolkit . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 46

I

ÍNDICE GENERAL ÍNDICE GENERAL

Bibliografía 49

Fundación UNED II

Índice de figuras

2.1 Curva de Bañera. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22.2 Diferentes curvas de Fallos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 32.3 Curva que componen la Curva de Bañera. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 42.4 Soluciones posibles según tipo de Fallos. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 52.5 Representación de los estados TBF y TTR. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 62.6 Distribución Normal con µ = 0 y σ = 1. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 82.7 Distribución Lognormal con distintos parámetros σ. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 102.8 Distribución de Rayleigh para distintos valores de σ. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 112.9 Distribución Exponencial para distintos valores de θ. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 122.10 Función de densidad y distribución para distintos valores de θ. . . . . . . . . . . . . . . 142.11 Distribución de Weibull para distintos valores de β. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 152.12 Representación de la tasa de fallo para distintos valores de β. . . . . . . . . . . . . . . . 16

3.1 Gráfico Weibull, ejercicio 1. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 263.2 Función de Distribución y Fiabilidad, ejercicio 1. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 273.3 Gráfico de Weibull ejercicio 2. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 283.4 Gráfico de Weibull ejercicio 3. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 303.5 Gráfico de Weibull ejercicio 4. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 303.6 Gráfico de fiabilidad y tasa de fallo, ejercicio 4. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 323.7 Gráfico del ejercicio 5. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 343.8 Fiabilidad y tasa de fallo del ejercicio 5. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 35

B.1 Captura de pantalla del código R, corriendo sobre la plataforma RStudio. . . . . . . . . 40B.2 Gráfico de Weibull obtenido a través de la compilación del programa. . . . . . . . . . . 43B.3 Gráfico del Ecm frente a γ. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 44B.4 Gráfico del parámetro γ y su gráfico de Weibull asociado. . . . . . . . . . . . . . . . . . 47B.5 Gráfico de Weibull obtenido del paquete Weibulltoolkit. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 48

III

Índice de tablas

3.1 Datos ejercicio 1. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 253.2 Resultados ejercicio 1, TBF. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 253.3 Resultados ejercicio 1, TTR. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 253.4 Resultados ejercicio 2. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 273.5 Datos ejercicio 3. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 293.6 Resultados del ejercicio 3. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 293.7 Datos ejercicio 4. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 313.8 Resultados ejercicio 4. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 313.9 Datos ejercicio 5. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 333.10 Resultados ejercicio 5. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 33

IV

1Introducción y objetivo de este

estudio.

1.1. Introducción

La realización de un estudio de mejora de los mantenimientos preventivos, basándonos paraello en técnicas estadísticas en concreto la distribución de Weibull.

Para la realización del mismo utilizaremos el software libre R. Siendo éste un lenguaje yentorno de programación orientado a objetos para análisis estadístico y gráfico.

1.2. Objetivo

El objetivo es hallar mediante la aplicación estadística en que etapa de la vida se encuentrael equipo o conjunto de equipos.

Nos interesa conocer los que se encuentran en etapa de mortalidad infantil, para no apli-carles mantenimiento preventivo con el consiguiente ahorro que producirá y los que se encuentrenen la etapa de vida útil para optimizar los periodos de mantenimiento preventivo y así obtener unahorro en cuanto a frecuencia de preventivo como en mejora de la disponibilidad.

1

2Fundamentos Teóricos.

2.1. Evolución histórica sobre el desarrollo de fallos

En este apartado veremos como ha ido evolucionando el desarrollo de fallos a lo largo dela historia del mantenimiento. Partiendo de la conocida “Curva de la Bañera” válida para equiposrelativamente simples en los que la aparición de fallos se debía principalmente a desgastes.

Con el avance de la tecnología cada vez los equipos son más complejos y poseen más com-ponentes eléctricos - electrónicos. Dichos equipos no se ajusten a la teoría de la curva de la bañera.

Muchos estudios, sobre todo del sector de la aviación han demostrado que existen al menosseis curvas con diferente modo de aparición de los fallos y sólo un porcentaje muy pequeños deellos se ajustan fielmente a la curva de la bañera.

2.1.1. Curva de Bañera o de Davies

La curva de la bañera es un gráfica que representa los fallos durante el período de vida útilde un sistema o máquina. Se llama así porque tiene la forma una bañera cortada a lo largo.

Figura 2.1: Curva de Bañera.

En ella se pueden apreciar tres etapas:

2

2. Fundamentos Teóricos. 2.1. Evolución histórica sobre el desarrollo de fallos

Mortalidad Infantil o Fallos infantiles: esta etapa se caracteriza por tener una elevada tasade fallos que desciende rápidamente con el tiempo. Estos fallos pueden deberse a diferentesrazones como equipos defectuosos, instalaciones incorrectas, errores de diseño del equipo,desconocimiento del equipo por parte de los operarios o desconocimiento del procedimientoadecuado.

Fallos normales: etapa con una tasa de errores menor y constante. Los fallos no se produ-cen debido a causas inherentes al equipo, sino por causas aleatorias externas. Estas causaspueden ser accidentes fortuitos, mala operación, condiciones inadecuadas u otros.

Fallos por desgastes: etapa caracterizada por una tasa de errores rápidamente creciente. Losfallos se producen por desgaste natural del equipo debido al transcurso del tiempo.

2.1.2. Curvas de Fallos actuales

Muchos de los planes de mantenimiento se han basado en la curva de la bañera clásicapara definir los mismo pero estudios más actuales procedente del sector de la aviación y militarhan demostrado que los mecanismos de formación de fallos no tienen porque seguir las pautas dela curva de bañera.

A continuación se muestran en la Figura 2.2 las distintas curvas fallos a lo largo del tiempoy el porcentaje de cada uno ellos según un estudio de la aviación:

Figura 2.2: Diferentes curvas de Fallos

Curva A La curva de bañera: Alta mortalidad infantil, seguida de un bajo nivel de fallos aleatorios,terminado en una zona de desgaste. Sólo un 4% de los fallos siguen esta curva. Coincide conequipos mecánicos históricos.

Curva B El tradicional punto de vista: Pocos fallos aleatorios, terminando en una zona de desgaste.Sólo un 2% de los fallos siguen esta curva. Coincide con Equipos o Sistemas sometidos afatiga y no diseñados para “vida infinita” como por ejemplo sistemas electrónicos discretos.

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2. Fundamentos Teóricos. 2.1. Evolución histórica sobre el desarrollo de fallos

Curva C Un constante incremento en la probabilidad de fallo. Sólo un 5% de los fallos siguen estacurva. Coincide con equipos o sistemas sometidos a corrosión.

Curva D Un rápido incremento en la probabilidad de fallo, seguido de un comportamiento aleatorio.Sólo un 7% de los fallos siguen esta curva. Coincide con equipos electrónicos digitales.

Curva E Fallos aleatorios: No hay relación entre la edad funcional de los equipos y la probabilidadde que fallen. Sólo un 14% de los fallos siguen esta curva. Coincide con fallos en rodamientosbien diseñados.

Curva F Alta mortalidad infantil, seguida de un comportamiento aleatorio de la probabilidad defallos. El 68% de los fallos siguen esta curva. Coincide con fallos en equipos o sistemas hi-dráulicos y neumáticos de diseño actual.

La conclusión obtenida del estudio de la aviación fue que sólo un 6% siguen el desarrollode fallos según las curvas A+B, y sólo en éstas, será efectivo la aplicación de los mantenimientospreventivos.

Por lo tanto, existe otro 94 % de fallos que debido a su alta componente aleatoria de apariciónde los fallos no merece la pena hacerle mantenimiento preventivo. Éste sólo inducirá en la apariciónde nuevos fallos por la manipulación innecesaria de los equipos y producirá un aumento en loscostes por mantenimiento preventivo.

Por último se muestra en la Figura 2.31 la curva de la bañera formada por las tres curvasque la componen y a continuación de ésta en la Figura 2.42 aparece en una matriz las posiblessoluciones en función del tipo de fallo producido.

Figura 2.3: Curva que componen la Curva de Bañera.

1La imagen de las composición de la curva de la bañera ha sido obtenida de la bibliografía número [2].2La imagen de la matriz de tipo de fallo - solución ha sido obtenida de la bibliografía número [2].

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2. Fundamentos Teóricos. 2.2. Fiabilidad, Mantenibilidad y Disponibilidad

Figura 2.4: Soluciones posibles según tipo de Fallos.

2.2. Fiabilidad, Mantenibilidad y Disponibilidad

2.2.1. Fiabilidad

La fiabilidad R(t) se define como la probabilidad de que un bien funcione adecuadamentedurante un período determinado bajo condiciones operativas específicas (por ejemplo, condicionesde presión, temperatura, velocidad, tensión o forma de una onda eléctrica, nivel de vibraciones,...etc).

La fiabilidad se suele representar con la letra R (de la palabra inglesa Reliability), una medidade la fiabilidad es el MTBF (Mean Time Between Failures), ésta se relaciona con la duración mediaentre fallos.

MTBF =

∫ ∞0

R(t)dt (2.1)

En la práctica, la fiabilidad se mide como el tiempo medio entre ciclos de mantenimiento o eltiempo medio entre dos fallos consecutivos MTBF. Se puede medir en general por horas, kilómetros,horas de vuelo, piezas producidas,... etc.

En la Figura 2.53 se aprecia los distintos TBF que hacen referencia al tiempo de funcio-namiento de un activo de mantenimiento y los TTR que se refieren a los tiempos de paradas porreparación.

3La imagen que representa los estados TBF y TTR ha sido obtenida de la bibliografía número [1].

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2. Fundamentos Teóricos. 2.2. Fiabilidad, Mantenibilidad y Disponibilidad

Figura 2.5: Representación de los estados TBF y TTR.

R(t) la Función de Fiabilidad, o dicho de otro modo, la probabilidad de que un componentenuevo sobreviva más del tiempo t, donde T se define como la vida del bien o componente.

R(t) = P (T > t) = 1− F (t) (2.2)

F (t) es la Función de Distribución Acumulada siendo la probabilidad de que un compo-nente nuevo no sobreviva más del tiempo t.

F (t) = P (T ≤ t) (2.3)

Derivando esta última obtenemos la Función de Densidad f(t). Ésta nos da una idea de ladispersión de la vida del componente.

f(t) =d

dtF (t) (2.4)

Dividiendo la ecuación 2.4 entre la ecuación 2.2 obtenemos la Tasa de Fallos λ(t).

λ(t) =f(t)

R(t)(2.5)

λ(t) es una característica de fiabilidad del componente. No tiene interpretación física directa.Es bastante común que el comportamiento de fallos de un componente sea descrito en términos desu tasa de fallos.

2.2.2. Mantenibilidad

Se define mantenibilidad M(t) como la propiedad de que el equipo, después de un fallo oavería sea puesto en estado de funcionamiento en un tiempo dado. Una medida de la mantenibilidad

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2. Fundamentos Teóricos. 2.3. Distribuciones estadísticas aplicadas al mantenimiento

es el MTTR (Mean Time To Repair) o como se conoce en castellano “Tiempo Medio de Reparación”.En la Figura 2.5 aparece su ecuación y la representación de los distintos TTR que componen elMTTR.

Es la propiedad de un sistema que representa la cantidad de esfuerzo requerida para con-servar su funcionamiento normal o para restituirlo una vez se ha presentado un evento de fallo.Se dirá que un sistema es “Altamente mantenible” cuando el esfuerzo asociado a la restitución seabajo. Sistemas poco mantenibles o de “Baja mantenibilidad” requieren de grandes esfuerzos parasostenerse o restituirse.

Su Tasa de Reparación es µ(t):

µ(t) =1

MTTR(2.6)

2.2.3. Disponibilidad

Se define la disponibilidad D(t) como la probabilidad en el tiempo de asegurar un serviciorequerido.

Otra definición común en mantenimiento para la disponibilidad es: el porcentaje de equiposo sistemas útiles en un determinado momento, frente al parque total de equipos o sistemas.

La ecuación de la disponibilidad está en función de la fiabilidad y de la mantenibilidad,siendo esta:

D(t) =R(t)

R(t) +M(t)=

MTBF

MTBF +MTTR(2.7)

2.3. Distribuciones estadísticas aplicadas al mantenimiento

Las distribuciones de probabilidad son funciones matemáticas teóricas que se utilizan pararealizar previsiones, que describen la forma en que se espera que varíen los resultados de unexperimento. Por lo tanto son útiles en mantenimiento, debido a que, ayudan a tomar decisiones encondiciones de incertidumbre.

Las distribuciones que explicaremos para la aplicación de este proyecto son:

Distribución Normal o de Gauss

Distribución Lognormal

Distribución Rayleigh

Distribución Exponecial

Distribución Gamma

Distribución de Weibull

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Existen otras pero en este estudio nos centraremos en la nombradas anteriormente, por serlas que están relacionadas con la distribución de Weibull.

2.3.1. Distribución Normal

Es una de las distribuciones de probabilidad de variable continua que con más frecuenciaaparece aproximada en fenómenos reales.

La gráfica de su función de densidad tiene una forma acampanada y es simétrica respec-to de un determinado parámetro estadístico. Esta curva se conoce como campana de Gauss. Laimportancia de esta distribución radica en que permite modelar numerosos fenómenos naturales,sociales y psicológicos.

−4 −2 0 2 4

0.0

0.1

0.2

0.3

0.4

x

Dis

trib

ució

n de

den

sida

d

−4 −2 0 2 4

0.0

0.2

0.4

0.6

0.8

1.0

x

Dis

trib

ució

n de

pro

babi

lidad

Figura 2.6: Distribución Normal con µ = 0 y σ = 1.

Se dice que una variable aleatoria continua X sigue una distribución normal de parámetrosµ y σ y se denota X∼N(µ,σ) si su función de densidad está dada por:

f(x) =1

σ√

2πe−

12 (x−µσ )2 (2.8)

x ∈ R

µ es la media

σ es la desviación estándar

Su función de distribución es:

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Φµ,σ2(x) =

∫ x

−∞e−

(u−µ)2

2σ2 du (2.9)

Esta función se puede expresar en términos de la función especial llamada función de error(erf ) de la siguiente forma:

Φµ,σ2(x) =1

2

[1 + erf(

x− µσ√

2)

](2.10)

Algunas propiedades de la distribución normal son:

Es simétrica respecto de su media, µ

La moda y la mediana son ambas iguales a la media, µ

Los puntos de inflexión de la curva se dan para x = µ− σ y x = µ+ σ

El intervalo [µ− σ, µ+ σ] se encuentra comprendida, aproximadamente, el 68,26 % de la distri-bución

El intervalo [µ − 2σ, µ + 2σ] se encuentra comprendida, aproximadamente, el 95,44 % de ladistribución

El intervalo [µ − 3σ, µ + 3σ] se encuentra comprendida, aproximadamente, el 99,74 % de ladistribución

2.3.2. Distribución Lognormal

Es la distribución de probabilidad de cualquier variable aleatoria con su logaritmo normal-mente distribuido. Si x es una variable aleatoria con una distribución normal, entonces ex tieneuna distribución lognormal.

Una variable puede ser modelada como lognormal si puede ser considerada como un pro-ducto multiplicativo de muchos pequeños factores independientes. Un ejemplo típico es un retornoa largo plazo de una inversión: puede considerarse como un producto de muchos retornos diarios.

La distribución lognormal tiende a la función densidad de probabilidad:

f(x;µ, σ) =1

xσ√

2πe−(ln x−µ)

2/2σ2

(2.11)

Para x > 0 donde µ y σ son la media y la desviación estándar del logaritmo de variable. Enla Figura 2.7 se puede ver como varía la función para distintos parámetros de σ.

Su función de distribución también se puede poner en función de la función de error (erf ):

Φµ,σ2(x) =1

2

[1 + erf

(ln(x)− µσ√

2

)](2.12)

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0 1 2 3 4 5 6 7

0.0

0.1

0.2

0.3

0.4

0.5

0.6

x

Dis

trib

ució

n de

den

sida

dσ = 0

σ = 0.5

σ = 2

σ = 3

0 1 2 3 4 5 60.

00.

20.

40.

60.

81.

0

x

Dis

trib

ució

n de

pro

babi

lidad

σ = 0

σ = 0.5

σ = 2

σ = 3

Figura 2.7: Distribución Lognormal con distintos parámetros σ.

Representando la función de distribución y dándole distintos valores de σ, como se puedever en la Figura 2.7.

Algunas propiedades de la distribución lognormal son:

La media geométrica, y la desviación estándar geométrica están relacionadas. En este caso, lamedia geométrica es igual a eµ y la desviación estándar geométrica es igual a eσ.

El intervalo [µ− σ, µ+ σ] es equivalente a [µgeo/σ1geo, µgeo ∗ σ1

geo]

El intervalo [µ− 2σ, µ+ 2σ] es equivalente a [µgeo/σ2geo, µgeo ∗ σ2

geo]

El intervalo [µ− 3σ, µ+ 3σ] es equivalente a [µgeo/σ3geo, µgeo ∗ σ3

geo]

La distribución Lognormal tiene su tasa de fallo creciente y suele utilizarse para modelar lafiabilidad de componentes estructurales y electrónicos.

Su desventaja es que es bastante difícil tratarla de forma algebraica, pero su ventaja esque surge naturalmente como la convolución de distribuciones exponenciales. Por tanto, tiene uninterés práctico considerable con relación a los procesos de fallos físicos.

2.3.3. Distribución Rayleigh

Es una función de distribución continua. Se suele presentar cuando un vector bidimensio-nal tiene sus dos componentes, ortogonales, independientes y siguen una distribución normal. Su

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valor absoluto seguirá entonces una distribución de Rayleigh.

0 1 2 3 4 5

0.0

0.2

0.4

0.6

0.8

1.0

1.2

x

Den

sida

d

σ = 0.5

σ = 1

σ = 1.5

σ = 2

0 1 2 3 4 5

0.0

0.2

0.4

0.6

0.8

1.0

x

Dis

trib

ució

n

σ = 0.5

σ = 1

σ = 1.5

σ = 2

Figura 2.8: Distribución de Rayleigh para distintos valores de σ.

Su función de densidad de probabilidad es:

f(x;σ) =xe

(−x2

2σ2

)σ2

(2.13)

Donde σ es un factor de escala.

Su función de distribución de probabilidad es:

F (x;σ) = 1− e(

−x2

2σ2

)(2.14)

Su esperanza matemática es:

E(x) = σ

√π

2(2.15)

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2.3.4. Distribución Exponencial

En estadística la distribución exponencial es una distribución de probabilidad continua conun parámetro θ > 0 cuya función de densidad es:

0 2 4 6 8 10

0.0

0.1

0.2

0.3

0.4

0.5

x

Den

sida

d de

pro

babi

lidad

θ = 0.5

θ = 1

θ = 1.5

0 2 4 6 8 10

0.0

0.2

0.4

0.6

0.8

1.0

x

Dis

trib

ució

n de

pro

babi

lidad

θ = 0.5

θ = 1

θ = 1.5

Figura 2.9: Distribución Exponencial para distintos valores de θ.

f(x) =

{θe−θx x ≥ 0

0 de otro modo(2.16)

Su función de distribución es:

F (x) = P (X ≤ x) =

{0 para x < 0

1− e−θx para x ≥ 0(2.17)

Su tasa de fallo:

λ(x) =1

θ(2.18)

Su función de Fiabilidad R(t):

R(x) = e−θx (2.19)

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Su Esperanza matemática o media:

E(x) = Media = θ (2.20)

La función de distribución que se utiliza más a menudo para modelar la fiabilidad es laexponencial. El motivo es que:

Es sencilla de tratar algebraicamente

Se considera adecuada para modelar el intervalo de vida funcional del ciclo de vida del dispo-sitivo

la distribución exponencial aparece cuando la tasa de fallos es constante, λ(t) = λ

La tasa de fallos se considera constante, entonces la función de distribución de los fallos esexponencial. De las propiedades de ésta se deduce que la probabilidad de que una unidad que estátrabajando falle en el próximo instante es independiente de cuánto tiempo ha estado trabajando.Esto implica que la unidad no presenta síntomas de envejecimiento: es igualmente probable quefalle en el instante siguiente cuando está nueva o cuando no lo está.

2.3.5. Distribución de Gamma

Es una distribución adecuada para modelizar el comportamiento de variables aleatoriascontinuas con asimetría positiva. Es decir, variables que presentan una mayor densidad de sucesosa la izquierda de la media que a la derecha. En su expresión se encuentran dos parámetros, siemprepositivos, α y β de los que depende su forma y alcance por la derecha, y también la función GammaΓ(α), responsable de la convergencia de la distribución.

El primer parámetro α sitúa la máxima intensidad de probabilidad y por este motivo enalgunas fuentes se denomina “la forma” de la distribución: cuando se toman valores próximos a ceroaparece entonces un dibujo muy similar al de la distribución exponencial. Cuando se toman valoresmás grandes de α el centro de la distribución se desplaza a la derecha y va apareciendo la formade una campana de Gauss con asimetría positiva. Es el segundo parámetro β el que determinala forma o alcance de esta asimetría positiva desplazando la densidad de probabilidad en la colade la derecha. Para valores elevados de β la distribución acumula más densidad de probabilidaden el extremo derecho de la cola, alargando mucho su dibujo y dispersando la probabilidad a lolargo del plano. Al dispersar la probabilidad la altura máxima de densidad de probabilidad se vareduciendo; de aquí que se le denomine “escala”. Valores más pequeños de β conducen a una figuramás simétrica y concentrada, con un pico de densidad de probabilidad más elevado.

La función de densidad de la distribución Gamma es:

f(x) =1

βαΓ(α)xα−1e−x/β (2.21)

donde x > 0 y β, α son parámetros positivos. En la Figura 2.10 se muestra la función dedensidad.

La función de distribución es,

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0 1 2 3 4 5 6

0.0

0.5

1.0

1.5

2.0

x

Dis

trib

ució

n de

den

sida

dβ = 1

β = 2

β = 3

β = 5

0 1 2 3 4 5 60.

00.

20.

40.

60.

81.

0

x

Dis

trib

ució

n de

pro

babi

lidad

β = 1

β = 2

β = 3

β = 5

Figura 2.10: Función de densidad y distribución para distintos valores de θ.

F (x) = P [X ≤ x] =1

βαΓ(α)

∫ x

0

uα−1eu/βdu (2.22)

como se puede ver en la Figura 2.10.

La esperanza matemática es,

E(x) = αβ (2.23)

2.3.6. Distribución de Weibull

La distribución de Weibull es una distribución continua y triparamétrica, es decir, estácompletamente definida por tres parámetros y es la más empleada en el campo de la Fiabilidad.

En la literatura técnica está muy extendida utilización de la distribución de Weibull bi-paramétrica (β, η), debido a que, el tercer parámetro es el parámetro de localización, es decir, elparámetro que localiza la abscisa a partir del cual se inicia la distribución. Trabajando de formabiparamétrica se asume un error, por eso en este estudio se explicará el cálculo de la distribucióntriparamétrica (β, η, γ), debido a que ésta es más exacta.

La distribución de Weibull es una distribución de probabilidad continua. La función dedensidad de una variable aleatoria:

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f(x; η, β, γ) =

β

η·(x− γη

)β−1· e−( x−γη )

β

x ≥ 0

0 para x < 0

(2.24)

Donde β > 0 es el parámetro de forma y η > 0 es el parámetro de escala o característica devida y el γ > 0 parámetro de localización de la distribución.

0.0 0.5 1.0 1.5 2.0 2.5

0.0

0.5

1.0

1.5

2.0

2.5

x

Den

sida

d de

pro

babi

lidad

β = 0.5

β = 1

β = 1.5

β = 2.5

β = 5

0 1 2 3 4 5

0.0

0.2

0.4

0.6

0.8

x

Dis

trib

ució

n de

pro

babi

lidad

β = 0.5

β = 1

β = 1.5

β = 2.5

β = 5

Figura 2.11: Distribución de Weibull para distintos valores de β.

La distribución modela la distribución de fallos (en sistemas) cuando la tasa de fallos esproporcional a una potencia del tiempo:

Un valor β < 1 indica que la tasa de fallos decrece con el tiempo.

Cuando β = 1, la tasa de fallos es constante en el tiempo.

Un valor β > 1 indica que la tasa de fallos crece con el tiempo.

Su función de distribución de probabilidad es:

F (x; η, β, γ) = 1− e−( x−γη )β

(2.25)

Para valores de x ≥ 0, siendo nula en x < 0.

En la Figura 2.11 se ve como varía la función de distribución para distintos valores de β.

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Siendo su tasa de fallo:

λ(x; η, β, γ) =β

η

(x− γη

)β−1(2.26)

En la Figura 2.12 se puede como varía la tasa de fallo λ para distintos valores de η y β.

0 20 40 60 80 100

0.00

20.

004

0.00

60.

008

0.01

00.

012

0.01

40.

016

TASA DE FALLO

x

λ

β < 1

β = 1

β > 1

α = 1000

α = 170

α = 90

Figura 2.12: Representación de la tasa de fallo para distintos valores de β.

El parámetro de forma β nos indica el tipo de fallo que es, así como el tipo de distribuciónprobabilística que podemos seguir.

Su función de Fiabilidad R(t):

R(x) = e−( x−γη )β

(2.27)

Su Esperanza matemática o media:

E(x) = Media = γ + η · Γ(

1 +1

β

)(2.28)

Donde Γ(· · · ) es la función Gamma4.

2.3.6.1. Característica de vida, η

La Vida Característica η es el valor del dato que corresponde al 63,2 % del valor del RangoMedio de la línea recta o dicho de otro modo, la edad a la cual el 63,2 % de las unidades podríanfallar. Este 63,2 % es,

4La explicación en detalle de esta función queda fuera del objetivo de este proyecto para más información puede consultarel siguiente enlace: Función Gamma.

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http://personales.ya.com/casanchi/mat/funciongamma01.htm


F (x = η, β) = 1− e−(x/η)β

= 1− e−(1)β

= 1− 1

e1= 0,632 = 63,2 %

En el Gráfico de Weibull, puede hacer estimaciones de probabilidades utilizando la línearecta, o simplemente leyendo la probabilidad en el eje de ordenadas, para un dato. En este estudioleeremos los siguientes puntos en el eje de ordenada:

beta1: El 1 % de la muestra fallará antes del tiempo marcado en el eje de abscisas o el 99 %de la muestra fallará después de dicho tiempo. Para hallarlo trazamos una paralela al eje deabscisas hasta que corte la recta de regresión y donde corte trazamos una paralela al eje deordenadas que marcará el tiempo de fallo. Estas líneas en los gráficos se trazarán en trazosdiscontinuos y de color negro.

beta5: El 5 % de la muestra fallará antes del tiempo marcado en el eje de abscisas o el 95 % dela muestra fallará después de dicho tiempo. Estas líneas en los gráficos se trazarán en trazosdiscontinuos y de color negro.

beta10: El 10 % de la muestra fallará antes del tiempo marcado en el eje de abscisas o el 90 % dela muestra fallará después de dicho tiempo. Estas líneas en los gráficos se trazarán en trazosdiscontinuos y de color negro.

2.3.6.2. Características de la distribución Weibull

La distribución de Weibull nos ayuda a conocer:

El tipo de mecanismos de fallo que ha sido el causante del mismo.

Cantidad de fallos que se pueden esperar en un futuro.

Fiabilidad de un equipo existente.

Tipo de fallos que se pueden dar:

0 < β < 1 Mortalidad infantil.

β = 1 Tasa de fallo constante.

• Fallos aleatorio independiente del tiempo.

• Errores humanos.

• Errores de Mantenimiento.

• Sistemas de varios componentes.

• Combinación de dos o tres modos de fallos diferentes.

1 < β < 4 Tasa de creciente.

• Implica desgastes tempranos.

• Fatiga de baja frecuencia, con β = 2,5 hasta β = 4.

• Fallos en rodamientos de bolas β = 2.

• Fallos en rodamientos de rodillos β = 1,5.

• Corrosión o erosión con β = 3 hasta β = 4.

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2. Fundamentos Teóricos. 2.4. Cálculo de los parámetros Weibull

• Corrosión o esfuerzos con β = 5 o mayor.

• Fallos en correas β = 2,5.

4 < β Tasa de creciente.

• Envejecimiento operacional.

• Corrosión por esfuerzos.

• Pérdida de propiedades de los materiales.

• Materiales frágiles como la cerámica.

• Algunos tipos de erosión.

Distribución que pueden ser aproximadas a través de la distribución de Weibull:

β = 1 Distribución Exponencial.

β = 2 Distribución de Rayleigh.

3 6 β 6 4 Distribución Normal.

2.4. Cálculo de los parámetros de Weibull por el método de losmínimos cuadrados

2.4.1. Rango de la mediana

Para poder trazar la recta de regresión, se debe calcular un estimador para la función dedistribución acumulativa F (x). Este estimador, llamado Rango de la mediana, es un estimador noparamétrico basado en el orden de las fallos. Este aspecto implica que la muestra de datos se debeorganizar de menor a mayor (en forma ascendente).

La expresión matemática para este estimador es:

Wα(xi) =

i

n− i+ 1

F1−α,2(n−i+1),2i +i

n− i+ 1

(2.29)

Donde:

Wα(xi) Rango de mediana para un nivel de confianza (1−α), donde α es el nivel de significanciay toma el valor de 0,5 para este estimador.

i Orden del fallo

n Número total de la muestra

F1−α,2(n−i+1),2i Valor crítico de la distribución F de Snedecor5, evaluada en el nivel de signifi-cancia α y con grados de libertad v1 = 2(n− i+ 1) y v2 = 2i.

5La explicación en detalle de esta función queda fuera del objetivo de este proyecto para más información puede consultarel siguiente enlace: Distribución F de Snedecor.

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http://cajael.com/mestadisticos/T7DContinuas/node18.php


Dada la complicación de la ecuación 2.29 en la literatura técnica está muy extendido utilizarpara aproximar el rango de la mediana la siguiente expresión:

RM(xi) =i− 0,3

n+ 0,4(2.30)

Aunque la ecuación 2.30 es menos exacta que la ecuación 2.29. En este estudio se utilizarála ecuación 2.29.

2.4.2. Cálculo de los parámetros β y η

El método de los mínimos cuadrados permite calcular los parámetros de forma y escala,mediante la transformación doble logarítmica de la función de distribución acumulativa.

Partimos de la función de distribución de Weibull y operando con ella llegamos:

F (x) = 1− e−(x/η)β

e−(x/η)β

= 1− F (x)

1

e(x/η)β= 1− F (x)

1

1− F (x)= e(x/η)

β

ln

(1

1− F (x)

)= ln

(e(x/η)

β)

ln

(1

1− F (x)

)= (x/η)β

ln

(ln

(1

1− F (x)

))= ln(x/η)β

ln

(ln

(1

1− F (x)

))= β ln(x/η)

ln

(ln

(1

1− F (x)

))= β(ln(x)− ln(η))

ln

(ln

(1

1− F (x)

))= β ln(x)− β ln(η)

La expresión anterior representa una ecuación lineal de la forma:

y = ax+ b

La cual es una recta de regresión con los siguientes parámetros:

y = ln

(ln

(1

1− F (x)

)); a = β ; x = ln(x) ; b = −β ln(η) (2.31)

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De la expresión anterior se concluye que el parámetro de forma, β, es la pendiente de larecta de regresión. F (x) toma los valores del Rango de Mediana (ecuación 2.29).

También se observa que el parámetro de escala η, está en función del intercepto b de la rectade regresión y del parámetro de forma β, por lo tanto:

b = −β ln(η)

− bβ

= ln(η)

e(−b/β) = eln(η)

Quedando η como:

η = e−b/β (2.32)

2.4.3. Cálculo del parámetro γ

El parámetro γ indica en el tiempo, el momento a partir del cual se genera la distribución.Este parámetro se halla por métodos de estimación. El proceso que se ha seguido es el siguiente:

1. Se va dando valores a γ y para cada uno de ellos se repetirá el proceso. Donde x es el vectorde los datos de la muestra, que para nuestro caso por ejemplo serán TBF y TTR.

x′i = xi − γi

2. Se calcula los valores del eje de abscisas y ordenadas como:

Abscisas: ln(x′i)

Ordenadas: ln(ln( 11−F (x) )) donde F (x) son los valores del Rango de Mediana.

Conjunto de puntos: Conjunto ={

ln(x′i); ln(ln( 11−F (x) ))

}3. Cálculo de la línea de regresión del conjunto de puntos anteriores mediante mínimos cuadra-

dos.

4. Cálculo del error o residuo para cada punto del conjunto anterior.

ei = yi − yDe la linea regresion

5. Cálculo del Error Cuadrático Medio para cada valor de γ.

Ecm =

√∑e2in

6. Se representa gráficamente el Ecm frente al valor de γ con el que ha sido calculado.

7. La solución será el valor de γ que hace mínimo el Error Cuadrático Medio.

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2. Fundamentos Teóricos. 2.5. Verificación del modelo

En este estudio se ha calculado mediante el código de R que puedes encontrar en el apén-dice B.2, en el que vienen todas las operaciones detalladas.

Una vez obtenido el valor de γ habría que reajustar los parámetros de β y η de la sec-ción 2.4.2, teniendo en cuenta ahora que en la ecuación 2.31 el valor introducido no será x sino elx′ definitivo, una vez calculado el γmin.

2.4.4. Consideraciones sobre el parámetro γ

Si al graficar los puntos de la muestra partiendo de una distribución de Weibull biparamétrica(γ = 0), aparece una cola de puntos hacia arriba o hacia abajo, separándose de la recta deregresión entonces es un indicativo de que el parámetro de localización debe ser calculado.

Una cola hacia abajo es indicativo de que un parámetro de localización positivo está presente.

Una cola hacia arriba es indicativo de que un parámetro de localización negativo está presente.

Un parámetro de localización negativo se presenta cuando hay unidades con fallas en servicio,o unidades en servicio con defectos que causarán fallos. Ejemplos:

• Defectos originados durante el ensamble.

• Defectos originados durante el transporte.

• Defectos originados durante la instalación o montaje.

• Defectos originados durante el almacenamiento.

Valores grandes del parámetro de forma (β > 10) son otro indicativo de que el parámetro delocalización debe ser calculado.

2.5. Verificación del modelo

Para verificar la ley que describe la fiabilidad de los equipos, tomamos un conjunto deobservaciones y proponemos una hipótesis de que ellas siguen una determinada distribución deprobabilidad (Normal, Exponencial, Weibull,...). Luego obtenemos los parámetros asociados a taldistribución de probabilidad.

La calidad del proceso anterior debe ser verificada. Para ello primero aceptamos que alimponer una distribución dada se incurre en algún error, pero queremos de que el riesgo de queello ocurra sea lo menor posible. Para contrastar los modelos elegidos utilizaremos:

El Test χ2, cuando el tamaño de la muestra n sea n > 50.

El Test de Kolmogorov-Smirnov (KS), cuando el tamaño de la muestra n sea n ≤ 50.

Los dos contrastes de hipótesis pueden aplicarse a cualquier tipo de variables aunque estánespecialmente indicados para variables de tipo discreto o cualitativo en el caso del primero de ellos(test de χ2 bondad de ajuste) y para variables de tipo continuo en el segundo (test de Kolmogorov-Smirnov).

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2.5.1. Test χ2

supongamos que tenemos una muestra de tamaño N de una variable aleatoria discreta ocualitativa, X, ajustada a un modelo dado por una distribución.

Consideremos una partición del conjunto de valores que puede tomar la variable: S1, ..., Sn.En principio, esta partición podrían ser simplemente todos y cada uno de los valores que toma lavariable X, pero, como veremos, es posible que tengamos que agrupar algunos de ellos.

Seguidamente, consideremos la probabilidad, según la distribución dada por el ajuste quequeremos evaluar, de cada una de estas partes.

pi = P [X ∈ Si/H0] > 0 (2.33)

De igual forma, calculemos Oi, el número de observaciones de la muestra que caen en cadaconjunto Si.

La idea del test es comparar el número de observaciones Oi que caen realmente en cadaconjunto Si con el número esperado de observaciones que deberían caer en Si si el ajuste es el dadopor nuestro modelo, que sería N × pi. Para ello, una medida que compara estas dos cantidades:

D =

r∑i=1

(Oi −N ∗ pi)2

N ∗ pi(2.34)

Si, para una muestra dada, esta variable aleatoria toma un valor d muy alto, indica quelos valores observados no cuadran con el ajuste que hemos propuesto (con lo cuál se rechazaríala hipótesis nula en favor de la alternativa); si, por el contrario, toma un valor d bajo, indica quenuestro ajuste corresponde bien con los datos de la muestra, por lo que es aceptable la hipótesisnula.

El problema final es decidir cuándo el valor de la variable aleatoria D y d, es lo suficiente-mente alto como para que nos resulte inaceptable el ajuste. Para decidirlo hay que tener en cuentaque cuando N es razonablemente alto y la hipótesis H0 es cierta, la distribución de probabilidad deD es χ2 con r − k − 1 grados de libertad, es decir,

D/H0

N>>−→ χ2r−k−1 (2.35)

donde k es el número de parámetros que han sido estimados en el ajuste y su valor es segúnla distribución tomada:

k = 1 para la distribución Exponencial

k = 2 para la distribución Normal

k = 3 para la distribución de Weibull

Teniendo en cuenta este resultado, se calcula bajo esta distribución la probabilidad de quese de un valor todavía más alto que d (el p-valor, por tanto).

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p = P [D > d/H0 ] (2.36)

Si esta probabilidad es inferior al 5 %, se rechaza la hipótesis nula en favor de la alternativacon un 95 % de confianza. Dicho de otra forma, se acepta la hipótesis nula sólo si el valor de D entradentro del 95 % de resultados más favorables a ella.

Resumen esquemático del proceso:

1. Se enuncia el test definiendo H0 y H1.

2. Si en la muestra se dan los valores x1, ..., xm, se calculan las frecuencias esperadas según elajuste propuesto de cada valor xi, N × P [X = xi], i = 1, ...,m. Si alguna de estas frecuencias esinferior a 5, se agrupa con alguna de la más cercana hasta que sumen una frecuencia mayoro igual a 5. Se construye así la partición del conjunto de valores posibles para X, S1, ...Sr,cuyas frecuencias esperadas son todas mayores o iguales a 5. En realidad, esto es sólo unarecomendación que puede relajarse: si alguna frecuencia esperada es sólo ligeramente inferiora 5, no es especialmente grave.

3. Se calculan las frecuencias observadas de cada Si, y lo notamos como Oi.

4. Se calcula el estadístico del test d.

5. Se calcula el p-valor asociado al valor del estadístico.

6. Se toma la decisión (para un nivel de confianza del 95 %):

Si p < 0,05, se rechaza la hipótesis nula en favor de la alternativa, con un 95 % de confian-za.

Si p ≥ 0,05, se concluye que no hay evidencias en contra de alarmar que los datos seajustan a la distribución dada.

2.5.2. Test de Kolmogorov-Smirnov (KS)

En este caso el test es aplicable sobre todo a variables de tipo continuo. Se basa en lacomparación de la función de distribución teórica propuesta por el modelo cuyo ajuste estamosevaluando con la función de distribución empírica de los datos.

Concretamente, si tenemos X1, ..., XN una muestra de una variable aleatoria X, si notamospor F (x) a la función de distribución del modelo propuesto y por SN (x) a la función de distribuciónempírica asociada a la muestra, el estadístico que se utiliza para este contraste viene dado por:

DN = Supx|F (x)− SN (x)| (2.37)

A la hora de calcular este máximo debemos tener en cuenta que la variable x es de tipocontinuo.

La hipótesis nula a contrastar es:

H0: los datos de la muestra se ajustan a la distribución dada por F (x).

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frente a la hipótesis alternativa:

H1: los datos de la muestra no se ajustan a la distribución dada por F (x).

Se rechazará la hipótesis nula en favor de la alternativa cuando el p-valor asociado al valorque tome DN sea inferior a 0,05.

Resumen esquemático del proceso:

1. Ordenamos los valores de la muestra de menor a mayor: x(1), ..., x(N).

2. Construimos la función de distribución empírica, que en cada valor de la muestra viene dado

por SN (x(i)) =i

N.

3. El valor del estadístico se calcula como:

dN = max1≤i≤N

{max{|F (x(i))− S(N(i))|, |F (x(i))− S(N(i−1))|}} (2.38)

4. Se rechazará la hipótesis nula en favor de la alternativa si p = P [DN > dN ] < 0,05, con un(1− p) ∗ 100 % de confianza.

En el Apéndice A se puede ver un diagrama de flujo completo, de la forma de trabajar conla distribución de Weibull aplicada al mantenimiento.

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3Aplicación del método de Weibull.

3.1. Ejemplo biparamétrico

El comportamiento de una máquina en el tiempo se muestra en la siguiente Tabla 3.1 dondeaparecen los distintos TBF y TTR. Se desea conocer cuál fue la disponibilidad de la máquina.

i TBF(Horas) TTR(Horas)1 110 22 330 263 120 344 220 35 225 96 218

Tabla 3.1: Datos ejercicio 1.

Partiendo de los datos de TBF compilamos el programa en R para hallar los parámetros deWeibull así como su gráfico (Figura 3.1), los resultados son los siguientes:

n beta alpha R2 r p.valor beta1 beta5 beta106 2,382 234,435 0,888 0,942 0,81957 33,987 67,373 91,144

Tabla 3.2: Resultados ejercicio 1, TBF.

Se puede ver que el coeficiente de determinación R2 y el coeficiente de correlación r no estánen el rango que aconseja el método A por poca diferencia pero como el p − valor > 0,05 aceptamoscon un nivel de confianza del 95 % que la muestra de datos proviene de una distribución de Weibully damos por bueno los parámetros obtenidos.

Y para los TTR:

n beta alpha R2 r p.valor beta1 beta5 beta105 0,795 15,976 0,929 0,964 0,991232 0,049 0,381 0,942

Tabla 3.3: Resultados ejercicio 1, TTR.

Ahora calculamos el MTBF :

MTBF = η ∗ Γ

(1 +

1

β

)(3.1)

25

3. Aplicación del método de Weibull. 3.1. Ejemplo biparamétrico

●

●

●

●

●

●

TBF

Infia

bilid

ad (

%)

12

35

710

1525

4055

7590

50 100 150 200 300

●

●

●

●

●

TTR

Infia

bilid

ad (

%)

12

35

710

1525

4055

7590

0.01 0.05 0.50 5.00 50.00

Figura 3.1: Gráfico Weibull, ejercicio 1.

Obteniéndose un MTBF = 207,794 Horas.

Ahora calculamos el MTTR:

MTTR = η ∗ Γ

(1 +

1

β

)(3.2)

Obteniéndose un MTTR = 18,182 Horas.

Con los datos anteriores podemos calcular la disponibilidad de la máquina como:

D(t) =MTBF

MTBF +MTTR= 0,919 ' 92 %

Representando la función de distribución F (x; 234,345; 2,382) = 1−e−(x/234,345)2,382 y la funciónde fiabilidad R(x; 234,345; 2,382) = e−(x/234,345)

2,382

como se muestra en la Figura 3.2 podemos calcularla probabilidad de que la máquina dure más de T horas sin fallos.

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R(t) = P [T > t] = 1− PFuncion de Distribucion(T )

Por ejemplo:

R(445,105) = P [T > 445,105] = 1 % Probabilidad de que la máquina dure más del 445,105 Horases del 1 %.



R(200) = P [T > 200] = 49,58 % Probabilidad de que la máquina dure más del 200 Horas es del49,58 %.

0 100 200 300 400 500

0.0

0.2

0.4

0.6

0.8

1.0

Tiempo

Distribución

Fiabilidad

Figura 3.2: Función de Distribución y Fiabilidad, ejercicio 1.


Un grupo de rodamientos han durado: 801, 312, 402, 205, 671, 1150, 940, 495, 570. Se desea cono-cer la fiabilidad a las 600 Horas y el MTBF .

Cargamos los datos en el programa R y obtenemos los siguientes resultados:

n beta alpha R2 r p.value beta1 beta5 beta109 2,014 705,276 0,998 0,999 0,999999 71,844 161,389 230,725

Tabla 3.4: Resultados ejercicio 2.

Aceptamos los datos de la muestra que sigue una distribución de Weibull con un nivel deconfianza del 95 %.

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3. Aplicación del método de Weibull. 3.3. Ejemplo triparamétrico

●

●

●

●

●

●

●

●

●

Gráfico de Weibull

TBF

Infia

bilid

ad (

%)

12

35

710

1525

4055

7590

50 100 200 500 1000 2000

Figura 3.3: Gráfico de Weibull ejercicio 2.

R(600) = P [T > 600] = 1− e−( 600705,276 )

2,014

= 0,5143 = 51,43 %

MTBF = η ∗ Γ

(1 +

1

β

)= 624,9588 Horas

3.3. Ejemplo triparamétrico

En la Tabla 3.5, se muestran los tiempos de operación libre de fallos de una máquina. Sedesea conocer:

a) Los parámetros de Weibull.

Aplicamos a los datos el código de programación de la sección B.3 y obtenemos los resultados enla siguiente Tabla 3.6, así como el gráfico 3.4.

b) MTBF .

MTBF = γ + η ∗ Γ

(1 +

1

β

)= 7594,479 Horas

c) La fiabilidad cuando t = MTBF .

R(7594,479) = e−( 7594,479−14626776,46 )

1,471

= 0,264158 ' 26,42 %

Fundación UNED 28


i Tiempo (Horas)1 21752 28003 33004 38005 42506 46507 52508 58409 6300

10 670011 715012 780013 850014 920015 1050016 1100017 1260018 140019 15800


n beta eta gamma.min R2 r p.value beta1 beta5 beta1019 1,471 6776,46 1462 0,999 0,999 0,446702 297,075 899,683 1467,607

Tabla 3.6: Resultados del ejercicio 3.

d) Establecer los plazos de mantenimiento preventivo para garantizar una fiabilidad del 95 %.

R(t) = e−( t−14626776,46 )

1,471

= 0,95 = 95 %

En el gráfico 3.4 se puede ver con línea negra discontinua la beta5 y la beta10 que coincide con elvalor del gráfico cuando se tiene en cuenta γ,

t− γ = η · (− ln(0,95))1/β = 899,683 Horas

despejando t de la ecuación obtenemos,

t = η · (− ln(0,95))1/β + γ = 2361,683 Horas

por lo que establecemos el intervalo de mantenimiento preventivo cada 2361 Horas, para asegu-rarnos con una probabilidad 95 % de que la máquina trabaje sin fallos.

3.4. Ejemplo triparamétrico

Los tiempos de fallos de una máquina empaquetadora son los que aparecen en la siguientetabla 3.7:

Aplicamos a los datos el código de programación de la sección B.3 y obtenemos los resulta-dos en la Tabla 3.8, así como el gráfico 3.5.

Observando la Tabla 3.8 se puede ver como el P − valor < 0,05 por lo tanto rechazamos lahipótesis de que este registro de datos provenga de una distribución de Weibull con parámetros

Fundación UNED 29


0 500 1000 1500

0.2

0.3

0.4

0.5

0.6

Gamma

Err

or C

uadr

átic

o M

edio

●

γ(min) = 1462

●

●

●

●

●

●

●

●

●

●

●

●

●

●

●

●

●

●

●

Gráfico de Weibull

TBF

Infia

bilid

ad (

%)

34

57

915

2030

4055

7085

951000 2000 3500 6000 11000


0 50 100 150 200

1.1

1.2

1.3

1.4

1.5

1.6

1.7

Gamma

Err

or C

uadr

átic

o M

edio

●

γ(min) = 207

●

●

●

●

●

●

●

●

●

●

●

●

●

●

●

●

●

Gráfico de Weibull

TBF

Infia

bilid

ad (

%)

45

79

1520

3040

5570

8595

50 100 200 400


Fundación UNED 30


i Tiempo (Horas)1 2252 2553 2594 3175 3206 3237 3268 3279 330

10 33211 45712 48513 50114 59415 59916 62517 640


n beta eta gamma.min R2 r p.value beta1 beta5 beta1017 1,282 226,331 207 0,942 0,971 4,78E-07 6,257 22,313 39,12


(β = 1,282, η = 226,331, γ = 207). En este caso habría que comprobar si dichos datos siguen otradistribución, pero para nuestro ejemplo los tomaremos como válidos. Suponemos que si siguen unadistribución de Weibull con los parámetros antes nombrados.

El valor de β > 1 indica que el equipo se encuentra en una etapa de madurez o vejez, conuna tasa de fallo creciente.

Calculamos el MTBF ,

MTBF = γ + η ∗ Γ

(1 +

1

β

)= 416,6357 Horas

La curva de fiabilidad con los parámetros obtenidos es,

R(t) = e−( t−207226,331 )

1,282

Así como la curva de la tasa de fallo es,

λ(t) =1, 282

226, 331

(t− 207

226, 331

)1,282−1

como se puede ver en gráfico 3.6 los gráficos de ambas curvas.

Sustituyendo el valor MTBF en las ecuaciones anteriores obtenemos el valor de fiabilidad ysu tasa de fallo para el mismo, siendo estos:

Fundación UNED 31


200 300 400 500 600

0.2

0.4

0.6

0.8

1.0

Tiempo

R(t

)

200 300 400 500 6000.

000

0.00

10.

002

0.00

30.

004

0.00

50.

006

Tiempo

Tasa

de

fallo

Figura 3.6: Gráfico de fiabilidad y tasa de fallo, ejercicio 4.

R(416,6357) = e−( 416,6357−207226,331 )

1,282

= 0,4039619 = 40,40 %

λ(416,6357) =1, 282

226, 331

(416,6357− 207

226, 331

)1,282−1

= 0,00554

por último estableceremos los plazos de mantenimiento preventivo para garantizar una fia-bilidad del 95 %.

R(t) = e−( t−207226,331 )

1,282

= 0,95 = 95 %

En el gráfico 3.5 se puede ver con línea negra discontinua la beta5 y la beta10 que coincidecon el valor del gráfico cuando se tiene en cuenta γ,

t− γ = η · (− ln(0,95))1/β = 22,31265 Horas

despejando t de la ecuación obtenemos,

t = η · (− ln(0,95))1/β + γ = 229,3126 Horas

Fundación UNED 32


por lo que establecemos el intervalo de mantenimiento preventivo cada 229,3126 Horas, paraasegurarnos con una probabilidad 95 % de que la máquina trabaje sin fallos.


En la tabla 3.9 se puede ver los tiempos entre fallos de 10 trenes en kilómetros. Se deseaconocer las características de fiabilidad de dicho parque de trenes.

i km/fallo1 155702 173233 170344 168095 162466 177417 159908 210019 22587

10 3609011 3387712 3964413 4400314 4479915 5230016 5498017 5892118 5744319 5965720 6401621 6481222 7231323 7499324 7893425 7745626 8400527 9756528 10133429 11643230 18754331 13367632 16045033 223940


Aplicamos a los datos el código de programación de la sección B.1 y obtenemos los resulta-dos en la Tabla 3.10, así como el gráfico 3.7.

n beta eta R2 r p.value beta1 beta5 beta1033 1,47 72882,12 0,9 0,949 0,787486 3188,307 9662,983 15767,98


Como se puede ver en los resultados arrojados por el programa se observa que los datosdel ajustes (r, R2) no son muy buenos pero el p − valor > 0,05 nos confirma que procede de una

Fundación UNED 33


distribución de Weibull con parámetros (β = 1, 47, η = 72882, 12) al 95 % de confianza. Aunque hastaahora todo parece normal, hay que observar el gráfico 3.7 en el que se ha marcado las coordenadascon puntos y líneas para remarcar como a la izquierda del mismo existe una cola de datos haciaabajo lo que es indicativo de que existe el parámetro de localización γ y para que los cálculosestuvieran ajustados habría que calcular este ejercicio de forma triparamétrica. Obviaremos esaconsideración anterior y seguiremos trabajando con este ejercicio como si fuese biparamétrico.

●

●

●

●

●

●

●

●

●

●

●

●●

●●

●●

●●

●●

●●

●●

●●

●●

●

●

●

●

Gráfico de Weibull

TBF

Infia

bilid

ad (

%)

12

35

710

1525

4055

7590

14000 18000 23000 30000 39000 50000 70000 90000 120000 160000 220000

Figura 3.7: Gráfico del ejercicio 5.

Ahora vamos a calcular el MTBF ,

MTBF = η ∗ Γ

(1 +

1

β

)= 65961,85 Km/fallo

la fiabilidad asociada al MTBF ,

R(65961,85) = e−( 65961,8572882,12 )

1,47

= 0,4216457 = 42,16 %

Siendo su tasa de fallo,

λ(65961,85) =β

η

(65961,85

η

)β−1= 1,924563e− 05

Fundación UNED 34


En la imagen 3.8 podemos ver tanto el gráfico de fiabilidad como la tasa de fallos, en ambosviene marcado el valor obtenido para t = MTBF .

50000 150000

0.0

0.2

0.4

0.6

0.8

Tiempo

R(t

)

50000 150000

1.0e

−05

1.5e

−05

2.0e

−05

2.5e

−05

3.0e

−05

3.5e

−05

Tiempo

Tasa

de

fallo

Figura 3.8: Fiabilidad y tasa de fallo del ejercicio 5.

Fundación UNED 35

4Conclusiones

Como se ha demostrado el cálculo de la distribuciones estadísticas especialmente la deWeibull aplicado a la fiabilidad y al mantenimiento son muy útiles y nos sirven para:

Nos ayuda a definir políticas de mantenimiento para el futuro.

Nos ayuda a definir programas de mantenimiento preventivo más eficientes mejorando lasperiodicidades establecidas por los fabricantes.

Nos permite estimar el tiempo medio en el que se producirá el siguiente fallo.

Para un periodo de tiempo dado nos dice la fiabilidad de nuestro equipo o conjunto de equipos.

Nos permite conocer la disponibilidad en función del MTBF y MTTR calculados.

Conociendo el parámetro β sabemos en que zona de la vida del equipo o del conjunto deequipos se encuentra, podemos tomar como referencia:

• β < 0,99 mortalidad infantil, entorno al 20 o al 25 %.

• 0,99 ≤ β ≤ 1,3 etapa normal, entorno al 50 o al 55 %.

• β > 1,3 etapa de desgaste, entorno al 10 o al 15 %.

Optimizar el uso de los recursos físicos y del equipo humano.

Optimización de los costes del departamento mantenimiento. Este es el punto más importantepero en este estudio no se ha desarrollado ningún ejemplo porque no se ha explicado la teo-ría de costes de mantenimiento. Aplicando weibull junto con la teoría de costes nos permiteconocer:

• calcular los intervalos óptimos de mantenimiento preventivo asociado al mínimo costeeconómico.

• Calcular el intervalo óptimo de sustitución económica de equipos.

36

Apéndices

37

ADiagrama del proceso de trabajo de la

distribución de Weibull aplicada almantenimiento

38

A. Diagrama del proceso de trabajo

Fundación UNED 39

BSoftware de estadística aplicada, R

R1 es un lenguaje y entorno de programación para análisis estadístico y gráfico. Se trata deun proyecto de software libre, resultado de la implementación GNU del premiado lenguaje S. R yS-Plus -versión comercial de S- son, probablemente, los dos lenguajes más utilizados en investiga-ción por la comunidad estadística, siendo además muy populares en el campo de la investigaciónbiomédica, la bioinformática y las matemáticas financieras. A esto contribuye la posibilidad de car-gar diferentes bibliotecas o paquetes con finalidades específicas de cálculo o gráfico. R se distribuyebajo la licencia GNU GPL.

Figura B.1: Captura de pantalla del código R, corriendo sobre la plataforma RStudio.

LA figura B.1 es una captura de pantalla de la plataforma de trabajo de RStudio2.

1Para los interesados en este software pueden descargarlo del siguiente enlace: www.r-project.org2Para los interesados en esta plataforma pueden descargarla en el siguiente enlace: www.rstudio.org

40

http://www.r-project.org/

www.rstudio.org

B. Software de estadística aplicada, R B.1. Solución distribución biparamétrica

B.1. Cálculo de los parámetros y gráfico solución para una dis-tribución de Weibull biparamétrica

A continuación mostraremos el código de programación utilizado para calcular los pará-metros de Weibull, su comprobación mediante ajuste por mínimos cuadrados, la obtención delcoeficiente de determinación R2 y el coeficiente de correlación r, y por último se realizaremos untest de la bondad del ajuste, que dependerá del tamaño de la muestra. Si la muestra n es n > 50realizaremos el test de χ2 y si la muestra es 50 ≥ n realizaremos el test de Kolmogorov-Smirnov.

############################################################ CÁLCULO WEIBULL BIPARAMÉTRICA. #######################################################

# 1− Introduce los datos de la muestra .datos <− c(801,312,402,205,671,1150,940,495,570)

# 2− Ordena de menor a mayor los datos .datosOrdenados <− sort ( datos )

# 3− calcula e l número de datos .n <− length ( datos )

# 4− Calcula e l RANGO DE MEDIANA.i <− 1:na <− i/ (n−i +1)Fs <− qf (0.5 ,2∗ (n−i +1) ,2∗ i ) # Distr ibución F de Snedecor .RM <− a/ ( Fs+a ) # Rango de Mediana .

# 5− Valores de ( x , y ) para e l gráf ico . "y" es una función .Y <− function ( d ) {

y <− log ( log (1/(1−d ) ) ) ; y}X <− log ( datosOrdenados )

# 6− Crea tabla de datos .Tabla <− data . frame ( i , datosOrdenados ,RM,X,Y (RM) )

# 7− Calcula l inea de regresión y todos los parámetros .e <− lm (Y (RM) ~ X)beta <− round ( coef ( e ) [2 ] ,3 )intercepto <− round ( coef ( e ) [1 ] ,3 )eta <− round(1/exp ( intercepto/beta ) ,3)R2 <− round (summary( e )$r . squared ,3 )r <− round ( cor (X,Y (RM) ) ,3)beta1 <− round (exp ( ( Y(1/100)−intercepto )/beta ) ,3)beta5 <− round (exp ( ( Y(5/100)−intercepto )/beta ) ,3)beta10 <− round (exp ( ( Y(10/100)−intercepto )/beta ) ,3)

# 7− Dibuja e l gráf ico . Una vez introducido nuevos datos hay que modificar las#### coordenadas de x , a traves de la orden xlim ( ) dentro de los parámetros de plo t .plot ( x=datosOrdenados , y=Y(RM) , log="x" ,axes=F, lwd=2,cex=1,type="p" , cex . lab=1.1 ,

main=" Gráfico de Weibull " ,xlim=c(50 ,2000) ,ylim=Y(c (0.01 ,0.99) ) ,xlab="TBF" ,ylab=" Inf iab i l idad ( %) " , col=" red " , pch=20)

curve (add=TRUE, lwd=2, beta∗log ( x )−beta∗log ( eta ) , col=" red " )

ygrid <− c (1:10 , seq (10 ,100 ,5) )axis (2 ,Y ( ygrid/100) , ygrid , lwd=2)

xgrid <− c ( seq(100,500,100) ,seq(500,1500,500) )# Una vez modificado los datos hay que ajustar###### las líneas de div is ión ve r t i ca l del gráf ico .axis (1 , lwd=2)

abline ( v=xgrid , h=Y( ygrid/100) , col=" grey " )abline ( l t y =2,h=Y(1−exp(−1) ) , col=" blue " , lwd=2)abline ( l t y =2, h=Y(0 .1 ) , col=" black " , lwd=2)

Fundación UNED 41

B. Software de estadística aplicada, R B.2. Cálculo del parámetro γ

abline ( l t y =2, h=Y(0.05) , col=" black " , lwd=2)abline ( l t y =2, h=Y(0.01) , col=" black " , lwd=2)abline ( l t y =2, v=exp ( ( Y(1/100)−intercepto )/beta ) , col=" black " , lwd=2)abline ( l t y =2, v=exp ( ( Y(5/100)−intercepto )/beta ) , col=" black " , lwd=2)abline ( l t y =2, v=exp ( ( Y(10/100)−intercepto )/beta ) , col=" black " , lwd=2)abline ( l t y =2, v=exp ( ( Y(63.2/100)−intercepto )/beta ) , col=" blue " , lwd=2)

# 8− Realiza test de bondad de ajuste .i f (n<=50) {

# 8.1− Kolmogorov−Smirnov .ks <− ks . test ( datos , " pweibull " , beta , eta )pvalorks <− ks [2 ]i f ( pvalorks > 0.05) {

resultados <− data . frame (n, beta , eta ,R2, r , pvalorks , beta1 , beta5 , beta10 , row .names=" Resultados " )print ( resultados )print ( "Se ACEPTA la HIPOTESIS NULA p−valor > 0.05. Los datos SI siguen una distribución de

Weibull con parámetros eta y beta . " )} else {

resultados <− data . frame (n, beta , eta ,R2, r , pvalorks , beta1 , beta5 , beta10 , row .names=" Resultados " )print ( resultados )print ( "Se RECHAZA la HIPOTESIS NULA p−valor < 0.05. Los datos NO siguen una distribución de

Weibull con parámetros eta y beta . " )}

} else {# 8.2− Realiza test de bondad de ajuste de Chi−cuadrado .chi <− chisq . test ( datos )pvalorchi <− chi [3 ]i f ( pvalorchi > 0.05) {

resultados <− data . frame (n, beta , eta ,R2, r , pvalorchi , beta1 , beta5 , beta10 , row .names=" Resultados " )print ( resultados )print ( "Se ACEPTA la HIPOTESIS NULA p−valor > 0.05. Los datos SI siguen una distribución de

Weibull con parámetros eta y beta . " )} else {

resultados <− data . frame (n, beta , eta ,R2, r , pvalorchi , beta1 , beta5 , beta10 , row .names=" Resultados " )print ( resultados )print ( "Se RECHAZA la HIPOTESIS NULA p−valor < 0.05. Los datos NO siguen una distribución de

Weibull con parámetros eta y beta . " )}

}

El código anterior cuando es compilado, muestra por pantalla los siguientes resultados ygenera el siguiente gráfico: Figura B.2

n beta eta R2 r p. value beta1 beta5 beta10Resultados 9 2.014 705.276 0.998 0.999 0.9999995 71.844 161.389 230.725[1 ] "Se ACEPTA la HIPOTESIS NULA p−valor > 0.05. Los datos SI siguen una distribución de Weibull con

parámetros eta y beta . "

B.2. Cálculo del parámetro γ

Código de programación que nos permite obtener el parámetro γ así como su gráfica (Figu-ra B.3), en la que podemos ver como varía el Ecm.

####################################################### CÁLCULO DEL PARÁMETROS GAMMA. ############################################################# 1− Introduce los datos de la muestra .datos <− c(2175,2800,3300,3800,4250,4650,5250,5840,6300,6700,7150,

7800,8500,9200,10500,11000,12600,14000,15800)



Fundación UNED 42

B. Software de estadística aplicada, R B.2. Cálculo del parámetro γ

●

●

●

●

●

●

●

●

●

Gráfico de Weibull

TBF

Infia

bilid

ad (

%)

12

35

710

1525

4055

7590

50 100 200 500 1000 2000

Figura B.2: Gráfico de Weibull obtenido a través de la compilación del programa.

# 4− Calcula e l RANGO DE MEDIANA.i <− 1:na <− i/ (n−i +1)Fs <− qf (0.5 ,2∗ (n−i +1) ,2∗ i ) # Distr ibución F de Snedecor .RM <− a/ ( Fs+a ) # Rango de Mediana .

# 5− Valores de ( x , y ) para e l gráf ico . "y" es una función .Y <− function ( d ) {

y <− log ( log (1/(1−d ) ) ) ; y}

# 6− Cálculo del vector Error Cuadrático Medio .gamma <−0ecm<−0max <− 2000for ( i in 1:max) {# El índice " i " es gamma y es e l valor que va estimando .resta<− datosOrdenados−iX <− log ( resta )regr <− lm (Y (RM)~X)ecm[ i ] <− sqrt (sum( regr$residuals^2)/length ( residuals ) )# Error Cuadrático Medio .gamma[ i ] <− i# Gamma.}

# 7− Busca e l mínimo valor del Error cuadrático Medio y e l valor de Gamma# solución , siendo este e l que lo hace mínimo .i<−1while (ecm[ i +1]<ecm[ i ] ) {

i<− i +1gamma.min <− i

}

# 8− Dibuja e l gráf ico y e l punto solución .

Fundación UNED 43

B. Software de estadística aplicada, R B.3. Solución distribución triparamétrica

plot (gamma, ecm, type=" l " , col=" black " , lwd=2, xlab="Gamma" ,ylab=" Error Cuadrático Medio" , cex . lab =1.2)

points (gamma.min , min (ecm) , pch=20, col=" blue " )text (1500, 0.5 , as . expression ( substitute (gamma(min ) ==c , l i s t (c= i ) ) ) , pos=2,

col=" blue " )

0 500 1000 1500 2000

0.2

0.3

0.4

0.5

0.6

0.7

0.8

Gamma

Err

or C

uadr

átic

o M

edio

●

γ(min) = 1462

Figura B.3: Gráfico del Ecm frente a γ.

B.3. Cálculo de los parámetros y gráfico solución para una dis-tribución de Weibull triparamétrica

A continuación se muestra el código utilizado así como los resultado obtenidos y su gráfico(Figura B.4) para una distribución de Weibul triparamétrica.

########################################################### CÁLCULO WEIBULL TRIPARAMÉTRICA. ######################################################## 1− Introduce los datos de la muestra .datos <− c(2175,2800,3300,3800,4250,4650,5250,5840,6300,6700,7150,

7800,8500,9200,10500,11000,12600,14000,15800)



# 4− Calcula e l RANGO DE MEDIANA.i i <− 1:na <− i i / (n−i i +1)Fs <− qf (0.5 ,2∗ (n−i i +1) ,2∗ i i ) # Distr ibución F de Snedecor .RM <− a/ ( Fs+a ) # Rango de Mediana .

# 5− Valores de ( x , y ) para e l gráf ico . " x " e "y" son funciones .

Fundación UNED 44

B. Software de estadística aplicada, R B.3. Solución distribución triparamétrica

Y <− function ( d ) {y <− log ( log (1/(1−d ) ) ) ; y

}

X <− function ( g ) {y <− log ( g ) ; y

}

# 2 − Calcula e l error cuadratico medio .gamma <−0ecm<−0max <− max( datos )/10for ( i in 1:max) {

resta<− datosOrdenados−iXgamma <− log ( resta )regr <− lm (Y (RM)~Xgamma)ecm[ i ] <− sqrt (sum( regr$residuals^2)/length ( residuals ) )gamma[ i ] <− i

}

# 9 − Busca e l valor de gamma que hace mínimo el error cuadrático medio .j<−1while (ecm[ j +1]<ecm[ j ] ) {

j<− j +1gamma.min <− j

}

datosCorregidos <− datosOrdenados − gamma.min

# 6− Crea tabla de datos .Tabla <− data . frame ( i , datosOrdenados , datosCorregidos , RM,X( datosCorregidos ) ,Y (RM) )

# 7− Calcula l inea de regresión y todos los parámetros .e <− lm (Y (RM) ~ X( datosCorregidos ) )beta <− round ( coef ( e ) [2 ] ,3 )intercepto <− round ( coef ( e ) [1 ] ,3 )eta <− round(1/exp ( intercepto/beta ) ,3)R2 <− round (summary( e )$r . squared ,3 )r <− round ( cor (X( datosCorregidos ) ,Y (RM) ) ,3)beta1 <− round (exp ( ( Y(1/100)−intercepto )/beta ) ,3)beta5 <− round (exp ( ( Y(5/100)−intercepto )/beta ) ,3)beta10 <− round (exp ( ( Y(10/100)−intercepto )/beta ) ,3)beta63.2 <− round (exp ( ( Y(63.2/100)−intercepto )/beta ) ,3)

par (mfrow=c (1 ,2) )

plot (gamma, ecm, type=" l " , col=" black " , lwd=2, xlab="Gamma" ,ylab=" Error Cuadrático Medio" , cex . lab =1.2)

points (gamma.min , min (ecm) , pch=20, col=" blue " )text (max, 0.5 , as . expression ( substitute (gamma(min ) ==c , l i s t (c= j ) ) ) ,

pos=2,col=" blue " )

# 7− Dibuja e l gráf ico . Una vez introducido nuevos datos hay que modificar las#### coordenadas de x , a traves de la orden xlim ( ) dentro de los parámetros de plo t .plot ( x=X( datosCorregidos ) , y=Y(RM) ,

#log ="x " ,axes=F, lwd=2,cex=1,type="p" , cex . lab=1.1 ,main=" Gráfico de Weibull " ,#xlim=c(500,20000) ,#ylim=Y( c (0.01 ,0.99) ) ,xlab="TBF" ,ylab=" Inf iab i l idad ( %) " , col=" red " , pch=20)

abline ( e , col=" red " , lwd=2)

ygrid <− c (1:10 , seq (10 ,100 ,5) )axis (2 ,Y ( ygrid/100) , ygrid , lwd=2)

xgrid <− c ( seq(500,5000,500) ,seq(5000,20000,1000) )# Una vez modificado los datos hay que ajustar###### las líneas de div is ión ve r t i ca l del gráf ico .axis (1 , X( xgrid ) , xgrid , lwd=2)

abline ( v=X( xgrid ) , h=Y( ygrid/100) , col=" grey " )

Fundación UNED 45

B. Software de estadística aplicada, R B.4. Paquete Weibull toolkit

abline ( l t y =2,h=Y(1−exp(−1) ) , col=" blue " , lwd=2)abline ( l t y =2, h=Y(0 .1 ) , col=" black " , lwd=2)abline ( l t y =2, h=Y(0.05) , col=" black " , lwd=2)abline ( l t y =2, h=Y(0.01) , col=" black " , lwd=2)abline ( l t y =2, v=X( beta1 ) , col=" black " , lwd=2)abline ( l t y =2, v=X( beta5 ) , col=" black " , lwd=2)abline ( l t y =2, v=X( beta10 ) , col=" black " , lwd=2)abline ( l t y =2, v=X( beta63 .2 ) , col=" blue " , lwd=2)

# 8− Realiza test de bondad de ajuste .i f (n<=50) {

# 8.1− Kolmogorov−Smirnov .ks <− ks . test ( datos , " pweibull " , beta , eta )pvalorks <− ks [2 ]i f ( pvalorks > 0.05) {

resultados <− data . frame (n, beta , eta ,gamma.min,R2, r , pvalorks , beta1 ,beta5 , beta10 , row .names=" Resultados " )

print ( resultados )print ( "Se ACEPTA la HIPOTESIS NULA p−valor > 0.05. Los datos SI siguen una distribución de

Weibull con parámetros eta , beta y gamma.min. " )} else {

resultados <− data . frame (n, beta , eta ,gamma.min,R2, r , pvalorks , beta1 , beta5 , beta10 , row .names="Resultados " )

print ( resultados )print ( "Se RECHAZA la HIPOTESIS NULA p−valor < 0.05. Los datos NO siguen una distribución de

Weibull con parámetros eta , beta y gamma.min. " )}

} else {# 8.2− Realiza test de bondad de ajuste de Chi−cuadrado .chi <− chisq . test ( datos )pvalorchi <− chi [3 ]i f ( pvalorchi > 0.05) {

resultados <− data . frame (n, beta , eta ,gamma.min,R2, r , pvalorchi , beta1 , beta5 , beta10 , row .names="Resultados " )

print ( resultados )print ( "Se ACEPTA la HIPOTESIS NULA p−valor > 0.05. Los datos SI siguen una distribución de

Weibull con parámetros eta , beta y gamma.min. " )} else {

resultados <− data . frame (n, beta , eta ,gamma.min,R2, r , pvalorchi , beta1 , beta5 , beta10 , row .names="Resultados " )

print ( resultados )print ( "Se RECHAZA la HIPOTESIS NULA p−valor < 0.05. Los datos NO siguen una distribución de

Weibull con parámetros eta , beta y gamma.min. " )}

}

n beta eta gamma.min R2 r p. value beta1 beta5Resultados 19 1.471 6776.46 1462 0.999 0.999 0.4467021 297.075 899.683

beta10Resultados 1467.607[1 ] "Se ACEPTA la HIPOTESIS NULA p−valor > 0.05. Los datos SI siguen una distribución de Weibull con

parámetros eta , beta y gamma.min. "

B.4. Paquete Weibull toolkit

R es un software muy flexible y con una gran repertorios de paquetes, continuamente ac-tualizado por sus creadores, que pueden ser utilizado. Existe un paquete llamado weibulltoolkitque calcula los parámetros de Weibull y realiza su gráfica. Este paquete puede ser descargado delsiguiente enlace: The FATIMAT project.

Una vez obtenido e instalado el paquete, sólo hay que ejecutar el siguiente código:

################################################################ WEIBULL TOOLKIT #####################################################################################

Fundación UNED 46

http://mechanics.kahosl.be/fatimat/index.php/downloads-and-information/42/176


0 500 1000 1500

0.2

0.3

0.4

0.5

0.6

Gamma

Err

or C

uadr

átic

o M

edio

●

γ(min) = 1462

●

●

●

●

●

●

●

●

●

●

●

●

●

●

●

●

●

●

●

Gráfico de Weibull

TBF

Infia

bilid

ad (

%)

12

35

710

1525

4055

7590

500 1000 2000 5000 10000

Figura B.4: Gráfico del parámetro γ y su gráfico de Weibull asociado.

# 1− Carga e l paquete .library ( " weibul l toolki t " )

# 2− Introduce los datos .data <− c(400,140,300,220,440,530,620,710,850,1200,1000)

n <− length ( data )e <− rep (1 ,n)d <− Surv ( time=data , event=e )

# 3− Dibuja e l gráf ico y calcula sus parámetros .plot .wb(d,R=1000, legend . position=" bottomright " , legend . text . s ize =0.5 , legend . t i t le="Parameters " ,

signif=4, is . plot . legend=T, pch=1, col=" blue " , lwd=2, lwd . points=2, col . grid=" grey " , is . plot .bbb=FALSE,

is . plot . cb=TRUE)

Obteniéndose el gráfico B.5 de mayor calidad.

Aunque este paquete calcula los parámetros por métodos más robustos y fiables, he decididoutilizar el programa desarrollado por mi porque incluye en el código los test de bondad del ajustey el cálculo de la distribución triparamétrica de Weibull. También porque este paquete utiliza elmétodo MLE (Maximin Likelihood Estimation) para realizar la recta de regresión y Monte CarloPivotal Confidence Bounds para realizar el intervalo de confianza. Ambas técnicas no han sidoexplicadas en este proyecto y quedan fuera del objetivo del mismo.

Fundación UNED 47


Wei

bull

Plo

t

Tim

e To

Fai

lure

Unreliability [%]

1050

100

500

1000

5000

5000

0

1050

100

500

1000

5000

5000

0

1251020509098

1251020509098

●

●

●

●

●

●

●

●

●

●

●

●

Par

amet

ers

(Tim

e To

Fai

lure

; U

nrel

iabi

lity

[%])

curv

e (M

RR

, X o

n Y

)

beta

(sh

ape,

slop

e) =

1.7

18

eta

(sca

le)

= 6

65.5

n (f

ail |

cen

s.)

= 1

1 (1

1 | 0

)

r^2

| CC

C^2

= 0

.998

2 | N

A

R =

100

0

Con

f. le

vel =

90

[%]

B10

= 6

3.48

| 17

9.6

| 332

.3

B5

= 3

2.69

| 11

8.2

| 251

.9

B1

= 6

.246

| 45

.76

| 140

.8

Figura B.5: Gráfico de Weibull obtenido del paquete Weibulltoolkit.

Fundación UNED 48

Bibliografía

[1] González Fernández, F. J.: Teoría y Práctica del Mantenimiento Industrial Avanzado, 4a

edición, FUNDACIÓN CONFEMETAL.

[2] González Fernández, F. J.: REDUCCIÓN de COSTES y MEJORA de RESULTADOS en MAN-TENIMIENTO, FUNDACIÓN CONFEMETAL 2010.

[3] Dr. Ing. Rodrigo Pascual J.: Manual del Ingeniero de Mantenimiento. Gestión Moderna delMantenimiento, U. de Chile, Santiago, Versión 2.0, julio 2002.

[4] Mora Gutiérrez L.A.: Mantenimiento Estratégico para empresas de servicios o industriales,Edición Noviembre 2005.

[5] Arques Patón J.L.: Ingeniería y Gestión del Mantenimiento en el Sector Ferroviario, Edi-ciones Díaz de Santo 2009.

[6] David J Smith: Reliability, Maintainability - and Risk, Fifth Edition.

[7] Documento electrónico wikipedia: Fiabilidad de Sistemas.

[8] Documento electrónico wikipedia: Distribución Normal.

[9] Documento electrónico wikipedia: Distribución Lognormal.

[10] Documento electrónico wikipedia: Distribución Rayleigh.

[11] Documento electrónico wikipedia: Distribución Exponencial.

[12] Documento electrónico wikipedia: Distribución de Weibulll.

[13] Documento electrónico de www.confiabilidad.net: Cálculo de los Parámetros de la Distribu-ción de Weibull.

[14] Documento electrónico de www.industrialtijuana.com: La distribución de Weibull.

[15] Dr. Ing. Rodrigo Pascual J.: The Weibull Distribution A Handbook, Horst Rinne, Justus-Liebig-University, Giessen, Germany, 2009.

[16] Documento electrónico wikipedia: Mantenibilidad.

[17] Documento electrónico Universidad de Jaen: Apuntes de estadísticas para ingenieros.

[18] Documento electrónico Universidad de Santiago de Compostela: Prácticas de Estadística enR.

[19] Documento electrónico: Distribución Gamma.

[20] Documento electrónico de www.mantenimientoplanificado.com: FUNDAMENTOS DEL ANÁLI-SIS DE WEIBULL.

49

http://es.wikipedia.org/wiki/Fiabilidad_de_sistemas

http://es.wikipedia.org/wiki/Distribuci%C3%B3n_gaussiana

http://es.wikipedia.org/wiki/Distribuci%C3%B3n_log-normal

http://es.wikipedia.org/wiki/Distribuci%C3%B3n_de_Rayleigh

http://es.wikipedia.org/wiki/Distribuci%C3%B3n_exponencial

http://es.wikipedia.org/wiki/Distribuci%C3%B3n_de_Weibull

http://confiabilidad.net/articulos/calculo-de-los-parametros-de-la-distribucion-de-weibull/

http://confiabilidad.net/articulos/calculo-de-los-parametros-de-la-distribucion-de-weibull/

http://www.industrialtijuana.com/pdf/SA13.pdf

http://es.wikipedia.org/wiki/Mantenibilidad

http://www4.ujaen.es/~ajsaez/recursos/EstadisticaIngenieros.pdf

http://eio.usc.es/pub/pateiro/files/PubDocentePracticasEstadistica.pdf

http://eio.usc.es/pub/pateiro/files/PubDocentePracticasEstadistica.pdf

http://ecosdelaeconomia.files.wordpress.com/2011/05/distribucion-gamma.pdf

http://www.mantenimientoplanificado.com/art%C3%ADculos_rcm_archivos/Fundamentos%20analisis%20Weibull.pdf

http://www.mantenimientoplanificado.com/art%C3%ADculos_rcm_archivos/Fundamentos%20analisis%20Weibull.pdf

BIBLIOGRAFÍA BIBLIOGRAFÍA

[21] Documento electrónico de www.rcmingenieria.com: CONFIABILIDAD Y ANÁLISIS ESTADÍS-TICO PARA LA PREDICCIÓN DE FALLAS, SEGURIDAD, SUPERVIVENCIA, RIESGO, COSTOY GARANTÍAS DE LOS EQUIPOS.

[22] Documento electrónico blog: Optimización del Mantenimiento PIMM/PIT de U.N.E.R.M.B.

Fundación UNED 50

http://www.rcmingenieria.com/documentos/4.14%20Weibull%20Analisis%20para%20prediccion%20de%20fallas%20Ver1.pdf



http://optimizaciondelmantenimientopimm.blogspot.com.es/

estudio de mejora del mantenimiento mediante la aplicación de la distribución de weibull a un...

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