estructuras de materiales compuestos 3... · 2016-09-12 · vector de tensión 4 estructuras de...

Ing. Gastón Bonet - Ing. Cristian Bottero - Ing. Marco Fontana

Estructuras de Materiales Compuestos

Elasticidad Anisótropa

Anisotropía

2

Estructuras de Materiales Compuestos - Elasticidad Anisótropa

• Un material isótropo es aquel en el cual las propiedades son las mismas en todas las direcciones.

• Un material anisótropo es aquel en el cual las propiedades varían en diferentes orientaciones materiales. Dichas propiedades pueden ser rigidez, resistencia, expansión térmica, conductividad térmica, etc.

Curso 2012 – Facultad de Ingeniería - UNLP

Vector de tensión

3



dV

En ausencia de fuerzas electromagnéticas, el cubo sólo interactúa con el resto del cuerpo a través de fuerzas transmitidas en las interfases, que son las superficies del cubo.

Si tomamos una superficie elemental cualquiera, podemos definir el vector de tensión como la relación entre el diferencial de fuerza actuando en la superficie y la superficie cuando esta tiende a cero.

dS

Fdt

dSn

0lim

Vector de tensión

4


En cada punto de la estructura, podemos definir una dirección normal y calcular el vector tensión. Si tomamos una dirección normal diferente, el vector que obtendremos será diferente. Es decir, el vector tensión esta asociado a una dirección.


ds

n tn

ds

n

stn

t

n

t

s tnEn el plano

(n,tn)

En el caso más general, tomando un vector normal con tres componentes respecto a un sistema de referencia, tendremos un vector de tensión con tres componentes en el mismo sistema de referencia.

El vector tensión siempre se puede descomponer en dos componentes:

• Una tensión normal a la superficie

denominada s

• Una tensión tangencial a la superficie

denominada t

Vector de tensión

5


Para una superficie determinada, se necesitan tres escalares para definir el estado tensional:

1. La tensión normal

2. La tensión tangencial

3. La dirección de la tensión tangencial

Una manera más práctica de definir la tensión tangencial y su dirección es descomponer la misma en dos componentes ortogonales en el plano


Podemos representar todas las direcciones normales posibles a través de 3 versores ortogonales. Como a cada uno de los versores le corresponden tres escalares de tensión, se tiene que para definir completamente el estado tensional en un punto del cuerpo se necesitan nueve escalares.

s

t

tv

tu

tn

n

ds

ds

t

tv

tu

En el plano ds

Tensor de tensiones

6


En un sistema ortogonal xyz, el tensor de tensiones se puede interpretar como los vectores de tensión correspondientes a las superficies definidas por las normales i, j, k.


x

z

y

i

ti

j

tj

k tk

x

z

y

sxx

sxy

sxz

syx

syy

syz

szz

szyszx

En componentes

Tensor de tensiones

7



x

z

y

sxx

sxy

sxz

syx

syy

syz

szz

szyszx

xx xy xz xx xy xz

yx yy yz yx yy yz

zx zy zz zx zy zz

s s s s t t

s s s s t s t

s s s t t s

xx xy xz

ij yx yy yz

zx zy zz

s s s

s s s s

s s s

• El primer subíndice ( i ) indica la cara

• El segundo subíndice ( j ) indica la dirección de la tensión

Simetría del tensor de tensiones

8


Para que se verifique el equilibrio de momentos del cubo diferencial, se debe cumplir que:


Es decir, el tensor de tensiones debe ser simétrico. El número de escalares diferentes del tensor se ve reducido a seis. Estas seis componentes se pueden expresar en forma de vector.

jiij ss

xx xy xz

i xy yy yz

xz yz zz

s s s

s s s s

s s s

xx

yy

zz

yz

xz

xy

s

s

ss

s

s

s

Transformación de coordenadas

9


Conociendo el estado tensional en un sistema de ejes coordenados, es posible calcular el estado en cualquier otro sistema de ejes realizando una transformación de ejes coordenados. Dicha transformación corresponde a una transformación tensorial.

En el análisis de láminas orientadas, nos interesa en particular la rotación del tensor de tensiones alrededor del eje z:


1

x

y2

z=3

q

2 21

2 22

3

4

5

2 26

0 0 0 2

0 0 0 2

0 0 1 0 0 0'

0 0 0 0

0 0 0 0

0 0 0

xx

yy

zz

yz

xz

xy

m n mn

n m mn

m n

n m

mn mn m n

ss

ss

sss

tt

tt

tt

q

q

senn

m cos

Tensión plana

10


• El estado de tensión plana se produce cuando una de las tensionesprincipales del material es nula.

• En este caso, todas las tensiones en una determinada dirección sonnulas, quedando definido un plano en el cual están contenidas lastensiones.

• Los estados de tensión plana son típicos de láminas delgadas

Por ejemplo: estado de tensión plana en el plano XY


0

0

0 0 0

xx xy

yx yy

s t

s t s

0

0

0

xx

yy

yx

s

s

s

t

00 zyzxyzxzz tensordelsimetriapor tttts

xx

yy

yx

s

s s

t


11


Estado plano de tensiones en el plano XY, rotación alrededordel eje Z


1

x

y

2z=3

q

2 2

1

2 2

2

2 2

6

2

' 2

xx

yy

xy

m n mn

n m mn

mn mn m n

s s

s s s

t t

sqs T'

)(

)(

q

q

ensn

cosm

Propiedades de la transformación

12



sqqsssqs

sqs)()(

')(''

)('TT

T

T

Rotación q

Rotación -q

ITT qq 1 qq TT

2 2

2 2

2 2

2

2

m n mn

T n m mn

mn mn m n

q

2 2

12 2

2 2

2

2

m n mn

T n m mn T

mn mn m n

q q


13


Ejemplo 1


Calcule las tensiones en los ejes principales de una lámina a 45°si esta sometido a corte puro en el sistema de ejes coordenados del laminado.

t0

x

y 12

x

y 12

?


14


Ejemplo 1


Utilizando las transformaciones definidas:

sqs T' 1 2m n

0005,005,0

105,005,0

105,005,0

'

05,05,0

15,05,0

15,05,0

0

0

2

2

'

0

0

0

0

0

0

22

22

22

6

2

1

t

t

t

t

t

s

tt

s

s

s

nmmnmn

mnmn

mnnm


15


Ejemplo 1


t0

x

y 12s1=t0

x

y12

s2=-t0


16


Ejemplo 2


x

s0

y12

qx

y12

q

?

Calcule las tensiones en los ejes principales de una lámina a un ángulo q si esta sometido a tracción biaxial uniforme (sx=sy=s0) en el sistema de ejes coordenados del laminado.


17


Ejemplo 2


sqs T'

2 2

1 0

2 2

2 0

2 2

6

2 2

0 0

2 2

0 0

2

0 0

cos 2cos

' cos 2cos

cos cos cos 0

cos * * 2cos *0

* cos * 2cos *0

cos * cos * cos

sen sen

sen sen

sen sen sen

sen sen

sen sen

sen sen

s q q q q s

s s q q q q s

t q q q q q q

q s q s q q

q s q s q q

q q s q q s

2 2

00

2 2

0 0

2

0

cos *

cos *

0*0 cos cos *

sen

sen

sen sen sen

q q s s

q q s s

q q q q q q s

cos

sen

m

n

q

q

Utilizando las transformaciones definidas:


18


Ejemplo 2


x

s0

y12

qx

s0

s0y12

q

θ

Tensor de deformaciones

19



El tensor de deformaciones se define a partir del campo de desplazamientos del cuerpo

El tensor de deformaciones infinitesimal, sólo válido para pequeñas deformaciones

zyxw

zyxv

zyxu

,,

,,

,,

xx xy xz

xy yy yz

xz yz zz

i

j

j

i

ijdx

du

dx

du

2

1


20



Deformaciones normales

Deformaciones por corte

dz

dwdy

dvdx

du

z

y

x

dy

du

dx

dv

dx

dw

dz

du

dy

dw

dz

dv

xy

xz

yz

2

1

2

1

2

1


21



Existen dos definiciones diferentes para las deformaciones por corte

dy

du

dx

dv

dx

dw

dz

du

dy

dw

dz

dv

xy

xz

yz

2

1

2

1

2

1

xyxy

xzxz

yzyz

dy

du

dx

dv

dx

dw

dz

du

dy

dw

dz

dv

2

2

2

Deformaciones por corte tensoriales

Deformaciones por corte ingenieriles


22



Teniendo en cuenta las diferentes definiciones de deformaciones por corte

Tensor de deformaciones tensoriales

Tensor de deformaciones ingenieriles

*

xx xy xz

xy yy yz

xz yz zz

xx xy xz

xy yy yz

xz yz zz

Notación con asterisco


23



yu v

dx dx

xu u

dy dy

xy

2xy


24



El tensor de deformaciones infinitesimal es simétrico por definición

Vector de deformaciones tensoriales

Vector de deformaciones ingenieriles

Notación con asterisco

1 1

2 2

j ji i

j i i j

du dudu du

dx dx dx dx

ij ji

Podemos utilizar la notación vectorial para resumir el tensor de deformaciones

*

xx

yy

zz

yz

xz

xy

xx

yy

zz

yz

xz

xy


25



2 21

2 22

3

4

5

2 26

0 0 0 2

0 0 0 2

0 0 1 0 0 0

0 0 0 0

0 0 0 0

0 0 0

xx

yy

zz

yz

xz

xy

m n mn

n m mn

m n

n m

mn mn m n

Definida así para transformación entre deformaciones de corte “tensoriales”

1

x

y

2z=3

q

* ' *T q

Al igual que las tensiones, podemos obtener las deformaciones en otro sistema de coordenadas aplicando una transformación de rotación. Dicha transformación tomada alrededor del eje z se realiza con la misma matriz en notación vectorial


26



1

x

y

2z=3

q

En el caso de que solo se requiera transformar las deformaciones en el plano XY

2 2

1

2 2

2

2 2

6

2

' 2

xx

yy

xy

m n mn

n m mn

mn mn m n

* ' *T q

2 2

1

2 2

2

3

4

5

2 2

6

2

2

xx yy xy

xx yy xy

zz

yz xz

yz xz

xx yy xy

m n mn

n m mn

m n

n m

mn mn m n

q

q

senn

m cos


27


Ejemplo


Calcule las deformaciones de un cuerpo sometido al siguiente campo de desplazamientos.

0,,

101)(,,

101,,

62

6

zyxw

xyzyxv

yxzyxu


28


Ejemplo


Recordando la definición del campo de deformaciones infinitesimales, las deformaciones normales son:

0

)101(2

)101(

6

6

dz

dw

ydy

dv

ydx

du

z

y

x


29


Ejemplo


Recordando la definición del campo de deformaciones infinitesimales, existen dos definiciones diferentes para las deformaciones por corte:

dy

du

dx

dv

dx

dw

dz

du

dy

dw

dz

dv

xy

xz

yz

2

1

2

1

2

1

xyxy

xzxz

yzyz

dy

du

dx

dv

dx

dw

dz

du

dy

dw

dz

dv

2

2

2

Deformaciones por corte tensoriales



30


Ejemplo


Recordando la definición del campo de deformaciones infinitesimales, las deformaciones por corte ingenieriles son:


02

02

)101(12 6

xyxy

xzxz

yzyz

dy

du

dx

dv

dx

dw

dz

du

xdy

dw

dz

dv

Relaciones constitutivas

31



Homogeinización

Dentro de un material compuesto, las tensiones presentes en la matriz y el refuerzo no son necesariamente iguales. Sin embargo, al asumir que ambos materiales son lineales elásticos, podemos esperar que el comportamiento del compuesto será lineal elástico:

Al expresar las relaciones constitutivas, estamos suponiendo las tensiones y deformaciones medias del

material compuesto.

Relaciones constitutivas

32



Ley de Hooke generalizadaExiste proporcionalidad entre las tensiones y las deformaciones en un

material elástico dentro de ciertos límites. Si tenemos seis componentes de deformación y seis de tensión

xx xxxx xxyy xxzz xxyz xxxz xxxy

yy yyxx yyyy yyzz yyyz yyxz yyxy

zz zzxx zzyy zzzz zzyz zzxz zzxy

yz yzxx yzyy yzzz yzyz yzxz yzxy

xz xzxx xzyy xzzz xzyz xzxz xzxy

xy xyxx xyy

C C C C C C

C C C C C C

C C C C C C

C C C C C C

C C C C C C

C C

s

s

s

t

t

t

xx

yy

zz

yz

xz

y xyzz xyyz xyxz xyxy xyC C C C

En principio, 36 constantes independientes

Asociado a deformaciones

ingenieriles

Simetría de la matriz

33



La energía de deformación por unidad de volumen esta dada por:

i j

jiij

TTCCU s

2

1

2

1

2

1

i

j

jij

i

CU

s

ij

j

i

ij

CU

s

2

ji

i

j

ji

CU

s

2

ijji

UU

22

jiij CC

Derivando nuevamente, pero con respecto a j se tiene:

Derivando nuevamente pero invirtiendoel orden de las derivadas:

Pero el orden de las derivadas segundas es indiferente:

Por lo tanto: La matriz de rigidez es simétrica

Derivando con respecto a i:

Material generalmente anisótropo

34



Es un material que no posee ninguna simetría, también denominado triclínico

xx xxxx xxyy xxzz xxyz xxxz xxxy

yy xxyy yyyy yyzz yyyz yyxz yyxy

zz xxzz yyzz zzzz zzyz zzxz zzxy

yz xxyz yyyz zzyz yzyz yzxz yzxy

xz xxxz yyxz zzxz yzxz xzxz xzxy

xy xxxy yyx

C C C C C C

C C C C C C

C C C C C C

C C C C C C

C C C C C C

C C

s

s

s

t

t

t

xx

yy

zz

yz

xz

y zzxy yzxy xzxy xyxy xyC C C C

21 constantes elásticas independientes

Materiales con planos de simetría

35



Cuando un material es simétrico con respecto a un plano, se lo denomina monoclínico o generalmente ortótropo.

x

yz

La lámina de compuesto unidireccional posee solo un plano de simetría en el sistema coordenado xyz si ninguno de los ejes coincide con la dirección de las fibras.

El plano de simetría en la figura es el plano medio de la lámina (plano xy)

El material no es simétrico con respecto a los planos xz e yz

Incompatibilidad de deformaciones

36



Materiales con planos de simetríaCuando aplicamos cargas simétricas con respecto al plano de simetría,

las deformaciones deben ser simétricas con respecto a dicho plano.

Por ejemplo, si aplicamos una tensión sx, sy o txy, las deformaciones por corte xz y yz deben ser nulas.

x

z

xzsx

x

z

sx

La deformación xz no es simétrica con respecto al plano xy

Material generalmente ortótropo

37



Plano de simetría XY

0 0

0 0

0 0

0 0 0 0

0 0 0 0

0 0

xx xxxx xxyy xxzz xxxy xx

yy xxyy yyyy yyzz yyxy yy

zz xxzz yyzz zzzz zzxy zz

yz yzyz yzxz yz

xz yzxz xzxz xz

xy xxxy yyxy zzxy xyxy xy

C C C C

C C C C

C C C C

C C

C C

C C C C

s

s

s

t

t

t


Materiales con más de un plano de simetría

38



Cuando un material posee tres planos de simetría que coinciden con los planos coordenados del sistema de referencia, se dice que el material es especialmente ortótropo.

x = 1

y = 2

z = 3El material es simétrico con respecto a los

planos XY, XZ e YZ.

Atención: Este mismo material observado en otro sistema de

referencia no es especialmente ortótropo

Material especialmente ortótropo

39



Sólo si el sistema XYZ coincide con los planos de simetría


0 0 0

0 0 0

0 0 0

0 0 0 0 0

0 0 0 0 0

0 0 0 0 0

xx xxxx xxyy xxzz xx

yy xxyy yyyy yyzz yy

zz xxzz yyzz zzzz zz

yz yzyz yz

xz xzxz xz

xy xyxy xy

C C C

C C C

C C C

C

C

C

s

s

s

t

t

t

Material transversalmente isótropo

40



En láminas reforzadas con fibras, se puede observar que existe un plano en el cual las propiedades no deben variar con la orientación. El plano yz es un plano de isotropía, por lo cual se pueden intercambiar los subíndices yy por zz, y los subíndices xz por xy.

z = 3y = 2

x = 1

z=3

y=2xxyy xxzz

yyyy zzzz

xzxz xyxy

C C

C C

C C

Con estas igualdades, de reduce el problema a 6 constantes elásticas independientes


41



Se puede demostrar que la constante Cyzyz no es independiente. Tomando un estado de carga de corte puro t0

2 ' 23s t

z

y

tyz t0

Z’Y’

q=45º

tyz t0

Conocemos el estado tensional en el Sistema XYZ

Queremos conocer el estado tensional en el Sistema X´Y´Z´ que

esta rotado 45º con respecto al eje X


42



En el sistema XYZ

De donde se obtiene

11

22

33

230

13

12

0 0 00

0 0 00

0 0 00

0 0 0 0 0

0 0 0 0 00

0 0 0 0 00

xxxx xxyy xxyy

xxyy yyyy yyzz

xxyy yyzz yyyy

yzyz

xzxz

xyxy

C C C

C C C

C C C

C

C

C

t

0

0

0

0

0

0

yzyzC

t


43



Recordando la transformación de coordenadas, pero

para una rotación de 45º alrededor del eje X

De donde se obtiene

' '

' ' 0

' ' 0

' '

' '

' '

0

0

0

0

x x

y y

z z

y z

x z

x y

s

s t

s t

t

t

t

' '

2 2' '

2 2' '

2 2' ' 0

' '

' '

1 0 0 0 0 0 0

0 2 0 0 0

0 2 0 0 0

0 0 0

0 0 0 0 0

0 0 0 0 0

x x

y y

z z

y z

x z

x y

m n mn

n m mn

mn mn m n

m n

n m

s

s

s

t t

t

t

1

2m n


44



Se puede demostrar que la constante Cyzyz no es independiente

2 ' 23s t

' ' 0y ys t

z

y

Z’Y’

q=45°

yz yzyz yzCt ' ' 0z zs t

Sistema XYZ Sistema X´Y´Z´

tyz t0

tyz t0


45



Recordando la transformación de coordenadas, pero

para una rotación de 45° alrededor del eje X

De donde se obtiene

' '

' ' 0

' ' 0

' '

' '

' '

0

0

0

0

x x

y y

z z

y z

x z

x y

s

s t

s t

t

t

t

1

2m n

La transformación se realiza de tensorial a tensorial

' '

' '

2

2

yz

y y

yz

z z

' '

2 2' '

2 2' '

2 2' '

' '

' '

01 0 0 0 0 0

00 2 0 0

00 2 0 0

0 0 02

0 0 0 00

0 0 0 00

x x

y y

z z

yzy z

x z

x y

m n mn

n m mn

mn mn m n

m n

n m


46



En el sistema X’Y’Z’

De donde se obtiene

' ' ' ' ' ' ' ' ' ' ' '

' ' ' ' ' ' ' ' ' ' ' '0

' ' ' ' ' ' ' ' ' ' ' '0

' ' ' '

' ' ' '

' ' ' '

00 0 00

0 0 0 2

0 0 0

20 0 0 0 000

0 0 0 0 000

0 0 0 0 000

x x x x x x y y x x y yyz

x x y y y y y y y y z z

x x y y y y z z y y y y yz

y z y z

x y x y

x y x y

C C C

C C C

C C C

C

C

C

t

t

' ' ' ' ' ' ' '0

2

y y y y y y z z

yzyz

yz

C CC

t


47



Como el plano 23 es un plano de isotropía

De donde se obtiene

' ' ' ' ' ' ' 'y y y y yyyy z z z z zzzzC C C C

2

yyyy yyzz

yzyz

C CC

Queda demostrada la dependencia de Cyzyz


48



0 0 0

0 0 0

0 0 0

0 0 0 0 02

0 0 0 0 0

0 0 0 0 0

xxxx xxyy xxyy

xxyy yyyy yyzzxx xx

yy yy

xxyy yyzz yyyyzz zz

yz yzyyyy yyzz

xz xz

xy xy

xyxy

xyxy

C C C

C C C

C C C

C C

C

C

s

s

s

t

t

t

Material especialmente ortótropo transversalmente isótropo

Solo si el sistema XYZ coincide con los planos de simetría


Lámina unidireccional sistema 123

49



Material isótropo

50



El material isótropo es aquel en el cual las propiedades elásticas son independientes de la orientación. Continuando el procedimiento anterior:


0 0 0

0 0 0

0 0 0

0 0 0 0 02

0 0 0 0 02

0 0 0 0 02

xxxx xxyy xxyy

xxyy xxxx xxyyxx xx

yy yy

xxyy xxyy xxxxzz zz

yz yzxxxx xxyy

xz xz

xxxx xxyyxy xy

xxxx xxyy

C C C

C C C

C C C

C C

C C

C C

s

s

s

t

t

t

Constantes de Lamé

51



Existen diversas formas de expresar las relaciones constitutivas de materiales isótropos. Sin embargo, siempre se tienen 2 constantes elásticas independientes l , m.

2 0 0 0

2 0 0 0

2 0 0 0

0 0 0 0 0

0 0 0 0 0

0 0 0 0 0

xx xx

yy yy

zz zz

yz yz

xz xz

xy xy

s l m l l

s l l m l

s l l l m

t m

t m

t m

Módulos y coeficiente de Poisson

52



1 0 0 0

1 0 0 0

1 0 0 0

1 21 1 20 0 0 0 0

2

1 20 0 0 0 0

2

1 20 0 0 0 0

2

xx xx

yy yy

zz zz

yz yz

xz xz

xy xy

E

u u u

u u us

s u u us

t uu u

t

ut

u

2 1

EG

u

Matriz flexibilidad

53



Hasta ahora hemos expresado las relaciones constitutivas a través de la matriz rigidez

s C

s S

1 CS

[C]: matriz rigidez

[S]: matriz flexibilidad

En algunos casos resulta conveniente expresar las deformaciones como función de las tensiones

La matriz flexibilidad es más fácil de caracterizar mediante ensayos ya que los mismos suelen realizarse bajo tensión uniaxial.

Láminas delgadas

54



Las láminas de un laminado compuesto suelen ser tener un espesor mucho menor a sus dimensiones en el plano 12, y por lo tanto, se asume la hipótesis de tensión plana

Tomando las relaciones deducidas para un material especialmente ortótropo:

33

23 32

13 31

0

0

0

s

t t

t t

11 13 131 1

13 22 232 2

13 23 223

22 234

566

6 666

0 0 0

0 0 0

0 0 00

0 0 0 0 0 02

00 0 0 0 0

0 0 0 0 0

C C C

C C C

C C C

C C

C

C

s

s

t

Láminas delgadas

55



Explícitamente

Introduciendo la ecuación de la derecha en las primeras dos:

1 11 1 13 2 13 3

2 13 1 22 2 23 3

13 1 23 2 33 3

4

5

6 66 6

0

0

0

C C C

C C C

C C C

C

s

s

t

13 23

3 1 2

33 33

C C

C C

13 13 13 23

1 11 1 12 2

33 33

13 23 23 23

2 13 1 22 2

33 33

6 66 6

C C C CC C

C C

C C C CC C

C C

C

s

s

t

3 ya no forma parte del sistema de ecuaciones, lo cual

no significa que sea nulo.

Láminas delgadas

56



El sistema de ecuaciones queda reducido a componentes de tensión y deformación en el plano 12. Podemos definir nuevas constantes Qij

En forma matricial

Válido para el caso de tensión plana y material especialmente

ortótropo. Es decir, con el sistema de referencia

coincidente con los ejes principales de la lámina.

donde

33

33

C

CCCQ

ji

ijij

6

2

1

66

2212

1211

6

2

1

00

0

0

t

s

s

Q

QQ

QQ

6666

2221212

2121111

t

s

s

Q

QQ

QQ

Láminas delgadas

57



Al eliminar 3 del sistema de ecuaciones, sólo se necesitan 4 constantes elásticas independientes a determinar para caracterizar el comportamiento elástico de la lámina en su plano.

Invirtiendo esta matriz, se obtiene la matriz flexibilidad correspondiente. La mejor manera de determinar estas constantes elásticas es mediante ensayos mecánicos

Válido para el caso de tensión plana y material especialmente

ortótropo. Es decir, con el sistema de referencia coincidente con los

ejes principales de la lámina.

6

2

1

66

2212

1211

6

2

1

00

0

0

t

s

s

Q

QQ

QQ

6

2

1

66

2212

1211

6

2

1

00

0

0

t

s

s

S

SS

SS

estructuras de materiales compuestos 3... · 2016-09-12 · vector de tensión 4 estructuras de...

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