elastoplasticidad anisótropa de metales en grandes deformaciones

Miguel Ángel Caminero Torija

ELASTOPLASTICIDAD ANISÓTROPA DE METALES EN GRANDES

DEFORMACIONES

I.S.B.N. Ediciones de la UCLM 978-84-8427-772-9

Cuenca, 2010

ELASTOPLASTICIDAD ANISÓTROPA DE METALES EN

GRANDES DEFORMACIONES


TESIS DOCTORAL

8 de marzo de 2010

Índice general

1 Introducción 1

1.1 Generalidades . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1

1.1.1 Introducción a la plasticidad . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1

1.1.2 Endurecimiento anisótropo . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3

1.1.3 Anisotropía elástica y anisotropía plástica . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5

1.1.4 Grandes deformaciones elastoplásticas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 8

1.1.5 Evolución de las propiedades de anisotropía . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 13

1.2 El programa de elementos finitos DULCINEA . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 16

1.3 Objetivos de la tesis . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19

1.4 Estado del arte . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21

1.4.1 Elementos que alivian el bloqueo . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21

1.4.2 Endurecimiento no lineal con efecto Bauschinger . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23

1.4.3 Anisotropía elastoplástica . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24

1.5 Estructura de la tesis . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28

2 Bloqueo Numérico: Formulaciones Mixtas 31

2.1 Introducción . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 32

2.2 Bloqueo volumétrico. Formulación u/p en DULCINEA . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 36

2.2.1 Formulación mixta y requisitos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 36

2.2.2 Formulación matricial . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 41

2.2.3 Formulación mixta para presiones dependientes del jacobiano . . . . . . . . . . . . 44

2.2.4 Particularización a pequeñas deformaciones . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 45

2.2.5 Ejemplo numérico . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 46

2.2.6 El problema en implementaciones de modelos elastoplásticos anisótropos . . . . . . 49

2.3 Métodos mixtos basados en modos incompatibles . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 50

2.3.1 Elemento tridimensional basado en modos incompatibles BINC 8/9/12 . . . . . . . 50

2.3.2 Elemento tridimensional basado en modos incompatibles BENH 8/9/9 . . . . . . . 64

2.3.3 Verificación de la convergencia de los elementos mixtos BINC 8/9/12 y BENH 8/9/9 67

3 Modelos avanzados de plasticidad. Endurecimiento anisótropo 73

3.1 Introducción . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 73

3.2 Plasticidad de superficies múltiples con regla de Prager . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 74

iii

iv ÍNDICE GENERAL

3.2.1 Energía elástica y energía de endurecimiento . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 76

3.2.2 Principio de máxima disipación . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 78

3.2.3 Descomposición / discretización de la energía de endurecimiento . . . . . . . . . . 80

3.2.4 Algoritmo de integración implícito utilizando la regla de Prager. Obtención del

parámetro de consistencia y linealización consistente . . . . . . . . . . . . . . . . . 82

3.2.5 Simulaciones numéricas utilizando la regla de Prager . . . . . . . . . . . . . . . . . 83

3.2.6 Conclusiones . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 87

3.3 Plasticidad de superficies múltiples con regla de Mróz . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 88

3.3.1 La versión implícita de la regla de traslación de Mróz . . . . . . . . . . . . . . . . 88

3.3.2 Formulación del procedimiento iterativo local . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 93

3.3.3 Caso uniaxial . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 95

3.3.4 Algoritmo de búsqueda de la superficie activa . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 97

3.3.5 Algoritmo para el cálculo del módulo elastoplástico tangente global . . . . . . . . . 98

3.3.6 Endurecimiento mixto . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 99

3.3.7 Simulaciones Numéricas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 100

3.3.8 Conclusiones . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 102

3.4 Consistencia de la Plasticidad de Superficies Múltiples . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 102

3.4.1 Introducción . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 102

3.4.2 Extensión multiaxial de una curva uniaxial tensión-deformación: Test bilineal . . . 105

3.4.3 Predicciones para los experimentos de Lamba y Sidebottom . . . . . . . . . . . . . 107

3.4.4 ‘Ratchetting’ multiaxial incontrolado . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 108

3.4.5 Conclusiones . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 111

3.5 Plasticidad Cam-Clay de superficies múltiples . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 113

3.5.1 Relaciones hiperelásticas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 114

3.5.2 Funciones de plastificación y endurecimiento . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 115

3.5.3 Reglas de flujo y endurecimiento . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 117

3.5.4 Ejemplos numéricos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 123

4 Observaciones experimentales preliminares 127

4.1 Introducción . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 127

4.2 Material de estudio . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 134

4.3 Procedimiento experimental y resultados . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 137

4.3.1 Dispositivos experimentales empleados . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 140

4.3.2 Resultados y conclusiones . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 143

5 Elastoplasticidad anisótropa en pequeñas deformaciones 155

5.1 Introducción . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 155

5.2 Elastoplasticidad anisótropa computacional . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 160

5.2.1 Principio de máxima disipación . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 161

5.2.2 Algoritmo implícito de integración de tensiones . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 162

5.2.3 Ejemplos numéricos del modelo de elastoplasticidad anisótropa en pequeñas defor-

maciones . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 169

ÍNDICE GENERAL v

6 Elastoplasticidad anisótropa en grandes deformaciones 1836.1 Introducción . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 184

6.2 Plasticidad isótropa en grandes deformaciones . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 188

6.2.1 Módulo elastoplástico tangente consistente . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 190

6.3 Plasticidad anisótropa en grandes deformaciones . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 193

6.3.1 Preproceso: Cálculo del estado de prueba (‘Trial state’) . . . . . . . . . . . . . . . 193

6.3.2 Llamada al modelo de elastoplasticidad anisótropa en pequeñas deformaciones . . 194

6.3.3 Postproceso: Cálculo de tensores y actualización de variables . . . . . . . . . . . . 194

6.4 Elastoplasticidad anisótropa en grandes deformaciones . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 194

6.4.1 Energía elástica almacenada: hiperelasticidad ortótropa basada en medidas de de-

formación logarítmicas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 195

6.4.2 Tensores de transformación del espacio de deformaciones cuadrático al logarítmico 197

6.4.3 Algoritmo implícito de integración de tensiones . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 202

6.4.4 Módulo elastoplástico tangente consistente . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 205

6.4.5 Verificación de la convergencia del modelo de elastoplasticidad anisótropa en grandes

deformaciones . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 207

7 Simulaciones numéricas en grandes deformaciones 2117.1 Isotropía Elástica . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 212

7.1.1 Isotropía Elastoplástica . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 212

7.1.2 Anisotropía Plástica . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 215

7.2 Anisotropía Elástica . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 218

7.2.1 Anisotropía Elástica . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 218

7.2.2 Anisotropía Elastoplástica . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 221

8 Conclusiones y desarrollos futuros 2278.1 Conclusiones y aportaciones de la tesis . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 227

8.2 Futuras líneas de investigación . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 230

9 Apéndices 2339.1 Bloqueo numérico en el MEF . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 233

9.1.1 Introducción y motivación . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 233

9.1.2 Formulación de Hu-Washizu y de Hellinger-Reissner . . . . . . . . . . . . . . . . . 238

9.1.3 Bloqueo a cortante de elementos bidimensionales de 4 nudos . . . . . . . . . . . . . 243

9.1.4 El test de la parcela (patch test) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 244

9.1.5 Bloqueo volumétrico . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 246

9.2 Plasticidad Avanzada de Cam-Clay . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 249

9.2.1 Algoritmo implícito . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 249

9.2.2 Ejemplos numéricos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 255

9.3 Obtención de las curvas de Hill . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 260

9.4 Cálculo de los tensores SM y SM . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 261

9.5 Determinación de los parámetros de material . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 263

9.5.1 Isotropía Elastoplástica : Ensayo de tracción de una barra cilíndrica . . . . . . . . 263

vi ÍNDICE GENERAL

9.5.2 Isotropía Elástica y Anisotropía Plástica: Estampado de una placa circular delgada 264

9.5.3 Anisotropía Elástica: El problema de la membrana de Cook . . . . . . . . . . . . . 266

9.5.4 Anisotropía Elastoplástica: Placa rectangular con agujero sometida a tracción . . . 267

Índice de figuras

1.1 Cambios de la posición atómica que acompañan al movimiento de una dislocación de cuña

a medida que ésta se mueve a lo largo de la red cristalina. Al final del proceso, se forma

un escalón sobre la superficie del cristal [1] . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2

1.2 Criterio de plastificación de von Mises, representado en el espacio de tensiones princi-

pales. A la derecha, se muestra una curva tensión-deformación uniaxial, donde se detalla

la descomposición aditiva de deformaciones en elásticas y plásticas . . . . . . . . . . . . . 3

1.3 Tipos de endurecimiento habituales: (a) Endurecimiento isótropo (varía el tamaño de

la superficie de plastificación). (b) Endurecimiento cinemático (varía la posición de la

superficie de plastificación). . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4

1.4 Textura inducida a una probeta de latón-α después de someterla a un ensayo de tracción.

Se puede observar la alineación de los granos en la dirección de carga, así como la aparición

de bandas de deslizamiento en el interior de los granos. Ensayos realizados en la UCLM [22]. 5

1.5 Esquema de un proceso de laminado donde se aprecia la formación de una textura orientada

en la dirección de laminado (RD). El gráfico de la derecha muestra la evolución de la tensión

de plastificación según el ángulo α con la dirección de laminado (RD). . . . . . . . . . . . 6

1.6 Distribuciones de los módulos de elasticidad y de rigidez a torsión de dos materiales orde-

nados según una estructura cristalina cúbica centrada en las caras: Plutonio y Aluminio.

Figura parcialmente extraída de la referencia [27] . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 7

1.7 Valores aparentes de módulo de elasticidad, módulo de rigidez a cortante y coeficiente de

Poisson en un acero inoxidable en función de la orientación. Figura extraída de la referencia

[28] . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 8

1.8 Variación del Módulo de Young (GPa) con la dirección de ensayo medido en chapas lami-

nadas de cobre. Los datos experimentales han sido recogidos de los ensayos realizados por

Weerts en 1933 [29] y por Alers y Liu en 1967 [30]. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 9

1.9 Comparativa entre los valores suministrados por las distintas medidas de deformación.

Izquierda: en escala natural. Derecha: en escala logarítmica. . . . . . . . . . . . . . . . . 9

1.10 Curvas típicas obtenidas en un ensayo uniaxial para dos medidas de tensión y de de-

formación. El primer tramo es elástico, pero superados aproximadamente 335 MPa, el

comportamiento es plástico . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 10

vii

viii ÍNDICE DE FIGURAS

1.11 Simulación del ensayo a tracción de una probeta cilíndrica. Por simetría sólo es nece-

sario modelar un cuarto de la misma. Izquierda: situación original. Derecha: probeta

deformada. Los colores representan las deformaciones plásticas (los valores más altos se

presentan en la zona de estricción. Figura extraída de la referencia [36]. . . . . . . . . . . 11

1.12 Simulación del ensayo de Taylor (impacto de un proyectil cilíndrico contra una pared

rígida). Izquierda: proyectil sin deformar (la mitad por simetría). Derecha: proyectil

deformado (se muestra completo). Figura extraída de la referencia [36]. . . . . . . . . . . 11

1.13 Proceso de estampado de un raíl en S. Izquierda: resultado experimental. Derecha: Simu-

lación numérica del proceso de estampado. En ambos casos se pueden observar las ‘arrugas’

procedentes de la recuperación elástica tras el proceso de deformado. Figura extraída de

la referencia [37]. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 12

1.14 Efecto de la anisotropía plástica en procesos de conformado de metales. En la figura

se muestra el resultado de un proceso de embutición, donde aparecen las típicas ‘orejas’

debidas a la anisotropía plástica presente en el material. Figura extraída de la referencia

[38]. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 12

1.15 Esquema del procedimiento experimental realizado en los ensayos de Kim y Yin de 1997

con el objeto de estudiar la evolución de la anisotropía plástica en chapas laminadas [41] 13

1.16 Resultados experimentales extraídos de la referencia [41] y parcialmente modificados. En

la figura superior se muestra los resultados para una chapa orientada un ángulo ψ de 30o

con respecto a la dirección de laminado, y pretensada posteriormente a distintos niveles de

deformación. Se observa el giro de la superficie de plastificación (curva roja). . . . . . . . 14

1.17 Evolución de la anisotropía plástica desde un punto de vista macroestructural (izquierda)

y microestructural (derecha). Izquierda: evolución de las superficies de fluencia ante defor-

maciones impuestas a 45o de la dirección de laminado. Derecha: evolución de la simetría

microestructural observada a través de las Figuras de Polos para las direcciones cristalo-

gráficas dadas por los índices de Miller 1,0,0. Los valores de contorno se corresponden

con la intensidad de radiación. Los datos experimentales provienen de la Referencia [42].

El material es un acero dúctil. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 15

1.18 Variación de las superficies de Hill para deformaciones secundarias cuyas direcciones prin-

cipales no coinciden con las direcciones preferentes de anisotropía. Figura extraída de la

referencia [43] . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 16

2.1 Condiciones de contorno en el medio . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 33

2.2 Análisis de un voladizo en condiciones de deformación plana. Se han usado elementos de

9 nudos en formulación estándar y un coeficiente de Poisson de ν = 0.3. Se muestra la

distribución de tensiones y la deformada. El valor máximo de la tensión (σ2)max = 0.4318

MPa y la flecha máxima es δmax = 1.6087 mm [45] . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 38


9 nudos en formulación estándar y un coeficiente de Poisson de ν = 0.499. Se muestra la

distribución de tensiones y la deformada. El valor máximo de la tensión (σ2)max = 1.2796

MPa y la flecha máxima es δmax = 1.3098 mm [45] . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 39

ÍNDICE DE FIGURAS ix


9 nudos con 3 puntos de integración en presiones (formulación mixta) y un coeficiente de

Poisson de ν = 0.499. Se muestra la distribución de tensiones y la deformada. El valor

máximo de la tensión (σ2)max = 0.3995 MPa y la flecha máxima es δmax = 1.35 mm [45] 40

2.5 Análisis elástico ortótropo lineal de un cilindro sometido a presión interna [44] . . . . . . 46

2.6 Distribución de presiones en un cilindro axisimétrico sometido a presión interna con for-

mulación estándar (en la frontera aparecen efectos de borde localizados). (a) Contorno de

presión constante para g = 12 y (b) Contorno de presión para g ≈ 1

6 , donde se observa

bloqueo . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 48

2.7 Distribución de presiones en el cilindro axisimétrico con formulación mixta (en la frontera

aparecen efectos de borde localizados). (a) Contorno de presión constante para g = 12 y

(b) Contorno de presión para g ≈ 16 . En este caso no hay bloqueo . . . . . . . . . . . . . 48

2.8 Descomposición de las funciones de forma estándar de un elemento 2D de cuatro nudos: h0es la componente constante, h1 y h2 son las componentes lineales en ξ y η, respectivamente

y h3 es el modo hourglass en el caso bidimensional [150] . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 52

2.9 Configuraciones implicadas en el cálculo del gradiente de deformaciones mejorado Fh =

GRADX [x] + Fh . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 57

2.10 Función de endurecimiento no lineal basada en la referencia [152] . . . . . . . . . . . . . . 68

2.11 Simulaciones numéricas del modelo de elastoplasticidad anisótropa en grandes deforma-

ciones utilizando un elemento BINC8/9/12 y con prescripción de desplazamientos medi-

ante el método de penalización. (a) Geometría y condiciones de contorno, (b) Tensión de

von Mises, (c) Deformación plástica equivalente . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 69


ciones utilizando un elemento BENH8/9/9 y con prescripción de desplazamientos mediante

el método de penalización. (a) Geometría y condiciones de contorno, (b) Tensión de von

Mises, (c) Deformación plástica equivalente . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 70

3.1 (a) Conjunto de superficies múltiples. (b) Curva uniaxial tensión-deformación y posición

de las superficies durante el proceso de carga . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 75

3.2 Plasticidad de Superficies Múltiples. (a) Contacto de las superficies utilizando la regla de

Mróz: esta regla se basa únicamente en criterios geométricos (punto de tensión y punto de

contacto son coincidentes). (b) La regla de traslación explícita de Mróz. (’a’: superficie

activa, ’a+1’: superficie objetivo)(c)y (d) La regla de traslación implícita de Mróz, basada

en el concepto del estado de prueba σtr: (c) cuando la tensión de prueba está fuera de la

superficie objetivo, (d) cuando la tensión de prueba está dentro de la superficie objetivo.

(e) La regla de traslación implícita de Prager (procedimiento iterativo): está regla está

basada en el principio de máxima disipación. Al final del proceso de convergencia, el

punto de contacto y el punto de tensión está definidos de forma independiente (no tiene

que coincidir necesariamente). El subíndice n indica el paso del procedimiento iterativo . 77

3.3 Ensayo uniaxial con un ciclo de carga. Historia de carga y resultados obtenidos . . . . . . 84

3.4 Ensayo uniaxial con varios ciclos de carga. Historia de carga y resultados obtenidos . . . 85

3.5 Comportamiento multiaxial. Historia de carga de tensiones y resultados obtenidos . . . . 86

x ÍNDICE DE FIGURAS

3.6 Historia temporal de la carga impuesta (izquierda). Malla utilizada y ubicación de los

resultados mostrados (derecha) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 87

3.7 Tensiones en la sección central de la viga . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 88

3.8 Plasticidad de superficies múltiples. (a) Contacto de las superfcies utilizando la regla de

Mróz. (b) La regla de traslación de Mróz explícita . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 89

3.9 La regla de traslación implícita de Mróz: (a) cuando la tensión de prueba está fuera de la

superficie objetivo; (b) cuando la tensión de prueba está dentro de la superficie objetivo . 90

3.10 Procedimiento iterativo. (a) Cálculo de la posición de la superficie activa, (b) cálculo de

las direcciones de endurecimiento de las superficies i = 1, ..., a . . . . . . . . . . . . . . . . 91

3.11 Comportamiento uniaxial de las reglas de traslación cinemáticas de Mróz y Prager someti-

das a cargas aleatorias . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 101

3.12 Comportamiento multiaxial de la plasticidad de superficies múltiples usando las reglas

de traslación de Mróz y Prager. Camino de deformación prescrito. Caminos de tensión

obtenidos con cada una de las reglas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 101

3.13 Placa con agujero bajo una carga una carga proporcional externa. (a) Historia de desplaza-

mientos prescrita, (b) Número máximo de superficies de endurecimiento utilizadas en las

simulaciones, (c) tensión efectiva en t = 1 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 103

3.14 Placo con agujero bajo una carga externa no proporcional. (a) Camino de desplazamientos

prescrito, (b) Número máximo de superficies utilizadas y (c) tensión efectiva en t = 0.12 . 104

3.15 Placa con agujero bajo cargas multiaxiales. Convergencia de los residuos de energía en

tres pasos de tiempo característicos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 105

3.16 Consistencia del comportamiento multiaxial de los modelos de plasticidad de superficies

múltiples. (a) Curva bilineal tensión-deformación utilizada en las simulaciones. (b) Camino

de desplazamientos prescrito. (c) Predicciones obtenidas utilizando la regla de traslación

de Prager para distinto número de superficies. (d) Predicciones obtenidas utilizando la

regla de traslación de Mróz. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 106

3.17 Predicciones para los experimentos multiaxiales de Lamba y Sidebottom [112] utilizando

el modelo de superficies múltiples de la Referencia [13], basado en la regla de traslación

de Prager. (a) Camino de deformación prescrito. (b) Curva tensión cortante-deformación

cortante obtenida de las simulaciones. (c) Curva tensión axial-deformación axial obtenida

de las simulaciones. (d) Camino de tensión multiaxial obtenido de las simulaciones. . . . 109

3.18 Resultados de los experimentos multiaxiales de Lambda y Sidebottom de 1978. (a) Camino

de deformación cíclico no proporcional prescrito. (b) Comportamiento torsional experimen-

tal obtenido (tensión cortante-deformación cortante). (c) Comportamiento axial experi-

mental (tensión axial-deformación axial). (d) Respuesta tensional experimental (tensión

cortante-tensión axial). Figuras extraídas de la referencia [112] . . . . . . . . . . . . . . . 110

3.19 (a) Curva tensión-deformación, discretizada en 9 superficies.(b) Camino de carga prescrito 111

3.20 Predicciones de los caminos de deformación correspondientes a la curva tensión-deformación

y al camino de carga de la Figura 7. Se muestran los resultados correspondientes a 15 ciclos

de carga. (a) Predicciones obtenidas utilizando la regla de traslación implícita de Mróz.

(c) Predicciones obtenidas utilizando la regla de Mróz. (b) y (d) detalles. . . . . . . . . . 112

3.21 Modelo de Cam-Clay superficies múltiples . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 116

ÍNDICE DE FIGURAS xi

3.22 Endurecimiento de la superficie de consolidación . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 117

3.23 Caso de no consolidación. Endurecimiento dentro de la superficie de endurecimiento. . . . 120

3.24 Comparación de las reglas de endurecimiento isótropa y cinemática en un modelo clásico

de von Mises (figura superior) y el modelo Cam-Clay propuesto . . . . . . . . . . . . . . . 121

3.25 Función de endurecimiento H . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 123

3.26 Resultados de la simulación ante un ciclo de carga no proporcional. La Figura (a) repre-

senta el camino de deformación volumétrica prescrito. Las Figuras (b) y (c) muestran la

influencia de la presión de consolidación pc y del número de superficies prescritos en el com-

portamiento de la solución obtenida. La Figura (d) representan un análisis de convergencia

en este tipo de carga. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 124

3.27 Resultados de la simulación de un ciclo de carga no proporcional. Las Figura (a) y (b)

muestran la influencia del tamaño relativo entre superficies del modelo de superficies múlti-

ples en la solución. Las Figura (c) muestra la influencia del parámetro de endurecimiento

a. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 125

3.28 Resultados de la simulación ante varios ciclos de carga. La Figura (a) representa los ciclos

de carga prescritos. Las Figuras (b), (c) y (d) muestran el análisis de convergencia del

modelo ante cargas cíclicas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 126

4.1 Microestructura de Aluminio puro comercial laminado. Se observa la dirección preferente

del proceso de fabricación. Figura extraída de la referencia [166] . . . . . . . . . . . . . . 128

4.2 Evolución de la microestructura de latón α con la deformación plástica. La Figura (a)

corresponde con el estado inicial de partida, la Figura (b) corresponde con una deformación

plástica del 20% en dirección vertical inducida por un proceso de laminación y la Figura

(c) corresponde con una deformación plástica del 50%. Se observa el direccionamiento que

presenta la microestructura por efecto del laminado [22] . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 128

4.3 Superposición de diferentes tipos de endurecimiento bajo deformaciones que no coinciden

con las direcciones preferentes de anisotropía: Endurecimiento cinemático (traslación de la

superficie), endurecimiento/reblandecimiento isótropo y rotación de la superficie. La figura

de la izquierda muestra la evolución de la superficie de fluencia para deformaciones impues-

tas según una de las direcciones preferentes. La figura de la derecha muestra la evolución

cuando las deformaciones impuestas no son según una de las direcciones preferentes. El

material es un acero al Cromo-Molibdeno-Vanadio. Figura extraída de la referencia [6]. . 129

4.4 Evolución de la superficie de plastificación ante cargas cíclicas proporcionales repetidas

impuestas en diferentes direcciones respecto a la principal. La ejecución del ensayo es

mediante tubos a tracción/compresión y cortante (ensayo tipo Taylor y Quinney). El ma-

terial es acero 18G2A (según norma polaca). Las dos superficies mostradas en cada gráfica

se corresponden con deformaciones permanentes de muestreo del 0.001% y del 0.005%..

En la esquina superior izquierda se muestran las diferentes direcciones ensayadas, en la

esquina inferior izquierda se muestran los ciclos de tensión efectiva-deformación efectiva

para cada una de las direcciones ensayadas. En la parte derecha se muestran las superficies

de plastificación obtenidas, siendo la central la original. Figura adaptada de la referencia

[40] . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 130

xii ÍNDICE DE FIGURAS

4.5 Evolución de la dirección principal X de anisotropía con deformaciones superpuestas en

direcciones diferentes a las de laminado. La Figura superior izquierda muestra un esquema

del ensayo. Las gráficas muestran la evolución del ángulo θ que forma la dirección principal

X con la de laminado (RD). Inicialmente θ = 0. El ángulo ψ es el que forma la dirección

de ensayo con la de laminado. Las tres gráficas se corresponden con ángulos ψ = 30o (a),

ψ = 45o (b) y ψ = 60o (c). Figura adaptada de la referencia [41] . . . . . . . . . . . . . . 131

4.6 Evolución de las superficies de fluencia anisótropas con deformaciones superpuestas a un

ángulo de 30o con la dirección de laminado. Figura adaptada de la referencia [41] . . . . 132

4.7 Figuras de polos según la dirección cristalográfica 1, 1, 1 en aluminio puro comercial(Al 99.5%) laminado obtenidas a partir de medidas con rayos X. Figura extraída de la

referencia [39] . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 133

4.8 Chapa de aluminio en la configuración inicial. La geometría de la chapa es de dimensiones

2600× 750 mm, con un espesor de 1 mm . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 138

4.9 Esquema del procedimiento operativo con las diferentes fases experimentales y geometría

de las probetas iniciales. En verde se muestra el pretensado inicial en la dirección de

laminado (RD). Los ejes en rojo determinan la dirección de los segundos pretensados,

concretamente, a diferentes ángulos θ respecto de la dirección de laminado y por último,

en azul y a un ángulo α respecto de la dirección del segundo pretensado, se obtienen las

probetas normalizadas donde se determina la tensión de fluencia σy. . . . . . . . . . . . . 139

4.10 Portico de ensayos, de la empresa Servosis, ubicado en E.T.S. de Caminos, Canales y

Puertos de Ciudad Real. Universidad de Castilla-La Mancha . . . . . . . . . . . . . . . . 141

4.11 Máquina de ensayos triaxial, de la empresa MICROTEST, ubicada en la E.T.S. de Inge-

nieros Industriales de Ciudad Real. Universidad de Castilla-La Mancha . . . . . . . . . . 142

4.12 Videoextensómetro acoplado a la máquina de ensayos para la medida de la deformación. . 143

4.13 Curva característica Tensión-Deformación del material de partida en la dirección de laminado144

4.14 Determinación del límite elástico convencional al 0, 2 % de deformación plástica total. . . 145

4.15 Detalle procedimiento experimental fase 1 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 145

4.16 Comparación de los resultados experimentales de anisotropía plástica con el modelo teórico

de Hill. Se presentan, en formato de barras de error, la desviación del modelo teórico

respecto de los resultados experimentales . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 146

4.17 Esquema del procedimiento experimental de la segunda fase: primer pretensado en la

dirección de laminado a dos niveles de deformación plástica: 2% y 4%. . . . . . . . . . . . 146

4.18 Detalles del procedimiento experimental de la fase 2: (a) Montaje de la probeta inicial

para el pretensado inicial (fase 2), (b) Detalle del montaje de la probeta inicial , (c) y (d)

Detalles de las mordazas y acoplamientos de la fase 2 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 147

4.19 Detalles geométricos de las mordazas de ensayo para las probetas en configuración inicial 148

4.20 Curvas fuerza-desplazamiento procedentes de los pretensados iniciales: (a) 11,5 toneladas

(2% de deformación plástica permanente) y (b) 13 toneladas (4% de deformación plástica

permanente) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 149

ÍNDICE DE FIGURAS xiii

4.21 Evolución de la tensión de fluencia σy en las chapas de aluminio 5754 laminadas para

diferentes deformaciones uniaxiales superpuestas a la dirección de laminado. Las deforma-

ciones superpuestas corresponden con el 2% y 4% de deformación plástica en la dirección

de laminado. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 150

4.22 Esquema del procedimiento experimental de la tercera fase: segundo pretensado a un án-

gulo θ (30o, 45o, 60o y 90o) respecto de la dirección de laminado (RD) a diferentes niveles:

1%, 2%, 5% y 10%, respectivamente. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 150

4.23 Detalle de las probetas de la fase 3. En esta fase se lleva a cabo el segundo pretensado a

diferentes niveles de deformación plástica. Las deformaciones impuestas fueron 1%, 2%,

5% y 10%, para diferentes orientaciones θ (a 30o, 45o, 60o y 90o respecto de la dirección

de laminado) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 151

4.24 Montaje experimental fase 3: a la izquierda, máquina de ensayos triaxial, a la derecha,

probeta secundaria . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 151

4.25 Esquema del procedimiento experimental de la cuarta fase: obtención de probetas nor-

malizadas de 0o a180o con objeto de determinar la evolución del límite elástico con la

orientación respecto de la dirección de laminado (RD) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 152

4.26 Detalles del montaje experimental de la cuarta fase . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 153

4.27 Evolución de la tensión de fluencia para un pretensado inicial del 2% y pretensados secun-

darios en la dirección de laminado. En la Figura se representan los datos experimentales

con puntos y el ajuste con la función de plastificación de Hill teórica se representa en línea

continua. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 153

4.28 Evolución de la tensión de fluencia para un pretensado inicial del 2% y pretensados secun-

darios a 45o de la dirección de laminado. En la Figura se representan los datos experimen-

tales con puntos y el ajuste con la función de plastificación de Hill teórica se representa en

línea continua. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 154

5.1 Tensión de fluencia en chapas laminadas de acero para diferentes ángulos α respecto

de la dirección de laminado y para diferentes deformaciones uniaxiales superpuestas en

la dirección de laminado. Los puntos se corresponden con resultados experimentales,

mientras que las curvas son las funciones de Hill ajustadas, resultando unos valores de

f = 0.3613, g = 0.3535, y h = 0.4957 [41] . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 157

5.2 Direcciones principales y aparentes en la determinación del tensor de constantes elásticas 159

5.3 Camino de deformación proporcional (a) y no proporcional (b) prescritos para el análisis

del modelo de elasto-plasticidad de Hill en pequeñas deformaciones . . . . . . . . . . . . . 170

5.4 Simulaciones numéricas del algoritmo de Hill en condiciones de isotropía. Camino de

tensión prescrito. (a) endurecimiento isótropo y (b) endurecimiento cinemático . . . . . . 171

5.5 Ejemplo numérico para verificar el algoritmo de elastoplasticidad anisótropa en pequeñas

deformaciones de la referencia [174]. Geometría, condiciones de contorno e historia de carga172

5.6 Elastoplasticidad anisótropa en pequeñas deformaciones. Deformada y desplazamientos

nodales de la simulación de la Referencia [174] bajo la hipótesis de endurecimiento isótropo

θ = 1 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 173

xiv ÍNDICE DE FIGURAS

5.7 Estampado de una placa circular delgada. Geometría y condiciones de contorno. En el

perímetro interior se aplica un desplazamiento de u = 75 mm. Las dimensiones están en

mm. A la derecha se presenta un cuarto del modelo discretizado, debido a las simetrías

del problema. Se han utilizado elementos tridimensionales BMIX 27/27/4 . . . . . . . . . 174

5.8 Estampado de una placa circular delgada bajo la hipótesis de pequeñas deformaciones.

Distribución de deformación plástica equivalente y deformada para tres desplazamientos

radiales distintos: (a) u = 2.5 mm, (b) u = 5 mm y (c) u = 7.5 mm. En la simulación se

han utilizado elementos mixtos tridimensionales BMIX 27/27/4. . . . . . . . . . . . . . 175

6.1 Descomposición multiplicativa de Lee del gradiente de deformación F en parte elástica Fe

y parte plástica Fp . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 185

6.2 Configuraciones en el proceso de integración . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 190

6.3 Principales configuraciones utilizadas en la linealización del algoritmo en la iteración (i) . 192


ciones utilizando un elemento BRICK 8/8 deformado y con dos tipos de cargas: (a) pre-

scripción de desplazamientos mediante el método de penalización y (b) prescripción de

fuerzas. De arriba a abajo: geometría y condiciones de contorno, deformación plástica

equivalente y tensión de von Mises . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 210

7.1 Ensayo de tracción de una barra cilíndrica. Geometría y Condiciones de Contorno. A la

derecha se presenta un octavo del modelo discretizado, debido a las simetrías del problema.

Se han utilizado elementos tridimensionales BMIX 27/27/4 . . . . . . . . . . . . . . . . . 212

7.2 Ensayo de tracción de una barra circular. Modelo de elastoplasticidad anisótropa bajo

condiciones de isotropía elástica. Distribución de deformación plástica equivalente y defor-

mada para u = 14 mm: (a) Simulación utilizando elementos BRCK 27/27 en formulación

estándar, (b),(c) y (d): Análisis de convergencia de malla. En estas simulaciones se han

utilizando elementos BMIX 27/27/4 en formulación mixta . . . . . . . . . . . . . . . . . 214

7.3 Ensayo de tracción de una barra circular. Condiciones de isotropía elastoplástica. Defor-

madas para u = 14 mm y distribución de tensión plástica equivalente. (a) Configuración

de referencia, (b) Estado final utilizando el modelo de elastoplasticidad anisótropa basado

en tensiones de Mandel, bajo la hipótesis de isotropía, (c) Estado final utilizando el mod-

elo de plasticidad anisótropa e isotropía elástica, basado en tensiones de Kirchhoff y (d)

Estado final utilizando el modelo de elastoplasticidad isótropa [36] . . . . . . . . . . . . 215

7.4 Estampado de una placa circular delgada. Geometría y condiciones de contorno. En el

perímetro interior se aplica un desplazamiento de u = 75 mm. Las dimensiones están en

mm. A la derecha se presenta un cuarto del modelo discretizado, debido a las simetrías

del problema. Se han utilizado elementos tridimensionales BMIX 27/27/4 . . . . . . . . . 216

7.5 Estampado de una placa circular. Análisis de convergencia de malla. Distribución de

deformación plástica equivalente y deformada para u = 75 mm. Se ha utilizado el modelo

de elastoplasticidad anisótropa en grandes deformaciones bajo la hipótesis de isotropía

elástica, con elementos BMIX 27/27/4 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 217

ÍNDICE DE FIGURAS xv

7.6 Estampado de una placa circular para el caso A. Distribución de deformación plástica

equivalente y deformada para tres desplazamientos radiales distintos: (a) u = 25 mm,

(b) u = 50 mm y (c) u = 75 mm. Se han comparado la respuesta de dos modelos: en

la parte derecha de la figura se representan los resultados del modelo de elastoplasticidad

anisótropa en grandes deformaciones, basado en tensiones de Mandel, bajo la hipótesis

de anisotropía elástica y en la parte izquierda se ha utilizado el modelo de plasticidad

anisótropa e isotropía elástica en grandes deformaciones, basado en tensiones de Kirch-

hoff. En ambas simulaciones, se han utilizado elementos mixtos tridimensionales BMIX

27/27/4 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 219

7.7 Estampado de una placa circular para el caso B. Distribución de deformación plástica

equivalente y deformada para tres desplazamientos radiales distintos: (a) u = 25 mm,

(b) u = 50 mm y (c) u = 75 mm. Se han comparado la respuesta de dos modelos:

en la parte derecha de la Figura se representan los resultados utilizando el modelo de

elastoplasticidad anisótropa en grandes deformaciones, basado en tensiones de Mandel,

bajo la hipótesis de anisotropía elástica y en la parte izquierda se ha utilizado el modelo de

plasticidad anisótropa e isotropía elástica en grandes deformaciones, basado en tensiones

de Kirchhoff. En ambas simulaciones, se han utilizado elementos mixtos tridimensionales

BMIX 27/27/4 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 220

7.8 Membrana de Cook. Geometría y condiciones de contorno. La membrana está empotrada

en el lado izquierdo. En el lado derecho se aplica una fuerza de valor Fy. Las dimensiones

están en mm. En la parte izquierda se presenta la discretización del modelo con elementos

tridimensionales BRICK 27/27 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 221

7.9 Membrana de Cook. Deformada para una carga de Fy = 0.7 N en diferentes vistas. Se

han utilizando elementos BRCK 27/27 en formulación estándar. . . . . . . . . . . . . . . 222

7.10 Placa rectangular con agujero sometida a tracción. Configuración de referencia y dis-

cretización con malla gruesa utilizando elementos mixtos BEHN 8/9/9. En el caso de

isotropía, se ha discretizado un cuarto del modelo, debido a las simetrías del problema. . 222

7.11 Placa rectangular sometida a tracción. Caso de isotropía elastoplástica (E = 69.99 GPa,

ν = 0.3, G = 26.92 GPa). Hipótesis de deformación plana . . . . . . . . . . . . . . . . . . 224

7.12 Tracción de una placa rectangular con orificio central: Distribución de deformación plástica

equivalente para los ángulos θ = 0o, 10o , 30o, 60o , 80o y 90o (en sentido antihorario desde

la esquina superior izquierda). Caso elastoplástico anisótropo. Se han utilizado elementos

BEHN 8/9/9. Hipótesis de deformación plana . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 224

7.13 Placa rectangular sometida a tracción. Caso de isotropía elastoplástica (E = 69.99 GPa,

ν = 0.3, G = 26.92 GPa). Hipótesis de tensión plana . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 225

7.14 Tracción de una placa rectangular con orificio central: Distribución de deformación plástica

equivalente para los ángulos θ = 0o, 10o , 30o, 60o , 80o y 90o (en sentido antihorario desde

la esquina superior izquierda). Caso elastoplástico anisótropo. Se han utilizado elementos

BEHN 8/9/9. Hipótesis de tensión plana . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 225

9.1 Elemento viga de 2 nudos con 2 grados de libertad por nudo [45] . . . . . . . . . . . . . . 233

xvi ÍNDICE DE FIGURAS

9.2 Elemento de cuatro nudos sometido a flexión. (a) elemento, (b) respuesta del elemento,

(c) respuesta deseable . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 243

9.3 Modos incompatibles de Wilson . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 243

9.4 Test de la parcela para elementos de cuatro nudos, donde las cargas son fuerzas de valor

F , consistentes con el estado de tensiones uniforme σx = σc, σy = τxy = 0 [149] . . . . . 245

9.5 Malla de elementos triangulares de presión constante, en donde la incompresibilidad implica

desplazamientos nulos [49] . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 248

9.6 (a) Malla de cuatro elementos, con los puntos de integración. (b),(c) y (d) Mecanismos

(’modos hourglass’) [149] . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 248

9.7 Esquema del algoritmo de no-consolidación (dentro de la superficie de consolidación) . . 250

9.8 Esquema del algoritmo de consolidación (en la superficie de consolidación) . . . . . . . . 253

9.9 Condiciones iniciales. Puntos de tensión iniciales A y B en el plano p− q . . . . . . . . . 255

9.10 Análisis de convergencia para el estado inicial A bajo las cargas proporcionales ∆ v = 0.00

y ∆ v = 0.05 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 256

9.11 Análisis de convergencia para el estado inicialA bajo las cargas proporcionales∆ v = −0.05y ∆ v = 0.05 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 257

9.12 Análisis de convergencia para el estado inicial B bajo las cargas proporcionales ∆ v = 0.00

y ∆ v = 0.05 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 258

9.13 Análisis de convergencia para el estado inicial B bajo las cargas proporcionales ∆ v =

−0.05 y ∆ v = 0.05 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 259

9.14 Evolución de la tensión de fluencia con la dirección respecto de la dirección de laminado

para el estado de partida y posteriormente pretensados al 3% y 6% de deformación plástica.

Datos extraídos de la referencia [41] . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 261

Índice de tablas

1.1 Comandos del preprocesador de DULCINEA . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 18

1.2 Comandos @ del preprocesador de DULCINEA . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 18

1.3 Comandos del postprocesador en MATLAB . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19

2.1 Parámetros del material. Elemento BENH 8/9/9. Anisotropía elastoplástica . . . . . . . . 71

2.2 Convergencia del algoritmo de elastoplasticidad anisótropa en grandes deformaciones para

el caso de prescripción de desplazamientos con los elementos BINC8/9/12 y BENH8/9/9 . 71

3.1 Valores típicos de convergencia en el caso uniaxial . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 85

3.2 Valores típicos de convergencia en el caso multiaxial . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 86

3.3 Valores típicos de convergencia para el caso de la viga biapoyada . . . . . . . . . . . . . . 87

3.4 Parámetros del material utilizados en las simulaciones . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 100

3.5 Parámtetros utilizados en las simulaciones de curvas de comportamiento bilineales . . . . 107

3.6 Parámetros utilizados en la simulación de una curva de comportamiento no lineal . . . . . 111

4.1 Composición química del material. Certificado de calidad del fabricante . . . . . . . . . . 135

4.2 Combinaciones de primer y segundo pretensados . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 140

4.3 Valores de los estimadores mínimos cuadráticos de los parámetros de anisotropía . . . . . 145

5.1 Esquema del algoritmo de integración de tensiones . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 176

5.2 Algoritmo predictor del parámetro de consistencia inicial . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 177

5.3 Esquema del cálculo del módulo elastoplástio tangente algorítmico . . . . . . . . . . . . . 178

5.4 Parámetros del material. Caso de isotropía elastoplástica . . . . . . . . . . . . . . . . . . 179

5.5 Parámetros de control utilizados en las simulaciones . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 179

5.6 Convergencia del modelo de Hill con parámetros de isotropía para el caso de prescripción

de tensiones . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 179

5.7 Parámetros del material. Caso de anisotropía elastoplástica. Ejemplo del artículo de Kojic

et al de 1996 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 179

5.8 Convergencia del algoritmo elastoplástico anisótropo en pequeñas deformaciones . . . . . 180

5.9 Propiedades del Material en la simulación de la estampación de una placa circular delgada 180

5.10 Convergencia del algoritmo elastoplástico anisótropo para el caso de la placa circular delgada181

xvii

xviii ÍNDICE DE TABLAS

6.1 Algoritmo de integración de tensiones para las formulaciones TL (Total Lagrangian) y UL

(Updated Lagrangian) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 191

6.2 Modelo de elastoplasticidad anisótropa en grandes deformaciones. Esquema del algoritmo

de integración de tensiones . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 204

6.3 Cálculo del módulo elastoplástio tangente algorítmico en grandes deformaciones . . . . . . 207

6.4 Parámetros del material. Caso de anisotropía elastoplástica . . . . . . . . . . . . . . . . . 208

6.5 Convergencia del algoritmo de elastoplasticidad anisótropa en grandes deformaciones para

el caso de prescripción de desplazamientos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 209

7.1 Simulaciones numéricas implementadas e hipótesis asociadas . . . . . . . . . . . . . . . . . 212

7.2 Parámetros del material de la simulación de una barra cilíndrica sometida a tracción . . . 213

7.3 Propiedades del Material en la simulación de la estampación de una placa circular delgada 217

7.4 Propiedades del Material en la simulación de la membrana de Cook . . . . . . . . . . . . . 218

7.5 Propiedades del Material en la simulación de una placa rectangular con agujero sometida

a tracción . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 223

9.1 Parámetros del material . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 264

9.2 Parámetros del material de la simulación de una barra cilíndrica sometida a tracción . . . 264


9.4 Propiedades del Material . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 267


9.6 Propiedades del Material . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 269

AgradecimientosQuisiera expresar mi agradecimiento a mis Directores de Tesis: a D. Francisco Javier Montáns Leal por

la posibilidad ofrecida para realizar la presente Tesis, sus inestimables consejos y dedicación; y a D. Juan

José López Cela sin cuyo apoyo no hubiera sido posible la consecución de esta Tesis.

Por otro lado, quisiera mostrar mi agradecimiento a todas aquellas personas que, de una forma u

otra, han hecho posible el desarrollo de esta Tesis. Entre ellas se encuentran: D. Gonzalo Ruiz López

de la E.T.S. de Caminos, Canales y Puertos de Ciudad Real, por colaborar en el desarrollo de la parte

experimental de la Tesis y los técnicos de laboratorio Miguel Ángel Romero y Pedro Jiménez de los

Galanes entre otros.

Naturalmente, expreso mi mayor gratitud a mi familia por su apoyo incondicional en todo momento.

Por último, quisiera expresar mi agradecimiento a la Consejería de Educación y Ciencia de la Junta

de Comunidades de Castilla-La Mancha y al Fondo Social Europeo como entidades financiadoras de este

trabajo.

Ciudad Real, marzo 2010


xix

ResumenEl modelado de la anisotropía presente en los materiales y su evolución con las deformaciones es de gran

interés en procesos de conformado de metales, de recuperación elástica y, en general, en procesos que

impliquen deformación plástica del material. Por ejemplo, las chapas procedentes de laminación en frío,

presentan una anisotropía inicial que tiene su origen en el proceso de fabricación. En etapas posteriores,

esta anisotropía inicial puede dar lugar a diferentes flujos de tensión respecto de la dirección de laminado

(‘Rolling Direction’), ocasionando imperfecciones en las piezas resultantes de los procesos de fabricación

(‘orejeado’ de los bordes, errores en la fuerza aplicada para obtener un desplazamiento determinado,

diferente recuperación elástica según la dirección, etc).

El objetivo de este trabajo es el desarrollo de modelos y algoritmos numéricos que simulen el com-

portamiento del material bajo estas condiciones en el contexto de programas de elementos finitos, dando

como resultado predicciones más precisas de los procesos de conformado y deformación plástica en gen-

eral. Para lograr este objetivo se han desarrollado diversas tareas destinadas a mejorar las predicciones

en tres aspectos fundamentales.

El primer aspecto consiste en la mejora de la descripción del endurecimiento cinemático anisótropo en

pequeñas deformaciones, lo cual se ha realizado a través de modelos y algoritmos implícitos de superficies

múltiples. Ha sido estudiada la consistencia de este tipo de modelos tanto si están basados en una regla

implícita similar a la de Mróz o en la regla de Prager. Además se han simulado los ensayos de Lamba

y Sidebottom, obteniendo, en contra de la creencia general, muy buenas predicciones con la regla de

Prager. Dichos modelos podrían ser extendidos de forma relativamente fácil para considerar grandes

deformaciones a través de procedimientos en deformaciones logarítmicas, similares a los desarrollados en

esta tesis y detallados a continuación.

El segundo aspecto consiste en la descripción de la anisotropía elastoplástica inicial. Esto se ha

conseguido mediante el desarrollo de modelos y algoritmos para plasticidad anisótropa en grandes de-

formaciones, bien ignorando la posible anisotropía elástica, bien considerándola simultáneamente con la

anisotropía plástica. Para ello ha sido necesario desarrollar primero un nuevo algoritmo de elastoplastici-

dad anisótropa en pequeñas deformaciones consistentemente linealizado y sin despreciar ningún término,

de tal forma que se conserve la convergencia cuadrática de los métodos de Newton. Este algoritmo en

pequeñas deformaciones ha servido para realizar la corrección plástica de dos algoritmos en grandes de-

formaciones. El primero de estos algoritmos es una variación del clásico algoritmo de Eterovic y Bathe

para incluir la posibilidad de plasticidad anisótropa con endurecimiento mixto. Este primer algoritmo

está restringido a casos de isotropía elástica. La isotropía elástica es una hipótesis bastante habitual

en plasticidad anisótropa y tiene la ventaja de que permite el uso de formulaciones mixtas u/p. El se-

gundo algoritmo, más complejo y general, incluye la posibilidad de elasticidad anisótropa, plasticidad

anisótropa y endurecimiento mixto. Este algoritmo supone una contribución importante ya que está

basado en hipótesis comunmente aceptadas y utilizadas en elastoplasticidad isótropa: descomposición

multiplicativa del gradiente de deformaciones en parte elástica y parte plástica, descripción hiperelás-

tica sencilla en función de deformaciones logarítmicas e integración exponencial que conserva el volumen.

Además, la estructura final del algoritmo es modular y relativamente sencilla, consistiendo en un pre- y un

postprocesador geométrico y una corrección plástica realizada en pequeñas deformaciones. El algoritmo

xxi

está consistentemente linealizado para conservar la convergencia cuadrática asintótica de los métodos de

Newton y la forma final que toma dicha linealización es similar al caso de isotropía elastoplástica imple-

mentado; consiste en el módulo tangente algorítmico de pequeñas deformaciones sobre el que se aplica

una transformación para convertirlo en el de grandes deformaciones. Todos estos modelos han sido imple-

mentados en un código propio de elementos finitos denominado DULCINEA, el cual tiene formulaciones

lagrangianas totales y actualizadas para grandes deformaciones.

Una de las tareas necesarias para poder realizar las simulaciones, ha sido el estudio e implementación

de diferentes elementos que no sufran el bloqueo volumétrico severo que se observa en formulaciones es-

tándar basadas en desplazamientos. Este bloqueo se debe a la condición de quasi-incompresibilidad que

imponen los modelos de plasticidad desviadores y consiste en una respuesta exageradamente rígida de la

solución obtenida por el método de los elementos finitos estándar. Entre los elementos implementados

cabe destacar el basado en la formulación mixta u/p, que contiene una interpolación adicional de grados

de libertad de presión. Estos grados de libertad adicionales habitualmente son internos al elemento en

mecánica de sólidos. En este trabajo se ha desarrollado e implementado en DULCINEA una familia de el-

ementos tridimensionales mixtos en grandes deformaciones que incluye el caso particular BMIX 27/27/4,

basado en la formulación u/p, constituido por 27 nudos, con 27 puntos de integración estándar y 4 grados

de libertad de presiones, y que pasa la condición Inf-Sup o de Babuška-Brezzi. Sin embargo, se ha ob-

servado que la formulación u/p presenta ciertas limitaciones bajo las hipótesis conjuntas de anisotropía

elástica y anisotropía plástica. Con objeto de subsanar estas limitaciones, se han implementado en DUL-

CINEA otros elementos mixtos basados en modos incompatibles o deformaciones (gradientes) mejorados.

Estos elementos son el BINC 8/9/12 (elemento tridimensional de 8 nudos, con 9 puntos de integración

y 12 modos adicionales) basado en el elemento mixto de Simó, Armero y Taylor de 1993, que presenta a

su vez modos de energía nula en problemas de compresión en grandes deformaciones, y el BENH 8/9/9

(elemento tridimensional de 8 nudos, con 9 puntos de integración y 9 modos adicionales), basado en el

elemento mixto de Armero y Glaser de 1997, que soluciona algunos de los problemas anteriores.

Los procedimientos comentados no incluyen la actualización de las direcciones de anisotropía, para

las que en la actualidad todavía no existe un modelo constitutivo convincente. Por ello, el tercer aspecto

estudiado ha sido la evolución de dichas direcciones de anisotropía ante cargas no proporcionales. Como

trabajo previo en esta línea, se ha desarrollado un estudio experimental preliminar de la anisotropía

plástica presente en chapas laminadas en frío de la aleación de aluminio-magnesio 5754, ensayos basados

en los experimentos de Kim y Yin de 1997. La aleación seleccionada es de uso habitual en la industria

aeronáutica y de automoción. Los resultados experimentales obtenidos de anisotropía plástica se ajustan

a la función de fluencia anisótropa de Hill de 1948 y se observa una rotación de las direcciones principales

de la misma. Estos experimentos sirven de partida para el desarrollo futuro de un estudio experimental

exhaustivo de la evolución de la anisotropía elástica y plástica en metales laminados, a fin de obtener una

ecuación consitutiva macroscópica convincente.

xxii

Capítulo 1

Introducción

En este capítulo se introducen los conceptos fundamentales de la mecánica de los medios continuos

utilizados en el desarrollo de la presente tesis. En primer lugar, se lleva a cabo una breve introducción al

fenómeno de la plasticidad, resaltando la importancia de la anisotropía elástica y la anisotropía plástica,

así como la posterior evolución de ambas en metales laminados. Inherente al estudio de la evolución de

la anisotropía plástica, es la adopción de deformaciones finitas (o grandes deformaciones), que son de

especial relevancia en procesos de conformado de metales.

Posteriormente se realiza un estudio del estado del arte de la plasticidad computacional en grandes

deformaciones y de la evolución de la anistropía elastoplástica en metales, tanto desde el punto de vista

experimental como del modelado computacional de la misma.

Por último, se presentan los objetivos principales perseguidos en este trabajo y la descripción de la

estructura de la tesis.

1.1 Generalidades

1.1.1 Introducción a la plasticidad

Una gran cantidad de materiales y en especial la mayor parte de los metales, al sobrepasar cierto límite de

carga, sufren deformaciones permanentes una vez que las cargas actuantes desaparecen. Este fenómeno

se conoce como plasticidad y en el caso de los metales se produce, fundamentalmente y desde el punto de

vista atómico, por la rotura de enlaces entre los átomos más próximos y la regeneración de los mismos

con los nuevos vecinos; un gran número de átomos o moléculas se mueven unos respecto de otros, y al

eliminar la carga, no vuelven a sus posiciones originales. En materiales cristalinos, como los metales, la

deformación plástica tiene lugar mediante un proceso denominado deslizamiento de planos preferentes

de átomos sobre otros planos paralelos. En este proceso está involucrado también el movimiento de

dislocaciones. Las dislocaciones son defectos lineales o unidimensionales en torno a algunos átomos

desalineados de la estructura cristalina. Las dislocaciones hacen que no sea necesario un movimiento

simultáneo de todos los átomos en el plano, sino únicamente de aquellos átomos situados en la línea

de dislocación, haciendo que la tensión necesaria para provocar el deslizamiento sea varios órdenes de

magnitud inferior de la requerida para mover todos los átomos simultáneamente. El movimiento hace

1

2 CAPÍTULO 1. INTRODUCCIÓN

Plano dedeslizamiento

Línea dedislocación

Escalón producido pordeslizamiento

a b c

Figura 1.1: Cambios de la posición atómica que acompañan al movimiento de una dislocación de cuña amedida que ésta se mueve a lo largo de la red cristalina. Al final del proceso, se forma un escalón sobrela superficie del cristal [1]

que la línea de dislocación se vaya trasladando, barriendo el plano de deslizamiento hasta que todos los

átomos del mismo se hayan movido. En la figura 1.1 se muestra un esquema de una dislocación de cuña

y el movimiento de la misma.

Experimentalmente, desde el punto de vista macroscópico o del medio continuo (‘fenomenológico’), la

aparición de dichas deformaciones permanentes se puede detectar en un ensayo a tracción simple. Una

idealización típica de la misma como curva bi-lineal se muestra en la parte derecha de la figura 1.2.

La tensión a partir de la cual se presentan dichas deformaciones permanentes, en el ensayo uniaxial, se

denomina tensión de plastificación o tensión de fluencia (σy). En el caso tridimensional, dicha tensión

de plastificación debe ser comparada con un valor invariante que sea función de las tensiones existentes

(el denominado criterio o superficie de plastificación). En el caso de materiales isótropos, como es bien

sabido, el más usado es el criterio de plastificación de von Mises1. En la parte izquierda de la figura

1.2 se muestra la representación del criterio o superficie de plastificación de von Mises en el espacio de

las tensiones principales (representación de Haigh-Westergaard o en el plano π) conjuntamente con los

ingredientes típicos de la teoría de plasticidad clásica (regla de flujo, regla de endurecimiento, ...)

La tensión a la que se produce la plastificación del material, si se descarga y recarga nuevamente, varía

a medida que se va deformando el material como resultado de un fenómeno conocido como endurecimiento.

A veces también se denomina acritud, o bien endurecimiento por trabajo en frío. Desde el punto de vista

cristalino, el fenómeno de endurecimiento por deformación se explica en base a las interacciones de los

campos de deformación de las dislocaciones. La densidad de dislocaciones en un metal aumenta con

la deformación. En consecuencia, la distancia media entre dislocaciones disminuye y, por lo tanto, las

dislocaciones se posicionan mucho más juntas. El resultado neto es que el movimiento de una dislocación

es limitado debido a la presencia de otras dislocaciones. A medida que la densidad de dislocaciones

aumenta, la resistencia al movimiento de éstas debido a otras dislocaciones se hace más pronunciada.

Así, la tensión necesaria para deformar plásticamente el metal aumenta con el endurecimiento.

Desde el punto de vista macroscópico, existen dos formas habituales de modelar el endurecimiento

que no provocan cambios en la forma de la superficie teórica de plastificación: endurecimiento isótropo

1Debido a Maxwell, von Mises, Hencky, Huber y Nadai (1913). Este criterio es el más realista para materiales poli-cristalinos. Supone un refinamiento del criterio de Tresca (1864).

1.1. GENERALIDADES 3

Figura 1.2: Criterio de plastificación de von Mises, representado en el espacio de tensiones principales. Ala derecha, se muestra una curva tensión-deformación uniaxial, donde se detalla la descomposición aditivade deformaciones en elásticas y plásticas

(únicamente varía la tensión de comparación, y por lo tanto el “tamaño” de la superficie) y endurec-

imiento cinemático (únicamente varía la localización de la superficie de plastificación en el espacio de

tensiones principales). Estos dos tipos de endurecimiento se muestran en la figura 1.3. El segundo tipo

de endurecimiento recoge el conocido como efecto Bauschinger : si un metal deformado plásticamente

por tracción, se deforma después por compresión, el límite elástico obtenido por este nuevo esfuerzo de

compresión resulta menor que la tensión de plastificación en tracción [2]. También es habitual combinar

ambos tipos de endurecimiento (endurecimiento mixto) para dotar a los cálculos de más realismo.

1.1.2 Endurecimiento anisótropo

Cuando se modela el comportamiento plástico de los materiales, especialmente durante procesos cíclicos

de carga-descarga multiaxiales, las reglas clásicas de endurecimiento isótropo, cinemático o endurec-

imiento mixto son a menudo insuficientes [3], [4]. Esto es debido a que la mayor parte de los materiales

presentan comportamientos plásticos tensión-deformación no lineales y al mismo tiempo, en procesos

cíclicos carga-descarga, se conserva el comportamiento Masing (relación homólogica de dos entre la curva

de carga virgen y la de descarga), dando lugar al típico comportamiento histerético con ciclos cerrados [5],

[6], [7]. Las reglas de endurecimiento anteriores pueden predecir el comportamiento plástico monotónico

uniaxial, pero únicamente la regla de endurecimiento cinemático lineal conserva el comportamiento Mas-

ing, es decir, el modelo está restringido al uso de una curva monotónica tensión-deformación bilineal.

El comportamiento cíclico Masing es deseable, ya que es una buena aproximación del comportamiento

cíclico real de numerosos metales [6] y suelos [7].


(a) (b)

Figura 1.3: Tipos de endurecimiento habituales: (a) Endurecimiento isótropo (varía el tamaño de lasuperficie de plastificación). (b) Endurecimiento cinemático (varía la posición de la superficie de plastifi-cación).

Se han desarrollado diversos modelos avanzados de endurecimiento, incluyendo endurecimiento anisótropo,

con el objetivo de mejorar el modelado del comportamiento cíclico plástico y su extensión multiaxial.

Entre ellos, hay que destacar especialmente dos familias de modelos. La primera es la plasticidad de

superficies múltiples o superficies anidadas, propuesta inicialmente por Mróz [8] e Iwan [9]. La segunda

es la plasticidad de superficie límite, propuesta originalmente por Dafalias y Popov [10]. La plasticidad

de superficies múltiples discretiza la curva tensión-deformación en varios tramos lineales y asigna cada

módulo de endurecimiento resultante de un tramo a una de las superficies de plastificación anidadas. Pos-

teriormente, haciendo uso de la regla de traslación (o endurecimiento) apropiada, se extiende el campo

de endurecimiento para el caso de cargas multiaxiales. Ejemplos de este tipo de modelos los podemos

encontran en las referencias [11], [12], [13], [14], [15]. Por otro lado, la plasticidad de superficie límite

habitualmente hace uso de una expresión no lineal explícita de la función de endurecimiento (por ejemplo

del tipo Ramberg-Osgood). En esta expresiones, hay que calcular los parámetros de material necesarios

para el cálculo del módulo de endurecimiento y frecuentemente hay que resolver un problema de opti-

mización para ajustar los parámetros del material a los datos experimentales [16]. Ejemplos de este tipo

de modelos los podemos encontrar en las referencias [16], [17], [18], [19], [20]. Los modelos basados en

la regla de endurecimiento cinemático de Armstrong-Frederick [21], se pueden considerar también como

modelos de superficie límite [6]. En los modelos de superficie límite clásicos, es necesario realizar ciertas

modificaciones en la formulación, con el objeto de conservar el comportamiento Masing para cualquier

nivel de tensión [18]. Estas modificaciones implican eliminar ciertas ventajas que ofrecen este tipo de

modelos.

La plasticidad de superficies múltiples tiene una ventaja muy importante desde el punto de vista del

usuario. El usuario simplemente tiene que prescribir pares de puntos tensión-deformación de la curva de

comportamiento del material. Los radios de las superficies y los módulos de endurecimiento asociados a

estas superficies se obtienen explícitamente en función de dichos puntos.


Figura 1.4: Textura inducida a una probeta de latón-α después de someterla a un ensayo de tracción. Sepuede observar la alineación de los granos en la dirección de carga, así como la aparición de bandas dedeslizamiento en el interior de los granos. Ensayos realizados en la UCLM [22].

1.1.3 Comportamiento elástico anisótropo y criterios de fluencia anisótropos

Anisotropía plástica

Un efecto diferente, también presente en los metales deformados según direcciones preferentes, es la apari-

ción de cambios en la forma de la superficie de plastificación; esto es, la tensión de plastificación varía

con la dirección en la que se ensaya el material. Este comportamiento es típico de metales laminados

(con fuertes deformaciones plásticas previas), pero también se presenta en materiales deformados consid-

erablemente en cualquier proceso que actúe según unas direcciones preferentes determinadas. Cuando las

propiedades del material varían según la dirección en la que se ensaya el mismo se dice que el material es

anisótropo.

Desde el punto de vista microestructural, la anisotropía en metales se produce por la forma y ori-

entación preferente de los granos, así como de la orientación de las correspondientes estructuras cristalinas.

La extensión y magnitud de los efectos anisótropos en materiales cristalinos son función de la simetría de

la estructura cristalina.

En la mayoría de los materiales policristalinos sin deformación previa, las orientaciones cristalográ-

ficas de los granos individuales son totalmente al azar. En estas circunstancias, aunque cada grano sea

anisótropo, el material compuesto por un conjunto de granos, se comporta de forma isótropa. En un metal

policristalino isótropo, las deformaciones plásticas provocan dislocaciones en las estructuras cristalinas de

los granos según unos planos y direcciones preferentes en función de las direcciones de carga del material.

Estas dislocaciones provocan asimismo la deformación y reorientación de los granos de formas determi-

nadas, de modo que aparecen unas direcciones preferentes en la microestructura, lo que se denomina

habitualmente como textura. En la figura 1.4 se muestran la microestructura de un material inicialmente

isótropo macroscópicamente y posteriormente deformado según una dirección preferente. En dicha figura

se observa la textura inducida por las deformaciones plásticas.

La textura del material provoca que la mayor parte de las propiedades de éste, especialmente las

mecánicas, varíen con la dirección en la que se realiza el ensayo. Una de las propiedades mecánicas que


Figura 1.5: Esquema de un proceso de laminado donde se aprecia la formación de una textura orientada enla dirección de laminado (RD). El gráfico de la derecha muestra la evolución de la tensión de plastificaciónsegún el ángulo α con la dirección de laminado (RD).

presenta una variación importante, y ampliamente conocida, es la tensión de plastificación. Por ejemplo,

la diferencia entre las tensiones de plastificación en dos direcciones distintas puede alcanzar valores muy

superiores al 10%. Los tratamientos térmicos que producen la recristalización, pueden mejorar o empeorar

la situación, ya que a veces con la combinación de recristalizaciones y tratamientos mecánicos se produce

un direccionamiento de la estructura cristalina que hace que el resultado se parezca más a una estructura

monocristalina [23].

La variación de la tensión de plastificación con la dirección del ensayo es una forma fenomenológica

de representar la superficie de plastificación del material anisótropo. La figura 1.5 muestra dicha repre-

sentación. En la parte izquierda de la figura se muestra el esquema de un proceso de laminado, donde se

representa la aparición de una textura orientada en la dirección de laminado (RD). La figura de la derecha

muestra la variación de la tensión de plastificación uniaxial en función del ángulo α con la dirección de

laminado.

El modelado numérico de la anisotropía plástica se lleva a cabo a través de una función que representa

el criterio de plastificación. Aunque existen multitud de criterios de plastificación para anisotropía, el más

utilizado en metales es el criterio de Hill de 1948 [24]. Mientras que el criterio de von Mises proporciona

el mismo peso a todas las componentes desviadoras (tensiones a las que se resta la presión), siendo

representado entonces por un círculo en el “espacio” de tensiones desviadoras, el criterio de Hill otorga

diferentes pesos a tres direcciones preferentes, denominados planos de simetría.

El estudio y cuantificación de la anisotropía plástica presente en los materiales es de gran importancia

en procesos de conformado de metales, tales como laminado, estampado, extrusión o embutición, ya que

son procesos de fabricación direccionales y pueden dar lugar a defectos en el producto terminado [25].

Anisotropía elástica

Otro tipo de anisotropía que se puede presentar en los materiales es la anisotropía elástica. Una de las

principales causas de la anisotropía elástica observada en materiales policristalinos es la propia anisotropía

elástica de los cristales. En la figura 1.6 se muestran las distribuciones de los módulos de elasticidad y de

rigidez a torsión de dos materiales (Plutonio y Aluminio) ordenados según una estructura cristalina cúbica

centrada en las caras (FCC). En la tabla figuran valores típicos de anisotropía para diversos materiales


Valor de anisotropía de Zener:

Valor de anisotropía de Zener:

2.41hierro

4.07plomo

7.03Plutonio

0.90Circonio

1.48Uranio

1.22aluminio

3.16cobre

1.01wolframio

2.88plata

valorMaterial

2.41hierro

4.07plomo

7.03Plutonio

0.90Circonio

1.48Uranio

1.22aluminio

3.16cobre

1.01wolframio

2.88plata

valorMaterial

Módulo de Young Módulo de torsión

Plutonio

Aluminio

Módulo de Young Módulo de torsión

Plutonio

Aluminio

Figura 1.6: Distribuciones de los módulos de elasticidad y de rigidez a torsión de dos materiales ordenadossegún una estructura cristalina cúbica centrada en las caras: Plutonio y Aluminio. Figura parcialmenteextraída de la referencia [27]

medidos según el valor de anisotropía Zener [26].

En chapas laminadas, desde el punto de vista de la mecánica de los medios continuos, la anisotropía

elástica implica diferentes constantes elásticas aparentes en diferentes direcciones. La figura 1.7 muestra

precisamente la variación de dichas constantes elásticas aparentes con la orientación de la probeta de

ensayo respecto a la dirección de laminado. En las figuras se muestran los valores aparentes de módulo

de elasticidad, módulo de rigidez a cortante y coeficiente de Poisson en un acero inoxidable en función

de la orientación. Los valores fueron obtenidos por tres métodos distintos: un analizador de resonancias,

test de impulsos y ensayos a tracción [28].

El estudio de la anisotropía elástica es especialmente importante en materiales compuestos, pero en

metales es bastante habitual despreciarla. No obstante, dicha anisotropía puede ser también relevante

no sólo cuantitativamente sino cualitativamente por su posible influencia en el comportamiento plástico,

por lo que debería ser tenida en cuenta. Una forma sencilla de tener en cuenta la anisotropía elástica

es suponer que las direcciones preferentes o planos de simetría de las propiedades elásticas coinciden con

los de la anisotropía plástica. Intuitivamente esta hipótesis se justifica porque ambas anisotropías están

relacionadas con la forma y orientación media de los granos. Entonces, resulta efectivo usar una función

similar a la del criterio de Hill para expresar los estados de deformación elástica equivalente.

La anisotropía elástica puede llegar a ser de especial relevancia en algunos metales. La figura 1.8

muestra un estudio experimental de la variación del módulo de Young con respecto a la dirección de

laminado para chapas de cobre laminadas en frío. En dicha figura se observa que la variación entre el

valor máximo y mínimo del módulo de Young está en torno a un 20%, que es una variación que puede


Figura 1.7: Valores aparentes de módulo de elasticidad, módulo de rigidez a cortante y coeficiente dePoisson en un acero inoxidable en función de la orientación. Figura extraída de la referencia [28]

llegar a ser del mismo orden que la variación de la anisotropía plástica. Los resultados de los ensayos

experimentales de la figura 1.8 proceden de las referencias [29] y [?]. Existen también estudios de lainfluencia de la temperatura y del porcentaje de elementos aleantes en la evolución de la anisotropía

elástica, donde queda nuevamente de manifiesto la importancia de la variación del Módulo de Young

con respecto a la dirección de laminado, situándose en torno al 18-20%, ver referencias [30], [31]. Sin

embargo, en plasticidad computacional es habitual considerar que el efecto de la anisotropía elástica es

significativamente menor que el efecto de la anisotropía plástica, como se pueden ver en las referencias

[32], [33], [34], [35]. En realidad, probablemente la verdadera motivación del uso de esta aproximación,

radica fundamentalmente en la simplicidad de los modelos y de sus algoritmos computacionales asociados.

1.1.4 Grandes deformaciones elastoplásticas

Inherente al modelado de la evolución de la anisotropía plástica es la existencia de grandes deformaciones

ya que la anisotropía es especialmente significativa para deformaciones superiores al 2% desde el estado

de isotropía de referencia.

La medida de deformación utilizable en los experimentos y en las formulaciones no es única. La más

habitual, sobre todo en pequeñas deformaciones, es la deformación ingenieril, pero la más intuitiva es la

logarítmica (también denominada natural o de Hencky), ya que si encogemos una barra a la mitad de su

longitud obtenemos la misma deformación en valor absoluto que si la alargamos al doble de su longitud,

véase figura 1.9. Puesto que existe multitud de medidas de deformación, también existen diferentes

relaciones entre ellas y las medidas de tensión.

Por otro lado, las medidas de tensión tampoco son únicas. Lo intuitivo es dividir la fuerza por el

área real (tensión de Cauchy), pero lo habitual es dividirla por el área inicial (tensión nominal o de


0 20 40 60 80 100105

110

115

120

125

130

135

140

145

Orientación (grados)

Mód

ulo

de Y

oung

(G

Pa)

Weerts (1933)Alers and Liu (1967)

Figura 1.8: Variación del Módulo de Young (GPa) con la dirección de ensayo medido en chapas laminadasde cobre. Los datos experimentales han sido recogidos de los ensayos realizados por Weerts en 1933 [29]y por Alers y Liu en 1967 [30].

Figura 1.9: Comparativa entre los valores suministrados por las distintas medidas de deformación.Izquierda: en escala natural. Derecha: en escala logarítmica.


Figura 1.10: Curvas típicas obtenidas en un ensayo uniaxial para dos medidas de tensión y de deformación.El primer tramo es elástico, pero superados aproximadamente 335 MPa, el comportamiento es plástico

Piola-Kirchhoff), ya que es la conocida de antemano.

El resultado típico de un ensayo a tracción considerando dichas medidas se muestra en la figura 1.10.

La diferencia entre las curvas mostradas en la figura 1.10 se debe fundamentalmente a la estricción que

surge durante el ensayo a tracción. Este fenómeno de inestabilidad aparece debido a que las deformaciones

plásticas son isocóricas (conservan el volumen), por lo que un alargamiento en una dirección implica una

reducción equivalente de sección. Superado cierto nivel de tensiones, este fenómeno se localiza en una

parte pequeña de la probeta, y para reproducirlo en cálculos computacionales es necesario tener en cuenta

la hipótesis de grandes deformaciones. La figura 1.11 muestra una simulación computacional del ensayo

de tracción uniaxial de una probeta cilíndrica en grandes deformaciones. Se observa que, gracias a las

grandes deformaciones, se obtiene la estricción típica de la sección en la que se localizan las deformaciones

antes de la rotura.

Las grandes deformaciones elastoplásticas tienen lugar en multitud de situaciones. La figura 1.12

muestra la simulación del impacto de una bala cilíndrica en una pared rígida (conocido como ensayo de

impacto de Taylor, desarrollado durante la segunda guerra mundial). Este ensayo se utilizó frecuentemente

para medir propiedades dinámicas de materiales. Ambas simulaciones han sido extraídas de la referencia

[36]. Las grandes deformaciones elastoplásticas, unidas al hecho de la existencia de anisotropía, son de

gran relevancia en los procesos de conformado de metales por deformación plástica en frío, ver figuras

1.13 y 1.14.


Figura 1.11: Simulación del ensayo a tracción de una probeta cilíndrica. Por simetría sólo es necesariomodelar un cuarto de la misma. Izquierda: situación original. Derecha: probeta deformada. Los coloresrepresentan las deformaciones plásticas (los valores más altos se presentan en la zona de estricción. Figuraextraída de la referencia [36].

Figura 1.12: Simulación del ensayo de Taylor (impacto de un proyectil cilíndrico contra una pared rígida).Izquierda: proyectil sin deformar (la mitad por simetría). Derecha: proyectil deformado (se muestracompleto). Figura extraída de la referencia [36].


Figura 1.13: Proceso de estampado de un raíl en S. Izquierda: resultado experimental. Derecha: Simu-lación numérica del proceso de estampado. En ambos casos se pueden observar las ‘arrugas’ procedentesde la recuperación elástica tras el proceso de deformado. Figura extraída de la referencia [37].

Figura 1.14: Efecto de la anisotropía plástica en procesos de conformado de metales. En la figurase muestra el resultado de un proceso de embutición, donde aparecen las típicas ‘orejas’ debidas a laanisotropía plástica presente en el material. Figura extraída de la referencia [38].


Figura 1.15: Esquema del procedimiento experimental realizado en los ensayos de Kim y Yin de 1997 conel objeto de estudiar la evolución de la anisotropía plástica en chapas laminadas [41]

1.1.5 Evolución de las propiedades de anisotropía

Determinados procesos de fabricación, como el laminado, se caracterizan por ser procedimientos de fabri-

cación direccionales, y como tales provocan unas direcciones preferentes en las chapas, que son las direc-

ciones principales de anisotropía. Los posteriores procesos de conformado, también direccionales, pueden

provocar deformaciones principales según orientaciones diferentes a las de laminado. Estas deformaciones

superpuestas pueden ser incluso mucho mayores que las anteriores, y por lo tanto, cabe preguntarse cómo

evoluciona la anisotropía original; es decir, es necesario conocer si se mantiene la anisotropía inicial, si se

destruye o si se crea una nueva anisotropía en unas nuevas direcciones preferentes.

El giro de las direcciones principales de anisotropía se ha observado experimentalmente en diferentes

ensayos, por ejemplo, los resultados experimentales de las referencias [39] y [40] respectivamente. No

obstante, de forma cuantitativa, esa evolución sólo ha sido medida sistemáticamente en los experimentos

realizados por Kim y Yin en 1997 [41] , por lo que constituyen un hito en el estudio del fenómeno. Dada

su importancia para el entendimiento del objetivo final de la investigación en la que se enmarca esta

tesis, a continuación se describe brevemente el procedimiento experimental llevado a cabo. La figura 1.15

representa un esquema del procedimiento experimental seguido.

Para analizar la evolución de las direcciones de anisotropía, los autores tomaron chapas laminadas

según una dirección determinada. Sometieron dichas chapas a un pretensado primario adicional para

garantizar que la anisotropía quedaba suficientemente marcada. Posteriormente recortaron unas chapas

secundarias, formando un determinado ángulo ψ con la dirección de laminado. Escogieron tres ángulos ψ

: 30o, 45o y 60o. Cada uno de estos juegos de chapas fue sometido a diferentes niveles de deformación en

esta dirección secundaria. Los niveles de deformación escogidos fueron del 0 %, 1%, 2%, 5% y 10%. A cada

nivel de deformación le correspondió una determinada rotación de la dirección de anisotropía, lo cual se

refleja asimismo en la rotación de la superficie de plastificación. Para poder dibujar las distintas superficies


Figura 1.16: Resultados experimentales extraídos de la referencia [41] y parcialmente modificados. Enla figura superior se muestra los resultados para una chapa orientada un ángulo ψ de 30o con respecto ala dirección de laminado, y pretensada posteriormente a distintos niveles de deformación. Se observa elgiro de la superficie de plastificación (curva roja).

de plastificación obtenidas, se llevó a cabo un tercer nivel de ensayos. De cada chapa resultante, volvieron

a recortar unas nuevas chapas formando diferentes ángulos α con la segunda dirección de estirado. Este

tercer juego de ensayos les permitió representar las tensiones de plastificación en función de la dirección,

simplemente llevando dichas probetas hasta la tensión de plastificación, obteniendo los resultados de la

figura 1.16, donde se muestran 5 curvas, una para cada nivel de deformación de las chapas secundarias.

Una primera conclusión que se obtuvo es que excepto para deformaciones de aproximadamente un

1%, donde parece haber un efecto transitorio, posteriormente la anisotropía prácticamente no cambiaba

en magnitud relativa: las curvas ajustadas a los ensayos proporcionaban parámetros normalizados de Hill

muy similares. En la misma figura 1.16 se puede observar que para diferentes niveles de deformación,

desde el 0% de la curva verde hasta el 10% de la curva azul, la superficie de plastificación va girando.

Dicho giro de las direcciones principales se puede calcular uniendo los máximos o los mínimos de las

diferentes curvas obtenidas para distintos niveles de deformación, la curva de color rojo.

Los valores de esta curva en rojo se pueden representar dibujando en las abscisas la deformación y en

las ordenadas el giro respecto a la inicial. Las curvas de la parte inferior muestran esta representación

para un ángulo de ensayo ψ de 30o y para un ángulo de ensayo ψ de 60o, respectivamente. Los valores

experimentales son los puntos en rojo. Una importante consecuencia de los ensayos mostrados en la


Figura 1.17: Evolución de la anisotropía plástica desde un punto de vista macroestructural (izquierda)y microestructural (derecha). Izquierda: evolución de las superficies de fluencia ante deformacionesimpuestas a 45o de la dirección de laminado. Derecha: evolución de la simetría microestructural observadaa través de las Figuras de Polos para las direcciones cristalográficas dadas por los índices de Miller1,0,0. Los valores de contorno se corresponden con la intensidad de radiación. Los datos experimentalesprovienen de la Referencia [42]. El material es un acero dúctil.

figura 1.16, es que el giro es en diferente dirección dependiendo del ángulo de ensayo ψ. Este hecho es

importante porque existen teorías que predicen que el giro siempre es en la misma dirección.

Desde el punto de vista microscópico, la figura 1.17 reproduce los resultados experimentales de la

referencia [42]. En ella se muestran conjuntamente las visiones microscópicas y macroscópicas. La parte

izquierda muestra la evolución de la superficie de Hill, donde se observa un endurecimiento isótropo. Se

puede observar que la proporción de anisotropía es parecida en todas las curvas experimentales. Además

las superficies han girado casi por completo para deformaciones de un 6 %. En la figura de la derecha

se muestran las representaciones de figuras de polos para los cristales de los granos del material. Estas

figuras son el resultado de una técnica basada en difracción de rayos X con objeto de medir el giro de los

ejes de simetría. Las direcciones se corresponden con las de los índices de Miller 1,0,0.

Desgraciadamente aunque intuitivamente parece obvia la existencia de dicho giro y habiendo eviden-

cias experimentales al respecto, existe controversia de cómo modelarlo de forma consistente con las leyes

de la mecánica de los medios continuos. Recientemente se ha encontrado una posible explicación termod-

inámica a dicho giro [43]. La anisotropía elástica provoca que las direcciones principales de tensión y las

de deformación no estén alineadas. Desde el punto de vista del material, la anisotropía provoca que la

energía de deformación dependa del ángulo entre tensiones y deformaciones, siendo mínima cuando éstas

están alineadas. En las teorías clásicas, los materiales tienden a almacenar la mínima energía posible,

por lo que durante las deformaciones posteriores tratarán de que tensiones y deformaciones estén alin-


Figura 1.18: Variación de las superficies de Hill para deformaciones secundarias cuyas direcciones prin-cipales no coinciden con las direcciones preferentes de anisotropía. Figura extraída de la referencia [43]

eadas. Estos conceptos se pueden formular matemáticamente y se obtienen las ecuaciones constitutivas

que relacionan los cambios de tensiones con los de deformaciones a través del primer y segundo principios

de la termodinámica. Las simulaciones de los experimentos de la referencia [41] con estas formulaciones

resultan prometedoras, tal y como se muestra en la figura 1.18, en la que se representa la evolución

de las superficies de Hill cuando se imponen deformaciones en direcciones distintas a las direcciones de

anisotropía iniciales [43].

1.2 El programa de elementos finitos DULCINEA

Los modelos computacionales y algoritmos numéricos desarrollados en este trabajo, se han implementado

en un código propio de elementos finitos denominado DULCINEA2, programado en Fortran 90. En el

programaDULCINEA se realiza las etapas de preproceso y cálculo. La etapa de postproceso y visualización

de resultados se llevan a cabo en un postprocesador implementado al efecto en MATLAB c°. El programaDULCINEA permite una gran flexibilidad a la hora de incorporar nuevas subrutinas, ya sean nuevos

elementos, comportamientos de material o cualquier otro procemiento, integrándose fácilmente en la

estructura principal del programa. Asimismo, es especialmente útil para el investigador, ya que permite

un control exaustivo en todos los procedimientos de cálculo.

2El nombre DULCINF¯A es un acrónimo, cuyo significado es: “DynamicUpdated/total Lagrangean Code for Incremental

Nonlinear Finite Element Analysis”

1.2. EL PROGRAMA DE ELEMENTOS FINITOS DULCINEA 17

El programa DULCINEA facilita la realización de análisis lineales y no lineales, tanto estáticos como

dinámicos. Se incorporan distintos tipos de métodos de resolución del sistema de ecuaciones (LU, Gradi-

ente conjugado, LDU y Bi-CGSTAB) dependiendo de las características del problema (matrices simétri-

cas/no simétricas, dimensión del sistema de ecuaciones,...). Para el caso no lineal, se incorpora el método

de Newton-Raphson, que es un método implícito que resuelve el sistema de ecuaciones de forma itera-

tiva. Por otra parte, también se incorporan búsquedas lineales (’line searches’), cuyo objetivo es evitar

que el procedimiento iterativo sufra una divergencia catastrófica. Además, se ha implementado un pro-

cedimiento automático de subdivisión de paso de carga (’automatic time stepping ’), que se activa en el

caso de divergencia de la solución. Se espera incoporar un control mixto fuerza-desplazamiento, como el

método de longitud de arco (’arc length’ ), como otra herramienta para evitar divergencia de la solución

En este código de elementos finitos, se pueden abordar análisis no lineales de diversa índole, ya sean no

linealidades del material (plasticidad, viscoplasticidad,..) o no linealidades geométricas (hiperelasticidad,

formulación en grandes deformaciones). Se espera incorporar elementos de contacto con el fin de enrique-

cer el tipo de problemas que se pueden analizar. En el programa están implementadas diversas subrutinas

de material, tanto de materiales elásticos lineales, como materiales hiperelásticos (Neo-Hookean, Ogden,

Mooney-Rivlin,...) o modelos de plasticidad J2 con endurecimiento mixto. Además, se incoporan las

hipótesis cinemáticas de pequeñas deformaciones o grandes deformaciones, ésta última implementada en

dos formulaciones lagrangianas: UL (Updated Lagrangean) y TL (Total Lagrangean). En la hipótesis de

grandes deformaciones, se incorporan definiciones de deformación materiales y espaciales (Deformación

de Green, Almansi o Hencky) y de tensión (Cauchy, Kirchhoff,...)

DULCINEA incorpora elementos bidimensionales, denominados QUAD, bajo las hipótesis de tensión

plana, deformación plana y formulación axisimétrica, así como elementos tridimensiones, denominados

BRCK. Estos elementos contemplan las opciones de un número variable de nudos (triángulos, elementos

lagrangianos de 4 nudos, elementos serendipitos de 8 nudos, elementos lagrangianos de 9 nudos) y de

puntos de integración. Por otro lado, se incorpora un elemento en formulación mixta (formulación

u/p) bidimensional denominado QMIX, que se utiliza en problemas de plasticidad o con alto grado

de incompresibilidad y que incluye los elementos QMIX 4/1 (elemento de 4 nudos de desplazamientos y

1 de presión), QMIX 9/3 y QMIX 9/9 entre otros, con un número variable de puntos de integración.

Desde el punto de vista del usuario, el preproceso se realiza a través de un archivo de entrada que está

compuesto por una serie de comandos ordenados secuencialmente. Este archivo de entrada permite cierta

flexibilidad a la hora de automatizar la definición e implementación de mallas de elementos, condiciones

de contorno o definición de cargas, ya que se pueden definir variables, bucles, condicionales y operaciones

básicas entre variables. La lista de los comandos del archivo de entrada se presentan en las tablas 1.1 y

1.2.

Los resultados obtenidos en DULCINEA (desplazamientos, tensiones, deformaciones, ...) se exportan

en archivos de texto y se visualizan en un programa implementado en MATLAB c° que actúa como

postprocesador. Este postprocesador consta de un menú principal interactivo, implementado en formato

de ventanas, en el cual se tiene acceso a todas las tareas implementadas. Las funciones principales del

postprocesador se presentan en la Tabla 1.3.

Por otra parte, entre las funcionalidades del postprocesador, se pueden destacar: visualización de

elementos y su numeración, visualización de nodos y su numeración, visualización de condiciones de

contorno y cargas aplicadas, visualización de deformadas, distribución de tensiones y deformaciones


Comando Función realizadaSTART Comando de inicio. Definición de opciones y archivo de salidaTITLE Definición del nombre del problemaECHO Gestión de la impresión de diversas opciones en el archivo de salidaDIMEN1, DIMEN2 Gestión del dimensionamiento de variablesCONTROL Tareas de control (numeración nodos, matrices de masa,...)ANTYPE Tipo de análisis (estático, dinámico, ...)LSOLVER Gestión del método de resolución de sistemas de ecuaciones linealesLSEARCH Gestión del método de búsqueda lineal (’line search’)ITSEQ1, ITSEQ2 Gestión de los pasos de cargas (ATS, ...) y visualización de variables por pasoRTSEQ1, RTSEQ2 Gestión de parámetros de la secuencia de tiempo y residuosNODE Definición de nodosNG1, NG2, NCOPY Generación de nodosLBC Definición de condiciones de contornoBCN Selección de nodo y condición de contorno asociadaLOADV Definición del vector de cargasLTF Definición de la función de tiempoMATERIAL Definición del tipo y variables del materialEGROUP Selección del tipo de elementoEGDATA Selección de opciones del tipo de elementoELEMENT Definición de elementosEGEN Generación de elementosSTOREH Almacenamiento de variablesXYPLOT Visualización de variablesDEBUGC, DVAR Depurador (’Debugger ’) interno del programa DULCINEA

Tabla 1.1: Comandos del preprocesador de DULCINEA

Comando Función realizada@PAR, nvar Comando para reservar espacio de las variables de usuario nvar@LOP, nlop Comando para reservar espacio del número de bucles anidados nlop@SET, var1 == 1. Comando para asignar a la variable var1 el valor 1@SET, var2 == $var1 + 1. Añade 1 a la variable var1 y almacena el resultado en var2@SET, var2 == $var1 * $var1 Operación entre variables. Incluye +, -, *, /, ^@SET, var2 == Sin $var1 Operaciones: Sin, Cos, Tan, Acs, Asn, Atn, Log, Exp, Sqr@LST Imprime todas las variables@LST, $var1 Imprime la variable var1@COM Imprime un comentario en la pantalla de ejecución@SIL Cambia modo silencio/ modo echo para los comandos @@FOR Bucle FOR@END Finaliza bucle@EXT Sale de un bucle@IFF, $var1 == $var2, var2 = 1 Condicional IF para ejecutar un grupo de comandos@PIF Condicional IF para ejecutar el comando CMD@GET Imprime información de nodos, elementos, ...@DIC Imprime diccionario (vector blanck_common)@PRA Imprime una variable del diccionario

Tabla 1.2: Comandos @ del preprocesador de DULCINEA

1.3. OBJETIVOS DE LA TESIS 19

Función del postprocesador Tarea realizadaEXIT Salida del postprocesadorKEYBOARD acceso a la ventana de comandos de MATLAB c°NEW FIGURE Creación de una nueva FiguraRE.READ NODES Recarga del archivo de nodosSELECT DISPLACEMENTS Selección de desplazamientos (deformadas)SELECT ELEMENT OUTPUT Selección de variables (tensiones, deformaciones,...)PLOT Gestión de la visualizaciónSELECT ELEMENT Selección de elementosSHRINK ELEMENT Separación de elementosDELETE Gestión del borradoMOVIE Creación de películasSEQUENCE Creación de secuenciasCOLORMAP Gestión del mapa de coloresSYMs Simetrías y Reflexiones

Tabla 1.3: Comandos del postprocesador en MATLAB

plásticas (el usuario puede seleccionar la variable de interés que quiere visualizar o implementar una

función determinada), creación de simetrías y reflexiones de la malla de elementos inicial, cambio del

mapa de colores y creación de secuencias y videos.

Una de las tareas realizadas en este trabajo ha sido la revisión del programa DULCINEA y la am-

pliación de las funcionalidades del mismo, incorporando nuevos tipos de elementos (mejora del elemento en

formulación estándar BRCK, implementación del elemento en formulación mixta u/p en grandes deforma-

ciones BMIX, implementación de los elementos mixtos basados en modos incompatibles en grandes defor-

maciones BINC y BENH, implementación de nuevos materiales (modelo de elastoplasticidad anisótropa

en pequeñas deformaciones y en grandes deformaciones, modelos de plasticidad de superficies múltiples

(tanto basados en la plasticidad clásica J2 como basados en modelos de plasticidad de suelos Cam-Clay).

Por otra parte, se ha mejorado el postprocesador implementado en MATLAB, incorporando la visu-

alización de elementos tridimensionales y distribución de variables (’band plots’) para estos elementos

tridimensionales (distribuciones de tensiones, deformaciones, ...).

1.3 Objetivos de la tesis

El objetivo global de esta tesis es realizar un pequeño avance en la comprensión y el modelado, a travésdel método de los elementos finitos, del fenómeno de anisotropía elastoplástica en grandes deformaciones.

Puesto que, como se ha visto, el fenómeno de anisotropía en metales tiene múltiples facetas (endurec-

imiento anisótropo, criterio de fluencia anisótropo y elasticidad anisótropa), se buscan tres objetivosconcretos:

a) Mejorar el modelado del endurecimiento anisótropo a través de formulaciones de superficies múltiples

b) Mejorar el modelado de elastoplasticidad anisótropa en grandes deformaciones

c) Realizar unos ensayos preliminares para el modelado de la evolución de las direcciones preferentes deanisotropía


El primer objetivo había sido desarrollado parcialmente antes de la realización de esta tesis, por lo

que es una conclusión de trabajos previos. El segundo objetivo constituye el bloque principal de esta

tesis doctoral, al que se han dedicado los mayores esfuerzos. Finalmente, el tercer objetivo es la semilla

de trabajos futuros. Para conseguir realizar satisfactoriamente dichos objetivos, han sido necesarias las

siguientes tareas:

1) Desarrollo e implementación en DULCINEA de modelos de plasticidad de superficies múltiples, basa-dos en las reglas de endurecimiento cinemáticas de Prager (regla asociativa) y Mróz (regla no

asociativa), con objeto de simular procesos cíclicos de carga y descarga que recojan los efectos

Bauschinger y Masing. Estos modelos se consideran modelos de plasticidad anisótropos, desde el

punto de vista del endurecimiento. Por último, se desarrolla un estudio de la consistencia de este

tipo de modelos y de sus reglas de endurecimiento asociadas

2) Desarrollo e implementación en DULCINEA de un modelo continuo para elastoplasticidad anisótropaen grandes deformaciones, basado en los principios de la termodinámica, y de un algoritmo de

integración de tensiones totalmente implícito, para su posterior implementación en el método de

los elementos finitos. Además, debe considerarse tanto la anisotropía elástica como la plástica y

estar basado en los ingredientes utilizados de forma satisfactoria en la plasticidad de von Mises en

grandes deformaciones: descomposición multiplicativa de Lee, deformaciones logarítmicas, función

de energía almacenada hiperelástica e integración mediante función exponencial. Para ello, en

primer lugar, se desarrolla un algoritmo computacional de elastoplasticidad anisótropa en pequeñas

deformaciones basado en la función de fluencia de Hill [24]. En este procedimiento se incorpora

un nuevo módulo tangente consistente, dando lugar a ratios de convergencia cuadráticos propios

de estos esquemas iterativos. La extensión a la cinemática en grandes deformaciones, se reduce

entonces a la implementación de un preproceso y un postproceso a partir del algoritmo de pequeñas

deformaciones [36]. Dicha extensión, compleja matemáticamente, se ha realizado de tal forma que

el resultado sea fácilmente interpretable físicamente.

3) Implementación en DULCINEA de formulaciones mixtas u/p (interpolación separada de los grados

de libertad de desplazamiento y presión internos al elemento) en grandes deformaciones con objeto

de evitar bloqueo numérico debido a fenómenos de incompresibilidad. Para ello, se desarrolla e

implementa el elemento mixto tridimensional BMIX, en dos versiones: BMIX 8/8/1, elemento

tridimensional en formulación u/p de 8 nudos, con 8 puntos de integración de desplazamientos y

1 punto de integración de presión, y BMIX27/27/4, elemento tridimensional de 27 nodos, con 27

puntos de integración de desplazamientos y 4 puntos de integración de presión [44]. Este último

elemento cumple la condición Inf-Sup [45]. No obstante, bajo la hipótesis de anisotropía elástica

y anisotropía plástica, la formulación u/p presenta ciertas limitaciones. Una posible solución es la

utilización de métodos mixtos basados en modos incompatibles y deformaciones impuestas (‘mixed

assumed strain methods ’), con la implementación de los elementos mixtos tridimensionales BINC

8/9/12 (denominado QM1/E12 en la referencia [46]), basado en modos incompatibles y modos de

reloj de arena ’hourglass’, que consta de 8 nudos, con 9 puntos de integración y 12 modos adicionales

y del BEHN 8/9/9, (denominado Q1/ET9 ) en la referencia [47]), que consta de 8 nudos, con 9

puntos de integración y 9 modos adicionales.

1.4. ESTADO DEL ARTE 21

4) Realización de simulaciones numéricas de los modelos computacionales anteriores, incorporando lasformulaciones mixtas descritas anteriormente, con objeto de verificar el comportamiento del modelo

ante distintas hipótesis y diversos casos de carga. Se compara el comportamiento del modelo de

elastoplasticidad anisótropa en grandes deformaciones, particularizado para el caso de isotropía

elástica y anisotropía plástica, con un modelo de plasticidad anisótropa e isotropía elástica basado en

la Referencia [48] y utilizando el modelo computacional de elastoplasticidad anisótropa en pequeñas

deformaciones basado en la función de fluencia de Hill. En ambos casos se utiliza la formulación

u/p con objeto de evitar bloqueo numérico debido a incompresibilidad. Por último, se presentan

otra serie de simulaciones numéricas con objeto de verificar la formulación y su implementación bajo

las hipótesis de anisotropía elástica y anisotropía plástica y, en este caso, utilizando formulación

mixta basada en modos incompatibles.

5) Estudio experimental inicial de la anisotropía plástica presente en chapas laminadas y su evolución, através de la medida de la tensión de plastificación en diferentes direcciones respecto de la dirección

de laminado. Este estudio es el punto de partida de un futuro análisis experimental más exhaus-

tivo, donde se estudiarán de forma simultánea las anisotropías elásticas y plásticas, así como su

evolución posterior cuando se somete el material de partida a deformaciones plásticas relevantes

(grandes deformaciones) en diferentes direcciones respecto a la dirección de laminado. El material

seleccionado para desarrollar el estudio preliminar ha sido la aleación de aluminio-magnesio 5754,

debido a que presenta buenas propiedades mecánicas y su gran aplicabilidad en los campos de la

industria automovilística (carrocerías de automóvil), industria ferroviaria (vagones de ferrocarril),

fabricación de depósitos e industria alimentaria.

1.4 Estado del arte

En este apartado se realiza un breve estado de arte para cada uno de los elementos principales que

conforman esta tesis doctoral.

1.4.1 Elementos que alivian el bloqueo

La formulación estándar de elementos finitos, basada en desplazamientos, presenta ciertas carencias

cuando se aplica a problemas con un alto grado de incompresibilidad o bien, en plasticidad, donde el

proceso de deformación plástica es isocórico. El principal inconveniente en este tipo de problemas es el

bloqueo numérico de la solución (’mesh locking ’), donde se obtiene una respuesta exageradamente rígida

de la solución obtenida por el método de los elementos finitos. En algunos casos, los desplazamientos

obtenidos son prácticamente nulos, mientras que los reales no son en absoluto despreciables. Es decir, en

estos casos, el método de los elementos finitos proporciona una solución errónea para mallas que deberían

ser suficientemente finas. Los tipos de bloqueo numérico más frecuentes en mecánica de sólidos son: el

bloqueo a cortante y el bloqueo volumétrico, véase por ejemplo los trabajos de Sussman y Bathe [44],

Hughes [49], Babuška y Suri [50], McNeal [51] y Gadala [52].

El problema de bloqueo a cortante se alivia, en principio, con una integración selectiva-reducida,

introducida por primera ver por Doherty, Wilson y Taylor en 1969 [53], y desarrolllada posteriormente


por McNeal [54], Malkus y Hughes [55], Hughes [56] y Belytschko [57],[58]. No obstante, la solución no

es conceptualmente buena, ya que supone integrar erróneamente un problema erróneamente aproximado

(’... two wrongs do make a right in California’, cita de G.Strang en 1973). Por otro lado, surge un

nuevo fenómeno: aparación de mecanismos de energía cero [59], la integración selectiva-reducida, no

soluciona el problema. Un posible solución al bloqueo en elementos bidimensionales, es el empleo de los

modos incompatibles de Wilson [60]. Estos modos se denominan incompatibles porque no conservan la

compatibilidad de desplazamientos entre elementos. Para un elemento regular, los modos incompatibles

pasan el test de la parcela, pero para una geometría arbitraria no. Taylor [61] introdujo una serie de

modificaciones en las funciones de forma incompatibles con el objeto de hacer cumplir el test de la parcela

para un elemento de forma arbitraria. Por otra parte, el bloqueo volumétrico tiene lugar en materiales

próximos al límite de incompresibilidad (materiales semideformables). En estos casos, se impone una

nueva restricción dada por la ecuación de incompresibilidad ∆→ 0.

La forma correcta de tratar el problema de bloqueo es el uso de interpolaciones correctas para cada

entidad física, independientes de las que se obtendrían de los procesos de derivación de interpolaciones

como en el problema continuo. Es decir, no se hacen cumplir las ecuaciones punto a punto, sino de

forma débil en el dominio. Esta es la esencia de las denominadas formulaciones mixtas o formulaciones

híbridas [45], [62]. Estas formulaciones se obtienen a partir de principios variacionales que utilizan como

variables, además de los desplazamientos, las deformaciones y/o las tensiones. Existen numerosas formu-

laciones mixtas de elementos finitos. Herrmann [63] desarrolló una formulación variacional mixta para

el caso de materiales isótropos incompresibles. Esta formulación fue una de las primeras en introducir

una interpolación separada de las variables que dan lugar al bloqueo volumétrico. Taylor et al [64] y Key

[65] desarrollaron distintas generalizaciones de la formulación de Herrmann para el caso de materiales

ortótropos incompresibles. La formulación de Key se puede aplicar también en análisis no lineales. Oden

et al [66] llevó a cabo el desarrollo de una formulación para el análisis no lineal de sólidos axisimétri-

cos tipo goma. Nagtegaal et al [67] propusieron una formulación mixta para el análisis de problemas

elastoplásticos.

En los años 70, numerosas investigaciones en este campo concluyeron que existían diversas dificultades

en aplicar este tipo de formulaciones mixtas en varios tipos de elementos. Por ejemplo, se determinó que

elementos con el mismo orden de interpolación para desplazamientos y presiones no eran efectivos para

solucionar el bloqueo [68]. Los elementos de bajo orden también presentan dificultades. Por ejemplo, el

elemento triangular de deformación constante con interpolación separada de presión no se puede utilizar

en determinados análisis [69]. Además el elemento isoparamétrico de 4 nudos con presión constante

presenta bloqueo en ciertos problemas con mallas regulares.

Un estudio matemático más riguroso de estos problemas llevó a la derivación de la condición inf-sup

de forma independiente por Brezzi [70] y Babuška [71], [72] a principios de los 70. Fortin [73] reformuló la

condición de Babuška-Brezzi en una forma más abordable. Los anteriores investigadores junto con Oden

y Kikuchi [74] utilizaron la condición inf-sup para analizar diferentes elementos mixtos. Como resultado

de las investigaciones, llegaron a la conclusión de que el elemento isoparámetrico de 9 nudos con 3 grados

de libertad de presión pasaba esta condición y era óptimo para el análisis bidimensional.

Un caso particular es la formulación mixta propuesta por Sussman y Bathe en 1987 [44], [45], basada

de forma general en el funcional de Hu-Washizu y ,en particular, en el funcional de Hellinger-Reissner,

dando lugar a la conocida como formulación u/p, donde se interpola de forma separada los desplaza-


mientos y las presiones internas del elemento. El tratamiento de materiales elastoplásticos anisótropos en

problemas incompresibles con formulaciones mixtas u/p presentan diversos problemas que se concretarán

posteriormente. Una posible solución es la implementación de un nuevo tipo de elemento mixto basado

en deformaciones impuestas y en modos incompatibles (’assumed enhanced strain methods ’). Este tipo de

elementos se han utilizado en problemas de localización en plasticidad, como se puede ver en los trabajos

de Ortiz et al [75], Belytschko et al [76] y en una formulación variacional descrita en la referencia [77].

Simó y Rifai [78] desarrollaron una metodología para la construcción de elementos mixtos basados en de-

formaciones impuestas bajo la hipótesis cinemática de pequeñas deformaciones. Esta formulación incluye

el método clásico de los modos incompatibles, introducidos incialmente en la referencia [60] y descritos

en las referencias [79], [80], como un caso particular. Esta metodología permite el diseño sistemático de

elementos basados en deformaciones impuestas mejoradas que tienen un buen comportamiento, compa-

rable con el elemento clásico BRCK de Wilson y otros elementos, como el QM6 de Taylor et al [80], [61]

o el elemento de un punto de integración de Kosloff y Frazier [81].

El artículo de Simó y Armero [82] presenta una formulación de elementos mixtos basados en deforma-

ciones impuestas para problemas en dos y tres dimensiones en deformaciones finitas. Este trabajo supone

una extensión no lineal (grandes deformaciones) de la formulación inicialmente propuesta por Simó y

Rifai [78] para problemas infinitesimales, basada en el elemento QM6 de Taylor et al [61]. Los elementos

desarrollados en la referencia [82] (denominados Q1/E4, Q1/E5 y Q1/E9, correspondientes con los prob-

lemas de tensión plana, axisimetría y tres dimensiones, respectivamente) presentan modos de reloj de

arena (’hourglass’) en grandes deformaciones, especialmente en compresión, tal como recoge el artículo

de Simó, Armero y Taylor de 1993 [46]. En este artículo se presenta a su vez, una serie de modificaciones

y mejoras de la formulación desarrollada inicialmente por Simó y Armero [82]. En el mismo se presenta

el elemento mixto tridimensional QM1/E12, que solucionaba en principio los problemas de los elementos

anteriores. Sin embargo, los análisis llevados a cabo por Wriggers y Reese [83] detectaron modos de

energía cero (’hourglass’) en compresión bajo cierto nivel de deformación. Otros autores (Souza et al [84]

y Crisfield [85] entre otros) obtuvieron resultados similares.

Con objeto de solventar estas deficiencias, diversos autores han propuesto una serie de modificaciones

en la formulación, véasen las referencias [86], [85]. En el artículo de Armero y Glaser de 1997 [47] se

presenta una serie de modificaciones de la formulación original de Simó y Armero [82] que supone una

solución para la resolución de problemas de materiales elastoplástico anisótropos con un alto grado de

incompresibilidad, aunque no está libre totalmente de problemas (aparición de modos ’hourglass’ en

ciertos casos de análisis no lineales), véase la referencia [87].

1.4.2 Endurecimiento no lineal con efecto Bauschinger

Los materiales sometidos a deformaciones plásticas presentan frecuentemente curvas tensión-deformación

no lineales. Estas curvas exhiben módulos de endurecimiento no lineales, cuyas valores van cambiando

con la deformación plástica. Habitualmente el endurecimiento durante el proceso de plastificación, se

modela a través de endurecimiento isótropo, cinemático o endurecimiento mixto [45], [4]. Estos modelos

de endurecimiento son sencillos y se han implementado con ellos, de forma satisfactoria, algoritmos

implícitos robustos en códigos comerciales.

Sin embargo, estos modelos presentan ciertas limitaciones en el modelado del comportamiento plástico


en procesos cíclicos de carga-descarga. Únicamente el endurecimiento cinemático conserva el compor-

tamiento Masing, dando lugar a una descripción precisa del efecto Bauschinger, efecto que tiene lugar

en numerosos materiales, ver las referencias [6], [88], [7], [89], [90], [19]. Sin embargo, el modelo está

restringido al uso de un endurecimiento constante, lo cual resulta con frecuencia ser una aproximación

demasiado somera.

Por ello, se han desarrollado numerosos tipos de modelos con objeto de mejorar el modelado del com-

portamiento plástico cíclico y su extensión multiaxial. Entre ellos, se pueden destacar: modelos multicapa

(‘overlay or sublayer models’, [91], [92], [93]), plasticidad de superficies anidadas o superficies múltiples

(‘nested surfaces plasticity’, [8], [9], [11], [12], [94], [13], [14], [95]), modelos de plasticidad de superficie

límite (‘bounding surface plasticity’ [10], [96], [97], [16], [98], [99], [17], [18]), reglas de endurecimiento no

lineal ([100], [101], [102], [103], [104], [105], [106], [107], [108]), basado en la regla de Armstrong-Frederick

([21]), teoría de plasticidad endocrónica ([109], [110]). Entre estos modelos, la plasticidad de superfcies

múltiples es una de las preferidas por los usuarios y, por lo tanto, está incluida en numerosos libros

de plasticidad, ver por ejemplo [6], [90], [89], [99], [91], [111], [15]. La razón de esta preferencia es la

facilidad para obtener los parámetros del material en este tipo de modelos: es suficiente con discretizar

la curva uniaxial monotónica tensión-deformación en varios tramos. En este sentido, este modelo hereda

el carácter intuitivo de la plasticidad multicapa original, pero permitiendo una extensión multiaxial sen-

cilla. Esta familia de modelos recibe diferentes denominaciones en la literatura: plasticidad de superficies

anidadas, plasticidad de superficies múltiples, modelos de Mróz, modelos multicapa, plasticidad de su-

perficies múltiples con endurecimiento cinemático, etc.

Esta familia de modelos se ha utilizado ampliamente en la simulación del comportamiento de diferentes

materiales, tales como metales ([6], [90], [99], [91], [111]) y suelos ([7], [89], [11], [12]), siendo los resultados

excelentes cuando la carga es proporcional o casi proporcional. Sin embargo, cuando la carga es no

proporcional, los resultados no son siempre tan buenos como los esperados ([13], [112], [113]).

En este sentido, el comportamiento multiaxial de la plasticidad de superficies múltiples depende, en

gran medida, de la regla de endurecimiento cinemático utilizada. Habitualmente se suele utilizar en este

tipo de modelos la regla de traslación propuesta originalmente por Mróz, aunque en la literatura existen

otras reglas de traslación ([13], [112], [114], [115], [116]).

1.4.3 Anisotropía elastoplástica

Una característica fundamental en el comportamiento de los metales es la aparición de deformaciones

permanentes (plásticas) cuando se sobrepasa el umbral del límite elástico, y la recuperación de las de-

formaciones elásticas cuando cesa la carga (“springback”). Esto ocurre tanto durante los procesos de

fabricación (estampado, laminado, etc.) como durante el servicio de los mismos (deformación perma-

nente controlada, como por ejemplo durante un accidente de automóvil). Es fundamental poder realizar

simulaciones del comportamiento plástico de metales lo más realistas posibles y de forma computacional-

mente económica, tanto durante el proceso de fabricación, para evitar defectos de forma o tolerancias

dimensionales inadecuadas, como durante el servicio de los mismos, para obtener el comportamiento

deseado.

Desde el punto de vista computacional, la elastoplasticidad en grandes deformaciones, en su forma

actual, surge a finales de los años 70 y principios de los 80. La introducción de los algoritmos para grandes


deformaciones se deben a diversos autores, pero el artículo de Bathe, Ramm y Wilson [117] supone un

hito para la implementación eficiente de las no-linealidades geométricas y de la hiperelasticidad en el

marco del método de los elementos finitos (FEM).

Las primeras formulaciones elastoplásticas en grandes deformaciones estaban basadas en formulaciones

hipoelásticas, en las que las tensiones se relacionaban con las deformaciones de forma incremental, y éstas

últimas se obtienen a partir de la descomposición aditiva o de Green de las deformaciones en parte elástica

y plástica. Esta estructura se heredó de los algoritmos y formulaciones en pequeñas deformaciones.

En estas formulaciones es preciso el uso de las denominadas medidas objetivas para relacionar dichos

incrementos de forma que se garantizase la independencia del resultado ante posibles movimientos de

sólido rígido. La medida más usada en estos algoritmos es la de Jaumann. Procedimientos numéricos

basados en este tipo de formulaciones se pueden encontrar en la referencia [118]. El inconveniente de

este tipo de formulaciones es su complejidad y de difícil implementación debido a que la objetividad

debe ser conservada incluso de forma incremental. Por otro lado, el uso de formulaciones hipoelásticas

es termodinámicamente inconsistente, ya que los algoritmos pueden disipar energía durante ciclos de

deformación puramente elásticos (que se suponen conservativos), ver Referencias [3], [45].

A finales de los 80, Simó realizó una formulación de la plasticidad basada en la descomposición

multiplicativa [119], [120] para el denominado gradiente de deformaciones y la utilización de formulaciones

hiperelásticas3 [121].

Los procedimientos desarrollados incialmente por Simó, convenientemente linealizados para conservar

la convergencia cuadrática, podían ser utilizados únicamente con plasticidad clásica de von Mises y bajo

modelos de endurecimiento isótropo. La todavía compleja estructura del modelo hacía que no fuese

sencillo la extensión de los procedimientos para los casos, por ejemplo, de anisotropía, funciones de

fluencia de Tresca o el uso de endurecimiento cinemático. Es importante resaltar este último punto, ya

que en el comportamiento cíclico de metales el efecto Bauschinger es importante y suele modelarse a

través de endurecimiento cinemático lineal. Por otro lado, las relaciones entre tensiones y deformaciones

se basan en funciones hiperelásticas de las deformaciones principales de Almansi, obtenidas a partir de la

descomposición polar siniestra (o a izquierdas) de la parte elástica del gradiente de deformaciones. Dicha

relación no es en absoluto intuitiva, y las constantes que definen el comportamiento elástico deben ser

adaptadas convenientemente a partir de experimentos. No obstante, hasta ese momento el procedimiento

supuso un avance extraordinario en la plasticidad computacional, ya que era un algoritmo consistente

desde el punto de vista termodinámico y muy eficiente desde el punto de vista computacional.

En 1990 se produce un nuevo avance en la elastoplasticidad computacional en grandes deformaciones.

Investigadores del Instituto Tecnológico de Massachusetts introdujeron una nueva metodología en la

formulación de la teoría de plasticidad en grandes deformaciones [122], [48]. Esta metodología está

basada en la utilización de la deformaciones logarítmicas o de Hencky y de la función exponencial de un

tensor. La integración de la ecuación diferencial escalar que se obtiene típicamente de las formulaciones

elastoplásticasµy

y= L

¶da como resultado una exponencial

¡y = CeLt

¢, por lo que ésta parece ser la

más adecuada para la integración numérica, convenientemente generalizada para tensores. El uso de una

función exponencial hace que la teoría continua y la discreta queden íntimamente ligadas, por lo que

habitualmente se presentan de forma simultánea.

3En mecánica computacional, uno de los primeros usos de formulaciones hiperelásticas es el de la referencia [117]


Las nuevas formulaciones están basadas en la utilización de expresiones de energía almacenada en

función de las deformaciones logarítmicas. Estas formulaciones representan de forma bastante exacta

las curvas de comportamiento de metales para las deformaciones elásticas moderadas que se presentan

en plasticidad de metales [123], [124]. El principal atractivo de las nuevas formulaciones consiste en la

eficaz y relativamente sencilla implementación de los algoritmos en grandes deformaciones a partir de los

algoritmos desarrollados para pequeñas deformaciones; la extensión a grandes deformaciones se limita a

un pre- y postprocesado de las medidas de tensión y deformación.

La primera contribución proporcionada por Weber y Anand [122] es aplicable únicamente en el caso

de endurecimiento isótropo, mientras que la segunda, porporcionada por Eterovic y Bathe [48] es válida

para endurecimiento mixto. Esta última es, por lo tanto, el primer caso de endurecimiento anisótropo en

grandes deformaciones y puede considerarse como el inicio de la plasticidad anisótropa basada en medi-

das de deformación logarítmicas y en la descomposición de Lee. Posteriormente han surgido diferentes

formulaciones basadas en estas ideas [125], [126], especialmente desarrolladas en la configuración espacial,

que suele ser la preferida por los investigadores, aunque la configuración puede ser elegida libremente.

Una de las ventajas de utilizar la configuración “rotada” es que se eliminan las rotaciones de sólido rígido

y permite un proceso deductivo más sencillo. Los procedimientos basados en hiperelasticidad y medidas

logarítmicas han sido también aplicados de forma satisfactoria a la teoría de suelos basada en el concepto

de estado crítico [127].

Para conseguir obtener un algoritmo de plasticidad sencillo y eficiente, y además poder conservar

la convergencia cuadrática, Simó utilizó en 1992 las tensiones y deformaciones logarítmicas principales.

El uso de dichas medidas permite obtener el módulo elastoplástico consistente de forma simple a partir

del módulo elastoplástico en pequeñas deformaciones, aunque en este caso a partir de un algoritmo

desarrollado en el espacio de tensiones principales. El inconveniente de este algoritmo radica en la

hipótesis de que la dirección de flujo no varía durante el retorno radial , lo cual es cierto únicamente en

el caso de plasticidad isótropa de von Mises, por lo que la aplicación que realizó para plasticidad con

endurecimiento cinemático no es, al menos, convencional [36].

La extensión de estos algoritmos a plasticidad anisótropa es sencilla en el caso de que se conserve

la isotropía elástica [36], ya que en tal caso las tensiones y deformaciones conmutan, y la anisotropía

plástica únicamente implica un algoritmo adecuado en pequeñas deformaciones, donde además el módulo

elastoplástico tangente de pequeñas deformaciones se inserta directamente en el de grandes deformaciones

[36].

En plasticidad computacional es habitual considerar que el efecto de la anisotropía elástica es signi-

ficativamente menor que el efecto de la anisotropía plástica [32], [33], [34], [35]. Esta hipótesis se realiza

incluso con formulaciones hipoelásticas. En formulaciones hiperelásticas, se utilizan frecuentemente fun-

ciones de elasticidad isótropas para la energía elástica almacenada con criterios de plasticidad anisótropos,

fundamentalemente porque simplifica notablemente la formulación e implementación.

Recientemente, han aparecido numerosas formulaciones para plasticidad anisótropa en grandes defor-

maciones, véanse por ejemplo los primeros trabajos al respecto de [128], [129], [130], [131], [33], [132], [90],

y los más recientes [133], [134], [135], [136], entre ellos. No obstante, debido a la dificultad inherente a la

anisotropía en grandes deformaciones, los autores han tenido que recurrir a formulaciones muy complejas

de difícil implementación en un programa de elementos finitos, sobre todo en el caso implícito ([132], [90],

[136]), o relajar alguno de los avances previos de la plasticidad isótropa, como el de la descomposición


multiplicativa ([128], [130]), el de la anisotropía elástica ([131], [33]), el de la normalidad de la superficie

de plastificación ([129]); o simplemente han renunciado a la sencillez de las deformaciones logarítmicas y

la transformación exponencial, dando lugar a procedimientos criticables desde el punto de vista teórico;

véanse críticas en [137].

En la referencia [43] se presenta un algoritmo para plasticidad computacional anisótropo basado en

los mismos principios que actualmente se usan en las formulaciones de isotropía elástica: descomposi-

ción de Lee, medidas de deformación logarítmicas, función de energía almacenada anisótropa motivada

experimentalmente, integración mediante funciones exponenciales (que conservan la restricción de in-

compresibilidad), e inclusión del giro plástico (que no se incluye habitualmente en las formulaciones de

anisotropía elastoplástica, y que sin embargo entra en la ecuación de disipación).

El procedimiento de la referencia [43] ha proporcionado un algoritmo sumamente sencillo e intuitivo de

elastoplasticidad anisótropa en grandes deformaciones, cuya implementación en un programa de elementos

finitos resulta también sencilla, y para el que se pretende desarrollar un algoritmo implícito que permita

simulaciones verdaderamente estáticas y pasos de carga moderados.

Pero la aportación de la referencia [43] no se reduce a un algoritmo sencillo para plasticidad anisótropa

en grandes deformaciones. Una de las aportaciones de la teoría y del algoritmo es la capacidad del mismo

para simular la actualización de las direcciones de anisotropía, faceta que, desde el punto de vista del

medio continuo, en el contexto de simulaciones por elementos finitos, sólo ha sido abordada anteriormente

por [138], [33], (modelos como por ejemplo el de [139], entre otros, no se consideran, ya que por ejemplo

utilizan una cinemática aproximada y/o desprecian las deformaciones elásticas y/o son simples ajustes

de curvas experimentales).

La actualización de las direcciones de anisotropía suele ser despreciada en todas las simulaciones

tanto industriales como académicas, así como en las correspondientes formulaciones. Sin embargo, las

referencias [138], [33], recurren a la isotropía elástica y a una expresión fenomenológica (sin motivación)

para el giro plástico y la actualización de las direcciones de anisotropía, difícilmente justificable desde el

punto de vista termodinámico al no afectar ni la energía almacenada ni la disipada.

Precisamente, una de las observaciones fundamentales de [43], es que tanto el giro plástico como la

actualización de las direcciones de anisotropía entran en la ecuación de disipación a través del denominado

“giro disipativo”, conjugado de trabajo de la parte antisimétrica del tensor de tensiones de Mandel.

De hecho, el principio de máxima disipación proporciona una relación constitutiva clara para el giro

disipativo, aunque deja abierta la relación entre el giro plástico y la actualización de las direcciones

preferentes de anisotropía.

La actualización de las direcciones de anisotropía, aparte de intuitiva, ha sido observada repetida-

mente por diferentes autores, y es diferente dependiendo del material. El lector puede consultar, por

ejemplo, las referencias [40], [39], [140], [42], y muy especialmente [41], ya que contiene los únicos en-

sayos macroscópicos cuantitativos publicados hasta la fecha. En [41] se han observado realineamientos

casi completos de las direcciones de anisotropía en acero para deformaciones de un 5%-10%, y valores

importantes con un solo 2% (en el rango de pequeñas deformaciones).

Además, existe un fenómeno observado desde 1947, conocido como efecto Swift [141]: en barras cilín-

dricas sometidas a torsión simple, aparecen unas tensiones (o deformaciones) axiales que no concuerdan

con las teorías habituales de deformación plástica; un comportamiento que es diferente cuando se invierte

la tensión. Este efecto está relacionado con el desarrollo de una textura o anisotropía durante el proceso


de deformación [142], [143], y frecuentemente se relaciona con el giro plástico [144], [145]. En la reciente

referencia [146], el efecto se estudia desde la plasticidad de cristales.

Por todo lo anterior, resulta fundamental, en un modelo de elastoplasticidad realista, incluir la ac-

tualización de dichas direcciones preferentes. El modelo de la referencia [43] está preparado para ello,

dentro de un marco algorítmico relativamente sencillo y derivado del principio termodinámico de máxima

disipación. De hecho, en dicha referencia se han realizado simulaciones de los ensayos de la referencia [41],

y se han obtenido excelentes resultados, tanto cuantitativamente, como cualitativamente: se ha predi-

cho correctamente el sentido de la rotación de las direcciones de anisotropía sin incluirlo en la ecuación

constitutiva, simplemente como una consecuencia de la búsqueda de la máxima disipación.

Sin embargo, en la referencia [43] existen dos relaciones que permanecen abiertas: la forma de de-

pendencia explícita de la rotación de las direcciones de anisotropía del giro plástico macroscópico y la

forma exacta de la dependencia del giro plástico macroscópico del flujo plástico simétrico macroscópico.

En este trabajo, las relaciones han sido obtenidas mediante ecuaciones razonadas, pero que es necesario

corroborar (o corregir) de alguna forma.

Como paso previo a la implementación en un código implícito de Elementos Finitos, es necesario

desarrollar un algoritmo implícito del modelo sin giro plástico, lo cual no ha sido realizado hasta la fecha.

1.5 Estructura de la tesis

El presente trabajo de tesis se organiza en los capítulos que se exponen a continuación:

Capítulo 1 : Introducción

En este primer capítulo se han presentado los conceptos fundamentales necesarios para el estudio

del fenómeno de la anisotropía elastoplástica en metales y su modelado computacional. Posteriormente

se han descrito los objetivos principales de esta tesis y por último se ha llevado a cabo una revisión de los

conocimientos y antecedentes en el campo de la elastoplasticidad computacional en grandes deformaciones,

desde los puntos de vista experimental y computacional. Por último, se presenta en este apartado la

estructura de la tesis.

Capítulo 2: Bloqueo numérico: Formulaciones mixtas y formulaciones con modos incom-patibles

En este capítulo se analizan un tipo de formulaciones en elementos finitos denominadas formu-

laciones mixtas [45], [49]. Estas formulaciones surgen debido a la falta de eficiencia de la formulación

estándar, basada en desplazamientos, aplicada a problemas incompresibles o con un alto grado de incom-

presibilidad, así como en plasticidad, donde el proceso de deformación plástica es isocórico. El principal

inconveniente en este tipo de simulaciones es el bloqueo numérico de la solución, más conocido como ‘mesh

locking’, que consiste en una respuesta exageradamente rígida de la solución obtenida por el método de

los elementos finitos. En algunos casos, los desplazamientos obtenidos son prácticamente nulos, mientras

que los reales pueden ser varios órdenes de magnitud superiores. Los tipos de bloqueo numérico más

frecuentes en mecánica de sólidos son el bloqueo a cortante (‘Shear locking’) y el bloqueo volumétrico.

En este capítulo se formula y describe la implementación en DULCINEA de dos posibles soluciones al

fenómeno del bloqueo numérico: la formulación u/p general en grandes deformaciones (y su particular-

ización a pequeñas deformaciones ) [44], basada en la interpolación independiente de los grados de libertad

1.5. ESTRUCTURA DE LA TESIS 29

de presión y de los grados de libertad de desplazamientos, a partir del potencial de Hellinger-Reissner.

Esta formulación presenta ciertas limitaciones que se concretarán en problemas bajo las hipótesis de

anisotropía elástica y anisotropía plástica. En segundo lugar, y como solución a las desventajas de la

formulación anterior, se desarrollan e implementan elementos mixtos tridimensionales en grandes defor-

maciones basados en deformaciones impuestas y modos incompatibles (‘assumed strain mixed methods’).

Estos elementos son el BINC 8/9/12 (elemento tridimensional de 8 nudos, con 9 puntos de integración

y 12 modos adicionales) basado en el elemento mixto de Simó, Armero y Taylor de 1993, que presenta a

su vez modos de energía nula en problemas de compresión en grandes deformaciones, y el BENH 8/9/9

(elemento tridimensional de 8 nudos, con 9 puntos de integración y 9 modos adicionales), basado en el

elemento mixto de Armero y Glaser de 1997, que soluciona algunos de los problemas anteriores.

Capítulo 3: Modelos avanzados de plasticidad J2 con endurecimiento anisótropo en pe-queñas deformaciones

En este capítulo se realiza una revisión del marco termodinámico de modelos de plasticidad

avanzada, en concreto, de modelos de plasticidad J2 de superficies múltiples usando las reglas de en-

durecimiento cinemático de Mróz (no asociativa) y de Prager (asociativa) [147], [148] y que permite el

desarrollo de algoritmos de integración de tensiones totalmente implícitos [13]. Estos modelos se utilizan

en la simulación de procesos cíclicos de carga y descarga, donde se recogen los efectos Bauschinger y

Masing, y son modelos de plasticidad anisótropos, ya que emplean reglas de endurecimiento anisótropas.

Se muestra el comportamiento del modelo ante cargas cíclicas y la robustez del algoritmo en análisis

complejos y se lleva a cabo un análisis de la consistencia de las formulaciones de plasticidad de superficies

múltiples. Por último, se comenta otra aplicación de los modelos de plasticidad de superficies múltiples:

modelos geotécnicos basados en la teoría del estado crítico [127].

Capítulo 4: Observaciones experimentales preliminares de la evolución de la ortotropíaplástica en metales laminados

En este capítulo se presentan las diferentes fases que configuran el estudio experimental preliminar

de la evolución de la anisotropía plástica en metales laminados. El capítulo se divide en tres apartados:

en el primer apartado se presentan diversos estudios experimentales sobre la evolución de la anisotropía

plástica en metales laminados. En el segundo apartado se muestra el material objeto de estudio y se

analiza desde el punto de vista mecánico. En el tercer apartado se plantea el procedimiento experimental

y los resultados experimentales más relevantes obtenidos durante el transcurso de esta Tesis.

Capítulo 5: Elastoplasticidad anisótropa en pequeñas deformaciones. Modelado com-putacional

En este capítulo se desarrolla un algoritmo de elastoplasticidad anisótropa en pequeñas deforma-

ciones, en el cual se incluye la anisotropía elástica. El modelo está basado en el criterio de Hill de [24]

y la anistropía elástica se define en función de un tensor de constantes elásticas equivalentes. En este

algoritmo se incorpora un nuevo módulo tangente consistente en el que, en contra de lo publicado en la

literatura, no se desprecian términos, dando lugar a ratios de convergencia cuadráticos. Finalmente, se

presentan una serie de simulaciones sencillas con objeto de verificar el funcionamiento y convergencia del

modelo.

Capítulo 6 : Elastoplasticidad anisótropa en grandes deformaciones. Modelado computa-cional

En este capítulo se introducen los conceptos fundamentales para desarrollo e implementación de


formulaciones de plasticidad en grandes deformaciones. En primer lugar, se presenta una formulación

de plasticidad isótropa en grandes deformaciones basadas en medidas logarítmicas para endurecimiento

mixto [48] con una linealización consistente [36]. Seguidamente se desarrolla la extensión del modelo

anterior bajo la hipótesis de anisotropía plástica y su implementación en DULCINEA.

Por último, se presenta la extensión del modelo de elastoplasticidad anisótropa del Capítulo 5 a

grandes deformaciones y su implementación en DULCINEA. El uso de la descomposición multiplicativa

de Lee, hiperelasticidad, deformaciones logarítmicas o de Hencky y el uso de un algoritmo de integración

exponencial, dan lugar a una extensión del algoritmo de pequeñas deformaciones a grandes deformaciones,

tanto para materiales isótropos [122], o, como en este caso, para materiales anisótropos La extensión a la

cinemática en grandes deformaciones, se reduce a la implementación de un preproceso y un postproceso

sobre el algoritmo de pequeñas deformaciones [36].

Capítulo 7: Simulaciones numéricasEn este capítulo se presentan una serie de simulaciones numéricas con objeto de verificar el

comportamiento del modelo de elastoplasticidad anisótropa en grandes deformaciones, que es el bloque

principal de esta Tesis. Para ello, se plantean cuatro problemas clásicos, cada uno de ellos con unas

características específicas, que sirven para comprobar y poner de manifiesto el buen funcionamiento y la

convergencia del modelo presentado. Los ejemplos numéricos que se han implementado son: Ensayo de

tracción de una barra cilíndrica, que es un ejemplo clásico en isotropía elastoplástica [130], [128], [126],

[131], utilizando elementos tridimensionales; el problema de la membrana de Cook [130], [132], donde

se lleva a cabo un análisis tridimensional con objeto de verificar el comportamiento del modelo bajo la

hipótesis de anisotropía elástica; Estampado de una placa circular delgada [130], [134] donde se investiga

la respuesta del modelo bajo las hipótesis de isotropía elástica y anisotropía plástica y, por último, el

problema de la placa circular con agujero central sometida a tracción [134] donde se analiza el modelo de

material bajo anisotropía elastoplástica (anisotropía elástica y anisotropía plástica).

Capítulo 8: Conclusiones y desarrollos futurosSe concluye el documento con las principales contribuciones realizadas durante el desarrollo de

la Tesis Doctoral y se plantean diversas líneas futuras de investigación.

Capítulo 9: ApéndicesApéndice 9.1: Bloqueo numérico en el MEF. Introducción y motivaciónApéndice 9.2: Modelo de plasticidad de superficie múltiples en mecánica de suelos.Apéndice 9.3: Obtención de las curvas de Hill a partir de datos experimentalesApéndice 9.4: Cálculo de los tensores SM y SM

Apéndice 9.5: Determinación de los parámetros de las simulaciones

Capítulo 2

Bloqueo numérico: Formulacionesmixtas y Formulaciones con modosincompatibles

Los elementos finitos estándar presentan con frecuencia problemas de bloqueo, donde se obtiene una re-

spuesta exageradamente rígida de la solución obtenida por el método de los elementos finitos. En algunos

casos, los desplazamientos obtenidos son prácticamente nulos, mientras que los reales son incluso varios

órdenes de magnitud superiores. Es decir, en estos casos, el método de los elementos finitos proporciona

una solución errónea en diversas situaciones. Los tipos de bloqueo numérico habituales en mecánica de

sólidos son: Bloqueo a cortante y Bloqueo volumétrico. Este fenómeno tiene lugar en diversas situaciones

como flexión, incompresibilidad (o semideformabilidad en anisotropía), etc. El caso de plasticidad es

especialmente importante, ya que si el potencial de flujo plástico es desviador, las deformaciones plásticas

(que constituyen la mayor parte de las deformaciones totales) también son desviadoras, por lo que el

comportamiento es de quasi-incompresibilidad. La forma de resolver este problema, conocido desde los

años 70, es a través de integración selectiva-reducida y/o a través de formulaciones mixtas [45], [56]. En

este capítulo se presenta una formulación mixta basada en principios variacionales (Formulación de Hu-

Washizu y de Hellinger-Reissner), denominada formulación u/p, que resuelve los problemas planteados

por la integración reducida, ver referencias [49], [45], [44], [149]. En este trabajo, se ha implementado

la formulación u/p, en su versión tridimensional en grandes deformaciones (que incluye, por supuesto,

el caso de pequeñas deformaciones), en el programa de elementos finitos DULCINEA, a través de la

familia de elementos mixtos denominados BMIX. El tratamiento de materiales elastoplásticos anisótro-

pos en problemas incompresibles con formulaciones mixtas u/p presenta un importante inconveniente,

como se expondrá más adelante. La incorporación de una nueva familia de elementos mixtos basada

en deformaciones impuestas mejoradas y modos incompatibles (’assumed enhanced strain methods ’) [78],

[82], [46] implementada en DULCINEA, supone una mejor alternativa para la resolución de problemas

de materiales elastoplásticos anisótropos en grandes deformaciones. Esta familia de elementos se ha im-

plementado de dos formas, que se corresponden con dos formulaciones diferenciadas, que han dado lugar

a los elementos tipo BINC y BENH respectivamente.

31

32 CAPÍTULO 2. BLOQUEO NUMÉRICO: FORMULACIONES MIXTAS

El análisis del fenómeno de bloqueo no es el objetivo de este documento. No obstante, para el lector

interesado, en el Apéndice 9.1 se presenta una introducción al fenómeno del bloqueo numérico, donde se

exponen las causas de los diferentes tipos de bloqueo de la solución y se presentan distintas soluciones.

Entre ellas, cabe destacar, la integración selectiva-reducida, los modos incompatibles y formulación mixta.

En el siguiente apartado, con objeto de introducir la notación, se repasa brevemente la formulación

de elementos finitos, haciendo énfasis en el origen de los problemas de bloqueo.

2.1 Introducción

El problema de contorno básico (o formulación fuerte del problema) que hay que resolver en mecánica de

sólidos es el siguiente, ver figura 2.1:

Encontrar

u (x) , ε(u) y σ (ε) (2.1)

donde u (x) son el vector de desplazamientos, ε(u) es el tensor de deformaciones infinitesimales y σ (ε)

es el tensor de tensiones, tal que se cumplan las siguientes ecuaciones:

• Ecuación de equilibrio en el elemento diferencial (“punto”)

∇ · σ + b = 0 (2.2)

• Ecuación de compatibilidad entre deformaciones y desplazamientos

ε = ∇su (2.3)

• Ecuación de comportamiento entre tensiones y deformaciones

σ = σ (ε) (2.4)

En la figura 2.1, St es el contorno donde se especifican las condiciones de contorno naturales o de

Neumann (fuerzas) y Su es la parte del contorno donde se especifican las condiciones de contorno esenciales

o de Dirichlet (desplazamientos). Se cumple que S = St ∪ Su y φ = St ∩ Su. V es el volumen del sólido,

encerrado por S.

La potencia de las fuerzas actuantes sobre el sólido (exterior) se define como

Fuerzas de volumen :Z

V

b · v dV (2.5)

Fuerzas en el contorno :Z

St

t · v dSt

donde t,v y b son el vector tracción, el vector de velocidades y las fuerzas de volumen respectivamente.

Aplicando la definición del vector tracción t = σ · n (donde n es el vector normal en el punto) y la

2.1. INTRODUCCIÓN 33

V

St

Su

t(x)

F

b

Figura 2.1: Condiciones de contorno en el medio

ecuación de equilibrio (2.2), nos queda la potencia mecánica como

P =Z

St

(σ · n) · v dSt +

ZV

(∇ · σ) · v dV (2.6)

Aplicando el teorema de la divergencia a la primera integral y sabiendo que σ es un tensor simétrico, se

obtiene la potencia mecánica en descripción espacial como

P =Z

V

σ : ∇v dV =

ZV

σ : l dV =

ZV

σ : d dV (2.7)

donde l es el gradiente de velocidades espacial, definido como

l = d+w (2.8)

siendo d y w la parte simétrica y antisimétrica del gradiente de velocidades espacial respectivamente, por

lo que σ : w = 0.

La potencia mecánica se puede escribir en descripción material como

P =Z

V

σ : d dV =

ZV

σ :³F−T AF

−1´dV =

ZV

J³F−1σF−T

´: A dV =

ZV

S : A dV (2.9)

donde F es el gradiente de deformaciones, J = det(F), S es el segundo tensor de tensiones de Piola-

Kirchhoff y A es la derivada del tensor de deformaciones de Green.

Por lo tanto, el principio de potencias virtuales (PPV) en descripción espacial se define como

δP =Z

St

t · δv dSt +

ZV

b · δv dV =

ZV

σ : δd dV (2.10)


donde δv son velocidades virtuales y

δd =1

2

³∇x δv+ (∇x δv)

T´

(2.11)

o bien en descripción material como

δP =Z

S0t

t · δv dS0t +

ZV 0

b0 · δv dV 0 =

ZV 0

S : A dV 0 (2.12)

Integrando las ecuaciones anteriores (2.10) y (2.12), se obtiene el principio de trabajos virtuales (PTV)

en descripción espacial

δW =

ZSt

t · δu dSt +

ZV

b · δu dV =

ZV

σ : δε dV (2.13)

y descripción material respectivamente

δW =

ZS0t

t · δu dS0t +

ZV 0

b0 · δu dV 0 =

ZV 0

S : A dV 0 (2.14)

En el caso elástico lineal en pequeñas deformaciones, la energía interna del sistema, incluyendo la

ecuación constitutiva σ = C : ε, se obtiene como

W elas =

ZV

ÃZ ζ=1

ζ=0

σ : ζε dζ

!dV=

ZV

1

2ε : C : ε dV (2.15)

y definiendo la energía complementaria como la energía total menos la energía elástica almacenada

ΠC =X

iFi · u+

ZV

b · u dV +

ZSt

t · u dSt −W elas (2.16)

dondeX

Fi · u determina el trabajo de las fuerzas puntuales. Que ΠC sea máximo es lo mismo que¡−ΠC

¢sea mínimo. AΠ (u, ε)=−ΠC (u, ε) se le suele denominar función o energía potencial y depende

de las acciones y de los esfuerzos internos. Por lo tanto, la energía potencial Π en el caso elástico lineal

queda de la forma

Π =1

2

ZV

ε : C : ε dV −X

iFi · u−

ZV

b · u dV −Z

St

t · u dSt (2.17)

La condición de que Π sea mínimo, conduce al principio de mínima energía potencial. Este principio

deriva de la hipótesis de que el continuo almacena la menor energía posible (lo cual evidentemente es

hipotético, pero frecuentemente sancionado con la práctica). La inclusión deW elas (energía elástica) en la

función potencial también implica que el sistema devolverá la energía elástica suministrada previamente

(lo cual tampoco tiene por qué ocurrir necesariamente). Cuando se acepta esta hipótesis como válida,

se suele decir que el sistema es conservativo (conserva la energía suministrada). El principio de mínima

energía potencial establece que la misma es una función estacionaria y que por tanto la variación de la

misma ∂Π ante una variación infinitesimal arbitraria en los desplazamientos ∂u (respuesta del sistema)


es nula, quedando como (formulación débil del problema)

∂Π = 0 = −X

iFi · δu−

ZV

b · δu dV −Z

St

t·δu dSt +

ZV

δε : C : ε dV (2.18)

donde ∂ε =12

h∇x∂u+ (∇x∂u)

Ti. Nótese que es equivalente al Principio de Trabajos Virtuales (PTV)

y surge igualmente del principio de Potencias Virtuales (PPV). La existencia en el contorno de unas

deformaciones tales que no sólo equilibren las acciones como un conjunto, sino que lo hagan de forma

óptima (punto a punto), implica que el medio busca expontáneamente el punto de mayor entropía, de

mejor reparto de la energía almacenada.

Por otra parte, se discretizan las variables cinemáticas del problema (u (x) y ε (x)) utilizando las

mismas funciones de forma Ni (x) como

u (x) ' u (x) =nudosXi=1

Ni (xi) ui = Nu (2.19)

donde ui son los desplazamientos nodales. Así mismo, se tiene (bajo la hipótesis de pequeñas deforma-

ciones)

ε (x) = ∇su ' ε (x) =nudosXi=1

∇sNi (xi) ui =

nudosXi=1

Bi (x) ui = Bu (2.20)

y aplicando la ecuación constitutiva nos queda

σ (x) = C : ε ' σ (x) = Dε (2.21)

y por último

u (x) ' u (x) = u en Su (2.22)

Por lo tanto, al utilizar la hipótesis de la aproximación de desplazamientos anterior, obligamos a las

deformaciones y a las tensiones a comportarse de una forma determinada. Este razonamiento es de gran

importancia para entender el fenómeno de bloqueo numérico.

De igual modo, para las variaciones se tiene

δu (x) ' δu (x) =nudosXi=1

Ni (xi) δui =Nδu (2.23)

δε (x) = ∇sδu 'δε (x) =nudosXi=1

∇sNi (xi) δui =

nudosXi=1

Bi (x) δui = Bδu

δσ (x) = C : δε ' δσ (x) = Dδε

δu (x) ' δu (x) = 0 en Su

El principio de mínima energía potencial en forma variacional queda como

∂Π = 0 =

ZV

(δu)T BTD BudV −X

i(δu)T FPi −

ZV

(δu)T NTbdV −Z

St

(δu)T NT t dSt (2.24)


y puesto que δu son arbitrarios

0 =

ZV

BTD BudV −X

iFPi −

ZV

NTbdV −Z

St

NT t dSt (2.25)

que es la formulación matricial del problema estático. Las variables independientes de este funcional son

los desplazamientos u. Suponiendo que V =nel[i=1

V i y V i∩V j = φ para i 6= j, se puede escribir la ecuación

anterior para el conjunto de los elementos que constituyen el volumen como

nelXi=1

ZV i

BTD BueidVi =

nelXi=1

Fi +nelXi=1

ZV i

NTb dV i +nelXi=1

ZSit

NT t dSit (2.26)

nelXi=1

Kei u

ei =

nelXi=1

Fi +nelXi=1

FVei +

nelXi=1

FSei

Ku = Fp +FV +FS

donde, en definitiva, tenemos que resolver la ecuación de equilibrio Ku = F. En formato de ensamblaje

se escribe comonel

i=1

Kei

nel

i=1

uei =nel

i=1

Fi +nel

i=1

³FVei +FSei

´(2.27)

donde Kei es integrada mediante un número determinado de punto de integración en el elemento.

Como conclusión, se pueden extraer una serie de consideraciones importantes de todo lo planteado

anteriormente:

1. En las ecuaciones anteriores, se ha supuesto que las ecuaciones de comportamiento y de compati-

bilidad se cumplen exactamente en cada punto del dominio o, lo que es lo mismo, en cada punto de

integración. Y además se cumplen sobre la solución aproximada, interpolada según unas funciones

de forma arbitrariamente escogidas.

2. El principio variacional es un principio integral, no diferencial. Ello implica conceptualmente que

las ecuaciones se cumplen en el conjunto del dominio y no punto a punto. Forzar que todas las

ecuaciones implicadas (comportamiento y compatibilidad) han de cumplirse en los mismos puntos y

con la aproximación obtenida por la derivación de las particulares funciones de forma escogidas para

los desplazamientos es una restricción demasiado fuerte que, en ocasiones, provoca el denominado

fenómeno de bloqueo (el sistema está sobredimensionado).

2.2 Bloqueo volumétrico. Formulación u/p implementada en

DULCINEA

2.2.1 Formulación mixta y requisitos

La mejor forma de tratar tanto el bloqueo volumétrico como el bloqueo a cortante es mediante la for-

mulación mixta, ya que en esta situación, el bloqueo se produce porque la presión está interpolada y

2.2. BLOQUEO VOLUMÉTRICO. FORMULACIÓN U/P EN DULCINEA 37

obtenida a partir de las funciones de interpolación utilizadas para los desplazamientos. En el caso límite

de incompresibilidad, las presiones vienen directamente proporcionadas por las ecuaciones de equilibrio

y son, por lo tanto, independientes de los desplazamientos. En casos de quasi-incompresibilidad, las

presiones deben tener su propia interpolación. Para que globalmente se cumplan las ecuaciones de com-

patibilidad, se puede formular el potencial de Hu-Washizu o Hellinger-Reissner, incluyendo la diferencia

entre la presión interpolada desde variables independientes y la presión obtenida de aplicar la ecuación

de comportamiento y compatibilidad a los desplazamientos:

ΠHR = −12

ZV

ε : C : ε dV +

ZV

ε : C : ∇su dV −Z

V

b · u dV − (2.28)

−X

iFi · u−

ZSt

t · u dSt

Para el caso de isotropía elástica lineal, usando ε = εD +p

3K1, con C = K 1⊗ 1+ 2G

¡I− 1

31⊗ 1¢se

obtiene

Π∗HR =1

2

ZV

εD : CD : εD dV −Z

V

1

2

p2

KdV −

ZV

pεv dV − (2.29)

−Z

V

b · u dV −X

iFi · u−

ZSt

t · u dSt

cuya variación, teniendo a p y a u como variables independientes, proporciona las ecuacionesZV

δεD : CD : εDdV−Z

V

pδεv dV =

ZV

b · δu dV −X

iFi · δu−

ZSt

t·δu dSt (2.30)ZV

³ p

K+ εv

´δp dV = 0

dondep

Kes la dilatación obtenida de la variable p interpolada independientemente, y εv es la dilatación

obtenida de ∇su, esto es, compatible punto a punto con la forma de los desplazamientos prescritos

p ' p =

nudos de presionXi=1

Npi (x) pi

u = u =

nudos de desplaz.Xi=1

Ni (x) ui y ε ' ε = ∇su

Los grados de libertad de presión pueden ser de dos tipos: interiores al elemento (formulación u/p) o en

el contorno (en los nudos) del elemento (formulación u/p− c). Los primeros son muchos menos costosos

ya que al ser grados de libertad de cada elemento, pueden ser condensados y no añaden grados de libertad

globales adicionales. Los segundos, aunque más caros a nivel computacional, permiten distribuciones de

presión continuas y la imposición directa de la condición de contorno en presiones.

Las funciones de forma de los grados de libertad de presión pueden llegar a ser del mismo orden de las

de los desplazamientos (p.e. Q9/9), pero, en este caso, se recupera la formulaciónn estándar y el problema

de bloqueo. En general, el orden de las funciones de forma de presión suele ser de un grado menor que el

de las de desplazamientos. No todas las formulaciones están libres de problemas y producen convergencia


Figura 2.2: Análisis de un voladizo en condiciones de deformación plana. Se han usado elementos de9 nudos en formulación estándar y un coeficiente de Poisson de ν = 0.3. Se muestra la distribución detensiones y la deformada. El valor máximo de la tensión (σ2)max = 0.4318 MPa y la flecha máxima esδmax = 1.6087 mm [45]

óptima. De hecho, la selección del orden de interpolación para las presiones (y por lo tanto del número

de grados de libertad de presión del elemento) es de vital importancia. Existe un test, que se denomina

condición Inf-Sup (o de Babuška-Brezzi) [45]. Si un elemento pasa dicha condición, es óptimo; esto es,

no bloquea, no presenta modos de energía nula y conserva el grado de convergencia de la formulación

estándar. No obstante, dicha demostración analítica es extremadamente compleja y sólo se ha conseguido

realizar para algunos elementos. Existe la alternativa de la demostración numérica [73]. Por ejemplo, los

elementos u/p QMIX 9/9/3 (elemento 2D QMIX de 9 nudos, con 9 puntos de integración y 3 grados de

libertad de presiones) y BMIX 27/27/4 (elemento 3D BMIX de 27 nudos, con 27 puntos de integración

y 4 grados de libertad de presiones) son óptimos y pasan la condición Inf-Sup [44].

Una forma de comprobar la existencia del fenómeno de bloqueo es dibujar los contornos de tensiones

en los puntos de integración. Las figuras 2.2 y 2.3 muestran los resultados obtenidos en el análisis de

un voladizo sometido a una carga de presión, un ejemplo típico para mostrar el fenómeno de bloqueo y

realizado con el código comercial ADINA [45]. Se consideran condiciones de deformación plana y los casos

de coeficiente de Poisson ν = 0.3 y ν = 0.499 respectivamente. En estas simulaciones, se han utilizado

elementos de 9 nudos con 9 puntos de integración en formulación estándar. Como resultados, se muestran

las distribución de tensión principal máxima σ2 en los puntos de integración (sin extrapolar) y la flecha

máxima δmax. Se ha seleccionado como resultado la distribución de tensiones, ya que, en formulación

estándar, cuando el coefiente de Poisson está próximo a 0, 5, se obtienen distribuciones de tensiones poco

precisas y no continuas. La figura 2.2 muestra los resultados para ν = 0.3, donde la distribución de tensión

es uniforme entre elementos. Sin embargo, cuando ν = 0, 499, con la misma malla de elementos finitos,

no se obtienen distribuciones de tensiones continuas y suavizadas, ver figura 2.3. Se pueden apreciar

saltos de tensión importantes dentro de un mismo elemento. En este caso se produce bloqueo numérico.

La figura 2.4 muestra la distribución de tensiones en el caso de utilizar formulación u/p con elementos

Q9/9/3 (elementos mixtos de ADINA). El coeficiente de Poisson es ν = 0.499. Los resultados muestran


Figura 2.3: Análisis de un voladizo en condiciones de deformación plana. Se han usado elementos de 9nudos en formulación estándar y un coeficiente de Poisson de ν = 0.499. Se muestra la distribución detensiones y la deformada. El valor máximo de la tensión (σ2)max = 1.2796 MPa y la flecha máxima esδmax = 1.3098 mm [45]

distribuciones de tensiones óptimas y no se degradan al utilizar coeficientes de Poisson próximos a 0, 5.

En 3D los elementos también pueden bloquear, ya que las deformaciones en uno de los ejes puede

estar restringido por diversos motivos (incluyendo el propio comportamiento del material), y en estos

casos el fenómeno de bloqueo también aparece.

La formulación que se presenta a continuación, se basa en la existencia de una función de energía o

potencial de la forma [45], [44]:

dW =S : dA (2.31)

donde S =∂W∂A

es el segundo tensor de Piola-Kirchhoff y A es el tensor de deformaciones de Green-

Lagrange. Las variables que aparecen con una barra en la parte superior, indican que estas variables

provienen del campo de desplazamientos. Como consecuencia de la hipótesis planteada por la ecuación

(2.31), se obtiene el tensor de comportamiento

C =∂S

∂A=

∂2W∂A∂A

(2.32)

con las simetrías

Cijkl = Cklij (2.33)

Por lo tanto, la formulación u/p da lugar a tensores de comportamiento simétricos, como ocurría en

la formulación estándar. Utilizando la Ecuación (2.31), el principio de los trabajos virtuales se puede

escribir como ZV

∂W∂A

δA dV =

ZV

δW dV = δ

µZV

W dV

¶= R (2.34)

donde R es el trabajo virtual exterior. Por otro lado, se utilizan funciones de interpolación para los


Figura 2.4: Análisis de un voladizo en condiciones de deformación plana. Se han usado elementos de9 nudos con 3 puntos de integración en presiones (formulación mixta) y un coeficiente de Poisson deν = 0.499. Se muestra la distribución de tensiones y la deformada. El valor máximo de la tensión(σ2)max = 0.3995 MPa y la flecha máxima es δmax = 1.35 mm [45]

desplazamientos y las presiones de forma independiente

p ' p =

nudos de presionXi=1

Npi (x) pi (2.35)

u = u =

nudos de desplaz.Xi=1

Ni (x) ui y ε ' ε = ∇su

La clave en la construcción de esta formulación, es la modificación, en una forma adecuada, del potencial

W para incluir el efecto de la presión interpolada p. Por ello, al potencial W se añade un potencial Q quees función de los desplazamientos y de la presión interpolada p. Por lo tanto, el principio de los trabajos

virtuales queda

δ

µZV

W dV

¶= R (2.36)

donde W = W +Q, considerando ahora como variables los desplazamientos interpolados y las presionesinterpoladas. Este nuevo potencial W debe satisfacer, además, tres requisitos físicos (ver referencia [44]):

1. La presión calculada a partir del potencial modificado W = W +Q, debe ser igual a la presióninterpolada de forma independiente

2. La variación del potencial modificado respecto de una de las presiones debe generar una ecuación de

restricción que relacione la presión interpolada de forma independiente p con la presión calculada

de los desplazamientos p

3. Si la presión calculada de los desplazamientos es igual que la presión interpolada de forma indepen-

diente, el potencial modificado debe ser igual al potencial inicial sin modificar. Esto asegura que la

formulación u/p incluye, como un caso especial, la formulación estándar en desplazamientos.


2.2.2 Formulación matricial

El tensor de Cauchy σ se calcula a partir del segundo tensor de Piola-Kirchhoff como

σ = J−1 F · S · FT (2.37)

donde F es el tensor gradiente de deformaciones y J = det(F) es el jacobiano de F. Por lo tanto, la

presión hidrostática se calcula como

p =1

3σ : I =

1

3J−1C : S (2.38)

donde C es el tensor diestro de Green-Cauchy. En términos de potencial, se escribe como

p =1

3σ : I =

1

3J−1C :

∂W∂A

(2.39)

Definiendo el operador 0P como

p = 0P¡W¢

(2.40)

tal que

0P (·) =1

3J−1C :

∂ (·)∂A

(2.41)

y, utilizando el potencial W = W +Q, donde se tienen en cuenta las presiones interpoladas, el requisito(1) se escribe como

0P¡W +Q

¢= p (2.42)

Aplicando el requisito (2), se obtiene la siguiente relación

∂

∂pk

∙ZV

¡W +Q

¢dV

¸δpk = 0 (2.43)

o bien ZV

∂

∂p

¡W +Q

¢δp dV = 0 (2.44)

Aplicando la ecuación (2.42) en la expresión anterior, nos queda

∂

∂p

¡W +Q

¢=

∂

∂p

¡0P−1 (p)

¢(2.45)

y simplificando se obtiene∂

∂p(Q) = 0P

−1 (1) (2.46)

Por lo tanto, la ecuación de restricción (2.45), se escribe de la formaZV

Q dV=

ZV

¡0P−1 (p)

¢δp dV = 0 (2.47)


Esta ecuación de restricción debe relacionar las presiones p y p, obtenidas de los desplazamientos y las

interpoladas, respectivamente. La restricción más sencilla esZV

r (p− p) δp dV = 0 (2.48)

donde r es una función de los desplazamientos y comparada con la ecuación anterior, se obtiene

0P−1 (1) = r (p− p) (2.49)

y al ser 0P−1 (·) un operador diferencial

1 = 0P (r) (p− p) + r 0P (p− p) (2.50)

La ecuación anterior sólo se cumple bajo las restricciones

r =1

0P (p)y 0P (r) = 0 (2.51)

Combinando las restricciones anteriores, se llega al resultado

0P2 (p) = 0 (2.52)

donde 0P 2 (·) = 0P (0P (·)). La ecuación (2.52) es una restricción que debe satisfacer cualquier materialque utiliza formulación u/p.

Sustituyendo los resultado anteriores en la ecuación (2.48), se obtiene la ecuación de restricciónZV

1

0P (p)(p− p) δp dV = 0 (2.53)

Integrando la ecuación anterior quedaZp

1

0P (p)(p− p) dp = − 1

2 0P (p)(p− p)2 = Q (2.54)

Por lo tanto, un potencial que cumple los requisitos anteriores para materiales isótropos es

W = W +Q = W− 1

2 0P (p)(p− p)

2 (2.55)

donde p es la presión procedente de los desplazamientos y p es la presión interpolada. Utilizando el

potencial anterior, las ecuaciones de contorno de un elemento finito típico se pueden escribir como"Kuu Kup

Kpu Kpp

#"u

p

#=

"R

0

#−"Fu

Fp

#(2.56)

donde u y p son los desplazamientos nodales y las presiones internas nodales respectivamente, R es el


vector de fuerzas nodales externas, Fu y Fp contienen las derivadas

Fu =∂

∂u

∙ZV

µW− 1

2 0P (p)(p− p)

2

¶dV

¸(2.57)

Fp =∂

∂p

∙ZV

µW− 1

2 0P (p)(p− p)

2

¶dV

¸y los términos de la matriz de rigidez Kuu, Kup, Kpu, Kpp contienen las derivadas

Kuu =∂Fu∂u

(2.58)

Kup =∂Fu∂p

=∂Fp∂u

= Kpu

Kpp =∂Fp∂p

Utilizando la regla de la cadena, nos queda

Fu =

ZV

S :∂A

∂udV (2.59)

Fp =

ZV

−Cpp (p− p)∂p

∂pdV

Kuu =

ZV

µ∂A

∂u

¶T: Cuu :

µ∂A

∂u

¶dV+

ZV

S :∂2A

∂u∂udV

Kup =

ZV

µ∂A

∂u

¶T: Cup ⊗

∂p

∂pdV

Kpp =

ZV

Cpp∂p

∂p⊗ ∂p

∂pdV

donde Cpp, Cup, Cuu , S, se definen como

Cpp = −1

0P (p)(2.60)

y considerando un módulo de compresibilidad K constante, que se cumple bajo las hipótesis de isotropía

elastoplástica, o isotropía elástica con anisotropía plástica, o anisotropía elástica, se obtiene

Cpp = − 1

0P (p)= − 1

K(2.61)

Cup = Cpp∂p

∂A

Cuu = C+ Cpp∂p

∂A⊗ ∂p

∂A+ Cpp (p− p)

∂2p

∂A∂A

S = S+ Cpp (p− p)∂p

∂A(2.62)

donde Cuu es el tensor de comportamiento modificado de cuarto orden y S es el segundo tensor dePiola-Kirchhoff modificado.


2.2.3 Formulación mixta para presiones dependientes del jacobiano

Se ha comentado que la formulación u/p sólo se puede usar con ciertas descripciones de materiales,

concretamente, en aquellas que cumplen la restricción 0P2 (p) = 0. Esta restricción se puede eliminar

para aquellos materiales en los que p depende únicamente de J = det(F), siendo F el gradiente de

deformaciones, esto es p = f (J)

En este caso, se toma como restricción la ecuaciónRV

¡0P−1 (p)

¢δp dV = 0 dondeZ

V

¡−f−1 (p) + f−1 (p)

¢δp dV = 0 (2.63)

y f−1 (p) corresponde con el jacobiano de p y f−1 (p) con el jacobiano de p. Se puede demostrar, utilizando

0P (·) = −d (·)dJ

, que

− d

dJ

¡−f−1 (p) + f−1 (p)

¢= − d

dJ(−J) = 1 (2.64)

Además, se puede demostrar que la ecuación de restricción es nula cuando se cumple que p = p. Por lo

tanto, el potencial modificado Q, se calcula como

∂

∂p(Q) = −f−1 (p) + f−1 (p) (2.65)

e integrando queda

Q = −pf−1 (p) +Zp

f−1 (p) dp + c (p) (2.66)

donde c (p) es la constante de integración. Aplicando 0P (·) a Q se obtiene

0P (Q) = p−−dc (p)dJ

(2.67)

Aplicando la restricción (1), donde 0P (Q) = p− p, se tiene

dc (p)

dJ= p (2.68)

y, por lo tanto

c (p) = pf−1 (p)−Zp

f−1 (p) dp (2.69)

Q =(p−p) f−1 (p) +Zp

f−1 (p) dp −Zp

f−1 (p) dp (2.70)

donde Q =0 si p = p.

Finalmente, el segundo tensor de Piola-Kirchhoff modificado S y el tensor de comportamiento modi-

ficado de cuarto orden Cuu se calculan como

S = S+ (p− p)∂J

∂A(2.71)

Cuu = C+∂p

∂J

∂J

∂A⊗ ∂J

∂A+ (p− p)

∂2J

∂A∂A(2.72)


donde

∂J

∂A= JC−1

∂2J

∂A∂A=

∂

∂A

µ∂J

∂A

¶(2.73)

donde C es el tensor diestro de Green-Cauchy y

Cpp =∂f−1 (p)

∂p=1

K(2.74)

Cup = − ∂J

∂A(2.75)

Esta nueva formulación u/p se reduce a la presentada inicialmente cuando

p = −K (J − 1) (2.76)

2.2.4 Particularización a pequeñas deformaciones

La particularización a pequeñas deformaciones es relativamente sencilla. Definamos el tensor de compor-

tamiento en deformaciones infinitesimales como

C =∂σ

∂ε(2.77)

donde σ es el tensor de tensiones de Cauchy y ε es el tensor de deformaciones infinitesimales. Las

expresiones anteriores quedan de la siguiente forma

Fu =

ZV

σ :∂ε

∂udV (2.78)

Fp =

ZV

−Cpp (p− p)∂p

∂pdV

y

Kuu =

ZV

µ∂ε

∂u

¶T: Cuu :

∂ε

∂udV (2.79)

Kup =

ZV

∂ε

∂u: Cup ⊗

∂p

∂pdV

Kpp =

ZV

Cpp∂p

∂p⊗ ∂p

∂pdV


1.1 1.2 1.3 1.4 1.5 1.6 1.7 1.8 1.9 2 x 10-4

-2

-1

0

1

2

3

4

x 10-5

Y Y Y Y Y Y Y Y Y Y Y Y Y Y Y Y Y Y Y Y Y

Y Y Y Y Y Y Y Y Y Y Y Y Y Y Y Y Y Y Y Y Y

·· · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · ·· · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · ·· · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · ·· · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · ·· · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · ·· · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · ·· · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · ·· · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · ·· · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · ·· · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · ·· · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · ·· · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · ·· · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · ·· · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · ·· · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · ·· · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · ·· · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · ·· · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · ·· · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · ·· · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · ·· · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · ·

Y: z fix

z

r

rq

z

Radio interno = 0.1 mRadio externo = 0.2 mPresión interna pDeformación plana en z

Figura 2.5: Análisis elástico ortótropo lineal de un cilindro sometido a presión interna [44]

donde, considerando un módulo de compresibilidad constante K, se obtiene

Cpp = − 1K

(2.80)

Cup =1

K

∂p

∂ε

Cuu = C− 1

K

∂p

∂ε⊗ ∂p

∂ε− 1

K(p− p)

∂2p

∂ε∂ε

σ = σ + Cpp (p− p)∂p

∂ε(2.81)

En este caso, la presión p se calcula como

p = −13σ : I = −1

3C : ε

y nos queda

Cpp = − 9

I : C : I(2.82)

Cup = −3 I : CI : C : I

Cuu = C−¡I : C

¢⊗¡I : C

¢I : C : I

(2.83)

2.2.5 Ejemplo numérico

Como aplicación práctica de la formulación u/p en un material ortótropo, se plantea el problema bajo

la hipótesis de anisotropía elástica. Se analiza el caso de un cilindro modelado como un material elás-

tico ortótropo lineal sometido a presión interna, ver figura 2.5 [44]. El problema se plantea de forma


axisimétrica y las constantes del material son

Er = 106g MPa, Eθ = 106 MPa, Ez = 10

6 MPa (2.84)

νrθ =0.25

g, νθz = 0.25, νrz =

0.25

g

Grz = 4× 105 MPa

donde r, θ, y z son las coordenadas cilíndricas del problema y g es un parámetro que controla el grado

de ortotropía. Cuando g = 16 , el material se comporta como quasi-incompresible. La matriz de compor-

tamiento C de este problema, se escribe como

C =106

1516g −

532

⎡⎢⎣1516g

2 516g

516g

516g g − 1

1614g +

116

516g

14g +

116 g − 1

16

⎤⎥⎦ (2.85)

y la relación presión-deformación obtenida es

p = −13

106g

15g − 52

[(15g + 10) err + 25eθθ + 25ezz] (2.86)

con el ‘módulo de compresibilidad K’ definido como

K =1

9

106g

15g − 52

(15g + 60) (2.87)

El módulo de compresibilidad se hace infinito cuando g decrece hasta1

6. Por lo tanto, la expresión

anterior de la presión queda como

p = −∞∙1

2err + eθθ + ezz

¸(2.88)

con lo cual se tiene la ecuación de restricción

1

2err + eθθ + ezz = 0 (2.89)

En este problema se presentan varias simulaciones de la distribución de presiones en el cilindro para

distintos valores de g. Se han realizado dos tipos de simulaciones: formulación estándar con elementos

QUAD 9/9, ver figura 2.6, y formulación mixta, con elementos QMIX 9/9/3, ver figura 2.7. En el caso de

valores de g ≈ 16, la formulación estándar no funciona correctamente y la solución bloquea, obteniéndose

soluciones más rígidas y distribuciones de presión no constantes (ver figura 2.6(b)) . Por otro lado, para

el caso de formulación mixta y con valores de g ≈ 16, se obtienen soluciones correctas y distribuciones de

presión constantes (ver figura 2.7(b))


(a) (b)

1.1 1.51.41.31.2 21.91.81.71.6 x10-4

0

1

2

3

1.8

-1

-2

x10-5 x109

4

1.6

1.4

1.2

1

0.8

0.6

1.1 1.51.41.31.2 21.91.81.71.6 x10-4

0

1

2

3

-1

-2

4

x10-5

4

3

2

0

-1

-2

x109

1

-3

Figura 2.6: Distribución de presiones en un cilindro axisimétrico sometido a presión interna con formu-lación estándar (en la frontera aparecen efectos de borde localizados). (a) Contorno de presión constantepara g = 1

2 y (b) Contorno de presión para g ≈16 , donde se observa bloqueo

(a) (b)

1.1 1.51.41.31.2 21.91.81.71.6 x10-4

0

1

2

3

-1

-2

x10-5x108

4

1.1 1.51.41.31.2 21.91.81.71.6 x10-4

0

1

2

3

-1

-2

4 1.520

16

18

14

12

10

8

6

4

2

0

x10-5

x1012

1

0.5

0

-0.5

-1

-1.5

Figura 2.7: Distribución de presiones en el cilindro axisimétrico con formulación mixta (en la fronteraaparecen efectos de borde localizados). (a) Contorno de presión constante para g = 1

2 y (b) Contorno depresión para g ≈ 1

6 . En este caso no hay bloqueo


2.2.6 El problema en implementaciones de modelos elastoplásticos anisótro-pos

Las expresiones del segundo tensor de Piola-Kirchhoff modificado S y del tensor de comportamiento mod-

ificado de cuarto orden Cuu son fácilmente derivables cuando el módulo de compresibilidad del materialKtiene un valor constante. En caso contrario, como ocurre bajo la hipótesis de elastoplasticidad anisótropa

o anisotropía elástica con isotropía plástica, hay que calcular la variación del parámetro Cpp = −1/ 0P (p)a través de su derivada, ya que este parámetro deja de ser constante. Las expresiones resultantes para los

parámetros Cpp, Cup, Cuu y S, en el caso de no tener un módulo de compresibilidad constante, quedande la forma

Cpp = − 1

0P (p)(2.90)

Cup = −Cpp∂p

∂A− 1

C2pp(p− p)

∂ 0P (p)

∂A

Cuu = C+ Cpp∂p

∂A⊗ ∂p

∂A+ Cpp (p− p)

∂2p

∂A∂A+ C2pp (p− p)

∙∂ 0P (p)

∂A⊗ ∂p

∂A+

∂p

∂A⊗ ∂ 0P (p)

∂A

¸+

+C3pp (p− p)2 ∂ 0P (p)

∂A⊗ ∂ 0P (p)

∂A+1

2C2pp (p− p)

2 ∂20P (p)

∂A∂A

S = S+ Cpp (p− p)∂p

∂A+1

2C2pp (p− p)2

∂ 0P (p)

∂A

Por lo tanto, habría que calcular las derivadas

∂ 0P (p)

∂Ay∂2 0P (p)

∂A∂A(2.91)

respectivamente, lo que supone calcular derivadas del módulo tangente elastoplástico. Este problema

resulta sumamente complejo y difícilmente abordable en modelos avanzados.

Como solución a este problema, se propone la utilización de elementos mixtos basados en deforma-

ciones impuestas mejoradas y modos incompatibles (assumed enhanced strain methods) [78], [82], [46].

En esta formulación, se prescribe un gradiente de deformaciones que es la suma de un gradiente de

deformaciones compatible GRADX

£ϕh¤más un gradiente de deformaciones adicional Fh, de la forma

Fh = GRADX [x] + Fh (2.92)

donde la clave de la formulación es la definición de este gradiente de deformaciones adicional Fh. Esta

formulación permite una extensión al caso no lineal del método de los modos incompatibles. Los detalles

de esta formulación se presentan en el siguiente apartado.


2.3 Métodos mixtos basados en modos incompatibles y defor-

maciones impuestas (Assumed Strain Methods). Imple-

mentación en DULCINEA

2.3.1 Elemento tridimensional basado en modos incompatibles BINC 8/9/12

En este apartado se presenta brevemente el desarrollo teórico y la implementación en DULCINEA del el-

emento tridimensional mejorado en grandes deformaciones denominado BINC 8/9/12, es decir, elemento

tridimensional de 8 nudos, con 9 puntos de integración de deplazamientos y con 12 modos mejorados.

Este elemento se corresponde, con muy pequeñas variaciones, con el elemento QM1/E12 de la referencia

[46], donde, en el caso lineal, se incorpora el método de los modos incompatibles de Wilson, con inte-

gración modificada, como un caso particular. La versión implementada en el trabajo de la referencia [46],

presenta una serie de mejoras respecto a formulaciones anteriores (en pequeñas deformaciones [78] y la

extensión a deformaciones finitas [82]), con objeto de evitar bloqueo en el límite de incompresibilidad

para configuraciones deformadas.

Se define la interpolación isoparamétrica de la geometría de referencia X (ξ) y la geometría final x (ξ)

respectivamente como

X (ξ) =nudosXA=1

NA (ξ) XeA (2.93)

x (ξ) =nudosXA=1

NA (ξ) xeA (2.94)

donde XA son las coordenadas nodales de referencia y xA = XA+ uA son las coordenadas nodales finales,

con uA como el incremento de desplazamientos. El gradiente de deformaciones se define

Fh = GRADX [x] =nudosXA=1

xA ⊗GRADX

£NA

¤= (∇X [x (ξ)])

T=

∂xj∂Xi

ei ⊗ ej (2.95)

donde

∇X [x (ξ)] =∂xi∂Xj

ei ⊗ ej (2.96)

que es la definición habitual del gradiente de deformación y la derivada de las funciones de forma en la

configuración de referencia queda

GRADX

£NA

¤= J (ξ)−T GRADξ

£NA

¤con J (ξ) :=

∂X (ξ)

∂ξ(2.97)

y GRADξ

£NA

¤contiene las derivadas de las funciones de forma en la configuración isoparamétrica.

Por otra parte, el vector N (ξ), que contiene las funciones de forma isoparamétricas estándar para el

elemento tridimensional de 8 nudos, se define de la forma

N (ξ) :=£N1 N2 ... N8

¤T(2.98)

2.3. MÉTODOS MIXTOS BASADOS EN MODOS INCOMPATIBLES 51

donde

NA :=1

8(1 + ξ1ξ) (1 + ξ2η) (1 + ξ3ζ) (2.99)

y ξ = (ξ, η, ζ) son las coordenadas de los nodos de un cubo de dimensiones [−1, 1] × [−1, 1] × [−1, 1].No obstante, se va a utilizar la descomposición de la funciones de forma de Belytschko et al [150], ver

expresión (2.119). En el siguiente apartado se presentan los detalles de la descomposición de Belytschko

et al [150], particularizado para un elemento bidimensional de 4 nudos.

Descomposición de Belytschko et al de las funciones de forma.

La interpolación de las coordenadas geométricas x (ξ) en un elemento bidimensional de 4 nudos se calcula

como

x (ξ) =4X

a=1

Na (ξ) xa =

"x1 x2 x3 x4

y1 y2 y3 y4

#⎡⎢⎢⎢⎢⎣N1 (ξ)

N2 (ξ)

N3 (ξ)

N4 (ξ)

⎤⎥⎥⎥⎥⎦ (2.100)

donde Na (ξ) son las funciones de forma estándar para el elemento bidimensional de cuatro nudos

Na (ξ) =1

4(1 + ξaξ) (1 + ηaη) (2.101)

y xa son las coordenadas nodales.

La representación de la geometría x (ξ) y del campo de desplazamientos u (ξ) proporcionada por las

referencias [150], [151] es

x (ξ) = α0h0 +α1h1 +α2h2 +α3h3 (2.102)

u (ξ) = β0h0 + β1h1 + β2h2 + β3h3

donde h0 es la constante unidad, h1 y h2 son funciones lineales de las coordenadas y h3 es el modo de

reloj de arena (modo ’hourglass’ ), ver figura 2.8

h0 = 1; h1 = ξ; h2 = η; h3 = ξη (2.103)

Con esta representación, las funciones de forma son las mismas, pero se separan las partes lineales de las

no-lineales (modo ’hourglass’).

Los valores de αi = [αiξ, αiη]T ya no tienen un significado físico tan directo como las coordenas o los

desplazamientos nodales. No obstante, se pueden obtener directamente resolviendo los siguientes sistemas

de ecuaciones lineales: ⎧⎪⎪⎪⎪⎨⎪⎪⎪⎪⎩x1 = α0ξ + α1ξ (−1) + α2ξ (−1) + α3ξ (−1) (−1)x2 = α0ξ + α1ξ (1) + α2ξ (−1) + α3ξ (1) (−1)x3 = α0ξ + α1ξ (1) + α2ξ (1) + α3ξ (1) (1)

x4 = α0ξ + α1ξ (−1) + α2ξ (1) + α3ξ (−1) (1)

(2.104)


x

h

1

2

3

4

x

h3

4

1

2

x

h3

4

1

2

x

4

h

1

2

3

(h )0 (h )2(h )1 (h )3

Figura 2.8: Descomposición de las funciones de forma estándar de un elemento 2D de cuatro nudos: h0es la componente constante, h1 y h2 son las componentes lineales en ξ y η, respectivamente y h3 es elmodo hourglass en el caso bidimensional [150]

y ⎧⎪⎪⎪⎪⎨⎪⎪⎪⎪⎩y1 = α0η + α1η (−1) + α2η (−1) + α3η (−1) (−1)y2 = α0η + α1η (1) + α2η (−1) + α3η (1) (−1)y3 = α0η + α1η (1) + α2η (1) + α3η (1) (1)

y4 = α0η + α1η (−1) + α2η (1) + α3η (−1) (1)

(2.105)

resultando ⎡⎢⎢⎢⎢⎣α0ξ

α1ξ

α2ξ

α3ξ

⎤⎥⎥⎥⎥⎦ =⎡⎢⎢⎢⎢⎣

14

14

14

14

− 1414

14 −14

− 14 −1414

14

14 −14

14 −14

⎤⎥⎥⎥⎥⎦⎡⎢⎢⎢⎢⎣x1

x2

x3

x4

⎤⎥⎥⎥⎥⎦ y

⎡⎢⎢⎢⎢⎣α0η

α1η

α2η

α3η

⎤⎥⎥⎥⎥⎦ =⎡⎢⎢⎢⎢⎣

14

14

14

14

−1414

14 −14

−14 −1414

14

14 −14

14 −14

⎤⎥⎥⎥⎥⎦⎡⎢⎢⎢⎢⎣y1

y2

y3

y4

⎤⎥⎥⎥⎥⎦ (2.106)

Por otro lado⎡⎢⎢⎢⎢⎣β0ξβ1ξβ2ξβ3ξ

⎤⎥⎥⎥⎥⎦ =⎡⎢⎢⎢⎢⎣

14

14

14

14

−1414

14 −14

−14 −1414

14

14 −14

14 −14

⎤⎥⎥⎥⎥⎦⎡⎢⎢⎢⎢⎣ux1

ux2

ux3

ux4

⎤⎥⎥⎥⎥⎦ y

⎡⎢⎢⎢⎢⎣β0ηβ1ηβ2ηβ3η

⎤⎥⎥⎥⎥⎦ =⎡⎢⎢⎢⎢⎣

14

14

14

14

−1414

14 −14

−14 −1414

14

14 −14

14 −14

⎤⎥⎥⎥⎥⎦⎡⎢⎢⎢⎢⎣uy1

uy2

uy3

uy4

⎤⎥⎥⎥⎥⎦ (2.107)

o también, denominando a las filas de las anteriores matrices

b0 =1

4

⎡⎢⎢⎢⎢⎣1

1

1

1

⎤⎥⎥⎥⎥⎦ ; b1 = 1

4

⎡⎢⎢⎢⎢⎣−11

1

−1

⎤⎥⎥⎥⎥⎦ ; b2 = 1

4

⎡⎢⎢⎢⎢⎣−1−11

1

⎤⎥⎥⎥⎥⎦ ; b3 = 1

4

⎡⎢⎢⎢⎢⎣1

−11

−1

⎤⎥⎥⎥⎥⎦ (2.108)

se obtiene

α0ξ = b0x, α1ξ = b1x, ..., α0η = b0y, ... (2.109)


Para las tres primeras funciones (h0, h1, h2) únicamente es necesario un punto de integración para

obtener integración exacta, puesto que son lineales (integrarlas con 4 puntos sería entonces sobreintegrar);

para la segunda son necesarios cuatro puntos de integración para obtener la integración exacta en un

dominio normalizado.

La matriz jacobiana es

J =∂x

∂ξ= α1 ⊗

∂h1∂ξ

+α2 ⊗∂h2∂ξ

+α3 ⊗∂h3∂ξ

+α4 ⊗∂h4∂ξ

(2.110)

=

"α1ξ

α1η

# h1 0

i+

"α2ξ

α2η

# h0 1

i+

"α3ξ

α3η

# hη ξ

i=

"α1ξ α2ξ

α1η α2η

#+

"ηα3ξ ξα3ξ

ηα3η ξα3η

#

= Jo + Jh

donde Jo es la matriz jacobiana en el origen, la parte constante, y Jh es la parte variable que, únicamente

depende del modo hourglass. La inversa es

J−1 =

Ã"α1ξ + ηα3ξ α2ξ + ξα3ξ

α1η + ηα3η α2η + ξα3η

#!−1(2.111)

=1

J

"−α2η − ξα3η α2ξ + ξα3ξ

α1η + ηα3η −α1ξ − ηα3ξ

#

donde J = detJ = α1ηα2ξ − α1ξα2η + ξα1ηα3ξ − ξα1ξα3η + ηα3ηα2ξ. La inversa de la parte constante,

que coincide con la inversa en el origen, es

J−1 |ξ=0= J−10 =1

−α1ηα2ξ + α1ξα2η

"α2η −α2ξ−α1η α1ξ

#(2.112)

El gradiente de los desplazamientos es

∇u := ∂u

∂x=

∂u

∂ξ

∂ξ

∂x=

∂u

∂ξJ−1 (2.113)

donde

∇ξu :=∂u

∂ξ= β1 ⊗

∂h1∂ξ

+ β2 ⊗∂h2∂ξ

+ β3 ⊗∂h3∂ξ

+ β4 ⊗∂h4∂ξ

(2.114)

=

"β1ξ β2ξβ1η β2η

#+

"ηβ3ξ ξβ3ξηβ3η ξβ3η

#En el origen

∇0u ="β1ξ β2ξ

β1η β2η

#J−10 =

1

J0

"β1ξ β2ξ

β1η β2η

#"α2η −α2ξ−α1η α1ξ

#(2.115)

=1

J0

"−α1ηβ2ξ + β1ξα2η α1ξβ2ξ − β1ξα2ξ

−α1ηβ2η + β1ηα2η −β1ηα2ξ + α1ξβ2η

#


Las deformaciones infinitesimales en el origen ε0 = sym (∇0u) son

ε0 =1

2J0

⎛⎝"−α1ηβ2ξ + β1ξα2η α1ξβ2ξ − β1ξα2ξ

−α1ηβ2η + β1ηα2η −β1ηα2ξ + α1ξβ2η

#+

"−α1ηβ2ξ + β1ξα2η α1ξβ2ξ − β1ξα2ξ−α1ηβ2η + β1ηα2η −β1ηα2ξ + α1ξβ2η

#T⎞⎠

=1

2J0

"−2α1ηβ2ξ + 2β1ξα2η α1ξβ2ξ − β1ξα2ξ − α1ηβ2η + β1ηα2η

−α1ηβ2η + β1ηα2η + α1ξβ2ξ − β1ξα2ξ −2β1ηα2ξ + 2α1ξβ2η

#independientes del modo hourglass.

En el resto del dominio

∇u =1

J

Ã"β1ξ β2ξ

β1η β2η

#+

"ηβ3ξ ξβ3ξ

ηβ3η ξβ3η

#!"−α2η − ξα3η α2ξ + ξα3ξ


#(2.116)

= ∇12u+∇3u

y

ε = sym (∇u) = sym (∇12u) + sym (∇3u) (2.117)

donde buscamos sólo la dependencia del modo hourglass

∇3u =1

J

"ηβ3ξ ξβ3ξ

ηβ3η ξβ3η

#"−α2η − ξα3η α2ξ + ξα3ξ


#(2.118)

En el caso de que ξ = 0, tenemos ∇12u =∇0u. El término ∇12u se evalúa mediante un único puntode integración en el origen. El término ∇3u se evalúa con cuatro puntos de integración.

Por otra parte, extendiendo el razonamiento anterior al caso tridimensional, se define la siguiente de-

scomposición del vector de funciones de forma en una parte constante (b0), una parte lineal³P3

i=1Xibi

´,

donde i es la componente, y una parte no lineal³P4

j=1Hj (ξ) γj

´de la forma [150], [151]

N (ξ) = b0 +3X

i=1

Xibi +4X

j=1

Hj (ξ) γj (2.119)

donde Xi son las componentes de las coordenadas nodales y Hj (ξ) son las funciones de reloj de arena

(hourglass) bi- y trilineales, definidas como

H1 (ξ) := ξ2ξ3, H2 (ξ) := ξ3ξ1, H3 (ξ) := ξ1ξ2, H4 (ξ) := ξ1ξ2ξ3 (2.120)

y γj son los vectores de estabilización, ver referencia [151].

Los vectores constantes b0, bi y γj se calculan como

b0 =1

8

"18 −

3Xi=1

(18 ·Yi)bi

#(2.121)


donde Yi :=hX1i X2

i ... X8i

iTson las coordenadas de los nodos iniciales y

γj =1

8

"hj −

3Xi=1

¡hj ·Yi

¢bi

#(2.122)

con

bi = J−T0

∂N

∂ξi ξ=0(2.123)

y

18 :=

⎡⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎣

1

1

1

1

1

1

1

1

⎤⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎦, h1 :=

⎡⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎣

1

1

−1−1−1−11

1

⎤⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎦, h2 :=

⎡⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎣

1

−1−11

−11

1

−1

⎤⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎦h3 :=

⎡⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎣

1

−11

−11

−11

−1

⎤⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎦, h4 :=

⎡⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎣

−11

−11

1

−11

−1

⎤⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎦(2.124)

son los modos hourglass correspondientes a un elemento tridimensional de 8 nudos [151], y J0 = J (ξ)ξ=0

es la matriz jacobiana J (ξ) :=∂Xe (ξ)

∂ξevaluada en ξ = 0.

Se definen las derivadas Cartesianas en la configuración inicial de referencia X respecto de la config-

uración isoparamétrica ξ como (ver figura 2.9)

GRADX [·] :=j0

j (ξ)J−T0 GRADξ [·] (2.125)

donde j (ξ) := det [J (ξ)] y j0 := j (0) son los determinantes de las matrices jacobianas en el punto de

integración ξ y el determinante de la matriz jacobiana evaluada en ξ = 0, respectivamente. Con esta

definición se calcula el gradiente aproximado de las funciones hourglass en la configuración de referencia

como

GRADX

£Hj¤:=

j0j (ξ)

J−T0 GRADξ

£Hj¤

(2.126)

donde el gradiente GRADX

£Hj¤coincide con el gradiente estándar GRADX

£Hj¤definido como

GRADX

£Hj¤= J (ξ)−T GRADξ

£Hj¤

(2.127)

en configuraciones con elementos que presentan Jacobianos de referencia J (ξ) constantes. La expresión

(2.126) permite eliminar bloqueo numérico en problemas de incompresibilidad en elementos que presentan

configuraciones distorsionadas, es decir, con Jacobianos de referencia no constantes.


Gradiente de deformación compatible GRADX [x]

Por lo tanto, teniendo en cuenta los resultados anteriores, las derivadas de las funciones de forma en la

configuración inicial de referencia se calculan como

GRADX

£NA

¤= GRAD0

£NA

¤+

4Xj=1

γAj GRADX

£Hj¤

(2.128)

donde GRAD0

£NA

¤es un término constante y γAj GRADX

£Hj¤es la contribución de los modos hour-

glass. Además, el gradiente de deformaciones se calcula, teniendo en cuenta las consideraciones anteriores,

como

GRADX [x] = GRAD0 [x] +4X

j=1

βj ⊗GRADX

£Hj¤, donde βj :=

8XA=1

γAj xA (2.129)

La expresión anterior consta de dos términos: un gradiente de deformación lineal constante evaluado

en ξ = 0³F0 = GRAD0 [x] = GRADX [x]ξ=0

´y un término adicional no lineal

4Pj=1

βj ⊗GRADX

£Hj¤

que es la contribución de los modos reloj de arena (“hourglass”) (incorpora los modos incompatibles de

Wilson como caso particular), es decir, se utiliza como un punto de integración en términos lineales y

nueve puntos de integración para términos no lineales (modos hourglass e incompatibles). Por lo tanto, el

objetivo de esta formulación es la incorporación de un término adicional en la expresión (2.129) a través

de una formulación mixta, con el fin de eliminar el bloqueo numérico en problemas de incompresibilidad,

mejorar el comportamiento en problemas de localización y obtener buenos resultados a flexión en mallas

’gruesas’.

Diseño de elementos basados en gradiente de deformaciones impuestas (Assumed StrainElements)

El gradiente de deformaciones mejorado Fh se define de la forma

Fh = GRADX [x] + Fh (2.130)

donde GRADX [x] es el gradiente de deformación compatible y Fh es el gradiente de deformaciones

adicional.

El gradiente de deformaciones Fh tiene que cumplir tres condiciones para garantizar la estabilidad

del método:

1. la primera es que para un estado tensional constante, Fh = 0 y se recupera la formulación estándar.

Esta condición garantiza que los elementos pasan el test de la parcela (“patch-test”).

2. La segunda condición es que los gradientes de deformación adicionales deben ser independientes de

los ya existentes, es decir, que δFh ∈ Eh no están contenidos en los gradientes de deformación delas variaciones compatibles δϕh ∈ Vh, es decir, GRADX

£Vh¤∩ Eh = 0.

3. Adicionalmente, se tiene que cumplir una tercera condición: Los gradientes de deformación Eh

deben ser invariantes, tales Fh ∈ Eh se tranforma como Fh → QFh, donde Q es una matriz de


x2

x1

Configuración inicial (X)

0

0

0

Configuración final (x)

Configuración isoparamétrica

W f W( )

J0

F0

F0J0

F( )x

Figura 2.9: Configuraciones implicadas en el cálculo del gradiente de deformaciones mejorado Fh =GRADX [x] + F

h

rotación. Por lo tanto, hay que seleccionar un gradiente de deformaciones adicional Fh que cumpla

con estas condiciones.

El diseño del gradiente de deformaciones adicional Fh se lleva a cabo en primer lugar, en el do-

minio isoparamétrico, ver figura 2.9, a través de la transformación F [ξ] ∈ I, donde I es el dominioisoparamétrico. Posteriormente, con las transformaciones adecuadas, se obtiene Fh, que transforma vec-

tores del dominio Ω en vectores del dominio ϕh (Ω). El gradiente adicional Fh debe satisfacer las tres

condiciones anteriores. Por lo tanto, la tranformación F [ξ] está sujeta a la restricciónZIF [ξ] dI = 0 (2.131)

es decir, F [ξ] /∈ GRADX

£Vh¤con lo que se cumple la segunda condición. El siguiente paso es transformar

F [ξ] definido en el dominio I a F [ξ] definido en la configuración inicial Ω a través de la siguiente

transformación1

F [ξ] =j0

j (ξ)J0F [ξ]J−10 (2.132)

donde se cumple que ZΩ

F [ξ] dΩ = 0 con dΩ=j (ξ) dI (2.133)

Por último, queda transformar F [ξ],definido en la configuración Ω, a Fh [ξ] en la configuración finalϕh (Ω) como

Fh [ξ] = F0F [ξ] , donde F0 := GRADX [x]ξ=0 = GRAD0 [x] (2.134)

1El tensor F [ξ] actúa sobre vectores en Ω y devuelve vectores en Ω. Por ello, J−1o “tira” a la configuración isoparamétricay Jo empuja el resultado de nuevo a la configuración material o de referencia.


y, finalmente

Fh [ξ] =j0

j (ξ)F0J0F [ξ]J−10 (2.135)

Estas transformaciones garantizan el cumplimiento de las condiciones de estabilidad y objetividad ante-

riores.

El último paso es la determinación de F [ξ]. Para ello, se utilizan las funciones de forma incompatiblesde Wilson para el caso tridimensional, definidas como

N1 :=1

2

¡ξ21 − 1

¢, N2 :=

1

2

¡ξ22 − 1

¢, N3 :=

1

2

¡ξ23 − 1

¢(2.136)

lo que supone una generalización de los modos de Wilson en el caso no lineal. En este caso, se añade un

cuarto modo N4, definido como

N4 := ξ1ξ2ξ3 (2.137)

con objeto de prevenir bloqueo numérico, en el caso de incompresibilidad, para el elemento tridimensional

de Wilson, ver detalles en la referencia [46]. Bajo estas condiciones, F [ξ] se define como

F [ξ] =3X

i=1

Γi ⊗GRADξ

hNi

i+³Γ4 ·GRADξ

hN4

i´I

=

⎡⎢⎣Γ1xΓ1yΓ1z

⎤⎥⎦ hξ1 0 0i+


⎤⎥⎦ h0 ξ2 0i+


⎤⎥⎦ h0 0 ξ3

i+ (Γ4xξ2ξ3 + Γ4yξ1ξ3 + Γ4zξ1ξ2) I

=

⎡⎢⎣Γ1xξ1 Γ2xξ2 Γ3xξ3Γ1yξ1 Γ2yξ2 Γ3yξ3Γ1zξ1 Γ2zξ2 Γ3zξ3

⎤⎥⎦+ (Γ4xξ2ξ3 + Γ4yξ1ξ3 + Γ4zξ1ξ2) Idonde Γi son los grados de libertad adicionales (internos al elemento y condensables, que contienen 3

componentes (una por cada dirección del espacio)). Usando la tranformación definida en la ecuación

(2.135), la expresión anterior queda como

Fh [ξ] =3Xi=1

αi ⊗ GRADX

hNi

i+³α4 · GRADX

hN4

i´F0 (2.138)

donde αi = F0J0Γi, α4 = J0Γ4 y GRADX [·] viene definido en la ecuación 2.125. Esta expresión es máscómoda para esta formulación debido a la presencia de N4.

Por otra parte, se ha utilizado una regla de integración numérica modificada con objeto de integrar

de forma selectiva los términos constantes y lineales por una parte (con un punto de integración), y

los términos no lineales por la otra (con ocho puntos de integración), de forma que se utiliza una regla

de integración de 9 puntos de Gauss (en el caso tridimensional) o de 5 puntos de Gauss (en el caso

bidimensional). Los resultados numéricos obtenidos con esta regla de integración son similares a los

calculados con 27 puntos para el caso tridimensional o 9 puntos para el caso bidimensional [46]. La regla


de integración reducida queda de la forma

ZIf (ξ) dI =

8Xp=1

Wpf¡ξp¢+W0f (ξ0) (2.139)

donde W0 =32

9, Wp =

5

9para p = 1, ...8 y las coordenadas de los puntos de integración ξp en un cubo

de dimensiones [−β, β] × [−β, β] × [−β, β] son β =

r3

5. Por lo tanto, el coste computacional de esta

regla de integración modificada es sustancialmente inferior a la integración convencional con 27 puntos

de integración, obteniéndose resultados similares [46].

A continuación se presentan las principales pasos en la implementación del elemento:

Derivadas de las funciones de forma y gradiente de deformaciones F = GRADX [x] + F

Definiendo NA (ξ), con A = 1, ...8, como las funciones de forma estándar y NJ (ξ), con J = 1, ...4,

como las funciones de forma incompatibles, en la configuración isoparamétrica, se tiene

GRAD0

£NA

¤:= J−T0 GRADξ

£NA

¤ξ=0

, derivadas constantes (2.140)

GRADX

hNJi:=

j0j (ξ)

J−T0 GRADξ

hNJi

GRADX

£NA

¤:=³1 +α4 · GRADX

hN4i´

GRAD0

£NA

¤+

4Xj=1

γjGRADX

£Hj¤

donde γj son los vectores de estabilización gamma y Hj son las funciones hourglass. Las derivadas de

las funciones de forma de la ecuación (2.140) son la transformación de las derivadas en la configuración

isoparamétrica I a la configuración Ω, quedando definidas en la configuración material o de referenciaX. La expresión del gradiente de deformaciones modificado F = GRADX [x] + F, utilizando la ecuación

(2.129), queda como

F =8X

A=1

xA ⊗GRADX

£NA

¤+

3XJ=1

αJ ⊗ GRADX

hNJ

i(2.141)

Finalmente, la tranformación de las derivadas de las funciones de forma a la configuración actual

ϕ (Ω) se define como

∇0£NA

¤= F−T0 GRAD0

£NA

¤, con A = 1, ...8 (2.142)

∇£NJ¤= F−T GRADX

hNJi, con J = 1, ...3

∇£NA

¤= F−TGRADX

£NA

¤, con A = 1, ...8

En el caso de pequeñas deformaciones (deformaciones infinitesimales), el problema se debe reducir a

resolver un sistema lineal. No obstante, a la vista de la ecuaciones (2.140) y (2.141), el sistema conserva

una no-linealidad en desplazamientos a través del término α4 ·GRADX

hN4i, ya que no están totalmente

desacoplados y no se anula. Con lo cual, bajo la hipótesis cinemática de pequeñas deformaciones que

es lineal, hay que resolver un problema no lineal. Este es uno de los inconvenientes detectados en esta

formulación.


Implementación del elemento mixto basado en los modos incompatibles y deformacionesimpuestas

La implementación este elemento finito mixto se lleva a cabo de la forma habitual, obteniéndose el

sistema de ecuaciones

"Kuu Kuα

Kαu Kαα

#"u

α

#=

"R

0

#−"Fe

Fe

#(2.143)

donde la matriz K es la matriz de rigidez elemental, que consta de un término lineal o material Km y de

un término no lineal o geométrico Kg de la forma

K = Km +Kg =

"Kuu Kuα

Kαu Kαα

#=

"Km

uu Kmuα

Kmαu Km

αα

#+

"Kg

uu Kguα

Kgαu Kg

αα

#(2.144)

y los vectores de fuerzas internas

Fe =nel

e=1

⎡⎢⎣F1e

...

F8e

⎤⎥⎦ (2.145)

Fe =

⎡⎢⎣F1e

...

F4e

⎤⎥⎦donde

FAe =

ZΩe

B£NA

¤τ dΩ, con A = 1, ...8 (2.146)

FJe =

ZΩe

BhNJiτ dΩ, con J = 1, ...4

En las expresiones anteriores, τ es el tensor de tensiones de Kirchhoff evaluado a partir del gradiente

de deformaciones F, definido en la expresión (2.141) y B£NA

¤y B

hNJison las derivadas de las fun-

ciones de forma estándar y de los modos incompatibles, asociadas con las expresiones ∇£NA

¤y ∇

hNJi,

respectivamente, de la forma

B£NA

¤=

⎡⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎣

NA1 0 0

0 NA2 0

0 0 NA3

NA2 NA

1 0

0 NA3 NA

2

NA3 0 NA

1

⎤⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎦A=1,...8

B£NJ¤=

⎡⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎣

NJ1 0 0

0 NJ2 0

0 0 NJ3

NJ2 NJ

1 0

0 NJ3 NJ

2

NJ3 0 NJ

1

⎤⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎦J=1,...3

(2.147)

donde NAi son las componentes de ∇

£NA

¤A=1,...8

y NJi son las componentes de ∇

hNJiJ=1,...3

.

Por otra parte, la derivada de N4 se define como

BhN4i:= ε0 [ϕ]⊗ GRADX

hN4i

(2.148)


que difiere del resto de derivadas B£NJ¤con J = 1, ..3, debido a la particular definición del modo adicional

N4. En la expresión anterior, ε0 [x] corresponde con la parte simétrica del gradiente de deformaciones

constante en la configuración final, definido como

ε0 [x] := sym(∇0 [x]) = sym(F−TGRAD0 [x]) (2.149)

donde GRAD0 [x] = J−T0 GRADξ [x]ξ=0 = F0

Construcción de la matriz de rigidez Km y Kg

Definiendo el tensor de comportamiento, evaluado a partir del gradiente de deformaciones F definido

en la expresión (2.141) , como D en coordenadas espaciales, se obtienen las submatrices de rigidez

materiales Kmuu, K

muα, K

mαα de la forma

Km,ABuu =

ZΩe

¡B£NA

¤¢TD B

£NB

¤dΩ (2.150)

Km,AJuα =

ZΩe

¡B£NA

¤¢TD B

hNJidΩ

Km,IJαα =

ZΩe

³BhNIi´T

D BhNJidΩ

con A = 1, ...8 y I, J = 1, ...4, donde Km,ABuu es una matriz de 24× 24 componentes, Km

uα es una matriz

de 24× 12 componentes y Kmαα es una matriz de 12× 12 componentes de la forma

Km =

⎡⎢⎣ Kmuu

(24×24)Km

uα(24×12)

Kmαu

(12×24)Km

αα(12×12)

⎤⎥⎦ (2.151)

La particularización para el caso lineal de deformaciones infinitesimales es relativamente sencilla. En

este caso, la configuración inicial Ω y final ϕ (Ω) coinciden, lo que implica una serie de simplificaciones.

La primera es que F = F0 = I en la Ecuación (2.142), con I el tensor identidad de segundo orden. La

segunda es reemplazar ∇0 [x] por I y, por lo tanto, ε0 [x] = sym(∇0 [x]). La tercera es que, en el caso dedeformaciones infinitesimales, no existe la contribución no lineal Kg en la matriz de rigidez elemental. La

cuarta es que en la expresión GRADX

£NA

¤de la Ecuación (2.140), el término α4 · GRADX

hN4i= 0⇒

α4 = 0, ya que el resultado de la derivada GRADX

£NA

¤tiene que ser lineal. Este resultado es una de

las modificaciones introducidas en la formulación original de la referencia [46]. Por último, la expresión

del tensor de deformación se define como

ε :=1

2

£F−FT

¤− I (2.152)

donde F es el gradiente de deformaciones definido en la Ecuación (2.141).

Por otra parte, las submatrices de rigidez geométricas para el caso no lineal (grandes deformaciones)


Kguu, K

guα, K

gαα se obtienen, siguiendo la notación de la referencia [45], como

Kg,ABuu =

ZΩe

¡BNL

£NA

¤¢Tτ BNL

£NB

¤dΩ (2.153)

Kg,AJuα =

ZΩe

¡BNL

£NA

¤¢Tτ BNL

hNJidΩ

Kg,IJαα =

ZΩe

³BNL

hNIi´T

τ BNL

hNJidΩ

con A = 1, ...8 y I, J = 1, ...3, donde Kg,ABuu es una matriz de 24× 24 componentes, Kg,AJ

uα es una matriz

de 24× 9 componentes y Kg,IJαα es una matriz de 9× 9 componentes, de la forma

Kg =

⎡⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎣Kg,AB

uu(24×24)

Kg,AJuα

(24×9)Kg,A4

uα(24×3)¡

Kg,AJuα

¢T(9×24)¡Kg,A4

uα

¢T(3×24)

Kg,IJαα

(9×9)Kg,J4

αα(9×3)¡

Kg,J4αα

¢T(3×9)

Kg,44αα

(3×3)

⎤⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎦ (2.154)

La matriz BNL

£NA

¤se calcula como

BNL =

⎡⎢⎣BNL 0 0

0 BNL 0

0 0 BNL

⎤⎥⎦ (2.155)

y

BNL =

⎡⎢⎣N11 0 0 N2

1 ... NA1

N12 0 0 N2

2 ... NA2

N13 0 0 N2

3 ... NA3

⎤⎥⎦ (2.156)

0 =

⎡⎢⎣000

⎤⎥⎦ (2.157)

donde NAi son las componentes de ∇

£NA

¤A=1,...8

y A es el número de nodos. Por otra parte, la matriz

BNL

hNIise calcula como

BNL

hNIi=

⎡⎢⎣BNL 0 0

0 BNL 0

0 0 BNL

⎤⎥⎦ (2.158)

y

BNL =

⎡⎢⎣N11 0 0 N1

1 ... gn1N12 0 0 N1

2 ... gn2N13 0 0 N1

3 ... gn3

⎤⎥⎦ (2.159)


donde NJi son las componentes de ∇

hNJiJ=1,...3

. El tensor de tensiones τ se define como

τ =

⎡⎢⎣bτ 0 0

0 bτ 0

0 0 bτ⎤⎥⎦ (2.160)

donde bτ es el tensor de tensiones de la formabτ =

⎡⎢⎣τ11 τ12 τ13

τ21 τ22 τ23

τ31 τ32 τ33

⎤⎥⎦ y 0 =

⎡⎢⎣0 0 0

0 0 0

0 0 0

⎤⎥⎦ (2.161)

El resto de términos de la matriz de rigidez geométrica Kg,A4uα (matriz de 24× 3 componentes) ,Kg,J4

αα

(matriz de 9× 3 componentes) y Kg,44αα (matriz de 3× 3 componentes) se calculan como

Kg,A4uα =

ZΩe

££∇0 [x]

¡τ ∇

£NA

¤¢¤+ τ ∇0

£NA

¤¤⊗ GRADX

hN4idΩ, con A = 1, ...8 (2.162)

Kg,J4αα =

ZΩe

h∇0 [x]

³τ ∇

hNJi´i⊗ GRADX

hN4idΩ, con J = 1, ...3

Kg,44αα =

ZΩe

£∇0 [x] : τ ∇0 [x]

¤GRADX

hN4i⊗ GRADX

hN4idΩ

Por último, se obtienen las matrices de rigidez elementales como la suma de la contribución lineal

(material) y no lineal (geométrica), de la forma.

Kuu = Kmuu +K

guu (2.163)

Kαα = Kmαα +K

gαα

Kuα = Kmuα +K

guα

Los grados de libertad adicionales α pertenecen únicamente a un elemento, es decir, son grados de

libertad internos al elemento, y, por lo tanto, pueden condensarse a partir del sistema de ecuaciones de

la expresión (2.143) de la forma

Kαuu+Kααα = −Fα =⇒ α = − [Kαα]−1 (Fα +Kαuu) (2.164)

y posteriormente sustituirse en la primera ecuación , dando lugar a

¡Kuu −KuαK

−1ααKαu

¢| z [K]

u = R−Fu +KuαK−1ααFα| z

[F]

(2.165)

que es la forma habitual del sitema de ecuaciones estándar.


2.3.2 Elemento tridimensional basado en modos incompatibles BENH 8/9/9

Diversos estudios numéricos han revelado que el elemento BINC 8/9/12 presenta ciertas limitaciones en

análisis de compresibilidad, donde persiste la presencia de modos de energía cero (modos ’hourglass’), ver

referencias [85], [84], [83]. Por ello, se ha implementado en DULCINEA un nuevo elemento tridimensional

mejorado en grandes deformaciones, que corrige en parte estas limitaciones, denominado BENH 8/9/9, es

decir, elemento tridimensional de 8 nudos, con 9 puntos de integración de deplazamientos y con 9 modos

mejorados. Este elemento se corresponde con el elemento Q1/ET9 de la Referencia [47]. No obstante, este

elemento presenta otra limitación: cuando se está bajo la hipótesis de pequeñas deformaciones (problema

lineal) hay que resolver un sistema de ecuaciones no lineales.

El punto de partida en esta formulación es nuevamente la definición de un gradiente de deformaciones

mejorado de la forma, ver referencia [47]

F = GRADX [x] + F (2.166)

donde GRADX [x] es la parte compatible o conforme y F es la parte mejorada adicional y no compatible

del gradiente de deformaciones F. La parte mejorada F se calcula como

F = F0F (2.167)

donde

F =j0jJ−T0 F J−10 (2.168)

En la expresión anterior, J0 = J (ξ)ξ=0 es la matriz jacobiana evaluada en el origen y j = j (ξ) := detJ (ξ),

j0 = j (ξ)ξ=0. Por otra parte, F0 corresponde con el gradiente compatible evaludado en el origen y

F = F (ξ) definen las interpolaciones mejoradas en el dominio isoparamétrico de la forma

F (ξ) =nenhXI=1

FI (ξ)ΓI (2.169)

donde ΓI son los grados de libertad adicionales (I = 1, nenh).

Por otra parte, se define

FI=j0jJ−T0 FI J−10 (2.170)

con lo cual, la ecuación (2.167) se puede calcular como

F =

nenhXI=1

FI (ξ)ΓI (2.171)

donde

FI (ξ) = F0FI (2.172)

Por último, queda por definir el gradiente mejorado F (ξ) correspondiente al elemento Q1/ET9 de la


forma

F (ξ) = Γ1

⎡⎢⎣ξ 0 0

0 0 0

0 0 0

⎤⎥⎦+ Γ2⎡⎢⎣0 ξ 0

0 0 0

0 0 0

⎤⎥⎦+ Γ3⎡⎢⎣0 0 ξ

0 0 0

0 0 0

⎤⎥⎦+ (2.173)

+ Γ4

⎡⎢⎣0 0 0

η 0 0

0 0 0

⎤⎥⎦+ Γ5⎡⎢⎣0 0 0

0 η 0

0 0 0

⎤⎥⎦+ Γ6⎡⎢⎣0 0 0

0 0 η

0 0 0

⎤⎥⎦+

+ Γ7

⎡⎢⎣0 0 0

0 0 0

ζ 0 0

⎤⎥⎦+ Γ8⎡⎢⎣0 0 0

0 0 0

0 ζ 0

⎤⎥⎦+ Γ9⎡⎢⎣0 0 0

0 0 0

0 0 ζ

⎤⎥⎦A continuación se presentan las principales pasos en la implementación del elemento tridimensional mod-

ificado utilizado en este trabajo:

Definición de las derivadas de las funciones de formaDefiniendo NA (ξ), con A = 1, ...8, como las funciones de forma estándar, se tiene

GRAD0

£NA

¤:= GRADX

£NA

¤ξ=0

(2.174)

dondeGRADX

£NA

¤son las derivadas de las funciones de forma en la configuración de referencia definidas

como

GRADX

£NA

¤= J−T (ξ)GRADξ

£NA

¤(2.175)

con GRADξ

£NA

¤como las derivadas de las funciones de forma en la configuración isoparamétrica. Por

otra parte se define la derivada de las funciones de forma modificada en la configuración de referencia

como

GRADX

£NA

¤= GRADX

£NA

¤+ FTGRAD0

£NA

¤(2.176)

El nuevo gradiente modificado F queda definido

F = GRADX [x] + F =8X

A=1

xA ⊗GRADX

£NA

¤(2.177)

Nuevamente con esta formulación cuando se particulariza al caso de pequeñas deformaciones (análisis

lineal), el sistema que hay que resolver es no lineal, véase las ecuaciones (2.176) y (2.177), respectivamente.

Finalmente, la tranformación de las derivadas de las funciones de forma a la configuración actual se

definen como

∇£NA

¤= F−T GRADX

£NA

¤(2.178)

∇0£NA

¤= F−T0 GRAD0

£NA

¤


Cálculo de los vectores de fuerzas residuales

En este apartado se define el tensor de tensiones de Kirchhoff como

τ :=∂W (F)

∂FFT (2.179)

donde W (F) es la función de energía almacenada en función del gradiente de deformaciones dado por la

expresión (2.166). En notación vectorial queda como

τ :=£τ11 τ22 τ33 τ12 τ23 τ13

¤(2.180)

El cálculo de los vectores de fuerzas internas y residuos se presenta a continuación:

R :=nelemVe=1

fext −RΩhebT τ dΩ = 0

re,enh := −RΩhegT τ dΩ = 0

⎫⎬⎭donde feint =

RΩhebT τ dΩ es el vector de fuerzas internas y feint =

RΩhegT τ dΩ es el vector de fuerzas

internas adicional. Los operadores b y g contienen las derivadas de las funciones de forma compatibles y

adicionales en la configuración final respectivamente. El operador b se define como, ver ecuación (2.147)

B£NA

¤= bA =

⎡⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎣

NA1 0 0

0 NA2 0

0 0 NA3

NA2 NA

1 0

0 NA3 NA

2

NA3 0 NA

1

⎤⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎦para A = 1, nnode (2.181)

donde£NA1 NA

2 NA3

¤= ∇

£NA

¤. El operador g se define como

g =£g1 ... gnenh

¤, donde gI =

⎡⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎣

GI11

GI22

GI33

GI12 +GI

21

GI23 +GI

32

GI13 +GI

31

⎤⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎦para I = 1, nenh (2.182)

donde

GI =

⎡⎢⎣GI11 GI

12 GI13

GI21 GI

22 GI23

GI31 GI

32 GI33

⎤⎥⎦ := F0FIF−1 (2.183)

Construcción de la matriz de rigidez Km y Kg

La matriz de rigidez se divide en una parte material o lineal y en una parte geométrica o no lineal de


la forma "Kuu Kuα

Kαu Kαα

#=

"Kmuu Km

uα

Kmαu Km

αα

#+

"Kguu Kg

uα

Kgαu Kg

αα

#(2.184)

Las expresiones de la parte material se escriben como

Km,ABuu =

ZΩe

£bA¤T

d£bB¤T

dΩ∈ Rndim× ndim , A,B = 1, nnode (2.185)

Km,AJuα =

ZΩe

£bA¤T

d gJ dΩ∈ Rndim , A = 1, nnode J = 1, nenh

Km,IJαα =

ZΩe

gI d gJ dΩ∈ R , I, J = 1, nenh

donde d es el tensor de comportamiento en configuración espacial. Por último, las expresiones de la parte

geométrica se escriben como

Kg,ABuu =

∙ZΩe

∇£NA

¤· τ ∇

£NB

¤dΩ

¸I A,B = 1, nnode (2.186)

Kg,AJuα =

ZΩe

GI τ ∇£NA

¤+ τ

£GJ¤T ∇0 £NA

¤dΩ, A = 1, nnode J = 1, nenh

Kg,IJαα =

Z I

Ωe

GIτ : GJ dΩ, I, J = 1, nenh

2.3.3 Verificación de la convergencia de los elementos mixtos BINC 8/9/12y BENH 8/9/9

En este apartado se presentan una serie de simulaciones numéricas con el objetivo de verificar el com-

portamiento y la convergencia de los elementos mixto BINC 8/9/12 y BENH8/9/9 respectivamente. En

particular se considera un comportamiento elastoplástico anisótropo en grandes deformaciones. Como

función de endurecimiento isótropo, se incluye una función de endurecimiento no lineal del tipo exponen-

cial de la forma

kn+1 = σy + θHεpn+1 + (K∞ −K0)h1− e−δε

pn+1

i(2.187)

donde H es el módulo de endurecimiento lineal efectivo, θ es un parámetro que nos determina el grado

de endurecimiento mixto (isótropo y cinemático), σy es la tensión de fluencia y K∞ ≥ K0 > 0 y δ ≥ 0son constantes del material, ver figura 2.10. Los parámetros del material que se han utilizado en las

simulaciones se presentan en la tabla 2.1, donde se ha incluido anisotropía elástica (módulos de elasticidad

E1, E2, E3, coeficientes de Poisson ν12, ν23, ν13 y módulos a cortante G12,G23,G13) y anisotropía plástica

(parámetros de Hill F,G,H,N,L,M).

A continuación se muestran los resultados de las simulaciones numéricas implementadas. Se han

planteado dos problemas tridimensionales: un elemento BINC 8/9/12 deformado y un elemento BENH8/9/9

deformado, respectivamente. Se han prescrito desplazamiento mediante el método de penalización. La

tabla 2.2 representa la convergencia global del algoritmo para una iteración característica. En este caso

se verifica la convergencia cuadrática típica de este esquema iterativo.


ep

k( )ep

H

H

(K + )0 ys

(K + )inf ys

Figura 2.10: Función de endurecimiento no lineal basada en la referencia [152]

Las figuras 2.11 y 2.12 representan los resultados de tensión de von Mises y deformación plástica

equivalente para los elementos BINC 8/9/12 (figura 2.11) y BENH8/9/9 (figura 2.12) sometidos a de-

splazamientos prescritos.

Ejemplos más elaborados se muestran en el capítulo 7.


01

2 00.5

1

0

0.5

1

1.5

2

y

*

y

⇒

0.01

⇒1

0.02

x⇒0.01

x

z⇒

0.01

z ⇒

0.01

*⇒ 0.01

xyz*

- --

- -- - -

u u u1 2 3

1

2

3

(a)

(b)

( c )

Figura 2.11: Simulaciones numéricas del modelo de elastoplasticidad anisótropa en grandes deformacionesutilizando un elemento BINC8/9/12 y con prescripción de desplazamientos mediante el método de pe-nalización. (a) Geometría y condiciones de contorno, (b) Tensión de von Mises, (c) Deformación plásticaequivalente


( a )

( b )

( c )

Figura 2.12: Simulaciones numéricas del modelo de elastoplasticidad anisótropa en grandes deformacionesutilizando un elemento BENH8/9/9 y con prescripción de desplazamientos mediante el método de pe-nalización. (a) Geometría y condiciones de contorno, (b) Tensión de von Mises, (c) Deformación plásticaequivalente


Anisotropía elástica Límite elástico y endurecimiento Anisotropía plástica

E1 (GPa) 74.00 σy (GPa) 0.235 F 0.033× 1

σ2y

E2 (GPa) 74.00 K0 (GPa) 0.235 G 0.4983× 1

σ2y

E3 (GPa) 89.36 K∞ (GPa) 0.235 H 0.033× 1

σ2y

υ12 0, 3745 H (GPa) 3.5 N 2× 1

σ2y

υ23 0, 2025 L 2× 1

σ2y

υ13 0, 2446 M 2× 1

σ2yG12 (GPa) 40.38G23 (GPa) 40.38G13 (GPa) 40.38

Tabla 2.1: Parámetros del material. Elemento BENH 8/9/9. Anisotropía elastoplástica

Elemento BINC 8/9/12. Convergencia global. Prescripción de desplazamientosIteración global iteración norma relativa de fuerza norma relativa de energía

10 1 1.000E+00 1.000E+0010 2 9.208E-02 6.423E-0610 3 4.913E-04 1.828E-1010 4 4.325E-06 1.417E-1410 5 1.192E-13 1.076E-25

Elemento BENH 8/9/9. Convergencia global. Prescripción de desplazamientosIteración global iteración norma relativa de fuerza norma relativa de energía

10 1 1.000E+00 1.000E+0010 2 3.078E-02 6.489E-0410 3 3.816E-04 1.947E-0810 4 3.677E-08 9.687E-1410 5 1.656E-13 6.972E-27

Tabla 2.2: Convergencia del algoritmo de elastoplasticidad anisótropa en grandes deformaciones para elcaso de prescripción de desplazamientos con los elementos BINC8/9/12 y BENH8/9/9

Capítulo 3

Modelos avanzados de plasticidad J2con endurecimiento anisótropo enpequeñas deformaciones

En este capítulo se realiza una revisión del marco termodinámico de modelos de endurecimiento avanza-

dos, en concreto, de modelos de plasticidad J2 de superficies múltiples usando la reglas de endurecimiento

cinemático de Mróz (no asociativa) y de Prager (asociativa) [147], [148] y que permite el desarrollo de al-

goritmos de integración de tensiones totalmente implícitos [13]. Estos modelos se utilizan en la simulación

de procesos cíclicos de carga y descarga, donde se recogen los efectos Bauschinger y Masing, siendo mod-

elos de plasticidad anisótropos, ya que emplean descripciones de endurecimiento anisótropas. Se muestra

el comportamiento del modelo ante cargas cíclicas y la robustez del algoritmo en análisis complejos, y se

lleva a cabo un análisis de la consistencia de las formulaciones de plasticidad de superficies múltiples y de

sus reglas de endurecimiento cinemáticas asociadas [148]. El estudio e implementación de estos algorit-

mos sirve de base para el desarrollo posterior de algoritmos de plasticidad computacional más complejos,

que incluyen leyes de comportamiento anisótropas e hipótesis cinemáticas en grandes deformaciones y

desplazamientos. Finalmente, se presenta la implementación de los modelos de plasticidad de superficies

múltiples para materiales geotécnicos basados en la teoría del estado crítico (tipo Cam-Clay) [127].

3.1 Introducción

La mayor parte de los materiales dúctiles presentan un comportamiento plástico con un endurecimiento

no lineal relevante, el cual se traduce en curvas tensión-deformación significativamente no lineales [6]. En

particular, los suelos presentan de forma especialmente pronunciada este tipo de comportamiento [153].

Bajo cargas monotónicas, este endurecimiento no lineal puede ser modelado con formulaciones clásicas de

von Mises, mediante funciones explícitas de endurecimiento no-lineal (tipo Ramberg-Osgood) o mediante

funciones de endurecimiento lineales a tramos [3], [118].

Por otro lado, es también conocido que en el comportamiento cíclico, estos materiales presentan dos

fenómenos especialmente importantes [6] [153] [3]: el efecto Bauschinger [2] y el efecto Masing [5]. El

73

74CAPÍTULO 3. MODELOS AVANZADOS DE PLASTICIDAD. ENDURECIMIENTOANISÓTROPO

primero consiste en un reblandecimiento de la tensión de fluencia en la dirección contraria a la de la

carga. El segundo establece que la curva de descarga guarda una relación homológica de dos con la curva

de carga virgen, y por lo tanto, ante una nueva recarga, los ciclos cierran sobre el punto de descarga que

inició el ciclo.

La descripción computacional de estos ciclos para cargas multiaxiales es bastante complicada. En la

literatura existen varias formas de modelar dicho comportamiento, entre ellas está el uso de los modelos

de superficies múltiples (o superficies concéntricas), debidos inicialmente a Mróz [8] e Iwan [9] y el uso

de los modelos de superficie límite debidos a Dafalias y Popov [10], [20] y a Krieg [96]. Los modelos

de recuperación dinámica de la tensión de referencia (regla de Armstrong y Frederick) son básicamente

equivalentes a los segundos [6].

Sin embargo, los modelos anteriores no han tenido una implementación efectiva en programas com-

erciales (con formulación implícita) de elementos finitos, debido a las dificultades para establecer un

algoritmo implícito robusto con las formulaciones tradicionales basadas en la regla de Mróz.

Uno de los principales problemas de la regla de endurecimiento de Mróz es que no es una regla de en-

durecimiento asociativa, además de que está originalmente definida para algoritmos explícitos [12]. Ello

ha provocado que, tradicionalmente, los algoritmos de integración o son explícitos o implícitos del tipo

de planos de corte (semi-implícitos) [11]. No obstante, existe una definición de dicha regla para algorit-

mos totalmente implícitos basados en el retorno radial [154], pero desgraciadamente existe la restricción

de una relación de 2 entre los radios de las superficies para que la regla de endurecimiento esté bien

definida implícitamente. Aparte, la justificación de la regla sigue siendo dudosa, habida cuenta de que

no es asociativa (lo cual provoca también problemas computacionales) y que no responde a observación

experimental alguna.

Por otro lado, recientemente se ha propuesto un modelo de superficies múltiples basado en la regla de

endurecimiento de Prager [13]. Dicha regla es asociativa y da lugar a algoritmos notablemente robustos.

Además, la plasticidad clásica de von Mises resulta ser un caso particular del mismo. También está

disponible un algoritmo de tensión plana proyectada para el mismo [14] y dicha regla de endurecimiento

ha sido aplicada también a modelos de superficie límite [18].

Los modelos implementados en este capítulo se basan en pequeñas deformaciones, aunque la exten-

sión a grandes deformaciones resultaría relativamente sencilla con los algoritmos de los capítulos 5 y 6,

respectivamente.

3.2 Plasticidad de superficies múltiples utilizando la regla de

traslación implícita de Prager

La plasticidad de superficies múltiples se basa en la extensión de la curva de endurecimiento uniaxial a

la realidad tridimensional a través de la asignación de módulos de endurecimiento distintos a superficies

distintas inicialmente concéntricas, ver figura 3.1. En el caso de plasticidad de von Mises, las superficies

se describen como

f i :=°°σD −αi

°°− ri (3.1)

3.2. PLASTICIDAD DE SUPERFICIES MÚLTIPLES CON REGLA DE PRAGER 75

(a) (b)

f1

f2

f = -n D n

||s a || - rn

tensión uniaxial s

deformación uniaxial e

E

H1

H2

Hn

Figura 3.1: (a) Conjunto de superficies múltiples. (b) Curva uniaxial tensión-deformación y posición delas superficies durante el proceso de carga

donde σD es la parte desviadora del tensor de tensiones, αi es el tensor de referencia (centro) de la

superficie i o ’back stress’, y ri es el radio de la misma en términos de norma tensorial. Dependiendo del

modelo, las diferentes superficies son consideradas superficies de fluencia (como en el modelo de Mróz) o

simplemente como superficies de endurecimiento. En el que nos ocupa, las superficies serán consideradas

únicamente superficies de endurecimiento, con la excepción de la interior que será la superficie de fluencia

clásica de von Mises

f1 :=°°σD −α1

°°− r1 (3.2)

En consecuencia, la diferencia fundamental y especialmente relevante del presente modelo con los orig-

inales de Mróz e Iwan es que la superficie de fluencia, y por lo tanto el dominio elástico está siempre

determinado por la misma función, mientras que el resto de las superficies son únicamente una her-

ramienta para extender a la realidad tridimensional la función de endurecimiento uniaxial. Esta función

de endurecimiento uniaxial se discretiza en varios tramos, resultando en una función multilineal, con

tantos tramos como el usuario desee (pero con la obvia implicación de un mayor coste computacional a

medida que se utilicen más superficies). La condición inicial para las superficies es

ri > rj ; ∀ i > j (3.3)

αi = αj ; ∀ i, j (inicialmente) (3.4)

La regla de traslación (endurecimiento) de las superficies es crucial para el comportamiento del modelo

y en la posibilidad del desarrollo de un algoritmo implícito. Habitualmente, se utiliza la regla de traslación

de Mróz, como se puede comprobar en las referencias [6], [19], [111]. Esta regla fue formulada en su origen

de forma explícita, en función de las tensiones de referencia en el paso n ya convergido. También se puede


encontrar la versión implícita de la regla de Mróz [147], [154]. La regla de traslación de Mróz se basa

únicamente en restricciones geométricas: cuando la superficie interior (superficie activa) contacta con la

exterior (superficie objetivo) no pueden sobrepasarse, es decir, únicamente entran en contacto en un punto

(punto de tensión) (ver figuras 3.2a y 3.2b). Recientemente, se ha desarrollado una regla de traslación

muy similar basada en esta idea, y de similar formulación continua, pero desarrollada de forma implícita

incremental y basada en el concepto de estado de prueba [147], [154]. (ver figuras 3.2c y 3.2d).

Otra posible regla de traslación utilizada en la plasticidad de superficies múltiples es la regla de

Prager (ver figura 3.2e). Esta regla es de tipo asociativo, es decir, está basada en el principio de máxima

disipación, y da lugar a algoritmos notablemente robustos y consistentes [148].

En definitiva, la plasticidad de superficies múltiples no está ligada necesariamente a una regla de

traslación explícita (la habitualmente usada de Mróz), y el comportamiento obtenido depende en gran

medida de la regla de traslación utilizada.

3.2.1 Energía elástica y energía de endurecimiento

Se asume la existencia de una función de energía elástica almacenada W, función de las deformacioneselásticas εe

W =W (εe) (3.5)

y su variación es

W =∂W (εe)

∂εe: εe (3.6)

donde se definen las tensiones como

σ :=∂W (εe)

∂εe(3.7)

La variación de las tensiones es, por lo tanto

σ =∂2W (εe)

∂εe ∂εe: εe (3.8)

donde se define el tensor de constantes elásticas como

C :=∂2W (εe)

∂εe ∂εe(3.9)

es decir

εe = C−1 : σ (3.10)

De forma similar, se asume la existencia de una función de endurecimiento

H = H (ξ) (3.11)

cuya variación es

H =∂H (ξ)∂ξ

: ξ (3.12)


a+ 1

a

(a)(b)

(c) (d)

(e)

a+ 1

m

m

t

a+ 1

t

a

t

ma

t+ t

t r

t+ t

c

t+ t2

t t+ t

t

a+ 1

t

a

t

ma

t+ t

t r

t+ t

c

t+ t2

t t+ t

t

t

1 n

t r

2

t

2 1

2

m2

Punto de contacto

t+ t

t+ tt+ t

t+ t

t+ tt+ t

t+ tt+ t

t+ tt+ t

Figura 3.2: Plasticidad de Superficies Múltiples. (a) Contacto de las superficies utilizando la regla deMróz: esta regla se basa únicamente en criterios geométricos (punto de tensión y punto de contactoson coincidentes). (b) La regla de traslación explícita de Mróz. (’a’: superficie activa, ’a+1’: superficieobjetivo)(c)y (d) La regla de traslación implícita de Mróz, basada en el concepto del estado de prueba σtr:(c) cuando la tensión de prueba está fuera de la superficie objetivo, (d) cuando la tensión de prueba estádentro de la superficie objetivo. (e) La regla de traslación implícita de Prager (procedimiento iterativo):está regla está basada en el principio de máxima disipación. Al final del proceso de convergencia, elpunto de contacto y el punto de tensión está definidos de forma independiente (no tiene que coincidirnecesariamente). El subíndice n indica el paso del procedimiento iterativo


donde se define el siguiente tensor como tensión de referencia

α1 :=∂H (ξ)∂ξ

(3.13)

La variación de este tensor es

α1 :=∂2H (ξ)∂ξ ∂ξ

: ξ (3.14)

siendo

H :=∂2H (ξ)∂ξ ∂ξ

(3.15)

el tensor de endurecimiento. Por lo tanto

ξ = H−1 : α1 (3.16)

3.2.2 Principio de máxima disipación

La potencia mecánica producida por unas cargas de volumen b y unas cargas de superficie t en un

volumen V cuyo entorno es S se determina de la siguiente forma

P =

ZV

b · v dV +

ZS

t · v dS (3.17)

donde v es la velocidad de cada punto del dominio. Puesto que por equilibrio

∇ · σ + b = 0 en V y t = σ · n en S (3.18)

se obtiene en notación indicial

P =

ZV

−σij,jvi dV +ZS

σijnjvi dS (3.19)

y usando la regla de integración por partes (Teorema de Green generalizado)

−ZV

σij,jvi dV = −ZS

σijvinj dS +

ZV

σijvi,j dV (3.20)

se obtiene

P =

ZV

σ : ∇v dV (3.21)

En pequeñas deformaciones ∇v = ε + ω, donde ε = sym (∇v) son las velocidades de deformacióninfinitesimales y ω = skw (∇v) son las velocidades de rotación infinitesimales. Puesto que ω es un tensorantisimétrico y σ es simétrico, σ : ω = 0, y la potencia mecánica localizada (en un punto del dominio) es

P := σ : ε (3.22)


Por otro lado, se define la variación mecánica (despreciando el efecto de la temperatura) de energía libre

como

ψ := W + H (3.23)

y la disipación se define como

D := P − ψ ≥ 0 (3.24)

es decir

D = σ : ε− ∂W (εe)

∂εe: εe − ∂H (ξ)

∂ξ: ξ ≥ 0 (3.25)

Como es habitual, se asume que el tensor de deformación infinitesimal se puede descomponer en una

parte elástica y en una parte plástica

ε = εe + εp (3.26)

por lo que

D =µσ − ∂W

∂εe

¶: εe + σ : εp − α1 : ξ ≥ 0 (3.27)

En el caso elástico, no se disipa energía alguna, por lo que se obtiene la expresión (3.7), ya anticipada, es

decir, ∂W/∂εe son las tensiones. En el caso plástico, se obtiene la desigualdad plástica reducida

Dp := σ : εp − α1 : ξ ≥ 0 (3.28)

Como se mencionó anteriormente, se asume la existencia de una única función de fluencia f1¡σ,α1

¢que

encierra el dominio elástico, donde las tensiones σ deben residir obligatoriamente.

El principio de mínima energía almacenada o máxima disipación establece que las tensiones y deforma-

ciones son tales que la energía disipada es máxima dentro de la restricción proporcionada por el criterio

de fluencia. Para obtener las condiciones de máximo se construye el Lagrangiano correspondiente

L¡σ,α1

¢:= Dp − γf1 (3.29)

La condición de mínimo es

∇L = 0 ⇒

⎧⎪⎪⎪⎨⎪⎪⎪⎩∂L∂σ

= 0 ⇒ εp = γ∂f1

∂σ

∂L∂α1

= 0 ⇒ ξ = −γ ∂f1

∂α1

(3.30)

con las condiciones de Kuhn-Tucker y de consistencia

γ ≥ 0, f1 ≤ 0, γf1 = 0, y γf1 = 0 (3.31)

Las ecuaciones (3.30) constituyen las reglas de flujo y endurecimiento asociativas, de von Mises y Prager

respectivamente. Se puede observar que, hasta el momento, la teoría no se diferencia en absoluto de la

teoría clásica de plasticidad asociativa.


3.2.3 Descomposición / discretización de la energía de endurecimiento

La diferencia del modelo que nos ocupa con la plasticidad clásica de von Mises es la hipótesis de que

las variables internas se pueden descomponer aditivamente en un grupo de tensores de variables internas

como

ξ =nXi=1

ξi

(3.32)

y por lo tanto, la energía de endurecimiento se puede expresar como

H³ξ´= H

ÃnXi=1

ξi

!(3.33)

por lo que su variación es

H ≡ ∂H∂ξ

: ξ =nXi=1

∂H∂ξi

: ξi

(3.34)

Es decir

H ≡ α1 : ξ =nXi=1

αi : ξi

(3.35)

o usando (3.16)

H ≡ α1 : H−1 : α1 =nXi=1

αi : H−1i : αi (3.36)

donde, de forma similar, se han definido las tensiones de referencia de la superficie i y el tensor de

endurecimiento de la superficie i como

αi :=∂H∂ξi

y Hi :=∂2H

∂ξi ∂ξi(3.37)

Separamos ahora, por conveniencia, la dirección de endurecimiento y su módulo como

α1 =:°°α1°° n (3.38)

αi =:°°αi

°° mi con i > 1 (3.39)

La dirección n viene dada por la regla de endurecimiento asociativa

n =∂f1

∂σ(3.40)

mientras que las direcciones mi pueden ser en principio arbitrarias, pero especifican el mapa tridimen-

sional de endurecimiento. La regla considerada aquí es

mi =αi−1 −αi

kαi−1 −αik (3.41)


Por otro lado, la regla asociativa para el endurecimiento es

ξ = −γ ∂f1

∂α1= γn (3.42)

Puesto que en principio los ξipueden ser arbitrarios, dependiendo de las condiciones de carga, para

asegurar que esta regla de endurecimiento se cumple usando (3.32), se asume que

ξi= γin (3.43)

El último ingrediente del modelo es la hipótesis sobre la forma del tensor complementario de endurec-

imiento asociado a cada superficie. Definiendo como

hxi := 1

2(x+ |x|) (3.44)

esta forma es

H−1i :=1

Hihn⊗ ni (3.45)

donde hn⊗ ni es un tensor de cuarto orden tal que

hn⊗ ni : m = m : hn⊗ ni = hn : mi n y m : hn⊗ ni : m = hn : mi2 (3.46)

De esta forma si Hi ≥ 0 entonces m : H−1i : m ≥0, y si (n : m) ≤ 0 entonces m : H−1i : m = 0. La

participación ξide ξ puede ser calculada como

ξi= H−1i : αi =

°°αi°°

Hi

n : mi

®n = γin (3.47)

Por lo tanto, por comparación

γi =

°°αi°°

Hi

n : mi

®(3.48)

La condición de que las superficies no intersecten en el caso plástico se puede escribir matemáticamente

comod

dt

¡°°αi−1 −αi°°¢ = 0, (3.49)

es decir

mi : αi = mi : αi−1. (3.50)

Usando la ecuación (3.39), se obtiene la siguiente condición

°°αi°° = °°αi−1°° mi−1 : mi

®. (3.51)

Usando (3.51) repetidamente °°αi°° = °°α1°° iY

j=2

mj : mj−1® (3.52)


con m1 = n. Por tanto

ξ =nXi=1

ξi=

nXi=1

γin =

⎛⎝ nXi=1

1

Hi

n : mi

® iYj=2

mj : mj−1®⎞⎠°°α1°° n (3.53)

y por comparación con ξ =H−1 : α1 = γ n se puede deducir

1

H:= n : H−1 : n =

nXi=1

1

Hi

n : mi

® iYj=2

mj : mj−1® . (3.54)

Usando la ecuación (3.45), H−1 se puede escribir como

H−1 =nXi=1

H−1i :Mi! (3.55)

donde Mi! es un tensor geométrico de proyección:

Mi! =mi ⊗ mi

®:mi−1 ⊗ mi−1® : ... : m2 ⊗ m2

®(3.56)

Nótese que en el caso uniaxial se obtiene la relación pretendida

1/H =aXi=1

1/Hi (3.57)

donde a ≤ n es el número de superficies activas (en movimiento).

Finalmente, nótese asimismo que la única diferencia con la plasticidad clásica es la forma de determinación

del módulo de endurecimiento.

3.2.4 Algoritmo de integración implícito utilizando la regla de Prager. Ob-tención del parámetro de consistencia y linealización consistente

La obtención del parámetro de consistencia sigue los pasos habituales de la plasticidad clásica. Así, el

parámetro de consistencia se obtiene a partir de la condición de consistencia en el caso plástico

t+∆tf ≡ t+∆tn :¡t+∆tσ − t+∆tα1

¢− r1 = 0 (3.58)

dondet+∆tn =

t+∆tσ − t+∆tα1

kt+∆tσ − t+∆tα1 k (3.59)

Esta condición se reduce a

t+∆tf ≡°°t+∆tσtr − tα1

°°− 2μ∆γ −H1∆γ1 − r1 = 0 (3.60)


donde

∆γ =aXi=1

∆γi (3.61)

En el caso de que a = 1, se obtiene la expresión habitual del parámetro de consistencia

∆γ1 =

°°t+∆tσtr − tα1°°− r1

2μ+H1(3.62)

En el caso contrario, es necesario resolver una ecuación no lineal en el parámetro ∆γ1, que se obtiene

sustituyendo en (3.60) la expresión de los parámetros de consistencia de cada superficie

∆γi =

°°t+∆tαi − tαi°°

Hi

t+∆tn : t+∆tmi

®=

t+∆tn :

¡t+∆tαi − tαi

¢®Hi

(3.63)

dondet+∆tαi = t+∆tαi−1 +

¡ri−1 − ri

¢t+∆tmi (3.64)

El algoritmo puede reducirse a la búsqueda de solución de una ecuación escalar no-lineal en ∆γ1. Los

detalles del algoritmo pueden encontrarse en [13].

Por otro lado, es posible linealizar consistentemente tanto el algoritmo local (para la obtención de

los parámetros de consistencia ∆γ1 y ∆γ) como el algoritmo global (para la obtención de las tensiones

σ en un punto de integración en un programa de elementos finitos). Estas linealizaciones consistentes

permiten obtener las velocidades de convergencia cuadráticas en la proximidad de la solución, típicas de

los métodos de Newton-Raphson. Los detalles de dichas linealizaciones consistentes, así como el diagrama

del algoritmo de integración, pueden ser encontrados, de forma similar, en la referencia [13].

3.2.5 Simulaciones numéricas utilizando la regla de Prager

En este apartado se muestran dos tipos de simulaciones. El primer tipo de simulación consiste en someter

un elemento tridimensional hexaédrico de ocho nudos con ocho puntos de integración de desplazamientos

y con formulación mixta u/p, sometido a diversos ciclos de carga en las direcciones de las aristas del

mismo. Las tensiones en el elemento son constantes, lo que se consigue a través de las restricciones de

desplazamiento impuestas. En estos ejemplos se pretende comparar el comportamiento del modelo a

nivel de punto de integración con el comportamiento predecido por otros modelos implementados en el

software de elementos finitos comercial ADINA R°

El segundo tipo de simulación consiste en someter una viga apoyada en el centro (y modelada mediante

condiciones de simetría) a una historia de cargas en sus extremos (por lo tanto, el problema es equivalente

al de una viga biapoyada). Este tipo de ejemplos nos permite nuevamente comparar el comportamiento del

modelo y simultáneamente la robustez y convergencia del mismo para un problema mucho más complejo,

en el que intervienen multitud de puntos de integración y diversos caminos de tensión-deformación.

Los modelos implementados en ADINA R° y usados en las comparaciones son:

• Modelo elastoplástico clásico de von Mises con endurecimiento cinemático o isótropo respectiva-mente (BK, BI )

• Modelo clásico de plasticidad de von Mises multilineal con endurecimiento cinemático o isótropo.


−0.02 −0.01 0 0.01 0.02

−1000

−500

0

500

1000

εyy

σ yy

PWMroz

0 0.5 1

−1

−0.5

0

0.5

1

TimeP

resc

rib

ed L

oad

(x1

000)

Titulo

−0.02 −0.01 0 0.01 0.02−1000

−500

0

500

1000

εyy

σ yy

BKBI

−0.02 −0.01 0 0.01 0.02−1000

−500

0

500

1000

εyy

σ yy

MKMI

Figura 3.3: Ensayo uniaxial con un ciclo de carga. Historia de carga y resultados obtenidos

En este modelo la curva tensión-deformación se discretiza en varios tramos lineales de forma similar

al modelo que presentamos en este trabajo (MK, MI ).

• Modelo de plasticidad con regla de traslación de Mróz. Este modelo utiliza únicamente dos super-ficies, la superficie de fluencia y la superficie de contorno (“bounding surface”). La superficie de

contorno endurece según la regla de Prager una vez que es contactado por la de fluencia, mientras

que la superficie de fluencia endurece según la regla de Mróz (Mróz).

• El modelo presentado en este apartado, según la regla de endurecimiento de Prager, implementadoa través de una subrutina de usuario (PW ).

Simulación a tensión constante

La simulación presentada en este apartado consiste en un elemento hexaédrico sometido a una tensión

cíclica uniaxial. El objetivo es verificar el comportamiento cíclico en diferentes niveles de tensión. Las

historias de carga y los ciclos resultantes se muestran en las figuras 3.3 y 3.4 respectivamente. Se puede

observar que el único modelo que representa correctamente el comportamiento Masing para una curva

arbitrariamente seleccionada es el presentado en este apartadoPW . Los modelos deMróz yBK también

representan adecuadamente el efecto Masing, pero están limitados al uso de 2 ó 3 tramos respectivamente

en la discretización de la curva tensión-deformación. Los valores típicos de convergencia se muestran en

la tabla 3.1

La segunda simulación muestra el comportamiento obtenido para el caso de acoplamiento en dos ejes.


−0.02 −0.01 0 0.01 0.02

−1000

−500

0

500

1000

εyy

σ yy

PWMroz

0 0.5 1

−1

−0.5

0

0.5

1

Time

Pre

scri

bed

Lo

ad (

x100

0)

−0.02 −0.01 0 0.01 0.02−1000

−500

0

500

1000

εyy

σ yy

BKBI

−0.02 −0.01 0 0.01 0.02−1000

−500

0

500

1000

εyy

σ yy

MKMI

Figura 3.4: Ensayo uniaxial con varios ciclos de carga. Historia de carga y resultados obtenidos

Iteración Norma energética Norma euclídea del residuo de fuerzas1 0.12E − 03 0.50E + 012 0.35E − 29 0.24E − 11

Tabla 3.1: Valores típicos de convergencia en el caso uniaxial


−10 −5 0 5

x 10−3

−4

−2

0

2

4

x 10−3

εyy

ε zz

PWMroz

−1000 −500 0 500 1000

−400

−200

0

200

400

σyy

σ zz

−0.01 −0.005 0 0.005 0.01−4

−2

0

2

4

6x 10

−3

εyy

ε zz

BKBI

−6 −4 −2 0 2 4

x 10−3

−3

−2

−1

0

1

2

3x 10

−3

εyy

ε zz

MKMI

Figura 3.5: Comportamiento multiaxial. Historia de carga de tensiones y resultados obtenidos

Iteración Norma energética Norma euclídea del residuo de fuerzas1 0.10E − 04 0.23E + 012 0.12E − 06 0.13E + 003 0.28E − 13 0.73E − 044 0.13E − 26 0.18E − 10

Tabla 3.2: Valores típicos de convergencia en el caso multiaxial

Se ha impuesto el camino de tensiones representado en la parte superior izquierda de la figura 3.5. Las

deformaciones obtenidas para los distintos modelos se muestran en la misma figura. Los valores típicos

de convergencia obtenidos están recogidos en la tabla 3.2.

Viga biapoyada.

Como ejemplo a una escala más realista en cuanto al número de grados de libertad del problema, se

ha analizado la viga bi-apoyada mostrada en la figura 3.6, modelada según las usuales condiciones de

simetría/antisimetría y sometida a la historia de carga mostrada en la figura 3.6. Como malla de elementos

finitos se han utilizado elementos hexaétricos de 8 nudos con 8 puntos de integración. Los únicos análisis,

con los algoritmos incorporados por ADINA R°, que se han ejecutado correctamente son los modelosbilineal isótropo, bilineal cinemático y multilineal isótropo, mientras que el resto divergen.

En la figura 3.7 se muestran los resultados de las tensiones en la sección central de la viga, desde la

línea neutra hasta el extremo de la misma. Se puede observar que tanto el modelo aquí presentado como


Figura 3.6: Historia temporal de la carga impuesta (izquierda). Malla utilizada y ubicación de losresultados mostrados (derecha)

Iteración Norma energética Norma euclídea del residuo de fuerzas1 0.19E − 04 0.57E − 022 0.24E − 06 0.11E + 003 0.10E − 09 0.41E − 024 0.69E − 13 0.94E − 045 0.59E − 22 0.34E − 08

Tabla 3.3: Valores típicos de convergencia para el caso de la viga biapoyada

el modelo de von Mises bilineal cinemático conservan el comportamiento Masing, debido a la simetría.

Los valores típicos de convergencia obtenidos están recogidos en la tabla 3.3.

3.2.6 Conclusiones

En esta apartado se ha analizado la termodinámica de un modelo de superficies múltiples basado en

la regla de endurecimiento de Prager y se ha realizado la implementación del algoritmo completamente

implícito. En las simulaciones se ha observado que el modelo permite la conservación de la relación

Masing en cualquier nivel de carga y cualquiera que sea la función de endurecimiento. Ello permite que

los ciclos cierren sobre sí mismos independientemente de la historia de la carga, que es el fenómeno que

aproxima, en la mayor parte de los sólidos, el comportamiento cíclico de los mismos.

Por otro lado, la implementación del algoritmo en un programa comercial y la realización de análisis

más complejos nos ha permitido verificar la aplicabilidad y robustez del algoritmo ante situaciones más

reales, así como su eficiencia. Tanto en aplicabilidad como en robustez y eficacia, el conjunto modelo-

algoritmo ha presentado valores excelentes.


0 0.05 0.1−1000

−800

−600

−400

−200

0

200

400

600

800

1000

distancia a la línea neutra

σ yy

Modelo presentado

0 0.05 0.1−1000

−800

−600

−400

−200

0

200

400

600

800

1000

distancia a la línea neutra

σ yy

Modelo von Mises bilineal cinemático

tiempo 1tiempo 3tiempo 2tiempo 4

Figura 3.7: Tensiones en la sección central de la viga

3.3 Plasticidad de superficies múltiples utilizando la regla de

traslación implícita de Mróz

En este apartado se presenta un algoritmo implícito de plasticidad de superficies múltiples en el cual

se hace uso de una versión implícita de la regla de traslación de Mróz [147]. Esta regla se calcula

explícitamente a partir del estado de prueba y, como resultado de ello, el estado final de tensión se calcula

directamente resolviendo una ecuación escalar no lineal. Con el algoritmo y la formulación presentados en

este apartado, no es necesario llevar a cabo iteraciones con el objeto de calcular la superficie final activa.

Esta superfcie se calcula a priori directamente del estado final de tensión y por lo tanto, se obtiene un

algoritmo muy eficiente, especialmente cuando el número de superficies que describen la curva tensión-

deformación es elevado. El algoritmo ha sido implementado en el programa comercial ADINA R° como

una subrutina de usuario.

3.3.1 La versión implícita de la regla de traslación de Mróz

Mróz formuló su regla de traslación basada únicamente en una restricción geométrica: las superficies

no se pueden sobrepasar cuando la superficie interna (la superfcie activa) alcanza a la superficie más

externa (la superficie objetivo). Para lograr esta condición, las superficies deben contactar en el punto de

tensión, ver figura 3.8a. Esta condición se puede formular matemáticamente de forma explícita. Dado el

punto de tensión desviador σD en la superficie activa y considerando el punto de tensión σD (la tensión

imagen), homológico al primero, en la superficie objetivo, como se pueden ver en la representación de

Haigh-Westergaard de la figura 3.8b, se formula la regla de traslación de Mróz de la superficie activa de

3.3. PLASTICIDAD DE SUPERFICIES MÚLTIPLES CON REGLA DE MRÓZ 89

(a) (b)

sD

sD

sD

sD

Figura 3.8: Plasticidad de superficies múltiples. (a) Contacto de las superfcies utilizando la regla deMróz. (b) La regla de traslación de Mróz explícita

la forma

m := σD − σD (3.65)

y la dirección de traslación unitaria como (ver figura 3.8b)

m :=m/ kmk (3.66)

Esta formulación de la regla de traslación es apta para realizar una implementación explícita. No

obstante, para llevar a cabo una implementación totalmente implícita y teniendo en cuenta que el punto

de tensión final es desconocido, el procedimiento iterativo debe incluir la dirección de traslación como

una variable tensorial en el algoritmo iterativo local. Sin embargo, una vez calculada la solución hay que

comprobar que la superficie activa no sobrepasa a la superficie objetivo. Si no se cumple esta condición,

hay que reiniciar el algoritmo con una nueva hipótesis de superficie objetivo. Este procedimiento es

computacionalmente costoso y no está muy claro como establecer una condición para obtener la regla de

traslación de forma implícita. Una de las soluciones, utilizada en este apartado, es obtener una regla de

traslación implícita directamente del estado de tensiones de prueba. El objetivo de la regla es que las

superficies contacten y lo hagan en el punto de tensión. A continuación se presentan los ingredientes y

las ideas básicas de esta regla de traslación.

Se definen la superficie activa y las superficies objetivo con los índices a y a+ 1 respectivamente, ver

figura 3.9a. Cuando las superficies entran en contacto, ambas tienen la misma normal en el punto de

contacto de tensión, definido como σDc . Supóngase que el incremento de deformación es tal que al final

del paso la superficie activa alcanza a la superficie objetivo de forma que el tensor de tensiones queda

como t+∆tσD = t+∆tσDc . La normal en el punto de tensión (que llamaremos normal en la superficie

objetivo). se expresa de la forma (ver figura 3.9a)


(a) (b)

s*

D

sc

D

s

s*

D

sc

D

s

Figura 3.9: La regla de traslación implícita de Mróz: (a) cuando la tensión de prueba está fuera de lasuperficie objetivo; (b) cuando la tensión de prueba está dentro de la superficie objetivo

t+∆tt :=t+∆tt

kt+∆ttk (3.67)

dondet+∆tt := t+∆tσD

∗ − tαa+1 (3.68)

yt+∆tσD

∗ :=tσD + 2μ∆e (3.69)

es la tensión de prueba en el paso de tiempo t + ∆t (ver por ejemplo [3], [155], [45]), μ es el módulo

a cortante, ∆e := dev (∆ε) es la parte desviadora del incremento de deformación ∆ε := t+∆tε − tε ytαa+1 es el tensor de referencia (centro de la superficie objetivo) para el paso de tiempo t. Siguiendo la

notación de las referencias [3], [45], los superíndices de la parte izquierda indican el paso de tiempo.

Teniendo en cuenta las hipótesis anteriormente mencionadas, el tensor de referencia de la superficie

activa (que denominaremos tensor de referencia objetivo de la superficie activa) se calcula como

α = tαa+1 +¡ra+1 − ra

¢t+∆tt (3.70)

donde ra y ra+1 son los radios de la superficie activa y superficie objetivo respectivamente. Por lo tanto,

si al final del paso se cumple que t+∆tαa = α, ambas superficies contactan en el mismo punto de tensiónt+∆tσD

c sin rebasamiento. Bajo la misma hipótesis, la dirección de traslación de la superficie activat+∆tma para este paso se escribe como


(a)

zoom

(b)

superficie a

superficie i

superficie objetivo

superficie objetivo

s*

D

sD

sD

sD

sD

Figura 3.10: Procedimiento iterativo. (a) Cálculo de la posición de la superficie activa, (b) cálculo de lasdirecciones de endurecimiento de las superficies i = 1, ..., a

t+∆tma :=t+∆tma

kt+∆tmak (3.71)

dondet+∆tma := α− tαa (3.72)

En otras palabras, esta dirección de traslación, definida por la ecuación (3.71), garantiza que cuando

las superficies activa y objetivo contactan, lo hacen en el punto de tensión sin rebasamiento. Por lo

tanto, éste es el objetivo de la regla de traslación de Mróz y tomamos a la ecuación (3.71) como la regla

de traslación en el paso t + ∆t. De esta forma, se obtiene la continuidad necesaria entre iteraciones.

Denominamos a esta regla como la regla de traslación implícita de Mróz. La regla está bien definida

incluso cuando la tensión de prueba está dentro de la superficie objetivo, ver figura 3.9 b.

Hay que mencionar que una vez conocido el tensor de tensiones de prueba t+∆tσD∗ , el punto de

contacto t+∆tσDc de ambas superficies y la normal en la superficie objetivo t+∆tt se pueden calcular

de forma explícita. Por lo tanto, el tensor de referencia objetivo de la superficie activa α también se

pueden calcular explícitamente a través de la ecuación (3.70) y la dirección de traslación de la superficie

activa también está dada de forma explícita a partir de la ecuación (3.71) como una función únicamente

dependiente del estado tensional de prueba y no como una función de las tensiones convergidas en el paso

de tiempo t+∆t.

Por lo tanto, la evolución incremental implícita de la tensión de referencia de la superficie activa se

puede calcular como (ver figura 3.10a)


t+∆tαa = tαa +∆γa Ha t+∆tma (3.73)

donde Ha := 23H

a y Ha es el módulo de endurecimiento uniaxial asoxiado a la superficie activa (en este

caso se adopta constante por simplicidad y se calculará como una función de los puntos que describen

la curva tensión-deformación) y ∆γa es el incremento en el parámetro de consistencia debido al en-

durecimiento de la superficie activa, es decir, el multiplicador de endurecimiento plástico de la superficie

activa.

Como se comentó anteriormente, en este apartado se considera una única superficie de fluencia y n

superficies de endurecimiento. Las superficies que se encuentran dentro de la superficie activa se trasladan

según la expresión

t+∆tαi = tαi +∆γi Hi t+∆tmi con i = 1, ..., a− 1 (3.74)

donde t+∆tmi se determina a través de la condición de Mróz, la cual establece que las superficies deben

contactar en el punto de tensión al final del paso. Si la posición de la superficie activa es conocida al

final del paso, también se conocen las posiciones finales de las tensiones de referencia del resto de las

superficies (ver figura 3.10b) ya que todas deben contactar en el punto final de tensión

t+∆tαi = t+∆tαa +¡ra − ri

¢t+∆tn (3.75)

donde t+∆tn es la normal a la superficie de fluencia (y al resto de las superficies que se encuentren dentro

de la superficie objetivo) en el punto de tensión al final del paso. Esta normal se calcula de la forma

t+∆tn =t+∆tσD

∗ − t+∆tαi

k t+∆tσD∗ − t+∆tαik =

t+∆tσD − t+∆tαi

k t+∆tσD − t+∆tαik (3.76)

donde i puede adoptar los valores i = 1, ..., a. En el proceso iterativo, el uso de i = a en la ecuación (3.76)

simplifica el proceso. Finalmente, las direcciones de endurecimiento de las superficies i = 1, ..., a − 1 secalculan según la relación (ver figura 3.10b)

t+∆tmi =t+∆tmi

k t+∆tmik (3.77)

cont+∆tmi := t+∆tαi − tαi (3.78)

La contribución al parámetro de consistencia se escribe como

∆γi =

°° t+∆tmi°°

Hi(3.79)

El incremento total del parámetro de consitencia se define como

∆γ =aXi=1

∆γi (3.80)


y el incremento de deformación plástica asociativa viene dado por la expersión

∆eP = ∆γ t+∆tn =aXi=1

∆γi t+∆tn (3.81)

Existe una excepción a la ecuación (3.71) y es cuando la superficie activa coincide con la superfcie de

endurecimiento más externa, a = n. En este caso, no hay superficie objetivo y la regla de traslación de

la superficie activa se toma como la regla de Prager, es decir

t+∆tma = t+∆tn = t+∆tt if a = n (3.82)

En este caso de a = n, en vez de utilizar la ecuación (3.68) para el cálculo de t+∆tt, se utiliza la ecuación

t+∆tt = t+∆tσD∗ − tαa (3.83)

La regla de traslación descrita en este apartado tiene una limitación. Dicha regla está únicamente

bien definida cuando la relación entre los radios de dos superficies consecutivas es menor que dos, ver

referencia [154]. Si el radio es mayor que dos, es posible que el tensor de tensiones de prueba t+∆tσD∗

pueda coincidir con la tensión de referencia de la superficie activa tαa+1 y, por lo tanto, t+∆tt puede

estar indefinido. Por lo tanto, ri+1/ri < 2 es una restricción para esta regla, y por tanto se recomienda

una relación entre radios de ri+1/ri < 1.7.

3.3.2 Formulación del procedimiento iterativo local

En este apartado se parte de la hipótesis de que la superficie activa se ha determinado previamente. Una

vez conocida la superficie activa a y la regla de traslación dada por la ecuación (3.71), el único parámetro

que es necesario para conocer la posición final de la superficie activa, es el parámetro de consistencia. Por

lo tanto, se puede implementar un procedimiento iterativo escalar no-lineal, que es más eficiente que un

procedimiento iterativo multivariable. Este tipo de formulación en plasticidad se suele denominar “the

governing parameter method”, ver referencias [3], [155].

Como todas las superficies en el interior de la superficie objetivo estarán en contacto en el punto de

tensión al final del paso, la siguiente condición se cumple para todo i ≤ a

t+∆tf i ≡°° t+∆tσD − t+∆tαi

°°− ri = 0 (3.84)

Por lo tanto, una de estas condiciones debe usarse con objeto de determinar el parámetro de consistencia.

Por simplicidad, se toma la condición en la superficie activa i = a. Utilizando la descomposición aditiva

incremental en pequeñas deformaciones de parte elástica y plástica

∆e = ∆eE +∆eP (3.85)


y usando (3.69) y (3.81) se obtiene el tensor de tensiones al final del paso

t+∆tσD = tσD + 2μ∆e− 2μaXi=1

∆γi t+∆tn (3.86)

La ecuación (3.73) se puede utilizar para obtener

t+∆tfa ≡ t+∆tn :

ÃtσD − tαa + 2μ∆e−∆γa Ha t+∆tma − 2μ

aXi=1

∆γi t+∆tn

!− ra = 0 (3.87)

A la vista de las ecuaciones (3.73)-(3.77), se deduce que ∆γi (i < a), t+∆tn y t+∆tmi son función de ∆γa

y t+∆tma. Puesto que el último se puede obtener directamente de la tensión de prueba, posteriormente,

durante el procedimiento iterativo local, ∆γi (i < a), t+∆tn y t+∆tmi son función únicamante de ∆γa.

Por lo tanto, la euación (3.87) es una ecuación escalar no lineal que se puede escribir en forma residual

como

R (∆γa) = t+∆tn (∆γa) :£tσD − tαa + 2μ∆e−∆γa Ha t+∆tma

¤− 2μ

aXi=1

∆γi (∆γa)− ra (3.88)

donde se muestra de forma explícita la dependencia con ∆γa. Esta ecuación se puede resolver de forma

eficiente a través de un procedimiento de Newton-Raphson.

A continuación se va a obtener la tangente local del procedimiento de Newton-Raphson. Para ello,

es necesario realizar una serie de observaciones. La primera es que la derivada de un tensor normal

es perpendicular a sí mismo. Teniendo en cuenta este hecho, el término entre corchetes de la ecuación

(3.88) tiene la dirección de t+∆tn, por lo que la derivada del residuo se simplifica considerablemente a la

expresióndR (∆γa)

d (∆γa)= −Ha

¡t+∆tn : t+∆tma

¢− 2μ− 2μ

a−1Xi=1

d∆γi (∆γa)

d (∆γa)(3.89)

El siguiente paso es obtener d∆γi (∆γa) /d (∆γa). Para ello, se va a formular la ecuación de ∆γi en

función función de ∆γa. Utilizando la superficie activa a y el resto de superficies interiores, tales que

i < a, el tensor de tensiones se puede calcular a través de la expresión

t+∆tσD =

t+∆tαaz | tαa + ∆γa Ha t+∆tma + ra t+∆tn (3.90)

= tαi + ∆γi Hi t+∆tmi + ri t+∆tn (3.91)

Por lo tanto, despejando de la expresión anterior y tomando producto escalar con t+∆tmi, se obtiene

∆γi (∆γa) =1

Hi

£tαa − tαi +

¡ra − ri

¢t+∆tn (∆γa) + ∆γa Ha t+∆tma

¤: t+∆tmi (∆γa) (3.92)

donde se indica de forma explícita los términos dependientes de ∆γa. Realizando la derivada de la

Ecuación (3.92) y sustituyendo el resultado en la Ecuación (3.89), se obtiene la tangente del procedimiento


iterativo local para el método de Newton (ver Referencia [154])

dR (∆γa)

d (∆γa)= −

¡2μ+Ha t+∆tma : t+∆tn

¢−2μ

a−1Xi=1

Ha

Hi

"t+∆tmi: t+∆tma −

¡ra − ri

¢k t+∆tnk

¡t+∆tmi: t+∆tPn: t+∆tma

¢#(3.93)

donde se definet+∆tn := t+∆tσD

∗ − t+∆tαa (3.94)

yt+∆tPn := PI − t+∆tn⊗ t+∆tn (3.95)

es el proyector desviador en el hiperplano perpendicular a t+∆tn. El tensor PI := I− 13I⊗I es el proyector

desviador y los tensores I y I son, respectivamente, los tensores identidad de segundo y cuarto orden.Las expresiones anteriores son válidas aunque la superficie activa sea la última. En este caso, en vez

de la ecuación (3.71) se utiliza la ecuación (3.82) como definición de t+∆tma y se pueden utilizar el resto

de las expresiones para llevar a cabo todos los cálculos. Sin embargo, como en este caso se simplifican

bastantes términos, es más eficiente implementarlo de forma explícita y como un caso especial.

3.3.3 Caso uniaxial

En el caso de carga monotónica uniaxial, todos los tensores son colineales. Se tiene por lo tanto que

t+∆tmi = t+∆tn =t+∆tσD

∗kt+∆tσD

∗ k=

t+∆tσD

kt+∆tσDk (3.96)

Escribiendo la ecuación (3.87) en forma escalar (donde los tensores escritos sin negrita denotan la norma

de los mismos), nos queda

t+∆tfa ≡ tσD − tαa − ra + 2μ∆e−∆γa Ha − 2μaXi=1

∆γi = 0 (3.97)

Si todas las superficies i < a están en contacto con la superficien activa en el paso de tiempo t se tiene

que tσD − tαa = ra y ya que permanecen en contacto, la regla de traslación de las superficies es la

misma, es decirt+∆tαi − tαi| z ∆γiHi

= t+∆tαa − tαa| z ∆γaHa

(3.98)

Por lo tanto

∆γi = ∆γaHa

Hi(3.99)

para toda superficie i < a. La ecuación (3.97) se reduce a

2μ∆e−∆γa Ha − 2μ∆γaaXi=1

Ha

Hi= 0 (3.100)


y

∆γa =∆e

Ha/2μ+Pa

i=1Ha/Hi

(3.101)

Utilizando las ecuaciones (3.99) y (3.101), el parámetro de consitencia se calcula como

∆γ =aXi=1

∆γi = ∆e

Pai=1 1/H

i

1/2μ+Pa

i=1 1/Hi

(3.102)

y como ∆eP = ∆γ y ∆σD = 2μ¡∆e−∆eP

¢, nos queda

∆σD = 2μ∆e

µ1−

Pai=1 1/H

i

1/2μ+Pa

i=1 1/Hi

¶(3.103)

Por lo tanto, el módulo equivalente desviador μ se puede calcular como

∆e

∆s≡ 1

2μ=1

2μ+

aXi=1

1

Hi(3.104)

Una alternativa es obtener la expresión en términos de cantidades efectivas uniaxiales. El incremento de

deformación uniaxial efectiva puede escribirse de la forma

∆ε = ∆εE +∆εP =1

E∆σ +

q23∆e

P (3.105)

Puesto que ∆eP = ∆γ y sustituyendo en la ecuación (3.102), se obtiene

∆ε = ∆εE +∆εP =1

E∆σ +

q23∆e

Pai=1 1/H

i

1/2μ+Pa

i=1 1/Hi

(3.106)

Sustituyendo ahora la Ecuación (3.104) y teniendo en cuenta que σ =p3/2 σD, se obtiene

∆ε = ∆εE +∆εP =1

E∆σ + 2

3∆σaXi=1

1

Hi(3.107)

Definiendo el Módulo de Young efectivo como E = ∆σ/∆ε y el endurecimiento uniaxial Hi := 32H

i, nos

queda∆ε

∆σ≡ 1

E=1

E+

aXi=1

1

Hi(3.108)

Las expresiones anteriores se usan para obtener el módulo de endurecimiento asociado a cada superficie

procedentes de la discretización en j tramos de la curva uniaxial tensión-deformación:

1

Hj=

εj+1 − εjσj+1 − σj

− 1

E−

j−1Xi=1

1

Hicon j = 1, 2, ..., n (3.109)


3.3.4 Algoritmo de búsqueda de la superficie activa

Este algoritmo es una mejora del algoritmo presentado en la referencia [154] basado en la búsqueda

de la superficie activa. El algoritmo presentado en este apartado es computacionalmente más eficiente,

reduciendo considerablemente el tiempo de cálculo.

Si el paso es plástico, es decir, si la condición de consitencia evaluada en el estado de prueba es

f1∗ :=°°t+∆tσD

∗ − tα1°°− r1 > 0 (3.110)

se asume incialmente que la superficie a = 1 es la superficie activa. Si la condición expuesta más abajo

no se cumple, se asume que la superficie activa es a = 2, y así sucesivamente. Si a es la superficie activa

y a+1 es la superficie objetivo, de la figura 3.10 a se obtiene la siguiente condición para el retorno radial

∆γ ≥ ∆γmin(a) :=°°t+∆tσD

∗ − tαa+1°°− ra+1

2μ(3.111)

ya que, si no se cumple esta condición, la superficie a+1 no es válida como superficie objetivo. El valor de

∆γmin(a) es el valor del parámetro de consitencia para el retorno al punto de contactot+∆tσD

c

¡t+∆tσD

∗¢

de la superfcie objetivo.

Por otro lado, ∆γ se puede calcular a partir de las contribución al endurecimiento de todas las

superficies interiores a la superficie objetivo. Denominamos al parámetro de consistencia calculado de

este forma como

∆γ :=aXi=1

∆γi (3.112)

Cada uno de los ∆γi alcanza un valor máximo para la superfcie a+1 actuando como superficie objetivo.

Este valor es tal que la superficie i contacta con la superficie objetivo en t+∆tσDc

¡t+∆tσD

∗¢. En el instante

en el que ambas superficies contactan, el centro de las superficie es (ver figura 3.10)

t+∆tαi = α+¡ra − ri

¢t+∆tt = tαa+1 +

¡ra+1 − ri

¢t+∆tt (3.113)

donde α y t+∆tt se han definido anteriormente en las ecuaciones (3.70) y (3.67) como funciones del estado

de prueba. Por lo tanto, haciendo uso de la ecuación (3.74)

∆γi Hi t+∆tmi = t+∆tαi − tαi (3.114)

y tomando la norma a ambos de la igualdad, se puede obtener el valor máximo de ∆γi con a+ 1 como

superficie objetivo, el cual, tras utilizar la ecuación (3.113), queda como

∆γimax(a) =

°°α+ ¡ra − ri¢

t+∆tt− tαi°°

Hicon i = 1, ..., a (3.115)

Definiendo

∆γmax(a) =aXi=1

∆γimax(a) (3.116)

se puede establecer la siguiente condición en la cual se determina si la superficie a + 1 deja de ser la


superficie objetivo. Si

∆γmin(a) −∆γmax(a) > 0 (3.117)

entonces la superficie a+1 no es la superficie objetivo. La comprobación se debe realizar con la superficie

a + 2, con el fin de determinar la nueva superficie objetivo. Hay que señalar que todo el procedimiento

de comprobación se lleva a cabo con el estado de tensiones de prueba. Por lo tanto, no hay necesidad de

calcular el parámetro de consistencia actual con el fin de determinar la superficie activa, en comparación

con el algoritmo de la referencia [154], donde la comprobación de la superficie activa se lleva a cabo con

el parámetro de consitencia final.

Los algoritmos para la determinanción de la superficie activa y del cálculo del tensor de tensiones se

pueden encontrar en las tablas 1 y 2 de la referencia [147].

3.3.5 Algoritmo para el cálculo del módulo elastoplástico tangente global

El cálculo del módulo elastoplástico tangente algorítmico (consistente) se lleva a cabo a partir de la

condición de consistencia dada por la ecuación (3.87) y utilizada en el cálculo de ∆γa, a partir de valores

convergidos. Los principales pasos para el desarrollo del algoritmo se pueden encontrar en la referencia

[154]. En este modelo, se ha modificado el algoritmo de integración local, pero no el modelo en sí mismo

y, por lo tanto, no se altera la solución final y el módulo tagente global es el mismo. A continuación

se describen brevemente los cálculos más importantes y el resultado final. El módulo tangente global se

calcula como∂ t+∆tσ

∂ t+∆tε= κI⊗ I+ ∂ t+∆tσD

∂ t+∆tε(3.118)

donde κ es el módulo de compresibilidad volumétrico. La derivada del tensor de tensiones desviador

respecto del tensor de deformación es

∂ t+∆tσD

∂ t+∆tε=

∂ t+∆tαa

∂ t+∆tε+ ra

∂ t+∆tn

∂ t+∆tε(3.119)

donde∂ t+∆tαa

∂ t+∆tε= Ha ∆γa

∂ t+∆tma

∂ t+∆tε+Ha t+∆tma ⊗ ∂∆γa

∂ t+∆tε(3.120)

∂ t+∆tma

∂ t+∆tε=

¡ra+1 − ra

¢kt+∆tmak

2μ

kt+∆ttkPm : Pt (3.121)

∂ t+∆tn

∂ t+∆tε=

1

k t+∆tnkPn :µ2μPI −

∂ t+∆tαa

∂ t+∆tε

¶(3.122)

Pm = PI − t+∆tma ⊗ t+∆tma y Pt = PI − t+∆tt⊗ t+∆tt (3.123)

∂∆γa

∂ t+∆tε= −

µd R

d ∆γa

¶−1t+∆tω (3.124)


y

t+∆tω = 2μ t+∆tn−Ha ∆γa t+∆tn :∂ t+∆tma

∂ t+∆tε

− 2μa−1Xi=1

"Ha

Hi∆γa t+∆tmi :

∂ t+∆tma

∂ t+∆tε+2μ

Hi

¡ra − ri

¢kt+∆tnk

t+∆tmi : Pn

−Ha

Hi

¡ra − ri

¢kt+∆tnk ∆γ

a t+∆tmi : Pn :∂ t+∆tma

∂ t+∆tε

#(3.125)

Los valores de°°t+∆tt°° y °°t+∆tma

°° se han definido en las ecuaciones (3.68) y (3.72) respectivamente. Elmódulo tangente consistente para el caso de a = n (la superficie objetivo es la más exterior) se obtiene

directamente de las ecuaciones anteriores utilizando t+∆tma = t+∆tn = t+∆tt. Este módulo tangente

algorítmico presenta simetrías menores pero carece de simetrías mayores.

Con este módulo tangente consistente, se esperan ratios de convergencia cuadrática en el método

de Newton. No obstante, hay que destacar que durante el procedimiento iterativo global, puede haber

cambios de la superficie activa para cada punto de integración de tensiones, lo cual implica pérdidas de

la convergencia óptima (especialmente durante las primeras iteraciones globales).

3.3.6 Endurecimiento mixto

En este trabajo se ha considerado, por simplicidad, únicamente el caso de endurecimiento cinemático. El

modelo puede incluir endurecimiento mixto sin grandes dificultades. En endurecimiento mixto, se con-

sidera que todas las superficies crecen de forma proporcional y el endurecimiento isótropo es proporcional

al parámetro de consistencia (es decir, a la deformación plástica equivalente) ∆γ. De la ecuación (3.80),

el residuo definido en la ecuación (3.88) se escribe como

R (∆γa) = t+∆tn (∆γa) :£tσD − tαa + 2μ∆e−∆γa Ha t+∆tma

¤− 2μ

aXi=1

∆γi (∆γa)− ra

ÃaXi=1

∆γi (∆γa)

!(3.126)

La única diferencia entre la ecuación (3.126) y la ecuación (3.88) es que el radio ra depende de ∆γa

a través de ∆γ. Al mismo tiempo, todas las ecuaciones que incluyen ri, deben incluir la dependencia

ri (∆γ). Por lo tanto, esta dependencia debe tenerse en cuenta en la derivación del módulo tangente local

del algoritmo de Newton-Raphson. Nótese que ∆γ se puede calcular una vez que se establece ∆γa. Una

alternativa es desarrollar un algoritmo con ∆γ en vez de ∆γa como variable independiente (‘governing

parameter’ ).

La tarea que requiere especial atención en endurecimiento mixto es el cálculo de la superficie activa.

En este caso, el parámetro de consistencia ∆γ debe ser mayor que ∆γmin(a), calculado a partir de la

ecuación (3.111). Sin embargo, en este caso ra+1 también depende de ∆γ. Generalmente, se debe

resolver la siguiente ecuación nolineal para ∆γmin(a) con objeto de determinar el valor admisible mínimo

de ∆γ, para la superficie a como superficie activa.

2μ∆γmin(a) −°° t+∆tσD

∗ − tαa+1°°+ ra+1

³∆γmin(a)

´= 0 (3.127)


ν = 0.3, Hn = 103Hn−1

Datos Tensión-Deformación σ −→ 300 500 800 900 1000 N/mm2

(n = 5) ε −→ 0.03 0.07 0.2 0.4 1.2 %

Tabla 3.4: Parámetros del material utilizados en las simulaciones

En el caso de endurecimiento isótropo lineal, ∆γmin(a) se obtiene de forma explícita.

La ecuación (3.117) se utiliza con objeto de determinar la superficie activa, pero en este caso, ∆γmax(a)se calcula a partir de ∆γimax(a) utilizando la ecuación (3.115), con el radio ri actualizado a partir de

∆γmin(a), que es un procedimiento más eficiente que resolver una ecuación nolineal en ∆γmax(a).

Por lo tanto, el algoritmo para endurecimiento mixto es, matemáticamente, más tedioso, pero el

esquema general es similar.

3.3.7 Simulaciones Numéricas

Los algoritmos anteriores se han programado como subrutinas de usuario en forma de archivos DLL en

el programa de elementos finitos ADINA R°. Se han realizado distintas simulaciones con estos algoritmoscomo subrutinas de material. Los parámetros utilizadas en las simulaciones se presentan en la tabla 3.4.

Simulaciones en puntos de integración de tensión

En este apartado se muestran dos simulaciones en un punto de integración de tensión con el objeto de

verificar el comportamiento y el rendimiento de la subrutina. La primera simulación es un test uniaxial

bajo una carga aleatoria. El camino de desplazamiento prescrito se muestra en la figura 3.11a. En

esta simulación, se ha utilizado un elemento 3D lineal estándar. El test muestra que las predicciones

reproducen el comportamiento buscado, como se puede ver en la figura 3.11b. Los resultados utilizando

la regla de Mróz se muestran conjuntamente con las simulaciones utilizando la regla de Prager [13], que

se ha implementado en otra subrutina de usuario. Se han utilizado 100 pasos de tiempo con el objeto de

obtener suficientes puntos para describir las curvas de comportamiento.

En la segunda simulación se ha utilizado el mismo elemento con dos desplazamientos senoidales

prescritos en dos lados. Los caminos de deformación prescritos y los caminos de tensión obtenidos se

muestran en la figuras 3.12a y 3.12b, respectivamente. Los resultados de las simulaciones utilizando la

regla de Mróz se muestran conjuntamente con los resultados de la regla de Prager. En esta simulación se

han utilizado 100 pasos de tiempo.

Simulación de una placa con agujero

En este apartado se ha llevado a cabo la simulación de un problema de mayor escala con objeto de mostrar

la robustez del algoritmo. El problema consiste en una placa delgada con un agujero, mallada automáti-

camente con ADINA R°, utilizando para ello elementos cuadráticos de 27 nodos con formulación mixtay haciendo uso de las condiciones de simetría apropiadas a la geometría del problema. Las dimensiones

del modelo son 56mm× 20mm y el diámetro del agujero es de 10mm. Se han considerado dos casos de

carga. El primero es un desplazamiento cíclico en el lado más pequeño de la placa. La historia de carga se

muestra en la figura 3.13a. La figura 3.13b muestra el número máximo de superficies de endurecimiento


−5 0 5

x 10−3

−1000

−500

0

500

1000

εyy

σ yy

PragerMroz

0 0.5 1−1

−0.5

0

0.5

1

Time

Pre

scri

bed

dis

pla

cem

ent

(x0.

05)

Figura 3.11: Comportamiento uniaxial de las reglas de traslación cinemáticas de Mróz y Prager sometidasa cargas aleatorias

−2000 −1000 0 1000 2000−1500

−1000

−500

0

500

1000

1500

σzz

σ yy

PragerMroz

−0.05 0 0.05−0.03

−0.02

−0.01

0

0.01

0.02

0.03

εzz

ε yy

Figura 3.12: Comportamiento multiaxial de la plasticidad de superficies múltiples usando las reglas detraslación de Mróz y Prager. Camino de deformación prescrito. Caminos de tensión obtenidos con cadauna de las reglas


activas durante el análisis en los puntos de integración, mientras que en la figura 3.13c se muestran los

desplazamientos y la tensión plástica efectiva en el tiempo t = 1.

El segundo caso de carga consiste en dos desplazamiento prescritos senoidales en las dos caras de la

placa, ver figura 3.14a. El número máximo de superficies de endurecimiento activas durante el análisis se

muestra en la figura 3.14b, miestras que la tensión plástica efectiva y los desplazamientos para el tiempo

t = 0.12 se muestran en la figura 3.14c.

En la figura 3.15 se muestran los ratios de convergencia en tres pasos de tiempo carcterísticos. Se

ha utilizado el Método de Newton con 100 pasos de tiempo sin hacer uso de ’line searches’. Además se

ha utilizado un ’solver’ simetrizado y, por lo tanto, es de esperar una ligera pérdida de la convergencia

óptima de este tipo de algoritmos.

3.3.8 Conclusiones

En este apartado se ha presentado un algortimo mejorado de plasticidad de superficies múltiples utilizando

la regla de traslación implícita de Mróz. El modelo se describe con una única superficie de fluencia y

el resto como superficies de endurecimiento. Con este algoritmo, el tiempo de cálculo computacional en

materiales en los cuales la curva tensión-deformación se discretiza en varios tramos lineales, se reduce

considerablemente. El algoritmo se ha implementado en código comercial de elementos finitios ADINA R°.Las simulaciones llevadas a cabo muestran el comportamiento del modelo y la robustez del mismo bajo

cargas multiaxiales cíclicas y aleatorias También se demuestra las capacidades del algoritmo en análisis

complejos

3.4 Consistencia de la Plasticidad de Superficies Múltiples

3.4.1 Introducción

La plasticidad de superficies múltiples se basa en la discretización de la curva tensión-deformación en

varios tramos lineales, asignando a cada tramo una superficie de fluencia (o superficie de endurecimiento)

en el espacio tridimensional, con un módulo de endurecimiento asociado. Posteriormente, haciendo uso

de una regla de traslación (endurecimiento) adecuada, se puede llevar a cabo la extensión del campo

de endurecimiento para cargas multiaxiales. Por lo tanto, el comportamiento multiaxial de este tipo

de modelos depende en gran medida de la regla de endurecimiento cinemática empleada en el modelo.

Tradicionalmente se utiliza la regla de traslación cinemática propuesta incialmente por Mróz, pero existen

otras en la literatura [13], [112], [114], [115], [113].

Los modelos de plasticidad de superficies múltiples tienen un gran aliciente desde el punto de vista

del usuario. El usuario únicamente tiene que prescribir los puntos de la curva tensión-deformación que

define el comportamiento del material. De esta forma, quedan determinadas explícitamente los radios de

las superficies y los módulos de endurecimiento asociados a las mismas.

Para la formulación de cualquier tipo de modelo de plasticidad avanzada, surgen diversas cuestiones

que dicha formulación debe resolver de manera consistente:

• Las formulaciones deben estar matemáticamente bien construidas en el sentido de que esté cor-rectamente definida en todo el dominio y sea posible formular algoritmos tanto explícitos como

3.4. CONSISTENCIA DE LA PLASTICIDAD DE SUPERFICIES MÚLTIPLES 103

(b) (c)

0 0.2 0.4 0.6 0.8 1

-1

-0.5

0

0.5

1

(a)

Time

Pre

scrib

ed

dis

pla

ce

me

nt

(x0

.04

)

Figura 3.13: Placa con agujero bajo una carga una carga proporcional externa. (a) Historia de desplaza-mientos prescrita, (b) Número máximo de superficies de endurecimiento utilizadas en las simulaciones,(c) tensión efectiva en t = 1


-0.05 0 0.05

-0.03

-0.02

-0.01

0

0.01

0.02

0.03

(b) (c)

Prescribed displacement z

Pre

scrib

ed

dis

pla

ce

me

nt

y

(a)

Figura 3.14: Placo con agujero bajo una carga externa no proporcional. (a) Camino de desplazamientosprescrito, (b) Número máximo de superficies utilizadas y (c) tensión efectiva en t = 0.12


1 2 3 4 5 6 7 810

−15

10−10

10−5

100

105

Iteration number

Ene

rgy

erro

r

step 10step 30step 70

Figura 3.15: Placa con agujero bajo cargas multiaxiales. Convergencia de los residuos de energía en trespasos de tiempo característicos

implícitos.

• Los modelos deben tener una base termodinámica a través del principio de máxima disipación y/oestar basados en observaciones experimentales

• El modelo debe ser robusto y consistente consigo mismo en el sentido de que diferentes usuariosdeberían obtener similares respuestas para un problema del que únicamente se conoce, por ejemplo,

la curva uniaxial de carga-deformación

• El modelo debe proporcionar un comportamiento predecible, no proporcionar fenómenos inespera-dos, incontrolados, que no se correspondan con observaciones experimentales.

En los siguientes apartados, se analizan las cuestiones anteriores en modelos de plasticidad de super-

ficies múltiples para dos reglas de endurecimiento cinemático distintas: la regla de traslación de Mróz y

la regla de endurecimiento cinemático de Prager.

3.4.2 Extensión multiaxial de una curva uniaxial tensión-deformación: Testbilineal

Una de las principales ventajas de la plasticidad de superficies múltiples es la supuesta facilidad con

que se extienden al espacio tridimensional los comportamientos uniaxiales dados por la curva uniaxial

tensión-deformación.

Hay tres aspectos que hay que tener en cuenta a la hora de realizar la mencionada extensión: las

superficies de fluencia y endurecimiento, la regla de flujo y la regla de endurecimiento.


−1000 −500 0 500 1000

−1000

−500

0

500

1000

σzz

σ yy

3 surperficies5 surperficies9 surperficies

0 2 4 6

x 10−3

0

200

400

600

800

1000

Ten

sion

(N

/mm

2 )

Deformacion

curva originalcurva modificada

−1000 0 1000 2000−1000

−500

0

500

1000

1500

σzz

σ yy

3 superficies5 superficies9 superficies

−2 −1 0 1 2

x 10−3

−2

−1

0

1

2x 10

−3

Desplazamiento prescrito z

Des

plaz

amie

nto

pres

crito

y

Prager

Mroz

Figura 3.16: Consistencia del comportamiento multiaxial de los modelos de plasticidad de superficiesmúltiples. (a) Curva bilineal tensión-deformación utilizada en las simulaciones. (b) Camino de desplaza-mientos prescrito. (c) Predicciones obtenidas utilizando la regla de traslación de Prager para distintonúmero de superficies. (d) Predicciones obtenidas utilizando la regla de traslación de Mróz.

Por razones de simplificación, habitualmente las superficies de endurecimiento se eligen homológicas

a la superficies de plastificación, la cual se formula de acuerdo con los datos experimentales. Una forma

típica la proporciona el criterio de von Mises. La regla de flujo se suele seleccionar de tipo asociativo, a

menos que los experimentos manifiesten lo contrario. En definitiva, las predicciones del modelo multiaxial

ya únicamente dependen entonces de la regla de endurecimiento multiaxial seleccionada.

En la literatura existen numerosas reglas de traslación o endurecimiento. Sin embargo, toda regla

de traslación debe satisfacer dos condiciones. La primera condición es que debe estar bien definida en

todo el dominio y la segunda es que la regla de traslación debe ser consistente con la curva uniaxial

tensión-deformación que representa.

Para ilustrar esta consistencia en el comportamiento multiaxial, se han realizado una serie de simula-

ciones: se considera una curva bilineal uniaxial tensión-deformación (ver figura 3.16a). Esta curva bilineal

se discretiza en varios segmentos, a través de diversos puntos prescritos de tensión-deformación. Como

la curva es bilineal, las predicciones deben ser las mismas independientemente del número de segmentos

utilizados, y si esto se cumple para el caso unixial, lo mismo debe satisfacerse en el caso multiaxial. En

la figura 3.16b se muestra el camino de desplazamiento prescrito. Se utilizaron dos reglas de traslación:

la regla de traslación implícita de Mróz [147] y la regla de traslación de Prager [13]. Sin embargo, para el


ν = 0.3,Hn = 103Hn−1, n = número de puntos tensión-deformación prescritos

Curva del material para la regla de traslación de Prager (datos σ-ε)(n = 3) σ −→

ε −→300 500 900 N/mm2

0.03 0.153 0.4 %(n = 5) σ −→

ε −→300 500 700 800 900 N/mm2

0.03 0.153 0.276 0.338 0.4 %(n = 9) σ −→

ε −→300 375 450 525 600 675 750 825 900 N/mm2

0.03 0.076 0.122 0.169 0.215 0.261 0.307 0.353 0.4 %Curva del material para la regla de traslación de Mróz (datos σ-ε modificados)(n = 3) σ −→

ε −→300 500 892 N/mm2

0.03 0.153 0.4 %(n = 5) σ −→

ε −→300 500 693.6 792.8 892 N/mm2

0.03 0.153 0.276 0.338 0.4 %(n = 9) σ −→

ε −→300 375 450 520 592 669.6 743.2 816.8 892 N/mm2

0.03 0.076 0.122 0.169 0.215 0.261 0.307 0.353 0.4 %

Tabla 3.5: Parámtetros utilizados en las simulaciones de curvas de comportamiento bilineales

caso de utilizar la regla de Mróz, se llevó a cabo una ligera modificación de la curva bilineal, con objeto

de favorecer la convergencia del modelo, ver tabla 3.5. Para el caso del modelo con la regla de Prager,

no es necesario ningún ajuste.

En las figuras 3.16c y 3.16d se muestran los caminos de tensión obtenidos con ambos modelos respec-

tivamente. Para estas simulaciones, se han empleado tres discretizaciones distintas de la curva tensión-

deformación: 3, 5 y 9 tramos que dan lugar al mismo número de superficies en el espacio multiaxial. En

la figura 3.16c se muestran las predicciones de tensión utilizando la regla de traslación de Prager. Estos

caminos de tensión son independientes de la discretización de la curva tensión-deformación utilizada, lo

cual es consistente con la curva uniaxial empleada, la misma para las diferentes discretizaciones. En la

figura 3.16d se muestran las predicciones utilizando la regla de Mróz. En este caso se observa que las

predicciones dependen del número de superficies utilizado, y dicho número ha sido determinado arbitrari-

amente ya que con una única superficie habría bastado para describir correctamente la curva uniaxial.

Este test presenta un caso límite, pero no obstante muestra cómo el comportamiento multiaxial del

modelo utilizando la regla de traslación de Mróz no depende únicamente de la curva unixial tensión-

deformación, si no también muy sustancialmente del número y tamaño de las superficies con las que se

discretiza. Sin embargo, de la curva uniaxial únicamente resulta imposible inferir el número y tamaño

correctos que proporcionen un resultado multiaxial similar al que se obtiene experimentalmente.

La cuestión ahora es si el comportamiento multiaxial consistente que se obtiene utilizando la regla

de traslación de Prager se corresponde aceptablemente con el comportamiento multiaxial real de algún

material. Para ello, se van a comparar los experimentos llevados a cabo por Lamba y Sidebottom en 1978

[112] con las simulaciones numéricas de los mismos

3.4.3 Predicciones para los experimentos de Lamba y Sidebottom

Los resultados experimentales obtenidos por Lamba y Sidebottom en 1978 [112] se usan frecuentemente

para verificar el comportamiento de los modelos multiaxiales. Lamba y Sidebottom también llevaron

a cabo simulaciones numéricas con diversos modelos y concluyeron que el uso de la regla de traslación


de Prager daba como resultado predicciones en los caminos de tensión que distaban en gran medida de

los obtenidos experimentalmente, mientras que la regla de traslación de Mróz aplicada a la superficie

de plastificación de Tresca daba resultados próximos a los experimentales (incluso con la utilización de

la superficie de plastificación de von Mises se obtenían resultados poco satisfactorios). Sin embargo, el

criterio de plastificación de von Mises es más próximo al comportamiento experimental, como se puede

ver en los experimentos clásicos de Taylor y Quinney [156]. Los experimentos de Lamba y Sidebottom se

han usado, por ejemplo, en la referencia [101] para verificar modelos basados en la regla de traslación de

Armstrong-Frederick.

En este apartado se muestra que es posible obtener predicciones bastante aceptables utilizando la

regla de traslación de Prager. Las conclusiones obtenidas en la referencia [112] sobre las capacidades

multiaxiales predicitivas de la regla de Prager se pueden aplicar únicamente a la plasticidad clásica y/o

a los datos específicos que utilizaron en sus simulaciones. Las simulaciones presentadas en este apartado

se han obtenido utilizando el modelo y algoritmo implícito de la referencia [13], pero hay que señalar que

se puede utilizar cualquier otro modelo avanzado de plasticidad con la regla de Prager. Las simulaciones

se calcularon utilizando la hipótesis de tensión plana.

El camino de deformación impuesto en las simulaciones se muestra en la figura 3.17a. La curva uni-

aixal tensión-deformación prescrita se ha obtenido de la curva experimental tensión cortante-deformación

cortante procedente del camino 0 − 1, que es proporcional, y posteriormente se ha multiplicado por unfactor de

√3 para convertir la curva en una monotónica uniaxial. Por lo tanto, el camino 0−1 de la figura

3.17b únicamente determina la curva uniaxial prescrita, la cual se ha discretizado en cinco superficies.

Se ha representado la respuesta del modelo ante el camino definido por 1 − 2 − 3 − 4 − 5 − 6 − 7 − 8 .La figura 3.17b muestra la curva tensión cortante-deformación cortante, la figura 3.17c muestra la curva

tensión axial-deformación axial y la figura 3.17d muestra el camino tensión cortante-tensión axial. Estas

figuras se han comparado con los resultados experimentales de la referencia [112], que se han reproducido

en la figura 3.18. Se puede deducir que el modelo implementado es capaz de recoger, en esencia, el

comportamiento multiaxial de los experimentos. Es cierto que es posible implementar un modelo que sea

capaz de obtener mejores predicciones. Sin embargo, este no era el objetivo buscado en este trabajo, sino

mostrar el comportamiento multiaxial de la regla de Prager. Se observa que las predicciones multiaxiales

dependen más de la estructura del modelo que de la regla de traslación, es decir, modificando ligeramente

el modelo se pueden obtener mejores predicciones pero esto no influye en la verificación de la consistencia

de la regla de traslación de Prager.

3.4.4 ‘Ratchetting’ multiaxial incontrolado

Los modelos de plasticidad de superficies múltiples se formulan de tal forma que las predicciones para el

caso uniaxial no presentan ‘ratchetting’ (deformaciones plásticas acumuladas durante cargas cíclicas). Por

lo tanto, el modelo no exhibe este comportamiento bajo cargas uniaxiales, y tampoco debería exhibirlo

bajo cargas multiaxiales.

Sin embargo, si se tiene una carga multiaxial, no es inmediata la conclusión anterior. En la figura

3.19a se muestra la discretización en 9 superficies de una curva de tensión-deformación no lineal, como

se puede ver en la tabla 3.6. En la figura 3.19b se muestra el camino de tensión impuesto a un elemento

finito bajo condiciones de tensión constante.


-200 -100 0 100-150

-100

-50

0

50

100

150

tensión axial a

(MPa)

tens

ión

cort

ante

(M

Pa)

-0.01 0 0.01

-150

-100

-50

0

50

100

150

tens

ión

cort

ante

(M

Pa)

deformación cortante ingenieril

-4 -2 0 2 4

x 10-3

-200

-100

0

100

200

tens

ión

axia

l

a(M

Pa)

deformación axial a

-4 -2 0 2 4

x 10-3

-0.015

-0.01

-0.005

0

0.005

0.01

0.015

deformación axial a

defo

rmac

ión

cort

ante

inge

nier

il

a) b)

c) d)

1

2

3

4

5

6

7

8

1

23

45 6

7

8

00

0,1 0

1

2

2

3

3

4

4

55

6

6

7

7,8

8

Figura 3.17: Predicciones para los experimentos multiaxiales de Lamba y Sidebottom [112] utilizandoel modelo de superficies múltiples de la Referencia [13], basado en la regla de traslación de Prager.(a) Camino de deformación prescrito. (b) Curva tensión cortante-deformación cortante obtenida de lassimulaciones. (c) Curva tensión axial-deformación axial obtenida de las simulaciones. (d) Camino detensión multiaxial obtenido de las simulaciones.


Figura 3.18: Resultados de los experimentos multiaxiales de Lambda y Sidebottom de 1978. (a)Camino de deformación cíclico no proporcional prescrito. (b) Comportamiento torsional experimen-tal obtenido (tensión cortante-deformación cortante). (c) Comportamiento axial experimental (tensiónaxial-deformación axial). (d) Respuesta tensional experimental (tensión cortante-tensión axial). Figurasextraídas de la referencia [112]


Deformación plástica axial

Tensió

naxia

l(M

Pa)

Tensión cortante, Pa

Tensió

naxia

l,P

a

Figura 3.19: (a) Curva tensión-deformación, discretizada en 9 superficies.(b) Camino de carga prescrito

ν = 0.3,Hn = 103Hn−1, n = número de puntos tensión-deformación prescritos

Datos de tensión-deformación utilizando las reglas de traslación de Mróz y Prager(n = 9) σ

ε300 400 470 520 600 650 730 800 850 N/mm2

0.03 0.061 0.106 0.219 0.500 0.790 1.580 2.570 3.630 %

Tabla 3.6: Parámetros utilizados en la simulación de una curva de comportamiento no lineal

La figura 3.20 muestra las predicciones multiaxiales de deformación para 15 ciclos utilizando la regla

de traslación implícita de Mróz [147] y la regla de traslación de Prager [13]. Como se observa en la

figura, la regla de traslación de Mróz predice “ratchetting” multiaxial constante, mientras que utilizando

la regla de Prager, las predicciones dan como resultado ciclos estables. Como conclusión, la utilización

de la regla de traslación de Mróz da como resultado un ‘ratchetting’ constante, desconocido a priori,

y no deseado (incontrolado). Sin embargo, utilizando la regla de Prager, se obtienen ciclos estables, lo

cual es consistente con la formulación uniaxial propuesta. El fenómeno de ‘ratchetting’ en un modelo, a

veces deseable ya que se presenta en algunos materiales, debe estar controlado por el usuario a través de

parámetros del material que se obtengan de experimentos para el material en cuestión.

3.4.5 Conclusiones

Los modelos de superficies múltiples son una buena alternativa para modelar endurecimiento multiaxial

no-lineal a partir de una curva uniaxial tensión-deformación, obtenida de forma experimental, ya que desde

el punto de vista del usuario únicamente es necesario especificar pares de puntos de tensión-deformación

de dicha curva. A partir de éstos, los parámetros del material se obtienen automáticamente de forma

explícita. Además estos modelos conservan el comportamiento Masing ante cargas cíclicas

La regla de traslación empleada habitualmente en la literatura es la regla de Mróz. La regla de Mróz

es no asociativa (únicamente se basa en criterios geométricos), mientras que la regla de traslación de

Prager es una regla de tipo asociativa, se obtiene del principio energético de máxima disipación.


Deformación cortante

Defo

rmació

naxia

lD

efo

rmació

naxia

l

Defo

rmació

naxia

lD

efo

rmació

naxia

l

Deformación cortante

Deformación cortanteDeformación cortante

Figura 3.20: Predicciones de los caminos de deformación correspondientes a la curva tensión-deformacióny al camino de carga de la Figura 7. Se muestran los resultados correspondientes a 15 ciclos de carga.(a) Predicciones obtenidas utilizando la regla de traslación implícita de Mróz. (c) Predicciones obtenidasutilizando la regla de Mróz. (b) y (d) detalles.

3.5. PLASTICIDAD CAM-CLAY DE SUPERFICIES MÚLTIPLES 113

Se ha mostrado que el comportamiento multiaxial de los modelos que utilizan la regla de Mróz depende

de la discretización (arbitraria) que se lleve a cabo de la curva uniaxial tensión-deformación, mientras

que el de los modelos basados en la regla de Prager son independientes de la discretización de la misma.

Se ha mostrado también que los modelos basados en la regla de traslación de Mróz no presentan ciclos

estables ante cargas cíclicas multiaxiales, sino que aparecen deformaciones permanentes crecientes (no

controlables, inesperadas, y por lo tanto indeseadas) bajo ciclos de carga multiaxiales. Por otra parte,

los modelos basados en la regla de Prager presentan ciclos estables ante cargas cíclicas.

3.5 Modelos de superficies múltiples aplicados a la mecánica de

suelos: Plasticidad Cam-Clay

Uno de los problemas más complejos en mecánica de suelos es la simulación del comportamiento de

suelos bajo la gran variedad de situaciones que se pueden presentar en la práctica. El método más

utilizado en la simulación del comportamiento de suelos es la teoría clásica de plásticidad, incluso cuando

la naturaleza de los desplazamientos permanentes en suelos es diferente que en metales [3], [7], [153], [15],

[157]. Una de las situaciones que se pueden presentar en la realidad es la aparición de procesos cíclicos

de carga-descarga, como, por ejemplo, en un terremoto. Durante el procedimiento de carga cíclico, los

sólidos disipan energía, incluso para ciclos con amplitudes de deformación reducidas, ver por ejemplo las

referencias [7], [153], [15] y el clásico [157].

El comportamiento histerético, en ciclos de descarga y recarga, de la presión de consolidación se ha

comprobado en los experimentos clásicos de Roscoe y Burland [158], aunque, en su modelo, se desprecia

la disipación generada en esos ciclos, desarrollando su conocido modelo de Cam-Clay basado en la teoría

del estado crítico. Desde entonces, se han formulado numerosos modelos en los que se incluye ese tipo de

disipación , ver por ejemplo las referencias [159], [94], [160], [16], [161], [13], [18], [162], [163], [127], [17].

En este apartado se desarrolla un modelo que presenta unas características particulares, que lo hacen

muy atractivo desde el punto de vista numérico y teórico. La primera, es que el comportamiento elástico

se ha modelado a través de una función de energía almacenada y, por lo tanto, la ecuación constitutiva

para la parte elástica es hiperelástica. Esta es una característica importante en el caso de cargas cíclicas,

ya que, en contraste con la hipoplasticidad, las deformaciones elásticas no disipan o introducen energía en

el sistema. La segunda, es que el modelo es consitente consigo mismo para una misma discretización de la

curva tensión-deformación, es decir, el comportamiento del modelo no cambia en función del número de

superficies utilizado. Esta es una inconsistencia detectada en modelos que utilizan la regla de traslación

de Mróz tradicional, ver la referencia [148]. Además, el modelo no presenta el fenómeno de ’spiraling’, es

decir, si el modelo es consistente, dado un estado de tensiones conocido, desde este estado de tensiones no

es posible obtener el mismo estado tensional final utilizando un camino elástico que un camino plástico

proporcional. Este efecto se presenta típicamente en los modelos de superficies múltiples basados en la

regla clásica de Mróz y en los modelos clásicos de superficie límite [18], [164]. La tercera, es que el modelo

está basado en la Mecánica de Suelos del Estado Crítico y, para suelos saturados no drenados, es posible

detectar incrementos en la presión en las zonas porosas. La cuarta es que, durante cargas cíclicas, el

modelo conserva el comportamiento Masing para cualquier nivel tensional. Esta es una característica que

los modelos clásicos de superficie límite no simulan convenientemente, ya que no conservan una relación


homológica constante entre las curvas de carga y descarga, mientras que los modelos de plasticidad de

superficies múltiples lo simulan correctamente. La quinta, es que el modelo se comporta exactamente

como el modelo clásico de plasticidad de Cam-Clay con las relaciones hiperelásticas de las referencias [165]

y [127], en pequeñas deformaciones, durante el proceso de consolidación. El modelo presentado modifica

únicamente el comportamiento dentro de la superficie de consolidación. Además, se ha implementado un

algoritmo de integración de tensiones totalmente implícito, ver apéndice 9.2. Por último, se presentan una

serie de simulaciones numéricas en un punto de integración con objeto de verficar el buen comportamiento

del modelo.

3.5.1 Relaciones hiperelásticas

Aunque los modelos clásicos de Cam-Clay utilizan relaciones hipoelásticas para la integración de ten-

siones procedentes de deformaciones elásticas [157], [158], [162], [163], el uso de una función de energía

almacenada de las que derivan las relaciones hiperelásticas, proporciona un marco consistente en el cual,

los procesos elásticos no disipan o introducen energía extra [3]. Esto es de especial importancia en los pro-

cesos de carga cíclicos [165]. Aunque la energía disipada por las deformaciones elásticas en las relaciones

hipoelásticas es relativamente pequeña en comparación con la disipada por las deformaciones plásticas,

la teoría que se formula utilizando estas relaciones hipoelásticas es termodinámicamente inconsistente y,

por lo tanto, la hipoelasticidad se debe evitar cuando sea posible [127].

En hiperelasticidad, se asume la existencia de una función de energía almacenada ψe. En este trabajo,

se ha utilizado la función de energía de las referencias [127] y [17] (ver también la referencia [165]) de la

forma

ψe = −p0κ expω + 32μ

e (εes)2 (3.128)

donde κ es el parámetro de compresibilidad volumétrico, defindo en la referencia [127],

μe := μ0 − ap0 expω con ω = −εev − εev0κ

(3.129)

y

εev = tr (εe) =√3 kεevk , εes =

q23

°°εed°° (3.130)

εev := 13ε

evI, εed := εe − εev (3.131)

Los valores de p0, μ0 y εev0 son valores de referencia en un punto conocido. El criterio en ω es tal que

las deformaciones volumétricas y la presión (tensión media) tienen el mismo signo. El parámetro a es un

parámetro del material, definido en la referencia [127] como α. El valor de a = 0 da lugar a un módulo

cortante constante μe. El tensor de tensiones se obtiene directamente de las deformaciones elásticas, en

forma total (no incremental) como

σ = pI+q

23qe (3.132)

donde la tensión triaxial desviadora q y la tensión principal p son, respectivamente


p =∂ψe

∂εev= p0

∙1 +

3a

2κ(εes)

2

¸expω (3.133)

q =∂ψe

∂εes= 3 (μe0 − ap0 expω) ε

es (3.134)

y

e := εed/°°εed°° (3.135)

El tensor I es el tensor identidad de segundo orden. Además se cumple que

q =

r3

2

°°σd°° con σd = σ − pI y p = 1

3 tr (σ) (3.136)

En cualquier punto de deformación elástico, el tensor constitutivo elástico se obtiene como, ver refer-

encias [127], [17]

Ce = 23D

e22I+

¡De11 − 2

9De22

¢I⊗ I+

q23D

e12 (e⊗ I+ I⊗ e) (3.137)

donde I es el tensor proyector simétrico de cuarto orden

[I]ijkl =12 (δikδjl + δilδjk) (3.138)

y los escalares Deij son los términos de la matriz elástica en términos de invariantes como"

p

q

#=

"De11 De

12

De22 De

22

#"εevεes

#(3.139)

donde se deduce que

De11 = −p/κ; De

22 = q/εes; De12 = De

21 = 3p0aεes/κ expω (3.140)

El tensor de ecuación (3.137) relaciona los ratios de deformación elástica con los ratios de tensión como

σ = Ce : εe (3.141)

Sin embargo, la matriz tangente definida en la ecuación (3.137) no se usa en la integración de la tensiones,

si no que se obtienen directamente de la ecuación (3.132).

3.5.2 Funciones de plastificación y endurecimiento

La plasticidad de Cam-Clay Modificada está basada en la existencia de funciones de fluencia de forma

elipsoidal. La expresión genérica para estas funciones de fluencia es del tipo

fi :=12

¡σ −αi

¢:M :

¡σ −αi

¢− 1

2r2i = 0 (3.142)


q

(-p)

fn

CSL

f1

fi

Zona de consolidación

Zona de dilatación

r1

a1

pc

an

Superficie de consolidación Superficies de endurecimiento

Superficie de plastificación

Figura 3.21: Modelo de Cam-Clay superficies múltiples

donde σ es el tensor de tensiones de segundo orden, αi es el tensor de ’backstress’ de segundo orden, ri es

el eje menor principal (variable interna escalar que tiene como significado la norma del tensor desviador)

y M es el tensor de forma de cuarto orden, que para un modelo definido por dos invariantes, adopta la

forma

M =³ c3

´2I⊗ I+ PI con PI := I− 1

3I⊗ I (3.143)

donde c es un parámetro que define el ratio entre ejes. Por supuesto, es posible usar modelos con

tres invariantes más realistas, con el simple cambio de este tensor de forma anisótropo. Este tensor es

invertible, y su inversa es

M−1 =1

c2I⊗ I+ PI (3.144)

La plasticidad de superficies múltiples está basada en la hipótesis de la existencia de diversas superficies

que actúan como superficies de endurecimiento, y algunas veces incluso superficies de fluencia. Sin

embargo, un modelo formulado correctamente siempre debe usar la misma superficie como superficie de

fluencia, y el resto de superficies como superficies de endurecimiento [148]. Este procedimiento asegura

que para cualquier punto de tensiones de prueba (o de forma más precisa, para cualquier punto de

deformación elástica de prueba), la condición de fluencia está siempre bien definida y esta condición es

continua. Esto es de suma importancia en la implementación de algoritmos de integración implícitos

Para el modelo presentado en este trabajo, se utilizan un conjunto de n superficies definidas según

la ecuación (3.142) y con la condición ri+1 > ri. La primera superfcie f1 actúa como superficie de

plastificación, mientras que la última superficie fn actúa como superficie de consolidación, ver figura

3.21. El resto de superficies son únicamente superficies de endurecimiento, es decir, una herramienta

para calcular el módulo de endurecimiento efectivo. En este modelo, la superficie de consolidación se

trata como un caso especial, como se verá más adelante.


(-p)

q

q = -Mp

pcnpcn+1 anan+1

Figura 3.22: Endurecimiento de la superficie de consolidación

3.5.3 Reglas de flujo y endurecimiento

La regla de flujo utilizada frecuentemente en la plasticidad de Cam-Clay modificada es la regla de flujo

asociativa de la forma

εp = Γ∂f1∂σ

= Γ M :¡σ −α1

¢=: Γ f1 (3.145)

donde f1 es la dirección de flujo definida como

f1 := ∂f1/∂σ =M :¡σ −α1

¢(3.146)

y Γ es el parámetro de consistencia.

Por otra parte, las evidencias experimentales obtenidas en mecánica de suelos ha llevado a los in-

vestigadores a utilizar reglas de endurecimiento no asociativas. El regla de endurecimiento habitual en

plasticidad de Cam-Clay es de tipo mixto. La superficie de consolidación endurece de forma isótropa y

cinemática, ver figura 3.22

La regla es tal que debe satisfacer las siguientes condiciones:

• La forma de la superficie se conserva, es decir M se mantiene constante

• La dirección principal del elipsoide es el eje hidrostático. Los extremos del mayor de los ejes

principales del elipsoide se denominan “vértices”

• Uno de los vértices está siempre en el origen del plano q − p. El otro vértice es el denominado

presión de consolidación isótropa pc. Por lo tanto, el centro de la superficie está dado por

αn =pc2I (3.147)


La relación de la presión con el tamaño rn de la superficie de consolidación se obtiene a partir de la

Ecuación (3.142) como

fn =12

³pcI−

pc2I´:

∙³ c3

´2I⊗ I+ PI

¸:³pcI−

pc2I´− 1

2r2n (3.148)

= c2p2c8− 1

2r2n = 0 (3.149)

∴ rn = c|pc|2

(3.150)

Para el caso de contacto del tensor de tensiones con la línea de estado crítico (CST ), se cumple

σ =pc2I+ σd (3.151)

donde se obtiene

fn =12

°°σd°°2 − 1

2r2n = 0 ⇒ rn =

°°σd°° (3.152)

Por lo tanto, el significado de c como relación entre ejes en el plano “norma tensión desviadora-norma

tensión media” está clara. Este parámetro está relacionado con el parámetro M , que es la pendiente de

la línea de estado crítico (CSL) en el plano q − p por un factor dep2/3.

Puesto que al definir la ecuación (3.147) se obtuvo la ecuación (3.150), el endurecimiento de la super-

ficie de consolidación tiene que ser de tipo mixto cinemático/isótropo, donde la dirección de traslación

viene dado por el eje hidrostático I.

La regla de endurecimiento mixto en la superficie de consolidación es una relación no lineal, basada

en observaciones experimentales, y usada, por ejemplo, en la referencias [127] y [17]. El endurecimiento

cinemático e isotrópo están acoplados a través de pc, cuya ley de endurecimiento esta dada por

pc = pcn exp

µ−ε

pv − εpvnλ− κ

¶(3.153)

o bien escrito como

pc = −θpcεpv with θ =1

λ− κ(3.154)

El parámetro λ es un parámetro de consolidación del material definido en la referencia [127]. El criterio

de signos de pc y εv es el habitual en mecánica de los medios continuos. La traslación cinemática de la

superficie de consolidación da lugar a la siguiente expresión

αn =pc2I = −θ pc

2εpvI (3.155)

y para incrementos plásticos pequeños

αnn+1 =

pcn2exp

µ−ε

pv − εpvnλ− κ

¶I (3.156)

=pcn2exp

µ−∆Γtr (f1)

λ− κ

¶I (3.157)


Utilizando el desarrollo de Taylor de la función exponencial para pequeños incrementos de deformación

volumétrica:

αnn+1 '

pcn2

∙1− 1

λ− κ∆Γtr (f1)

¸I (3.158)

= αnn −

pcn/2

λ− κ∆Γtr (f1) I (3.159)

= αnn +

pcn/2

λ− κ∆γn (3.160)

donde se define

n =f1kf1k

≡ fikfik

≡ fnkfnk

para este caso n = − 1√3I (3.161)

y se redefine

∆Γ kf1k =: ∆γ, para este caso ∆Γtr (f1)√3 = ∆γ (3.162)

El signo de n para este caso depende únicamente en el criterio de signos utilizados para la presión. El

incremento ∆γ es tal que

∆εp = ∆Γf1 = ∆γn (3.163)

Por lo tanto, de la ecuación (3.160)

Hn :=pcn/2

λ− κ≡ rn/c

λ− κ(3.164)

se puede considerar Hn como el módulo de endurecimiento efectivo cinemático de la superficie de con-

solidación. El módulo de endurecimiento equivalente combinado es el coeficiente De11 en la ecuación

(3.140)

2Hn =pcnλ− κ

=2rn/c

λ− κ(3.165)

Sin embargo, las superficies de endurecimiento internas no se trasladan únicamente en el eje hidrostático,

hecho que se ha contrastado experimentalmente. En la referencia [158], se muestra que los suelos pre-

sentan un comportamiento histerético cíclico, incluso dentro de la superficie de consolidación, y este

comportamiento muestra una relación homológica próxima a dos entre las curvas de descarga y recarga,

tanto en los planos volumétrico y desviador (comportamiento Masing).

En modelos desviadores, la regla de endurecimiento puede ser la regla de traslación de Mróz o la regla

de traslación de Prager. La segunda es asociativa y, por lo tanto, es interesante su uso en este tipo de

modelos. La regla de traslación de Mróz es, sin embargo, más intuitiva de formular. El modelo presentado

en este apartado no puede ser asociativo debido a que las observaciones experimentales nos inducen otro

tipo de regla de traslación para la superficie de consolidación. Además, la regla de flujo asociativa se

formula considerando a la superficie de consolidación como superficie de fluencia. El modelo presentado

simplemente trata de simular el comportamiento histerético dentro de la superficie de consolidación, sin

cambiar el comportamiento global del modelo durante la consolidación. Por lo tanto, la regla de flujo

debe obtenerse a partir de la superficie de consolidación.

En el presente modelo, y con objeto de tener en cuenta todas las consideraciones anteriores, se ha

utilizado una regla de traslación similar a la regla de traslación cinemática de Mróz, cuando el flujo

plástico tiene lugar dentro de la superficie de consolidación, mientras que se utiliza el endurecimiento


q

p (-)

CSL

t

m

pc

s

s

fn

f1 fi

anai

Figura 3.23: Caso de no consolidación. Endurecimiento dentro de la superficie de endurecimiento.

mixto comentado anteriormente cuando el flujo plástico tiene lugar en la superficie de consolidación.

La regla de traslación de Mróz modificada se formula en términos de tensor de tensiones imagen σ en

la superficie de consolidación fn, ver figura 3.23, de la forma

σ = αn +rnr1t (3.166)

donde

t =σ −α1kσ −α1k (3.167)

La dirección de traslación modificada de Mróz es

m =σ − σkσ − σk (3.168)

La figura 3.24 muestra una comparación entre las reglas de traslación isótropa y cinemática del modelo

clásico de von Mises y el modelo propuesto en este trabajo. El vector n denota la dirección de flujo. Para

el caso del modelo clásico de von Mises, la expresión que representa la contribución al endurecimiento

cinemático (regla de traslación cinemática de la superficie i) es

αi : n = γiHi (3.169)

donde Hi es la contribución de la superficie i al endurecimiento cinemático. La contribución al endurec-

imiento isótropo (regla de traslación isótropa de la superficie i) se define como

¡σ − αi

¢: n = γiKi (3.170)


Figura 3.24: Comparación de las reglas de endurecimiento isótropa y cinemática en un modelo clásico devon Mises (figura superior) y el modelo Cam-Clay propuesto


Igualmente, para el caso del modelo de Cam-Clay, se puede definir la relación de traslación en este caso

como

αi : n = γiHi (3.171)

donde hay que determinar Hi. Definiendo αi como

αi :=¡σ − αi

¢: n = 0⇒ σ : n = αi : n (3.172)

y utilizando las ecuaciones (3.169), (3.170) se obtiene

σ : n = αi : n+γiKi = γiHi + γiKi =¡Hi + Ki

¢γi (3.173)

y sustituyendo en la ecuación (3.171) y la definición de αi se tiene

¡Hi + Ki

¢γi=γiHi (3.174)

Por lo tanto, Hi es el endurecimiento asociado a la superficie i en el modelo de Cam-Clay modificado.

Por otra parte, se define la contribución global del parámetro de consistencia como

∆γ =nXi=1

∆γi (3.175)

donde i denota a la superficie. La contribución de la superficie i al parámetro de consistencia se calcula

como

∆γi =1

Hi

¡αin+1 −αi

n

¢: n (3.176)

donde αin+1 esta dada por la relación de homología en el punto de tensión

αin+1 = σ − ri

r1M−1 : f1 (3.177)

y1

Hi=1

H−

i−1Xj=1

µ1

Hj

¶(3.178)

es el endurecimiento asociado a la superficie i.

El módulo de endurecimiento H viene dado por la expresión, ver Figura 3.25

H¡ρi, n

¢= Ka− [Ka+ (n : I)K]

£1− hi

¡ρi¢¤

(3.179)

donde hi es una función que su valor oscila entre 1 (Caso Elástico) y 0 (Superficie de Consolidación) y a

es un parámetro de endurecimiento. La función hi seleccionada es

hi¡ρi¢= exp

∙b− b

1− ρi

¸(3.180)


-1-0.500.51

-1

-0.5

0

0.5

1

-40

-20

0

20

40

60

80

100

* cos

* sin

H(

,)

CSL

I p

q

Si elástico: H>>0

Zona de consolidación: H>0En este punto de tensión: H=K

En este punto de tensión: H=0

Zona de dilatación: H<0En este punto de tensión: H=-K

Figura 3.25: Función de endurecimiento H

donde b es dato y ρi es el ratio entre radios

ρi =rirn⇒(

Si ρi = 0⇒ hi = 1⇒ H (n) = Ka

Si ρi = 1⇒ hi = o⇒ H (n) = − (n : I)K(3.181)

3.5.4 Ejemplos numéricos

En este apartado, se verifica el comportamiento del modelo de superficies múltiples basado en la plasti-

cidad de Cam-Clay en pequeñas deformaciones bajo una carga cíclica controlada por deformación. Para

ello, se realizan distintas simulaciones en un punto de integración y se verfican los resultados obtenidos.

Los parámetros de material utilizados en las simulaciones se han extraído de la referencia [127].

Se han realizado dos tipos de análisis. El primer análisis consiste en la prescripción de un ciclo de

carga no proporcional y el posterior estudio de la influencia en la solución de diversos parámetros del

modelo. La figura 3.26 representa el ciclo de carga no proporcional prescrito y la influencia de la presión

de consolidación pc (figura 3.26 (b)) y el número de superficies (figura 3.26 (c)) en la solución. Por último,

la figura 3.26 (d) muestra un análisis de convergencia en este caso de carga. La figura 3.27 representa

la influencia del tamaño de las superficies prescritas y del parámetro de endurecimiento a en la solución.

Por último, el segundo análisis consistencia en el estudio del comportamiento del modelo ante cargas

cíclicas (varios ciclos de carga). La figura 3.28 representa la respuesta del modelo ante varios ciclos de

carga, representados en la figura 3.28 (a) . Los resultados representan en gran medida los obtenidos en la

referencia [17].


0 10 20 30 40 50 60 70 80-0.06

-0.05

-0.04

-0.03

-0.02

-0.01

0

0.01

0.02

0.03

Step

cyclic loading

-120 -100 -80 -60 -40 -20-0.06

-0.05

-0.04

-0.03

-0.02

-0.01

0

0.01

0.02

0.03

Pressure p [kPa]

Change of pc

inside cons. surface

no change of pc

inside cons. surf.

-120 -100 -80 -60 -40 -20 0-0.06

-0.05

-0.04

-0.03

-0.02

-0.01

0

0.01

0.02

0.03

Pressure p [kPa]

15 surfaces5 surfaces3 surfaces

-120 -100 -80 -60 -40 -20-0.06

-0.05

-0.04

-0.03

-0.02

-0.01

0

0.01

0.02

0.03

Pressure p [kPa]

750 steps45 steps

( a ) ( b )

( c ) ( d )

Vo

lum

etri

c st

rain

vεV

olu

met

ric

stra

invε

Vo

lum

etri

c st

rain

vεV

olu

met

ric

stra

invε

Figura 3.26: Resultados de la simulación ante un ciclo de carga no proporcional. La Figura (a) representael camino de deformación volumétrica prescrito. Las Figuras (b) y (c) muestran la influencia de la presiónde consolidación pc y del número de superficies prescritos en el comportamiento de la solución obtenida.La Figura (d) representan un análisis de convergencia en este tipo de carga.


-120 -100 -80 -60 -40 -20 0-0.06

-0.05

-0.04

-0.03

-0.02

-0.01

0

0.01

0.02

0.03

Pressure p [kPa]

Influence of the surfaces ratio (3 surfaces)

ρ(i) = (i / n)1/2

ρ(i) = (i / n)ρ(i) = (i / n)2

-120 -100 -80 -60 -40 -20-0.06

-0.05

-0.04

-0.03

-0.02

-0.01

0

0.01

0.02

0.03

Pressure p [kPa]

Influence of the surfaces ratio (10 surfaces)

ρ(i) = (i / n)1/2

ρ(i) = (i / n)ρ(i) = (i / n)

2

-120 -100 -80 -60 -40 -20 0-0.06

-0.05

-0.04

-0.03

-0.02

-0.01

0

0.01

0.02

0.03

Pressure p [kPa]

Influence of the hardening parameter a (10 surf.)

a = 101

a = 102

a = 103

a = 105

a = 109

( a ) ( b )

( c )

Vo

lum

etri

c st

rain

vε

Vo

lum

etri

c st

rain

vε

Vo

lum

etri

c st

rain

vε

Figura 3.27: Resultados de la simulación de un ciclo de carga no proporcional. Las Figura (a) y (b)muestran la influencia del tamaño relativo entre superficies del modelo de superficies múltiples en lasolución. Las Figura (c) muestra la influencia del parámetro de endurecimiento a.


0 50 100 150 200 250 300-0.01

-0.008

-0.006

-0.004

-0.002

0

0.002

0.004

0.006

0.008

0.01

Step

-90 -80 -70 -60 -50 -40-60

-40

-20

0

20

40

60

Pressure p [kPa]

Sh

ear

stre

ss q

[kP

a]

300 Steps60 Steps

-1 -0.5 0 0.5 1-90

-85

-80

-75

-70

-65

-60

-55

-50

-45

Pre

ssu

re p

[kP

a]

300 Steps60 Steps

-0.015 -0.01 -0.005 0 0.005 0.01 0.015-60

-40

-20

0

20

40

60

Sh

ear

stre

ss q

[kP

a]

300 Steps60 Steps

( a ) ( b )

( c ) ( d )

Sh

ear

stra

ine s

Shear strain es

Volumetric strain ev

Figura 3.28: Resultados de la simulación ante varios ciclos de carga. La Figura (a) representa los ciclosde carga prescritos. Las Figuras (b), (c) y (d) muestran el análisis de convergencia del modelo ante cargascíclicas

Capítulo 4

Observaciones experimentalespreliminares de la evolución de laortotropía plástica en metaleslaminados

En este capítulo se presentan las diferentes fases que configuran el estudio experimental preliminar de

la ortotropía plástica presente en metales laminados. El material seleccionado para este estudio ha sido

la aleación de aluminio-magnesio 5754, en formato de chapa laminada, debido a sus buenas propiedades

mecánicas y gran aplicabilidad industrial. El capítulo se divide en tres partes: en el primer apartado se

presentan diversos estudios experimentales sobre la anisotropía en metales laminados realizados hasta la

fecha. En el segundo apartado se presentan las características físicas principales del material objeto de

estudio y se analiza desde el punto de vista mecánico. Y en el tercer apartado, se plantea el procedimiento

experimental realizado en este análisis, con las diferentes fases del estudio. Por último, se presentan

algunos resultados experimentales preliminares de la evolución de la ortotropía plástica.

4.1 Introducción

Ciertos procedimientos de fabricación tales como el laminado, se caracterizan por ser procesos direc-

cionales y como tales provocan unas direcciones preferentes en el material, que son las direcciones princi-

pales de anisotropía, ver figura 4.1 y figura 4.2. Los posteriores procesos de conformado pueden provocar

deformaciones principales según orientaciones diferentes a las preferentes.

La evidencia experimental al respecto no se puede considerar todavía concluyente, en el sentido de

que se haya conseguido interpretar inequívocamente lo que sucede en procesos superpuestos. Desde el

punto de vista de la anisotropía elástica, no existen resultados experimentales rigurosos donde se ponga de

manifiesto la evolución de dicha anisotropía cuando las deformaciones se producen en direcciones distintas

a las direcciones preferentes de anisotropía. No obstante, existen suficientes ensayos experimentales desde

127

128 CAPÍTULO 4. OBSERVACIONES EXPERIMENTALES PRELIMINARES

Figura 4.1: Microestructura de Aluminio puro comercial laminado. Se observa la dirección preferente delproceso de fabricación. Figura extraída de la referencia [166]

(a) (b) (c)

Figura 4.2: Evolución de la microestructura de latón α con la deformación plástica. La Figura (a)corresponde con el estado inicial de partida, la Figura (b) corresponde con una deformación plástica del20% en dirección vertical inducida por un proceso de laminación y la Figura (c) corresponde con unadeformación plástica del 50%. Se observa el direccionamiento que presenta la microestructura por efectodel laminado [22]


Figura 4.3: Superposición de diferentes tipos de endurecimiento bajo deformaciones que no coincidencon las direcciones preferentes de anisotropía: Endurecimiento cinemático (traslación de la superficie),endurecimiento/reblandecimiento isótropo y rotación de la superficie. La figura de la izquierda muestrala evolución de la superficie de fluencia para deformaciones impuestas según una de las direcciones pref-erentes. La figura de la derecha muestra la evolución cuando las deformaciones impuestas no son segúnuna de las direcciones preferentes. El material es un acero al Cromo-Molibdeno-Vanadio. Figura extraídade la referencia [6].

el punto de vista de la anisotropía plástica para concluir que efectivamente existe una rotación de los

planos de simetría debido al giro y deformación de los granos en sólidos policristalinos. La figura 4.3

muestra un ejemplo de endurecimiento anisótropo combinado en el que la rotación de la superficie de

plastificación es significativa cuando las deformaciones se producen fuera de las direcciones preferentes

de anisotropía.

Resultados similares pero más determinantes han sido obtenidos por Kowalewski y Sliwowski [40]. En

la figura 4.4 se representa la evolución de la superficie de plastificación ante cargas cíclicas proporcionales

impuestas en diferentes direcciones respecto de la principal. Es preciso notar que aunque la tensión

efectiva acumulada es elevada, los límites de las deformaciones cíclicas impuestas son de sólo 0.65%. Por

ello, cabe deducir que el giro de la superficie es acumulativo, ya que tras varios ciclos se ha reorientado

significativamente.

No obstante, los resultados tal vez más relevantes hasta la fecha son los obtenidos por Kim y Yin [41],

ya que cuantifican la evolución de la superficie de plastificación anisótropa en chapas laminadas de acero

bajo en carbono. La figura 4.5 muestra la evolución de la dirección preferente, inicialmente marcada como

X, con deformaciones superpuestas bajo ángulos de 30o, 45o y 60o con la dirección principal de anisotropía

inicial —la dirección de laminado (RD). En dicha figura se observa que la dirección, inicialmente alineada

con la dirección de laminado, va girando hasta alinearse con la nueva dirección principal de estirado (1)

o con la perpendicular. Obsérvense las curvas con ángulos iniciales de 30o y 60o. Comparando ambos

casos se observa que el giro es en dirección opuesta. Este es un hecho novedoso que parece no haber sido

entendido todavía, ya que las teorías que predicen dicho giro en anisotropía lo hacen siempre en la misma

dirección.


Figura 4.4: Evolución de la superficie de plastificación ante cargas cíclicas proporcionales repetidas im-puestas en diferentes direcciones respecto a la principal. La ejecución del ensayo es mediante tubos atracción/compresión y cortante (ensayo tipo Taylor y Quinney). El material es acero 18G2A (según normapolaca). Las dos superficies mostradas en cada gráfica se corresponden con deformaciones permanentesde muestreo del 0.001% y del 0.005%.. En la esquina superior izquierda se muestran las diferentes direc-ciones ensayadas, en la esquina inferior izquierda se muestran los ciclos de tensión efectiva-deformaciónefectiva para cada una de las direcciones ensayadas. En la parte derecha se muestran las superficies deplastificación obtenidas, siendo la central la original. Figura adaptada de la referencia [40]


Figura 4.5: Evolución de la dirección principal X de anisotropía con deformaciones superpuestas endirecciones diferentes a las de laminado. La Figura superior izquierda muestra un esquema del ensayo.Las gráficas muestran la evolución del ángulo θ que forma la dirección principal X con la de laminado(RD). Inicialmente θ = 0. El ángulo ψ es el que forma la dirección de ensayo con la de laminado. Lastres gráficas se corresponden con ángulos ψ = 30o (a), ψ = 45o (b) y ψ = 60o (c). Figura adaptada de lareferencia [41]


Figura 4.6: Evolución de las superficies de fluencia anisótropas con deformaciones superpuestas a unángulo de 30o con la dirección de laminado. Figura adaptada de la referencia [41]

La figura 4.6 muestra la evolución de las superficies de plastificación anisótropa para el caso de

deformaciones superpuestas a 30o de la dirección de laminado original. En dichas curvas se observa tres

efectos superpuestos. El primero es un endurecimiento importante debido a las deformaciones adicionales.

El segundo es un giro de las direcciones principales de anisotropía. El tercero es una destrucción parcial

y momentánea de la anisotropía, que se produce para deformaciones de aproximadamente un 1%. No

obstante, este efecto es transitorio y muy localizado, ya que para deformaciones de un 2% se recupera la

proporción de anisotropía inicial. Es especialmente relevante notar que los parámetros de anisotropía de

Hill para la superficie original son similares a los del resto de las superficies si excluimos la del 1%.

Desde el punto de vista microscópico, la figura 4.7 reproduce los resultados experimentales de la

referencia [39]. En este gráfico se muestran las representaciones en Figuras de Polos para los cristales de

los granos de aluminio Al (99,5%). La figura superior izquierda representa el estado inicial sin deformar;

el resto de las figuras muestran la evolución de las Figuras de Polos cuando se somete el material a un

20% de deformación en la dirección indicada por τ . Nótese que las estructuras representadas giran por

completo hacia la dirección marcada por τ para ese nivel de deformación. RD es la dirección de laminado

original y SYM es la dirección de simetría. Las direcciones se corrresponden con las de los índices de

Miller 1, 1, 1.Por último, existen estudios experimentales donde se presentan conjuntamente las visiones microscópica

y macroscópica, como, por ejemplo, los realizados por Boehler en 1991 [42] (ver figura 1.17 del apartado

1.1.5) y Truong Qui y Lippmann en 2001 [140], donde se muestra la evolución de la superficie de Hill ante

deformaciones impuestas a 45o de la dirección de laminado y la evolución de la simetría microestructural

observada a través de las Figuras de Polos para las direcciones cristalográficas dadas por los índices de


Figura 4.7: Figuras de polos según la dirección cristalográfica 1, 1, 1 en aluminio puro comercial (Al99.5%) laminado obtenidas a partir de medidas con rayos X. Figura extraída de la referencia [39]


Miller 1,0,0. El material es un acero dúctil.

En conclusión, se pueden obtener las siguientes observaciones:

1. El giro de la superficie de plastificación es muy importante; tanto que pretender utilizar una su-

perficie de plastificación anisótropa para procesos de conformado plástico sin considerar este efecto

puede ser una solución equivocada, ya que para deformaciones muy pequeñas, las direcciones de

anisotropía preferentes escogidas pueden haber cambiado sustancialmente, a menos que las defor-

maciones tengan lugar en dichas direcciones preferentes.

2. Los parámetros de forma de la anisotropía no varían excesivamente para un material determinado,

incluso aunque las deformaciones se produzcan según ejes no preferentes. No obstante, parece que

para deformaciones muy bajas puede haber una momentánea disminución de la anisotropía.

Otro aspecto a considerar en los estudios experimentales existentes de la evolución de la anisotropía

en metales, es que únicamente se centran en el análisis de la evolución de la anisotropía de las propiedades

mecánicas plásticas, como puede ser la variación de la tensión de fluencia con la orientación. Sin embargo,

el estudio de la anisotropía elástica y su evolución también es de interés en diversas aplicaciones, como

pueden ser, el análisis de los procesos de recuperación elástica en procesos de conformado de metales

y, por ejemplo, en el fenómeno de propagación de ondas en materiales geológicos [167]. Además, los

experimentos indican que las propiedades elásticas efectivas y las plásticas están relacionadas en materiales

policristalinos donde se desarrolla una textura moderada [168]. Existen diversos estudios experimentales

que demuestran que la anisotropía elástica presente en diversos metales laminados puede ser relevante

y, por lo tanto, hay que tenerla en consideración cuando se llevan a cabo modelos computacionales

elastoplásticos anisótropos. Algunos de estos estudios los podemos encontrar en las referencias [168],

[167], [?], [30], [31], [29], [169], donde se analizan la variación de propiedades mecánicas elásticas (módulode Young y coeficiente de Poisson) en diversos metales (cobre y sus aleaciones, acero, titanio, aluminio)

con respecto a la orientación de estudio. No obstante, en los trabajos anteriores no se consideró estudiar

la evolución de la anisotropía elástica cuando los metales se someten a deformaciones plásticas relevantes.

El objetivo de este capítulo es el desarrollo de un procedimiento experimental para el estudio de la

evolución de la ortotropía plástica presente en metales laminados, cuando se someten a deformaciones

plásticas relevantes y la obtención de unos resultados experimentales prelimares. El estudio de la evolución

de las propiedades mecánicas elásticas se considerará en desarrollos futuros. A continuación se presenta

el material objeto de nuestro estudio, así como el procedimiento experimental utilizado y los resultados

más relevantes.

4.2 Material de estudio

El material objeto de estudio en este análisis experimental es la aleación aluminio-magnesio 5754-H111,

en formato de chapas laminadas de 1 mm de espesor La composición química del material, según el

certificado de calidad del fabricante, se presenta en la tabla 4.1.

Esta aleación se engloba dentro de las denominadas aleaciones ligeras, que son aquellas aleaciones que

tienen como elemento base o principal el aluminio.

4.2. MATERIAL DE ESTUDIO 135

Colada Si Fe Cu Mn Mg Zn Ti Pb Cr OtrosR59691 0,180 0,270 0,020 0,410 2,720 0,010 0,010 0,002 0,010 0,003

Tabla 4.1: Composición química del material. Certificado de calidad del fabricante

Respecto a los metales de adicción, los más empleados son el cobre, silicio, níquel, hierro, titanio,

cromo y cobalto. Estos elementos pueden figurar en las aleaciones juntos o aislados. En general, la

proporción total en que forman parte de las aleaciones ligeras, no pasa del 15 %.

La característica principal de las aleaciones ligeras, es su bajo peso específico, que en algunas de

ellas llega a ser hasta de 1/3 del peso específico del acero. Y aún resulta más interesante la relación de

resistencia mecánica a peso específico, que en algunos tipos de aleaciones ligeras es la más alta de entre

todos los metales y aleaciones conocidos. Esto las hace indispensables para ciertas aplicaciones como,

por ejemplo, para las construcciones aeronáuticas, donde interesan materiales muy ligeros con una alta

resistencia mecánica.

El aluminio es el elemento predominante en estas aleaciones. Es un metal no ferroso de color blanco

brillante. Cristaliza en red cúbica centrada en las caras (FCC). Su peso específico es de 2, 7 gr/cm3, es

decir, casi un 1/3 del hierro¡7, 87 gr/cm3

¢. El único metal industrial más ligero que el aluminio es el

magnesio, de peso específico 1, 74 gr/cm3. Su conductividad eléctrica es un 60% de la del cobre y 3,5

veces mayor que la del hierro. Su punto de fusión es 660 oC y el de ebullición 2450 oC. Este punto de

fusión relativamente bajo, combinado con un punto de ebullición alto, facilita su fusión y moldeo.

La propiedad química más destacada del aluminio es su gran afinidad por el oxígeno, por lo que

se utiliza habitualmente en la desoxidación de los baños de acero, en soldadura alumino-térmica, en la

fabricación de explosivos, etc. Esta propiedad hace que el aluminio sea completamente inalterable en

contacto con el aire, ya que se recubre de una delgada capa de alúmina, que protege el resto de la masa

de la oxidación.

Desde el punto de vista físico, el aluminio puro posee una resistencia muy baja a la tracción y una

dureza escasa. En cambio, unido en aleación con otros elementos, el aluminio adquiere características

mecánicas muy superiores. A estas aleaciones se las conoce con el nombre genérico de duraluminio, y

pueden ser centenares de aleaciones diferentes. El duraluminio contiene pequeñas cantidades de cobre

(3− 5%), magnesio (0, 5− 2%), manganeso (0, 25− 1%) y Zinc (3, 5− 5%).Son también importantes los diversos tipos de aleaciones llamadas anticorodal, a base de aluminio y

pequeños aportes de magnesio y silicio, pero que pueden contener a veces manganeso, titanio y cromo.

A estas aleaciones se las conoce con el nombre de avional, duralinox, silumin, hidronalio, peraluman, etc.

Como hay distintas composiciones de aluminio en el mercado, es importante considerar las propiedades

que éstas presentan, pues, en la industria de la fabricación, unas son mas favorables que otras.

Los principales elementos aleantes del aluminio son los siguientes y se enumeran las ventajas que

proporcionan.

1. Cromo (Cr) Aumenta la resistencia mecánica cuando está combinado con otros elementos Cu,Mn, Mg.

2. Cobre (Cu) Incrementa las propiedades mecánicas.

3. Hierro (Fe). Incrementa la resistencia mecánica.


4. Magnesio (Mg) Tiene alta resistencia tras el conformado en frío. Aumenta la resitencia a lacorrosión. Buena soldabilidad

5. Manganeso (Mn) Incrementa las propiedades mecánicas y tenacidad

6. Silicio (Si) Combinado con magnesio, tiene mayor resistencia mecánica. Mejora resistencia a lacorrosión. Aumenta la resistencia al desgaste

7. Titanio (Ti) Aumenta la resistencia mecánica.

8. Zinc (Zn) Mejora la maquinabilidad.

Las aleaciones de aluminio forjado se dividen en dos grandes grupos: las que no reciben tratamiento

térmico y las que reciben tratamiento térmico

Aleaciones de aluminio forjado sin tratamiento térmico. Las aleaciones que no reciben

tratamiento térmico solamente pueden ser trabajadas en frío para aumentar su resistencia. Este es

el tipo de aleación que nos interesa para el estudio, ya que los tratamientos térmicos provocan una re-

cristalización parcial que puede alterar parte de la anisotropía. Hay tres grupos principales de estas

aleaciones según la norma AISI-SAE:

Aleaciones 1xxx. Son aleaciones de aluminio técnicamente puro, al 99,9% siendo sus principales im-

purezas el hierro y el silicio como elemento aleante. Se les aporta un 0.12% de cobre para aumentar

su resistencia. Tienen una resistencia aproximada de 90 MPa. Se utilizan principalmente par

trabajos de laminados en frío.

Aleaciones 3 xxx. El elemento aleante principal de este grupo de aleaciones es el manganeso (Mn)

que está presente en un 1,2% y tiene como objetivo reforzar al aluminio. Tienen una resistencia

aproximada de 110 MPa en condiciones de recocido. Se utilizan en componentes que exijan buena

mecanibilidad.

Aleaciones 5xxx. En este grupo de aleaciones es el magnesio (Mg) el principal componente aleante. Su

aporte varía del 2 al 5%. Esta aleación se utiliza para conseguir un incremento de la resistencia en

solución sólida. Tiene una resistencia aproximada de 193 MPa en condiciones de recocido.

Aleaciones de aluminio forjado con tratamiento térmico. Algunas aleaciones pueden reforzarsemediante tratamiento térmico en un proceso de precipitación. El nivel de tratamiento térmico de una

aleación se representa mediante la letra T seguida de un número, por ejemplo T5. Hay tres grupos

principales de este tipo de aleaciones.

Aleaciones 2xxx : El principal aleante de este grupo de aleaciones es el cobre (Cu), aunque también

contienen magnesio (Mg). Estas aleaciones con un tratamiento T6 tiene una resistencia a la tracción

aproximada de 442 MPa y se utiliza en la fabricación de estructuras de aviones.

Aleaciones 6xxx. Los principales elementos aleantes de este grupo son magnesio y silicio. Con unas

condiciones de tratamiento térmico T6 alcanza una resistencia a la tracción de 290 MPa y es

utilizada para perfiles y estructuras en general.

4.3. PROCEDIMIENTO EXPERIMENTAL Y RESULTADOS 137

Aleaciones 7xxx. Los principales aleantes de este grupo de aleaciones son cinc, magnesio y cobre. Con

un tratamiento T6 tiene una resistencia a la tracción aproximada de 500 MPa y se utiliza para

fabricar estructuras de aviones.

En este estudio, se ha seleccionado una aleación de la serie 5000, donde el elemento aleante predomi-

nante es el magnesio. Estas aleaciones son más ligeras que el propio aluminio, ya que su peso específico

está en torno a 2, 6 gr/cm3, debido a la presencia del magnesio en un 3%. Poseen buenas propiedades

mecánicas, se mecanizan con facilidad y tienen una buena resitencia a la corrosión. La aleación de

aluminio-magnesio 5754 tiene especial interés en la industria de la automoción. Estas aleaciones em-

piezan a ocupar un papel relevante dentro de los materiales que configuran la estructura o chasis de nu-

merosos automóviles comerciales, en forma de chapas laminadas de entre 1 y 3 mm, ofreciendo relaciones

resistencia-peso superiores al acero. Esta reducción de la masa total del vehículo supone un potencial

aumento de la eficiencia de los vehículos y por lo tanto, implica un ahorro energético y reducción de las

emisiones contaminantes.

El material se suministra en forma de chapas procedentes de trenes de laminación, con un espesor

final de 1 mm. Se pueden obtener tres tipos de productos laminados diferentes, en función del espesor

final del material:

• Papel de aluminio (Foil), donde el espesor final es menor de 0, 2 mm. Se utiliza en fabricación de

envases e industria eléctrica

• Chapas o láminas (Sheet), donde el espesor final está comprendido entre 0, 2 mm y 6 mm. Es-

tos laminados se utilizan frecuentemente en la industria de la construcción y en la industria del

transporte (automoción, aeronática y naval).

• Planchas (Plate), donde el espesor final es superior a 6 mm. Estas planchas se utilizan en estruc-

turas de aviones, vehículos militares y en componentes estructurales de puentes y edificios.

4.3 Procedimiento experimental y resultados

La ortotropía plástica y su evolución se obtienen a partir de la determinación de la tensión de fluencia

respecto de la dirección de ensayo para distintos niveles de deformación plástica. Se han realizado ensayos

de tracción uniaxiales con el objeto de obtener la curva tensión-deformación resultante en una dirección

dada y así determinar las propiedades plásticas necesarias — tensión de fluencia (σy), resistencia a tracción

(σu)−.El estudio experimental preliminar de la evolución de la ortotropía plástica en chapas laminadas

presentado en esta Capítulo, está basado en los experimentos realizados por Kim y Yin en 1997 [41].

El material objeto de estudio se suministra en formato de chapas laminadas de 1 mm de espesor y de

dimensiones 2600 mm× 750 mm, ver Figura 4.8.

El proceso de laminado es un proceso de fabricación direccional y, como tal, provoca unas direcciones

preferentes en las chapas, que son las direcciones principales de ortotropía. Los posteriores procesos

de conformado, también direccionales, pueden provocar deformaciones principales según orientaciones

diferentes a las de laminado. Estas deformaciones superpuestas pueden ser incluso mucho mayores que


Figura 4.8: Chapa de aluminio en la configuración inicial. La geometría de la chapa es de dimensiones2600× 750 mm, con un espesor de 1 mm


Direcciónde laminado X (RD)Primer pretensado

DirecciónTransversal Y (TD)

Dirección del

segundo pretensado

sy

sy 2600

750

Figura 4.9: Esquema del procedimiento operativo con las diferentes fases experimentales y geometría delas probetas iniciales. En verde se muestra el pretensado inicial en la dirección de laminado (RD). Losejes en rojo determinan la dirección de los segundos pretensados, concretamente, a diferentes ángulos θrespecto de la dirección de laminado y por último, en azul y a un ángulo α respecto de la dirección delsegundo pretensado, se obtienen las probetas normalizadas donde se determina la tensión de fluencia σy.

las de laminado, y por lo tanto cabe preguntarse cómo evoluciona la ortotropía original; esto es, es

necesario conocer si se mantiene la ortotropía inicial o si se destruye, y si se crea una nueva ortotropía

en las nuevas direcciones preferentes

El estudio preliminar se divide en cuatro fases:

1. La Primera Fase (Estado Inicial) consiste en la cuantificación de la ortotropía inicial presente en

las chapas laminadas de partida.

2. La Segunda Fase (Primer Pretensado) consiste en incrementar el grado de ortotropía de las chapas

iniciales en la dirección de laminado (RD), a través de pretensados en esta dirección.

3. La Tercera Fase (Segundo Pretensado) consiste en realizar un segundo pretensado, a diferentes

niveles de deformación plástica, sobre probetas procedentes de la segunda fase. Estas probetas se

preparan a distintas orientaciones respecto de la dirección de laminado (RD).

4. La Cuarta Fase (Etapa de Resultados) consiste en la obtención de probetas para ensayo de tracción,

de tamaño normalizado según la norma UNE-EN 10002-1, a diferentes orientaciones (de 0o a 180o)

de probetas provenientes de la tercera fase, con objeto de determinar la evolución de las propiedades

mecánicas plástica del metal laminado.

El esquema operativo del proceso se resume en la figura 4.9 y las combinaciones de primer y segundo

pretensado se presentan en la tabla 4.2.


Primer pretensado (%) Ángulo (θ) Segundo Pretensado (%)2 30o 1 2 5 102 45o 1 2 5 102 60o 1 2 5 102 90o 1 2 5 104 30o 1 2 5 104 45o 1 2 5 104 60o 1 2 5 104 90o 1 2 5 10

Tabla 4.2: Combinaciones de primer y segundo pretensados

4.3.1 Dispositivos experimentales empleados

En este apartado se presentan los equipos experimentales utilizados en el estudio de la evolución de la

ortotropía plástica en los diferentes tipos de probeta. Se han utilizado dos tipos de máquina de ensayo:

Pórtico de ensayos de tracción-compresión y Máquina de ensayos triaxial

Pórtico de ensayos

Este pórtico de ensayos de 5000 kN de la empresa SERVOSIS, está ubicado en la E.T.S. de Ingenieros

de Caminos, Canales y Puertos de Ciudad Real (Universidad de Castilla-La Mancha), ver figura 4.10. El

pórtico tiene unas dimensiones de 5 m de luz, 6 m de altura y 3 m de ancho. El vano móvil se desplaza

mediante un sistema hidráulico hasta alcanzar la altura deseada y se encastra mediante un sistema de

cierres hidráulicos. El actuador cilíndrico hidráulico tiene una capacidad total de 2500 kN y un recorrido

efectivo de 300 mm. Este actuador tiene acoplado en serie un transductor de fuerza y la deformación se

puede medir mediante extensómetros tipo LVDT. El control de la máquina se realiza mediante un PC

con el software de control PCD-2K, desarrollado por la propia empresa. Esta máquina se utiliza en la

segunda fase del estudio experimental para realizar los pretensados inciales en las probetas de partida.

Máquina de ensayos triaxial

El laboratorio del área de Medios Continuos y Teoría de Estructuras de la E.T.S. de Ingenieros Industriales

de la UCLM dispone de una máquina de ensayos triaxial con la capacidad de realizar ensayos de tracción-

compresión. La máquina de ensayos consta de un conjunto de 6 actuadores electromecánicos situados en

posición de dos en dos en cada uno de los tres ejes, ver figura 4.11 . Estos actuadores se pueden utilizar

de forma sincronizada en cualquiera de los tres ejes, permitiendo la realización de ensayos uniaxiales,

biaxiales y triaxiales en función del tipo de experimento que se quiera llevar a cabo. La capacidad

máxima de la máquina es de 50 kN por eje para cualquier tipo de ensayo. El sistema está montado en

un bastidor metálico de alta rigidez formado por dos marcos octogonales perpendiculares entre sí, los

cuales alojan a los tres pares de actuadores, uno de los cuales está dispuesto en posición vertical y los

otros dos se encuentran situados perpendiculares al primero y dispuestos en el mismo plano. El recorrido

útil por actuador es de 50 mm (máximo 100 mm por pareja de actuadores). Cada uno de los actuadores

está accionado por un motorreductor eléctrico cuya posición está controlada por un encoder del cual

se extrae la señal de desplazamiento del actuador. La máquina dispone de 6 posicionadores manuales


Figura 4.10: Portico de ensayos, de la empresa Servosis, ubicado en E.T.S. de Caminos, Canales y Puertosde Ciudad Real. Universidad de Castilla-La Mancha


Figura 4.11: Máquina de ensayos triaxial, de la empresa MICROTEST, ubicada en la E.T.S. de IngenierosIndustriales de Ciudad Real. Universidad de Castilla-La Mancha

situados directamente sobre el bastidor de la máquina. La fuerza de tracción-compresión aplicada en el

ensayo se registra a través de transductores de fuerza acoplados en serie entre el actuador y la probeta.

Se dispone de dos tipos de transductores de fuerza en función de su capacidad: 6 transductores de fuerza

de tracción-compresión instalados en la máquina de forma permanente con una capacidad máxima de 50

kN y otro juego de 6 transductores de fuerza de tracción compresión de 5 kN de capacidad máxima que

se pueden acoplar en función de las necesidades de ensayo. La deformación local de la probeta se puede

registrar de dos formas: la primera mediante el uso de un videoextensómetro, que está compuesto por

una cámara digital que mide la separación entre marcas de calibración situadas en la probeta, midiendo

diversas orientaciones de deformación de forma simultánea, ver figura ?? y la segunda forma es medianteel uso de extensómetros inductivos y capacitivos (tipo LVDT) acoplados directamente sobre la probeta

de ensayo. El sistema de control, medida y adquisición de datos se lleva a cabo mediante un programa

informático en el cual se pueden programar métodos de ensayo y realizar un tratamiento previo de los

datos registrados. El sistema de acoplamiento/mordaza de carga de las probetas está compuesto por tres

tipos de mordaza: un primer juego de dos mordazas neumáticas de 10 bar de presión máxima para ensayo

probetas cilíndricas y probetas planas delgadas y un juego de cuatro mordazas atornilladas para ensayo

de probetas planas delgadas.


Figura 4.12: Videoextensómetro acoplado a la máquina de ensayos para la medida de la deformación.

4.3.2 Resultados y conclusiones

En este apartado se presenta la metodología seguida en los procesos de pretensado en las diferentes fases

y la obtención de la tensión de fluencia en las diferentes direcciones respecto de la dirección de laminado.

El primer pretensado se realiza en el pórtico de ensayos y se determina a partir de la curva característica

tensión-deformación del material de partida en la dirección del pretensado, que en este caso coincide con

la dirección de laminado, ver figura 4.13. Una vez seleccionado el nivel de pretensado final, se traza una

recta paralela a la pendiente de la zona elástica y se determina la fuerza necesaria que hay que prescribir

para alcanzar el nivel de pretensado buscado. Los pretensados secundarios se llevan a cabo en la máquina

triaxial.

La tensión de fluencia se obtiene a partir de probetas normalizadas UNE-EN 10002-1, similares a las

obtenidas en la fase cuatro. Estas probetas se ensayan a tracción hasta rotura en la máquina triaxial,

utilizando uno de los ejes. El ensayo se controla mediante posición y se prescribe una velocidad de

desplazamiento de los actuadores v = 1 mm/min, que es lo que recomienda la norma UNE-EN 10002-1

para este tipo de probetas. Por último, se activa la detección de rotura como criterio de parada del

ensayo. La figura 4.14 representa una curva tensión-deformación típica del ensayo de tracción para el

Al-Mg 5754 en el estado inicial. La tensión de fluencia o límite elástico que se determina es el límite

elástico convencial al 0, 2 % de deformación plástica.

Primera Fase (Estado Inicial)

En esta primera fase, se desarrolla un estudio de la anisotropía plástica inicial en diferentes materiales.

En concreto, el objetivo es cuantificar el grado de anisotropía plástica incial de chapas de Al-Mg 5754 y

comparar los resultados con otros materiales laminados bajo las mismas condiciones de suministro. Para

ello, se han tomado 11 probetas normalizas de cada material, desde 0o (dirección de laminado) a 180o,


0

50

100

150

200

250

0 0,01 0,03 0,05 0,07 0,09 0,11 0,13 0,15 0,17

PRETENSADO SELECCIONADO

Deformación

Te

ns

ión

(M

Pa

)

FUERZA PRESCRITA

Figura 4.13: Curva característica Tensión-Deformación del material de partida en la dirección de laminado

ver figura 4.15. Se han analizado metales ferrosos (acero inoxidable y acero bajo en carbono) y metales

no ferrosos (Al-1050, Al-Mg-5754, Cu y CuZn-C260000)

La figura 4.16 representa los resultados de las curvas de anisotropía plástica experimental inicial

comparadas con el modelo teórico de Hill. Para el caso del Al-Mg 5754, el modelo teórico reproduce en

buena medida los resultados experimentales. Los resultados muestran que las variaciones de la tensión

de fluencia con la orientación son de hasta un 10 %.

Segunda Fase (Primer Pretensado)

El objetivo de esta segunda fase es incrementar el grado de anisotropía plástica inicial presente en las

chapas laminadas de la configuración de partida (figura 4.8), realizando diferentes pretensados en la

dirección de laminado, ver figura 4.17. Los pretensados iniciales se realizan en el pórtico de ensayos de la

figura 4.10. La figura 4.18 muestra diversos detalles del montaje de las probetas y del acoplamiento entre

la probeta y el pórtico de ensayos, por medio de unas mordazas diseñadas para este fin. Los detalles

geométricos de las mordazas de acoplamiento se presentan en la figura 4.19.

La figura 4.20 representa las curvas fuerza-desplazamiento de los dos niveles de pretensado inicial

realizados en esta fase: 2% y del 4% de deformación plástica respectivamente. Los resultados de esta

segunda fase se presentan en la figura 4.21, donde se representan las diferentes evoluciones de la tensión

de fluencia σy para diferentes deformaciones uniaxiales superpuestas a la dirección de laminado. Las

líneas sólidas corresponden con las predicciones del criterio de plastificación de Hill ajustadas a los datos

experimentales, ver Apéndice 9.3. Los resultados muestran el incremento de la tensión de fluencia con el

grado de deformación plástica aplicado Por otra parte, los valores de los estimadores mínimos cuadráticos

β0, β1 y β2 de los parámetros de anisotropía (g+h), (f − g), (2l− f − g− 4h) en los tres estados (estadoinicial, pretensado al 2% y pretensado al 4%), se muestran en la Tabla 4.3.


0

50

100

150

200

250

0 0,01 0,03 0,05 0,07 0,09 0,11 0,13 0,15 0,17

80

100

120

140

160

0

20

40

60

0 0,0005

sy

Deformación

Ten

sió

n (

MP

a)

Deformación

Ten

sió

n (

MP

a)

0,001 0,0015 0,002 0,0025 0,003 0,0035

zoom

Figura 4.14: Determinación del límite elástico convencional al 0, 2 % de deformación plástica total.

Direcciónde laminado (RD)

Figura 4.15: Detalle procedimiento experimental fase 1

Estado β0 β1 β2Inicial 0,9958 0,1092 -0,05122% 0,9927 0,1152 -0,05814% 0,9978 0,1121 -0,0762

Tabla 4.3: Valores de los estimadores mínimos cuadráticos de los parámetros de anisotropía


250

300

350

AceroInoxidable

Acerobajo C

Aluminio1050

Aluminio5754

Cobre

LatónC26000

200

150

100

50

0

0 20

Ten

sió

n d

e f

luen

cia

(M

Pa)

Orientación (º)

40 60 80 100 120 140 160 180

Figura 4.16: Comparación de los resultados experimentales de anisotropía plástica con el modelo teóricode Hill. Se presentan, en formato de barras de error, la desviación del modelo teórico respecto de losresultados experimentales



Dirección del

segundo pretensado

sy

sy

FASE 2:PRIMER PRETENSADO: 2% y 4%

Figura 4.17: Esquema del procedimiento experimental de la segunda fase: primer pretensado en ladirección de laminado a dos niveles de deformación plástica: 2% y 4%.


Figura 4.18: Detalles del procedimiento experimental de la fase 2: (a) Montaje de la probeta inicial parael pretensado inicial (fase 2), (b) Detalle del montaje de la probeta inicial , (c) y (d) Detalles de lasmordazas y acoplamientos de la fase 2


Figura 4.19: Detalles geométricos de las mordazas de ensayo para las probetas en configuración inicial

Una conclusión interesante, y consistente con los resultados previos, es que prácticamente se conservan

los mismos parámetros de anisotropía en los tres casos. Además, los resultados muestran que el valor del

estimador β0 , que se corresponde con los parámetros de Hill (g + h), es próximo a la unidad.

Tercera Fase (Segundo Pretensado)

En esta tercera fase, se realiza un segundo pretensado, a diferentes niveles de deformación plástica, sobre

probetas procedentes de la segunda fase, ver figura 4.22 . Para ello, es necesario obtener nuevas probetas

a diferentes ángulos θ respecto de la dirección de laminado, concretamente, a 30o, 45o, 60o y 90o, ver

figura 4.23. Posteriormente, cada una de estas probetas se somete a un pretensado secundario a diferentes

niveles de deformación plástica, concretamente a 1%, 2%, 5% y 10% respectivamente. El objetivo de estos

segundos pretensados, a diferentes orientaciones, es el estudio de la evolución de la anisotropía plástica

a través de la determinación de las superficies de plastificación. Las combinaciones de orientación y

pretensado secundario de las diferentes probetas se recogen en la Tabla 4.2. Esta tercera fase se realiza

en la máquina de ensayos triaxial, utilizando para ello un par de actuadores en el mismo eje (ensayo

uniaxial), ver figura 4.24.

Cuarta Fase (Etapa de Resultados)

En esta última fase, se obtienen las probetas terciarias de tamaño normalizado según la norma UNE-

EN 10002-, a diferentes orientaciones (de 0o a 180o), para ensayarlas posteriormente a tracción. Las

probetas terciarias se obtienen a partir de las probetas provenientes de la tercera fase, y el objetivo es

la determinación de las curvas tensión-deformación del metal laminado tras ser sometido a diferentes


0 10 20 30 40

(a)

(b)

Desplazamiento del actuador (mm)

50 60 70 80 90

Pretensado 11,5 t

Car

ga

(kN

)

0

20

40

60

80

100

120

140

Pretensado 13 t

0 10 20 30 40

Desplazamiento del actuador (mm)

50 60 70 80 90

Car

ga

(kN

)

0

20

40

60

80

100

120

140

Figura 4.20: Curvas fuerza-desplazamiento procedentes de los pretensados iniciales: (a) 11,5 toneladas(2% de deformación plástica permanente) y (b) 13 toneladas (4% de deformación plástica permanente)


110

130

150

170

190

210

0 18 36 54 72 90 108 126 144 162 180

Inicial2%4%Inicial teórico


Te

ns

ión

de

flu

en

cia

(M

Pa

)

2% teórico4% teórico

Figura 4.21: Evolución de la tensión de fluencia σy en las chapas de aluminio 5754 laminadas para difer-entes deformaciones uniaxiales superpuestas a la dirección de laminado. Las deformaciones superpuestascorresponden con el 2% y 4% de deformación plástica en la dirección de laminado.



Dirección del

segundo pretensado

sy

sy

FASE 3:SEGUNDO PRETENSADO

1%, 2%, 5% y 10%

Figura 4.22: Esquema del procedimiento experimental de la tercera fase: segundo pretensado a un ánguloθ (30o, 45o, 60o y 90o) respecto de la dirección de laminado (RD) a diferentes niveles: 1%, 2%, 5% y 10%,respectivamente.




Dirección del

segundo pretensado

sy

sy

PROBETA FASE 3: SEGUNDO PRETENSADO (1%, 2%, 5% y 10%)A DIFERENTES ÁNGULOS : 30º, 45º, 60º y 90ºq

SEGUNDO PRETENSADO:

1%, 2%, 5% y 10%

30º, 45º, 60º y 90º

Figura 4.23: Detalle de las probetas de la fase 3. En esta fase se lleva a cabo el segundo pretensado adiferentes niveles de deformación plástica. Las deformaciones impuestas fueron 1%, 2%, 5% y 10%, paradiferentes orientaciones θ (a 30o, 45o, 60o y 90o respecto de la dirección de laminado)

Figura 4.24: Montaje experimental fase 3: a la izquierda, máquina de ensayos triaxial, a la derecha,probeta secundaria




Dirección del

segundo pretensado

sy

sy

FASE 4: OBTENCIÓN DE PROBETAS TERCIARIASPARA LA DETERMINACIÓN DEL LA TENSIÓN DE FLUENCIA

EN FUNCIÓN DE LA ORIENTACIÓN a

sy

sy

Figura 4.25: Esquema del procedimiento experimental de la cuarta fase: obtención de probetas normal-izadas de 0o a180o con objeto de determinar la evolución del límite elástico con la orientación respectode la dirección de laminado (RD)

deformaciones plásticas en diversas orientaciones, ver figura 4.25. La figura 4.26 muestra algunos detalles

del montaje y ensayo de las probetas normalizadas en la máquina de ensayos triaxial.

Las figuras 4.27 y 4.28 muestran los resultados experimentales de la aleación de aluminio 5754 para

un pretensado inicial del 2% y pretensados secundarios en la dirección θ = 0o y θ = 45o, respectivamente.

La figura 4.27 muestra la evolución de las superficies de plastificación cuando el pretensado secundario

se realiza en la dirección de laminado, es decir, en una dirección principal. En este caso, las superficies

de plastificación experimentan una leve rotación (aproximadamente 5o).

En la figura 4.28, se observa una rotación progresiva de la superficie de plastificación, que se estabiliza

alrededor de un 10% de deformación plástica, con un valor final de 45o. Esta rotación tiene su origen en

el pretensado en direcciones distintas a las direcciones principales de anisotropía, que son la dirección de

laminado (RD) y la perpendicular (TD). Asimismo, la magnitud de la anisotropía no sufre alteraciones

importantes, por lo que puede considerarse que la forma de la superficie permanece constante durante las


Figura 4.26: Detalles del montaje experimental de la cuarta fase

150

160

170

180

190

200

210

220

0 18 36 54 72 90 108 126 144 162 180

Ten

sió

n d

eF

luen

cia

(Mp

a)


Inicial

1%

2%

5%

10%

Inicial teórico

1% teórico

2% teórico

5% teórico

10% teórico

Figura 4.27: Evolución de la tensión de fluencia para un pretensado inicial del 2% y pretensados secun-darios en la dirección de laminado. En la Figura se representan los datos experimentales con puntos y elajuste con la función de plastificación de Hill teórica se representa en línea continua.


150

160

170

180

190

200

210

220

0 18 36 54 72 90 108 126 144 162 180

Te

ns

ión

de

Flu

en

cia

(Mp

a)


Inicial

2%

5%

10%

Inicial teórico

5% teórico

2% teórico

10% teórico

Figura 4.28: Evolución de la tensión de fluencia para un pretensado inicial del 2% y pretensados secun-darios a 45o de la dirección de laminado. En la Figura se representan los datos experimentales con puntosy el ajuste con la función de plastificación de Hill teórica se representa en línea continua.

distintas fases del pretensado. Estos resultados reproducen los fenómenos observados por Hill [23], Kim

[170] y Kim y Yin [41], en el caso de láminas y tubos de acero.

Capítulo 5

Elastoplasticidad Anisótropa enpequeñas deformaciones. Modeladocomputacional.

Los criterios de plastificación anisótropa de metales más habituales son el criterio de plastificación de

Hill [24], [171] y los de Barlat [172], [173], aunque los más extendidos por su sencillez son los primeros.

Ejemplos de estudios de anisotropía plástica donde se emplean estos criterios se pueden encontran en

las referencias [170], [41]. En plasticidad computacional, es frecuente asumir que la variación de la

anisotropía elástica es bastante inferior a la variación de la anisotropía plástica, a pesar de que no

siempre se cumple experimentalmente; incluso pueden ser del mismo orden de magnitud, tal y como se

puede ver en las referencias [167], [?], [30], [31], [29]. En este capítulo se desarrolla un modelo y algoritmode elastoplasticidad anisótropa en pequeñas deformaciones, en el cual se incluye la anisotropía elástica.

El modelo está basado en el criterio de Hill de 1948 [24] y la anisotropía elástica se define en función de

un tensor de constantes elásticas equivalente.

Por otra parte, se incluye la implementación de un módulo tangente consistente, obteniendo como

resultado velocidades de convergencia cuadráticas propias de los esquemas iterativos de Newton-Raphson.

Este algoritmo de integración de tensiones supone un avance con respecto al algoritmo presentado en la

referencia [174], donde las velocidades de convergencia no son cuadráticas

Para información adicional sobre el capítulo, se pueden consultar las referencias [175], [176], [118], [3]

5.1 Introducción

La función de plastificación anisótropa de Hill [24] se expresa en direcciones de ortotropía principales

como1 (aquí seguimos la propia notación de Hill)

2fy (σ) ≡ F (σy − σz)2+G (σz − σx)

2+H (σx − σy)

2+ 2Lτ2yz + 2Mτ2zx + 2Nτ2xy = 1 (5.1)

1Se asume que el material es ortótropo (tres direcciones principales de simetría) y que estos ejes permanecen ortogonalesdurante la deformación plástica.

155

156 CAPÍTULO 5. ELASTOPLASTICIDAD ANISÓTROPA EN PEQUEÑAS DEFORMACIONES

donde F,G,H,L,M,N son parámetros del material que caracterizan el estado de anisotropía y σ es

el tensor de tensiones. Estos parámetros se relacionan directamente con las tensiones de fluencia en

las diferentes direcciones. Sean X,Y,Z las tensiones de fluencia uniaxiales en las direcciones x, y, z

respectivamente y R,S, T las tensiones de fluencia a cortante en las direcciones yz, xz, xy respectivamente.

Entonces se tiene1

X2= G+H, 2F =

1

Y 2+1

Z2− 1

X2

1

Y 2= H + F, 2G =

1

X2+1

Z2− 1

Y 2

1

Z2= F +G, 2H =

1

Y 2+

1

X2− 1

Z2

(5.2)

y

2L =1

R2, 2M =

1

S2, 2N =

1

T 2(5.3)

En el caso de simetría rotacional alrededor del eje z

N = F + 2H = G+ 2H, L =M (5.4)

y en el caso de isotropía se recupera el criterio de von Mises, ya que

L =M = N = 3F = 3G = 3H (5.5)

En chapas laminadas, donde se cumple la hipótesis de tensión plana σzz = σyz = σzx = 0, el criterio se

reduce a

(G+H)σ2x − 2Hσxσy + (H + F )σ2y + 2Nτ2xy = 1 (5.6)

Durante un ensayo uniaxial en el plano de la chapa de una probeta cortada bajo un ángulo α respecto

de la dirección de laminado, la tensión de fluencia es

σ =1q

F sin2 α+G cos2 α+H + (2N − F −G− 4H) sin2 α cos2 α(5.7)

Las tensiones máximas y mínimas se obtienen en la dirección de laminado y la perpendicular o viceversa,

y además en las direcciones tales que

tan2 α =N −G− 2HN − F − 2H =

1− g − 2h1− f − 2h (5.8)

donde f = F/N, g = G/N, h = H/N son los parámetros de ortotropía adimensionales2 . Habitualmente

α es un ángulo cercano a 45o. En el caso general, la ecuación (5.7) permite obtener los parámetros de Hill

a partir de tensiones de fluencia y sus direcciones, los ángulos α. No obstante, normalmente se realiza

un ajuste de la curva que minimice la diferencia entre los resultados experimentales y los proporcionados

por el criterio de plastificación, como se muestra por ejemplo en la figura 5.1. En la práctica, también se

obtienen los parámetros a través de otros medios, por ejemplo considerando la hipótesis de normalidad

2En ocasiones se adimensionalizan respecto a una tensión de plastificación distinta de la cortante, por ejemplo respectoa la dirección de laminado:

2fy ≡ gσ2x + fσ2y + h (σx − σy)2 2lτ2xy − σ20 = 0 (5.9)


0

5

10

15

20

25

30

35

0 20 40 60 80 100 120 140 160 180 200

orientación (grados)

0%EXP

0% CAL

3%EXP

3%CAL

6%EXP

6%CAL

Ten

sió

n d

e f

luen

cia

(kg

f/m

m)

2

Figura 5.1: Tensión de fluencia en chapas laminadas de acero para diferentes ángulos α respecto de ladirección de laminado y para diferentes deformaciones uniaxiales superpuestas en la dirección de laminado.Los puntos se corresponden con resultados experimentales, mientras que las curvas son las funciones deHill ajustadas, resultando unos valores de f = 0.3613, g = 0.3535, y h = 0.4957 [41]

del flujo plástico y usando parámetros de Lankford3 (ver apéndice 9.3).

La figura 5.1 muestra distribuciones de tensiones de fluencia en chapas laminadas de acero para

diferentes ángulos α respecto de la dirección de laminado y para diferentes deformaciones uniaxiales

superpuestas a la dirección de laminado La referencia [41] de la que se ha extraído la figura 5.1 es espe-

cialmente relevante ya que contiene los primeros resultados experimentales cuantitativos de la evolución

de las direcciones de anisotropía. Es preciso notar que todas las curvas de la figura se corresponden prácti-

camente con los mismos parámetros de Hill, cambiando únicamente la tensión de fluencia (las diferencias

relativas se conservan).

Una forma más cómoda de expresar el criterio de Hill desde el punto de vista computacional es

fy ≡1

2σ : N : σ − 1

3κ2 = 0 (5.12)

donde N es el tensor de anisotropía de cuarto orden que, de forma matricial, usando la representación de

3Los parámetros o ratios de Lankford son los cocientes de componentes de la velocidad de deformación plástica endirecciones perpendiculares:

r0 =εPy

εPz=

H

G(5.10)

o también

r90 =εPxεPz

= 1 +H

G(5.11)

No obstante, con frecuencia se denominan parámetros de Lankford a los típicamente utilizados para obtener los parámetrosde Hill, σ0, r0, r45 y r90.


Voigt y expresado en el sistema de representación principal, puede escribirse como

[N]Xpr=

⎡⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎣

N1 +N2 −N1 −N2 0 0 0

−N1 N1 +N3 −N3 0 0 0

−N2 −N3 N2 +N3 0 0 0

0 0 0 Nxy 0 0

0 0 0 0 Nyz 0

0 0 0 0 0 Nzx

⎤⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎦Xpr

(5.13)

donde

N1 =23Hκ2, N2 =

23Gκ

2, ..., Nzx =23Mκ2 (5.14)

y κ es la tensión de fluencia de referencia.

Otro tipo de funciones de plastificación anisótropa son los denominados modelos de Barlat, no con-

siderados aquí. Como referencias de estos modelos, el lector puede consultar [172], [173].

Otro tipo de anisotropía que se puede presentar en los materiales es la anisotropía elástica como se

ha comentado anteriormente. En plasticidad computacional es habitual considerar que el efecto de la

anisotropía elástica es significativamente menor que el efecto de la anisotropía plástica [32], [33], [34],

[35]. En consecuencia se utilizan frecuentemente funciones de elasticidad isótropa para la energía elástica

almacenada con criterios de plasticidad anisótropos4. Sin embargo, la influencia de la anisotropía elástica

en el modelado del comportamiento elastoplástico puede ser muy importante por dos motivos principal-

mente. El primero es que el proceso de recuperación elástica afecta significativamente a las tolerancias

dimensionales de los procedimientos de fabricación. El segundo es que, aunque las deformaciones son

pequeñas respecto a las plásticas, la energía almacenada depende básicamente de las primeras, y por lo

tanto los efectos de la misma en el comportamiento del sólido pueden ser importantes. En chapas lam-

inadas, desde el punto de vista del medio continuo, la anisotropía elástica implica diferentes constantes

elásticas aparentes en diferentes direcciones, ver figura 5.2.

Matemáticamente se obtienen mediante una rotación del tensor de flexibilidad elástica Se, definidocomo

ε = Se : σ (5.15)

siendo Se la inversa del tensor de comportamiento elástico (rigidez elástica), que en dos dimensiones y endirecciones principales toma la forma

Se=

⎡⎢⎢⎣1Ex

−νyxEy

0

−νxyEx

1Ey

0

0 0 1Gxy

⎤⎥⎥⎦x,y,z

(5.16)

4Un razonamiento típico se basa en la comparación de las magnitudes de las deformaciones elásticas y plásticas. Mientrasque las primeras son bajas en elastoplasticidad de metales (incluso frecuentemente en el rango de pequeñas deformaciones),las segundas pueden alcanzar valores altos, del orden del 30% o más; por ello, la influencia de las primeras es pequeña en lasdeformaciones totales. Más adelante se verá que este razonamiento oculta en parte las implicaciones que tiene la anisotropíaelástica en el comportamiento elastoplástico de metales


x

y

e112

Figura 5.2: Direcciones principales y aparentes en la determinación del tensor de constantes elásticas

con (para garantizar la simetría)νxyEx

=νyxEy

(5.17)

donde Ex y Ey son los módulos de elasticidad en las direcciones x e y, νxy es el coeficiente de Poisson y

Gxy es el módulo a cortante. Estas constantes aparentes se pueden representar contra el ángulo, respecto

de la dirección de laminado, bajo el cual se ha ensayado la probeta (ángulo ψ en la figura 5.2). El tensor

S nos queda definido en el sistema de representación de la figura 1, 2, 3 de la figura como

Se=

⎡⎢⎣1E1

−ν12E1

−η12,1E1

1E2

−η12,2E2

sym 1G12

⎤⎥⎦1,2,3

donde ηij,i son los coeficientes de acoplamiento de Lekhnitskii5 , de la forma

ηij,i :=γ12ε11

(5.18)

y

1

E1=

1

Excos4 ψ +

∙1

Gxy+2νxyEx

¸cos2 ψ sin2 ψ +

1

Eysin4 ψ (5.19)

1

E2=

1

Exsin4 ψ +

∙1

Gxy+2νxyEx

¸sin2 ψ cos2 ψ +

1

Eycos4 ψ

1

G12=

µ4

Ex+4

Ey+8νxyEx− 2

Gxy

¶sin2 ψ cos2 ψ +

1

Gxy

¡cos4 ψ + sin4 ψ

¢η12,1E1

=

µ2

Ey+2νxyEx− 1

Gxy

¶sin3 ψ cosψ +

µ2

Ex+2νxyEx− 1

Gxy

¶cos3 ψ sinψ

η12,2E2

=

µ2

Ey+2νxyEx− 1

Gxy

¶cos3 ψ sinψ +

µ2

Ex+2νxyEx− 1

Gxy

¶sin3 ψ cosψ

5También se pueden utilizar los coeficientes de Chentsov, que están definidos en función de las deformaciones cortantes


Las variaciones de las propiedades elástica (como el Módulo de Elasticidad o el coeficiente de Poisson)

con respecto de la dirección de laminado pueden llegar a ser del mismo orden que la variación de las

propiedades plásticas, véasen las referencias [29] y [30].

5.2 Elastoplasticidad anisótropa computacional en pequeñas de-

formaciones

En las teorías de plasticidad fenomenológicas, es necesario el uso de una función de fluencia que defina

el dominio plástico. Se ha seleccionado la función de fluencia cuadrática de Hill [24], que es habitual en

modelos de plasticidad anisótropa en metales policristalinos. En concreto, se usa la función de fluencia

de Hill expresada de una forma más cómoda desde el punto de vista computacional,

fy =3

2k2Z : N : Z− 1 (5.20)

donde el tensor de sobre-tensiones Z se define como

Z = σ − β (5.21)

y las tensiones σ y β definen el estado actual de tensiones y las tensiones de referencia (‘backstress’)

respectivamente. El escalar k es la tensión de fluencia de referencia.

El tensor de tensiones σ se calcula incrementalmente a partir de la ecuación constitutiva

σ = Ce : εe (5.22)

donde Ce = (Se)−1.Los tensores Ce y (Se)−1 presentan nueve constantes independientes en el caso ortótropo, ya que

Ceijkl = Ceklij (5.23)

debido a las simetrías mayores y menores del tensor constitutivo elástico

Ce =∂2W

∂ε∂ε(5.24)

Por lo tanto, se cumple queνijEi

=νjiEj

(5.25)

Además, las constantes elásticas presentan ciertas restricciones debido a consideraciones termodinámi-

cas (la suma del trabajo realizado por las tensiones debe ser positivo para evitar la creación de energía

y por lo tanto, las matrices Ce y Se tienen que ser definidas positivas). Estas restricciones se escriben dela forma [177]

|ν21| <pE2/E1 |ν32| <

pE3/E2 |ν13| <

pE1/E3

|ν12| <pE1/E2 |ν23| <

pE2/E3 |ν31| <

pE3/E1

(5.26)

5.2. ELASTOPLASTICIDAD ANISÓTROPA COMPUTACIONAL 161

y

ν21ν32ν13 >1− ν221E1/E2 − ν232E2/E3 − ν213E3/E1

2<1

2(5.27)

Por otro lado, el tensor de tensiones de referencia β se calcula de forma similar a través de un tensor

de endurecimiento H tal queβ = H : ξ (5.28)

donde ξ son varibles internas tensoriales del tipo deformación.

5.2.1 Principio de máxima disipación

Para establecer el principio de máxima disipación, en primer lugar se especifica el dominio elástico. En

el caso que nos ocupa, la función de fluencia que delimita el dominio elástico es de la forma fy (σ,β, k).

Aplicando la descomposición aditiva del tensor de velocidades de deformación infinitesimales ε en parte

elástica y plástica

ε = εe + εp (5.29)

la desigualdad plástica reducida queda [13], [3]

Dp := σ : εp − β : ξ − kζ ≥ 0 (5.30)

donde ζ es una varible interna escalar de tipo deformación. El Lagrangiano asociado al problema con

restricciones es L = Dp − γfy, donde γ es la variación del parámetro de consistencia. Si consideramos el

cumplimiento del principio de máxima disipación, las tensiones y el resto de variables internas del tipo de

tensión son tales que cumplen la condición ∇L = 0, esto es, para las expresiones de la función de fluenciadadas se obtiene

∇L = 0⇒

⎧⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎨⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎩

∂L

∂σ= 0⇒ εp = γ

∂fy∂σ

∂L

∂β= 0⇒ ξ = −γ ∂fy

∂β

∂L

∂k= 0⇒ ζ = −γ ∂fy

∂k

(5.31)

Estas expresiones son las reglas de flujo y endurecimientos asociativos (o asociados). Las condiciones de

carga-descarga complementarias de Kuhn-Tucker son, como es habitual

γ ≥ 0, fy ≤ 0, y γfy = 0 (5.32)

y la condición de consistencia es

γfy ≡ 0 (5.33)

Por lo tanto, usando la ecuación (5.20), la regla de flujo plástico de tipo asociativo nos queda de la

forma

εp = γ∂fy∂σ

= γ3

k2N : σ (5.34)


y las reglas de endurecimiento asociadas

ξ = −γ ∂fy∂β

= γ3

k2N : β (5.35)

ζ = −γ ∂fy∂k

= γ2

k(fy + 1) (5.36)

Usando las ecuaciones (5.22), (5.28), (5.34) y (5.35), las expresiones de los tensores de tensión nos

quedan, respectivamente

σ = Ce : ε− 3 γk2Ce : N : Z (5.37)

β =3γ

k2H : N : Z (5.38)

donde H y k son el tensor de endurecimiento cinemático y el módulo de endurecimiento isótropo no

lineal, respectivamente. Un modelo de endurecimiento típico usado en la literatura es el de saturación

exponencial, basada en la referencia [152], que puede expresarse como combinación de un endurecimiento

cinemático y uno isótropo. Se puede escoger entonces

H =(1− θ) HI (5.39)

y

k¡εP¢= σy + θHεP + (K∞ −K0)

h1− e−δε

Pi

(5.40)

donde H es el módulo de endurecimiento lineal efectivo, θ es un parámetro que nos determina el grado

de endurecimiento mixto (isótropo y cinemático), σy es la tensión de fluencia y K∞ > K0 > 0, δ > 0 sonconstantes del material.

5.2.2 Algoritmo implícito de integración de tensiones

La función de fluencia de Hill en el paso de tiempo o carga t+∆t se escribe como

t+∆tf =3

2 t+∆tk2¡t+∆tσ − t+∆tβ

¢: N :

¡t+∆tσ − t+∆tβ

¢− 1 (5.41)

Usando las ecuaciones (5.22) y (5.29), el tensor de tensiones de Cauchy σ en el paso de tiempo t+∆t se

calcula comot+∆tσ = tσ +Ce : ∆ε−Ce : ∆εP (5.42)

Definiendo el estado de prueba (‘trial state’ ) en el paso t+∆t

t+∆tσtr := tσ +Ce : ∆ε (5.43)t+∆tβtr := tβ

y el tensor t+∆tZ de la format+∆tZ := t+∆tσ − t+∆tβ (5.44)


la ecuación (5.42), usando la definición de la regla de flujo plástico dada por la ecuación (5.34), se escribe

como

t+∆tσ = t+∆tσtr − t+∆t∆γ C :∂ t+∆tf

∂ t+∆tσ= t+∆tσtr − t+∆t∆γ

3t+∆tk2

C : N : t+∆tZ (5.45)

En este modelo se ha incluido endurecimiento isótropo no lineal [118], de tipo exponencial y en función

de la deformación plástica equivalente t+∆tεP , de la forma

t+∆tk¡t+∆tεP

¢= σy + θH t+∆tεP + (K∞ −K0)

h1− e−δ

t+∆tεPi

(5.46)

donde t+∆tεP se calcula comot+∆tεP = tεP + t+∆t∆εP (5.47)

y el incremento de deformación plástica equivalente t+∆t∆εP

t+∆t∆εP =2

t+∆tk

¡t+∆tf + 1

¢t+∆t∆γ (5.48)

La tensión de referencia βn+1 queda

t+∆tβ = tβ − t+∆t∆γ∂ t+∆tf

∂ t+∆tβ= tβ + t+∆t∆γ

3t+∆tk2

H : N : t+∆tZ (5.49)

donde H = 23 (1− θ) HI es el tensor de endurecimiento de cuarto orden (nótese que incluye el factor de

2/3).

Sustituyendo las ecuaciones (5.45) y (5.49) en la expresión (5.21), se tiene

t+∆tZ = t+∆tσ − t+∆tβ (5.50)

= t+∆tσtr − tβ + t+∆t∆γ3

t+∆tk2C : N : t+∆tZ − (1− θ) t+∆t∆γ

3t+∆tk2

H : N : t+∆tZ

donde definiendo t+∆tZtr := t+∆tσtr − tβ , se puede escribir

t+∆tZtr =

∙I+ t+∆t∆γ

3t+∆tk2

(C+H) : N¸: t+∆tZ =: D : t+∆tZ (5.51)

Por lo que conocido t+∆tZtr y t+∆t∆γ , el tensor t+∆tZ se puede obtener a través de

t+∆tZ = D−1 : t+∆tZtr (5.52)

A partir de la expresión anterior, se puede plantear un algoritmo de integración de tensiones en forma

implícita, usando como variables de iteración (variables de diseño) t+∆t∆γ y t+∆tεP .

El esquema del algoritmo local de integración de tensiones se muestra en la tabla 5.1 y se explica y

detalla en los siguientes párrafos:

Los principales pasos en el cálculo del algoritmo de integración de tensiones se detallan a continuación:


Parámetros del material

Constantes del Material:

⎧⎪⎪⎪⎪⎨⎪⎪⎪⎪⎩F,G,H,L,M,N ⇒ parámetros de anisotropía plástica

E1, E2, E3, ν12, ν13, ν23,G12, G13, G23 ⇒ parámetros de anisotropía elástica

σy, H,K∞,K0, δ ⇒ parámetros de endurecimiento del material

θ⇒ selección endurecimiento isótropo/cinemático/mixto(5.53)

Estado de Prueba

Una vez conocidos las constantes del material, se calcula el tensor de tensiones de prueba t+∆tσtr a partir

de los resultados del paso anterior ya convergido t de la forma

t+∆tσtr = Ce :¡t+∆tε− tεp

¢(5.54)

donde t+∆tε es la deformación total en el paso de tiempo t+∆t y tεp la deformación plástica en el paso

t. La función de fluencia de prueba t+∆tf tr se obtiene a partir de las ecuaciones (5.41), (5.46) de la

forma ⎧⎪⎪⎪⎨⎪⎪⎪⎩t+∆tZtr = t+∆tσtr − tβt+∆tktr = t+∆tk = σy + θH t∆εP + (K∞ −K0)

h1− e−δ

t∆εPi

t+∆tf tr =3

2 t+∆tk2t+∆tZtr : N : t+∆tZtr − 1

(5.55)

Comprobación de la condición de consistencia

En este paso se comprueba si se cumple la condición de consistencia t+∆tf tr ≤ 0 que nos determina si elpaso es elástico o bien plástico cuando se cumple que t+∆tf tr > 0.

t+∆tf tr ≤ 0 PASO ELASTICO ⇒ t+∆tσ = t+∆tσtr =⇒ EXIT (5.56)

f tr1 > 0 PASO PLASTICO⇒ CONTINUAR CON EL PROCEDIMIENTO

Paso Plástico: procedimiento iterativo

Se plantea un algoritmo predictor con objeto de obtener una primera aproximación para el parámetro de

consistencia ∆γn+1 y con ello mejorar la convergencia del algoritmo global. La idea principal es dejar

libre la variable ∆γ y fijar tεP . En la tabla 5.2 se presenta un resumen del mismo.

De este cálculo preliminar se obtiene el valor del parámetro de consistencia t+∆t∆γ(i+1), que se utiliza

como primera aproximación de una de las variables de diseño del algoritmo de integración de tensiones.

Los principales pasos del procedimiento iterativo se presentan a continuación. En primer lugar se

definen dos vectores iterativos: el vector de variables de diseño X(i) y el vector residuo R(i).

1. Variables de diseño del algoritmo local

Se han tomado dos magnitudes escalares como variables de diseño en el algoritmo: el parámetro de

consistencia t+∆t∆γ(i) y la deformación plástica equivalente t+∆t∆εP (i), que nos determinan posterior-

mente el flujo plástico y endurecimiento respectivamente,


X(i) =

(t+∆t∆γ(i)

t+∆t∆εP (i)

)(5.57)

2. Valores iniciales de prueba (’Guess’ inicial)

El segundo paso consiste en la inicialización de variables de iteración, donde se utiliza el resultado

del algoritmo predictor anterior para el parámetro de consitencia y las expresiones (5.40) y (5.36) para

el resto de variables:

t+∆t∆γ(0) ← t+∆t∆γ(i+1) (obtenido del algoritmo de la tabla 5.2) (5.58)

t+∆t∆εP (0) =2

t+∆tktrt+∆t∆γ(i+1)

t+∆tεP (0) = tεP (0) + t+∆t∆εP (0)

t+∆tk(0) = tk = σy + θH t+∆tεP (0) + (K∞ −K0)h1− e−δ

t+∆tεP(0)i

3. Cálculo del Residuo del algoritmo local

El vector de variables escalares objeto de minimización es el presentado en la ecuación (5.59), dondet+∆tf (i) es la función de fluencia de Hill y la variable escalar t+∆tg(i) viene determinada por la ecuación

(5.36). Por lo tanto, el vector R(i) nos queda como

R(i) =

(t+∆tf (i)

t+∆tg(i)

)(5.59)

dondet+∆tf =

3

2 t+∆tk2t+∆tZ : N : t+∆tZ − 1 (5.60)

t+∆tg = t+∆t∆εP −∆ζ = t+∆t∆εP − 2t+∆tk

¡t+∆tf + 1

¢t+∆t∆γ (5.61)

yt+∆tk = σy + θH t+∆tεP + (K∞ −K0)

h1− e−δ

t+∆tεPi

(5.62)

t+∆tZ =

∙I+ t+∆t∆γ

3t+∆tk2

(C+H) : N¸−1

: Ztrn+1 (5.63)

4. Comprobación de la convergencia

Una vez calculado el vector R(i), se comprueba si la norma del residuo cumple con una tolerancia

prescrita, como se indica en la ecuación (5.64). Si se cumple esta condición se procede a la actualización

de variables

IF kRk ≤ TOL, EXIT =⇒GO PASO 6, (5.64)

ELSE −→ calcular∂R

∂X(PASO 5)

5. Cálculo del módulo tangente local


Se implementa un prodecimiento iterativo tipo Newton con objeto de obtener una nueva solución para

las variables de diseño en el paso (i+ 1) de la forma X(i+1) =nt+∆t∆γ(i+1) ,

¡t+∆t∆εP

¢i+1odonde el

orden de convergencia que presenta este algoritmo es cuadrático. La actualización de la solución X(i+1)

queda de la forma

X(i+1) = X(i) −∙∂R(i)

∂X(i)

¸−1 ³R(i)

´(5.65)

donde∂R(i)

∂X(i)define el modulo tangente local del algoritmo de la forma

∙∂R

∂X

¸=

"∂t+∆tf/∂t+∆t∆γ ∂t+∆tf/∂t+∆t∆εP

∂t+∆tg/∂t+∆t∆γ ∂t+∆tg/∂t+∆t∆εP

#(5.66)

El cálculo de las derivadas del módulo tangente local de la ecuación (5.66) se presenta a continuación:

• La derivada ∂t+∆tf

∂t+∆t∆γse calcula como

∂t+∆tf

∂t+∆t∆γ=

3

k2n+1

t+∆tZ : N :∂Zn+1∂∆γn+1

(5.67)

donde∂t+∆tZ

∂t+∆t∆γ= − 3

t+∆tk2D−1 : [(C+H) : N] : t+∆tZ (5.68)

• La derivada ∂t+∆tf

∂t+∆t∆εPse calcula como

∂t+∆tf

∂t+∆t∆εP= −2

¡t+∆tf + 1

¢ ∂t+∆tk

∂t+∆t∆εP+

3t+∆tk2

µt+∆tZ : N :

∂t+∆tZ

∂t+∆t∆εP

¶(5.69)

donde se ha usado el valor de t+∆tf para ahorrar operaciones, y donde

∂t+∆tk

∂t+∆t∆εP= θH + (K∞ −K0)

hδe−δ

t+∆t∆εPi

(5.70)

y∂t+∆tZ

∂t+∆t∆εP=

6t+∆tk3

∆γn+1∂t+∆tk

∂t+∆t∆εPD−1 : [(C+H) : N] : t+∆tZ (5.71)

• La derivada ∂t+∆tg

∂t+∆t∆γse calcula como

∂t+∆tg

∂t+∆t∆γ= − 2

t+∆tk(fn+1 + 1)−

2t+∆tk

t+∆t∆γ∂t+∆tf

∂t+∆t∆γ(5.72)

• La derivada ∂t+∆tg

∂t+∆t∆εPse calcula como

∂t+∆tg

∂t+∆t∆εP= 1 +

2t+∆tk

∆ t+∆t∆γ

∙t+∆tf + 1t+∆tk

∂t+∆tk

∂ t+∆t∆εP− ∂t+∆tf

∂ t+∆t∆εP

¸(5.73)


6. Actualización de variables

Una vez alcanzada la convergencia en el procedimiento iterativo local, se obtienen los valores finales

del parámetro de consistencia y del incremento de deformación plástica equivalente, ver ecuación (5.74).

Con estos parámetros, se procede a la actualización de variables, ver ecuación (5.75).

t+∆t∆γt+∆t∆εP

)⇒ valores convergidos (5.74)

t+∆tεP = tεP + t+∆t∆εP (5.75)t+∆tk = σy + θH t+∆tεP + (K∞ −K0)

h1− e−δ

t+∆tεPi

t+∆tZ =

∙I+ t+∆t∆γ

3t+∆tk2

(C+H) : N¸−1

: t+∆tZtr

t+∆tβ = tβ + t+∆t∆γ3

t+∆tk2H : N : t+∆tZ

t+∆tσ = t+∆tσtr − t+∆t∆γ3

t+∆tk2C : N : t+∆tZ

t+∆tεP = tεP + t+∆t∆γ3

t+∆tk2N : t+∆tZ

7. Módulo elastoplástico tangente global

Por último, en procesos iterativos basados en el método de Newton y en el estado de tensiones

convergido en el paso t, es necesario calcular el módulo elastoplástico tangente global algorítmico o

‘consistente’, con objeto de preservar la convergencia de segundo orden típica de estos esquemas iterativos.

La tangente elastoplástica algorítmica se define como

t+∆tC =∂t+∆tσ

∂t+∆tε(5.76)

donde t+∆tσ y t+∆tε son los tensores de tensión y deformación respectivamente. Además, también se

van a usar el tensor de tensiones de referencia βn+1 o tensor ‘backstress’ y el tensor de sobre-tensionest+∆tZ definido como


t+∆tk2C : N : t+∆tZ (5.77)


t+∆tk2H : N : t+∆tZ (5.78)

t+∆tZ = t+∆tσ − t+∆tβ (5.79)

La derivada del tensor de tensiones t+∆tσ con respecto a las deformaciones t+∆tε se calcula a partir de

la ecuación (5.77) de la forma


∂t+∆tσ

∂t+∆tε= Ce− 3

t+∆tk2Ce : N : t+∆tZ ⊗ ∂t+∆t∆γ

∂t+∆tε+ (5.80)

+ t+∆t∆γ6

t+∆tk3Ce : N : t+∆tZ ⊗ ∂t+∆tk

∂t+∆tε− t+∆t∆γ

3t+∆tk2

Ce : N :∂t+∆tZ

∂t+∆tε

donde hay que calcular los tensores de segundo orden∂t+∆tk

∂t+∆tε,∂t+∆t∆γ

∂t+∆tεy el tensor de cuarto orden

∂t+∆tZ

∂t+∆tε, respectivamente.

El tensor de segundo orden∂t+∆tk

∂t+∆tεse descompone, aplicando la regla de la cadena, en la siguiente

expresión∂t+∆tk

∂t+∆tε=

∂t+∆tk

∂t+∆t∆γ

∂t+∆t∆γ

∂t+∆tε(5.81)

donde se tienen que calcular nuevamente las derivadas∂t+∆tk

∂t+∆t∆γy

∂t+∆t∆γ

∂t+∆tε, respectivamente. La

derivada escalar∂t+∆tk

∂t+∆t∆γse calcula a partir de las ecuaciones (5.46) y (5.48), dando lugar a

∂t+∆tk

∂t+∆t∆γ=

2t+∆tk

∂t+∆tk

∂t+∆t∆εP

1 +2

t+∆tk2t+∆t∆γ

∂t+∆tk

∂t+∆t∆εP

(5.82)

donde la derivada escalar∂t+∆tk

∂t+∆t∆εP, para el caso de la función de endurecimiento seleccionada se obtiene

a partir de la ecuación (5.46), como

∂t+∆tk

∂t+∆t∆εP= θH + (K∞ −K0)

hδe−δ(

t+∆tεP )i

(5.83)

Por otro lado, el tensor de cuarto orden∂t+∆tZ

∂t+∆tεse calcula a partir de la ecuación (5.63)

∂t+∆tZ

∂t+∆tε= D−1 : C+ λD−1 : [(C+H) : N] : t+∆tZ ⊗ ∂t+∆t∆γ

∂t+∆tε(5.84)

donde λ se ha definido como

λ :=6

t+∆tk3∂t+∆tk

∂t+∆t∆γt+∆t∆γ − 3

t+∆tk2(5.85)

A la vista de las ecuaciones (5.80), (5.83) y (5.84), la única incógnita que nos queda por determinar es el

tensor de segundo orden∂t+∆t∆γ

∂t+∆tε. Para ello, es necesario aplicar la condición de consistencia t+∆tf = 0

y que su derivada sea nulat+∆tf = 0⇒ ∂t+∆tf

∂t+∆tε= 0 (5.86)


∂t+∆tf

∂t+∆tε= 0 =

3t+∆tk2

t+∆tZ : N :∂t+∆tZ

∂t+∆tε− (5.87)

− 3t+∆tk3

¡t+∆tZ : N : t+∆tZ

¢ ∂t+∆tk∂t+∆tε

donde∂t+∆tk

∂t+∆tεviene determinado por las expresiones (5.83) a (5.83). Sustituyendo la ecuación (5.84) en

la derivada de la condición de consistencia (5.87) y definiendo la variable escalar auxiliar ρ como

ρ := t+∆tZ : N : D−1 : [(C+H) : N] : t+∆tZ (5.88)

nos queda la expresión

0 =3

t+∆tk2t+∆tZ : N : D−1 : C+

3t+∆tk2

λρ∂t+∆t∆γ

∂t+∆tε−

− 3t+∆tk3

¡t+∆tZ : N : t+∆tZ

¢ ∂t+∆tk

∂t+∆t∆γ

∂t+∆t∆γ

∂t+∆tε(5.89)

donde queda por determinar el tensor de segundo orden∂t+∆t∆γ

∂t+∆tε. Para ello, se define el parámetro

escalar η de la forma

η :=3

t+∆tk2λρ− 3

t+∆tk3¡t+∆tZ : N : t+∆tZ

¢ ∂t+∆tk

∂t+∆t∆γ(5.90)

y sustituyendo se obtiene∂t+∆t∆γ

∂t+∆tε= − 3

η t+∆tk2t+∆tZ : N : D−1 : C (5.91)

El esquema del procedimiento de cálculo del módulo elastoplástico tangente global se presenta en la tabla

5.3

5.2.3 Ejemplos numéricos del modelo de elastoplasticidad anisótropa en pe-queñas deformaciones

En este apartado, se verifica el comportamiento del modelo de elastoplasticidad anisótropa en pequeñas

deformaciones bajo distintas hipótesis y condiciones de carga. Para ello, se realizan distintas simulaciones

en un punto de integración y se verifican las convergencias y los resultados obtenidos.

a) Recuperación de la isotropía elástica

En primer lugar se verifica el comportamiento del modelo de anisotropía elastoplástica de Hill para el

caso de isotropía elastoplástica. En concreto, si se cumple que

N1 = N2 = N3 =1

3Nxy =

1

3Nyz =

1

3Nzx =

1

3(5.92)

el criterio de plastificación de Hill se reduce al criterio de plastificación de von Mises. Se van a utilizar dos

reglas de endurecimiento típicas : endurecimiento isótropo (θ = 1) y endurecimiento cinemático (θ = 0).


En el problema se prescriben tensiones y se obtienen desplazamientos. En este caso, se verifica también

el correcto funcionamiento del módulo elastoplástico tangente global.

Los parámetros del material que se han utilizado en estas simulaciones se presentan en la tabla 5.4

donde E y ν son los parámetros elásticos correspondientes al módulo de elasticidad y coeficiente de

Poisson respectivamente; σy es la tensión de fluencia del material; K0, K∞ y δ son los parámetros de la

función de endurecimiento y F , G, H, N , L y M son los parámetros de la función de fluencia de Hill,

que en este caso, corresponden con el caso de isotropía plástica, ver ecuación (5.92).

Se han definido dos tipos de caminos de tensión: el primero, representado en la figura 5.3 (a)

representa una combinación proporcional de tensión axial σx y tensión cortante τxy y el segundo, que

se muestra en la figura 5.3 (b), muestra un camino de tensión no proporcional, que es resultado de una

combinación de tensiones prescritas de forma senoidal.

(a) (b)

-3 -2 -1 0 1 2 3 x 108

-3

-2

-1

0

1

2

3x 10

8

Tensión cortante txy (Pa)

Tensió

n a

xia

lσ

x(P

a)

Camino de Tensión proporcional

-2.5 -2 -1.5 -1 -0.5 0 0.5 1 1.5 2 2.5 x 109

-2.5

-2

-1.5

-1

-0.5

0

0.5

1

1.5

2

2.5 x 109 Camino de Tensión no proporcional

Tensión cortante txy (Pa)

Tensió

n a

xia

lσ

x(P

a)

Figura 5.3: Camino de deformación proporcional (a) y no proporcional (b) prescritos para el análisis delmodelo de elasto-plasticidad de Hill en pequeñas deformaciones

A continuación se presentan los resultados obtenidos para el caso del modelo de elastoplasticidad

isótropa basado en la función de fluencia de Hill y con endurecimiento isótropo y cinemático. Los

parámetros de control utilizados en las simulaciones se muestran en la tabla 5.5 donde n es el número

de pasos de carga, ftolguess es la tolerancia del residuo en el bucle del algoritmo predictor inicial del

parámetro de consistencia (ver tabla 5.2), nitmxguess es el número máximo de iteraciones permitidas

en el bucle del algoritmo ade cálculo de los valores iniciales (de prueba), ftollocal es la tolerancia del

residuo en el bucle iterativo local del algoritmo de integración de tensiones (ver tabla 5.1), nitmxlocal es

el número máximo de iteraciones permitidas en el bucle local, ftolglobal es la tolerancia del residuo del

bucle global y nitmxglobal es el número máximo de iteraciones permitidas en bucle global.

La figura 5.4 representan los resultados de las simulaciones numéricas con los caminos de tensión

en un punto de integración y para dos casos de endurecimiento: endurecimiento isótropo (β = 1) y

endurecimiento cinemático (β = 0) respectivamente. El modelo de plasticidad de Hill con los parámetros

de isotropía elastoplástica reproduce el comportamiento del modelo de plasticidad de von Mises para

todos los casos de carga y con los dos tipos de endurecimiento. Por lo tanto, el modelo presentado es

consistente en caso de isotropía elástica

Por otra parte, lo interesante de estos cálculos es el análisis de la convergencia del modelo. La tabla

5.6 recoge los resultados de las convergencias de las normas de los residuos en tres algoritmos. El primero


0 0.5 1 1.5 2 2.5 3 3.5

x 10-3

-2.5

-2

-1.5

-1

-0.5

0

0.5

1

1.5

2

2.5x 10

8

Deformación axial εx

Tensió

n a

xia

lσ

x(P

a)

Tensión proporcional endurecimiento isótropo

Hill - von Mises

0 1 2 3 4 5

x 10-3

-2.5

-2

-1.5

-1

-0.5

0

0.5

1

1.5

2

2.5x 10

8

Deformación cortante εxy

Te

nsió

n c

ort

an

teτ x

y(P

a)

Tensión proporcional endurecimiento isótropo

Hill - von Mises

0 0.5 1 1.5 2 2.5 3 3.5 4

x 10-3

0

0.5

1

1.5

2

2.5

3

3.5x 10

-3


Defo

rmació

n a

xia

lε x

Tensión no proporcional endurecimiento isótropo

Hill - von Mises

(a)

-4 -3 -2 -1 0 1 2 3 4

x 10-3

-2.5

-2

-1.5

-1

-0.5

0

0.5

1

1.5

2

2.5x 10

8

Deformación axial εx

Tensió

n a

xia

lσ

x(P

a)

Tensión proporcional endurecimiento cinemático

Hill - von Mises

-6 -4 -2 0 2 4 6

x 10-3

-2.5

-2

-1.5

-1

-0.5

0

0.5

1

1.5

2

2.5x 10

8


Te

nsió

n c

ort

an

teτ x

y(P

a)

Tensión proporcional endurecimiento cinemático

Hill - von Mises

-6 -4 -2 0 2 4 6

x 10-3

-2

-1

0

1

2

3

4x 10

-3


De

form

ació

n a

xia

lε x

Tensión no proporcional endurecimiento cinemático

Hill - von Mises

(b)

Figura 5.4: Simulaciones numéricas del algoritmo de Hill en condiciones de isotropía. Camino de tensiónprescrito. (a) endurecimiento isótropo y (b) endurecimiento cinemático


C

BAX

Y

5

10

Dimensionen en mmEspesor = 1Tensiones en MPa

sxx

D

sxx

syy

Paso 1 Paso 2

150 -150

30 -30

sxx

syy

Historia de carga

x (1)

y (2)

a = 30º

Figura 5.5: Ejemplo numérico para verificar el algoritmo de elastoplasticidad anisótropa en pequeñasdeformaciones de la referencia [174]. Geometría, condiciones de contorno e historia de carga

de ellos, muestra las iteraciones realizadas en el algoritmo predictor del parámetro de consistencia inicial.

El segundo, presenta la convergencia en la norma del residuo del algoritmo del bucle local para una

iteración caracteristica del bucle global. Y el tercero, muestra la convergencia en la norma del residuo en

una iteración característica del algoritmo del bucle global. En ambos casos (local y global), el algoritmo

presenta convergencia cuadrática.

b) Elastoplasticidad Anisótropa

En segundo lugar, se analiza el comportamiento del algoritmo bajo la hipótesis de elastoplasticidad

anisótropa de Hill. Se analizan dos casos: la primera simulación consiste en la comparación con el al-

goritmo de elastoplasticidad anisótropa de la referencia [174]. En esta referencia se presenta un modelo

de elastoplasticidad anisótropa basado igualmente en la función de plastificación de Hill con endurec-

imiento mixto, y un algoritmo de integración de tensiones implícito. Sin embargo, en este caso, no se

conserva el ratio de convergencia cuadrático propio de este tipo de esquemas iterativos. El segundo caso

consiste en la implementación de un proceso de estampado de una placa circular delgada bajo las hipóte-

sis de anisotropía plástica e isotropía elástica. Con ello se pretende verificar el buen funcionamiento y

convergencia del modelo ante problemas más realistas.

Comparación entre el algoritmo de elastoplasticidad anisótropa de Kojic et al de 1996 yel algoritmo presentado en este trabajoEn este caso se utiliza un elemento tridimensional en formulación estándar, denominado BRCK8/8 (el-

emento de 8 nudos con 8 puntos de integración de desplazamientos) bajo un estado de tensión/deformación

uniforme, ver figura 5.5. Los parámetros del material se presentan en la tabla 5.7. Este ejemplo sirve

para demostrar la aplicabilidad del modelo de material desarrollado y la precisión y convergencia del

algoritmo numérico presentado.

En la figura 5.6 se representa la deformada obtenida bajo la hipótesis de endurecimiento isótropo

(θ = 1) y los desplazamientos nodales obtenidos. La tabla 5.8 representa la convergencia del algoritmo

de elastoplasticidad anisótropa en pequeñas deformaciones en función de los residuos relativos de fuerza

y energía. En este caso se aprecia la convergencia cuadrática típica de estos esquemas iterativos. Por


Nodo Desplazamiento(m)

uB

x 3.33090E-04

uC

x -2.69892E-04

u = uC C

y y 1.51055E-04

uD

x 6.32980E-04

x

y

A B

C D

Figura 5.6: Elastoplasticidad anisótropa en pequeñas deformaciones. Deformada y desplazamientosnodales de la simulación de la Referencia [174] bajo la hipótesis de endurecimiento isótropo θ = 1

otra parte, al comparar este algoritmo de integración de tensiones con el modelo de elastoplasticidad

anisótropa en pequeñas deformaciones de Kojic et al 1996, ver referencia [174], se observa que este último

no conserva esta convergencia de segundo orden.

Estampado de una placa circular delgada en pequeñas deformaciones

En este problema se analiza el proceso de estampado de una placa circular delgada con un orificio

central. La figura 5.7 representa la geometría del problema y las condiciones de contorno. Se discretiza

únicamente un cuarto de la placa circular debido a las simetrías del problema, con las condiciones de

contorno adecuadas en las fronteras. Se han utilizado elementos tridimensionales en formulación mixta

BMIX 27/27/4, elementos de 27 nudos, con 27 puntos de integración de desplazamientos y 4 puntos de

integración de presión, con objeto de evitar problemas de incompresibilidad en el régimen plástico.

El proceso de estampado está controlado por desplazamiento (método de penalización), y a los nodos

del borde interno de la placa se les aplica un desplazamiento radial de u = 7.5 mm. Las propiedades del

material se presentan en la tabla 5.9. El material tiene un comportamiento isótropo en la parte elástica,

pero es anisótropo en la plástica. Se incluye una función de endurecimiento no lineal, de la forma

t+∆+k = σy + βH t+∆tεP + (K∞ −K0)h1− e−δ

t+∆tεPi

(5.93)

Los parámetros de control utilizados en las simulaciones son los mismos que en el caso anterior, ver

tabla 5.5.

La tabla 5.10 muestra nuevamente el análisis de la convergencia del residuo para el algoritmo de

elastoplasticidad anisótropa de Hill en una iteración características del algoritmo iterativo global. El

ratio de convergencia, al igual que en los casos anteriores, es cuadrático, demostrando una vez más el

buen funcionamiento de los procedimiento iterativos local y global respectivamente.

La Figura 5.8 muestra la deformada y distribuciones de deformación plástica equivalente para tres

estados de carga: 2.5 mm, 5 mm y 7.5 mm, respectivamente. En este caso, la deformación plástica se


u

200 200400

10

x

y

Figura 5.7: Estampado de una placa circular delgada. Geometría y condiciones de contorno. En elperímetro interior se aplica un desplazamiento de u = 75 mm. Las dimensiones están en mm. A laderecha se presenta un cuarto del modelo discretizado, debido a las simetrías del problema. Se hanutilizado elementos tridimensionales BMIX 27/27/4

desarrolla principalmente a un ángulo de 45o (y 135o) respecto del eje horizonal de la placa, es decir, en

la dirección de la máxima tensión cortante.


Figura 5.8: Estampado de una placa circular delgada bajo la hipótesis de pequeñas deformaciones.Distribución de deformación plástica equivalente y deformada para tres desplazamientos radiales distintos:(a) u = 2.5 mm, (b) u = 5 mm y (c) u = 7.5 mm. En la simulación se han utilizado elementos mixtostridimensionales BMIX 27/27/4.


Algoritmo de integración de tensiones

1. Cálculo de variables de prueba t+∆tZtr , t+∆tktr , t+∆tf tr

2. Comprobación de la condición de consistenciaIF t+∆tf tr ≤ 0 THEN el paso es elástico

t+∆tσ = t+∆tσtr , t+∆tC = Ce y EXITELSE el paso es plástico.Inicio del algoritmo predictor (Proceso en tabla 5.2)

3. Procedimiento iterativo

Variables de iteración: X(i) =

½t+∆t∆γ(i)t+∆t∆ε(i)P

¾, Residuo R(i) =

½t+∆tf (i)t+∆tg(i)

¾donde t+∆tf =

3

2 t+∆tk2t+∆tZ : N : t+∆tZ − 1 y t+∆tg = t+∆t∆εP − 2

t+∆tk2¡t+∆tf + 1

¢t+∆t∆γ

3.1. ’Guess Inicial’ =⇒ t+∆t∆γ(0) ,¡t+∆t∆εP

¢(0), t+∆tk(0)

3.2. Cálculo del residuo inicial=⇒ t+∆tf (0) , t+∆tg(0)

DO WHILE (kRk = TOL)

Módulo tangente local =⇒∙∂R

∂X

¸=

∙∂ t+∆tf /∂ t+∆t∆γ ∂ t+∆tf /∂ t+∆t∆εP

∂ t+∆tg /∂ t+∆t∆γ ∂ t+∆tg /∂ t+∆t∆εP

¸Actualización variables =⇒ X(i+1) = X(i) −

∙∂R

∂X

¸−1 ¡R(i)

¢Actualización residuo =⇒ R(i+1) =

½t+∆tf (i+1)t+∆tg(i+1)

¾END

4. Obtención del valor final de las variablest+∆t∆εP = t∆εP + t+∆t∆γ

3t+∆tk2

N : t+∆tZt+∆tk = σy + θH t+∆t∆εP + (K∞ −K0)

h1− e−δ

t+∆t∆εPi

t+∆tZ =

∙I+ t+∆t∆γ

3t+∆tk2

(C+H) : N¸−1

: Ztrn+1





5. Módulo elastoplástico tangente global

Tabla 5.1: Esquema del algoritmo de integración de tensiones


Algoritmo predictor de t+∆t∆γ(0)

Variable de iteración =⇒ X =©t+∆t∆γ

ªResiduo =⇒ R(i) =

©t+∆tf (i)

ª

Cálculo del residuo:

⎧⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎨⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎩

t+∆tZ(i) =

∙I+ t+∆t∆γ(0)

3tk2

(C+H) : N¸−1

: t+∆tZtr

tk = σy + θH tεP + (K∞ −K0)h1− e−δ

tεPi

t+∆tf =3

2 tk2t+∆tZ : N : t+∆tZ − 1

R =©t+∆tf

ªDO WHILE (kRk = TOL)

Actualización de variables

⎧⎪⎪⎪⎨⎪⎪⎪⎩X(i+1) = X(i) −

∙∂t+∆tf

∂t+∆t∆γ

¸−1R(i)

∆γ(i+1) = ∆γ(i) −∙∂t+∆tf

∂t+∆t∆γ

¸−1t+∆tf (i)

donde

⎧⎪⎪⎨⎪⎪⎩∂t+∆tf

∂t+∆t∆γ=

3tk2

t+∆tZ : N :∂t+∆tZ

∂t+∆t∆γ∂t+∆tZ

∂t+∆t∆γ= − 3

tk2D−1 : [(C+H) : N] : t+∆tZ

END

Tabla 5.2: Algoritmo predictor del parámetro de consistencia inicial


Módulo Elastoplástico Tangente Consistente

Objetivo: Calcular t+∆tC =∂t+∆tσ

∂t+∆tεdonde





t+∆tZ = t+∆tσ − t+∆tβ

1.Cálculo de la derivadas escalares

∂t+∆tk

∂t+∆t∆εP= θH + (K∞ −K0)

hδe−δ(

t+∆tεP )i

∂t+∆tk

∂t+∆t∆γ=

2t+∆tk

∂t+∆tk

∂t+∆t∆εP

1 +2

t+∆tk2t+∆t∆γ

∂t+∆tk

∂t+∆t∆εP

2.Cálculo de los parámetros auxiliares

λ =6

t+∆tk3∂t+∆tk

∂t+∆t∆γt+∆t∆γ − 3

t+∆tk2

ρ = t+∆tZ : N : D−1 : [(C+H) : N] : t+∆tZ

η =3

t+∆tk2λρ− 3

t+∆tk3¡t+∆tZ : N : t+∆tZ

¢ ∂t+∆tk

∂ t+∆t∆γ

3.Cálculo de la derivadas tensoriales

∂t+∆t∆γ

∂t+∆tε= − 3

η t+∆tk2t+∆tZ : N : D−1 : C

∂t+∆tk

∂t+∆tε=

∂t+∆tk

∂t+∆t∆γ

∂t+∆t∆γ

∂t+∆tε

∂t+∆tZ

∂t+∆tε= D−1 : C+ λD−1 : [(C+H) : N] : t+∆tZ ⊗ ∂t+∆t∆γ

∂t+∆tε

4.Calcular el Módulo elastoplástico tangente

∂t+∆tσ

∂t+∆tε= Ce − 3

t+∆tk2Ce : N : t+∆tZ ⊗ ∂t+∆t∆γ

∂t+∆tε+

+ t+∆t∆γ6

t+∆tk3Ce : N : t+∆tZ ⊗ ∂t+∆tk

∂t+∆tε− t+∆t∆γ

3t+∆tk2

Ce : N :∂t+∆tZ

∂t+∆tε

Tabla 5.3: Esquema del cálculo del módulo elastoplástio tangente algorítmico


E¡Nm2

¢υ

2, 1× 1011 0, 3

σy

¡Nm2

¢H¡Nm2

¢K0

¡Nm2

¢K∞

¡Nm2

¢δ

235× 106 3, 5× 1010 σy σy 0F G H N L M

1/2σ2y 1/2σ2y 1/2σ2y 3/4σ2y 3/4σ2y 3/4σ2y

Tabla 5.4: Parámetros del material. Caso de isotropía elastoplástica

n ftolguess nitmxguess ftollocal nitmxlocal ftolglobal nitmxglobal100 1× 10−3 15 1× 10−10 50 1× 10−7 50

Tabla 5.5: Parámetros de control utilizados en las simulaciones

Convergencia subrutina de cálculo de ’guess’ inicialIteración Residuo (f) γ

1 0.222496E-01 0.000000E+002 0.358004E-03 0.386953E+04

Convergencia local modelo de HillPaso iteración local norma residuo residuo19 0 0.445097E-02 -0.445097E-02 0.129113E-0619 1 0.120187E-03 0.120187E-03 0.137261E-0719 2 0.117836E-07 0.117836E-07 0.113448E-1019 3 0.118585E-18 0 .000000E+00 0.118585E-18Convergencia global modelo de HillPaso iteración global residuo de energía19 1 0.100E+0119 2 0.343E+0019 3 0.404E-0219 4 0.677E-0519 5 0.736E-11

Tabla 5.6: Convergencia del modelo de Hill con parámetros de isotropía para el caso de prescripción detensiones

E1¡Nm2

¢E2¡Nm2

¢E3¡Nm2

¢υ12 υ23 υ31

2× 1011 1× 1011 1× 1011 0.3 0.2 0.15

σy11

¡Nm2

¢σy22

¡Nm2

¢σy33

¡Nm2

¢σy12

¡Nm2

¢σy23

¡Nm2

¢= σy31

¡Nm2

¢H¡Nm2

¢200× 106 40× 106 40× 106 80× 106 80× 106 1× 109

Tabla 5.7: Parámetros del material. Caso de anisotropía elastoplástica. Ejemplo del artículo de Kojic etal de 1996


Convergencia global del algoritmo de Kojic et al 1996 (caso de elastoplasticidad anisótropa)paso global iteración residuo relativo de energía

1 0 6.5700E+001 1 6.0338E+001 2 9.9445E-021 3 1.9557E-031 4 3.6171E-061 5 3.4026E-091 6 3.0190E-12

Convergencia global del algoritmo de elastoplasticida anisótropa desarrollado en este trabajopaso global iteración residuo relativo de fuerza residuo relativo de energía

1 1 1.000E+00 1.000E+001 2 1.028E+01 2.057E+011 3 4.729E-02 3.487E-021 4 5.399E-04 2.359E-051 5 5.461E-08 1.421E-111 6 1.317E-12 1.975E-23

Tabla 5.8: Convergencia del algoritmo elastoplástico anisótropo en pequeñas deformaciones

Estampado de una placa circular delgadaPropiedades del materialMódulo de Elasticidad E = 206, 9 GPa

Coeficiente de Poisson ν = 0, 29

Tensión de Plastificación σy = K0 = K∞ = 0.45 GPa

Módulo de endurecimiento H = 0.1 GPa

Parámetros de anisotropía de Hill.

f = h = g1

3

l = m = n 8

Tabla 5.9: Propiedades del Material en la simulación de la estampación de una placa circular delgada


Convergencia subrutina de cálculo de ’guess’ inicialIteración Residuo (f) γ

1 0.728832E+02 0.000000E+002 0.326072E+02 0.137336E+043 0.145806E+02 0.664244E+044 0.644811E+01 0.113005E+055 0.274103E+01 0.174336E+056 0.104983E+01 0.237027E+057 0.312777E+00 0.275245E+058 0.504340E-01 0.284025E+059 0.184898E-02 0.284025E+0510 0.268919E-05 0.284371E+05

Convergencia local modelo de HillIteración global iteración local norma residuo residuo

63 0 0.286458E-02 -0.286458E-02 0.859373E-0663 1 0.436241E-02 0.436241E-02 0.868829E-0663 2 0.149227E-04 0.149227E-04 0.481769E-0963 3 0.175683E-09 0.175683E-09 0.566704E-1463 4 0.222045E-15 0.222045E-15 0.542101E-19

Convergencia global modelo de HillIteración global iteración residuo de energía

63 1 0.100000E+0163 2 0.102240E+0163 3 0.226815E+0063 4 0.235448E-0263 5 0.129978E-0563 6 0.227049E-13

Tabla 5.10: Convergencia del algoritmo elastoplástico anisótropo para el caso de la placa circular delgada

Capítulo 6

Elastoplasticidad anisótropa engrandes deformaciones. Modeladocomputacional

En mecánica estructural se hace uso con frecuencia de la hipótesis de que los desplazamientos y las de-

formaciones son infinitesimales, es decir, despreciables frente a las dimensiones características del medio

en estudio. En este caso, desde el punto de vista del material, las formulaciones se expresan en térmi-

nos de deformaciones infinitesimales. En este capítulo, se extiende el estudio al caso en el que no se

cumple tal hipótesis, que es el caso más general. Por supuesto, en el caso de que las deformaciones sean

infinitesimales, la formulación de este capítulo converge al caso infinitesimal, ya que si no, una de las

formulaciones no sería consistente. El estudio en deformaciones finitas o grandes deformaciones resulta

de gran interés en numerosas aplicaciones ingenieriles como, por ejemplo, el estudio de los fenómenos de

fractura, conformado de metales o localización de deformaciones [19]. Además, con la formulación en

deformaciones finitas, se pueden implementar modelos constitutivos más complejos y realistas, que han

sido posibles debido al gran avance de la potencia de cálculo de los ordenadores actuales.

En este Capítulo, se introducen primero los conceptos fundamentales para el desarrollo e imple-

mentación de formulaciones de plasticidad en grandes deformaciones, basadas en la descomposición de

Lee, hiperelasticidad, medidas logarítmicas para endurecimiento mixto e integración exponencial, ver

Referencias [122], [48], [36].

Posteriormente, se presenta la extensión del modelo de elastoplasticidad anisótropa del Capítulo 5

a grandes deformaciones. El uso de la descomposición multiplicativa de Lee, deformaciones logarit-

micas o de Hencky y el uso de un algoritmo de integración exponencial, dan lugar a una extensión,

relativamente sencilla (conceptualmente, aunque no tanto matemáticamente), del algoritmo de pequeñas

deformaciones a grandes deformaciones, tanto para materiales isótropos [122], como en este caso para

materiales anisótropos. La extensión a la cinemática en grandes deformaciones, se reduce a la imple-

mentación de un preproceso y un postproceso a partir del algoritmo de pequeñas deformaciones [36].

Para información adicional básica con objeto de entender los procedimientos desarrollados en este

capítulo, se pueden consultar las referencias [175], [178], [176], [118], [3]

183

184 CAPÍTULO 6. ELASTOPLASTICIDAD ANISÓTROPA EN GRANDES DEFORMACIONES

6.1 Introducción

Hasta los años 70-80, el método mayoritariamente utilizado en la implementación de modelos de plastici-

dad en grandes deformaciones, fue una extensión "ad-hoc" de la plasticidad de pequeñas deformaciones,

a través de la descomposición aditiva de la parte simétrica del gradiente de velocidades, para la imple-

mentación del cálculo de tensiones de la forma

σ = De : de = Dep : d (6.1)

con

d = sym (∇v) (6.2)

d = de + dp

Estas formulaciones presentaban diversos problemas. En primer lugar, aparecieron infinidad de derivadas

objetivas con el fin de poder eliminar tensiones espúreas bajo movimientos de sólido rígido, durante

el proceso de integración y con objeto de reproducir adecuadamente las curvas tensión-deformación.

Posteriormente, cuando se consiguió mantener la objetividad ante movimientos de sólido rígido, debido

al uso de algoritmos "incrementalmente objetivos" [179], [180], los investigadores se percataron de que

ante ciclos puramente elásticos, el sólido disipaba energía [181], [155]. A finales de los 80, J.C. Simó

empezó a utilizar la hiperelasticidad y la descomposición de Lee, aunque la hiperelasticidad [117], y la

descomposición de Lee [182] ya se habían usado antes en mecánica computacional, pero por separado.

Usandotx = 0x+ tue + tup (6.3)

donde tx son las coordenadas actuales, tup son los ’desplazamientos plásticos’ (disipativos e irreversibles),

desde la configuración de referencia a la configuración intermedia y tue son los desplazamientos desde la

configuración intermedia a la configuración final (espacial) debido a deformaciones elásticas y a movimien-

tos de sólido rígido en el continuo (no disipativos y, en principio, reversibles). En esta configuración

intermedia, únicamente se tienen en cuenta las dislocaciones [36]. Las coordenadas locales incompatibles

de la configuración intermedia se definen como

p(t)x = 0x+ tup (6.4)

Por lo tanto, el gradiente de deformación t0F se puede escribir como

t0F = I+

∂ tue

∂ p(t)x

∂ p(t)x

∂ 0x+

∂ tup

∂ 0x= I+

∂ tue

∂ p(t)x

µI+

∂ tup

∂ 0x

¶+

∂ tup

∂ 0x(6.5)

= I+∂ tue

∂ p(t)x+

∂ tup

∂ 0x+

∂ tue

∂ p(t)x

∂ tup

∂ 0x=

µI+

∂ tue

∂ p(t)x

¶µI+

∂ tup

∂ 0x

¶= t

p(t)Fp(t)0 F =⇒ t

0F =t0F

e t0F

p

que es la descomposición de Lee. La figura 6.1 representa un esquema de la descomposición de Lee, donde

aparece la configuración intermedia o descargada (libre de tensiones). Una característica especial de la


x2

x1

x3

b0

bt

0 Ft

0 Ft

0 Ft ep

Descomposición de Lee : =0 0 0F F Fet t t p

configuración intermedialibre de tensiones “t

Figura 6.1: Descomposición multiplicativa de Lee del gradiente de deformación F en parte elástica Fe yparte plástica Fp

configuración intermedia es que permanece invariante ante movimientos de sólido rígido, y por lo tanto

puede ser utilizada como configuración de referencia.

Utilizando la descomposición de Lee del gradiente de deformaciones, se puede expresar el gradiente

de velocidades espacial tl como la suma de dos contribuciones: una elástica y una plástica, de la forma

tl = t0F

t

0F−1 = t

0Fe t0F

e−1+ t0F

e t0F

p t0F

p−1 t0F

e−1 (6.6)

= tle +t0 F

e t0L

p t0F

e−1 = tle + tlp (6.7)

donde t0L

p es el gradiente modificado de velocidad plástica. La parte plástica tlp también está afectada

por la parte elástica del gradiente, pero el tensor t0Lp tiene el mismo aspecto que la contribución elástica;

únicamente depende de la parte plástica del gradiente de deformaciones, y, siguiendo con la motivación

de la plasticidad de cristales, se debe usar este tensor para determinar el flujo plástico. La parte simétrica

de t0L

p es el tensor modificado de velocidad de deformación plástica

Dp =1

2

ht0F

p t0F

p−1 +¡t0F

p¢−T t

0FpTi

(6.8)

y la parte antisimétrica es el tensor modificado de velocidad de rotación plástica

Wp =1

2

ht0F

p t0F

p−1 −¡t0F

p¢−T t

0FpTi

(6.9)

Si se ’tira’ el tensor tl hasta la configuración intermedia, que se usa como referencia, se obtiene la expresión

L = FeT Fe +FeTFeLp = Le+CeLp (6.10)


donde aparece el tensor derecho elástico de Green-Cauchy Ce, que es la fuente de las mayores complica-

ciones matemáticas de la plasticidad en grandes deformaciones.

La potencia local de las fuerzas externas en un proceso isotermo (por volumen de referencia) se puede

escribir como

P = τ : l = Fe S FeT: Fe−T L F

e−−1= S : L (6.11)

siendo S y L el ’tiro’ del tensor de tensiones de Kirchhoff τ y del tensor de velocidades espacial l a

la configuración intermedia, respectivamente. Sustituyendo la ecuación (6.10) en la ecuación (6.11), nos

queda

S : L = S :¡Le+CeLp

¢= S :

¡De + We

¢+ S : C

e ¡Dp + Wp

¢(6.12)

Como S es un tensor simétrico, el producto S : We= 0, es decir, el giro elástico modificado no produce

trabajo. Por lo tanto, queda

S : L = S : De+ S : C

e ¡Dp + Wp

¢(6.13)

donde Ξ := CeS es el tensor de Mandel no-simétrico, que cumple la condición Ce−1Ξ = ΞT Ce−1. La

disipación mecánica se escribe como

D = τ : l− ψ = S : De+Ξs : D

p +Ξw : Wp − ψ ≥ 0 (6.14)

donde ψ es la función de energía libre y Ξs = 12

¡CeS+ SC

e¢y Ξw = 1

2

¡CeS− SCe¢

son la parte

simétrica y antisimétrica del tensor de Mandel, respectivamente. Esta energía libre es una función de las

medidas de deformación elásticas y de otras variables internas. Se puede expresar la función de energía

libre como ψ¡Ae,Ei, ξ

¢, donde Ae es una medida pura de las deformaciones elásticas, Ei son variables

internas, correspondientes a la medida de las deformaciones de los desplazamientos internos y ξ es una

variable interna escalar para el cálculo del endurecimiento no retornable. Por lo tanto

ψ¡Ae,Ei, ξ

¢=

∂ψ

∂Ae: De +

∂ψ

∂Ei: Ei +

∂ψ

∂ξ: ξ (6.15)

y la disipación mecánica queda

D =µS− ∂ψ

∂Ae

¶: D

e − ∂ψ

∂Ei: Ei − ∂ψ

∂ξ: ξ +Ξs : D

p +Ξw : Wp ≥ 0 (6.16)

Como la igualdad anterior se tiene que cumplir para deformaciones elásticas, se tiene

S =∂ψ

∂Ae(6.17)

Se define β = − ∂ψ

∂Ei(“backstress”) y κ = −∂ψ

∂ξ(“overstress”). La desigualdad de disipación plástica

reducida modificada es

Dp = β : Ei + κ : ξ +Ξs : Dp +Ξw : W

p ≥ 0 (6.18)

Se asume la existencia de una función de plastificación (restricción del dominio elástico) de la forma

f¡Ξ, β,κ

¢≤ 0 (6.19)


El Lagrangiano para este problema se puede escribir como

L := Dp − tf (6.20)

donde t es el multiplicador de Lagrange o parámetro de consistencia¡t ≥ 0

¢. Aplicando el principio de

máxima disipación, las tensiones y otros parámetros internos son tales que ∇L = 0, es decir

∇L =⇒

⎧⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎨⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎩

∂L

∂Ξs= 0⇒ Dp = t

∂f

∂Ξs

∂L

∂Ξw= 0⇒ Wp = t

∂f

∂Ξw

∂L

∂β= 0⇒ Ei = −t ∂f

∂β

∂L

∂κ= 0⇒ ξ = −t ∂f

∂κ

(6.21)

Estas expresiones dan lugar a las reglas de flujo y endurecimiento asociadas para la formulación general

de elastoplasticidad en grandes deformaciones.

Para el caso de isotropía elástica, los autovectores de los tensores S, Ae y Ce coinciden, las matrices

conmutan y por lo tanto Ξw = 12

¡CeS− SCe¢

= 0. Una importante consecuencia es que el giro plástico

no disipa energía en elasticidad isótropa.

Utilizando la descomposición polar del gradiente de deformación Fe= ReUe, la parte simétrica del

tensor de Mandel se puede escribir como

Ξ = Ξs =1

2

¡CeS+ SC

e¢= UeSU

e(6.22)

que escrito en función del tensor de tensiones de Kirchhoff τ nos queda

Ξ = Ξs = UeFe−1τFe−TU

e= ReTτRe = τ (6.23)

donde τ es el tensor de tensiones de Kirchhoff rotado a la configuración intermedia. Además, se tiene

que

S : De= Ξ : C

e−1De = τ : C

e−1De =

3Xi=1

τ iλe

i

λei= τ : E

e(6.24)

y, por lo tanto, la disipación mecánica se puede escribir como

D = τ : Ee+ τ : Dp − ψ ≥ 0 (6.25)

Una de las mayores dificultades encontradas en el desarrollo de algoritmos fue la naturaleza multiplica-

tiva de la elastoplasticidad en grandes deformaciones. Este problema se puede solventar usando funciones

de energía hiperelástica en términos de deformaciones logarítmicas [122], [48]. El uso de estas funciones

son adecuadas para el modelado de procesos de deformación de metales bajo deformaciones elásticas

moderadas [183], [123], [124]. Definiendo λi como los alargamientos elásticos principales, J = det(F),


como el determinante del gradiente de deformaciones y λi = J−1/3λi como los alargamientos elásticos

principales isocóricos, se tiene la función de energía almacenada

W (λ1, λ2, λ3) = U (J) + μ3X

i=1

³ln λi

´2(6.26)

donde μ es el módulo a cortante y U (J) es la contribución volumétrica.Usando la regla de la cadena y la ecuación (6.17) en direcciones principales, se obtiene el tensor de

tensiones

Si =3X

j=1

∂W∂ lnλj

∂ lnλj

∂¡12λ

2i

¢ = 3Xj=1

∂W∂ lnλj

δijλiλj

=1

λ2i

∂W∂ lnλj

(6.27)

y como

3Xi=1

ln λi = 0 (6.28)

∂λi∂λj

= J−1/3

Ãδij −

1

3

λiλj

!

usando la ecuación (6.26), nos queda

∂W∂ lnλj

=3X

k=1

U 0(J)

∂J

∂λk

∂λklnλi

+ 2μ3X

k=1

ln λk

λk

∂λk∂λi

∂λi∂ lnλi

(6.29)

Por lo tanto, el tensor de Mandel Ξ se puede escribir, utilizando esta función de energía, como

Ξ ≡ CeS = τ =

∂W∂Ee

= JU 0(J) I+ 2μEed (6.30)

donde

Eed = ln

µJ−

13Ue

¶(6.31)

y

Ee = lnUe =1

3(lnJ) I+Eed (6.32)

son la parte desviadora y total del tensor de deformaciones elásticas de Hencky respectivamente. Nótese

que la relación anterior es similar a la de pequeñas deformaciones, salvo que, en este caso, se usan tensiones

de Kirchhoff y deformaciones elásticas de Hencky en la configuración intermedia.

6.2 Plasticidad isótropa en grandes deformaciones: Algoritmo

computacional en términos de deformaciones logarítmicas

El algoritmo presentado en este apartado está basado en los ingredientes comentados en la introducción:

descomposición de Lee, integración exponencial, medidas logarítmicas e hiperelasticidad, ver referencia

[36]. La evolución del gradiente de desplazamientos plástico t0F

p se calcula a partir del tensor modificado

6.2. PLASTICIDAD ISÓTROPA EN GRANDES DEFORMACIONES 189

de velocidad plástica t0L

p como

tLp= t

0Fp t

0Fp−1 =⇒ t

0Fp = tL

p t0F

p (6.33)

donde la solución exponencial de Euler regresiva [48] para esta ecuación se calcula como

t+∆t0F

p = exp¡∆t t+∆tLp

¢t0F

p (6.34)

y la función exponencial de una matriz exp¡∆t t+∆tLp

¢se define como

exp¡∆t t+∆tLp

¢:=

∞Xn=0

∆t t+∆tLp

n!(6.35)

Para pasos pequeños, tales que°°∆t t+∆tLp

°° << 1, se puede aproximar porexp

¡∆t t+∆tLp

¢= I+∆t t+∆tLp + ...O

¡h2¢

(6.36)

y como t+∆tLp = t+∆tDp +t+∆t Wp, se tiene

exp¡∆t t+∆tLp

¢= exp

¡∆t t+∆tDp

¢exp

¡∆t t+∆tWp

¢+ ...O

¡h2¢

(6.37)

Definiendo el gradiente de deformación elástica de prueba como Fe∗ :=t+∆t0 F t

0Fp−1 , se obtienen las

actualizaciones

t+∆t0F

p−1 = t0F

p−1exp

¡− ∆t t+∆tWp

¢exp

¡− ∆t t+∆tDp

¢(6.38)

t+∆t0F

e = t+∆t0F

t+∆t0 Fp−1 = Fe∗ exp

¡− ∆t t+∆tWp

¢exp

¡− ∆t t+∆tDp

¢(6.39)

En la figura 6.2 se muestran las diferentes configuraciones sobre las que se actúa durante el procedimiento

de cálculo. El gradiente de prueba Fe∗, conocido a priori, conecta las configuraciones isoclina en el tiempo

t con el sólido en el tiempo t +∆t, suponiendo que todas las deformaciones de t a t +∆t son elásticas.

El proceso de integración actualiza la configuración isoclina, y, por lo tanto, los gradientes plástico y el

gradiente de deformaciones elástico de prueba. El incremento del gradiente de deformaciones plástico

tiene dos contribuciones: una es meramente una rotación de la configuración isoclina, mientras que la

otra es el flujo plástico simétrico. En cualquier caso, la configuración sobre la ocurre el flujo plástico

simétrico va cambiando, y sería necesario actualizarla durante el proceso de integración del mismo. Pero

esto no es necesario, como se verá a continuación.

Por otra parte, si se define t+∆tt Rw := exp

¡∆t t+∆tWp

¢, que es un tensor ortogonal que define una

rotación plástica local incremental y Ce∗ = F

eT∗ Fe∗ (tensor diestro de Cauchy-Green de prueba), se obtiene

Ce∗ =

t+∆ttR

wT exp¡∆t t+∆tDp

¢t+∆t

0FeT t+∆t

0Fe exp

¡∆t t+∆tDp

¢t+∆t

tRw (6.40)

Ce∗ =

£t+∆t

tRwT exp

¡∆t t+∆tDp

¢t+∆t

tRw¤ £

t+∆ttR

wT t+∆t0C

e t+∆ttR

w¤... (6.41)

...ht+∆t

tRwT exp

³∆t t+∆tD

p´

t+∆ttR

wi


x2

x1

x3

b0bt

0 Ft

0 Ft0 Ft e

p

bt+ tD

exp( t ) =D W Rp t+ t wDt+ tD0

exp( t )Dpt+ tD D

exp( t )D Lpt+ tD

Fe

*

Fe

*

0 Ft+ tD e

Figura 6.2: Configuraciones en el proceso de integración

Si definimos los tensorest+∆t

0 Ce := t+∆t

tRwT t+∆t

0Ce t+∆t

tRw (6.42)

exp³∆t t+∆tDp

´:= t+∆t

tRwT exp

¡∆t t+∆tDp

¢t+∆t

tRw (6.43)

e introducimos el uso de deformaciones logarítmicas

t+∆t0 E

e =1

2ln³t+∆t

0 Ce´

(6.44)

se obtiene

Ee∗ ' t+∆t

0 Ee +∆t t+∆tDp (6.45)

que es la misma expresión aditiva de pequeñas deformaciones, pero en una configuración rotada y con las

rotaciones plásticas incrementales t+∆tt Rw congeladas. En esta expresión se tiene la restricción kEe∗k <<

1, es decir, las deformaciones elásticas y los pasos incrementales son moderados, como suele suceder

en plasticidad de metales. Nótese, además, que las rotación "elástica" cambia con la rotación plástica

incremental t+∆tt Rw [36] de la forma

t+∆t0R

e ' Re∗

t+∆ttR

wT (6.46)

t+∆t0W

e 'We∗ − t+∆tWP (6.47)

En la tabla 6.1 se presenta un resumen del algoritmo de integración de tensiones.

6.2.1 Módulo elastoplástico tangente consistente

Durante el procedimiento iterativo, el estado elástico de prueba cambia, como se puede ver en la figura

6.3. Las nuevas coordenadas se actualizan como

t+∆tx(i+1) =t+∆t x(i) + ζu(i+1)(i) (6.48)

6.2. PLASTICIDAD ISÓTROPA EN GRANDES DEFORMACIONES 191


Dados tβ,t k y (t0Fp−1 y t+∆t

0F en TL) o¡t0F

e y t+∆ttF en UL

¢1. Obtención del tensor elástico de prueba Fe∗ =

t+∆t0F

t0F

p−1 = t+∆ttF

t0F

e

2. Cálculo del tensor de deformaciones de Green-Cauchy de prueba Ce∗ = F

eT∗ Fe∗

3. Obtención de λ∗i , N∗i ⊗N∗i y Ue

∗ =3P

i=1λ∗iN

∗i ⊗N∗i y Re

∗ = Fe∗ U

e−1∗

¡J = det

¡t+∆t0 F

¢> 0

¢4. Cálculo de la tensión rotada de prueba

τ ∗ = T∗ = J U 0(J) I+ 2μ

3Pi=1ln¡J−1/3λ∗i

¢N∗i ⊗N∗i y B∗ = tβ; k∗ = tk

5.

⎧⎨⎩Llamada a la subrutina de pequeñas deformaciones para integrar las tensiones

t+∆tT (tensor de tensiones), t+∆tB (tensor de tensiones de referencia),∆t t+∆tDp (incremento de deformación plástica), t+∆tk, t+∆tD (tensor constitutivo)

⎫⎬⎭6. Cálculo de la tensión de Cauchy J−1 t+∆tτ = J−1 t+∆tRe

∗t+∆tτ t+∆tReT

∗

7. Durante la fase iterativa calcular t+∆tC(i), ver apartado 6.2.18. En fase de convergencia actualizar t+∆t

0Fp−1 = t

0Fp−1 exp

³−∆t t+∆tDp

´si se utiliza formulación TL o t+∆t

0Fe = Fe∗ exp

³−∆t t+∆tDp

´si se utiliza formulación UL

Tabla 6.1: Algoritmo de integración de tensiones para las formulaciones TL (Total Lagrangian) y UL(Updated Lagrangian)

siendo ζ = 1 en la ecuación anterior. Aplicando la regla de la cadena usando las expresiones F(i+1)(i) =

I+ ζ∇(i)u(i+1)(i) y ∇(i) =∂

∂ t+∆tx(i)se obtiene

t+∆t0F

(i+1) = F(i+1)(i)

t+∆t0F

(i) (6.49)

Fe(i+1)∗ = F

(i+1)(i) F

e(i)∗ (6.50)

El módulo elastoplástico tangente buscado t+∆tC(i) en formulación Updated Lagrangian es tal que [45]

J−1L(i)∆ t+∆tτ (i) = J−1 t+∆tC(i) ∇s(i)

t+∆tu(i+1) (6.51)

donde ∇s(i) es el gradiente simétrico y L

(i)∆ es la derivada de Lie incremental. Las medidas de deformación

elástica de prueba son

a∗ =1

2

¡I−Fe−T∗ Fe−1∗

¢(6.52)

donde el ’tiro’ a la configuración intermedia es

A(i+1)∗ =

1

2

³Fe(i)T∗ F

(i+1)T(i) F

(i+1)(i) F

e(i)∗ − I

´(6.53)


Configuraciónmaterial

Configuracióndestensionada en t

iteración (i)iteración (i)

iteración (i+1)

t+ t (i)D St+ t (i)D

0At+ t (i+1)D S

t+ t (i+1)D

0A

t+ t (i)D S

A*

(i)

t p

0F

t+ t (i)D

0F

F*

e(i)

A*

(i+1)

t+ t (i+1)D S

t+ t (i)Dt

a*

(i)

F(i)

(i+1)

t+ t (i+1)Dt

a*

(i+1)

F*

e(i+1)

t+ t (i+1)D

0 *F0x t+ t (i)D x

t+ t (i+1)D x

zu(i)

(i+1)

Figura 6.3: Principales configuraciones utilizadas en la linealización del algoritmo en la iteración (i)

y la derivada de Lie del tensor de Almansi de prueba es

L(i)∆ a(i)∗ = F

e(i)−T∗

∙d

dζA(i+1)∗ |ζ=0

¸Fe(i)−1∗ = ∇s

(i)t+∆tu(i+1) (6.54)

Además, dada una rotación arbitraria definida por el tensor de Q, se define la derivada de Lie L(i)Q (·)(i)

como

L(i)∆ (·)(i)= QTL(i)Q

¡Q (·)QT

¢(i)Q (6.55)

Tomando Q = ReT∗ , nos queda

L(i)Q¡t+∆tτ

¢= Ue

∗ S Ue

∗ (6.56)

L(i)Q¡t+∆ta∗

¢= Ue−1

∗ A∗ Ue−1∗ (6.57)

donde t+∆tτ = Q t+∆tτ (i) QT y t+∆ta∗ = Q t+∆ta(i)∗ QT . El tensor t+∆tS es el ’tiro’ del tensor de

tensiones de Kirchhoff espacial a la configuración intermedia. A la vista de los resultados anteriores, el

tensor t+∆tC se calcula comot+∆tS = t+∆tC : t+∆tA∗ (6.58)

donde el tensor t+∆tC se obtiene a partir de la expresión

t+∆tCijkl = F e.i∗.a F e.j

∗.a F e.k∗.c F e.l

∗.dt+∆tCabcd (6.59)

6.3. PLASTICIDAD ANISÓTROPA EN GRANDES DEFORMACIONES 193

El tensor C, tras ciertas manipulaciones [36], se expresa como

Cijkl = (J∗)ij....mn

¡t+∆tD

¢mnpq(E∗)

..klpq.. + (U∗)

inkl ¡Z¢.jn.+¡Z¢.in.(U∗)

njkl (6.60)

donde t+∆tZ =t+∆t

τ Ue−1∗ y t+∆tD coincide con el tensor consitutivo de pequeñas deformaciones. Esta

formulación sirve como base para el desarrollo de modelos de elastoplasticidad anisótropa en grandes

deformaciones.

6.3 Plasticidad anisótropa en grandes deformaciones: Algoritmo

computacional e implementación en DULCINEA

En este apartado se presenta un modelo de plasticidad anisótropa en grandes deformaciones bajo la

hipótesis de isotropía elástica. Este modelo utiliza como base la formulación en grandes deformaciones

desarrollada por Eterovic y Bathe [48], basada en tensiones de Kirchhoff, donde se utiliza la descom-

posición multiplicativa de Lee, deformaciones logaritmicas o de Hencky y un algoritmo de integración

exponencial. Como linealización consistente se puede usar el algoritmo de Montáns y Bathe [36]. Este es-

quema da lugar a una extensión del algoritmo plasticidad anisótropa de pequeñas deformaciones, basado

en la función de fluencia de Hill, a grandes deformaciones, tanto para materiales isótropos [122], como en

este caso para materiales anisótropos. La extensión a la cinemática en grandes deformaciones, se simpli-

fica a la implementación de un preproceso y un postproceso a partir del algoritmo de Hill en pequeñas

deformaciones (ver Capítulo 5). En este caso no se ha considerado el giro plástico.

6.3.1 Preproceso: Cálculo del estado de prueba (‘Trial state’)

Dados los gradientes de deformación plástica y total de la forma t0F

p−1 y t+4t0F para formulación TL

(Formulación ’Total Lagragian’) o bien, los gradientes de deformación elástico y total de la forma t0F

e yt+4t

tF para formulación UL (Formulación ’Update Lagrangian’), se calcula el tensor elástico de prueba

Fe∗ =t+4t

0Ft0F

p−1 = t+4ttF

t0F

e (6.61)

Una vez conocido el tensor elástico de prueba, se puede calcular el tensor de deformación elástico de

Green-Cauchy de prueba como

Ce∗ = F

e T∗ Fe∗ =

3Xi=1

λ2∗i N∗i ⊗N∗i (6.62)

o bien, a partir de la descomposición polar del gradiente de deformaciones elásticas de prueba Fe∗ como

Fe∗ = Re∗U

e∗ =

3Xi=1

λ∗i N∗i ⊗N∗i (6.63)

donde Re∗ es el tensor de rotación de prueba y U

e∗ =

P3i=1 λ∗i N

∗i ⊗N∗i es el tensor de alargamientos

elásticos de prueba. De aquí se calcula λ∗i y N∗i ⊗N∗i


A continuación se calcula el tensor de tensiones de prueba de Kirchhoff rotado como

τ ∗ = T∗ = J U 0(J) I+ 2μ

3Xi=1

ln³J−1/3λ∗i

´N∗i ⊗N∗i (6.64)

donde J U 0(J) define la parte volumétrica del tensor de tensiones, con U (J) la energía elástica volumétrica

y 2μ3Pi=1ln¡J−1/3λ∗i

¢N∗i ⊗N∗i la parte desviadora.

6.3.2 Llamada al modelo de elastoplasticidad anisótropa en pequeñas defor-maciones

En esta etapa, se realiza la llamada al algoritmo de integración de tensiones del modelo de elastoplas-

ticidad anisótropa en pequeñas deformaciones desarrollado en el Capítulo 5. Como tensores de entrada

a la subrutina, se envían los tensores de prueba de prueba de tensiones T∗ y β∗. A partir de la sub-

rutina en pequeñas deformaciones, se obtienen los tensores actualizados t+4t0 T (tensor de tensiones de

Kirchhoff actualizado), t+4t0 β (tensor de tensiones de referencia actualizado), 4t t+4tDp (tensor de de-

formación plástica actualizado) y t+4tD que es el módulo elastoplástico tangente algorítmico en pequeñasdeformaciones.

6.3.3 Postproceso: Cálculo de tensores y actualización de variables

En este modelo no se tiene en cuenta el efecto del giro plástico t+∆tRw = I , por lo que se cumple

t+4t0τ = t+4t

0T (6.65)

y el tensor de tensiones de Cauchy se calcula como

t+∆t0σ = J−1 t+4t

0τ (6.66)

Durante el procedimiento iterativo hay que calcular el módulo tangente consistente t+4tC(i), a partirdel módulo tangente consistente de pequeñas deformaciones t+4tD(i), utilizando la expresión (6.60) delapartado anterior.

Por último, se procede a la actualización de variables en la fase de convergencia de la forma

t+∆t0F

p−1 = t0F

p−1 exp¡−∆t t+∆tDp

¢=⇒ Si utilizamos Formulación TL (6.67)

t+∆t0F

e = Fe∗ exp¡−∆t t+∆tDp

¢=⇒ Si utilizamos Formulación UL

6.4 Elastoplasticidad anisótropa en grandes deformaciones: Mod-

elado computacional e implementación en DULCINEA

En los siguientes apartados se presenta un modelo teórico de elastoplasticidad anisótropa en grandes

deformaciones en términos del tensor de tensiones de Mandel y un algoritmo de integración de tensiones

totalmente implícito, utilizando los ingredientes comentados en los apartados anteriores.

6.4. ELASTOPLASTICIDAD ANISÓTROPA EN GRANDES DEFORMACIONES 195

Integración de la parte plástica del gradiente de deformaciones

En el presente modelo en grandes deformaciones, se desprecia la contribución del giro plástico o ‘plastic

spin’ al gradiente de velocidades plásticas modificado, de forma que se asume t+∆tRw = I y por lo tanto

Lp ≈ Dp (6.68)

Partiendo de la hipótesis dada por la ecuación (6.68), la evolución del gradiente de deformaciones

plástico dado descrita en la ecuación (6.33) se escribe

t0F

p =t Dp t0F

p ⇒ t0F

p = exp¡∆t t+∆tDp

¢t0F

p (6.69)

La actualización de los gradientes elástico y plástico para un paso de carga t+∆t se calcula ahora como

t+∆t0F

e = Fe∗ exp¡−∆t t+∆tDp

¢(6.70)

t+∆t0F

p−1 = t0F

p−1 exp¡−∆t t+∆tDp

¢Por otra parte, haciendo uso de la integración exponencial y la definición de los tensores de deformación

logarítmicos dados por la ecuación (6.44), la ecuación (6.41) se escribe como

t+∆t0 Ee ' Ee

∗ −∆t t+∆tDp, siendo Ee∗ conocido (6.71)

que es la correspondencia anisótropa en grandes deformaciones de la conocida ecuación aditiva en pe-

queñas deformaciones isótropas εe = ε− εp.

6.4.1 Energía elástica almacenada: hiperelasticidad ortótropa basada en me-didas de deformación logarítmicas

En el apartado anterior se ha visto que la actualización de las deformaciones elásticas está expresada en

deformaciones logarítmicas. Por lo tanto, se puede buscar una expresión para la energía almacenada en

función de deformaciones logarítmicas.

La función de energía elástica se motiva a partir de la función de energía elástica en deformaciones

logarítmicas para materiales isótropos, los cuales representan adecuadamente el comportamiento real del

material, sobre todo para deformaciones elásticas moderadas que son las que se presentan en metales

bajo comportamiento elastoplástico.

Como se ha comentado en los apartados anteriores, en el caso de isotropía elástica, el tensor diestro

de Green-Cauchy Ce y el segundo tensor de tensiones de Piola-Kirchhoff S conmutan, ya que tienen el

mismo espacio de autovectores. En el caso de isotropía, la parte antisimétrica de este tensor es nula.

Entonces, se cumple que

Ξe = Ξ =1

2(Ce S+ S Ce) = UeSUe (6.72)

que en términos del tensor de tensiones espacial de Kirchhoff τ , usando el empuje para tensores con-


travariantes, puede expresarse de la forma

Ξe = Ue (Fe)

−1τ (Fe)

−TUe = (Re )

Tτ Re = τ (6.73)

donde τ es el tensor de tensiones rotado de Kirchhoff. Si se trabaja bajo la hipótesis de isotropía elástica,

la energía almacenada puede expresarse como

W = U (J) + μ Eed : Eed = U (J) + μ Ee : P : Ee (6.74)

donde Ee := ln (Ue) son las deformaciones logarítmicas, Eed := P : Ee, son las deformaciones logarít-

micas desviadoras, P = I − 13I ⊗ I es el proyector desviador y los tensores I e I son, respectivamente,

los tensores identidad de cuarto y segundo orden. Los dos términos de la ecuación anterior representan

las energías volumétricas y desviadora respectivamente. El tensor de tensiones rotado de Kirchhoff se

obtiene como

Ξ = Ξe = τ =∂W∂Ee

= JU0(J) + 2μ P : Ee (6.75)

En este trabajo se van a considerar una anisotropía elástica moderada que se expresa en términos de

deformaciones logarítmicas. Además, en el caso anisótropo, los tensores Ce y S no conmutan, por lo que

las tensiones que se obtienen no son las de Kirchhoff. No obstante, la forma de la función de energía

almacenada puede ser extendida a una expresión anisótropa de la forma

tW = U¡tJ¢+ μ tEe : tAd : tEe (6.76)

donde tAd es el tensor de ortotropía estructural, el cual tiene el mismo espacio característico que Py es, en general, cercano a P. En este caso, la parte volumétrica de la función de energía elástica

se ha considerado isótropa, reduciendo el número de constantes independientes a siete. No obstante,

un tensor anisótropo general puede ser empleado para producir una expresión de energía en términos

de deformaciones logarítmicas. Si consideramos a tA un tensor de esta forma, con nueve constantes

independientes, la función de energía almacenada es

tW =1

2tEe : tAe : tEe (6.77)

donde tA−1 expresado en el sistema de representación dado por las direcciones preferentes (tei, i = 1, 2, 3)y utilizando la notación de Voigt queda de la forma

tA−1 =

⎡⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎣

1/Ea −νba/Eb −νca/Ec 0 0 0

−νab/Ea 1/Eb −νcb/Ec 0 0 0

−νac/Ea −νbc/Eb 1/Ec 0 0 0

0 0 0 1/Gab 0 0

0 0 0 0 1/Gbc 0

0 0 0 0 0 1/Gca

⎤⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎦(6.78)

donde Ea, Eb, Ec son los módulos de Young en las direcciones principales, νba, νca, νcb, νab, νac, νbcson los coeficientes de Poisson y Gab, Gbc, Gca son los módulos de rigidez a cortante, sujetas a ciertas


condiciones.

Al tensor de tensiones T definido como

T =∂W∂Ee

= Ae : Ee (6.79)

le denominamos tensor de tensiones logarítmico simétrico o tensor de Kirchhoff generalizado (por la

similitud con τ y la coincidencia con éste en el caso isótropo).

6.4.2 Tensores de transformación del espacio de deformaciones cuadrático allogarítmico

En plasticidad en grandes deformaciones, las medidas de deformación logarítmicas proporcionan fre-

cuentemente descripciones sencillas y ajustadas a las obtenidas experimentalmente. Por supuesto, estas

deformaciones se pueden usar en cualquier configuración. Para ello únicamente es necesario usar el ten-

sor de deformaciones adecuado. Existen las siguientes relaciones entre los tensores de deformaciones

logarítmicas:

Ee = (Re)Tee Re donde Ee = ln (Ue) y ee = ln (Ve) (6.80)

Por lo tanto, las operaciones de empuje y tiro se realizan únicamente con la parte de rotaciones de la

descomposición polar del gradiente de deformaciones. Puesto que los tensores de deformación logarítmicos

Ee y ee , y los tensores de GreenAe y Almansi ae son únicos para un estado de deformación determinado,

existe una transformación biyectiva entre ellos. Por ejemplo

Ee =MEA : A

e (6.81)

donde, si las formas espectrales de los tensores de deformación son

Ee =3X

i=1

lnλei Ni ⊗Ni, Ae =3Xi=1

1

2

h(λei )

2 − 1iNi ⊗Ni (6.82)

el tensor MEA queda de la forma

MEA =

3Xi=1

2 lnλei

(λei )2 − 1

Ni ⊗Ni ⊗Ni ⊗Ni (6.83)

o vice-versa, el tensor MAE es

MAE =

3Xi=1

(λei )2 − 1

2 lnλeiNi ⊗Ni ⊗Ni ⊗Ni (6.84)

de forma que Ae = MAE : Ee. De forma similar, hay una correspondencia biunívoca entre los tensores

de velocidades de deformación correspondientes. Derivando el gradiente de deformaciones elástico Fe y

aplicando la descomposición espectral, nos queda

Fe = Re Ue +Re Ue (6.85)


La parte simétrica del tensor de la ecuación (6.85), se puede escribir como

De =1

2UReT ReUe +

1

2UeUe +

1

2UeUe +

1

2UeReTReUe (6.86)

=1

2

³UeUe + UeUe

´donde se ha usado la relación ReT Re = −ReTRe. Utilizando la descomposición espectral del tensor de

alargamientos Ue y su derivada

Ue =3Xi=1

λei Ni ⊗Ni (6.87)

Ue =3X

i=1

λe

iNi ⊗Ni +3X

i=1

Xj 6=i

¡λej − λei

¢ΩijNi ⊗Nj (6.88)

donde Ω =P3

i=1

P3j=1ΩijNi ⊗Nj =

P3i=1 Ni ⊗Ni. Por la tanto, se tiene

Ae = De =3X

i=1

λei λe

iNi ⊗Ni +3Xi=1

Xj 6=i

1

2

£λe 2j − λe 2i

¤ΩijNi ⊗Nj (6.89)

y de la ecuación (6.82), se obtiene la derivada

Ee =3X

i=1

1

λeiλe

i Ni ⊗Ni +3Xi=1

Xj 6=i

£lnλej − lnλei

¤ΩijNi ⊗Nj (6.90)

Con los resultados anteriores, se obtiene el tensor de cuarto orden MED de la forma

MED =

∂Ee

∂Ae=

3Xi=1

1

(λei )2Mi ⊗Mi +

3Xi=1

Xj 6=i

2lnλej − lnλei¡λej¢2 − (λei )2Mi ¯sMj (6.91)

y

MDE=

∂Ae

∂Ee=

3Xi=1

(λei )2Mi ⊗Mi +

3Xi=1

Xj 6=i

2

¡λej¢2 − (λei )2

lnλej − lnλeiMi ¯sMj (6.92)

donde

Mi = Ni ⊗Ni (6.93)

Mi ¯sMj =1

4(Ni ⊗Nj +Nj ⊗Ni)⊗ (Ni ⊗Nj +Nj ⊗Ni) ≡Mj ¯sMi

Estos tensores tienen simetrías mayores y menores y representan transformaciones que relacionan los

tensores de velocidad de deformación como

Ee =MED : D

e y De =MDE: Ee (6.94)

respectivamente.

Por otra parte, se tiene que la descomposición espectral del tensor diestro de Green-Cauchy se escribe


como

Ce =3Xi=1

λe 2i Ni ⊗Ni (6.95)

y con

MED =

3Xi=1

1

(λei )2Mi ⊗Mi + (6.96)

+3Xi=1

Xj 6=i

2lnλej − lnλei¡λej¢2 − (λei )2 14 (Ni ⊗Nj +Nj ⊗Ni)⊗ (Ni ⊗Nj +Nj ⊗Ni)

se obtiene

Ce ·3MED =

3Xi=1

Mi ⊗Mi +3Xi=1

Xj 6=i

1

2

lnλej − lnλei¡λej¢2 − (λei )2 (λe 2i Ni ⊗Nj ⊗Ni ⊗Nj + (6.97)

+λe 2i Nj ⊗Ni ⊗Ni ⊗Nj + λe 2j Ni ⊗Nj ⊗Nj ⊗Ni + λe 2j Nj ⊗Ni ⊗Nj ⊗Ni)

y

Ce ·4MED =

3Xi=1

Mi ⊗Mi +3Xi=1

Xj 6=i

1

2

lnλej − lnλei¡λej¢2 − (λei )2 (λe 2j Ni ⊗Nj ⊗Ni ⊗Nj + (6.98)

+ λe 2j Nj ⊗Ni ⊗Ni ⊗Nj + λe 2i Ni ⊗Nj ⊗Nj ⊗Ni + λe 2i Nj ⊗Ni ⊗Nj ⊗Ni)

donde la operación A ·nA implica la contracción del índice n del tensor de cuarto orden A con el segundoíndice del tensor de segundo orden A. Finalmente, se definen los tensores de transofrmación de cuarto

orden

SM =1

2

³Ce ·3ME

D +Ce ·4ME

D

´(6.99)

WM =1

2

³Ce ·3ME

D −Ce ·4MED

´(6.100)

Por ello, se puede demostrar que si definimos

K := S :MDEde forma que S = K :ME

D (6.101)

donde S es el segundo tensor de Piola Kirchhoff, se obtiene la transformación del tensor de tensiones de

Mandel como

Ξ := Ce S = Ce³K :ME

D

´= K :

³SM+WM

´(6.102)

donde la parte antisimétrica del tensor K se escribe de la forma

Kw := K :WM = EeK−KEe = Ξw (6.103)


que es la parte antisimétrica del tensor del Mandel, y

Ξs = K :SM (6.104)

que corresponde con la parte simétrica de dicho tensor.

Se puede demostrar que el tensor K es realmente el tensor de tensiones de Kirchhoff generalizado

T [43], que se puede obtener a partir de la desigualdad de disipación obtenida de la segunda ley de la

termodinámica, y, por lo tanto, la transformación de T a la parte simétrica del tensor de tensiones de

Mandel Ξs está proporcionada por la ecuación (6.104).

La demostración de la ecuación (6.103) es la siguiente: dada la descomposición espectral del tensor

de tensiones de Kirchhoff T

T =3X

i=1

3Xj=1

Tij Ni ⊗Nj (6.105)

y desarrollando la parte izquierda de la igualdad de la ecuación (6.103), se tiene

Tw = T :WM =

=

⎛⎝ 3Xi=1

3Xj=1

Tij Ni ⊗Nj

⎞⎠ :

⎛⎝ 3Xi=1

Xj 6=i

¡lnλei − lnλej

¢ 14(Ni ⊗Nj +Nj ⊗Ni)⊗ (Ni ⊗Nj −Nj ⊗Ni)

⎞⎠=

3Xk=1

3Xl=1

3Xi=1

Xj 6=1

¡lnλei − lnλej

¢ 14Tkl (δkiδlj + δkjδli) (Ni ⊗Nj −Nj ⊗Ni)

y simplificando la expresión anterior nos queda

Tw =1

4

3Xi=1

Xj 6=1

¡lnλei − lnλej

¢(Tij + Tji) (Ni ⊗Nj −Nj ⊗Ni)

=1

4

3Xi=1

Xj 6=1

¡lnλei − lnλej

¢TijNi ⊗Nj −

1

4

3Xi=1

Xj 6=1

¡lnλei − lnλej

¢TijNj ⊗Ni +

+1

4

3Xi=1

Xj 6=1

¡lnλei − lnλej

¢TjiNi ⊗Nj −

1

4

3Xi=1

Xj 6=1

¡lnλei − lnλej

¢TjiNj ⊗Ni

Utilizando la simetría de T (Tij = Tji) y agrupando términos, nos queda

Tw = T :WM =3Xi=1

Xj 6=1

lnλeiTijNi ⊗Nj −3X

i=1

Xj 6=1

lnλejTijNi ⊗Nj


Desarrollando la parte derecha de la Ecuación 6.103, se tiene

EeT−TEe =3X

i=1

lnλei (Ni ⊗Ni)3X

k=1

3Xj=1

Tkj (Nk ⊗Nj)−3X

i=1

3Xk=1

Tik (Ni ⊗Nk)3X

j=1

lnλej (Nj ⊗Nj)

=3X

i=1

3Xk=1

3Xj=1

lnλeiTkjδik (Ni ⊗Nj)−3Xi=1

3Xk=1

3Xj=1

lnλejTikδkj (Ni ⊗Nj)

=3X

i=1

3Xj=1

lnλeiTij (Ni ⊗Nj)−3X

i=1

3Xj=1

lnλejTij (Ni ⊗Nj)

Si i = j, ambos términos se cancelan. Por lo tanto queda probada la ecuación (6.103).

Por otra parte, la ecuación (6.104) se puede simplificar de la forma

Ξs = T : SM ≈ T : I = T (6.106)

para deformaciones elásticas moderadas y para una anisotropía elástica moderada. Este resultado es

de gran importancia, ya que simplifica en gran medida la implementación del algoritmo de integración

de tensiones en grandes deformaciones. La demostración de la aproximación SM ≈ I se presenta acontinuación:

Dado el tensor de cuarto orden SM , definido como

SM :=1

2

³Ce ·3ME

D +Ce ·4ME

D

´=

3Xi=1

(Mi ⊗Mi) +3X

i=1

Xj 6=i

λe 2j + λe 2i

λe 2j − λe 2i

¡lnλej − lnλei

¢Mi ¯sMj

se define

gij = gji :=λe 2j + λe 2i

λe 2j − λe 2i

¡lnλej − lnλei

¢(6.107)

siendo λk los alargamientos unitarios definidos según la ecuación (??), de la forma

λei = 1 + εei

λej = 1 + εej

Usando la definición anterior y el desarrollo de Taylor de la función logaritmo para el caso de alargamientos

unitarios, nos queda

lnλek = εek −1

2εe 2k +O

¡εe 3k

¢Sustituyendo los resultados anteriores en la expresión (6.107), se tiene

gij =

¡1 + εej

¢2+ (1 + εei )

2¡1 + εej

¢2 − (1 + εei )2

∙µεej −

1

2εe 2j

¶−µεei −

1

2εe 2i

¶¸= 1 +O

¡εei − εej

¢2(6.108)

Por lo tanto, queda probado que se cumple la hipótesis de SM ≈ I, para deformaciones elásticas moder-


adas. En caso contrario, habría que implementar el cálculo SM y SM , ver Apéndice 9.4.

6.4.3 Algoritmo implícito de integración de tensiones

En este apartado se presenta un algoritmo totalmente implícito de integración de tensiones del modelo

de elastoplasticidad anisótropa en grandes deformaciones como se ha comentado anteriormente. Las

diferencias fundamentales de este algoritmo con otros trabajos en plasticidad anisótropa [128], [130],

[131], [32], [33] es el uso en la formulación de la descomposición multiplicativa de Lee, deformaciones

logarítmicas y funciones de hiperelasticidad anisótropa. En el algoritmo presentado, la extensión a la

cinemática en grandes deformaciones se reduce simplemente a un preproceso y un postproceso a partir

del algoritmo en pequeñas deformaciones presentado en el Capítulo 5.

Incialmente se estiman los parámetros del material, que son los mismos que para el caso en pe-

queñas deformaciones. Por una parte, hay que obtener los nueve parámetros elásticos independientes

(E1, E2, E3, ν12, ν13, ν23,G12,G23,G23), que definen el estado de anisotropía elástica, sujetos a las re-

stricciones comentadas en apartados anteriores La principal ventaja de la utilización de estos parámetros

elásticos es la facilidad para obterlos de forma experimental. Por otra parte, hay que definir los parámet-

ros plásticos del material que determinan la función de fluencia anisótropa. En este caso, se utilizan

los parámetros de Hill (F,G,H,L,M,N), que conservan las ventajas de la obtención de los parámetros

elásticos. A continuación se presentan el preproceso y el postproceso, a partir del algoritmo en pequeñas

deformaciones, que configuran el modelo de elastoplasticidad anisótropa en grandes deformaciones desar-

rollado en este Capítulo.

Preproceso: Cálculo del estado de prueba (‘Trial state’)

El cálculo del estado de prueba es similar al presentado en los apartados anteriores. Se parte de los

gradientes de deformación plástica y total de la forma t0F

p−1 y t+4t0 F para formulación TL (Formulación

’Total Lagragian’) o bien, los gradientes de deformación elástico y total de la forma t0F

e y t+4tt F para

formulación UL (Formulación ’Update Lagrangian’), se puede construir el tensor elástico de prueba Fe∗definido en la ecuación (6.61). Una vez conocido el tensor elástico de prueba, se puede calcular el tensor

de deformación elástico de Green-Cauchy de prueba Ce∗, definido en la ecuación (6.62) o bien, a partir

de la descomposición polar del gradiente de deformaciones elásticas de prueba Fe∗.

El siguiente paso es calcular el tensor de deformaciones logarítmicas o de Hencky Ee∗. Para ello, se

implementa inicialmente la descomposición espectral del tensor de Green-Cauchy de prueba definido en

la ecuación (6.62) y aplicando la definición del tensor Ee∗, se tiene

Ee∗ =

1

2lnCe

∗ =3X

i=1

lnλei∗ N∗i ⊗N∗i (6.109)

o bien a partir de la descomposición espectral del tensor de alargamientos de prueba definida en la

ecuación (6.63), dando lugar a

Ee∗ = lnU

e∗ =

3Xi=1

lnλei∗ N∗i ⊗N∗i (6.110)

Una vez conocido el tensor de deformaciones logarítmicas de prueba Ee∗, se puede calcular el tensor de


tensiones de Kirchhoff generalizado de prueba a partir de la ecuación (6.79), como

Te∗ =

∂W∂Ee∗= Ae : Ee

∗ (6.111)

donde tW es la función de energía almacenada hiperelástica anisótropa, definida en la ecuación (6.77) y

Ae es el tensor de cuarto orden de constantes elásticas anisótropas, definido en la ecuación (6.78).

Llamada al modelo de elastoplasticidad anisótropa en pequeñas deformaciones

En esta etapa, se realiza la llamada al algoritmo de integración de tensiones del modelo de elastoplasticidad

anisótropa en pequeñas deformaciones desarrollado en el Capítulo 5. Como tensores de entrada a la

subrutina, se tienen los tensores de prueba Ee∗ y T

e∗. A partir de la subrutina en pequeñas deformaciones,

se obtienen los tensores actualizados t+4t0 T (tensor de tensiones de Kirchhoff actualizado), t+4t

0 β (tensor

de tensiones de referencia actualizado), 4tt+4tDp (tensor de deformación plástica actualizado) y t+4tDque es el módulo elastoplástico tangente algorítmico en pequeñas deformaciones. Con estos tensores en

el paso de tiempo t +4t, se realiza la actualización del tensor de deformaciones elásticas logarítmico a

partir de la siguiente ecuaciónt+∆t

0Ee = Ee

∗ −∆t t+∆tDp (6.112)

Esta actualización de deformaciones elásticas es equivalente a la actualización que se obtiene en el algo-

ritmo en pequeñas deformaciones gracias al uso de las deformaciones logarítmicas, ver ecuación (6.71)

y de la integración exponencial. Por otra parte, la actualización del tensor de tensiones de Kirchhoff se

calcula comot+4t

0T = Ae : t+∆t0E

e (6.113)

ya que la tensor de tensiones de Kirchhoff deriva de la función de energía hiperelástica anisótropa t+4tWdefinida en el ecuación (6.77).

Postproceso: Cálculo de tensores y actualización de variables

En esta fase, se definen el resto de tensores de tensión necesarios para la implementación del algoritmo

en grandes deformaciones. Estos tensores son el tensor de tensiones de Mandel Ξ y el segundo tensor de

Piola-Kirchhoff S. El tensor de Mandel se puede descomponer en parte simétrica y antisimétrica de la

format+4t

0 Ξ =t+4t

0 Ξs+ t+4t

0 Ξw (6.114)

donde el tensor antisimétrico de Mandel se calcula, según la ecuación (6.103) como

t+∆t0Ξ

w = t+∆t0E

e∗

t+∆t0T − t+∆t

0Tt+∆t

0Ee∗ (6.115)

y la parte simétrica del tensor de Mandel coincide con el tensor de tensiones de Kirchhoff generalizado,

según la ecuación (6.106), para el caso de deformaciones elásticas moderadas y anisotropía elástica mod-

erada, de la format+∆t

0Ξs = t+∆t

0T (6.116)


Por lo tanto, la ecuación (6.114) se escribe como

t+4t0 Ξ =

t+4t0 Ξ

s + t+4t0 Ξ

w = t+∆t0T +

t+∆t0 E

e∗

t+∆t0 T − t+∆t

0Tt+∆t

0Ee∗ (6.117)

A continuación, se calcula el segundo tensor de Piola-Kirchhoff t+4tS a partir de la definición del tensor

de Mandelt+4tS = t+4tCe−1

∗t+4tΞ (6.118)

En concreto, para garantizar la simetría del tensor de tensiones (recuérdese que hay implícitamente una

aproximación) y la posterior derivación del módulo elastoplástico tangente, se define la parte simétrica

del tensor de tensiones t+4tS como

t+4tS = sym¡t+4tS

¢=1

2

ht+4tCe−1

∗t+4tΞ+ t+4tΞT t+4tCe−1

∗

i(6.119)

Por último, se procede a la actualización de variables en la fase de convergencia de la forma, ver ecuación

(6.67). En la tabla 6.2 se resume los pasos más importantes del algoritmo de integración de tensiones


Dados tβ , tk y³t0F

p−1 y t+4t0 F en TL

´ó³t0F

e y t+4ttF en UL

´1. Obtener el tensor elástico de prueba Fe∗ =

t+4t0F

t0F

p−1 = t+4ttF

t0F

e

2. Calcular el tensor de deformación elástico de Green-Cauchy de pruebaCe∗ = F

eT∗ Fe∗ =

P3i=1 (λ

ei∗)

2N∗i ⊗N∗i

3. Calcular el tensor de deformaciones logarítmicoEe∗ =

12 lnC

e∗ =

P3i=1 lnλ

ei∗ N

∗i ⊗N∗i

4. Calcular el tensor de tensiones de Kirchhoff de prueba

Te∗ =

∂W∂Ee∗= Ae : Ee

∗ y β∗ = tβ ; k∗ = tk

5.

⎧⎨⎩Llamada a la subrutina de elastoplasticidad de Hill en pequeñas deformaciones:

t+4tT (tensión), t+4tβ (tensión de referencia), ∆t t+∆tDp (incr. defor. plástica), t+4tkt+4tDep (módulo elastoplástico tangente en pequeñas deformaciones)

⎫⎬⎭6. Actualización de los tensor t+∆t

0Ee = Ee

∗ −∆t t+∆tDp

7. Calcular el tensor de Mandel t+4t0Ξ =

t+4t0Ξ

s + t+4t0Ξ

w , donde½ t+4t0Ξ

s = t+4t0T es la parte simétrica de t+4t

0Ξt+4t

0Ξw = t+∆t

0 Ee∗

t+∆t0 T − t+∆t

0Tt+∆t

0Ee∗ es la parte antisimétrica de

t+4t0Ξ

¾8. Calcular la parte simétrica del segundo tensor de tensiones de Piola-Kirchhoff

t+4tS =sym¡t+4tS

¢= 1

2

ht+4tCe−1

∗t+4tΞ+ t+4tΞT t+4tCe−1

∗

i9. Durante el procedimiento iterativo,calcular el módulo tangente consistente t+4tC(i) (ver Tabla 6.3)

10. En fase de convergencia, actualizar½t+∆t0 Fp−1 = t

0Fp−1 exp

¡−∆t t+∆tDp

¢en TL

t+∆t0 Fe = Fe∗ exp

¡−∆t t+∆tDp

¢en UL

¾Tabla 6.2: Modelo de elastoplasticidad anisótropa en grandes deformaciones. Esquema del algoritmo deintegración de tensiones


6.4.4 Módulo elastoplástico tangente consistente

El objetivo de este apartado es el cálculo del módulo tangente consistente analítico definido como

t+4tCep =∂t+4tS

∂Ae∗

(6.120)

donde S es el segundo tensor de tensiones de Piola-Kirchhoff y Ae∗ el tensor de deformaciones de Green-

Lagrange elástico de prueba. Aunque es posible la evaluación numérica del módulo tangente algorítmico

a través de un proceso de perturbaciones numéricas en el algoritmo de integración de tensiones, como

muestran las Referencias [155], [184], la implementación del módulo tangente consistente analítico es

importante ya que resulta un procedimiento computacional más eficiente, debido a que se reduce el

tiempo de cálculo, y más robusto debido a que no depende de tolerancias numéricas.

A continuación se realiza la formulación continua del módulo tangente consitente a partir de la ecuación

(6.120). Dada la parte simétrica del segundo tensor de tensiones de Piola-Kirchhoff de la forma

S =1

2

hCe−1∗ Ξ+ ΞT Ce−1

∗

i(6.121)

y tomando derivadas a ambos lados de la igualdad de la ecuación anterior, queda

S =1

2

hCe−1∗ Ξ+Ce−1

∗ Ξ+ ΞTCe−1∗ + ΞT C

e−1∗

i(6.122)

Aplicando la regla de la cadena en la expresión anterior para incluir el tensor Ae∗, se tiene

S =1

2

"µ∂Ce−1∗

∂Ae∗: Ae∗

¶Ξ+Ce−1

∗

µ∂Ξ

∂Ae∗: Ae∗

¶+

Ã∂ΞT

∂Ae∗: Ae∗

!Ce−1∗ + ΞT

µ∂Ce−1∗

∂Ae∗: Ae∗

¶#(6.123)

Por otra parte, se definen los tensores de cuarto orden auxiliares Z∗ y X de la forma

Z∗ :=∂Ce−1∗

∂Ae∗

(6.124)

X :=∂Ξ

∂Ae∗

(6.125)

Aplicando las definiciones anteriores en la ecuación (6.123),

S =1

2

hZ∗ ·2 Ξ + Ce−1

∗ · X + X ·1 Ce∗ + Ξ

T · Z∗i: Ae∗ (6.126)

Por lo tanto, el módulo elastoplástico tangente consistente buscado Cep se calcula como

t+4tCep =∂t+4tS

∂Ae∗=1

2

hZ∗ ·2 Ξ + Ce−1∗ · X + X ·1Ce

∗ + ΞT · Z∗

i(6.127)

donde hay que determinar los tensores de cuarto orden Z∗ y X respectivamente.

Con objeto de calcular la derivada Z∗ =∂Ce−1∗

∂Ae∗, se va a utilizar la descomposición espectral y la

derivación de los tensores Ce−1∗ y Ae

∗ respectivamente. Las descomposiciones espectrales de la inversa del


tensor diestro de Green-Cauchy Ce−1∗ y del tensor de deformaciones logarítmicas elásticas Ae

∗ se calculan

como

Ce−1∗ =

3Xi=1

1

(λei∗)2 N

∗i ⊗N∗i (6.128)

Ae∗ =

3Xi=1

1

2

h(λe∗i)

2 − 1iN∗i ⊗N∗i

Derivando los tensores anteriores en su forma espectral, se obtiene

Ce−1∗ =

3Xi=1

− 2

(λei∗)3 λ

e

i∗ N∗i ⊗N∗i +

3Xi=1

Xj 6=i

Ã1¡

λej∗¢2 − 1

(λei∗)2

!ΩijN

∗i ⊗N∗j (6.129)

Ae∗ =

3Xi=1

λei∗ λe

i∗ N∗i ⊗N∗i +

3Xi=1

Xj 6=i

³¡λej∗¢2 − (λei∗)2´ΩijN∗i ⊗N∗j

Por último, comparando

∂Ce−1∗

∂Ae∗=

3Xi=1

− 2

(λei∗)2M

∗i ⊗M∗i +

3Xi=1

Xj 6=i

2

1¡λej∗¢2 + 1

(λei∗)2¡

λej∗¢2 − (λei∗)2 M∗i ¯sM∗j (6.130)

donde los productos M∗i ⊗M∗i y M∗i ¯sM∗j están definidos en la ecuación (6.93).

La derivada∂Ee∗

∂Ae∗, se calcula siguiendo el mismo procedimiento. Primeramente se definen las descom-

posiciones espectrales de los tensores de segundo orden Ee∗ y A

e∗ respectivamente, de la forma

Ae∗ =

3Xi=1

1

2

h(λei∗)

2 − 1iN∗i ⊗N∗i (6.131)

Ee∗ =

3Xi=1

lnλei∗ N∗i ⊗N∗i

Calculando las derivadas de los tensores anteriores y comparando, queda

Ee∗ =∂Ee∗

∂Ae∗=

3Xi=1

1

(λei∗)2M

∗i ⊗M∗i +

3Xi=1

Xj 6=i

lnλej∗ − lnλei∗12

h¡λej∗¢2 − (λei∗)2iM∗i ¯sM∗j (6.132)

El tensor de cuarto orden X =∂Ξ

∂Ae∗se calcula como

X =∂Ξs

∂Ae∗+

∂Ξw

∂Ae∗=

∂T

∂Ae∗+

∂ (Ee∗T−TEe

∗)

∂Ae∗

= (6.133)

=∂T

∂Ae∗+

∂Ee∗

∂Ae∗

2· T+Ee∗ ·

∂T

∂Ae∗−T· ∂E

e∗

∂Ae∗− ∂T

∂Ae∗

2· Ee∗

donde la operación A n· A implica la contracción del índice n del tensor de cuarto orden A con el primer


Módulo Elastoplástico Tangente Consistente

Objetivo: Calcular Cep =∂S

∂Ae∗

Dado el tensor Ue∗ =

P3i=1 λ

ei∗ N

∗i ⊗N∗i ⇒ λei∗, N

∗i ⊗N∗i

1. Calcular el tensor Z∗ =∂Ce−1∗

∂Ae∗,=P3

i=1−2

(λei∗)2M

∗i ⊗M∗i +

P3i=1

Pj 6=i 2

1¡λej∗¢2 + 1

(λei∗)2¡

λej∗¢2 − (λei∗)2 M∗i ¯sM∗j

2. Calcular el tensor Ee∗ =∂Ee∗

∂Ae∗=P3

i=1

1

(λei∗)2M

∗i ⊗M∗i +

P3i=1

Pj 6=i

lnλej∗ − lnλei∗1

2

h¡λej∗¢2 − (λei∗)2iM∗i ¯sM∗j

3. Calcular el tensor T =∂T

∂Ae∗= Dep :

∂Ee∗

∂Ae∗

4. Calcular el tensor X = T+ Ee∗2· T+Ee

∗ · T−T · Ee∗ − T2· Ee∗

5. Calcular el módulo elastoplástico tangente

Cep = 12

hZ∗

2· Ξ+Ce−1∗ · X+XT 2· Ce−1

∗ +ΞT · Z∗i

Tabla 6.3: Cálculo del módulo elastoplástio tangente algorítmico en grandes deformaciones

índice del tensor de segundo orden A. Por último, hay que determinar el tensor de cuarto orden∂T

∂Ae∗.

El tensor T :=∂T

∂Ae∗se calcula, aplicando la regla de la cadena y teniendo en cuenta la ecuación

(6.132), como

T =∂T

∂Ae∗=

∂T

∂Ee∗:∂Ee∗

∂Ae∗= Dep :

∂Ee∗

∂Ae∗

(6.134)

donde Dep y∂Ee∗

∂Ae∗son tensores conocidos, ya que Dep es el tensor constitutivo de pequeñas deformaciones.

Finalmente, el módulo elastoplástico tangente consistente en grandes deformaciones, nos queda como

Cep =1

2

hZ∗

2· Ξ+Ce−1∗ · X+XT 2· Ce−1

∗ +ΞT · Z∗i

(6.135)

donde

Z∗=∂Ce−1∗

∂Ae∗

(6.136)

y

X = T+ Ee∗2· T+Ee

∗ · T−T · Ee∗ − T2· Ee∗ (6.137)

En la tabla 6.3 se presenta un resumen del algoritmo de cálculo del módulo tangente consistente.

6.4.5 Verificación de la convergencia del modelo de elastoplasticidad anisótropaen grandes deformaciones

En este apartado, se presentan una serie de simulaciones numéricas con objeto de verficar el compor-

tamiento del algoritmo ante disitintos tipos de carga y la convergencia del procedimiento iterativo. En

particular, se considera un comportamiento elastoplástico anisótropo en grandes deformaciones. Como


función de endurecimiento isótropo, se incluye una función de endurecimiento no lineal, del tipo

kn+1 = σy + θHεPn+1 + (K∞ −K0)h1− e−δε

Pn+1

i(6.138)

Los parámetros del material que se han utilizado en estas simulaciones se presentan en la tabla 6.4,

donde se ha incluido la anisotropía elástica (variación del módulo de elasticidad, coeficiente de Poisson

y módulo a cortante con la dirección 1, 2 y 3) y la anisotropía plástica (ver valores de los parámetros de

Hill F.G,H,N,L y M)

Anisotropía elástica Límite elástico y endurecimiento Anisotropía plástica

E1¡Nm2

¢2× 1012 σy

¡Nm2

¢235× 106 F 0.3613× 1

σ2y

E2¡Nm2

¢1× 1012 H

¡Nm2

¢3, 5× 1010 G 0.3535× 1

σ2y

E3¡Nm2

¢3× 1012 K0

¡Nm2

¢σy H 0.4957× 1

σ2y

υ12 0, 3 K∞¡Nm2

¢1, 5× σy N 1.175× 1

σ2y

υ23 0, 2 δ 30 L 1.175× 1

σ2y

υ13 0, 25 β 1, 0 M 1.175× 1

σ2yG12

¡Nm2

¢8× 1011

G23¡Nm2

¢7, 5× 1011

G13¡Nm2

¢8, 5× 1011

Tabla 6.4: Parámetros del material. Caso de anisotropía elastoplástica

A continuación se muestran los resultados principales de las simulaciones numéricas implementadas.

El objetivo principal de estas simulaciones es verificar el comportamiento del algoritmo de integración

de tensiones y del módulo elastoplástico tangente consistente, a través del análisis de la convergencia del

mismo. Se ha planteado un problema tridimensional, utilizando para ello un elemento tridimensional de

8 nudos deformado con 8 puntos de integración (BRICK 8/8). Además se han prescrito dos tipos de

carga: desplazamientos, utilizando muelles (el denominado método de penalización, ver referencia [45])

y prescripción de fuerzas. En estos dos casos, se verifica el comportamiento del módulo elastoplástico

tangente en grandes deformaciones. La tabla 6.5 muestra la convergencia cuadrática típica de este

esquema iterativo para una iteración característica, utilizando los dos tipos de carga.

La figura 6.4 presenta los resultados de las simulaciones numéricas. Se han prescrito dos tipos de

carga: figura 6.4 (a) desplazamientos utilizando muelles (método de penalización) y en figura 6.4 (b) se

han prescrito fuerzas. En ambas figuras, se muestran los resultados de deformación plástica equivalente

y de tensión de von Mises.

En el Capítulo 7, se presentan simulaciones numéricas más completas con objeto de verificar el com-

portamiento del modelo de elastoplasticidad anisótropa en grandes deformaciones, utilizando, además,

formulaciones y elementos mixtos con objeto de evitar el bloqueo numérico de la solución, ver Capítulo

2. Para ello, se plantean cuatro problemas clásicos, cada uno de ellos con una características específicas,

que sirven para comprobar y poner de manifiesto el buen funcionamiento y la convergencia del modelo


Convergencia global. Prescripción de desplazamientos Convergencia global. Prescripción de fuerzaspaso global iteración norma de energía paso global iteración norma de energía

82 1 2.467E+07 97 1 3.686E+0382 2 3.774E+06 97 2 6.468E+0482 3 3.482E+04 97 3 2.340E+0282 4 5.826E+00 97 4 1.417E-0282 5 3.154E-04 97 5 1.384E-0482 6 4.571E-08 97 6 1.559E-0882 7 2.312E-11 97 7 1.754E-1182 8 1.419E-14 97 8 1.993E-14

Tabla 6.5: Convergencia del algoritmo de elastoplasticidad anisótropa en grandes deformaciones para elcaso de prescripción de desplazamientos

presentado.


-1 -0.5 0 0.5 1 1.5 2 -10

12

-1

-0.5

0

0.5

1

1.5

2

3·

8·

7·

4·

2·

6·

1·

5·

3

u1

u2

u3

x

x

x

x

X - - - - - -u u u1 2 3 1 2 3q q q

-1

-0.5

0

0.5

1

1.5

2

-1

-0.5

0

0.5

1

1.5

2

-1 -0.5 0 0.5 1 1.5 2

·

·

-1 -0.5 0 0.5 1 1.5 2

·

·

-10

12

-10

12

0.16

0.18

0.20

0.22

0.240.24

0.26

0.28

0.5

11

1.5

2

2.5

x1010

-1 -0.5 0 0.5 1 1.5 2 -10

12

-1

-0.5

0

0.5

1

1.5

2

3·

8·

7·

4·

·

6·

1·

5·

3

3.5x109

2.2x108

x

x

x

X - - - - - -u u u1 2 3 1 2 3q q q

-1

-0.5

0

0.5

1

1.5

2

-1

-0.5

0

0.5

1

1.5

2

-1 -0.5 0 0.5 1 1.5 2

·

·

-1 -0.5 0 0.5 1 1.5 2

·

-10

12

-10

12

0.0026

0.0027

0.0028

0.032

0.033

0.034

5

5.5

6

7

7.5

x108

4.6x108

7· 5.7x108

2x109

2.5x109

0.0029

0.03

0.031

4.5

6.5

(a) (b)

Figura 6.4: Simulaciones numéricas del modelo de elastoplasticidad anisótropa en grandes deformacionesutilizando un elemento BRICK 8/8 deformado y con dos tipos de cargas: (a) prescripción de desplaza-mientos mediante el método de penalización y (b) prescripción de fuerzas. De arriba a abajo: geometríay condiciones de contorno, deformación plástica equivalente y tensión de von Mises

Capítulo 7

Simulaciones numéricas deelastoplasticidad anisótropa engrandes deformaciones

En este capítulo, se presentan una serie de simulaciones numéricas con objeto de verificar el compor-

tamiento del modelo de elastoplasticidad anisótropa en grandes deformaciones bajo distintas hipótesis.

En concreto, se diferencian dos hipótesis: isotropía elástica y anisotropía elástica.

En el caso de isotropía elástica, se van a estudiar dos subcasos: la hipótesis de isotropía elastoplástica

y la hipótesis de isotropía elástica con anisotropía plástica. En el primer caso de isotropía elastoplástica, se

compara el comportamiento del modelo de elastoplasticidad anisótropa en grandes deformaciones basado

en tensiones de Mandel, presentado en el capítulo anterior, con el modelo de isotropía elastoplástica de

la Referencia [36] y con un modelo de anisotropía plástica e isotropía elástica en grandes deformaciones,

basado en tensiones de Kirchhoff y también desarrollado en esta tesis, particularizado bajo la hipótesis

de isotropía elastoplástica. En el segundo caso, se compara el modelo de elastoplasticidad anisótropa en

grandes deformaciones basado en tensiones de Mandel con el modelo de anisotropía plástica basado en

tensiones de Kirchhoff, bajo la hipótesis de isotropía elástica con anisotropía plástica.

En el caso de anisotropía elástica, se plantean dos nuevos casos: la hipótesis de anisotropía elástica y

la hipótesis de anisotropía elastoplástica. En ambos casos, únicamente el modelo completo presentado en

el Capítulo anterior es capaz de reproducir la hipótesis de anisotropía elástica. Además, la resolución del

problema de anisotropía elastoplástica presenta nuevos problemas desde el punto de vista de la utilización

de elementos mixtos para tratar problemas de incompresibilidad.

Por lo tanto, se plantea la simulación de cuatro problemas clásicos en grandes deformaciones, cada

uno de ellos con una características específicas, que sirven para comprobar y poner de manifiesto el

buen funcionamiento y la convergencia del modelo presentado, así como su aplicabilidad en diversos

problemas. Los ejemplos numéricos que se han realizado son (ver tabla 7.1): Ensayo de tracción de una

barra cilíndrica, que es un ejemplo clásico en isotropía elastoplástica, utilizando una malla tridimensional;

Estampado de una placa circular delgada, donde se investiga la respuesta del modelo bajo las hipótesis

de isotropía elástica y anisotropía plástica; El problema de la membrana de Cook, donde se lleva a

211

212 CAPÍTULO 7. SIMULACIONES NUMÉRICAS EN GRANDES DEFORMACIONES

Problem ComportamientoElástico Plástico

Ensayo de tracción de una barra cilíndrica isótropo isótropoEstampado de una placa circular delgada isótropo anisótropoMembrana de Cook anisótropo -Placa circular con agujero central sometida a tracción anisótropo anisótropo

Tabla 7.1: Simulaciones numéricas implementadas e hipótesis asociadas

Figura 7.1: Ensayo de tracción de una barra cilíndrica. Geometría y Condiciones de Contorno. A laderecha se presenta un octavo del modelo discretizado, debido a las simetrías del problema. Se hanutilizado elementos tridimensionales BMIX 27/27/4

cabo un análisis tridimensional con objeto de verificar el comportamiento del modelo bajo la hipótesis

de anisotropía elástica y, por último, el problema de la placa circular con agujero central sometida a

tracción, donde se analiza el modelo de material bajo la hipótesis de anisotropía elastoplástica.

7.1 Isotropía Elástica

7.1.1 Isotropía Elastoplástica: Ensayo de tracción de una barra cilíndrica

La simulación numérica del ensayo de tracción de una barra cilíndrica tiene como finalidad la verificación

del comportamiento del modelo en grandes deformaciones bajo las condiciones de isotropía elastoplástica.

Es un problema estándar en plasticidad en grandes deformaciones, que ha sido investigado por numerosos

autores [130], [82], [131], [128], [126]. La figura 7.1 representa un esquema de la discretización del problema

Debido a la simetría del problema, únicamente se discretiza un octavo de la probeta con las condiciones

de simetría adecuadas. La longitud de la barra en su configuración incial es l = 53.34 mm y el radio es

r0 = 6.4135 mm.

La probeta se divide en dos zonas: la zona de estricción (’necking zone’) y la zona de sujección (’grip

zone’). La zona de estricción supone el 20% de la longitud total de la probeta l y en esta zona existe una

mayor densidad de mallado, debido a la posible concentración de deformación plástica. La localización de

la estricción se provoca a través de una imperfección en la barra, en forma de una disminución progresiva

del radio de la barra, desde r0 hasta r = 0.982 r0 en la sección del centro de la probeta. De esta forma

localiza la deformación en la zona de menor radio r = 0.982 r0. Por otra parte, se utiliza una ley de

7.1. ISOTROPÍA ELÁSTICA 213

Tracción de una barra cilíndrica. Propiedades del material

Módulo de Elasticidad E = 206, 9 GPaCoeficiente de Poisson ν = 0.29Tensión de plastificación σy = K0 = 0.45 GPaTensión de plastificación infinita K∞ = 0.715 GPaMódulo de endurecimiento H = 0.12924 GPaParámetro de saturación δ = 16.93

Tabla 7.2: Parámetros del material de la simulación de una barra cilíndrica sometida a tracción

endurecimiento isótropo no lineal de la forma

t+∆tk = σy + θH t+∆tεPn+1 + (K∞ −K0)h1− e−δ

t+∆tεPn+1

i(7.1)

donde σy es la tensión de plastificación, H es el módulo de endurecimiento, θ ∈ [0, 1] es un parámetroque determina el grado de endurecimiento mixto, K∞ es la tensión de plastificación en el infinito, K0 es

la tensión de plastificación inicial y δ es un parámetro de saturación. Los parámetros elásticos y plásticos

del material se presentan en la Tabla 7.2.

Los resultados de la simulación se muestran en las figuras 7.2 y 7.3, respectivamente. La barra se

tracciona prescribiendo desplazamientos mediante muelles (método de penalización) en la cara superior

de la zona de sujección, con una elongación total de u = 14 mm.

En la figura 7.2 se presentan el resultados de las simulaciones utilizando el modelo de elastoplasticidad

anisótropa en grandes deformaciones basado en tensiones de Mandel, bajo la hipótesis de isotropía. En

las simulaciones se han utilizado elementos tridimensionales de 27 nudos BRCK 27/27 en formulación

estándar con 27 puntos de integración de desplazamientos y elementos tridimensionales de 27 nudos

BMIX 27/27/4 en formulación mixta con 27 puntos de integración de desplazamientos y 4 puntos de

integración de presión. En primer lugar, se muestra una comparación entre el uso de la formulación

estándar (elemento BRCK 27/27) y la formulación mixta (elemento BMIX 27/27/4). En segundo

lugar, se ha realizado un análisis de convergencia de malla. Los resultados muestran que el uso de

elementos en formulación estándar BRCK 27/27 (figura 7.2 (a)) en este problema de elastoplasticidad

isótropa en grandes deformaciones da lugar a bloqueo numérico, es decir, se obtiene una solución más

rígida de lo esperado; las figuras 7.2 (b), (c) y (d), por el contrario, no presentan ningún tipo de bloqueo,

dando como resultado la estricción típica en la zona central de la probeta. Por otra parte, en las figuras

7.2 (b), (c) y (d) se realiza un análisis de convergencia de malla. Las distribuciones de deformación

plástica equivalente presentadas en las figuras 7.2 (b) y (d) varían significativamente. Sin embargo, las

distribuciones de deformación plástica equivalente mostradas en las figuras 7.2 (c) y (d) son similares. En

conclusión, la malla de elementos mostrada en la figura 7.2 (b) no es suficientemente densa para obtener

resultados aceptables, mientras que las mallas de elementos de las figuras 7.2 (c) y (d) proporcionan

resultados similares, siendo por supuesto mejor la última.

En la figura 7.3 se muestran las distribuciones de deformación plástica equivalente y deformación para

el estado final u = 14mm utilizando los tres modelos de plasticidad en grandes deformaciones comentados

en la introducción de esta sección: modelo de elastoplasticidad anisótropa en grandes deformaciones

basado en tensiones de Mandel, bajo la hipótesis de isotropía elastoplástica -figura 7.3 (b)-, modelo de


Figura 7.2: Ensayo de tracción de una barra circular. Modelo de elastoplasticidad anisótropa bajocondiciones de isotropía elástica. Distribución de deformación plástica equivalente y deformada parau = 14 mm: (a) Simulación utilizando elementos BRCK 27/27 en formulación estándar, (b),(c) y (d):Análisis de convergencia de malla. En estas simulaciones se han utilizando elementos BMIX 27/27/4 enformulación mixta


Figura 7.3: Ensayo de tracción de una barra circular. Condiciones de isotropía elastoplástica. Deformadaspara u = 14mm y distribución de tensión plástica equivalente. (a) Configuración de referencia, (b) Estadofinal utilizando el modelo de elastoplasticidad anisótropa basado en tensiones de Mandel, bajo la hipótesisde isotropía, (c) Estado final utilizando el modelo de plasticidad anisótropa e isotropía elástica, basadoen tensiones de Kirchhoff y (d) Estado final utilizando el modelo de elastoplasticidad isótropa [36]

plasticidad anisótropa y elasticidad isótropa en grandes deformaciones basado en tensiones de Kirchhoff

-figura 7.3 (c)- y el modelo de elastoplasticidad isótropa en grandes deformaciones -(figura 7.3 (d)-. En

los tres modelos se han utilizado elementos mixtos BMIX27/27/4 implementados en DULCINEA. Los

resultados muestran que los tres modelos son consistentes, es decir, para las mismas propiedades del

material, se obtienen prácticamente los mismos resultados.

7.1.2 Isotropía Elástica con Anisotropía Plástica: Estampado de una placacircular delgada

En este problema se analiza el proceso de estampado de una placa circular delgada con un orificio central.

Dicho análisis se suele utilizar para verficar el comportamiento de modelos de plasticidad anisótropa bajo

la hipótesis de isotropía elástica, ver, por ejemplo, las Referencias [130], [134]. La figura 7.4 representa

la geometría del problema y las condiciones de contorno. Se discretiza únicamente un cuarto de la placa

circular debido a las simetrías del problema, con las condiciones de contorno adecuadas en las fronteras. Se

han utilizado elementos tridimensionales en formulación mixta BMIX 27/27/4, elementos de 27 nudos,


u

200 200400

10

x

y

Figura 7.4: Estampado de una placa circular delgada. Geometría y condiciones de contorno. En elperímetro interior se aplica un desplazamiento de u = 75 mm. Las dimensiones están en mm. A laderecha se presenta un cuarto del modelo discretizado, debido a las simetrías del problema. Se hanutilizado elementos tridimensionales BMIX 27/27/4

con 27 puntos de integración de desplazamientos y 4 puntos de integración de presión, con objeto de

evitar problemas de incompresibilidad en el régimen plástico. Este elemento pasa la condición Inf-Sup (o

de Babuška-Brezzi) y es por tanto óptimo y con convergencia de malla cuadrática. En este problema no

es necesario el uso de elementos de contacto para simular el proceso de estampado, ya que al no tener

lugar deformaciones fuera del plano, es suficiente con aplicar un desplazamiento radial en el borde interior

de la placa y dejar libre el borde exterior. El resto de la placa está simplemente apoyada para evitar

fenómenos de pandeo, ver figura 7.4.

El proceso de estampado está controlado por desplazamientos impuestos por el método de penalización

y a los nodos del borde interno de la placa se les aplica un desplazamiento radial de u = 75 mm. Las

propiedades del material se presentan en la Tabla 7.3. El material tiene un comportamiento isótropo en

la parte elástica, pero es anisótropo en la plástica. Se han considerado dos casos distintos de anisotropía

plástica. En el caso A predominan las tensiones tangenciales y en el caso B predominan las tensiones

normales. Los parámetros del material se han obtenido de la referencia [134]. Los detalles del cálculo de

estos parámetros se presentan en el Apéndice 9.5.

En los problemas de estampación, se ha observado de forma experimental [185],y también de forma

analítica [23] y numérica [186], la formación de ’ondulaciones’ en el borde de la placa circular, debido a

la anisotropía plástica del metal. Este fenómeno se concoce como ’orejeado’, ver figura 1.14.

La figura 7.5 representa un análisis de la convergencia de malla. Se han utilizado tres tipos distintos de

tamaño de elemento en la discretización. Los resultados muestran que las distribuciones de deformación

plástica de las figuras 7.5 (b) y 7.5 (c) son similares y convergen hacia la misma solución

Las figuras 7.6 y 7.7 muestran las deformadas y distribuciones de deformación plástica equivalente

para las definiciones de anisotropía plástica A y B, respectivamente. En estas simulaciones, se compara

el comportamiento de los modelos de elastoplasticidad anisótropa basado en tensiones de Mandel, bajo

la hipótesis de isotropía elástica, y el modelo de plasticidad anisótropa e isotropía elástica basado en


Estampado de una placa circular delgadaPropiedades del materialMódulo de Elasticidad E = 206, 9 GPa

Coeficiente de Poisson ν = 0, 29


Módulo de endurecimiento H = 0.1 GPa

Parámetros de anisotropía de Hill. Caso A

f = h = g1

3l = m = n 8

Parámetros de anisotropía de Hill. Caso B

f = h = g1

3

l = m = n1

2

Tabla 7.3: Propiedades del Material en la simulación de la estampación de una placa circular delgada

Figura 7.5: Estampado de una placa circular. Análisis de convergencia de malla. Distribución de defor-mación plástica equivalente y deformada para u = 75 mm. Se ha utilizado el modelo de elastoplasticidadanisótropa en grandes deformaciones bajo la hipótesis de isotropía elástica, con elementosBMIX 27/27/4


Membrana de CookPropiedades del materialMódulo de Elasticidad en dirección 1 E1 = 16 MPaMódulo de Elasticidad en dirección 2 E2 = 8 MPaMódulo de Elasticidad en dirección 3 E3 = 8 MPaCoeficiente de Poisson en dirección 12 ν12 = 0.35Coeficiente de Poisson en dirección 23 ν23 = 0.45Coeficiente de Poisson en dirección 13 ν13 = 0.35Módulo de Cortante en dirección 12 G12 = 1.7 MPaMódulo de Cortante en dirección 23 G23 = 2.76 MPaMódulo de Cortante en dirección 13 G13 = 1.7 MPa

Tabla 7.4: Propiedades del Material en la simulación de la membrana de Cook

tensiones de Kirchhoff. En ambos casos se obtienen resultados similares. En el caso A, ver figura 7.6, la

deformación plástica se desarrolla principalmente a un ángulo de 45o (y 135o) respecto del eje horizonal

de la placa, es decir, en la dirección de la máxima tensión cortante. Por otra parte, en el caso B, ver figura

7.7 , la deformación plástica se desarrolla según los ejes principales de la placa. En este caso, dominan

los términos de tensión principal. En conclusión, los resultados obtenidos reproducen el comportamiento

esperado. Los resultados se pueden comparar con los de la referencia [130].

7.2 Anisotropía Elástica

7.2.1 Anisotropía Elástica: El problema de la membrana de Cook

En este ejemplo se investiga la versión tridimensional del conocido problema bidimensional de la Mem-

brana de Cook . Este problema se utiliza como referencia para verificar el comportamiento y convergencia

de modelos de anisotropía elástica en grandes deformaciones, como se puede ver en las referencias [130],

[132]. La membrana de Cook es una placa delgada que está empotrada en la parte izquierda. En este

caso, se ha utilizado una versión tridimensional. La geometría y las condiciones de contorno utilizadas

en las simulaciones se muestran en la figura 7.8. En la parte derecha de la placa, se aplica una fuerza

cortante F = 0, 7N . La estructura se discretiza utilizando elementos tridimensionales BRCK 27/27

Las propiedades del material se presentan en la tabla 7.4.

La dirección preferente en el material se prescribe a través de la orientación del vector a1. Este vector

se define en la base Cartesiana ei=1,3 y mediante los ángulos de Euler φ, θ ψ de forma que

ai = Qei (7.2)

donde

Q =

⎡⎢⎣ cosφ cosψ − cos θ sinφ sinψ cosψ sinφ+ cos θ cosφ sinψ sin θ sinψ

− cosφ sinψ − cos θ cosψ sinφ − sinφ sinψ + cos θ cosφ cosψ sin θ cosψ

sin θ sinφ − cosφ sin θ cos θ

⎤⎥⎦ (7.3)

7.2. ANISOTROPÍA ELÁSTICA 219

Figura 7.6: Estampado de una placa circular para el caso A. Distribución de deformación plásticaequivalente y deformada para tres desplazamientos radiales distintos: (a) u = 25 mm, (b) u = 50 mmy (c) u = 75 mm. Se han comparado la respuesta de dos modelos: en la parte derecha de la figura serepresentan los resultados del modelo de elastoplasticidad anisótropa en grandes deformaciones, basadoen tensiones de Mandel, bajo la hipótesis de anisotropía elástica y en la parte izquierda se ha utilizado elmodelo de plasticidad anisótropa e isotropía elástica en grandes deformaciones, basado en tensiones deKirchhoff. En ambas simulaciones, se han utilizado elementos mixtos tridimensionales BMIX 27/27/4


Figura 7.7: Estampado de una placa circular para el caso B. Distribución de deformación plástica equiv-alente y deformada para tres desplazamientos radiales distintos: (a) u = 25 mm, (b) u = 50 mm y (c)u = 75 mm. Se han comparado la respuesta de dos modelos: en la parte derecha de la Figura se represen-tan los resultados utilizando el modelo de elastoplasticidad anisótropa en grandes deformaciones, basadoen tensiones de Mandel, bajo la hipótesis de anisotropía elástica y en la parte izquierda se ha utilizado elmodelo de plasticidad anisótropa e isotropía elástica en grandes deformaciones, basado en tensiones deKirchhoff. En ambas simulaciones, se han utilizado elementos mixtos tridimensionales BMIX 27/27/4


y

x

Fy

44

12

48

44

Espesor: 1

Figura 7.8: Membrana de Cook. Geometría y condiciones de contorno. La membrana está empotrada enel lado izquierdo. En el lado derecho se aplica una fuerza de valor Fy. Las dimensiones están en mm. Enla parte izquierda se presenta la discretización del modelo con elementos tridimensionales BRICK 27/27

En este ejemplo, se han tomado los valores de los ángulos de Euler

φ =π

4, θ =

π

2, ψ = arctan

∙1√2

¸(7.4)

obteniendo, en la base cartesiana, a1 =1√3[1, 1, 1]

T .

La figura 7.9 se representa la deformada en tres planos distintos en el estado final para una carga de

Fy = 0, 7 N . La flexión fuera del plano es debida a la anisotropía elástica del material determinada por

la dirección a1

7.2.2 Anisotropía Elastoplástica: Placa rectangular con agujero sometida atracción

En este problema, se analiza el comportamiento del modelo numérico bajo las condiciones de anisotropía

elastoplástica. Se modela una placa delgada de geometría rectangular con un orifio central, de dimen-

siones: ancho w = 32 cm, alto h = 16 cm y radio del agujero r = 4 cm. La placa se somete posteriormente

a un alargamiento, a lo largo de su eje mayor, correspondiente a una elongación total máxima del 2, 5 %

de la dimensión original w. Se asume la hipótesis de deformación plana.

En la figura 7.10 se muestra la geometría de la placa y la discretización de la misma. Se han uti-

lizado elementos mixtos tridimensionales basados en modos incompatibles y deformaciones impuestas

(ver Apartado 2.3), denominado BENH 8/9/9, bajo la hipótesis de anisotropía elastoplástica. En am-

bos extremos se ha prescrito el desplazamiento aplicado mediante el método de penalización. La placa

está fabricada con un material isótropo reforzado con fibras unidireccionales en el plano de la placa, orien-

tadas en función de un ángulo θ, ver figura 7.10, proporcionando un comportamiento global elastoplástico

anisótropo. En la tabla 7.5 se presentan las propiedades del material utilizadas.


Figura 7.9: Membrana de Cook. Deformada para una carga de Fy = 0.7 N en diferentes vistas. Se hanutilizando elementos BRCK 27/27 en formulación estándar.

Figura 7.10: Placa rectangular con agujero sometida a tracción. Configuración de referencia y dis-cretización con malla gruesa utilizando elementos mixtos BEHN 8/9/9. En el caso de isotropía, se hadiscretizado un cuarto del modelo, debido a las simetrías del problema.


Placa rectangular con agujero sometida a tracciónPropiedades del materialMódulo de Elasticidad en dirección 1 E1 = 86.85 GPa

Módulo de Elasticidad en dirección 2 E2 = 69.58 GPa

Módulo de Elasticidad en dirección 3 E3 = 93.75 GPa

Coeficiente de Poisson en dirección 12 ν12 = 0.3918Coeficiente de Poisson en dirección 23 ν23 = 0.3248

Coeficiente de Poisson en dirección 31 ν13 = 0.057

Módulo de Cortante en dirección 12 G12 = 40.39 GPa




Parámetros de anisotropía de Hill

f = g 0.00495

h 0.747

l = m = n 0.75

Tabla 7.5: Propiedades del Material en la simulación de una placa rectangular con agujero sometida atracción

En la figura 7.11 se representa la distribución de tensión de von Mises y deformación plástica equiv-

alente para el caso de isotropía elastoplástica y bajo la hipótesis de deformación plana, correspondiente

con los parámetros elásticos E = 69.99 GPa, ν = 0.3, y G = 26.92 GPa. Se han realizado diversas sim-

ulaciones para los ángulos de orientación de las fibras θ = 0o, 10o , 30o, 60o , 80o y 90o respectivamente.

En la figura 7.12 se representan las deformadas y la distribución de deformación plástica equivalente para

las orientaciones anteriores. Los resultados muestran claramente el comportamiento anisótropo, ya que

las distribuciones de deformación plástica equivalente difieren en gran medida del caso isótropo y son

comparables cualitativamente con los resultados de la referencia [128] , ya que el modelo numérico es

diferente.

En las figuras 7.13 y 7.14 se muestran los mismos ejemplos bajo la hipótesis de tensión plana utilizando

elementos BEHN 8/9/9 (para simular la hipótesis de tensión plana se ha liberado el grado de libertad

perpendicular al plano). Estos resultados no son comparables con los de la referencia [128], ya que aquéllos

fueron realizados bajo la hipótesis de deformación plana. Por otro lado, los resultados podrían mostrar

dependencia de malla por la localización de las deformaciones en un ancho de banda muy estrecho. En tal

caso sería necesario incorporar las formulaciones apropiadas en el elemento o una regularización adecuada.

En la referencia [23] se recogen resultados teóricos del modelo de plasticidad anisótropa de Hill aplicado

al caso de placas laminadas, ver Capítulo 5. Las observaciones experimentales muestran que la estricción

no se localiza directamente en la sección de los especímenes, sino que aparece en forma oblicua con un

ángulo que depende del estado de anisotropía. Para el caso de tensión plana se tiene la siguiente ecuación

[(G+H)σx −Hσy] dx2 + 2Nτxydxdy + [(F +H)σy −Hσx] dy

2 = 0 (7.5)

Definiendo el ángulo θ como la inclinación de una posible estricción, medida respecto de un ángulo α


Figura 7.11: Placa rectangular sometida a tracción. Caso de isotropía elastoplástica (E = 69.99 GPa,ν = 0.3, G = 26.92 GPa). Hipótesis de deformación plana

Figura 7.12: Tracción de una placa rectangular con orificio central: Distribución de deformación plásticaequivalente para los ángulos θ = 0o, 10o , 30o, 60o , 80o y 90o (en sentido antihorario desde la esquinasuperior izquierda). Caso elastoplástico anisótropo. Se han utilizado elementos BEHN 8/9/9. Hipótesisde deformación plana


Figura 7.13: Placa rectangular sometida a tracción. Caso de isotropía elastoplástica (E = 69.99 GPa,ν = 0.3, G = 26.92 GPa). Hipótesis de tensión plana

Figura 7.14: Tracción de una placa rectangular con orificio central: Distribución de deformación plásticaequivalente para los ángulos θ = 0o, 10o , 30o, 60o , 80o y 90o (en sentido antihorario desde la esquinasuperior izquierda). Caso elastoplástico anisótropo. Se han utilizado elementos BEHN 8/9/9. Hipótesisde tensión plana


respecto de la dirección de laminado (RD), se tiene

dy

dx= tan (θ + α) (7.6)

Sustituyendo esta última expresión en la ecuación anterior, con σx = σ cos2 α, queda

a tan2 θ + 2b tan2 θ − c = 0 (7.7)

donde

a = (H + 2N − F −G− 4H) sin2 α cos2 αb =

£(N − F − 2H) sin2 α− (N −G− 2H) cos2 α

¤sinα cosα

c = a+ F sin2 α+G cos2 α =1

σ2

donde σ viene dado por la expresión 5.7.

Para el caso de isotropía, F = G = N/3, b = 0 y c = 2a, con lo cual tan θ =√2 y θ ≈ 54.7o, que es

aproximadamente el ángulo observado en la simulación de isotropía elastoplástica de la figura 7.13.

Capítulo 8

Conclusiones y desarrollos futuros

La tesis recoge los resultados de los trabajos realizados por el autor en el campo de la elastoplasticidad

anisótropa en grandes deformaciones de metales, desde el punto de vista computacional y experimental.

En este capítulo se presentan las principales conclusiones y aportaciones de la investigación desarrollada

en este campo por el autor de la misma. En el último apartado, se proponen una serie de desarrollos

futuros a modo de continuación del trabajo realizado.

8.1 Conclusiones y aportaciones de la tesis

El objetivo global de este trabajo ha sido realizar un avance en la comprensión y el modelado computa-

cional en grandes deformaciones del fenómeno de la anisotropía elastoplástica presente en metales. Este

fenómeno es de especial interés en procesos de conformado por deformación plástica y en general en

cualquier procedimiento de fabricación direccional (laminado, estampación, embutición, ...). Para ello, se

ha utilizado un código propio de elementos finitos denominado DULCINEA, programado en fortran 90.

Dentro del objetivo global de obtener un pequeño avance en la capacidad de simulación del compor-

tamiento elastoplástico anisótropo de metales, se han buscado tres objetivos parciales.

El primer objetivo parcial, continuación de una línea de investigación anterior desarrollada por uno de

los directores de la tesis, ha consistido en un estudio de la consistencia de modelos implícitos de superficies

múltiples basados en reglas de traslación de Mróz y de Prager. Se ha demostrado que los modelos basados

en la regla de traslación de Prager, asociativos y motivados desde el principio de máxima disipación, son

capaces de representar la anisotropía del endurecimiento bajo cargas no proporcionales. Al respecto, se

han simulado los clásicos ensayos de Lamba y Sidebottom y se han obtenido predicciones excelentes con

la regla de Prager. Por contra, los modelos que utilizan la regla de Mróz presentan mayores dificultades

algorítmicas y el comportamiento depende de forma importante de la discretización arbitraria de la curva

uniaxial tensión-deformación que prescribe el usuario. Dentro de este objetivo se encuadran otras tareas,

como el desarrollo de un modelo de superficies múltiples para plasticidad de suelos basados en la teoría

del estado crítico.

El segundo objetivo parcial ha consistido en el desarrollo de un algoritmo implícito relativamente

sencillo para plasticidad anisótropa en grandes deformaciones, bajo la hipótesis de isotropía elástica.

Con dicha hipótesis se consiguen dos ventajas importantes respecto a la consideración de la anisotropía

227

228 CAPÍTULO 8. CONCLUSIONES Y DESARROLLOS FUTUROS

elastoplástica completa. La primera ventaja es la conmutatividad de las tensiones y las deformaciones, lo

cual simplifica enormemente el procedimiento de integración que en este caso se desarrolla en tensiones de

Kirchhoff. Al respecto, la formulación no difiere sustancialmente de los modelos publicados en los años 90

para plasticidad isótropa en grandes deformaciones. No obstante, para poder conservar la convergencia

cuadrática de los métodos de Newton fue necesario rediseñar el algoritmo de corrección plástica anisótropa

en pequeñas deformaciones, permitiendo la linealización consistente tanto de éste como de los algorit-

mos de anisotropía elastoplástica en grandes deformaciones. La segunda ventaja es el desacoplamiento

de la presión del procedimiento de retorno plástico. Ello permite asignar de forma independiente una

función de energía almacenada para la parte volumétrica que facilita la implementación del algoritmo en

elementos finitos con formulación mixta u/p. Puesto que DULCINEA carecía de elementos tridimension-

ales hexaédricos con dicha formulación, fue necesario implementar una familia de elementos denominada

BMIX con formulación mixta u/p, que incluye diversas opciones como casos particulares, entre ellas los

elementos BMIX 8/8/1 (elemento de 8 nudos, con 8 puntos de integración de desplazamientos y 1 punto

de integración de presiones) y el elemento mixto BMIX 27/27/4 (elemento de 27 nudos, con 27 puntos de

integración de desplazamientos y 4 puntos de integración de presión). Este último elemento pasa la condi-

ción inf-sup o de Babuska-Brezzi, por lo que es un elemento óptimo en convergencia y que no bloquea.

Con esta formulación se han realizado simulaciones de problemas extraídos de la literatura. Los resulta-

dos observados son similares, pero la consistencia, sencillez y potencialidad del algoritmo sobrepasan, en

nuestra opinión, a sus equivalentes publicados.

El tercer objetivo ha sido realizar el primer paso para el desarrollo de un modelo computacional

completo de elastoplasticidad anisótropa en grandes deformaciones. Un modelo computacional completo

debe tener en cuenta diversos factores que influyen en el comportamiento de materiales anisótropos

sometidos a diversos tipos de cargas no proporcionales. Entre estos factores están el comportamiento

elástico anisótropo, el endurecimiento anisótropo y la actualización de las direcciones de anisotropía. La

anisotropía elástica, aunque frecuentemente ignorada por motivos de sencillez computacional, puede ser

incluso más relevante que la anisotropía plástica. Por otro lado, una posible explicación termodinámica,

desde el punto de vista del medio continuo, de la actualización de las direcciones de anisotropía se basa

en la falta de conmutatividad de tensiones y deformaciones en el caso de elasticidad anisótropa. Esta

falta de conmutatividad provoca la aparición de un término adicional en la ecuación de disipación que

contiene el trabajo del giro plástico y del tensor de giro de las direcciones preferentes de anisotropía.

Por todo ello, resulta primordial disponer de un algoritmo relativamente sencillo para elastoplasticidad

anisótropa, en el cual se tenga en cuenta la anisotropía elástica. El desarrollo de este algoritmo ha sido

uno de los temas más importantes de esta tesis doctoral.

El procedimiento de cálculo desarrollado para elastoplasticidad anisótropa consiste en un algoritmo

totalmente implícito basado en el principio de máxima disipación, en la descomposición multiplicativa del

gradiente de deformaciones en una parte plástica y en una parte elástica, en una descripción hiperelástica

de las tensiones basada en una función de energía almacenada simple e intuitiva, descrita en función de

deformaciones logarítmicas, en una integración plástica realizada mediante funciones exponenciales que

conservan el comportamiento isocórico del modelo, y en una estructura modular sencilla en la que existe

un pre- y un postprocesador geométrico y un núcleo de corrección plástica casi idéntico al de pequeñas

deformaciones. El algoritmo se ha linealizado consistentemente conservando la estructura modular. Con

este algoritmo se han realizado diversas simulaciones extraídas de la literatura y realizadas en dichas

8.1. CONCLUSIONES Y APORTACIONES DE LA TESIS 229

publicaciones con modelos de elasticidad anisótropa, plasticidad anisótropa y elastoplasticidad anisótropa

basada en formulaciones aditivas.

Para poder realizar las simulaciones de elastoplasticidad anisótropa ha sido necesario implementar

formulaciones de elementos finitos alternativas a los elementos mixtos u/p. El motivo radica en que las

formulaciones u/p requieren el conocimiento explícito de la dependencia de la presión y sus derivadas

respecto a las deformaciones; de hecho son necesarias incluso las segundas derivadas de la presión; esto

es, las derivadas del módulo elastoplástico tangente. Estas derivadas son relativamente sencillas si la

respuesta volumétrica está desacoplada, lo cual no ocurre en el caso de elastoplasticidad anisótropa, ya

que el problema podría llegar a ser semideformable (en lugar de incompresible) y la corrección plástica

modifica la presión debido al acoplamiento con la anisotropía elástica.

Las alternativas buscadas para grandes deformaciones, sin ser tan óptimas como los elementos BMIX

27/27/4, presentan una solución aceptable dentro del estado del arte. Dichas formulaciones están basadas

en modos incompatibles. Con estas formulaciones los problemas de bloqueo y de modos de energía nulos

quedan paliados y restringidos a problemas muy concretos. Evidentemente, hoy en día todavía es necesario

el desarrollo de un elemento finito en grandes deformaciones exento de problemas en los casos generales

de semideformabilidad, para el que no sea necesario modificar los procedimientos de cálculo de tensiones

en el punto de integración. Mientras tanto, se han implementado en DULCINEA pequeñas variantes de

los elementos de Simó, Armero y Taylor de 1993, denominado BINC 8/9/12 (elemento tridimensional

de 8 nudos, con 9 puntos de integración y 12 modos o grados de libertad adicionales) y de Armero y

Glaser de 1997, BENH 8/9/9 (elemento tridimensional de 8 nudos, con 9 puntos de integración y 9

modos o grados de libertad adicionales). En esta tesis también se han detectado ligeras inconsistencias

conceptuales en este tipo de formulaciones. No obstante, las simulaciones realizadas con estos elementos

parecen estar ausentes de comportamientos indeseables como bloqueo o modos de energía nulos. Los

resultados obtenidos son cualitativamente similares a los que han obtenido otros autores con modelos

basados en descomposiciones aditivas y descripciones a medida de la elasticidad anisótropa, en los que se

considera isotropía en la parte volumétrica del comportamiento elástico.

Desde el punto de vista experimental, la anisotropía es especialmente significativa para deformaciones

plásticas superiores al 2% y el estudio de su evolución posterior es de gran interés. Siguiendo esta línea, se

ha desarrollado un estudio experimental preliminar de la anisotropía plástica presente en chapas laminadas

en frío de la aleación de aluminio-magnesio 5754, de gran aplicabilidad en la industria aeronáutica y de

automoción, basado en los experimentos de Kim y Yin de 1997. El objetivo de este estudio experimental

ha sido analizar la viabilidad del desarrollo de un análisis cuantitativo de la evolución de la anisotropía

plástica cuando se someten las probetas a deformaciones plásticas superpuestas fuera de las direcciones

principales de anisotropía. El parámetro utilizado para la determinación de la anisotropía inicial en

las probetas de partida es la variación de la tensión de fluencia con la dirección de carga. El estudio

experimental se ha dividido en cuatro fases: la Primera Fase o Estado Inicial se ha cuantificado la

anisotropía plástica inicial presente en las chapas laminadas de partida; en la Segunda Fase o Primer

Pretensado se ha incrementado el grado de anisotropía de las chapas iniciales en la dirección de laminado

(RD), a través de pretensados en esta dirección; en la Tercera Fase o Segundo Pretensado se ha llevado

a cabo un segundo pretensado, a diferentes niveles de deformación plástica, sobre probetas procedentes

de la segunda fase, a distintas orientaciones respecto de la dirección de laminado (RD) y por último,

en la Cuarta Fase o Etapa de Resultados se han obtenido probetas para ensayo de tracción a diferentes


orientaciones (de 0o a 180o) de especímenes provenientes de la tercera fase, con objeto de determinar la

evolución de las propiedades mecánicas plásticas del metal laminado sometido a deformaciones plásticas

no proporcionales. En primer lugar, se ha observado el giro de la superficies de plastificación anisótropa

cuando se someten a pretensados en direcciones distintas a la dirección de laminado. En segundo lugar,

este estudio sirve como marco de referencia para la realización de un estudio experimental más amplio y

exhaustivo, que contemple tanto el análisis de la anisotropía plástica como de la anisotropía elástica, y

que sirva de validación de los algoritmos de elastoplasticidad anisótropa en grandes deformaciones donde

se tenga en cuenta este ’giro’ y actualización de las direcciones de anisotropía

8.2 Futuras líneas de investigación

A continuación se presentan algunos de los posibles trabajos futuros:

1. Estudio experimental de la evolución de la anisotropía elástica en procesos de conformado por

deformación plástica. Como se ha comentado reiteradamente, en plasticidad computacional es

habitual considerar que el efecto de la anisotropía elástica es significativamente menor que el efecto

de la anisotropía plástica, como se pueden ver en las referencias [32], [33], [34], [35]. El estudio

de la anisotropía elástica es especialmente importante en materiales compuestos, pero en metales

es bastante habitual despreciarla. No obstante, dicha anisotropía puede ser también relevante,

no sólo cuantitativamente sino cualitativamente, por su posible influencia en el comportamiento

plástico, por lo que debería ser tenida en cuenta. Se propone ampliar el estudio experimental de

la evolución de la anisotropía plástica, analizando la evolución de parámetros elásticos (Módulo de

Young, Coeficiente de Poisson) con el grado de deformación plástica y la dirección de estudio.

2. Estudio de la relación constitutiva entre la anisotropía elástica, la anisotropía plástica, el giro

plástico y la evolución de las direcciones de anisotropía preferentes con deformaciones incrementales

no proporcionales. Para ello se propone realizar ensayos de probetas pequeñas policristalinas de

tal forma que sea posible hacer un seguimiento de la evolución de los cristales y, a través de estos

resultados, poder inferir la forma de la ecuación constitutiva para la actualización de las direcciones

de anisotropía.

3. Con la ecuación constitutiva mencionada, un trabajo inmediato sería el desarrollo de nuevos algo-

ritmos de elastoplasticidad anisótropa en grandes deformaciones que incorporen el efecto del giro

plástico. Dichos modelos deben proporcionar una explicación consistente de las observaciones ex-

perimentales y deben tener en cuenta tanto la anisotropía elástica como la plástica. Por otro lado,

estos algoritmos deben ser termodinámicamente consistentes y estar preferentemente basados en los

ingredientes utilizados satisfactoriamente y generalmente adimitidos en plasticidad de von Mises en

grandes deformaciones: descomposición multiplicativa de Lee, deformaciones logarítmicas, función

de energía almacenada (hiperelástica) e integración mediante función exponencial. Al respecto, el

algoritmo desarrollado en esta tesis puede ser la base sobre la que se construya este procedimiento.

4. Desarrollo de nuevas formulaciones mixtas que solventen las limitaciones de la formulación u/p

actual para problemas de elastoplasticidad anisótropa en grandes deformaciones, dado que las for-

mulaciones basadas en modos incompatibles tampoco resultan completamente satisfactorias.

8.2. FUTURAS LÍNEAS DE INVESTIGACIÓN 231

5. Alternativamente, se puede realizar la implementación de un algoritmo para el cálculo numérico del

módulo tangente consistente en procedimientos iterativos basados en el método de Newton, pero

utilizando formulación mixta. Con ello, es posible simular problemas con alto grado de incompre-

sibilidad de forma que no sea necesario el cálculo, en determindas ocasiones complejo, del módulo

tangente del algoritmo de integración

Otros temas secundarios para trabajos futuros pueden ser:

1. Desarrollo y perfeccionamiento del modelo de superficies múltiples basado en la plasticidad clásica de

Cam-Clay con la implementación de un módulo tangente consistente en el algoritmo de integración

de tensiones. El objetivo es la extensión del modelo numérico en la resolución de problemas de

mayor complejidad y no restringidos a un único punto de integración.

2. Extensión de los modelos de plasticidad de superficies múltiples a grandes deformaciones e incor-

poración de funciones de plastificación anisótropas (función de plastificación de Hill).

Capítulo 9

Apéndices

En estos apéndices se recoge material complementario adicional al contenido principal del documento.

Cada sección es independiente en cuanto a tema y notación. En la primera sección se presenta una

introducción al fenómeno de bloque numérico en el método de los elementos finitos y se motiva con

una serie de ejemplos. En la segunda sección se recoge el algoritmo de integración de tensiones del

modelo de plasticidad Cam-Clay de superficies múltiples y una serie de ejemplos numéricos. En la

tercera sección se presenta el procedimiento para la obtención de las curvas teóricas de Hill a partir de

puntos experimentales. En la cuarta sección se muestra el cálculo de los tensores SM y su derivada SM ,que surgen en la implementación del algoritmo de elastoplasticidad anisótropa en grandes deformaciones

basado en tensiones de Mandel. En la quinta y última sección se presenta el procedimiento seguido para

determinar las propiedades mecánica necesarias para realizar las simulaciones numéricas del capítulo 7.

9.1 Bloqueo numérico en el MEF

9.1.1 Introducción y motivación

Para ilustrar el funcionamiento interno del fenómeno de bloqueo, se plantea el siguiente ejemplo, extraído

de la Referencia [45]:

Considérese la viga modelada según la figura 9.1 de profundidad unidad. El vector de desplazamientos,

1.0

h

E = Módulo de ElasticidadG = Módulo de Cortante

L/2 L/2

1 2x,u

z,ww1

w2

q1q2

Figura 9.1: Elemento viga de 2 nudos con 2 grados de libertad por nudo [45]

233

234 CAPÍTULO 9. APÉNDICES

desplazamiento nodales y vector de coordenadas se escriben respectivamente como

u(x) = [w (x) , θ (x)]T (9.1)

u(x) = [w1, θ1, w2, θ2]T

x (x) = [x, z]T

con −L2 ≤ x ≤ L

2 y −L2 ≤ z ≤ L

2 . Por lo tanto, se puede definir las siguientes discretizaciones

w (x) =2Xi=1

Ni (xi)wi (9.2)

θ (x) =2Xi=1

Ni (xi) θi

De forma matricial, queda como

"w

θ

#=

"N1 0 N2 0

0 N1 0 N2

#⎡⎢⎢⎢⎢⎣w1

θ1

w2

θ2

⎤⎥⎥⎥⎥⎦ (9.3)

u = Nu

siendo las funciones de forma

N1 =1

L

µL

2− x

¶(9.4)

N2 =1

L

µL

2+ x

¶El desplazamiento horizonal, bajo la hipótesis de pequeñas deformaciones, se puede escribir como

ux (x, z) = −zθ (x) = −z2Xi=1

Ni (xi) θi (9.5)

Con lo cual, el tensor de deformaciones ε se calcula como

ε =

"εx

γxz

#=

"∂ux∂x

∂w∂x +

∂ux∂z

#=

"0 −z dN1

dx 0 −z dN2

dxdN1

dx −N1dN2

dx −N2

#⎡⎢⎢⎢⎢⎣w1

θ1

w2

θ2

⎤⎥⎥⎥⎥⎦ = Bu (9.6)

donde para este caso particular se tiene

B =1

L

"0 −z 0 z

−1 −¡L2 − x

¢1 −

¡L2 + x

¢# (9.7)

9.1. BLOQUEO NUMÉRICO EN EL MEF 235

Es conveniente percatarse de que γxz se puede escribir como

γxz =1

L(w2 − w1)−

1

2(θ2 + θ1) +

x

L(θ2 − θ1) (9.8)

Este resultado se utilizará más adelante. La ecuación de comportamiento se puede escribir, para este

caso, como "σx

τxz

#=

"E 0

0 G

#"εx

γxz

#⇒ σ = Dε (9.9)

Finalmente, se monta la matriz de rigidez elemental ke (a falta de integrar en el volumen) de la forma

he = BTDB =1

L2

⎡⎢⎢⎢⎢⎢⎣G G

¡L2 − x

¢−G G

¡L2 + x

¢G¡L2 − x

¢z2E +

¡L2 − x

¢2G −G

¡L2 − x

¢−z2E +

³L2

4 − x2´G

−G −G¡L2 − x

¢G −G

¡L2 + x

¢G¡L2 + x

¢−z2E +

³L2

4 − x2´G −G

¡L2 + x

¢z2E +

¡L2 + x

¢2G

⎤⎥⎥⎥⎥⎥⎦ =

=G

L2

⎡⎢⎢⎢⎢⎢⎣1

¡L2 − x

¢−1

¡L2 + x

¢¡L2 − x

¢ ¡L2 − x

¢2 −¡L2 − x

¢ ³L2

4 − x2´

−1 −¡L2 − x

¢1 −

¡L2 + x

¢¡L2 + x

¢ ³L2

4 − x2´−¡L2 + x

¢ ¡L2 + x

¢2

⎤⎥⎥⎥⎥⎥⎦+E

L2

⎡⎢⎢⎢⎢⎣0 0 0 0

0 z2 0 −z2

0 0 0 0

0 −z2 0 z2

⎤⎥⎥⎥⎥⎦ == kc (polinomios de orden 2 en x =⇒ γxz) + kf (constante en x =⇒ εx)

ke = kc (polinomios de orden 2 en x =⇒ γxz) + kf (constante en x =⇒ εx) (9.10)

A la vista del resultado anterior, se puede extraer la siguiente conclusión: kf al ser constante en x, se puede

integrar con un único punto de integración, mientras que para integrar kc (orden 2 en x) necesitamos al

menos dos puntos de integración. Por lo tanto, se puede llevar a cabo una integración reducida de la

matriz de la expresión anterior con un único punto de integración o bien se puede realizar una integración

completa, con dos puntos de integración. Integrando, K =Rk dx dz se obtiene:

1. nint = 1 punto de integración (integración reducida):

K1p =

Z h

2

−h

2

Z L

2

−L

2

BTDB dx dz =

Z h

2

−h

2

BTDB |x=0 · w (= 1) · L dz = (9.11)

=

⎡⎢⎢⎢⎢⎣GhL

Gh2 −Gh

LGh2

Gh2

GhL4 + Eh3

12L −Gh2

GhL4 −

Eh3

12L

−GhL −Gh

2GhL −Gh

2Gh2

GhL4 −

Eh3

12L −Gh2

GhL4 + Eh3

12L

⎤⎥⎥⎥⎥⎦


2. nnint = 2 puntos de integración (integración completa):

K2p =

Z h

2

−h

2

Z L

2

−L

2

BTDB dx dz =

Z h

2

−h

2

nint=2Xi=1

BTDB |xi · wi

µ=1

2

¶· L dz = (9.12)

=

⎡⎢⎢⎢⎢⎣GhL

Gh2 −Gh

LGh2

Gh2

GhL3 + Eh3

12L −Gh2

GhL6 −

Eh3

12L

−GhL −Gh

2GhL −Gh

2Gh2

GhL6 −

Eh3

12L −Gh2

GhL3 + Eh3

12L

⎤⎥⎥⎥⎥⎦

Supongamos ahora que únicamente se aplica un momento M en los nudos extremos de la viga, con

las condiciones de contorno simplemente apoyada. Se va a resolver mediante integración reducida e

integración completa.

Para el caso de integración reducida (un punto de integración en este caso), se tiene⎡⎢⎢⎢⎢⎣0 0 0 0

0 GhL4 + Eh3

12L 0 GhL4 −

Eh3

12L

0 0 0 0

0 GhL4 −

Eh3

12L 0 GhL4 + Eh3

12L

⎤⎥⎥⎥⎥⎦⎡⎢⎢⎢⎢⎣0

θ1

0

θ2

⎤⎥⎥⎥⎥⎦ =⎡⎢⎢⎢⎢⎣R1 = 0

−MR2 = 0

M

⎤⎥⎥⎥⎥⎦ (9.13)

Este sistema, tras eliminar las ecuaciones sobrantes, queda como"θ1

θ2

#=

"GhL4 + Eh3

12LGhL4 −

Eh3

12LGhL4 −

Eh3

12LGhL4 + Eh3

12L

#−1 "−MM

#=6L

Eh3M

"−11

#(9.14)

que es el giro correcto obtenido por resistencia de materiales, y las deformaciones

"εx

γxz

#=6L

Eh3M

"0 −z

L 0 zL

− 1L − 1

L

¡L2 − x

¢1L − 1

L

¡L2 + x

¢#⎡⎢⎢⎢⎢⎣0

−10

1

⎤⎥⎥⎥⎥⎦ = 12

Eh3M

"z

−x

#(9.15)

En este caso, la deformación γxz correcta es la del punto medio x = 0. La del resto de los puntos son

incorrectas, ya que toda deformación γxz debería ser igual a 0, porque el cortante es nulo. No obstante,

en conjunto se cumple ZV

γxz dV = 0 (9.16)

como se corresponde con una viga donde hay sólo momentos aplicados. En caso de haber fuerzas en los

extremos, el γxz debería haber sido constante bajo hipótesis de viga Bernoulli (h << L), pero tampoco

lo sería utilizando esta formulación.


Para el caso de integración completa (dos puntos de integración en este caso) se tiene"θ1

θ2

#=

"GhL3 + Eh3

12LGhL6 −

Eh3

12LGhL6 −

Eh3

12LGhL3 + Eh3

12L

#−1 "−MM

#=6L

Eh3M

1

1 +

ÃG

E

µL

h

¶2!"−11

#(9.17)

y las deformaciones

"εx

γxz

#=6L

Eh3M

1

1 +

ÃG

E

µL

h

¶2!⎡⎣ 0 − z

L0 z

L

− 1L− 1

L

¡L2 − x

¢1L − 1

L

¡L2 + x

¢⎤⎦⎡⎢⎢⎢⎢⎣0

−10

1

⎤⎥⎥⎥⎥⎦ (9.18)

=12

Eh3M

1

1 +

ÃG

E

µL

h

¶2!"z

−x

#

Nótese que1

2≤ G

E≤ 1

3, por lo que el producto

G

E

µL

h

¶2= O

µL

h

¶2. Si se tiene una viga Bernoulli

(h << L), entoncesG

E

µL

h

¶2−→∞ y, por lo tanto

1

1 +

ÃG

E

µL

h

¶2! −→ ³ ∞∞2

´−→ 0 (9.19)

y "θ1

θ2

#=6L

Eh3M

1

1 +

ÃG

E

µL

h

¶2!"−11

#−→

"0

0

#(9.20)

es decir, con dos puntos de integración (integración completa) LA SOLUCIÓN BLOQUEA. Nóteseque el bloqueo se produce por la parte de cortante (Bloqueo a cortante), no por la parte de flexión.

En consecuencia, se podría integrar sólo la parte de cortante con un punto de integración para evitar

condiciones redundantes, mientras que la de flexión se puede integrar con dos puntos de integración

(integración selectiva-reducida):

Ksel =

Z h

2

−h

2

Z L

2

−L

2

BTDB dx dz =

Z h

2

−h

2

Z L

2

−L

2

(kc + kf ) dx dz = (9.21)

=

Z h

2

−h

2

"kc (x = 0) 1L |nint=1 +

2Xi=1

kf (xi)wiL |nint=2

#dz =


= Kc +Kf =

⎡⎢⎢⎢⎢⎣GhL

Gh2 −Gh

LGh2

Gh2

GhL4 + Eh3

12L −Gh2

GhL4 −

Eh3

12L

−GhL −Gh

2GhL −Gh

2Gh2

GhL4 −

Eh3

12L −Gh2

GhL4 + Eh3

12L

⎤⎥⎥⎥⎥⎦que es la matriz que proporciona la solución correcta.

La razón del bloqueo se puede observar de

γxz =1

L(w2 − w1)−

1

2(θ2 + θ1) +

x

L(θ2 − θ1) (9.22)

En el caso de cantos pequeños, la viga se comporta como viga Bernoulli y, por lo tanto, en cada punto

de la viga debe cumplirse γxz = 0. Si obligamos, mediante integración completa, a que esta ecuación se

cumpla en cada punto del dominio

γxz = 0 '1

L(w2 − w1)−

1

2(θ2 + θ1) +

x

L(θ2 − θ1) (9.23)

puesto que se debe cumplir en cada punto

1

L(w2 − w1)−

1

2(θ2 + θ1) = 0 (9.24)

1

2(θ2 − θ1) = 0

Lo que implica dos restricciones numéricas en lugar de una, la restricción física impuesta por γxz =

0. En general, una viga con cargas en los extremos (en los nudos concretamente) debe tener para un

comportamiento como viga Bernoulli (h << L)

Cortante V (x) = cte =⇒ τxz (x) = cte =⇒ γxz = cte

y por lo que una interpolación lineal en γxz, obligada por los desplazamientos, impone una restricción

excesiva, la de 12 (θ2 − θ1) = 0, que obliga a θ1 = θ2, condición imposible de cumplir habituamente. Para

imponer una única restricción en cada elemento, se debe cumplir que el rango Kec tiene que ser igual al

número de restricciones físicas.

En resumen, el problema de bloqueo a cortante se soluciona, en principio, con una integración selectiva-

reducida; no obstante la solución no es conceptualmente buena, ya que supone integrar erróneamente un

problema erróneamente aproximado (’... two wrongs do make a right in California’1). Por otro lado,

como se verá más adelante, en otros tipos de elementos, como los bidimensionales, la integración selectiva-

reducida, no soluciona el problema.

9.1.2 Formulación de Hu-Washizu y de Hellinger-Reissner

La forma correcta de tratar el problema del bloqueo numérico, es el uso de funciones de interpolación

correctas para cada entidad física, independientes de las que se obtendrían de los procesos de derivación

del medio continuo. Por lo tanto, no se hacen cumplir las ecuaciones punto a punto, sino de forma débil

1Cita de G.Strang (1973)


en el continuo, es decir, de forma integral. Las restricciones son

ε−∇su = 0 en V =⇒ Ecuación de compatibilidad en el dominio (9.25)

u− u = 0 en Su =⇒ Ecuación de compatibilidad en el contorno

Con las restricciones anteriores, el funcional o Lagrangiano a minimizar es el denominado funcional de

Hu-Washizu ΠHW [187], [188], [189]

ΠHW = −ΠC −Z

V

λε : (ε−∇su) dV −Z

Su

λu : (u− u) dSu = (9.26)

=1

2

ZV

ε : C : ε dV−Xpuntos

i=1Fi · u−

ZV

b · u dV −Z

St

t · u dSt−

−Z

V

λε : (ε−∇su) dV −Z

Su

λu : (u− u) dSu

donde se hacen las siguientes identificaciones de los parámetros de Lagrange λε = σ y λu = t

ΠHW =1

2

ZV

ε : C : ε dV −Xpuntos

i=1Fi · u−

ZV

b · u dV −Z

St

t · u dSt − (9.27)

−Z

V

σ : (ε−∇su) dV −Z

Su

t : (u− u) dSu

Las variables, en vez de ser únicamente los desplazamientos u, son u, ε, σ, t. Éste es el funcional más

genérico del que se obtienen formulaciones completamente independientes para u, ε, σ, t. Habitualmente,

para reducir el coste computacional del elemento y para simplificar su formulación, se suele reducir el

número de variables independientes a aquellas que pueden ocasionar problemas de bloqueo.

En el caso que nos ocupa, se reduce el funcional de Hu-Washizu al de Hellinger-Reissner [190], [191], en

el que sólo desplazamientos y deformaciones (las variables cinemáticas) se interpolan independientemente.

Por ejemplo, considerando únicamente la primera restricción y sustituyendo σ = C : ε

ΠHR =1

2

ZV

ε : C : ε dV −Xpuntos

i=1Fi · u−

ZV

b · u dV −Z

St

t · u dSt −Z

V

ε : C : (ε−∇su) dV=

= −12

ZV

ε : C : ε dV +

ZV

ε : C : ∇su dV −Xpuntos

i=1Fi · u−

ZV

b · u dV −Z

St

t · u dSt

Los términos de cortorno siguen siendo los mismos que en la formulación estándar, por lo que no sufren

modificación alguna. La deformación, para la viga del ejemplo de la Figura 9.1, en notación de Voigt, es

ε =

"εx

γxz

#(9.28)

Para el cortante, se utilizará unas funciones de interpolación distintas, constantes, mientras que para los

desplazamientos, las habituales. Esto es

γxz ' γcxz = N0 (x) γxz (9.29)


con N0 (x) = cte y las variaciones

δγcxz = N0 (x) δγxz = 1 δγxz (9.30)

y para los desplazamientos las habituales u ' u =2P

i=1Ni (x) ui

u =

"w

θ

#=

"N1 (x)w1 +N2 (x)w2

N1 (x) θ1 +N2 (x) θ2

#(9.31)

por lo que recordando que

ux (x, z) = −zθ (x) = −z2Xi=1

Ni (xi) θi (9.32)

se obtiene inmediatamente

ε =

"εx

γcxz

#=

"∂ux∂x

γcxz

#=

⎡⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎣h0 −z dN1

dx 0 −z dN2

dx

i⎡⎢⎢⎢⎢⎣w1

θ1

w2

θ2

⎤⎥⎥⎥⎥⎦[N0] [γxz]

⎤⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎦

=

⎡⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎣h0 − z

L0

z

L

i⎡⎢⎢⎢⎢⎣w1

θ1

w2

θ2

⎤⎥⎥⎥⎥⎦[1] [γxz]

⎤⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎦ =:"Buu

Bcγ

#

y, sin embargo, para el caso donde se utiliza la misma interpolación las variables cinemáticas, se obtiene

∇su =

"εx

γcxz

#=

"∂ux∂x

∂w∂x +

∂ux∂z

#=

⎡⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎣

h0 −z dN1

dx 0 −z dN2

dx

i⎡⎢⎢⎢⎢⎣w1

θ1

w2

θ2

⎤⎥⎥⎥⎥⎦hdN1

dx −N1dN2

dx −N2

i⎡⎢⎢⎢⎢⎣w1

θ1

w2

θ2

⎤⎥⎥⎥⎥⎦

⎤⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎦


=

⎡⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎣

h0 − z

L0

z

L

i⎡⎢⎢⎢⎢⎣w1

θ1

w2

θ2

⎤⎥⎥⎥⎥⎦∙− 1L− 1L

¡L2 − x

¢ 1

L− 1L

¡L2 + x

¢¸⎡⎢⎢⎢⎢⎣w1

θ1

w2

θ2

⎤⎥⎥⎥⎥⎦

⎤⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎦=:

"Buu

Bγu

#

La variación del funcional de Hellinger-Reissner se puede escribir como

δΠHR = 0 = −ZV

δε : C : ε dV+

ZV

δε : C : ∇su dV+

ZV

ε : C : ∇sδu dV− (9.33)

−Xpuntos

i=1Fi · δu−

ZV

b · δu dV−Z

St

t · δu dSt

particularizando para nuestro ejemplo, se obtiene

δΠHR = 0 =

ZV

δεx : E : εx dV −Z

V

δγcxz : G : γcxz dV+

ZV

δγcxz : G : γxzdV+

ZV

γcxz : G : δγxzdV −

−Xpuntos

i=1Fi · δu−

ZV

b · δu dV −Z

St

t · δu dSt

y sustituyendo ε =

"Buu

Bcγ

#y ∇su =

"Buu

Bγu

#, nos queda

0 =

ZV

δuTBTuEBuu dV −Z

V

δγTBTc GBcγ dV+

ZV

δγTBTc GBγu dV+ (9.34)

+

ZV

γTBTc GBγδu dV −Z

V

δuTNTb dV −Z

St

δuTNT t dSt − δuTFP

Puesto que δuT y δγT son arbitrarios, se obtiene el sistema de ecuacionesZV

BTuEBuu dV +

ZV

BTγGBcγdV −Z

V

NTb dV−Z

St

NT t dSt −FP = 0 (9.35)ZV

BTc GBγu dV −Z

V

BTc GBcγ dV = 0

y finalmente, en forma matricial, se puede escribir⎡⎢⎣Z

V

BTuEBu dV

ZV

BTγGBc dVZV

BTc GBγ dV −Z

V

BTc GBc dV

⎤⎥⎦"uγ

#=

⎡⎣Z

V

NTb dV +

ZSt

NT t dSt +FP

0

⎤⎦ (9.36)

es decir "Kuu Kγu

Kuγ Kγγ

#"u

γ

#=

"FV +FS +FP

0

#(9.37)


Puesto que las variables en γ (en nuestro caso γcxz) no están en los nodos, sino que son variables internas

del elemento, pueden ser eliminadas del problema de contorno en el nivel elemental, es decir se pueden

condensar estáticamente. Usando la segunda ecuación

Kuγu+Kγγ γ = 0 =⇒ γ = −K−1γγKuγu (9.38)

y sustituyendo en la primera

£Kuu −KγuK

−1γγKuγ

¤[u] =

£FV +FS +FP

¤(9.39)

[K] [u] = [F]

En nuestro caso, usando uno o dos puntos de integración (en este caso el resultado coincide), se obtiene

Kuu =

ZV

BTuEBu dV =

ZV

Ez2

L2

⎡⎢⎢⎢⎢⎣0

−10

1

⎤⎥⎥⎥⎥⎦h0 −1 0 1

idV = E

h3

12L

⎡⎢⎢⎢⎢⎣0 0 0 0

0 1 0 −10 0 0 0

0 −1 0 1

⎤⎥⎥⎥⎥⎦

Kγu =

ZV

BTγGBc dV =

ZV

G

L

⎡⎢⎢⎢⎢⎣−1

−¡L2 − x

¢1

−¡L2 + x

¢

⎤⎥⎥⎥⎥⎦h1idV = Gh

⎡⎢⎢⎢⎢⎣−1−L2

1

−L2

⎤⎥⎥⎥⎥⎦Kuγ =

ZV

BTc GBγ dV =

ZV

G

L

h1i h−1 −

¡L2 − x

¢1 −

¡L2 + x

¢idV = Gh

h−1 −L

2 1 −L2

iKγγ = −

ZV

BTc GBc dV = −GhLh1i

y por lo tanto, nos queda

K = Kuu −KγuK−1γγKuγ

K = Eh3

12L

⎡⎢⎢⎢⎢⎣0 0 0 0

0 1 0 −10 0 0 0

0 −1 0 1

⎤⎥⎥⎥⎥⎦− Gh

L

⎡⎢⎢⎢⎢⎣−1−L2

1

−L2

⎤⎥⎥⎥⎥⎦h−1i h−1 −L

2 1 −L2

i

K =

⎡⎢⎢⎢⎢⎣GhL

Gh2 −Gh

LGh2

Gh2

GhL4 + Eh3

12L −Gh2

GhL4 −

Eh3

12L

−GhL −Gh

2GhL −Gh

2Gh2

GhL4 −

Eh3

12L −Gh2

GhL4 + Eh3

12L

⎤⎥⎥⎥⎥⎦que es la misma que la obtenida con integración selectiva-reducida, pero esta vez bajo hipótesis correctas

e integrando correctamente.


1 2

34

x

h

x

y

x x

h h

M1 M1 M2 M2

Figura 9.2: Elemento de cuatro nudos sometido a flexión. (a) elemento, (b) respuesta del elemento, (c)respuesta deseable

x

h

x

h

Figura 9.3: Modos incompatibles de Wilson

9.1.3 Bloqueo a cortante de elementos bidimensionales de 4 nudos

En el caso de elementos bidimensionales de 4 nudos, el fenómeno de bloqueo es muy similar. En este caso,

aplicando un momento en los extremos del elemento, observamos que debido a las funciones de forma,

el elemento sin deformarse necesariamente origina un cortante importante en el elemento. Sin embargo,

este cortante debería ser de valor muy reducido. Es decir, las funciones de forma no son capaces de seguir

la respuesta real del sólido, ver Figura 9.2.

La solución habitual para el elemento de 4 nudos es, como añadidura a las funciones de forma habit-

uales (x e y son las coordenadas locales del elemento, por simplicidad, para evitar cambios de variable,

suponemos un elemento rectangular)

N1 (x, y) =1

4(1 + x) (1 + y) (9.40)

N2 (x, y) =1

4(1− x) (1 + y)

N3 (x, y) =1

4(1− x) (1− y)

N4 (x, y) =1

4(1 + x) (1− y)

la introducción de los modos incompatibles de Wilson [60], ver Figura 9.3:

NI1 (x, y) = 1− x2 (9.41)

NI2 (x, y) = 1− y2

los cuales se asocian a grados de libertad genéricos αe del elemento. Por ello, la aproximación de Galerkin


para cada elemento es

u ' u =nudosXi=1

Niuei +

¡NI1 α

e1 +NI

2 αe2

¢(9.42)

Estos modos se denominan incompatibles porque no conservan la compatibilidad en desplazamientos

entre las caras de los elementos (formulaciones incompatibles o no conformes). Las deformaciones en este

caso son

ε ' ε = ∇su =

⎡⎢⎣ εx

εy

γxy

⎤⎥⎦ = hB BI

i "ueαe

#(9.43)

donde B contiene las derivadas de las funciones de forma ordinarias respecto a las coordenadas y BI

contiene las derivadas de las funciones de forma incompatibles N Ii . El principio de los trabajos virtuales

(variación de la energía potencial) con la aproximación de Galerkin es

δΠ = 0 =

ZV

δε : C : ε dV −Xpuntos

i=1Fi · δu−

ZV

b · δu dV −Z

St

t · δu dSt (9.44)

y utilizando la expresión anterior y la ley de comportamiento en formato matricial σ = C : ε, se obtiene„para cada elemento ⎡⎢⎣

ZV e

BTDB dV e

ZV e

BTDBI dVeZ

V e

BTI DB dV e

ZV e

BTI DBI dVe

⎤⎥⎦"ueαe

#=

"Fe

0

#(9.45)

es decir, "Ke

uu Keuα

Keαu Ke

αα

#"ue

αe

#=

"Fe

0

#(9.46)

En la práctica, como los grados de libertad αe pertenecen únicamente a un elemento e, pueden ser

condensados mediante reducción gaussiana

£Ke

uu −KeuαK

e−1αα K

eαu

¤[ue] = [Fe] (9.47)

[Ke] [ue] = [Fe]

La nueva matriz de rigidez contiene la contribución de los modos incompatibles con un costo computa-

cional adicional relativamente bajo.

9.1.4 El test de la parcela (patch test)

Los modos incompatibles rompen uno de los pilares básicos del método de los elementos finitos que

garantizan la convergencia de los resultados hacia la solución real, a medida que se refina la malla: la

continuidad del dominio, o la compatibilidad de los desplazamientos. Por ello, en principio existen dos

inconvenientes:

1. La solución ya no converge uniformemente hacia la solución real por el lado rígido (a diferencia de

los elementos finitos estándar)


1

2

3 6 9

8

74

5

1.5F F

F

2F

x,u

y,v

3

1

2

2

4 2

3 3

Espesor = 1

F = sc

sc

Figura 9.4: Test de la parcela para elementos de cuatro nudos, donde las cargas son fuerzas de valor F ,consistentes con el estado de tensiones uniforme σx = σc, σy = τxy = 0 [149]

2. En principio, cuando se rompe la compatibilidad, puede no estar siempre garantizada la convergencia

hacia la solución real

Una malla que utiliza un tipo determinado de elemento, converge al menos linealmente hacia la

solución real, si los elementos son capaces de representar estados de tensión constante con total exactitud.

Puesto que cuando refinamos una malla, los elementos se van aproximando hacia estados tensionales

constantes, esto garantizaría una convergencia, al menos lineal, hacia la solución.

El test de la parcela (o ‘patch test’ ) consiste en realizar una malla de muy pocos elementos y someterla

a cargas en el contorno que provoquen un estado tensional constante en la realidad. Dichos elementos

deben proporcionar desplazamientos y tensiones exactos para dicho problema y, por supuesto, para el

problema de movimiento de sólido rígido. Si un elemento pasa el patch test, la convergencia lineal está

garantizada (aunque puede no ser monótona). Si una parcela de elementos representa de forma exacta

estados tensionales que varían linealmente, entonces queda garantizada la convergencia cuadrática, ver

figura 9.4

Para un elemento cuadrangular, los modos incompatibles pasan el patch test, pero para una geometría

arbitraria no. Para que ello ocurra, como se ha señalado, el elemento debe poder representar estados

tensiones constantes arbitrarios. Supongamos que para el estado tensional σcte constante dentro del

elemento obtenemos la solución exacta real en los nudos ucte. Entonces, por ejemplo, la integral siguiente

queda de la formaµZV e

BTI DB dV e

¶ucte =

ZV e

BTI DB uctedV e =

ZV e

BTI Dεcte

dV e =

ZV e

BTI σcte

dV e (9.48)

pero como los valores de σcte son arbitrarios, si se quiere que para este caso el elemento se comporte

como el elemento estándar (que sabemos que pasa el test de la parcela)ZV e

BTI σcte

dV e = 0, ∀σ = cte =⇒Z

V e

BTI dV e = 0 (9.49)


que es la condición que deben cumplir las funciones de forma incompatibles para que el elemento pase

el test de la parcela. En este caso, ante estados tensionales constantes dentro del elemento, éste se

comporta como el elemento de 4 nudos. Esta condición se cumple para un elemento rectangular, pero

no necesariamente para uno de forma arbitraria. En tal caso, es necesario corregir la matriz BI de la

siguiente forma:

BnuevaI = BI −1

V e

ZV e

BTI dV e (9.50)

Finalmente, un elemento que no sufre de este bloqueo de cortante es el elemento Lagrangiano de 9

nudos, ya que sus funciones de forma estándar permiten reproducir la flexión sin introducir contartes

exagerados.

9.1.5 Bloqueo volumétrico

La formulación estándar de elementos finitos se usa habitualmente debido a su simplicidad y efectividad.

Sin embargo, hay dos problemas donde la formulación estándar presenta dificultades: el análisis de medios

incompresibles (o quasi-incompresibles) y el análisis de placas y láminas. En cada uno de estos casos, es

necesario implementar una formulación mixta (que se puede entender como caso especial del principio

variacional de Hu-Washizu, por ejemplo, el potencial de Hellinger-Reissner) que es más efectiva.

En el análisis de sólidos, es frecuente considerar que el material se comporta de forma quasi-incompresible.

Por ejemplo, materiales tipo ’goma’ y materiales bajo comportamiento no lineal, como es el caso de la

plasticidad, pueden presentar respuestas quasi-incompresibles. Un hecho observado en el análisis de

medios quasi-incompresibles es la dificultad para calcular la presión de forma correcta. Por ejemplo, en

elasticidad lineal, la ecuación de comportamiento se puede escribir como

C = K 1⊗ 1+ 2GµI− 1

31⊗ 1

¶(9.51)

σ = K (εx + εy + εz)1+ 2GεD = p1+ 2GεD

donde G es el módulo de rigidez a cortadura y K es el módulo de compresibilidad

K =E

3 (1− 2ν) (9.52)

El problema surge cuando el coeficiente de Poisson ν −→ 0.5 (medio incompresible), entonces K → ∞.Por ello, puesto que la presión en un punto del sólido es un valor finito (determinado en este caso por las

ecuaciones de equilibrio), para compensar se obtiene de la formulación que

εv = εx + εy + εz → 0 (9.53)

Ello implica que, cuando ν −→ 0.5 y se usa elementos estándar, entonces se impone una nueva restricción

dada por tr (ε)→ 0 (ecuación de incompresibilidad). Además, se impone realmente sobre las aproxima-

ciones de Galerkin, las cuales vienen determinadas por las funciones de interpolación utilizadas para los

desplazamientos

εv = εx + εy + εz → 0 (9.54)


lo cual, como ya conocemos para el caso del bloqueo a cortante, puede causar problemas, en este caso, el

conocido bloqueo volumétrico.

Supongamos, por ejemplo, un triángulo. Como la interpolación es lineal, se puede escribir con u =

[u, v]T

u = a0 + a1x+ a2y (9.55)

v = b0 + b1x+ b2y

siendo ai y bi constantes. Las deformaciones son

εx =∂u

∂x= a1; εy =

∂v

∂y= b2 (9.56)

En caso de tensión plana la restricción de incompresibilidad implica

εz → − (εx + εy) = −a1 − b2 (9.57)

lo cual no presenta problema alguno. Pero en el caso de deformación plana, por hipótesis εz ≡ 0. Por lotanto

−a1 − b2 = 0 =⇒ a1 = −b2 (9.58)

Supongamos que dos de los nudos están fijos u (0) = 0 y u (0, 1) = 0, ver Figura 9.5

u (0) = 0⇒(0 = a0

0 = b0

)(9.59)

u (0, 1) = 0⇒(0 = a1

0 = b1

)

y usando la ecuación a1 = −b20 = b2 (9.60)

Por lo tanto

u = a2y (9.61)

v = 0

lo que implica que la condición de incompresibilidad obliga al nudo restante a moverse en una dirección

determinada. Siguiendo el mismo razonamiento, otro elemento adyacente puede obligar a dicho nudo a

moverse en una dirección distinta, con lo que la única posibilidad compatible con ambos elementos es que

el nudo no se mueva⇒ bloqueo volumétrico, ver figura 9.5 Aunque el caso más grave es posiblemente el de

los triángulos, casi todos los elementos continuos presentan problemas de bloqueo en deformación plana

cuando ν → 0.5. Como en el caso de bloqueo por cortante, es posible disminuir la tendencia a bloquear de

muchos elementos a través de la integración reducida o de la integración selectiva-reducida. No obstante,

surge un nuevo fenómeno: aparación de mecanismos de energía cero, ver figura 9.6. Estos mecanismos

(hourglass modes) pueden ser propagables (en cuyo caso nunca se deberían usar) o no propagables (aunque


A B

I

II

III

IV

A

II

A

I

d =0A

Figura 9.5: Malla de elementos triangulares de presión constante, en donde la incompresibilidad implicadesplazamientos nulos [49]

x

y

( a ) ( d )( c )( b )

Figura 9.6: (a) Malla de cuatro elementos, con los puntos de integración. (b),(c) y (d) Mecanismos(’modos hourglass’) [149]

9.2. PLASTICIDAD AVANZADA DE CAM-CLAY 249

en este caso tampoco se recomienda su uso, los resultados suelen ser aceptables, pero no existe garantía

de ello). Existen también métodos de control de mecanismos propagables (hourglass control) que consiste

simplemente en proyectar las deformaciones obtenidas sobre los modos del mecanismo correspondiente

y sustraer (o rigidizar) dicha proyección de la respuesta total. No obstante, ninguna de estas soluciones

está libre de problemas y, por lo tanto, su uso indiscriminado no debe recomendarse.

9.2 Modelo de plasticidad de superficie múltiples basado en la

teoría del estado crítico en mecánica de suelos. Algoritmo

de integración

En el capítulo 3 se ha presentado un modelo de plasticidad computacional para suelos bajo cargas cíclicas

[192]. El modelo está basado en la teoría del estado crítico en mecánica de suelos. Se ha empleado

un modelo de superficies múltiples con objeto de predecir el comportamiento de suelos bajo una gran

variedad de tipos de carga. Entre estas superficies, la más interna actúa siempre como superficie de

plastificación, mientras que la superficie más exterior del modelo actúa como superficie de consolidación,

un tipo de superficie límite. El resto de superficies se usan como una herramienta para calcular el módulo

de endurecimiento efectivo dentro de la superficie de consolidación. En contraste con la plasticidad clásica

de Cam-Clay, el modelo permite la disipación de una parte de la energía para ciclos dentro de la superficie

de consolidación, mientras que, por otra parte, conserva todas las características de los modelos clásicos

de Cam-Clay bajo cargas de consolidación monotónicas. Los ciclos dentro de la superficie de consolidación

conservan el comportamiento Masing bajo cualquier nivel de tensión. El modelo utiliza una función de

energía almacenada para las deformaciones elásticas, por lo tanto, el proceso elástico no disipa energía.

Esta es un cualidad importante en un modelo de plasticidad cíclica para, por ejemplo, ingenería sísmica.

El modelo se ha implementado de forma totalmente implícita. Se han desarrollado dos algoritmos distintos

para el procedimiento de integración. Uno es para el caso de carga/descarga dentro de la superficie de

consolidación. Este algoritmo es el que se ha implementado en este apartado. El otro algoritmo es para

el caso de carga en la superficie de consolidación. En este caso, se emplea un modelo típico de Cam-Clay

sin llevar a cabo ningún cambios de consideración.

9.2.1 Algoritmo implícito

En el desarrollo del algoritmo de integración implícito, existen dos casos claramente diferenciados: el

primero es cuando la superficie de consolidación endurece o reblandece y el segundo cuando la superficie

de consolidación permanece constante en tamaño. Por lo tanto, cada uno de estos casos se tratarán en

diferentes algoritmos. Los algoritmos desarrollados en este trabajo se han formulado de forma totalmente

implícita.

Caso de no-consolidación (dentro de la superficie de consolidación)

Cuando el flujo plástico tiene lugar dentro de la superficie de consolidación, se considera únicamente

endurecimiento cinemático. Las superficies i, que están dentro de la superficie a, cuando contactan en el


p

q*

CSL

trial state

Figura 9.7: Esquema del algoritmo de no-consolidación (dentro de la superficie de consolidación)

punto de tensión, cumplen las siguientes relaciones

fi = 0 para i ≤ a y fi < 0 para i > a (9.62)

En este caso, a la superficie a se le denomina superficie activa. La superficie activa puede cambiar durante

el proceso iterativo local y/o global. La figura 9.7 representa el esquema del algoritmo de integración

bajo la hipótesis de no-consolidación. Para el caso de no-consolidación, el conjunto de variables de diseño

(hablando en términos de optimización matemática) son el tensor de deformaciones elásticas εe y el

incremento del parámetro de consitencia total ∆Γ. Para la iteración (i)

X(i) :=

(εe(i)

∆Γ(i)

)(9.63)

El valor inicial es

X(0) :=

(εe(0)

∆Γ(0)

)=

(εen

kεe∗ − εenk

)(9.64)

El tensor εe∗ son las deformaciones de prueba, calculadas para el paso n+ 1 como

εe∗ = εen +∆ε (9.65)

donde ∆ε son los incrementos de deformación total desde el paso n al paso n+ 1 : ∆ε = εn+1 − εn. Losíndices de iteración global y de paso n+ 1 se omitirán excepto cuando sean necesarios.

El tensor de tensiones σ(i)n+1 se puede obtener, a partir de las deformaciones elásticas de prueba,

utilizando la ecuación constitutiva de la Expresión (3.132), sin utilizar ninguna regla de integración,


gracias a la naturaleza hiperelástica del tensor de tensiones. Una vez obtenido el valor de prueba del

tensor de tensiones σ, se pueden comprobar las condiciones de carga para las distintas superficies y

determinar la superficie activa

a = 0; do i = 1 to n, if fi¡σ, αi

n,ri¢≥ 0, a = i, endif; enddo (9.66)

Una vez conocida la superficie activa a, se puede obtener la dirección de flujo a partir de la regla de

flujo asociativa definida en la Ecuación (3.145)

f1 =εe∗ − εe(i)∆Γ(i)

(9.67)

y las expresiones

n =f1kf1k

, ∆γ = kf1k∆Γ (9.68)

El tensor de ’backstress’ de la superficie de plastificación se calcula a partir de la Ecuación (3.146)

como

α1n+1 = σ −M−1 : f1 (9.69)

y como el resto de superficies i ≤ a, siendo a la superficie activa, están en contacto en el punto de tensión,

de la relación de homología se obtiene

αin+1 = σ −M−1 : f1

rir1

para i ≤ a (9.70)

El resto de superficies conservan la posición de sus tensores de ’backstress’.

Dado que se conoce la posición final de los tensores de ’backstress’ debido al valor de prueba inicial,

la dirección de traslación efectiva m durante el paso, se determina también a partir del valor de prueba

como:

mi =αin+1 −αi

n°°αin+1 −αi

n

°° , i ≤ a (9.71)

La regla de traslación de Mróz para las superficies en contacto en el punto de tensión se define

αi =γiHi

hn : miim

Por lo tanto, de la ecuación anterior se puede obtener directamente la contribución de la superficie i al

parámetro de consistencia, ver ecuación (3.164), como

∆γi =

°°αin+1 −αi

n

°°Hi

n : mi

®≡ 1

Hi

¡αin+1 −αi

n

¢: n (9.72)

Por otra parte,Pa

i=1∆γi no es necesariamente igual a ∆γ para el mismo valor de prueba. Esta es

una de las ecuaciones consideradas en el cálculo del residuo de la forma (esta forma es una alternativa a

la condición de consistencia clásica f1 = 0)

rγ = ∆γ −aXi=1

∆γi −→ 0 (9.73)


El tensor residual necesario para el procedimiento de Newton-Raphson se obtiene del hecho de que en

ningún momento se ha especificado la ecuación constitutiva para la regla de traslación. Se observa que las

ecuaciones (9.71) se han obtenido a partir de condiciones geométricas. Sin embargo, la primera superficie

(la única que siempre se traslada durante el flujo plástico), se traslada según la regla de endurecimiento

de Mróz, cuya dirección se obtiene de las ecuaciones (3.166) a (3.168). El tensor de tensiones imagen es

σn+1 = αnn +

rnr1tn+1 (9.74)

donde

tn+1 =tn+1ktn+1k

=σn+1 −α1n+1°°σn+1 −α1n+1

°° (9.75)

y la dirección de traslación

mn+1 =mn+1

kmn+1k=

σn+1 − σn+1

kσn+1 − σn+1k(9.76)

Hay que destacar que estamos considerando el caso de no-consolidación, donde fn ≤ 0 y el tensor detensiones ’backstress’ de la superficie de consolidación se mantiene constante durante el paso, es decir,

αnn+1 = αn

n. El resto del residuo se calcula como

rm = mn+1 − m1n+1 −→ 0 (9.77)

Hay que resaltar nuevamente que el resto de las superficies de endurecimiento no se trasladan necesaria-

mente con mn+1, a menos que estén en contacto con la superficie de plastificación durante todo el paso

(es decir, están en contacto al comienzo del paso).

En resumen, para el caso de no-consolidación, el problema local se reduce a minimizar el residuo

R =

(rm

rγ

)(9.78)

con las variables

X :=

(εe

∆Γ

)(9.79)

con lo implica resolver un sistema no lineal de 7 ecuaciones con 7 incógnitas. La tangente local del

algoritmo se presenta más adelante. Para el caso de un modelo con dos invariantes, el sistema de

ecuaciones se reduce a sólo dos incógnitas, ya que la dirección del flujo desviador está dada por εe∗.

Caso de consolidación

El caso de consolidación tiene lugar, para un valor dado de εe∗, la función de consolidación es fn > 0. En

tal caso, la superficie de consolidación presenta endurecimiento mixto y el punto de tensión y la tensión

imagen coinciden, ver figura 9.8

En este caso, las superficies se trasladan en la misma dirección y contactan en el mismo punto de

tensión, con lo que el endurecimiento efectivo, incluyendo el efecto del resto de superficies de endurec-

imiento, viene dado por la Ecuación (3.153). Por lo tanto, en este caso se utiliza un algoritmo clásico

de integración implícita. El procedimiento de integración completo coincide con el modelo clásico de


p

q*

CSL

trial state

Figura 9.8: Esquema del algoritmo de consolidación (en la superficie de consolidación)

Cam-Clay con algún cambio de poca relevancia. El algoritmo, para este caso, proviene de la referencia

[127], bajo la hipótesis de pequeñas deformaciones.

Sin embargo, hay una diferencia en este caso con respecto al modelo clásico. En la fase de convergencia,

hay que actualizar la posición y tamaño de las superficies de endurecimiento. Las superfcies endurecen

de modo mixto, es decir, de modo isótropo/cinemático, similar al de la superficie de consolidación. Los

nuevos radios vienen dados por

ri = ripcpc

(9.80)

donde ri es el valor de ri para la presión de preconsolidación pc y pc es la presión de consolidación actual.

Por supuesto, esta misma expresión se cumple para la superficie de consolidación n. Los tensores de

tensión ’backstress’ se calculan de forma que todas las superfices contactan en el punto de tensión. Por

lo tanto

αi = σ −M−1 : fnrirn

con fn =M :³σ − pc

2I´

(9.81)

Con este resultado se obtiene

αi =

µ1− ri

rn

¶σ +

pc2

rirnI (9.82)

Hay que destacar que las ecuaciones (9.80) y (9.82) son actualizaciones posteriores; no alteran el algoritmo

de integración local. Por otra parte, la ecuación (3.153) considera únicamente el incremento de deforma-

ción volumétrica entre los pasos n y n + 1. En este sentido, ∆εpv debe ser definido como el incremento

de una variable interna ξc, cuyo incremento tiene lugar únicamente cuando el endurecimiento cinemático

tiene lugar en la superficie de consolidación.


Esquema del algoritmo de integración

En este apartado se presenta un esquema del algoritmo de integración implícito para los casos de no-

consolidación (cuando el proceso de carga tiene lugar dentro de la superficie de consolidación) y de

consolidación (el proceso de carga tiene lugar en la superficie de consolidación)

Dados ρi, a, hi¡ρi¢∈ [1→ 0] datos del material y los valores εen, ∆ε para el paso n, deforma que

ε∗n+1 = εen +∆ε

1. Calcular el estado de prueba (’trial state’):

(a) Calcular las deformaciones de prueba ε∗n+1 = εen +∆ε = εn+1 − εpn(b) Calcular los invariantes εes∗ and εev∗ de la ecuación (3.130)

(c) Calcular la tensión de prueba a partir de las relaciones hiperelásticas: σ∗n+1 = p∗I+q

23q∗e∗

con p∗, q∗ y e∗ dados por las ecuaciones (3.133), (3.134) y (3.135) respectivamente, evaluados

a partir de los invariantes anteriores procedentes de ε∗n+1.

2. Comprobación de la relaciones de carga /descarga en el estado de prueba, tomando los valores α1n y

pcn: f∗1 =12

¡σ∗ −α1n

¢:M :

¡σ∗ −α1n

¢− 12r21 donde ri = ri (pc/pc) y (·) es un estado de referencia.

(a) IF f∗1 ≤ 0, el paso es elástico: la solución final es la solución de prueba y termina el proced-imiento iterativo.

(b) ELSE (f1 > 0), el paso es plástico: Paso 3.

3. Cálculo del nuevo valor de tensión σn+1 a partir de εen+1 → εev, εes, p, q, e → σn+1

¡εen+1

¢4. Cálculo de la presión de consolidación pc como pc = p+

q2

pM2. IF pc > pcn caso de consolidación,

ELSE, caso de no-consolidación (carga dentro de la superficie de consolidación)

5. Flujo plástico: nn+1=ε∗n+1−εen+1, parámetro de consistencia ∆γ = knn+1k yc(·) := (·) / k(·)k defineζ como un multiplicador de retorno a la superficie de plastificación, ζ =

r1npnn+1 :M−1 : nn+1

6. Para cada superficie i

(a) Endurecimiento efectivo en la superficie: H¡ρi, pn+1c , nn+1

¢(b) Contribución al endurecimiento de la superficie i: Hi =

"1

H¡ρi, pn+1c , nn+1

¢ − i−1Pj=1

1

Hi

#−1

(c) Calcular αin+1 = σ − ρi

ρ1M−1 : (ζnn+1) y ∆γi =

¿1

Hi

¡αin+1 − αi

n+1

¢: nn+1

À

7. Calcular ∆γ =nPi=1∆γi

8. Calcular residuo

(a) Caso de consolidación : n0=M :

³σn+1 −

pcn+12I

´y n

0=

n0

kn0k =⇒ Residuo r = ∆γn−∆γn0 ,

donde ∆γn = ε∗n+1 − εen+1


(-p),kPa

q,kPa

A

B

q=-Mp

q=-0.6p

-90

30

60

Figura 9.9: Condiciones iniciales. Puntos de tensión iniciales A y B en el plano p− q

(b) Caso de no-consolidación¡α1n+1 = α1n+1

¢• Calcular t = σ −α1n+1• Tensor de tensiones imagen: σ = pc

2I+

1

ρ1t

• Dirección de traslación m = σ − σ and m1 = α1n+1 −α1n+1• Residuo: r = ∆γm−∆γm1

9. Actualizar la solución εe(j+1)n+1 = εe(j)n+1 −

"∂r(i)

∂εe(j)n+1

#−1r(j)n+1 y volver al paso 3 hasta convergencia

10. Para cada superfcie que cumpla ∆γi > 0, actualizar αin+1 = σ +

¡αin+1 − σ

¢µpcn+1pcn

¶Los detalles del cálculo del módulo tangente local se recogen en la referencia [192]. La extensión del

modelo a grandes deformaciones se puede llevar a cabo utilizando el algoritmo de la referencia [36].

9.2.2 Ejemplos numéricos

En este apartado, se verifica el comportamiento del modelo de superficies múltiples basado en la plastici-

dad de Cam-Clay en pequeñas deformaciones bajo distintas hipótesis y condiciones de carga. Para ello,

se realizan distintas simulaciones en un punto de integración y se verfican los resultados obtenidos. Los

parámetros de material utilizados en las simulaciones se han extraído de la referencia [127]. Se define una

carga monotónica controlada por deformación.

Se han definido dos condiciones iniciales, ver figura 9.9La condición inicial A corresponde con un suelo

consolidado para una presión de preconsolidación p0 = pc0 = −90 kPa en el eje hidrostático; la condicióninicial B se corresponde con un suelo consolidado con un estado tensional inicial dado por p0 = −90 kPa,


-90 -85 -80 -75 -70 -65 -60 -55 -500

10

20

30

40

50

60

Pressure p (kPa)

Sh

ear

stre

ss q

(kP

a)

-1 -0.8 -0.6 -0.4 -0.2 0 0.2 0.4 0.6 0.8 1-90

-85

-80

-75

-70

-65

-60

-55

-50

Volumetric strainv

ε

Pre

ssu

re p

(kP

a)

0 0.005 0.015 0.025 0.035 0.0450

10

20

30

40

50

60

Shear strains

ε

Sh

ear

stre

ss q

(kP

a)ICL Monotonic = 0Dev Des= 0.05

200 steps50 steps10 steps

( a ) ( b )

( c )

ICL Monotonic = 0Dev Des= 0.05


ICL Monotonic = 0Dev Des= 0.05


Figura 9.10: Análisis de convergencia para el estado inicial A bajo las cargas proporcionales ∆ v = 0.00y ∆ v = 0.05

q0 = 54 kPa y la presión de consolidación inicial pc0 = −119.4 kPa. La condición B presenta un ratio de

tensiones η =

¯q

p

¯= 0.6.

Los resultados de los distintas simulaciones se presentan a continuación. Las figuras 9.10 y 9.11

representa resultados del análisis de convergencia para el estado inicial A con los valores de deformación

∆ v = 0.00 y ∆ s = 0.05 para el primer análisis y ∆ v = −0.05 y ∆ s = 0.05 en el segundo análisis,

respectivamente, para distintos números de pasos de carga aplicados en incrementos proporcionales. Las

figuras 9.12 y 9.13 representan los resultados del análisis de convergencia para el estado inicial B con los

valores de deformación ∆ v = 0.00 y ∆ s = 0.05 para el primer análisis y ∆ v = −0.05 y ∆ s = 0.05 en

el segundo análisis, respectivamente. Los análisis de convergencia resultantes reproducen los obtenidos

en la referencia [127].


-110 -105 -100 -95 -90 -85 -80 -750

10

20

30

40

50

60

70

Pressure p (kPa)

Sh

ear

stre

ss q

(kP

a)

-0.05 -0.04 -0.03 -0.02 -0.01 0-110

-105

-100

-95

-90

-85

-80

-75

Pre

ssu

re p

(kP

a)

0 0.005 0.015 0.025 0.035 0.0450

10

20

30

40

50

60

70

Sh

ear

stre

ss q

(kP

a)

( a )( b )

( c )

Shear strains

ε

ICL Monotonic = -0.05Dev Des= 0.05


Volumetric strainv

ε





Figura 9.11: Análisis de convergencia para el estado inicial A bajo las cargas proporcionales ∆ v = −0.05y ∆ v = 0.05


-90 -85 -80 -75 -70 -65 -6052

54

56

58

60

62

64

66

68

70

Pressure p (kPa)

Sh

ear

stre

ss q

(kP

a)

-90

-85

-80

-75

-70

-65

-60

Pre

ssu

re p

(kP

a)

0 0.005 0.015 0.025 0.035 0.04552

54

56

58

60

62

64

66

68

70

Sh

ear

stre

ss q

(kP

a)

( )a

( c )

( b )

Shear strains

ε

h = 0.6 = 0.Dev Des= 0.05



h = 0.6 = 0.Dev Des= 0.05

-0.8 -0.6 -0.4 -0.2 0 0.2 0.4 0.6 0.8

Volumetric strainv

ε

h = 0.6 = 0.Dev Des= 0.05


Figura 9.12: Análisis de convergencia para el estado inicial B bajo las cargas proporcionales ∆ v = 0.00y ∆ v = 0.05


-150 -140 -130 -120 -110 -100 -9050

55

60

65

70

75

80

85

Pressure p (kPa)

Sh

ear

stre

ss q

(kP

a)

-0.05 -0.04 -0.03 -0.02 -0.01 0-150

-140

-130

-120

-110

-100

-90

Pre

ssu

re p

(kP

a)

200 steps

0 0.01 0.02 0.03 0.04 0.0550

55

60

65

70

75

80

85

Sh

ear

stre

ss q

(kP

a)

( a ) ( b )

( c )

h = 0.6 = -0.05Dev Des= 0.05 h = 0.6 = -0.05Dev Des= 0.05

Shear strains

ε Volumetric strainv

ε

200 steps

200 steps

h = 0.6 = -0.05Dev Des= 0.05

Figura 9.13: Análisis de convergencia para el estado inicial B bajo las cargas proporcionales ∆ v = −0.05y ∆ v = 0.05


9.3 Obtención de las curvas de Hill a partir de puntos experi-

mentales

El ajuste de los puntos experimentales de los ensayos de anisotropía plástica se realiza mediante la función

de plastificación anisótropa de Hill [24], que en el caso de tensión plana, el criterio se reduce a

(G+H)σ2x − 2Hσxσy + (H + F )σ2y + 2Lτ2xy = 1 (9.83)

donde F,G,H y L son parámetros del material que caracterizan el estado de anisotropía y σ el tensor

de tensiones. Bajo un ensayo uniaxial en el plano de la chapa con un ángulo α respecto de la dirección

de laminado, la tensión de fluencia en la dirección α se puede obtener mediante una rotación del tensor

de tensiones σ en el sistema de referencia X = (x, y, z) (dirección del ensayo uniaxial) hacia un sistema

X0 = (x0, y0, z0) en la dirección α, de la forma

[σ]X0 = [RX→X0 ] [σ]X [RX0→X] (9.84)

donde R es una matriz ortogonal de cambio de base. Expandiendo la expresión, nos queda

[σ]X0 =

"cosα sinα

− sinα cosα

#"σ 0

0 0

#X

"cosα − sinαsinα cosα

#=

"σ cos2 α −σ cosα sinα

−σ cosα sinα σ sin2 α

#X0

(9.85)

Sutituyendo en la expresión (9.83) y redefiniendo los parámetros anisótropos como f = Fσ20, g =

Gσ20, h = Hσ20 y l = Lσ20, siendo σ0 la tensión de fluencia en la dirección de lamindado, nos queda

(f − g) sin2 α+ (g + h) + (2l − f − g − 4h) sin2 α cos2 α = σ20σ2α

(9.86)

Si particularizamos la expresión anterior en las direcciones de 0o, 90o y 45o, se obtienen las siguientes

relaciones

g + h = 1 (9.87)

f + g =

µσ0σ90

¶2f + g + 2l = 4

µσ0σ45

¶2Para estimar los parámetros de anisotropía f, g, h y l, se lleva a cabo una regresión lineal múltiple a partir

de los valores de tensión en las distintas direcciones respecto de la dirección de laminadoµσ20σ2α

¶y los

valores que adoptan las funciones senoidales con respecto a la dirección α¡sin2 α y sin2 α cos2 α

¢, de la

forma

y = β0 + β1x1 + β2x2 (9.88)

siendo y la variable respuesta, que corresponde con el cocienteσ20σ2α

y x1, ..., xk las variables explicativas,

que en este caso coinciden con las funciones cuadráticas senoidales. Los parámetros β0, β1 y β2 son los

9.4. CÁLCULO DE LOS TENSORES SM Y SM 261

0

5

10

15

20

25

30

35

0 20 40 60 80 100 120 140 160 180 200

orientación (grados)

Tens

ión

fluen

cia

(kgf

/mm

2)

0%EXP0% CAL3%EXP3%CAL6%EXP6%CAL

Figura 9.14: Evolución de la tensión de fluencia con la dirección respecto de la dirección de laminado parael estado de partida y posteriormente pretensados al 3% y 6% de deformación plástica. Datos extraídosde la referencia [41]

estimadores mínimo cuadráticos de los parámetros de anisotropía (g + h) , (f − g) y (2l − f − g − 4h)respectivamente. Como se puede apreciar, sólo se dispone de tres estimadores para los cuatro parámetros

de anisotropía, con lo cual el cuarto parámetro es linealmente dependiente del resto y se puede determinar

de forma arbitraria. Una vez conocidos los parámetros βi, se puede construir la curva ajustada, de forma

análoga a como se presenta en la figura 9.14.

9.4 Cálculo de los tensores SM y SM

En este apéndice se presenta el cálculo de los tensores SM y SM , que es necesario en la implementacióndel algoritmo de elastoplasticidad anisótropa en grandes deformaciones, cuando no se cumple SM ≈ I.Dicha hipótesis se cumplía para el caso de tener deformaciones elásticas moderadas y anisotropía elástica

moderada. Por lo tanto

SM :=1

2

³Ce ·3ME

D +Ce ·4ME

D

´=

3Xi=1

(Mi ⊗Mi) +3X

i=1

Xj 6=i

λe 2j + λe 2i

λe 2j − λe 2i

¡lnλej − lnλei

¢Mi ¯sMj


Se define

gij = gji :=λe 2j + λe 2i

λe 2j − λe 2i

¡lnλej − lnλei

¢(9.89)

siendo λk los alargamientos unitarios definidos de la forma

λei = 1 + εei

λej = 1 + εej

y

gij,i :=2λei

¡λe 2j + λe 2i

¢¡λe 2j − λe 2i

¢2 ¡lnλej − lnλei

¢+

2λeiλe 2j − λe 2i

¡lnλej − lnλei

¢−

λe 2j + λe 2i

λe 2j − λe 2i

1

λei(9.90)

gij,j :=2λej

¡λe 2j + λe 2i

¢¡λe 2j − λe 2i

¢2 ¡lnλei − lnλej

¢+

2λej

λe 2i − λe 2j

¡lnλei − lnλej

¢−

λe 2j + λe 2i

λe 2i − λe 2j

1

λej(9.91)

Por otro lado, el tensor

Mi ¯sMj :=1

4(Ni ⊗Nj +Nj ⊗Ni)⊗ (Ni ⊗Nj +Nj ⊗Ni) ≡Mj ¯sMi (9.92)

tiene simetrías mayores y menores y, por lo tanto, la derivada

·Mi ¯sMj =

1

4(ΩikNk ⊗Nj +ΩikNj ⊗Nk +ΩjkNi ⊗Nk +ΩjkNk ⊗Ni)⊗ (Ni ⊗Nj +Nj ⊗Ni) +

+1

4(Ni ⊗Nj +Nj ⊗Ni)⊗ (ΩikNk ⊗Nj +ΩikNj ⊗Nk +ΩjkNi ⊗Nk +ΩjkNk ⊗Ni)

también conserva las simetrías. Sabiendo que

3Xi=1

Xj 6=i

Xk 6=i

gijΩjkNi ⊗Nk =3Xi=1

Xj 6=i

Xk 6=i

gijΩikNj ⊗Nk (9.93)

se puede calcular la derivada SM como

SM =3Xi=1

Xj 6=i

³gij,iλ

e

iMi ¯sMj + gij,j λe

jMj ¯sMi

´+

3Xi=1

Xj 6=i

gij·

Mi ¯sMj (9.94)

= 23Xi=1

Xj 6=i

gij,iλe

iMi ¯sMj + 23Xi=1

Xj 6=i

Xk 6=i

gijΩjk (Nj ⊗sNk)⊗s (Ni ⊗sNj)

= 23Xi=1

Xj 6=i

gij,iλe

iMi ¯sMj + 23Xi=1

Xj 6=i

Xk 6=i

gikΩij (Nj ⊗sNk)⊗s (Ni ⊗sNk)

donde

Ni ⊗sNj :=1

2(Ni ⊗Nj +Nj ⊗Ni) (9.95)

9.5. DETERMINACIÓN DE LOS PARÁMETROS DE MATERIAL 263

Por otro lado, el tensor de deformaciones logarítmico Ee se escribe, en su forma espectral, como

Ee =3Xi=1

λeiNi ⊗Nj (9.96)

y la derivada

Ee =3Xi=1

λe

i

λeiNi ⊗Ni +

3Xi=1

Xj 6=i

¡lnλej − lnλei

¢ΩijNi ⊗sNj (9.97)

Por lo tanto, el tensor de sexto orden S que relaciona SM y Ee se define como

S =∂SM

∂Ee= 2

3Xi=1

Xj 6=i

gij,iλeiMi ¯sMj ⊗Ni ⊗Ni + 2

3Xi=1

Xj 6=i

Xk 6=i

giklnλej − lnλei

Nikkj ⊗Ni ⊗sNj (9.98)

donde

Nikkj := (Nj ⊗sNk)⊗s (Ni ⊗sNk) (9.99)

y puede comprobarse que

Ni ⊗sNj : Nk ⊗Nk =Nk ⊗Nk : Ni ⊗sNj = δikδjk = 0, si i 6= j (9.100)

El tensor S tiene simetrías mayores y menores en los cuatro primeros índices y simetría menor en los dosúltimos índices.

9.5 Determinación de los parámetros de material de las simula-

ciones

En este apéndice se presenta el procedimiento seguido para determinar las propiedades mecánicas nece-

sarias (propiedades elásticas, propiedades plásticas y parámetros de endurecimiento) para realizar las

simulaciones numéricas del Capítulo 7. Los parámetros del material iniciales se han extraído de las

Referencias [130] y [134].

9.5.1 Isotropía Elastoplástica : Ensayo de tracción de una barra cilíndrica

En la referencia [130] se prescriben unos parámetros de material necesarios para modelar el ensayo de trac-

ción de una barra cilíndrica, bajo la hipótesis de isotropía elastoplástica. Estos parámetros se presentan

en la tabla 9.1.

Por otra parte, los parámetros que hay introducir en los modelos numéricos son: E (módulo de Young),

y ν (coeficiente de Poisson). Los parámetros plástico y de endurecimiento coinciden con los requeridos

en los modelos numéricos. Para calcular E y ν, se utilizan las siguientes relaciones

E =9Kμ

3K + μy ν =

3K − 2μ2 (3K + μ)

(9.101)

Finalmente, los parámetros utilizados en las simulaciones se presenta en la siguiente tabla 9.2.



Módulo de Elasticidad K = 164, 206 GPaCoeficiente de Poisson μ = 80, 1938 GPaTensión de plastificación σy = K0 = 0.45 GPaTensión de plastificación infinita K∞ = 0.715 GPaMódulo de endurecimiento H = 0.12924 GPaParámetro de saturación δ = 16.93

Tabla 9.1: Parámetros del material


Módulo de Elasticidad E = 206, 9 GPaCoeficiente de Poisson ν = 0.29Tensión de plastificación σy = K0 = 0.45 GPaTensión de plastificación infinita K∞ = 0.715 GPaMódulo de endurecimiento H = 0.12924 GPaParámetro de saturación δ = 16.93

Tabla 9.2: Parámetros del material de la simulación de una barra cilíndrica sometida a tracción

9.5.2 Isotropía Elástica y Anisotropía Plástica: Estampado de una placa cir-cular delgada

En la referencia [134] se prescriben unas propiedades elásticas y plásticas necesarias para modelar el

proceso de estampado de una placa circular delgada, bajo las hipótesis de isotropía elástica y anisotropía

plástica.

Las propiedades elásticas prescritas son

K = 164.20 GPa y μ = 80.19 GPa (9.102)

Nuevamente hay que transformar estas propiedades elásticas a sus equivalentes E y ν, de la forma

E =9Kμ

3K + μ= 206, 9 GPa (9.103)

ν =3K − 2μ2 (3K + μ)

= 0.29

Por otra parte, se han considerado dos casos distintos de anisotropía plástica. En el caso A se han

prescrito los parámetros

α1 = α2 = 1, α3 = α4 = α5 = 4, γ1 = 0 (9.104)

donde dominan los términos de tensión tangencial del criterio de plastificación y el caso B

α1 = α2 = 1, α3 = α4 = α5 = 0.25, γ1 = 0 (9.105)

donde dominan los términos de tensión normal. La función de plastificación de Hill utilizada en esta


referencia se ha definido de la siguiente forma

f =

∙µ1

2α2 −

1

6α1

¶(S11 − S22)

2 +1

3(α1 + γ1) (S22 − S33)

2 +1

3(α1 − γ1) (S33 − S11)

2 (9.106)

+2α3S212 + 2α4S

223 + 2α5S

231

¤ 12 − σy

donde Sij son las componentes cartesianas del tensor de tensiones y σy es la tensión de fluencia. La

función de fluencia de Hill utilizada en los modelos numéricos, se ha definido en el Capítulo 5, de la forma

f ≡ 12σ : N : σ − 1

3σ2y = 0 (9.107)

donde N es el tensor de anisotropía de cuarto orden que, de forma matricial, usando la representación deVoigt y expresado en el sistema de representación principal, puede escribirse como

[N]Xpr=

⎡⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎣

N1 +N2 −N1 −N2 0 0 0

−N1 N1 +N3 −N3 0 0 0

−N2 −N3 N2 +N3 0 0 0

0 0 0 Nxy 0 0

0 0 0 0 Nyz 0

0 0 0 0 0 Nzx

⎤⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎦Xpr

(9.108)

donde

N1 =23Hσ2y, N2 =

23Gσ

2y, ..., Nzx =

23Mσ2y (9.109)

Por lo tanto, hay que obtener los parámetros de Hill H,F,G,L,M,N a partir de los parámetros αi y γ1,

definidos en la ecuación (9.106). Las equivalencias entre ambas formulaciones se presentan a continuación

1

2α2 −

1

6α1 = Hσ2y (9.110)

1

3(α1 + γ1) = Fσ2y

1

3(α1 − γ1) = Gσ2y

α4 =Lσ2y2

α5 =Mσ2y2

α6 =Nσ2y2

dando como resultados los parámetros de Hill adimensionalizados para el caso A

h = f = g =1

3(9.111)

l = m = n = 8


Membrana de Cook. Propiedades MaterialN

mm2

α1 α2 α3 α4 α5 α6 α7 α8 α920.5848 12.1153 12.1153 6.5497 6.5497 6.5497 3.4000 5.5172 3.4000


y para el caso B

h = f = g =1

3(9.112)

l = m = n =1

2

En ambos casos, la tensión de fluencia es σy = 0.45 GPa y se prescribe un endurecimiento isótropo lineal,

cuyo módulo es H = 0.1 GPa.

9.5.3 Anisotropía Elástica: El problema de la membrana de Cook

Los parámetros de material para este problema se han obtenido de la Referencia [130]. La dirección

principal de anisotropía queda definida por el vector

a1 = [1, 1, 1]T 1√

3(9.113)

y las propiedades elásticas anisótropas están reflejadas en la tabla 9.3.

Estos parámetros son las componentes del tensor de anisotropía elástica de cuarto orden, definido en

la referencia [130] como

Ae =

⎡⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎣

α1 α4 α6 0 0 0

α4 α2 α5 0 0 0

α6 α5 α3 0 0 0

0 0 0 12α7 0 0

0 0 0 0 12α8 0

0 0 0 0 0 12α9

⎤⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎦(9.114)

Los parámetros de anisotropía elástica utilizados en los modelos numéricos se pueden obtener fácilmente

de ensayos experimentales convencionales: E1, E2, E3, los módulos de Young, νij , los coeficientes de

Poisson y G23,G31,G12, los módulos a cortante en los planos formados por las direcciones principales

23, 31 y 12 respectivamente, definiendo la inversa del tensor de anisotropía elástica de cuarto orden como

Ae−1 =

⎡⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎣

1E1

−ν21E2

−ν13E3

0 0 0

−ν12E3

1E2

−ν13E3

0 0 0

−ν13E3

−ν13E3

1E3

0 0 0

0 0 0 1G23

0 0

0 0 0 0 1G31

0

0 0 0 0 0 1G12

⎤⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎦(9.115)


Membrana de CookPropiedades del materialMódulo de Elasticidad en dirección 1 E1 = 16 MPaMódulo de Elasticidad en dirección 2 E2 = 8 MPaMódulo de Elasticidad en dirección 3 E3 = 8 MPaCoeficiente de Poisson en dirección 12 ν12 = 0.35Coeficiente de Poisson en dirección 23 ν23 = 0.45Coeficiente de Poisson en dirección 13 ν13 = 0.45Módulo de Cortante en dirección 12 G12 = 1.7 MPaMódulo de Cortante en dirección 23 G23 = 2.76 MPaMódulo de Cortante en dirección 13 G13 = 1.7 MPa

Tabla 9.4: Propiedades del Material

Anisotropía elástica. Propiedades Material (GPa)k μ1 μ2 μ3 μ4 μ5 β3 β4

58.33 35.90 26.92 40.39 40.39 40.39 0.0 0.0


Por lo tanto, las propiedades del material utilizadas en la simulaciones se recogen en la tabla 9.4.

9.5.4 Anisotropía Elastoplástica: Placa rectangular con agujero sometida atracción

Los parámetros del material necesarios para caracterizar los estados de anisotropía elástica y plástica se

han obtenido de la Referencia [134]. Las propiedades de anisotropía elástica se definen a continuación

En la Referencia [134], se ha definido una función de energía almacenada Ψ de la forma

Ψ = Ψ³E(m),U

´+ U (J) (9.116)

donde U (J) es la parte volumétrica de la función de energía definida en este caso como

U (J) =1

2k (lnJ)

2 (9.117)

y Ψ¡E(m),U

¢es la parte desviadora de la función de energía almacenada. Esta función de energía

desviadora se define como

Ψ =1

2

³E(m) −Ep

´: Dm :

³E(m) −Ep

´(9.118)

donde Dm es el tensor de anisotropía desviador. Por otra parte, se define

S(m) =∂Ψ

∂E(m)(9.119)

que el tensor de tensiones desviador. El módulo elasto-plástico tangente desviador se calcula como

Dm =∂2Ψ

∂E(m)∂E(m)(9.120)


y se puede expresar en función de las contantes elásticas de la Tabla anterior como

Dm = 3μ1A1 ⊗A1 + μ2A2 ⊗A2 + μ2A2 ⊗A2 + μ3A3 ⊗A3 + μ4A4 ⊗A4 + (9.121)

+μ5A5 ⊗A5 + β3 (A1 ⊗ I+ I⊗A1) + β4 (A2 ⊗ I+ I⊗A2)

donde A1, A2, A3, A4 y A5 se definen como

A1 = N3 ⊗N3 −1

3I (9.122)

A2 = N1 ⊗N1 −N2 ⊗N2

A3 = N1 ⊗N2 +N2 ⊗N1

A4 = N2 ⊗N3 +N3 ⊗N2

A5 = N3 ⊗N1 +N1 ⊗N1

y N1, N2, N3 son vectores ortogonales. Por lo tanto, el tensor de anisotropía elástica de cuarto orden se

puede escribir de la forma

[Ce]X = kI⊗ I+£Dm¤X

(9.123)

donde el tensor de constantes elásticas anisótropo de cuarto orden de calcula como

[Ae]X =£Ce−1

¤X

(9.124)

Los parámetros de anisotropía elástica utilizados en los modelos numéricos son: E1, E2, E3, los

módulos de Young, νij , los coeficientes de Poisson y G23,G31,G12, los módulos a cortante en los planos

formados por las direcciones principales 23, 31 y 12 respectivamente, definidos como

[Ae]N =

⎡⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎣

1E1

−ν21E2

−ν13E3

0 0 0

−ν12E3

1E2

−ν13E3

0 0 0

−ν13E3

−ν13E3

1E3

0 0 0

0 0 0 1G23

0 0

0 0 0 0 1G31

0

0 0 0 0 0 1G12

⎤⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎦N

(9.125)

Por lo tanto, la equivalencia entre los parámetros de anisotropía elástica quedan reflejados en la tabla

9.6.

Por otra parte, se han definido los siguientes parámetros de anisotropía plástica

α1 = 0.01, α2 = α3 = α4 = α5 = 1.0, γ1 = 0 (9.126)


Placa con agujeroPropiedades del material elásticasMódulo de Elasticidad en dirección 1 E1 = 86.85 GPaMódulo de Elasticidad en dirección 2 E2 = 69.58 GPaMódulo de Elasticidad en dirección 3 E3 = 93.75 GPaCoeficiente de Poisson en dirección 12 ν12 = 0.3918Coeficiente de Poisson en dirección 23 ν23 = 0.3248Coeficiente de Poisson en dirección 13 ν13 = 0.057Módulo de Cortante en dirección 12 G12 = 40.39 GPaMódulo de Cortante en dirección 23 G23 = 40.39 GPaMódulo de Cortante en dirección 13 G13 = 40.39 GPa

Tabla 9.6: Propiedades del Material

dando lugar a los parámetros de Hill adimensionales

h = Hσ2y = 0.747 (9.127)

f = Fσ2y = 4.95× 10−3

g = Gσ2y = 4.95× 10−3

l = m = n = 0.75

y con una tensión de plastificación σy = 0.42 GPa. En este caso se asume que no existe endurecimiento.

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