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Ing. Gastón Bonet - Ing. Cristian Bottero - Ing. Marco Fontana

Estructuras de Materiales Compuestos

Mecánica de Laminados - Ejercicios

Ejercicio 1

2

Estructuras de Materiales Compuestos – Mecánica de laminados: Ejercicios

• Calcule las tensiones y deformaciones de las láminas que componen un laminado crossply [0/90]s sometido a un esfuerzo axil Nx=100KN/m.

Curso 2012 – Facultad de Ingeniería - UNLP

1

2

12

12

160

8

4.5

0.3

E GPa

E GPa

G GPa

Espesor de lámina individual t = 0.2mm

Nx

Nx

Ejercicio 1

3


Utilizando los datos, podemos calcular el segundo coeficiente de Poisson utilizando la relación:

Y podemos calcular la matriz Q de la lámina en su sistema principal (especialmente ortótropa)


2

21 12

1

0.015E

E

1 12 2

12 21 12 21

12 2 2

12 21 12 21

12

01 1

160.72 2.41 0

0 2.41 8.04 01 1

0 0 4.50 0

E E

E EQ GPa

G

Ejercicio 1

4


El siguiente paso es calcular las matrices Q correspondiente a todas las orientaciones presentes en el laminado. En este caso solamente hay láminas 0° y 90°


1 4

160.72 2.41 0

2.41 8.04 0

0 0 4.5

Q Q Q GPa

1 1

2 3

8.04 2.41 0

90 90 2.41 160.72 0

0 0 4.5

Q Q T Q R T R GPa

Ejercicio 1

5


Para calcular como se distribuyen los esfuerzos dentro del laminado, procedemos a calcular la rigidez del laminado a través de las matrices A, B y D.


0N A B

M B D

1

1

n

k k kk

A h h Q

2 2

1

1 2

nk k

kk

h hB Q

3 3

1

1 3

nk k

kk

h hD Q

Ejercicio 1

6


Como el laminado es simétrico, la matriz B será nula. Esto implica que el esfuerzo axil aplicado no producirá curvaturas del plano medio del laminado

Las deformaciones del plano medio y las curvaturas del plano medio están desacoplados


00

0

N A

M D

0N A

M D

Ejercicio 1

7


Al no haber momentos aplicados, las curvaturas del plano medio resultan nulas

Con la matriz A podemos determinar las deformaciones del plano medio.


0

0

0

x xx xy xs x

y xy yy ys y

xy xs ys ss xy

M D D D

M D D D

M D D D

0

0

0

x

y

xy

0

0

0

x xx xy xs x

y xy yy ys y

xy xs ys ss xy

N A A A

N A A A

N A A A

Ejercicio 1

8


La matriz A se calcula a partir de la siguiente suma:

Como el espesor de todas las láminas es igual


4

1 2 3 41 2 3 41

k kk

A t Q t Q t Q t Q t Q

4

1 2 3 4 1 21

2k kk

A t Q t Q Q Q Q t Q Q

160.72 2.41 0 8.04 2.41 0

2*0.0002 2.41 8.04 0 2.41 160.72 0

0 0 4.5 0 0 4.5

67.5 1.93 0

1.93 67.5 0 .

0 0 3.6

A m GPa GPa

A MPa m

Ejercicio 1

9


Teniendo en cuenta que el estado de carga es uniaxial

Explícitamente


0

0

0

100 67.5 1.93 0

0 0 / 1.93 67.5 0 .

0 0 0 0 3.6

x x

y

xy

N

KN m MPa m

6 0 6 0

6 0 6 0

6 0

100000 67.5*10 1.93*10

0 1.93*10 67.5*10

0 3.6*10

x y

x y

xy

0

0

0

0.00148

0.000042

0

x

y

xy

Ejercicio 1

10


Las deformaciones de todo el laminado están determinadas por las deformaciones y curvaturas del plano medio


0

0

0

x

y

xy

0

0

0

0.00148

0.000042

0

x

y

xy

0

0

0

, , , ,

, , , ,

, , , ,

x x x

y y y

xy xy xy

x y z x y zk x y

x y z x y zk x y

x y z x y zk x y

Ejercicio 1

11


En ausencia de curvaturas, las deformaciones de todas las láminas son iguales

Con estas deformaciones podemos obtener las tensiones de cada lámina


, , 0.00148

, , 0.000042

, , 0

x

y

xy

x y z

x y z

x y z

k k

kQ

Ejercicio 1

12


Podemos calcular las tensiones de cada lámina, pero las deformaciones de todas las láminas son iguales, y la matriz Q de las láminas 1 y 4 son iguales

Las matrices de rigidez de las láminas 2 y 3 son idénticas


1 4 1

1

160.72 2.41 0 0.00148 237

2.41 8.04 0 0.000042 3

0 0 4.5 0 0

Q GPa MPa

2 3 2

2

8.04 2.41 0 0.00148 12

2.41 160.72 0 0.000042 3

0 0 4.5 0 0

Q GPa MPa

Ejercicio 1

13


Podemos graficar las tensiones presentes en el laminado


Z

XNx Nx

237MPa

237MPa 237MPa

237MPa

12MPa

12MPa 12MPa

12MPa

Z

Y

3MPa

3MPa

3MPa

3MPa

-3MPa

-3MPa

-3MPa

-3MPa

Ejercicio 1

14


Las tensiones en los ejes materiales de cada lámina se calculan rotando las tensiones calculadas anteriormente


1 4 1

1 0 0 237 237

' ' (0) 0 1 0 3 3

0 0 1 0 0

T MPa

2 3 2

0 1 0 12 3

' ' (90) 1 0 0 3 12

0 0 1 0 0

T MPa

Ejercicio 1

15


Las tensiones principales de cada lámina se muestran en la siguiente figura


1 y 41

2 1

2

X

Y

237MPa

3MPa -3MPa

12MPa

2 y 3

Ejercicio 2

16


• Calcule las tensiones y deformaciones de las láminas que componen un laminado [0/+45/-45]s sometido a un momento Mx=50Nm/m.


1

2

12

12

160

8

4.5

0.3

E GPa

E GPa

G GPa

Espesor de lámina individual t = 0.2mm

Mx

Mx

Ejercicio 2

17


Utilizando los datos, podemos calcular el segundo coeficiente de Poisson utilizando la relación:

Y podemos calcular la matriz Q de la lámina en su sistema principal (especialmente ortótropa)


2

21 12

1

0.015E

E

1 12 2

12 21 12 21

12 2 2

12 21 12 21

12

01 1

160.72 2.41 0

0 2.41 8.04 01 1

0 0 4.50 0

E E

E EQ GPa

G

Ejercicio 2

18


El siguiente paso es calcular las matrices Q correspondiente a todas las orientaciones presentes en el laminado.


1 1

2 5

47.9 38.9 38.2

45 45 38.9 47.9 38.2

38.2 38.2 41

Q Q T Q R T R GPa

1 6

160.72 2.41 0

2.41 8.04 0

0 0 4.5

Q Q Q GPa

1 1

3 4

47.9 38.9 38.2

45 45 38.9 47.9 38.2

38.2 38.2 41

Q Q T Q R T R GPa

Ejercicio 2

19


Para calcular como se distribuyen los esfuerzos dentro del laminado, procedemos a calcular la rigidez del laminado a través de las matrices A, B y D.


0N A B

M B D

1

1

n

k k kk

A h h Q

2 2

1

1 2

nk k

kk

h hB Q

3 3

1

1 3

nk k

kk

h hD Q

Ejercicio 2

20


Como el laminado es simétrico, la matriz B será nula. Esto implica que el esfuerzo axil aplicado no producirá curvaturas del plano medio del laminado

Las deformaciones del plano medio y las curvaturas del plano medio están desacoplados


00

0

N A

M D

0N A

M D

Ejercicio 2

21


Las curvaturas del plano medio estarán dadas por la matriz D y los momento aplicados

En ausencia de esfuerzos axiles o de corte, las deformaciones normales y distorsión del plano medio serán nulas


50

0

0

x xx xy xs x

y xy yy ys y

xy xs ys ss xy

M D D D

M D D D

M D D D

0

0

0

0

0

0

x

y

xy

0

0

0

0

0

0

x xx xy xs x

y xy yy ys y

xy xs ys ss xy

N A A A

N A A A

N A A A

Ejercicio 2

22


La matriz D se calcula a partir de la siguiente suma:

Las coordenadas hk serán


3 3 3 3 3 3 3 3 3 3 3 33 34

1 1 0 3 2 4 3 5 4 6 52 1

1 2 3 4 5 61 3 3 3 3 3 3 3

k k

kk

h h h h h h h h h h h hh hD Q Q Q Q Q Q Q

K Z Z [m]

0 -3t -0.0006 N/A

1 -2t -0.0004 5.06e-11

2 -t -0.0002 1.87e-11

3 0 0 2.67e-12

4 t 0.0002 2.67e-12

5 2t 0.0004 1.87e-11

6 3t 0.0006 5.06e-11

Z

t

h0

Ejercicio 2

23


Teniendo en cuenta que el estado de carga es uniaxial

Explícitamente


3

50 18.3 1.9 1.2

0 0 / 1.9 2.9 1.2 .

0 0 1.2 1.2 2.2

x x

y

xy

M

Nm m Pa m

50 18.3 1.9 1.2

0 1.9 2.9 1.2

0 1.2 1.2 2.2

x y xy

x y xy

x y xy

2.951

1.64

0.72

x

y

xy

m

Ejercicio 2

24


Las deformaciones de todo el laminado estan determinadas por las deformaciones y curvaturas del plano medio:


0

0

0

, , , ,

, , , ,

, , , ,

x x x

y y y

xy xy xy

x y z x y zk x y

x y z x y zk x y

x y z x y zk x y

0

0

0

0

0

0

x

y

xy

2.951

1.64

0.72

x

y

xy

m

Ejercicio 2

25


Debemos calcular las deformaciones de las láminas:

Con estas deformaciones podemos obtener las tensiones de cada lámina


k k

kQ

, , 2.95

, , 1.64

, , 0.72

x

y

xy

x y z z

x y z z

x y z z

Ejercicio 2

26


Las tensiones dentro de cada lámina varían linealmente en el espesor. Para la lámina 1, podemos calcular las tensiones dentro de la lámina:

El dominio de la lámina está acotado por h0 y h1, por lo cual la ecuación anterior solo es válida en:


Ejercicio 2

27


Para la lámina 2



2

47.9 38.9 38.2 2.95 501

38.9 47.9 38.2 1.64 8.7

38.2 38.2 41 0.72 20.5

0.0004 0.0002

z zGPa

GPa z zm m

z z

z

Ejercicio 2

28


Para la lámina 3



3

47.9 38.9 38.2 2.95 1051

38.9 47.9 38.2 1.64 63.7

38.2 38.2 41 0.72 79.6

0.0002 0

z zGPa

GPa z zm m

z z

z

Ejercicio 2

29


Para la lámina 4



4

47.9 38.9 38.2 2.95 1051

38.9 47.9 38.2 1.64 63.7

38.2 38.2 41 0.72 79.6

0 0.0002

z zGPa

GPa z zm m

z z

z

Ejercicio 2

30


Para la lámina 5



5

47.9 38.9 38.2 2.95 501

38.9 47.9 38.2 1.64 8.7

38.2 38.2 41 0.72 20.5

0.0002 0.0004

z zGPa

GPa z zm m

z z

z

Ejercicio 2

31


Para la lámina 6



6

160.72 2.41 0 2.95 470.21

2.41 8.04 0 1.64 6.076

0 0 4.5 0.72 3.24

0.0004 0.0006

z zGPa

GPa z zm m

z z

z

Ejercicio 2

32



Deformación normal X

-0.0008

-0.0006

-0.0004

-0.0002

0

0.0002

0.0004

0.0006

0.0008

-0.002 -0.0015 -0.001 -0.0005 0 0.0005 0.001 0.0015 0.002

z [

m]

Ejercicio 2

33



Deformación normal Y

-0.0008

-0.0006

-0.0004

-0.0002

0

0.0002

0.0004

0.0006

0.0008

-0.0015 -0.001 -0.0005 0 0.0005 0.001 0.0015

z [

m]

Ejercicio 2

34



Distorsión ingenieril XY

-0.0008

-0.0006

-0.0004

-0.0002

0

0.0002

0.0004

0.0006

0.0008

-0.0005 -0.0004 -0.0003 -0.0002 -0.0001 0 0.0001 0.0002 0.0003 0.0004 0.0005

z [

m]

Ejercicio 2

35



Tensión normal X

-0.0008

-0.0006

-0.0004

-0.0002

0

0.0002

0.0004

0.0006

0.0008

-0.4 -0.3 -0.2 -0.1 0 0.1 0.2 0.3 0.4

[GPa]

Z [

m]

Ejercicio 2

36



Tensión normal Y

-0.0008

-0.0006

-0.0004

-0.0002

0

0.0002

0.0004

0.0006

0.0008

-0.015 -0.01 -0.005 0 0.005 0.01 0.015

[GPa]

z [

m]

Ejercicio 2

37



Tensión de Corte XY

-0.0008

-0.0006

-0.0004

-0.0002

0

0.0002

0.0004

0.0006

0.0008

-0.02 -0.015 -0.01 -0.005 0 0.005 0.01 0.015 0.02

[GPa]

z [

m]

Ejercicio 2

38


Para analizar la resistencia del laminado tendremos que evaluar las tensiones de cada lámina en su propio sistema de ejes principales materiales (diferente para cada lámina).

Si bien se muestran en una misma gráfica en las próximas filminas, se debe recordar que las tensiones de las diferentes láminas corresponden a diferentes sistemas coordenados. Por ejemplo: la dirección 1 de la lámina 2 es +45 y la dirección 1 de la lámina 3 es -45 con respecto al eje x del laminado.


2 2

1

2 2

2

2 2

6

2

2

kk

x

y

xyk

m n mn

n m mn

mn mn m n

Ejercicio 2

39



Tensión normal 1

-0.0008

-0.0006

-0.0004

-0.0002

0

0.0002

0.0004

0.0006

0.0008

-0.4 -0.3 -0.2 -0.1 0 0.1 0.2 0.3 0.4

[GPa]

Z [

m]

Ejercicio 2

40



Tensión normal 2

-0.0008

-0.0006

-0.0004

-0.0002

0

0.0002

0.0004

0.0006

0.0008

-0.025 -0.02 -0.015 -0.01 -0.005 0 0.005 0.01 0.015 0.02 0.025

[GPa]

z [

m]

Ejercicio 2

41



Tensión de Corte 12

-0.0008

-0.0006

-0.0004

-0.0002

0

0.0002

0.0004

0.0006

0.0008

-0.03 -0.02 -0.01 0 0.01 0.02 0.03

[GPa]

z [

m]

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