MATEMATICAS 1 ACTIVIDAD N6 VILETA, Erico

Estructura Algebraica Una Estructura Algebraica es un objeto matemtico consistente en un conjunto no vaco y una relacin ley de composicin interna definida en l. En algunos casos ms complicados puede definirse ms de una ley de composicin interna y tambin leyes de composicin externa. Grupo Sea el par (A, ), donde A es un conjunto no vaco dotado de una ley de composicin interna binaria : (A, ) es un grupo se define sobre A una estructura de grupo s:

a) Es asociativa. Es decir a , b , c : a, b, c A a b c a b c b) Posee elemento neutro en A. Es decir e A / a , si a A

a e e a a c) Todo elemento de A es invertible en A respecto de .

Es decir a A , a A / a a a a e

Grupo Abeliano Grupo conmutativo es cuando adems de ser un grupo,

d) Es conmutativa. Es decir a , b : a, b A a b b a Si G = (A, ) es un grupo, se dice que es un grupo finito si el conjunto A es finito y su cardinal se llama orden del grupo. Ejemplos

1) El par ( Z , ) donde Z es el conjunto de los nmeros enteros y es una operacin definida como a b = a + b + 3 forma un grupo abeliano. Comprobacin:

es una ley de composicin interna en Z pues si a y b Z , a + b + 3 Z

es asociativa pues

a b c = (a + b +3) c = a + b +3 + c +3 = a + b + c + 6

y a b c = a (b + c + 3) = a + b + c + 3 + 3 = a + b + c + 6

tiene elemento neutro e = 3 , pues a A , a e = a entonces a + e +3 = a e = 3 y e a = a entonces e + a + 3 = a e = 3

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tiene inverso a , a / a a e , en nuestro caso

a a = 3 a a 3 = 3 luego a = a 6 es inverso a derecha a a 3 a a 3 = 3 luego a = a 6 es inverso a izquierda

es conmutativa pues a b = a + b + 3 = b + a + 3 = b a Otros ejemplos: 1) ( Z , + ) ; ( Q , + ) ; ( R , + ) y ( C , + ) Son grupos abelianos . Tambin se llaman grupos aditivos debido a la operacin aditiva.

2) (N , + ) No es grupo. No tiene neutro ni inverso de cada elemento.

3) (N0 , + ) No es grupo. Tiene neutro, el 0 , pero no tiene inverso aditivo.

4) (Q , ) No es grupo, el 0 no tiene inverso multiplicativo.

5) (R , ) No es grupo, el 0 no tiene inverso multiplicativo.

6) (Q { 0 } , ) y ( R { 0 } , ) Son grupos.

Subgrupo

Un subconjunto no vaco B, del conjunto A es un subgrupo de (A , ) si y solo s ( B , ) es un grupo. Por ejemplo, ( Z , + ) es un subgrupo de ( Q , + ). Si en estas estructuras se introduce una nueva ley de composicin interna con ciertas restricciones, se obtienen ternas ordenadas del tipo (A , , ) que tambin son estructuras algebraicas.

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Morfismo u Homomorfismo Una aplicacin de conjuntos f: A B se dir que es un morfismo de la estructura (A , ) en la estructura (B , ) o simplemente un morfismo de A en B si se cumple que:

x ,y A ; f(x y) = f(x) f(y)

Ejemplo: Sean las estructuras ( R , + ) y ( R + , ) con las operaciones + y usuales. La aplicacin f : R R + definida por f(x) = 2 x es un morfismo de estas estructuras ya que cumple que: f (x + y) = 2 x + y = 2 x 2 y = f (x) f (y) Fuente: www.ing.unrc.edu.ar/publicaciones/doc_de.../estructuras_algebraicas.doc

www.mat.ucm.es/~arrondo/estructuras.pdf