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La estructura de los números

Gregorio Morales Ordóñez

Números primos para autodidactas adolescentes

Dirección del proyecto: Adolfo SillónizDiseño de cubiertas: Dirección de Arte Corporativa de SMAutor: Gregorio Morales

© Real Sociedad Matemática Española y SMRevisión científica: Fernando Barbero y Luis CorbatoEditor General de la Real Sociedad Matemática Española: Joaquín PérezResponsable de la Real Sociedad Matemática Española de la colección: Luis Hernández Corbato

Comisión de la Real Sociedad Matemática Española:Luis Hernández Corbato (ICMAT, Madrid)Miguel Domínguez Vázquez (ICMAT, Madrid)Javier Fresán Leal (ETH, Zúrich)María Moreno Warleta (IES Alameda de Osuna, Madrid)María Pe Pereira (ICMAT, Universidad Complutense de Madrid)Óscar Rivero Salgado (Universitat Politècnica de Catalunya)Juanjo Rué Perna (Universitat Politècnica de Catalunya)Blanca Souto Rubio (Colegio Ágora, Madrid)

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ISBN: 978-84-139-2163-1 Depósito legal: M-4692-2021

Impreso en España / Printed in Spain

Cualquier forma de reproducción, distribución, comunicación pública o transformación de esta obra solo puede ser realizada con la autorización de sus titulares, salvo excepción prevista por la ley. Si necesita fotocopiar o escanear algún fragmento de esta obra, diríjase a CEDRO (Centro Español de Derechos Re-

prográficos, www.cedro.org).

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Índice

Prólogo . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 7

Agradecimientos. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 9

Prefacio . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 11

Parte I: 3 Problemas y curiosidades 15Capítulo 1. Operaciones básicas con SageMath. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 17

Capítulo 2. La estructura multiplicativa de los números. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23

Capítulo 3. Indiana Jones en busca del rectángulo maldito . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25

Capítulo 4. Pasatiempos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27

Capítulo 5. La criba de Eratóstenes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31

Capítulo 6. Cuadrados multiplicativos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 33

Capítulo 7. ¿Qué forma tienen las tablas de multiplicar? . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 35

Capítulo 8. La factorización en números primos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 39

Capítulo 9. Criterios de divisibilidad . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 45

Capítulo 10. Grafos de divisibilidad . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 51

Capítulo 11. Más factorización . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 57

Capítulo 12. El triángulo de Pascal . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 59

Capítulo 13. La letra del DNI . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 65

Capítulo 14. Cuadrados mágicos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 67

Capítulo 15. El azar de los divisores . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 73

Capítulo 16. El factorial de un número . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 75

Capítulo 17. Algunos problemas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 77

Capítulo 18. La criba parabólica . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 81

Capítulo 19. ¿Cómo saber si un número es primo? . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 85

Capítulo 20. ¿Cuántos números primos hay? . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 89

Capítulo 21. ¿En qué cifra acaban los números primos? . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 91

Capítulo 22. La función que cuenta primos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 93

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Capítulo 23. El primo más grande . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 97

Capítulo 24. Primos de Fermat . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 103

Capítulo 25. El sistema de numeración primario de Alan Bustany . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 107

Capítulo 26. Repitunos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 109

Capítulo 27. La espiral de Sacks . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 111

Capítulo 28. Los divisores de un número . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 115

Capítulo 29. Proporcionalidad inversa . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 123

Capítulo 30. El máximo común divisor . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 125

Capítulo 31. El algoritmo de Euclides . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 129

Capítulo 32. Los diagramas de Hasse . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 133

Capítulo 33. Primos en progresión aritmética . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 135

Capítulo 34. ¿Cuánto suman los divisores de un número? . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 137

Capítulo 35. Números perfectos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 141

Capítulo 36. Números amigos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 145

Capítulo 37. Primos gemelos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 147

Capítulo 38. Conjeturas ciertas, falsas y abiertas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 149

Capítulo 39. Divisores pares e impares. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 157

Capítulo 40. Los múltiplos de un número . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 159

Capítulo 41. Problemas de múltiplos y divisores . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 167

Capítulo 42. Matemagia . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 171

Capítulo 43. La funciónφ de Euler . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 173

Capítulo 44. Cadenas de texto en SageMath . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 177

Capítulo 45. Cómo mantener un secreto . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 179

Capítulo 46. Análisis de frecuencias y cómo evitarlos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 185

Capítulo 47. Encriptación RSA . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 191

Conclusión . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 197

Parte II: � Pistas 199

Parte III: ­ Ideas y soluciones 209

Parte IV: � Bibliografía 273

Parte V: ² Índice alfabético 279

Sobre el autor . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 285

6 La estructura de los números

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Prólogo

Olvida, desde ya, cualquier idea preconcebida sobre las matemáticas. No importa si cuando estu-diabas las odiabas o te gustaban. De verdad, yo las he amado siempre y conocer a Gregorio me hizoapreciarlas a otro nivel. Recuerdo a la perfección el momento en el que el destino nos hizo coinci-dir. Esperaba nervioso en uno de los pasillos de la Universidad de Alicante para una entrevista paraProfesor Asociado de Geometría en el Grado de Magisterio. Repasaba, nervioso, en mi cabeza cadacosa que me pudieran preguntar. Hasta que apareció él.

– Hola, soy Gregorio Morales, ¿tú también estás esperando para la entrevista?

Estupendo, me dije. Ya llegó la competencia. Y como si me conociera de toda la vida comenzóa hablarme sobre su visión de las matemáticas. Hablaba con tanta pasión y emoción de ellas queenseguida me hizo olvidar los nervios que tenía. Unos escasos minutos me bastaron para decir-me: “tienen que seleccionarlo, no pueden dejar escapar a un profesor como él”. Por si os lo estáispreguntando, ambos fuimos seleccionados y, aunque en ese instante no lo pude predecir, desde en-tonces Gregorio se convertiría para mí en alguien muy importante, a nivel personal y profesional.Un año después de aquella entrevistame trasladaron al IESMaría Blasco donde, en esemomento, éltrabajaba como profesor de secundaria y bachillerato. Durante aquel curso, aprovechábamos cadahueco de nuestro horario para compartir clases y, afortunadamente, pude disfrutar de esa esenciaque desprende y que ha sabido plasmar en este libro. Nadie, en su sano juicio, habría desaprove-chado la oportunidad que tuve de entrar a sus clases, compartir proyectos, ideas y genialidades. Esde entender que no me haya podido negar a escribir estas palabras, pese a la responsabilidad queimplica.

Posiblemente, Gregorio termine odiándome por contar estas cosas, pero no puedo evitarlo.Compartir tiempo con él es siempre inspirador y divertido. Nunca pierde la oportunidad de atra-parte con una anécdota o un problemamatemático (de los de verdad, de los interesantes) y cuandocrees que no puede sorprenderte más, descubres que es un genio de la papiro�exia (cuyas técnicasha trasladado incluso a telas), que diseña juegos de mesa y estrategia, que es un referente en mate-máticas manipulativas, un experto en LATEX, un perfeccionista de la ortografía o que siente pasiónpor los puzles del tipo Rubik1. Paramí no es sólo unmatemático, es un artista, un Da Vinci del sigloXXI.

1Lo de los cubos de Rubik creo que se le ha ido de las manos. Deberíais ver su colección de puzles (cúbicos, tetraédri-cos, rombododecaédricos,...). Hasta se ha creado su propia guía de resolución en LATEX (cómo no) y un canal en Youtube(Gregorio Puzzles) donde analiza y explica diferentes tipos de juegos de ingenio.

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Aquel año que compartimos centro fue para mí un auténtico regalo, una de las mejores ex-periencias profesionales de mi vida. ¿Por qué?, os preguntaréis. Pues porque Gregorio no es unprofesor de matemáticas al uso. Para nada. Quien alguna vez lo ha escuchado hablar de matemá-ticas sabe perfectamente a lo que me re�ero. Es capaz de atraparte con sutileza y sumergirte en labelleza de las matemáticas, para incitarte a querer saber más. Y no penséis que digo esto por estarescribiendo el prólogo de su primer libro. Es un teorema universal. Estoy convencido de que suvisión sobre la educaciónmatemática está in�uyendo en quemuchos/as jóvenes quieran dedicarseen un futuro a la ciencia y las matemáticas. Es de los escasos profesores que muestra con sus cla-ses la verdadera labor y el día a día de un matemático/a. En nuestra profesión no nos dedicamosa realizar cálculos o reproducir procedimientos descontextualizados hasta el in�nito. Nos dedica-mos a pensar. Se trata de tejer, con el hilo de la lógica y la aguja del ingenio, un entramado de ideasque conecten y permitan descubrir o construir verdades absolutas. En eso consiste hacer matemá-ticas, y así es como Gregorio las transmite. He podido apreciar de primera mano cómo impregnade curiosidad cada una de sus clases. Cómo mima cada detalle y, lo que es más importante, cómopermite al alumnado dedicar tiempo para pensar, razonar, compartir y unir ideas alrededor de lasmatemáticas.

Ahora bien, no solo hace esto con el objetivo de que aprendas. Cada actividad que inventa tie-ne ese sello suyo (único) que la hace especial, un sello que podréis encontrar en cada uno de loscapítulos de este libro y que te acerca a las matemáticas de manera inolvidable. Sus propuestassiempre están cuidadas para guiarte con brillante sencillez hacia un propósito. Es capaz de crearexpectativas llevándote de la mano a lo largo del problema, indagando en los primeros pasos has-ta que siente que logras mantener el equilibrio; entonces, te suelta para que tú mismo seas capazde alcanzar el éxito. Guía cada paso para que acabes en ese éxtasis intelectual que tanto amamosquienes hacemos matemáticas, esa explosión de satisfacción que abre tus ojos, tu mente e impri-me de inmediato un aprendizaje inolvidable en tu cerebro. Y por eso a sus problemas los llamocariñosamente problemas “removedores”.

No es de extrañar que, a día de hoy, (después de cambiarse de centro hace unos años) encuentrealumnos y alumnas en el IESMaría Blasco quemeparan ymepreguntanpor él.Habría sido un errordel destino no llegar a conocerlo. Habría sido un error que solo su alumnado (donde me incluyo)tengamos el privilegio de entender el alcance de las matemáticas. Y por ello me alegra tanto quese haya decidido a escribir este libro, porque con él está regalando al mundo un pedacito de supasión, su conocimiento y esa preciosa forma de transmitir las matemáticas que te hará verlas yentenderlas como nunca antes lo habías hecho.

Pedro Antonio Martínez Ortiz (@maths4everything)Doctor en Matemática Aplicada

Profesor de Matemáticas en el IES María Blasco (Sant Vicent del Raspeig)Profesor Asociado del Dpto. de Innovación y Formación Didáctica de la Universidad de Alicante

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Agradecimientos

Este libro es fruto, en primer lugar, de una pasión por aprender que más tarde cristalizó en unapasión por enseñar. El gusto por aprender me fue inculcado desde muy pequeño por mis padres.Es a ellos a quien más quiero agradecerles todo lo que me han dado.

También quiero agradecer a José Ignacio Úbeda esos años de instituto, de universidad, y másallá, todas esas discusiones sobrematemáticas, sobre educación, y sobre tantas y tantas cosas. Erescomo un hermano para mí.

Por supuesto, otro agradecimiento para Pedro Martínez, por todas esas charlas en la cafeteríay por dejarme entrar en sus clases para aprender tanto de él.

Desde luego, este libro no existiría si no fuera por todos los alumnos que han disfrutado tantocomo yo en mis laboratorios de matemáticas. He aprendido mucho con vosotros. No puedo nom-braros a todos, pero no quiero perder la ocasión de dar las gracias a Raquel Reyes, Carlos Rodríguez,Raquel Gil, Ezequiel García, Iván Álvarez, Irene Torrado, Luis Gomis, YaizaMena, Alberto Navalón,Rocío Ondoño, Pepe Cuesta y Cristina Minguet por todas las horas que hemos pasado juntos.

No sería el profesor que soy sin la formación docente que recibí de Salvador Caballero, PacoArévalo y José Antonio Mora. Gracias por todo lo que me enseñasteis a lo largo de esos años deformación y por la amistad que mantenemos desde entonces.

También quiero dar las gracias a Pedro Cerdán, por meterme el gusanillo de la teoría de núme-ros y las ecuaciones diofánticas, un hueco que me dejó la carrera y rellené gracias a él.

Muchísimas gracias también a quienes sufrieron las versiones preliminares del libro, aportandonuevos enfoques y puntos de vista y proponiendo muy buenas ideas. Gracias, José Ignacio Úbeda,Luis Moreno, Pedro Martínez y David Sánchez.

Los responsables de que este libro tenga la forma �nal que tiene son el personal de la Real So-ciedadMatemática Española y la editorial SM queme han ayudado con correcciones y sugerencias.Sin duda, es gracias a sus correcciones matemáticas, y de estilo, que lo que yo quería contar en estelibro se entienda tan bien. Si algún pasaje no se entiende del todo es, también sin duda, culpa mía.

Por último, gracias a Maria Josep por todas las horas que ha aguantado que yo estuviera de-lante del ordenador escribiendo actividades, rehaciendo párrafos una y otra vez, y maquetando elproducto �nal. De no ser por este libro habría podido pasar más tiempo contigo. Gracias.

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Prefacio

Los números naturales, los que usamos para contar, son fascinantes. Aunque los aprendemos conuno o dos años, nunca dejamos de encontrar nuevas propiedades de ellos. De bien pequeños des-cubrimos la propiedad conmutativa de la suma; es decir, que 3+5 da lomismo que 5+3. Dentro delos números naturales, aprendemos algunas familias de números, como los pares y los impares; ydescubrimos algunas cosas muy interesantes, como que la suma de dos números pares es siemprepar y si sumamos un número par con otro impar siempre obtenemos un número impar. Aunqueahora nos parezca de lo más trivial, es algo asombroso.

Pero hay una familia de números que ha fascinado a la humanidad desde tiempos inmemoria-les, nos sigue fascinando cuando los aprendemos en el colegio y aún hoy fascina a losmatemáticos.Estoy hablando de los números primos.

Los números primos están rodeados de un aura de misterio. Buscamos patrones en su distri-bución pese a que parece bastante aleatoria. Y cuando se descubre un número primo muy muygrande, ¡hasta sale en las noticias!

Alrededor del siglo III antes de nuestra era, Euclides demostró que hay una cantidad in�nita denúmeros primos y dedujo el teorema fundamental de la aritmética: que cualquier número se pue-de poner demanera única como producto de números primos. En los siglos XVII y XVIII de nuestraera, grandes personalidades como Pierre de Fermat, Leonhard Euler, Carl Friedrich Gauss y SophieGermain hicieron grandísimos avances en la investigación de las propiedades de los números pri-mos. En 1976, Whit�eld Di�e y Martin Hellman crearon un protocolo de claves que permite a dospersonas comunicarse de manera secreta (codi�cada) a través de un canal abierto (no seguro) sinestablecer de antemano ningún secreto (como por ejemplo, las claves para descodi�car la infor-mación). El protocolo se basa, cómo no, en los números primos. Di�e y Hellman recibieron elprestigioso premio A.M. Turing 2015 de la Association for Computer Machinery por este trabajoque “revolucionó la seguridad informática”. En 1979, Ronald Rivest, Adi Shamir y Leonard Adlemandesarrollaron el sistema de encriptación RSA, que es el más usado hoy en día para codi�car infor-mación y para �rmar digitalmente. La seguridad de este sistema se basa en lo difícil que es (demomento) factorizar números muy grandes.

Como ves, los números primos son un tema muy actual. Si me acompañas en este viaje a tra-vés de las actividades y curiosidades históricas que te propondré descubrirás qué son los númerosprimos y por qué es tan misteriosa la estructura de los números. Estoy seguro de que entoncescompartirás esta fascinación. ¿Te vienes?

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¿A quién va dirigido este libro?Si has leído el título del libro (si no, ya tardas), habrás visto que está dirigido a autodidactas ado-lescentes. Para autodidactas porque este libro te hará trabajar por tu cuenta para ir descubriendo,poco a poco, los recovecos laberínticos que nos ofrecen los números primos. Y para adolescentesporque el punto de partida son los conocimientos que una persona tiene al acabar su educaciónprimaria. El libro recorre todo el currículo de la educación secundaria (de 12 a 16 años) de manerapaulatina, profundizando en algunos temas que, por cuestión de tiempo, no es posible dar en lasclases de matemáticas utilizando un lenguaje apropiado para estas edades.

Sin embargo, no está dirigido únicamente a adolescentes. Si te intrigan las matemáticas y, enparticular, los números primos, el material que encontrarás aquí te parecerá apasionante y te acer-cará al mundo actual de la investigación matemática y de la encriptación en internet.

Por último, este libro puede resultar muy útil para profesores de enseñanza secundaria quequieran utilizar una metodología por descubrimiento. Del material que aquí presento se pueden ex-traer secuencias didácticas para que los estudiantes descubran por ellos mismos los números pri-mos, sus propiedades y cómo usarlos para resolver problemas (algunos sencillos, y otros más com-plicados). He usado esta metodología durante años enmis clases y, por un lado, ver la emoción quesienten los alumnos cuando hacen sus propios descubrimientos no tiene precio y, por otro, cuandodejas que los alumnos hagan sus investigaciones siguiendo sus propios caminos se aprende mu-chísimo de sus aportaciones. Este libro está lleno de los descubrimientos de mis alumnos (esperohaberlos citados a todos y no dejarme ninguno).

Sea como sea, espero que disfrutes trabajando las actividades de este libro y leyendo las curio-sidades históricas que aquí se encuentran.

¿Cómo se lee este libro?Bueno, de momento lo que queda claro es que este libro no se lee de un tirón. Es imprescindibleleerlo pausadamente, con lápiz y papel a mano, con tiempo para pensar en las actividades y resol-verlas razonadamente. Algunas son lúdicas, otras son rutinarias, en otras le tienes que dar vueltasal coco, en otras deberás usar la calculadora o el ordenador; las hay de muchos tipos. Pero es im-prescindible hacer todas las que se plantean.

Si alguna actividad se te resiste, puedes encontrar pistas en la segunda parte del libro, quecomienza en la página 199 (las actividades con pista estánmarcadas con un icono especial). Cuandola hayas resuelto puedes comprobar la solución en la tercera parte del libro, a partir de la página209, que contiene las soluciones a todas las actividades. Si alguna vez te rindes del todo (no le digasa nadie que esto te lo he dicho yo) puedesmirar la solución para entender cómo se hace y que eso teayude con las siguientes. Pero aunque la hayas resuelto, te recomiendo encarecidamente mirar laspistas y la solución que propongo, porque casi siempre cuento estrategias y técnicas de resoluciónimprescindibles para avanzar en el libro.

Aparte de una libretita de trabajo donde hacer tus pruebas y anotar tus soluciones, te recomien-do tener otra para apuntar las técnicas y fórmulas que vayas descubriendo, ya que posiblemente teharán falta más adelante.

También enmuchas actividades te enseñaré cómo usar el programa SageMath, que es un siste-ma algebraico computacional muy potente con el que podrás ver si tus soluciones son correctas yhacer pruebas rápidas para crear hipótesis y comprobarlas. Puedes descargarlo en sagemath.org,pero te recomiendo ir a sagecell.sagemath.org, donde podrás usar el programa on-line desde elordenador o el móvil cómodamente sin tener que descargar nada.

12 La estructura de los números

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Iconos en las actividadesLas actividades están marcadas con unos iconos que identi�can de qué tipo son; algunas tienen,incluso, más de uno. Son los siguientes:

LEstas actividades son de Práctica, bien de algo que se supone que ya deberías saberantes de leer este libro, o bien de algo que acabas de aprender aquí. En cualquier caso,te toca coger lápiz y papel y ponerte a trabajar. Al �n y al cabo, es con la práctica comose llega a interiorizar lo aprendido.

�Para estas actividades, si no te salen, te puedo dar una Pista. Me podrías enviar unwasap, pero como sería un engorro te he escrito las pistas en la segunda parte dellibro.

rPara estas actividades necesitarásMaterial manipulativo, ya sean cubitos, dados, piezasde Lego, etc. En cada actividad se especi�ca el material necesario, que normalmentetendrás por casa.

ΣEn estas actividades se usa el Lenguaje algebraico, ese en el que se usan letras paradesignar números que desconocemos. Puede que no estés muy acostumbrado a usarel lenguaje matemático y estas actividades te cuesten al principio. Poco a poco, te irácostando menos.

­Estas actividades ocultan Ideas, gemas preciosas escondidas, ideas importantes aun-que la actividad te parezca sencilla. Al hacerlas tienes que tener los ojos (y la mente)bien alerta a la búsqueda de esas interesantes ideas escondidas. En las pistas y en lassoluciones las encontrarás si no has dado con ellas por tu cuenta.

3 Estas actividades son un poco Difíciles y seguramente necesitarás meditarlas un poco,probar estrategias e ideas hasta que descubras la solución.

§ Para estas actividades necesitarás un Ordenador o el móvil. En la mayoría de los casostambién una conexión a internet.

- Si no quieres escribir en el libro, podrás Descargar las actividades marcadas con esteicono de la página web de la Real Sociedad Matemática Española, en www.rsme.es

Prefacio 13

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Parte I3 Problemas y curiosidades

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Capítulo 1Operaciones básicas con SageMath

A lo largo de este libro haremos muchas operaciones, con números grandes y con números pe-queños. Te recomiendo que las hagas siempre a mano, para darte cuenta de las cosas que pasany por qué pasan. Sin embargo, para comprobar las soluciones que obtengas aprenderemos a usarSageMath, que es una calculadora y muchísimomás. En otras actividades te pediré explícitamenteque uses SageMath para investigar el comportamiento de algunos númerosmuy grandes y estudiarsus propiedades. En este primer capítulo te explicaré las operaciones básicas que puedes hacer y alo largo del libro te iré enseñando, poco a poco, nuevas instrucciones que le puedes dar a SageMath.Abre en tu navegador sagecell.sagemath.org y repite las operaciones que te doy a continuación.

En primer lugar tenemos la suma:

1 34+12

Y cuando le damos al botón de Evaluate nos devuelve el resultado:

1 46

También tenemos la multiplicación, que se pone con un asterisco:

1 34*10

1 340

¿Recuerdas el orden de las operaciones? Haz la siguiente actividad.

Actividad 1 §

Sin usar la calculadora ni SageMath, calcula 2+5×3. Ahora prueba a hacerlo en SageMath.¿Te da el mismo resultado?

También puedes calcular potencias en SageMath, usando el acento circun�ejo ^ así:

1 2^3

1 8

Si te resulta más cómodo, puedes hacer lo mismo usando dos asteriscos:

1 2**3

1 8

1 Operaciones básicas con SageMath 17

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También puedes asignar valores a una variable utilizando el signo =. Es algo muy útil que usa-remos muchas veces:

1 a=5

2 b=7

3 2*a+b+1

1 18

Puedes asignar un valor a la misma variable varias veces, aunque así se remplazan totalmentelos valores anteriores:

1 a=5

2 a=7

3 a=12

4 a

1 12

Fíjate en que al preguntar por el valor de a el programa nos devuelve 12, que es el valor que enese momento tenía la variable a. Observa ahora el siguiente programa:

1 a=5

2 b=7

3 a=b

4 print(a+b)

Actividad 2

¿Qué resultado crees que dará SageMath?

Podemos comparar dos expresiones para ver si son iguales utilizando un doble signo igual ==.

1 a=5

2 b=7

3 a==b

1 False

Otro ejemplo:

1 a=5

2 a**2-10==15

1 True

En el primer caso SageMath nos devuelve False porque es falso que a sea igual a b con losvalores que en ese momento tienen a y b. En el segundo caso nos devuelve True porque es ciertoque a2 − 10 = 15 dado que a vale 5.

Y ya que estamos, también podemos hacer otras comparaciones:

1 a=5

2 b=7

3 a*b<a+42

1 True

18 La estructura de los números

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También puedes usar paréntesis a tu gusto:

1 (1+2*(7-3))*2+5*(7+3*2^3)

1 173

Como ves, Sage es muy útil como calculadora y, desde luego, admite muchos más dígitos quetu calculadora de bolsillo. Vamos a probar con una operación con números muy bestias:

1 2^96*3^170

Que nos da la friolera de:

1 10220988180805059179754331902310691066672451424260477336743011642592202663987

2 7045748666565719823092405464203264

En cuanto a las divisiones, SageMath nos ofrece diversas opciones, todas muy interesantes. Enprimer lugar tenemos la división normal y corriente:

1 a=48/6

2 a

1 8

Pero fíjate en lo que ocurre con la siguiente división:

1 a=271/7

2 a

1 271/7

Nos da como resultado una fracción. Podemos hacer lo siguiente para que nos dé el resultadonuméricamente expresado en decimales:

1 a=271/7

2 a.n()

1 38.7142857142857

Podemos indicar incluso la cantidad de cifras que queremos:

1 a=271/7

2 a.n(digits=20)

1 38.714285714285714286

Aunque en realidad en este libro nos interesarán mucho más las divisiones sin decimales, lasde toda la vida, como esta:

4 7 1 6 592 1 4

1 63

1

Con la doble barra // le indicamos a SageMath que queremos saber el cociente de la división:

1 4716//5

1 943

1 Operaciones básicas con SageMath 19

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Y con el “porciento” % indicamos que lo que queremos saber es el resto de la división:

1 4716 %5

1 1

Actividad 3 §

Utilizando SageMath, comprueba cuántos caramelos sobran si reparto 23 456 caramelosentre 17 personas.

Actividad 4 §

Resuelve el siguiente problema utilizando SageMath:

En el pueblo de Villa-rápido se celebra la famosa carrera FastVille en un circuito circularde 67km. Si en la carrera los coches deben recorrer 2 481 km, ¿cuántas vueltas recorren?,¿dónde se debe colocar la línea de meta?

Otras cosas muy interesante que podemos hacer con SageMath son listas. Las listas se introdu-cen entre corchetes [] y si quieres puedes ponerles un nombre utilizando una variable:

1 miLista=[1,7,8,2,14,16]

Hay varias cosas que puedes hacer con una lista. Por ejemplo, preguntar por el número queocupa la posición 3:

1 miLista=[1,7,8,2,14,16]

2 miLista[3]

1 2

¡Qué curioso! Nos ha devuelto el valor 2. Esto es así porque para SageMath el primer valor estáen la posición 0, el segundo en la posición 1 y así sucesivamente. Por eso, al decirle miLista[3]nos ha devuelto el cuarto elemento de la lista. Parece un lío, pero al �nal te acostumbras.

También puedes hacer una sublista diciéndole a SageMath dónde empieza y dónde acaba:

1 miLista=[1,7,8,2,14,16,4,9,1,16]

2 miLista[4:7]

1 [14,16,4,9]

También puedes “sumar” dos listas usando el signo+:

1 A=[5,3,8]

2 B=[7,5,1,4]

3 A+B

1 [5,3,8,7,5,1,4]

¡Pero no las ha sumado!, las ha puesto una detrás de otra. Fíjate en que, curiosamente, con estasuma no se cumple que A+ B = B+ A. ¿Se podrá también multiplicar una lista por 4?

1 A=[5,3,8]

2 A*4

1 [5,3,8,5,3,8,5,3,8,5,3,8]

20 La estructura de los números

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Pues sí, y se comporta como esperaba (ya que la suma consiste en añadir una lista detrás de laotra, A ∗ 4 = A+ A+ A+ A).

Hay algunas funciones que te devuelven una lista. Por ejemplo, la función range(n) produceuna lista con los n primeros números naturales:

1 range(10)

1 [0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9]

La función range() también te permite generar una lista de números enteros sucesivos queempiece por un número en particular:

1 range(7,20)

1 [7, 8, 9, 10, 11, 12, 13, 14, 15, 16, 17, 18, 19]

1 range(-3,10)

1 [-3, -2, -1, 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9]

Puedes calcular la suma de todos los elementos de una lista usando la función sum():

1 sum(range(10))

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Y también puedes averiguar la longitud de una lista con la función len(), que viene del ingléslength y signi�ca longitud:

1 miLista = [8, 90, 38, 2, 120]

2 len(miLista)

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Puedes, por ejemplo, preguntar cuántas veces aparece un elemento en una lista con count:

1 miLista = [1, 8, 1, 1, 12]

2 miLista.count(1)

1 3

Pero una de las cosas más interesantes que puedes hacer es generar una lista de números quecumplan una condición algebraica. Por ejemplo, con la siguiente expresión se genera una lista conlos 10 primeros cuadrados perfectos:

1 [n^2 for n in range(10)]

1 [0, 1, 4, 9, 16, 25, 36, 49, 64, 81]

Actividad 5 § �

Utilizando SageMath, genera automáticamente la lista de los 20 primeros números impa-res.

1 Operaciones básicas con SageMath 21

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La instrucciónrandint(a,b)nos devuelve unnúmero entero aleatorio en el rangorange(a,b).

1 randint(3,12)

1 6

Amímeha dado 6, pero seguramente a ti te habrá salido otro número. Y cada vez que lo pruebeste dará uno distinto... o no. Lo que está claro es que si lo pruebas diez veces alguna vez repetirás,seguro.

En SageMath podemos de�nir funciones para que hagan ciertas operaciones según la entrada(también llamada input) y nos devuelvan una salida (también llamada output). Por ejemplo, imaginaque queremos de�nir una función que tome como entrada un número, y como salida nos devuelvael número siguiente al triple de ese número, a la que llamaremos siguientetriple. Para elloponemos:

1 def siguientetriple(n):

2 return 3*n+1

Fíjate en que con el comando return indicamos que eso es lo que queremos que nos devuelva.Ahora vamos a probar nuestra función:

1 siguientetriple(21)

1 64

En SageMath se pueden de�nir funciones complicadísimas e interesantísimas, aunque en estelibro las que de�niremos serán más o menos sencillas.

Con este pequeño tutorial podrás seguir todas las actividades computacionales de este libro. Siquieres aprender más sobre SageMath puedes leer la documentación o�cial en castellano en [63] oconsultar las maravillosas actividades que se plantean, en inglés, en [67].

¡Puedes hacer un montón de cosas con SageMath!

22 La estructura de los números

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Capítulo 2La estructura multiplicativa de los números

Generar todos los números naturales posibles mediante sumas es muy sencillo, solo necesitamosel número 1 ya que cualquier número se puede poner como suma de unmontón de unos. En efecto,

17 = 1+ 1+ 1+ 1+ 1+ 1+ 1+ 1+ 1+ 1+ 1+ 1+ 1+ 1+ 1+ 1+ 1

Sin embargo, expresar un número como producto de otros números no es siempre tan sencillo.A lo largo de todo este libro vamos a estudiar la estructura multiplicativa de los números. Es decir,cómo se expresan los números como producto de otros números y lo rica y sorprendente que esesta estructura.

Ahora, desempolva las tablas de multiplicar y realiza las siguientes actividades:

Actividad 6 L

Rellena los recuadros para que las igualdades sean ciertas:

a) 54 = 9× b) 18 = 2× c) 25 = 5×

d) 45 = 5× e) 27 = 3× f) 36 = 4×

g) 70 = 10× h) 24 = 6× i) 28 = 4×

j) 21 = 3× k) 64 = 8× l) 16 = 4×

Actividad 7 L

Rellena los recuadros para que las igualdades sean ciertas:

a) 48 = 3× b) 36 = 6× c) 15 = 5×

d) 15 = 3× e) 81 = 3× f) 12 = 6×

g) 90 = 10× h) 35 = 7× i) 32 = 4×

j) 35 = 5× k) 64 = 4× l) 32 = 2×

2 La estructura multiplicativa de los números 23

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Actividad 8 L �

Rellena los recuadros para que las igualdades sean ciertas:

a) 548 = 2× b) 3835 = 5× c) 7518 = 3×

d) 950 = 10× e) 3924 = 6× f) 720 = 20×

g) 705 = 5× h) 180 = 18× i) 284 = 2×

j) 235 = 5× k) 286 = 11× l) 286 = 13×

Actividad 9 L ­

Rellena los recuadros para que las igualdades sean ciertas:

a) 2420 = 2× b) 2420 = 10× c) 2420 = 5×

d) 2420 = 11× e) 2420 = 20× f) 2420 = 22×

g) 2420 = 55× h) 2420 = 121× i) 2420 = 242×

¿Qué apartado tiene la solución más “pequeña”?

24 La estructura de los números

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Capítulo 3Indiana Jones en busca del rectángulo maldito

Indiana Jones se ha encontrado con un montón de baldosas en la entrada del Templo de Atenea ypara poder avanzar tiene que averiguar cuáles son los rectángulos malditos. Su objetivo es formarrectángulos (o cuadrados2) con las baldosas y encontrar cuáles son imposibles de construir, porqueson ¡rectángulos malditos! Por ejemplo, con 6 baldosas sí que puede formar un rectángulo:

Pero Indiana tiene que ir con mucho cuidado, porque no está permitido que su anchura sea deuna sola baldosa:

Porque si Atenea aceptara estos rectángulos, ¡todos valdrían! y no tendría gracia...

Actividad 10 r � ­

Ahora localiza 40 piezas cuadradas (pueden ser piezas de Lego, gresite de piscina, cubitosde madera, y si no encuentras nada puedes �jarte en las baldosas del suelo o el papel cua-driculado de una libreta). Ármate de paciencia y elabora una lista con los números del 2 al40 indicando si con esa cantidad de baldosas se puede formar un rectángulo (o cuadrado) ono se puede. En caso a�rmativo dibuja el rectángulo (o cuadrado), ten en cuenta que puedehaber varias soluciones distintas.

¿Qué números no permiten formar ningún rectángulo? ¿Te suenan?

2¿Crees que es necesaria esta aclaración?

3 Indiana Jones en busca del rectángulo maldito 25

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Capítulo 4Pasatiempos

Actividad 11 -

Coloca en los vértices de este hexágono regular los números 1, 2, 3, 4, 5 y 6 (sin repetirninguno) de forma que la suma de los dos números de cada lado sea un número primo.

¿Podrán colocarse los números del 2 al 7? Prueba:

4 Pasatiempos 27

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Actividad 12 -

Coloca los números del 0 al 7 en los vértices del cubo de manera que la suma de los dosnúmeros de cada arista sea un número primo.

Actividad 13 3 � -

Distribuye los números del 1 al 14 en la siguiente rueda, de forma que la suma y la resta dedos números consecutivos sea siempre un número primo.

28 La estructura de los números