TABLA DE CONTENIDO (Grado 9)

COLEGIO FRANCISCANO AGUSTIN GEMELLI

AREA MATEMATICAS

Las matemticas son el alfabeto con el cual Dios ha escrito el Universo.

Galileo GalileiESTADISTICA

GRADO NOVENO2012

Contenido6UNIDAD 1

6PROBABILIDAD I (INTRODUCCION A LA PROBABILIDAD)

7ORIGEN DE LA PROBABILIDAD

9PROBABILIDAD

11ENFOQUES DE PROBABILIDAD

13ESCALA DE LAS PROBABILIDADES

16DIAGRAMAS DE ARBOL

19PROBABILIDAD:

19EXPERIMENTO ALEATORIO:

19ESPACIO MUESTRAL:

19ELEMENTO MUESTRAL:

19ENFOQUE CLASICO:

19ENFOQUE RELATIVO:

19FRECUENCIA ABSOLUTA:

19FRECUENCIA RELATIVA:

19SUCESO IMPOSIBLE:

19SUCESO INVEROSIMIL:

19SUCESO VEROSIMIL:

19SUCESO DUDOSO:

19SUCESO CERTEZA ABSOLUTA:

19UNIDAD II

20UNIDAD 2

20PROBABILIDAD 2

20(REGLAS DE LA PROBABILIDAD)

22REGLAS DE LA PROBABILIDAD

22REGLA DE LA ADICIN

27REGLA DE LA MULTIPLICACIN

31REGLA DE LA COMPLEMENTACIN

34REGLA DEL EXPONENTE

42UNIDAD III

42UNIDAD 3

42TECNICAS DE CONTEO, COMBINACIONES Y PERMUTACIONES

43CONTEO DE RESULTADOS

43PERMUTACION

44PERMUTACIONES CON REPETICIN:

48COMBINACIONES

53VARIACIONES

55COMBINACIONES SEGN EL TRIANGULO DE PASCAL

61UNIDAD 4

61NOTACION, SUMATORIA Y PRODUCTORIA

64NOTACIN

66SUMATORIA

67PROPIEDADES DE LA SUMATORIA

71PRODUCTORIA

72PROPIEDADES DE LA PRODUCTORIA

77BIBLIOGRAFIA

PRESENTACION

Este mdulo de estadstica conserva la filosofa y la metodologa sobre las cuales se concibi y desarrollo la primera edicin de esta obra, en l se cubren los conceptos bsicos y mtodos estadsticos en forma clara y concisa, las explicaciones se han reducido al mnimo a favor de la exposicin de ejemplos concretos, pretendiendo que el estudiante tome parte activa en la clase, lo cual ayuda muchsimo en el anlisis de situaciones propuestas.

El mdulo aborda un conocimiento matemtico que desde los comienzos de la civilizacin ha existido en forma sencilla. En las estadsticas ya se utilizaban representaciones grficas y otros smbolos en pieles, rocas, palos de madera y paredes de cuevas para contar el nmero de personas, animales o ciertas cosas. Hacia el ao 3000 A.C. los babilonios usaban ya pequeas tablillas de arcilla para recopilar datos en tablas sobre la produccin agrcola y de los gneros vendidos o cambiados mediante trueque. Los egipcios analizaban los datos de la poblacin y la renta del pas mucho antes de construir las pirmides en el siglo XXXI a.C. Los libros bblicos de Nmeros y Crnicas incluyen, en algunas partes, trabajos de estadstica. El primero contiene dos censos de la poblacin de Israel y el segundo describe el bienestar material de las diversas tribus judas. En China existan registros numricos similares con anterioridad al ao 2000 A.C. Los griegos clsicos realizaban censos cuya informacin se utilizaba hacia el ao 594 A.C. para cobrar impuestos.

El Imperio romano fue el primer gobierno que recopil una gran cantidad de datos sobre la poblacin, superficie y renta de todos los territorios bajo su control. Durante la edad media slo se realizaron algunos censos exhaustivos en Europa. Los reyes carolingios Pipino el Breve y Carlomagno ordenaron hacer estudios minuciosos de las propiedades de la iglesia en los aos 758 y 762 respectivamente.

Despus de la conquista normanda de Inglaterra en 1066, el rey Guillermo I de Inglaterra encarg un censo. La informacin obtenida con este censo, llevado a cabo en 1086, se recoge en el Domesday Book. El registro de nacimientos y defunciones comenz en Inglaterra a principios del siglo XVI, y en 1662 apareci el primer estudio estadstico notable de poblacin, titulado Observations on the London Bills of Mortality (Comentarios sobre las partidas de defuncin en Londres).

En nuestros das, la estadstica se ha convertido en un mtodo efectivo para describir con exactitud los valores de los datos econmicos, polticos, sociales, psicolgicos, biolgicos y fsicos, y sirve como herramienta para relacionar y analizar dichos datos. El trabajo del experto estadstico no consiste ya slo en reunir y tabular los datos, sino sobre todo el proceso de interpretacin de esa informacin. El desarrollo de la teora de la probabilidad ha aumentado el alcance de las aplicaciones de la estadstica. Muchos conjuntos de datos se pueden aproximar, con gran exactitud, utilizando determinadas distribuciones probabilsticas; los resultados de stas se pueden utilizar para analizar datos estadsticos. La probabilidad es til para comprobar la fiabilidad de las inferencias estadsticas y para predecir el tipo y la cantidad de datos necesarios en un determinado estudio estadstico.

Comit rea de MatemticasUNIDAD IUNIDAD 1

PROBABILIDAD I (INTRODUCCION A LA PROBABILIDAD)

PROPOSITOEstablecer y generar correctamente un espacio muestral y manejar la escala de probabilidad en un experimento aleatorio.

ORIGEN DE LA PROBABILIDADL

os conceptos de azar e incertidumbre son tan viejos como la civilizacin misma. La humanidad siempre ha debido soportar la incertidumbre acerca del clima, de su abastecimiento de alimentos y de otros aspectos de su medio ambiente, y ha tenido que esforzarse por reducir esta incertidumbre y sus efectos. Incluso la idea de juego de azar tiene una larga historia. Aproximadamente por el ao 3500 a.C., los juegos de azar eran practicados con objetos de hueso, considerados como los precursores de los dados, y fueron ampliamente desarrolladas en Egipto y otros lugares. Dados cbicos con marcas virtualmente idnticas a las de los dados modernos han sido encontrados en tumbas egipcias que datan del ao 2000 A.C. Sabemos que el juego con dados ha sido popular desde esa poca y que fue parte importante en el primer desarrollo de la teora de la probabilidad.

En 1520, cuando era estudiante de la Universidad de Padua, Hiernimo Cardn escribi el libro sobre juegos de azar pero fue publicado en latn solo hasta 1663, ochenta y siete aos despus de su muerte. Aunque la historia de la probabilidad se inicia con la correspondencia entre Pascal y Fermat, este libro fue texto de referencia de estos dos genios de la matemtica ya que en l se formulan importantes ideas referentes a la probabilidad, a pesar de que es en esencia un libro de juegos de azar.

En esta obra se encuentra implcita la ley de los grandes nmeros, as como tambin en ella calcula probabilidades de obtener algunos resultados en juegos de cartas y especialmente en el denominado pker medieval. La llamada escuela probabilstica o enciclopdico temtica surge en Francia a partir del uso de la matemtica en el clculo de probabilidades como instrumento de investigacin.

Basndose en dicha correspondencia, el fsico-astrnomo-matemtico alemn Christian Huygens, maestro de Leibniz, public en 1656 el libro De ratiociniis in ludo aleae, (Razonamientos en juegos de azar), el primer libro impreso sobre probabilidad.

El clculo de probabilidades nace con Blaise Pascal (1623-1662) y Pierre de Fermat (1601-1665). Al tratar de dar soluciones a problemas relacionados con juegos de azar planteados por Antonio Gamboud, ms conocido con el ttulo nobiliario de caballero de Mer. Posteriormente muchos otros matemticos prestigiosos como Abraham De Moivre(1667-1754), Pierre Simn Laplace (1749-1827) y Carl Friedrich Gauss (1777-1855), hicieron trascendentales aportes a esta teora hasta convertirla en el principal instrumento de anlisis de los fenmenos aleatorios.

Durante los S. XIX y XX se destacaron algunos estadsticos como: EGON PEARSON, (1895 - 1980), ANDREI KOLMOGOROV, (1903 -1987), P.L CHEBYSHEV, (1821 - 1894), ANDREI MARKOV, i(1856 - 1922) y A.M LYAPUNOV (1857 -1918).

Resuelve las siguientes preguntas:

1. En que se bas el desarrollo de la primera teora de la probabilidad?

______________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________2. En qu tiempo y quienes empezaron o se iniciaron los juegos de azar?

______________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________3. Quin fue la primera persona en escribir un libro sobre juegos de azar?, En qu ao lo pblico?

______________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________4. Quin y en qu ao public el primer libro impreso sobre probabilidades? Qu titulo recibi dicha obra?

______________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________5. Segn el texto quienes pueden ser considerados como los padres de la probabilidad?______________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________6. Escriba el nombre de 3 representantes de la teora de la probabilidad en los siglos XIX y XX.

______________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________PROBABILIDADProbabilidad es el grado de incertidumbre o creencia de que algn fenmeno o suceso pueda ocurrir y la forma de determinarlo o cuantificarlo numricamente.

La probabilidad es un nmero entre 0 y 1 que permite predecir la ocurrencia de un evento o suceso dependiendo del entorno en el que se encuentre.

Por eso la formula general de una probabilidad es:

0 P(A) < 1(La probabilidad de un suceso A es mayor o igual cero, pero menor que uno).

EXPERIMENTO ALEATORIO: Es aquel en el que una misma accin da origen a resultados diferentes. Estos experimentos reciben tambin el nombre de pruebas al azar.

Diremos que un experimento es aleatorio si se verifican las siguientes condiciones:

1. Se puede repetir indefinidamente, siempre en las mismas condiciones;

2. Antes de realizarlo, no se puede predecir el resultado que se va a obtener;

3. El resultado que se obtenga, pertenece a un conjunto conocido previamente de resultados posibles. A este conjunto, de resultados posibles, lo denominaremos espacio muestral y lo denotaremos normalmente mediante la letra S. Los elementos del espacio muestral se denominan sucesos elementales.

ESPACIO MUESTRAL:

El conjunto formado por todos los resultados posibles de un experimento aleatorio recibe el nombre de Espacio Muestral. Dicho conjunto se simboliza con la letra mayscula S y el nmero total de resultados n(s).

MODELACIN:

Un Experimento de Probabilidad sencillo y comn que se puede efectuar es el lanzamiento de una moneda. Este experimento tiene dos resultados posibles:

Cara (c) y Sello (s) y ambos son igualmente posibles. El conjunto {c, s} (CARA, SELLO), es un espacio muestral para el experimento. La siguiente tabla muestra cmo se aplica el espacio muestral acerca de la probabilidad de otros experimentos.Experimento AleatorioResultadosEspacio muestral (S)

A.

Lanzar una moneda

moneda, Es igualmente posible que al caer la moneda caiga cara o caiga sello.S = { Cara, Sello }

El conjunto de los dos resultados igualmente posibles.

B.

Sacar una carta al azarEs igualmente posible sacar al azar, cada una de las 52 cartas del pkerS = {1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10, J, Q, K }

Por cada uno de los 4 palos de la baraja (Corazones, Picas, Diamantes y trboles)

C.

Lanzar un dadoEs igualmente posible que cualquiera de las seis caras quede hacia arriba.

S = {1,2,3,4,5,6}

El conjunto de los seis resultados igualmente posibles.

D.

D A

C B

Girar la ruleta.El indicador tiene la misma probabilidad de

detenerse en cualquiera de las cuatro regiones

A, B, C o D.

S = {A, B, C, D}

El conjunto de los cuatro resultados igualmente posibles.

ENFOQUES DE PROBABILIDADExisten dos enfoques para el clculo de probabilidades:

Enfoque Clsico

Enfoque la de la Frecuencia Relativa

1. Enfoque Clsico o Probabilidad Clsica:

Si en un experimento aleatorio existen n (S) resultados igualmente posibles, entonces la probabilidad de que un evento A ocurra es el cociente del nmero de resultados favorables al evento A entre el nmero total de resultados posibles en el experimento; es decir:

MODELACIN Se juega un dado legal (un dado que no est cargado) y se observa la cara que muestra hacia arriba. Cul es la probabilidad de que caiga un 2?

El espacio muestral de este experimento tiene seis resultados posibles [n(S) = 6], que son:

S = {1, 2, 3, 4, 5, 6}

Si A representa el evento de que aparezca el nmero 2, A = {2}, entonces

= 0.166 = 16.6%. Este resultado corresponde a la probabilidad clsica.

MODELACIN Si se tiene una baraja de Pker de 52 cartas, cul es la probabilidad de sacar un As? Si en una baraja existen 4 ases (Picas, corazones, trboles, y diamantes), entonces la probabilidad de que sea un as es:

= 0.076 = 7.6%LAS PROBABILIDADES SIEMPRE DEBEN DARSE EN PORCENTAJES YA QUE ES LA FORMA MAS INDICADA DE DEFINIRLAS.

2. Enfoque axiomtico de la Frecuencia Relativa:

Concibe la probabilidad de ocurrencia de un suceso, como un nmero entre 0 y1.

Este concepto tiene que ver directamente con la nocin de frecuencias relativas, donde

MODELACIN Supongamos que se lanza cien veces una moneda, anotamos el nmero de veces que sale cara y las veces que sale sello; los resultados fueron los siguientes:LanzamientosNmero de veces que sale

Cara56

Sello44

La probabilidad para el lanzamiento No 101 esta dado por:

Frecuencia Absoluta: Cara: 56 veces Sello: 44 veces

Frecuencia Relativa: 56/100 44/100

Probabilidad: P: 56% (xito) Q: 44% (fracaso)

Hay un 56% de probabilidades que en el lanzamiento No 101 caiga Cara y un 44% de probabilidades que caiga sello.

P = probabilidad de xito Q = probabilidad de fracaso

ESCALA DE LAS PROBABILIDADESEs posible establecer una escala de valores entre 0 y 1. La probabilidad igual a uno (1) al 100% corresponde al lmite superior, el cual se considera como certeza absoluta. En el otro extremo correspondiente al lmite inferior tenemos la probabilidad igual a 0 (cero) donde hablamos de sucesos de imposibilidad absoluta.

Si la probabilidad est entre 0 (cero) y 0.5 (50%), estamos hablando de un suceso inverosmil; cuando la probabilidad es igual a 0.5 (50%), nos encontramos con un suceso dudoso; y cuando la probabilidad est entre 0.5 (50%) y menos que 1.0 (100%), decimos que tenemos un suceso verosmil.

Veamos la grafica para una mayor comprensin:

1.0 Certeza absoluta. Ejemplo: Morir algn da

0.5 < P < 1.0 Suceso Verosmil. Ejemplo: Ganar una rifa de 100 boletas comprando 60 de ellas.

0.5 Hecho Dudoso. Ejemplo: Lanzamiento de una moneda.

0.0 < P < 0.5 Suceso inverosmil. Ejemplo: Ganar una rifa de 100 boletas comprando 25 de ellas.

0.0 Imposibilidad absoluta. Ejemplo: Cruzar el ocano nadando.

1. Un experimento consiste en hacer girar un indicador como el que se muestra en la figura.

a. Encuentre un espacio muestral para este experimento.

_______________________________________________________________

_______________________________________________________________

_______________________________________________________________

b. Cul es la probabilidad de cada resultado en el espacio muestral?

2. En un juego de escalera los nios lanzaron un dado 150 veces uno de los nios que estaba anotando los resultados anunci que los nmeros que cayeron fueron: NmeroFrecuencia

118

225

316

443

525

623

Total150

a) Que enfoque de la probabilidad est aplicando el ejercicio? Explicar.

________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________

b) Determinar la probabilidad de que en el lanzamiento 151 salga 1,2, 3, 4, 5, 6.

3. Decir a qu tipo de suceso pertenecen de acuerdo a la escala de probabilidades:

a) En un tiro de bolos derribar 8 de los 10 pinos __________________

b) Sacar un estudiante de noveno al azar _______________________

c) Sacar un nmero par en el dado ____________________________

d) Todos nacemos de una mujer_______________________________

e) Mi abuela tiene 20 aos ___________________________________4. Si 380 de 700 amas de casa entrevistados en un supermercado declararon que preferiran el Detergente Nuevo y Mejorado al anterior, estimemos la probabilidad de que una ama de casa que est en ese supermercado prefiera el Detergente Nuevo y Mejorado A qu tipo de suceso pertenece?

5. Una muchacha recoge championes. Accidentalmente recoge tres hongos venenosos que son casi idnticos a siete championes que ya haba recogido. Despus se come uno de los diez hongos. Cul es la probabilidad de que se haya comido un hongo venenoso? De qu tipo de suceso estamos hablando?

6. segn la escala de probabilidades:

a) 0,5 < P