estadistica aplicada

Estadística Aplicada

PROESAD Programa de Educación Superior a Distancia

13

A. Aspectos preliminares 1. Competencias 1.1. Conceptuales Reconoce el concepto de estimación puntual y por intervalos. 1.2. Procedimentales Calculan estimaciones puntuales o intervalicas de los parámetros de una población. 1.3. Actitudinales Resuelve situaciones en donde se quiere estimar los parámetros de una población en estudio. B. Desarrollo del contenido, sus procedimientos y modalidad 1. Contenido programático

El contenido programático de la unidad referida es el siguiente: Estimación de parámetros: Introducción: Estimación Puntual (Estimación puntual para la media poblacional, Estimación Puntual para la varianza poblacional, Estimación de parámetros de dos poblaciones, Estimación puntual de una población de variable cualitativa, Estimación puntual de dos poblaciones de variables cualitativas) y Estimación por intervalos (Intervalo de confianza para la media poblacional, Intervalo de confianza para la diferencia de medias poblacionales, Intervalo de confianza para la proporción poblacional, Intervalo de confianza para la diferencia de proporciones poblacionales). 2. Modalidad y procedimiento de desarrollo de la unidad Durante la fase a distancia a) Cada alumno lee la primera unidad del módulo. b) Cada alumno desarrolla las prácticas dirigidas y los trabajos

prácticos. c) Remite las prácticas y los trabajos a la página web de PROESAD Durante la fase presencial/tutorial a) Exposición sobre los trabajos elaborados y remitidos. b) Refuerzo del profesor con incidencia y corrección en los puntos

fuertes y debilidades.

Mg. María Vallejos Atalaya


14

Tutoría Nº

Estimación de parámetros:

estimación puntual y estimación por intervalos

1.1. INTRODUCCIÓN Los métodos estadísticos inferenciales constituyen una forma de extraer conclusiones respecto a una población, de los datos obtenidos realmente de una muestra. La inferencia estadística comprende dos tipos principales de técnicas: Estimación de parámetros y contrastación de hipótesis. Independientemente de la técnica que se utilice, la finalidad general es utilizar datos de una muestra para extraer conclusiones respecto a una población. 1.2. ESTIMACIÓN DE PARÁMETROS Las técnicas de estimación son utilizadas cuando el investigador no tiene hipótesis previa respecto al valor de una característica de la población y desea conocer cuál podría ser tal valor. La estimación puede asumir 2 formas: - Estimación puntual - Estimación por intervalos 1.2.1. Estimación puntual Contiene el cálculo de una sola cifra numérica, esto es un valor estadístico para evaluar el parámetro desconocido de la población. Una desventaja de esta forma de estimación es que no aporta la precisión de la estimación del parámetro. Las estimaciones puntuales más usuales son: (A) Estimación Puntual para la media poblacional.

Se halla mediante las siguientes fórmulas.

- Para datos simples - Para datos agrupados

f

fx = x =

n

x = x =

i

iii

(B) Estimación Puntual para la varianza poblacional.

Se halla mediante las siguientes fórmulas.

- Para datos simples - Para datos agrupados

f

xnfx = s =

n

xnx = s = 222

1

)(

1

)( 22

2

22

1



15

(C) Estimación de parámetros de dos poblaciones

Sea X1 una variable aleatoria que se distribuye como una distribución normal con media 1

y varianza 2

1 e X2 otra variable aleatoria que se distribuye como una distribución normal

con media 2 y varianza

2

2 .

La estimación de parámetros de dos poblaciones se pueden realizar mediante: a) La comparación de sus medias, luego:

212121ˆˆ x - x = - = -

b) La comparación de sus varianzas, luego:

s

s = =

2x

2x

x

x

x

2

x

2

1

2

1

2

2

1

2

ˆ

ˆˆ

(D) Estimación puntual de una población de variable cualitativa

Sea X una variable cualitativa con:

ticacaracterís la de Presencia :A

P - 1 = Qy

AX si 0,

AX si 1,

N

M

N

XPcon

X

i

Luego:

p - 1 = qy

A xsi 0,

A xsi 1,

n

m

N

xpcon

x

i

Entonces: P p

(E) Estimación puntual de dos poblaciones de variables cualitativas

Sea X1 la variable aleatoria de una población cualitativa con Px1 proporción de aciertos en X1 y sea X2 la variable aleatoria de otra población cualitativa con Px2 proporción de aciertos en X2, luego:

p - p = P - P = P-P xxxxxx 212121 ˆˆ

1.2.2. Estimación por intervalos La estimación por intervalos de un parámetro nos indica límites dentro de los cuales el parámetro tiene la probabilidad especificada de estar. Los estimados por intervalos se conocen como intervalos de confianza y los límites inferior y superior como los límites de confianza.

En general el intervalo de confianza para el parámetro se expresa:

P( - k + k ) = 1 -



16

Donde:

= Parámetro

= Estimador

k = Valor tabulado

= Desviación estándar del estimador

1 = Nivel de confianza Los intervalos de confianza más usuales son: (A) Intervalo de confianza para la media poblacional ( )

Para determinar el intervalo de confianza para la media poblacional se debe tomar en cuenta lo siguiente:

- Cuando se conoce la varianza de la población y/o el tamaño de muestra n 30.

P( x - Zn

x + Zn

) = 1 - 2 2

( ) ( )1 1

- Cuando no se conoce la varianza de la población y el tamaño de muestra n < 30.

P( x - ts

n x + t

s

n) = 1 - ( n (

2,n-1)1

21 1, )

(B) Intervalo de confianza para la diferencia de medias poblacionales

Se presentan los siguientes casos:

- Si 2

1 y 2

2 son conocidos

- 1 =] n

+n

Z + )x-x( - n

+n

Z - )x-xP[(2222

22

2

1

1)

21(2121

2

2

1

1)1(21

- Si 2

1 y 2

2 no son conocidos

se presentan dos casos:

a. Si 2

1 es aproximadamente igual a 2

y entonces

2

1 2

22

-1=])n

1+

n

1(st+)x-x(-)

n

1+

n

1(st-)x-xP[( 2

1)-n,2

(2

1)-n,2

(

21

12121

21

121

2 - n + n

s1) - n( + s1) - n( = s :donde

222

21

2211

b. Cuando 2

1 es diferente a 2

2

-1=]n

s+

n

st + )x-x( -

n

s +

n

st - )x-xP[(

22

1)-n

22

1)-n,2

(

2

2

1

1,

21(2121

2

2

1

1121

Observación:

Sí n1+ n2 - 2 30, el valor tabulado es Z(1 - /2)

Sí n1 + n2 - 2 < 30, el valor tabulado es t(n1 + n2 – 2, 1 - /2)



17

(C) Intervalo de confianza para la proporción poblacional Se presentan los siguientes casos:

- Cuando el tamaño de muestra es grande (n 30)

P(p - Zpq

n P p + Z

pq

n= 1 -

2 2( ) ( ) )1 1

- Cuando el tamaño de muestra es pequeño (n < 30)

P(p - tpq

n P p + t

pq

n) = 1 - (

2,n-1) (

2,n-1)1 1

(D) Intervalo de confianza para la diferencia de proporciones poblacionales

Se pueden presentan los siguientes casos:

- Si, n1 y n2 son muestras grandes (n1 + n2 - 2 30)

-1=]n

qp+

n

qpZ+)p-p( P-P

n

qp+

n

qpZ-)p-pP[(

222

22

1

11)1(2121

2

22

1

11)1(21

- Si, n1 y n2 son muestras pequeñas (n1 + n2 - 2 30)

-1=]n

qp+

n

qpt+)p-p(P-P

n

qp+

n

qpt-)p-pP[( 1)-n,

2(1)-n,

2(

2

22

1

1112121

2

22

1

111(11

Nota: Si los tamaños de muestra son muy diferentes por ejemplo n1 = 80, n2 = 20 se recomienda emplear:

n + n

pn + pn = p :donde

)n

1 +

n

1)(p - (1p = s

yx

2

21

2211

esta proporción denota la proporción conjunta de las dos muestras. Ejemplo 1.1

Se ensaya un test para determinar el cociente de inteligencia a 8 alumnos; los resultados fueron:

98, 108, 92, 111, 102, 95, 89, 115. Determine: a) estimación puntual y b) estimación por intervalo (use el 90% de confianza) para el promedio verdadero del cociente de inteligencia. Solución

n = 8, x = 101.25, s = 9.38 -1 = 0.90 Luego 2

1 = 0.95

como n 30, entonces t(n – 1, 1 - /2) = t(7,095) = 1.895 a) Estimación puntual: Por formula

ix= x =

n 25.101x



18

b) Estimación por intervalo:

Por formula

- 1 = )n

st + x

n

st - xP( )(( 95.0,7)95.0,.7

Reemplazando:

- 1 = ) - P(8

38.9895.125.101

8

38.9895.125.101

Se obtiene

%9053.10797.94 =] P[

Luego el promedio verdadero del cociente de inteligencia de los alumnos se encuentra entre 94.97 y 107.53, con un nivel de confianza de 90%. Ejemplo 1.2 Una muestra aleatoria de 100 hogares de una ciudad indica que el promedio de los ingresos mensuales es de $ 500. Encuentre un intervalo de confianza del 95 % para la media poblacional de los ingresos de todos los hogares de esa ciudad. Suponga σ = $ 110. Solución

n = 100, x = 500 σ = $ 110 -1 = 0.95 luego 2

1 = 0.975

como n = 30, entonces Z(1 - /2) = Z(0.95) = 1.96

Por formula

(1 ) (1 )2 2

)P( x - x + = 1 - Z Zn n

Reemplazando

110 110500 1.96 500 1.96 ) 95%

100 100P( - + =

Se obtiene

478.44 521.56 95%P[ ] =

Esto, es se tiene una confianza del 95% que el promedio del ingreso familiar poblacional de esa ciudad, está en el intervalo $ 478.44 y $ 521.56. Ejemplo 1.3 Como parte de un experimento, una gran empresa manufacturera encontró que el tiempo promedio requerido para que 16 empleados escogidos al azar completaran una tarea determinada era de 26 minutos, la desviación estándar 5 minutos. Construir el intervalo de confianza del 95% para la media poblacional. Solución

n = 16 x = 26 s = 5 1- = 0.95 Luego 2

1 = 0.975

como n < 30, entonces t(n – 1, 1 - /2) = t(15, 0.975) = 2.131 Por formula

- 1 = )n

st + x

n

st - xP( )(( 975.0,15)975.0,15



19

Reemplazando

%95)16

5131.226

16

5131.226 = + - P(

Se obtiene

%9566.2834.23 =] P[

Ejemplo 1.4 Se ha hecho un estudio de las diferencias entre estudiantes universitarios del primer año que estuvieron en academias y estudiantes que no estuvieron. Para ello se tomó una muestra aleatoria de 50 estudiantes universitarios que habían asistido a academias y una muestra aleatoria simple independiente de 60 estudiantes que no lo habían hecho. Al final del primer semestre se administró a los estudiantes una prueba de rendimiento en matemática. Los que habían asistido a academias, obtuvieron un puntaje promedio de 14,5, con una varianza de 4,8; y el puntaje promedio para el grupo que no había asistido a la academia, fue de 13,75 con una varianza de 6,4. Construya un intervalo de confianza para la diferencia entre las dos medias poblacionales (use 99% de confianza). Solución

ASISTIERON ACADEMIA NO ASISTIERON

ACADEMIA

n1 = 50

1x =14.5

s21 = 4.8

n2 = 60

2x =13.75

s22 = 6.4

1 - = 0.99 luego 1- 2

= 0.995

Como n1 + n2 - 2 > 30 entonces Z (1 - /2) = Z(0.995) = 2.58

Por formula

-1=]n

s+

n

sz + )x-x( -

n

s +

n

sz - )x-xP[(

22

)

22

)2

(

2

2

1

1

21(2121

2

2

1

1121

Reemplazando

%9960

4.6

50

8.458.275.135.14

60

4.6

50

8.458.275.135.14

21=]+ + )-( - + - )-P[(

Se obtiene

%9991.141.021

=] - P[

Ejemplo 1.5 Los estudiantes que se matricularon en un curso de investigación educativa fueron distribuidos al azar en dos grupos. El grupo A utilizó numerosas técnicas y actividades para enriquecer el curso. El grupo B estudió mediante el método tradicional de conferencias. Los puntajes obtenidos en una prueba de rendimiento, hecha al terminar el curso dieron los siguientes resultados:

Grupo n x s

A (1) 10 80 8 B (2) 12 72 10

Construir el intervalo de confianza del 90% para la diferencia de los puntajes promedios poblacionales.



20

Solución

1 - = 0.90 luego 1 - 2

= 0.95

Como n1 + n2 –2 < 30 entonces t (n1 + n2 –2,1– /2) = t(20, 0.95) = 1.725

Por formula

-1=]n

s+

n

st+)x-x( -

n

s+

n

st-)x-xP[(

22

n(n

22

n(n

2

2

1

1)2/1,22121

2

2

1

1)2/1,221 2121

Reemplazando

%9012

100

10

64725.17280

12

100

10

64725.17280

21=]++)-( - +-)-P[(

Se obtiene

%9062.1438.121

=] - P[

Ejemplo 1.6 Una encuesta para verificar las actitudes de los empleados ante el boletín mensual, se les pidió a 500 empleados de una gran organización nacional que indicaran con que frecuencia leían el boletín de noticias. De los 500, 375 informaron que leían todas las ediciones. Construir el intervalo de confianza del 95% para la proporción real de los que opinan afirmativamente. Solución:

n = 500 p = 500

375= 0.75 q =0.25 1- = 0.95 luego

21 = 0.975

Como n > 30 entonces Z(1 - /2) = Z(0.975) = 1.96 Por formula

- 1 =] n

pqZ + p P

n

pqZ - P[p )2/1()2/1(

Reemplazando

%95500

)25.0(75.096.175.0

500

)25.0(75.096.175.0 =] + P - P[

Se obtiene

%9579.071.0 =] P P[

Ejemplo 1.7 En una muestra aleatoria de 400 adultos y 600 jóvenes que vieron un cierto programa de televisión, 100 adultos y 300 jóvenes reconocieron que les había gustado. Determinar los límites de confianza del 99% para la diferencia de proporciones de todos los adultos y jóvenes que vieron con agrado el programa. Solución

ADULTOS JÓVENES

n1= 400

a1 = 100

p1 = 25.0

1

1

n

a

q1

= 1-p1 = 0.75

n2 = 60 0

a2 = 300

p2= 5.0

2

2

n

a

q2

= 1 – p2 = 0.5

1 - = 0.99 Luego 1- 2

= 0.995



21

Como n1+ n2 - 2 > 30 entonces Z (1 - /2) = Z(0.995) = 2.58

Puesto que los tamaños de muestras son muy diferentes, se emplea la varianza mancomunada así:

n + n

pn + pn = p

21

2211

Reemplazando

4.01000

400

600400

300100

+

+ = p

)n

1 +

n

1)(p - (1p = s

21

)1

+ 1

)(( = s 032.0600400

6.04.0

Por formula

-1=])n

1 +

n

1)(p - (1pZ+)p-p(P-P)

n

1 +

n

1)(p - (1pZ-)p-pP[(

21

2//1(2121

21

2//1(21

Reemplazando

%99)032.0(58.25.025.0)032.0(58.25.025.0 =]+)(P-P-)P[( JA

Se obtiene

%9917.033.0 21 =] P-P P[



22

AUTOEVALUACIÓN 1. Señale con una V si es verdadero o F si es falso en los siguientes enunciados:

( ) El método de estimación de un parámetro puede ser: puntual o por intervalos.

( ) La Inferencia estadística comprende dos tipos principales de técnicas.

( ) La estimación por intervalos contiene el cálculo de una sola cifra numérica.

( ) Se obtiene conclusiones de la población a través de la información de la muestra.

( ) En la estimación puntual incluye un intervalo en el que están comprendidos los

valores del parámetro.

2. De una población se escogieron al azar 10 personas y se les tomo la estatura. Los resultados

en cm fueron: 160, 170, 170, 150, 160, 180, 160, 170, 130, 150.

a) Estime la media y la varianza.

3. En una universidad se desea conocer la opinión de los estudiantes acerca de ciertas medidas

que han tomado las directivas. De 120 estudiantes consultados, 90 estuvieron a favor.

a) Estime la proporción de estudiantes que están a favor de las medidas

4. Para estimar la media del consumo (dólares) en el restaurante de una universidad, se tomó

una muestra de 49 profesores. Suponga una desviación estándar poblacional de 5 dólares. Si

la media en la muestra fue de 24.80 dólares mensuales.

a) ¿Cuál fue el intervalo de confianza de 95% para el consumo medio poblacional?

5. Los siguientes números representan el tiempo(en minutos) que tardaron 15 operarios en

familiarizarse con el manejo de una nueva máquina adquirida por la empresa: 3.4, 2.8, 4.4,

2.5, 3.3, 4, 4.8, 2.9, 5.6, 5.2, 3.7, 3, 3.6, 2.8, 4.8.

a) Determina e interpreta un intervalo del 95% de confianza para el verdadero tiempo

promedio.

b) El instructor considera que el tiempo promedio requerido por los trabajadores es mayor

que 5 minutos, ¿qué se puede decir de acuerdo con el intervalo hallado?

6. Una marca de lavadoras quiere saber la proporción de amas de casa que preferirían usar su

marca. Toman al azar una muestra de 100 amas de casa y 20 dicen que la usarían.

a) Calcula un intervalo de confianza del 95% para la verdadera proporción de amas de casa

que preferirían dicha lavadora.



23

Unidad 2 PRUEBA DE HIPOTESIS DE PARAMETRO POBLACIONALES

Nº de tutorías: Dos

Tutoría Nº 1: PRUEBA DE HIPÓTESIS: CONCEPTOS BÁSICOS; PRUEBA DE

HIPÓTESIS PARA UNA MEDIA; UNA VARIANZA Y DOS VARIANZA POBLACIONAL

Tutoría Nº 2: PRUEBA DE HIPÓTESIS: PROPORCIÓN POBLACIONAL; DOS

MEDIAS POBLACIONALES; DOS PROPORCIONES POBLACIONALES.



24



25

A. Aspectos preliminares 1. Competencias 1.1. Conceptuales Reconoce el concepto de prueba de hipótesis para los parámetros. 1.2. Procedimentales Comprobar las pruebas de hipótesis en las investigaciones científicas. 1.3. Actitudinales Resuelve situaciones en donde el interés es probar hipótesis de los parámetros de una población en estudio. B. Desarrollo del contenido, sus procedimientos y modalidad 1. Contenido programático El contenido programático de la unidad referida es el siguiente: Introducción, Concepto prueba de hipótesis, hipótesis nula, hipótesis alternativa, errores de prueba y nivel de significación, pruebas bilaterales y unilaterales, prueba de hipótesis referida a la media poblacional, prueba de hipótesis sobre la varianza poblacional, prueba de hipótesis referida a dos variancias poblacionales, prueba de hipótesis referida a la proporción poblacional, prueba de hipótesis referida a la diferencia entre dos medias poblacionales, prueba de hipótesis referida a la diferencia entre dos proporciones poblacionales 2. Modalidad y procedimiento de desarrollo de la unidad Durante la fase a distancia a) Cada alumno lee la primera unidad del módulo. b) Cada alumno desarrolla las prácticas dirigidas y los trabajos





26

Tutoría Nº

Prueba de hipótesis: conceptos

básicos; prueba de hipótesis para una media; una varianza y dos

varianza poblacional 2.1. INTRODUCCIÓN El objetivo es dar algunos métodos que se usan para tomar decisiones sobre poblaciones, a partir de los resultados de una muestra aleatoria escogida de esa población. Para llegar a tomar decisiones estadísticas se debe partir de afirmaciones o conjeturas con respecto a la población en el que estamos interesados. Tales suposiciones, pueden ser verdaderas o no. Una conjetura hecha sobre una población o sobre sus parámetros deberá ser sometida a comprobación experimental con el propósito de saber si los resultados de una muestra aleatoria extraída de esa población, contradicen o no tal conjetura. A continuación definiremos algunos conceptos básicos para la prueba de hipótesis. 2.2. HIPÓTESIS Es una afirmación que esta sujeta a verificación o comprobación; así un educador puede hacerse la hipótesis de que cierto método de enseñanza mejora el rendimiento de los alumnos. Hipótesis establecidas en esta forma proporcionan con frecuencia motivo para realizar una investigación. Por esta razón se le denomina hipótesis de investigación. Generalmente hay que volver a plantear las hipótesis de investigación convenientemente de tal forma que se puedan comprobar mediante los métodos estadísticos, así planteadas las hipótesis reciben el nombre de hipótesis estadística. 2.3. HIPÓTESIS ESTADÍSTICAS Una hipótesis estadística es un enunciado o proposición respecto a uno o más parámetros de la población. A fin de probar una proposición, es preciso formular una hipótesis denominada nula juntamente con otra denominada hipótesis alternativa. 2.3.1. Hipótesis nula (Ho) Son aquellas que están referidas a algún parámetro de la población o de las poblaciones de estudio. Estas son llamadas hipótesis científicas. 2.3.2. Hipótesis alternativa (Ha) Junto a la hipótesis nula se debe formular la denominada hipótesis alternativa que es la que sirve para contrastarla. 2.4. ERRORES DE PRUEBA Y NIVEL DE SIGNIFICACIÓN Tengamos presente que si bien Ho puede ser cierta, tendremos siempre la probabilidad no nula de que por efecto del azar, nuestra decisión sea la de rechazar hipótesis; en tal caso estaremos cometiendo el denominado ERROR DE TIPO I. De otro lado podría Ho ser falsa y nuevamente el efecto aleatorio conducirnos a la decisión equivocada de aceptar Ho, en tal caso estaremos cometiendo el ERROR DE TIPO II. Obviamente, si Ho es cierta y no lo rechazamos o si es falsa y rechazamos, estaremos decidiendo bien.

2



27

Al error de tipo I se le fija una probabilidad de ocurrencia previamente a la prueba, a dicha

probabilidad se le denomina , en ocasiones se le llama P valúe, pero en ambos casos corresponde al NIVEL DE SIGNIFICACIÓN.

P(ERROR TIPO I) = Podemos objetivizar la decisión de Ho respecto a la naturaleza de ésta de ser cierta o falsa.

DECISIÓN SOBRE Ho

NATURALEZA DE Ho

Cierta Falsa

No rechazar Rechazar

Decisión Correcta

Error tipo I

(Probabilidad )

Error tipo II

(probabilidad )

Decisión correcta

Es deseable que ambas probabilidades fuesen lo menores posibles. Sin embargo, no es posible minimizar ambas probabilidades a la vez ya que están íntimamente relacionadas de tal modo que

al disminuir una de ellas la otra aumenta. Así si queremos minimizar inmediatamente aumenta la

probabilidad de y viceversa. Generalmente el investigador fija apriori el error que está dispuesto a tolerar, es decir la probabilidad máxima de cometer el error de tipo I. La decisión de una prueba estadística está asociada al nivel de significación:

a) Si P < 0.05 ( = 0.05) se dice que existe significación en la prueba

b) Si P < 0.01 ( = 0.01) se dice que existe alta significación en la prueba Pruebas bilaterales y unilaterales Cuando tenemos hipótesis alternativa de la forma:

Ho : = 0 Ho : P = Po

Ha : 0 Ha : P Po

Al rechazar Ho, optaremos por que el parámetro es diferente del supuesto pudiendo ser mayor,

significativamente o acaso menor, significativamente. En tales casos el nivel de significación

queda partido en /2 en cada lado de la distribución del estadístico o función de prueba. Tendremos entonces una prueba bilateral o no direccionada (dos puntos críticos) De otro lado, si la hipótesis se orienta a un solo lado, entonces el nivel de significación también estará en aquel lado y consecuentemente estas pruebas se llaman unilaterales o direccionada (un punto crítico)

Ho : = 0

Ha : 0

1

2 1

2



28

Ho : = 0

Ha : 0

A las regiones de valores de abscisas comprendidas en la parte sombreada se le llama REGIÓN DE RECHAZO, y a las no sombreadas se le llama REGIÓN DE ACEPTACIÓN. Una prueba de contrastación de hipótesis estadística se conduce básicamente según el siguiente procedimiento. 1. Plantear las hipótesis

- Hipótesis nula (Ho) - Hipótesis alternativa (Ha)

2. Establecer el nivel de significación de prueba ( ) 3. Identificar o construir la función de prueba y la ley de probabilidad que sigue dicha función de

prueba. 4. Efectuar el reemplazo numérico en la función de prueba con la información muestral. 5. Determinar las regiones de aceptación o rechazo en la distribución de la función de prueba,

según se trate de pruebas bilaterales o unilaterales. 6. Tomar una decisión sobre Ho, según la siguiente regla:

a. Rechazar Ho si el valor de la función de prueba cae en la región de rechazo. En tal caso se concluirá que Ho se rechaza en favor de Ha con una significación estadística.

b. No rechazar Ho si el valor de la función de prueba cae en la región de aceptación. En tal caso se concluirá de que la información muestral no brinda suficientes evidencias como para sospechar de que Ho no sea cierta.

7. Establecer la conclusión, según la hipótesis que se acepte. 2.5. PRUEBA DE HIPÓTESIS REFERIDA A LA MEDIA POBLACIONAL

Esta prueba se aplica aún a poblaciones que no se alejan demasiado de las características de una población normal. Las hipótesis referentes a este parámetro pueden ser: Ho: µ = µo

Ha: µ µo Prueba bilateral o de dos colas Ho: µ = µo

Ha: µ µo Prueba unilateral de cola a la derecha Ho: µ = µo

Ha: µ µo Prueba unilateral de cola a la izquierda Dicha prueba se efectúa mediante la siguiente función de prueba:

a) Si la desviación estándar poblacional no es conocida o n<30

oo

(n-1)t = x -

s/ n t

1



29

b) Si la desviación estándar poblacional es conocida ó n≥30

n n/

- x = z (0,1)

oo

Ejemplo 2.1

El señor Martínez afirma que su programa de entrenamiento en ventas de seguro de vida le permite a su compañía vender más pólizas que las compañías "promedio". El promedio mensual de ventas de todos los agentes de la compañía es de $300. A una muestra de agentes que han recibido el programa de entrenamiento se le encuentra las siguientes ventas en dólares: 300, 270, 360, 390, 309, 405, 360, 420, 375, 330. Si usted fuera el supervisor de estos agentes, adoptaría para los restantes el programa de entrenamiento propuesto por el señor Martínez. Emplee 5% de significación. Solución:

= 300, n = 10, x = 351.9, s = 48.64 -1 = 0.95

como n 30, entonces t(n – 1, 1– ) = t(9,0.95) = 1.833

1) Ho: 300

Ha: 300

2) = 0.05

3) f.p. 00

xt

s

n

4) 0

351.9 3003.37

48.64

10

t

5) t(9,0.95) = 1.833 6) Decisión: Como t0 pertenece a la región de rechazo entonces rechazamos la hipótesis nula a favor de la hipótesis alternativa 7) Conclusión: El programa de entrenamiento de ventas de seguro de vida le permite a su compañía vender más pólizas de seguro que la compañía promedio, por lo cual se adoptará para el resto de los agentes el programa propuesto por el señor Martinez.

RA

1 - = 0,95

RR

= 0,05

tt = 1,833

t0 = 3,37



30

Ejemplo 2.2

Un investigador afirma que la ingestión diaria de nutrientes (proteína) recomendada en varones de 18-34 años moderadamente activos, tiene un promedio de 75 grs. para contrastar tal hipótesis se tomó una muestra de 116 varones saludables obteniendo los siguientes resultados:

Proteína encontrada (gr)

Número de

varones

71 73 75 77 79

8 20 60 18 10

Total

116

Pueden estos resultados, sostener la hipótesis formulada por el investigador. Use el 5% de significación. Solución:

= 75, n = 116, x = 75.03, s =1.95 = 0.05

como n > 30, entonces Z(1 - /2) = Z(0.975) = 1.96 1) Ho: = 75

Ha: 75

2) = 0.05

3) f.p. oo

x - = Z

s

n

4) 75.03 75

0.171.95

116

o =Z

5) 96.1)975,0( Z= Z t

6) Decisión: Como Z o RA aceptamos Ho

7) Conclusión: Se sostiene la hipótesis formulada para el investigador. 2.6. PRUEBA DE HIPÓTESIS SOBRE LA VARIANZA POBLACIONAL

Algunas veces se necesitan pruebas sobre la varianza o la desviación estándar de una población. Las hipótesis referentes a este parámetro pueden ser:

RR

2 = 0,025

Zt = -1,96

RA

1 - = 0,95

RR

2 = 0,025

Zt =1,96

Z0 = 0,17



31

Ho: = o

Ha: o Prueba bilateral

Ho: = o

Ha: o Prueba unilateral

Ho: = o

Ha: o Prueba unilateral Procedimiento:

Supóngase que se desea probar la hipótesis de que la varianza de una población normal 2 es

igual a un valor específico, por ejemplo, 2o. Sea X1, X2, ..., Xn una muestra aleatoria de n

observaciones tomadas de esta población. Para probar

Ho: 2 =

2o

Ha: 2

2o

Se utiliza el estadístico de prueba

2

22 )1(

o

o

SnX

donde S2 es la varianza muestral. Ahora si Ho:

2 =

2o es verdadera, entonces el estadístico de

prueba X2o sigue una distribución ji-cuadrada con n-1 grados de libertad. Por consiguiente, se

calcula el valor de la estadística de prueba X2o, y la hipótesis Ho:

2 =

2º debe rechazarse si:

2

2/1,1

2

2

2/,1

2

no

no

sio

donde X2n-1, /2 y X

2n-1,1- /2 son los puntos que corresponden a los porcentajes 100 /2 inferior y

superior de la distribución ji-cuadrada con n-1 grados de libertad, respectivamente. El mismo estadístico se utiliza para hipótesis alternativas unilaterales, Para hipótesis unilateral:

Ho: 2 =

2o

Ha: 2 >

2o

Se rechaza si: X2o > X

2n-1,1-

Para la otra hipótesis unilateral: Ho: 2 =

2o

Ha: 2 <

2o

Se rechaza si: X2o < X

2n-1,

RA

1 –

2

)2/,1(nX

RR

/2 RR

/2

2

)2/1,1(nX

RA

1 – RR

2

)1,1(nX



32

PROCEDIMIENTO PARA MUESTRAS GRANDES Las hipótesis planteadas son idénticas a las mencionadas anteriormente lo que se modifica es la función de prueba, que cuando el tamaño de muestra es mayor que 30 se utiliza la distribución normal. El estadístico de prueba es:

n

sZ

o

oo

2

El gráfico utilizado sería acampanado.

Ejemplo 2.3

Considérese una máquina de llenado de botellas. Al tomar una muestra aleatoria de 20 botellas se obtiene una varianza muestral para el volumen de llenado de 0,0153 (onzas de fluido)2. Si la varianza del volumen de llenado es mayor que 0,01 (onzas de fluido)2, entonces existe una proporción inaceptable de botellas que serán llenadas con una cantidad menor de líquido. ¿Existe evidencia en los datos muestrales que sugiera que el fabricante tiene un problema con el llenado de botellas? Utilice 5% de significación de prueba. Solución:

2 = 0.01, n = 20, s

2 = 0.0153 = 0.05

como n < 30, entonces 2

)1,1(nX = 1.302

)95.0,19(X

Ho: 2 = 0.01

Ha: 2 > 0.01

= 0.05

f.p. 07.2901.0

)0153.0)(19()1(2

22

o

o

SnX

1.302

)95.0,19(X

RA

1 –

RR

2

),1(nX

RA

1 – = 0.95 RR

= 0.05

1.302

tX

07.292

oX



33

Decisión: Como 07.292

oX RA aceptamos Ho

Conclusión: El fabricante no tiene problemas con el llenado de botellas, pues la varianza es igual a 0.01. 2.7. PRUEBA DE HIPÓTESIS REFERIDA A DOS VARIANCIAS POBLACIONALES La prueba de comparación de muestras, requiere que las variancias de las dos poblaciones

muestreadas sean iguales. En esta sección describiremos una prueba para la hipótesis nula 21 =

22 , que se aplica a muestras aleatorias independientes obtenidas de dos poblaciones normales;

debe utilizarse con mucho cuidado por ser muy sensible a las desviaciones de tal suposición. Las hipótesis referentes a este parámetro pueden ser:

Ho: 1 = 2

Ha: 1 2 Prueba bilateral

Ho: 1 = 2

Ha: 1 2 Prueba unilateral

Ho: 1 = 2

Ha: 1 2 Prueba unilateral Si las muestras aleatorias independientes de tamaño n1 y n2, se extraen de poblaciones normales que tiene la misma variancia, para la prueba de igualdad de variancias se utiliza el siguiente estadístico.

2

2

2

1

s

sF

que es un valor de una variable aleatoria que tiene la distribución F con n1 - 1 y n2 – 1 grados de libertad.

Obs. F1 - (v1,v2) =),(F

1

12 vv

Regiones críticas para probar 2

2

2

1

(Poblaciones normales)

Hipótesis alterna Estadístico de prueba

Rechaza la hipótesis nula si:

21 <

22

2

2

2

1

s

sF

F < F (n1 – 1, n2 – 1)

21 >

22

2

2

2

1

s

sF

F > F1- (n1 – 1, n2 – 1)

21

22

2

2

m

M

s

sF

F < F /2(nM – 1, nm – 1) ó

F > F1- /2(nM – 1, nm – 1)

Donde: s2M : la mayor de las dos variancias muestrales,

s2m : la más pequeña de las variancias.



34

Para hipótesis unilateral: Ho: 2

2

2

1

Ha: 2

2

2

1

El mismo estadístico se utiliza para hipótesis alternativas unilaterales, Para hipótesis unilateral: Ho:

2

2

2

1

Ha: 2

2

2

1

Para la otra hipótesis unilateral: Ho: 2

2

2

1

Ha: 2

2

2

1

PROCEDIMIENTO PARA MUESTRAS GRANDES Las hipótesis planteadas son idénticas a las mencionadas anteriormente lo que se modifica es la función de prueba, que cuando el tamaño de muestra es mayor que 30, se utiliza la distribución normal. El estadístico de prueba es:

21

21

2

1

2

1

nns

ssZ

p

o

RA

1 –

)1,1(2/ mnMnF

RR

/2 RR

/2

)1,1(2/1 mnMnF

RA

1 – RR

)12,11(1 nnF

RA

1 –

RR

)12,11(1 nnF



35

2

)1()1(

:

21

2

22

2

112

nn

snsns

donde

p

Ejemplo 2.4

Se requiere determinar si existe menos variabilidad en el plateado realizado por la compañía 1 que el efectuado por la compañía 2. Si las muestras aleatorias independientes de tamaño 12 del trabajo desempeñado por las compañías producen s1=0,035 mil y s2=0,062 mil, pruébese la

hipótesis nula de que 21 =

22 contra la hipótesis alterna de que

21 <

22 con un nivel de

significancia de 0,05. Solución:

n1 = n2 = 12, s1 = 0.035, s2 = 0.062, = 0.05

como n1 + n2 < 30, entonces 355.0)11,11()1,1( 05,021 FnnF = F t

Ho: 2

2

2

1

Ha: 2

2

2

1

= 0.05

f.p. 319.0)062.0(

)035.0(2

2

2

2

2

1

s

sF

Decisión: Como 0F RA se acepta Ho

Conclusión: La variabilidad de plateado de la compañía 1 es menor que de la compañía 2. Usando 5% de significación de prueba.

RA

1 – = 0.95

RR

= 0.05

355.0tF 319.00F



36

AUTOEVALUACIÓN

1. Señale con una V si es verdadero o F si es falso en los siguientes enunciados:

( ) El rechazo de Ho cuando es verdadera se llama error de tipo I

( ) Si la función de prueba cae en la región crítica entonces aceptamos la Ho

( ) Ha se formula con el propósito de rechazarla, es la que se va a someter a prueba.

( ) Es una prueba bilateral cuando la hipótesis se orienta a un solo lado.

( ) No rechazar la Ho si el valor de la función de prueba cae en la región de aceptación.

2. Un estudio de 29 familias de una zona residencial de la ciudad de Lima, revela que el ingreso

medio por familia durante el año 1999 fue de $ 508 con una desviación estándar de $ 16.

Probar la hipótesis de que el verdadero ingreso medio por familia en Lima durante 1999 fue de

$ 500 frente a la alternativa de que no fue de $ 500. Utilizar un nivel de significancia del 5%.

3. Se escoge una muestra aleatoria de 13 tiendas y se encuentra que las ventas de la semana

de un determinado producto de consumo popular tiene una desviación estándar $6s . Se

supone que las ventas del producto tienen una distribución normal. Al nivel de significancia del 5%, ¿se podría inferir que la varianza de la población es menor que $40?

4. Los pesos netos (en gramos) de las latas de conserva de una muestra, fueron los siguientes:

121; 119; 124; 123; 119; 121; 124.

¿Se puede concluir que el peso neto poblacional medio es mayor que 123.5? Utilice un nivel

de significancia del 1%.

5. Un determinado proceso de empaquetar un producto está controlado, si el peso medio del

producto empaquetado es 400 gramos. Si en una muestra aleatoria de 100 paquetes del

producto se ha encontrado que el peso medio es de 395 gramos. ¿Se podría concluir que el

proceso está fuera de control al nivel de significación 5%?. Suponga que el peso de los

productos empaquetados se distribuye normalmente con desviación estándar de 20 gramos.

6. En un proceso de fabricación, se plantea la hipótesis que la desviación estándar de las

longitudes de cierto tipo de tornillo es 2.0 mm. En una muestra de diez tornillos elegidos al

azar del proceso de producción se han encontrado las siguientes longitudes en milímetros:

71, 66, 64, 72, 69, 67, 70, 68, 65, 69. Con estos datos se justifica la suposición

que la desviación estándar verdadera es 2.0 mm? Use el nivel de significación α=0.05, y

suponga que la distribución de las longitudes es normal.



37

Tutoría Nº

Prueba de hipótesis: proporción

poblacional; dos medias poblacionales; dos proporciones

poblacionales 3.1. PRUEBA DE HIPÓTESIS REFERIDA A LA PROPORCIÓN POBLACIONAL La hipótesis se refiere al parámetro P, la proporción de individuos de la población con una determinada característica. Las hipótesis referentes a este parámetro pueden ser: Ho: P = Po

Ha: P Po Prueba bilateral Ho: P = Po

Ha: P Po Prueba unilateral Ho: P = Po

Ha: P Po Prueba unilateral

La función de prueba para valores de n 30 es:

oo

o o

(0,1)z = P - p

p (1- p ) / n n

La función de prueba para valores de n 30 es:

oo

o o

(n-1)t = P - p

p (1- p ) / n t

Ejemplo 3.1

El alcalde de una ciudad cree que más del 60% de los residentes de un suburbio adyacente está a favor de anexarse a la ciudad. En una muestra aleatoria de 120 adultos, 75 dijeron que estaban a favor. ¿Proporcionan estos datos evidencia suficiente como para apoyar la opinión del alcalde? Solución:

P = 0.60, n = 120, m = 75, 625.0120

75 p , = 0.05

como n > 30, entonces 645.1)95,0()1( Z Z= Z t

Ho: 60.0 P

Ha: 60.0 P

= 0.05

f.p. 56.0

120

)4.0(6.0

6.0625.00

)/nP-(1P

P - p = Z

oo

o

3



38

Decisión: Como Z o RA aceptamos Ho

Conclusión: Los datos no proporcionan suficiente evidencia como para aceptar la opinión del alcalde. Usando un 5% de significación de prueba.

Ejemplo 3.2

Se tomó una muestra aleatoria de 400 escolares, de los cuales 120 tuvieron signos de desnutrición. Verifique la hipótesis de que el porcentaje de desnutridos no excede a 25% en la cobertura de estudio (Use 5% como nivel de significación). Solución

P = 0.25, n = 400, m = 120, 30.0400

120 p , = 0.05

como n > 30, entonces 645.1)05,0()( Z Z= Z t

Ho: 25.0 P

Ha: 25.0 P

= 0.05

f.p. 31.2

400

)75.0(25.0

25.030.0 Z o

Decisión: Como Z o RA se acepta Ho

Conclusión: La proporción de desnutridos no excede al 25% en la cobertura de estudio. En un 5% de significación de prueba. 3.2 PRUEBA DE HIPÓTESIS REFERIDA A LA DIFERENCIA ENTRE DOS MEDIAS POBLACIONALES Cuando la comparación de dos poblaciones es con respecto a sus medias la hipótesis natural es que ambas tienen igual promedio, o en otras palabras que la diferencia de ambos promedios es nula o difieren en alguna cantidad específica. Las hipótesis referentes a este parámetro pueden ser: Ho: µ1 = µ2

Ha: µ1 µ2 Prueba bilateral Ho: µ1 = µ2

Ha: µ1 µ2 Prueba unilateral

RR

= 0,05

Zt = -1,645

RA

1 - = 0,95

Z0 = 2,31

RA

1 - = 0,95

RR

= 0,05

Zt = 1,645

Z0 = 0,56

645.1)95,0( Z= Z t

645.1)95,0()1( ZZ= Z t



39

Ho: µ1 = µ2

Ha: µ1 µ2 Prueba unilateral Pueden presentarse varias situaciones dependiendo de como son sus varianzas: 1. Con varianzas conocidas: La función de prueba es:

n

n +

n

) - ( - )x - x( = z (0,1)

22o

2

2

1

1

2121

2. Con varianzas desconocidas y diferentes:

La función de prueba es:

t

n

s +

n

s

) - ( - )x - x( = t 2) - n + n(

22o 21

2

2

1

1

2122

Cuando n1 + n2 2 30 entonces esta función de prueba sigue una distribución normal estándar. 3. Con varianzas desconocidas y aproximadamente iguales:

La función de prueba es:

t

n

1 +

n

1s

) - ( - )x - x( = t 2) - n + n(

2

o 21

21

2121

Aquí s

2 es la varianza mancomunada

2 - n + n

s1) - (n + s1) - (n = s

222

21

2211

Al igual que en el caso anterior, si n1 + n2 2 30 entonces la función de prueba sigue una distribución normal estándar. Observación: Antes de realizar la prueba de comparación de medias, es conveniente efectuar la prueba de comparación de varianzas para determinar si los datos de ambas poblaciones tienen varianzas aproximadamente iguales o diferentes. Ejemplo 3.3

Una compañía desea comparar las expectativas salariales anuales de su personal de ventas femenino y masculino, según un nuevo plan de compensaciones venta-más-comisión. Se pidió a n1 = 40 vendedoras y n2 = 40 vendedores, muestreados al azar, predijeron sus ingresos anuales bajo el nuevo plan. Las medias y desviaciones muestrales eran:

1x = $ 31 083 2x = $ 29 745

1s = $ 2 312 2s = $ 2 569

¿Proporcionan estos datos evidencia que indique una diferencia en el promedio del ingreso anual

esperado tanto entre los vendedores como las vendedoras? Haga la prueba con = 0,10. Solución:

Ho: 21 5.597255221

2212

2 - n + n

s1) - (n + s1) - (n = s

222

Ha: 21 645.1)95,0( Z= Z t



40

= 0.10

f.p. 45.2

40

1

40

15.597255252

02974531083

11

21

2

2121

+ n

+ n

s

) - ( - )x - x( = Z o

Decisión: Como Z o RR no existe suficiente evidencia como para aceptar la hipótesis nula,

por consiguiente aceptamos la Ha. Conclusión: Los datos proporcionan suficiente evidencia como para indicar una diferencia en el promedio del ingreso anual esperado tanto entre los vendedores usando un 10% de significación de prueba. 3.3. PRUEBA DE HIPÓTESIS REFERIDA A LA DIFERENCIA ENTRE DOS PROPORCIONES POBLACIONALES Cuando se desea comparar dos poblaciones cualitativas. Las hipótesis referentes a este parámetro pueden ser: Ho: P1 = P2

Ha: P1 P2 Prueba bilateral Ho: P1 = P2

Ha: P1 P2 Prueba unilateral Ho: P1 = P2

Ha: P1 P2 Prueba unilateral La función de prueba es:

n

n

1 +

n

1p - 1p

)P - P( - )p - (p =z (0,1)

21

2121

Aquí p es la proporción mancomunada:

n + n

pn + pn = p

21

2211

Ejemplo 3.4

Un sociólogo cree que la proporción de hombres que pertenecen a un grupo socioeconómico determinado (grupo A) y que ven regularmente lucha en TV. supera mucho a un segundo grupo de hombres (grupo B) que también ven lucha. Muestras aleatorias simples de los dos grupos arrojaron los siguientes resultados.

tamaño de Número de hombres que ven Grupo la muestra regularmente lucha en TV A (1) n1 = 150 a1 = 98 B (2) n2 = 200 a2 = 80

RR

2 = 0,05

Zt = -1,645

RA

1 - = 0,90 RR

2 = 0,05

Zt =1,645

Z0 = 2,46



41

¿Proporcionan estos datos evidencia suficiente como para apoyar la tesis del sociólogo? use = 0,05 Solución:

Ho: 21 P P 51.0350

8098p

Ha: 21 P P 645.1)95.0( Z= Z t

40.0200

80

65.0150

98

2

22

1

11

n

ap

n

ap

= 0.05

f.p. 63.4

200

1

150

1)49.0(51.0

0)4.065.0(

21

21210

+

n

1 +

n

1p - 1p

)P - P( - )p - (p= Z

Decisión: Como Z o RR rechazamos Ho en favor Ha

Conclusión: Los datos proporcionan suficiente evidencia como para apoyar la opinión del sociólogo con un 5% de significación de prueba.

RA

1 - = 0,95 RR

2 = 0,05

Zt =1,645

Z0 = 4,63



42

AUTOEVALUACIÓN


( ) La hipótesis Ho: P > Po es una prueba bilateral.

( ) En la prueba F los n1-1 y n2-1 son conocidos como los grados de libertad.

( ) Cuando el tamaño de muestra es mayor que 30 se utiliza la distribución normal.

( ) Cuando Fo pertenece a la Región de aceptación entonces se rechaza Ho.

( ) La hipótesis Ho: P > Po es una prueba unilateral a la derecha.

2. El gerente de una empresa insiste en que a lo más del 33% de los clientes de la empresa esta

de acuerdo con el cambio de su producto. De 80 clientes tomados al azar, 29 están de

acuerdo con el cambio del producto. Al nivel de significancia de 5%, ¿tiene razón el gerente?

3. Ejemplo: Una muestra aleatoria de 300 hombres y otro de 400 mujeres de una determinada

población reveló que 120 hombres y 120 mujeres estaban a favor de cierto candidato. ¿Se

puede concluir a un nivel de significación del 5% que la proporción de hombres a favor del

candidato es mayor que la proporción de mujeres?

4. Dos fabricantes A y B producen un artículo similar, cuyas vidas útiles tienen desviaciones

estándar respectivas de 120 horas y 90 horas. Para comparar el promedio de vida útil de estos

artículos se extrae una muestra aleatoria de 60 artículos de cada fabricante encontrándose la

duración media de 1.230 horas para la marca A y de 1.190 horas para la marca B. ¿Se puede

concluir a un nivel de significación del 5% que los artículos de marca A tienen mayor duración

media que los artículos de marca B?

5. Se controla la calidad de una muestra aleatoria de 40 piezas producidas por un fabricante. Si

se hallaron 4 piezas defectuosas, ¿se debería inferir que el porcentaje de todas las piezas

defectuosas es más del 5% al nivel de significación del 5%?

6. Un inversionista está por decidir entre dos provincias para abrir un centro comercial. Par esto

debe probar la hipótesis de que hay diferencia en el promedio de ingresos familiares de las

dos provincias. Si una muestra de 300 hogares de la provincia 1 da _

1 $400x y 1 $90s y

otra muestra de 400 hogares de la provincia 2 da _

2 $420x y 2 $120s . ¿se puede inferir

que las dos medias poblacionales son diferentes?, si es así, ¿en cual de las provincias

debería abrir la sucursal? Utilice =0.05. 2 $120s

_

2 $420x_

1 $400x



43

Unidad 3 ANALISIS DE VARIANZA

Nº de tutoría: Uno

Tutoría Nº 4:

ANÁLISIS DE VARIANZA : ANÁLISIS DE VARIANZA DE UNA VÍA Y DE DOS VÍAS.



44



45

A. Aspectos preliminares 1. Competencias 1.1. Conceptuales Reconoce el modelo del análisis de varianza. 1.2. Procedimentales Prueba las diferencias entre k-medias. 1.3. Actitudinales Comparan las medias de k-grupos o poblaciones. B. Desarrollo del contenido, sus procedimientos y modalidad 1. Contenido programático El contenido programático de la unidad referida es el siguiente: Análisis de varianza: conceptos básicos, Análisis de varianza de una vía (concepto, modelo, prueba de hipótesis); Análisis de varianza de dos vías (concepto, clases: sin interacción y con interacción, modelos) 2. Modalidad y procedimiento de desarrollo de la unidad Durante la fase a distancia a) Cada alumno lee la primera unidad del módulo. b) Cada alumno desarrolla las prácticas dirigidas y los trabajos





46

Tutoría Nº

Análisis de varianza: análisis de

varianza de una vía y de dos vías

4.1. ANÁLISIS DE VARIANZA El análisis de varianza se emplea para probar las diferencias entre k medias. Una suposición básica implícita en el análisis de varianza es que las diversas medias muestrales se obtienen de

las poblaciones distribuidas normalmente que tienen la misma varianza ². Sin embargo, se ha descubierto que el procedimiento de pruebas no se ve afectado por las violaciones de la suposición de normalidad cuando las poblaciones son unimodales y los tamaños de muestra son aproximadamente iguales. Todos los procedimientos de cálculo presentados son para efectos fijos, contrariamente a los modelos de efectos aleatorios. El concepto básico en el análisis de varianza fue desarrollado por R.A. Fisher y la distribución F se ha denominado en honor suyo. El razonamiento conceptual es el siguiente:

(1) Se calcula la media para cada grupo de la muestra y después se determina el error estándar de la media S_ con base sólo en las diversas medias muestrales.

(2) Dada la fórmula S_ = S/ n , tenemos que s = X

Sn y que X

Sns 2 . Esta estimación

resultante de la varianza de la población se llama la media cuadrática entre los grupos (MCE).

(3) Se calcula la varianza dentro de cada grupo muestral y con respecto a cada media de grupo. Luego se combinan estos valores de la varianza ponderándolos de acuerdo a n-1 para cada muestra. La estimación resultante de la varianza de la población se llama media cuadrática dentro de los grupos (MCD).

(4) Si la hipótesis nula 1 = 2 = 3 = ... = k es verdadera, entonces tenemos que las dos medias cuadráticas obtenidas en (2) y (3) no están sesgadas y son estimadores independientes de

la misma varianza de la población, ². Si la hipótesis nula es falsa, entonces el valor esperado de la MCE es mayor que el de la MCD. Esencialmente, todas las diferencias entre las medias de la población inflarán la MCE, mientras que no afectarán la MCD.

(5) Con base al numeral (4), se involucra una prueba de una cola y la fórmula general de la prueba F en el análisis de la varianza es:

MCE

MCDF

Si la relación F está en la región de rechazo para el nivel de significación especificado, entonces se rechaza la hipótesis de que las diversas medias muestrales se obtuvieron de la misma población. Para simplificar este procedimiento con diseños en términos del modelo lineal que identifica los componentes que influyen sobre la variable aleatoria y se presenta una tabla estándar de análisis de varianza que muestra los cálculos necesarios de la media cuadrática para cada tipo de diseño experimental.

4



47

4.2. ANÁLISIS DE VARIANZA DE UNA VÍA El modelo del análisis de varianza de una vía se relaciona con la prueba de la diferencia entre k medias muestrales, cuando los sujetos se asignan aleatoriamente a cada uno de los diversos grupos de tratamiento. La ecuación lineal que representa el modelo del análisis de varianza de una vía es:

Xik = + k + ik donde:

= media global de todos los k grupos de tratamiento

k = efecto del tratamiento en el grupo específico k, del cual se muestreo el valor

ik = error aleatorio relacionado con el proceso de muestreo. La tabla siguiente es un resumen del análisis de varianza de una vía en la cual; MCD pasa a ser la media cuadrática entre los A grupos de tratamiento (MCA) y (MCE) es llamada media cuadrática del error, N asigna el tamaño total de la muestra para todos los grupos de tratamiento combinados, antes que el tamaño de la población. Tk representa la suma (total) de los valores muestreados en todos los grupos combinados. La hipótesis nula y alternativa son:

Ho: k = 0 para todos los niveles de tratamiento

Ha: k 0 para todos los niveles de tratamiento Si la hipótesis nula es verdadera, entonces tenemos que :

1 = 2 = 3 = ... = k .

Fuente de variación

Suma de los

cuadrados, SC

Grados de libertad, gl

Media

cuadrática MC

Relación F

Entre grupos de tratamiento A

N

T

n

TSCA

k

k

22

k – 1

1k

SCAMCA

MCE

MCAF0

Error de muestreo, E

SCASCTSCE

n – k

kn

SCEMCE

Total, T

N

TXSCT

22

N - 1

Ejemplo 4.1

Quince personas que se capacitan en un programa técnico son asignadas en forma aleatoria a tres tipos diferentes de enfoques de instrucción. Los puntajes de las pruebas de rendimiento, al concluir la especialización, se presentan en la tabla siguiente. Use el procedimiento de análisis de varianza para probar la hipótesis nula de que las tres medias muestrales son iguales a un nivel de significación del 5%.

Método de Instrucción

Puntaje de la prueba Tk

Total

A1

A2

A3

86

90

82

79

76

68

81

88

73

70

82

71

84

89

81

400

425

375

Total 1200



48

Solución: Suma de cuadrados de tratamiento =

N

T

n

TSCA

k

k

22

= 25015

1200

5

375

5

425

5

400 2222

Suma de cuadrados del total = N

TXSCT

22

= 69815

1200718270...829086

2222222

Suma de cuadrados del error = SCASCTSCE

= 698 – 250 = 448


Suma de

cuadrados SC

grados de libertad, gl

Media

cuadrática MC

relación, F

Entre grupos de trat., A

SCA = 250

2

MCA =125

Fo = 3.35


SCE = 448

12

MCE =37.33

Ft = 3.89

Total, T SCT = 698 14

Ft = F(1- , glA, glE) = F(0.95, 2, 12) = 3.89

Ho: 0321

Ha: 0lg iúna

= 0.05 f.p. Fo = 3.35

Decisión: Como RAF0 se acepta Ho

Conclusión: No hay efecto asociado a los niveles del método de instrucción por lo tanto las diferencias de métodos no son significativo, con un 5% de significación de prueba.

Ejemplo 4.2

La tabla siguiente presenta el promedio de palabras mecanografiadas por minuto en diferentes marcas de máquinas eléctricas, por individuos asignados aleatoriamente sin experiencia previa en estas máquinas, después del mismo período de instrucción. Pruebe la hipótesis nula de que la media de palabras por minuto lograda para las tres máquinas no es diferente, usando un nivel de significación del 5%.

Marca de las máquinas

Promedio de palabras por minuto Tk

Total

A1

A2

A3

79

74

81

83

85

65

62

72

79

51 -

55

77 - -

352

231

280

Total 863

RA

1 – = 0,95 RR

= 0,05

Ft = 3,89

F0 = 3,35



49

Solución Suma de cuadrados de tratamiento =

N

T

n

TSCA

k

k

22

= 72.10312

863

4

280

3

231

5

352 2222

Suma de cuadrados del total =

N

TXSCT

22

= 96.137612

863557965...628379

2222222

Suma de cuadrados del error = SCASCTSCE

= 1376.96 – 103.72 = 1273.20


Suma de

cuadrados SC


Media

cuadrática MC

Relación,

F


SCA = 103.72

2

MCA = 51.86

Fo = 0.37


SCE = 1273.20

9

MCE = 141.47

Ft = 4.26

Total, T

SCT = 1376.92

11

Ho: 0321

Ha: 0lg iúna

= 0.05 f.p. Fo = 0.37 Ft = 4.26

Decisión: Como RAF0 se acepta Ho

Conclusión: No existe diferencia significativa entre las 3 máquinas de escribir en términos de velocidad de mecanografía, con un 5% de significación de prueba. 4.3. ANÁLISIS DE VARIANZA DE DOS VÍAS

El análisis de varianza de dos vías se basa en dos conjuntos de clasificaciones o tratamientos. Por ejemplo, al analizar el nivel de rendimiento de un programa de capacitación, podríamos considerar ambos efectos, el del método de instrucción y el del rendimiento escolar anterior. Asimismo, podríamos investigar el kilometraje de gasolina según la categoría de peso del automóvil y el grado de la gasolina. En las tablas de datos, los tratamientos identificados en los encabezamientos de la columna se llaman típicamente tratamientos A; aquellos en los encabezamientos de fila se denominan tratamientos B. La interacción en un experimento de dos factores significa que los dos tratamientos no son independientes y que el efecto particular de los niveles de tratamiento en un factor difiere según los niveles del otro factor. Por ejemplo, al estudiar el kilometraje de un automóvil, una gasolina de octanaje más alto puede mejorar el kilometraje para ciertos tipos de autos pero no p ara otros. Además la efectividad de varios métodos de instrucción puede diferir según los niveles de

RA

1 – = 0,95 RR

= 0,05

Ft = 4,26

F0 = 0,37



50

capacidad de los estudiantes. Con el objeto de probar la interacción, en cada célula de la tabla de datos de dos vías debe incluirse más de una observación o medición muestreada (reiteración). 4.3.1. Análisis de varianza de dos vías sin interacción (diseño de bloque aleatorizado) El modelo de análisis de varianza de dos vías en el cual hay una sola observación por célula se denomina a menudo diseño de bloque aleatorizado, debido a un tipo particular de uso para este modelo. El objetivo de utilizar éste diseño no tiene propósito específico de probar un efecto de los "bloques". Más bien, al ser capaz de asignar alguna variabilidad a los sujetos antes del rendimiento, la MCE, puede reducirse y la prueba resultante del efecto de los tratamientos A ser más sensible. La ecuación lineal para el modelo del análisis de varianza de dos vías sin interacción es:

Xjk = + j + k + jk Donde:

= media global de cualquier tratamiento

j = efecto del tratamiento j o del bloque j en la dimensión B de clasificación.

k = efecto del tratamiento k en la dimensión A de clasificación.

ik = error aleatorio relacionado con el proceso de muestreo. Las hipótesis correspondientes serían:

Ho : k = 0

Ha : k 0 La tabla de resumen para el análisis de varianza de dos vías sin interacción se da a continuación:


Suma de los

cuadrados, SC

Grados

de libertad,

gl

Media cuadrática

MC

Relación F


N

T

n

TSCA

k

k

22

K - 1

1K

SCAMCA

MCE

MCAF0

Entre grupos de tratamiento B

N

TT

kSCB j

221

J - 1

1J

SCBMCB


SCBSCASCTSCE

(J–1) (K–

1)

)1()1( KJ

SCEMCE

Total, T

N

TXSCT

22

N - 1

Ejemplo 4.3

Para los datos de la tabla siguiente suponga que en la realidad se utilizó un diseño de bloque aleatorizado y que se parearon los participantes antes del experimento, asignando un participante de cada grupo de aptitud (con base en los rendimientos anteriores del curso) a cada método de instrucción. La tabla siguiente es una revisión de la tabla del ejemplo 1, en el sentido que los valores presentados se han reorganizado para reflejar el diseño de bloque aleatorizado. Sin embargo observe que en cada grupo de tratamiento A se incluyen los mismos valores, excepto que se indican de acuerdo a los grupos de aptitud B y, por lo tanto, están dispuestos en un orden diferente. Pruebe la hipótesis nula de que no existe diferencia en el desempeño promedio entre los tres métodos de instrucción y los niveles de aptitud, utilizando un nivel de significación del 5%.



51

Nivel de aptitud

Método de instrucción Tj Total A1 A2 A3

B1 86 90 82 258

B2 84 89 81 254

B3 81 88 73 242

B4 79 76 68 223

B5 70 82 71 223

Total Tk 400 425 375 1200

Solución:

Suma de cuadrados de tratamiento =

N

T

n

TSCA

k

k

22

= 25015

1200

5

375

5

425

5

400 2222

Suma de cuadrados de bloque =

N

TT

kSCB j

221

= 33.36715

1200

3

223

3

223

3

242

3

254

3

258 222222


TXSCT

22

= 69815

1200718270...829086

2222222

Suma de cuadrados del error = SCBSCASCTSCE

= 698 – 250 – 367.33 = 80.87


Suma de cuadrados SC

grados de libertad, gl

Media cuadrática

MC relación, F


SCA = 250 2 MCA = 125 Fo = 12.4

Ft = 4.46

Entre grupos de bloque B

SCB = 367.33 4 MCB = 91.83


SCE = 80.87 (2)(4) = 8 MCE = 10.98

Total, T SCT = 698 14

Ho: 0321

Ha: 0lg iúna

= 0.05 f.p. Fo = 12.4

Ft = 4.46

RA

1 – = 0,95 RR

= 0,05

Ft = 4,46

F0 = 12,4



52

Decisión:

Como RRF0 rechazamos Ho

Conclusión:

Existe diferencia significativa entre los porcentajes de rendimiento para los diferentes métodos de instrucción, cuando se consideran el nivel de aptitud. Utilizando una prueba significativa. 4.3.2. Análisis de varianza de dos vías con interacción (N observaciones por célula) Cuando se utiliza este diseño se pueden probar por el análisis de varianza tres hipótesis nulas diferentes; que no hay efectos de columna (las medias de las columnas no son significativamente diferentes) y que no hay efectos de fila (las medias de las filas no son significativamente diferentes) y que no hay interacción entre los dos factores (los dos factores son independientes). Un efecto de interacción significativo indica que el efecto de los tratamientos para un factor varía según los niveles del otro factor. En tal caso, la existencia de efectos de columna y de fila puede no tener mucho significado desde el punto de vista de la aplicación de los resultados de la investigación. La ecuación lineal para el modelo del análisis de varianza de dos vías sin interacción es:

Xijk = + j + k + ijk + ijk Donde:

= media global independiente de cualquier tratamiento

j = efecto del tratamiento j en la dimensión B.

k = efecto del tratamiento k en la dimensión A. ijk = efecto de la interacción entre el tratamiento j (del factor B) y el tratamiento k (del factor A)

ik = error aleatorio relacionado con el proceso de muestreo. Las hipótesis correspondientes serían:

Ho : k = 0 Ho : j = 0 Ho : Ijk = 0

Ha : k 0 Ha : j 0 Ha : Ijk 0

La tabla de resumen para el análisis de varianza de dos vías con interacción se da a continuación:


Suma de los cuadrados, SC

Grados de

libertad, gl

Media cuadrática MC

Relación F


N

TT

nSCA k

221

K - 1

1K

SCAMCA

MCE

MCAF0

Entre grupos de tratamiento B

N

TT

knSCB j

221

J – 1

1J

SCBMCB

MCE

MCBF0

Interacción (entre grupos de tratamiento A y B) I

N

TSCBSCA

Xn

SCI

2

21

(J–1) (K–

1)

)1()1( KJ

SCIMCI

MCE

MCIF0


SCISCBSCASCTSCE

JK (n–1)

)1(nJK

SCEMCE

Total, T

N

TXSCT

22

N - 1



53

Ejemplo 4.4

Nueve personas que se capacitan en cada una de cuatro áreas temáticas diferentes fueron asignadas en forma aleatoria a tres métodos de instrucción distintos. Se asignaron tres estudiantes a cada método de instrucción. Se refiere a la tabla siguiente, pruebe las diversas hipótesis nulas que son de interés respecto a tal diseño, a un nivel de significación del 5%.

Área temática

Método de instrucción Total Tj

A1 A2 A3

B1 70 79 72

83 89 78

81 86 79

717

221 250 246

B2 77 81 79

77 87 88

74 69 77

709

237 252 220

B3 82 78 80

94 83 79

72 79 75

722

240 256 226

B4 85 90 87

84 90 88

68 71 69

732

262 262 208

Total Tk 960 1020 900 T=2880

Solución:

Suma de cuadrados de tratamiento A = N

TT

nkSCA k

221

= 60036

2880

12

900

12

1020

12

960 2222

Suma de cuadrados de tratamiento B =

N

TT

njSCB j

221

= 8.3036

2880

9

732

9

722

9

709

9

717 22222

Suma de cuadrados de la interacción =

N

TSCBSCA

Xn

SCI

2

21

= 9.53336

28808.30600

3

208

3

262

3

262...

3

246

3

250

3

221 2222222


TXSCT

22

= 0.160036

2880698887...818370

2222222

Suma de cuadrados del error = SCISCBSCASCTSCE

= 1600 – 600 – 30.8 – 533.9 = 435.3



54


Suma de cuadrados

SC


Media cuadrática MC

relación, F

Entre grupos de trat., A (método)

SCA = 600.0 3-1 = 2 MCA = 300 Fo = 16.57

Entre grupos de trat., B (tema)

SCB = 30.8 4-1 = 3 MCB = 10.3 Fo = 0.57

Interacción entre método y tema, I

SCI = 533.9 (2)(3) = 6 MCI = 18.1 Fo = 4.92


SCE = 435.3

(4)(3)(2) =

24

MCE = 18.1

Total, T SCT = 1600.0

36-1=35

Ho: 321 AAA Ho: 321 BABAB Ho: 0jkI

Ha: 0lg iúna Ha: 0lg júna Ha: 0jkI

= 0.05 f.p. Fo = 16.57 Fo = 0.57 Ft = F(2,24,0.95) = 3.4 Ft = F(3,24,0.95) = 3.0 Fo = 4.92 Ft = F(6,24,0.95) =2.5 Decisión:

1. Como RRF0 rechazamos Ha

2. Como RAF0 aceptamos Ho

3. Como RRF0 aceptamos Ha

Conclusión: Hay diferencia satisfactoria entre los porcentajes de los métodos de instrucción, no hay diferencia significante entre las distintas áreas hay interacción importante entre los dos factores: La última conclusión indica que varía la efectividad de los tres métodos de instrucción para las diferentes áreas temáticas.

RA

1 – = 0,95 RR

= 0,05

RA

1 – = 0,95 RR

= 0,05

RA

1 – = 0,95 RR

= 0,05

Ft = 3.4 Ft = 3.0

Ft = 2.5

Fo = 16.57 Fo = 0.57

Fo = 4.92



55

AUTOEVALUACIÓN


( ) El análisis de varianza se emplea para probar las diferencias entre k medias.

( ) El análisis de varianza de dos vías se basa en dos conjuntos de tratamientos

( ) Al análisis de varianza de dos vías sin interacción se le conoce como diseños de bloque

aleatorizado.

( ) El modelos del análisis de varianza de dos vías es: Xik = + k + ik

( ) MCE es llamada media cuadrática del error

2. En 12 depósitos al por menor se establecieron 4 tipos de exhibiciones de publicidad, con tres

depósitos asignados en forma aleatoria a cada una de las exhibiciones con el propósito de estudiar el impacto de la exhibición en el punto de venta. Refiriéndose a la tabla siguiente, pruebe la hipótesis de que no existe diferencia entre las medias de los valores de venta para los cuatro tipos de exhibiciones, usando un nivel de significancia del 5%.

Tipo

De Exhibición VENTAS

1 2 3

E1 E2 E3 E4

40 44 43 53 54 59 48 38 46 48 61 47

3. Los siguientes son los números de hornos de microondas que venden cada uno de los

vendedores de las tres sucursales de una compañía distribuidora de artículos domésticos

SUCURSAL ALFA 21 11 17 28 SUCURSAL BETA 27 15 18 26 17 21 SUCURSAL GAMMA 24 17 31 12 15

Realice un ANVA para probar, con un nivel de significancia de 0.05, si la hipótesis nula de que en promedio las ventas de las tres sucursales son las mismas.

4. Completar la siguiente tabla de análisis de varianza (ANVA)

FUENTE VARIACION

SUMA DE CUADRADO

S

GRADO DE LIBERTAD

MEDIA CUATRADTICA

F

Tratamiento 2

Error 9 10

Total 120

5. Un ejecutivo de marketing llevó a cabo un estudio para examinar el efecto comparativo de 3

técnicas diferentes de promoción en 4 zonas diferentes de ventas y obtuvo los resultados mostrados en la tabla siguiente. Determinar las conclusiones a las que puede llegar usando los resultados de la tabla ANVA y formule en forma clara las hipótesis de contraste.

FUENTE

VARIACION SUMA DE

CUADRADOS GRADO DE LIBERTAD

MEDIA CUADRATICA

F

Entre técnicas promocionales

7.48

Entre zonas de ventas

3

Error 3.90 6

Total 11.41 11



56



57

Unidad 4 TEORIA DE LA TOMA DE DECISIONES

Nº de tutoría: Uno

Tutoría Nº 5

Teoría de la toma de decisiones



58



59

A. Aspectos preliminares 1. Competencias 1.1. Conceptuales Reconoce los conceptos del análisis estadístico en la toma de decisiones. 1.2. Procedimentales Elaboran tabla, diagrama en base a las probabilidades para la toma de decisiones. 1.3. Actitudinales Realiza toma de decisiones basadas en un análisis estadístico en un problema de investigación. B. Desarrollo del contenido, sus procedimientos y modalidad 1. Contenido programático El contenido programático de la unidad referida es el siguiente: La estructura bayesiana comparada con la estadística clásica conceptos fundamentales (conceptos generales), estructura de la tabla de decisión; toma de decisiones basadas en probabilidades (criterios: probabilidad máxima, esperanza del evento); toma de decisiones con base sólo en las consecuencias económicas (criterios: maximin, máximax, pena mínimax); toma de decisiones con base en probabilidades y consecuencias económicas (criterios: del valor esperado o criterio bayesiano, mínima pérdida de oportunidad o pena esperada); análisis de árbol de decisión. 2. Modalidad y procedimiento de desarrollo de la unidad Durante la fase a distancia a) Cada alumno lee la primera unidad del módulo. b) Cada alumno desarrolla las prácticas dirigidas y los trabajos

prácticos. c) Remite las prácticas y los trabajos a la página web de PROESAD. Durante la fase presencial/tutorial a) Exposición sobre los trabajos elaborados y remitidos. b) Refuerzo del profesor con incidencia y corrección en los puntos




60

Tutoría Nº

Teoría de la toma

de decisiones

5.1. LA ESTRUCTURA BAYESIANA COMPARADA CON LA ESTADÍSTICA CLÁSICA La estadística clásica trata en lo fundamental dos problemas estrechamente relacionados: 1. El problema de la estimación de algunos parámetros de la población, como la media aritmética

de la población y la proporción poblacional p. 2. El problema de probar una hipótesis respecto a alguna característica o parámetro de la

población Pero, ya sea que el problema consista en estimar algún parámetro de la población o probar (o contrastar o verificar) una hipótesis respecto al valor de ese parámetro, el método que se usa para resolver el problema es uno y el mismo; se selecciona una muestra aleatoria de la población y esta información muestral se convierte en la base de todas las inferencias acerca de los parámetros de la población. Para ejemplificar esto, supóngase que el problema inmediato es estimar el porcentaje de estudiantes del quinto año de secundaria en un colegio. Si una muestra aleatoria de 100 estudiantes seleccionados de este colegio revela que hay 10 esudiantes del último año, entonces se estimará el porcentaje de estudiantes del último año de todo el colegio como 10/100 ó 10%. La información que se puede utilizar al hacer una inferencia sobre una característica de la población, por lo general, se clasifica en dos clases: la información objetiva y la información subjetiva. Por ejemplo, la información que se obtiene por medio de muestreos es información objetiva. Por otra parte, la opinión personal del experto en un campo es información subjetiva. Al estimar el porcentaje de estudiantes del último año del colegio como 10%, se ha adoptado el método tradicional o clásico de la inferencia estadística, un método en el que la inferencia acerca de la población se basa de una manera estricta en información muestral objetiva. En contraste con el método estadístico clásico, en el que sólo se puede utilizar información muestral objetiva, un enfoque alternativo de la estadística, llamado estadística de Bayes, puede utilizarse toda la información disponible pertinente: subjetiva y objetiva. En la estadística de Bayes, una inferencia sobre un parámetro de la población puede hacerse partiendo de información subjetiva exclusivamente. Sin embargo, si posteriormente se cuenta con información muestral objetiva, se combinan la información subjetiva y la objetiva, y las inferencias sobre el parámetro de la población se basan en esta información combinada. La distinción entre la estadística clásica y la de Bayes, puede presentarse desde una perspectiva definida considerando el ejemplo siguiente: Una compañía manufacturera está considerando la compra de una nueva máquina, denominada la máquina A. La decisión de si se compra o no la máquina A se basará en el porcentaje de partes defectuosas que produzca la máquina. En base a su experiencia pasada con otras máquinas semejantes, el ingeniero de control de calidad de la compañía estima el porcentaje de partes defectuosas producidas por la máquina A según la siguiente tabla:

PORCENTAJE DE PARTES DEFECTUOSAS

PROBABILIDAD

0,05 0,06 0,07

0,30 0,50 0,20

Esto significa que el ingeniero de control de calidad no está absolutamente seguro del porcentaje de partes defectuosas que produce la máquina A. Sin embargo, en base a cualquier conocimiento

5



61

o experiencia que posee, el ingeniero piensa personalmente que es de 0,30 la probabilidad de que el porcentaje de partes defectuosas producidas por la máquina A sea 5% es de 0,50 la probabilidad de que el porcentaje de partes defectuosas sea 6% y hay un riesgo de 0,20 en que el porcentaje de partes defectuosas sea 7%. Dos observaciones importantes pueden hacerse en esta fase de la discusión. Primera, la información del ingeniero de control de calidad respecto a la máquina A es personal o subjetiva, puesto que algún otro ingeniero bien podría dar una estimación del porcentaje de partes defectuosas que produce la máquina A. Segunda, en contraste con la estadística de Bayes está especialmente diseñada para hacer uso más constructivo de este tipo de información. De hecho, usando la información subjetiva del ingeniero de control de calidad, la estadística de Bayes permitirá a la compañía decidir si compra o no la máquina A. Continuando el caso de la máquina A, supóngase además que en una serie de pruebas, una muestra aleatoria de 100 partes producidas por la máquina A revela que hay 4 partes defectuosas. Ahora bien, según la estadística, el porcentaje de partes defectuosas producidas por la máquina A se estima como 4%. Sin embargo, usando la estadística de Bayes la información muestral se combina con la información subjetiva del ingeniero de control de calidad, y una estimación del porcentaje de partes defectuosas producidas por la máquina A se hace, partiendo de esta combinación de información. El uso de información subjetiva en la inferencia estadística es sólo una de las características de la estadística bayesiana. En los últimos años, la estadística bayesiana se ha convertido en una teoría integrada para la toma de decisiones, llamada la teoría de decisión bayesiana. La teoría de decisión bayesiana trata el problema de la toma de decisiones bajo condiciones de incertidumbre. Esta teoría le proporciona a quien toma una decisión un procedimiento racional y sistemático que le permite elegir entre varios cursos de acción posible cuando las consecuencias de cada una de estas acciones están sujetas a incertidumbre. I. Estructura de tablas de decisión Una tabla de decisión identifica la ganancia (o pérdida) ocasional asociada por todas las combinaciones posibles de actos y sucesos de decisión, también indica la probabilidad de ocurrencia para cada uno de los eventos mutuamente excluyentes.

TABLA 1

ESTRUCTURA GENERAL DE UNA TABLA DE DECISIÓN

EVENTO PROB. ACTOS

A1 A2 A3 ... An

E1 E2 E3 ...

Em

p1 p2 p3 ... pm

X11 X21 X31 ...

Xm1

X12 X22 X32 ...

Xm2

X13 X23 X33 ...

Xm3

...

...

...

...

...

X1n X2n X3n ...

Xmn

Donde: Actos: Son los cursos de acción alternativos, o estrategias, que están a disposición de la

persona que toma la decisión. Como resultado del análisis se elige uno de estos actos como el mejor.

Eventos: Identifica las ocurrencias que están fuera del control de la persona que toma la

decisión y que determina el nivel de éxito de un acto dado. Probabilidad: Deben estar disponibles, pueden basarse en actos objetivos o determinarse

subjetivamente con base en el criterio. Las sumas de las probabilidades siempre es 1,00.

Las entradas en las células: Son valores condicionales o consecuencias económicas

condicionales. Frecuentemente se denominan pagos y son condicionales pues el resultado económico depende del acto de decisión que se elige y del evento que ocurre.



62

II. Toma de decisiones basadas en probabilidades Esto se efectúa haciendo uso de la primera y segunda columna de la tabla 1.

Criterios

1º Probabilidad máxima: Es aquel que se selecciona el acto del evento que presenta mayor probabilidad.

2º Esperanza del evento: Es aquel que se selecciona el acto del evento considerando la

esperanza matemática del evento. E(e) = e p(e)

Obs. Representa una base incompleta para efectuar toma de decisión. III. Toma de decisiones con base sólo en las consecuencias económicas

La tabla que se usa es similar a la tabla 1, excepto que por la ausencia de las probabilidades de los eventos.

Criterios

1º Maximin: Esta estrategia de decisión es "altamente conservadora" pues la persona que toma la decisión se preocupa de que "pueda suceder lo peor" respecto a cada acto. Cálculo: Se determina el valor mínimo de cada columna. El mejor acto es aquel para el cual el valor resultante es mayor.

2º Máximas: Es el estándar por el cual el mejor acto es el para el que el valor máximo es

mayor que el máximo de cualquier otro acto de decisión. Este criterio se opone filosóficamente al criterio maximin, pues la persona que toma las decisiones está orientada hacia "lo mejor que puede suceder" con respecto a cada acto. Cálculo: Se determina el valor máximo de cada columna. El mejor acto es aquel para el cual el valor resultante es mayor.

3º Pena Minimax (Pérdida de oportunidad condicional): Es la diferencia entre el resultado

económico del mejor acto dado que ha ocurrido en un evento particular y el resultado económico de acto. El valor "mejor" o más deseado de la pena es "0". Cálculo: Se determina la tabla pena minimáx restando el resultado de cada acto del mejor, en cada fila, luego el valor máximo de cada columna. El mejor acto es aquel para el cual el valor resultante es menor.

IV. Toma de decisiones con base en probabilidades y consecuencias económicas

Estos métodos utilizan toda la información contenida en la tabla 1. Criterios

1º Del valor esperado (VE) o Criterio Bayesiano: Es la norma por el cual el mejor acto es aquel para el que el resultado económico esperado es el más alto como promedio a largo plazo. Cálculo: Se determina multiplicando el valor condicional para cada combinación evento/acto por la probabilidad del evento y sumando estos resultados para cada acto (columna). El mejor acto es aquel para el cual el valor resultante es mayor.

2º Minima pérdida esperada de oportunidad (PEO) o Pena esperada.- El acto con la mayor

ganancia esperada tendría la menor pena esperada. Cálculo: Se determina la tabla pena minimáx restando el resultado de cada acto del mejor en cada fila, luego se multiplicando el valor condicional para cada combinación evento/acto por la probabilidad del evento y sumando estos resultados para cada acto (columna). El mejor acto es aquel para el cual el valor resultante es menor.

V. Análisis de árbol de decisión

Es el método que puede utilizarse para identificar el mejor acto inicial, como también los mejores actos subsiguientes. Proceso

1º Construir el árbol de decisión de izquierda a derecha, con sus puntos de decisión (puntos secuenciales en los cuales tiene que hacerse la elección) y eventos causales (puntos



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secuenciales en los cuales ocurrirá un evento probabilístico). Depende del análisis apropiado, de la situación global de decisión.

2º Se colocan en el diagrama los valores de probabilidad asociados con los eventos

causales y las consecuencias económicas. Los valores esperados de los actos alternativos en el punto inicial de decisión, los valores esperados se calculan sistemáticamente de derecha a izquierda en el árbol de decisión. Este proceso se llama "devolverse".

Ejemplo 5.1

Un contratista de calefacción y aire acondicionado debe comprometerse a comprar unidades de aire acondicionado desde el 1ero de abril, para reventa e instalación durante la próxima temporada de verano. Con base en la demanda del verano anterior, en las actuales condiciones económicas y en los factores de competencia del mercado, calcula que hay una probabilidad de 0,10 de vender sólo 5 unidades, una probabilidad de 0,30 de vender 10 unidades, una probabilidad de 0,40 de vender 15 unidades y una probabilidad de 0,20 de vender 20 unidades. Los equipos de aire acondicionado se pueden ordenar sólo en grupos de cinco, siendo el costo unitario de $1000 y el precio al por menor de $1300 (más gastos de instalación). Todas las unidades que no se han vendido al término de la temporada se devuelven al fabricante por un crédito neto de $800, después de deducir los gastos de embarque. Determine los mejores actos de decisión desde el punto de vista de los criterios. a) basada sólo en probabilidades, (probabilidad máxima y esperanza del evento). b) basada sólo en las consecuencias económicas, (maximin, maximax, pena minimax). c) basada en probabilidades y consecuencias económicas, (criterio bayesiano y pena esperada

de oportunidad). Solución:

(Tabla de ganancias)

E Demanda

P (E) ACTOS (Compra – Stock)

A1 = 5 A2 = 10 A3 = 15 A4 = 20

E1 = 5 E2 = 10 E3 = 15 E4 = 20

0.10 0.30 0.40 0.20

1500 1500 1500 1500

500 3000 3000 3000

(500) 2000 4500 4500

(1500) 1000 3500 6000

Valor esperado 13,3

Maximin 1500 500 (500) (1500)

Máxima x 1500 3000 4500 6000

C. Bayesiano 1500 2750 3250 2750

(Tabla de pérdida de oportunidad)

E Demanda

P (E) ACTOS (Cantidad de orden)

A1 = 5 A2 = 10 A3 = 15 A4 = 20

E1 = 5 E2 = 10 E3 = 15 E4 = 20

0.10 0.30 0.40 0.20

0 1500 3000 4500

1000 0

1500 3000

2000 1000

0 1500

3000 2000 1000

0

Pena Mimi max 4500 3000 2000 3000

Pena esperada de oportunidad 2550 1300 800 1300

a) i) Como la probabilidad máxima es 40%, entonces el mejor acto de decisión es ordenar la

compra de 15 unidades de aire acondicionado.

ii) Como el valor esperado = EP(E) = 13,3 y las ordenes se afectan en grupos de 5, luego el mejor acto de decisión, es ordenar la compra de 15 unidades de aire acondicionado.

b) Maximinin: ordenar comprar 5 unidades de aire acondicionado

Maximimax: ordenar comprar 20 unidades de aire acondicionado Pena mínimas: ordenar comprar 15 unidades de aire acondicionado

c) Criterio Bayesiano: ordenar comprar 15 unidades de aire acondicionado

Pena esperada de oportunidad: ordenar comprar 15 unidades de aire acondicionado



64

Ejemplo 5.2

a. A un fabricante se le presentó un proyecto para un producto nuevo, y debe decidir si desarrollarlo o no. El costo del desarrollo de proyecto es S/. 200 000; la probabilidad de éxito es 0,70. Si el desarrollo no tiene éxito se termina el proyecto. Si tiene éxito, el fabricante debe entonces decidir si el nivel de producción ha de ser alto o bajo. Si la demanda es alta, el aumento en la utilidad, dado un nivel elevado de producción, es de S/. 700 000; dado un nivel bajo, es de S/. 150 000. Si la demanda es baja, el incremento en la utilidad, dado un nivel elevado de producción es S/. 100 000; dado un nivel bajo es S/. 150 000.

Todos estos incrementos en utilidades son cifras brutas (es decir, antes de restar los S/. 200 000 del costo de desarrollar el producto). Se estima que la probabilidad de una demanda elevada es 0,40 y para la demanda baja es 0,60. Elabore el árbol de decisiones para esta situación. La figura muestra el árbol de decisión de este problema: : Puntos de decisión : Eventos aleatorios

b. Con referencia a la figura 1, determine si el fabricante debe intentar el desarrollo de este

producto o no, determinando la ganancia esperada correspondiente a las acciones alternativas “desarrollar” y “no desarrollar”.

En la figura 2 se repite el árbol de decisión presentado en la figura 1, pero ahora se incluyen las ganancias esperadas correspondientes a cada una de las decisiones posibles del proceso secuencial, y se eliminan las acciones no preferidas de cada decisión, cruzando con dos rayas la rama correspondiente. Trabajando de derecha a izquierda, se determina la ganancia esperada de la decisión “nivel alto de producción”, y que es de S/. 140 000, de la siguiente manera: GE (nivel alto de fabricación) = (0,40) (500 000) + (0,60) (-100 000) = S/. 140 000 De manera análoga: GE (nivel bajo de fabricación) = (0,40) (-50 000) + (0,60) (-50 000) = S/. 50 000

Figura 1. Diagrama del árbol de decisión



65

Al comparar las dos ganancias esperadas, la mejor decisión es “nivel alto de fabricación”; se elimina la posibilidad de la otra acción. Pasando a la izquierda hacia el siguiente punto de decisión (que es también el punto inicial de decisión en este caso), las ganancias esperadas para las dos posibles decisiones son: GE (desarrollar) = (0,70) (140 000) + (0,30) (-200 000) = S/. 38 000 GE (no desarrollar) = S/. 0 Al comprar las dos ganancias esperadas, la mejor acción en el punto inicial es “desarrollar”. Al calcular la ganancia esperada de “desarrollar”, debe observarse que la probabilidad de 0,70 (para “desarrollo con éxito”) se multiplica por S/. 140 000, y se ignora la rama adyacente de S/. –50 000, debido a que corresponde a una decisión eliminada en la etapa previa de análisis.

Figura 2: Diagrama del árbol con reversión



66

AUTOEVALUACIÓN


( ) La pena mínimax se calcula en la tabla de perdida.

( ) El criterio que maximiza los pagos mínimos de todos los actos se llama máximas.

( ) En el criterio máximax, el mejor acto es aquel para el cual el valor resultante es mayor. ( ) Los eventos son los cursos de acción alternativos, que están a disposición de la

persona que toma la decisión.

( ) La teoria bayesiana trata el problema de la toma de decisiones bajo condiciones de

incertidumbre. 2. Supóngase que un fabricantes de equipos de oficina debe decidir si ampliar la capacidad de

su planta ahora o espera otro año. Sus consejeros le advierten que si hace ahora la ampliación y las condiciones económicas siguen siendo favorable, se logrará una utilidad de $ 369 000; si hace ahora la ampliación y existe alguna recesión económica, habrá un pérdida (utilidad negativa) de $ 900 000; si espera otro año y las condiciones económicas siguen siendo favorables, se logrará una utilidad de $ 180 000; y si espera otro año, y existe una recesión económica, se logrará una pequeña utilidad de $ 18 000.

a) Construya una tabla de pagos. b) Construya una tabla de pérdida

3. Un canillita debe ordenar los periódicos con un día de anticipación. El costo de los periódicos

es de $ 2 la docena y el precio de venta es de $ 4 la docena. Los periódicos no vendidos al cabo del día deben devolverse. Si el canillita estima la demanda diaria de su clientela por periódicos en la forma siguiente: Demanda diaria, en docenas: 12, 13, 14. Probabilidad de la demanda 0.20, 0.30, 0.50.

a) Establecer la tabla de pago y de pérdida. b) Determine los mejores actos de decisión desde el punto de vista de los criterios:

Probabilidad máxima, valor esperado, maximin, máximax, pena mínimax, criterio bayesiano y pena esperada de oportunidad

4. Dada la siguiente tabla de resultados: UTILIDADES

Suceso Probabilidad Acciones A 1 A2 A3 A4

A B C D

0.1 0.2 0.5 0.2

20 0 -30 -40 20 40 20 0 20 40 60 40 20 40 60 80

a) Determínese la acción óptima mediante la Probabilidad Máxima b) Determínese la acción óptima utilizando el criterio Bayesiano y Pena Esperada de

Oportunidad c) Determínese la acción óptima utilizando el criterio MÁXIMAX, MAXIMIN, MINIMAX

5. La junta directiva de un hospital privado debe decidir, sobre fases financieras, si autoriza

fondos a un nuevo centro de atención a pacientes cardiacos. La junta considera que si se construye el nuevo centro y contratan a un cardiólogo de prestigio nacional, el centro percibirá $ 7.2 millones. Si se construye el nuevo centro pero no pueden contratar un cardiólogo eminente, habrá una pérdida de $ 1.25 millones. Si se remodela el antiguo centro de cardiología y se contrata a un cardiólogo eminente, el centro captará $ 2 millones. Si se remodela el centro y no contratan a un cardiólogo eminente, la institución sólo percibirá $ 0.5 millones.

a) Construya una tabla de pagos. b) Trace un árbol de decisión.



67

Unidad 5 CONTRO DE CALIDAD


Tutoría Nº 6: CONTROL DE CALIDAD: GRAFICA DE CONTROL PARA LA

MEDIA DEL PROCESO.

Tutoría Nº 7: CONTROL DE CALIDAD: GRAFICA DE CONTROL PARA LA VARIACIÓN DEL PROCESO Y PARA LA PROPORCIÓN DE DEFECTUOSOS.



68



69

A. Aspectos preliminares 1. Competencias 1.1. Conceptuales Reconoce los conceptos de las técnicas muy útiles que se usan en la industria para controlar y mejorar la calidad del producto. 1.2. Procedimentales Elaboran diagramas de control para controlar y mejorar el producto de un proceso de manufactura. 1.3. Actitudinales Asegurar que las variables que miden la calidad de un producto queden dentro de los intervalos que son aceptables para posibles clientes. B. Desarrollo del contenido, sus procedimientos y modalidad 1. Contenido programático El contenido programático de la unidad referida es el siguiente: control de calidad, introducción, métodos de control de calidad: técnicas de supervisión, técnicas de localización de problemas, técnicas de selección, supervisión de la calidad mediante graficas o diagramas de

control, grafica de control para media del proceso: diagrama de x ;

gráfica de control para la variación del proceso: diagrama de r, gráfica de control para la proporción de defectuosos: diagrama de p; gráfica de control para el número de defectuosos por unidad: diagrama de c 2. Modalidad y procedimiento de desarrollo de la unidad Durante la fase a distancia a) Cada alumno lee la primera unidad del módulo. b) Cada alumno desarrolla las prácticas dirigidas y los trabajos





70

Tutoría Nº

Control de calidad: grafica de

control para la media del proceso

ESTUDIO DE UN CASO

El Caso del Aceite Perdido

Considérese un problema administrativo, en el que usted es el encargado de la operación de llenar latas de aceite lubricante para motores. Los envases de un cuarto de galón, el tipo que se compra en una estación de servicio local, se llenan con una máquina que tiene 28 boquillas (inyectores). Cada boquilla descarga el aceite en una lata, y la máquina llena así los 28 envases, uno con cada inyector. El problema se presenta cuando los controladores de la compañía detectan una discrepancia extraña. Aunque la cantidad de aceite que se recibe mensualmente para la operación de llenado asciende a 10 000 000 de cuartos de galón, el número de latas de una cuarto que se llenan, es siempre considerablemente menor. Si el número de latas llenadas de un mes dado es de 9 700 000, ¿qué pasó con los 300 000 cuartos de aceite perdido? El problema que acabamos de describir es similar al problema encontrado por V. Filimon y sus colegas quienes trabajan, en ese tiempo, para la Estándar Oil Company en Cleveland, Ohio (V. Filimon, R. Maggass, D. Frazier y A. Flingel, “Some Applications of Quality Control Techniques in Motor Oil Can Filing, Industrial Quality Control, Vol. 12, 1995”). Su operación consistió en usar tres maquinas llenadoras cada una con 6 boquillas para latas de un cuarto, otra con 28 boquillas también para un cuarto y una mas con 16 inyectores para latas de un galón. La búsqueda del aceite perdido se concentro rápidamente en la maquina llenadora. ¿Se puede ajustar una máquina para que una boquilla descargue exactamente un cuarto de aceite en cada lata? La respuesta es negativa, porque la cantidad de aceite descargada para una sola boquilla difiere ligeramente de la que descargue otra, debido a la variación en el flujo del aceite por la citada boquilla. Así la cantidad x de aceite descargada en una lata, medida en volumen o en peso, varia de una lata a otra y tiene una distribución de frecuencias relativas. Esta variación en el peso de llenado, llevo a Filimon y a sus colegas, a sospechar que el aceite perdido salía de la planta en las mismas latas. La operación de llenar los envases, y sus problemas inherentes, es comparable a la mayoría de las operaciones actuales en los negocios. Cada operación origina un producto que se considera aceptable o inaceptable, dependiendo de una o más variables que miden la calidad del producto. El producto de una operación de llenado de envases de aceite es una lata de aceite; una medida de su calidad es la cantidad de aceite depositado en cada lata. El producto de una máquina que origina lámparas eléctricas es una bombilla o un foco, y una medida de su calidad es la cantidad de luz que emita. El producto de un hospital es el tratamiento médico y el cuidado para un solo paciente. La calidad del cuidado de un paciente se mediría, sin duda, mediante un cierto número de variables de calidad. En esta unidad presentaremos algunas técnicas administrativas y estadísticas para supervisar, mejorara y controlar la calidad del producto de una operación actual en los negocios.

6



71

6.1. INTRODUCCION

El objetivo de este capitulo es presentar algunas técnicas muy útiles que se usan en la industria para controlar y mejorar la calidad de productos manufacturados así como para el mejoramiento de la calidad de sistemas de administración. Como lo indica el titulo, la metodología del control de calidad se estructuro para controlar y mejorar el producto de un proceso de manufactura. Los perfiles o barras de acero deben tener una resistencia a la tensión especifica; un jabón tiene que ser producido con un nivel bajo de impurezas; una caja de cereales debe tener un contenido en peso específico, y los datos de entrada financieros en una computadora para administración tienen que ser exactos y preciso, con una alta probabilidad. Así, el objetivo de un programa de control de calidad es asegurar que las variables que miden la calidad de un producto queden dentro de los intervalos que son aceptables para posibles clientes. 6.2. MÉTODOS DE CONTROL DE CALIDAD Los métodos de control de calidad se clasifican en tres categorías: 6.2.1. Técnicas de supervisión Diseñadas para seguir o rastrear el nivel de las variables de calidad y para detectar cambios indeseables en la calidad del producto; 6.2.2. Técnicas de localización de problemas Ideadas para ayudar a ubicar las causas de cambios indeseables en la calidad del producto; y 6.2.3. Técnicas de selección Diseñadas para eliminar productos defectuosos, o de mala calidad que entran al proceso como materia prima y sirven para realizar el mismo trabajo, en el caso de los productos acabados antes de enviarlos a un cliente. Se dice a menudo que el control de calidad consta del 10% de Estadística y de 90% de ingeniería y sentido común. Como se aprender, la mayoría de los métodos de control de calidad se basan en los conceptos estadísticos elementales. El verdadero problema ocurre cuando se detecta uno de los procesos de supervisión o monitoreo o de selección. Así los métodos de control de calidad pueden decir cuando pero no porque ocurren los problemas. Para descubrir la causa de la baja calidad en productos y corregir la situación, es necesario conocer el proceso y tener aptitudes y habilidad para resolver problemas. Esta unidad trata de dos de los tres tipos de métodos de control de calidad, los procedimientos para controlar un proceso de producción actual y los métodos utilizados para eliminar materia prima poco satisfactoria que entra al proceso o productos defectuosos que salen del proceso o ambas cosas. La tercera categoría metodológica, los procedimientos estadísticos para localizar la causa de un cambio que haga bajar la calidad del producto, consiste en todos los métodos desarrollados en esta asignatura como en estadística general. Dos de los procedimientos de mayor utilidad son el análisis de regresión y el análisis por tablas de contingencia que pueden establecer con correlación entre una o más materias primas, o variables del proceso o del entorno, y la calidad del producto. 6.3. SUPERVISION DE LA CALIDAD MEDIANTE GRAFICAS O DIAGRAMAS DE CONTROL Las mediciones de una variable de calidad varían en el tiempo. Por ejemplo, las mediciones del diámetro interior de un cojinete cuyo valor es pulgada, variarán ligeramente de una pieza a otra. El diámetro del cojinete tiende a hacerse mas pequeño debido al desgaste del utensilio de corte del proceso de maquinado. Una variación de este tipo se denomina definida por una causa atribuible. Otra variación en la que ocurre pequeños cambios fortuitos que se deben a la gran cantidad de variables desconocidas que afectan el diámetro: cambios en la materia prima, condiciones ambientales, etc., se considera como una variación aleatoria.



72

Si la variación de una variable de calidad es únicamente el tipo aleatorio, se dice que el proceso esta bajo control. El hecho de estar bajo control no indica que el producto origine productos 100% aceptables. Los valores de la variable de la calidad pueden o no localizarse de manera fortuita, dentro de los límites especificados por los clientes del fabricante. La figura 1 (a) muestra una representación grafica o diagrama de los valores de diámetros de cojinetes, según una medición por hora, en el caso de un proceso industrial que se encuentra bajo control y que produce cojinetes que cumplen con las especificaciones de los clientes, por ejemplo, de 0.980 a 1.020 pulgadas. La figura 1 (b) muestra una gráfica similar para un proceso que se encuentra bajo control, pero que produce muchos cojinetes con diámetros que no cumplen las especificaciones y que se considerarían defectuosos. La figura 1 (c) ilustra como seria una grafica si existiera una causa de variación atribuible. Obsérvese que los diámetros señalados ya no parecen variar de modo aleatorio, sino que tienen una manifiesta tendencia decreciente con respecto al tiempo.

FIGURA 1: Gráficas respecto al tiempo de los diámetros de cojinetes producidos.

1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 14 13 15 16 17 18 19 20 21

.980

1.000

1.020

Límite inferior de especificación

Límite superior de especificación

Tiempo (en horas) (a) Proceso bajo control que cumple las

especificaciones

Diá

met

ro d

el c

oji

net

e

1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 14 13 15 16 17 18 19 20 21

.980

1.000

1.020


Tiempo (en horas) (b) Proceso bajo control que no cumple las

especificaciones

Diá

met

ro d

el c

oji

net

e


1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 14 13 15 16 17 18 19 20 21

.980

1.000

1.020



Tiempo (en horas)

(c) Proceso fuera de control

Diá

met

ro d

el c

oji

net

e



73

El primer objetivo de un fabricante es liminar las causas de variación atribuibles de una variable de calidad y mantener el proceso bajo control. El siguiente paso es reducir la variación del proceso y tener la distribución de las mediciones de calidad dentro de especificaciones. El valor medio de la distribución tendría que encontrarse cerca o en el centro del intervalo de los valores de especificación, y la varianza de la distribución tendría que ser la más pequeña posible. Una distribución deseable para los diámetros interiores de cojinetes es que se cumple absolutamente con las especificaciones, como se muestra en la figura 2.

FIGURA 2. Una distribución deseable.

Una vez que un proceso esta bajo control y que produce productos satisfactorios, se controlan el medio del proceso y su varianza mediante diagramas de control. Se sacan muestras de n artículos del proceso a intervalos de tiempo específicos, digamos cada media hora o cada hora, y

se calcula la media muestral x y la amplitud total (“rango”) R. Se transportan estas variables

estadísticas a gráficas de x y R similares a las que se tienen en la figura 1 Se utiliza el diagrama

de control de la media muestral x para detectar posibles corrimientos en la media de la distribución de una variable de calidad. De igual manera, se emplea un diagrama de control para la amplitud de variación de la muestra R, a fin de detectar cambios en la variancia de las distribución.

Se analizan los diagramas de control para la media x y para la amplitud R, respectivamente.

6.4. GRAFICA DE CONTROL PARA MEDIA DEL PROCESO: DIAGRAMA DE x

Suponga que se seleccionan n artículos del proceso de producción a intervalos iguales (en el tiempo o en los números de artículos producidos) y que se registran las mediciones de la variable de calidad. Por ejemplo, la figura 3 presenta una gráfica de la media de los diámetros de n = 5 cojinetes, seleccionados cada hora, de un proceso de maquinado.

FIGURA 3. Diagrama de x par control

La lógica que apoya un diagrama x para control es que si el proceso esta controlado, las medias

muestrales tendrán que variar alrededor de la media poblacional de manera aleatoria, y que

casi todos los valores de x tendrán que estar en un intervalo (X

3 ).

Diámetro 0.980 x

1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 14 13 15 16 17 18 19 20 25

Límite inferior de control, LIC

Número de la muestra

Límite superior de control, LSC

21 22 23 24

x3

x3

Línea central x



74

Aunque se desconoce el valor exacto de la media del proceso de , es posible obtener una

estimación precisa promediando un número grande, k (por lo menos 25)1, de medias muestrales. Está estimación fija el eje o línea central del diagrama de control. En la notación tradicional de

control de calidad, se representa tal estimación por el símbolo x (es decir, la media de las medias

muéstrales). Los límites superior e inferior de control se localizan.

n

X

33

Arriba y abajo del eje. Puede estimarse el valor de calculando la desviación estándar muestral

s, utilizando el conjunto combinado de los datos de las k muestras. Si se ingresan en una computadora los datos obtenidos cada periodo, se logra la estimación de s mediante un comando. Si no se dispone de tal sistema (lo que era el caso cuando se desarrollaron estos métodos), el cálculo de s es tardado y, algunas veces, está más allá de las aptitudes en aritmética de algunos trabajadores en la producción. Por esta razón, ha sido tradicional el cálculo de una

estimación de mediante la amplitud total o “rango”. Para establecer dicho valor, se obtiene R

para cada muestra, es decir, la diferencia entre la mayor y la menor de las mediciones de la

muestra. Después se determina el promedio R para los 25 (o más) valores de R. Entonces:

2

1

2 d

K

R

d

R

K

i

i

Donde d2 es la constante que hace de

un estimador insesgado de cuando se realiza el

muestreo de una población distribuida normalmente. 2Sustituyendo tal estimación de en la

fórmula de X3 , resulta

RAnd

R

n22

333

2A =

nd 2

3

Donde: Los valores de A2 y d2 para n = 2 a 25 se dan en la tabla 8 del apéndice.

Los detalles para un diagrama de x se resumen en el siguiente recuadro y se ilustran en el

ejemplo que sigue.

1 Grant y Leavenworth (1979) recomienda el número k 25. Este número no es crítico, es decir, k podría ser más pequeño, digamos pequeño como 20. Cuanto mas grande sea el valor de k, tanto mejor será la gráfica.

2 Esta estimación de R mediante la amplitud de R puede resultar segada, si la población de las mediciones de calidad no

es aproximadamente normal. El intervalo grande X

6 (en vez de X

4 ) entre los limites de control, probablemente

compensa el error en la estimación de . Sin embargo en esta era de las computadoras sería mejor estimar 2

utilizando la variancia muestral 2s , basada en las kn mediciones de las k muestras con n mediciones cada una.



75

Grafica de control para la media del proceso: diagrama de x

Eje o línea de control K

x

x

K

i

i

1ˆ

Límite superior de control LSC = x + A2 R

Límite inferior de control LIC = x - A2 R

Donde: k

R

R

K

i

i

1

Y los valores de A2 se tienen en la tabla No 8 del apéndice

Suposición k 25

Ejemplo 6.1

Un vuelo retrasado es de preocupación de los pasajeros así como de las líneas aéreas. Algunos clientes tienen citas que ellos esperan satisfacer, y otros tienen que tomar otros vuelos de conexión que prefieren no perder. Una aerolínea obtiene observaciones de los tiempos de retraso de los vuelos (en minutos), como se muestra en la tabla a continuación. Construya gráficos de control apropiados, y comente sobre el nivel de funcionamiento.

Tabla 1

Nº de Observación

Observaciones (en minutos) Media Muestral

Amplitud muestra, R 1 2 3 4

1 5.2 9.5 7.2 7.3 7.300 4.3

2 8.9 12.7 10.8 11.9 11.075 3.8

3 13.8 8.5 12.2 14.2 12.175 5.7

4 13.2 11.2 10.2 9.0 10.900 4.2

5 9.3 11.5 13.3 10.7 11.200 4.0

6 7.5 8.5 5.2 7.4 7.150 3.3

7 9.0 10.1 9.3 13.1 10.375 4.1

8 8.4 10.4 10.3 9.9 9.750 2.0

9 6.4 7.2 7.6 9.6 7.700 3.2

10 8.2 7.2 7.8 11.0 8.550 3.8

11 8.7 10.9 9.5 12.9 10.500 4.2

12 8.0 11.8 9.9 10.9 10.150 3.8

13 8.3 12.3 11.3 10.2 10.525 4.0

14 11.3 8.2 9.4 7.8 9.175 3.5

15 7.0 9.2 7.2 7.9 7.825 2.2

16 13.0 10.5 9.9 8.9 10.575 4.1

17 13.5 9.3 10.0 9.9 10.675 4.2

18 7.0 8.6 8.9 10.8 8.825 3.8

19 11.8 10.2 8.2 8.9 9.775 3.6

20 12.6 9.4 9.0 9.8 10.200 3.6

21 7.0 9.8 11.2 8.0 9.000 4.2

22 7.8 10.0 9.4 6.7 8.475 3.3

23 7.9 11.9 10.5 8.9 9.800 4.0

24 6.2 7.2 8.4 9.0 7.700 2.8

25 9.2 12.4 10.7 9.8 10.525 3.2

9.596 3.716



76

x

x

x

x

Solución:

Se calcularon la media muestral x y la amplitud de la muestra de R para cada una de las k = 25

muestras. Por ejemplo, la media muestral x y la amplitud R para la muestra 1, son:

300.74

3.72.75.92.5x 3.42.55.9R

Se ofrecen las medias y las amplitudes muestrales en las columnas 6 y 7, respectivamente, de la

tabla 1. La media x de los k = 25 valores de y la media de R de los k = 25 valores

muestrales de R, se tienen al final de sus respectivas columnas.

La figura 4 presenta el diagrama de x , elaborado a partir de los datos. La línea central se

estimación de X

3 es encuentra en = 9.596. La

RA23

Donde R = 3.716, y el valor de A2 para n = 4 (dado en la tabla del apéndice Nº 8) es 0.729. Por lo tanto:

RA23 = (0.729)(3.716) = 2.709

+ RA2 = 9.596 + 2.709 = 12.305 LSC =

RA2 = 9.596 – 2.709 = 6.887 LIC = -

Por consiguiente, las líneas que ubican los límites superiores e inferior de control, se encuentran en 12.305 y 6.887, respectivamente.

FIGURA 4. Diagrama de x para los tiempos de retraso de los vuelos de la tabla 1

Si se supone que las muestras utilizadas para construir la gráfica x de la Figura 4, se

recolectaron cuando el proceso estaba bajo control, puede emplearse ahora la gráfica para detectar cambios en la media del proceso. Es posible graficar las medias muestrales periódicamente sobre la gráfica. Si la media no está dentro de los límites de control, entonces envía una advertencia de un posible cambio en la media del proceso. Se estudiará el proceso detenidamente, y se tratará de localizar la causa de la media errante. ¿Varían las medias muestrales en la figura 4 aleatoriamente alrededor del eje o línea central, o indican tendencias y la posibilidad de causas atribuibles en la variación?

25.00

23.00

21.00

19.00

17.00

15.00

13.00

11.00

9.00

7.00

5.00

3.00

1.00

12.520

11.058

9.596

8.134

6.672

x

LSC

LIC



77

Tutoría Nº

Control de calidad: grafica de

control para la variación del proceso y para la proporción de

defectuosos 7.1. GRÁFICA DE CONTROL PARA LA VARIACIÓN DEL PROCESO: DIAGRAMA DE R Al igual que es importante mantener el valor medio de una variable de calidad cerca del centro del intervalo de especificación, es deseable controlar la variación del proceso. Cuanto más pequeña se la variancia de las mediciones de calidad, tanto mayor será la probabilidad de que las mediciones estén dentro de los límites especificados (suponiendo que la media del proceso está dentro de las especificaciones). Se supervisa (o monitorea) la variación de una variable de calidad en un proceso al transportar la amplitud de la muestra R a una gráfica. El diagrama R se construye esencialmente igual que el del

eje x . Se localiza una recta central en el valor estimado deR y los límites de control se ubican

R 3 arriba y debajo de R .

La estimación deR es R , la media de las amplitudes (o “rangos”) de las k muestras utilizadas

para construir la gráfica de x . El cálculo de los límites de control,

LSC = R ˆ +

R ˆ3 y LIC = R ˆ -

R ˆ3

Se reducen a uno solo:

LSC = D4 R y LIC = D3 R Los valores de D4 y D3 basados en un muestreo de una población distribuida normalmente, se dan en la tabla del apéndice Nº 8 para diferentes valores de n. Los detalles para el diagrama de R se resumen en el recuadro siguiente y se ilustran en el ejemplo 2 Gráfica de control para la variación del proceso: Diagrama de R

Eje central K

R

R

K

i

i

R

1ˆ

Límite superior de control LSC = D4 R

Límite inferior de control LIC = D3 R

Donde: k

R

R

K

i

i

1

Los valore de D3 y D4 para el tamaño muestral de n se dan en la tabla No 8 del apéndice

Suposición k 25

Ejemplo 7.1

Trazar un diagrama de R basados en los datos de la tabla 16.1.

7



78

Solución:

En el ejemplo 16.1se halló que R = 3.716. Para un tamaño muestral de n = 4, la tabla del

apéndice Nº 8 da D3 = 0 y D4 = 2.282. Por lo tanto, el eje de la gráfica de control se localiza en R = 3.716, y los limites superior e inferior de control son

LSC = D4 R = (2.282)(3.716) = 8.480

LIC = D3 R = (0)(3.716) = 0 El Diagrama de R aparece en la Figura 5

FIGURA 5. Diagrama de R para los tiempos de retraso de los vuelos de la tabla 1

Se evalúa la gráfica de R de la figura 5 en la misma manera que la de x . La amplitud muestral R,

calculada para muestras sacadas periódicamente debe variar alrededor del eje central R de manera aleatoria y estar dentro de los limites de control cuando el proceso este bajo control. Una amplitud muestral que quede fuera de los límites de control se tomará como una advertencia de un posible cambio en la variación del proceso. Se examinará el mismo para determinar si el valor extraordinariamente grande (o pequeño) de R se debió a cambios en la materia prima, el ambiente o a una de muchas otras variables que afectan el proceso.

Si el limite inferior de control RR 3 , es negativo para el tamaño muestral n = 4. Como una

amplitud R no puede ser negativa, se asume el valor 0. 7.2. GRÁFICA DE CONTROL PARA LA PROPORCIÓN DE DEFECTUOSOS: DIAGRAMA DE p. Algunas veces lo que se observa en artículos manufacturados es simplemente si un artículo cumple con las especificaciones del fabricante (o del cliente). Entonces, cada artículo se considera como defectuoso o no. Si la proporción

3 de piezas defectuosas producidas por un proceso es p,

entonces el número de defectuosos, x, en una muestra aleatoria de n artículos posee la distribución de probabilidad binomial. Para la vigilancia de artículos que son defectuosos o no, se seleccionan muestras de tamaño n a

intervalos periódicos y se calcula la proporción muestral p̂ . Si el proceso está bajo control, la

proporción muestral p̂ tendría que estar en el intervalo pp 3 , donde p es la proporción media

de defectuosos del proceso, y

n

ppp

)1(

3 En los libros de control de calidad suele decirse “fracción de defectuosos” en vez de“ proporción de defectuosos”.

25.0023.0021.0019.0017.0015.0013.0011.009.007.005.003.001.00

10

8

6

4

2

0 LIC

LSC

R



79

Se estima la proporción media de defectuosos, p, del proceso, utilizando el promedio de k proporciones muestrales

k

p

p

k

i

i

1

ˆ

ˆ

Y se valora p mediante

n

ppp

)ˆ1(ˆˆ

El eje del diagrama de p se localiza en p̂ , y los límites superior e inferior de control son:

LSC = p̂ + p̂ˆ3

= n

ppp

)ˆ1(ˆ3ˆ

LIC = p̂ - p̂ˆ3

= n

ppp

)ˆ1(ˆ3ˆ

Los detalles para la gráfica de p se resumen en el recuadro siguiente y se ilustran en el ejemplo que sigue. Gráfica de control para la proporción de defectuosos: Diagrama de p.

Eje central K

p

p

K

i

i

1

ˆ

ˆ

Límite superior de control LSC = n

ppp

)ˆ1(ˆ3ˆ

Límite inferior de control LIC = n

ppp

)ˆ1(ˆ3ˆ

Suposición k 25

Ejemplo 7.2

Un fabricante de bolígrafos muestra al azar 400 plumas al día y prueba a cada una para examinar si es aceptable el flujo de la tinta. Las proporciones diarias de los bolígrafos, considerados defectuosos durante un periodo de 40 días, se ofrecen en la tabla 3.

Construya un diagrama de control para la proporción p̂ de defectuosos en muestras de n = 400

bolígrafos, seleccionados del proceso.



80

Tabla 3 Proporciones de defectuosos en muestras de n = 400 bolígrafos

Día Proporción Día Proporción Día Proporción Día Proporción

1 0.0200 11 0.0100 21 0.0300 31 0.0225

2 0.0125 12 0.0175 22 0.0200 32 0.0175

3 0.0225 13 0.0250 23 0.0125 33 0.0225

4 0.0100 14 0.0175 24 0.0175 34 0.0100

5 0.0150 15 0.0275 25 0.0225 35 0.0125

6 0.0200 16 0.0200 26 0.0150 36 0.0300

7 0.0275 17 0.0225 27 0.0200 37 0.0200

8 0.0175 18 0.0100 28 0.0250 38 0.0150

9 0.0200 19 0.0175 29 0.0150 39 0.0150

10 0.0250 20 0.0200 30 0.0175 40 0.0250

Solución:

La estimación de la proporción de defectuosos del proceso es el promedio de las k = 40 proporciones muestrales de la Tabla 3. Por lo tanto, el eje de la gráfica de control se localiza en:

019.040

7600.0

40

0225.00125.0200.0ˆ

1

K

p

p

K

i

i

Una estimación de p la desviación estándar de las proporciones muestrales, es

00683.0400

)981.0)(019.0()ˆ1(ˆˆ

k

ppp

Y pˆ3 = (3) (0.00683)=0.0205. Por lo tanto, los límites superior e inferior de control para la gráfica

p se encuentra en

LSC = p̂ + p̂ˆ3 = 0.0190 + 3*0.00683 = 0.0395

LIC = p̂ - p̂ˆ3 = 0.0190 – 3*0.00683 = -0.0015

O bien, ya que p no puede ser negativa, LIC = 0.

39.00

37.00

35.00

33.00

31.00

29.00

27.00

25.00

23.00

21.00

19.00

17.00

15.00

13.00

11.00

9.00

7.00

5.00

3.00

1.00

.05

.04

.03

.02

.01

0.00

FIGURA 6. Gráfica de la proporción de defectuosos para los bolígrafos.

Se presenta la gráfica de control p̂ en la figura 6. Adviértase que las 40 proporciones muestrales

están dentro de los límites de control. Si una proporción muestral, observada en algún momento

LSC

LSC

p̂



81

en el futuro, está fuera de los límites de control, será una advertencia para el fabricante de un posible aumento en el valor de la proporción de defectuosos del proceso. Se realizarán esfuerzos para buscar las posibles causas del aumento en la proporción de las piezas defectuosas en el proceso. Aunque es conveniente escoger muestras del mismo tamaño n para cada muestreo, puede haber ocasiones en que el número de artículos es una muestra difiera de los recolectados en muestras

anteriores. Como pˆ LSC y LIC dependen del tamaño de la muestra n, puede no ser posible

calcular los límites para un tamaño muestral único. Cuando el tamaño de la muestra varía para cada muestreo, la estimación de la proporción media de defectuosos, p, del proceso es igual a la proporción muestral basada en el número de defectuosos en las k muestras. Entonces hay que

comparar cada ip̂ con los valores para LSC y LIC calculados para el tamaño particular de tal

muestra. Este proceso hace que los límites de control cambien de una muestra a otra, y que las gráficas de los límites de control sean una sucesión de segmentos de recta. 7.3. GRÁFICA DE CONTROL PARA EL NÚMERO DE DEFECTUOSOS POR UNIDAD: DIAGRAMA DE c Una medida importante de calidad para algunos productos es el número de defectos por unidad producida. Un fabricante de textiles califica muchas veces como defectos las irregularidades que aparecen en un producto tejido. Ya que el precio de venta final de material depende de su calidad, el fabricante quiere reducir a un mínimo el número de defectos por yarda cuadrada cuando el proceso está bajo control. El número de defectos por unidad de área, de volumen o de peso, o en una sola unidad producida, es una medida importante de la calidad de muchos productos. Ejemplos comunes son el número de defectos en la pintura de un automóvil nuevo o en la capa de barniz de un mueble, el número de huecos en una pulgada cúbica de queso, y el número de entradas incorrectas de notas de factura por página de impreso de computadora e el caso de una compañía de instalaciones de plomería. El número de defectos por unidad de área, volumen, peso o por un solo artículo, denotado normalmente por el símbolo c, se controla a intervalos de tiempo iguales utilizando un diagrama de c. En la mayoría de las aplicaciones se puede aproximar la distribución de probabilidad de c mediante una distribución de probabilidad de Poisson, la cual tiene una propiedad muy especial.

Su variancia 2

es igual a su media , es decir,

cc

2 y

cc

Por lo tanto, el número de defectos c por unidad tendrían que localizarse en el intervalo

cc 3 o bien cc u3

Para construir una gráfica de c, muestreamos el proceso mientras éste se encuentra bajo control y se registra el valor de c para por lo menos k = 25 puntos en el tiempo.

Se estima la media del proceso c por la media muestral:

k

c

c

k

i

i

c1

ˆ

y se calcula la desviación estándar del proceso c con:

ccˆ

El eje d la gráfica c se ubica en c, y los límites superior e inferior son:

LSC = cccc 3ˆ3ˆ

LIC = cccc 3ˆ3ˆ



82

Las características de una gráfica de c se resumen en el recuadro siguiente y las ilustra el ejemplo que sigue. Gráfica de control para el número de defectos por unidad: Diagrama de c

Eje k

c

c

k

i

i

c1

ˆ

Límite superior de control LSC = cccc 3ˆ3ˆ

Límite inferior de control LIC = cccc 3ˆ3ˆ

Suposición k 25

Ejemplo 7.4

Un interventor o auditor examina semanalmente el sistema de facturación de una compañía. La inspección se realiza comparando las facturas reales con las entradas de computadora para todos los asientos que aparecen en diez páginas de la impresión de computadora. Se registró el número c de entradas incorrectas en diez páginas semanarias de impresión durante 40 semanas. Los datos figuran en la Tabla 4. Emplee los datos para trazar una gráfica de c para el proceso de auditoria.

Tabla 4 Número c de entradas incorrectas por diez páginas

de impresión de computadora

Semana 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10

C 1 3 2 0 0 1 4 2 1 1

Semana 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20

C 1 0 1 1 3 2 1 1 0 3

Semana 21 22 23 24 25 26 27 28 29 30

C 0 2 1 0 1 1 2 2 1 0

Semana 31 32 33 34 35 36 37 38 39 40

C 1 2 0 3 1 1 2 0 1 0

Solución:

El valor de c calculado para los datos obtenidos durante k = 40 semanas, es

225.140

491

k

c

c

k

i

i

Entonces el eje se encuentra en c = 1.225, y los límites superior e inferior de control se hallan en

LSC = 225.13225.13 cc

= 4.55

LIC = 225.13225.13 cc

= -2.10 O puesto que c no puede ser negativo, LIC = 0.



83

39.00

37.00

35.00

33.00

31.00

29.00

27.00

25.00

23.00

21.00

19.00

17.00

15.00

13.00

11.00

9.00

7.00

5.00

3.00

1.00

5

4

3

2

1

0

FIGURA 7. Gráfica de c para el número de entradas de facturas incorrectas.

La gráfica de c para los datos, junto con los valores ubicados de c se muestra en la figura 7. Obsérvese que los k = 40 valores de c están dentro de los límites superior e inferior de control, algo que esperaríamos si el proceso estuviera controlado. Al utilizar la gráfica de c se registrarán los valores de ésta semanalmente en el futuro y se llevarán en la gráfica de c. Un valor de c que se localice fuera de los límites de control será un aviso de los posibles problemas en la operación de recolección de datos.

LSC

LIC

225.1C



84

AUTOEVALUACIÓN


( ) Un diagrama de control se caracteriza por tres líneas horizontales. ( ) En un diagrama de control cuando los puntos caen fuera de los límites se dice que esta fuera de control.

( ) En la grafica de control para la variación del proceso el diagrama es R

( ) Los métodos de control de calidad se clasifican en tres categorías.

( ) En la gráfica de control para la proporción de defectuosos el diagrama es p.

2. Los datos que siguen son los valores de x y R para 24 muestras de tamaño n=5, obtenidas de

un proceso de fabricación de cojinetes. Las mediciones se realizan para el diámetro interior del cojinete, y se registran solamente las tres últimas cifras decimales (34.5 debe ser 0.50345)

Número de Número de

Muestra x R Muestra x R

1 34.5 3 13 35.4 8 2 34.2 4 14 34.0 6 3 31.6 4 15 37.1 5 4 31.5 4 16 34.9 7 5 35.0 5 17 33.5 4 6 34.1 6 18 31.7 3 7 32.6 4 19 34.0 8 8 33.8 3 20 35.1 4 9 34.8 7 21 33.7 2 10 33.6 8 22 32.8 1 11 31.9 3 23 33.5 3 12 38.6 9 24 34.2 2

a) Obtenga los diagrama de control de x y R para este proceso. ¿Parece estar bajo control

estadístico tal proceso?

3. Los siguientes datos se refieren a las notas de 10 estudiantes en 5 pruebas, determine si el

proceso de aprendizaje está bajo control. Graficar x y R

Estudiantes Pruebas

1 2 3 4 5

x

R

1 2 3 4 5 6 7 8 9 10

15 10 12 13 15 11 12 13 12 16 10 14 12 14 10 08 15 14 15 06 14 13 12 13 14 13 12 10 12 10 12 10 13 11 12 08 14 10 12 13 16 12 11 12 10 12 10 13 14 12

4. Se calcularon las medias y las amplitudes de 30 muestras de tamaño n=10 para un proceso

que se consideró bajo control. Las medias de los 30 valores de x y de los 30 valores de R, fueron x=20.74 y R=3.49

a) Utilice los datos para determinar los límites superior e inferior de control para una gráfica b) Construya un diagrama de x para el proceso y explique como se puede aplicar c) Elaborar un diagrama de R. ¿Cuál es el propósito de una gráfica de R?



85

Unidad 6 REGRESION Y CORRELACION

Nº de tutorías: Uno

Tutoría Nº 8: Regresión lineal, Correlación.



86



87

A. Aspectos preliminares 1. Competencias 1.1. Conceptuales Reconoce los conceptos de regresión lineal y correlación. 1.2. Procedimentales Elaboran modelos para predecir una variable en función de otra variable y medir la relación entre dos variables. 1.3. Actitudinales Resuelve situaciones en donde se quiere estimar una variable en función a otra variable, y también cuando se quiere saber si dos variables están relacionadas. B. Desarrollo del contenido, sus procedimientos y modalidad 1. Contenido programático El contenido programático de la unidad referida es el siguiente: análisis de regresión: noción, importancia; elementos y tipos de análisis de regresión; análisis de regresión lineal simple: desviación o error típico en la recta de regresión, test de la significatividad de coeficiente de regresión; variación de la variable dependiente y explicada por el análisis de regresión; análisis de regresión no lineal; análisis de correlación: objetivos y supuestos del análisis de correlación, coeficiente de determinación, coeficiente de correlación, diagramas de dispersión, significación del coeficiente de correlación, errores y limitaciones asociados con el análisis de regresión y el de correlación. 2. Modalidad y procedimiento de desarrollo de la unidad Durante la fase a distancia a) Cada alumno lee la primera unidad del módulo. b) Cada alumno desarrolla las prácticas dirigidas y los trabajos





88

Tutoría Nº

Regresión lineal, correlación,

Regresión lineal y análisis de

regresión 8.1. NOCIÓN E IMPORTANCIA El estudio estadístico de las relaciones entre dos variables de intervalo presenta los aspectos fundamentales siguientes: 1. Existencia de asociación entre las dos variables. 2. Dirección de la asociación. 3. Grado de asociación, y 4. Naturaleza y forma de la asociación. Los dos primeros aspectos quedan determinados cuando se halla el coeficiente de correlación r de Pearson. Este coeficiente indica: a) La existencia o no de covariación o variación conjunta entre las dos variables, según sea o no

distinto de cero. b) La dirección de la asociación, por su signo positivo o negativo. c) El grado de la covariación, según el mayor o menor valor que alcance entre 0 y mas y menos

uno. En cuanto al cuarto aspecto, naturaleza y forma de la relación, se estudia y resuelve mediante el análisis de regresión. Este análisis es el que sirve para establecer la función matemática y la forma geométrica que representen lo más exactamente posible la variación conjunta de ambas variables. De ahí que pueda decirse propiamente que sirve para estudiar la naturaleza y la forma de asociación entre dos variables de intervalo. El objetivo, pues, del análisis de regresión es hallar la función algebraica y la forma geométrica que mejor expresen la relación empírica entre ambas variables, es decir, la pauta y línea de evolución en la realidad de una variable en función de la otra. El carácter básico de esta finalidad del análisis de regresión da idea de la importancia de esta técnica estadística. En primer lugar, al servir el análisis de regresión para determinar el tipo de relación entre dos variables y la pauta de comportamiento que siguen las variables de que se trate en su evolución conjunta, constituye el modelo matemático primario de relaciones entre variables de que dispone el científico, base de otros modelos mas complicados. El análisis de regresión, como tal modelo matemático, proporciona la expresión matemática de la relación entre variables de un modo: a) preciso y b) singularizado, y, en este sentido es, cuando es aplicable a los dados, un buen instrumento de predicción científica. a) Lo hace de un modo preciso porque, dada la medida de escala de intervalo que supone en las

variables, permite determinar, dentro de ciertos límites estadísticos de error, el valor definido de una variable, dados determinados valores de otra u otras variables. Los niveles de medida nominal y ordinal también pueden permitir la predicción, pero solo de una manera vaga, en términos de aumento o disminución correlativos de las variables, pero sin precisar la cuantía del mismo.

b) Lo hace de un modo singularizado porque, a diferencia del coeficiente de correlación que sirve

para predecir globalmente el grado en que el conocimiento de una variable ayuda a predecir o

8



89

mejorar la predicción de otra variable, el análisis de regresión sirve para predecir un valor especifico de un variable dado cualquier valor específico de otra.

En segundo lugar, con relación a los aspectos a investigar señalados que presentan la relación entre dos variables, el análisis de regresión es la técnica principal y fundamental, de tal modo que el coeficiente de correlación que responde matemáticamente a tres de los aspectos indicados se halla íntimamente enlazado al análisis de regresión y se puede presentar como una derivación del mismo. 8.2. ELEMENTOS Y TIPOS DE ANÁLISIS DE REGRESIÓN Los elementos fundamentales del análisis de regresión son las variables y la ecuación de regresión. Las variables pueden ser dos o más. Una de ellas es la variables dependiente y la; restantes son las variables independientes. La variable dependiente es aquella cuyo cambio se considera en función o dependencia del cambio o variación de la o las variables independientes. A veces puede estar claro cuál es la variable dependiente; otra su elección puede ser convencional. En los experimentos la variable independiente es la que el investigador hace variar cuando, como y en la medida que quiere, mientras que la variable dependiente es aquella en la que se estudia la variación producida en la misma por la variación controlada de la variable independiente. En cuanto a los tipos, se tiene una regresión simple o total y otra regresión múltiple. La primera se refiere a la naturaleza y forma de la covariación entre dos variables únicamente, y la segunda entre mas de dos variables. A su vez, ambos tipos de regresión pueden ser lineales y no lineales. Cuando la ecuación que es expresión matemática de la relación entre las variables es una ecuación lineal, cuya representación grafica da lugar a una línea recta, se esta en el caso de la regresión lineal, y de la no lineal en el caso contrario. 8.3. ANÁLISIS DE REGRESIÓN LINEAL SIMPLE Es, como se ha indicado, el que sirve para estudiar la naturaleza y forma de la asociación entre dos variables, siempre que dicha relación pueda ser expresada matemáticamente por la ecuación de la línea recta. “La correlación y la regresión lineal son mucho mas comúnmente usadas que la no lineal en la investigación sociológica, incluso cuando la presunción de linealidad no esta justificada lógicamente”. El análisis de regresión simple lineal se concreta, como todo análisis de regresión, en la ecuación correspondiente. Por ello, para comprender mejor este análisis parece conveniente explicar la razón de ser de dicha ecuación. Supongamos que tenemos los datos empíricos que representan para cada uno de los sujetos de un grupo los valores de dos variables, por ejemplo, la edad y la estatura. Entonces llevando en un espacio de coordenadas cartesianas los valores de la edad al eje de las X y los de la estatura al eje de las Y obtendríamos una serie de puntos. Esta serie suele recibir el nombre de nube de puntos y constituye la representación grafica de la posición en el espacio cartesiano de cada sujeto del grupo respecto a las variables en cuestión. A veces la simple observación visual de la nube de puntos, o lo que es lo mismo de la huella empírica del fenómeno, puede bastar para indicar genéricamente la existencia y el signo de la relación entre las variables. Sin embargo, normalmente, los puntos aparecerán en esta huella empírica dispersos de forma irregular y no definida claramente, difícilmente manejable e interpretable estadísticamente en tal estado. Además existe la necesidad de cifrar cuantitativamente la forma de la relación entre las variables, cosa que la simple inspección visual no hace.



90

Para solucionar este problema, la estadística tiene que recurrir de nuevo, como es corriente en ella, a un proceso de simplificación, o de reducción de la nube de puntos dispersa e irregular a una simple línea regular, recta o curva, que represente a todo el conjunto de puntos lo mas perfectamente posible. Este proceso de simplificación se puede ver como una manifestación del proceso de reducción que supone la media estadística. Imaginemos con Blalock (1966, p.302) que para cada valor de X, variable independiente, tenemos una distribución o conjunto de valores de Y, variable dependiente. Es obvio que para cada distribución o conjunto de valores de Y con relación a los distintos valores de X se puede hallar su media y formar lo que se hace en un grafico, una línea uniendo los puntos de espacio cartesiano que corresponden a estas me días. Pues bien, la línea resultante no es otra cosa que la expresión grafica de la ecuación de regresión entre ambas variables. Estas ecua-ciones son las leyes de la ciencia, a veces muy exactas, sobre todo en el campo de las ciencias naturales, aunque lo sean menos en el de las ciencias sociales. Sin embargo, este procedimiento de obtener la línea de regresión no es útil en la practica porque lo corriente es que se tenga un solo valor de Y y no muchos, para cada valor de X. Por ello en este caso común hay que utilizar otro procedimiento para la determinación de la línea y ecuación de regresión. Este procedimiento recibe el nombre específico de proceso de ajuste y comprende dos operaciones fundamentales: 1

a Estimar la forma, lineal o no, de la ecuación.

2 a Calcular los parámetros de esta ecuación.

La primera operación se suele realizar hipotéticamente, es decir, examinando la huella empírica, o sea la representación grafica de las dos variables en el eje de coordenadas, y adoptando la hipótesis, de acuerdo con este examen, que la ecuación de regresión es de tipo lineal, exponencial, parabólica, etc. La pertinencia de esta decisión se puede comprobar, una vez que se haya efectuado la segunda operación aludida, comprobando la bondad del ajuste que supone la ecuación de regresión obtenida. En cuanto a la segunda operación consiste en especificar la ecuación de ajuste elegida. Para ello sólo se precisa calcular los parámetros de la misma, porque, una vez hallados estas, se tiene la pauta, norma o ley de variación de una variable en función de la otra. Por tanto, aplicando la ecuación especificada con los parámetros hallados, podemos saber los valores de Y que corresponden a todos los valores de X que existan en la realidad o podemos imaginar.

Existen varios procedimientos para calcular los parámetros en cuestión, pero el más conocido y utilizado es el de los mínimos cuadrados. Consiste en hallar los parámetros de la ecuación de la recta que hace mínima, dados unos valores empíricos determinados, la suma de los cuadrados de las distancias en vertical de dichos puntos empíricos a la línea buscada. En este procedimiento, la recta que pasa por los mínimos cuadrados de distancia a los puntos empíricos tiene una ecuación de la forma siguiente: Y = β0 + β 1X Las constantes o parámetros ao y a1 se calculan resolviendo el siguiente sistema de ecuaciones, que reciben el nombre de ecuaciones normales para la recta de mínimos cuadrados:

2

10

10

XXXY

XnY

Existe también otras formulas que dan directamente, sin necesidad de resolver este sistema de

ecuaciones, los valores de o y 1 o de a y b, como se designa frecuentemente.



91

Son las siguientes:

n

X

n

Y

XXn

YXYXn

ii

ii

i

i

iii

10

22

1

1)(

)()(

El parámetro βo representa el punto en el que la recta de regresión corta al eje de las Y e indica el valor que corresponde a Y, según la ecuación, cuando X es cero. El parámetro β1 es la pendiente de la recta de regresión y señala la tasa de cambio de Y por una unidad de cambio en X.

8.3.1. Desviación o error típico en la recta de regresión Como se ha indicado, la ecuación y la recta de regresión constituyen una reducción y simplificación respecto a los verdaderos valores empíricos obtenidos. Supone la sustitución de estos valores que no se pueden tratar estadísticamente sin más, por los valores de la recta de regresión que sí lo pueden ser. De ahí que, salvo el caso, raro en la práctica, de una regresión empírica perfecta que coincida en todos sus puntos con la recta de regresión correspondiente, los valores de la recta de regresión implican una desviación, o si se quiere un error mayor o menor, con relación a los correspondientes valores empíricos que representan. En este error se pueden distinguir varias formulas. La primera se funda en la desviación que representan los valores empíricos, de los que se ha partido como datos del problema, de los valores calculados según la recta de regresión. Esta desviación es simplemente el cuadrado de las diferencias entre dichos valores empíricos, Y, y estimados, Yest, correspondientes y su formula por tanto es similar a la de la varianza:

N

YYS

est

xy

2

2

,

)(

La segunda formula da el error de estimación basándose para ello en la desviación típica, s, de Y y el coeficiente de correlación r entre X e Y.

2

, 1 xyyxy rSS

También se puede obtener este error en función de los coeficientes de regresión βo y β1, según esta formula:

2

)( 1

2

2

,N

XYYYS

o

xy

La raíz cuadrada del error de estimación recibe el nombre de error típico de estimación.

Según señalan Glass y Stanley ( 1 9 7 4 , p . 1 4 3 ) , en el caso de un grupo numeroso de individuos al que se aplique la ecuación de regresión se tendrá que, aproximadamente el 68, 9 5 y 9 9 , 7 % de los individuos obtendrán puntuaciones reales que se hallaran en el intervalo de confianza, o dentro de los límites formados por la puntuación media estimada de los mismos según la recta de regresión mas y menos uno, dos o tres errores típicos, respectivamente.

8.3.2. Test de la significatividad de coeficiente de regresión Para comprobar la hipótesis nula de si el coeficiente b de la ecuación de regresión, obtenido con los datos de una muestra sacada al azar de una población determinada, no difiere significativamente de determinados valores prefijados del coeficiente b correspondiente, se puede utilizar (Vid. Spiegel, 1 9 7 4 , p . 2 4 7 ) la siguiente formula:



92

2*/,

1 nSS

Bt

xxy

o bien esta otra:

2*1 2

1 nr

Bt

Los resultados se contrastan con la tabla de la distribución t de Student, para n-2 grados de libertad.

Β1 = el coeficiente de regresión hallado; B = el coeficiente de regresión prefijado; rxxy = el coeficiente de correlación entre X e Y; Sy,x = el error tipo de la estima de la recta de regresión; Sx = la desviación típica de X. n = número de datos de la distribución de frecuencias.

También se puede hallar, teniendo en cuenta este error de estimación típico, el intervalo de confianza dentro del cual debe encontrarse, para un valor determinado de Yest. según la ecuación de regresión obtenida de la muestra con la que se ha trabajado, el valor real de Yen la población de que procede la muestra, con el nivel de significación que se adopte, en el ejemplo se supone es el del 95%. La fórmula es la siguiente:

2

2

0, )(1

2

)2/1,2(

x

xy

estS

XXn

n

SntY

t = valor de t ubicado en la tabla de la distribución t. n- 2 = grados de libertad. Sxy = el error de estimación de la regresión; X0 = el valor dado de X; X = la media de los valores de X de la muestra. 8.4. VARIACIÓN DE LA VARIABLE DEPENDIENTE Y EXPLICADA POR EL ANÁLISIS DE REGRESIÓN El error típico de la estima no representa otra cosa sino la parte de la variación de Y no explicada por el análisis de regresión. Ahora bien, la variación total de Y es conocida y viene medida por Σ(Y –ў)

2 decir, la suma de los

cuadrados de las desviaciones de los valores de Y respecto a la media de la distribución de Y. Por tanto restando de esta variación total, el error típico de la estimación o variación no explicada por el análisis de regresión, Σ (Y- Yest)

2 se tendrá la variación; explicada por dicho análisis.

Algebráicamente:

222)()()( estest YYYYYY

La razón entre la variación explicada por el análisis de regresión y la variación total expresa la proporción de la variación total de Y explicada por el análisis de regresión. Recibe el nombre de coeficiente de determinación y se escribe r

2. Su raíz cuadrada r no es otra cosa que el coeficiente

de correlación r de Pearson.



93

8.5. ANÁLISIS DE REGRESIÓN NO LINEAL La ecuación de la línea recta es la más simple y la más comúnmente usada entre las expresiones matemáticas con las que se representa la forma y la naturaleza de la relación entre dos o más variables, pero no la única. Existe prácticamente un número ilimitado de ecuaciones no lineales que pueden cumplir también dicha función, en el caso de que la línea recta no se ajuste debidamente a la huella empírica del fenómeno. El fundamento lógico de todas ellas es el expuesto. Sin embargo, como es fácilmente comprensible, su fundamentación matemática es distinta en cada caso y por lo general bastante complicada. Aquí solo vamos a hacer referencia a dos de los tipos mas usados de estas ecuaciones: la parabólica y la logarítmica. En la parabólica la ecuación de regresión presenta la siguiente forma:

Y Los parámetros de esta ecuación son, por tanto, βo, β1 y β2 y se obtienen resolviendo el siguiente sistema de tres ecuaciones con tres incógnitas:

2

210 iii XXnY 3

2

2

10 iiiii XXXYX

4

2

3

1

2

0

2

iiiii XXXYX

La forma logarítmica de la ecuación de regresión es la siguiente:

Y = βo + β1 log X Esta ecuación se puede transformar en una ecuación de la recta, efectuando un cambio de variable, es decir, haciendo βo log X = Z, o sea, Y = βo + β1 Z. Ejercicio 8.1

Un analista toma una muestra aleatoria de 10 embarques por camión hechos recientemente por una compañía, y registra la distancia en kilómetros y el tiempo de entrega al medio día más cercano. La tabla siguiente muestra esta información.

Embarque muetreado

1 2 3 4 5 6 7 8 9 10

Distancia, (en kilómet.)

825 215 1070 550 480 920 1350 325 670 1215

Tiempo de entrega , ( en días)

3,5 1,0 4,0 2,0 1,0 3,0 4,5 1,5 3,0 5,0

A) Indicar las variables existentes en la tabla y su tipo.

Embarque muestreado: unidades de observación.

Distancia en kilómetros: Variable cuantitativa continua, independiente (X).

Tiempo de entrega en días: Variable cuantitativa continua, dependiente (Y).

B) Discutir si se puede emplear el análisis de regresión en este caso.

Es factible el análisis de regresión, pues ambas variables son cuantitativas continuas y se desea verificar su relación entre ambas.

C) Dibujar la nube de puntos en un eje de coordenados, que exprese gráficamente la relación entre las variables en cuestión, examinarla y determinar, mediante la inspección de la misma, la existencia, signo y grado de relación entre las variables, así como el tipo probable de regresión, lineal o no lineal.



94

Distancia en Millas

140012001000800600400200

Tie

mp

o d

e e

ntr

eg

a e

n d

ías

6

5

4

3

2

1

0

Según la figura:

Existe relación entre las variables, como se observa tendencia positiva entonces existe asociación positiva entre las variables, es decir las variables son directamente proporcionales así a mayor distancia en kilómetros, mayor será el tiempo de entrega. La asociación debe ser alta porque no hay mucha dispersión. El tipo de regresión se ajusta a una recta lineal por su tendencia.

D) Hallar los parámetros o coeficientes de regresión de la ecuación correspondiente, escribir esta ecuación

Embarque muestreado

Distancia

X

Tiempo de entrega

Y XY X2 Y

2

1 825 3.5 2888 680625 12.25

2 215 1.0 215 46225 1

3 1070 4.0 4280 1144900 16

4 550 2.0 1100 302500 4

5 480 1.0 480 230400 1

6 920 3.0 2760 846400 9

7 1350 4.5 6075 1822500 20.25

8 325 1.5 487.5 105625 2.25

9 670 3.0 2010 448900 9

10 1215 5.0 6075 1476225 25

Suma 7620 28.5 26370 7104300 99.75

1 2 22

0 1 1

1

10(26370) (7620)(28.5)0.004

10(7104300) (7620)

28.5 76200.004 0.118

10 10

ˆ ˆ 0.118 0.004o

n XY X Y

n X X

Y Xy x

n n

Y X Y X



95

E) Dada la ecuación de regresión hallada, dibujar la recta de regresión correspondiente, calcular los valores estimados de Y, variable dependiente, según la ecuación, hallar el error típico de estimación que suponen y fijar gráficamente límites dentro de los que deben encontrarse el 95.50% de las observaciones.

Distancia X (en kilómet.)

Tiempo de entrega Y (en días)

Y (Y- Y )2

825 3.5 3.418 0.006

215 1.0 0.978 0.0004

1070 4.0 4.398 0.158

550 2.0 2.318 0.101

480 1.0 2.038 1.077

920 3.0 3.798 0.636

1350 4.5 5.518 1.036

325 1.5 1.418 0.006

670 3.0 2.798 0.040

1215 5.0 4.978 0.0004

Suma 3.0608

2

2 2ˆ( ) 3.0608

0.3826 0.3826 0.6182 8

yx XY yx

Y YS S S

n

Distancia en millas

140012001000800600400200

Tie

mp

o d

e e

ntr

eg

a e

n d

ías

6

5

4

3

2

1

0

Las rectas punteadas se grafica sumando y restando SYX a la recta estimada de regresión.

F) Estime el tiempo de entrega del embarque de 1000 kilómetros. ¿Se podría estimar para el tiempo de 2500 kilómetros?

ˆ ˆ0.118 0.004 0.118 0.004(1000) 4.118Y X Y

Para la distancia de 2500 kilómetros no es conveniente estimar el tiempo, pues este valor cae fuera del rango.

G) Construya el intervalo de confianza del 95% para el tiempo de 1000 kilómetros.



96

2, 0

2

2

( 2,1 / 2) ( )ˆ 12

2.306(0.618) (1000 762)4.118 11

8 144207

3.399 4.719

y x

x

t n S X XY n

n S

Así

Entonces

y

El intervalo de confianza señala, que el tiempo de entrega verdadero para una distancia de 1000 kilómetros será entre 3 días y medio a 4 días. Con un 95% de seguridad.

H) Determine el intervalo de confianza del 95% para para la información de la distancia en camión y el tiempo de entrega presentados en los items anteriores.

YXb

2 2 2

S 0.618S = = 0.00054

x - n x 7104300-10(762)

1 (n-2) b t S 0.004 2.306(0.00054)

Asi el intervalo está entre : 0.002 y 0.005

I) Pruebe la Ho: = 0 para la distancia en camión y tiempo de entrega a un nivel de significación del 5%.

1. Ho: = 0

Ha: 0

2. = 0.05

3. 1 - 0.004 0 = 2 8 6.951

Syx/Sx 0.618/ 379.746t n

4. t(8,0.975) =2.306 5. Decisión: Como t = 6.951 es mayor que 2.306, entonces se rechaza la hipótesis nula.

6. Conclusión: Existe significatividad del coeficiente obtenido respecto a la población de que procede la muestra.

Ejercicios 8.2

La tabla que sigue presenta la evolución temporal de 1960 a 1970, por intervalos de 10 años, del porcentaje de población activa de España empleada en la agricultura y pesca:

Años % de la población activa ocupada en

la agricultura y pesca

1900 68

1910 64

1920 59

1930 47

1940 52

1950 50

1960 42

1970 26

Fuente: Informe sociológico sobre la situación social en España, 1970. Fundación Foessa, 1975. Pág. 169.

Los datos de los años 1900 a 1960 proceden de los Censos de la población activa del INE y el del año 1970 es una estimación basada en datos de la Comisaría del Plan de Desarrollo.



97

A) Indicar las variables existentes de la tabla y su tipo, y discutir si se puede emplear el análisis de regresión. Existen 2 variables: Los años: la cual es una variable cuantitativa continua. Independiente (X). El porcentaje de la población activa ocupada en la agricultura: variable cuantitativa continua. Dependiente (Y).

B) Dibujar en un eje de coordenadas la huella empírica que exprese gráficamente la relación

entre las variables en cuestión, examinarla y determinar, mediante la inspección de la misma, la existencia, signo y grado de relación entre las dos variables, así como su tipo probable.

AÑOS

198019601940192019001880

% P

EA

70

60

50

40

30

20

Según la figura:

Existe relación entre las variables, como se observa tendencia negativa entonces existe asociación negativa entre las variables, es decir las variables son inversamente proporcionales así al correr los años el porcentaje de población económicamente activa en agricultura a disminuido. La asociación debe ser alta porque no hay mucha dispersión. El tipo de regresión, los datos tiene a ser curvilíneos por su tendencia.

C) Supuesto que la asociación entre las dos variables es no lineal parabólica, escribir la ecuación de la parábola correspondiente y calcular sus parámetros.

4

2

3

1

22

3

2

2

1

2

21

2

21

yx

xy

ny

ˆ

xxx

xxx

xx

xxY

o

o

o

o

:son escoeficient los obtener para ecuaciones Las

X Y XY X2 X2Y X3 X4

0 68 0 0 0 0 0

1 64 64 1 64 1 1

2 59 118 4 236 8 16

3 47 141 9 423 27 81

4 52 208 16 832 64 256

5 50 250 25 1250 125 625

6 42 252 36 1512 216 1296

7 26 182 49 1274 343 2401

28 408 1215 140 5591 784 4676



98

Reemplazando los valores en las ecuaciones, se tiene:

408 = 8 β0 + 28 β 1 + 140 β 2 1215 = 28 β 0 + 140 β 1 + 784 β 2 5591 = 140 β 0 + 784 β 1 + 4676 β 2 Despejando las constantes por ecuaciones simultáneas o matrices, se tiene: β 0 = 66.355 β 1 = -2.655 β 2 = -0.3451

23451.0655.2355.66ˆ

:

xxY

Luego

D) Dada la ecuación obtenida, hallar los valores estimados de Y para cada uno de lo, valores empíricos de X según los datos del programa, dibujar la curva de regresión hallar el error típico de estimación que suponen los valores estimados en relación a los valores empíricos y fijar gráficamente los limites dentro de los que deben encontrarse el 68% de los puntos correspondientes a los valores empíricos.

X Y Yest (Y-Yest) (Y-Yest)2

0 68 66.36 1.65 2.71

1 64 63.35 0.65 0.42

2 59 59.66 -0.66 0.44

3 47 55.28 -8.28 68.63

4 52 50.21 1.79 3.19

5 50 44.45 5.55 30.77

6 42 38.00 4.00 15.99

7 26 30.86 -4.86 23.62

Total 145.77

93.43.243.246

77.145

2

)ˆ(2

2

2

yxXYyx SSn

YYS

AÑOS

198019601940192019001880

% P

EA

70

60

50

40

30

20



99

E) En el supuesto que el tipo de asociación es logarítmica, del tipo log Y = βo + β1 X i) Calcúlense los parámetros de esta ecuación.

X y z=logy x2 z

2 xz

0 68 1.83 0 3.36 0.00

1 64 1.81 1 3.26 1.81

2 59 1.77 4 3.14 3.54

3 47 1.67 9 2.80 5.02

4 52 1.72 16 2.94 6.86

5 50 1.70 25 2.89 8.49

6 42 1.62 36 2.63 9.74

7 26 1.41 49 2.00 9.90

28 408 13.53 140 23.02 45.37

xyxzxz

n

X

n

Yxy

xxn

zxxzn

o

o

05.0859.1log05.0859.1ˆˆ

859.18

28)05.0(

8

53.13

05.0)28()140(8

)53.13)(28()37.45(8

1

11

221

ii) Dada la ecuación obtenida, hallar los valores estimados de Y para cada uno de los

valores empíricos de X según los datos del ejercicio, hallar el error típico de estimación que suponen dichos valores estimados y comparar el ajuste logrado en este caso con el anterior que supone la ecuación parabólica. x = 1 log y = 1.859-0.05(1) = 1.809 entonces, antilog y = antilog 1.811 = 64.42

X y yest (y-yest) (y-yest)2

0 68 72.28 -4.28 18.29

1 64 64.42 -0.42 0.17

2 59 57.41 1.59 2.52

3 47 51.17 -4.17 17.37

4 52 45.60 6.40 40.91

5 50 40.64 9.36 87.53

6 42 36.22 5.78 33.36

7 26 32.28 -6.28 39.50

Total 239.66

47.596.2996.296

66.239

2

)ˆ(2

2

2

yxXYyx SSn

YYS

Como: Syx cuadrática = 4.93 Syx logarítmica = 5.47 Entonces, la ecuación cuadrática se ajusta mucho mejor a los datos que la ecuación logarítmica.



100

8.6. ANÁLISIS DE CORRELACIÓN 8.6.1. Objetivos y supuestos del análisis de correlación

El objetivo del análisis de correlación es medir el grado de relación que existe entre las variables.

Supuestos:

La relación entre las dos variables es lineal.

Las dos variables son aleatorias.

Para cada variable las varianzas condicionales dados diferentes valores de la otra variable son iguales (homocedasticidad).

Para cada variable las distribuciones condicionales, dados valores diferentes de la otra variable, son todas distribuciones normales.

Obs. Las suposiciones se aplican a ambas variables a diferencia que en la regresión a valores específicos de la variable independiente.

8.6.2. Coeficiente de determinación Es la media útil de relación entre dos variables (teórico)

2

2 = 1 -

2YX

Y

rS

S

YX

Y

2

2 = 1 -

2

22

2

12

yn -

yn -xy +y =

yr o

8.6.3. Coeficiente de correlación Mide el grado de relación entre las variables.

= ; r = 2 2r

rn x n y y

= n xy - x y

- ( x) - ( )2 2[ ][ ]2 2

Tabla de interpretación para el valor del

coeficiente de correlación:

R relación correlación

r = 0 No existe nula

0,00< r 0,20 muy poco intensa pequeña

0,20< r 0,40 pequeña/apreciab. baja

0,40< r 0,60 considerable regular

0,60< r 0,80 intensa alta

0,80< r 1,00 muy intensa muy alta

Obs. El coeficiente muestral de correlación r está algo sesgado como un estimador de . Este factor posee un sesgo leve, excepto para muestras muy pequeñas. Un estimador no sesgado para el coeficiente de determinación de la población se puede obtener así:

2 = 1 - (1 - r ) (n -1

n - 22 )



101

El valor del coeficiente de correlación y de determinación varía como sigue:

-1 r 1 ; 0 r2 1

8.6.4. Diagramas de dispersión

8.6.5. Significación del coeficiente de correlación

Ho: = 0

Ha: 0

to = r

1 - r

n - 2

t = t2 t (1 - /2, n-2)

8.6.6. Errores y limitaciones asociados con el análisis de regresión y el de correlación

(1) El análisis de regresión para un valor de y no se puede estimar legítimamente si el valor de x está fuera del rango que sirvió de base para la ecuación de regresión.

(2) Si la estimación de y involucra la predicción de un resultado que no ha ocurrido todavía, la información histórica que sirvió como base de la ecuación de regresión puede ser pertinente para eventos futuros.

(3) El uso de una predicción o de un intervalo de confianza se basa en distribuciones condicionales de Y que son normales y tienen varianzas iguales

y

(a) r = +1

r2 = 1

x x

y

(b) r = 0

r2 = 0

y

(c) r = -1

r2 = 1

x x

y

(d) r = 0,60

r2 = 0,36

y

(e) r = -0,90

r2 = 0,81

x



102

(4) Un coeficiente de correlación significativo no indica necesariamente causación, pero si puede indicar una concatenación con otros eventos.

(5) Una correlación “significativa” no es necesariamente una correlación importante. Dada una muestra grande, una correlación de, digamos r = +0.10, puede ser significativamente

diferente de 0 con = 0,05, sin embargo, el coeficiente de determinación es r2

= 0,01, para este ejemplo indica que sólo 1% de la varianza de Y se explica estadísticamente conociendo X.

(6) La interpretación de los coeficientes de correlación y determinación se basa en la suposición de la distribución normal bivariada para la población y, para cada variable, varianzas condicionales iguales.

(7) Para los análisis de correlación y regresión se supone un modelo lineal. Para una relación curvilineal, se puede disponer de una transformación para lograr la linealidad. Otra posibilidad es limitar el análisis al rango de valores dentro del cual la relación es esencialmente lineal.

Ejemplo 8.3

Para el ejemplo del tiempo de entrega en función a la distancia en kilómetros. Determinar:

(a) El coeficiente de correlación

95.02

)5.28()75.99(102

)7620()7104300(10

)5.28)(7620()26370(10=

]2

)( - 2

][2

x)( - 2

[

yx -xy n =r

yynxn

Interpretación: Existe muy alta correlación entre la distancia y el tiempo de entrega de los embarques.

(b) El coeficiente de determinación.

90.0(0.95) = 22r

Interpretación: La variabilidad del tiempo de entrega es explicada por la distancia en un 90%.

(c) Determine la significación del coeficiente de correlación.

1) Ho: = 0

Ha: 0

2) = 0.05

3) 50.8

8

0.90 - 1

0.95

2 -n

r - 1

r =

2ot

4) 306.28) (0.975,2)-n /2, - (1 t= t= tt

5) Decisión: Como t0 RR rechazamos la Ho 6) Conclusión: La relación entre las variables es significativa.

tt = -2.306

RA

1 - = 0,95

RR

2 = 0,025

tt =2.306 t0 = 8.50

RR

2 = 0,025



103

Ejemplo 8.4

Para una muestra de n = 10 de beneficiarios anteriores de préstamos en una compañía financiera, el coeficiente de correlación entre los ingresos familiares y la cantidad de la deuda pendiente a corto plazo es r = +0.50.

(a) Pruebe su significación.

1) Ho: = 0

Ha: 0

2) = 0.05

3) 63.1

8

(0.50) - 1

0.50

2 -n

r - 1

r =

22ot

4) 306.28) (0.975,2)-n /2, - (1 t= t= tt

5) Decisión: Como t0 RA aceptamos Ho 6) Conclusión: La relación entre las variables no es significativa.

tt = -2.306

RA

1 - = 0,95

RR

2 = 0,025

tt =2.306 t0 = 1.63

RR

2 = 0,025



104

AUTOEVALUACIÓN


( ) Se tiene la regresión de Y sobre X, donde X es variable independiente; Y es la variable

independiente.

( ) El modelo de la ecuación de la regresión lineal es Y = β0 + β 1X.

( ) Al diagrama de dispersión se le conoce también como “nube de puntos”. ( ) Cuando el valor del coeficiente de correlación ( r = 0) decimos que la correlación es

muy alta.

( ) El coeficiente de correlación mide el grado de relación que existe entre las variables. 2. Una compañía se encuentra en un proceso de evaluación de su personal. En el Departamento

de producción en el primer turno se tienen la siguiente información:

Horas de Trabajo

8 12 14 14 16 64

Unidades de Producción

7 9 13 12 18 59

a) Grafique el diagrama de dispersión, la recta de regresión e interprete. b) Hallar e interpretar la Ecuación de regresión para estimar la producción de los operarios c) Calcule el error estándar de la estimación d) Hallar el coeficiente de correlación e interprete su significado e) ¿Cuántas unidades de producción predeciría usted con 20 horas de trabajo? Interpretar

3. Los valores de X e Y son los siguientes:

X 2 3 4 5 6

Y 1 2 3 3 6

a) Calcular el coeficiente de correlación b) Multiplicar por 2 los valores de X y por 3 los valores de Y, y calcular seguidamente el coeficiente de correlación correspondiente a estas dos nuevas series c) Comente los resultados

4. Un funcionario de un hipódromo querría pronosticar la cantidad de dinero apostado (en miles

de dólares) con base en la asistencia de público. Se selecciona una muestra aleatoria de 10 días y los resultados se presentaron en la tabla siguiente:

Día 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10

Asistencia (miles) 14.5 21.2 11.6 31.7 46.8 31.4 40.0 21.0 16.3 32.1

Cantidad apostada (miles dólares)

0.70 0.83 0.62 1.10 1.27 1.02 1.15 0.80 0.71 1.04

a) Constrúyase una nube de puntos o diagrama de dispersión y trácese la recta de regresión. b) Verifique que la regresión de la muestra es y= 0.422+0.019x c) Calcular el coeficiente de correlación e interprete d) Prediga la cantidad apostada en un día en que hay una asistencia de 20 000 personas

5. Se hace un estudio para determinar la relación entre las edades de un gran grupo de

máquinas en una fábrica y las eficiencias de las máquinas. Los datos se dan en la siguiente tabla.

Edad (X) 2 4 11 9 4 6 7 8

Eficiencia (Y) 90 65 25 40 80 60 35 50

a) Representar los datos en un diagrama de dispersión. b) Calcular el coeficiente de correlación entre X e Y. Interprete. c) Ajustar dicha información a una recta de regresión lineal de Y sobre X y representar la

recta en la gráfica de la parte a). d) ¿Cuál es la mejor estimación de la eficiencia de una máquina de 10 años?



105

Unidad 7 SERIES DE TIEMPO Y NUMERO INDICE


Tutoría Nº 9: Series de Tiempo.

Tutoría Nº 10: Número Índice.



106



107

A. Aspectos preliminares 1. Competencias 1.1. Conceptuales Reconoce los conceptos de las componentes de la series de tiempo y de los números índices. 1.2. Procedimentales Elaboran modelos para predecir una variable de serie de tiempo y mostrar métodos para calcular los números índice. 1.3. Actitudinales Resuelve situaciones en donde se quiere pronosticar una variable de serie de tiempo. Utilizar los números índices para predecir condiciones económicas o industriales. B. Desarrollo del contenido, sus procedimientos y modalidad 1. Contenido programático El contenido programático de la unidad referida es el siguiente: series de tiempo: introducción, componentes de las series de tiempo: tendencia, ciclo, estación, irregular; predicción, números índices, noción, aplicación de los números índices, relaciones de precios: propiedades de las relaciones de precios; relaciones de cantidad o volumen: propiedades de las relaciones de cantidad; relaciones de valor: propiedades de las relaciones de valor; métodos para calcular los números índices: método de agregación simple; método de agregación ponderada, método del promedio ponderado de relaciones; cambio de base en los números índices; deflación de series en el tiempo. 2. Modalidad y procedimiento de desarrollo de la unidad Durante la fase a distancia a) Cada alumno lee la primera unidad del módulo. b) Cada alumno desarrolla las prácticas dirigidas y los trabajos





108

Tutoría Nº

Series de tiempo y predicción ESTUDIO DE UN CASO El vicepresidente financiero de Southern Airways está considerando la adquisición de dos nuevos aviones. En un momento crítico para la compañía. Las aerolíneas más grandes están aumentando su tráfico, y la mayoría de los nuevos clientes son antiguos clientes de las aerolíneas más pequeñas. Parte de la razón de este cambio de preferencias del pasajero parece ser lo deseable de volar en aviones más nuevos y más cómodos. Hay tres alternativas para Southern. Primera, puede decidirse por comprar dos nuevos aviones, lo cual probablemente tendría por resultado un aumento gradual de la participación de la compañía en el mercado, con incremento notable en los ingresos, que comenzarían al segundo año después de la compra. La segunda alternativa es comparar un nuevo avión solamente, lo cual se espera que permitiera a la Southern mantener su puesto en el mercado durante los tres o cuatro años siguientes. Se espera que para entonces se disponga de nuevos ingresos, y de otras fuentes de fondos que permitan a la Southern aumentar su flota, y con ello ganar una mayor participación en el tráfico aéreo en los años subsiguientes. La tercera alternativa es diversificar los fondos que pondrían emplearse en la adquisición de los aviones, para hacer otras inversiones. La participación de la Southern en el mercado se desmejoraría, haciéndosele luego muy difícil a la compañía reconquistar su actual posición en el mercado. El resultado final bien podría ser que la Southern Airways dejara de operar como aerolínea de pasajeros. De las tres alternativas, la Southern preferiría con mucho la adquisición de los dos aviones. La segunda y tercera alternativas se podrían seguir solo en el caso de que la primera no fuera factible. Si se determina que la compra de los dos nuevos aviones no es aconsejable, entonces se someterían las dos alternativas restantes a un cuidadoso examen, en cuanto a las posibles consecuencias de cada una de ellas. Si la primera alternativa no es aconsejable, será porque la compañía, tenga dificultades en cumplir las obligaciones de la financiación de la compra. Los fondos para la compra de los aviones provendrían de tres fuentes. Primera, se emitirían acciones; esta fuente se utilizaría, ante todo, porque la Southern no incurre con ello en obligaciones reales. La segunda fuente utilizada sería la venta de bonos de la sociedad, cada una de las cuales exigiría que la Southern pagara una suma total cada seis meses. No obstante, este tiempo sería suficiente para permitir a la Southern acumular los fondos necesarios para cumplir estas obligaciones. Dichas dos fuentes de fondos producirían capital suficiente para permitir la compra de un avión. Además, estas fuentes no presentan serios problemas en cuanto al cumplimiento de las obligaciones financieras que imponen. Sin embargo, si la compañía va a comprar el segundo avión, habría que obtener capital suplementario mediante un empréstito. Las obligaciones impuestas por el empréstito comprenden a bonos mensuales. Es la cuestión del servicio de esta deuda lo que preocupa en este momento. Si la Southern incumple en el empréstito, los futuros intentos de conseguir capital por alguno de los tres métodos mencionados serían en extremo dificultosos. Los inversionistas estarían muy reacios a comprar acciones corrientes de la Southern o sus emisiones de bonos.

9



109

La decisión depende la capacidad de la Southern para el servicio de la deuda que sería necesaria par la compra de dos aviones. Debido al aumento sustancial en ingresos, que se anticipan para el segundo año después de la compra de dos aviones; el periodo crítico para la Southern sería el primer año después de la compra, durante el cual la Southern experimentaría lo más difícil para cumplir las obligaciones mensuales de la deuda. Es responsabilidad del vicepresidente financiero el determinar la capacidad de servicio de la deuda de la Southern en el primer año después de la compra de los dos aviones. Se está ahora en enero de 19X9. Los dos aviones, pedidos entrarían en servicio en julio de este año, momento en el cuál comenzarán los abonos a la deuda. Los costos que implica la operación de la Southern están estrechamente vinculados con la tasa de inflación. En realidad pueden hacerse proyecciones muy precisas tomando el costo total, en diciembre de 19X8, que fue de $4 320 000 y calculando un aumento del 0.5% mensual. En julio, si los aviones se compran, habrá que añadir los pagos mensuales de $210 000. Los ingresos, por otra parte, plantean un problema más difícil, pues no hay fórmula simple que pueda emplearse para proyectar los ingresos. A veces los ingresos han aumentado, y a veces ha disminuido. Parecen estar sujetos a más fluctuaciones que los costos. Se necesita pues una manera de predecir o proyectar los ingresos. 9.1. INTRODUCCION Dado que las condiciones económicas y los negocios varían con el tiempo, los ejecutivos deben encontrar formas de conocer los efectos de esos cambios en sus operaciones particulares. Unos métodos que pueden utilizar los directivos de los negocios como ayuda para controlar las operaciones actuales y en la planeación de futuras necesidades (mediante el pronóstico de acontecimientos probables en ventas, materia prima, mano de obra, etc.) es un análisis de series de tiempo. Se llama Series de Tiempo a un conjunto de mediciones de cierto fenómeno o experimento registrado secuencialmente en el tiempo. El primer paso para analizar una serie de tiempo es graficarla, esto permite: identificar la tendencia, el ciclo, la estacionalidad, las variaciones irregulares (componente aleatoria). El fin principal del análisis de las series cronológicas es la predicción de los valores futuros de un proceso aleatorio. 9.2. COMPONENTES DE LAS SERIES DE TIEMPO A menudo es útil analizar sucesiones de observaciones de variables aleatorias a lo largo del tiempo. Una sucesión de esta clase se llama serie cronológica. Pero prácticamente en todos los análisis precedentes, se ha supuesto, por lo menos implícitamente, que las observaciones eran independientes y de distribución idéntica, con la que constituían una muestra aleatoria. A veces este supuesto es apropiado al analizar series cronológicas. Pero en este capítulo se supone que las observaciones son dependientes entre si. En esencia, lo que está suponiendo aquí es que el tiempo, u otra variable vinculada a este, influyen en los valores observados de la variable aleatoria. Como se ha visto una y otra vez, el objetivo del análisis estadístico es la interpretación de los datos. El proceso de interpretación tiene dos resultados finales. El primero es la descripción del proceso de base, en términos de un modelo la distribución normal de probabilidades, el modelo de regresión lineal o cualquiera otro. El segundo es la inferencia de relaciones fundamentales. Por ejemplo, podría contratarse la productividad media antes y después de una sesión de adiestramiento, y sacar conclusiones sobre el grado de efectividad de la sesión de adiestramiento. En el análisis de series cronológicas se interpreta la influencia del tiempo sobre la variable aleatoria que se esté estudiando. Y de ello se infiere, la futura influencia de los factores temporales sobre la variable aleatoria y la predicción de observaciones futuras. Como las condiciones económicas cambian por el tiempo, el comportamiento de las variables aleatorias de interés, en decisiones empresariales, cambien de carácter con el tiempo. Las medias pueden variar; las varianzas pueden modificarse. Tal vez no es apropiado hablar en términos de



110

tiempo, como la variable de influencia, cuando en realidad son las condiciones económicas cambiantes las conducen a las variaciones de la distribución de la variable aleatoria. Pero el tiempo es el factor común y la vinculación de los cambios de las condiciones económicas y de las variables empresariales mediante la variable tiempo ha dado resultados. Sería deseable aislar e identificar las principales influencias observables en datos de series cronológicas. Estas influencias principales serán los componentes de los modelos de series cronológicas. Una vez aisladas, se las puede analizar para interpretar mejor las razones económicas de las observaciones pasadas. Lo que es más importante en la Situación I, de que se trata, es que estas componentes pueden incorporarse a un modelo para predecir ocurrencias futuras y tomar decisiones. Hay cuatro influencias principales que se observan en los datos de series cronológicas. Son: 1. Tendencia, T. 2. Ciclo, C. 3. Estación, S. 4. Irregular, I. El análisis de estudio se organizará según estas componentes. 9.2.1. Tendencia Tendencia es una influencia a largo plazo que origina variaciones lentas. La expresión “a largo plazo” significa aquí que la influencia de una tendencia se extiende por varios años. Algunas condiciones económicas generales que producen efectos de tendencia son las variaciones del tamaño de la población, las mejoras graduales de la tecnología, las variaciones del nivel de vida y la inflación o la deflación. Otros factores son, por ejemplo, los cambios de preferencia del consumidor y el grado hasta donde se mejoran por el aprendizaje el rendimiento y la eficacia (en el proceso de producción, por ejemplo). La figura 1 indica una posible tendencia de los datos de una serie cronológica.

FIGURA 1.

Todos estos factores identifican con claridad aspectos importantes para fines de planificación. Todos sugieren cambios potenciales, por ejemplo en las utilidades. En ciertos casos, las ventas varían porque el mercado se está expandiendo o contrayendo. En otros, los costos suben o bajan debido a variaciones en la calidad del rendimiento del proceso de producción. Otras variables importantes pueden también resultar relacionadas con estos factores. Se va a considerar brevemente la influencia de la inflación o la deflación. Antes de comenzar el análisis de una serie cronológica hay que eliminar de los datos dicha influencia, mediante un índice adecuado de precios. La inflación de la ilusión de mayores ventas porque suben los recaudos, lo cual podría llevar a los directivos a aumentar la producción, ampliar la fuerza laboral o emprender alguna otra actuación costosa para hacer frente al aumento de la demanda que se anticipa erradamente. Para evitar esta mala interpretación, primero hay que ajustar los datos a fin de eliminar la influencia de la inflación. Pero hay veces en que al analizar datos de series cronológicas, la influencia de la inflación puede considerarse con toda propiedad como parte de l componente de tendencia. Por ejemplo, con cifras de utilidades, la inflación o deflación en los ingresos y en los costos quedan de hechas incorporadas a las cifras. La diferencia entre estas dos tasas de inflación o deflación podría considerarse una información apropiada a la tendencia.

1 2 3 4

Tiempo (años)

5 6 7

Ven

tas



111

9.2.2. Ciclo La componente cíclica se refiere a la influencia de los ciclos económicos en los datos de series cronológicas. Los ciclos económicos son oscilaciones o movimientos ascendentes y descendentes de la actividad económica general. Se habla a veces de “fases ascendentes o de expansión”, o de “fases descendentes o de contracción”, o también “recesiones”. Los ciclos económicos son imprescindibles en alto grado en cuanto a la amplitud (magnitud del movimiento hacia arriba o hacia abajo), duración (el tiempo que se mantiene la fase), y forma (rapidez de ascenso o descenso). Por lo general, los movimientos o fases descendentes son más rápidos que los ascendentes; pero hay otros cuantos comentarios de naturaleza general, aplicable a los ciclos económicos. La figura 2 es un ejemplo de ciclo y la figura 3 indica la tendencia de la figura 1, después de su distorsión por la componente cíclica que se representa en la figura 2.

FIGURA 3

Los ciclos económicos influyen ciertamente en las variables que afectan a la marcha de la firma. Por ejemplo, durante la fase descendente, las firmas que comercializan artículos de primera necesidad solo se refrenan lentamente. Debido a este efecto, y a su naturaleza variable respecto a las diferentes industrias, la influencia cíclica es componente importante en el análisis de series cronológicas. 9.2.3. Estación La estación describe los movimientos ascendentes y descendentes debidos al tiempo o estación del año. Varias industrias ofrecen ejemplos de esta influencia. Así, en un caso, las ventas de equipos para esquiar muestran movimientos considerables durante el curso de un año. Desde luego, otras industrias pueden experimentar efectos escasos o nulos de tipo estacional. Aunque ciertos alimentos tienen sus estaciones, las ventas de las tiendas de alimentación experimentan típicamente muy poca o ninguna influencia estacional. La figura 4 ilustra una modalidad estacional.

FIGURA 4.

Los efectos de la componente estacional se compensan en promedio durante el curso del año. Después de un año, el proceso vuelve a su punto de partida, suponiendo, claro está, que no hay

1 2 3 4

Tiempo (años)

5 6 7

Ven

tas

1 2 3 4

Tiempo (años)

5 6 7

Ven

tas

1

Tiempo (años)

2

Ven

tas

FIGURA 2



112

influencia de tendencia, cíclica o irregular. No hay beneficio o pérdidas netos en la serie cronológica que sean atribuibles a esta componente. Como la influencia estacional está asociada a la época del año, su momento de ocurrencia es predecible. La influencia ejercida por la llegada de la primavera, en las industrias de modas femeninas, se vio en la pasada primavera y se verá en la siguiente. Pero al variar las costumbres, el grado de esa influencia puede variar también. Por consiguiente, puede haber ligeras variaciones en la medida de los efectos estacionales, en períodos de tiempo prolongados. La autoridad que decide o el analista deben elegir uno de los supuestos siguientes al tratar la componente estacional: 1. El efecto de la componente estacional es constante de un año a otro. 2. El efecto estaminal varía ligeramente de un año a otro. 3. El efecto de la influencia estacional cambia espectacularmente. Rara vez se ve el tercer supuesto, pero a veces es necesario. Por ejemplo, si la industria automovilitaria cambiara el momento de instrucción de los nuevos modelos, sería de esperar un gran cambio en el efecto estacional. 9.2.4. Irregular La componente irregular incorporar dos tipos de influencia. El primero es la ocurrencia de sucesos individuales insólitos que han repercutido sobre la serie cronológica. Sucesos posibles de tal naturaleza son las huelgas, el elevado ausentismo por causa de una epidemia de gripe o un cambio de importancia de la política económica de gobierno. Todas estas influencias podrían originar grandes variaciones en el proceso aleatorio que produjo la serie cronológica. Y es típico pues que el proceso tenga nuevas características de evolución después de esa variación. El segundo tipo de influencia incorporado a la componente irregular es la fluctuación aleatoria, que por lo general es de naturaleza modesta y produce variaciones dentro de un ± 5%, por ejemplo. Como se hizo en el análisis de regresión, las fluctuaciones aleatorias se suponen con media de cero, es decir, que su efecto neto se hace igual a cero en su análisis. El proceso de ajuste del primer tipo de influencia irregular es un análisis estadístico bastante especializado. Y el caso, tampoco da indicación de sucesos económicos separados insólitos. Por consiguiente, se tratará la componente irregular, como constituida solamente de fluctuaciones aleatorias. La figura 5 ilustra una serie de variaciones aleatorias en una serie cronológica. La figura 6 está compuesta de la tendencia de la figura 1, el ciclo de la figura 2, la estación de la figura 4 y la variación irregular de la figura 5. Así pues, la figura 6 podría ser la ilustración del gráfico típico de datos de series cronológicas.

9.3. PREDICCIÓN La base lógica de la predicción es un proceso en dos etapas. Primero se constituye un modelo, a partir de las observaciones pasadas del proceso; luego se utiliza ese modelo para predecir ocurrencias futuras. Ante todo hay que estimar la influencia de las diversas componentes y luego combinar las componentes para tener un modelo de predicción.

1 2 3 4 Tiempo (años)

5

Ven

tas

FIGURA 5

1 2 3 4

Tiempo (años)

5 6 7

Ven

tas

FIGURA 6



113

Como el método de estimación de los efectos componentes depende de la forma que se elija para el modelo, se analizará ante todo la forma del modelo. La manera más corriente de combinar las componentes en un modelo, es por multiplicación de los componentes. Sea Y la variable aleatoria que se trata de predecir. EL modelo que se utiliza se llama modelo multiplicativo y sugiere que: Y = T .C. S. I Una consecuencia importante de este modelo es que indica las unidades de medida de las cuatro componentes. Si se están prediciendo ventas medidas por ingresos totales, los valores Y se expresan en dólares. Se medirá T también en dólares. Las otras tres componentes pueden interpretarse como porcentajes. Cuando la componente estacional, por ejemplo, no tienen influencia sobre una observación particular, el valor de S es 1.0. Puede decirse lo mismo en cuanto a las componentes C e I. Si las tres componentes porcentuales son iguales a 1, es decir, si: C = S = I = 1.0 Entonces el valor observado podría llamarse ocurrencia “promedio” o “típica”. Por la primera igualdad es también cierto que: Y = T Si C = S = I = 1.0. Así pues, el modelo multiplicativo de la componente de la tendencia como el valor típico, y las otras componentes pueden considerarse como ajustes. Un valor de C = 1.015 indica que la condición predominante del ciclo económico producirá un valor observado de 1.5 por ciento mayor que el valor típico; una componente estacional de valor S = 0.970 indica que el tiempo del año producirá un valor observado 3% inferior al típico. Todas las observaciones pueden ser consideradas en consecuencia como ajustes de la típica, ya sea por los ciclos económicos, ya por el tiempo del año, ya por las fluctuaciones aleatorias. Un plan de solución al problema de estimación puede ser el siguiente: 1. Estímese la componente T de tendencia utilizando datos anuales. (Pueden emplearse

observaciones mensuales o trimestrales si están ajustadas estacionalmente, es decir, si se ha eliminado la componente estacional).

2. Estímese la componente estacional S utilizando los datos “brutos”, es decir, los datos mensuales sin modificar. (Pueden emplearse datos trimestrales si son apropiados para el problema de decisión).

3. Estímese la componente irregular I “suavizando” los datos ya ajustados estacionalmente. 4. Estímese la componente cíclica C utilizando los datos brutos originales y las estimaciones de

T, S e I. A esta altura ya puede examinarse la bondad del modelo, analizando los valores de la componente irregular estimados en 3. El examen se concentrará en si los valores de I son indicativos de fluctuaciones aleatorias. Esto se determinará decidiendo si los valores son independientes entre sí. Si lo son, el modelo puede juzgarse como aceptable. Para el análisis completo se pasará por estas cuatro etapas. Es decir, que el analista o autoridad decisoria puede: a) predecir las observaciones futuras y b) hacer el análisis de observaciones pasadas para determinar causaciones económicas; esto es

por que se observó lo que se ha observado. Sin embargo, aquí solo se ha propuesto lo primero por el momento. Para lograr predecir ingresos mensuales futuros, es necesario estimar únicamente T y S porque en gracia de brevedad se hará un supuesto en cuanto a C y se dirá simplemente que los valores de I constituyen fluctuaciones aleatorias.

Para ilustrar los procedimientos que suponen los problemas de estimación se tomará el caso propuesto.



114

El primer paso es estimar la componente de tendencia utilizando datos anuales. Supóngase que la tabla 1 da los ingresos anuales de Southern Airways, durante los ocho años pasados. Se está buscando cierta relación entre el tiempo en años y los ingresos. Siguiendo el procedimiento de ajuste de curva. Se representan los datos de la tabla 1, así como el diagrama de dispersión en la figura 7. Parece como si una recta pudiese describir muy bien la componente de tendencia. Es decir, se podría suponer que si t representa tiempo en años a partir de 19X0.

Tabla 1: Ingresos anuales (en millones de dólares)

Año Ingresos Año Ingresos

19X1 58.03 19X5 58.84

19X2 58.27 19X6 58.72

19X3 58.29 19X7 58.74

19X4 58.58 19X8 59.16

T = + 1t+

y 1 por el método de mínimos cuadrados descritos en el tema anterior.

Si consideramos a los años e ingresos, como la variables x e y respectivamente. Utilizando las siguiente fórmulas.

)x( -

yx - 221

xn

xyn

n

x

n

y= x - y = 1

_

1

_

0

Se tiene: β0 = 57.95 β1 = 0.141

Así mismo, la fórmula de correlación:

rn x n y y

= n xy - x y

- ( x) - ( )2 2[ ][ ]2 2

Se tiene: r = 0.9464 r

2 = 0.8957

El valor de r

2 indica que el 89.57 % de la variación de los ingresos anuales se explica por la

variación de t, el tiempo en años a partir de 19X0. Así que se concluye que el modelo es una descripción aceptable de la relación entre ingresos anuales y tiempo. Por lo tanto, se toma como componente de tendencia T = 57.95 + 0.141t Donde t es el tiempo en años después de 19X0. Se tiene ahora la componente de tendencia expresada en ingresos anuales. Esto es, que esta componte de tendencia es la mas útil para predecir ingresos anuales. Pero también puede utilizarse para predicciones mensuales. Quizás la manera más fácil de adaptar estas cifras de tendencia anual, a cifras de tendencia mensual, es dividir las predicciones anuales por 12. Lo cual supone que no hay influencia de tendencia durante el año. En ciertas aplicaciones tal supuesto puede ser algo irrazonable, pero para los propósitos trazados aquí será suficiente.



115

c) El paso siguiente es estimar la componente estacional utilizando datos mensuales brutos. Supóngase que la tabla 2 da los ingresos mensuales en los cuatro años pasados para la Southern.

Tabla 2: Ingresos mensuales

(en millones de dólares)

Mes 19X5 19X6 19X7 19X8

Enero 4.69 4.85 4.86 4.76

Febrero 4.78 4.56 4.43 4.67

Marzo 4.36 4.41 4.65 4.39

Abril 4.50 4.70 4.52 4.25

Mayo 5.09 5.00 5.21 5.02

Junio 5.22 5.66 5.29 5.36

Julio 5.44 5.13 5.41 5.47

Agosto 5.24 5.09 5.00 5.48

Septiembre 4.89 5.05 5.11 4.87

Octubre 4.68 4.64 4.38 4.71

Noviembre 4.22 4.23 4.41 4.42

Diciembre 5.73 5.40 5.47 5.76

En este momento hay que resolver dos cuestiones. La primera es si se van a obtener valores mensuales para S o valores trimestrales para S. Un examen a la tabla 2 puede ayudar a resolver esto. En cada uno de los años, los ingresos del mes de diciembre son considerablemente más altos de los de octubre y noviembre. Esto sin duda se debe a que se viaja más en las vacaciones de navidad. Pero el caso es que el utilizar una componente estacional trimestral tendería a distorsionar el modelo de esta influencia especial, porque un valor de S estaría asociado a Diciembre y a otros dos meses muy diferentes (octubre y noviembre) de la actividad de la aerolínea. No quedaría satisfecha apropiadamente la necesidad de predecir los ingresos mensuales, porque las proyecciones de octubre y noviembre serían demasiados grandes. La segunda cuestión hay que resolver es la de si se supone una componente estacional constante de año en año. Nuevamente puede ayudar el observar la tabla 2. Se observa que no hay mayores variaciones de la influencia de un mes particular, sobre los ingresos de año en año. Se observarían luego las condiciones económicas para tratar de decidir si podría haber una variación gradual de S con el tiempo. Para los propósitos del análisis se supondrá que la componente estacional es constante. Las cinco etapas para estimar S son: 1. Asígnese a cada mes el promedio de las cinco observaciones más cercanas a ese mes. Por

ejemplo, se asignaría a abril el promedio de las observaciones de febrero, marzo, abril, mayo y junio. Se asignaría a mayo el promedio de las observaciones de marzo, abril, mayo, junio y julio. Es este un proceso de suavización en que se calcula un promedio móvil de cinco puntos.

2. Para cada mes, calcúlese la relación entre el valor observado y el promedio móvil de cinco

puntos. Esta relación se llama estación específica, SS. La tabla 3 indica las etapas 1 y 2 efectuadas sobre los datos de la tabla 2.

3. Descártese el tercio máximo y el tercio mínimo, aproximadamente, de las estacionales

específicas. Importa descartar igual número de valores elevados y valores bajos de estacionales específicas. Se hace esto para eliminar los efectos de datos exteriores.

4. Estímese la componente estacional S como el promedio de las restantes estacionales

específica. 5. Ajústense las estacionales de modo que sumen 12. Se hace esto para que no haya influencia

neta de las estacionales sobre el curso de todo el año. Si se calcularan estacionales trimestrales, la suma sería 4.



116

La tabla 4 muestra los cálculos finales de las estacionales para los datos de la tabla 2. Los datos de la tabla 2 pueden ajustarse ahora en cuanto a la componente estacional. Esto se logra dividiendo cada observación por la correspondiente estacional. Estos datos ajustados pueden emplearse para estimar una componente de tendencia de los ingresos mensuales, de la misma manera que se utilizaron los datos anuales. Sería probable encontrar una ecuación diferente para la componente de tendencia del ajuste de la ecuación 2 que se va utilizar aquí.

Tabla 3 Cálculo de Estacionales específicas, SS

Mes 19X5 19X6 19X7 19X8

Enero Real 4.690 4.850 4.860 4.760

Promedio 4.760 4.720 4.740

SS 1.019 1.030 1.004

Febrero Real 4.780 4.560 4.430 4.670

Promedio 4.850 4.780 4.710

SS 0.940 0.927 0.992

Marzo Real 4.360 4.410 4.650 4.390

Promedio 4.680 4.710 4.740 4.620

SS 0.932 0.912 0.981 0.950

Abril Real 4.500 4.700 4.520 4.250

Promedio 4.790 4.870 4.820 4.740

SS 0.939 0.965 0.938 0.897

Mayo Real 5.090 5.000 5.210 5.020

Promedio 4.920 4.980 5.020 4.900

SS 1.035 1.004 1.038 1.024

Junio Real 5.220 5.660 5.290 5.360

Promedio 5.100 5.120 5.090 5.120

SS 1.024 1.105 1.039 1.024

Julio Real 5.440 5.130 5.410 5.470

Promedio 5.180 5.190 5.210 5.240

SS 1.050 0.988 1.038 1.044

Agosto Real 5.240 5.090 5.000 5.480

Promedio 5.090 5.120 5.040 5.180

SS 1.029 0.944 0.992 1.058

Septiembre Real 4.890 5.050 5.110 4.870

Promedio 4.890 4.830 4.870 4.990

SS 1.000 1.046 1.049 0.976

Octubre Real 4.680 4.640 4.380 4.710

Promedio 4.950 4.890 4.880 5.050

SS 0.945 0.949 0.898 0.933

Noviembre Real 4.220 4.230 4.410 4.420

Promedio 4.870 4.840 4.830

SS 0.867 0.874 0.913

Diciembre Real 5.730 5.400 5.470 5.760

Promedio 4.810 4.720 4.740

SS 1.191 1.144 1.154



117

Tabla 4

Cálculo de la componente Estacional, S

Mes Estaciones específicas Promedio de

Tercio Central

S Ajustada

Enero 1.019 1.030 1.004 1.019 1.02

Febrero 0.940 0.927 0.992 0.940 0.94

Marzo 0.932 0.912 0.981 0.950 0.941 0.94

Abril 0.939 0.965 0.938 0.897 0.938 0.94

Mayo 1.035 1.004 1.038 1.024 1.030 1.03

Junio 1.024 1.105 1.039 1.047 1.043 1.05

Julio 1.050 0.988 1.038 1.044 1.041 1.05

Agosto 1.029 0.994 0.992 1.058 1.012 1.02

Septiembre 1.000 1.046 1.049 0.976 1.023 1.03

Octubre 0.945 0.949 0.898 0.933 0.939 0.94

Noviembre 0.869 0.874 0.913 0.874 0.88

Diciembre 1.191 1.144 1.154 1.154 1.16

Total 11.954 12.00

Se tienen los valores de T y S y todo lo que queda por hacer es la estimación de C e I. Se supondrá en esta etapa que C = 1.0. Esto representa en esencia la creencia de que el ciclo económico no va a tener influencia en los ingresos mensuales de la Southern el próximo año. Para cada uno de los 48 meses de la tabla 2, la componente cíclica es aproximadamente 1.0. La componente irregular I se puede estimar utilizando los datos mensuales ajustados estacionalmente. Se suavizan estos datos utilizando una variante del promedio móvil de cinco puntos utilizado antes. El objetivo de estimar la componente irregular es determinar la bondad del modelo. Si los valores de I indican variación aleatoria, se acepta el modelo multiplicativo como descripción bien ajustada, y por consiguiente, como dispositivo razonable de predicción. Pero el contraste de los valores de I es un proceso complicado. Admítase por tanto que el modelo utilizado en este análisis es aceptable y prosígase. Ya con T, C y S definido puede pasar a predecirse. La predicción para cualquier mes es simplemente el producto de las componentes de la tendencia cíclica y estacional para ese mes. Esto es, la predicción dada es:

Y = T. C .S Esta predicción es comparable a la estimación hecha anteriormente. La analogía está en el supuesto de que no hay error aleatorio. Así:

xbby 10

Era la estimación de un valor particular de la variable aleatoria y. El término de error se hizo igual a cero. En nuestro caso se toma I = 1.0, lo que indica nuevamente que no hay error aleatorio. REVISIÓN DEL CASO Queda así completa la fase de estimación y pueden predecirse ya los costos e ingresos mensuales para los 18 meses siguientes. Los costos mensuales se proyectan aumentando el costo total actual de $4 320 000 en 0.5% al mes. He aquí estas proyecciones en millones: Ene. $4.34 Jun. $4.45 Nov. $4.56 Mar. $4.65 Feb. $4.36 Jul. $4.47 Dic. $4.58 Abr. $4.68 Mar. $4.39 Ago. $4.49 Ene. $4.61 May. $4.70 Abr. $4.41 Sep. $4.52 Feb. $4.63 Jun. $4.72 May. $4.43 Oct. $4.54 Estos son costos proyectados por mes si los dos aviones no se compran. Si se compran los aviones, la Southern incurre en un costo mensual adicional de 210 000, comenzando en julio. Esta



118

adición al costo, se debe desde luego, al préstamo necesario para a compra de los aviones, y altera las proyecciones de costo mensual, en millones así: Ene. $4.34 Jun. $4.45 Nov. $4.77 Mar. $4.86 Feb. $4.36 Jul. $4.68 Dic. $4.79 Abr. $4.89 Mar. $4.39 Ago. $4.70 Ene. $4.82 May. $4.91 Abr. $4.41 Sep. $4.73 Feb. $4.84 Jun. $4.93 May. $4.43 Oct. $4.75 Las proyecciones de ingresos se hacen con el modelo multiplicativo Y = T. C. S Siendo T = 57.95 +0.141t t = tiempo en años después de 19X0 C = 1.0 S = según lo da la tabla 4 Se van a predecir los ingresos de 18 meses. Los primeros 12 meses van hasta el año 19X9, así que t = 9. Para los 6 meses subsiguientes, se emplea t = 10. Con t = 9, se predice la componente de tendencia del ingreso anual que da: T = 57.95 + 0.141(9) = $59.22 Y del ingreso mensual: T/12 = $4.94 Utilizando las estacionales de la tabla 4, se obtienen las siguientes predicciones expresadas en millones: Ene. $5.04 Abr. $4.64 Jul. $5.19 Oct. $4.64 Feb. $4.64 May. $5.09 Ago. $5.04 Nov. $4.25 Mar. $4.64 Jun. $5.19 Sep. $5.09 Dic. $5.73 Para los 6 meses subsiguientes, se emplean t = 10 y los factores estacionales de la tabla4. Esto da: T = 57.95 + 0.141(10) = $59.36 y T/12 = $4.95 Por último, los ingresos predichos, en millones, son

Ene. $5.05 Mar. $4.65 May. $5.10 Feb. $4.65 Abr. $4.65 Jun. $5.20

Estas proyecciones se basan en: Y = T. C. S Pero los ingresos reales serán: Y = T. C. S. I Esto es, teniendo en cuenta la variación aleatoria. Esta variación se sitúa típicamente entre -5 por ciento y +5 por ciento, pero se ha de tener en cuenta que la fluctuación aleatoria puede tener un enorme efecto. En realidad, puede ser la diferencia entre cumplir con los pagos del préstamo y el no cumplirlos. Como las consecuencias de incumplimiento son tan graves, sería deseable ser prudentes en las predicciones de ingresos futuros. Esto se logra incorporando el modelo de predicción un valor I menor que 1.0. Como I puede dar hasta 5 por ciento de disminución de



119

ingresos, se utiliza I = 0.95. Incorporando este factor, se obtienen las siguientes predicciones, en millones, para los siguientes 18 meses: Ene. $4.79 Jun. $4.93 Nov. $4.04 Mar. $4.42 Feb. $4.41 Jul. $4.93 Dic. $5.44 Abr. $4.42 Mar. $4.41 Ago. $4.79 Ene. $4.80 May. $4.84 Abr. $4.41 Sep. $4.84 Feb. $4.42 Jun. $4.94 May. $4.84 Oct. $4.41

Los aspectos de cálculo de este problema se completan en la tabla 5. La columna importante del problema de decisión de la Southern es la última, “Utilidades acumuladas”. Todos los valores de esa columna deben ser positivos, antes de que sea factible el plan de comparar dos aviones. En este caso, se ve que todos estos valores son positivos. Con base en las predicciones hechas, parece que la Southern puede servir la deuda ocasionada por los préstamos necesarios para la compra de dos aviones.

Tabla 5: Predicciones de utilidades (En millones de dólares)

Mes Proyectadas Utilidades

Acumuladas Ingresos Costos Utilidad neta

Enero 4.79 4.34 0.45 0.45

Febrero 4.41 4.36 0.05 0.50

Marzo 4.41 4.39 0.02 0.52

Abril 4.41 4.41 0.00 0.52

Mayo 4.84 4.43 0.41 0.93

Junio 4.93 4.45 0.48 1.41

Julio 4.93 4.68 0.25 1.66

Agosto 4.79 4.70 0.09 1.75

Septiembre 4.84 4.73 0.11 1.86

Octubre 4.41 4.75 -0.34 1.52

Noviembre 4.04 4.77 -0.73 0.79

Diciembre 5.44 4.79 0.65 1.44

Enero 4.80 4.82 -0.02 1.42

Febrero 4.42 4.84 -0.42 1.00

Marzo 4.42 4.86 -0.44 0.56

Abril 4.42 4.89 -0.47 0.09

Mayo 4.84 4.91 -0.07 0.02

Junio 4.94 4.93 0.01 0.03

EMPLEO DE VARIABLES AUXILIARES En el Caso, se construyó un modelo empleado únicamente valores de la variable que se deseaba predecir. A veces este enfoque es apropiado; las observaciones pasadas, cuando se utilizan para estimar las componentes de una serie cronológica, ofrecen suficiente explicación para predecir predicciones exactas. Aquí lo supuesto es desde luego que todos los factores económicos que influyen sobre el proceso pueden clasificarse dentro de las componentes de la serie cronológica, y que sus efectos sobre el proceso se pueden describir como funciones del tiempo. Pero en otros casos, puede haber maneras más adecuadas y más eficaces de incorporar la influencia de las condiciones económicas al proceso. En particular, una cierta variable puede tener efecto considerable, pero su efecto puede resultar diluido por asociación con otras variables en una componente. Por ejemplo, la componente de tendencia incorpora, entre otras cosas, el tamaño de la población. Puede ser que el tamaño de la población solo tenga considerable poder explicativo, en cuanto a describir los movimientos del proceso a través del tiempo. La explicación de la variación del proceso, por el tamaño de la población, puede exceder incluso la explicación que da las componentes de tendencia en su integridad. Se oye con frecuencia que los economistas del gobierno proyectan movimientos en la economía. Esto suele hacerse con base en “indicadores guía”, expresión en la que “indicador” se refiere a



120

una variable que “indica” variaciones en el proceso económico, porque la variante indicadora y la variable proceso económico, tienden a moverse al tiempo. La palabra “guía” se utiliza para significar que la variable indicadora “guía” la variable del proceso en el sentido de que las variaciones de la variable indicadora proceden, en el tiempo, las variaciones de la variable de proceso. En el tema anterior se vio el valor de aprovechar las relaciones entre variables en problemas de estimación. Se estaban haciendo ciertas predicciones, naturalmente, en los temas cuando se hicieron estimaciones de un valor particular de la variable dependiente. En esta sección se examina más en detalle el empleo de un modelo de regresión para predicciones. Supóngase que un constructor que se especializa en viviendas unifamiliares y bifamiliares. Es dueño de un terreno en el cual piensa hacer una parcelación, pero antes de invertir la considerable suma necesaria para empezar la construcción, quiere saber si las casas que va a construir se venderán relativamente pronto, después de realizada su construcción. Así podrá adquirir más capital para continuar las construcciones. El constructor piensa que es factor muy importante en el mercado de las viviendas, y en la actividad en dicho mercado, la tasa de interés predominante sobre préstamos en primeras hipotecas. En particular, cuando la tasa de interés es elevada, las ventas de casas nuevas son relativamente lentas, y cuando la tasa es baja, las ventas dichas son bastante activas. Su decisión depende de su predicción de la tasa de interés en primera hipoteca. El constructor cree que los movimientos de la tasa de interés se pueden explicar bastante bien por la tasa de interés preferencial, y por la tasa de interés corriente, sobre préstamos en primera hipoteca. Es decir, que espera poder predecir la nueva tasa de interés sobre préstamos en primera hipoteca, utilizando un modelo basado en la tasa de interés preferencial, y por la tasa de interés corriente sobre primeras hipotecas. Recolecta entonces los siguientes datos para construir un modelo de predicción de la tasa de interés sobre primera hipoteca.

Tiempo

TASA DE INTERÉS %

Préstamos sobre primera hipoteca

Tasa Preferencial

1 9.00 8.00

2 9.25 8.25

3 9.25 8.00

4 9.25 7.75

5 9.00 7.75

6 9.00 7.50

7 9.00 7.25

8 8.75 6.75

9 8.75 6.75

10 9.00 6.50

Se empleará un modelo de regresión lineal múltiple con las variables definidas así: Variable dependiente = tasa de interés sobre primera hipoteca del período. Variable independiente = tasa de interés sobre primera hipoteca del ultimo período. Variable independiente = tasa de interés preferencial del ultimo período. Esta identificación de variables comprendía la opinión del constructor de que la tasa de interés sobre primera hipoteca, en un periodo dado, puede describirse mediante una expresión lineal en que entren, la tasa de interés sobre primera hipoteca del período precedente y la tasa de interés preferencial del periodo precedente. Así pues, para describir el comportamiento de la tasa de interés sobre primera hipoteca yt en el tiempo t se utilizará el modelo: yt 0 1 yt-1 2xt-1 +



121

Siendo yt-1 = tasa de interés sobre primera hipoteca en el tiempo t – 1 xt-1= tasa preferencial en el tiempo t – 1 Para este problema de regresión se tiene los datos siguientes:

Tiempo yt yt-1 xt-1

2 9.25 9.00 8.00

3 9.25 9.25 8.25

4 9.25 9.25 8.00

5 9.00 9.25 7.75

6 9.00 9.00 7.75

7 9.00 9.00 7.50

8 8.75 9.00 7.25

9 8.75 8.75 6.75

10 9.00 8.75 6.75

Al analizar estos datos mediante un programa de ordenador de análisis de regresión lineal múltiple (se sugiere el SPSS), se calculan los siguientes valores: b0 = 8.441 b1 = -0.237 b2 = 0.360 R

2 = 0.6634

R = 0.8145 F2.6 = 5.913 El valor del estadígrafo F es significante al nivel que el modelo proporciona una buena descripción de los movimientos de las tasas de interés sobre primera hipoteca. Mediante la descripción que da el modelo de regresión múltiple, se predicen las tasas de interés de primera hipoteca con la ecuación:

0.360x 0.237y - 8.411 1-t1-tty

De los valores que tiene el constructor para el periodo 10, se predice la tasa de interés sobre primera hipoteca del periodo venidero, periodo 11: y11 = 8.411 – 0.237 y10+ 0.360x10

y11 = 8.411 – 0.237 (9.00)+ 0.360(6.50)

y11 = 8.648 Como este valor es inferior a cualquiera de las diez tasas observadas en el pasado reciente, el constructor podría iniciar sus obras. Este procedimiento de predicción se ha llamado predicción con variables auxiliares. Es decir, se ha empleado la información disponible en variables distintas de las que están prediciendo. Todo lo dicho en el análisis de regresión y su uso, se aplica aquí. En particular, los comentarios hechos con respecto a la selección de variables independientes, en un modelo de regresión, también son aquí aplicables. Se tomarían variables auxiliares que se creen relacionados con la variable que interese. Una observación final sobre la predicción utilizando el modelo de regresión con variables auxiliares: aquí se emplea el mismo enfoque general de la predicción, es decir, que se utilizan datos pasados para conformar un modelo que describa el comportamiento de la variable que interesa predecir. Luego se utiliza ese modelo descriptivo, para predecir ocurrencias u observaciones futuras de la variable que interesa.



122

DETERMINACIÓN DE APLICACIONES La necesidad de predecir es general en la decisión empresarial. El directivo debe estar siempre atento a proyectar las consecuencias posibles de cada uno de los posibles cursos de actuación. Sin embargo, estas proyecciones no siempre se desarrollan utilizando las técnicas vistas en este tema, porque aquí se han hecho supuestos acerca de las relaciones entre las condiciones económicas, y la disponibilidad de los datos, que bien pueden no cumplirse en una aplicación real. En el análisis de series cronológicas se identifican dos tipos de influencias sobre los datos influencias sistemáticas e influencias aleatorias. Las fluctuaciones aleatorias se captan en la componente irregular. Las fluctuaciones sistemáticas se clasifican en tres grupos: tendencia, ciclo y estación, pero se supone que cada grupo puede describirse por una sola variable de tiempo. Las componentes de tendencia cíclica y estacional, son todas funciones del tiempo, y el efecto de cualquier ocurrencia o condición económica se supone modelado por una de estas funciones del tiempo. Es esta una cuestión que hay que resolver si va a aplicarse o no en el análisis de series cronológicas. Una segunda condición del análisis de series cronológicas es la cantidad de datos necesarios. No se expresó esto explícitamente, pero el análisis hecho en el caso, indica la necesidad de una gran cantidad de datos. El estimar la componente de tendencia con datos anuales, sugiere que debe disponerse de datos de varios años. Se utilizaron 48 observaciones mensuales para estimar las componentes estacionales, pero hubiera sido mucho mejor disponer de una muestra todavía más numerosa. Estas necesidades de datos plantean otra cuestión: ¿hasta dónde son estables o estacionarias estas influencias (es decir, las de tendencia, cíclica y estacional) en nuestra economía en rápido cambio y en nuestro medio cambiante? Son cuestiones que hay que resolver antes de aplicar el análisis de series cronológicas. Al predecir con variables auxiliares, no se concentra necesariamente la atención en el tiempo, como factor de primera importancia, sino que más bien se trata de aprovechar las relaciones entre ciertas variables económicas y la variable que se desea predecir. Estas variables pueden comprender valores pasados de la variable, cuyo comportamiento se está tratando de predecir. El enfoque típico es emplear un modelo de regresión para describir las observaciones pasadas de la variable de interés. Esa descripción se emplea luego para la predicción de observaciones futuras. Los supuestos necesarios para aplicar la regresión deben cumplirse aquí para poder hacer este tipo de predicción.



123

Tutoría Nº

Números índices 10.1. NOCIÓN Es una medida estadística diseñada para poner en relieve cambios en una variable o en un grupo de variables relacionadas con respecto al tiempo, situación geográfica, ingresos o cualquier otra característica. Series de índices: Es una colección de números índices para diferentes años, lugares, etc. 10.2. APLICACIÓN DE LOS NÚMEROS ÍNDICES Sirven para hacer comparaciones como:

Costos de alimentación durante un año con los del año anterior (economía)

Producción de acero de un año en una zona del país con otro (industria)

Inteligencia relativa de estudiantes en diferentes sitios o años (educación) Los números índices se elaboran con el propósito de predecir condiciones económicas o industriales tales como: índices de paro, de producción, salarios y otros. El más conocido es el índice de precios al consumo que prepara el INEI; este produce aumentos salariales automáticos correspondientes a los aumentos del índice de precios al consumo. 10.3. RELACIONES DE PRECIOS Es el cociente entre el precio de un artículo en un período dado y su precio en otro período, conocido como período base o de referencia. Se supondrá que los precios en cada período son constantes, además se tomará un promedio adecuado para el período de modo que la suposición sea esencialmente válida.

RP = p

p .................... (1)

n

o

Donde: pn : precio de un artículo durante el período dado

po : precio de un artículo durante el período base

(*) El resultado habitualmente se expresa en porcentaje. Notación A la relación de precios de un período dado y un período base se denota por:

Ppo n

o

/ = p n

En general: si pa y pb son precios de un artículo durante los períodos a y b respectivamente.

Ppa b

a

/ = p b

10



124

Ejemplo 10.1

Suponga que el precio al consumo de un litro de leche en los años 1990 y 1998 eran de S/.0,85 y S/.1,50 respectivamente. Tomando como año base 1990 y luego 1998, hallar la relación de precios. Solución:

P90/98 = %17676.185.0

50.1

1990

1998

P

P

P98/90 = %5757.050.1

85.0

1998

1990

P

P

Nota: La relación de precios para un período dado con respecto al mismo período es siempre 100% o sea 100. Esto se escribe por ejemplo “1990=100” para indicar que se ha tomado 1990 como período base. 10.3.1. Propiedades de las relaciones de precios

Sí pa, pb, pc, denotan precios en los períodos a, b, y c respectivamente, se tiene las siguientes propiedades para las relaciones de precios asociadas. 1. Propiedad identidad: Pa/a = 1 o sea 100% 2. Propiedad inversa temporal:

Pa/b Pb/a = 1, es decir Pa/b =

abP /

1

3. Propiedad cíclica o circular: Pa/b Pb/c Pc/a = 1 , Pa/b Pb/c Pc/d Pd/a = 1 4. Propiedad cíclica o circular modificada: Pa/b Pb/c = Pa/c , Pa/b Pb/c Pc/d = Pa/d 10.4. RELACIONES DE CANTIDAD O VOLUMEN En vez de comparar precios, se puede estar interesado en comparar cantidades (volúmenes) de producción, consumo o exportación. En tales casos hablamos de relaciones de cantidad o relaciones de volumen. Se halla mediante la siguiente fórmula.

RC = q

q .................... (2)

n

o

donde: qn : cantidad de un artículo que se ha producido, consumido o exportado durante el período

dado. qo : cantidad de un artículo que se ha producido, consumido o exportado durante el

período base. Notación

A la relación de cantidad de un período dado y un período base se denota por:

qqo n

o

/ = q n

10.4.1. Propiedades de las relaciones de cantidad Sí qa, qb, qc, denotan cantidades (o volúmenes) en los períodos a, b, y c respectivamente, se tiene las siguientes propiedades para las relaciones de cantidad asociadas.



125

1. Propiedad identidad: qa/a = 1 o sea 100% 2. Propiedad inversa temporal:

qa/b qb/a = 1, es decir qa/b =

abP /

1

3. Propiedad cíclica o circular: qa/b qb/c qc/a = 1 , qa/b qb/c qc/d qd/a = 1 4. Propiedad cíclica o circular modificada: qa/b qb/c = qa/c , qa/b qb/c qc/d = qa/d 10.5. RELACIONES DE VALOR Sí p es el precio de un artículo durante un período y q es la cantidad (o volumen) producida, vendida, etc. durante ese período.

Valor total = pq Ejemplo 10.2

Sí 1000 litros de leche se venden a S/.1,30 litro.

Valor total = pq = (1,30)(1000) = S/.1300 Sí po,qo y pn,qn son el precio y la cantidad de un artículo durante un período base y dado respectivamente, los valores totales durante esos períodos vienen dados por Vo y vn, respectivamente.

)3(/0/0

000

nn

nnn qpRCxRPq

q

p

p

v

vRV

En general: Sí pa/b, qa/b y va/b denota las relaciones de precio, cantidad y valor del período b con respecto al período a.

RV = Va/b = pa/b qa/b Se le llama propiedad de inversión de factores.

10.5.1. Propiedades de las relaciones de valor Sí va, vb, vc, son valores en los períodos a, b, y c respectivamente, se cumplen las siguientes propiedades. 1. Propiedad identidad: va/a = 1 o sea 100% 2. Propiedad inversa temporal:

va/b vb/a = 1, es decir va/b =

abP /

1

3. Propiedad cíclica o circular: va/b vb/c vc/a = 1 , va/b vb/c vc/d vd/a = 1 4. Propiedad cíclica o circular modificada: va/b vb/c = va/c , va/b vb/c vc/d = va/d Problemas implícitos en el cálculo de números índices

En problemas prácticos no se desea comparar los precios en años de un sólo artículo sino comparar varios artículos. Se podría hacer una lista con todos esos precios pero lo deseable es disponer de un sólo número índice que compare los precios en ambos períodos en promedio.



126

Notación

1) pn(1)

, pn(2)

, pn(3)

, … Se utiliza para identificar los precios del 1er

, 2do

, 3er

, … artículo durante un período dado.

2) po(1)

, po(2)

, po(3)

, … Se utiliza para identificar los precios del 1er

, 2do

, 3er

, … artículo durante un período base.

3) N, total de artículos.

4) pn

j

j

N

j( ) ( )

1

o p o pn n : Es la suma de los precios de todos los artículos durante

un período dado.

5) po

j

j

N

j( ) ( )

1

o p o po o: Es la suma de los precios de todos los artículos durante

un período base. (*) análogamente se usa para la notación de cantidades y de valores. 10.6. MÉTODOS PARA CALCULAR LOS NÚMEROS ÍNDICES 10.6.1. Método de agregación simple Índice de precios por agregación simple

IPASpo

= p

......................... (4)n

Desventajas:

1. No tiene en cuenta la importancia relativa de los diversos artículos. 2. Las unidades escogidas al anotar los precios afecta al índice (galones, libras, etc.). Índice de la media aritmética simple de relaciones de precios

IMASRp

N

o =

p ......................... (5)

n( / )

Desventaja:

No tiene en cuenta la importancia relativa de los diversos artículos. Índice de la media geométrica de relaciones de precios

(6) ........................ p

p.

p

p.

p

p =

)3(

o

)3(

n

)2(

o

)2(

n

)1(

o

)1(

nnIMGR

Desventaja:

No tiene en cuenta la importancia relativa de los diversos artículos. Índice de la mediana de relaciones de precios (IMR) Se ordena las relaciones de precios y se toma el del valor central de la serie si esta es impar o la semisuma de los dos valores centrales si la serie es par. Desventaja:

No tiene en cuenta la importancia relativa de los diversos artículos.



127

Ejemplo 10.6

Supongamos que se tiene la siguiente información:

AÑOS 2000 = 100 2002

ARTÍCULOS LECHE (1)

ZAPATOS (2)

PASAJES (3)

LECHE (1)

ZAPATOS (2)

PASAJES (3)

PRECIO 1,70 60 0,60 2,00 80 1,00

Hallar: a) Índice de precios por agregación simple (IPAS) b) Índice de la media aritmética simple de relaciones de precios (IMASR) c) Índice de la media geométrica de relaciones de precios (IMGR) d) Índice de la mediana de relaciones de precios (IMR) Solución: Calculando las relaciones de precio por artículo:

Leche: 18.170.1

00.2)1(

2000/2002P

Zapatos: 33.160

80)2(

2000/2002P

Pasajes: 67.160.0

00.1)3(

2000/2002P

a) %13333.160.06070.1

00.18000.2

2000

2002

P

PIPAS

b) %13939.13

67.133.118.1/ 20002002

N

PPIMASR

c) %13838.1)67.1)(33.1(18.13)3(

2000

)3(

2002

)2(

2000

)2(

2002

)1(

2000

)1(

2002N

P

P

P

P

P

PIMGR

d) %13333.1IMR

Ordenando las relaciones de precios por artículo: 1.18; 1.33; 1.39 El índice de la mediana de relaciones de precios es el valor central

10.6.2. Método de agregación ponderada

Con el fin de evitar las desventajas del método de agregación simple, asignamos un peso al precio de cada artículo, puede ser la cantidad vendida durante el año base, durante el año dado o algún año típico (puede ser un promedio de varios años). Tales pesos indican la importancia del artículo en cuestión (denotados respectivamente por qo, qn y qt). Índice de Laspeyres o método del año base:

ILp q

p q

n o

o o

= .............................. (7)

Índice de Paasche o método del año dado:

IPp q

p q

n n

o n

= .............................. (8)



128

Índice del año típico:

IATp q

p q

n t

o t

= .............................. (9)

Índice ideal de Fisher

IIFp q

p q

p q

p q

n o

n o

n n

n n

= IL x IP = .............................. (10)( )( )

El índice ideal de Fisher satisface los criterios de inversión temporal y de inversión de factores, lo que confiere cierta ventaja teórica sobre otros números índices. Índice de Marshall-Edgeworth

Usa un año típico en que los pesos se toman como la media aritmética de las cantidades del año base y del año dado; es decir qt = ½(qo + qn). Sustituyendo este valor de q en la ecuación (9) resulta:

IM Ep q q

p q q

n o n

o o n

= .............................. (11)( )

( )

Obs. Los índices calculados por el método de agregación ponderada, tienen la desventaja que las unidades escogidas al anotar los precios son diferentes. Ej. galones, libras, pares, etc. 10.6.3. Método del promedio ponderado de relaciones

Estos métodos eliminan las desventajas de los métodos anteriores. Media aritmética ponderada de relaciones de precios, usando pesos del año base.

MAPR op p q

p q

p q

p q

o o o

o o

n o

o o

// )( )

( ) =

(p = ................... (12)

n

Media aritmética ponderada de relaciones de precios, usando pesos del año dado.

MAPR np p q

p q

o n n

n n

// )( )

( ) =

(p ..................................... (13)

n

Media aritmética ponderada de relaciones de precios, usando pesos del año típico.

MAPR tp p q

p q

o t t

t t

// )( )

( ) =

(p ..................................... (14)

n

Números índices de cantidad o volumen Índice de la media aritmética de relaciones de cantidad.

(15) .................................................... )/(q

n

N

qIMASRC o

Índice de agregación ponderada de cantidad con pesos del año base.

IAPRC op

p

o

o

/ q

q .................................................... (16)

n

o

Índice de agregación ponderada de cantidad con pesos del año dado.

IAPRC np

p

n

n

/ q

q .................................................... (17)

n

o

(*) Las fórmulas (16) y (17) se llaman índices de volumen de Laspeyres y de Paasche respectivamente.



129

Obs. En estas fórmulas se toman los precios como pesos, de forma parecida se modifican las fórmulas (9) a (14).

Ejemplo 10.7

La tabla siguiente muestra los precios y cantidades de consumo de gallinas en lima metropolitana para los años 1999 y 2000. Tomando 1999 como base, calcular el índice de precios para el año 2000 por los métodos:

Gallina Precio

(Soles por kilo) Cantidad

(Unidades)

1999 2000 1999 2000

Negra Colorada Reproductora

6.34 4.62 4.17

5.2 4.53 4.69

179 070 328 770 736 837

142 839 328 648 657 179

Fuente: Centros de Acopio de San Luis, Independencia, San Miguel, Ate-Vitarte y Av. El Sol.

a) Índice de precios por agregación simple b) Índice de la media aritmética simple de relaciones de precios c) Índice de la media geométrica de relaciones de precios d) Índice de la mediana de relaciones de precios e) Índice de Laspeyres o método del año base f) Índice de Paasche o método del año dado g) Índice ideal de Fisher h) Índice de Marshall-Edgeworth i) Media aritmética ponderada de relaciones de precios usando pesos del año dado Solución:

Gallina

Precio (Soles por kilo)

Cantidad (Unidades)

Rp Pesos

p0 pn q0 qn pn/p0 pnqn


6.34 4.62 4.17

5.2 4.53 4.69

179 070 328 770 736 837

142 839 328 648 657 179

0.8202 0.9805 1.1247

742762.8 1488775.4 3082169.5

Total 15.13 14.42 1 244 677 1 128 666 2.9254 5313707.8

Gallina Laspeyres

Paasche Marshall Edgewort

Pormedio Ponderado

Pn q0 p0 q0 pn qn p0 qn pn(q0+q0) p0(q0+q0)


931164 1489328 3455766

1135303.8 1518917.4 3072610.3

742762.8 1488775.44 3082169.51

905599.3 1518354 2740436

1673927 2978104 6537935

2040903 3037271 5813047

609206 1459773 3466517

Total 5876258 5726831.5 5313707.75 5164389.3 11189966 10891221 5535496

* Tabla trabajada en Excel.

a) Índice de precios por agregación simple

%31.959531.013.15

42.14

0p

pIPAS

n

b) Índice de la media aritmética simple de relaciones de precios

%51.979751.03

9254.2)/( 0

N

ppIMASR

n

c) Índice de la media geométrica de relaciones de precios

%71.969671.012.198.082.03)3(

0

)3(

)2(

0

)2(

)1(

0

)1(

nnnn

p

p

p

p

p

pIMGR

d) Índice de la mediana de relaciones de precios

%05.989805.0IMR



130

e) Índice de Laspeyres o método del año base

%61.1020261.15.5726831

5876258

00

0

qp

qpIL

n

f) Índice de Paasche o método del año dado

%89.1020289.13.5164389

75.5313707

0 n

nn

qp

qpIP

g) Índice ideal de Fisher

%75.1020275.10289.10261.1IPxILIIF

h) Índice de Marshall-Edgeworth

%74.1020274.110591221

11189966

00

0

n

nn

qqp

qqpEIM

i) Media aritmética ponderada de relaciones de precios usando pesos del año dado

%17.1040417.15.5726831

5535496

)(

)()/(/

0

nn

nnn

nqp

qpppMAPR

Números índices de valor Índice de agregación simple de valor.

IASRVq

q

n

o

p

p

n

o

donde:

poqq : Valor total de todos los artículos en el período base.

pnqn : Valor total de todos los artículos en el período dado. 10.7. CAMBIO DE BASE EN LOS NÚMEROS ÍNDICES Consiste en dividir todos los números índices para los diversos años correspondientes al período base antiguo por los números índices correspondientes al nuevo período base, expresando los resultados en porcentajes. Este método es aplicable sólo en los números índices que satisfacen el criterio circular. Así:

pj/1 = p1/pj = p1 = pk/1 , etc. pj/k pk/pj pk

10.8. DEFLACIÓN DE SERIES EN EL TIEMPO

A veces los ingresos crecen teóricamente pero no real porque el aumento de sus ingresos no crecen como crece el costo de vida, por lo cual hace que disminuya el poder adquisitivo. El ingreso real se obtiene dividiendo el ingreso aparente entre el número índice del costo de vida en el año. Ejemplo 10.8

Sí los ingresos de una persona en 1997 son el 150% de sus ingresos en 1995 (ha crecido el 50%) y el costo de vida se ha doblado (ICV=200%)

IR1997 =200

150 = 0,75 = 75%, lo que era en 1995



131

AUTOEVALUACIÓN


( ) El ciclo es una de las componentes de la serie de tiempo. ( ) La estación describe los movimientos ascendente y descendente debido al

tiempo o la estación del año.

( ) La necesidad de predecir es general en la decisión empresarial.

( ) El índice de precio de Layperes es un método de agregación no ponderado

( ) En ingreso real se obtiene dividiendo el ingreso aparente entre el número

índice del costo de vida en el año.

2. Los siguientes datos corresponden a la exportación mensual de espárragos en conserva (TM)

en 1999. Si además se sabe que 2,110i iX Y y 2 110iX

Meses Ene. Feb. Marz. Abr. May. Jun. Jul. Agos. Set. Oct.

Exportación Yi 1.38 1.13 1.06 1.24 1.16 1.22 1.24 1.18 1.24 1.61

a) Graficar la serie de los datos b) ¿Qué valor tiene la variable X? Y construir la ecuación de tendencia lineal. Interprete los

resultados de la ecuación de tendencia. ¿Qué tipo de tendencia tiene? c) Realice el pronóstico de la exportación de espárragos para los meses de noviembre,

diciembre y enero de 2000. 3. En el cuadro siguiente se tiene de la exportación de Harina de Pescado en el período 1988 –

1997. Determinar los correspondientes números índices para cada uno de los diez años utilizando como año base:

a) 1988 b) 1991 e) Interpretar c) 1994 d) 1997

Años salarios

1988 = 100% Indices

1991 = 100% 1994 = 100%

1997 = 100%

1988 1989 1990 1991 1992 1993 1994 1995 1996 1997

798 1117 1114 1151 1088 1785 2253 1778 1566 1677

4. En la tabla siguiente se tienen los precios promedios en dólares y las cantidades de consumo

promedios en kilogramos de un artículo desde 1980 a 1982. Tomando como base el año 1980, calcular los índices de precios, de cantidades, y los valores para 1981 y 1982.

Año Precio $ Cantidad Kg. Índice

precios Índice cantidad Índice

valor

1980 1981 1982

15 20 25

6.5 7.4 7.8



132

5. En el siguiente cuadro se dan los promedios de los salarios, en dólares, de los trabajadores de una empresa, de 1975 a 1983. Calcular los correspondientes números índices para cada uno de los nueve años utilizando como año base: a) 1975 b) 1978 c) 1983

Años salarios

1975 = 100 Indices

1978 = 100

1983 = 100

1975 1976 1977 1978 1979 1980 1981 1982 1983

310 330 370 380 430 450 480 540 570



133

EJERCICIOS PROPUESTOS PRIMERA UNIDAD En cada uno de los ejercicios interprete su resultado. 1. Queremos conocer con el 90% de confianza el peso medio de los empleados de cierta

empresa. En una encuesta entre dichos empleados y en una muestra de 45 de ellos se encontró un peso medio de 68 kilos. Si la desviación estándar de los pesos de todos los empleados de la empresa es 14 kilos, determine los límites del intervalo buscado.

2. Un estudiante desea conocer el gasto medio por usuario en la cafetería de su universidad.

Selecciona para ello una muestra al azar de 45 usuarios, encontrando en ella un gasto medio de S/.30. Si aceptamos por encuestas anteriores la desviación estándar del gasto de los clientes de la cafetería en S/.8 ¿cuáles serán los límites del 85% para el gasto medio?

3. En un experimento, el tiempo promedio para que 8 fusiles se quemen, cuando soportan un 25%

de sobrecarga, fue 12,5 minutos, con desviación estándar de 2,3 minutos. Determine el intervalo del 99% de confianza para el tiempo promedio que este tipo de fusibles tarda en quemarse cuando soporta un 25% de sobrecarga.

4. En una parada principal de camiones se ha llevado registros detallados de varias transacciones

con los clientes. En una muestra aleatoria de 25 de estos registros se encuentra una venta promedio de 24,5 galones de combustible con desviación estándar de 3,8 galones. Construya el intervalo del 95% de confianza para la media poblacional correspondiente si se acepta que las ventas, siguen una distribución normal.

5. Cinco recipientes de un disolvente comercial tomados al azar de un gran lote de producción,

pesan 35.5; 35.3; 36.0; 35.0; y 35.8 libras. Construya el intervalo del 99% de confianza para el peso medio de todos los recipientes de donde fue extraída la muestra.

6. En una muestra de 18 tubos de televisión la vida útil media de operación es 9000 horas con

desviación estándar de 600 horas, construya el intervalo de confianza del 99% para la vida media de la población, si en este caso, la vida útil de operación de todos los tubos no pueden suponerse normalidad distribuida.

7. Suponga que desea estimar la venta media por distribuidor, de un producto determinado en el

transcurso del año pasado. Determine el intervalo de confianza, del 95% si se supone que las cantidades de venta de una muestra de 25 vendedores tienen una media de $ 6500 y una desviación estándar de $350.

8. Se toma una muestra al azar de 38 alumnos, provenientes de una clase de 200 estudiantes,

encontrándose en ello un puntaje medio de 70 puntos con desviación estándar de 10 puntos en la calificación, calcule el intervalo de confianza del 85% para la calificación de todos los estudiantes.

9. En una muestra al azar de 25 presidentes de corporaciones industriales, se encontró que 16

tenían estudios superiores. Determine la estimación del intervalo del 98% de confianza para la proporción de todos los presidentes de corporaciones industriales que tienen estudios superiores.

10. Se seleccionó una muestra de 30 docentes de la Universidad Peruana Unión, con el objeto de

estimar la experiencia docente media de ellos. Los resultados obtenidos en la muestra (en años) fueron:

4 4 6 2 3 4 6 2 4 3 6 4 3 4 4 7 3 4 5 6 1 6 4 5 4 3 2 4 3 4

Utilizando la información anterior:

a) Estimar puntualmente la media y la desviación estándar poblacional. Interpretar. b) Obtener un intervalo con un 99% de confianza para estimar la experiencia docente media

de los profesores de la universidad Peruana Unión.



134

11. Se toma una muestra aleatoria de 45 alumnos de una población de estudiantes de estadística de 221 alumnos, la cual arroja una media de 70 puntos y una desviación estándar de 9 puntos. a) Estimar puntualmente el parámetro. b) Estimar un intervalo de confianza del 98% para la media de los 221 alumnos.

12. Las estaturas de 100 estudiantes de la Facultad de Ciencias Contables y Administrativas,

representan una muestra aleatoria de las estaturas de los estudiantes matriculados. Si la media de la muestra es de 1,69 metros y la desviación estándar es de 7 centímetros. Calcular un intervalo de confianza del 99% para estimar la estatura media de los estudiantes de la facultad.

13. Una muestra aleatoria de 50 calificaciones de un test mental arroja una media de 75 y una

desviación estándar de 10. Calcular un intervalo de confianza del 95% para estimar la media de las calificaciones.

14. Utilizando la información del problema (13), diga Ud. con qué grado de confianza la media de

las calificaciones es 75 ± 1. 15. De una muestra aleatoria de 64 vehículos de transporte urbano, se ha calculado que el número

medio de pasajeros que suben por kilómetro es de 3,5. Estudios anteriores arrojan una desviación estándar de la población de 1,6 pasajeros por kilómetro. Construya un intervalo de confianza del 95% para el número medio de pasajeros por kilómetro para la población.

16. A 50 vendedores de la compañía A y 50 de la compañía B, se les sometió a la misma prueba

de interés vocacional, obteniéndose los siguientes resultados:

Compañía A Compañía B

X1 = 73,6 S1 = 10

X2 = 72,4 S2 = 8

Hallar un intervalo de confianza del 90% para estimar la diferencia verdadera en puntuación

media entre los vendedores de las compañías A y B. 17. En una campaña electoral, una encuesta previa a las elecciones hechas entre 100 electores

dio al candidato Juan Pérez el 60% del electorado a su favor. Construya un intervalo de confianza del 98% para la proporción del electorado en favor de Juan Pérez.

18. Un gran comerciante de ropa al por menor, realizó un estudio para comparar la efectividad de

un anuncio en el periódico en una de dos ciudades grandes. Se publicó un anuncio extenso en el periódico más importante de cada ciudad. Una organización de investigación de mercado realizó, inmediatamente después, una encuesta telefónica con 1000 personas seleccionadas al azar, que viven en un área suburbana de ingresos medios y altos, en cada una de las dos ciudades, a fin de determinar la proporción que leyó el anuncio en cuestión. Las proporciones eran:

p^1 = 0,18 y p^2 = 0,14. Determine un intervalo de confianza de 95% para la diferencia en las proporciones de los adultos que leyeron el anuncio.

19. Se realizó una auditoría para estimar la diferencia en el promedio de la reducción porcentual

(debida a robos, daños, etc.) en el inventario de dos grandes almacenes. Se seleccionaron al azar cien artículos de cada almacén y se registró el porcentaje de cada uno disponible realmente, en comparación con el total indicado en los registros de inventario. La media y la desviación estándar de la reducción porcentual para los 100 artículos aparecen en la siguiente tabla para cada almacén. Estime la diferencia en el promedio de la reducción porcentual entre los dos almacenes utilizando un intervalo de confianza del 95%. Interprete.

Almacén 1 2

Tamaño muestral media muestral desviación estándar

100 5,3 2,7

100 6,4 2,9

20. Suponga que usted es uno de los 60000 aficionados al fútbol que asistieron a un gran

estadio. Ha tomado una muestra aleatoria de 650 aficionados y encontró que 220 de ellos



135

eran mujeres. Estime la proporción poblacional del número de mujeres asistentes mediante un intervalo de confianza del 96%.

21. Ante las continuas quejas que recibía el Jefe de oficina de que su secretaria se dedicaba gran

parte del tiempo a tareas ajenas a su trabajo, efectuó una serie de 250 observaciones al azar sobre la labor que ella estaba desempeñando; 75 de ellas indicaban que la secretaria se encontraba en estado no productivo. Podría usted señalar con el 95% de confianza, ¿Que proporción de la jornada de trabajo la secretaria se encontraba en estado no productivo?

22. Se hizo un estudio de las causas de fracaso con una muestra de 400 pequeñas empresas

durante el año 1996. Si 264 de estas empresas tenían activos fijos superiores al 75% del valor total en el momento del fracaso. Halle un intervalo de confianza del 95% para la verdadera proporción de pequeñas empresas que fracasaron ese año y cuyos activos fijos superaban el 75% del valor total en el momento de fracasar.

23. Una muestra aleatoria de 500 muertes de peatones en una gran área suburbana, se halló que

120 víctimas estaban cruzando la calle por fuera de un cruce señalado o bien por el medio de la manzana. Hallar un intervalo de confianza del 99% de la verdadera proporción de muertes de peatones en esa área suburbana en que los peatones cruzan una calle por paso sin señalar o por el medio de una manzana.

24. Cierta compañía desea conocer la diferencia entre los salarios medios correspondientes a los

turnos diurnos y nocturno de los empleados que prestan servicios en ella. En una muestra de 50 empleados del turno diurno se encontró un salario medio de S/.600 con una desviación estándar de S/.135. En una muestra de 60 empleados del turno nocturno se encontró un salario medio de S/. 750 con desviación estándar de S/.210. ¿Qué podría afirmar usted con el 90% de confianza con relación a la diferencia de salarios medios de los empleados en ambos turnos?

25. Una muestra de 200 pilas de la marca A para radio transistores tiene una vida media de 160

horas con desviación estándar de 12 horas y una muestra de 130 pilas a la marca B proporciona una vida media de 128 horas con desviación estándar de 10 horas. Determine el intervalo de confianza del 95% para la diferencia de la vida media entre las pilas de las marcas A y B.

26. En una muestra de 12 facturas correspondientes a la venta del fin de semana se encontraron 3

de ellas con errores, pero en una muestra de 15 facturas correspondientes a las ventas del principio de semana se detectaron 5 de ellas con errores. ¿Qué podría usted afirmar con el 99% de confianza respecto a la diferencia de proporciones de facturas con errores entre ambos grupos de días de la semana?

27. En un banco A se seleccionó una muestra sencilla de 350 personas entre sus numerosos

cuentacorrentistas; simultáneamente el banco B seleccionó una muestra sencilla de 180 personas entre sus numerosos cuentacorrentistas. Se detectó que 70 personas del banco A, 48 del banco B pertenecientes a las muestras respectivas estaban utilizando en forma regular otros servicios que ofrecía el banco del que eran clientes. Estime con el 92% de confianza la diferencia entre las proporciones de clientes con cuentas corrientes en los bancos A o B que utilizan regularmente otros servicios ofrecidos por los bancos.

28. Una muestra sencilla de 250 ciudades seleccionadas de la producción del turno de día

contienen 22 unidades defectuosas mientras que en una muestra sencilla de 250 unidades seleccionadas de la producción del turno nocturno contiene 36 unidades defectuosas.

Estime la diferencia en la proporción de unidades defectuosas entre los turnos de día y de la noche con un intervalo de confianza del 98%.

29. Se ha hallado que 4 de las 16 pantallas para TV: tomadas de las producidas por el proceso A

tenían defectos y dos de las 12 tomadas de las producidas por el proceso B. Determine la estimación para la verdadera diferencia entre las proporciones de pantallas defectuosas producidas por cada uno de los procesos A y B, con el 99% de confianza.

30. Deseamos estimar la diferencia entre los efectos producidos por una píldora para dormir en

hombres y mujeres. Tomemos una muestra de 36 hombres y en ella se obtiene una media muestral de 8,75 horas con varianza 9, mientras, que en una muestra de 64 mujeres se obtiene



136

una media muestral de 7,25 horas con varianza de 4. Determine los límites del intervalo del 95% de confianza para la verdadera diferencia entre las horas promedio de sueño entre hombre y mujeres.

SEGUNDA UNIDAD 1. El resultado promedio sobre una prueba de aptitud tomada a nivel nacional fue de 76 puntos

y la desviación estándar correspondiente fue de 8 puntos. Con el fin de evaluar el estado del sistema de educación, se escogieron al azar 100 estudiantes de una localidad. Estos obtuvieron un promedio de 72 puntos. Utilizando un nivel de significación del 5% Puede concluir que los resultados locales difieren significativamente del promedio nacional.

2. Un bibliotecario universitario está interesado en determinar su ha cambiado o no el número

promedio de libros que cada estudiante saca por visita. Anteriormente se sacaba un promedio de 3,5 libros. Sin embargo en una muestra de 30 estudiantes dio un promedio de 4,2 libros por

visita, con una desviación estándar de 1,8 libros. Utilizando =0,05, el bibliotecario podrá concluir, que ha cambiado el promedio de libros sacados por visita.

3. Cierta compañía compra un gran lote de cables de acero indicando que la resistencia media

deseada, a la tracción era de 120,5 libras con desviación estándar 1,8 libras. Basándose en la inspección de 100 cables en la muestra, se encontró que la media a la tracción era de 115 libras. ¿Aceptara el comprador la mercadería al nivel de significación 5%?

4. Cierta empresa sostiene que tiene un sistema de entrenamiento mediante el cual puede mejorar

el ritmo de trabajo de una secretaria en 40 palabras por minuto. Usted que ha permitido que 120 de las secretarias de su empresa sigan el curso ha observado que la mejora ha sido únicamente de 38,5 palabras con desviación estándar 8 palabras en una muestra de 70 de ellas. Determine si lo afirmado por el responsable del sistema de entrenamiento está o no sobreestimado al utilizar los niveles de significación del 1% y del 5%.

5. Suponga que un grupo de secretarias escribe un promedio de 50 palabras por minuto. Un grupo

de secretarias de una determinada escuela presenta la velocidad de palabras por minuto siguiente: 55, 85, 50, 60, 45, 50, 75, 65, 80, 60, 75, 50, 80, 80, 50, 80. ¿Podríamos aceptar al nivel del 1% que esta escuela gradúa mejorar secretarias?

6. Un proveedor vende fibras naturales a una fábrica, señala que las fibras tienen una resistencia

media de 33 libras y una varianza de 64. Una muestra aleatoria de 25 libras da una resistencia media de 30 libras. El comprador sostiene que la resistencia media de todas las fibras del embarque es de 30 y no de 33 libras como pretende el vendedor. ¿Qué opinará usted al nivel del 5%?

7. La empresa que fabrica cierta clase de tubos fluorescentes pretende que tienen la vida

promedio de 1600 horas con desviación 160 horas, pero una muestra aleatoria de 64 tubos dio una media de 1540 horas. ¿Estaría usted de acuerdo con el fabricante a un nivel del 2%?

8. Se ha diseñado un camión para trasladar 6,8 tn. de tierra por viaje. En una operación de ensayo

se hicieron 120 cargas como muestra, que arrojaron una media de 6,0 toneladas, con una varianza de 2,25. Basándose en la información de la muestra, descartará usted la hipótesis nula a favor de algunas de las hipótesis alternativas siguientes?

a) media menor de 6,3 nivel del 5% b) media menor de 6,3 nivel del 1% b) media diferente de 6,3 nivel del 5% 9. Un Organismo Gubernamental de Control analiza una muestra de 36 paquetes de carne que

vende el supermercado. El rótulo de cada paquete dice "no contiene más de 25% de grasa". Puede el Organismo Gubernamental concluir que la carne que vende el supermercado tiene más del 25% de grasa si la muestra arroja un contenido medio de 0,265 con desviación estándar 0,08? Utilice nivel 5%.

10. En cierto modelo de automóviles se afirma que el kilometraje medio es de 12 kilómetros por

litro de gasolina corriente. Un organismo de defensa del consumidor piensa que ese kilometraje es exagerado. Nueve automóviles de este modelo son conducidos del mismo modo con un litro de gasolina corriente. Los kilómetros recorridos por los diversos



137

automóviles son 12; 11; 10.5; 11.5; 11; 12.5; 10; 10.5; 11.3. Al nivel del 1% ¿Qué conclusión deberá llegar el organismo de defensa del consumidor?

11. Suponga el promedio de clientes que entran a una tienda, por día era de 175, se hace una

campaña publicitaria durante 7 semanas. Durante la campaña el promedio de clientes aumentó a 181 por día con varianza 441. ¿Aumentó en forma significativa el número de clientes que entran a la tienda gracias a la campaña, al nivel del 1% o al nivel del 5%?

12. Una muestra aleatoria de 500 alumnos de la Universidad Peruana Unión, da 100 alumnos en el

primer ciclo. El Director de Bienestar Estudiantil afirma que la proporción de alumnos de primer

ciclo es de sólo 15%. Usando = 0,01 puede concluir que es correcta la afirmación del Director de Bienestar?

13. Aproximadamente 1 de cada 10 consumidores favorecen el refresco de cola marca A. Después

de una campaña de promoción en una región de ventas dada, se seleccionó aleatoriamente 200 bebedores de ese producto de los consumidores en el área del mercado se les entrevistó para determinar la efectividad de la campaña. El resultado de la encuesta mostró que un total de 26 personas expresó su preferencia para la bebida marca A. ¿Son los datos suficientes para indicar un aumento en la aceptación de la marca A en la región?

14. Cierta TV, afirma que el 70% de los aparato de TV, sintonizan un programa especial, su

competidor pone ello en duda y al tomar una muestra aleatoria de 250 familias encuentra una proporción del 68% ¿Puede el competidor al nivel del 5% afirmar que su supuesto era válido?

15. Varios años de experiencia han señalado que la máquina Nº36 en promedio produce un 10%

de artículos defectuosos. El ingeniero de control de calidad sospecha que Últimamente la calidad de producto manufacturado se ha deteriorado. Toma una muestra aleatoria de 100 unidades y encuentra 14 defectuosos. Al nivel del 5%, ¿a qué conclusión debe llegar el ingeniero?

16. La proporción de audiencia en TV que ve cierto programa fue del 50% según se ha encontrado

previamente. Se sospecha que la proporción ha bajado al 40%. Una muestra de 100 televidentes a quienes se entrevistó dio como resultado 45 veían el programa. Al nivel del 2,5% concluiremos que la proporción ha bajado realmente al 40%?

17. Un editor asegura que los estudiantes que reciben instrucción en matemáticas usando un nuevo

texto, obtendrán mejor rendimiento que los que usan el texto antiguo. Se seleccionan aleatoriamente 36 estudiantes de cada tipo obteniéndose la siguiente información:

Nuevo Texto Texto antiguo

X1= 83 S1 = 7

X2 = 79 S2 = 5

Usando un nivel de significación del 1% puede Ud. concluir que la aseveración del editor es

correcta. 18. Un profesor de estadística dividió a los alumnos de contabilidad en dos grupos cada uno con 36 estudiantes, al primer grupo se le asignó un ambiente cómodo con todos los implementos necesarios para utilización de material didáctico, al segundo grupo se le asignó un ambiente usado comúnmente, al final del ciclo se obtuvieron los siguientes resultados:

Grupo 1 Grupo 2

X1= 17 S1 = 7

X2 = 14 S2 = 5

Usando =0,01 podría asegurar que el rendimiento de ambos grupos son iguales. 19. Se presentó un mismo examen a dos grupos diferentes. El primero de 48 alumnos con

rendimiento 72 puntos y la desviación 12. El segundo con 36 estudiantes, media 75 y desviación 6. ¿Hay, al nivel del 5%, diferencia significativa entre las medias obtenidas?

20. Una persona posee dos granjas. El peso medio de 10 pavos de la primera fue 14,35 libras con

desviación 2,5 libras, mientras que en la segunda 20 pavos tuvieron peso medio 12,19 lbs. con desviación dos libras. ¿Habrá diferencia significativa entre las medias obtenidas?



138

21. A un grupo de personas se le aplicó un test de aptitud acerca de tema polémico. Luego el grupo asistió a la proyección de una película favorable al tema, y acto seguido se le propuso el mismo test. Los resultados fueron:

Antes: 16 18 20 24 24 22 20 18 10 8 20 Después: 24 20 24 28 30 20 24 22 18 18 24 Contrastar al 1%. 22. A 10 hombres jóvenes se los sometió el ejército a un programa de entrenamiento físico

intensivo. Se anotaron sus pesos antes y después del programa encontrándose:

Antes: 127 195 162 170 143 205 168 175 197 136 Después: 135 200 160 182 147 200 172 185 194 141 Al 5%, ¿afecta el programa el peso?

23. Una gran casa de descuento anuncia que sus precios son inferiores a los de su competidor

más fuerte. Para probar la validez de su declaración, se seleccionan al azar 15 artículos y se comparan. Los resultados son los siguientes:

Casa de descuento

Competidor

3,77 7,50 4,95 3,18 5,77 2,49 8,77 6,98 2,99 1,98 0,49 5,50 0,89 6,49 5,49

3,95 7,75 4,99 3,25 5,98 2,39 9,49 6,49 2,95 2,49 0,52 5,82 0,98 6,66 5,55

¿Cuál es su conclusión para =5%? 24. Un fabricante modificó una línea de producción para reducir el promedio de la fracción de

defectuosos. Para determinar si la modificación fue efectiva, el fabricante sacó una muestra aleatoria de 400 artículos antes de la modificación de la línea de producción y otra muestra aleatoria de 400 artículos después de tal cambio. Los porcentajes de defectuosos en las muestras eran:

antes: 5,25% después: 3,5 %

a) ¿Qué tendrá que escoger el fabricante como hipótesis alternativa, si la modificación no pudiera incrementar la fracción de defectuosos? ¿Qué escogería para la hipótesis nula?

b) Lleve a cabo la prueba utilizando = 0,05. Interprete. 25. Una muestra de 400 amas de casa señala que el 20% prefería cierta marca de detergente a

las demás. Después de una gran campaña por radio y TV, se seleccionó otra muestra de 60 amas de casa, la que dio el 22% de preferencia para la misma marca anterior. Al nivel del 10%, rechazará la hipótesis de que la campaña fue ineficaz?

26. El Sr. Pérez, tiene dos grupos de alumnos el A y el B. Somete a un entrenamiento especial al A

pero no lo hace con el B. Al final del curso 108 de los 120 estudiantes del A aprobaron el curso mientras que 68 de los 80 del B lo hicieron. Probar la hipótesis al 5% de que el entrenamiento especial ayudó a los del grupo A.



139

TERCERA UNIDAD

1. En 12 depósitos al por menor se establecieron cuatro tipos de exhibiciones de publicidad, con

tres depósitos asignados en forma aleatoria a cada una de las exhibiciones con el propósito de estudiar el impacto de la exhibición en el punto de venta. Refiriéndose a la tabla siguiente, pruebe la hipótesis de que no existen diferencias entre las medias de los valores de venta para los cuatro tipos de exhibiciones, usando un nivel de significación del 5%.

VENTAS DE ACUERDO A LA EXHIBICIÓN

DE PUBLICIDAD

Tipo de exhibición

Ventas Ventas totales

A1 40 44 43 127

A2 53 54 59 166

A3 48 38 46 132

A4 48 61 47 156

2. La tabla siguiente presenta los datos de venta para un producto de consumo en ocho

regiones seleccionadas aleatoriamente. Pruebe el efecto de los dos factores y de la interacción entre los dos factores sobre los niveles de venta semanales, usando un nivel de significación del 1%.

VENTAS SEMANALES, EN MILES DE DÓLARES, CON Y SIN PUBLICIDAD Y, CON Y SIN DESCUENTO EN LOS PRECIOS

Descuento en los precios

Publicidad Total,

Tj Con Sin

Con 9,8 10,6

6,0 5,3

31,7

Sin 6,2 7,1

4,3 3,9

21,5

Total Tk 33,7 19,5 Gran total T=53,2

3. Los modelos producidos por cuatro diseñadores de automóviles son evaluados por tres

peritos distintos, como se indica en la siguiente tabla. Pruebe la hipótesis de que las clasificaciones promedio de los diseños no son diferentes, usando un nivel de significación del 1%.

CLASIFICACIONES DE LOS DISEÑOS DE

AUTOMÓVILES

Perito

Diseñador Total,

Tj 1 2 3 4

A 87 79 83 92 127

B 83 73 85 89 166

C 91 85 90 92 132

Total Tk 261 237 258 273 Gran total T=1029



140

4. Supóngase que queremos comparar la acción limpiadora de tres detergente con base en las siguientes lecturas de blancura en 15 muestras de tela blanca, que primero se mancharon con tinta china y después se lavaron en una máquina tipo agitador con los detergente respectivos. Pruebe al nivel de significación de 0.01 si las diferencias entre las medias de las lecturas de blancura son significativas

DETERGENTE A 77 81 71 76 80 DETERGENTE B 72 58 74 66 79 DETERGENTE C 76 85 82 80 77

5. Completar la siguiente tabla de análisis de varianza (ANVA)

FUENTE VARIACION

SUMA DE CUADRADO

S

GRADO DE LIBERTAD

MEDIA CUATRADTICA

F

Tratamiento 2

Error 9 10

Total 120

6. Los siguientes son los números de hornos de microondas que venden cada uno de los

vendedores de las tres sucursales de una compañía distribuidora de artículos domésticos

SUCURSAL ALFA 21 11 17 28 SUCURSAL BETA 27 15 18 26 17 21 SUCURSAL GAMMA 24 17 31 12 15

Realice un ANVA para probar, con un nivel de significancia de 0.05, si la hipótesis nula de que en promedio las ventas de las tres sucursales son las mismas. 7. Un investigador realizó un experimento para evaluar los efectos de 4 drogas diferentes sobre

los tiempos de reacción, en seres humanos. A cuatro sujetos de cada uno de los 5 grupos de edades que formó se le asigno una de las cuatro drogas. La siguiente tabla da los tiempos de reacción ante determinado estímulo después de haber sido aplicadas las drogas (los datos se han codificado para facilitar los cálculos). Después de eliminar el efecto de la edad, ¿puede el investigador concluir que las drogas tienen diferentes efectos?

Grupo edad

DROGA A B C D

1 2 3 4 5

6 7 4 7 6 8 9 9 9 12 8 6 8 9 5 9 8 10 7 6

8. Un ejecutivo de marketing llevó a cabo un estudio para examinar el efecto comparativo de 3

técnicas diferentes de promoción en 4 zonas diferentes de ventas y obtuvo los resultados mostrados en la tabla siguientes. Determinar las conclusiones a las que puede llegar usando los resultados de la tabla ANVA y formule en forma clara las hipótesis de contraste.

FUENTE

VARIACION SUMA DE

CUADRADOS GRADO DE LIBERTAD

MEDIA CUADRATICA

F

Entre técnicas promocionales

7.48

Entre zonas de ventas

3

Error 3.90 6

Total 11.41 11



141

CUARTA UNIDAD

1. Basado en un nuevo enfoque tecnológico un fabricante ha desarrollado un televisor en colores, con un tubo de 36 pulgadas. El propietario de un pequeño almacén minorista estima que al precio de venta de $1800, los valores de probabilidad asociados con el hecho que él venda 2,3,4 ó 5 televisores durante los tres meses que nos interesan, son 0,30, 0,40, 0,20 y 0,10 respectivamente. Con base sólo en estos valores de probabilidad, ¿Qué número de televisores debería pedir el minorista para tener en inventario, suponiendo que no se pueden efectuar nuevas órdenes durante el período?

2. Para la situación de decisión de inventarios del problema (1), el margen de utilidad para cada

televisor vendido es $200. Si no se venden algunos televisores durante los tres meses, la pérdida total por aparato, para el minorista, será de $300. Basándose sólo en consecuencias económicas determine los mejores actos de decisión desde el punto de vista de los criterios maximin, maximax y la pena minimax

3. Con referencia al ejercicio (1) y (2), determine el mejor acto desde el punto de vista del criterio

bayesiano y la pena esperada de oportunidad.

4. La tabla siguiente presenta los valores condicionales (retornos) asociados con cinco tipos

alternativos de decisiones de inversión para un período de 1 año. Dado que las probabilidades relacionadas con los posibles enunciados no están disponibles, determine los mejores actos desde el punto de vista de los criterios: maximin, maximax, pena minimax.

Estado de la economía

Decisión de inversión

Cuenta de

ahorros

Bonos corporativos

Valores1ra clase

Acciones especulativas

Acciones opcionales

E1:Recesión E2:Estable E3:Expansión

$600 600 600

$500 900 900

$(2500) 800

4000

$(5000) 400

10000

$(10000) (500)

20000

5. Un analista de inversiones estima que existe cerca de 50% de probabilidad de un "vuelco

hacia arriba" en la industria química durante el 1er trimestre del año, y que las probabilidades de que "no haya cambio" y de que se presente "un vuelco hacia abajo" sean iguales. Un cliente está considerando invertir ya sea $10000 en un fondo mutuo que se especializa en acciones comunes de la industria o invertir en bonos corporativos de la categoría AAA que producen 8% al año. Si la industria química experimenta un vuelco hacia arriba en el 1er trimestre, el valor de las acciones del fondo mutuo (incluyendo dividendos) aumentará en 15% durante los próximos 12 meses. Si no hay cambio, el valor aumentará en 3%. Si se presenta un vuelco hacia abajo, el valor disminuirá en 10%. Sin considerar los costos de comisión, construya una tabla de decisión para este problema de inversión.

6. Para el ejercicio (5) determine el mejor acto desde el punto de vista de los criterios: maximin,

maximax, pena minimax, bayesiano y pena esperada de oportunidad. 7. Un comerciante minorista compra un cierto producto en $3 la caja y lo vende a $5 la caja. El alto

margen de ganancia refleja la perecibilidad del producto, ya que después de 5 días no tiene valor. Basándose en la experiencia con productos similares, el minorista confía en que la demanda por este artículo será alrededor de entre 9 y 12 cajas. Construya una tabla de decisión adecuada. Determine el mejor acto desde el punto de vista de los criterios: maximin, maximax, pena minimax.

8. Tomando como base el ejercicio (7), el comerciante minorista estima que los valores de

probabilidad asociados con la venta de 9 a 12 cajas del artículo son 0,30, 0,40, 0,20 y 0,10 respectivamente. Determine los mejores actos de decisión desde el punto de vista de los criterios: bayesiana y pena esperada de oportunidad.

9. Un inversionista está considerando colocar un depósito de $10000 para reservar la

oportunidad de concesión por 1 año en un nuevo sector residencial. Existen dos áreas de incertidumbre asociadas con esta situación de decisión secuencial: si un competidor de primera clase decidirá o no ubicar un negocio en el mismo sector y si el área residencial se desarrollará o no como mercado moderado o grande. El inversionista estima que hay una probabilidad de 50 a 50% que el sistema de concesión de la competencia establezca un



142

negocio. De esta manera, el inversionista debe decidir primero si hace el pago base de $10000. Después de conocer la decisión del competidor, el inversionista debe decidir si construye o no el negocio. Si hay competencia y el mercado es grande, la ganancia neta durante el período correspondiente se estima en $15000; si el mercado es moderado, habrá una pérdida neta de $10000. Si no hay competencia y el mercado es grande, la ganancia neta será de $30000; si el mercado es moderado, habrá una ganancia neta de $10000. El inversionista estima que hay alrededor de 40% de probabilidad de que el mercado sea grande. Usando el análisis de árbol de decisión, determine si debe o no hacerse el depósito inicial de $10000.

QUINTA UNIDAD

1. Se calcularon las medias y las amplitudes de 30 muestras de tamaño n = 10 para un proceso

que se consideró bajo control. Las medias de los 30 valores de x y de los 30 valores de R,

fueron x = 20.74 y R =3.49.

a) Señale una estimación mediante la amplitud para la desviación estándar del proceso.

b) Explique porque una desviación estándar muestral, calculada a partir de 300

observaciones de 30 muestras, podría producir una mejor estimación de que la

estimación mediante el “rango”. c) Utilice los datos para determinar los límites superior e inferior de control para una gráfica.

d) ¿Cuál es el propósito de un diagrama de x ?

e) Construya un diagrama de x para el proceso y explique como se puede aplicar.

2. Se calcularon las medias y las amplitudes de 40 muestras de tamaño n = 5 para un proceso

que se consideró bajo control. Las medias de los 40 valores de x y de los 40 valores de R,

fueron x = 155.9 y R = 17.2.

a) Señale una estimación mediante la amplitud para la desviación estándar del proceso.

b) Utilice los datos para determinar los límites superior e inferior de control para un diagrama de x.

c) Construya un diagrama de x para el proceso y explique cómo se puede usar.

3. Utilice la información del Ejercicio 1 para elaborar un diagrama de R. ¿Cuál es el propósito de

una gráfica de R? 4. Utilice la información del Ejercicio 2 para trazar una gráfica de R. ¿Cuál es el propósito de un

diagrama de R? 5. Un restaurante registra y grafica la media y la amplitud de las ganancias o pérdidas diarias en

cinco mesas en gráficas de x y R. Las medias de las medias y de las amplitudes para 40

semanas fueron:

x = $10 752 (dólares) y R = $6 425

a) Trace una gráfica de x para la ganancia media diaria por mesa de juego

b) ¿Qué ventajas obtendría el gerente del restaurante con la gráfica de x ?

6. Trace una gráfica de R para la ganancia diaria por mesa. ¿Qué ventajas obtendría con está

gráfica el gerente del restaurante? 7. El gerente del restaurante del Ejercicio 5 también graficó las ganancias o pérdidas diarias para

cada mesa. Es esencialmente un diagrama de x para el caso particular cuando n = 1. La

ganancia media, para la mesa 1, calculada según 40 días, fue x = $10 940 (dólares), y la

desviación estándar de la muestra fue de $5 130.

a) Si la ganancia x para el que atiende en la mesa 1 tuviera una distribución con media y

desviación estándar , ¿dentro de qué limites esperaría que cayera x casi todos los

días?



143

b) Ya que dispone de estimación para y trace una gráfica de x (n = 1) para las

ganancias diarias en la mesa 1. c) ¿Qué valor tendría la gráfica del inciso (b) para el gerente del restaurante?

8. Una planta energética que quema carbón, prueba y mide tres muestras de combustible

diariamente para vigilar el porcentaje de ceniza en éste. Las medias de las 30 medias y

amplitudes muestrales fueron x =7.24 y R =0.27.

a) Trace una gráfica de x para el proceso y explique que ventajas puede obtener de ella el

superintendente de la planta. b) Construya una gráfica de R para el proceso. Explique que beneficios se pueden obtener

del diagrama.

9. Explique la diferencia entre los diagramas de p y de c. 10. Se seleccionaron muestras de n = 100 artículos cada hora durante 100 horas, y se calculó la

proporción muestral de defectuosos por hora. La media de las 100 proporciones muestrales fue de 0.035.

a) Utilice los datos para obtener los límites superior e inferior de control para un diagrama de

p. b) Trace una gráfica de p para el proceso y explique como se puede aprovechar.

11. Se seleccionaron muestras de n = 200 artículos cada hora durante 100 horas, y se calculó la proporción muestral de defectuosos por hora. La media de las 100 proporciones muestrales fue de 0.041.

a) Utilice los datos para obtener los límites superior e inferior de control para un diagrama de

p. b) Construya un diagrama de p para el proceso y explique como se puede utilizar.

12. Se registro el número de c de defectos de horarios por unidad durante 100 horas, y el número

medio de defectos por unidad fue igual a 0.7.

b) Use los datos para obtener los límites superior e inferior de control para un diagrama de c. c) Construya un diagrama de c y explique como se puede utilizar.

14. Se registro el número de c de defectos de horarios por unidad durante 200 horas, y el número

medio de defectos por unidad fue igual a 1.3.

b) Utilice los datos para obtener los límites superior e inferior de control para un diagrama de c.

c) Construya tal gráfica y explique como se puede emplear. 15. Un fabricante de remaches de latón muestra 400 piezas cada hora y calcula la proporción de

defectuosos en la muestra. La proporción muestral media, calculada para 200 muestras fue igual a 0.021. Trace una gráfica de control para la proporción de defectuosos en muestras de 400 remaches. Explique que ventajas puede lograr el administrador con la gráfica de control.

16. Un director de personal localiza el número de accidentes personales en la planta por mes en

una gráfica de control. En un periodo de 30 meses, el promedio del número de accidentes por mes fue de 3.7. Elabore un diagrama de control y explique como se podrá utilizar.

17. Una compañía registra y localiza en una gráfica de control el número de quejas de control el

número de quejas de clientes recibidas semanalmente. El promedio del número de quejas recopiladas durante 52 semanas, fue de 4.9 quejas semanales. Trace una gráfica de control para el número de quejas de clientes por semana. Diga que valor representa la gráfica de control para un administrador o gerente.

18. El director de una compañía de materiales para la construcción muestra al azar madera nueva

a fin de comprobar si satisface las especificaciones de calidad. Se examinan 100 piezas de madera, de 2 x 4 pulgadas, de cada cargamento y se juzga según si son de primera clase



144

(aceptables) o de segunda (defectuoso). Las proporciones de las piezas 2 x 4 de segunda clase, registradas para 30 cargamentos fueron:

0.14, 0.21, 0.19, 0.18, 0.23, 0.20, 0.25, 0.19, 0.22, 0.17, 0.21, 0.15, 0.23, 0.12, 0.19, 0.22, 0.15, 0.26, 0.22, 0.21, 0.14, 0.20, 0.18, 0.22, 0.21, 0.13, 0.20, 0.23, 0.19, 0.26.

Construya una gráfica de control para la proporción de piezas de segunda clase en muestras de 100 de los envíos. Diga que utilidad puede tener el diagrama de control para el gerente de la compañía.

SEXTA UNIDAD 1. El gerente de personal de una empresa considera que puede haber una relación entre el

ausentismo y la edad, y querría usar la edad de un empleado para predecir el número de días de ausencia durante un año de calendario. Se selecciona una muestra aleatoria de 10 empleados, con los resultados presentados en la tabla siguiente:

Edad (años)

27 61 37 23 46 58 29 36 64 40

Días ausente

15 6 10 18 9 7 14 11 5 8

a) Grafique el diagrama de dispersión b) Determine la línea de regresión y sobre x c) ¿Cuántos días predeciría usted que va a estar ausente un empleado de 30 años de edad? d) Calcule el error estándar de la estimación e) Calcule el coeficiente de correlación e interprete su significado

2. Los datos que se presentan en la tabla adjunta, se refieren a ingresos mensuales en miles de

soles y los gastos en alimentación mensual en miles de soles, en base a esa información:

Ingreso 3 5 6 7 7

Gasto 2 3 4 6 5

a) Graficar la nube de puntos o diagrama de dispersión b) Ajustar dicha información a una regresión lineal de Y sobre X c) Hallar el error estándar de estimación d) Hallar el coeficiente de correlación e interprete e) Si la familia tiene un ingreso de 10 ¿cuál será su gasto en alimentos?

3. Un funcionario de un hipódromo querría pronosticar la cantidad de dinero apostado (en miles

de dólares) con base en la asistencia de público. Se selecciona una muestra aleatoria de 10 días y los resultados se presentaron en la tabla siguiente:

Dia 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10

Asistencia (miles) 14.5 21.2 11.6 31.7 46.8 31.4 40.0 21.0 16.3 32.1

Cantidad apostada (miles dolares)

0.70 0.83 0.62 1.10 1.27 1.02 1.15 0.80 0.71 1.04

a) Constrúyase una nube de puntos o diagrama de dispersión y trácese la recta de regresión. b) Verifique que la regresión de la muestra es y= 0.422+0.019x c) Calcular el coeficiente de correlación e interprete d) Prediga la cantidad apostada en un día en que hay una asistencia de 20 000 personas

4. En la siguiente tabla se tiene los datos de las variables edad y el tiempo de servicios de los

trabajadores, para el efecto se consideró una muestra de 15 trabajadores de una empresa.

Edad 48 40 30 39 46 42 27 36 34 46 32 42 40 32 27

Tiempo de servicios

24 18 9 14 22 22 4 13 10 20 12 18 16 8 6

a) Constrúyase un diagrama de puntos para los datos y trácese la recta de regresión. b) Determínese la ecuación de la recta de regresión “Y sobre X” c) Calcular el error estándar de estimación.



145

5. Se realizó un experimento en un supermercado para observar la relación entre la cantidad de espacio para exhibición asignado a una marca de café, y sus ventas semanales. Se distribuyó la cantidad de espacio disponible para exhibición de 3, 6 y 9 pies cuadrados, respectivamente, de manera aleatoria durante 12 semanas; el espacio asignado a las otras marcas se mantuvo constante en 3 pies cuadrados para cada una.

Ventas 526 421 581 630 412 560 434 443 590 570 346 672

Espacio 6 3 6 9 3 9 6 3 9 6 3 9

a) Obtenga la recta de mínimos cuadrados apropiados para los datos b) Calcule e interprete r. c) Encuentre un intervalo de confianza de 90% para las ventas semanales, dado que se asignan 6 pies cuadrados para la exhibición.

6. Los valores de X e Y son los siguientes:

X 2 3 4 5 6

Y 1 2 3 3 6

a) Calcular el coeficiente de correlación b) Multiplicar por 2 los valores de X y por 3 los valores de Y, y calcular seguidamente el coeficiente de correlación correspondiente a estas dos nuevas series c) Comente los resultados

7. Un Estadístico de una fábrica de automóviles querría desarrollar un modelo estadístico para

predecir el tiempo de entrega (el número de días entre la fecha del pedido y la fecha de entrega del automóvil) de automóviles nuevos ordenados con mucho equipo opcional. El estadístico cree que hay una relación lineal entre el número de opciones pedidas y el tiempo de entrega. Se selecciona una muestra aleatoria de 16 automóviles con los resultados presentados en la tabla siguiente:

Núm. opcio. orden.

3 4 4 7 7 8 9 11 12 12 14 16 17 20 23 25

Tiempo de entrega

25 32 26 38 34 41 39 46 44 51 53 58 61 64 66 70

a) Grafique el diagrama de dispersión b) Utilice el método de mínimos cuadrados para encontrar los coeficientes de regresión a y b c) Si se ordenó un automóvil que tuviera 16 opciones, ¿cuántos días predeciría usted que se tardarían para la entrega? d) Calcule el error estándar de la estimación. e) Calcule el coeficiente de correlación e interprete su significado

9. Se tiene un registro de los costos de mantenimiento para seis máquinas idénticas de distintas

edades. Por parte de la gerencia se desea determinar si existe una relación funcional entre la edad de la máquina (X) y el costo de mantenimiento (Y). Se obtienen los siguientes datos.

Maquina 1 2 3 4 5 6

X Y

2 1 3 2 1 3 $70 40 100 80 30 100

Obténgase la ecuación de regresión con “X” como variable independiente y “Y” como variable dependiente. ¿Cuál sería el costo de mantenimiento para una máquina de cuatro años?

10. Por parte de una compañía publicitaria se desea determinar si el número de comerciales de

televisión (X) está relacionado con el número de ventas (Y) de cierto producto. Se obtienen los siguientes datos:



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X 9 11 14 4 6 6 5 16 8 1 13 15

Y 29 67 49 12 10 24 10 58 28 10 77 94

a) Trácese un diagrama de dispersión para los datos b) Determínese la regresión de Y sobre X c) Obténgase el coeficiente de regresión r

11. En una compañía de seguros se desea determinar la relación entre los años de experiencia en

ventas de sus vendedores y su volumen de ventas. Se selecciona una muestra aleatoria de nueve vendedores y se encuentra que sus años de experiencia (X) y ventas anuales (Y) son los siguientes:

X 1 2 3 4 5 6 7 8 9

Y ($ 100 000)

2 1 3 3 4 5 6 5 7

a) Constrúyase un diagrama de dispersión y trácese la recta de regresión de Y sobre X en el diagrama.

b) Estímese el volumen de ventas anuales para un vendedor que tiene una experiencia en ventas de diez años.

c) Hallar el error estándar de estimación d) Determínese el coeficiente de regresión r.

SEPTIMA UNIDAD 1. Determinar una aplicación de la predicción con el modelo de series temporales en el campo

de su especialización. Señalar las características que hacen que esta aplicación sea apropiada y útil.

2. Determinar una aplicación de la predicción en el campo de su especialización y en la cual sea

preferible utilizar variables auxiliares. Identificar estas variables. 3. El gerente de una tienda local de mediana importancia, dispone de un conjunto de

estacionales mensuales de las ventas. Si se dividen las ventas mensuales por estas estacionales, se obtienen ventas mensuales ajustadas estacionalmente. ¿Qué utilidad podrían tener estas cifras ajustadas?

4. Se trata de predecir las construcciones mensuales, completadas en un Estado en los dos

años venideros. Se necesitan estas estimaciones para predecir los recaudos por impuestos prediales para el presupuesto del Estado. Se recolectan las cifras mensuales de los cinco años pasados:

5.

Mes 19X3 19X4 19X5 19X6 19X7

Enero 131 148 111 146 166

Febrero 119 134 119 133 120

Marzo 124 158 126 136 139

Abril 175 211 171 169 170

Mayo 229 256 247 218 255

Junio 275 315 276 287 309

Julio 293 329 300 281 322

Agosto 313 321 322 326 350

Septiembre 321 328 322 343 354

Octubre 318 295 279 326 400

Noviembre 323 234 225 302 295

Diciembre 199 205 235 245 248

Deberá procederse como sigue: a. Estímese la componente de tendencia T utilizando los datos anuales de los cinco años.



147

b. Estímese la componente estacional S empleando los datos sin modificar. (Utilizar un promedio móvil de cinco puntos).

c. Estímese la componente irregular I suavizando los datos ajustados estacionalmente. d. Elaborar la predicción que se pide. (Emplear C = 1.0)

6. Una sociedad de construcción ha recibido un contrato del gobierno para construir varias

pequeñas estaciones militares de observaciones en Alaska. El equipo que se enviará al terreno estará aproximadamente un año allí. Cualquier adición o sustracción a este equipo será costosa y puede ser la diferencia el éxito financiero y el fracaso del contrato. Para determinar el número de empleados disponibles para el proyecto, los directivos deben predecir la fuerza laboral que se necesita para la construcción en los Estados Unidos continentales ese año.

La componente de tendencia de este problema ha sido estimada así:

T = 400 + 3t Siendo: T = número de empleados necesario. t = número de meses. t = O representa diciembre de 19X5 Estas son las componentes estacionales para cada mes:

Mes Índice Mes Índice Mes Índice

Enero 0.870 Mayo 1.017 Septiembre 1.013

Febrero 0.833 Junio 0.895 Octubre 1.059

Marzo 1.004 Julio 0.859 Noviembre 1.118

Abril 1.006 Agosto 0.998 Diciembre 1.267

La construcción en Alaska empezará en abril de 19X7. Supóngase que no hay influencia cíclica y que toda variación aleatoria de la necesidad de mano de obra se puede compensar con ayuda-temporal. Predecir las necesidades de mano de obra para los 12 meses de construcción en Alaska.

7. En mayo de este año, el nuevo director de comercialización de Hudson Foods utilizó publicidad en televisión para anunciar los postres congelados de la firma por primera vez y las ventas alcanzaron un nivel sin precedentes. Los postres congelados se habían introducidos hace 3 años y medio pero las ventas nunca llegaron tal alto. El nuevo director de comercialización escribió al director en su memo: “Me gustaría seguir con la campaña de televisión y ampliarla”. Pero el director sospecha que las ventas tan extraordinarias pueden atribuirse a influencias de tendencia y estacional y a variación aleatoria. La historia de ventas de los postres congelados es como sigue:

Mes Primer año

Segundo año Tercer año Cuarto año

Enero 341 488 638 789

Febrero 338 480 621 765

Marzo 448 633 817 987

Abril 479 349 853 998

Mayo 512 706 905 1107

Junio 577 791 994

Julio 599 812 999

Agosto 576 776 978

Septiembre 546 738 920

Octubre 511 679 846

Noviembre 496 655 809

Diciembre 536 701 867

Suponiendo que la componente cíclica no tenga influencia (es decir, que C = 1.0) hacer una recomendación al director en cuanto a la solicitud de su director de comercialización para seguir con la publicidad en televisión.



148

8. Para competir en el negocio de mobiliarios, es necesario mantener un inventario relativamente grande. Por consiguiente, los costos de llevar inventario son considerables. Si una firma puede reducir estos costos de alguna manera, puede tener una ventaja competitiva. Una manera de poder hacer es predecir mejor las ventas. El gerente general de B y D está interesado en tener un método de predicción de las ventas de mobiliarios en su zona. Parece lógico que las ventas estén relacionadas con el número de nuevas casas, construidas en la zona cada mes. Se sabe que se necesitan unos tres meses para completar una casa, así que se espera que las ventas estén estrechamente relacionadas con las viviendas, iniciadas hace tres meses. Una verificación de los registros de la compañía y de las estadísticas de construcción revela los datos que se muestran en seguida. Las viviendas iniciadas se indican con tres meses de anticipación. Esto es, la construcción indicada para junio es marzo, etc. ¿Pueden utilizarse estos datos para construir un modelo de predicción útil? Explicar.

Viviendas Viviendas Viviendas

Mes Ventas Iniciadas Ventas Iniciadas Ventas Iniciadas

Enero 12 12 10 9 6 5

Febrero 17 15 18 16 10 8

Marzo 22 16 19 16 11 8

Abril 26 20 24 21 21 16

Mayo 29 22 28 23 22 17

Junio 34 28 33 29 25 19

Julio 41 30 43 32 28 22

Agosto 16 16 25 19 26 20

Septiembre 15 14 18 16 19 15

Octubre 12 12 14 13 16 12

Noviembre 8 6 9 8 8 6

Diciembre 19 6 22 7 18 5

9. La tabla siguiente muestra los precios medios al por mayor de los Arroz en el Perú durante

1988-1995. Hallar la relación de precios (a) para 1994 con 1988 como base, (b) para 1995 con 1990 como base.

Año Precio medio del arroz

(S/. por kg)

1988 1989 1990 1991 1992 1993 1994 1995

0,20 0,30 0,80 0,85 0,90 0,92 1,00 1,30

10. La tabla siguiente muestra las relaciones de precios de un artículo con 1987-1989 = 100.

Determinar las relaciones de precios con (a) 1990 = 100 y (b) 1993-1994 = 100.

Año Relación de Precios

(1987-1989) = 100

1990 1991 1992 1993 1994 1995

127 134 118 125 137 141

11. En 1990 el precio medio de un producto decreció un 25% de su valor en 1986, pero creció un

50% de su valor en 1982. Hallar la relación de precios para (a) 1986 y (b) 1990 con 1982 como base.

12. La tabla siguiente muestra la energía eléctrica, en miles de millones de kilovatios-hora (Kwh)

de consumo doméstico, durante los años 1975-1986. Reducir los datos a relaciones de cantidad con (a) 1991 y (b) 1985-1988 como base.



149

Año Energía eléctrica

(miles de millones de kwh)

1985 1986 1987 1988 1989 1990 1991 1992 1993 1994 1995 1996

1,918 2,038 2,124 2,206 2,247 2,286 2,295 2,241 2,310 2,416 2,470 2,512

13. En 1992 la producción de un mineral creció un 40% sobre la de 1991. En 1993 la producción

estaba un 20% por debajo de la de 1992, pero un 16% por encima de la de 1994. Hallar las relaciones de precios para los años 1991-1994 como base.

14. La tabla siguiente muestra las relaciones de valor y de precios de un artículo en los años

1990-1994. Con los precios indicados como base. Hallar las relaciones de cantidad para ese artículo con (a) 1990 y (b) 1990-1992 como base. Interpretar los resultados.

Año Relación de Precios

(1990 = 100) Relación de valor (1981-1983=100)

1990 1991 1992 1993 1994

100 125 150 175 200

150 180 207 231 252

15. Las relaciones de enlace para el consumo de un producto en los años 1992-1995 fueron 90,

120, 125 y 80 respectivamente. (a) Hallar la relación de precios para 1993 con 1995 como base. (b) Encadenar las relaciones de enlace a una base 1994 (c) Encadenar las relaciones de enlace a una base 1992-1993. 16. La tabla siguiente muestra los precios y cantidades de consumo en EE.UU. de varios metales

para los años 1985 y 1994. Tomando 1985 como base, calcular el índice de precios para el año 1994 por los métodos:

(a) agregación simple (b) promedio simple (media) (c) mediana (d) media geométrica (e) media armónica (f) Laspeyres (g) Paasche (h) Ideal de Fisher (i) Marshall-Edgeworth (j) Promedio ponderado para relaciones usando como pesos valores del año dado.

Metales

Precio (centavos por libra)

Cantidad (millones de libras)

1985 1994 1985 1994

Cobre Plomo Estaño Zinc

64,2 21,5

339,8 39,0

66,8 25,6

623,8 48,6

3440 1144 49,4

1068

2406 710 42,8 558



150

17. La tabla siguiente muestra los índices de precios de un determinado producto en los años 1983-1993 con base 1977. Hallar el índice de precios con (a) 1983 y (b) 1986-1988 como base.

Año Índice de precio del producto

(1977 = 100)

1983 1984 1985 1986 1987 1988 1989 1990 1991 1992 1993

134,7 160,1 174,9 183,0 194,2 209,3 235,6 268,8 293,4 299,3 303,1



151

BIBLIOGRAFÍA BERENSON y LEVINE. 1996. Estadística Básica en Administración. Editorial Prentice Hall.

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McGraw-Hill. México. WONNACOTT. 1991. Estadística Básica Práctica. Editorial Limusa. México.



152

APÉNDICE Nº 1 NÚMEROS ALEATORIOS

00 - 04 05 - 09 10 - 14 15 - 19 20 - 24 25 - 29 30 - 34 35 - 39 40 - 44 45 - 49

00 39591 66082 48626 95780 55228 87189 75717 97042 19696 48613 01 46304 97377 43462 21739 14566 72533 60171 29024 77581 72760 02 99547 60779 22734 23678 44895 89767 18249 41702 35850 40543 03 06743 63537 24553 77225 94743 79448 12753 95986 78088 48019 04 69568 65496 49033 88577 98606 92156 08846 54912 12691 13170

05 68198 69571 34349 73141 42640 44721 30402 3507 33475 47401 06 27974 12609 77428 64441 49008 60489 66780 55499 80842 57706 07 50552 20688 02769 63037 15494 71784 70559 58158 53437 46216 08 74687 02033 98290 62635 88877 28599 63682 35566 03271 05651 09 49303 76629 71897 30990 62923 36686 96167 11492 90333 84501

10 89734 39183 52026 14997 15140 18250 62831 51236 61236 09179 11 74042 40747 02617 11346 01884 82066 55913 72422 13971 64209 12 84706 31375 67053 73367 95349 31074 36908 42782 89690 48002 13 83664 21365 28882 48926 45435 60577 85270 02777 06878 27561 14 47813 74854 73388 11385 99108 97878 97878 17473 07682 20166

15 00371 56525 38880 53702 09517 47281 15995 98350 25233 79718 16 81182 48434 27431 55806 25389 40774 72978 16835 65066 28732 17 75242 35904 73077 24537 8135 4 48902 03478 42867 04552 66034 18 96239 80246 07000 09555 55051 49596 44629 88225 28195 44598 19 82988 17440 85311 03360 38176 51462 86070 03924 84413 92363

20 77599 29143 89088 57593 60036 17297 30923 36224 46327 96266 21 61433 33118 53488 82981 44709 44709 64388 00198 14135 57514 22 76008 15045 45440 84062 55236 52363 33726 44301 86246 99727 23 26494 76598 85834 10844 56300 56300 72118 96510 98388 80161 24 4670 88558 77533 33359 07830 07830 53260 46755 36881 98535

25 73995 41532 87933 79930 14310 64833 49020 36224 99726 97007 26 93901 38276 75544 19679 82899 11365 22896 00498 77165 08734 27 41925 28215 40966 93501 45446 27913 21708 44301 81404 15119 28 80720 02782 24326 41328 10357 86883 80086 96510 57072 12100 29 92596 39416 50362 04423 04561 58179 54188 46755 14322 97056

30 39693 58559 45839 47278 38548 38885 19875 70067 86711 57005 31 86923 37863 14340 30929 04079 65274 03030 42118 09362 82972 32 99700 79237 18172 58879 56221 65644 33331 01788 32961 40996 33 60248 21953 52321 16981 03252 90433 97304 77138 71026 01946 34 29136 71987 03992 67025 31070 78348 47823 44978 13037 47732

35 57471 42913 85212 42319 92901 97727 04775 26829 38154 25238 36 57424 93847 03269 56096 95028 14039 76128 15110 27301 65529 37 56768 71694 63361 80836 30841 71875 40944 87502 01887 54822 38 70400 81534 02148 41441 26582 27481 84262 50181 42409 62950 39 05454 88418 48646 99565 36635 85496 18894 11033 26894 00889

40 80934 56136 47063 96311 19067 59790 08752 68040 85685 83076 41 06919 46237 50676 11238 75637 43086 95323 52867 06891 32089 42 00152 23997 41751 74756 50975 75365 70158 67663 51431 16375 43 88505 74625 71783 82511 13661 63178 39291 76796 74736 10980 44 64514 80967 33545 09582 86329 58152 05931 35961 70069 12142

45 25280 53007 99651 96366 49378 80971 10419 12981 70572 11575 46 71292 63716 93210 59312 39493 24252 54849 29754 41497 79228 47 49734 50498 08974 05904 68172 02864 10994 22482 12912 17920 48 43075 09754 71880 92614 99928 94424 86353 87549 94499 11459 49 15116 16643 03981 06566 14050 33671 03814 48856 41267 76252



153

NÚMEROS ALEATORIOS

50 - 54 55 - 59 60 - 64 65 - 69 70 - 74 75 - 79 80 - 84 85 - 89 90 - 94 95 - 99

50 25178 77518 41773 39926 09843 29694 43801 69276 44707 23455 51 45803 95106 85816 33366 37383 76832 37024 06581 22587 24827 52 15532 30898 14922 13923 44987 45122 86515 55836 96165 19650 53 99068 35453 42152 12078 04913 06083 06645 93310 40016 8421 54 70983 88359 95583 79348 24101 07502 25692 42496 77732 19278

55 71181 48289 03153 18779 65702 03612 64608 84071 4788 09982 56 44052 59163 74033 86112 27731 46135 63092 59171 44816 12354 57 91555 87708 70964 43346 56811 03725 75139 77674 82467 41899 58 54307 12188 58089 73745 35569 97352 77301 37684 36823 69218 59 63631 23919 06785 13891 89918 76211 09362 34292 17640 6907

60 46832 30801 98898 28954 97793 20825 36775 71974 15574 09184 61 05944 82632 39310 74857 61725 50569 81937 16820 85446 51168 62 28199 90116 59501 49025 73005 84954 11587 97691 90415 84685 63 09391 05600 00624 95068 33776 44985 01505 76911 45539 32181 64 29634 13021 96568 15124 55092 44043 31073 92371 51288 33378

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80 22689 19799 18870 49272 74783 38777 76176 40961 18089 32499 81 71263 82247 66684 90239 67686 48963 30842 59354 33551 87966 82 64084 57386 89278 27187 52142 96305 87393 80164 95518 82742 83 23121 10194 0991 37062 43446 09107 47156 70179 00858 92326 84 78906 48080 76745 65814 51167 87755 66884 12718 14951 47937

85 87257 26005 21544 37223 53288 72056 96396 67099 49416 91891 86 39529 98126 33694 29025 94308 24426 63072 51444 04718 49891 87 89632 11606 87159 89408 06295 31055 15530 46432 49871 37982 88 23708 98919 14407 53722 58779 92849 04176 24870 56688 25405 89 51445 46758 42024 27940 64237 10086 95601 53923 85209 79385

90 23849 65272 24743 39960 27313 99925 29743 87270 05773 21797 91 78613 15441 34568 57398 25872 61792 94599 60944 90908 38948 92 90694 27996 94181 87428 41135 29461 72716 68956 67871 72459 93 96772 86829 36403 40087 67456 21071 39039 91937 45280 00066 94 24527 40701 56894 73327 00789 97573 09303 41704 05772 95372

95 31596 70876 46807 06741 29352 23829 52465 00336 24155 61871 96 31613 99249 17260 05242 19535 52702 64761 66694 06150 13820 97 02911 09514 50864 80622 20017 59019 43450 75942 08567 40547 98 02484 74068 04670 19646 41951 05111 34013 57443 87481 48994 99 69259 75535 73007 15236 01572 44870 53280 25132 70276 87334



156

APÉNDICE Nº 2

TABLA DE LA DISTRIBUCIÓN ACUMULADA BINOMIAL

x

k

knkn

k ppCxXP0

1

p

n X 0.05 0.10 0.15 0.20 0.25 0.30 0.35 0.40 0.45 0.50

2 0 0.9025 0.8100 0.7225 0.6400 0.5625 0.4900 0.4225 0.3600 0.3025 0.2500 1 0.9975 0.9900 0.9775 0.9600 0.9375 0.9100 0.8775 0.8400 0.7975 0.7500

3 0 0.8574 0.7290 0.6141 0.5120 0.4219 0.3430 0.2746 0.2160 0.1664 0.1250 1 0.9928 0.9720 0.9393 0.8960 0.8438 0.7840 0.7183 0.6480 0.5748 0.5000 2 0.9999 0.9990 0.9966 0.9920 0.9844 0.9730 0.9571 0.9360 0.9089 0.8750

4 0 0.8145 0.6561 0.5220 0.4096 0.3164 0.2401 0.1785 0.1296 0.0915 0.0625 1 0.9860 0.9477 0.8905 0.8192 0.7383 0.6517 0.5630 0.4752 0.3910 0.3125 2 0.9995 0.9963 0.9880 0.9728 0.9492 0.9163 0.8735 0.8208 0.7585 0.6875 3 1.0000 0.9999 0.9995 0.9984 0.9961 0.9919 0.9850 0.9744 0.9590 0.9375

5 0 0.7738 0.5905 0.4437 0.3277 0.2373 0.1681 0.1160 0.0778 0.0503 0.0313 1 0.9774 0.9185 0.8352 0.7373 0.6328 0.5282 0.4284 0.3370 0.2562 0.1875 2 0.9988 0.9914 0.9734 0.9421 0.8965 0.8369 0.7648 0.6826 0.5931 0.5000 3 1.0000 0.9995 0.9978 0.9933 0.9844 0.9692 0.9460 0.9130 0.8688 0.8125 4 1.0000 1.0000 0.9999 0.9997 0.9990 0.9976 0.9947 0.9898 0.9815 0.9688

6 0 0.7351 0.5314 0.3771 0.2621 0.1780 0.1176 0.0754 0.0467 0.0277 0.0156 1 0.9672 0.8857 0.7765 0.6554 0.5339 0.4202 0.3191 0.2333 0.1636 0.1094 2 0.9978 0.9842 0.9527 0.9011 0.8306 0.7443 0.6471 0.5443 0.4415 0.3438

3 0.9999 0.9987 0.9941 0.9830 0.9624 0.9295 0.8826 0.8208 0.7447 0.6563 4 1.0000 0.9999 0.9996 0.9984 0.9954 0.9891 0.9777 0.9590 0.9308 0.8906 5 1.0000 1.0000 1.0000 0.9999 0.9998 0.9993 0.9982 0.9959 0.9917 0.9844

7 0 0.6983 0.4783 0.3206 0.2097 0.1335 0.0824 0.0490 0.0280 0.0152 0.0078 1 0.9556 0.8503 0.7166 0.5767 0.4449 0.3294 0.2338 0.1586 0.1024 0.0625 2 0.9962 0.9743 0.9262 0.8520 0.7564 0.6471 0.5323 0.4199 0.3164 0.2266 3 0.9998 0.9973 0.9879 0.9667 0.9294 0.8740 0.8002 0.7102 0.6083 0.5000 4 1.0000 0.9998 0.9988 0.9953 0.9871 0.9712 0.9444 0.9037 0.8471 0.7734 5 1.0000 1.0000 0.9999 0.9996 0.9987 0.9962 0.9910 0.9812 0.9643 0.9375 6 1.0000 1.0000 1.0000 1.0000 0.9999 0.9998 0.9994 0.9984 0.9963 0.9922

8 0 0.6634 0.4305 0.2725 0.1678 0.1001 0.0576 0.0319 0.0168 0.0084 0.0039 1 0.9428 0.8131 0.6572 0.5033 0.3671 0.2553 0.1691 0.1064 0.0632 0.0352 2 0.9942 0.9619 0.8948 0.7969 0.6785 0.5518 0.4278 0.3154 0.2201 0.1445 3 0.9996 0.9950 0.9786 0.9437 0.8862 0.8059 0.7064 0.5941 0.4770 0.3633 4 1.0000 0.9996 0.9971 0.9896 0.9727 0.9420 0.8939 0.8263 0.7396 0.6367 5 1.0000 1.0000 0.9998 0.9988 0.9958 0.9887 0.9747 0.9502 0.9115 0.8555 6 1.0000 1.0000 1.0000 0.9999 0.9996 0.9987 0.9964 0.9915 0.9819 0.9648 7 1.0000 1.0000 1.0000 1.0000 1.0000 0.9999 0.9998 0.9993 0.9983 0.9961

9 0 0.6302 0.3874 0.2316 0.1342 0.0751 0.0404 0.0207 0.0101 0.0046 0.0020 1 0.9288 0.7748 0.5995 0.4362 0.3003 0.1960 0.1211 0.0705 0.0385 0.0195 2 0.9916 0.9470 0.8591 0.7382 0.6007 0.4628 0.3373 0.2318 0.1495 0.0898 3 0.9994 0.9917 0.9661 0.9144 0.8343 0.7297 0.6089 0.4826 0.3614 0.2539 4 1.0000 0.9991 0.9944 0.9804 0.9511 0.9012 0.8283 0.7334 0.6214 0.5000 5 1.0000 0.9999 0.9994 0.9969 0.9900 0.9747 0.9464 0.9006 0.8342 0.7461 6 1.0000 1.0000 1.0000 0.9997 0.9987 0.9957 0.9888 0.9750 0.9502 0.9102 7 1.0000 1.0000 1.0000 1.0000 0.9999 0.9996 0.9986 0.9962 0.9909 0.9805 8 1.0000 1.0000 1.0000 1.0000 1.0000 1.0000 0.9999 0.9997 0.9992 0.9980



157

P

N X 0.05 0.10 0.15 0.20 0.25 0.30 0.35 0.40 0.45 0.50 10 0 0.5987 0.3487 0.1969 0.1074 0.0563 0.0282 0.0135 0.0060 0.0025 0.0010

1 0.9139 0.7361 0.5443 0.3758 0.2440 0.1493 0.0860 0.0464 0.0233 0.0107 2 0.9885 0.9298 0.8202 0.6778 0.5256 0.3828 0.2616 0.1673 0.0996 0.0547 3 0.9990 0.9872 0.9500 0.8791 0.7759 0.6496 0.5138 0.3823 0.2660 0.1719 4 0.9999 0.9984 0.9901 0.9672 0.9219 0.8497 0.7515 0.6331 0.5044 0.3770 5 1.0000 0.9999 0.9986 0.9936 0.9803 0.9527 0.9051 0.8338 0.7384 0.6230 6 1.0000 1.0000 0.9999 0.9991 0.9965 0.9894 0.9740 0.9452 0.8980 0.8281 7 1.0000 1.0000 1.0000 0.9999 0.9996 0.9984 0.9952 0.9877 0.9726 0.9453 8 1.0000 1.0000 1.0000 1.0000 1.0000 0.9999 0.9995 0.9983 0.9955 0.9893 9 1.0000 1.0000 1.0000 1.0000 1.0000 1.0000 1.0000 0.9999 0.9997 0.9990

11 0 0.5688 0.3138 0.1673 0.0859 0.0422 0.0198 0.0088 0.0036 0.0014 0.0005 1 0.8981 0.6974 0.4922 0.3221 0.1971 0.1130 0.0606 0.0302 0.0139 0.0059 2 0.9848 0.9104 0.7788 0.6174 0.4552 0.3127 0.2001 0.1189 0.0652 0.0327 3 0.9984 0.9815 0.9306 0.8389 0.7133 0.5696 0.4256 0.2963 0.1911 0.1133 4 0.9999 0.9972 0.9841 0.9496 0.8854 0.7897 0.6683 0.5328 0.3971 0.2744 5 1.0000 0.9997 0.9973 0.9883 0.9657 0.9218 0.8513 0.7535 0.6331 0.5000 6 1.0000 1.0000 0.9997 0.9980 0.9924 0.9784 0.9499 0.9006 0.8262 0.7256 7 1.0000 1.0000 1.0000 0.9998 0.9988 0.9957 0.9878 0.9707 0.9390 0.8867 8 1.0000 1.0000 1.0000 1.0000 0.9999 0.9994 0.9980 0.9941 0.9852 0.9673 9 1.0000 1.0000 1.0000 1.0000 1.0000 1.0000 0.9998 0.9993 0.9978 0.9941 10 1.0000 1.0000 1.0000 1.0000 1.0000 1.0000 1.0000 1.0000 0.9998 0.9995

12 0 0.5404 0.2824 0.1422 0.0687 0.0317 0.0138 0.0057 0.0022 0.0008 0.0002 1 0.8816 0.6590 0.4435 0.2749 0.1584 0.0850 0.0424 0.0196 0.0083 0.0032 2 0.9804 0.8891 0.7358 0.5583 0.3907 0.2528 0.1513 0.0834 0.0421 0.0193 3 0.9978 0.9744 0.9078 0.7946 0.6488 0.4925 0.3467 0.2253 0.1345 0.0730 4 0.9998 0.9957 0.9761 0.9274 0.8424 0.7237 0.5833 0.4382 0.3044 0.1938 5 1.0000 0.9995 0.9954 0.9806 0.9456 0.8822 0.7873 0.6652 0.5269 0.3872 6 1.0000 0.9999 0.9993 0.9961 0.9857 0.9614 0.9154 0.8418 0.7393 0.6128 7 1.0000 1.0000 0.9999 0.9994 0.9972 0.9905 0.9745 0.9427 0.8883 0.8062 8 1.0000 1.0000 1.0000 0.9999 0.9996 0.9983 0.9944 0.9847 0.9644 0.9270 9 1.0000 1.0000 1.0000 1.0000 1.0000 0.9998 0.9992 0.9972 0.9921 0.9807 10 1.0000 1.0000 1.0000 1.0000 1.0000 1.0000 0.9999 0.9997 0.9989 0.9968 11 1.0000 1.0000 1.0000 1.0000 1.0000 1.0000 1.0000 1.0000 0.9999 0.9998

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14 0 0.4877 0.2288 0.1028 0.0440 0.0178 0.0068 0.0024 0.0008 0.0002 0.0001 1 0.8470 0.5846 0.3567 0.1979 0.1010 0.0475 0.0205 0.0081 0.0029 0.0009



158

P

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16 0 0.4401 0.1853 0.0743 0.0281 0.0100 0.0033 0.0010 0.0003 0.0001 0.0000 1 0.8108 0.5147 0.2839 0.1407 0.0635 0.0261 0.0098 0.0033 0.0010 0.0003 2 0.9571 0.7892 0.5614 0.3518 0.1971 0.0994 0.0451 0.0183 0.0066 0.0021 3 0.9930 0.9316 0.7899 0.5981 0.4050 0.2459 0.1339 0.0651 0.0281 0.0106 4 0.9991 0.9830 0.9209 0.7982 0.6302 0.4499 0.2892 0.1666 0.0853 0.0384 5 0.9999 0.9967 0.9765 0.9183 0.8103 0.6598 0.4900 0.3288 0.1976 0.1051 6 1.0000 0.9995 0.9944 0.9733 0.9204 0.8247 0.6881 0.5272 0.3660 0.2272 7 1.0000 0.9999 0.9989 0.9930 0.9729 0.9256 0.8406 0.7161 0.5629 0.4018 8 1.0000 1.0000 0.9998 0.9985 0.9925 0.9743 0.9329 0.8577 0.7441 0.5982 9 1.0000 1.0000 1.0000 0.9998 0.9984 0.9929 0.9771 0.9417 0.8759 0.7728 10 1.0000 1.0000 1.0000 1.0000 0.9997 0.9984 0.9938 0.9809 0.9514 0.8949 11 1.0000 1.0000 1.0000 1.0000 1.0000 0.9997 0.9987 0.9951 0.9851 0.9616 12 1.0000 1.0000 1.0000 1.0000 1.0000 1.0000 0.9998 0.9991 0.9965 0.9894 13 1.0000 1.0000 1.0000 1.0000 1.0000 1.0000 1.0000 0.9999 0.9994 0.9979 14 1.0000 1.0000 1.0000 1.0000 1.0000 1.0000 1.0000 1.0000 0.9999 0.9997 15 1.0000 1.0000 1.0000 1.0000 1.0000 1.0000 1.0000 1.0000 1.0000 1.0000

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159

P

N X 0.05 0.10 0.15 0.20 0.25 0.30 0.35 0.40 0.45 0.50 17 4 0.9988 0.9779 0.9013 0.7582 0.5739 0.3887 0.2348 0.1260 0.0596 0.0245

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6 1.0000 0.9992 0.9917 0.9623 0.8929 0.7752 0.6188 0.4478 0.2902 0.1662

7 1.0000 0.9999 0.9983 0.9891 0.9598 0.8954 0.7872 0.6405 0.4743 0.3145

8 1.0000 1.0000 0.9997 0.9974 0.9876 0.9597 0.9006 0.8011 0.6626 0.5000

9 1.0000 1.0000 1.0000 0.9995 0.9969 0.9873 0.9617 0.9081 0.8166 0.6855

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12 1.0000 1.0000 1.0000 1.0000 1.0000 0.9999 0.9994 0.9975 0.9914 0.9755

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15 1.0000 1.0000 1.0000 1.0000 1.0000 1.0000 1.0000 1.0000 1.0000 0.9999

16 1.0000 1.0000 1.0000 1.0000 1.0000 1.0000 1.0000 1.0000 1.0000 1.0000

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3 0.9891 0.9018 0.7202 0.5010 0.3057 0.1646 0.0783 0.0328 0.0120 0.0038

4 0.9985 0.9718 0.8794 0.7164 0.5187 0.3327 0.1886 0.0942 0.0411 0.0154

5 0.9998 0.9936 0.9581 0.8671 0.7175 0.5344 0.3550 0.2088 0.1077 0.0481

6 1.0000 0.9988 0.9882 0.9487 0.8610 0.7217 0.5491 0.3743 0.2258 0.1189

7 1.0000 0.9998 0.9973 0.9837 0.9431 0.8593 0.7283 0.5634 0.3915 0.2403

8 1.0000 1.0000 0.9995 0.9957 0.9807 0.9404 0.8609 0.7368 0.5778 0.4073

9 1.0000 1.0000 0.9999 0.9991 0.9946 0.9790 0.9403 0.8653 0.7473 0.5927

10 1.0000 1.0000 1.0000 0.9998 0.9988 0.9939 0.9788 0.9424 0.8720 0.7597

11 1.0000 1.0000 1.0000 1.0000 0.9998 0.9986 0.9938 0.9797 0.9463 0.8811

12 1.0000 1.0000 1.0000 1.0000 1.0000 0.9997 0.9986 0.9942 0.9817 0.9519

13 1.0000 1.0000 1.0000 1.0000 1.0000 1.0000 0.9997 0.9987 0.9951 0.9846

14 1.0000 1.0000 1.0000 1.0000 1.0000 1.0000 1.0000 0.9998 0.9990 0.9962

15 1.0000 1.0000 1.0000 1.0000 1.0000 1.0000 1.0000 1.0000 0.9999 0.9993

16 1.0000 1.0000 1.0000 1.0000 1.0000 1.0000 1.0000 1.0000 1.0000 0.9999

19 0 0.3774 0.1351 0.0456 0.0144 0.0042 0.0011 0.0003 0.0001 0.0000 0.0000

1 0.7547 0.4203 0.1985 0.0829 0.0310 0.0104 0.0031 0.0008 0.0002 0.0000

2 0.9335 0.7054 0.4413 0.2369 0.1113 0.0462 0.0170 0.0055 0.0015 0.0004

3 0.9868 0.8850 0.6841 0.4551 0.2631 0.1332 0.0591 0.0230 0.0077 0.0022

4 0.9980 0.9648 0.8556 0.6733 0.4654 0.2822 0.1500 0.0696 0.0280 0.0096

5 0.9998 0.9914 0.9463 0.8369 0.6678 0.4739 0.2968 0.1629 0.0777 0.0318

6 1.0000 0.9983 0.9837 0.9324 0.8251 0.6655 0.4812 0.3081 0.1727 0.0835

7 1.0000 0.9997 0.9959 0.9767 0.9225 0.8180 0.6656 0.4878 0.3169 0.1796

8 1.0000 1.0000 0.9992 0.9933 0.9713 0.9161 0.8145 0.6675 0.4940 0.3238

9 1.0000 1.0000 0.9999 0.9984 0.9911 0.9674 0.9125 0.8139 0.6710 0.5000



160

P

N X 0.05 0.10 0.15 0.20 0.25 0.30 0.35 0.40 0.45 0.50

19 10 1.0000 1.0000 1.0000 0.9997 0.9977 0.9895 0.9653 0.9115 0.8159 0.6762

11 1.0000 1.0000 1.0000 1.0000 0.9995 0.9972 0.9886 0.9648 0.9129 0.8204

12 1.0000 1.0000 1.0000 1.0000 0.9999 0.9994 0.9969 0.9884 0.9658 0.9165

13 1.0000 1.0000 1.0000 1.0000 1.0000 0.9999 0.9993 0.9969 0.9891 0.9682

14 1.0000 1.0000 1.0000 1.0000 1.0000 1.0000 0.9999 0.9994 0.9972 0.9904

15 1.0000 1.0000 1.0000 1.0000 1.0000 1.0000 1.0000 0.9999 0.9995 0.9978

16 1.0000 1.0000 1.0000 1.0000 1.0000 1.0000 1.0000 1.0000 0.9999 0.9996

17 1.0000 1.0000 1.0000 1.0000 1.0000 1.0000 1.0000 1.0000 1.0000 1.0000

20 0 0.3585 0.1216 0.0388 0.0115 0.0032 0.0008 0.0002 0.0000 0.0000 0.0000

1 0.7358 0.3917 0.1756 0.0692 0.0243 0.0076 0.0021 0.0005 0.0001 0.0000

2 0.9245 0.6769 0.4049 0.2061 0.0913 0.0355 0.0121 0.0036 0.0009 0.0002

3 0.9841 0.8670 0.6477 0.4114 0.2252 0.1071 0.0444 0.0160 0.0049 0.0013

4 0.9974 0.9568 0.8298 0.6296 0.4148 0.2375 0.1182 0.0510 0.0189 0.0059

5 0.9997 0.9887 0.9327 0.8042 0.6172 0.4164 0.2454 0.1256 0.0553 0.0207

6 1.0000 0.9976 0.9781 0.9133 0.7858 0.6080 0.4166 0.2500 0.1299 0.0577

7 1.0000 0.9996 0.9941 0.9679 0.8982 0.7723 0.6010 0.4159 0.2520 0.1316

8 1.0000 0.9999 0.9987 0.9900 0.9591 0.8867 0.7624 0.5956 0.4143 0.2517

9 1.0000 1.0000 0.9998 0.9974 0.9861 0.9520 0.8782 0.7553 0.5914 0.4119

10 1.0000 1.0000 1.0000 0.9994 0.9961 0.9829 0.9468 0.8725 0.7507 0.5881

11 1.0000 1.0000 1.0000 0.9999 0.9991 0.9949 0.9804 0.9435 0.8692 0.7483

12 1.0000 1.0000 1.0000 1.0000 0.9998 0.9987 0.9940 0.9790 0.9420 0.8684

13 1.0000 1.0000 1.0000 1.0000 1.0000 0.9997 0.9985 0.9935 0.9786 0.9423

14 1.0000 1.0000 1.0000 1.0000 1.0000 1.0000 0.9997 0.9984 0.9936 0.9793

15 1.0000 1.0000 1.0000 1.0000 1.0000 1.0000 1.0000 0.9997 0.9985 0.9941

16 1.0000 1.0000 1.0000 1.0000 1.0000 1.0000 1.0000 1.0000 0.9997 0.9987

17 1.0000 1.0000 1.0000 1.0000 1.0000 1.0000 1.0000 1.0000 1.0000 0.9998

18 1.0000 1.0000 1.0000 1.0000 1.0000 1.0000 1.0000 1.0000 1.0000 1.0000



161

APÉNDICE Nº 3

DISTRIBUCIÓN DE POISSON - TÉRMINOS ACUMULATIVOS

x

x

x

x

exXP

0 !

x

0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10

0.01 0.990

0.02 0.980

0.03 0.970

0.04 0.961 0.999

0.05 0.951 0.999

0.06 0.942 0.998

0.07 0.932 0.998

0.08 0.923 0.997

0.09 0.914 0.996

0.10 0.905 0.995

0.15 0.861 0.990 0.999

0.20 0.819 0.982 0.999

0.25 0.779 0.974 0.998

0.30 0.741 0.963 0.996

0.35 0.705 0.951 0.994

0.40 0.670 0.938 0.992 0.999

0.45 0.638 0.925 0.989 0.999

0.50 0.607 0.910 0.986 0.998

0.55 0.577 0.894 0.982 0.998

0.60 0.549 0.878 0.977 0.997

0.65 0.522 0.861 0.972 0.996 0.999



162

DISTRIBUCIÓN DE POISSON - Términos Acumulativos

x

x

x

x

exXP

0 !

x

0

1

2

3

4

5

6

7

8

9

10

0.70 0.497 0.844 0.966 0.994 0.999 0.75 0.472 0.827 0.959 0.993 0.999

0.80 0.449 0.809 0.956 0.994 0.999 0.85 0.427 0.791 0.945 0.989 0.998 0.90 0.407 0.772 0.937 0.987 0.998 0.95 0.387 0.754 0.929 0.984 0.997 1.00 0.368 0.736 0.920 0.981 0.996 0.999

1.1 0.333 0.699 0.900 0.974 0.995 0.999 1.2 0.301 0.663 0.879 0.966 0.997 0.998 1.3 0.273 0.627 0.857 0.957 0.989 0.998 1.4 0.247 0.592 0.833 0.946 0.983 0.997 0.999 1.5 0.223 0.558 0.809 0.934 0.981 0.996 0.999

1.6 0.202 0.525 0.783 0.921 0.976 0.994 0.999 1.7 0.183 0.493 0.757 0.907 0.970 0.992 0.998 1.8 0.165 0.463 0.731 0.894 0.964 0.99 0.997 0.999 1.9 0.150 0.434 0.704 0.875 0.956 0.987 0.997 0.999 2.0 0.135 0.406 0.677 0.857 0.947 0.983 0.995 0.999

2.1 0.122 0.380 0.650 0.839 0.938 0.980 0.994 0.999 2.2 0.111 0.355 0.623 0.819 0.928 0.975 0.993 0.998 2.3 0.100 0.331 0.596 0.799 0.916 0.970 0.991 0.997 0.999 2.4 0.091 0.308 0.571 0.779 0.904 0.964 0.988 0.997 0.999 2.5 0.082 0.287 0.544 0.758 0.891 0.958 0.986 0.996 0.999 2.6 0.074 0.267 0.518 0.736 0.877 0.951 0.983 0.995 0.999 2.7 0.067 0.249 0.494 0.714 0.863 0.943 0.979 0.993 0.998 0.999 2.8 0.061 0.231 0.469 0.692 0.848 0.935 0.976 0.992 0.998 0.999 2.9 0.055 0.215 0.446 0.670 0.832 0.926 0.971 0.990 0.997 0.999 3.0 0.050 0.199 0.423 0.647 0.815 0.916 0.966 0.988 0.996 0.999

x 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10

3.2 0.041 0.171 0.380 0.603 0.781 0.895 0.955 0.983 0.994 0.998 3.4 0.330 0.147 0.340 0.558 0.744 0.871 0.942 0.977 0.992 0.997 0.999 3.6 0.027 0.126 0.303 0.515 0.706 0.844 0.927 0.969 0.988 0.996 0.999 3.8 0.022 0.107 0.269 0.473 0.668 0.816 0.909 0.96 0.984 0.994 0.998 4.0 0.018 0.092 0.239 0.433 0.629 0.785 0.889 0.949 0.979 0.992 0.997 4.2 0.015 0.078 0.210 0.395 0.590 0.753 0.897 0.936 0.972 0.989 0.996 4.4 0.012 0.066 0.185 0.359 0.551 0.72 0.844 0.921 0.964 0.985 0.994 4.6 0.010 0.056 0.163 0.326 0.513 0.686 0.818 0.905 0.955 0.98 0.992 4.8 0.008 0.048 0.143 0.940 0.476 0.651 0.791 0.887 0.944 0.975 0.99 5.0 0.007 0.040 0.126 0.265 0.440 0.616 0.762 0.867 0.932 0.968 0.986 5.2 0.006 0.034 0.109 0.238 0.406 0.581 0.732 0.845 0.918 0.96 0.982 5.4 0.005 0.290 0.095 0.213 0.373 0.546 0.702 0.822 0.903 0.951 0.977 5.6 0.004 0.024 0.082 0.191 0.342 0.512 0.67 0.797 0.886 0.941 0.975 5.8 0.003 0.021 0.071 0.17 0.313 0.478 0.638 0.771 0.867 0.929 0.965 6.0 0.002 0.017 0.062 0.151 0.285 0.446 0.606 0.744 0.847 0.916 0.957



163


x

x

x

x

exXP

0 !

x

11

12

13

14

15

3.2 3.4 3.6 3.8 0.999 4.0 0.999

4.2 0.999 4.4 0.998 0.999 4.6 0.997 0.999 4.8 0.996 0.999 5.0 0.995 0.998 0.999

5.2 0.993 0.997 0.999 5.4 0.990 0.996 0.999 5.6 0.988 0.995 0.998 0.999 5.8 0.984 0.993 0.997 0.999 6.0 0.980 0.991 0.996 0.999 0.999

x 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10

6.2 0.002 0.015 0.054 0.134 0.259 0.414 0.574 0.716 0.826 0.902 0.949 6.4 0.002 0.012 0.046 0.119 0.235 0.384 0.542 0.687 0.803 0.886 0.939 6.6 0.001 0.010 0.400 0.105 0.213 0.355 0.511 0.658 0.780 0.869 0.927 6.8 0.001 0.009 0.034 0.093 0.192 0.327 0.48 0.628 0.755 0.85 0.915 7.0 0.001 0.007 0.030 0.082 0.173 0.301 0.45 0.599 0.729 0.83 0.901

7.2 0.001 0.006 0.025 0.072 0.156 0.276 0.42 0.569 0.703 0.81 0.887 7.4 0.001 0.005 0.022 0.063 0.140 0.253 0.392 0.539 0.676 0.788 0.871 7.6 0.001 0.004 0.019 0.055 0.125 0.231 0.365 0.51 0.618 0.765 0.854 7.8 0.004 0.016 0.048 0.112 0.21 0.338 0.481 0.62 0.741 0.835 8.0 0.003 0.014 0.042 0.100 0.191 0.313 0.453 0.593 0.717 0.816

8.2 0.003 0.012 0.037 0.089 0.174 0.290 0.425 0.565 0.692 0.796 8.4 0.002 0.010 0.032 0.079 0.157 0.267 0.399 0.537 0.666 0.774

x

11 12 13 14 15 16 17 18

6.2 0.975 0.099 0.995 0.998 0.999 6.4 0.969 0.986 0.994 0.997 0.999 6.6 0.963 0.982 0.992 0.997 0.999 0.999 6.8 0.955 0.978 0.990 0.996 0.998 0.999 7.0 0.947 0.973 0.987 0.994 0.998 0.999

7.2 0.937 0.967 0.984 0.993 0.997 0.999 0.999 7.4 0.926 0.961 0.980 0.991 0.996 0.998 0.999 7.6 0.915 0.954 0.976 0.989 0.995 0.998 0.999 7.8 0.902 0.945 0.971 0.986 0.993 0.997 0.999 8.0 0.888 0.936 0.966 0.983 0.992 0.996 0.998 0.999

8.2 0.873 0.926 0.960 0.979 0.990 0.995 0.998 0.999 8.4 0.857 0.915 0.952 0.975 0.987 0.994 0.997 0.999



164


x

x

x

x

exXP

0 !

x 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17

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x

18 19 20 21 22 23 24 25 26 27 28 29 30 31 32

8.5 0.999 0.999 9.0 0.998 0.999 9.5 0.996 0.998 0.999 10.0 0.993 0.997 0.998 0.999 10.5 0.988 0.994 0.997 0.999 0.999 11.0 0.982 0.991 0.995 0.998 0.999 11.5 0.974 0.986 0.992 0.996 0.998 0.999 12.0 0.963 0.979 0.988 0.994 0.997 0.999 0.999 12.5 0.948 0.969 0.983 0.991 0.995 0.998 0.999 0.999 13.0 0.930 0.957 0.975 0.986 0.992 0.996 0.998 0.999 13.5 0.908 0.942 0.937 0.950 0.989 0.994 0.997 0.998 0.999 14.0 0.883 0.923 0.952 0.971 0.983 0.991 0.995 0.997 0.999 0.999 14.5 0.853 0.901 0.936 0.960 0.976 0.983 0.992 0.996 0.995 0.999 0.999 15.0 0.819 0.875 0.917 0.947 0.967 0.981 0.989 0.994 0.997 0.995 0.999 16.0 0.742 0.812 0.868 0.911 0.942 0.963 0.978 0.987 0.993 0.996 0.998 0.999 0.999 17.0 0.655 0.736 0.805 0.861 0.905 0.937 0.959 0.975 0.985 0.991 0.995 0.997 0.999 0.999 18.0 0.562 0.651 0.731 0.799 0.855 0.899 0.932 0.955 0.972 0.983 0.99 0.994 0.997 0.998 0.999


x

x

x

x

exXP

0 !

x

6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17

19.0 0.001 0.002 0.004 0.009 0.018 0.035 0.061 0.098 0.015 0.215 0.292 0.378 20.0 0.001 0.002 0.005 0.011 0.021 0.039 0.066 0.105 0.157 0.221 0.297 21.0 0.001 0.003 0.006 0.013 0.025 0.043 0.072 0.111 0.163 0.227 22.0 0.001 0.002 0.004 0.008 0.015 0.028 0.048 0.077 0.117 0.169 23.0 0.001 0.002 0.004 0.009 0.017 0.031 0.052 0.082 0.123 24.0 0.001 0.003 0.005 0.011 0.020 0.034 0.560 0.087 25.0 0.001 0.001 0.003 0.006 0.012 0.022 0.038 0.060

X

18 19 20 21 22 23 24 25 26 27 28 29

19.0 0.469 0.561 0.647 0.725 0.793 0.849 0.395 0.927 0.951 0.697 0.980 0.988 20.0 0.381 0.470 0.559 0.644 0.721 0.787 0.343 0.888 0.922 0.948 0.966 0.978 21.0 0.302 0.840 0.471 0.558 0.640 0.716 0.782 0.838 0.383 0.917 0.944 0.863 22.0 0.232 0.306 0.387 0.472 0.556 0.637 0.712 0.777 0.832 0.877 0.913 0.940 23.0 0.175 0.238 0.310 0.389 0.472 0.555 0.635 0.708 0.772 0.327 0.873 0.908 24.0 0.128 0.180 0.243 0.314 0.392 0.473 0.554 0.632 0.704 0.768 0.823 0.868 25.0 0.092 0.134 0.185 0.247 0.318 0.394 0.473 0.553 0.629 0.700 0.763 0.818

x

30 31 32 33 34 35 36 37 38 39 40 41 42

19.0 0.993 0.996 0.998 0.999 0.999 20.0 0.987 0.992 0.995 0.970 0.999 0.999 21.0 0.976 0.982 0.991 0.994 0.997 0.998 0.999 0.999 22.0 0.959 0.973 0.983 0.989 0.994 0.996 0.998 0.999 0.999 23.0 0.936 0.956 0.971 0.981 0.988 0.993 0.996 0.997 0.999 0.999 24.0 0.904 0.932 0.953 0.969 0.979 0.987 0.992 0.995 0.997 1.000 0.999 0.999 25.0 0.863 0.900 0.929 0.950 0.966 0.978 0.985 0.991 0.994 0.997 0.998 0.999 0.999



165

APÉNDICE Nº 4

DISTRIBUCIÓN ACUMULATIVA NORMAL

dzezF

z

z 2

2

2

1

z F(z) z F(z) Z F(z)

-4.00 0.00003 -3.55 0.00019 -3.10 0.00097 -3.99 0.00003 -3.54 0.00020 -3.09 0.00100 -3.98 0.00003 -3.53 0.00021 -3.08 0.00104 -3.97 0.00004 -3.52 0.00022 -3.07 0.00107 -3.96 0.00004 -3.51 0.00022 -3.06 0.00111

-3.95 0.00004 -3.50 0.00023 -3.05 0.00114 -3.94 0.00004 -3.49 0.00024 -3.04 0.00118 -3.93 0.00004 -3.48 0.00025 -3.03 0.00122 -3.92 0.00004 -3.47 0.00026 -3.02 0.00126 -3.91 0.00005 -3.46 0.00027 -3.01 0.00131

-3.90 0.00005 -3.45 0.00028 -3.00 0.00135 -3.89 0.00005 -3.44 0.00029 -2.99 0.00139 -3.88 0.00005 -3.43 0.00030 -2.98 0.00144 -3.87 0.00005 -3.42 0.00031 -2.97 0.00149 -3.86 0.00006 -3.41 0.00032 -2.96 0.00154

-3.85 0.00006 -3.40 0.00034 -2.95 0.00159 -3.84 0.00006 -3.39 0.00035 -2.94 0.00164 -3.83 0.00006 -3.38 0.00036 -2.93 0.00169 -3.82 0.00007 -3.37 0.00038 -2.92 0.00175 -3.81 0.00007 -3.36 0.00039 -2.91 0.00181

-3.80 0.00007 -3.35 0.00040 -2.90 0.00187 -3.79 0.00008 -3.34 0.00042 -2.89 0.00193 -3.78 0.00008 -3.33 0.00043 -2.88 0.00199 -3.77 0.00008 -3.32 0.00045 -2.87 0.00205 -3.76 0.00008 -3.31 0.00047 -2.86 0.00212

-3.75 0.00009 -3.30 0.00048 -2.85 0.00219 -3.74 0.00009 -3.29 0.00050 -2.84 0.00226 -3.73 0.00010 -3.28 0.00052 -2.83 0.00233 -3.72 0.00010 -3.27 0.00054 -2.82 0.00240 -3.71 0.00010 -3.26 0.00056 -2.81 0.00246

-3.70 0.00011 -3.25 0.00058 -2.80 0.00256 -3.69 0.00011 -3.24 0.00060 -2.79 0.00264 -3.68 0.00012 -3.23 0.00062 -2.78 0.00272 -3.67 0.00012 -3.22 0.00064 -2.77 0.00280 -3.66 0.00013 -3.21 0.00066 -2.76 0.00289

-3.65 0.00013 -3.20 0.00069 -2.75 0.00298 -3.64 0.00014 -3.19 0.00071 -2.74 0.00307 -3.63 0.00014 -3.18 0.00074 -2.73 0.00317 -3.62 0.00015 -3.17 0.00076 -2.72 0.00326 -3.61 0.00015 -3.16 0.00079 -2.71 0.00336

-3.60 0.00016 -3.15 0.00082 -2.70 0.00347 -3.59 0.00017 -3.14 0.00084 -2.69 0.00357 -3.58 0.00017 -3.13 0.00087 -2.68 0.00368 -3.57 0.00018 -3.12 0.00090 -2.67 0.00379 -3.56 0.00019 -3.11 0.00094 -2.66 0.00391



166


dzezF

z

z 2

2

2

1

z F(z) z F(z) z F(z)

-2.65 0.00402 -2.20 0.01390 -1.75 0.04006 -2.64 0.00415 -2.19 0.01426 -1.74 0.04093 -2.63 0.00427 -2.18 0.01463 -1.73 0.04182 -2.62 0.00440 -2.17 0.01500 -1.72 0.04772 -2.61 0.00453 -2.16 0.01539 -1.71 0.04363

-2.60 0.00466 -2.15 0.01578 -1.70 0.04457 -2.59 0.00480 -2.14 0.01618 -1.69 0.04551 -2.58 0.00494 -2.13 0.01659 -1.68 0.04648 -2.57 0.00508 -2.12 0.01700 -1.67 0.04746 -2.56 0.00523 -2.11 0.01743 -1.66 0.04846

-2.55 0.00539 -2.10 0.01786 -1.65 0.04947 -2.54 0.00554 -2.09 0.01831 -1.64 0.05050 -2.53 0.00520 -2.08 0.01876 -1.63 0.05155 -2.52 0.00587 -2.07 0.01923 -1.62 0.05262 -2.51 0.00604 -2.06 0.01970 -1.61 0.05370

-2.50 0.00621 -2.05 0.02018 -160 0.05480 -2.49 0.00639 -2.04 0.02068 -1.59 0.05592 -2.48 0.00657 -2.03 0.02118 -1.58 0.05705 -2.47 0.00676 -2.02 0.02169 -1.57 0.05821 -2.46 0.00695 -2.01 0.02222 -1.56 0.05938

-2.45 0.00714 -2.00 0.02275 -1.55 0.06057 2.44 0.00734 -1.99 0.02330 -1.54 0.06179 2.43 0.00755 -1.98 0.02385 -1.53 0.06301 -2.42 0.00776 -1.97 0.02442 -1.52 0.06426 -2.41 0.00798 -1.96 0.02500 -1.51 0.06552

-2.40 0.00820 -1.95 0.02569 -1.50 0.06681 -2.39 0.00842 -1.94 0.02619 -1.49 0.06811 -2.38 0.00866 -1.93 0.02680 -1.48 0.06944 -2.37 0.00889 -1.92 0.02745 -1.47 0.07078 -2.36 0.00914 -1.91 0.02807 -1.46 0.07215

-2.35 0.00939 -1.90 0.02872 -1.45 0.07353 -2.34 0.00940 -1.89 0.02938 -1.44 0.07493 -2.33 0.00990 -1.88 0.03005 -1.43 0.07636 -2.32 0.01017 -1.87 0.03074 -1.42 0.07780 -2.31 0.01044 -1.86 0.03144 -1.41 0.07927

-2.30 0.01072 -1.85 0.03216 -1.40 0.08076 -2.29 0.01101 -1.84 0.03288 -1.39 0.08226 -2.28 0.01130 -1.83 0.03362 -1.38 0.08379 -2.27 0.01160 -1.82 0.03438 -1.37 0.08534 -2.26 0.01191 -1.81 0.03515 -1.36 0.08691

-2.25 0.01222 -1.80 0.03593 -1.35 0.08851 -2.24 0.01255 -1.79 0.03673 -1.34 0.09012 -2.23 0.01287 -1.78 0.03754 -1.33 0.09176 -2.22 0.01321 -1.77 0.03836 -1.32 0.09342 -2.21

0.01355

-1.76

0.03920

-1.31

0.09510



167


dzezF

z

z 2

2

2

1


-1.30 0.09680 -0.85 0.19766 -0.40 0.34458 -1.29 0.09853 -0.84 0.20045 -0.39 0.34827 -1.28 0.10027 -0.83 0.20327 -0.38 0.35197 -1.2 0.10204 -0.82 0.20611 -0.37 0.35569

-1.26 0.10383 -0.81 0.20897 -0.36 0.35942

-1.25 0.10565 -0.80 0.21186 -0.35 0.36317 -1.24 0.10749 -0.79 0.21476 -0.34 0.36693 -1.23 0.10935 -0.78 0.21770 -0.33 0.37070 -1.22 0.11123 -0.77 0.22065 -0.32 0.37448 -1.21 0.11314 -0.76 0.22363 -0.31 0.37828

-1.20 0.11507 -0.75 0.22663 -0.30 0.38209 -1.19 0.11702 -0.74 0.22965 -0.29 0.38591 -1.18 0.11900 -0.73 0.23270 -0.28 0.38974 -1.17 0.12100 -0.72 0.23576 -0.27 0.39358 -1.16 0.12302 -0.71 0.23885 -0.26 0.39743

-1.15 0.12507 -0.70 0.24196 -0.25 0.40129 -1.14 0.12714 -0.69 0.24510 -0.24 0.40517 -1.13 0.12924 -0.68 0.24825 -0.23 0.40905 -1.12 0.13136 -0.67 0.25143 -0.22 0.41294 -1.11 0.13350 -0.66 0.25463 -0.21 0.41683

-1.10 0.13567 -0.65 0.25785 -0.20 0.42074 -1.09 0.13786 -0.64 0.26109 -0.19 0.42465 -1.08 0.14007 -0.63 0.26435 -0.18 0.42858 -1.07 0.14231 -0.62 0.26763 -0.17 0.43251 -1.06 0.14457 -0.61 0.27093 -0.16 0.43644

-1.05 0.14686 -0.60 0.27425 -0.15 0.44038 -1.04 0.14917 -0.59 0.27760 -0.14 0.44433 -1.03 0.15150 -0.58 0.28096 -0.13 0.44828 -1.02 0.15386 -0.57 0.28434 -0.12 0.45224 -1.01 0.15625 -0.56 0.28774 -0.11 0.45620

-1.00 0.15866 -0.55 0.29116 -0.10 0.46017 -0.99 0.16109 -0.54 0.29460 -0.09 0.46414 -0.98 0.16354 -0.53 0.29806 -0.08 0.46812 -0.97 0.16602 -0.52 0.30153 -0.07 0.47210 -0.96 0.16853 -0.51 0.30503 -0.06 0.47608

-0.95 0.17106 -0.50 0.30854 -0.05 0.48006 -0.94 0.17361 -0.49 0.31207 -0.04 0.48805 -0.93 0.17619 -0.48 0.31561 -0.03 0.48803 -0.92 0.17879 -0.47 0.31918 -0.02 0.49202 -0.91 0.18141 -0.46 0.32276 -0.01 0.49601

-0.90 0.18406 -0.45 0.32636 0.00 0.50000 -0.89 0.18673 -0.44 0.32997 0.01 0.50399 -0.88 0.18943 -0.43 0.33360 0.02 0.50798 -0.87 0.19215 -0.42 0.33724 0.03 0.51197 -0.86

0.19489

-0.41

0.34090

0.04

0.51595



168


dzezF

z

z 2

2

2

1


0.05 0.51994 0.50 0.69146 0.95 0.82894 0.06 0.52392 0.51 0.69497 0.96 0.83147 0.07 0.52790 0.52 0.69847 0.97 0.83398 0.08 0.53188 0.53 0.70194 0.98 0.83646 0.09 0.53586 0.54 0.70540 0.99 0.83891

0.10 0.53983 0.55 0.70884 1.00 0.84134 0.11 0.54380 0.56 0.12260 1.01 0.84375 0.12 0.54776 0.57 0.71566 1.02 0.84614 0.13 0.55172 0.58 0.71904 1.03 0.84850 0.14 0.55561 0.59 0.72240 1.04 0.85083

0.15 0.55962 0.60 0.72575 1.05 0.85314 0.16 0.56356 0.61 0.72907 1.06 0.85543 0.17 0.56749 0.62 0.73237 1.07 0.85769 0.18 0.57142 0.63 0.73565 1.08 0.85993 0.19 0.57535 0.64 0.73891 1.09 0.86214

0.20 0.57926 0.65 0.74215 1.10 0.86433 0.21 0.58317 0.66 0.74537 1.11 0.86650 0.22 0.58706 0.67 0.74857 1.12 0.86864 0.23 0.59095 0.68 0.75175 1.13 0.87076 0.24 0.59483 0.69 0.75490 1.14 0.87286

0.25 0.59871 0.70 0.75804 1.15 0.87493 0.26 0.60257 0.71 0.76115 1.16 0.87698 0.27 0.60612 0.72 0.76424 1.17 0.87900 0.28 0.61026 0.73 0.76730 1.18 0.88100 0.29 0.61409 0.74 0.77035 1.19 0.88298

0.30 0.61791 0.75 0.77337 1.20 0.88493 0.31 0.62172 0.76 0.77637 1.21 0.88686 0.32 0.62552 0.77 0.77935 1.22 0.88877 0.33 0.62930 0.78 0.78230 1.23 0.89065 0.34 0.63307 0.79 0.78524 1.24 0.89251

0.35 0.63383 0.80 0.78814 1.25 0.89435 0.36 0.64058 0.81 0.79103 1.26 0.89617 0.37 0.64431 0.82 0.79389 1.27 0.89796 0.38 0.64803 0.83 0.79677 1.28 0.89973 0.39 0.65173 0.84 0.79955 1.29 0.90147

0.40 0.65542 0.85 0.80234 1.30 0.90320 0.41 0.65910 0.86 0.80511 1.31 0.90490 0.42 0.66276 0.87 0.80785 1.32 0.90658 0.43 0.66640 0.88 0.81057 1.33 0.90824 0.44 0.67003 0.89 0.81327 1.34 0.90988

0.45 0.67364 0.90 0.81594 1.35 0.91149 0.46 0.67724 0.91 0.81859 1.36 0.91309 0.47 0.68082 0.92 0.82121 1.37 0.91466 0.48 0.68439 0.93 0.82381 1.38 0.91621 0.49

0.68793

0.94

0.82639

1.39

0.91774



169


dzezF

z

z 2

2

2

1


1.40 0.91924 1.85 0.96784 2.30 0.98928 1.41 0.92030 1.86 0.96856 2.31 0.98956 1.42 0.92220 1.87 0.96926 2.32 0.98983 1.43 0.92364 1.88 0.96995 2.33 0.99010 1.44 0.92507 1.89 0.97706 2.34 0.99030

1.45 0.92647 1.90 0.97128 2.35 0.99061 1.46 0.92785 1.91 0.97193 2.36 0.99086 1.47 0.92922 1.92 0.97257 2.37 0.99111 1.48 0.93056 1.93 0.97320 2.38 0.99134 1.49 0.93189 1.94 0.97381 2.39 0.99158

1.50 0.93319 1.95 0.97441 2.40 0.99180 1.51 0.93443 1.96 0.97500 2.41 0.99202 1.52 0.93574 1.97 0.97558 2.42 0.99224 1.53 0.93699 1.98 0.97615 2.43 0.99245 1.54 0.93822 1.99 0.97670 2.44 0.99266

1.55 0.93943 2.00 0.97725 2.45 0.99286 1.56 0.94062 2.01 0.97778 2.46 0.99305 1.57 0.94179 2.02 0.97831 2.47 0.99324 1.58 0.94295 2.03 0.97882 2.48 0.99343 1.59 0.94408 2.04 0.97932 2.49 0.99361

1.60 0.94520 2.05 0.97982 2.50 0.99379 1.61 0.94630 2.06 0.98030 2.51 0.99396 1.62 0.94738 2.07 0.98077 2.52 0.99413 1.63 0.94845 2.08 0.98124 2.53 0.99430 1.64 0.94950 2.09 0.98169 2.54 0.99446

1.65 0.95053 2.10 0.98214 2.55 0.99461 1.66 0.95154 2.11 0.98257 2.56 0.99477 1.67 0.95254 2.12 0.98300 2.57 0.99492 1.68 0.95352 2.13 0.98341 2.58 0.99506 1.69 0.95449 2.14 0.98382 2.59 0.99520

1.70 0.95543 2.15 0.98422 2.60 0.99534 1.71 0.95637 2.16 0.98461 2.61 0.99547 1.72 0.95728 2.17 0.98500 2.62 0.99560 1.73 0.95818 2.18 0.98537 2.63 0.99573 1.74 0.95907 2.19 0.98574 2.64 0.99585

1.75 0.95994 2.20 0.98610 2.65 0.99598 1.76 0.96080 2.21 0.98645 2.66 0.99609 1.77 0.96164 2.22 0.98679 2.67 0.99621 1.78 0.96246 2.23 0.98713 2.68 0.99632 1.79 0.96327 2.24 0.98745 2.69 0.99643

1.80 0.96407 2.25 0.98778 2.70 0.99653 1.81 0.96485 2.26 0.98809 2.71 0.99664 1.82 0.96562 2.27 0.98840 2.72 0.99674 1.83 0.96638 2.28 0.98870 2.73 0.99683 1.84 0.96771 2.29 0.98899 2.74 0.99693



170


dzezF

z

z 2

2

2

1


2.75 0.99702 3.20 0.99931 3.65 0.99987 2.76 0.99711 3.21 0.99934 3.66 0.99987 2.77 0.99720 3.22 0.99936 3.67 0.99988 2.78 0.99728 3.23 0.99938 3.68 0.99988 2.79 0.99736 3.24 0.99940 3.69 0.99989

2.80 0.99744 3.25 0.99942 3.70 0.99989 2.81 0.99752 3.26 0.99944 3.71 0.99990 2.82 0.99760 3.27 0.99946 3.72 0.99990 2.83 0.99767 3.28 0.99948 3.73 0.99990 2.84 0.99774 3.29 0.99950 3.74 0.99991

2.85 0.99781 3.30 0.99952 3.75 0.99991 2.86 0.99788 3.31 0.99953 3.76 0.99992 2.87 0.99795 3.32 0.99955 3.77 0.99992 2.88 0.99801 3.33 0.99957 3.78 0.99992 2.89 0.99807 3.34 0.99958 3.79 0.99992

2.90 0.99813 3.35 0.99960 3.80 0.99993 2.91 0.99819 3.36 0.99961 3.81 0.99993 2.92 0.99825 3.37 0.99962 3.82 0.99993 2.93 0.99831 3.38 0.99964 3.83 0.99994 2.94 0.99836 3.39 0.99965 3.84 0.99994

2.95 0.99841 3.40 0.99966 3.85 0.99994 2.96 0.99846 3.41 0.99968 3.86 0.99994 2.97 0.99851 3.42 0.99969 3.87 0.99995 2.98 0.99856 3.43 0.99970 3.88 0.99995 2.99 0.99861 3.44 0.99971 3.89 0.99995

3.00 0.99865 3.45 0.99972 3.90 0.99995 3.01 0.99869 3.46 0.99973 3.91 0.99995 3.02 0.99874 3.47 0.99974 3.92 0.99996 3.03 0.99878 3.48 0.99975 3.93 0.99996 3.04 0.99882 3.49 0.99976 3.94 0.99996

3.05 0.99989 3.50 0.99977 3.95 0.99996 3.06 0.99889 3.51 0.99978 3.96 0.99996 3.07 0.99893 3.52 0.99978 3.97 0.99996 3.08 0.99897 3.53 0.99979 3.98 0.99997 3.09 0.99900 3.54 0.99980 3.99 0.99997

3.10 0.99903 3.55 0.99981 4.00 0.99997 3.11 0.99906 3.56 0.99981 3.12 0.99910 3.57 0.99982 3.13 0.99913 3.58 0.99983 3.14 0.99916 3.59 0.99983

3.15 0.99918 3.60 0.99984 3.16 0.99921 3.61 0.99985 3.17 0.99924 3.62 0.99985 3.18 0.99926 3.63 0.99986 3.19 0.99929 3.64 0.99986



171

APÉNDICE Nº 5 DISTRIBUCIÓN ACUMULATIVA t

n p

0.75 0.8 0.85 0.9 0.95 0.975 0.99 0.995 0.9995

1 1.0005 1.376 1.963 3.078 6.314 12.706 31.821 63.657 636.619

2 0.816 1.071 1.386 1.836 2.920 4.303 6.965 9.925 31.598

3 0.765 0.978 1.250 1.638 2.353 3.182 4.541 5.841 12.941

4 0.741 0.941 1.190 1.533 2.132 2.776 3.747 4.604 8.610

5 0.727 0.920 1.156 1.476 2.015 2.571 3.365 4.032 6.850

6 0.718 0.906 1.134 1.440 1.943 2.447 3.143 3.707 5.959

7 0.711 0.896 1.119 1.415 1.895 2.365 2.998 3.449 5.405

8 0.706 0.889 1.108 1.397 1.860 2.306 2.896 3.355 5.041

9 0.703 0.883 1.100 1.383 1.833 2.262 2.821 3.250 4.781

10 0.700 0.879 1.093 1.372 1.812 2.228 2.764 3.169 4.587

11 0.697 0.876 1.088 1.363 1.796 2.201 2.718 3.106 4.437

12 0.695 0.873 1.083 1.356 1.782 2.179 2.681 3.055 4.318

13 0.694 0.870 1.079 1.350 1.771 2.160 2.650 3.012 4.221

14 0.692 0.868 1.076 1.345 1.761 2.145 2.624 2.977 4.140

15 0.691 0.866 1.074 1.341 1.753 2.131 2.602 2.947 4.073

16 0.690 0.866 1.071 1.337 1.746 2.120 2.584 2.921 4.015

17 0.689 0.863 1.069 1.333 1.740 2.110 2.567 2.898 3.969

18 0.688 0.862 1.067 1.330 1.734 2.101 2.552 2.878 3.922

19 0.688 0.861 1.066 1.328 1.729 2.093 2.540 2.861 3.883

20 0.687 0.860 1.064 1.325 1.725 2.086 2.528 2.845 3.850

21 0.686 0.859 1.063 1.323 1.721 2.800 2.518 2.831 3.819

22 0.686 0.858 1.061 1.321 1.717 2.074 2.508 2.819 3.792

23 0.685 0.858 1.060 1.319 1.714 2.069 2.500 2.807 3.767

24 0.685 0.857 1.059 1.318 1.711 2.064 2.492 2.797 3.745

25 0.684 0.856 1.058 1.316 1.708 2.060 2.485 2.787 3.725

26 0.684 0.856 1.058 1.315 1.706 2.056 2.477 2.779 3.707

27 0.684 0.855 1.057 1.314 1.703 2.052 2.473 2.771 3.690

28 0.683 0.855 1.056 1.313 1.701 2.048 2.467 2.763 3.674

29 0.683 0.854 1.055 1.311 1.699 2.047 2.462 2.756 3.659

30 0.683 0.854 1.055 1.310 1.697 2.042 2.457 2.750 3.646

35 0.682 0.852 1.052 1.306 1.690 2.030 2.438 2.724 3.591

40 0.681 0.851 1.050 1.303 1.684 2.021 2.423 2.704 3.551

45 0.680 0.850 1.048 1.301 1.680 2.014 2.412 2.690 3.520

50 0.680 0.849 1.047 1.299 1.676 2.008 2.403 2.698 3.496

55 0.679 0.849 1.047 1.297 1.673 2.004 2.396 2.669 3.476

60 0.679 0.848 1.046 1.296 1.671 2.000 2.390 2.600 3.460

70 0.678 0.847 1.045 1.294 1.667 1.944 2.381 2.648 3.435

80 0.678 0.847 1.044 1.293 1.665 1.990 2.374 2.638 3.416

90 0.678 0.846 1.043 1.291 1.662 1.987 2.368 2.632 3.402

100 0.677 0.846 1.042 1.290 1.661 1.984 2.364 2.626 3.390

200 0.676 0.844 1.039 1.286 1.653 1.972 2.445 2.601 3.340

300 0.676 0.843 1.038 1.285 1.650 1.968 2.437 2.592 3.323

400 0.676 0.843 1.038 1.284 1.649 1.966 2.434 2.588 3.315

500 0.676 0.843 1.037 1.284 1.648 1.965 2.432 2.586 3.310

1000 0.675 0.842 1.037 1.283 1.647 1.962 2.427 2.581 3.301

0.67449 0.84162 1.03643 1.28155 1.64485 1.95996 2.32630 2.57582 3.29053



172

APÉNDICE Nº 6

DISTRIBUCIÓN ACUMULATIVA Ji -CUADRADA

n p

0.0005 0.001 0.005 0.01 0.025 0.05 0.1 0.2 0.3 0.4

1 0.06393 0.05157 0.04393 0.03157 0.02982 0.01393 0.0158 0.0642 0.148 0.275

2 0.02100 0.01200 0.0100 0.0201 0.0506 0.103 0.211 0.446 0.713 1.02

3 0.0153 0.0243 0.0717 0.115 0.216 0.352 0.584 1.00 1.42 1.87

4 0.0636 0.0908 0.207 0.297 0.484 0.711 1.06 1.65 2.19 2.75

5 0.158 0.210 0.412 0.554 0.831 1.15 1.61 2.34 3.00 3.66

6 0.299 0.381 0.676 0.872 1.24 1.64 2.20 3.07 3.83 4.57

7 0.485 0.598 0.989 1.24 1.69 2.17 2.83 3.82 4.67 5.49

8 0.710 0.857 1.34 1.65 2.18 2.73 3.49 4.59 5.53 6.42

9 0.972 1.15 1.73 2.09 2.70 3.33 4.17 5.38 6.39 7.36

10 1.26 1.48 2.16 2.56 3.25 3.94 4.87 6.18 7.27 8.30

11 1.59 1.83 2.60 3.05 3.82 4.57 5.58 6.99 8.15 9.24

12 1.93 2.21 3.07 3.57 4.40 5.23 6.30 7.81 9.03 10.2

13 2.31 2.62 3.57 4.11 5.01 5.89 7.04 8.63 9.93 11.1

14 2.70 3.04 4.07 4.66 5.63 6.57 7.79 9.47 10.8 12.1

15 3.11 3.48 4.60 5.23 6.26 7.26 8.55 10.3 11.7 13.0

16 3.54 3.94 5.14 5.81 6.91 7.96 9.31 11.2 12.6 14.0

17 3.98 4.42 5.70 6.41 7.56 8.67 10.1 12.0 13.5 14.9

18 4.44 4.90 6.26 7.01 8.23 9.39 10.9 12.9 14.4 15.9

19 4.91 5.41 6.84 7.63 8.91 10.1 11.7 13.7 15.4 16.9

20 5.40 5.92 7.43 8.26 9.50 10.9 12.4 14.6 16.3 17.8

21 5.90 6.45 8.03 8.90 10.3 11.6 13.2 15.4 17.2 18.8

22 6.40 6.98 8.64 9.54 11.0 12.3 14.0 16.3 18.1 19.7

23 6.92 7.53 9.26 10.2 11.7 13.1 14.8 17.2 19.0 20.7

24 7.45 8.08 9.89 10.9 12.4 13.8 15.7 18.1 19.9 21.7

25 7.99 8.65 10.5 11.5 13.1 14.6 16.5 18.9 20.9 22.6

26 8.54 9.22 11.2 12.2 13.8 15.4 17.3 19.8 21.8 23.6

27 9.09 9.80 11.8 12.9 14.6 16.2 18.1 20.7 22.7 24.5

28 9.66 10.4 12.5 13.6 15.3 16.9 18.0 21.6 23.6 25.5

29 10.2 11.0 13.1 14.3 16.0 17.7 19.8 22.5 24.6 26.5

30 10.8 11.6 13.8 15.0 16.8 18.5 20.6 23.4 25.5 27.4

31 11.4 12.2 14.5 15.7 17.5 19.3 21.4 24.3 26.4 28.4

32 12.0 12.8 15.1 16.4 18.3 20.1 22.3 25.1 27.4 29.4

33 12.6 13.4 15.8 17.1 19.0 20.9 23.5 26.0 28.3 30.3

34 13.2 14.1 16.5 17.8 19.8 21.7 24.0 26.9 29.2 31.3

35 13.8 14.7 17.2 18.5 20.6 22.5 24.8 27.8 30.2 32.3

36 14.4 15.3 17.9 19.2 21.3 23.3 25.6 28.7 31.1 33.3

37 15.0 16.0 18.6 20.0 22.1 24.1 26.5 29.6 32.1 34.2

38 15.6 16.6 19.3 20.7 22.9 24.9 27.3 30.5 33.0 35.2

39 16.3 17.3 20.0 21.4 23.7 25.7 28.2 31.4 33.0 36.2

40 16.9 17.9 20.7 22.2 24.4 26.5 29.1 32.3 34.9 37.1

41 17.5 18.6 21.4 22.9 25.2 27.3 29.9 33.3 35.8 38.1

42 18.2 19.2 22.1 23.7 26.0 28.1 30.8 34.2 36.8 39.1

43 18.8 19.9 22.9 24.4 26.8 29.0 31.6 35.1 36.7 40.0

44 19.5 20.6 23.6 25.1 27.6 29.8 32.5 36.0 38.6 41.0

45 20.1 21.3 24.3 25.9 28.4 30.6 33.4 36.9 39.6 42.0

46 20.8 21.9 25.0 26.7 29.2 31.4 34.2 37.8 40.5 43.0

47 21.5 22.6 25.8 27.4 30.0 32.3 35.1 38.7 41.5 43.9

48 22.1 23.3 26.5 28.2 30.8 33.1 35.9 39.6 42.4 44.9

49 22.8 24.0 27.2 28.9 31.6 33.9 36.8 40.5 43.4 45.9

50 23.5 24.7 28.0 29.7 32.4 34.8 37.7 41.4 44.3 46.9

0.06393 = 0.393 x 10

-6 = 0.000000393

0 2

)(nx



173


n p

0.50 0.60 0.70 0.80 0.90 0.95 0.975 0.99 0.995 0.999 0.9995

1 0.455 0.708 1.07 1.64 2.71 3.84 5.02 6.63 7.88 10.8 12.1

2 1.39 1.83 2.41 3.22 4.61 5.99 7.38 9.21 10.6 13.8 15.2

3 2.37 2.95 3.67 4.64 6.25 7.81 9.35 11.3 12.8 16.3 17.7

4 3.36 4.04 4.88 5.99 7.78 9.49 11.1 13.3 14.9 18.5 20.0

5 4.36 5.13 6.06 7.29 9.24 11.1 12.8 15.1 16.7 20.5 22.1

6 5.35 6.21 7.23 8.56 10.6 12.6 14.4 16.8 18.5 22.5 24.1

7 6.35 7.28 8.38 9.8 12.0 14.1 16.0 18.5 20.3 24.3 26.0

8 7.34 8.35 9.52 11.9 13.4 15.5 17.5 20.1 22.0 26.1 27.9

9 8.34 9.41 10.7 12.2 14.7 16.9 19.0 21.7 23.6 27.9 29.7

10 9.34 10.5 11.8 13.4 16.0 18.3 20.5 23.2 25.2 29.6 31.4

11 10.3 11.5 12.9 14.6 17.3 19.7 21.9 24.7 26.8 31.3 33.1

12 11.3 12.6 14.4 15.8 18.5 21.0 23.3 26.2 28.3 32.9 34.8

13 12.3 13.6 15.1 17.0 19.8 22.4 24.7 27.7 29.8 34.5 36.5

14 13.3 14.7 16.2 18.2 21.1 23.7 26.1 29.1 31.3 36.1 38.1

15 14.3 15.7 17.3 19.3 22.3 25.0 27.5 30.6 32.8 37.7 39.7

16 15.3 16.8 18.4 20.5 23.5 26.3 28.8 32.0 34.3 39.3 41.3

17 16.3 17.8 19.5 21.6 24.8 27.6 30.2 33.4 35.7 40.8 42.9

18 17.3 18.9 20.6 22.8 26.0 28.9 31.5 34.8 37.2 42.3 44.4

19 18.3 19.9 21.7 23.9 27.2 30.1 32.9 36.2 38.6 43.8 46.0

20 19.3 21.0 22.8 25.0 28.4 31.4 34.2 37.2 40.0 45.3 47.5

21 20.3 22.0 23.9 26.2 29.6 32.7 35.5 38.9 41.4 46.8 49.0

22 21.3 23.0 24.9 27.3 30.8 33.9 36.8 40.3 42.8 48.3 50.5

23 22.3 24.1 26.0 28.4 32.0 35.2 38.1 41.6 44.2 49.7 52.0

24 23.3 25.1 27.1 29.6 33.2 36.4 39.4 43.0 45.6 51.2 53.5

25 24.3 26.1 28.2 30.7 34.4 37.7 40.6 44.3 46.9 52.6 54.9

26 25.3 27.2 29.2 31.8 35.6 38.9 41.9 45.6 48.3 54.1 56.4

27 26.3 28.2 30.3 32.9 36.7 40.1 43.2 47.0 49.6 55.5 57.9

28 27.3 29.2 31.4 34.0 37.9 41.3 44.5 48.3 51.0 56.9 59.3

29 28.3 30.3 32.5 35.1 39.1 42.6 45.7 49.6 52.3 58.3 60.7

30 29.3 31.3 33.5 36.3 40.3 43.8 47.0 50.9 53.7 59.7 62.2

31 30.3 32.3 34.6 37.4 41.4 45.0 48.2 52.2 55.0 61.1 63.6

32 31.3 33.4 35.7 38.5 42.6 46.2 49.5 53.5 56.3 62.5 65.0

33 32.3 34.4 36.7 39.6 43.7 47.4 50.7 54.8 57.6 63.9 66.4

34 33.3 35.4 37.8 40.7 44.9 48.6 52.0 56.1 59.0 65.2 67.8

35 34.3 36.5 38.9 41.8 46.1 49.8 53.2 57.3 60.3 66.6 69.2

36 35.3 37.5 39.9 42.9 47.2 51.0 54.4 58.6 61.6 68.0 70.6

37 36.3 38.5 41.0 44.0 48.4 52.2 55.7 59.9 62.9 69.3 72.0

38 37.3 39.6 42.0 45.1 49.5 53.4 56.9 61.2 64.2 70.7 73.4

39 38.3 40.6 43.1 46.2 50.7 54.6 58.1 62.4 65.5 72.1 74.7

40 39.3 41.6 44.2 47.3 51.8 55.8 59.3 63.7 66.8 73.4 76.1

41 40.3 42.7 45.2 48.4 52.9 56.9 60.6 65.0 68.1 74.7 77.5

42 41.3 43.7 46.3 49.5 54.1 58.1 61.8 66.2 69.3 76.1 78.8

43 42.3 44.7 47.3 50.5 55.2 59.3 63.0 67.5 70.6 77.4 80.2

44 43.3 45.7 48.4 51.6 56.4 60.5 64.2 68.7 71.9 78.7 81.5

45 44.3 46.8 49.5 52.7 57.5 61.7 65.4 70.0 73.2 80.1 82.9

46 45.3 47.8 50.5 53.8 58.6 62.8 66.6 71.2 74.4 81.4 84.2

47 46.3 48.8 51.6 54.9 59.8 54.0 67.8 72.4 75.7 82.7 85.6

48 47.3 49.8 52.6 56.0 60.9 65.2 69.0 73.7 77.0 84.0 86.9

49 48.3 50.9 53.7 57.1 62.0 66.3 70.2 74.9 78.2 85.4 88.2

50 49.3 51.9 54.7 58.2 63.2 67.5 71.4 76.2 79.5 86.7 80.6

0 2

)(nx



174


n p

0.0005 0.001 0.005 0.01 0.025 0.05 0.1 0.2 0.3 0.4 0.5

51 24.1 25.4 28.7 30.5 32.2 35.6 38.6 42.4 45.3 47.8 50.3 52 24.8 26.1 29.5 31.2 34.0 36.4 39.4 43.3 46.2 48.8 51.3 53 25.5 26.8 30.2 32.0 34.8 37.3 40.3 44.2 47.2 49.8 52.3 54 26.2 27.5 31.0 32.8 35.6 38.1 41.2 45.1 48.1 50.8 53.3 55 26.9 28.2 31.7 33.6 36.4 39.0 42.1 46.0 49.1 51.7 54.3

56 27.6 28.9 32.5 34.3 37.2 39.8 42.9 47.0 50.0 52.7 55.2 57 28.2 29.6 33.2 35.1 38.0 40.6 43.8 47.9 51.0 53.7 56.3 58 28.9 30.3 34.0 35.9 38.8 41.5 44.7 48.8 51.9 54.7 57.3 59 29.6 31.0 34.8 36.7 39.7 42.3 45.6 49.7 52.9 55.6 58.3 60 30.3 31.7 35.5 37.5 40.5 43.2 46.5 50.6 53.8 56.6 59.3

61 31.0 32.5 36.3 38.3 41.3 44.0 47.3 51.6 54.8 57.6 60.3 62 31.7 33.2 37.1 39.1 42.1 44.9 48.2 52.5 55.7 58.6 61.3 63 32.5 33.8 37.8 39.9 43.0 45.7 49.1 53.4 56.7 59.6 62.3 64 33.2 34.6 38.6 40.6 43.8 46.6 50.0 54.3 57.6 60.5 63.3 65 33.9 35.4 39.4 41.4 44.6 47.4 50.9 55.3 58.6 61.5 64.3

66 34.6 36.1 40.2 42.2 45.4 48.3 51.8 56.2 59.5 62.5 65.3 67 35.3 36.8 40.9 43.0 46.3 49.2 52.7 57.1 60.5 63.5 66.3 68 36.0 38.6 41.7 43.8 47.1 50.0 53.5 58.0 61.4 64.4 67.3 69 36.7 38.3 42.5 44.6 47.9 50.9 54.4 59.0 62.4 65.4 68.3 70 37.5 39.0 43.3 45.4 48.8 51.7 55.3 59.9 63.3 66.4 69.3

71 38.2 39.8 44.1 46.2 49.6 52.6 56.2 60.8 64.3 67.4 70.3 72 38.9 40.5 44.8 47.1 50.4 53.5 57.1 61.8 65.3 68.4 71.3 73 39.6 41.3 45.3 47.9 51.3 54.3 58.0 62.7 66.2 69.3 72.3 74 40.4 42.0 46.4 48.7 52.1 55.2 58.9 63.6 67.2 70.3 73.3 75 41.1 42.8 47.2 49.5 52.9 56.1 59.8 64.5 68.1 71.3 74.3

76 41.8 43.5 48.0 50.3 53.8 56.9 60.7 65.5 69.1 72.3 75.3 77 42.6 44.3 48.8 51.1 54.6 57.8 61.6 66.4 70.0 73.2 76.3 78 43.3 45.0 49.6 51.9 55.5 58.7 62.5 67.3 71.0 74.2 77.3 79 44.1 45.8 50.4 52.7 56.3 59.5 63.4 68.3 72.0 75.2 78.3 80 44.8 56.5 51.2 53.5 57.2 60.4 64.3 69.2 72.9 76.2 79.3

81 45.5 47.3 52.0 54.4 58.0 61.3 65.2 70.1 73.9 77.2 80.3 82 46.3 48.0 52.8 55.2 58.8 62.1 66.1 71.1 74.8 78.1 81.3 83 47.0 48.8 53.6 56.0 59.7 63.0 67.0 72.0 75.8 79.1 82.3 84 47.8 49.6 54.4 56.8 60.5 63.9 67.9 72.9 76.8 80.1 83.3 85 48.5 50.3 55.2 57.6 61.4 64.7 69.8 73.9 77.7 81.1 84.3

86 49.3 51.1 56.0 58.5 62.2 65.6 69.7 74.8 78.7 82.1 85.3 87 50.0 51.9 56.8 59.3 63.1 66.5 90.6 75.7 79.6 83.0 86.3 88 50.8 52.6 57.6 60.1 63.9 67.4 71.5 76.7 80.6 84.0 87.3 89 51.5 53.4 58.4 60.9 64.8 68.2 72.4 77.6 81.6 85.0 88.3 90 52.3 54.2 59.2 61.8 65.6 69.1 73.3 78.6 82.5 86.0 89.3

91 53.0 54.9 60.0 62.6 66.5 70.0 74.2 79.5 83.5 87.0 90.3 92 53.8 55.7 60.8 63.4 67.4 70.9 75.1 80.4 84.4 88.0 91.3 93 54.5 56.5 61.6 64.2 68.2 71.8 76.0 81.4 85.4 88.9 92.3 94 55.3 57.2 62.4 65.1 69.1 72.6 76.9 82.3 86.4 89.9 93.3 95 56.1 58.0 63.2 65.9 69.9 73.5 77.8 83.2 87.3 90.9 94.3

96 56.8 58.8 94.1 66.7 70.8 74.4 78.7 84.2 88.3 91.9 95.3 97 57.6 59.6 64.9 67.6 71.6 75.3 79.6 85.1 89.2 92.9 96.3 98 58.4 60.4 65.7 68.4 72.5 76.2 80.5 86.1 90.2 93.8 97.3 99 59.1 61.1 66.5 69.2 73.4 77.0 81.4 87.0 91.2 94.8 98.3

100 59.9 61.9 67.3 70.1 74.2 77.9 82.4 87.9 92.1 95.8 99.3

0 2

)(nx



175


N p

0.60 0.70 0.80 0.90 0.95 0.975 0.99 0.995 0.999 0.9995

51 52.9 55.8 59.2 64.3 68.7 72.6 77.4 80.7 88.0 90.9

52 53.9 56.8 60.3 65.4 69.8 73.8 78.6 82.0 89.3 92.2

53 55.0 57.9 61.4 66.5 71.0 75.0 79.8 83.3 90.6 93.6

54 56.0 58.9 62.5 67.7 72.2 76.2 81.1 84.5 91.9 94.8

55 57.0 60.0 63.6 68.8 73.3 77.4 82.3 85.7 93.2 96.2

56 58.0 61.0 64.7 69.9 74.5 78.6 83.5 87.0 94.5 97.5

57 59.1 62.1 65.7 71.0 75.6 79.8 84.7 88.2 95.8 98.8

58 60.1 63.1 66.8 72.2 76.7 80.9 86.0 89.5 97.0 100.1

59 61.1 64.2 67.9 73.3 77.9 82.1 87.2 91.7 98.3 104.1

60 62.1 65.2 69.0 74.4 79.1 83.3 88.4 82.0 99.6 102.7

61 63.2 66.3 70.0 75.5 80.2 84.5 89.6 93.2 100.9 104.0

62 64.2 67.3 71.1 76.6 81.4 85.7 90.8 94.4 102.2 105.3

63 65.2 68.4 72.2 77.7 82.5 86.8 92.0 95.6 103.4 106.6

64 66.2 69.4 73.3 78.9 83.7 88.0 93.2 96.9 104.7 107.9

65 67.2 70.5 74.4 80.0 84.8 89.2 94.4 98.1 106.0 109.2

66 68.3 71.5 75.4 84.1 86.0 90.3 95.6 99.3 107.3 110.5

67 69.3 72.6 76.5 82.2 87.1 91.5 96.8 100.6 108.5 111.7

68 70.3 73.6 77.6 83.3 88.3 92.7 98.0 101.8 109.8 113.0

69 71.3 74.6 78.6 84.4 89.4 93.9 99.2 103.0 111.1 114.3

70 72.4 75.7 79.7 85.5 90.5 95.0 100.4 104.2 112.3 116.6

71 73.4 76.7 80.8 86.6 91.7 96.2 101.6 105.4 113.6 116.9

72 74.4 77.8 81.9 87.7 92.8 97.4 102.8 106.6 114.8 119.1

73 75.4 78.8 82.9 88.8 93.9 98.5 104.0 107.9 116.1 119.4

74 76.4 79.9 84.0 90.0 95.1 99.7 105.2 109.1 117.3 120.7

75 77.5 80.9 85.4 91.1 96.2 100.8 106.4 110.3 118.6 121.9

76 78.5 82.0 86.1 92.2 97.4 102.0 107.6 11.5 119.9 123.2

77 79.5 83.0 87.2 93.3 98.5 103.2 108.8 112.7 121.1 124.5

78 80.5 84.0 88.3 94.4 99.6 104.3 112.0 113.9 122.3 126.7

79 81.5 85.1 89.3 95.5 100.7 105.5 111.1 115.1 123.6 127.0

80 82.6 86.1 90.4 96.6 101.9 106.6 112.3 116.3 124.8 128.3

81 83.6 87.2 91.5 97.7 103.0 107.8 113.5 117.5 126.1 129.5

82 84.6 88.2 92.5 98.8 104.1 108.9 114.7 118.7 127.3 130.8

83 85.6 89.2 93.6 99.9 105.3 110.1 115.9 119.9 128.6 132.0

84 86.6 90.3 94.7 101.0 106.4 111.2 117.1 121.1 129.8 133.3

85 87.7 91.3 95.7 102.1 107.5 112.4 118.2 122.3 131.0 134.5

86 88.7 92.4 96.8 103.2 108.6 113.4 119.4 123.5 132.3 135.8

87 89.7 93.4 97.9 104.3 109.8 114.7 120.6 124.7 133.5 137.0

88 90.7 94.4 98.9 105.4 110.9 115.8 121.8 125.9 134.7 138.3

89 91.7 95.5 100.0 106.5 112.0 117.0 122.9 127.1 136.0 1389.5

90 92.8 96.5 101.1 107.6 113.1 118.1 124.1 128.3 137.2 140.8

91 93.8 97.6 102.1 108.7 114.3 119.3 125.3 129.5 138.4 142.9

92 94.8 98.6 103.2 109.8 115.4 120.4 126.5 130.7 139.7 143.3

93 95.8 99.6 104.2 110.9 116.5 121.6 128.6 131.9 140.9 144.5

94 96.8 100.7 105.3 111.9 117.6 122.7 128.8 133.1 142.1 145.8

95 97.9 101.7 106.4 113.0 118.8 123.9 130.0 134.2 143.3 147.0

96 98.9 102.8 107.4 114.1 119.9 125.0 131.1 135.4 144.6 148.2

97 99.9 103.8 108.5 115.2 121.0 126.1 132.3 136.6 145.8 149.5

98 100.9 104.8 109.5 116.3 122.1 127.3 133.5 137.8 147.0 150.7

99 101.9 105.9 110.6 117.4 123.2 128.4 134.6 139.0 148.2 151.9

100 102.9 106.9 111.7 118.5 124.3 129.6 135.8 140.2 149.4 153.2

0 2

)(nx



176

APÉNDICE Nº 7

DISTRIBUCIÓN ACUMULATIVA F

V2 V1 P

1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12

1 .0005 .06 62 .03 50 .02 38 .02 94 .016 .022 .027 .032 .036 .039 .042 .045

.001 .05 25 .02 10 .02 60 .013 .021 .028 .034 .039 0.44 0.48 .051 .054

.005 .04 62 .02 51 .018 .032 .044 .054 .062 .068 .073 .078 0.82 .085

.010 .03 25 .010 .029 .047 .062 .073 .082 .039 .095 .100 .104 .107

.025 .02 15 .026 .057 .082 .100 .113 .124 .132 .139 .144 .149 .153

.05 .02 62 .054 .099 .130 .151 .167 .179 .188 .195 .201 .207 .211

.10 .025 .117 .181 .220 .246 .265 .279 .289 .298 .304 .310 .315

.25 .172 .389 .494 .553 .591 .617 .637 .650 .661 .670 .680 .684

.50 1.00 1.50 1.71 1.82 1.89 1.94 1.98 2.00 2.03 2.04 2.05 2.07

.75 5.83 7.50 8.20 8.58 8.82 8.98 9.10 9.19 9.26 9.32 9.36 9.41

.90 39.9 49.5 53.6 55.8 57.2 58.2 58.9 59.4 59.9 60.2 60.5 60.7

.95 161 200 216 225 230 234 237 239 241 242 243 244

.975 648 800 864 900 922 937 948 957 963 969 973 977

.99 4051 5001 5401 5621 5761 5861 5931 5981 6021 6061 6081 6111

.995 1622 2002 2162 2252 2312 2342 2372 2392 2412 2422 2432 2442

.999 4063 5003 5403 5623 5763 5863 5933 5983 6023 6063 6093 6113

.9995 1624 2004 2164 2254 2314 2344 2374 2394 2414 2424 2434 2444

2 .0005 .06 50 .03 50 .02 42 .011 .020 .029 .037 .044 .050 .056 .061 .065

.001 .05 20 .02 10 .02 68 .016 .027 .037 .046 .054 .061 .068 .072 .077

.005 .04 50 .02 50 .020 .038 .055 .069 .081 .091 .099 .106 .112 .118

.010 .03 20 .010 .032 .056 .075 .092 .105 .116 .125 .132 .139 .144

.025 .02 15 .026 .062 0.94 .119 .138 .153 .165 .175 .183 .190 .196

.05 .02 50 .053 .105 .144 .173 .194 .211 .224 .235 .244 .251 .257

.10 .020 .111 .183 .231 .265 .289 .307 .321 .333 .342 .350 .356

.25 .133 .333 .439 .500 .540 .568 .588 .604 .616 .626 .633 .641

.50 .667 1.00 1.13 1.21 1.28 1.28 1.30 1.32 1.33 1.34 1.35 1.36

.75 2.57 3.00 3.15 3.23 3.28 3.31 3.34 3.35 3.37 3.38 3.39 3.39

.90 8.53 9.00 9.16 9.24 9.29 9.33 9.35 9.37 9.38 9.39 9.40 9.41

.95 18.5 19.0 19.2 19.2 19.3 19.3 19.4 19.4 19.4 19.4 19.4 19.4

.975 38.5 39.0 39.2 39.2 39.3 39.3 39.4 39.4 39.4 39.4 39.4 39.4

.99 98.5 99.0 99.2 99.2 99.3 99.3 99.4 99.4 99.4 99.4 99.4 99.4

.995 198 199 199 199 199 199 199 199 199 199 199 199

.999 998 999 999 999 999 999 999 999 999 999 999 999

.9995 2001 2001 2001 2001 2001 2001 2001 2001 2001 2001 2001 2001

3 .0005 .06 46 .03 50 .02 44 .012 .023 .033 .043 .052 .060 .067 .074 .079

.001 .05 19 .02 10 .02 71 .018 .030 .042 .053 .063 .072 .079 .086 .093

.005 .04 46 .0250 .021 0.41 .060 .077 .092 .104 .115 .124 .132 .138

.010 .03 19 .010 .034 .060 .083 .102 .118 .132 .143 .153 .161 .168

.025 .02 12 .026 .065 .100 .129 .152 .170 .185 .197 .207 .216 .224

.05 .02 46 .052 .0108 .152 .185 .240 .230 .246 .259 .270 .279 .287

.10 .019 .109 .185 .239 .276 .304 .325 .342 .356 .367 .376 .384

.25 .122 .317 .424 .489 .531 .561 .582 .600 .613 .624 .633 .641

.50 .585 .881 1.00 1.06 1.10 1.13 1.15 1.16 1.17 1.18 1.19 1.20

.75 2.02 2.28 2.36 2.39 2.41 2.42 2.43 2.44 2.44 2.44 2.45 2.45

.90 5.54 5.46 5.39 5.34 5.31 5.28 5.27 5.25 5.24 5.23 5.22 5.22

.95 10.1 9.55 9.28 9.12 9.01 8.94 8.89 8.85 8.81 8.79 8.76 8.74

.975 17.4 16.0 15.4 15.1 14.9 14.7 14.6 14.5 14.5 14.4 14.4 14.3

.99 34.1 30.8 29.5 28.7 28.2 27.9 27.7 27.5 27.3 27.2 27.1 27.1

.995 55.6 49.8 47.5 46.2 45.4 44.8 44.4 44.1 43.9 43.7 43.5 43.4

.999 167 149 141 137 135 133 132 131 130 129 129 128

.9995 266 237 225 218 214 211 209 208 207 206 204 204

.0662 = 0.62 x 10

-6 = 0.00000062

),( 21 VVF



177


V2 V1 P

15 20 24 30 40 50 60 100 120 200 500

1 .0005 .051 .058 .062 .066 .069 .072 .074 .077 .078 .080 .081 .083

.001 .060 .067 .071 .075 .079 .082 .084 .87 .088 .089 .091 .092

.005 .093 .101 .105 .109 .113 .116 .118 .121 .122 .124 .126 .127

.01 .115 .124 .128 .132 .137 .139 .141 .145 .146 .148 .150 .151

.025 .161 .170 .175 .180 .184 .187 .189 .193 .194 .196 .198 .199

.05 .0220 .0230 .235 240 .245 .248 .250 .254 .255 .257 .259 .261

.10 .325 .336 .342 .347 .353 .356 .358 .362 .364 .366 .368 .370

.25 .698 .712 .719 .727 .734 .738 .741 .747 .749 .752 .754 .756

.50 2.09 2.12 2.13 2.15 2.16 2.17 2.17 2.18 2.18 2.19 2.19 2.20

.75 9.49 9.58 9.63 9.67 9.71 9.74 0.76 9.78 9.80 9.82 9.84 9.85

.90 61.2 61.7 62.0 62.3 62.5 62.7 62.8 63.0 63.1 63.2 63.3 63.3

.95 246 248 249 250 251 252 252 253 253 254 254 254

.975 985 993 997 1001 1011 1011 1011 1011 1011 1021 1021 1021

.99 6461 6211 6231 6261 6291 6301 6311 6331 6341 6351 6361 6371

.995 2462 2482 2492 2502 2512 2522 2532 2532 2542 2542 2542 2552

.999 6163 6213 6233 6263 6293 6303 6313 6333 6343 6353 6363 6373

.9995 2464 2484 2494 2504 2514 2524 2524 2534 2534 2534 2544 2544

2 .0005 .076 .088 .094 .101 .108 .113 .116 .122 .124 .130 .130 .132

.001 .088 .100 .107 .114 .121 .126 .129 .135 .137 .143 .143 .145

.005 .130 .143 .150 .157 .165 .169 .173 .179 .181 .187 .187 .189

.01 .157 .171 .178 .186 1.93 .198 .201 .207 .209 .215 .215 .217

.025 .210 .224 .232 .239 .247 .251 .255 .261 .263 .269 .269 .271

.05 .272 .286 .294 .302 .309 .314 .317 .324 .329 .332 .332 .334

.10 .371 .386 .394 .402 .410 .415 .418 .424 .426 .433 .433 .434

.25 .657 .672 .680 .689 .698 .702 .705 .711 .713 .719 .719 .721

.50 1.38 1.39 1.40 1.41 1.42 1.42 1.43 1.43 1.43 1.44 1.44 .1.44

.75 3.41 3.43 3.43 .344 3.45 3.45 3.46 3.47 3.47 3.48 3.48 3.48

.90 9.42 9.44 9.45 9.46 9.47 9.48 9.47 9.48 9.48 9.49 9.49 9.49

.95 19.4 19.4 19.5 19.5 19.5 19.5 18.5 19.5 19.5 19.5 19.5 19.5

.975 39.4 39.4 39.5 39.5 39.5 39.5 39.5 39.5 39.5 39.5 39.5 39.5

.99 99.4 99.4 99.5 99.5 99.5 99.5 99.5 99.5 99.5 99.5 99.5 99.5

.995 199 199 199 199 199 199 199 199 199 199 199 200

.999 999 999 999 999 999 999 999 999 999 999 999 999

.9995 2001 2001 2001 2001 2001 2001 2001 2001 2001 2001 2001 2001

3 .0005 .093 .109 .117 .127 .136 .143 .147 .156 .158 .166 .166 .169

.001 .107 .123 .132 .42 .152 .158 .162 .171 .173 .181 .181 .184

.005 .154 .172 .181 .191 .201 .207 .211 .220 .222 .231 .231 .234

.01 .185 .203 2.12 .222 .232 .238 .242 .251 .253 .262 .262 .264

.025 2.41 .259 .269 .279 .289 .295 .299 .308 .310 .318 .318 .321

.05 .304 .323 .332 .342 .352 3.58 .363 .370 .373 .382 .382 .384

.10 .402 .420 .430 .439 .449 .455 .459 .467 .469 .476 .476 .480

.25 .658 .675 .684 .693 .702 708 .711 .719 .721 .728 .728 .730

.50 1.21 1.23 1.23 1.24 1.25 1.25 1.25 1.26 1.26 1.27 1.27 1.27

.75 2.46 2.46 2.46 2.47 2.47 2.47 2.47 2.47 2.47 2.47 2.47 2.47

.90 5.20 5.18 5.18 5.17 5.16 5.15 5.15 5.14 5.14 5.14 5.14 5.13

.95 8.70 8.66 8.63 8.62 8.59 8.58 8.57 8.55 8.55 8.53 8.53 8.53

.975 14.3 14.2 14.1 14.1 14.0 14.0 14.0 14.0 13.9 13.9 13.9 13.9

.99 26.9 26.7 26.6 26.5 26.4 26.4 26.3 26.2 26.2 26.1 26.1 26.1

.995 43.1 42.8 42.6 42.5 42.3 42.2 42.1 42.0 42.0 41.9 41.9 41.8

.999 127 126 126 125 125 125 124 124 124 124 124 123

.9995 203 201 200 199 199 198 198 197 197 196 196 196

),( 21 VVF



178


V2 V1 P

1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12

4 .0005 .06 44 .03 50 .02 46 .013 .024 .036 .047 .057 .057 .075 .082 .089

.001 .05 18 .02 10 .02 73 .019 .032 .046 .058 .069 .069 .089 .097 .104

.005 .04 44 .02 50 .022 .043 .064 .083 .100 .114 .114 .137 .145 .153

.01 .03 18 .010 .035 .063 .088 .109 .127 .143 .143 .167 .176 .185

.025 .02 11 .026 .066 .104 .135 .161 .181 .198 .198 .224 .234 .243

.05 .02 44 .052 .110 .157 .193 .221 .243 .261 .261 .288 .298 .307

.10 0.18 .108 .187 .243 .284 3.14 .338 .356 .356 .384 .394 .403

.25 .117 .309 .418 .484 .528 .560 .583 .601 .601 .627 .637 .645

.50 .549 .828 .941 1.00 1.04 1.06 .108 1.09 1.09 1.11 1.12 1.13

.75 1.81 2.00 2.05 2.06 2.07 2.08 208 2.08 2.08 2.08 2.08 2.08

.90 4.54 4.32 4.19 4.11 4.05 .401 3.98 3.95 3.95 3.92 3.91 3.90

.95 7.71 6.94 6.59 6.39 6.26 6.16 6.09 6.04 6.04 5.96 5.94 5.91

.975 12.2 10.6 9.98 9.60 9.36 9.20 9.07 8.98 8.98 8.84 8.79 8.75

.99 21.2 18.0 16.7 16.0 15.5 15.2 15.0 14.8 14.8 14.5 14.4 14.4

.995 31.3 26.3 24.3 23.2 22.5 22.0 21.6 21.4 21.4 21.0 20.8 20.7

.999 74.1 61.2 56.2 53.4 51.7 50.5 49.7 49.0 49.0 48.0 47.7 47.4

.9995 106 87.4 80.1 76.1 73.6 71.9 70.6 69.7 69.7 68.5 67.8 67.4

5 .0005 .06 43 .03 50 .02 47 .014 .025 .038 .050 .061 .070 .031 .089 .096

.001 .05 17 .02 10 .02 75 .019 .034 .048 .062 .074 .085 .095 .104 .112

.005 .04 43 .02 50 .022 0.45 0.67 0.87 .105 .120 .134 .146 .156 .165

.01 .03 17 .010 .035 .064 .091 .114 .134 .151 .165 .177 .188 .197

.025 .02 11 .025 .067 .107 .140 .167 .189 .208 .223 .236 .248 .257

.05 .02 43 .052 .111 .160 .198 .228 .252 .271 .287 .301 .313 .322

.10 .017 .108 .188 .247 .290 .322 .347 .367 .383 .397 .408 .418

.25 .113 .305 .415 .483 .528 .560 .584 .604 .618 .631 .641 .650

.50 .528 .799 .907 .965 1.00 1.02 1.04 1.05 1.06 1.07 1.08 1.09

.75 1.69 1.85 1.88 1.89 1.89 1.89 1.89 1.89 1.89 1.89 1.89 1.89

.90 4.06 3.78 3.62 3.52 3.45 3.40 3.37 3.34 3.32 3.30 3.28 3.27

.95 6.61 5.79 5.41 5.19 5.05 4.95 4.88 4.82 4.77 4.74 4.71 4.68

.975 10.0 8.43 7.76 7.39 7.15 6.98 6.85 6.76 8.68 6.62 6.57 6.52

.99 16.3 13.3 12.1 11.4 11.0 10.7 10.5 10.3 10.2 10.1 9.96 9.89

.995 22.8 18.3 16.5 15.6 14.9 14.5 14.2 14.0 13.8 13.6 13.5 13.4

.999 47.2 37.1 33.2 31.1 29.7 28.8 28.2 27.6 27.2 26.9 26.6 26.4

.9995 63.6 49.8 44.4 41.5 39.7 38.5 37.6 36.9 36.4 35.9 35.6 35.2

6 .0005 .06 43 .03 50 .02 47 .014 .026 .039 .052 .064 .075 .085 .094 .103

.001 .05 17 .02 10 .02 75 .020 .035 .050 .064 .078 .090 .101 .111 .119

.005 .04 43 .02 50 .022 .045 .069 .090 .109 .126 .140 .153 .164 .174

.01 .03 17 .010 .036 .066 .094 .118 .139 .157 .172 .186 .197 207

.025 .02 11 .025 .068 .109 .143 .172 .195 .215 .231 .246 .258 .268

.05 .02 43 .052 .112 .162 .202 .233 .259 .279 .296 .311 .324 .334

.10 .017 .107 .189 .249 .294 .327 .354 .375 .392 .406 .418 .429

.25 .111 .302 .413 .481 .524 .561 .586 .606 .623 .635 .645 .654

.50 .515 .780 .886 .942 .977 1.00 1.02 1.03 1.04 1.05 1.05 1.06

.75 1.62 1.76 1.78 1.79 1.79 1.78 1.78 1.78 1.77 1.77 1.77 1.77

.90 3.78 3.46 3.29 3.18 3.11 3.05 3.01 2.98 2.96 2.94 2.92 2.90

.95 5.99 5.14 4.76 4.53 4.39 4.28 4.21 4.15 4.10 4.06 4.03 4.00

.975 8.81 7.26 6.60 6.23 5.99 5.82 5.70 5.60 5.52 5.46 5.41 5.37

.99 13.7 10.9 9.78 9.15 8.75 8.47 8.26 8.10 7.98 7.87 7.79 7.72

.995 18.6 14.5 12.9 12.0 11.5 11.1 10.8 10.6 10.4 10.2 10.1 10.0

.999 35.5 27.0 23.7 21.9 20.8 20.0 19.5 19.0 18.7 18.4 18.2 18.0

.9995 46.1 34.8 30.4 28.1 26.6 25.6 24.9 24.3 23.9 23.5 23.2 23.0

0644 = 0.44 x 10

-6 = 0.00000044

),( 21 VVF



179


V2 V1 P

15 20 24 30 40 50 60 100 120 200 500

4 .0005 .105 .125 .135 .147 .159 .166 .172 .183 .186 .191 .196 .200

.001 .121 .141 .152 .163 .176 .183 .188 .200 .202 .208 .213 .217

.005 .172 .193 .204 .216 .229 .237 .242 .253 .255 .260 .266 .269

.01 .204 .226 .237 .249 .261 .269 .274 .285 .287 .293 .298 .301

.025 .263 .284 .296 .308 .320 .327 .332 .342 .346 .351 .356 .59

.05 .327 .349 .360 .372 .384 .391 .396 .407 .409 .413 .418 .422

.10 .424 .445 .456 .467 .478 .485 .490 .500 .502 .508 .510 .514

.25 .664 .683 .692 .702 .712 .718 .722 .731 .733 .737 .740 .743

.50 1.14 1.15 1.16 1.16 1.17 1.18 1.18 1.18 1.18 1.19 1.19 1.19

.75 2.08 2.08 2.08 2.08 2.08 2.08 2.08 2.08 2.08 2.08 2.08 2.08

.90 3.89 3.84 3.83 3.82 3.80 3.80 3.89 3.78 3.78 3.77 3.76 3.76

.95 5.86 5.80 5.77 5.75 5.72 5.70 5.69 5.66 5.66 5.65 5.64 5.63

.975 8.66 8.56 8.51 8.46 8.41 8.38 8.36 8.32 8.31 8.29 8.27 8.26

.99 14.2 14.0 13.9 13.8 13.7 13.7 13.7 13.6 13.6 13.5 13.5 13.5

.995 20.4 20.2 20.0 19.9 19.8 19.7 19.6 19.5 19.5 19.4 19.4 19.3

.999 46.8 46.1 45.8 45.4 45.1 44.9 44.7 44.5 44.4 44.3 14.1 44.0

.9995 66.5 65.5 65.1 64.6 64.1 63.8 63.6 63.2 63.1 62.9 62.7 62.6

5 .0005 .115 .137 .150 .163 .177 .186 .192 .205 .203 .216 .222 .226

.001 .132 .155 .167 .181 .195 .204 .210 .223 .227 .233 .239 .244

.005 .186 .210 .223 .237 .251 .260 .266 .279 .282 .288 .294 .299

.01 .219 .244 .257 .270 .285 .293 .299 .312 .315 .322 .328 .331

.025 .280 .304 .317 .330 .344 .353 .359 .370 .374 .380 .386 .390

.05 .345 .369 .382 .395 .408 .417 .422 .432 .437 .442 .448 .452

.10 .440 .463 .476 .488 .501 .508 .514 .524 .527 .532 .358 .541

.25 .669 .690 .700 .711 .722 .728 .732 .74 .743 .748 .752 .755

.50 1.10 1.11 1.12 1.12 1.13 1.19 1.14 1.14 1.14 1.15 1.15 1.15

.75 1.89 1.88 1.88 1.88 1.88 1.88 1.87 1.87 1.87 1.87 1.87 1.87

.90 3.24 3.21 3.19 3.17 3.16 3.18 3.14 3.13 3.12 3.12 3.11 3.10

.95 4.62 4.56 4.53 4.50 4.46 4.44 4.43 4.41 4.40 4.39 4.37 4.36

.975 6.43 6.33 6.28 6.23 6.18 6.14 6.12 6.08 6.07 6.05 6.03 6.02

.99 9.72 9.55 9.47 9.38 9.29 9.24 9.20 9.13 9.11 9.08 9.04 9.02

.995 13.1 12.9 12.8 12.7 12.5 12.5 12.4 12.3 12.3 12.2 12.2 12.1

.999 25.9 25.4 25.1 24.9 24.6 24.4 24.3 24.1 24.1 23.9 23.8 23.8

.9995 34.6 33.9 35.5 33.1 32.7 32.5 32.3 32.1 32.0 31.8 31.7 31.6

6 .0005 .123 .148 .162 .177 .193 .203 .210 .225 .229 .236 .244 .249

.001 .141 .166 1.80 .195 .211 .222 .229 .243 .247 .255 .262 .267

.005 .197 .224 .238 .253 .269 .279 .286 .301 .304 .312 .318 .324

.01 .232 .258 .273 .288 .304 .313 .321 .334 .338 .346 .352 .357

.025 .293 .320 .334 .349 .364 .375 .381 .394 .398 .405 .412 .415

.05 .358 .385 .399 .413 .428 .437 .444 .457 .460 .467 .472 .476

.10 .453 .478 .491 .505 .519 .526 .533 .546 .548 .556 .559 .564

.25 .675 .696 .707 .718 .729 .736 .741 .751 .753 .758 .762 .763

.50 1.07 1.08 1.09 1.10 1.10 1.11 .111 1.11 1.12 1.12 1.12 1.12

.75 1.76 1.76 1.75 1.75 1.75 1.75 1.74 1.74 1.74 1.74 1.74 1.74

.90 2.87 2.84 2.82 2.80 2.78 2.77 2.76 2.75 2.74 2.73 2.73 2.72

.95 3.94 3.87 3.84 3.81 3.77 3.75 3.74 3.71 3.70 3.69 3.68 3.67

.975 5.27 5.17 5.12 5.07 5.01 4.98 4.96 4.92 4.90 4.88 4.86 4.85

.99 7.56 7.40 7.31 7.23 7.14 7.09 7.06 6.99 6.97 6.93 6.90 6.88

.995 9.81 9.59 9.47 9.36 9.24 9.17 9.12 9.03 9.00 8.95 8.91 8.88

.999 17.6 17.1 16.9 16.7 16.4 16.3 16.2 16.0 16.0 15.9 15.8 15.7

.9995 22.4 21.9 21.7 21.4 21.1 20.9 20.7 20.5 20.4 20.3 20.2 20.1

),( 21 VVF



180


V2 V1 P

1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12

7 .0005 .06 42 .03 50 .02 48 .014 .027 .040 .053 .066 .078 .088 .099 .108

.001 .05 17 .02 10 .02 76 .020 .035 .051 .067 .081 .093 .105 .115 .125

.005 .04 42 .02 50 .023 .046 .070 .093 .113 .130 .145 .159 .171 .181

.01 .03 17 .010 .036 .067 .096 .121 .143 .62 .178 .192 .205 .216

.025 .02 10 .025 .068 .110 .146 .176 .200 .221 .258 .253 .266 .277

.05 .02 42 .052 .113 .164 .205 .238 .264 .286 .304 3.19 .332 .343

.10 .017 .107 .190 .251 .297 .332 .359 .381 .399 .414 .427 .438

.25 .110 .300 .412 .481 .528 .562 .588 .609 6.24 .637 .649 .658

.50 .506 .767 .871 .926 .960 .983 1.00 1.01 1.02 1.03 1.04 1.04

.75 1.57 1.70 1.72 1.72 1.71 1.71 1.70 1.70 1.69 1.69 1.69 1.68

.90 3.59 3.26 3.07 2.96 2.88 2.83 2.78 2.75 2.72 2.70 2.68 2.67

.95 5.59 4.74 4.35 4.12 3.97 3.87 3.79 3.73 3.68 3.64 3.60 3.57

.975 8.07 6.54 5.89 5.52 5.29 5.12 4.99 4.90 4.82 4.76 4.71 4.57

.99 12.2 9.55 8.45 7.85 7.46 7.19 6.99 6.84 6.72 6.62 6.54 6.47

.995 16.2 12.4 10.9 10.0 9.52 9.16 8.89 8.68 8.51 8.38 8.27 8.18

.999 29.2 21.7 18.8 17.2 16.2 15.5 15.0 14.6 14.3 14.1 13.9 13.7

.9995 37.0 27.2 23.5 21.4 20.2 19.3 18.7 18.2 17.8 17.5 17.2 17.0

8 .0005 .06 42 .03 50 .02 48 .014 .027 .041 .055 .068 .081 .092 .102 .112

.001 .05 17 .02 10 .02 76 .020 .036 .053 .068 .083 .096 .0109 .120 .130

.005 .04 42 .02 50 .027 .047 .072 .095 .115 .133 .149 .164 .176 .187

.01 .03 17 .010 .036 .068 .097 .123 .146 .166 .183 .1998 .211 .222

.025 .02 10 .025 .069 .111 .148 .179 .204 .226 .244 .259 .273 .285

.05 .02 42 .052 .113 .166 .208 .241 .268 .291 .310 .326 .339 .351

.10 .017 .107 .190 .253 .299 .335 .363 .386 .405 .421 .435 .445

.25 .109 .298 .411 .481 .529 .563 .589 .610 .627 .640 .354 .661

.50 .499 .757 .860 .915 .948 .971 .988 1.00 1.01 1.02 1.02 1.03

.75 1.54 1.66 1.67 1.66 1.66 1.65 1.64 1.64 1.64 1.63 1.63 1.62

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.975 7.57 6.06 5.42 5.05 4.82 4.65 4.53 4.43 4.36 4.30 4.24 4.20

.99 11.3 8.65 7.59 7.01 6.63 6.37 6.18 6.03 5.91 5.81 5.73 5.67

.995 14.7 11.0 9.60 8.81 8.30 7.95 7.69 7.50 7.34 7.21 7.10 7.01

.999 25.4 18.5 15.8 14.4 13.5 12.9 12.4 12.0 11.8 11.5 11.4 11.2

.9995 31.6 22.8 19.4 17.6 16.4 15.7 15.1 14.6 14.3 14.0 13.8 13.6

9 .0005 .06 41 .03 50 .02 48 .015 .027 .042 .056 .070 .083 .094 .105 .115

.001 .05 17 .02 10 .02 77 .021 .037 .054 .070 .085 .099 .112 .123 .134

.005 .04 42 .02 50 .023 .047 .073 .096 .117 .136 .153 .168 .181 .192

.01 .03 17 .010 .037 .068 .098 .125 .149 .169 .187 .202 .216 .228

.025 .02 10 .025 .069 .112 .150 .181 .207 .230 .248 .265 .269 .291

.05 .02 40 .052 .113 .167 .210 .244 .272 .296 .315 .331 .345 .358

.10 .017 .107 .191 .254 .302 .338 .367 .390 .410 .426 .441 .452

.25 .108 .297 .410 .480 .529 .564 .591 .612 .629 .543 .654 .664

.50 .494 .749 .852 .906 .939 .962 .978 .990 1.00 1.01 1.01 1.02

.75 1.51 1.62 1.63 1.63 1.62 1.61 1.60 1.60 1.59 1.59 1.58 1.58

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.95 5.12 4.26 3.86 3.63 3.48 3.37 3.29 3.23 3.18 3.14 3.10 3.07

.975 7.21 5.71 5.08 4.72 4.48 4.32 4.20 4.10 4.03 3.96 3.91 3.87

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.995 13.6 10.1 8.72 7.06 7.47 7.13 6.88 6.69 6.54 6.42 6.31 6.23

.999 22.9 16.4 13.9 12.6 11.7 11.1 10.7 10.4 10.1 9.89 9.71 9.57

.9995 28.0 19.9 16.8 15.1 14.1 13.3 12.8 12.4 12.1 11.8 11.6 11.4

.0642 = 0.42 x 10

-6 = 0.00000042

),( 21 VVF



181


V2 V1 P

15 20 24 30 40 50 60 100 120 200 500

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8 .0005 .136 .164 .181 .181 .218 .230 .239 .257 .262 .271 .281 .257 .001 .155 .184 .200 .200 .238 .250 .259 .277 .282 .292 .300 .306 .005 .214 .244 .261 .261 .299 .311 .319 .337 3.41 .351 .358 .364 .01 .250 .281 .297 .297 .334 .346 .354 .372 3.76 .385 .392 .398 .025 .313 .343 .360 .360 .395 .407 .415 .431 .435 .442 .450 .456 .05 .379 .409 .425 .425 .459 .469 .477 .493 .496 .505 .510 .516 .10 .472 .500 .515 .515 .547 .556 .563 .578 .581 .588 .595 .599 .25 .684 .707 .718 .718 .743 .751 .756 .767 .769 .775 .780 .783 .50 1.04 1.05 1.06 1.06 1.07 1.07 1.08 1.08 1.08 1.09 1.09 1.09 .75 1.62 1.61 1.60 1.60 1.59 1.59 1.59 1.58 1.58 1.58 .158 1.58 .90 2.46 2.42 2.40 2.40 2.36 2.35 2.34 2.32 2.32 2.31 2.30 2.29 .95 3.22 3.15 3.12 3.12 3.04 3.02 3.01 2.07 2.97 2.95 2.94 2.93 .975 4.10 4.00 3.95 3.95 3.84 3.81 3.78 3.74 3.73 3.70 3.68 3.67 .99 5.52 5.36 5.28 5.28 .512 5.07 5.03 4.96 4.95 4.91 4.88 4.86 .995 6.81 6.61 6.50 6.50 6.29 6.22 6.18 6.09 6.06 6.02 5.98 5.95 .999 10.8 10.5 10.3 10.3 9.92 9.80 9.73 9.57 9.54 9.46 9.39 9.34 .9995 13.1 12.7 12.5 12.5 12.0 11.8 11.8 11.6 11.5 11.4 11.4 11.3

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),( 21 VVF



182


V2 V1 P

1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12

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.10 .017 .106 .192 .256 .305 .342 .373 .397 .417 .435 .448 .461 .25 107 .295 .408 .481 .529 .565 .592 .614 .633 .645 .658 .667 .50 .486 .739 .840 .893 .926 .948 .964 .977 .986 .994 1.00 1.01 .75 1.47 1.58 1.58 1.57 1.56 1.55 1.54 1.53 1.53 1.52 1.52 1.51 .90 3.23 2.86 2.66 2.54 2.45 2.39 2.34 2.30 2.27 2.25 2.23 2.21

.95 4.84 3.98 3.59 3.36 3.20 3.09 3.01 2.95 2.90 2.85 2.82 2.79 .975 6.72 5.26 4.63 4.28 4.04 3.88 3.76 3.66 3.59 3.53 3.47 3.43 .99 9.65 7.21 6.22 5.67 5.32 5.07 4.89 4.74 4.63 4.54 4.46 4.40 .995 12.2 8.91 7.60 6.88 6.42 6.10 5.86 5.68 5.54 5.42 5.32 5.24 .999 19.7 13.8 11.6 10.3 9.58 9.05 8.66 8.35 8.12 7.92 7.76 7.62 .9995 23.6 16.4 13.6 12.2 11.2 10.6 10.1 9.76 9.48 9.24 9.04 8.88

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.10 .016 .106 .192 .257 .306 .344 .375 .400 .420 .438 .452 .466 .25 .106 .295 .408 .480 .530 .566 .594 .616 .633 .649 .662 .671 .50 .484 .735 .835 .888 .921 .943 .959 .972 .981 .989 .995 1.00 .75 1.46 1.56 1.56 1.55 1.54 1.53 1.52 1.51 1.51 1.50 1.50 1.49 .90 3.18 2.81 2.61 2.48 2.39 2.33 2.28 2.21 2.21 2.19 2.17 2.15

.95 4.75 3.89 3.49 3.26 3.11 3.00 2.91 2.85 2.80 2.75 2.72 2.69 .975 6.55 5.10 4.47 4.12 3.89 3.73 3.61 3.51 3.44 .37 3.32 3.28 .99 9.33 6.93 5.95 5.41 5.06 4.82 4.64 4.50 4.39 4.30 4.22 4.16 .995 11.8 8.51 7.23 6.52 6.07 5.76 5.52 5.35 5.20 5.09 4.99 4.91 .999 18.6 13.0 10.8 9.63 8.89 8.38 8.00 7.71 7.48 7.29 7.14 7.01 .9995 22.2 15.3 12.7 11.2 10.4 9.74 9.28 8.94 8.66 8.43 8.24 8.08

.0641 = 0.41 x 10

-6 = 0.00000041

),( 21 VVF



183


V2 V1 P

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.10 .486 .516 .532 .549 .567 .578 .586 .602 .605 .614 .621 .625 .25 .691 .714 .727 .740 .754 .762 .767 .779 .782 .788 .793 .797 .50 1.02 1.03 1.04 1.05 1.05 1.06 1.06 1.06 1.06 1.07 1.07 1.07 .75 1.53 1.52 1.52 1.51 1.51 1.50 1.50 1.49 1.49 1.49 1.48 1.48 .90 2.24 2.20 2.18 2.16 2.13 2.12 2.11 2.09 2.08 2.07 2.06 2.06

.95 2.85 2.77 2.74 2.70 2.66 2.64 2.62 2.59 2.58 2.56 2.55 2.54 .975 3.52 3.42 3.37 3.31 3.26 3.222 3.20 3.15 3.14 3.12 3.09 3.08 .99 4.56 4.41 4.33 4.25 4.17 4.12 1.08 4.01 4.00 2.96 3.93 3.91 .995 5.47 5.27 5.17 5.07 4.97 4.90 4.86 4.77 4.75 4.91 4.67 4.64 .999 8.13 7.80 7.64 7.47 7.30 7.19 7.12 6.98 6.94 6.87 6.81 6.76 .9995 9.46 9.16 8.96 8.75 8.54 8.42 8.33 8.16 8.12 8.04 7.96 7.90

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.95 2.72 2.65 2.61 2.57 2.53 2.51 2.49 2.46 2.45 2.43 2.42 2.40 .975 3.33 3.23 3.17 3.12 3.06 3.03 3.00 2.96 2.94 2.92 2.90 2.88 .99 4.25 4.10 4.02 3.94 3.86 3.81 3.78 3.71 3.69 3.66 3.62 3.60 .995 5.05 4.86 4.76 4.65 4.55 4.49 4.45 4.36 4.34 4.29 4.25 4.23 .999 7.32 7.01 6.85 6.68 6.52 6.41 6.35 6.21 6.17 6.10 6.04 6.00 .9995 8.52 8.14 7.94 7.75 7.55 7.43 7.35 7.18 7.14 7.06 6.98 6.93

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.10 .496 .528 .546 .564 .583 .595 .604 .621 .625 .633 .641 .647 .25 .695 .721 .734 .748 .762 .771 .777 .789 .792 .799 .804 .808 .50 1.01 1.02 1.03 1.03 1.04 1.04 1.05 1.05 1.05 1.05 1.06 1.06 .75 1.48 1.47 1.46 1.45 1.45 1.44 1.44 1.43 1.43 1.43 1.42 1.42 .90 2.11 2.06 2.04 2.01 1.99 1.97 1.96 1.94 1.93 1.92 1.91 1.90

.95 2.62 2.54 2.51 2.47 2.43 2.40 2.38 2.35 2.34 2.32 2.31 2.30 .975 3.18 3.07 3.02 2.96 2.91 2.87 2.85 2.80 2.79 2.76 2.74 2.72 .99 4.01 3.86 3.78 3.70 3.62 3.57 3.54 3.47 3.45 3.41 3.38 3.36 .995 4.72 4.53 4.43 4.33 4.23 4.17 4.12 4.04 4.01 3.97 3.93 3.90 .999 6.71 6.40 6.25 6.09 5.93 5.83 5.76 5.63 5.59 5.52 5.46 5.42 .9995 7.74 7.37 7.18 7.00 6.80 6.68 6.61 6.45 6.41 6.33 6.25 6.20

),( 21 VVF



184


V2 V1 P

1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12

15 .0005 .06 41 .03 50 .02 49 .015 .029 .045 .061 .076 .091 .105 .117 .129 .001 .05 16 .02 10 .02 79 .021 .039 .057 .075 .092 .108 .123 .137 .149 .005 .04 39 .02 50 .023 .049 .076 .102 .125 .147 .166 .183 .198 .212 .01 .03 16 .010 .037 .070 .103 .132 .158 .181 .202 .219 .235 .249 .025 .02 10 .025 .070 .116 .156 .190 .219 .244 .265 .284 .300 .315 .05 .02 41 .051 .115 .170 .216 .254 .285 .311 .333 .351 .368 .382

.10 .016 .106 .192 .258 .309 .348 .380 .406 .427 .446 .461 .475 .25 .105 .293 .407 .480 .531 .568 .596 .618 .637 .652 .667 .676 .50 .478 .726 .827 .878 .911 .933 .948 .960 .970 .977 .984 .939 .75 1.43 1.52 1.52 1.51 1.49 1.48 1.47 1.46 .146 1.45 1.44 1.44 .90 3.07 2.70 2.49 2.36 2.27 2.21 2.16 2.12 .209 2.06 2.04 2.02

.95 4.54 3.68 3.29 3.06 2.90 2.79 2.71 2.64 2.59 2.54 2.51 2.48 .975 6.20 4.76 4.15 3.80 3.58 3.41 2.29 3.20 3.12 2.06 3.01 2.96 .99 8.68 6.36 5.42 4.89 4.56 4.32 4.14 4.00 3.89 3.80 3.73 3.67 .995 10.8 7.70 6.48 5.80 5.37 5.07 4.85 4.67 8.54 4.42 4.33 4.25 .999 16.6 11.3 9.34 8.25 7.57 7.09 6.74 6.47 6.26 6.08 5.93 6.81 .9995 19.5 13.2 10.8 9.48 8.66 8.10 7.68 7.36 7.11 6.91 6.75 6.60

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.10 .016 .106 .193 .260 .312 .353 .385 .412 .435 .454 .472 .485 .25 .104 .292 .407 .480 .531 .569 .598 .622 .641 .656 .671 .681 .50 .472 .718 .816 .868 .909 .922 9.38 .950 .959 .966 .972 .977 .75 1.40 1.49 1.48 1.47 1.45 1.44 1.43 1.42 1.41 1.40 1.39 1.39 .90 2.97 2.59 2.37 2.25 2.16 2.09 2.04 2.00 1.96 1.94 1.91 1.89

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24 .0005 .06 40 .03 50 .02 50 .015 .030 .046 .064 .080 .096 .112 .126 .139 .001 .05 16 .02 10 .02 79 .022 .040 .059 .079 .097 .115 .131 .146 .160 .005 .04 40 .02 50 .023 .050 .078 .106 .131 .154 .175 .193 .210 .226 .01 .03 16 .010 .038 .072 .106 .136 .165 .189 .211 .231 .249 .264 .025 .02 10 .025 .071 .117 .159 .195 .227 .253 .277 .297 .315 .331 .05 .02 40 .051 .116 .173 .221 .260 .293 3.21 .345 .365 .383 .399

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.0641 = 0.41 x 10

-6 = 0.00000041

),( 21 VVF



185


V2 V1 P

15 20 24 30 40 50 60 100 120 200 500

15 .0005 .159 .159 .220 .244 .272 .303 .303 .330 .339 .353 .368 .337 .001 .181 .181 .212 .266 .294 .325 .325 .352 .360 .375 .388 .398 .005 .246 .246 .308 .333 .360 .389 .389 .415 .422 .435 .448 .457 .01 .284 .284 .346 .370 .397 .425 .425 .450 .456 .469 .483 .490 .025 .49 .349 .410 .433 .458 .485 .485 .508 .514 .526 .538 .546 .05 .416 .416 .474 .496 .519 .545 .545 .565 .571 .581 .592 .600

.10 .507 .507 .561 .581 .602 .624 .624 .641 .647 .812 .667 .672 .25 .701 .701 .742 .757 .772 .788 .788 .802 .805 1.04 .818 .822 .50 1.00 1.00 1.02 1.02 1.03 1.03 1.03 1.04 1.04 1.37 1.04 1.05 .75 1.43 .143 1.41 1.40 1.39 1.38 1.38 1.38 1.37 1.77 1.36 1.36 .90 1.97 .197 1.90 1.87 1.85 1.82 1.82 1.79 1.79 2.10 1.76 1.76

.95 2.40 2.40 2.39 2.25 2.20 2.16 2.16 2.12 2.11 2.44 2.08 2.07 .975 2.86 2.86 2.70 2.64 2.59 2.52 2.52 2.47 2.46 2.92 2.41 2.40 .99 3.52 3.52 3.29 3.21 3.13 3.05 3.05 2.98 2.96 3.33 2.89 2.87 .995 4.07 4.07 3.79 3.69 3.59 3.48 3.48 3.39 3.37 4.41 3.29 3.26 .999 5.54 5.54 5.10 4.95 4.90 4.64 4.67 4.51 4.47 4.94 4.35 4.31 .9995 6.27 6.27 5.75 5.58 5.40 5.21 5.21 5.06 5.02 .391 4.87 4.83

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.10 .520 .520 .578 .600 .623 .648 .648 .671 .675 .827 .694 .704 .25 .708 .708 .751 .767 .784 .801 .801 .616 .820 1.03 8.35 .840 .50 .989 .989 1.01 1.01 1.02 1.02 1.02 1.03 1.03 1.30 1.03 1.03 .75 1.37 1.37 1.35 1.34 1.33 1.32 1.32 1.31 1.31 1.63 1.30 1.29 .90 1.84 1.84 1.77 1.74 1.71 1.68 1.68 1.65 1.64 1.88 1.62 1.61

.95 2.20 2.20 2.08 2.04 1.99 1.95 1.95 1.91 1.90 2.13 1.86 1.84 .975 2.57 2.57 2.41 2.35 2.29 2.22 2.22 2.17 2.16 2.48 2.10 2.09 .99 3.09 3.09 2.86 2.78 2.69 2.61 2.61 2.54 2.52 2.76 2.44 2.42 .995 3.50 3.50 3.22 3.12 3.02 2.92 2.92 2.83 2.81 3.48 2.72 2.69 .999 4.56 4.56 4.15 4.01 3.86 3.70 3.70 3.58 3.54 3.82 3.42 3.38 .9995 5.07 5.07 4.58 4.42 4.24 4.07 4.07 3.93 3.90 .416 3.75 3.70

24 .0005 .174 .174 .244 .274 .309 .349 .349 .384 .395 .437 .434 .449 .001 .196 .196 .268 .298 .332 .371 .371 .405 .417 .498 .455 .439 .005 .264 .264 .337 .367 .400 .437 .437 .469 .479 .529 .515 .527 .01 .304 .304 .376 .405 .437 .473 .473 .505 .513 .585 .546 .558 .025 .370 .370 .441 .468 .498 .531 .531 .562 .568 .637 .599 .610 .05 .437 .467 .504 .530 .558 .588 .588 .613 .622 .704 .649 .659

.10 .527 .527 .588 .611 .635 .662 .662 .685 .691 .837 .715 .723 .25 .712 .712 .757 .773 .791 .809 .809 .825 .829 1.02 .844 .850 .50 .983 .943 1.00 1.01 1.01 1.02 1.02 1.02 1.02 1.27 1.03 1.03 .75 1.35 1.35 .132 1.31 1.30 1.29 1.29 1.28 1.28 1.56 1.27 1.26 .90 1.78 1.78 1.70 1.67 1.64 1.61 1.61 1.58 1.57 1.77 1.54 1.53

.95 2.11 2.11 1.98 1.94 1.89 1.84 1.84 1.80 1.79 1.98 1.75 1.73 .975 2.44 2.44 2.27 2.21 2.15 2.08 2.08 2.02 2.01 2.27 1.95 1.94 .99 2.89 2.89 2.66 2.58 2.49 2.40 2.40 2.33 2.31 2.27 2.24 2.21 .995 3.25 3.25 2.97 2.87 2.77 2.66 2.66 1.57 2.55 2.50 2.46 2.43 .999 4.14 4.14 3.74 3.59 3.45 3.29 3.29 3.16 3.14 3.07 3.01 2.97 .9995 4.55 4.55 4.09 3.93 3.76 3.59 3.59 3.44 3.41 3.33 3.27 3.22

),( 21 VVF



186


V2 V1 P

1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12

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.10 .016 .106 .193 .262 .315 .357 .391 .420 .443 .464 .481 .497 .25 .103 .290 .406 .480 .532 .571 .601 .625 .645 .661 .676 .688 .50 .466 .709 .807 .858 .890 .912 .927 .939 .948 .955 .961 .966 .75 1.38 1.45 1.44 1.42 1.41 1.39 1.38 1.37 1.36 1.35 1.35 1.34 .90 2.88 2.49 2.28 2.14 2.05 1.98 1.93 1.88 1.85 1.82 1.79 1.77

.95 4.17 3.32 2.92 2.69 2.53 2.42 2.33 2.27 2.21 2.16 2.13 2.09 .975 5.57 4.18 3.59 3.25 3.03 2.87 2.75 2.65 2.57 2.51 2.46 2.41 .99 7.56 5.39 4.51 4.02 3.70 3.47 3.30 3.17 3.07 2.98 2.91 2.84 .995 9.18 6.35 5.24 4.62 4.23 3.95 3.70 3.58 3.45 3.34 3.25 3.18 .999 13.3 8.77 7.05 6.12 5.53 5.12 4.82 4.58 4.39 4.24 4.11 4.00 .9995 15.2 9.90 7.90 6.82 6.14 5.66 5.31 5.04 4.82 4.65 4.51 4.38

40 .0005 .06 40 .03 50 .02 50 .016 .030 .048 .066 .084 .100 .117 .132 .147 .001 .05 16 .02 10 .02 80 .022 .042 .061 .81 .101 .119 .137 .153 .169 .005 .04 10 .02 50 .024 .051 .080 .108 .135 .159 .181 .201 .220 .237 .01 .03 16 .010 .038 .073 .108 .140 .169 .195 .219 .240 .259 .276 .025 .02 99 .025 .071 .119 .162 .199 .232 .260 .285 .307 .327 .344 .05 .02 40 .051 .116 .175 .224 .265 .299 .329 .354 .376 .395 .412

.10 .016 .106 .194 .263 .317 .360 .394 .424 .448 .469 .488 .504 .25 .103 .290 .405 .480 .533 .572 .603 .627 .647 .664 .680 .691 .50 .463 .705 .802 .854 .885 .907 .922 .934 .943 .950 .956 .961 .75 1.36 1.44 1.42 1.40 1.39 1.37 1.36 1.35 1.34 1.33 1.32 1.31 .90 2.84 2.44 2.23 2.09 2.00 1.93 1.87 1.83 1.79 1.76 1.73 1.71

.95 4.08 3.23 2.84 2.61 2.45 2.34 2.25 2.18 2.12 2.08 2.04 2.00 .975 5.42 4.05 3.46 3.13 2.90 2.74 2.62 2.53 2.45 2.39 2.33 2.29 .99 7.31 5.18 4.31 3.83 3.51 3.29 3.12 2.99 2.89 2.80 2.73 2.66 .995 8.83 6.07 4.94 4.37 3.99 3.71 3.51 3.35 3.22 3.12 3.03 2.95 .999 12.6 8.25 6.60 5.70 5.13 4.73 4.44 4.21 4.02 3.87 3.75 3.64 .9995 14.4 9.25 7.33 6.30 5.64 5.19 4.85 4.59 4.38 4.21 4.07 3.95

60 .0005 .06 40 .03 50 .02 51 .016 .031 .048 .067 .085 .103 .120 .136 .152 .001 .05 16 .02 10 .02 80 .022 .041 .062 .083 .103 .122 .140 .157 .174 .005 .04 40 .02 50 .024 .051 .081 .110 .137 .162 .185 .206 .225 .243 .01 .03 16 .010 .038 .073 .109 .142 .172 1.99 .233 .245 .265 .283 .025 .02 99 .025 .071 .120 .163 .202 .235 .264 .290 .313 .333 .351 .05 .02 40 .051 .116 .176 .226 .267 .303 .333 .359 .382 .402 .419

.10 .016 .106 .194 .264 .318 .362 .398 .428 .453 .475 .493 .510 .25 .102 .289 .405 .480 .534 .573 .604 .629 .650 .667 .680 .695 .50 .461 .701 .798 .849 .880 .901 .917 .928 .937 .945 .951 .956 .75 1.35 1.42 1.41 1.38 1.37 1.35 1.33 1.32 1.31 1.30 1.29 1.29 .90 2.79 2.39 2.18 2.4 1.95 1.87 1.82 1.77 1.74 1.71 1.68 1.66

.95 4.00 3.15 2.76 2.53 2.37 2.25 2.17 2.10 2.04 1.99 1.95 1.92 .975 5.29 3.93 3.34 3.01 2.79 2.63 2.51 2.41 2.33 2.27 2.22 2.17 .99 7.08 4.98 4.13 3.65 3.34 3.12 2.95 2.82 2.72 2.63 2.56 2.50 .995 8.49 5.80 4.73 4.14 3.76 3.49 3.29 3.13 3.01 2.90 2.82 2.74 .999 12.0 7.76 6.17 5.31 4.76 4.37 4.09 3.87 3.69 3.54 3.43 3.31 .9995 13.6 8.65 6.81 5.82 5.20 4.76 4.44 4.18 3.98 3.82 3.69 3.57

.0640 = 0.40 x 10

-6 = 0.00000040

),( 21 VVF



187


V2 V1 P

15 20 24 30 40 50 60 100 120 200 500

30 .0005 .179 .226 .254 .287 .325 .350 .369 .410 .420 .444 .467 .483 .001 .202 .250 .278 .311 .348 .373 .391 .431 .442 .465 .488 .503 .005 .271 .320 .349 .381 .416 .441 .457 .495 .504 .524 .543 .559 .01 .311 .360 .388 .419 .454 .476 .493 .529 .538 .559 .575 .590 .025 .378 .426 .453 .482 .515 .535 .551 .585 .592 .610 .625 .639 .05 .445 .490 .516 .543 .573 .592 .606 .637 .644 .658 .676 .685

.10 .534 .575 .598 .623 .649 .667 .678 .704 .710 .725 .735 .746 .25 .716 .746 .763 .780 .798 .810 .818 .835 .839 .848 .856 .862 .50 .978 .989 .994 1.00 1.01 1.01 .101 1.02 1.02 1.02 1.02 1.02 .75 1.32 1.30 1.29 1.28 1.27 1.26 1.26 1.25 1.24 1.24 1.23 1.23 .90 1.72 1.67 1.64 1.61 1.57 1.55 1.54 1.51 1.50 1.48 1.47 1.46

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.10 .542 .585 .609 .636 .664 .683 .696 .724 .731 .747 .762 .772 .25 .720 .752 .769 .787 .806 .819 .828 .846 .851 .861 .870 .877 .50 .972 .983 .989 .994 1.00 1.00 1.01 1.01 1.01 1.01 1.02 1.02 .75 1.30 1.28 1.26 1.25 1.24 1.23 1.22 1.21 1.21 1.20 1.19 1.19 .90 1.66 1.61 1.57 1.54 1.51 1.48 1.47 1.43 1.42 1.41 1.39 1.38

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.10 .550 .596 .622 .650 .682 .703 .717 .750 .758 .776 .793 .806 .25 .725 .758 .776 .796 .816 .830 .840 .860 .865 .877 .888 .896 .50 .967 .978 .983 .989 .994 .998 1.00 1.00 1.01 1.01 1.01 1.01 .75 1.27 1.25 1.24 1.22 1.21 1.20 1.19 1.17 1.17 1.16 1.15 1.15 .90 .160 1.54 1.51 1.48 1.44 1.41 1.40 1.36 1.35 1.33 1.31 1.29

.95 1.84 1.75 1.70 1.65 1.59 1.56 1.53 1.48 1.47 1.44 1.41 1.39 .975 2.06 1.94 1.88 1.82 1.74 1.70 1.67 1.60 1.58 1.54 1.51 1.48 .99 2.35 2.20 2.12 2.03 1.94 1.88 1.84 1.75 1.73 1.64 1.63 1.60 .995 2.57 2.39 2.29 2.19 2.08 2.01 1.96 1.86 1.83 1.78 1.73 1.69 .999 3.08 2.83 2.69 2.56 2.41 2.31 2.25 2.11 2.09 2.01 1.93 1.89 .9995 3.30 3.02 2.87 2.71 2.55 2.45 2.38 2.23 2.19 2.11 2.03 1.98

),( 21 VVF



188


V2 V1 P

1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12

120 .0005 .06 40 .03 50 .02 51 .016 .031 .049 .067 .087 .105 .123 .140 .156 .001 .05 16 .02 10 .02 81 .023 .042 .063 .084 .105 .125 .144 .162 .179 .005 .04 39 .02 50 .024 .051 .081 .111 .139 .165 .189 .211 .230 .249 .01 .03 16 .010 .038 .074 .110 .143 .174 .202 .227 .250 .271 .290 .025 .02 99 .025 .072 .120 .165 .204 .238 .268 .295 .318 .340 .359 .05 .02 39 .051 .117 .177 .227 .270 .306 .337 .364 .388 .408 .427

.10 .016 .105 .194 .265 .320 .365 .401 .432 .458 .480 .500 .518 .25 .102 .288 .405 .481 .534 .574 .606 .631 .652 670 .685 .699 .50 .458 .697 .793 .844 .875 .896 .912 .923 .932 .939 .945 .950 .75 1.34 1.40 1.39 1.37 1.35 1.33 1.31 1.30 1.29 1.28 1.27 1.26 .90 2.75 2.35 2.13 1.99 1.90 1.82 1.77 1.72 1.68 1.65 1.62 1.60

.95 3.92 3.07 2.68 2.45 2.29 2.18 2.09 2.02 1.96 1.91 1.87 1.83 .975 5.15 3.80 3.23 2.89 1.67 2.52 2.39 2.30 2.22 2.16 2.10 2.05 .99 6.85 4.79 3.95 3.48 3.17 2.96 2.79 2.66 2.56 2.47 2.40 2.34 .995 8.18 5.54 4.50 3.92 3.55 3.28 3.09 2.93 2.81 2.71 2.62 2.54 .999 11.4 7.32 5.79 4.95 4.42 4.04 3.77 3.55 3.38 3.24 3.12 3.02 .9995 12.8 8.10 6.34 5.39 4.79 4.37 4.07 3.82 3.63 3.47 3.34 3.22

.0005 .06 39 .03 50 .02 51 .016 .032 .050 .069 .088 .108 .127 .144 .161 .001 .05 16 .02 10 .02 81 .023 .042 .063 .85 .107 .128 .148 .167 .185 .005 .04 39 .02 50 .024 .052 .082 .113 .141 .168 .193 .213 .236 .256 .01 .03 16 .010 .038 .074 .111 .145 .177 .206 .232 .256 .278 .298 .025 .02 98 .025 .072 .121 .166 .206 .241 .272 .300 .325 .347 .367 .05 .02 39 .051 .117 .178 .229 .273 .310 .342 .369 .394 .417 .436

.10 .016 .105 .195 .266 .322 .367 .405 .436 .463 .487 .508 .525 .25 .102 .288 .404 .481 .535 .576 .608 .634 .655 .674 .690 .703 .50 .455 .693 .789 .839 .870 .891 .907 .918 .927 .934 .939 .945 .75 1.32 1.39 1.37 1.35 1.33 1.31 1.29 1.28 1.27 1.25 1.24 1.24 .90 2.71 2.30 2.08 1.94 1.85 1.77 1.72 1.67 1.63 1.60 1.57 1.55

.95 3.84 3.00 2.60 2.37 2.21 2.10 2.01 1.94 1.88 1.83 1.79 1.75 .975 5.02 3.69 3.12 2.79 2.57 2.41 2.29 2.19 2.11 2.05 1.99 1.94 .99 6.63 4.61 3.78 3.32 3.02 2.80 2.64 2.51 2.41 2.32 2.25 2.18 .995 7.88 5.30 4.28 3.72 3.35 3.09 2.90 2.74 2.62 2.52 2.43 2.36 .999 10.8 6.91 5.42 4.62 4.10 3.74 3.47 3.27 3.10 2.96 2.84 2.74 .9995 12.1 7.60 5.91 5.00 4.42 4.02 3.72 3.48 3.30 3.14 3.02 2.90

.0640 = 0.40 x 10

-6 = 0.00000040

),( 21 VVF



189


V2 V1 P

15 20 24 30 40 50 60 100 120 200 500

120 .0005 .199 .256 .293 .338 .390 .429 .458 .524 .543 .578 .614 .676 .001 .223 .282 .319 .363 .414 .453 .480 .542 .568 .595 .631 .691 .005 .297 .336 .393 .434 .484 .520 .545 .605 .623 .661 .702 .733 .01 .338 .397 .433 .474 .522 .556 .579 .636 .652 .688 .725 .755 .025 .406 .464 .498 .536 .580 .611 .633 .684 .698 .729 .762 .789 .05 .473 .527 .559 .594 .634 .661 .682 .727 .740 .767 .785 .819

.10 .560 .609 .636 .667 .702 .726 .742 .781 .791 .815 .838 .855 .25 .730 .765 .784 .805 .828 .843 .853 .877 .884 .897 .911 .923 .50 .961 .972 .978 .983 .989 .992 .994 1.00 1.00 1.00 1.01 1.01 .75 1.24 1.22 1.21 1.19 1.18 1.17 1.16 1.14 1.13 1.12 1.11 1.10 .90 1.55 1.48 1.45 1.41 1.37 1.34 1.32 1.27 1.26 1.24 1.21 1.19

.95 1.75 1.66 1.61 1.55 1.50 1.46 1.43 1.37 1.35 1.32 1.28 1.25 .975 1.95 1.82 1.76 1.69 1.61 1.56 1.53 1.45 1.43 1.39 1.34 1.31 .99 2.19 2.03 1.95 1.86 1.76 1.70 1.66 1.56 1.53 1.48 1.42 1.38 .995 2.37 2.19 2.09 1.98 1.87 1.80 1.75 1.64 1.61 1.54 1.48 1.43 .999 2.78 2.53 2.40 2.26 2.11 2.02 1.95 1.82 1.76 1.70 1.62 1.54 .9995 2.96 2.67 2.53 2.38 2.21 2.11 2.01 1.88 1.84 1.75 1.67 160

.0005 .207 .270 .311 .360 .422 .469 .505 .599 .624 .704 .804 1.00 .001 .232 .296 .338 .386 .448 .493 .527 .617 .649 .719 .819 1.00 .005 .307 .372 .412 .460 .518 .559 .592 .671 .699 .762 .843 1.00 .01 .349 .413 .452 .499 .554 .595 .625 .599 .724 .782 .858 1.00 .025 .418 .480 .517 .560 .611 .645 .675 .741 .763 .813 .878 1.00 .05 .484 .543 .577 .617 .663 .694 .720 .781 .797 .840 .896 1.00

.10 .570 .622 .652 .687 .726 .752 .774 .826 .838 .877 .919 1.00 .25 .736 .773 .793 .816 .842 .860 .872 .901 .910 .932 .957 1.00 .50 9.56 .967 .972 .978 .983 .987 .989 .993 .994 .997 .999 1.00 .75 1.22 1.19 1.18 1.16 1.14 1.13 1.12 1.09 1.08 1.07 1.04 1.00 .90 1.49 1.42 1.38 1.34 1.30 1.26 1.24 1.18 1.17 1.13 1.08 1.00

.95 1.67 1.57 1.52 1.46 1.39 1.35 1.32 1.24 1.22 1.17 1.11 1.00 .975 1.83 1.71 1.64 1.57 1.48 1.43 1.39 1.30 1.27 1.21 1.13 1.00 .99 2.04 1.88 1.79 1.70 1.59 1.52 1.47 1.36 1.32 1.25 1.15 1.00 .995 2.19 2.00 1.90 1.79 1.67 1.59 1.53 1.40 1.36 1.28 1.17 1.00 .999 2.51 2.27 2.13 1.99 1.84 1.73 1.66 1.49 1.45 1.34 1.21 1.00 .9995 2.65 2.37 2.22 2.07 1.91 1.79 1.71 1.53 1.48 1.36 1.22 1.00

),( 21 VVF



190

APÉNDICE Nº 8

Tabla: Factores para calcular la línea central y limites de control tres sigmas

Observaciones en la muestra,

n

Gráficos x Gráficos S Gráficos R

Factores para Límites de Control

Factores para la Línea Central

Factores para Límites de Control Factores para la

Línea Central Factores para Límite de Control

A A2 A3 c4 1/c4 B3 B4 B5 B6 d2 1/d2 d3 D1 D2 D3 D4

2 2.121 1.880 2.659 0.7979 1.2533 0 3.267 0 2.606 1.128 0.8865 0.453 0 3.686 0 3.267

3 1.732 1.023 1.954 0.8620 1.1284 0 2.568 0 2.276 1.693 0.5907 0.888 0 4.358 0 2.574

4 1.500 0.729 1.628 0.9213 1.0854 0 2.266 0 2.088 2.059 0.4857 0.880 0 4.698 0 2.282

5 1.342 0.577 1.427 0.9400 1.0638 0 2.089 0 1.964 2.326 0.4299 0.874 0 4.918 0 2.114

6 1.225 0.483 1.287 0.9515 1.0510 0.030 1.970 0.029 1.874 2.534 0.3946 0.848 0 5.078 0 2.004

7 1.134 0.419 1.182 0.9594 1.0423 0.118 1.882 0.113 1.806 2.704 0.3698 0.833 0.204 5.204 0.076 1.924

8 1.061 0.373 1.099 0.9650 1.0363 0.185 1.815 0.179 1.751 2.847 0.3512 0.820 0.388 5.306 0.136 1.864

9 1.000 0.337 1.032 0.9693 1.0317 0.239 1.761 0.232 1.707 2.970 0.3367 0.808 0.547 5.393 0.184 1.816

10 0.949 0.308 0.975 0.9727 1.0281 0.284 1.716 0.276 1.669 3.078 0.3249 0.797 0.687 5.469 0.223 1.777

11 0.905 0.285 0.927 0.9754 1.0252 0.321 1.679 0.313 1.637 3.173 0.3152 0.787 0.811 5.535 0.256 1.744

12 0.866 0.266 0.886 0.9776 1.0229 0.354 1.646 0.346 1.610 3.258 0.3069 0.778 0.922 5.594 0.283 1.717

13 0.832 0.249 0.850 0.9794 1.0210 0.382 1.618 0.374 1.585 3.336 0.2998 0.770 1.025 5.047 0.307 1.693

14 0.802 0.235 0.817 0.9810 1.0194 0.406 1.594 0.399 1.563 3.407 0.2935 0.763 1.118 5.696 0.328 1.672

15 0.775 0.223 0.789 0.9823 1.0180 0.428 1.572 0.421 1.544 3.472 0.2880 0.756 1.203 5.741 0.347 1.653

16 0.750 0.212 0.763 0.9835 1.0168 0.448 1.552 0.440 1.526 3.532 0.2831 0.750 1.282 5.782 0.363 1.637

17 0.728 0.203 0.739 0.9845 1.0570 0.466 1.534 0.458 1.511 3.588 0.2787 0.744 1.356 5.820 0.378 1.622

18 0.707 0.194 0.718 0.9854 1.0148 0.482 1.518 0.475 1.496 3.640 0.2747 0.739 1.424 5.856 0.391 1.608

19 0.688 0.187 0.698 0.9862 1.0140 0.497 1.503 0.490 1.483 3.689 0.2711 0.734 1.487 5.891 0.403 1.597

20 0.671 0.180 0.680 0.9869 1.0133 0.510 1.490 0.504 1.470 3.735 0.2677 0.729 1.549 5.921 0.415 1.585

21 0.655 0.173 0.663 0.9876 1.0126 0.523 1.477 0.516 1.459 3.778 0.2647 0.724 1.605 5.951 0.425 1.575

22 0.640 0.167 0.647 0.9882 1.0119 0.534 1.466 0.528 1.448 3.819 0.2618 0.720 1.659 5.979 0.434 1.566

23 0.626 0.162 0.643 0.9887 1.0114 0.545 1.455 0.539 1.438 3.858 0.2592 0.716 1.710 6.006 0.443 1.557

24 0.612 0.157 0.619 0.9892 1.0109 0.555 1.445 0.549 1.429 3.895 0.2567 0.712 1.759 6.031 0.451 1.548

25 0.600 0.153 0.606 0.9896 1.0105 0.565 1.435 0.559 1.420 3.931 0.2544 0.708 1.806 6.056 0.459 1.541

estadistica aplicada

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