estadistica 1111

Humberto Villalobos 7-03-05

Primera Clase 1

20/03/2008

PROBABILIDAD

HUMBERTO VILLALOBOS TORRESUNIVERSIDAD TCNICA FEDERICO SANTA MARADEPARTAMENTO DE MATEMTICAS

Y ESTADSTICA

UNIVERSIDAD TCNICA FEDERICO SANTA MARA

20/03/2008

Estadstica Multivariada

Existen Muchas Mediciones asociadas a una poblacin.

Carrera. Satisfaccin con la

Universidad. Puntaje de Ingreso. Nmero de hermanos. Etc.

De la Poblacin de

Alumnos

USM

20/03/2008


Se cuenta con una matriz de Datos

20/03/2008


Observar el comportamiento global de los datos. Establecer relaciones Establecer grupos Determinar patrones.

Se Requieren herramientas Computacionales especializadas

20/03/2008

Anlisis Exploratorio Multivariado

Matriz de Asociaciones

20/03/2008

Anlisis Exploratorio Multivariado

Matriz de Correlaciones. Muestra la asociacin lineal entre

pares de variables.


Primera Clase 2

20/03/2008

Organizacin de Datos

La organizacin habitual es a travs de pares ordenados de datos.

20/03/2008

Organizacin de Datos Anlisis a travs de la tabla

20/03/2008

Organizacin de Datos Expresin en trminos de Frecuencias

Relativas

20/03/2008

Organizacin de Datos APLICACIN 1: Se realiza una encuesta a

profesionales que se desempean en cierta regin, en la cual se miden las siguientes caractersticas: Cargo que ocupa, Sueldo que percibe y valor del automvil que posee, en miles de pesos.

,

20/03/2008


profesionales que se desempean

20/03/2008



Primera Clase 3

20/03/2008


Distribuciones Marginales.

20/03/2008



20/03/2008

Organizacin de Datos APLICACIN 1: Se realiza una

encuesta a profesionales que se desempean

20/03/2008

Organizacin de Datos APLICACIN 2: Antes de construir una presa sobre

el Ro Missouri, una empresa efectu una serie de pruebas para medir un flujo de agua (en miles de galones por minuto [Mg/m]) en tres de sus grandes ramas: Sioux City, Yankton y Omaha. Los resultados de las pruebas fueron organizados en la siguiente tabla:

,

20/03/2008

Organizacin de Datos APLICACIN 2: Antes de construir una presa sobre el

Ro Missouri, Determine las distribuciones marginales

Histograma

0

50

100

150

Flujo de rios [Mg/m]

Frec

uenc

ia

,

20/03/2008

Organizacin de Datos APLICACIN 3: Un Socilogo dirigi una

investigacin para determinar la incidencia de un tipo determinado de crimen variaba entre las cuatro regin de mayor ndice delictual. Los crmenes de inters para el socilogo son: asalto, robo hurto y homicidio. La siguiente tabla presenta los resultados en una muestra de 746, 918, 1527 y 854 crmenes para la regin IV, V, Central, VIII, respectivamente durante el ltimo ao. ,


Primera Clase 4

20/03/2008


investigacin para determinar la incidencia Determine las distribuciones marginales

0%10%20%30%40%

IV V Central VIII

ReginF

recu

enci

a

,

AsaltoRoboHurtoHomicidio

20/03/2008


Utilidad de las distribuciones marginales. Observacin de la distribucin de los

datos en las clases de mayor y menorrelevancia.

Mediante el uso de indicadores sobre estas distribuciones, se puede tratar de establecer asociaciones con variables NO CUANTITATIVAS.

20/03/2008


Distribuciones Condicionales.

20/03/2008

Organizacin de Datos Distribuciones condicionales.

1

2

r

1

2

, 1, ... , k

r

ji

nj

n

nj

n

f

nj

n

=

= == = =

AAAA

AA

A# A#

20/03/2008


Ro Missouri, Determine las distribucin condicional del flujo del ro en la rama Yankton

,

Todos los indicadores son posibles de determinar para este grupo de datos

20/03/2008


Ro Missouri, Determine las distribucin condicional del flujo del ro en la rama Omaha

,

Todos los indicadores son posibles de determinar para este grupo de datos y ser comparados con otro grupo de inters.


Primera Clase 5

20/03/2008


Ro Missouri, Compare el flujo de las ramas de los ros

,

20/03/2008


investigacin para determinar la incidencia Determine las distribucin condicional del tipo de crimen en la quinta regin central y compare


,


20/03/2008



20/03/2008

Organizacin de DatosGrfica de Dispersin

Cargo

Pro

med

io C

ondi

cion

al a

l Car

go

0

1e6

2e6

3e6

4e6

5e6

6e6

Otros Ventas Administrativo Ejecutivo Sub-Gerente Gerente

Las Distancias en el Eje de los Cargos son arbitrarias, Slo de debe tener Presente el orden dado el tipo de escala.

20/03/2008


Organizacin de Datos: Distribuciones Marginales

Se obtienen Indicadores por variable, segn sea el tipo de escala de la variable.

Distribuciones Condicionales Se obtienen Indicadores por variable, segn

sea el tipo de escala de la variable, en variables de inters.

Mediante el uso adecuado de indicadores se pueden asociar variables.

20/03/2008

Organizacin de Datos y Estratificacin APLICACIN 4: Un estudio de una

administradora de fondos de pensiones acerca de la opcin que toma el afiliado, con respecto al tipo de fondo donde quiere mantener un mayor porcentaje de sus ahorros previsiones, y su respectivo nivel de ingresos (en miles de pesos)


Primera Clase 6

20/03/2008

Organizacin de Datos y Estratificacin APLICACIN 4: En este caso cada tipo de fondo

representa un estrato o grupo, de donde a travs de las distribuciones condicionales y marginales se obtienen los indicadores necesarios:

20/03/2008


administradora de .

Utilizando la Marginal de Ingreso

20/03/2008


administradora de .

Utilizando la Marginal de Ingreso

20/03/2008

Asociacin de Variables Existe una Matriz de Datos

20/03/2008

Asociacin de Variables

Tipo de Escala de la Medicin

Cuantitativa

Discreta

Continua

Intervalar

Razn

Cualitativa

Nominal

Ordinal

20/03/2008


Combinacin entre Tipos de Escalas

Nominal - Discreta Comuna v/s Nmero de Atrasos

Nominal - Continua Comuna v/s % de Crdito

Nominal - Ordinal Comuna v/s Establecimiento educacional

Nominal - Nominal Comuna v/s Carrera

Continua - Continua Tiempo traslado v/s Tiempo dedicado al estudi0


Primera Clase 7

20/03/2008


Anlisis Exploratorio de pares de variables. Grficos Adecuados

Anlisis a travs de Indicadores de asociacin. Chi- Cuadrado de Pearson Asociacin Montona de Spearman Asociacin de Kendall Asociacin Lineal de Pearson

20/03/2008

Indicadores de Asociacin

Estadstica Chi - Cuadrado Su uso es aplicable a cualquier tipo de

escala de medicin Nominal Ordinal Discreta - Continua

Es fundamental que los datos se encuentren agrupados en una tabla

Parte de la idea de la independencia entre dos variables.

Caracterstica A NO depende de la Caracterstica B, luego sus distribuciones tampoco

20/03/2008

Estadstica Chi - Cuadrado

Estadstica Chi - Cuadrado Se basa en la relacin entre lo Observado

y lo Esperado

Observa las discrepancias existentes entre las frecuencias que se tienen en la muestra y las que debiesen obtenerse si las variables fuesen independientes.

Entonces a grandes discrepancias, mayor es la posibilidad de dependencia entre las variables

20/03/2008

Estadstica Chi - Cuadrado Una Tabla de Frecuencia de Doble

Clasificacin

20/03/2008


Cmo determinar lo esperado?

bolitas rojas

bolitas azules

Muestra de 10 bolitas

Cuntas esperaras que fuesen rojas

?20/03/2008

Estadstica Chi - Cuadrado En una tabla de frecuencia el concepto

tiene una aplicacin similar.

Cuntas esperaras

de B1?

Cuntas esperaras de A1?

Cuntas esperaras de B1 y A1?


Primera Clase 8

20/03/2008


El Clculo de la estadstica Chi -cuadrado

( )22 rcij

Observado Esperado

Esperado =

ijnn

nn

n

n

n

nn ijij

=

20/03/2008


=rc

ij ij

ijij nn

n

n

nnn

22

El clculo de la estadstica 2

Desarrollando el cuadrado

= rc

ij ij

ij nnn

nn

22

20/03/2008


APLICACIN 5: Suponga la siguiente Tabla de doble clasificacin

20/03/2008


APLICACIN 5: Suponga la siguiente Tabla

2 2 22 (25 22) (20 23) (26 26)...

22 23 26 = + + +

20/03/2008


Indicadores descriptivos relacionados a uso de Chi- cuadrado Tablas de contingencia de dos clases en

cada variable.

Tablas de contingencia de tablas donde cada caracterstica tiene la misma cantidad de clases.

Tablas de contingencia de tablas donde las caractersticas tienen distinta cantidad de clases.

20/03/2008

Estadstica Chi - Cuadrado Tablas de contingencia de dos clases cada

variable.

22 11 12 21n n n nHn

=


Primera Clase 9

20/03/2008

Estadstica Chi - Cuadrado Tablas de contingencia de dos clases cada

variable. Su fundamento se encuentra en que si las

variables fueses independientes, entonces la razn entre n11/n1 n21/n2, es decir:

12 21 11 22n n n nHn n

21 11 21 1 1 221

2 1 2

n n n n n nn

n n n n n

+ = = =+

11 11 21 1 1 111

1 1 2

n n n n n nn

n n n n n

+ = = =+11 21

1 2

n n

n n =

20/03/2008

Estadstica Chi - Cuadrado Tablas de contingencia de tablas donde cada

caracterstica tiene la misma cantidad de clases. Es el indicador ms comnmente usado es el

coeficiente de contingencia CC el cual vara entre cero y un mximo que depende de la cantidad de clases.

Este coeficiente indicar que mientras ms cercano se encuentre a cero menor es el grado de asociacin entre las variables.

Es un indicador muy conservador, que no tiene un valor probablistico, slo descriptivo.

1kCC

k

=2 2CC n= +

k = r

20/03/2008


investigacin para determinar

1 34

kCC

k

= =

,

125,84 0,1744045 125,84

CC = =+0,174100% 100% 20,09%

( ) 0,866CC

mx CC = =

20/03/2008


Tablas de contingencia de tablas donde las caracterstica tiene la distinta cantidad de clases.

Es un indicador que vara entre cero y uno, que al igual que el coeficiente de contingencia, indicarmenor es el grado de asociacin entre las variables mientras ms cercano se encuentre a cero.

Al igual que CC, es un indicador muy conservador, que no tiene un valor probablistico, slo descriptivo.

22 ;

( 1) ( 1)T

n k r

= 2

{ 1, 1}V

n min k r

=

20/03/2008


APLICACIN 1: Se realiza una encuesta a profesionales que se desempean

2 354, 44 0,3236200 6 5

T = =20/03/2008

Indicadores de Asociacin II

Estadstica de Asociacin de Spearman Es fundamental que los datos se

encuentren en al menos escala ordinal

La aplicacin ms utilizada es datos no agrupados, sin embargo, bajo ciertas restricciones se puede extender a datos agrupados

Se basa en la relacin entre los rangos de la variables


Primera Clase 10

20/03/2008

Estadstica de Spearman

Tiene una estrecha relacin con el coeficiente de asociacin de Pearson, que se ver ms adelante.

22

1

61 ( 1)

n

s i

i

r dn n =

= 2( )x yR R

Rx = Rango de la variable x.

Ry = Rango de la variable y.20/03/2008

Estadstica de Spearman Rangear datos

Ordinales Continuos

61 128(64 1)s

r = 61 4

8(64 1)sr = 0,857sr = 0,952sr =

20/03/2008


APLICACIN 1: Una Aproximacin con datos agrupados en Tablas, para la aplicacin de la realizacin de una encuesta a profesionales

20/03/2008

Estadstica de SpearmanGrfica de Dispersin

Cargo

Pro

med

io C

ondi

cion

al a

l Car

go

0

1e6

2e6

3e6

4e6

5e6

6e6

Otros Ventas AdministrativoEjecutivoSub-GerenteGerente

Cuidado !

20/03/2008

0,60sr =

61 146(36 1)s

r =


Una Aproximacin con datos agrupados en Tablas

20/03/2008

Estadstica de Spearman No muestra relaciones funcionales Indica una asociacin montona

entre las variables. Siempre creciente Siempre decreciente

Se encuentra acotado en el intervalo [-1 ; 1] Montona creciente 1 Montona decreciente -1

Cuidado con los empates de rangos


Primera Clase 11

20/03/2008

Estadstica de Spearman APLICACIN 2: Antes de construir una presa

sobre el Ro Missouri, una empresa efectu

,

Es posible determinar mediante el uso del coeficiente de Spearman, las relaciones montonas entre las ramas de ro Missouri

20/03/2008

Estadstica de Spearman APLICACIN 2: Antes de construir una presa

sobre el Ro Missouri, una empresa efectu :

,

6 50,5( ; ) 1 0, 408 63S

r Y O= =

6 12,5( ; ) 1 0,858 63S

r S O= =

6 24( ; ) 1 0,718 63S

r S Y= =

20/03/2008

Indicadores de Asociacin III

Estadstica de Asociacin de Kendall Es fundamental que los datos se

encuentren en al menos escala ordinal

Representa una alternativa al coeficiente de Spearman, ya que tambin se basa n la relaciones de los rangos de las variables

El coeficiente de Kendall al igual que Spearman se encentra acotado en el intervalo [-1; 1]

20/03/2008

Estadstica de Kendall

Se basa en una medida de desorden.

2 2

1( )

n

i ii

d X Y=

=

2 2 2

1 1( )

n n

i i ii i

d d X Y= =

= =

22 ( 1)

3maxn n

d= =

20/03/2008


La estadstica de Kendall se expresa por:

s d

s d

n n

n n = +

ns : Nmero de comparaciones de orden Natural

nd : Nmero de comparaciones de orden Inverso 20/03/2008


Mtodo de Clculo de Kendall

25 3 22 0,78625 3 28

s d

s d

n n

n n = = = =+ +


Primera Clase 12

20/03/2008

Indicadores de Asociacin IV

Estadstica de Asociacin de Pearson Muestra la relacin lineal que existe entre

dos variables Es fundamental que los datos sean

cuantitativos continuos. Este coeficiente al igual que Spearman y

Kendall se encentra acotado en el intervalo [-1; 1]

Lineal creciente 1 Lineal decreciente -1

20/03/2008

Estadstica de Pearson

Es habitual que se utilice la grfica de dispersin para visualizar el tipo de relacin

20/03/2008

Estadstica de Pearson Si la relacin no es lineal, entonces no son

detectadas por este coeficiente.GRFICA DE DISPERSIN

020406080

100

5 10 15 20 25X

Y

GRFICA DE DISPERSIN

0

10000

20000

30000

40000

12 17 22 27 32X

Y

GRFICA DE DISPERSIN

0

20

40

60

80

5 10 15 20 25X

Y

GRFICA DE DISPERSIN

-200

0

200

400

600

22 27 32 37X

Y

20/03/2008

Anlisis Exploratorio

Grficamente se puede observar

20/03/2008

n

i ii

p n n

i ii i

y y x x

r

y y x x

=

= =

=

1

2 22 2

1 1

( - ) ( - )

( - ) ( - )


Asociacin Lineal de Pearson

2 2 2 2

n

i ii

p n n

i ii i

y x n y x

r

y n y x n x

=

= =

=

1

2 2

1 1

-

- -

20/03/2008



( , ) p x y

cov x yr

s s=

Desviaciones estndar de cada variable

Mide la relacin lineal ente un par

de variables

1

n

i ii

y y x x

covn

== 1

( - ) ( - )


Primera Clase 13

20/03/2008


Tiempo Transporte

010203040506070

7 9 11 13 15 17 19 21 23% de Capacidad no Utilizada

Tiem

po d

e Tr

ansp

orte

APLICACIN 5: Considere la siguiente situacin

20/03/2008

Estadstica de Pearson APLICACIN 6: Considere la siguiente situacin

2T 400, 491S =

0,7471pr =

T 15,609x = 13,037Cx =2 17,634CS =

T 20,012S = 4,199CS =T( ; T) 62,782 CCov C S= =

20/03/2008

Estadstica de Pearson APLICACIN 7: Gastos Publicidad v/s Cantidad

10

14

18

22

26

7 9 11 13 15 17 19 21P [M/US$]

Q[M

/US

$]

20/03/2008

Estadstica de Pearson APLICACIN 7: Gastos Publicidad v/s Cantidad

0,9684pr =

2 12,267QS =12, 467Px = 17,867Qx =

2 9,838PS =3,502QS =3,137PS =

( ; ) 10,638 PQCov P Q S= =

20/03/2008

1P

21

2 2

1

2

1

) - () - (

) - () - (

=

=

= =

=q

jjj

k

iii

k

i

q

jjiij

xmfymf

xxymf

r



21

21

1

- -

-

2222

1

P

=

=

=

==q

jjj

k

iii

k

ijiij

q

j

xmfymf

xymmf

r

20/03/2008

Estadstica de Pearson APLICACIN 7: Se aplic una cantidad

estrgeno (C en mg.) versus su edad (E en aos)

2 39,393CS = 38,333E =25,417C= 2 167,225ES =


Primera Clase 14

20/03/2008

Estadstica de Pearson APLICACIN 7: Se aplic una cantidad

estrgeno (C en mg.) versus su edad (E en aos)

15 20 7 15 30 1 ... 35 60 6 25,417 38,33360

39,393 167,225pr

+ + + =

20/03/2008

La idea de Pronosticar

Al establecer un relacin funcional entre variables, se puede utilizar una para el pronstico de la otra.

20/03/2008

Estimacin de Parmetros

Para estimar los parmetros de la funcin de pronstico, se busca minimizar los errores cuadrticos.

20/03/2008


Minimizacin de errores cuadrticos

Modelo funcional entre las variables

20/03/2008



Clara relacin con el coeficiente

de Pearson

20/03/2008

Pronsticos en las variables



Primera Clase 15

20/03/2008

Pronsticos en el % de Capacidad APLICACIN 6: Considere la siguiente situacin ...

0, 7471pr =

Tiempo Transporte

010203040506070

7 9 11 13 15 17 19 21 23% de Capacidad no Utilizada

Tiem

po d

e Tr

ansp

orte

20/03/2008

Pronsticos en la Cantidad APLICACIN 7: Gastos Publicidad v/s Cantidad

10

14

18

22

26

7 9 11 13 15 17 19 21P [M/US$]

Q[M

/US

$]

0,9684pr =

20/03/2008

Pronsticos en el estrgeno

APLICACIN 7: Se aplic una cantidad estrgeno (C en mg.) versus su edad (E en aos)

2 39,393CS =

0,84pr =

38,333E =

25,417C=

2 167,225ES =

39,393 25,417 0,84 ( 38,333)167,225i i

y x= + 20/03/2008

Enfoque Matricial

Se cuenta con una matriz de Datos

20/03/2008

Enfoque Matricial

Es posible determinar un vector de media Cuidado con la caracterstica de la unidad de

medicin de la variable

Es posible determinar una matriz de varianza y covarianza entre la variables La covarianza es un indicador de el tipo de

asociacin (positiva negativa) entre pares de variables

Puede tomar cualquier valor en los reales Es un factor de importancia para Pearson y

Spearman

20/03/2008

Enfoque Matricial

1

11

=

1 p

# 1

1 X 1tn

=K1

2

1

=

p p

#

1 X 1tXn

=1

2

1

=

p p

x

x

x

#


Primera Clase 16

20/03/2008

Enfoque Matricial

Matriz de Varianza y Covarianza ()

1 11 (X 1 X ) (X 1 X )

1t t t t t

n nn = 21 21 1

212 2 2

21 2

p

p

p p p p p

s s s

s s s

s s s

=

""

# # % #"

Es una matriz Simtrica

S12 = S21 Es una matriz

semidefinidapositiva

20/03/2008

Enfoque Matricial

Aplicacin Matricial

20/03/2008

Herramientas de Excel

20/03/2008

Herramientas de Excel

ResultadoMatriz de

covarianzas

estadistica 1111

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