espacios vectoriales y bases -...

Capıtulo 7

Espacios vectoriales y bases

En los capıtulos anteriores conocimos y trabajamos con conjuntos distin-guidos, a saber, los numeros reales R, el plano R2, el espacio R3, en formageneral para n ∈ N, el espacio Rn, y para m,n ∈ N los espacios de lasmatrices de orden m por n con entradas reales, Mm×n(R).

Vimos, que en estos conjuntos estan definidas dos operaciones, la sumay la multiplicacion por un escalar.

Denotemos con V a cualquiera de los conjuntos R, R2, R3, Rn yMm×n(R).Para dos elementos cualesquiera pertenecientes a V, v1 y v2, el elementov1 +v2 ∈ V y denota su suma y, si λ ∈ R, denotamos λ ·v1 ∈ V el elementoque resulta de multiplicar el elemento v1 por el escalar λ.

Ademas se satisfacen las siguientes propiedades:

1. Si v1,v2 ∈ V, y λ ∈ R, entonces v1 + v2 ∈ V y λ · v1 ∈ V .

2. Si v1 y v2 ∈ V , v1 + v2 = v2 + v1.

3. Si v1,v2 y v3 ∈ V , entonces (v1 + v2) + v3 = v1 + (v2 + v3).

4. Existe un unico elemento en V que llamamos el cero de V , lodenotamos con 0V tal que v1 + 0V = v1.

5. Para cada v1 ∈ V, existe un unico elemento que llamamos −v1,tal quev1 + (−v1) = 0V

1

2 CAPITULO 7. ESPACIOS VECTORIALES Y BASES

6. Si λ ∈ R, y v1,v2 ∈ V entonces, λ · (v1 + v2) = λ · v1 + λ · v2.

7. Si λ, µ ∈ R y v1 ∈ V entonces, (λ+ µ) · v1 = λ · v1 + µ · v1.

8. Si λ, µ ∈ R y v1 ∈ V entonces, (λµ) · v1 = λ(µ · v1).

9. Para cualquier v1 ∈ V se tiene que 1 · v1 = v1.

Definicion 7.1: Espacio vectorial real

Un espacio vectorial real es un conjunto V para el que estan definidasdos operaciones, la suma de sus elementos y la multiplicacion de unelemento de V por un escalar real, tal que se cumplen las propiedades1 a 9 listadas.

A los elementos de un espacio vectorial se les llama vectores.

Ejemplo 7.1.

El siguiente conjunto es tambien espacio vectorial real.

{[x1, x2] ∈ R2 | 3x1 − x2 = 0}

En cada espacio vectorial real, existen subconjuntos que por sus carac-terısticas tambien cumplen con las propiedades 1 a 9 listadas, a ellos losllamamos subespacios.

Definicion 7.2: Subespacio de un espacio vectorial real

Si V es un espacio vectorial real, un subconjunto W ⊆ V es un subes-pacio de V, si W es en sı mismo, un espacio vectorial real con lasoperaciones de suma y multiplicacion por un escalar definidas para V .

Ejemplo 7.2.

Ejemplos de subespacios son:

1. En el plano R2, una recta cualquiera L que pasa por el origen.

2. En el espacio R3, cualquier recta o plano que contenga al origen.

3

3. Para cualquier espacio vectorial real V, son subespacios el propio Vy el conjunto {0V }, cuyo unico elemento es el elemento neutro (elelemento cero), les llamamos el subespacio total y el subespacio trivialrespectivamente.

4. Para Mn×n(R), n ∈ N, el espacio vectorial de las matrices cuadradasde orden n, el subconjunto que consta de las matrices diagonales es unsubespacio.

5. Para Mn×n(R), n ∈ N, el espacio vectorial de las matrices cuadradasde orden n, el subconjunto que consta de las matrices triangularessuperiores (inferiores) es un subespacio.

Definicion 7.3: Subespacio generado

Si V es un espacio vectorial real y {v1,v2,v3, . . . ,vs} es un conjuntode s elementos de V, s ∈ N, entonces el conjunto W ⊆ V, que constade todas las combinaciones posibles de estos elementos,

W = {λ1v1 + λ2v2 + · · ·+ λsvs | λi ∈ R; i = 1, . . . , n}

es un subespacio de V y se llama el subespacio generado por elconjunto de vectores v1,v2,v3, . . . ,vs.

En efecto, verificaremos la propiedad 1. Observe que usaremos que cadaelemento de W esta en V y que en V se cumplen las propiedades 1 a 9.

Sean λ1v1+λ2v2+· · ·+λsvs y µ1v1+µ2v2+· · ·+µsvs dos combinacioneslineales, entonces

(λ1v1 + λ2v2 + · · ·+ λsvs) + (µ1v1 + µ2v2 + · · ·+ µsvs) = (λ1 + µ)v1 +(λ2 + µ2)v2 + · · ·+ (λs + µs)vs. Por lo tanto la suma de dos combinacioneslineales es una combinacion lineal y es un elemento de W .

Si λ ∈ R y λ1v1 + λ2v2 + · · ·+ λsvs ∈W, entonces

λ(λ1v1 + λ2v2 + · · · + λsvs = (λλ1)v1 + (λλ2)v2 + · · · + (λλs)vs. Porlo tanto la multiplicacion de un escalar por una combinacion lineal es unelemento de W .


El resto de las propiedades se satisfacen ya que lo hacen en V.

Observacion 7.1.

Si V es un espacio vectorial real, y si W ⊆ V, para determinarsi W es un subespacio, basta verificar que se cumplen las siguientespropiedades:

• El elemento 0V ∈W .

• Si w1 y w2 ∈W , entonces w1 + w2 ∈W.

• Si λ ∈ R y w ∈W , λw ∈W.

Ejemplos de subespacios generados por un conjunto de vectores son:

Ejemplo 7.3.

1. En el espacio R2 :

(a) El conjunto de todas las combinaciones lineales de un vector nonulo [a, b]t, describe la ecuacion vectorial de una recta L generadapor el. L es un subespacio de R2.

L =

{[x1x2

]∈ R2 |

[x1x2

]= λ

[ab

];λ ∈ R

}.

(b) El conjunto de todas las combinaciones lineales de dos vectores nocolineales [a, b]t y [d, e]t , describe a todo R2, el es un subespacio.

R2 =

{[x1x2

]∈ R2 |

[x1x2

]= λ

[ab

]+ γ

[de

];λ, γ ∈ R

}.

2. En el espacio R3 :

(a) El conjunto de todas las combinaciones lineales de un vector nonulo [a, b, c]t, describe la ecuacion vectorial de una recta L gen-erada por el, L es un subespacio de R3.

7.1. ESPACIOS FUNDAMENTALES 5

L =

x1x2x3

∈ R3 |

x1x2x3

= λ

abc

;λ ∈ R

.

(b) El conjunto de todas las combinaciones lineales de dos vectoresno colineales [a, b, c]t y [d, e, f ]t , describe la ecuacion vectorialdel plano P generado por ellos y P es un subespacio de R3.

P =

x1x2x3

∈ R3 |

x1x2x3

= λ

abc

+ γ

def

;λ, γ ∈ R

.

Ejemplos de subespacios generados por un conjunto de vectores de espe-cial importancia son los siguientes.

Ejemplo 7.4.

En el espacio Mn×1(R), si A ∈Mm×n(R) es tal que el sistema homogeneoAX = 0m×1, tiene infinidad de soluciones, su conjunto solucion es el sube-spacio generado por el Sistema fundamental de soluciones, como vimos enel capıtulo de Sistema de Ecuaciones Lineales.

Ejemplo 7.5.

Sea A una matriz de orden m×s y b ∈Mm×1(R), consideremos el sistemaAX = b. Si b es tal que el sistema es consistente, sabemos de lo visto en elcapıtulo 5 que b es una combinacion lineal de las columnas de la matriz A.Si W es el espacio en Mm×1(R) generado por las columnas de A entonces Wconsiste de las b ∈Mm×1(R) para los cuales el sistema Ax = b es consistente.

Los dos ejemplos anteriores asocian a una matriz A ∈ Mm×n(R), dossubespacios, que llamamos espacios fundamentales deA. A ellos les dedicamosla siguiente seccion de este capıtulo.

7.1 Espacios fundamentales

A una matriz A ∈ Mm×n(R) se le asocian los siguientes subespacios, sellaman:

• Espacio Nulo de A, se denota por EN(A).


• Espacio Columna de A o Rango de A, se denota por EC(A).

• Espacio Renglon de A, se denota por ER(A).

Lo primero que haremos sera comprender de cuales elementos constan yaprenderemos a dar una descripcion explıcita de cada uno de ellos.

7.1.1 Espacio Nulo

Sea A ∈Mm×n(R).

A =

a11 a12 . . . a1na21 a22 . . . a2n...

......

...am1 am2 . . . amn

Definicion 7.4: Espacio Nulo

Sea A ∈ Mm×n(R). El espacio nulo de la matriz A, EN(A), es elconjunto de vectores X ∈Mn×1(R), tal que:

EN(A) = {X ∈Mn×1(R) | AX = 0m×1}.

Es decir, EN(A) es el conjunto solucion del sistema homogeneo

AX = 0m×1.

Observacion 7.2.

• El espacio nulo de A constara de un solo vector, es decir,EN(A) = {0n×1} cuando el sistema homogeneo asociado a lamatriz A tenga solucion unica.

• El espacio nulo de A constara de una infinidad de vectores cuandoel sistema homogeneo asociado a la matriz A, tenga infinidad desoluciones.


La siguiente observacion es consecuencia de la estructura del conjuntosolucion de sistemas de ecuaciones lineales homogeneos en el capıtulo 4,Seccion 4.6.1.

Observacion 7.3.

Si A ∈ Mm×n(R), EN(A) ⊆ Mn×1(R), es en efecto un subespaciode Mn×1(R), ya que cumple con las propiedades:

• El vector X = 0n×1 ∈ Mn×1(R) siempre es solucion del sistemahomogeneo, puesto que A0 = 0.

• Si X1 y X2 ∈ EN(A), entonces X1 +X2 ∈ EN(A), puesto que siAX1 = 0n×1 y AX2 = 0n×1 entonces,

A(X1 +X2) = AX1 +AX2 = 0n×1 + 0n×1 = 0n×1.

• Si λ ∈ R y X ∈ EN(A), A(λX) = λAX = λ0n×1 = 0n×1,es decir, cualquier multiplo escalar de una solucion del sistemahomogeneo es solucion del sistema.

Observacion 7.4.

Dada una matrizA ∈Mm×n(R), para describir precisamente EN(A)basta encontrar el conjunto solucion del sistema homogeneo asociado ala matriz A, que es el conjunto de combinaciones lineales de los vectoresque pertenecen a un sistema fundamental de soluciones.

Ejemplo 7.6.

Encontrar EN(A) para A =

1 10 10 0

.Solucion I


EN(A) =

{X =

[x1x2

]∈M2×1(R) | AX = 0n×1

}.

Es decir [x1, x2]t ∈ EN(A) significa que 1 1

0 10 0

[ x1x2

]=

000

.Recuperamos el sistema que representa,

x1 + x2 = 0x2 = 0

0 = 0

por lo que x1 = x2 = 0. Obtenemos que EN(A) = {02×1} =

{[00

]}.

J

Ejemplo 7.7.

Encontrar EN(A) cuando A =

1 2 32 −1 45 0 11

Solucion I

Al resolver por el metodo de eliminacion de Gauss-Jordan el sistemahomogeneo inducido por A, AX = 03×1, llegamos a la matriz reducida

R =

1 0

11

5

0 12

50 0 0

Como R tiene dos pivotes y una variable parametro, el sistema ho-

mogeneo tiene infinidad de soluciones:

x1 = −11

5x3 y x2 = −2

5x3.

Haciendo x3 = t, el conjunto solucion del sistema homogeneo asociado ala matriz A, es decir, EN(A) es:


EN(A) =

x1x2x3

= t

−11

5

−2

51

| t ∈ R

En este ejemplo EN(A) 6= {03×1}, sus elementos son los vectores colin-

eales al vector v = [−11

5,−2

5, 1]t, que tambien podemos ver como todas las

combinaciones lineales que podemos formar con v.Observe que tambien EN(A) esta generado por w = [11, 2,−5]t. J

Ejemplo 7.8.

Encontrar el espacio nulo de la matriz A para

A =

1 1 2 12 −1 4 14 1 8 3

Solucion I

Resolvemos el sistema homogeneo AX = 04×1, aplicando las operacionesR2 → R2−2R1, R3 → R3−4R1 yR3 → R3−R2 tenemos queA es equivalentepor filas a la matriz escalonada

R =

1 1 2 10 −3 0 −10 0 0 0

Esta matriz R tiene 2 pivotes y dos variables parametro. Ahora, las

ecuaciones

x1 + x2 + 2x3 + x4 = 0; −3x2 +−x4 = 0

son equivalentes a las siguientes:

x1 = −x2 − 2x3 − x4 − 3x2 = x4,

de donde,

x2 = −1

3x4

x1 = −(−1

3x4)− 2x3 − x4 =

1

3x4 − 2x3 − x4 = −2x3 −

2

3x4


Hacemos x3 = s y x4 = t tenemos que el espacio nulo de A, que es elconjunto solucion del sistema AX = 04×1, se describe como:

x1

x2

x3x4

=

−2s− 2

3 t

−13 t

st

(7.1)

para todo s, t ∈ R.

EN(A) =

x1

x2

x3x4

=

−2s− 2

3 t

0− 13 t

s+ 00 + t

| s, t ∈ R

EN(A) =

x1

x2

x3x4

= s

−2

0

10

+ t

−2

3

−13

01

| s, t ∈ R

Observe que un sistema fundamental de soluciones para AX = 04×1 es

−2

0

10

,−2

3

−13

01

J

Proposicion 7.1.

EN(A) es el subespacio generado por los vectores del sistema funda-mental de soluciones.


7.1.2 Espacio Columna

Demos la definicion de este espacio.

Definicion 7.5: Espacio Columna o Rango de una matriz

Sea A ∈ Mm×n(R). El Espacio Columna de A o Rango de A, es elsubespacio de Mm×1(R) generado por las columnas de A, lo denotamosEC(A).

EC(A) = {x1Col1(A) + · · ·+ xnColn(A); x1, x2, . . . xn ∈ R}.

Si b ∈ Mm×1(R) y b ∈ EC(A), entonces el sistema AX = b es consis-tente, ya que existen λ1, . . . , λn ∈ R con

λ1Col1(A) + · · ·+ λnColn(A) = b.

Sea A ∈Mm×n(R), A =

a11 a12 . . . a1na21 a22 . . . a2n...

......

...am1 am2 . . . amn

y b =

b11b21...bm1

Conforme a la definicion, un vector b ∈ EC(A), si es una combinacion

lineal de las columnas de A, es decir, existen x1, x2, . . . xn numeros realestal que,

x1

a11a21...

am1

+ x2

a12a22...

am2

+ · · ·+ xn

a1na2n

...amn

=

b11b21...bm1

(7.2)

Realizando la suma del lado izquierdo de (??) obtenemos el sistema deecuaciones lineales,

x1a11 + x2a12 + · · ·+ xna1n = b11x1a21 + x2a22 + · · ·+ xna2n = b21

......

x1am1 + x2am2 + · · ·+ xnamn = bm1


Sea X =

x1x2...xn

, entonces este sistema es, AX = b.

Obtenemos una segunda definicion para el espacio columna,

Definicion 7.6: Segunda definicion del Espacio Columna

Sea A ∈Mm×n(R). El Espacio Columna de A o Rango de A, EC(A) ⊆Mm×1(R), es el conjunto.

EC(A) = {b ∈Mm×1(R) | existe X ∈Mn×1(R) para el cual AX = b}

Los elementos de EC(A) son todos los vectores b ∈Mm×1(R) paralos cuales el sistema AX = b es consistente.

Observacion 7.5.

Para un vector b ∈ Mm×1(R) cualquiera, se tiene que b ∈ EC(A) si ysolo si, el sistema AX = b es consistente.

Observemos que cada vector columna, Colj(A) para j = 1 . . . , n, pertenecea EC(A).

Para mostrar esto, para cada j = 1, . . . , n sean ej ∈ Mn×1(R) tal que

ej =

0...1...0

, el vector que tiene 1 en la j-esima entrada y el resto de sus

entradas igual a cero, se tiene

A · ej = Colj(A).


Observacion 7.6.

Si A ∈ Mm×n(R), el Espacio Columna EC(A) es un subespacio deMm×1(R), ya que satisface las siguientes propiedades:

• El vector 0m×1 ∈ Mm×1(R) es un elemento de EC(A) ya queA0n×1 = 0m×1.

Por lo tanto, 0m×1 ∈ EC(A).

• Si b1 y b2 ∈ EC(A), entonces los sistemas AX = b1 y AX = b2son consistentes.

Ası, el sistema AX = b1 + b2 es consistente puesto que existenX1, X2 ∈Mn×1(R) tal que A(X1 +X2) = AX1 +AX2 = b1 + b2.

• Si b ∈ EC(A), cualquier multiplo escalar de b ∈ EC(A). Enefecto, existe X1 ∈Mn×1(R) con AX1 = b, ası,

AλX1 = λAX1 = λb.

De donde, λb ∈ EC(A).

Es importante poder describir geometricamente al espacio columna. Porejemplo, si consideramos una matriz A de orden 3 no nula, sabemos queEC(A) es el subespacio de M3×1(R) generado por las columnas de A o elconjunto de vectores b ∈ M3×1(R) para el cual el sistema es consistente.EC(A) puede ser una recta, un plano, o inclusive todo M3×1(R).

Veamos a traves de los siguientes ejemplos como determinar lo anterior.

Ejemplo 7.9.

Encontrar EC(A) cuando A es la matriz del ejercicio ??,

A =

1 2 32 −1 45 0 11

.

Solucion IPara encontrar EC(A) vamos a utilizar la descripcion que obtuvimos

para EN(A).

De lo realizado en el ejemplo ??, sabemos que EN(A) 6= {03×1}, y que


EN(A) =

X ∈ R3 | X =

x1

x2

x3

= t

−115

−25

1

; t ∈ R

Si X ∈ EN(A), tenemos AX = 03×1. Este sistema homogeneo lo pode-

mos representar como la combinacion lineal de las columnas de A siguiente,

x1

125

+ x2

2−1

0

+ x3

3411

=

000

Sustituimos los valores de cada componente de X, obtenemos:

− 11

5t

125

+−2

5t

2−1

0

+ t

3411

=

000

(7.3)

La igualdad en (??) se cumple para cualquier valor de t ∈ R. Esto nosdice que podemos encontrar una combinacion lineal de las columnas de Aigualada al vector cero con al menos un coeficiente distinto de cero.

Hacemos por ejemplo t = 1, tenemos la combinacion lineal de los vectorescolumna de A:

−11

5

125

− 2

5

2−1

0

+

3411

=

000

De la ultima expresion, despejemos al vector Col3(A) =

3411

.

3411

=11

5

125

+2

5

2−1

0

(7.4)

Observe que Col3(A) no es indispensable para describir EC(A) ya quepor la definicion de EC(A),

EC(A) =

a 1

25

+ b

2−1

0

+ c

3411

; a, b, c ∈ R


remplazamos al vector

3411

utilizando (??)

EC(A) =

a 1

25

+ b

2−1

0

+ c

11

5

125

+2

5

2−1

0

; a, b, c ∈ R

simplificando, hacemos d = a+ c

11

5y e = b+ c

2

5obtenemos que

EC(A) =

d 1

25

+ e

2−1

0

; d, e ∈ R

J

En este ejemplo, EN(A) tiene infinidad de soluciones y hemos encon-trado una forma mas sencilla de describir al espacio columna de A, EC(A).Lo hicimos dando el valor t = 1 al unico parametro que aparece en la des-cripcion del conjunto solucion del sistema homogeneo AX = 03×1.

Al hacerlo pudimos expresar la tercera columna de A en terminos de laprimera y la segunda columnas.

Otra cuestion que observar, en el ejemplo ??, la matriz escalonada que seobtuvo tiene los pivotes en la primera y la segunda columnas y en la terceracolumna a la variable parametro y, las columnas que generan a EC(A),son las mismas columnas en las que se encuentran los pivotes de la matrizescalonada obtenida al encontrar EN(A).

Veamos otro ejemplo:

Ejemplo 7.10.

Encontrar el espacio columna de la matriz A para

A =

1 1 2 12 −1 4 14 1 8 3

Solucion I

Con lo hecho en el ejemplo anterior, sabemos que debemos encontrarEN(A) y con ello encontrar EC(A).

En el ejemplo ?? encontramos que


EN(A) =

X ∈M4×1(R) ;

x1

x2

x3x4

= s

−2

0

10

+ t

−2

3

−13

01

; s, t ∈ R

Encontremos EC(A).

Tenemos ya el conjunto solucion del sistema homogeneo AX = 04×1, porlo que se cumple

x1

124

+ x2

1−1

1

+ x3

248

+ x4

113

=

000

sustituyendo los valores de cada xi, i = 1, 2, 3, 4. que encontramos en

(??), obtenemos

(−2s− 2

3t)

124

+−1

3t

1−1

1

+ s

248

+ t

113

=

000

(7.5)

Hagamos s = 1 y t = 0 en (??), obtenemos,

−2

124

+

248

=

000

por lo que el vector en la tercera columna de A es multiplo escalar del vectorque esta en la primera columna 2

48

= 2

124

Hagamos s = 0 y t = 1 en (?? ), obtenemos

−2

3

124

− 1

3

1−1

1

+

113

=

000


por lo que el vector en la cuarta columna de A es una combinacion lineal delos vectores que corresponden a las columnas primera y segunda de A, ası 1

13

=2

3

124

+1

3

1−1

1

EC(A) es el conjunto de todas las combinaciones lineales de los vectores enlas columnas de A,

EC(A) =

x1 1

24

+ x2

1−1

1

+ x3

248

+ x4

113

| x1, x2, x3, x4 ∈ R

al reemplazar las expresiones de los vectores columna Col3(A) y Col4(A)nos queda:

EC(A) =

r 1

24

+ s

1−1

1

| r, s ∈ R

J

En este ejemplo, EN(A) tiene infinidad de soluciones y hemos encon-trado una forma mas sencilla de describir al espacio columna de A, EC(A).Lo hicimos dando primero los valores t = 1, s = 0 y luego los valores t = 0,s = 1 a los dos parametros que aparecieron en la descripcion del conjuntosolucion del sistema homogeneo AX = 04×1.

Al hacerlo, pudimos expresar la tercera columna de A en terminos de laprimera y, a la cuarta columna de A, en terminos de la primera y la segundacolumnas.

Otra cuestion que observar es, en el ejemplo ??, la matriz escalonada quese obtuvo al resolver el sistema homogeneotiene dos pivotes en la primeray la segunda columnas y en la tercera y cuarta columnas a las variablesparametro. Las columnas con las que se describe a EC(A), son las mis-mas columnas en las que se encuentran los pivotes de la matriz escalonadaobtenida al encontrar EN(A).

En los ejemplos anteriores se han descrito explıcitamente los espaciosnulos y los espacios columna de dos matrices. Permıtanos insistir en losiguiente:

• En el ejemplo ?? y en el ??


A =

1 2 32 −1 45 0 11

EN(A) = {X ∈ R3 | AX = 03×1} =

X ∈ R3 | X = t

−115

−25

1

; t ∈ R

EC(A) =

d 1

25

+ e

2−1

0

; d, e ∈ R

El numero de incognitas en AX = 03×1 es igual a 3, es igual alnumero de columnas de A.

Hay infinidad de soluciones del sistema homogeneo, hay unavariable parametro y por lo tanto hay un solo vector que generaal espacio nulo.

Al resolver el sistema AX = 03×1, el numero de pivotes en lamatriz escalonada R equivalente por filas a A, es 2, que es elnumero de vectores con el que describimos a EC(A), mas pre-cisamente, las columnas que utilizamos para describir a EC(A)son las columnas de A en donde se encuentran los pivotes de lamatriz escalonada R equivalente por filas a A.

• En los ejemplos ?? y ??

A =

1 1 2 12 −1 4 14 1 8 3

EN(A) = {X ∈ R4 ; AX = 03×1} =

X ∈ R4 ;

x1

x2

x3x4

= s

−2

0

10

+ t

−2

3

−13

01

; r, t ∈ R


EC(A) =

r 1

24

+ s

1−1

1

; r, s ∈ R

El numero de incognitas en AX = 03×1 es igual a 4.

Hay infinidad de soluciones del sistema homogeneo, hay dos varia-bles parametro y por lo tanto hay dos vectores que generan alespacio nulo.

Al resolver el sistema AX = 03×1, el numero de pivotes en lamatriz escalonada R equivalente a A es 2, que es el numero devectores con el que se describe EC(A).

Las columnas que utilizamos para describir a EC(A) son lascolumnas de A en donde se encuentran los pivotes de la matrizescalonada R equivalente por filas a A.

En los dos ultimos ejemplos, encontramos que habıa infinidad de solu-ciones en el sistema homogeneo, en el caso general:

Sea A ∈ Mm×n(R), tal que el sistema AX = 0m×1 tiene infinidadde soluciones.

Para encontrar EC(A) consideramos el espacio nulo de A:

EN(A) = {X ∈Mn×1(R) ; AX = 0m×1}.

Resolvemos el sistema homogeneo mediante el metodo de elimi-nacion de Gauss (Gauss-Jordan). Llamamos R a la matriz escalonada(escalanoda reducida).

Como hay infinidad de soluciones, hay s ≥ 1 pivotes y n−s variablesparametro en la matriz R y cualquier solucion del sistema homogeneoesta descrita mediante los parametros.

Escribimos el sistema AX = 0m×1, como combinacion de las colum-nas de A. En esta combinacion lineal, sustituimos cada una de lasvariables xi para i = 1, . . . , n, con el valor obtenido en terminos de losparametros.

Para cada parametro, le asignamos el valor igual a 1 y al resto los


hacemos igual a cero.

Obtendremos que n− s vectores columnas de A, los que correspon-den a las columnas de R en donde estan las variables parametro, quedandescritos en terminos de los vectores columna de A que correspondena las columnas de R en donde aparecen los s pivotes.

Utilizamos las expresiones obtenidas para los n− s vectores colum-nas y las sustituimos en la combinacion lineal de la que partimos.

Simplificamos reagrupando terminos para describir EC(A), comoel conjunto de combinaciones lineales de las columnas de la matriz Acorrespondientes a las columnas de la matriz R en donde se encuentranlos pivotes.

Proposicion 7.2.

Sea A ∈ Mm×n(R), si el sistema AX = 0m×1 tiene infinidad de solu-ciones, entonces, EC(A) esta generado por los vectores columna deA, correspondientes a las columnas pivote de la matriz escalonada(escalonada reducida) R, que se obtiene al resolver el sistema AX =0m×1, por alguno de los metodos de eliminacion.

Hemos podido describir a EC(A) cuando AX = 0m×1 tiene infinidad desoluciones.

¿Que sucede si AX = 0m×1 tiene una unica solucion? Veamosunos ejemplos:

Ejemplo 7.11.

Encontrar EC(A) si A es la matriz del ejemplo ??,

A =

1 10 10 0

.Solucion I Vimos que EN(A) = {X ∈ R2 ; AX = 03×1} =

{[00

]}.

Escibimos a AX = 03×1 como combinacion lineal de las columnas de A.


x1

100

+ x2

110

=

000

Como la unica solucion es x1 = 0 y x2 = 0, tenemos que

0

100

+ 0

110

=

000

.y por lo tanto no podemos expresar uno de los vectores columna de A enterminos del otro. Si la solucion del sistema homogeneo es unica, ningunode los vectores columna de A es colineal al otro y los dos vectores columnase necesitan para describir a EC(A) :

EC(A) =

x1 1

00

+ x2

110

; xi ∈ R, i = 1, 2

.

Ahora, los vectores b que pertenecen a EC(A) son aquellos para los cualesel siguiente sistema tiene solucion

x1 + x2 = b11x2 = b210 = b31

El sistema AX = b es consistente y tiene solucion unica si b31 = 0.Dado b = [b11, b21, 0]t, la solucion del sistema A[x1, x2, x3]

t = [b11, b21, 0]t,es: x1 = b11 − b21, x2 = b21. En consecuencia, EC(A) = es el plano xy enR3.

J

Ejemplo 7.12.

Encontrar los espacios EC(A) y EN(A) cuando

A =

1 2 32 −1 43 11 5

Solucion I La matriz asociada A es equivalente por filas a la matriz

R =

1 2 30 −5 −20 0 −4

.


Observemos que R es equivalente a la matriz identidad de orden 3 y porlo tanto A es invertible. Esto significa que cualquier sistema AX = b esconsistente. Lo que equivale a que cualquier b ∈ R3 pertenece al espaciocolumna, es decir EC(A) = R3.

El metodo que utilizamos en los ejemplos ?? y ?? no nos es util en esteejemplo.

Si lo utilizamos nos produce una igualdad del tipo:

0 ·

123

+ 0 ·

2−111

+ 0 ·

345

=

000

,de la que no podemos deducir algo.

Tenemos que no podemos expresar una columna de A en terminosde las otras y ası:

EC(A) =

r 1

23

+ s

2−1

1

+ t

345

; r, s, t ∈ R

= R3

Observacion 7.7.

En los ejemplos ?? y ??, para cada una de las matrices dadas, seobtuvo que EN(A) es el espacio nulo y que EC(A) se construye contodas las combinaciones lineales posibles de los vectores columna de Aen cada caso.

En cada uno de los ejemplos el numero de incognitas del sistemahomogeneo es igual al numero de columnas pivote.

La solucion en el sistema homogeneo es unica, hay cero variablesparametro.

El numero de pivotes en las matrices escalonadas es igual al numerode columnas de cada matriz necesarias para describir EC(A).


Proposicion 7.3.

Sea A ∈Mm×n(R). Si el sistema AX = 0m×1 tiene solucion unica, en-tonces la matriz escalonada R, obtenida al resolverlo por algun metodode eliminacion, tiene n pivotes y EC(A) esta generado por todos losvectores columna de A, correspondientes a las columnas pivote de R.

7.1.3 Espacio Renglon

Empezamos con la definicion:

Definicion 7.7: Espacio Renglon

Sea A ∈ Mm×n(R). El espacio renglon de A, se denota ER(A), es elespacio generado por los vectores renglon de la matriz A, es decir, suselementos son combinaciones lineales de los vectores renglon de A.

ER(A) = {v ∈M1×n(R) ; v = x1R1(A)+x2R2(A)+· · ·+xmRm(A, )para x1, x2, . . . xm ∈ R}.

Llevamos a la matriz A a una matriz escalonada R mediante operacioneselementales de renglon. Sabemos que los renglones de R son resultado decombinaciones lineales de los renglones de A y recıprocamente, por lo queER(A) = ER(R),

Si t es el rango de R como matriz escalonada (R tiene t ≤ m renglonesdistintos de cero), cualquier combinacion lineal:

x1R1(A) + x2R2(A) + · · ·+ xmRm(A), para x1, x2, . . . xm ∈ R

puede expresarse como combinacion lineal de los renglones distintos de cerode R, (la matriz A y R son equivalentes por filas):

x1R1(R) + x2R2(R) + · · ·+ xtRt(R), para x1, x2, . . . xt ∈ R

De donde el espacio renglon esta generado por los vectores renglon de lamatriz escalonada R obtenida al escalonar la matriz A.

Ejemplo 7.13.


Encontrar el espacio renglon de la matriz B si

B =

1 2 41 −1 12 4 81 1 3

.

Solucion ILlevamos B a una forma escalonada R mediante las operaciones elemen-

tales:R2 → R2−R1, R3 → R3−2R1, R4 → R4−R1, R4 ↔ R2, R4 → R4−3R2,

R2 → −R2.

B =

1 2 41 −1 12 4 81 1 3

→→ · · · → R =

1 2 40 1 10 0 00 0 0

ER(B) = {v ∈M1×3(R) ; v = x1[1, 2, 4] + x2[0, 1, 1];x1, x2 ∈ R}.

ER(B) es un plano en R3.J

Observacion 7.8.

En el ejemplo ?? hemos encontrado ER(B). Observe que es un subes-pacio generado por los dos vectores renglon de la matriz escalonada R,donde se encuentran sus pivotes.

Sabemos que EC(B) tambien esta generado por dos vectores, losvectores en la primera y segunda columnas de B, que son los corres-pondientes a las columnas de R en donde se encuentran los pivotes.

El espacio ER(B) ⊆ M1×3(R), mientras que, EC(B) ⊆ M4×1(R).Claramente son diferentes, sin embargo, concluimos que el numero devectores que requerimos para generar ER(B) es el mismo que el numerode vectores para generar a EC(B) ya que ambos estan determinadospor el numero de pivotes de la matriz R.


Observacion 7.9.

Como sabemos que los vectores renglon de una matriz A, son los vec-tores columna de su matriz transpuesta At, el espacio que genera elconjunto de vectores renglon de A, coincide con el espacio que generael conjunto de los vectores columna de At. Se tiene que:

ER(A) = EC(At).

Recordemos que en capıtulos anteriores vimos que podemos ver los vec-tores en Rn ya sea como vectores renglon o como vectores columna ya quetenemos las correspondencias biyectivas

Rn ↔M1×n(R)

Rn ↔Mn×1(R)

M×1(R)↔M1×n(R);

x1...xn

↔ [x1, · · · , xn] ;

X ↔ Xt

Los espacios M1×n(R) y Mn×1(R) como espacios de matrices son dife-rentes, sin embargo con ellos hemos descrito al espacio Rn.

Ejemplo 7.14.

Verificar ER(B) = EC(Bt) para B la matriz en el ejemplo ??.

Solucion I

La matriz B en ?? es B =

1 2 41 −1 12 4 81 1 3

Observamos que la matriz transpuesta de B, Bt, es la matriz A del

ejemplo ??. Tenemos que Bt = A.

A =

1 1 2 12 −1 4 14 1 8 3


Tenemos que verificar ER(B) = EC(Bt) = EC(A).

En ?? encontramos EC(A),

EC(A) =

v ∈M3×1(R) ; v = r

124

+ s

1−1

1

; r, s ∈ R

Por otro lado de ?? obtuvimos,

ER(B) = {v ∈M1×3(R) ; v = x1[1, 2, 4] + x2[0, 1, 1];x1, x2 ∈ R},

Interprtemos a ER(B) y a EC(A) como planos en R3 y calculemos el vectornormal de cada uno de ellos.

El vector normal de EC(A) es el vector [6, 3,−3] = −3[−2,−1, 1].

El vector normal de ER(B) es el vector [−2,−1, 1].

Vemos que los vectores normales de los dos planos son colineales y los dosplanos contienen al origen.

La ecuacion normal del plano ER(B) es −2x1 − x2 + x3 = 0.

La ecuacion normal del plano EC(A) es 6x1 + 3x2 − 3x3 = 0.

Ambas ecuaciones representan el mismo plano

En R3, los espacios ER(B) = EC(Bt) = EC(A) son el mismo. J

7.2 Bases

En las secciones anteriores vimos que para determinar el espacio nulo, elespacio columna y el espacio renglon de una matriz A ∈Mm×n(R), bastabacon encontrar para cada uno de ellos, un conjunto de vectores B que losgeneraran.

En los ejemplos ?? y ?? vimos que para describir EC(A), no eran nece-sarios todos los vectores columna, que basto con un subconjunto de ellos.

En particular, en el ejemplo ??, la matriz tiene tres columnas.

A =

1 2 32 −1 45 0 11

7.2. BASES 27

Para determinar EC(A) solamente necesitamos la primera y la segundacolumnas de la matriz A, ya que la tercera columna resulto ser combinacionlineal de las otras dos. El conjunto

B =

1

25

, 2−1

0

.

es un conjunto mınimo de generadores para EC(A).

Algo similar paso en el ejemplo ??, para la matriz

A =

1 1 2 12 −1 4 14 1 8 3

En este caso la matriz tiene cuatro columnas. Al determinar EC(A) sola-mente requerimos la primera y la segunda columna, ya que la tercera y lacuarta columnas son combinacion lineal de la primera y de la segunda. Eneste caso el conjunto que encontramos fue

B =

1

24

, 1−1

1

.

Algo diferente sucedio en el ejemplo ?? en donde la matriz A fue

A =

1 2 32 −1 43 11 5

Aquı la matriz tiene tres vectores columna y los tres fueron necesarios paradescribir EC(A) ya que no pudimos remplazar a ninguno de ellos y

B =

1

23

, 2−111

, 3

45

.

¿Por que en unos casos al describir EC(A) se pueden omitiralgunos vectores columna y en otros no es posible?

La respuesta a esta pregunta esta en el espacio EN(A). Es decir, enla naturaleza del conjunto solucion del sistema homogeneo inducido por lamatriz A, que puede tener infinidad de soluciones o tener solucion unica.


Si el sistema homogeneo tiene infinidad de soluciones, hay variablesparametro, y estas nos permiten remplazar a ciertos vectores. Este fueel caso en los ejemplos ?? y ??.

Si el sistema homogeneo tiene solucion unica, todas las variables corre-sponden a pivotes, no hay variables parametro y no es posible remplazar avector columna alguno. Este fue el caso en el ejemplo ??.

7.2.1 Independencia lineal y dependencia lineal

Dada una matriz A ∈ Mm×n(R), queremos hacer explıcitas las condicionespara determinar cuales columnas de A son suficicentes para generar EC(A).

Por los ejemplos anteriores sabemos que estas condiciones tienen relacioncon el espacio nulo de A.

Definicion 7.8: vectores linealmente independientes en Mm×1(R)

Dado un conjunto de s vectores {v1,v2, . . . ,vs} ⊆Mm×1(R).Definimos la matriz A ∈ Mm×s(R), tal que Coli(A) = vi donde

i = 1, ..., s.

A = [v1 | v2 | · · · | vs].

Decimos que {v1,v2, . . . ,vs}, es un conjunto de vectores li-nealmente independiente si el sistema homogeneo AX = 0m×1

tiene solucion unica, y por lo tanto la unica solucion es X = 0m×1.

Definicion 7.9: vectores linealmente dependientes en Mm×1(R)

Dado un conjunto de s vectores {v1,v2, . . . ,vs} ⊆ Mm×1(R). Defini-mos la matriz A ∈Mm×s(R), por Coli(A) = vi donde i = 1, ..., s.

A = [v1 | v2 | · · · | vs].

Decimos que {v1,v2, . . . ,vs}, es un conjunto de vectores li-nealmente dependiente si el sistema homogeneo AX = 0m×1 tieneinfinidad de soluciones.

7.2. BASES 29

Ejemplo 7.15.

Determinar si el siguiente conjunto de vectores es linealmente dependien-te o linealmente independiente.

S =

1

25

, 2−1

0

, 3

411

.

Solucion IConstruimos la matriz A cuyas columnas son los vectores en S.

A =

1 2 32 −1 45 0 11

.Observe que A es la matriz del ejemplo ?? y en este ejemplo, encontramos

que el conjunto solucion del sistema homogeneo tiene infinidad de elementos.Concluimos que S es linealmente dependiente. J

Proposicion 7.4.

Dado un conjunto de s vectores {v1,v2, . . . ,vs} ⊆ Mm×1(R). Esteconjunto es linealmente dependiente si y solamente si al menos uno deellos es combinacion lineal de los restantes.

Ejemplo 7.16.

Determinar si el siguiente conjunto de vectores es linealmente dependi-ente o linealmente independiente.

S =

1

23

, 2−111

, 3

45

.

Solucion IComo antes, construimos la matriz A,

A =

1 2 32 −1 43 11 5


Observe que A es la matriz del ejemplo ?? y en este ejemplo, encon-tramos que el sistema homogeneo tiene solucion unica. Concluimos que Ses linealmente independiente.

J

Ejemplo 7.17.

Sea v ∈Mm×1(R) donde v es un vector no nulo. Entonces {v} siemprees linealmente independiente.

v =

v11v21...

vm1

Solucion I

Sea A =

v11v21...

vm1

, que es una matriz de orden m× 1.

Construimos el sistema homogeneo asociado a A. Sea x ∈ M1×1(R), elsistema es

Ax =

v11v21...

vm1

x =

xv11xv21

...xvm1

=

00...0

= 0m×1

Esta igualdad obliga a que xvi1 = 0 para toda i = 1, . . .m. Como paraalgun i, vi1 6= 0, pues v 6= 0, entonces se debe tener que x = 0. Por lo queel sistema homogeneo tiene solucion unica, de donde, {v} es linealmenteindependiente.

En resumen, para una matriz A ∈Mm×n(R) :

• Si EN(A) 6= {0n×1}, los vectores columnas de A son linealmentedependientes. (Hay infinidad de soluciones para el sistema ho-mogeneo.)

• Si EN(A) = {0n×1}, los vectores columnas de A son linealmente

7.2. BASES 31

independientes. (Hay una unica solucion del sistema homogeneo.)

La definicion de independencia lineal para cualquier espacio vectorialreal V es:

Definicion 7.10: vectores linealmente independientes

Sea V un espacio vectorial real. Dado un conjunto de s vectores{v1,v2, . . . ,vs} ⊆ V. Decimos que {v1,v2, . . . ,vs}, es un conjuntode vectores linealmente independiente si dada una combinacionlineal de los vectores con coeficientes reales que es igual al vector cero:

x1v1 + x2v2 + · · ·+ xsvs = 0V

se tiene quex1 = x2 = · · · = xs = 0.

Esto es equivalente a que la unica solucion de la ecuacion

x1v1 + x2v2 + · · ·+ xsvs = 0V

es la trivial.

Definicion 7.11: vectores linealmente dependientes

Sea V un espacio vectorial real. Dado un conjunto de s vectores{v1,v2, . . . ,vs} ⊆ V. Decimos que {v1,v2, . . . ,vs}, es un conjuntode vectores linealmente dependiente si no es linealmente indepen-diente.

Es decir, existe una combinacion lineal de los vectores con coefi-cientes reales igual al vector cero, con al menos un coeficiente distintode cero:

Existe x1v1 + x2v2 + · · ·+ xsvs = 0V , con al menos un xi 6= 0.

Ejemplo 7.18.


En cualquier espacio vectorial real V , un vector v 6= 0V siempre eslinealmente independiente.

Solucion ISea λ ∈ R, 0V 6= v ∈ V . Supongamos que el linealmente dependiente,

por lo que tenemos la combinacion lineal λv = 0V , con el unico coeficienteλ 6= 0, multiplicamos por λ−1, obtenemos v = λ−10V = 0V . Lo que no esposible ya que el vector es no nulo por hipotesis.

Ejemplo 7.19.

Para la matriz dada, verifique que el sistema fundamental de solucionesdel sistema homogeneo AX = 03×1 es un conjunto linealmente independi-ente.

A =

1 2 3 3 5 42 −1 4 1 0 33 4 5 0 0 2

Solucion I

Reducimos a la matriz A mediante operaciones elementales para obtenerla matriz reducida R.

R =

1 0 0 −61

16−105

16−7

2

0 1 01

8

5

80

0 0 135

16

55

16

5

2

Hay tres variables pivote y tres variables parametro.El conjunto solucion consta de los vectores [x1, x2, x3, x4, x5, x6]

t ∈M6×1(R)tal que

x1

x2

x3

x4x5x6

=

r 6116 + s10516 + t72−r 18 − s

58

−r 3516 − s5516 − t

52

rst

= r

6116

−18

−3516

100

+ s

10516

−58

−5516

010

+ t

72

0

−52

001

.

7.2. BASES 33

Recuerde que el sistema fundamental de soluciones es el conjunto devectores con los que expresamos cualquier solucion, consideremos cualquiercombinacion lineal de estos vectores igual al vector cero,

r

6116

−18

−3516

100

+ s

10516

−58

−5516

010

+ t

72

0

−52

0

01

=

0

0

0

000

es lo mismo que

r 6116 + s10516 + t72−r 18 − s

58

−r 3516 − s5516 − t

52

rst

=

0

0

0

000

Para que se de la igualdad, necesariamente debe suceder que

r = s = t = 0. J

Proposicion 7.5.

Sea A ∈Mm×n(R) tal que EN(A) 6= {0n×1}, es decir, hay infinidad desoluciones para el sistema homogeneo. Entonces un sistema fundamen-tal de soluciones siempre es un conjunto linealmente independiente.

7.2.2 Conjuntos de generadores

Abordaremos el problema siguiente: Dado un subespacio W de un espaciovectorial real V, queremos encontrar un conjunto de generadores para W .Es decir, queremos encontrar {v1,v2,v3, . . . ,vs} ⊆ V tal que

W = {λ1v1 + λ2v2 + · · ·+ λsvs ; λi ∈ R; i = 1, . . . , s}

Ejemplo 7.20.


En R3, exprese al plano P como un subespacio generado por un conjuntode vectores.

P =

x1x2x3

∈ R3 ; x1 + 2x2 + 4x3 = 0

.

Solucion IPara hacer lo que nos pide el ejemplo, basta encontrar una ecuacion

vectorial para P como lo hicimos en el capıtulo 3.

Tomemos los puntos O(0, 0, 0), P (0,−2, 1) y Q(4, 0,−1) en P.

Sabemos que los vectores−−→OP =

0−2

1

y−−→OQ =

40−1

yacen en el

plano P , su producto cruz es−−→OP ×

−−→OQ = [2, 4, 8] que es colineal a la normal

de P.

Una ecuacion vectorial para el plano P esta dada por

P =

x1x2x3

∈ R3 ;

x1x2x3

= s

0−2

1

+ t

40−1

; s, t ∈ R

El plano P esta generado por el conjunto:

0−2

1

, 4

0−1

. J

Observe que para un subespacio podemos encontrar muchos conjuntosde vectores diferentes que lo generan.

Ejemplo 7.21.

Encontrar un conjunto diferente de generadores para el plano del ejemplo??

7.2. BASES 35

Solucion I Tomemos ahora en el plano del ejemplo ??, los puntos P (5,−1

2,−1)

Q(0,−2, 1) y R(2, 1,−1).

Encontrando los vectores fijos equivalentes a−−→PQ y

−→PR, damos otra

ecuacion vectorial para P.

P =

x1x2x3

∈ R3 ;

x1x2x3

= s

−5

−3

22

+ t

−3

−3

20

; s, t ∈ R

.

Por lo que el siguiente conjunto tambien genera al plano P. −5

−3

22

, −3

−3

20

.

J

Ejemplo 7.22.

Encontrar un conjunto de generadores para EN(A) y EC(A) cuando

A =

1 1 1−1 −2 3

3 2 7

Solucion I Encontramos primero EN(A). LLevamos a la matriz a unaforma reducida mediante las operaciones R2 → R2+R1, R3 → R3−R1, R3 →R3 −R2, R1 → R1 +R2.

R =

1 0 50 1 −40 0 0

Recuperamos el sistema y obtenemos

x1 = −5x3, x2 = 4x3.

EN(A) =

x1x2x3

∈ R3 ;

x1x2x3

= t

−541

; t ∈ R


EN(A) esta generado por v =

−541

.

Observe que para cualquier λ 6= 0, λv tambien genera a EN(A).

Ahora encontremos un conjunto de generadores para EC(A).Sabemos que un conjunto de generadores para EC(A) es

1−1

3

, 1−2

2

, 1

37

.

Nos proponemos dar otro conjunto de generadores con menos elementospuesto que al ser EN(A) 6= 0 los vectores columna forman un conjuntolinealmente dependiente.

Como conocemos EN(A) tenemos que

−5

1−1

3

+ 4

1−2

2

+ 1

137

=

000

y por lo tanto

5

1−1

3

− 4

1−2

2

=

137

Concluimos que para generar a EC(A) nos basta el conjunto

1−1

3

, 1−2

2

.

J

7.2.3 Bases de espacios

En lo que hemos estudiado trabajamos con ejemplos de espacios vectorialesreales y algunos de sus subespacios.

Una propiedad importante de cualquier espacio vectorial es que tienenconjuntos de generadores con un numero mınimo de elementos, a los quellamaremos bases. Lo escribimos en plural puesto que mostraremos que noson unicas.

7.2. BASES 37

Definicion 7.12: Base de un espacio vectorial

Sea V un espacio vectorial real. Dado un conjunto de s vectores B ={v1,v2, . . . ,vs} ⊆ V. Decimos que B = {v1,v2, . . . ,vs}, es una basepara V si:

• El conjunto B = {v1,v2, . . . ,vs} genera a V .

• El conjunto B = {v1,v2, . . . ,vs} es linealmente independiente.

Damos algunos ejemplos.

Ejemplo 7.23.

Ejemplos de bases para V = R2.

1. B =

{[10

],

[01

]}es una base, se llama la base canonica.

Solucion I

B genera a R2 y es un conjunto linealmente independiente ya que laecuacion

[x1x2

]= x1

[10

]+ x2

[01

]tiene solucion unica para todo valor de x1, x2 ∈ R, puesto que la matrizasociada es la identidad de orden 2, I2.

2. B =

{[12

],

[3−1

]}es una base.

Solucion I


[x1x2

]= x1

[12

]+ x2

[3−1

]


tiene solucion unica para todo valor de x1, x2 ∈ R, puesto que la matrizasociada al sistema es [

1 32 −1

]cuyo determinante es −7 y es equivalente a I2.

J

Ejemplo 7.24.

Ejemplos de bases para V = R3.

1. B =

1

00

, 0

10

, 0

01

es una base, se llama la base canonica.

Solucion I


x1x2x3

= x1

100

+ x2

010

+ x3

001

tiene solucion unica para todo valor de x1, x2, x3 ∈ R, puesto que lamatriz asociada al sistema es la identidad de orden 3, I3.

2. B =

1

10

, 3

0−1

, 0

0−2

es una base.

Solucion I


x1x2x3

= a

110

+ b

30−1

+ c

00−2

tiene solucion unica para todo valor de x1, x2, x3 ∈ R, puesto que lamatriz asociada al sistema es

7.2. BASES 39

1 3 01 0 00 −1 −2

cuyo determinante es 6 y es equivalente a I3. J

Ejemplo 7.25.

Ejemplo de base para V = Rn.B = {e1, e2, . . . , en} los vectores definidos despues de la observacion ??

es una base, se llama la base canonica.

Solucion IB genera a Rn y es un conjunto linealmente independiente, ya que la

ecuacion x1...xn

= x1e1 + x2e1 + · · ·+ xnen

siempre tiene solucion unica para x1, . . . , xn ∈ R, pues su matriz asociadaes In. J

Ejemplo 7.26.

Ejemplos de bases para V = M2×2(R).

1. Una base para V = M2×2(R) es,

B =

{[1 00 0

],

[0 10 0

],

[0 01 0

] [0 00 1

]}.

Solucion I

B genera a M2×2(R). Si

[x1 x2x3 x4

]∈ M2×2(R), debemos encontrar

a, b, c, d ∈ R y una combinacion lineal tal que

[x1 x2x3 x4

]= a

[1 00 0

]+ b

[0 10 0

]+ c

[0 01 0

]+ d

[0 00 1

]que equivale a [

x1 x2x3 x4

]=

[a bc d

]


La igualdad entre las dos matrices se da, si en cada una de las entradasse da la igualdad , de donde, al resolver el sistema, obtenemos que tieneunica solucion:

a = x1, b = x2, c = x3, d = x4.

[x1 x2x3 x4

]= x1

[1 00 0

]+ x2

[0 10 0

]+ x3

[0 01 0

]+ x4

[0 00 1

].

B es linealmente independiente. Si tenemos una combinacion lineal deelementos de B igualada al vector cero,

a

[1 00 0

]+ b

[0 10 0

]+ c

[0 01 0

]+ d

[0 00 1

]=

[0 00 0

]Como obtuvimos que la solucion es unica para cualquier x1, x2, x3, x4necesariamente a = b = c = d = 0.

2. Otra base para V = M2×2(R) es,

B =

{[1 00 1

],

[1 00 −1

],

[0 11 0

] [0 −11 0

]}.

Solucion I

B genera a M2×2(R) y es un conjunto linealmente independiente yaque la ecuacion

[x1 x2x3 x4

]= a

[1 00 1

]+ b

[1 00 −1

]+ c

[0 11 0

]+ d

[0 −11 0

]es lo mismo que [

x1 x2x3 x4

]=

[a+ b c− dc+ d a− b

]que es un sistema con incognitas a, b, c y d cuya matriz asociada es

1 1 0 00 0 1 −10 0 1 11 −1 0 0

7.2. BASES 41

cuyo determinante es −4 por lo que es equivalente a I4.

De donde la ecuacion siempre es consistente y tiene solucion unica. J

En los ejemplos de bases que hemos presentado tenemos que la ecuacionque nos permite verificar que un conjunto de vectores es una base, tienecomo matriz asociada a una matriz cuadrada.

Ejemplo 7.27.

Consideremos en R3 el conjunto del ejemplo ??.Veremos que S no es una base.

Solucion I

S =

1

25

, 2−1

0

, 3

411

.

Consideramos la ecuacion x1x2x3

= a

125

+ b

2−1

0

+ c

3411

cuya matriz asociada es 1 2 3

2 −1 45 0 11

cuyo determinante es igual a cero y por ende la ecuacion no siempre esconsistente, y cuando lo es, tiene infinidad de soluciones.

Observe ademas que la matriz cuyas columnas son los vectores en Ses tal que su espacio nulo es distinto de cero por lo que S es un conjuntolinealmente dependiente y EC(A) no es todo R3. J

Ejemplo 7.28.

Consideremos en R3 el conjunto

S =

1

12

, 1

03

, 1

21

, 2

07

.

Veremos que S no es una base.

Solucion I


Consideramos la ecuacion x1x2x3

= a

112

+ b

103

+ c

121

+ d

207

cuya matriz asociada es A =

1 1 1 21 0 2 02 3 1 7

.Recordando lo estudiado en el capıtulo 4, como el sistema inducido por

la matriz A tiene 3 ecuaciones y 4 incognitas, el sistema homogeneo tieneinfinidad de soluciones. Por lo que el conjunto S es linealmente dependientey no es una base. Sin embargo el conjunto S es un conjunto de generadorescomo veremos en el ejemplo siguiente. J

Ejemplo 7.29.

Para la matriz A =

1 1 1 21 0 2 02 3 1 7

.Encontrar bases para los espacios ER(A), EN(A) y EC(A).

Solucion ILLevamos a la matriz A mediante las operaciones elementales R2 →

R2 −R1, R3 → R3 − 2R1, R3 → R3 +R2, R2 → R2 + 2R3 R1 → R1 − 2R3,R2 → −R2, R1 → R1 −R2 a su forma reducida R. Tenemos

R =

1 0 2 00 1 −1 00 0 0 1

.1. ER(A)

Sabemos que ER(A) esta generado por los renglones distintos de R,por lo que

ER(A) = {[x1, x2, x3, x4] ∈M4×1(R) ; [x1, x2, x3, x4] =r[1, 0, 2, 0] + s[0, 1,−1, 0] + t[0, 0, 0, 1]; r, s, t ∈ R}.

2. EC(A)Sabemos que EC(A) esta generado por los vectores columna de Acorrespondientes a las columnas de R donde estan los pivotes de R.por lo que,

7.2. BASES 43

EC(A) =

x1x2x3

∈M3×1(R) ;

x1x2x3

= r

112

+ s

103

+ t

207

; r, s, t ∈ (R)

Observe que nos basta para generar R3 las dos primeras y la cuartacolumna de A. Esto prueba que las columnas de A es un conjunto degeneradores para R3.

3. EN(A)Para encontrar EN(A), recuperamos el sistema homogeneo inducidopor R,

x1 + 2x3 = 0x2 − x3 = 0

x4 = 0

Este sistema tiene infinidad de soluciones, x3 es una variable parametro,

x1 = −2x3x2 = x3x4 = 0

haciendo x3 = t,

EN(A) =

x1x2x3x4

∈M4×1(R) ;

x1x2x3x4

= t

−2

110

; t ∈ (R)

J

Observacion 7.10.

De los ejemplos, se puede observar que para un espacio vectorialreal V no nulo:

• Existen conjuntos de generadores diferentes y que ademas, elnumero de elementos en ellos puede variar.

En algunas ocasiones se pudieron omitir algunos de sus elementos


conservando la propiedad de que el conjunto obtenido siguierasiendo un conjunto de generadores.

Cuando el conjunto de generadores es una base no puede reducirseel numero de sus elementos si se quiere conservar la propiedad deque genere. En este sentido decimos que una base es un conjuntomınimo de generadores.

• Existen conjuntos de vectores que son linealmente independientes,con un numero distinto de elementos, por ejemplo, un conjuntocon un vector no nulo es siempre linealmente independiente.

Dada una base, el numero de vectores en ella no puede aumentarsesin perder la propiedad de ser linealmente independientes. En estesentido decimos que una base es un conjunto maximo linealmenteindependiente.

Convencion. La base para el espacio vectorial nulo, V = {0V } es elconjunto ∅.

7.2.4 Dimension de un espacio vectorial

En todos los ejemplos vistos encontramos que el numero de elementos de labase B dada es finito.

Un teorema importante del algebra lineal establece que, dado un espaciovectorial, siempre tiene una base y que el numero de elementos de una basees un invariante. Cualesquiera bases dadas, como conjuntos, pueden serdiferentes, pero el numero de los elementos en cada una de ellas, siempre esel mismo.

Definicion 7.13: Dimension de un espacio vectorial

Sea V un espacio vectorial real y sea B una base para V.La dimension de V es el numero de elementos en cualquier

base y se denota por dimV .

7.2. BASES 45

• Si el numero de elementos de la base B es finito, supongamos que| B |= n, con n ∈ N, decimos que el espacio vectorial V es dedimension finita y escribimos dimV = n.

• Si el numero de elementos de la base B es infinito, decimos queel espacio vectorial V es de dimension infinita y escribimosdimV =∞.

La dimension del espacio vectorial nulo, V = {0V } es igual a cero.dim {0V } = 0.

Observacion. El lector se ha dado cuenta que en todos los casos enlos que hemos trabajado, hemos considerado espacios vectoriales dedimension finita.

Ejemplo 7.30.

1. La dimension de R2 es igual a 2.

2. La dimension de R3 es igual a 3.

3. La dimension de Rn es igual a n.

4. La dimension de M2×2(R) es igual a 4.

5. La dimension de M3×3(R) es igual a 9.

6. La dimension de Mm×n(R) es igual a mn.

7. La dimension de Mn×n(R) es igual a n2.

8. En el ejemplo ??, encontramos bases para cada uno de los espaciosER(A), EC(A) y EN(A), por lo que sus dimensiones son:

dim ER(A) = 3, dim EC(A) = 3 y dim EN(A) = 1.

Para una matriz A ∈ Mm×n(R), el numero de los elementos de la basede EN(A) y el numero de los elementos de la base de EC(A) reciben unnombre.


Definicion 7.14: Nulidad de una matriz A ∈Mm×n(R)

Para una matriz A ∈ Mm×n(R), la nulidad de A es la dimension delespacio EN(A).

Definicion 7.15: Rango de una matriz A ∈Mm×n(R)

Para una matriz A ∈ Mm×n(R), el rango de A es la dimension delespacio EC(A).

De la Observacion ??, en la seccion 6.1.3 sobre el espacio renglon de unamatriz A y, de la definicion de dimension de un subespacio, tenemos que,

dim EC(A) = dim ER(A).

Teorema 7.1 (Teorema del rango o de la Dimension).

Para una matriz A ∈Mm×n(R), se cumple que:

dimEN(A) + dimEC(A) = nnulidadA + rangoA = n.

Observacion. Para una matriz A ∈ Mm×n(R), consideramos el sis-tema AX = b. Para resolverlo por cualquiera de los metodos de elimi-nacion llevamos a A a una matriz R que esta escalonada (escalonadareducida) por filas.

En el capıtulo de sistemas de ecuaciones lineales, llamamos rangoA al numero de renglones distintos de cero en la matriz R, que son losrenglones de R en donde aparecen las variables pivotes, eso es porqueel numero de pivotes de R nos da la dimension de EC(A) como hemosvisto.

Por otro lado, el conjunto solucion de del sistema homogeneo AX =0n×1, que es EN(A) esta generado por sus sistema fundamental desoluciones, el numero de vectores en este conjunto, queda determinado

7.2. BASES 47

por el numero de variables parametro, el cual como hemos visto nos dala dimension de EN(A).

Es por ello que

rango de A +nulidad de A =numero de variables pivote + numero de variables parametro =

numero de variables en el sistema.

Es decir, el Teorema del Rango fue establecido informalmente en elcapıtulo 4.

7.2.5 Ejercicios

1. Verifique que Rn es un espacio vectorial.

2. Determine si el conjunto W ∈ M1×2(R) tal que W = {[x1, x2] ∈M1×2(R) ; 2x1 − 3x2 = 0} es un subespacio. Haga un dibujo de loselementos de W .

3. Determine si el conjunto W ∈ M1×2(R) tal que W = {[x1, x2] ∈M1×2(R) ; 2x1 − 3x2 = 3} es un subespacio. Haga un dibujo de loselementos de W .

4. Determine si el conjunto W ∈ M1×3(R) tal que W = {[x1, x2, x3] ∈M1×3(R) ; 2x1 + 3x2 + 5x3 = 0} es un subespacio.

5. Determine si el conjunto W ∈ M1×3(R) tal que W = {[x1, x2, x3] ∈M1×3(R) ; −x1 + 2x2 +X3 = 5} es un subespacio.

6. En el espacio de matrices Mn×n(R), determine si el conjunto W queconsta de todas las matrices invertibles es un subespacio.

7. Compruebe que los siguientes conjuntos de vectores generan el mismosubespacio de M1×3(R).

S = {[2,−2, 4], [6, 0, 2]} y T = {[−2,−4, 6], [6, 6, ,−8]}.

8. Determine si el vector [−4, 6, 8] pertenece al subespacio generado porel conjunto S del ejercicio anterior.

9. Para cada uno de los siguientes conjuntos determine si es un conjuntolinealmente independiente o linealmente dependiente.

(a) S = {[3,−1,−1], [−2, 2,−2], [−1,−1, 3]}


(b) T = {[−1,−1,−1], [−2,−3,−2], [−1,−1

2, 5]}.

10. Determine los valores de λ para los cuales el conjunto de vectoressiguiente es linealmente independiente o linealmente dependiente.

S = {[3,−1, λ], [−2, 1,−2], [−1, 6, 3]}

11. Para cada una de las siguientes matrices.

(a)

0 1 00 0 3

−11

2−1

(b)

3 1 01 3 00 0 3

(c)

2 5 0 11 3 1 22 0 3 3

i. Encuentre dos conjuntos diferentes de vectores que generen

a ER(A).

ii. Encuentre dos conjuntos diferentes de vectores que generena EC(A).

iii. Encuentre dos conjuntos diferentes de vectores que generena EN(A).

iv. Determine una base para ER(A) y de su dimension.

v. Determine una base para EN(A) y de su dimension.

vi. Determine una base para EC(A) y de su dimension.

vii. Compruebe el Teorema del rango para la nulidad y el rangode la matriz A.

12. Para A =

[0 −11 0

], sea W = {B ∈M2×2(R);BA = AB}.

Muestre que W es un subespacio y encuentre una base para W .

espacios vectoriales y bases -...

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