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CAPITULO 2 VALORES, VECTORES PROPIOS y

SVD

Ing. Diego A. Patiño M.Sc., Ph.D.

2

Valores y Vectores PropiosMuchas de las transformaciones que se necesitan en el diseño de sistemas de control se realizan sobre vectores dentro del mismo espacio:

XXA →:

Estos operadores conducen a vectores y escalares especiales llamados vectores y valores propios.

Subespacios Invariantes – Vectores y Valores

En cualquier espacio y para cualquier operador A existen ciertos subespacios en los cuales, si se toma un vector y A opera sobre él, el resultado permanece en el subespacio.

3

Valores y Vectores Propios

Subespacio Invariante – A: sea X1 un subespacio de un espacio vectorial X. Este espacio se denomina A –Invariante si para cada vector x ∈ X1, Ax ∈ X1. Normalmente se sobrentiende el operador A y se dice que X1 es invariante.

El operador A es simplemente una regla que asigna un nuevo vector Ax al vector x. En general A toma acciones arbitrarias sobre x: escalar, rotar, mover, etc., a través del espacio.

4


Caso especial: A simplemente escaliza al vector x:

Si el factor de escala se denomina λ, entonces

xAx λ=

Esta relación solo es válida en casos especiales:

Vectores y Valores Propios.

5

Valores y Vectores PropiosLos vectores propios definen un subespacio A – invarianteunidimensional: el espacio cubierto por cualquier colección de vectores propios diferentes es un subespacio A – invariante.

En la relación Ax = λx los vectores x no nulos se denominan Vectores Propios y los valores de λ correspondientes, que pueden ser cero, son los Valores Propios.

( ) ( ) 0xAλIxIA0xAxxAx =−=−→=−→= λλλ

Dado que

el vector propio x se puede interpretar como un elemento del espacio nulo de (λI -A), correspondiente al valor propio λ.

Se define el espectro de un operador como el conjunto de todos sus valores propios.

6


Para encontrar los valores y vectores propios de un operador A, es necesario forzar a (λI- A) para que tenga un espacio nulo no trivial.Para ello se necesita determinar la representación matricial para A y

ajustar | λI- A | = 0. El resultado para una matriz de dimensiones n×nserá un polinomio característico de orden n en la variable λ. Este polinomio tendra n raices y por lo tanto cada matriz n×n, o

cada operador de dismensión n tendrá exactamente n valores propios (aunque no necesariamente n vectores propios).

Para un sistema SISO la función de transferencia tiene un denominador dado por |sI – A|. Todas las raíces de | sI – A| son valores propios, pero no todos los valores propios son polos.

7


Bases de Vectores Propios – Formas Canónicas:Cuando se emplea como base para la representación de un operador el conjunto n vectores propios se obtienen representaciones sencillas, llamadas Formas Canónicas.Para formar una base de vectores propios, se debe tener un conjunto de n vectores propios LI.Primero se demostrará que los vectores propios de un operador A correspondientes a λ’s diferentes son LIPara λ’s repetidos no siempre se pueden encontrar vectores propios LI y es necesario definir los vectores propios generalizados.

8

Valores y Vectores PropiosTeorema: Los vectores propios de un operador A correspondientes a valores propios diferentes son LI.Sea A un operador con valores propios diferentes

Sea el conjunto de vectores propios.Se asume que solamente los k primeros vectores son LI, por lo tanto los (n – k) vectores restantes son una combinación lineal de los k primeros.

jiji ≠∀≠ λλ{ }n21 x...xx

0 algunos 1

≠≤<= ∑=

ij

k

iiijj aynjkcona xx

9


Como los x son vectores propios:

También se puede escribir como:

njkak

iijijjjj ≤<== ∑

=1 xxAx λλ

∑∑∑===

==⎟⎠

⎞⎜⎝

⎛=

k

iiiij

k

iiij

k

iiijj aaa

111xAxxAAx λ

10


Comparando las dos expresiones:

Para que la igualdad sea cierta y como los aij no son todos nulos entonces λi = λj lo cual contradice la suposición inicial:→ Todos los xi ,i = 1…n, son Linealmente independientes. (QED)

( ) 01

11

=−=

=

∑

∑∑

=

==

iji

k

iij

ii

k

iijij

k

iij

xa

xaxa

λλ

λλ

11

Valores y Vectores PropiosPara hacer el cambio de base solamente es necesario encontrar lamatriz que relaciona a la base inicial con la nueva base compuesta por los vectores propios.Por facilidad se expresará la nueva base en términos de la original y por lo tanto se empleara la matriz recíproca M

Sea e = {e1 e2 … en} la base normal original, sea x = {x1 x2 … xn} la nueva base formada por los vectores propios

[ ]⎥⎥⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢⎢⎢

⎣

⎡

=

ni

i

i

i

x

xx

ML 2

1

Nuevan21 eeex

12

Valores y Vectores PropiosGeneralizando,

[ ]⎥⎥⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢⎢⎢

⎣

⎡

=⎥⎥⎦

⎤

⎢⎢⎣

⎡

nnnn

n

n

xxx

xxxxxx

L

MOMM

L

L

L44 344 21

L

21

22221

11211

Nueva

n21n21 eeexxx

con xji el j-esimo componente del vector xi.

La base recíproca M:

Propios Vectores

2

21

22221

11211

1

||||

||||

⎥⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢⎢

⎣

⎡=

⎥⎥⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢⎢⎢

⎣

⎡

== −n

nnnn

n

n

xxx

xxxxxx

xxxBM 1Modal MatrizL

L

MOMM

L

L

13

Valores y Vectores PropiosLa nueva matriz A se encuentra por medio de una transformación similar

Considerando que la i-esima columna de un operador matricial representa el efecto del operador actuando sobre el i-esimo vector de la base; cuando un operador actúa sobre un vector propio (Ax) el resultado es una versión escalizada del vector propio (λx). Entonces cuando la base es el conjunto de vectores propios xi , el

operador actuando sobre esta base dará vectores con compenentesúnicamente en la dirección de los vectores propios: la i-esimacolumna de Â tendra componentes no nulos solo en la posición i-esima, de esta manera Â es una matriz diagonal, esto es:

AMMAXXMXMX 11 −− =⇒=⇒= ˆˆˆ

14


pero

M

ni

Propios Vectores

21

||||

||||

⎥⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢⎢

⎣

⎡= AxAxAxAxAM LL

[ ][ ]

[ ]Tnnnn

T

T

λλ

λλλλ

L

M

L

L

000

000000

2222

1111

MxAx

MxAxMxAx

==

====

[ ]M

niPropios Vectores

21 xxxxAAM LL=

15

Valores y Vectores PropiosEntonces

⎥⎥⎥⎥⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢⎢⎢⎢⎢

⎣

⎡

=

⎥⎥⎥⎥⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢⎢⎢⎢⎢

⎣

⎡

⎟⎟⎟⎟⎟⎟

⎠

⎞

⎜⎜⎜⎜⎜⎜

⎝

⎛

⎟⎟⎟⎟⎟⎟

⎠

⎞

⎜⎜⎜⎜⎜⎜

⎝

⎛

⎟⎟⎟⎟⎟⎟

⎠

⎞

⎜⎜⎜⎜⎜⎜

⎝

⎛

=

nn λ

λλ

λ

λλ

L

MOMM

L

L

L

M

L

MM

00

0000000

000

0

0

0

0

00 2

1

2

1

MMMMAM

AAMM 1 ˆ

00

0000000

2

1

=

⎥⎥⎥⎥⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢⎢⎢⎢⎢

⎣

⎡

=−

nλ

λλ

L

MOMM

L

L

L

16

Forma canónicaLa ecuación de estado transformada es:

DDCMC

BMBAMMA

UDXCYU;BXAX

DUXCMY

UBMXAMMX

BUXAMXM

XMX

DUCXYBU;AXX

1

1

==

==

+=+=

+=

+=

+=

=

+=+=

−−

−−

ˆ;ˆ

ˆ;ˆ

ˆˆˆˆˆˆˆ

:

ˆ)(ˆ)(ˆ

ˆˆ

ˆ

1

1

&

&

&

&

comparando

17


Ventajas de la forma canónica:

Pero:

A es no singular si y solo si no tiene valores propios nulos.

( ) ( ) ( ) ( ) ( )( ) ( ) ( )( ) ( ) ( )AAMM

AMMMAMAMMA

detdetdet detdetdet

detdetdetdetˆdet

1

1

11

==

=

==

−

−

−−

n

n

AA

λλλλλλ

.......det

.......ˆdet

21

21

===

18

Valores y Vectores PropiosEjemplo: Sea

⎥⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢⎢

⎣

⎡

−−=122230

203A

( ) 0)1)(3)(5(122

230203

detdet =+−−=⎟⎟⎟

⎠

⎞

⎜⎜⎜

⎝

⎛

⎥⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢⎢

⎣

⎡

−−−

−−=− λλλ

λλ

λλ AI

Los valores propios:

531 321 ==−= λλλ

19

Valores y Vectores PropiosVectores propios:

• Para λ1 = -1

[ ] 0000240204

222240204

0

31

21

11

31

21

11

11 =⎥⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢⎢

⎣

⎡

⎥⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢⎢

⎣

⎡−

−−=

⎥⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢⎢

⎣

⎡

⎥⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢⎢

⎣

⎡

−−

−−→=−

xxx

xxx

xAIλ

Escogiendo x31 = 1 se tiene x11 = - ½ y x21 = ½, entonces

⎥⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢⎢

⎣

⎡−=

15.05.0

1x

20

Valores y Vectores Propios• Para λ2 = 3

[ ] 0222200000

222200200

0

23

22

21

23

22

21

22 =⎥⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢⎢

⎣

⎡

⎥⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢⎢

⎣

⎡

−=

⎥⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢⎢

⎣

⎡

⎥⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢⎢

⎣

⎡

−

−→=−

xxx

xxx

xAIλ

x23 = 0, x21 = 1 y x22 = 1, entonces

⎥⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢⎢

⎣

⎡=

011

2x

21

Valores y Vectores Propios• Para λ3 = 5

[ ] 0000220202

220220202

422220202

0

33

32

31

33

32

31

33

32

31

23 =⎥⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢⎢

⎣

⎡

⎥⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢⎢

⎣

⎡ −=

⎥⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢⎢

⎣

⎡

⎥⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢⎢

⎣

⎡ −=

⎥⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢⎢

⎣

⎡

⎥⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢⎢

⎣

⎡

−

−→=−

xxx

xxx

xxx

xAIλ

Escogiendo x33 = 1 : x31 = 1 y x32 = -1 y:

⎥⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢⎢

⎣

⎡−=11

1

3x

22


[ ]⎥⎥⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢⎢⎢

⎣

⎡

−

−

=→

⎥⎥⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢⎢⎢

⎣

⎡

−

−

== −

31

31

31

021

21

32

31

31

101112

1112

11

321 MxxxM

Por lo tanto

⎥⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢⎢

⎣

⎡−=

⎥⎥⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢⎢⎢

⎣

⎡

−

−

⎥⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢⎢

⎣

⎡

−−

⎥⎥⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢⎢⎢

⎣

⎡

−

−

=500030001

101112

1112

1

122230

203

31

31

31

021

21

32

31

31

A

23

Valores y Vectores PropiosLos vectores propios de un operador A correspondientes a valorespropios repetidos no necesariamente son LI.Si un valor propio está repetido, el mismo λ es una raíz múltiple de | λI -A| = 0 y se pueden presentar varias situaciones. Si el valor

propio λj se repite mj veces, entonces:1. Si al calcular el espacio nulo de (λjI- A) se obtiene

η[(λjI -A )] = n - ρ[(λjI -A)] = mj

la dimensión del espacio nulo N[(λjI- A)] es mj y es posible encontrar mj vectores propios LI asociados al mismo valor propio λj

24

Valores y Vectores Propios2° Si al calcular el espacio nulo de (A – λjI) se obtine

η[(λjI -A ] = n - ρ[(λjI -A)] < mj

no es posible encontrar mj vectores propios LI porque el espacio nulo N[(A – λjI)] no es lo suficientemente grande.

Aunque una matriz de n×n tenga n valores propios no siempre es posible encontrar un conjunto completo de vectores propios.

El caso 1° define un subespacio A – invariante asociado a un valor propio λj, dicho subespacio se denomina Espacio Propio de λj y su base está definida por el conjunto de todos los vectores propios correspondientes al valor propio λj .

25

Valores y Vectores PropiosEjemplo: Diagonalizar A, si es posible

⎥⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢⎢

⎣

⎡ −=

200010101

A

( ) ( ) ( ) 2y 1 021det 3212 ===→=−−=− λλλλλλ AI

Valores propios:

Para λ1 = λ2 = 1

[ ] 0000000100

100000100

0

13

12

11

13

12

11

21 =⎥⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢⎢

⎣

⎡

⎥⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢⎢

⎣

⎡=

⎥⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢⎢

⎣

⎡

⎥⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢⎢

⎣

⎡

−→=−

xxx

xxx

xAIλ

26

Valores y Vectores PropiosLa dimensión del espacio nulo es 2, entonces se pueden encontrar 2 vectores propios LI.

[ ][ ]T

T

xx

010001

2

1

==

Para λ3 = 2

[ ] 0000010101

0

33

32

31

33 =⎥⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢⎢

⎣

⎡

⎥⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢⎢

⎣

⎡→=−

xxx

xAIλ

Variable pivote x13 y dos variables libres. Si x13 = 0 entonces los vectores propios LI serían:

La variable libre es x33 : si x33 = -1 entonces x32 = 0, x31 = 1

[ ]Tx 1013 −=

27

Valores y Vectores PropiosLa matriz modal:

[ ]⎥⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢⎢

⎣

⎡

−=→

⎥⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢⎢

⎣

⎡

−== −

100010101

100

010101

1321 MxxxM

Por lo tanto

⎥⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢⎢

⎣

⎡=

⎥⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢⎢

⎣

⎡

−⎥⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢⎢

⎣

⎡ −

⎥⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢⎢

⎣

⎡

−=

200010001

100010101

200010101

100010101

A

28

Vectores Propios GeneralizadosVectores Propios Generalizados:

ni

i <∑η

Cuando se presenta el caso 2º, no se pueden encontrar todos los vectores propios asociados al valor propio λj de multiplicidad mj, por lo tanto la suma de los espacios nulos asociados a todos los vectores propios es menor que n (dimensión del operador A),

No es posible construir la matriz M y no se puede diagonalizar A.

Para resolver este problema se definen los Vectores Propios Generalizados.

29

Vectores Propios Generalizados

Si para este valor propio ηi < mi, es necesario obtener ηi - mi vectores propios adicionales linealmente independientes.Índice de un valor propio repetido es el menor entero k tal que:

Donde n es la dimensión del espacio, mi es la multiplicidad de λi

ik

i mn −=− )( IA λρ

30


Para el valor propio λi con índice ki encontrar todas las soluciones linealmente independientes de:

si k = 1, entonces

( )( ) 0vIA

0vIA

≠−

=−−1y

i

i

ki

ki

λ

λ

( ) PropioVector un de Definición y ←≠=− 0v0vIA iλ

31


Cada solución LI da origen a una cadena de vectores propios generalizados.No existen mas de mi soluciones: esta es la nulidad del espacio

Estas soluciones se pueden representar por:

Pueden existir menos soluciones porque algunos vectores no cumplen la segunda condición

1m

12

11

iv....vv

iki )( IA λ−

32


Si Vj es un vector propio generalizado para j = 1,..,mi evaluar:

Hasta llegar a:

Que es un vector propio regular

( )( )( ) 43

32

21

jj

jj

jji

VVλIAVVλIAVVIλA

=−=−=−

( ) 0iki j− =A λ I V

33


El conjunto {V1 V2 ··· Vki} es una cadena de vectores propios generalizados de longitud ki y son linealmente independientes.

( )( )

ii

jjjjj

jjjjj

kji

kj

i

i

λ

λoλo

VAV

VVAVVVIAVVAVVVIA

=

+==−

+==−

M

23232

12121

λλ

Una vez obtenidos todos los vectores propios generalizados asociados con los diferentes valores propios, se construye la matriz M.

34


Si las cadenas de longitud ki no producen todos los vectores propios generalizados se sigue con la secuencia:

Esto genera una secuencia de longitud ki - 1Una vez obtenidos todos los vectores propios generalizados asociados con los diferentes valores propios, se construye la matriz M.

( )( ) 0vIA

0vIA

≠−

=−−

−

2

1

y

i

i

ki

ki

λ

λ

35

Forma canónica de JordanSean los siguientes valores propios con su respectiva multiplicidad

1 dadmultiplici de 1 dadmultiplici de 2 dadmultiplici de 2 dadmultiplici de 4 dadmultiplici de

5

4

3

2

1

λλλλλ

Entonces

{ {⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢

⎣

⎡=

54321

λλλ

21

λ

21

λ

4321 YXWWVVUUUUM4342143421444 3444 21

36

Forma canónica de JordanComo (A - λ1I)kU4 = 0 → (A - λ1I)k[(A - λ1I)k-1U4] = 0 (U4 = U)

( )( )( )( ) 341

231

121

11 0

UUIAUUIAUUIA

UIA

=−=−=−=−

λλλλ

Ahora,

Entonces

[ ][ ][ ][ ]T

T

T

T

MUUAUMUUAUMUUAU

MUAUUAU

010000100001

00 0

14134

13123

12112

1111111

L

L

L

L

λλλλ

λλλλλ

=+==+==+=

==→=−

37

Forma canónica de Jordan

Premultiplicando por M-1

[ ][ ]

⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢

⎣

⎡

=

==

5

2

2

1

1

1

1

....00000

100000....000000....001000....000100....00001

λλ

λλ

λλ

λ

M

AX......AVAVAUAUAUAU X......VVUUUUAM

2214321

2214321A

38

Forma canónica de JordanLa nueva representación Â =M-1AM

⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢

⎣

⎡

=

5

4

3

3

2

2

1

1

1

1

00000000000000000000

00

01

0000

00000000

00

00

0000

01

00000000

0000

0000

00000000

00000000

000100010001

ˆ

λλ

λλ

λλ

λλ

λλ

A

Forma canónica de Jordan.

39

Valores y Vectores PropiosLa representación de Â es de la forma

{ }21diagˆ JJA =

Bloque de Jordan k

Una matriz A de 5 × 5 con valores propios λ1 (m1 = 4) y λ2 (m2 = 1) puede tener la siguiente forma canonica de Jordan:

⎥⎥⎥⎥⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢⎢⎢⎢⎢

⎣

⎡

=

2

1

1

1

1

1

00000000010000100001

ˆ

λλ

λλ

λ

A

Bloque de Jordan l

Si η(A - λ1I) = 1,

40

Valores y Vectores PropiosSi η(A - λ1I) = 2,

⎥⎥⎥⎥⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢⎢⎢⎢⎢

⎣

⎡

=

2

1

1

1

1

2

00000000000000100001

ˆ

λλ

λλ

λ

A

⎥⎥⎥⎥⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢⎢⎢⎢⎢

⎣

⎡

=

2

1

1

1

1

3

00000000010000000001

ˆ

λλ

λλ

λ

A

Si η(A - λ1I) = 3, Si η(A - λ1I) = 4

⎥⎥⎥⎥⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢⎢⎢⎢⎢

⎣

⎡

=

2

1

1

1

1

4

00000000000000000001

ˆ

λλ

λλ

λ

A

⎥⎥⎥⎥⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢⎢⎢⎢⎢

⎣

⎡

=

2

1

1

1

1

5

00000000000000000000

ˆ

λλ

λλ

λ

A

41

Valores y Vectores PropiosEjemplo: Considerar la matriz

⎥⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢⎢

⎣

⎡=

200310211

A

Los valores propios son λ1 = 1, λ2 = 1 y λ3 = 2. Un vector propio asociado a λ3 es

[ ]Tv 1353 =

Por otra parte, el rango de (A - λ1I) es 2, por lo cual solo es posible encontrar un vector propio asociado con λ1. En consecuencia es necesario emplear vectores propios generalizados.

42


( ) ( )⎥⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢⎢

⎣

⎡=−

⎥⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢⎢

⎣

⎡=−

100300500

y 100300210

211 IAIA λλ

El rango de (A - λ1I)2 es 1 (n – m). Un vector V tal que (A - λ1I)2V = 0y (A - λ1I)V ≠ 0.

Se puede escoger

[ ]TV 010=

43


( )⎥⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢⎢

⎣

⎡=−=

⎥⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢⎢

⎣

⎡==

001

010

112 VIAVVV λ

Y la matriz Â sería

⎥⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢⎢

⎣

⎡=

200010011

A

Â también se puede obtener haciendo

AQQA 1ˆ −=

44

Matriz Nilpotente

Matriz Nilpotente: dada una forma de Jordan:

( )

( ) ( )

( ) ( ) 0

0000000000001000

0000000010000100

0000100001000010

000100010001

4

32

≥=−⇒=−

⎟⎟⎟⎟⎟

⎠

⎞

⎜⎜⎜⎜⎜

⎝

⎛

=−⇒

⎟⎟⎟⎟⎟

⎠

⎞

⎜⎜⎜⎜⎜

⎝

⎛

=−

⎟⎟⎟⎟⎟

⎠

⎞

⎜⎜⎜⎜⎜

⎝

⎛

=−⇒

⎟⎟⎟⎟⎟

⎠

⎞

⎜⎜⎜⎜⎜

⎝

⎛

=

kparay k 0IJ0IJ

IJIJ

IJJ

λλ

λλ

λ

λλ

λλ

45

SVDLos valores y vectores propios tiene una aplicación importante en el análisis de estabilidad y control de sistemas de ecuaciones diferenciales. Conociendo los λ’s y v’s se conocen muchas de las propiedades numéricas de los operadores lineales.

Los valores y vectores propios solamente están definidos para matrices cuadradas, o transformaciones de ℜn → ℜn.Una definición mas general es la de los Valores Singulares y el procedimiento de Descomposición en Valores Singulares (SVD).

SVD: sea A una matriz compleja de m × n. Existen dos matrices unitarias U y V tales que

TVUA Σ=

46

SVDdonde

[ ] nmS

nmS

<=Σ

>⎥⎦

⎤⎢⎣

⎡=Σ

para 0

para 000

S es una matriz diagonal:

Los r valores reales σ1 , σ2 , … , σr están arreglados de tal forma que σ1≥σ2≥…≥σr > 0 y los demás σr+1 = σr+1 = …σk = 0

},min{ };,..,,....,{ 121 nmkcondiagS krr == + σσσσσ

47

SVD

Los σi se denominan Valores Singulares de la matriz A. El valor r corresponde al rango de la matriz A. El número de valores singulares nulos es igual a la “degeneración” de la matriz A.Los σi corresponde a las raíces cuadradas positivas de los valores propios de:

)()()( Ti

Tii AAAAA λλσ ==

48

SVD

Una matriz U compleja es unitaria si:

Todos sus valores singulares son uno.

Las matrices U (mxm) y V (nxn) forman bases ortogonales para el espacio de salida y el de entrada de A.

TUU 1 =−

49

SVD

Las columnas de la matriz U (mxm) se denominan “vectores singulares izquierdos” o de salida : son los vectores propios de la matriz AAT y son ortonormales.Las columnas de la matriz V (nxn) se denominan “vectores singulares derechos” o de entrada: son los vectores propios de la matriz ATA y son ortonormales.SVD se calcula por computador:

Matlab: svd(A)

50

APLICACIONES SVD

El rango de una matriz es igual al número de valores singulares no nulos.“Condition Number”: que tan cerca está una matriz a ser deficiente en rango. (Singular para una matriz cuadrada):

“Condition Number” grande: matriz “ ill-conditioned”“Condition Number” pequeño: matriz “ well- conditioned”

r

NumberConditionσσ1 =

51

APLICACIONES SVD

Cálculo de la matriz inversa: si A es una matriz cuadrada (nxn) entonces U y V también son cuadradas:

Como U y V son ortonormales:

( ) ( ) 11111 −−−−− Σ==

=

UVV

VTT

T

UΣA

UΣA

T

r

diag UVA ⎥⎦

⎤⎢⎣

⎡⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛=−

σσσ1....1,1

21

1

52

APLICACIONES SVD

Solución de ecuaciones simultáneas:

La solución es:

La matriz:

mnmn AyxyAx ℜ→ℜℜ∈ℜ∈= :;,

[ ]YUVXYVUX

T

T

+

−

−

Σ=

Σ=

=1

YΑX 1

⎥⎦

⎤⎢⎣

⎡=Σ

−+

0001S

53

SVD - Normas matriciales inducidas

Se definen las normas inducidas 1, 2 e ∞ como:

La norma inducida 2 es igual al valor singular mas grande y se denomina “Norma espectral”

{

{

( ) { ( ) espectral" norma" max)(

fila" suma maxima" max

columna" suma maxima" max

2

1

AAAArAA

aA

aA

Ti

i

Ti

jij

ii

iij

ji

λσ ===

⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛=

⎟⎠

⎞⎜⎝

⎛=

∑

∑

∞

54

SVD – Ganancia

Para un sistema MIMO la respuesta en frecuencia se evalúa como una extensión del caso SISO: una entrada seno aplicada a la entrada j produce una señal seno yi

El número complejo define la amplificación (ganancia) y el corrimiento de fase.

( ) ( ) ( ) ( )jjijjj wtytywtutu βα +=→+= sin sin 00

( )jwgij

( ) ( )jwgjwguy

ijjiijj

j ∠=−= αβ ;0

0

55

SVD – Ganancia

Empleando superposición se puede obtener las respuesta total yi debida a las p señales seno de entrada:

Para un sistema MIMO completo, en forma matricial

( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )wujwgwujwgwujwgwy pipiii +++= L2211

( ) ( ) ( )∑=

=p

jjiji wujwgwy

1

( ) ( ) ( )wjww uGy =

56

SVD – Ganancia( )( )

( )

( )

( )( )

( )43421

M

43421

M

Entradas p

2

1

Salidas q

2

1

⎥⎥⎥⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢⎢⎢⎢

⎣

⎡

=

⎥⎥⎥⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢⎢⎢⎢

⎣

⎡

wu

wuwu

jwG

wy

wywy

pq

Para un sistema SISO y = Gu y la ganancia para una frecuencia dada es:

( )( )

( ) ( )( ) ( )jwGwuwujwG

wuwy

==

La ganancia depende de w, y para sistemas lineales, no depende de la magnitud de la entrada.

57

SVD – Ganancia

Para un sistema MIMO, entradas y salidas son vectores: para definir una “ganancia” es necesario “sumar” las magnitudes de los elementos de cada vector empleando alguna norma.

( ) ( ) )()()( 222

21

1

2

2wuwuwuwuwu p

p

jj +++== ∑

=

L

Si se toma la norma 2 (medida de la longitud), para una frecuencia wdada la magnitud del vector de señales de entrada es:

y la magnitud del vector de salida es

( ) ( ) )()()( 222

21

1

2

2wywywywywy q

q

ii +++== ∑

=

L

58

SVD – GananciaLa ganancia del sistema para un vector de entrada de frecuencia ωes:

La ganancia depende de la frecuencia, pero es independiente de la magnitud de la entrada. Para un sistema MIMO existen grados de libertad adicionales y la

ganancia depende de la dirección de la entrada u.

( )( ) )()()(

)()()(22

221

222

21

2

2

wuwuwu

wywywywuwy

p

q

+++

+++=

L

L

59

SVD – Ganancia

↓

⎥⎦

⎤⎢⎣

⎡−=⎥

⎦

⎤⎢⎣

⎡−⎥

⎦

⎤⎢⎣

⎡=

2.02.0

8.06.0

2345

1y

Ejemplo: Considerar el sistema de dos entradas y dos salidas descrito por la matriz G, para una ω0

⎥⎦

⎤⎢⎣

⎡=

2345

G

La ganancia para cinco vectores de entrada con norma unitaria pero con distintas direcciones es:

• u1 = [0.6 -0.8]T

( ) ( ) ( ) ( ) 28.0 28.02.02.0 ;18.06.021

212221

2221 =→=+==+=

uy

yu

60

SVD – Ganancia• u2 = [1 0]T

↓

⎥⎦

⎤⎢⎣

⎡=⎥

⎦

⎤⎢⎣

⎡⎥⎦

⎤⎢⎣

⎡=

35

01

2345

2y

83.534 34925 ;10122

222122 ==→=+==+=

uy

yu

• u3 = [0 1]T

↓

⎥⎦

⎤⎢⎣

⎡=⎥

⎦

⎤⎢⎣

⎡⎥⎦

⎤⎢⎣

⎡=

24

10

2345

3y

47.420 20416 ;11023

232323 ==→=+==+=

uy

yu

61

• u4 = [1/1.4142 1/1.4142]T

↓

⎥⎦

⎤⎢⎣

⎡=⎥

⎦

⎤⎢⎣

⎡⎥⎦

⎤⎢⎣

⎡=

2529

2121

2345

4y

3.7 7.32106225281 ;1212124

242424 =→==+==+=

uy

yu

• u5 = [1/1.4142 -1/1.4142]T

SVD – Ganancia

↓

⎥⎦

⎤⎢⎣

⎡=⎥

⎦

⎤⎢⎣

⎡

−⎥⎦

⎤⎢⎣

⎡=

2121

2121

2345

5y

1 12121 ;1212125

252525 =→=+==+=

uy

yu

62

SVD – GananciaGraficando la relación entre las componentes del vector u = [u1 u2] (medida de la dirección: + igual , - opuesta)) contra ||y||2/||u||2 se tiene

Los valores propios de la matriz son 7.27 y -0.27Los σ son 7.34 y 0.27

63

Los valores propios de la matriz G(s) no son una buena indicación de la ganancia de un sistema MIMO, dada la matriz G(s):

SVD – Ganancia

Esta matriz tiene dos valores propios en λ = 0, sin embargo para la entrada u = [0 1]T :

⎥⎦

⎤⎢⎣

⎡=

001000

1G

⎥⎦

⎤⎢⎣

⎡=⎥

⎦

⎤⎢⎣

⎡⎥⎦

⎤⎢⎣

⎡=

0100

10

001000

y

y la ganancia sería

1002

2 =uy

64

Los valores propios miden la ganancia para el caso especial en que las entradas y las salidas están en la misma dirección: las direcciones definidas por los vectores propios.

SVD – Ganancia

Sea vi un vector propio de la matriz G y sea una entrada ui = vi, entonces y = Gvi, pero por definición

iii vGvy λ==

||λi|| es una medida de la ganancia cuando la entrada está en la dirección dada por el vector propio correspondiente.

Entonces

ii

ii

i

i

vv

vGv

uy

λλ

===

65

SVD – Ganancia

La matriz G de ganancia de un sistema MIMO de p entradas y q salidas se puede descomponer:

Donde:

TVUG Σ=

"ectorssingular vInput :" :"ectorssingular vOutput :" :

singulares valores},min{ :

pxpmatrizVqxqmatrizU

pqqxpconkmatriz =Σ

66

SVD – Ganancia

Los vectores columna de la matriz U, notados μi representan las direcciones de salida de la planta.Los vectores columna de la matriz V, notados νi representan las direcciones de entrada de la planta.Vectores y matrices son ortonormales:

iiiGUGV

μσυ =

Σ=

67

SVD – Ganancia

Si se considera una entrada en la dirección νi la salida estará en la dirección μi

Como los vectores son unitarios, el i – esimo valor singular σi da directamente la ganancia de la matriz G en esa dirección:

2

22

)(i

iii

GGG

υ

υυσ ==

68

SVD – Ganancia

El valor singular da mejor información sobre la ganancia de la plantaLas direcciones obtenidas son ortogonalesSVD se aplica a plantas de dimensión nxm

69

SVD – Ganancia

El máximo valor de la ganancia cuando la dirección de la entrada cambia es el máximo valor singular de G:

El mínimo valor de la ganancia es el mínimo valor singular de G:

{ )()(max 1max21

21

2

2

0

GGG

uGu

u

σσυυ

===≠

{ )()(min min2

2

2

2

0GG

GuGu

kk

k

uσσ

υυ

===≠

70

SVD – Ganancia

Para el sistema ya analizado:

SVD:

⎥⎦

⎤⎢⎣

⎡=

2345

G

T

VU T

G444 3444 2144 344 21444 3444 21

⎥⎦

⎤⎢⎣

⎡ −⎥⎦

⎤⎢⎣

⎡⎥⎦

⎤⎢⎣

⎡−

=

Σ

794.0608.0608.0794.0

272.000343.7

872.049.049.0872.0

71

SVD – Ganancia

La mayor ganancia es de 7.343 en la dirección de entrada:

La menor ganancia es de 0.272 en la dirección de entrada:

⎥⎦

⎤⎢⎣

⎡=

608.0794.0

1υ

⎥⎦

⎤⎢⎣

⎡−=

794.0608.0

2υ

72

SVD – Ganancia

El “condition number” :

El sistema es “ill conditioned”: unas combinaciones de entradas tienen mayor efecto que otras y algunas son muy débiles

27272.0343.7 ==numberCondition

73

REFERENCIAS

1. BAY J.S. " Fundamentals of Linear State Space Systems", New York: McGraw Hill International Edition,. 1999. Chapter 4

2. CHEN Chi- Tsong. Linear Systems Theory and Design. 3rd Edition. New York: Oxford University Press. 1999. Chapter 3.

74

REFERENCIAS

3. KLEMA V. and LAUB A. The singular value decomposition: its computation and some applications. – IEEE Transactions on Automatic Control. Vol. AC-25 # 2. April 1980. pp 63-79

4. SKOGESTAD Sigurd & POSTLETHWAITE Ian. Multivariable Feedback Control. Chichester: John Wiley & Sons 1996.

valores vectores svd - diegopat.ueuo.comdiegopat.ueuo.com/presentaciones/semana_7_lin.pdf ·...

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