Ejemplo 1

Definicin espacio vectorial Subespacios Propiedades LI, LD - Bases cannicas Propiedades base.Profesora: Farini, Mara Rosa

Definicin de espacio vectorial

Un espacio vectorial es un conjunto V ( ( de elementos llamados vectores, en el que estn definidas dos operaciones llamadas suma de vectores y multiplicacin de un escalar (nmero real) por un vector, que satisfacen los siguientes 10 axiomas.

( (, ( ( R , ( :

1. La suma de y , denotada por ( V.

2. = ..

3.

4. ( V: ( .

5. (

6. El mltiplo escalar ( por , denotado por (.( V...

7. (.) = (.+ (..

8. (( + ().= (. + (...

9. ((.().=(.((.) =(.((.).

10. 1. =

Notacin: escribimos la cuaterna:Ejemplo 1:

V = Rn (con n ( 1) = .

(.=.

=

=

Observacin:

Si n = 1 V =.

Si n = 2 V =..

Si n = 3 V =..

Ejemplo 2V = Rmxn, Si recordamos las propiedades vistas para suma de matrices y multiplicacin de un escalar por una matriz resulta:.

donde =.

Ejemplo 3

V= Pn =

(.=.

=

=

Propiedades que se cumplen en (V,+,R,.) espacio vectorial.

( (( R , ( :

1.

2. (.

3. (.

EMBED Equation.3 ( ( = 0 (

EMBED Equation.3 4. (- ().= -((.)

Definicin de subespacio

Dado S subconjunto no vaco de V,

(S, +, R, .) es un subespacio de (V,+,R, .) espacio vectorial, si (S,+,R, .) es un espacio vectorial bajo la suma y la multiplicacin de un escalar por un vector definidos en V.Condicin necesaria y suficiente para subespacios vectoriales

1- S ( ( 2- S ( V

(S, +, R, .) es un subespacio ( 3- ( : ( S...

de ( V, +, R, .) espacio vectorial 4- ( (( R , ( (. ( S..

Observacin:

Ejemplo 1( ejercicio 1-B , pgina 25)V = R2 S = { ( x1, x2 ) ( R2 / 2x1 + 3x2 = 0 }1- ( S pues ....................................................................................................................

( S ( (2- S ( R2 por definicin.

3- ( ( S , ( ( S:

( S ( ......................................................................................... ( definicin de S )

( S ( . ( definicin de S )

+ = .........................................

( definicin de + en R2 ) Estudio si + es un elemento de S:

(

+ ( S

4- ( ( ( R, ( ( S :

( S ( ......................................................................................... ( definicin de S )( .= .............................................................. ( definicin escalar por vector en R2 )

Estudio si ( .es un elemento de S:

( ( . ( S Ejemplo 2 ( ejercicio 1-C , pgina 25)

V = R2 S = { ( x1, x2 ) ( R2 / 3x1 -2x2 -3 = 0 }Observacin:Si S es un subespacio de V ( .Si ( S ( ..Ejemplo 3 ( ejercicio 1-C , pgina 25)

V = R2 S = { ( x1, x2 ) ( R2 / x1 ( 0 }Conclusin:Slo son subespacios de R2 distintos de los triviales:Ejemplo 4 ( ejercicio2-A, pgina 25)

V = R3 S = { ( x1, x2, x3) ( R3 / x1 = 2x3 ( x2 = x1 3x3 }1- ( S pues ....................................................................................................................

( S ( (2- S ( R3por definicin.

3- ( ( S , ( ( S:

( S ( ......................................................................................... ( definicin de S )

( S ( . ( definicin de S )

+ = ...... ( definicin de + en R3 )

Estudio si + es un elemento de S:

(

EMBED Equation.3 + ( S

4- ( ( ( R, ( ( S :

( S ( ......................................................................................... ( definicin de S )( .= .............................................................. ( definicin escalar por vector en R3 )

Estudio si ( .es un elemento de S:

( ( . ( S Ejemplo 5 ( ejercicio2-B , pgina 25)

V = R3 S = { ( x1, x2, x3) ( R3 / 2x1 -3 x2 + 4x3 = 0}1- ( S pues ....................................................................................................................

( S ( (2- S ( R3 por definicin.

3- ( ( S , ( ( S:

( S ( ......................................................................................... ( definicin de S )

( S ( . ( definicin de S )

+ = ......( definicin de + en R3 )

Estudio si + es un elemento de S:(

EMBED Equation.3 + ( S 4- ( ( ( R, ( ( S :

( S ( ......................................................................................... ( definicin de S )( .= .............................................................. ( definicin escalar por vector en R3 )

Estudio si ( .es un elemento de S:

.( ( . ( S Ejemplo 6 ( ejercicio2-C , pgina 25)

V = R3 S = { ( x1, x2, x3) ( R3 / x1 + x2 = 2 }Conclusin:

Slo son subespacios de R3 distintos de los triviales:

Ejemplo 7 ( ejercicio3-b, pgina 25)

V = Rn S = { ( x1, x2, x3,.., xn) ( Rn / x1 = xn }

1- ( S pues ....................................................................................................................

( S ( (2- S ( Rn por definicin.

3- ( ( S , ( ( S:

( S ( ......................................................................................... ( definicin de S )

( S ( . ( definicin de S )

+ = ..... ( definicin de + en Rn ) Estudio si + es un elemento de S:

(

EMBED Equation.3 + ( S

4- ( ( ( R, ( ( S :

( S ( ......................................................................................... ( definicin de S )( .= .............................................................. ( definicin escalar por vector en Rn )

Estudio si ( .es un elemento de S:

( ( . ( S Ejemplo 8 ( ejercicio3-c, pgina 25)

V = R2x2 S = { A ( R2x2 / A es singular}

Ejemplo 9 ( ejercicio3-d, pgina 25)

V = R2x2 S = { A ( R2x2 / tr(A ) = 0 }

1- ( S pues ....................................................................................................................

( S ( (2- S ( R2x2 por definicin.

3- ( ( S , ( ( S:

( S ( ......................................................................................... ( definicin de S )

( S ( . ( definicin de S )

+ = ( definicin de + en R2x2 ) Estudio si + es un elemento de S:

(

EMBED Equation.3 + ( S

4- ( ( ( R, ( ( S :

( S ( ......................................................................................... ( definicin de S )( .= ............................................................. definicin escalar por vector en R2x2 )

Estudio si ( .es un elemento de S:

( ( . ( S Ejemplo 10 ( ejercicio 4-b, pgina 25)V =P4 S = { p( P4 / p = 0 o gr(p) = 2}Ejemplo 11 ejercicio 4-d, pgina 25)V =P2 S = { p( P2 / p (-2) = 0}1- ( S pues ....................................................................................................................

( S ( (2- S ( P2por definicin.

3- ( ( S , ( ( S:

( S ( ......................................................................................... ( definicin de S )

( S ( . ( definicin de S )

+ = ( definicin de + en P2)

Estudio si + es un elemento de S:

(

EMBED Equation.3 + ( S

4- ( ( ( R, ( ( S :

( S ( ......................................................................................... ( definicin de S )( .= ............................................................. definicin escalar por vector en P2)

Estudio si ( .es un elemento de S:

( ( . ( S Independencia lineal y dependencia lineal: propiedadesDado (V, +, R, .) espacio vectorial

Propiedad 1: {} es linealmente independiente ( (

Ejemplos:

Propiedad 2: A ={1, 2 , , , n}es linealmente dependiente.

Ejemplos:

Propiedad 3: Un conjunto de vectores A = { 1, 2 , .. n } es linealmente dependiente si, y slo si, algn vector de A es combinacin lineal de los dems.

Ejemplos:

Propiedad 4: Un conjunto de vectores A = {1, 2 , .. n } es linealmente independiente si, y slo si, ningn vector de A es combinacin lineal de los vectores restantes.

Ejemplos:

Propiedad 5: Si ( V es combinacin lineal del conjunto A = {1, 2 , .. n } linealmente independiente, entonces dicha combinacin es nica.

Ejemplos:Bases Cannicas

Espacio vectorialBase cannicaDimensin

R2{ (1,0), (0,1)}2

R3{ (1,0,0), (0,1,0), (0,0,1)}3

R4{ (1,0,0,0), (0,1,0,0), (0, 0,1,0), (0,0,0,1)}4

Rn{(1,0,0,.,0), (0,1,0,., 0),.., (0,0,0,.,1)}n

P1{1, x}2

P2{1, x, x2}3

P3{1, x, x2, x3}4

P4{1, x, x2, x3, x4}5

Pn{1, x, x2, x3,, xn-2,xn-1, xn}n+1

R2x2

2.2 = 4

R2x3

2.3 = 6

Rmxn

mn

Base y dimensin: propiedades

Propiedad 1: Un conjunto de n vectores linealmente independientes en un espacio vectorial V de dimensin n constituye una base para V.

Ejemplo:

Propiedad 2: Un conjunto de n vectores que genera al espacio vectorial V de dimensin n constituye una base para V.

Ejemplo:

Propiedad 3: Si B = {1, 2 , .. r } es un conjunto de r vectores en un espacio vectorial V de dimensin n siendo r < n entonces B no genera a V.

Ejemplo:

Propiedad 4: Si B = {1, 2 , .. r } es un conjunto de r vectores en un espacio vectorial V de dimensin n siendo r > n entonces B es linealmente dependiente.

Ejemplo:

Teorema de extensin a una baseSea (V, +, R, .) un espacio vectorial de dimensin n. Sea {1, 2 , .. r }un conjunto linealmente independiente. Entonces existen vectores

r+1, r+2 , .. n tales que {1, 2 , , r , r+1, r+2 , .. n } es una base de V.

Ejemplo:PAGE 9

_1401692220.unknown

_1401711561.unknown

_1401713437.unknown

_1464460019.unknown

_1464460021.unknown

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_1464460020.unknown

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_1401711536.unknown

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