ERRORES EN MEDIDAS DIRECTASLas medidas directas son las realizadas midiendo una magnitudfsica por medio de un instrumento y un procedimiento de medida.

Las medidas indirectas son las que se obtienen a travs de lamedida directa de otra u otras magnitudes relacionadas con ellamediante una frmula conocida.

Error en una medida directa:

En cada medida directa x se comete el error Dx que impone laresolucin del aparato.

Por ejemplo: midiendo una longitud de 22 mm con una regla milimetrada,cometemos un error de 1 mm. Esto debe expresarse como (221) mm.

Este es el error absoluto de cada medida. La medida se expresacomo x x

Criterio general para expresar el error absoluto:

Ya que el error representa la incertidumbre en el conocimiento dela medida, en general debe expresarse con UNA sola cifrasignificativa.

ERRORES EN MEDIDAS DIRECTAS

Error absoluto: sensibilidad

Error relativo: precisin

Determinacin del error absoluto:comparamos el error debido a la sensibilidadcon el error cuadrtico medio. Se toma la mayorde ambas cantidades. Se expresa con una solacifra significativa, salvo si esta es 1, en cuyocaso se admiten dos cifras significativas.

x xx

Determinacin del error relativo:cociente entre el error absoluto y el valor aceptado.Se expresa en tanto por uno o tanto por ciento.

ERRORES EN MEDIDAS DIRECTAS

Error del aparato Serie de medidas: Error cuadrtico medio

Ni

ixNxx

Nx

121

1...)(1

)1(

)(1

2

NN

xxx

N

iiN

x Resolucin

Cuando slo se presentan errores accidentales elmejor valor representativo del valor verdadero esel valor medio

s 104 3

s 105 3 RMSx

Medida resultante de un conjunto de medidas directas

ERRORES EN MEDIDAS DIRECTAS

Valor aceptado: media aritmtica N

iiN xN

xxxN

x1

211)...(1

Error absoluto de la serie: la mayor de las dos cantidades siguientes:

* El error estndar de los datos N

ii xxN 1

2)(1

* El valor cuadrtico medio de los errores (RMS) 22221 ...1 NRMS xxxNx

x1 x1x2 x2x3 x3

xN xN

(Ti-T)2

4,00E-04

4,93E-32

4,00E-04

1,00E-04

4,93E-32

1,00E-04

Ti21,00E-04

1,00E-04

1,00E-04

1,00E-04

1,00E-04

1,00E-04

Ti (s)

1,92

1,94

1,96

1,95

1,94

1,93

Ti0,01

0,01

0,01

0,01

0,01

0,01

Ejemplo: medida del periodo de un pndulo simple

s 94.1T

s 005.0940.1 T

El error absoluto del conjunto ser la mayor de las dos cantidades

),( RMSxMAXx

ERRORES EN MEDIDAS INDIRECTAS La medida indirecta de una magnitud x se determina a travs de

la medida de otras con las que mantiene una relacin funcional),...,( 21 Nxxxxx

Ley de propagacin del error de Gauss22

22

2

11

...

N

Nx

xxx

xxx

xxx

La ley de propagacin de Gauss nos da el valor medio del errorabsoluto de la magnitud medida en forma indirecta a partir de loserrores absolutos x1, x2,Ejemplo: clculo de la energa cintica de un cuerpo de masa M = (2.140.04) kg que se mueve con una velocidad constante v = (4.50.1) m/s.

J 6675.2121 2 MvEc

22

v

vEcM

MEcEc 2

22

2vMvMv

J 088.11.05.414.204.0

25.4 2

22

(Sin ajustar decimales)

Expresamos el error con 2 cifras significativas al ser la primera un 1 J 1.1 cE

Ajustamos el resultado al mismo orden decimal que el error: J 1.17.21 cE

ERRORES EN MEDIDAS INDIRECTASValor mximo del error en medidas indirectasSi supusiramos que de todas las variables que intervienen en la magnitudx slo una de ellas, xi, influye en el error x por haber sido todas las demsmedidas sin error alguno, la ley de propagacin del error nos dara:

ii

ii

xxxx

xxx

2

Pero realmente no hay ninguna variable que sea medida sin error, por loque podemos considerar que el error mximo en la medida indirecta ser lasuma de una serie de trminos de error individual de la forma expresada enla ecuacin anterior:

NN

xxxx

xxx

xxx

...22

11

Salvo que se indique expresamente lo contrario, debe preferirse expresar losresultados de las medidas acompaados de su error mximo, dado por laecuacin inmediata anterior en lugar del error medio dado por la frmula deGauss.

El anterior ejemplo de la energa cintica, si se usa el error mximo, da como resultado(comprubese)

J 5.17.21 cE

La funcin consta exclusivamente de productos y/o cocientes

nN

ba xxxx ...21Derivadas parciales 11 x

xaxx

22 xxb

xx

NN xxn

xx

Error mximo (expresado como error relativo, es decir, comocociente entre el error y la magnitud)

N

Nxxn

xxb

xxa

xx ...

2

2

1

1

ERRORES EN MEDIDAS INDIRECTAS

Caso particular que se presenta con frecuencia:

Ejemplo: error cometido en el clculo de una fuerza centrpeta

RvMF

2 R

Rvv

MM

FF 2

ERRORES EN MEDIDAS INDIRECTASClculo del error en la media empleando la ley de propagacin de GaussConsideramos x1, x2,... xN (las N medidas realizadas deuna magnitud, cada una afectada de un errorindividual x1, x2,...xN), como medidas directas apartir de las cuales se obtendr la media comomedida indirecta, siendo la relacin funcional entreellas

N

iixN

x1

1

Valor medio del error:

22

2

2

1 1

1

1

NxN...xNxNx 22

22

1 1

Nx...xxN N

xN

x...xxN

RMSN 122

22

1

Valor mximo del error:

NN

xxxx

xxx

xxx

...22

11

NxxxN ...1

21

Nx

xx ii

Obsrvese que

22

22

2

11

...

N

Nx

xxx

xxx

xxx

EJEMPLO 1: Medida de una longitud

Sensibilidad:

Error cuadrtico medio:

101.0 mm101622777.3 2L

mm107610149.4 2L

mm)05.064.635( LLMedia aritmtica:

mm6400.635L

L (mm)635.7 635.9635.8 635.5635.5 635.4635.6 635.7635.6 635.7

Valor aceptado:

ERRORES EN MEDIDAS INDIRECTAS Magnitud x que se determina a travs de la med

ida de otras con las que mantiene una relacin funcional

),...,( 21 Nxxxxx Ley de propagacin del error de Gauss

22

22

2

11

...

N

Nx

xxx

xxx

xxx

La ley de propagacin de Gauss nos da el valor medio del error absoluto de la magnitud medida en forma indirecta

El error mximo cometido se puede determinar sumando los valores absolutos de los errores individuales

Ejemplo 2. Valor promedio del error

Determinacin de la focal de una lente por el mtodo de Bessel.

LdLf

4'

22

d

Imagen

Posicin 1

Posicin 2

L

Objeto

Ejemplo 2 (cont.)

22

2

222

2441'''

d

LdL

Ldd

dfL

Lff

LdLf

4'

22

L (cm) d (cm) f (cm) f (cm)100 79.0 9.40 0.1190.0 68.9 9.31 0.1180.0 58.7 9.23 0.1170.0 47.7 9.37 0.1060.0 36.8 9.36 0.0955.0 31.1 9.35 0.0850.0 25.1 9.35 0.0845.0 18.2 9.41 0.07

VALOR MXIMO ERROR (INDIRECTAS)

Si supusiramos que cada variable xi es la nica que influye en el error

ii

ii

xxxx

xxx

2

El error mximo en la medida indirecta ser lasuma de los trminos de error individual

NN

Mximo xxxx

xxx

xxx

...22

11

CASO PARTICULAR 1: productos La funcin consta exclusivamente de productos

y/o cocientesnN

ba xxxx ...21Derivadas parciales

11 xxa

xx

22 xxb

xx

NN xxn

xx

Error mximo (expresado como error relativo)

N

Nxxn

xxb

xxa

xx ...

2

2

1

1

CASO PARTICULAR 1: productos

Frmula de los logaritmos neperianos

NxLnnxLnbxLnaxLn ...21

N

Nxdxn

xdxb

xdxa

xdx ...

2

2

1

1

N

Nxxn

xxb

xxa

xx ...

2

2

1

1

CASO PARTICULAR 2: error en la media

Clculo del error en la media empleando la leyde propagacin de Gauss.

Consideramos x1, x2,... xN (las N medidas realizadas deuna magnitud, cada una afectada con error individualx1, x2,...xN), como medidas directas a partir de lascuales se obtendr la media como medida indirecta,siendo la relacin funcional entre ellas

Ni

ixNx

1

1

CASO PARTICULAR 2: error en la media

Propagacin de Gauss: valor medio del error

22

2

2

11...11 NxN

xN

xN

x

22221 ...1 NxxxN

Nx

Nxxx

NRMSN

222

21 ...1

xRMS Root Mean Square

CASO PARTICULAR 2: error en la media

Propagacin de Gauss: valor mximo del error

N

Nx

xxx

xxx

xxx ...2

21

1mx

NxxxN ...1

21

Error mximo: igual al promedio de los errores

Propagacin de errores: SumasEn la suma, las cotas para el error absoluto estn dadas por lasuma de las cotas para los errores absolutos de los operandos.

1 1 1 1 1 1 1 1

2 2 2 2 2 2 2 2

1 1 2 2 1 2 1 1 2 2

1 2 1 2 1 2 1 2 1 2

1 2 1 2 1 2

( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )

x x x x xx x x x xx x x x x xx x x x x x

x x x x

Propagacin de errores: RestasEn la resta, las cotas para el error absoluto estn dadas por lasuma de las cotas para los errores absolutos de los operandos.

1 1 1 1 1 1 1 1

2 2 2 2 2 2 2 2

2 2 2 2 2

1 2 1 2 1 2 1 2 1 2

1 2 1 2 1 2

( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )

x x x x xx x x x x

x x xx x x x x x

x x x x

Propagacin de errores: Productos y CocientesEn la multiplicacin y la divisin, las cotas para loserrores relativos estn dadas por la suma de las cotaspara los errores relativos en los operandos.

2121

1r1r

:si ledespreciab2121

212121

1

2121221121

2

1

1)1)(1(1

)1)(1()1()1(~~~

)1(~~

rrrrr

rrrrrrrrrrrr

rrxxrxrxxxp

rxxrxxx

xxr

p

p

p

rp p

Cocientes

2121

21

22

21

2

21

2

1

1

2

1

2

1

2

1

1 si 1

)1(111

)1()1(

)1()1(

~~~

rrrrrrrr

rrrrr

rrr

rrr

rr

xx

xxc

c

c

c

c

rc c

La propiedad asociativa NO se cumple para la adicin en punto flotante

3S) :(exactitud 100000123.0))((1000000000123.0

1000004711325.0- 1045674711448.0

1045674711448.0

1000004711325.0 1045670000123.0

101234567.0))((0))(())((

104711325.0101234567.07S :Precisin

4

4

4

4

4

)(

4

4

0

40

cbaflfl

acbflaflcbcbaflflcbflafl

bcba

bafl

Resolucin de ecuaciones cuadrticas

acxx

abx

xx

acbxx

bacb

aacbbx

21

21

211,2

5

5

5

22

2

2

2

2,1

x

S) 4 de ms (conservar 0.09092 : verdaderaraz

01102

110110x

numerador elen n Cancelaci10961209.0

10040000.0 - 10001210.0

120964121001.1.4)110(401110

4

:ntediscrimina elen Error 2

4

Ejemplo de inestabilidad numrica

311 10 xxxi11 3

43

13 kkk xxx

k

kx

31

Resultado exacto:

Generar la sucesin:

11

111

~34~

313~

~~

nnn

nnn

nnn

xxx

xxxx

111

11

111

111

34

313~

34

313

34

313

34

313~

34

313~

nnnn

nnn

nnnnn

nnnnn

xx

xxx

xxx

xxx

Frmula general para propagacin del error

h

xxxfxfxf

xfxxxfxxxfxf

~)~()~()(

...)~()~(21)~()~()~()(

inamplificacevaluacinla enerror

2

Frmula general para propagacin del error

xxxfxfxf

xfxxxfxxxfxf

~)~()~()(

...)~()~(21)~()~()~()( 2

ix

n

i i

ix

n

i i

iiiT

n

xxyy

xxyy

xxxxxxx

)~(1

)~(1

)0(21

~]~~~[~

Condicionamiento de un problema Un problema est mal condicionado si pequeos cambios en los

datos provocan grandes cambios en los resultados

( ) ( ) ( )( ) ( )

f x f x f x x xf x f x x

( )( )

f x xK

f x

Errores en la evaluacin de funciones

K

xarcsen

xxarcsenx

xxf

xfxK

xarcsenxf

2

11)(

)()(

2

Condicionamiento

raz? nueva la est dnde

:sPerturbemo. de simple raz es

de vecindadlaen funciones dos y Sean

gfF

frrgf

XY

MTODO DE MNIMOS CUADRADOS

0mS

0

bS

N

ii

N

ii yxbaN

11

N

iii mxbyS

1

2)(

CRITERIO: Minimizar S

Ajuste lineal

N

iii

N

ii

N

ii yxxbxa

11

2

1

MTODO DE MNIMOS CUADRADOS

),( ii yx

ii mxby

mxby

X

Y

Sistema de ecuaciones a resolver

22 xNx

xyNyxm 22

2

xNxxyxyxb

Nx

x

Ny

y 222 xy m

222

xxNNm 22

22

xxNxb

DESVIACIONES (ERRORES EN LOS DATOS)

Coeficiente de correlacin

2222 11 yN

yxN

x

Nyxxy

r

MTODO DE MNIMOS CUADRADOS

1r 1r

05

10

15

20

25

30

35

40

45

50

0 200 400 600 800 1000 1200

X

Y

MTODO DE MNIMOS CUADRADOSEjemplo: ajuste lineal de datos x, y

x x y y134 10 5 2

178 10 6 2

317 10 12 2

440 10 16 2

523 10 19 2

589 10 21 2

694 10 25 2

759 10 28 2

934 10 34 2

1115 10 41 2

5683 100 207 20

xy x^2 y^2

670,0 17956,0 25,0

1068,0 31684,0 36,0

3804,0 100489,0 144,0

7040,0 193600,0 256,0

9937,0 273529,0 361,0

12369,0 346921,0 441,0

17350,0 481636,0 625,0

21252,0 576081,0 784,0

31756,0 872356,0 1156,0

45715,0 1243225,0 1681,0

150961 4137477 5509

r = 0,99961

* Ordenada en el origen

* Pendiente

* Barras de error

mxby

22 xNx

xyNyxm 22

2

xNxxyxyxb

222

xxNNm 22

22

xxNxb

2222 11 yN

yxN

x

Nyxxy

r

m = 0,037

m = 0,002b = -0,2

b = 1,4

Hay que incluir las unidades

correspondientes en cada caso!

Nx

x N

yy

222 xy m

0,0E+00

5,0E-04

1,0E-03

1,5E-03

2,0E-03

2,5E-03

3,0E-03

3,5E-03

4,0E-03

0 20 40 60 80

x

1

/

y

MTODO DE MNIMOS CUADRADOSEjemplo 2: ajuste de datos x, 1/y (linealizacin)

mxby

1 2)/1()/1( yyy

yyy

x x y y25 2 790 10

30 2 660 10

35 2 580 10

40 2 505 10

45 2 450 10

50 2 390 5

55 2 360 5

60 2 335 5

65 2 305 5

70 2 280 5

475 20 2,39E-02 3,91E-04 1,2399 24625 6,24E-05

r = 0,99915

* Ordenada en el origen

* Pendiente

* Barras de error

22 xNx

xyNyxm

222

xxNNm

22

2

xNxxyxyxb 22

22

xxNxb

2222 11 yN

yxN

x

Nyxxy

r

m = 0,000051

m = 0,000002b = -0,00004

b = 0,00012Hay que incluir las unidades

correspondientes en cada caso!

x(1/y) x^2 (1/y)^2

0,0316 625 1,60E-06

0,0455 900 2,30E-06

0,0603 1225 2,97E-06

0,0792 1600 3,92E-06

0,1000 2025 4,94E-06

0,1282 2500 6,57E-06

0,1528 3025 7,72E-06

0,1791 3600 8,91E-06

0,2131 4225 1,07E-05

0,2500 4900 1,28E-05

1/y

1,27E-03

1,52E-03

1,72E-03

1,98E-03

2,22E-03

2,56E-03

2,78E-03

2,99E-03

3,28E-03

3,57E-03

(1/y)1,60E-05

2,30E-05

2,97E-05

3,92E-05

4,94E-05

3,29E-05

3,86E-05

4,46E-05

5,37E-05

6,38E-05

Nx

x N

yy 222 xy m

ProblemaSe quiere medir la resistencia elctrica de un conductor metlico, para lo cual se llevan a cabo medidas dediferencia de potencial entre sus extremos (voltaje V, unidad SI voltio) en funcin de la corriente quecircula por l (intensidad I, unidad SI amperio). Se espera que el conductor metlico obedezca la ley deOhm: V = IR, donde R es la resistencia elctrica, que debe expresarse en ohmios (1 = 1 V/1 A). En latabla se presentan las medidas, con los voltajes medidos en mV y las intensidades en mA. Se acompaanlos errores correspondientes en las mismas unidades. Determine la resistencia elctrica del conductor.

Para resolver el problema haremos un ajuste de mnimos cuadrados representado la intensidad decorriente en abscisas y el voltaje en ordenadas. Segn la ley de Ohm, la pendiente de la recta obtenida hade ser igual a la resistencia elctrica del conductor.

I (mA) I V (mV) Vx x y y

134 10 5 2

178 10 6 2

317 10 12 2

440 10 16 2

523 10 19 2

589 10 21 2

xy x^2 y^2

670 17956 25

1068 31684 36

3804 100489 144

7040 193600 256

9937 273529 361

12369 346921 441

2181 60 79 12 34888 964179 1263

m = 0,036 b = 0,1 mVm = 0,005 b = 2,0 mV

0

5

10

15

20

25

0 100 200 300 400 500 600 700

I (mA)

V

(

m

V

)

r = 0,99865

22 xNx

xyNyxm

222

xxNNm

22

2

xNxxyxyxb

2222

xxNxb

Nx

x N

yy

222xy m

2222 11 yN

yxN

x

Nyxxy

r

Se ha usado un sistema que puede considerarse un pndulo simple con objeto de medir la aceleracin de lagravedad. El procedimiento empleado consiste en medir el periodo de oscilacin T para varias longitudesdiferentes L, y usar la relacin entre el periodo, la longitud del pndulo y la aceleracin de la gravedad:

Problema

Utilice el mtodo de mnimos cuadrados, transformando convenientemente la ecuacin anterior, para obtenerla aceleracin de la gravedad de acuerdo con los datos presentados en la tabla. Las longitudes estn medidascon 1 cm y los periodos con 0.02 s.

224

TgL gLT 2

La transformacin necesaria para resolver el problema es linealizar la ecuacin del periodo del pndulo:Realizando un ajuste de L frente a T2 obtendremos una recta cuya pendiente es g/42, de la cual obtendremos un valor para g.Los errores cometidos en L son conocidos directamente; para determinar los errores en T2 aplicamos la

propagacin de errores:

TTTT

TT 2

22T (s) T L (m) L

1,97 0,02 0,85 0,01

2,14 0,02 1,20 0,01

2,39 0,02 1,46 0,01

2,70 0,02 1,78 0,01

2,91 0,02 2,05 0,01

T2(s) (T2) L (m) Lx x y y

3,88 0,08 0,85 0,01

4,58 0,09 1,20 0,01

5,71 0,10 1,46 0,01

7,29 0,11 1,78 0,01

8,47 0,12 2,05 0,01

xy x^2 y^2

3,30 15,1 0,72

5,47 21,0 1,43

8,34 32,6 2,13

12,94 53,1 3,15

17,36 71,7 4,20

29,93 0,48 7,33 0,05 47,4 193,5 11,6

-0,5

0,0

0,5

1,0

1,5

2,0

2,5

0 2 4 6 8 10

T^2 ( s^2)

L

(

m

)

22 xNx

xyNyxm

222

xxNNm

Nx

x N

yy

222xy m

2222 11 yN

yxN

x

Nyxxy

r

22

2

xNxxyxyxb

2222

xxNxb

m = 0,246 m/s2

m = 0,007 m/s2

b =-

0,008 m

b = 0,042 m

g = 9,7 m/s2

g = 0,3 m/s2

r = 0,98877

-5,0E+04

0,0E+00

5,0E+04

1,0E+05

1,5E+05

2,0E+05

2,5E+05

3,0E+05

0 200 400 600 800 1000 1200

1/V (1/m3)P

(

P

a

)

En un experimento sobre gases se toman los datos de presin P y volumen V registrados en la tabla T1.10 yque corresponden a una muestra n = (0.1000.001) moles de gas. Los errores en P y V estn en las mismasunidades que las magnitudes respectivas. Suponiendo que la muestra cumple la ley de los gases ideales,realice un ajuste de mnimos cuadrados para determinar la temperatura absoluta T del gas.

Problema

nRTPV Ley de los gases ideales: Constante universal de los gases R = 8,314 J/K.molP (Pa) P V (m3) V

2,5E+05 5,0E+03 1,0E-03 5,0E-05

1,7E+05 5,0E+03 1,5E-03 5,0E-05

1,3E+05 5,0E+03 1,8E-03 5,0E-05

9,5E+04 1,0E+03 2,4E-03 5,0E-05

8,0E+04 1,0E+03 3,1E-03 5,0E-05

7,4E+04 1,0E+03 3,4E-03 5,0E-05

VnRTP A partir de la ecuacin de los gases ideales vemos que

Por tanto, si representamos P en ordenadas frente a 1/V en abscisas, la pendiente de la recta resultante ser proporcional a la temperatura absoluta m = nRT

Error en 1/V 2)/1()/1(

VVV

VVV

1/V(m-3) (1/V) P (Pa) Px x y y

1,0E+03 5,0E+01 2,5E+05 5,0E+03

6,7E+02 2,2E+01 1,7E+05 5,0E+03

5,6E+02 1,5E+01 1,3E+05 5,0E+03

4,2E+02 8,7E+00 9,5E+04 1,0E+03

3,2E+02 5,2E+00 8,0E+04 1,0E+03

2,9E+02 4,3E+00 7,4E+04 1,0E+03

xy x^2 y^2

2,5E+08 1,0E+06 6,3E+10

1,1E+08 4,4E+05 2,9E+10

7,2E+07 3,1E+05 1,7E+10

4,0E+07 1,7E+05 9,0E+09

2,6E+07 1,0E+05 6,4E+09

2,2E+07 8,7E+04 5,5E+09

3,3E+03 1,1E+02 8,0E+05 1,8E+04 5,2E+08 2,1E+06 1,3E+11

m = 254 J

m = 9 Jb = -4,8E+03 Pa

b = 5,4E+03 Pa

r = 0,99711

22 xNx

xyNyxm

222

xxNNm

22

2

xNxxyxyxb

2222

xxNxb

Nx

x N

yy

222xy m

2222 11 yN

yxN

x

Nyxxy

r

nRmT

2

1m

nnm

RT

T = 306 K

T = 11 K