Segundo EntrenamientoONMAPS Guanajuato24 de enero de 2015

1. Conceptos Basicos de Geometrıa

1.1. Angulos entre Paralelas

Uno de los conceptos geometricos mas importantes usados en la Olimpiada de Matematicas es el delıneas paralelas. Se llaman lıneas paralelas las que se hallan en un mismo plano y no se intersectan pormas que se prolonguen. Si una lınea r corta a un par de paralelas l y m, forma angulos con estas y se cumplelos siguiente: ]1 = ]2 = ]3 = ]5.

Figura 1

Los angulos ]1 y ]2 se llaman opuestos por vertice, al igual que los angulos ]5 y ]3. A ]1 y ]3se les llama angulos alternos internos y a ]1 y ]5 se les dice angulos correspondientes. Ademas,tambien tenemos que ]5 + ]4 = 180◦, y les decimos angulos suplementarios.¿Por que crees que se les llama de esa manera?

Usando estas propiedades de los angulos probaremos el siguiente:

Teorema 1.1 La suma de los angulos internos de un triangulo es 180◦.

Figura 2

Demostracion: Trazamos una lınea paralela a la base BC que pase por A, es evidente que ]1+]2+]3 =180◦.

1.2. Angulos entre Paralelas - Problemas

Usa lo visto en la seccion 1.1 demostrar los siguientes problemas.

1. ¿Cuanto vale la suma de los angulos internos de un polıgono de n lados?

1

2. ¿Cuanto mide un angulo interno de un polıgono regular de n lados?

3. En la figura 3a, encontrar el valor de θ si los angulos α y β son conocidos.

4. En 3b, el triangulo 4ABC es equilatero y el angulo ]BCD mide 10◦, ¿cuanto vale ]CDA?

5. Los triangulos 4ABC y 4CDE de la figura 3c son equilateros y sus lados miden lo mismo. Si elangulo ]BCD mide 80◦, ¿cuanto mide el angulo ]DAC?

(a) (b) (c)

Figura 3

6. En la figura 4a, las rectas l y m son paralelas. Si ademas se sabe que el angulo ]DEB = 130◦,AC = BC y los segmentos DE y AC son perpendiculares, ¿cuanto mide el angulo ]FDE?

7. Si en el cuadrilatero ABCD de la figura 4b, se tiene que AB = CD, ¿cuanto vale ]ABC?

(a) (b)

Figura 4

8. En un pentagono ABCDE, los angulos en los vertices A, C y E son rectos. Si ademas se sabe queAB = BC y CD = DE, ¿cuanto mide el angulo ]ACE?

9. En cada una de las siguientes figuras calcula la suma de los angulos indicados.

(a) (b) (c)

Figura 5

2

1.3. Razon entre Areas

Muchos de los problemas que nos encontramos en geometrıa nos piden ver que area es mayor, o calcularla proporcion entre dos areas. Una herramienta para hacer esto es la siguiente:

Teorema 1.2 Supongamos que tenemos dos triangulos 41 y 42 con bases b1 y b2, y alturas h1 y h2 res-pectivamente, entonces la razon entre sus areas es

Area 41

Area 42=b1 × h1b2 × h2

.

Figura 6

Demostracion: Denotemos por (4) al area de 4, recordando que (4) = (base)×(altura)2 , vemos que

(41)

(42)=

(b1×h1

2

)(b2×h2

2

)=b1 × h1b2 × h2

,

como querıamos probar.Usando este resultado podemos resolver los siguientes problemas.

1.4. Razon entre Areas - Problemas

10. En la figura 7a, ¿cuanto vale el area sombreada A entre el area sombreada B?

11. En el paralelogramo de la figura 7b, ¿cual area es mayor, la blanca o la sombreada?

12. El lado del cuadrado de la figura 7c mide 1. Si C es el centro del cuadrado, ¿cuanto vale el areasombreada?

(a) (b) (c)

Figura 7

13. Si el area del hexagono grande de la figura 8a mide 1, ¿cuanto mide el area del hexagono pequeno?

14. En el trapecio de la figura 8b, ¿cual area es mas grande, la rayada o la gris?

3

(a) (b)

Figura 8

15. * Sea 4ABC un triangulo, y sean D el punto medio de AB y E el punto medio de AC. Prueba queDE mide la mitad que BC.

16. * En la figura 9 ABCD es un paralelogramo. Si E es el punto medio de AD, F es el punto medio deBC y P es un punto cualquiera sobre el segmento AB, ¿que area es mas grande, la rayada o la gris?

Figura 9

1.5. Semejanza y Congruencia

Una de las herramientas mas utiles en la geometrıa es la semejanza de triangulos. Decimos que dostriangulos son semejantes si tienen la misma forma (aunque no necesariamente el mismo tamano), es decir,si tienen sus tres angulos iguales, o bien, sus lados estan en proporcion; por ejemplo:

(a) (b)

Figura 10

En la figura 10a, los triangulos son semejantes pues sus tres angulos son iguales, y en la figura 10b,los triangulos son semejantes pues sus lados estan en proporcion. Para ilustrar esto, veamos el siguiente:

Ejemplo: Sean 4ABC y 4DEF dos triangulos semejantes como en la figura 11, ¿cuanto miden lossegmento DE y DF?

Solucion: Ejercicio.

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Figura 11

Existen maneras de saber si dos triangulos son semejantes de manera rapida y sin tener que checar quetodos los angulos coincidan y que todos los lados sean proporcionales (respectivamente). Veremos algunasde estas formas, que se les llaman Criterios de Semejanza.

Criterio Angulo-Angulo-Angulo (ααα): Dos triangulos son semejantes si sus tres angulos soniguales.

Criterio Lado-Lado-Lado (lll): Dos triangulos son semejantes si sus tres lados son proporcionalesrespectivamente.

Criterio Lado-Angulo-Lado (lαl): Dos triangulos son semejantes si tienen dos lados proporcionalesy el angulo formado por ellos es el mismo.

(a) Criterio ααα. (b) Criterio lll.

(c) Criterio lαl.

Figura 12

Observaciones:

∗ En el criterio ααα solo necesitamos que dos angulos sean iguales. (¿Porque?)

∗ Si dos triangulos cumplen algun criterio, entonces cumplen las demas propiedades de seme-janza, por ejemplo; Si se cumple el criterio lαl, entonces los otros dos angulos tambien son iguales yel lado restante de los triangulos tambien es proporcional (con la misma razon que los otros lados).

Un caso particular de la semejanza es cuando los dos triangulos son exactamente iguales, a estos triangu-los les llamaremos Congruentes. Los criterios para saber si dos triangulos son congruentes son lll, lαl y αlα.Escribe con detalle como son estos criterios. ¿Que diferencias hay entre estos criterios y los de semejanza?¿Por que crees que aquı no aparece el criterio ααα, pero sı aparece el αlα?

Ejemplo: Sea 4ABC un triangulo y sobre los lados AB y AC se construyen los triangulos equilateros4ABD y 4ACE. Prueba que BE = CD.

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Demostracion: Basta que probemos que los triangulos 4DAC y 4BAE son congruentes, para ello usare-mos el criterio lαl. Al ser 4ABD y 4ACE equilateros, tenemos que AD = AB, AC = AE, ]DAB = 60◦

y ]CAE = 60◦, como en la figura 13. De lo anterior obtenemos que ]DAC = 60◦ + ]BAC = ]BAE.

Figura 13

Ası, por el criterio lαl los triangulos 4DAC y 4BAE son congruentes, y por lo tanto BE = CD.

Usando semejanza y congruencia podemos resolver los siguientes problemas.

1.6. Semejanza y Congruencia - Problemas

Notacion: Para denotar que dos triangulos son semejantes usaremos el sımbolo ∼, y para decir que soncongruentes usaremos ∼=.

17. Sea ABCDE un pentagono regular y sea F la interseccion de AC con BD. Muestra que 4ABC ∼4BCD ∼ 4BCF .

18. Sea ABCD un paralelogramo, y sobre los lados AB y AD se construyen los triangulos equilateros4ABE y4ADF . Prueba que4CEF es equilatero. (Hint: Muestra que4FAE ∼= 4EBC ∼= 4CDF )

19. Sobre los lados AB y AC del triangulo 4ABC se toman los puntos D y E de tal manera que AD =2DB y AE = 2EC. Si (4ABC) = 9, ¿cuanto vale el area (4ADE)?.

20. En un triangulo 4ABC se tiene que el ]BAC = 90◦. Si D es un punto en el segmento BC tal queAD es perpendicular a BC, y ademas AD = 2, DC = 4, ¿cuanto vale (4ABC)?

21. Demostrar que en un triangulo isosceles, la altura, la mediana, la bisectriz y la mediatriz1 coincidenen la misma lınea.

22. Sea ABCD un cuadrado, y sean E el punto medio de AD y F el punto medio de CD y llamemos P alpunto de interseccion de AF con BE. Si el lado del cuadrado mide 10, ¿cuanto vale el area (DEPF )?.

23. Sea 4ABC un triangulo, y sean D el pie de la altura2 desde A, y F el pie de la altura desde C. Seprolonga CF hasta G de tal manera que EG = AF . Una lınea paralela a AB que pasa por G intersectaa la prolongacion de CB en H. Prueba que HB = AB. (Hint: Traza una linea que pase por B paralelaa CF como en la figura 14 y busca triangulos congruentes)

Figura 14

1Investiga las definiciones de altura, mediana, mediatriz y bisectriz.2El pie de la altura es el punto que esta en el lado opuesto y que forma un angulo de 90◦ con este.

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24. Demuestra que las diagonales de un paralelogramo se cortan en sus puntos medios.

25. Demuestra que la recta que une los puntos medios de los lados paralelos de un trapecio, pasa el puntode interseccion de las diagonales.

26. Sea M el punto medio del lado BC en el triangulo 4ABC. Prolongamos AM mas alla de M hastaun punto N tal que AN es el doble que AM . Muestra que ABNC es un paralelogramo.

27. Sea 4ABC un triangulo y D, E y F puntos sobre los segmentos BC, AC y AB respectivamente. Laperpendicular a AB que pasa por F corta a la perpendicular a AC que pasa por E en el punto P , ya la perpendicular a BC que pasa por D en Q, y sea R la interseccion de las perpendiculares a AC yBC que pasan por E y D respectivamente. Prueba que si los puntos P , Q y R son distintos, entonces4ABC ∼ 4PQR. (Hint: Usa la figura 15.)

Figura 15

28. Por el punto de interseccion de las diagonales del cuadrilatero ABCD se traza una recta que corta aAB en el punto M y a CD en el punto N . Por M y N se trazan las rectas paralelas a CD y AB,respectivamente, que corta a AC y a BD en los puntos E y F . Demuestra que BE es paralelo a CF .

29. En un cuadrilatero ABCD, sobre las rectas AC y BD se toman puntos K y M de manera que BKes paralelo a AD y AM es paralelo a BC. Demostrar que KM es paralelo a CD.

30. Usando semejanza, prueba el teorema de Tales. (Hint: Prueba y usa el teorema 1.3 junto con lafigura 16b.)

Teorema 1.3 (Teorema de Tales version triangulos) Sea 4ABC un triangulo y l una paralelaa BC que corta los lados AC y AB en E y F respectivamente. Prueba que AF

FB = AEEC

Teorema 1.4 (Teorema de Tales) Si una lınea transversal corta a tres paralelas y los segmentosque quedan entre estas se dividen en razon m : n, entonces cualquier otra transversal que corte a estasparalelas quedara dividida en razon m : n.

(a) Tales version triangulos (b) Teorema de Tales

Figura 16

Algunos de los siguientes problemas, se pueden resolver con el teorema de Tales.

31. En un cuadrilatero ABCD sean E, F , G y H los puntos medios de los lados AB, BC, CD y DArespectivamente. Prueba que EFGH es un paralelogramo.

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32. Sea ABCD un paralelogramo y sean M y N los puntos medios de AB y CD respectivamente. Elsegmento BD corta a AN en P y a CM en Q. Prueba que DP = PQ = QB.

33. En la figura 17, los segmentos a, b, c y d son paralelos y dividen al lado BC en cuatro segmentosiguales. Si a = 10, ¿cual es el valor de la suma a+ b+ c+ d?

Figura 17

34. Sea 4ABC un triangulo rectangulo con ]BAC = 90◦. Si M el punto medio de BC, muestra queMA = MB = MC.

35. En un paralelogramo ABCD, M es el punto medio de AD y P es un punto sobre MB tal que el]CPM = 90◦. Muestra que DP = DC. (Hint: Usa el problema anterior.)

36. En un paralelogramo ABCD se escogen los puntos E y F sobre la diagonal AC de manera queAE = FC. Si BE se extiende hasta intersectar AC en H, y BF se extiende hasta intersectar DC enG, prueba que HG es paralelo a BC.

37. AM es la mediana hacia el lado BC del triangulo 4ABC. Se toma un punto P sobre AM . BP seextiende hasta intersectar AC en E, y CP se extiende hasta intersectar AB en D. Prueba que DE esparalela a BC.

38. Sobre los lados AB y AC del triangulo 4ABC se construyen hacia afuera los cuadrados ABNM yCAPQ. Sea M el punto medio del lado BC. Prueba que PM = 2 ·AD.

39. Sea 4ABC un triangulo isosceles con AB = AC. Sea D un punto en AB y sea E un punto en laextension de AC mas alla de C tal que BD = CE. Si P es el punto de interseccion de BC con DE,muestra que DP = PE.

40. En un triangulo 4ABC, X es un punto sobre la base BC. Una lınea a traves de B y paralela a AXintersecta a AC en Y , y de la misma manera, una lınea a traves de C y paralela a AX intersecta aAB en Z. Demuestra que

1

AX=

1

BY+

1

CZ.

Figura 18

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