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MARCO TEÓRICO

1. ENERGÍA DE DEFORMACIÓN:

Es un hecho conocido que cuando un resorte de constante k se somete a una fuerza F de

compresión o tracción, tal como se muestra en la figura 1.1, en donde L = kF, el resorte

acumulará energía elástica. Si el resorte se asume como perfectamente elástico, dicha

energía se puede recuperar de manera completa, como por ejemplo, por medio de trabajo

mecánico hecho por el resorte hacia el medio ambiente.

Fig. 1.1 Resorte que

se deforma y la

energía elástica

La misma idea se puede extrapolar al caso de un cuerpo elástico continuo, que es la base de

nuestro análisis en este informe. El cuerpo al deformarse también acumulará energía

elástica, y si se asume que no hay disipación (que es la base de la definición de un cuerpo

elástico), la energía se puede recuperar de forma completa como trabajo mecánico.

La energía de deformación se define como la energía que absorbe un cuerpo cuando soporta

una determinada carga; también se define como el trabajo (fuerza multiplicada por distancia)

que ejerce una fuerza sobre una estructura. Según se trate de fuerza axial, fuerza cortante o

momento flector, la definición de la energía de deformación mediante ecuaciones variará en

algunos términos como el módulo de elasticidad, el momento de inercia y el momento

flector.

En el caso de un cuerpo continuo basta determinar la energía de deformación en un cubo

diferencial como el mostrado en la figura 1.2, bajo la acción de distintas componentes del

tensor de esfuerzos. Una vez determinada la energía acumulada en el cubo, se puede

obtener la energía total para el cuerpo por medio de una integral de volumen.

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Fig. 1.2 Cubo diferencial bajo

el efecto de las componentes

del tensor de esfuerzos.

El cuerpo es elástico, de modo que la energía acumulada se asume igual al trabajo hecho por

las cargas externas en el cubo. Este análisis se aplica en el rango de comportamiento elástico,

y además asumimos que el comportamiento es lineal, de modo que la relación entre el

esfuerzo y la deformación es una línea recta con origen en cero.

Fig. 1.3 Cubo diferencial bajo

el efecto de la componente x

y la deformación que es

causada por este esfuerzo.

Con estos supuestos la energía específica total sería simplemente la suma de las energías

específicas debido a las distintas componentes del tensor de esfuerzos, de forma tal que

U=12(ε xx σ x+ε yy σ y+εzz σ z+ϑ xy τ xy+ϑ xz τ xz+ϑ yz τ yz)

La energía total acumulada por el cuerpo, si el volumen del mismo es V, sería

UT=∫V

❑

UdV

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2. ENERGÍA DE DEFORMACIÓN PARA ESFUERZOS NORMALES:

Para ilustrar las ideas básicas, consideremos una barra prismática empotrada con longitud L

sometida a una fuerza de tensión P (Fig. 1.1). La carga se aplica lentamente, de manera que

su valor aumenta de cero a su valor máximo P. La barra se alarga gradualmente conforme se

aplica la carga y al final alcanza su alargamiento máximo δ.

Fig. 2.1. Barra prismática

sometida a una carga

aplicada estáticamente.

En el proceso de carga, la carga P se mueve lentamente la distancia δ y realiza un trabajo. La

manera cómo varía en magnitud la fuerza, nos permite realizar un diagrama carga-

desplazamiento como el de la fig. 1.2.

Fig. 2.2. Diagrama carga-

desplazamiento.

El trabajo realizado por la carga conforme aumenta de cero al valor máximo P es la suma de

todas las franjas elementales. En términos geométricos, el trabajo realizado por la carga es

igual al área bajo la curva carga-desplazamiento.

W=∫0

δ

P1d δ 1

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En consecuencia se define una cantidad nueva, llamada energía de deformación, que es la

energía absorbida por la barra durante el proceso de carga.

El trabajo y la energía se expresan en unidades del SI como N·m o joules (J) y en unidades

americanas se tendrá ft·lb o in·lb.

En caso de una deformación lineal y elástica, el diagrama carga-deformación (fig. 1.3.) puede

representarse por una línea recta, cuya ecuación es: P=kx. El trabajo en este caso sería el

área bajo la curva, representado por el área del triángulo que forma la recta.

Fig. 2.3. Diagrama carga-

desplazamiento para una

barra de material linealmente

elástico.

Entonces la energía de deformación U almacenada en la barra es:

U=W= Pδ2

La relación entre la carga P y el alargamiento para un material linealmente elástico está dada

por la ecuación:

δ= PLEA

Al combinar estas dos últimas ecuaciones, podemos expresar la energía de deformación de

una barra linealmente elástica de las dos siguientes formas:

U= P2L2 EA

U=EA δ2

2L

Si se trata de barras no uniformes formada por varios segmentos individuales.

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3. ENERGÍA DE DEFORMACIÓN PARA ESFUERZOS CORTANTES:

Cuando un material está sometido a un esfuerzo cortante plano xy, la energía de

deformación se expresa por la ecuación

U=∫ τ xy2

2G

Siendo G el módulo de rigidez del material. Este valor expresa el cambio de forma que

experimenta un material elástico, lineal e isótropo cuando se aplican esfuerzos cortantes. Sus

unidades son las mismas que para un módulo de Young.

Aquí calcularemos la energía acumulada por una viga considerando solo el fenómeno de

esfuerzo de corte por fuerza interna de corte, aplicado solo a una viga de sección rectangular

tal como se muestra en la figura 3.1.

Fig. 3.1. Energía acumulada por una viga de sección rectangular bajo corte.

De la misma manera que la ecuación de la energía de deformación axial, esta ecuación solo

es válida para deformaciones elásticas.

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4. ENERGÍA DE DEFORMACIÓN PARA MOMENTOS FLEXIONANTES:

Considere una viga AB, sometida a una carga dada (Fig. 4.1), y sea M el momento flector a

una distancia x del extremo A. despreciando por el momento el efecto de fuerza cortante y

teniendo en cuenta solo x=My/I, se sustituye esta expresión en la ecuación de la energía de

deformación axial y se obtiene

U=∫ M 2 y2

2EI 2dV

Haciendo d V=dAdx, en donde dA es un elemento del área transversal y recordando que

M 2/2E I 2 es una función de x únicamente, se tiene

U=∫0

LM 2

2 EId x

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BIBLIOGRAFÍA:

Beer, F. 5. (2007). Mecánica de Materiales. México D.F.: McGraw- Hill Interamericana.

Bustamante, R. (s.f.). Recuperado el 12 de Abril de 2015, de https://www.u-cursos.cl/usuario/60a9bfeb0c721f171093788d3f007555/mi_blog/r/Apuntes_resistencia_de_materiales.pdf

Gere, J. y. (2009). Mecánica de Materiales. 7° ed. México D.F.: Cengage.

Hibeller, R. (2011). Mecánica de materiales. 8° ed. México D.F.: Pearson.

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ANEXOS:

Anexo N° 1: Módulos de elasticidad de algunos materiales

Anexo N° 2: Módulos de corte de algunos materiales