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Fundamentos Físicos I_Tema 3 María Elena Saiz 0

El campo electrostático en el vacío

Con este tema comenzamos a estudiar los efectos que produce, y cómo medirlos, la otra propiedad

de la materia: la carga eléctrica. Con él iniciamos la parte de la Física dedicada a estudiar una de las

fuerzas fundamentales de la Naturaleza: la interacción electromagnética. Lo iniciamos en la situación

más sencilla: las cargas están estáticas, no se mueven; de ahí el nombre de “electrostático”.


Introducción

Sabemos que la materia está constituida por átomos y estos por cargas. Si no fuese por el hecho de

que se encuentra generalmente en estado neutro, todos los fenómenos macroscópicos observables

estarían dominados por las fuerzas electromagnéticas, que son mucho más intensas que las fuerzas

gravitatorias a las que estamos familiarizados.

El conocimiento de que la materia poseía “algo” diferente que no tenía que ver con la gravedad ya

fue conocido en la época de los griegos: al frotar un trozo de ámbar, o de vidrio, con lana, éste atraía

pequeños trocitos de papel. A esta propiedad se llamó “electricidad”, que proviene de la palabra

griega “elektron” que significa “ámbar”. Posteriormente, Franklin, en 1750, introdujo el convenio de

llamar “carga negativa” a la propiedad que presentaba el ámbar y “carga positiva” a la que

presentaba el vidrio.

Hoy ya sabemos dar respuesta a eso: en el frotamiento de ambos cuerpos, ámbar-lana o vidrio-

lana, inicialmente descargados ambos, tiene lugar una transferencia de carga ambos cuerpos se

cargan de tal manera que la suma de sus cargas después del frotamiento es la misma que la suma de sus

cargas antes de frotarlos. Además, quedan cargados con la misma cantidad de carga pero de distinto


signo; lo que ha pasado es simplemente que uno se ha quedado con exceso de carga, la misma que el

otro cuerpo se ha quedado con defecto.

Qneta antes del frotamiento = Qlana antes del frotamiento+ Qvidrio (ámbar) antes del frotamiento= 0 + 0 =

= Qneta después del frotamiento = Qlana después del frotamiento(0) + Qvidrio (ámbar) después del frotamiento(0)

¿Qué tipo de carga se ha transferido? Sabemos que los átomos que componen la materia están

constituidos por: electrones (con propiedades análogas a las del ámbar cuando se frota), protones

(propiedades análogas a las del vidrio cuando se frota) y neutrones (no presentan comportamiento

eléctrico). En general, el átomo está en estado neutro (igualdad del número de protones y electrones)

por lo que, a escala macroscópica, también la materia, compuesta por átomos, se encuentra en estado

neutro. Por ello, a escala macroscópica, la materia no presenta efectos eléctricos salvo cuando se actúa

externamente sobre ella. Cuando se frotan los dos cuerpos se está interviniendo externamente; la carga

susceptible de ser transferida son los electrones que son los más externos y los que menos energía

necesitan para ser “arrancados” de su átomo (protones y neutrones están en el núcleo ligados por la

fuerza nuclear fuerte y es necesaria muchísima más energía para separarlos del núcleo). Por eso, cuando


se dice que un cuerpo está cargado positivamente significa que tiene un defecto de electrones, y

negativamente cuando tiene exceso de electrones.

A finales del siglo XVIII se clasificó a los cuerpos en dos grandes categorías:

Aislantes o dieléctricos (vidrio, ámbar, plástico, etc.) las cargas no pueden moverse

libremente. Si el cuerpo se carga por electrización (frotamiento), las cargas transferidas se quedan

allí donde se las colocó el fenómeno de electrización es observable.

Conductores (metales, el cuerpo humano, la Tierra, etc.) las cargas pueden moverse

libremente (los electrones se mueven formando una “nube electrónica”) el fenómeno de

electrización es difícil de observar. ¿Por qué?: supongamos que cogemos con la mano un conductor a cargar por

frotamiento; como nuestro cuerpo es así mismo conductor, la carga que se transfiere al conductor por el frotamiento pasa, a

través de nuestro cuerpo, a tierra; esto hace que se descargue se pierde la carga que hace que podamos observar el efecto.

En la actualidad habría 4 grupos: se añadirían semiconductores y superconductores.

La pertenencia a un grupo u otro no es cerrada, depende también de factores externos como

temperatura, presión, campo E externo, campo B externo, impurezas, etc. Por ejemplo, el aire es aislante pero

sometido a campos E externos muy intensos se convierte en conductor.


Propiedades de la carga eléctrica

1.- Existencia de dos clases de carga (+ y - )

Carga + defecto de electrones

Carga - exceso de electrones

Cargas de igual signo se repelen, y de signo contrario se atraen.

2.- Principio de conservación de la carga en sistemas aislados: la carga no se crea ni se destruye

Cargar (“crear carga”) o descargar (“destruir carga”) proceso de transferencia de carga, donde

Qantes del contacto = Qdespués del contacto

3.- La carga neta de un cuerpo está cuantizada (su valor aumenta o disminuye a “saltos” de e)

Qneta = Ne / e = unidad fundamental de carga =1.6 10-19

C

La existencia de los quarks, partículas elementales con carga fraccionaria de e, no lo contradice.

4.- La carga es un invariante: vale lo mismo en cualquier sistema de referencia, incluso para

velocidades próximas a la de la luz (v c)!


¿Cómo describir los efectos de las cargas?: con el campo eléctrico

La idea subyacente es:

Carga efectos eléctricos todo cuerpo cargado perturba la región de alrededor en la que

se encuentra a todo punto de esa región perturbada se le asigna una magnitud vectorial

módulo

dirección un campo vectorial E sentido

la carga eléctrica crea campo E

¿Cómo se miden los efectos que E

produce sobre otras cargas que

están en esa región perturbada?

¡midiendo la fuerza que la carga

que crea E ejerce sobre esas

cargas que se encuentran en la

región perturbada!


Definición de campo eléctrico: 0q 0

0

F(r)E(r) lim

q

q crea rE

q0 carga “test” positiva que va a “soportar” el

efecto eléctrico de q, es decir, va a soportar la fuerza

F(r) ejercida por q sobre ella

q0 0 para que no modifique el campo a medir

al E , como campo vectorial que es, se le puede aplicar todo lo estudiado en el Tema 1 sobre campos

vectoriales. Una de las cosas estudiadas era que es representable por líneas de campo, que por

convenio, nacen en cargas + y mueren en cargas - son líneas de campo abiertas

Los efectos de E sobre cualquier otra carga Q que esté dentro de la región perturbada por q se

medirían a partir de la fuerza que actúa sobre Q: F QE el campo E es el medio de

comunicación!!

interacción carga-campo (Q, E) interacción carga-carga (Q, q)

q0

q Región perturbada por

los efectos de q

¿Cuánto valen los

efectos de q en este

punto?


Pero para medir E en un punto de la región hay que medir F en dicho punto (ver def.)

¿Cómo lo hacemos?: con la Ley de Coulomb

q crea E 0

0

sobre q

q 00

FE(r) lim

q

Ley de Coulomb (es una ley experimental, como lo es la Ley de Gravitación universal).

Experimentalmente se encuentra que la fuerza que soporta q2 debido a los

efectos que produce q1 es:

12

1 1 12 1 2 1

de 1 sobre 2 12 r2 2 3

1212 12

2 2

2 1

2q q r q (r r )

F F =K u = K q q q

K rr r r r

tal que

si signo (q1) signo (q2) fuerza atractiva

si signo (q1) = signo (q2) fuerza repulsiva

q1

q2

12 2 1r r r

2r

1r

q

E(r) ?

q0

Colocamos la “carga test” positiva en el punto

donde queremos medir el campo eléctrico y

allí, medimos la fuerza que aparece sobre q0


donde 2 2

9 12

02 2

0

1 Nm CK 9 10 8,85 10

4 C Nm

, y 0 = permitividad eléctrica del vacío.

De igual forma, la fuerza que soporta q1 debida a los efectos que produce q2 será 21

F . Puesto

que las cargas están en reposo, se verifica la ley de acción y reacción 21

F =12

F

Validez de la ley

1.- Para cargas puntuales (o dimensiones << distancia). Caso especial: carga distribuida en esferas.

2.- Cargas en reposo: si existe movimiento 21

F 12

F

3.- La ley del inverso del cuadrado de la distancia funciona a distancias tanto macroscópicas como

submicroscópicas ¿qué ocurre a distancias d 0? No hay problema: en el átomo, para d < 10-14

m

(tamaño típico del núcleo atómico) predominan las fuerza nucleares en lugar de la electromagnética.

4.- El exponente “2” en la ley 2

1

r, tiene una precisión de 10-15!!!

q1

q2 12F

21F signo(q1) signo(q2)

q1

q2

12F

21F

signo(q1) = signo(q2)


5.- Es aplicable el principio de superposición la ley sigue siendo válida para conjuntos de

cargas puntuales (se llaman también distribuciones discretas) y para distribuciones continuas de carga.

El efecto total en un punto = suma de efectos de todas las cargas en ese punto

A partir de la ley de Coulomb es fácil obtener la expresión del campo eléctrico E que está

creando la carga puntual q1 en el punto donde está colocada la carga q2 ya que como

2de 1 sobre 2 12 creado por q1 2F F E (rq ) 1 2 1 1

1 2 r3 2

2 1 2 1

q (r r ) qE (r ) K K u

r r r r

Generalizando: el campo eléctrico E , que crea una carga puntual

q en un punto cualquiera del espacio r , es:

r2 3

0 0

1 q q (r r )E(r) u

4 4r r r r

Si q está colocada en el origen del sistema de coordenadas (r´ 0 )

r2 3

0 0

1 q q rE(r) u

4 4r r

q

ru r r

r

E(r)?r´


Campo eléctrico E(r) creado por un conjunto de cargas puntuales

Sean q1, q2, q3,…. qN cargas puntuales colocadas en

puntos con vectores de posición 1 2 3 N

r , r , r ,...,r .

Para calcular el campo eléctrico creado por todas

ellas en un punto arbitrario dado por el vector de

posición r , basta colocar la “carga test” positiva

allí, medir la fuerza que ejerce cada qi sobre ella,

y aplicar el principio de superposición.

Cada qi ejerce sobre q0 una fuerza i 0

i i3

0 i

q q1F (r r )

4 r r

. Por el principio de superposición

0

N

i 0

sobre q i3i 10 i

q q1F (r r )

4 r r

N

i

i3i 10 i

q1E(r) (r r )

4 r r

q1

E(r) ?

q0

q2

qN

2

r

1

r

N

r

2

r

r

1

r r

2

r r

Nr r


Líneas de campo de dos cargas puntuales de igual carga y

distinto signo (un dipolo si su separación es pequeña

comparada con la distancia a la que se miden sus efectos).

Distribución de líneas de campo Epara algunos ejemplos de cargas puntuales

total

E

totalE

Líneas de campo de dos cargas puntuales de distinto

signo, con doble de carga la positiva que la negativa.

Líneas de campo de una carga puntual positiva. Para carga

negativa, bastaría cambiar el sentido de las líneas de campo.

Líneas de campo de dos cargas iguales y de igual signo

totalE

2E

1E

q1 q2


Campo eléctrico E(r) creado por distribuciones continuas de carga

Acercándonos más a la realidad, la carga neta que posee un cuerpo puede estar colocada a lo largo

de líneas, o en superficies, o en volúmenes. Para cada situación se define una magnitud macroscópica,

la densidad de carga (lineal, superficial, o volúmica, según el caso), que es función del punto,

continua y derivable.

l 0

q dqlir ) m

l d(

l

dq (r )dl

s 0

q dqlir ) m

s d(

s

dq (r )ds

0

q dql)

dr im(

dq (r )d

neta en L

L LQ dq (r )dl

neta en SS S

Q dq (r )ds neta en

Q dq (r )d

L

r

l q

qq

q

S

r

s

q

q

r


Para determinar el campo eléctrico creado por una distribución continua de carga, volúmica, por

ejemplo, el planteamiento sería el habitual: colocamos la “carga test” en el punto donde queremos calcular el campo,

medimos allí la fuerza que cada dq ejerce sobre esta carga q0 y aplicamos el principio de superposición; en este caso la suma se

convierte en una integral.

La carga existente en el elemento de volumen es:

dq (r )d . Dicha carga dq ejerce una fuerza

dFsobre q0 en ese punto r del espacio

La fuerza total, la que ejercen todos los dq que están en el volumen total total, será:

0

0

sobre q 3

0

q (r )dF (r r )

4 r r

0

0

sobre q

q 03

00

1 (r )dE(r) (r r )

4

Fim

rl

q r

0

0 0

sobre q 3 3

0 0

dqq (r )d q1 1dF (r r ) (r r )

4 4r r r r

q

r

E( )?r

r

q0 r r


De forma análoga, trabajaríamos para calcular el campo eléctrico creado por un cuerpo cargado cuya carga

estuviera repartida de forma continua en una superficie, o repartida en una línea. Las expresiones quedarían:

0

0

sobre q

q3S

00

0

1 (r )dsE(r) (r r )

4

Flim

q r r

0

0

sobre q

q3L

00

0

1 (r )dlE(r) (r r )

4

Flim

q r r

El caso más general sería tener de todo: cargas puntuales y distribuciones continuas lineales, superficiales y

volúmicas. Por el principio de superposición, el campo eléctrico en un punto r del espacio vendrá dado por:

N

i

i3 3 3 3L Si 10 0i

q1 1 (r )dl (r )ds (r )dE(r) (r r ) (r r ) (r r ) (r r )

4 4 r r r r r rr r

Cualquier otra carga q colocada en ese punto r experimentará una fuerza sobre qF qE(r)

S

r

s

q E( )?r

r

r r

q0

E( )?r

L

r

l q

q

r

r r

q0


Propiedades del campo electrostático

Carácter conservativo del campo electrostático potencial electrostático

Ley de Gauss

1) Carácter conservativo del campo electrostático. Potencial electrostático

La fuerza eléctrica es del tipo de fuerzas que son conservativas, es decir, el trabajo que realiza,

2

1F dl , no depende de la trayectoria que se siga para llegar desde el punto 1 al punto 2. Esto era

equivalente a decir que C

F dl 0 . La consecuencia importante era que esto es así una función

U(r) (campo escalar) tal que F U .

Comprobemos que la fuerza eléctrica es conservativa. Supongamos una carga q colocada, por

simplificar, en el origen de coordenadas. Imaginemos una carga q0 que sigue una trayectoria cerrada C.

q crea E 3

0

q rE

4 r

(q centrada en el origen de coordenadas)

q0 es la “carga test” sobre la que se realiza trabajo, donde la fuerza que ejerce el campo es 0

F q E


Cuánto vale C

F dl

0 0 0 3C C C0

A

0 0 0

3 2C

dr

CA0 0 0

0

0 A A

C

q rq E dl q E dl q dl

4 r

q q q q q qrdlcos dr 1

4 r 4 r 4 r

q q 1 1

W F dl

0!! 4 r

!!r

Por tanto, la fuerza eléctrica es conservativa

F U , donde U representa la energía

potencial electrostática que tiene la carga q0 por encontrarse en el campo E creado por q.

0

0

UF q E U E=

q

Se define el concepto de potencial electrostático en un punto del espacio r como:

q

dl

dl

dl

dl

E

E

E

E

q0

q0

C

0q 00

y U(r)

V(r) lim q

E(r) V


Volvamos de nuevo al trabajo realizado por el campo eléctrico

sobre una carga cualquiera q que sigue una trayectoria desde el punto 1

al punto 2. 2 2 2

1 21 1 1

W F dl qE dl q E dl

Como E(r) V 2 2

1 2 2 1 1

d

21 1

V

W q V dl q dV q(V V ) q(V V )

2

1 2

1 21

WV V E dl

q

ó 2

2 11

V V E dl

Además, como 1 2 2 1 1 2

W U (U U ) U U

1 2 1 2

U U q(V V )

Al igual que pasaba con la energía potencial gravitatoria, necesidad de definir una referencia de

energía potencial nula, con el potencial electrostático pasa lo mismo (lógico, ya que el potencial es

energía potencial por unidad de carga). Así, eligiendo: punto 10

r ( en muchos casos) / 0

V(r ) 0 y

punto 2r cualquiera 0

r

r (ó )V(r) 0 E dl

0

r

r (ó )V(r) E dl

1

2

E

Propiedad vista en Tema 1: d dr


Comentarios a la relación obtenida:

Allí donde haya campo electrostático, existe un valor del potencial electrostático tal que E en ese

punto es igual al vector (gradiente del potencial) en dicho punto.

Las líneas del campo electrostático E apuntan siempre hacia potenciales decrecientes (el signo

menos delante del gradiente).

V(r) es una magnitud escalar más fácil trabajar con el escalar V(r) que con el vector E . Una vez

que se tiene V(r) , es fácil calcular E sin más que obtener el gradiente de V(r) ya que E(r) V .

Puesto que V(r) es un campo escalar es representable mediante superficies equiescalares, que en

este caso se llaman equipotenciales.

Como cte E(r) V V cte las líneas de E siempre son

perpendiculares a las superficies equipotenciales en todo punto.

La función V(r) está definida salvo constantes.

De todo lo anterior, el carácter conservativo del campo electrostático se expresa como:

C

E dl 0 con E(r) V (añadiremos otra forma más al final del tema)


Potencial creado por los distintos tipos de distribuciones de carga

Para una carga puntual

De la expresión del campo creado por una carga puntual r

2

0

uqE(r)

4 r r

Teniendo en cuenta que r

2

u1

r r

, que en este caso se traduce en:

r

2

u1

r r r r

r

2

0

0

uqE(r)

4 r r

q 1 V

4 r r

0

q 1V(r)

4 r r

Para una distribución discreta de cargas

Por el principio de superposición, N

i

i 10 i

q1V(r)

4 r r

r r

r

r

q

V(r)?

ru

q1

q2

qN

1r

N

r

2

r

r

1

r r

2

r r

Nr r

1

r

V(r) ?


Para distribuciones continuas de carga (, , )

0

1 (r )dV(r)

4 r r

S

0

1 (r )dsV(r)

4 r r

L

0

1 (r )dlV(r)

4 r r

Antes de pasar a estudiar la otra propiedad del campo electrostático, la ley de Gauss, veamos

algunos conceptos que necesitamos:

a) Flujo de un campo vectorial. Divergencia de un campo vectorial; y relación entre ambos a través del teorema de la divergencia

b) Rotacional de un campo vectorial; y la relación con la circulación de un campo vectorial a través del teorema de Stokes

S

r

dq

r

r r

dq

r

r

r r

r

r r´

L

r

dq

qq

q r


Flujo de un campo vectorial F(r). Se define flujo elemental, d, del campo vectorial F(r) a través

de una superficie elemental ds (la enmarcada en rojo, según la figura)

a la intensidad del campo F

d F ds a la superficie ds

a la orientacion de F y ds

el flujo total del campo F(r) a través de la superficie finita S

SF ds ó

SF ds

(nos da idea del número de líneas de campo que atraviesan a la

superficie S (recordar que la intensidad del campo era N/S ))

Criterio para el sentido del vector superficie ds :

Si S es cerrada apunta siempre hacia fuera del volumen

Si S es convexa

Si S es plana es indiferente la elección

F ds

ds F

r

S

ds

S líneas de campo F

ds

ds

ds


Divergencia de un campo vectorial F(r) en un punto del espacio. Proporciona información acerca

de las fuentes o sumideros existentes en ese punto.

Sea un campo vectorial F(r) y un punto P en esa región

Sea d un volumen elemental al cual el punto P pertenece

Ese elemento de volumen d está delimitado por la superficie cerrada S

Se define divergencia del campo vectorial en un punto del espacio como:

elemental

S

0

F dsd

div F(r) = limd

significado físico: div F es el flujo (el que pasa a través de la superficie cerrada S que delimita

al volumen elemental del entorno del punto) por unidad de volumen

Si div F> 0 flujo neto saliente de S existen fuentes en ese punto

Si div F< 0 flujo neto entrante en S existen sumideros en ese punto

Si div F= 0 flujo neto a través de S no existen fuentes ni sumideros en ese punto

P

F S

d

r


Relación entre flujo y divergencia: a través del Teorema de la divergencia

Como d

div Fd

el flujo a través de la superficie cerrada que delimita al elemento de volumen que

contiene al punto P será: d div F d el flujo total a través de la superficie finita S, que es la

superficie cerrada externa que limita al volumen finito (ver figura) será la suma de flujos a través de

todas las superficies cerradas elementales con las que vamos reconstruyendo la superficie S finita

Al hacer la suma de todos los flujos, queda como flujo neto

el flujo a través de la superficie cerrada finita S que limita al

volumen finito ya que en los volúmenes elementales (cubos de

la figura) contiguos, el flujo que es saliente para uno de ellos, es

entrante para el contiguo. El único flujo que no se cancela es el

que atraviesa a la superficie cerrada exterior, S.

S Sd div F d F ds

j

S

Teorema de la divergencia


Si se aplica la definición de elementalS

0

F ds

div F(r) = lim

a un volumen elemental como el de la figura, un cubo

de dimensiones x, y y z, en cuyo centro estaría el punto P, que es donde queremos conocer el valor de la

divergencia, habría que calcular el flujo a través de las 6 caras del cubo (el conjunto de las 6 caras hacen la superficie

cerrada que encierra el volumen interior del cubo).

Si se trabaja en cartesianas, se obtiene la expresión siguiente:

Si x x y y z z

F(r) F u F u F u y x y z

0 0 0

yx z

(x ,y z

S

)0

,

F dslim .......

FF Fdiv F

x y zx y z

Y esto resulta ser igual, matemáticamente, a:

x y z x x y

y

y z z

x zFF

u u u (F u F u F u )x y y zz

FF

x

!!! div F F

x

y

z

X

Y

Z

P(x0,y0,z0)


2) Ley de Gauss. La ley de Gauss, además, de ser una de las 4 ecuaciones fundamentales del

electromagnetismo, las llamadas ecs de J.C. Maxwell, va a ser una herramienta muy potente para

resolver problemas electrostáticos cuando exista simetría.

Sea una carga puntual q que suponemos, por ejemplo, positiva, y

colocada en el origen de coordenadas. Sea una superficie cerrada S, la

esfera roja de la figura, y la carga colocada en el centro de dicha esfera.

La superficie cerrada S de la esfera encierra un volumen, .

Sabemos que la expresión del campo que crea la carga q colocada en el

origen de coordenadas es

Calculemos el flujo de E(r) a través de la esfera de superficie S.

22

r r

r r2 2 2S S S0 0 0 0 0 00 0

S

u r sen d d u1 q q 1 q q qu ds u ds sen d d 4

4 r 4 r 4

qE ds !! !

4!

r 4!

E

S

r

E

E

q

E

X

Y

Z

3 3

0 0

1 q 1 qE(r) r r

4 4 rr


¿El resultado hubiera sido distinto si la carga q no hubiera estado

colocada el centro de la esfera? Pensad qué significa el flujo de un

campo vectorial a través de una superficie.

¿El resultado hubiera sido distinto si, en lugar de una

esfera, hubiéramos escogido una superficie cerrada S

que tuviera forma totalmente arbitraria? (Pensad en una

patata: S sería la piel marrón de la patata y sería su

interior, lo blanco de la patata).

La respuesta a todas las preguntas es ¡NO!

el flujo de campo eléctrico a través de cualquier superficie cerrada es igual a la carga neta

encerrada/0 (¡y no depende de dónde esté colocada!, ¡ni de la forma de la superficie cerrada!)

S

r

EE

ds

q

X

Z

Y

S

q

E

X

Y

Z


¿Y si la carga q está fuera de la superficie cerrada S?

El flujo neto a través de la superficie cerrada S es cero puesto

que a través de ella salen tantas líneas de campo como entran.

¿Y si la superficie cerrada S encierra varias cargas puntuales?

Por el principio de superposición:

i 0

N N N

itotal i i

Si

q1 i

/1 i 1 0

qE ds

neta encerrada por S

S0

QE ds

Si Qneta encerrada = 0 SE ds 0 E 0 !!

q1

q2

q3

qN

S

S

E

E

q

E


Si la superficie cerrada S encierra distribución de carga, por ejemplo, volúmica, de densidad

La clave para resolverlo está en:

1) suponer que el elemento de carga dq es equivalente a la carga puntual de

los casos anteriores

2) aplicar el principio de superposición

dq

elcr

S

eadopordq

3

0 0

dq r dqdE r d = dE ds

4 r

Como cada dq contribuye al flujo neto con 0

dq

S

carga n

t

eta encerradapor la

o

superfic

tal

ie S

0

0

dq 1E ds (r )d

Si S encierra carga que está repartida en una superficie S’ S

carga n

tS' S'

eta encerradapor la superfici

ota

0

e S

l

0

dq 1E ds (r )ds

Si S encierra carga que está repartida en una línea L S

carga neta encerradapor la superficie

total

0 0

S

L L

dq 1E ds (r )dl

S

dq

´


Resumen y consecuencias al aplicar la ley de Gauss

S es una superficie cerrada cualquiera, real o imaginaria.

Si neta enc. por S

SE 0 punto de S E ds 0 Q 0 !!

Si neta enc

S. por S

E ds 0 Q 0 E 0 !!

Aunque el flujo de E a través de S dependa únicamente de la carga encerrada, el campo que

aparece en la expresión del flujo,S

E ds , es el campo eléctrico total (el debido a la carga

exterior a S y la interior a S).

La ley de Gauss, como vemos, nos permite calcular el flujo a través de una superficie

cerrada. Pero, además, es útil en problemas con simetría, pues en esos casos permite

obtener el valor del módulo del campo eléctrico, E (como se irá viendo en clase de

problemas).

neta enc. por S

S0

QE ds


Una vez vistas las dos propiedades del campo electrostático, pero expresadas de forma integral,

su carácter conservativo: C

E dl 0

la ley de Gauss: neta enc. por S

S0

QE ds

queremos expresarlas de otra forma, en forma diferencial.

Para la primera de ellas, necesitamos otro concepto que no hemos estudiado todavía: el rotacional

de un campo vectorial y su relación con la circulación del campo. Veámoslo.

Rotacional de un campo vectorial F(r) en un punto del espacio. Proporciona información de la

tendencia de un campo vectorial a introducir rotación alrededor de un

punto.

Sea s un elemento de superficie de una superf S ¡abierta!!

La superficie s está limitada por el contorno elemental

cerrado l. El sentido de recorrido del contorno l es el que

corresponde al ds (giro del sacacorchos).

S

F ds

ds F

r

l

l

C

ds

l


Se define rotacional de F(r) en un punto del espacio, como un vector cuya proyección en la

dirección perpendicular a la superficie, dada por el vector unitario n , se define como:

elementals 0 s

1 1rot F n lim F dl F dl

ds

elemental

rot F dsrot F nds F d F dl l

lo que significa que: el flujo elemental del campo vectorial rot F a través de la superficie abierta s

(elemental), es decir, rot F ds , es igual a la circulación del campo F(r) a lo largo del contorno cerrado

l (elemental) que rodea a la superficie s (elemental).

Relación entre rotacional de un campo y circulación del campo: a través del teorema de Stokes

Como rot F ds es el flujo elemental que pasa a través de la superficie abierta elemental s y vale

elementalF dl el flujo total a través de la superficie finita abierta S será la suma de los flujos a

través de todos los s que forman S S

rotF ds . Al hacer la suma (la integral) se obtiene:

S Crot F ds F dl Teorema de Stokes


Si nos fijamos en la expresión anterior, vemos que como circulación total

(parte derecha de la ecuación) queda la que se calcula a lo largo del contorno

finito exterior, C, es decir, el que limita a la superficie finita abierta S. Esto es

así porque, al ir sumando las circulaciones a lo largo de los contornos

elementales l, en los contornos

elementales contiguos cada tramo es

recorrido en un sentido para uno y en sentido contrario para el

contiguo. La única circulación del campo que no se cancela es

la que corresponde a los tramos de contorno exterior, que todos

juntos conforman la curva cerrada C, la que limita, o en la que

se apoya, la superficie abierta S.

C

S

ds

l

S C

Ejemplo de campo con rotacional no nulo


Si se aplica la definición de elemental

1rot F n F dl

ds a contornos l como los de la figura, se obtendrían, trabajando

en cartesianas, las componentes x

rot F , y

rot F , z

rot F del

rot F en el punto genérico P(x0,y0,z0), donde:

x x y y z z

F(r) F u F u F u

s=zy; s=zx; y s=yx para las componentes x,

y, y z, respectivamente.

Nota: en las tres figuras P representa al punto de coordenadas (x0,y0,z0)

Uniendo todos los resultados parciales,

x y

y yzz

x z xx y z

x y z

F FF F F Frot F u u u

y z z x x yrot F u rot F u rot F u

, y esto resulta ser igual a:

x y z

y y y yz x x z z x z xx y z z x y x y z

x y z

u u u

F F F FF F F F F F F FF u u u u u u u u u

x y z y z x y z x y z z x x y

F F F

rot F F

y

z

xds ds u

P(x0,y0,z0)

2

3

4

1

X Y

Z

1

4 yds dsu

2

3

z

x

P

1

zds dsu

P 2 3 4

y

x


Ya estamos en condiciones de expresar las dos propiedades del campo electrostático en forma

diferencial:

1) Carácter conservativo: C

E dl 0 .

Por el teorema de Stokes C S

E dl ( E) ds 0 E 0 r

2) Ley de Gauss: neta enc. por S

S0

QE ds

neta enc. por S

S0 0 ´

Q 1E ds d ´

Por el teorema de la divergencia S ´

0

1E ds E d d ´

0

E d 0

tanto si > ´como si < ´, siendo el volumen encerrado por la superficie gaussiana y ´ el volumen

que ocupa la distribución de carga (cuerpo cargado)

0

E


Notas importantes:

Si F 0 punto campo conservativo o irrotacional

Consecuencia líneas de campo abiertas

Ejemplo: el campo electrostático: las líneas nacen en las cargas positivas y mueren en las

negativas

Recordemos lo que poníamos en el Tema 1 acerca de:

Condiciones equivalentes de decir que un campo vectorial es conservativo:

1) la circulación2

1F dl no depende de la trayectoria seguida, sólo de los puntos inicial y final entre los que se calcula.

2) C

F dl 0 C

3) F es conservativo (r) (campo escalar) / F

4) F es conservativo F 0 r (se verá más adelante). Ahora ya lo hemos justificado

Como el campo electrostático lo es, en las expresiones anteriores sólo hay que cambiar la letra del

campo vectorial F por la letra E


Si F 0 punto campo solenoidal

Consecuencia líneas de campo cerradas

Ejemplo: el campo magnético

Otras identidades importantes:

( F) 0

( ) 0

Otras cosas que saldrán en Fundamentos II:

Operador Laplaciana: 2

operador Laplaciana

2 2 2

2

2 2 2x y z

en cartesianas, y donde es un campo escalar

2F ( F) ( F) , donde F(r) es un campo vectorial

Ecuaciones diferenciales para el potencial eléctrico

Como 2

0 0

E y E V V V

2

0

V

2

0

V

2V 0 (si 0)

Ecuación de Poisson Ecuación de Laplace

Las usaréis en 2ºcurso en Propagación de ondas


Aplicación del teorema de Gauss para determinar el E de distribuciones simétricas de carga

Antes habíamos escrito: La ley de Gauss permite calcular el flujo a través de una superficie cerrada. Pero, además, es

útil en problemas con simetría, pues en esos casos permite obtener el valor del módulo del campo eléctrico, E .

¿Qué implica que el problema tiene simetría?: que el campo eléctrico no depende de alguna de las

coordenadas espaciales eso hace que, a priori, podamos saber cómo son las líneas de campo que crea

el cuerpo cargado, aunque desconozcamos su valor (su módulo). El módulo es el que vamos a poder

obtener aplicando la ley de Gauss a ese problema que tiene simetría.

Pasos imprescindibles a dar para aplicarlo correctamente y entender lo que, y por qué, se hace

1.- Imaginar cómo son las líneas de campo E . Pintarlas.

2.- Diferenciar las regiones donde se va a calcular E .

3.- En cada región, elegir una superficie cerrada S (eso implica que la superficie debe encerrar un volumen; paralelepípedos,

esferas y cilindros son ejemplos de superficies cerradas). Debe elegirse la adecuada en función de cómo son las líneas de campo que

se han dibujado antes.

4.- Calcular el flujo de campo eléctrico a través de la superficie cerrada elegida en cada región.

5.- Calcular la carga neta que la superficie elegida encierra. Esta carga neta se calculará como: una integral de volumen de la

densidad volúmica de carga libre, o como una integral de superficie de la densidad superficial de carga libre, o como una integral de

longitud de la densidad lineal de carga libre, o simplemente sumando las posibles cargas puntuales que estén encerradas, dependiendo

del problema que tengamos entre manos.

6.- Igualar lo obtenido al trabajar la parte izquierda de la ley con lo obtenido de la parte derecha de la ley. Se añade a la

expresión del campo la dirección y sentido que tiene, y las unidades correspondientes.

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