ElectrostáticaElectrostáticaClase 4Clase 4Distribución de los potenciales y de las cargas en un sistema de cuerpos conductoresC fi i t d t i l d id dCoeficientes de potencial y de capacidades

Campos y Ondas

FACULTAD DE INGENIERÍAFACULTAD DE INGENIERÍAUNIVERSIDAD NACIONAL DE LA PLATA ARGENTINA

CAMPOS Y ONDAS

• Si tenemos una distribución de conductores de formas arbitraria demostraremos que existe una formas arbitraria demostraremos que existe una relación líneal entre el potencial de cada conductor y la carga de los distintos conductores del sistema.

– Los coeficientes de esta relación se llaman coeficientes de potencial.

– Son funciones solo de la GEOMETRÍA– NO dependen de la carga ni del potencial

i d l l lí i– No siempre pueden calacularse analíticamente, pero si pueden determinarse por mediciones experimentales.

CAMPOS Y ONDAS

• Supongamos N conductores, y una geometría.

• Consideremos que todos los conductores están decargados excepto el conductor “j” Q

++++ Vj

Qjo

excepto el conductor “j”, Qjo

• La solución de la ecuación de -

-V1

Laplace al problema planteado es Uj(x,y,z)

+V1

-VN

• El potencial de cada conductor: U1

j ; U2j; U3

j ;… Ujj;… UN

jV2

+-

++

CAMPOS Y ONDAS

Cambiamos la carga del Carga solo del conductor

0j jQ Q Q k Q

Cambiamos la carga del conductor “j” a un nuevo valor

Carga solo del conductor “j”

2

Solución ( , , )0 i lib

j

j

U x y zU

0j jQ Q0.j jQ k Q

2 2

Solución Proponemos . ( , , )( ) 0 En espacio libre

j

j j

k U x y zkU k U

2

1 1 0 1 1

0 en espacio libreEn conductores Condiciones de contorno

. . 0

j

j j

U

E U U Q

1 1 0 1 1

( ) . 0 En espacio libreCondiciones de contorno

. . 0

j j

j jn

kU k U

E kU k U Q

1 1 0 1 11

2 2 0 2 22

. . 0

. . 0

.

n S

j jn S

E U U Q

E U U Q

1 1 0 1 11

2 2 0 2 22. . 0

n S

j jn S

Q

E kU k U Q

0 0

.

. . .

.

j jn j j j j jSj

E U U Q Q

0 0

.

. . .

.

j jn j j j j jSj

E kU k U Q kQ

. jnN NE U

0 . 0j

N NSNU Q

.

E 0. . 0j jnN N N NSN

kU k U Q

CAMPOS Y ONDAS

• La nueva solución propuesta satisface la ecuación de Laplace

• El potencial en todos los puntos queda multiplicadao pote c a e todos os pu tos queda u t p cadaopor k

• Las derivadas de este también• Las cargas son el gradiente normal a cada superficie• Las cargas son el gradiente normal a cada superficie• Por lo tanto cumplirán con las condiciones de bordes

impuestaE d d t d d l á – En cada conductor descargado la carga será cero

– En el conductor con carga será k veces la anteriorComo la solución es única:

• Demostramos que el potencial es proporcional a la carga

( 1 2 )jU Q i N . ..( 1,2... )

: Es una constante solo depende de la geometríai ij j

ij

U Q i N

CAMPOS Y ONDAS

Se denomina Coeficiente Potencial

carga del conductor “j” y

;Q k Q Q hQ

carga del conductor “j” y “m”

Carga solo del conductor en el conductor “m”, los otros descargados

Solución ( )mhU x y z

0m mQ hQ0 0. ;j j m mQ k Q Q hQ

2 2 2

Solución Proponemos . ( , , ) . ( , , )j m

j j

k U x y z hU x y z

g

2

Solución ( , , )0 en espacio libre

En conductores Condiciones de contorno

0

m

m m m

hU x y zhU

E hU hU d Q

2 2 2

1 1 1 0 1 1 11

( ) . . 0 En espacio libreCondiciones de contorno

. . ( . . ). 0

j m j m

j m j mn S

kU hU k U h U

E kU hU kU hU ds Q

1 1 0 1 11

2 2 0 2 22

. . . 0

. . . 0

.

m m mn S

m m mn S

E hU hU ds Q

E hU hU ds Q

2 2 2 0. . (j mnE kU hU

2 2 22

0 0

. . ). 0

.

. . ( . . ). .

j m

S

j m j mn j j j j j j jSj

kU hU ds Q

E kU hU kU hU ds Q kQ

0. . .m m mnm m m mSm

E hU hU ds Q

0.

.

0

m

m m m

hQ

E hU hU d Q

0 0

0 0

( )

.

. . ( . . ).

n j j j j j j jSj

j m j mnm m m m m m mSm

Q Q

E kU hU kU hU ds Q hQ

0. . . 0m m mnN N N NSN

E hU hU ds Q 0

.

. . ( . .j m j mnN N m N NS

E kU hU kU hU

). 0NNds Q

CAMPOS Y ONDAS

• El potencial de cada conductor

( 1 2 )U Q Q i N . . ......( 1, 2... )i ij j im mU Q Q i N

• Se puede Generalizar para el caso de que los N • Se puede Generalizar para el caso de que los N conductores tengan carga

N

1.

N

i ij jj

U Q

Una relación lineal entre el potencial y la carga

ij ji Se puede demostrar por condiciones energéticasg

CAMPOS Y ONDAS

• El potencial del sistema de conductores cargados en un punto cualquiera A se puede representar como la suma de los potenciales debidos a las cargas del suma de los potenciales debidos a las cargas del primero, segundo, tercero, etc. conductor, de la siguiente manera:

1 2 ...A A A AnU U U U

Además, cada componente es directamente proporcional ala carga correspondiente, es decir:

1 1 1A AU q 2 2 2A AU q An n AnU q

Los coeficientes A1, A2, A3, … dependen tanto de la posición del punto A como de la geometría de todos los conductores y de las propiedades dieléctricas del medio

CAMPOS Y ONDAS

conductores y de las propiedades dieléctricas del medio.

1 1 2 2 ...A A A An nU q q q • El potencial de un punto A es:

• Suponiendo que el punto A al principio se halla sobre el conductor 1 luego sobre el 2 etc se obtiene el

1 1 2 2A A A An nq q q

el conductor 1, luego sobre el 2, etc., se obtiene el siguiente sistema de ecuaciones:

1 11 1 12 2 1... n nU q q q

2 21 1 22 2 2... n nU q q q 2 21 1 22 2 2n nq q q. .

1 1 2 2 ...n n n nn nU q q q 1 1 2 2n n n nn nq q qdonde U1 es el potencial del primer conductor, U2 es elpotencial del segundo conductor, etc.

CAMPOS Y ONDAS

p g ,

• En forma matricial, el conjunto de ecuaciones puede escribirse:

U q

• Los coeficientes ik se llaman coeficientes potenciales o coeficientes de potencial y [] es la potenciales o coeficientes de potencial y [] es la matriz de coeficientes de potencial.

• El sistema de ecuaciones con los coeficientes El sistema de ecuaciones con los coeficientes potenciales permiten resolver directamente el problema acerca de la distribución de los potenciales en un sistema de conductores cuando se conoce la distribución de sus respectivas cargas eléctricas

CAMPOS Y ONDAS

cargas eléctricas.

Coeficientes de capacidad

• Si conocemos el potencial de los conductores y queremos conocer las cargas ????

1

U q

q U

q U

q U

• La matriz es la matriz de coeficientes de capacidades

1 11 1 12 2 1

2 21 1 22 2 2

......

n n

n n

q U U Uq U U U

2 21 1 22 2 2

.....................................................n nq

q U U U

CAMPOS Y ONDAS

1 1 2 2 ...n n n nn nq U U U

• Los coeficientes son constantes que dependen de la forma, dimensiones relativas, permitividades dieléctricas del espacio entre los conductores, y de la disposición de los conductores.

• Esto es los coeficientes son funciones• Esto es, los coeficientes ij son funciones– de la geometría de la configuración – y de las propiedades dieléctricas del medio.y de las propiedades dieléctricas del medio.

• Para algunos autores, los coeficientes ij se denominan coeficientes de capacidad

CAMPOS Y ONDAS

Coeficientes de capacidad

• Para otros autores,– los términos de la diagonal (propios) del arreglo:

11, 22, ..., nn, son los denominados coeficientes de capacidad, p ,

– y los otros factores: 12, 13, ...(mutuos), son los denominados coeficientes de inducción (debido a que tienen en cuenta la carga que se induce en que tienen en cuenta la carga que se induce en uno de los conductores, debido a la presencia de carga eléctrica otro).

– con ij = ji– El hecho de que ij = ji se expresa diciendo para

los coeficientes es válido el principio de los coeficientes es válido el principio de reciprocidad

CAMPOS Y ONDAS

Coeficientes de capacidad

• Los coeficientes son tales que ij es:• Los coeficientes son tales que ij es:– la cantidad de carga eléctrica del i-ésimo

conductor, d l d j é i á i l– cuado el conductor j-ésimo está a un potencial

unitario,– con todos los restantes conductores puestos a

tierra.

1 11 1 12 2 1... n nq U U U 1 11 1 12 2 1

2 21 1 22 2 2........................................................

n n

n n

qq U U U

1 1 2 2

2 3

...... 0

n n n nn n

n

q U U UU U U

11 11 1 11

1

qq UU

CAMPOS Y ONDAS

22 21 1 21

1

qq UU

Capacidades parciales

í• Las capacidades parciales, son las capacidades físicas existentes en un sistema de conductores, que vinculan a cada par de conductores del sistemap

C12 C23 • Para encontrar las relaciones entre dichas capacidades y los entre dichas capacidades y los coeficientes de capacidad , es conveniente reescribir el conjunto de expresiones de i kconjunto de expresiones de manera tal que su interpretación resulte más directa.

i k

1 11 12 1 1 12 1 2 1 1... ...n n nq U U U U U

q C U C U U C U U

1 11 1 12 1 2 1 1

1 2

...... ..

n n

ii i i ii in

q C U C U U C U UCC i j

CAMPOS Y ONDAS

ij ijC i j

Principio de reciprocidad

Principio de reciprocidad– En el sistema considerado de cuerpos conductores

cargados eléctricamente se cumple el principio cargados eléctricamente, se cumple el principio de reciprocidad, cuya expresión son las igualdades:

ik ki

ik ki

– La igualdad coincide con la igualdad evidente de las capacidades parciales:

ik ki

ik kiC C

CAMPOS Y ONDAS

Principio de reciprocidad

• Cik y Cki representan las diferentes notaciones de la misma id d t l d t i kcapacidad entre los conductores i y k.

• Analizando el sistema de ecuaciones es fácil dar una Analizando el sistema de ecuaciones es fácil dar una formulación verbal del principio de reciprocidad:el potencial del primer conductor, en presencia de una

t i t ú i t l d d t carga perteneciente únicamente al segundo conductor, es igual al potencial del segundo conductor en presencia de una carga de igual valor perteneciente sólo al primer conductor.

1 12 2.U q

2 21 1

1 2 1 2

.SiU q

q q U U

CAMPOS Y ONDAS

1 2 1 2Si q q U U

Ejemplo de línea de Transmisión sobre la tierra

CAMPOS Y ONDAS

Ejemplo de línea de Transmisión sobre la tierra

U1 12d

Campo y potencial de un cilindro conductor

E UE

hU21h

U312D02

1ln( )

r

U Cte

E r U E

3h2h

D

0

( )2

ln( )2

iiref

r

Cte r

21D0

0

2

ln( )2

irefip

ip

dUi

d

Potencial en P debido a carga en conduc. i0

_ _( )

0 0 _ _

ln( ) ln( )2 2

ip

iref imagen i refi ii ímag p

ip imagen i p

d DU

d D

_ _

_ _( ) ln( )

iref imagen i ref

imagen i pii ímag p

d D

DU

CAMPOS Y ONDAS

( )0

( )2i ímag p

ip

Ud

Ejemplo de línea de Transmisión sobre la tierra

3 131 11 2 121

0 1 0 12 0 13

ln( ) ln( ) ln( )2 2 2

DD DUr d d

0 1 0 12 0 13

3 231 21 2 222

0 21 0 2 0 23

ln( ) ln( ) ln( )2 2 2

DD DUd r d

31 32 3 331 23

0 31 0 3 0 3

ln( ) ln( ) ln( )2 2 2

D D DUd r r

D D

CAMPOS Y ONDAS

i j j iD D

Ejemplo de línea de Transmisión sobre la tierra

[]

1

[ ] [ ].[ ]U 1[ ] [ ] .[ ]

[ ] [ ] [ ]U

U

[ ] [ ].[ ]U

CAMPOS Y ONDAS