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ELECTRODINÁMICA ESPACIAL

Dr. José Alberto Flandes Mendoza

&

M. en C. Jaime Arturo Osorio Rosales

2008

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Introducción�

La Electrodinámica es la rama de la Física que trata los campos magnéticos y los campos eléctricos

que cambian rápidamente. Cambiar rápidamente, en este contexto, quiere decir que las descripciones de

mediados del siglo XIX acerca de campos variables, tales como la Ley de Faraday y la Ley de Biot-Savart son

inexactas. En la práctica, esto implica el estudio de la radiación electromagnética o luz. La electrodinámica es

la forma más avanzada del electromagnetismo clásico. Muchos de los resultados de la electrodinámica han sido

debidos a intentos de explicar leyes ópticas como la Ley de Snell mediante el uso de versiones apropiadamente

simpli�cadas de las ecuaciones de Maxwell, o bien de explicar fenómenos como la dispersión y absorción de

la luz.

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Albert Einstein desarrolló la relatividad especial merced a un análisis de la electrodinámica. Durante

�nales del siglo XIX, los físicos se percataron de una contradicción entre las leyes aceptadas de la electrod-

inámica y la mecánica clásica. En particular, las ecuaciones de Maxwell predecían resultados no intuitivos

como que la velocidad de la luz es la misma para cualquier observador y que no obedece a la invariancia

de Galileo. Se creía, que las ecuaciones de Maxwell no eran correctas y que las verdaderas ecuaciones del

electromagnetismo contenían un término que se correspondería con la in�uencia del éter lumínico.

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Después de que los experimentos no arrojasen ninguna evidencia sobre la existencia del éter, Einstein

propuso la revolucionaria idea de que las ecuaciones de la electrodinámica clásica eran correctas y que las

ecuaciones de la mecánica clásica eran inexactas, lo que le llevó a la formulación de la relatividad especial.

La electrodinámica clásica, como sugiere su nombre, es la teoría cuántica de la electrodinámica. Se centra en

la descripción del fotón (la partícula de luz que no existe en la electrodinámica clásica).

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En la mayoría de los fenómenos de la Física Espacial, los procesos electromagnéticos son de importancia

fundamental. La razón principal de estos es que el campo magnético permea el espacio y la materia que lo

atraviesa está constituida por partículas cargadas ya sea separadas (como los rayos cósmicos) o en forma

colectiva (como el plasma que constituye el viento solar), el campo magnético es prácticamente ubicuo y más

del 99% de la materia del universo está en estado de plasma. Grandes masas de materiales ionizados (y por

lo tanto sensibles a la presencia y los cambios de los campos electromagnéticos ambientales) constituyen las

capas más externas de algunos de los planetas del sistema solar (ionosferas) prácticamente todo el Sol es

plasma. A su vez, las características de estos campos electromagnéticos ambientales están determinadas por

la dinámica de las partículas cargadas que en ellos se mueven.

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En el interior de la Tierra y de algunos otros planetas, existen procesos electromagnéticos por medio

de los cuales se generan los campos magnéticos generales de estos cuerpos y lo mismo ocurre debajo de

la fotosfera solar para producir el campo general del Sol. Corrientes eléctricas en la ionosfera cambian el

campo magnético de la Tierra, especialmente durante tormentas magnéticas y producen también fenómenos

luminosos como auroras en algunas regiones alrededor de los polos. Procesos sumamente dinámicos en la

atmósfera ionizada del Sol también afectan la estructura de su campo magnético y �nalmente determinan las

condiciones electromagnéticas y de plasma del medio interplanetario.

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La Tierra y los otros planetas con campo magnético interno su�cientemente intenso (como Júpiter, Sat-

urno, Urano y Neptuno), generan a su alrededor una envolvente magnética llamada magnetosfera donde

existen complejos sistemas de corrientes que varían rápidamente. Estos planetas poseen cinturones de ra-

diación que los rodean (como los cinturones de Van Allen de la Tierra) formados por partículas cargadas de

alta energía atrapadas en el campo magnético, en general las magnetosferas muestran complejas estructuras

de campos magnéticos y eléctricos y de regiones diferenciadas del plasma.

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Las condiciones en las magnetosferas y las ionosferas planetarias son modi�cadas por el estado electro-

magnético del espacio interplanetario, el que a su vez es afectado por el Sol. En el Sol se desarrollan una gran

cantidad de fenómenos electromagnéticos que constituyen en general la actividad solar (manchas, protuber-

ancias, erupciones de protuberancias, ráfagas, eyecciones de masa coronal, etc.). Resulta lógico suponer que

en las capas profundas del Sol, deben darse fenómenos electromagnéticos importantes.

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También en los cometas que frecuentemente incursionan en el sistema solar interior se dan fenómenos

electromagnéticos interesantes. El estudio de la radiación cósmica que viaja por el medio interplanetario y a

través de la magnetosfera requiere en gran parte un tratamiento electromagnético. Los fenómenos electromag-

néticos también parecen haber tenido una importancia decisiva en la formación del sistema solar. Si queremos

entender todos esos fenómenos y hacer teorías físicas respecto de ellos, debemos conocer como interaccionan

las partículas entre ellas y con los campos electromagnéticos que llenan el espacio.

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Debemos darnos cuenta que nuestro conocimiento actual de la física está basado principalmente en ex-

perimentos realizados en el laboratorio. Cuando tratamos de aplicar las leyes en las que estas experiencias

se han condensado a los fenómenos espaciales, hacemos una extrapolación enorme, la legitimidad de la cual

sólo puede comprobarse comparando los resultados teóricos con las observacionales.

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La mecánica clásica se extrapoló hacia el ámbito de la astronomía con tanto éxito que sólo las observa-

ciones más re�nadas de este revelaron fenómenos para los cuales no se cumplen sus leyes. La aplicación de

la teoría atómica, a los fenómenos cósmicos ha demostrado igualmente tener gran éxito, especialmente la

espectroscopía.

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De hecho, la mecánica clásica y la espectroscopía han sido dos herramientas invaluables en la exploración

del universo que nos rodea. Cuando la electrodinámica clásica se desarrolló en el siglo antepasado, se pudo

aplicar directamente sólo a algunos problemas especiales de la física espacial. Una aplicación más general

no fue posible hasta que la electrodinámica clásica fue combinada con la hidrodinámica para formar la

magnetohidrodinámica que posteriormente debió ser combinada con la física de plasmas para hacer posible

una comprensión más profunda de los fenómenos de la física espacial.

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En una de las etapas iníciales del estudio del electromagnetismo en fenómenos espaciales se puso atención

a algunos fenómenos, por ejemplo, el campo magnético permanente de la Tierra y el origen de la radiación

cósmica, que parecían tan misteriosos que algunos cientí�cos creían que se requeriría de nuevas leyes de la

naturaleza para poder explicarlos. Los estudios posteriores ya no apoyan este punto de vista, y tenemos

ahora, por lo menos cualitativamente, teorías plausibles para estos fenómenos.

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Actualmente son muy pocas las razones para dudar que todas las leyes comunes de la física se aplican a

extensiones del orden del radio del universo y a tiempos del orden de la edad del universo, los límites dados

por la teoría general de la relatividad. En este curso nos limitaremos a tratar las características de los campos

electromagnéticos y de la interacción de las partículas cargadas individuales (no plasmas) con estos campos.

Capítulo 1

Campos Magnéticos en Física Espacial

1.1. Campos Magnéticos en Física Espacial

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Los campos magnéticos celestes afectan el movimiento de partículas cargadas en el espacio. Bajo ciertas

condiciones las fuerzas electromagnéticas son mucho más intensas que las fuerzas gravitacionales. Para ilustrar

esto, supongamos una partícula que se mueve con la misma velocidad orbital de la Tierra v⊕ y que se

encuentran a la misma distancia del Sol que ésta R⊕. Si la particula es un átomo neutro, la única fuerza

que sentiría sería la fuerza gravitacional del Sol (el efecto del campo magnético solar a la altura de la Tierra

sobre un momento magnético atómico es despreciable).

Si M⊕ es la masa del Sol, mA es la masa atómica y G es la constante de gravitación, esta fuerza es:

−→fA = −GMΘmA

R3⊕

R⊕ (1.1)

Pero si el átomo se ioniza, tanto el ión como el electrón estarán sujetos a una fuerza magnética debida

al campo magnético interplanetario a la altura de la órbita de la Tierra. Si la carga de ambos es e y B⊕ el

campo magnético solar a la altura de la Tierra, la fuerza magnética estará dada por:

−→fm =

e

cv⊕xB⊕ (1.2)

Bajo la suposición de que este campo es debido a un dipolo con momento dipolarM = 0.42×1034Gauss ·

cm−3, es decir, con un campo magnético de B⊕ = 1.2 × 10−6Gauss, al calcular las magnitudes de ambas

fuerzas, se obtiene:

fmfA∼= 105 (1.3)

Esto ilustra la enorme importancia del campo magnético solar aún a la distancia de la Tierra al Sol,

comparando con el campo gravitacional, en tanto que la materia esté ionizada.

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CAPÍTULO 1. CAMPOS MAGNÉTICOS EN FÍSICA ESPACIAL 6

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Por otro lado, como−→fm tiene signos opuestos para electrones y para iones, en muchos casos las fuerzas

sobre electrones y los iones pueden cancelarse entre sí. Por ejemplo, si consideramos una nube ionizada que

contiene el mismo número de electrones y de iones, la fuerza magnética resultante sobre la nube se vuelve

cero en primera aproximación (efectos de segundo orden, por ejemplo, los debidos a inhomogeneidades en el

campo magnético, pueden ser importantes).

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El movimiento de la nube ionizada dentro del campo magnético produce una separación de los iones y

los electrones, pero la polarización resultante causa un campo eléctrico que limita la separación. Bajo ciertas

condiciones el campo eléctrico puede producir corrientes en conductores adyacentes de forma que pueden

ocurrir fenómenos muy complicados. Los ejemplos anteriores muestran, por un lado, la importancia de las

fuerzas electromagnéticas en la física espacial, y por otro, la complejidad de los fenómenos electromagnéticos.

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1.2. El Campo Dipolar

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Toda corriente eléctrica y cualquier imán producen un campo magnético que a grandes distancias puede

aproximarse a un campo dipolar. Es por esto que los campos magnéticos planetarios y el solar pueden ser

considerados en primera aproximación como dipolos, así que vamos a describir y establecer algunas de las

propiedades del campo dipolar que posteriormente nos van a ser de utilidad.

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El campo magnético dipolar se ilustra en la �gura 1.1. La región central sombreada representa el cuerpo

planetario o estelar poseedor del campo. En la �gura se muestran las líneas de campo (recordemos que el

campo en todo punto tiene una dirección tangente a la línea de ese punto y su sentido está dado por la

dirección de circulación de la línea). En el caso de un dipolo magnético, las líneas "salen" del polo norte y

"entran" en el polo sur. En la �gura 1.1 se encuentra también ilustrado el vector magnético B en un punto

dicho.

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La magnitud del campo magnético en cada región del espacio está ilustrada en los diagramas de líneas

de campo por la densidad de líneas de esa región. Así pues, en el caso de un dipolo magnético la intensidad

del campo es mayor cerca de los polos que en las regiones entre ellos, pero por supuesto necesitamos de una

expresion matemática que nos permita conocer con precisión la magnitud del campo en cada punto.


El campo de un dipolo magnético tiene simetria axial, esto es, para imaginarse el campo dipolar en tres

dimensiones basta con tomar la imagen de la �gura 1.1 y hacerla girar alrededor del eje formado por la línea

que une los polos, que se conoce como eje del dipolo. El plano perpendicular al eje del dipolo que corta a éste

justo a la mitad entre el polo norte y el polo sur, es un plano ecuatorial o ecuador del dipolo. Como se observa,

el vector del campo magnético en el ecuador es perpendicular a éste y apunta siempre hacia abajo (hacia el

polo sur) y la magnitud del campo es mínima en este plano, pues es donde se encuentran más separadas las

líneas.

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Así, una coordenada útil para describir el campo dipolar es la distancia angular a partir del ecuador

hacia los polos la cual se llama latitud y se le agrega la palabra norte cuando va del ecuador hacia arriba

y la palabra sur cuando va del ecuador hacia abajo. También se utilizan los signos (+) hacia el norte, y (-)

hacia el sur en las expresiones matemáticas. Entonces, el campo magnético B de un dipolo será función de

la latitud, que se acostumbra representar con la letra griega λ.

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�Figura 1.1 Las líneas de campo magnético de un dipolo magnético puro que indican los ángulos de latitud

magnética de sus pies. La dirección del vector de campo magnético en cada punto es la dirección de la tangente

a la línea en ese punto, como se ilustra en el lado izquierdo.


De la �gura 1.1, es fácil ver que la intensidad del campo va a disminuir con la distancia: mientras más

lejos se está el dipolo (a una misma λ) más separadas están las líneas del campo y por lo tanto, éste es más

debil. Así

B = B(r, λ) (1.4)

¾Será el campo magnético también una función del ángulo azimutal ϕ (¾la longitud?)?. Si nos mantenemos

en una misma r, a una misma λ y giramos en ϕ, ¾notaremos algún cambio en el campo magnético del dipolo?

�

Obviamente que no, pues ya dijimos que es un campo con simetría axial, lo cual implica que si giramos

alrededor de su eje vemos siempre lo mismo. Es más, el vector de campo B no tiene componente azimutal

(Bϕ) en ningun punto, sino que siempre esta contenido en un plano meridiano, un plano que contenga al eje

del dipolo.

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Todo lo anterior nos da una idea de como es la expresión matemática que va a representar al campo

magnético de un dipolo, pero su derivación formal se obtiene a partir del potencial ψ, que para el caso de un

dipolo es:

ψ =M · rr3

=Msenλ

r2(1.5)

Donde M es el momento magnético del dipolo, un vector cuya dirección es el eje del dipolo y cuya

magnitud representa la intensidad de éste. Aquí la coordenada λ substituye a la coordenada esférica θ; la

relación entre ambas es:

λ =π

2− θ (1.6)

por lo que

M · r = Mrcosθ = Mrsenλ (1.7)

�Conociendo ψ, el campo magnético B estará dado por:

B = −∇ψ (1.8)

en coordenadas esféricas:

∇ψ = er∂ψ

∂r+ eλ

1r

∂ψ

∂λ+ eϕ

1∂ψrsenθ∂ψ

(1.9)

∇Msenλ

r2= er

2Msenλ

r3+ eλ

1r

Mcosλ

r2(1.10)


Las componentes del campo magnético en coordenadas esféricas resultan ser:

Br =M

r32senλ (1.11)

Bλ = −Mr3cosλ (1.12)

Bϕ = 0 (1.13)

Br representa la componente vertical del campo y Bλ la componente horizontal. Para el caso particular

del campo geomagnético, que también se puede aproximar a primer orden como un dipolo, el polo norte

magnético está en el hemisferio sur. Así, el campo magnético, entra en el hemisferio norte y por convención,

la componente vertical se considera positiva hacia abajo.

�Entonces el campo de un dipolo magnético en coordenadas esféricas es:

B =M

r3(cosλeλ − 2senλer) (1.14)

De la expresion anterior, se encuentra que la intensidad total del campo en cada punto será:

B =√B2r +B2

λ +B2φ (1.15)

B =M

r3(cos2λ+ 4sen2λ)

12 (1.16)

B =M

r3(1 + 3sen2λ)

12 (1.17)

La ecuación que representa a una línea de campo de un dipolo es:

r = recos2λ (1.18)

ϕ = constante (1.19)

Donde re es la distancia del origen al punto donde la línea corta al plano ecuatorial (ver �gura 1.2). La

ecuación paramétrica de las líneas de campo será:

r

cos2λ= constante = re (1.20)

En este caso re es el parámetro cuyos diferentes valores producen las distintas líneas de campo. También

es útil conocer el ángulo α que el vector de campo B en un punto dado forma con el radio vector en ese

punto, r (ver �gura 1.2), Es fácil ver que:

cosα =BrB

=Mr3 2senλ

(Mr3 )√

1 + 3sen2λ(1.21)

cosα =2senλ√

1 + 3sen2λ(1.22)

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Figura 1.2 Línea magnética de fuerza de un dipolo M .

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La inclinación del campo se de�ne como:

Inclinacion =π

2− α (1.23)

La intensidad total del campo a lo largo de una línea de fuerza también se puede escribir utilizando las

ecuaciones (1.15) y (1.18) como:

B(re) =M

r3e

√1 + 3sen2λ

cos6λ(1.24)

En un sistema de coordenadas cartesiano (x, y, z) tenemos:

Bx = 3xzM

r5(1.25)

By = 3yzM

r5(1.26)

Bz = (3z2 − r2)M

r5(1.27)

donde

r2 = x2 + y2 + z2 (1.28)

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1.3. El Campo Geomagnético

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Si el campo magnético terrestre se trata como un dipolo situado en el centro de la Tierra, este dipolo tiene

un momento de 8.1× 1025Gauss · cm−3. Su eje intersecta la super�cie de la Tierra en dos puntos antipodales

situados a una latitud de 78.5◦S, longitud 111◦E, y a una latitud 78.5◦N y longitud de 69◦W .

�

Se obtiene una mejor aproximación si el dipolo se encuentra desplazado del centro de la Tierra. La mejor

aproximación al campo real se obtiene si el dipolo esta desplazado 486 km. del centro hacia el punto en 6.5◦N ,

161.8◦E. El eje de este dipolo excéntrico intersecta la super�cie de la Tierra en dos puntos, 76.3◦S, 121.2◦E

y 80.1◦N , 227.3◦E, es decir el eje está inclinado 11.5◦ respecto al eje de rotación. Observaciones recientes

indican que el dipolo excéntrico se mueve alejándose cada vez más del centro de la Tierra.

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El campo magnético terrestre está sujeto a una variación temporal lenta (secular). Actualmente, el mo-

mento magnético parece disminuir casi 1 % por año, y el centro del dipolo se desplaza 1/4◦ hacia el Norte y

1/8◦ hacia el Oeste por año. En los registros paleomagnéticos se ha encontrado que en épocas recientes cada 20

mil o 30 mil años se ha invertido la polaridad del campo magnético terrestre. Sin embargo, esta inversión está

lejos de ser periódica y ha habido periodos de hasta 70 millones de años en los que el campo geomagnético

ha conservado su polaridad.

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No obstante, el campo magnético de la Tierra no es rigurosamente dipolar. Una mejor expresión puede

obtenerse por medio de un desarrollo en armónicos esféricos. Este método fue usado originalmente por Gauss

en 1938 y también se le llama "Desarrollo de Gauss o Multipolar".

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El análisis de Gauss mostró que, salvo algunas anomalias locales que en la super�cie de la Tierra raras

veces excedian el 1 % del valor total del campo, el campo geomagnético principal se debe a fuentes localizadas

en el interior de la Tierra. Si se desprecian las fuentes externas del campo geomagnético, el campo puede

expresarse como un campo potencial en la forma:

B = −∇ψ (1.29)

donde

ψ = R⊕

∞∑n=1

(Re

r

)n+1

Tn (1.30)

y

Tn =n∑

m=0

gmn (cosφ+ hmn senmφ)Pmn (θ) (1.31)


En esta expresión r, θ y φ se de�nen de acuerdo a la �gura I.2, R⊕ es el radio medio de la Tierra y Pmn (θ)

son las funciones asociadas a Legendre.

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Cada uno de los términos del desarrollo representa un multipolo: el primero representa un dipolo, el segun-

do un cuadrupolo, el tercero un octupolo, etc. El campo magnético �nalmente descrito estará representado

por la suma de todos esos multipolos.

�

Los coe�cientes gmn y hmn determinan las intensidades y orientaciones de los multipolos y sus valores se

ajustan de acuerdo con las observaciones.

�

Actualmente existen modelos de alta simulación que incluyen coe�cientes hasta n > 10 para describir

el campo geomagnético de origen interno. Debido a la variación secular del campo, los coe�cientes deben

recalcularse periódicamente.

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El campo magnético terrestre de origen interno es modi�cado por corrientes en la ionosfera y en el espacio

alrededor de la Tierra. Estas son las fuentes externas del campo geomagnético, las cuales tienen su origen

en la interacción del viento solar (el �ujo continuo de la corona solar) con el campo geomagnético propio y

en su conjunto dan lugar a la formación de una magnetosfera, donde el campo de la Tierra es con�nado y

deformado como resultado de esta interacción (ver �gura 1.3).

�

Una descripción �el del campo magnético terrestre debe incluir todas sus fuentes y también sus variaciones

temporales, no sólo la secular sino también aquellos cambios rápidos (por ejemplo las tormentas geomagnéti-

cas) que resultan de cambios en el �ujo del viento solar, pero esto se encuentra ya fuera de los intereses de

este curso.

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Figura 1.3 Esquema que muestra la magnetosfera terrestre en los momentos en que el eje geomagnético

forma un ángulo mayor de 90◦con el plano de la eclíptica. Las zonas oscuras son los cortes transversales de

los cinturones de radiación de Van Allen. No se muestra en la �gura la onda de choque que está enfrente de

la magnetopausa.

�

1.4. Otros Campos Magnéticos Astrofísicos

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Los campos magnéticos también existen en otros planetas. Todos, con excepción de Venus, tienen campos

magnéticos intrínsecos que forman magnetosferas alrededor del planeta al ser comprimidos y deformados por

el viento solar. En la �gura 1.4 se muestran las magnetosferas de algunos objetos astrofísicos.

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Figura 1.4 Esquema que muestra las magnetosferas de diversos objetos astrofísicos.


La Luna no tiene un campo magnético apreciable, pero aún no se conoce la magnetización de otros

satélites del sistema solar. El Sol mismo es un cuerpo magnético que tiene un campo general que se observa

libremente a altas latitudes heliográ�cas, mientras que en la banda de latitudes medias y bajas existen regiones

magnéticas bipolares, que cuando su intensidad es alta forman manchas y regiones activas, y también existen

regiones magnéticas unipolares de gran extensión.

�

Aunque el campo general del Sol es de solo algunos gauss, el campo de las manchas puede llegar a valores

de varias decenas de miles de gauss. Un hecho interesante es que el campo magnético general del Sol invierte

su polaridad cada once años aproximadamente. Esto mismo ocurre con el campo magnético de la Tierra (y

seguramente también en los de demás planetas magnetizados) pero a una escala de tiempo mucho mayor

como ya se ha señalado.

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Los campos magnéticos del Sol son transportados al medio interplanetario por la expansión continua de

su corona (viento solar), se establece así un campo magnético interplanetario controlado por el Sol y alterado

por la presencia de los cuerpos que componen el sistema solar. Las condiciones electromagnéticas interplan-

etarias controlan los fenómenos en la magnetosfera terrestre (y otras magnetosferas) y son responsables de

las perturbaciones geomagnéticas, las auroras polares y otros fenómenos, así como de las variaciones en la

intensidad de partículas cargadas (rayos cósmicos) que llegan a la Tierra provenientes del exterior.

�

Se han observado campos magnéticos en otras estrellas y en los cuerpos de las galaxias, así como en los

espacios interestelares e intergalácticos. La presencia del campo magnético parece ser universal. Los estudios,

observaciones y simulaciones de estos campos lejanos se encuentran aún en una etapa inicial pero seguramente

dominarán la astrofísica del futuro.


Ejercicios�

1.1 Demuestra que las ecuaciones para un campo magnético dipolar satisfacen las relaciones:

∇ ·B = 0 y ∇×B = 0.�

1.2Haz una grá�ca que represente la manera de como varía la intensidad del campo de un dipolo magnético

i) con la latitud, ii) con la distancia al centro del dipolo. Discute lo que muestran las grá�cas.

�

1.3 a) Calcula el valor de B (magnitud y dirección) para el campo geomagnético en el Polo Sur y en la

Ciudad de México considerándolo como un dipolo centrado respecto de la Tierra con su eje paralelo al eje de

rotación. b) Calcula B a 30 km. de altura sobre la Ciudad de México. c) Calcula B en el ecuador a la altura

de la órbita de la Tierra.

�

1.4 a) Dibuja la línea del campo geomagnético que intersecta al ecuador en 2RT (con las mismas su-

posiciones que el problema anterior). b)¾A qué latitudes intersecta la Tierra la línea de campo que cruza el

ecuador 3RT ?

�

1.5 Haz una grá�ca que muestre cómo varía la inclinación (cosα) del campo de un dipolo con la latitud.

Discute esta grá�ca y calcula el valor de la inclinación (α) en la Ciudad de la Habana, Cuba, haciendo las

mismas suposiciones para el campo geomagnético que en el problema 2.

�

1.6 Haz una grá�ca que muestre como varía la inclinación de las líneas de un campo magnético dipolar

con la altura. Calcula la tasa de variación de esta inclinación en grados por kilometros de altura para las

zonas aurorales de la Tierra (λ = 65◦) a 30 kilometros de altura aproximadamente.

�

1.7Un satélite en una órbita desconocida mide las componentes del campo geomagnético comoB (horizontal) =

1/54Bo y B (radial) = 3/27Bo, donde Bo es la magnitud del campo en la super�cie en el ecuador. Suponiendo

un dipolo centrado y no inclinado, encuentra la latitud y la altura del satélite.

�

1.8 Demuestra que si no existiera el efecto deformante del viento solar, el campo magnético de la Tierra

estaría bien descrito a grandes distancias por un dipolo.

�

1.9 Muestra que la longitud del arco de una línea dipolar está dada por: dsdλ = rocosλ(1 + 3sen2λ)1/2.


1.10 Demuestra que para un dipolo, el campo magnético a lo largo del arco cambia como:

dBds = ( 3M

ro)[senλ

(3+5sen2λ

cos8λ(1+3sen2λ

)]�

1.11 Escribe la ecuación vectorial para un campo dipolar en coordenadas cilíndricas.

�

1.12 El campo magnéticos sobre la super�cie de un cierto planeta de radio Rp está descrito por un

potencial de la forma: ψ = Borcosϑ donde r y ϑ son coordenadas esféricas en un sistema (r, ϑ, φ). a) ¾Cuáles

son las componentes horizontales y verticales del campo magnético en términos de r, ϑ, φ y cuál es la magnitud

total del campo en cualquier punto?. b) Haz una �gura para describir la con�guración de este campo.

Capítulo 2

Repaso de Electrodinámica I

El presente capítulo tiene la �nalidad de revisar muy brevemente las relaciones empíricas que dieron

origen al electromagnetismo. Iniciamos esta revisión planteando la Ley de Coulomb y la de�nición del campo

eléctrico. Planteamos la expresión para la fuerza de Lorentz y después analizamos las consecuencias de la

no existencia de monopolos magnéticos. Hasta aquí nuestra descripción ha tratado a los campos y fuerzas

eléctricas y magnéticas como fenómenos independientes. A partir de la Ley de Faraday descubriremos que

existe una relación entre ambos fenómenos (el cambio de �ujo magnético genera una corriente eléctrica). Otra

relación entre ambos efectos es la Ley de Ampere que muestra que las corrientes eléctricas generan campos

magnéticos. Estas dos leyes son muy importantes por que nos demuestran que el electromagnetismo es un

fenómeno único y que las fuerzas eléctricas y magnéticas no son más que dos manifestaciones íntimamente

relacionadas entre sí del electromagnetismo.

�

2.1. La Ley de Coulomb

�

La Ley de Coulomb establece que la fuerza que ejercen entre sí dos partículas cargadas es tal que:

1.- Su dirección es la de la línea que las une(r).

2.- Su magnitud es inversamente proporcional al cuadrado de la distancia que las separa(r).

3.- Su magnitud es directamente proporcional a la carga de cada partícula (q1 y q2), es decir:

F =q1q2

r2

r

r=q1q2

r3r (2.1)

Esta ley fue descubierta empíricamente. Se ha encontrado también que las fuerzas eléctricas obedecen al

principio de superposición el cual establece que la fuerza eléctrica total que actúa sobre cualquier partícula

en un sistema de partículas cargadas es la suma vectorial de cada una de las fuerzas que actuarían sobre ella

si solo existiese una de las otras partículas. Esto es:

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CAPÍTULO 2. REPASO DE ELECTRODINÁMICA I 18

Fi

=∑j

F ij (2.2)

El campo eléctrico E se de�ne como la fuerza F que ejerece una distribución de carga sobre una carga de

prueba qo cuando ésta se hace in�nitamente pequeña:

E = limF

qo=∑i

qir3i

ri (2.3)

qo → o

Donde ri es cada uno de los vectores que unen a la carga prueba con cada carga qi de la distribución.

�

El campo eléctrico es sólo una propiedad de la distribución de carga dada y una carga puntual establecerá

a su alrededor un campo radial convergente (si es una carga negativa) y divergente (en el caso de una carga

positiva). Esto se ilustra en la �gura 2.1.

�

Figura 2.1 Campo eléctrico radial de una carga puntual positiva y una carga puntual negativa.

�

El echo de que la fuerza entre dos partículas cargadas como r−2 implica que se cumple la Ley de Gauss:

˛s

E · ds = 4πQ (2.4)

Donde Q es la carga total encerrada por la super�cie s y ds es un vector unitario perpendicular a la

super�cie en cada punto saliendo de ella (ver �gura 2.2). Esta ley implica que el �ujo total del campo

eléctrico sobre cualquier super�cie cerrada es proporcional a la carga que encierra dicha super�cie, en otras

palabras, establece que las fuentes del campo eléctrico son solamente las cargas. La ecuación integral que

enuncia la Ley de Gauss se cumple para cualquier campo de fuerza central (donde el campo depende solo de

r−2).

�


Figura 2.2 Ley de Gauss. Si q total en la región es 6= 0, la integral del �ujo eléctrico, también.

�La Ley de Gauss puede escribirse de forma diferencial mediante (ver ejercicio 2.2):

∇ · E = 4πρ (2.5)

donde ρ es la densidad volumétrica de carga la cual se de�ne como:

Q =ˆρdV (2.6)

�

2.2. Fuerza ejercida por un campo eléctrico sobre una partícu-

la cargada

�

De la ecuación (2.3) vemos que la presencia de un campo eléctrico va a implicar la existencia de una fuerza

eléctrica sobre las partículas cargadas que penetren en la región del campo. Esta fuerza, evidentemente, estará

dada por:

FE = qE (2.7)

Donde q es la carga de la partícula.


2.3. Campo Magnéticos y Fuerza de Lorentz

�

Si en una región del espacio existe un campo magnético B producido, digamos por un imán y se introducen

en ella partículas cargadas, los experimentos muestran que existe una fuerza F que actúa sobre las partículas,

la cual es:

1.- Directamente proporcional a la carga q de la partícula.

2.- Directamente proporcional a la magnitud de la velocidad v de la partícula.

3.- Perpendicular a v y a B en toda la trayectoria de la partícula.

�

Entonces, esta fuerza llamada Fuerza de Lorentz, se puede expresar como:

FM = qv

c× B (2.8)

Donde c es la velocidad de la luz en el vacío y su introducción obedece al sistema particular de unidades

que hemos elegido.

�

Es interesante notar que el campo magnético sólo ejerce fuerza sobre las cargas en movimiento (si V = 0,

entonces FM = 0), a diferencia del campo eléctrico que es capaz de acelerar partículas desde el reposo.

�

2.4. La NO existencia de monopolos magnéticos

�

No se ha observado en la naturaleza ninguna carga magnética (monopolo) como en el caso de las cargas

eléctricas. Los campos magnéticos se deben mínimamente a una estructura dipolar (como un imán de barra)

al cual por más que se le corte a la mitad presentará siempre dos polos. Al no existir monopolos magnéticos,

la Ley de Gauss en magnétismo (ecuación 2.4) toma la forma:

˛s

B · ds = 0 (2.9)

La cual establece que el �ujo magnético a través de cualquier super�cie cerrada es nulo. Esto quiere decir

que en cualquier super�cie cerrada que coloquemos en cualquier lugar del espacio donde se encuentre presente

un campo magnético habrá la misma cantidad de �ujo hacia fuera que hacia adentro (ver �gura 2.3). Para

escribir esta ecuación integral en forma diferencial se utiliza el Teorema de Gauss:

0 =˛s

B · ds =ˆv

(∇ · B)dV (2.10)

con lo cual se obtiene


∇ · B = 0 (2.11)

�

Figura 2.3 El �ujo magnético a través de cualquier super�cie cerrada es nulo.

�

2.5. Ley de Inducción de Faraday

�

En 1839 Faraday demostró experimentalmente que un campo eléctrico se asocia, en general, a una fuente

magnética en movimiento. O sea, en general, a una fuente magnética en movimiento. Es decir que aún cuando

puede encontrarse presente ninguna carga eléctrica, surge un campo eléctrico siempre que hay movimiento

relativo entre una fuente magnética y el observador. La relación precisa entre este campo eléctrico inducido

y las propiedades de la fuente magnética variable en el tiempo, se describen cuantitativamente por la Ley de

Faraday.

�

La fuerza electromotriz o fem alrededor de un circulo eléctrico C se de�ne mediante:

fem =ˆc

E · dl (2.12)

Es decir, la fem es la fuerza total acumulada en las cargas a lo largo de la longitud del circuito. Más

especí�camente, es la componente tangencial de la fuerza por unidad de carga, integrada a lo largo del

circuito.

�

La Ley de Inducción de Faraday, que se deriva de experimentos, a�rma que una variación del �ujo

magnético producirá una fem dada por:

fem = −1c

dφ

dt(2.13)

Donde φ , el �ujo magnético a través de una super�cie s se de�ne como:

φ =ˆs

B · ds (2.14)

Nuevamente la introducción de c obedece al sistema de unidades usada.


�

El signo negativo en la Ley de Faraday indica que la fem inducida es tal que tiende a oponerse al cambio

que la produce. Así, si intentamos aumentar el �ujo que pasa por un circuito la fem inducida tiende a crear

corrientes en tal sentido que disminuya el �ujo. Si intentamos introducir el polo de un imán a una bobina,

las corrientes originadas por la fem inducida forman un campo magnético que tiende a repeler el polo.

�

En la �gura 2.4 se muestran un circuito simple de alambre cuyas dimensiones se pueden cambiar. El

alambre tiene dos partes, una parte �ja en forma de U (a), y una barra movible que la cruza (b), la cual

puede deslizarse a lo largo de dos de las patas de U. Siempre es un circuito cerrado completo, pero su área

es variable. Supongamos que colocamos este circuito en un campo magnético uniforme con el plano de U

perpendicular al campo.

Figura 2.4 Circuito simple de alambre de dimensiones variables.

�

De acuerdo con la Ley de Faraday, cuando la barra que cruza se mueve debe haber en el circuito una fem

que es proporcional a la tasa de cambio del �ujo a través del circuito. Esta fem provocará una corriente en

el circuito. El �ujo a través del circuito es wLB, de forma que la fem es:

fem = −1c

=dφ

dt= −1

cwB =

dL

dt= −1

cwBv (2.15)

Donde v es la velocidad con la cual se mueve la barra.

�

trataremos ahora de entender este resultado a partir de las fuerzas magnéticas v × B sobre las cargas

en la barra en movimiento. estas cargas sentirán una fuerza tangencial al alambre, igaul a vB por unidadde

carga. Es constante a lo largo de la longitud w de la barra y cero en todos los demás lugares, de forma que

la integral es:

fem = −wvBc

(2.16)

El cual es el mismo resultado obtenido a partir de la razón de cambio del �ujo.

�


Por otro lado, ¾Qué pasa si el circuito es estacionario y el campo magnético es el que cambia?, fue

el descubrimiento de Faraday (a partir de experimentos) que el resultado anterior sigue siendo válido sin

importar por qué razón cambia el �ujo. La fuerza sobre cargas eléctricas está dada de manera completamente

general por:

F = q(E +v

c× B (2.17)

No hay ninguna fuerza especial debida a campos magnéticos variables. Cualquier fuerza sobre las cargas

en reposo en un alambre que no se mueve provienen del término E. Las observaciones de Faraday condujeron

al descubrimiento de que los campos eléctricos y magnéticos están relacionados por una nueva ley, en una

región donde el campo magnético cambia con el tiempo se generan campos eléctricos. Es este campo eléctrico

inducido el que conduce a los electrones a lo largo del alambre, de manera que es responsable de la fem en

el circuito estacionario cuando hay un �ujo magnético variable.

�

Se puede mostrar que la forma diferencial de la Ley de Inducción de Faraday es (ver ejercicio 2.3):

∇× E = −1c

∂B

∂t(2.18)

�

2.6. Ley Circuital de Ampere

�

Oesterd, haciendo experimentos con brújulas cerca de alambres que transportaban una corriente, observó

de�exiones en la aguja magnetizada. Como los imanes sienten fuerzas debidas a otros imanes, entonces cuando

hay una corriente circulando por un alambre, la corriente genera un campo magnético. Entonces cargas

en movimiento producen un campo magnético. Con éste y otros experimentos donde circulan corrientes, la

circulación del vector de campo magnético a lo largo de dicha curva será proporcional a la corriente total i

encerrada por ella:

˛c

B · dl =4πci (2.19)

La Ley de Ampere juega el mismo papel en magnetostática que el que juega la Ley de Gauss en elec-

trostática. La Ley de Ampere solo nos permite determinar B a partir de las corrientes, debemos en general

usar ∇ ·B = 0.

�

Para escribir la ecuación (2.19) en forma diferencial primero hay que observar que la corriente i encerrada

por la curva cerrada C es el �ujo de la densidad de corriente J a través de la super�cie abarcada por C, es

decir:


i =ˆs

J · ds (2.20)

De aquí se obtiene (ver ejercicio 2.4) que:

∇× B =4πcJ (2.21)

Que es la forma diferencial de la Ley de Ampere.

�

2.7. Cambio en el Campo Magnético en una Hoja de Corri-

ente

�

Consideremos una hoja delgada de cobre, in�nita en las direcciones x, z y con un espesor uniforme, en la

cual �uye una corriente eléctrica en la direccion x con una densidad constante en todas partes delmetal (ver

�gura 2.5)

Figura 2.5 Hoja delgada in�nita y espesor uniforme.

�

Al �nal no va a importar el espesor de la hoja, pero podemos suponer que tiene un cierto espesor �nito ∇y.

Si la densidad de corriente volumétrica dentro del metal es J en esu/seg cm2, entonces, cada centímetro de

altura en la dirección z incluye un listón de corriente de J∇y (esu/seg cm2). A ésta la llamaremos densidad

de corriente super�cial y la denotaremos por Js. Esta Js va a determinar un cambio en el campo magnético

de un lado a otro de la hoja.

�

Sea B+ el vector del campo magnético enfrente de la hoja y B− el vector de campo magnético detrás

de ella, y consideremos el circuito rectangular 1234 (ver �gura 2.5) con sus lados largos de longitud l a cada


lado de la hoja en la dirección z y sus lados cortos de una longitud muy pequeña, atravesando la hoja. La

integral de línea de B a lo largo de este circuito dará:

l(B+z −B−z

)(2.22)

Donde Bz es la componente del campo en la dirección z.

�

La corriente abarcada por el circuito será simplemente lJs y entonces tenemos que:

l(B+z −B−z

)=

4πclJs (2.23)

de donde

B+z =

2πcJs (2.24)

y

B−z = −2πcJs (2.25)

ver �gura (2.6).

�

Figura 2.6 Hoja de corriente con un campo simétrico.

�

Si la hoja de corriente se encuentra inmersa en un campo originalmente uniforme en la dirección z, los

campos superpuestos conducirán a una situación como la que se muestra en la �gura (2.7).

�


Figura 2.7 Hoja de corriente con un campo uniforme en la dirección z.

�En el caso en que el campo original sea uniforme, pero en una dirección distinta de z, la situación será

como la que se muestra en la �gura (2.8).

Figura 2.8 Hoja de corriente con un campo uniforme en una dirección distinta de z.

�En todos los casos, la componente Bz del campo cambiará por una cantidad de 4π

c Js al pasar a través dela hoja; la componente normal a la hoja (By) no sufrirá ningún cambio.

�Nota: En todas las �guras, la corriente es en la dirección x hacia fuera de la hoja.


Ejercicios�

2.1 Discute la forma de la Ley de Gauss para el campo gravitacional. Encuentra las posibles semejanzas

entre este campo y el campo eléctrico.

�

2.2 Apartir de la forma integral de la Ley de Gauss, ecuación (2.4) encuentra la forma diferencial de dicha

ley, ecuación (2.5) y demuestra que de esta expresión se puede deducir la Ley de Coulomb, ecuación (2.1).

�

2.3 A partir de la ecuación ( 2.13) y de la de�nición de �ujo, ecuación (2.14), encontrar la forma integral

de la Ley de Inducción de Faraday y de ahí demostrar que su forma diferencial es la ecuación (2.15).

�

2.4 A partir de la ecuación (2.19) deduce la forma diferencial de la Ley de Ampere, ecuación (2.21).

�

2.5 Demuestra que si no se cumpliera la Ley de Gauss, esto es, si F no fuera proporcional a r−2, entonces

el campo eléctrico tendría otras fuentes que no serían las cargas.

�

2.6 El electrón en el átomo de hidrógeno se mueve en una órbita circular de radio 5.3×10−9cm alrededor

del protón. a) ¾Cual es la fuerza de atracción en este sistema? Compara ésta con la fuerza de atracción debida

a la gravedad. ¾Que puedes concluir de esto? b) ¾Cual es la velocidad con la que se mueve el electrón?

�

2.7 ¾Qué cantidad de carga eléctrica positiva se debe agregar al Sol y a la Tierra para anular la fuerza

de atracción gravitacional entre dichos cuerpos?

�

2.8 Se acomodan cuatro cargas simétricamente alrededor del origen del sistema de coordenadas como se

indica en la �gura 2.9. ¾Cual es la fuerza electrostática resultante que se ejerce sobre la carga que está en el

origen?

Figura 2.9


2.9 Una varilla delgada de vidrio de longitud L, tiene una carga po runidad de longitud λ constante.Calcula el campo eléctrico en el punto P a la distancia r de uno de los extremos de dicha varilla como seindica en la �gura 2.10.

Figura 2.10

�2.10 Una plano in�nito tiene una carga por unidad de área σ que es uniforme. Determina el campo

eléctrico E en un punto P a una distancia r perpendicular al plano.

Figura 2.11

�

2.11 a) Demuestra que el campo eléctrico en el interior de un conductor hueco libre de carga y cerrado se

anula. b) Demuestra que el campo eléctrico en el exterior de una esfera uniformemente cargada es el mismo

que si la carga total de la esfera se concentrara en su centro.

�

2.12 Demuestra que un campo magnético puede usarse para enfocar un haz de partículas cargadas. De

echo, éste es el método que se utiliza para enfocar el haz de electrones en los microscopios electrónicos.

�

2.13 Un alambre cilíndrico hueco, de radio interior a y radio exterior b, transmite la corriente I uniforme-

mente distribuida sobre su sección recta, como se indica en la �gura (2.12). Calcula B en cierto punto P a la

distancia R del eje (a < R < b).


Figura 2.12

�

2.14 Demuestra explícitamente que si una partícula de carga q y masa m se desplaza dentro de un campo

magnético estático B, su energía cinética será constante en el tiempo.

�

2.15 Demuestra que un circuito cerrado de corriente en un campo magnético uniforme no experimenta

ninguna fuerza.

Capítulo 3

Repaso de Electrodinámica II

En esta unidad, analizaremos las ecuaciones de Maxwell, pero antes introduciremos una ecuación muy

importante que relaciona matemáticamente las cargas y las corrientes eléctricas (ecuación de continuidad).

Esta ecuación es indispensable para derivar el sistema de ecuaciones de Maxwell a partir de las relaciones

empíricas ya estudiadas en la unidad anterior. Además trabajaremos con las ecuaciones que describen las

modi�caciones de los campos ante cambios del sistema de coordenadas. Terminaremos estableciendo la forma

de las leyes de conservacion de energía y momento para el campo electromagnético.

�

3.1. La Conservación de la Carga Eléctrica y la Ecuación

de Continuidad

�

Existen muchas pruebas experimentales que muestran que la carga eléctrica de un sistema aislado se

mantiene constante, hecho que se conoce como el principio de conservación de la carga eléctrica. Consideremos

un volumen dV formado por un paralelepípedo de lados dx, dy, dz centrado en el punto (x, y, z) como se

muestra en la �gura 3.1. Sea ρ la densidad de carga de dicho elemento de volumen. La carga contenida en

este elemento en el instante t es:

ρ (x, y, z, t) dV (3.1)

y en el instante (t+ dt) será igual a:

(ρ (x, y, z, t) +

∂ρ

∂t(x, y, z, t)

)dV (3.2)

30

CAPÍTULO 3. REPASO DE ELECTRODINÁMICA II 31

Figura 3.1

�

Es decir, la variación de la carga contenida en el volumen durante el intervalo de tiempo dt es:

∂ρ

∂tdt dV (3.3)

Por otro lado, la carga que �uye dentro del volumen durante el intervalo de tiempo dt a través de las dos

caras de área dy dz paralelas al plano Y Z es:

(Jx

(x− 1

2dx, y, z, t)

)− Jx

(x+

12dx, y, z, t

))dy dz dt = −∂Jx

∂xdx dy dz dt = −∂Jx

∂xdV dt (3.4)

En donde Jx es la componente x del vector de densidad de corriente. La carga total que �uye dentro del

elemento de volumen sobre las seis caras durante el intervalo de tiempo dt será entonces.

−(∂Jx∂x

+∂Jy∂y

+∂Jz∂z

)dV dt = −∇ · J dV dt (3.5)

Como la carga se conserva el cambio temporal en la carga tiene un nuevo efecto de inducción. No solo las

variaciones en los campos magnéticos alteran los campos eléctricos como la descubrio Faraday, sino también

las variaciones temporales en los campos eléctricos inducen cambios en los campos magnéticos. Esto, además

volvía casi simetrico el sistema de ecuaciones que representa el electromagnétismo.

�

¾Por qué este efecto de inducción no fue descubierto en los experimentos de Faraday o de Ampere? Por

que la corriente de desplazamiento solo es considerable cuando el campo eléctrico cambia muy rápidamente,

como se vera más adelante.


3.2. El Sistema de Ecuaciones de Maxwell

�

Con la introducción de la corriente de desplazamiento, el sistema de ecuaciones que describen al elec-

tromagnetismo en el espacio vacío, en presencia de una densidad de carga eléctrica ρ y de una densidad de

corriente J tienen la forma (en el Sistema de Unidades Gaussiano):

∇ · E = 4πρ (3.6)

∇ · B = 0 (3.7)

∇× E = −1c

∂B

∂t(3.8)

∇ · B =4πcJ +

1c

∂E

∂t(3.9)

Este es el llamado Sistema de Ecuaciones de Maxwell. Las cuatro ecuaciones de Maxwell (2 vectoriales

y 2 escalares) son lineales, ya que no tienen términos cuadráticos, y esto permite satisfacer el Principio de

superposición de los campos. Las ecuaciones de Maxwell forman un conjunto de ocho ecuaciones diferenciales

parciales acopladas de primer orden que relacionan las componentes de los campos E y B. La densidad

de carga ρ (r, t) y la densidad de corriente J (r, t) desempeñan el papel de fuentes de campo eléctrico E y

magnético B, respectivamente.

�

Las ecuaciones de Maxwell junto con la expresión de la fuerza de lorentz y la segunda Ley de Newton,

proporcionan una descripción completa de la dinámica clásica de partículas cargadas y campos electromag-

néticos:

F = qE +q

cv × B (3.10)

Nótese que la falta de simetría en estas ecuaciones con respecto a B y E es debida enteramente a la

presencia de cargas eléctricas y corrientes. En el espacio vacío, libre de cargas, los términos ρ y J son nulos

y las ecuaciones de Maxwell se convierten en:

∇ · E = 0 (3.11)

∇ · B = 0 (3.12)

∇× E = −1c

∂B

∂t(3.13)

∇× B =1c

∂E

∂t(3.14)


Aquí lo importante es el término debido a la corriente de desplazamiento. Su presencia al igual que

su contrapartida en la tercera ecuación implica la posibilidad de ondas electromagnéticas. Estas ondas no

solo se han encontrado experimentalmente sino que, como Maxwell estableció, se ha descubierto que la

luz y otros tipos de radiaciones no visibles (rayos γ, rayos X,UV , infrarrojos, ondas de radio) son ondas

electromagnéticas.

�

3.3. Los Potenciales Electromagnéticos

�

Una manera de resolver el sistema de ecuaciones de Maxwell es introduciendo los potenciales electromag-

néticos, los cuales permiten reducir el número de ecuaciones. Los potenciales normalmente empleados son el

potencial escalar φ y el potencial vectorial A. De la ecuacion (3.7) se deduce que B puede expresarse como

el rotacional de un campo vectorial A.

B = ∇× A (3.15)

Con esta de�nición, la Ley de Faraday (3.8) puede escribirse como:

∇× E = −1c

∂

∂t∇× A = ∇×

(−1c

∂A

∂t

)(3.16)

∇×(E +

1c

∂A

∂t

)= 0 (3.17)

Podemos expresar el término entre paréntesis por medio de algún potencial escalar −φ, es decir:

(E +

1c

∂A

∂t

)= −∇φ (3.18)

y por tanto, tenemos que:

E = −∇φ− 1c

∂A

∂t(3.19)

La de�nición de E y B en términos de A y φestá determinada por las dos ecuaciones homogéneas de

Maxwell (3.6 y 3.7). El comportamiento dinámico de A y φ está determinado por las dos ecuaciones inho-

mogéneas (3.8 y 3.9). Estas eciuaciones, en términos de los potenciales, pueden escribirse como:

∇2φ +

1c

∂

∂t

(∇ · A+

1c

∂φ

∂t

)= −4πρ (3.20)

o bien:

∇2φ −

1c2∂2φ2

∂t2+

1c

∂

∂t

(∇ · A+

1c

∂φ

∂t

)= −4πρ (3.21)


y

∇×(∇× A

)=

4πcJ +

1c

∂

∂t

(−∇φ− 1

c

∂A

∂t

)(3.22)

como:

∇×(∇× A

)= −∇2A+∇

(∇ · A

)(3.23)

entonces:

∇2A− 1c2∂2A

∂t2−∇

(∇ · A+

1c

∂φ

∂t

)= −4π

cJ (3.24)

Con este tratamiento, las ecuaciones de Maxwell se reducen a las dos ecuaciones acopladas (3.21 y 3.24),

que en realidad son cuatro ecuaciones, ya que la segunda es vectorial. Estas relacionan a los potenciales con las

fuentes (cargas y corrientes) y si las distribuciones de cargas y las distribuciones de corrientes son conocidas

se pueden resolver los potenciales y de ellos obtener E y B. Para desacoplar este sistema podemos modi�car

la de�nición de los potenciales, cuidando de no alterar los valores E y B, por ejemplo, si sumamos A el

gradiente de una función escalar arbitraria ψ, esto no modi�ca el campo magnético ya que si reemplazamos:

A′ = A+∇ψ (3.25)

∇× A′ = ∇× A+∇× (∇ψ) = ∇× A (3.26)

entonces

B′ = B (3.27)

Como el potencial A también está afectando al campo eléctrico en la ecuación (3.19) será necesario

modi�car también el potencial escalar A para garantizar que E no cambie:

E′

= −∇φ′ − 1c

∂A′

∂t= −−∇φ− 1

c

∂A

∂t= E (3.28)

esto se satisface si tomamos:

φ′ = φ− 1c

∂ψ

∂t(3.29)

Esto es, podemos elegir cualquier función arbitraria ψ y las ecuaciones de Maxwell seguirán satisfaciéndose

siempre que simultáneamente sustituyamos:

A′ = A+∇ψ (3.30)

φ′ = φ− 1c

∂ψ

∂t(3.31)

Si tomamos la divergencia de la relación (3.25) tenemos:


∇ ·A′ = ∇ · A+∇2ψ (3.32)

Entonces, podemos elegir ψ de cualquier manera conveniente para obtener el valor de ∇A′ que más nos

convenga para simpli�car las ecuaciones. La selección de un cierto valor de ∇A′ se llama norma (gauge) y

cualquier transformación de norma es válida ya que ψ es una función arbitraria. Sin embargo, no todas las

normas son útiles para facilitar la solución de las ecuaciones de Maxwell. Una de estas transformaciones es

la llamada Norma de Lorentz, en la cual se considera:

∇ · A+1c

∂φ

∂t= 0 (3.33)

y con ella las ecuaciones (3.21) y (3.24) no solo se pueden separar sino que tienen la misma forma.

Con la transformación de norma de Lorentz las ecuaciones (3.21) y (3.24) se convierten en las ecuaciones

inhomogéneas similares :

∇2φ− 1c2∂2φ

∂t2= −4πρ (3.34)

∇2A− 1c2∂2A

∂t2= −4π

cJ (3.35)

Esto representa un sistema de cuatro ecuaciones (una para φ y tres para A) de la misma forma. Las

soluciones de estas ecuaciones pueden ser escritas como integrales sobre las fuentes, en un caso las cargas y en

el otro las corrientes cuando éstas se conocen. La solución general de estas ecuaciones no la vamos a discutir

aquí, pero si te interesa puedes consultar el libro de Feynmann.

�

Con esto hemos encontrado una forma sencilla para determinar E y B a partir de la densidad de carga

y corriente, consistente en evaluar primero los potenciales con ayuda de las ecuaciones (3.34) y (3.35) y

encontrar E y B en términos de los potenciales usando (3.15) y (3.19).

�

3.4. Aproximación Cuasi-Estacionaria

�

En el espacio, las velocidades de los cuerpos astronómicos son en general mucho menores que la velocidad

de la luz c, por lo que se trabaja con variaciones electromagnéticas no relativistas o cuasi-estacionarias, en

las que:

vo < c (3.36)

en donde vo es la velocidad electromagnética característica y está dada como:


vo =loto

(3.37)

donde lo y to son una longitud y tiempos típicos. Bajo esta aproximación la ecuación (3.7) en +ordenes

de magnitud establece:

Eolo∼=Bocto

(3.38)

siendo Eo y Bo los valores típicos de los campos eléctricos y magnético respectivamente.

�

La corriente de desplazamiento tiene magnitud:

1c

∂E

∂t∼=

1c

Eoto∼=

1cto

Bolocto∼=

Boc2lo

l2ot2o∼=Bolo

V 2o

c2<Bolo∼= ∇× B (3.39)

Lo cual permite despreciar la corriente de desplazamiento ya que este término es pequeño comparado con

∇ × B. Es decir, los campos electrostáticos son de poca importancia, por lo que los campos eléctricos son

usualmente secundarios a los campos magnéticos.

�Así se pueden escribir las ecuaciones de Maxwell como:

∇ · E = 4πρ (3.40)

∇× E = −1c

∂B

∂t(3.41)

∇ · B = 0 (3.42)

∇× B =4πcJ (3.43)

�

3.5. Transformaciones de los campos ante cambios del sis-

tema de referencia

�

En la presencia de un campo magnético, un campo eléctrico se de�ne sólo en relación a cierto sistema

coordenado. Si en un sistema en reposo los campos magnéticos y eléctrico son B y E respectivamente,

podemos calcular mediante las fórmulas de transformación relativista los campos B′ y E′, en un sistema que

se mueve en relación al primero con velocidad constante v. Las componentes del campo en la dirección de

movimiento (paraellas a v) permanecen sin cambios, pero las componentes perpendiculares a v se transforman

de la siguiente manera:

E ⊥′=E⊥+(v×B⊥)

c√1− (v/c)2

(3.44)


B ⊥′=B⊥−(v×E⊥)

c√1− (v/c)2

(3.45)

En general, las velocidades de los cuerpos y plasmas espaciales son mucho menores que la velocidad de la

luz, por lo que el cociente v/c es muy pequeño y podemos considerar que el denominador de las expresiones

(3.44) y (3.45) es uno. Salvo en regiones especiales, los campos eléctricos en el espacio son de muy poca

importancia, se pueden considerar como secundarios respecto a los campos magnéticos (aproximación cuasi-

estacionaria); los campos eléctricos son mucho más débiles que los campos magnéticos. Por lo tanto, en física

espacial podemos con una buena aproximación escribir las relaciones:

E′

= E +1cv × B (3.46)

B′ = B (3.47)

En estas últimas ecuaciones se incluyen ya las tres componentes de los vectores E y B.

La ecuación (3.45) nos da un resultado muy interesante pues nos dice que los campos magnéticos son

independientes de la elección del sistema de referencia, no hay diferencia entre el campo magnético visto en

un sistema de reposo.

�

Por otro lado, la ecuación (3.46) implica que para hablar de un campo eléctrico se requiere de�nir exac-

tamente el sistema coordenado al cual se re�ere, los campos eléctricos dependen del sistema de coordenadas

en el cual se miden. Hablar de un campo eléctrico sin de�nir exactamente el sistema de coordenadas al cual

se re�ere no tiene ningún sentido.

�

Si las ecuaciones (3.44) y (3.45) son válidas en un sistema de referencia inercial, lo serán en todos los

sistemas (esto es una consecuencia de la invariancia relativista de estas expresiones). Debemos notar que dado

que el campo eléctrico depende fuertemente del sistema de referencia mientras que el campo magnético no,

es usual pensar al campo magnético como el aspecto primario dado que la existencia de un campo magnético

es independiente del sistema de referencia.

�

3.6. Teorema de Poynting y Leyes de Conservación

�

Para una sola carga q la tasa de trabajo hecho por los campos electromagnéticos externos E y B es qv ·E,

donde v es la velocidad con la cual se mueve la carga. El campo magnético no hace trabajo dado que la fuerza

magnética es perpendicular a la velocidad. Si existe una distribución continua de carga y corriente, la tasa

total del trabajo hecho por los campos en un volumen �nito V es:


ˆv

J · Ed3x (3.48)

Esta potencia representa una conversión de energía electromagnética en energía mecánica o térmica. Debe

ser balanceada por una tasa correspondiente de disminución de energía en el campo electromagnético dentro

del volumen V . Para mostrar esta ley de conservación explicitamente, usaremos las ecuaciones de Maxwell

para expresar (3.48) en otros términos. Usaremos la Ley de Ampere para eliminar J (ecuación 3.9):

ˆv

J · Ed3x =1

4π

ˆv

(cE ·

(∇× B

)− E · ∂E

∂t

)d3x (3.49)

si empleamos la identidad vectorial:

∇ ·(E × B

)= B ·

(∇× E

)− E ·

(∇× B

)(3.50)

tenemos

ˆv

J · Ed3x =1

4π

ˆv

(cB ·

(∇× E

)− c∇

(E × B

)− E · ∂E

∂t

)d3x (3.51)

y usando la Ley de Faraday

ˆv

J · Ed3x =1

4π

ˆv

(c∇ ·

(E × B

)+ E · ∂E

∂t+ B · ∂B

∂t

)d3x (3.52)

Como la densidad de energía electromagnética total está dada por:

u =1

8π(E

2+ B2) (3.53)

podemos reescribir (3.52) como:

−ˆv

J · Ed3x =ˆv

(c

4π∇ ·(E × B

)+∂u

∂t

)d3x (3.54)

como el volumen V es arbitrario, esto puede escribirse en la forma de una ecuación de continuidad

diferencial o Ley de Conservación:

−J × E =∂u

∂t+∇ · S Teorema de Poynting (3.55)

donde el vector S que representa el �ujo de energúia (conocido como el Vector de Poynting) está dado

por:

S =c

4π(E × B

)(3.56)

El signi�cado físico de la ecuación (3.55) es que la tasa de cambio de la energía electromagnpetica dentro

de un cierto volumen, más el �ujo de energía que atraviesa las super�cie frontera del volumen por unidad de


tiempo es igual al negativo del trabajo total hecho por los campos de las fuentes dentro del volumen. Como

se observa, este no es más que el enunciado de la conservación de la energía.

�

La conservación del momento lineal puede tratarse de manera análoga. La fuerza electromagnética total

en una partícula cargada es:

F = q(E +

v

c× B

)(3.57)

Si Pmec denota la suma de todos los momentos de todas las partículas en el volumen V , a partir de la

segunda Ley de Newton podemos escribir:

dPmecdt

=ˆv

(ρE +

1cJ × B

)d3x (3.58)

donde hemos convertido la suma sobre partículas a una integral sobre densidades de carga y corriente

para facilitar nuestros cálculos. De la misma forma como procedimos para encontrar el Teorema de Poynting,

usamos la ecuaciones de Maxwell para eliminar ρ y J de la ecuación (3.58):

ρ =1

4π∇ · E (3.59)

J =c

4π

(∇× B − 1

c

∂E

∂t

)(3.60)

Sustituyendo en (3.58), el integrando se vuelve:

ρE +1cJ × B =

14π

(E(∇ · E

)+

1cB × ∂E

∂t− B ×

(∇ · B

))(3.61)

reescribiendo

B × ∂E

∂t= − ∂

∂t

(E × B

)+ E × ∂B

∂t(3.62)

y sumando B(∇ · B

)= 0

ρE +1cJ × B =

14π(E(∇ · E

)+ B

(∇ · B

)− E ×

(∇× E

)− B ×

(∇× B

))− 1

4πc∂

∂t

(E × B

)(3.63)

entonces la tasa de cambio de momento mecánico es:

dPmecdt

+∂

∂t

ˆv

14πc

(E × B

)d3x =

14π

ˆv

(E(∇ · E

)− E ×

(∇× E

)+ B

(∇ · B

)− B ×

(∇× B

))d3x (3.64)


Podemos de�nir la integral del volumen a la izquierda como el momento electromagnético total P campo

en el volumen V :

P campo =d

dt

ˆv

14πc

(E × B

)d3x (3.65)

El integrando puede interpretarse como una densidad de momento electromagnético. Notemos que esta

densidad de momento es proporcional a la densidad de �ujo de energía S, con la contante de proporcionalidad

igual a c−2. Para completar la identi�cación de la integral de volumen:

g =1

4πc(E × B

)(3.66)

como un momento electromagnético y establecer la ecuación (3.64) como una ley de conservación de

momento, uno debe convertir la integral de volumen del lado derecho en una integral de super�cie de la

componente normal de algo que podamos identi�car como el �ujo de momento. Para esto usaremos coorde-

nadas cartesiana y denotaremos las componentes como xα con α = 1, 2, 3. La componente α = 1 de la parte

eléctrica del integrando de (3.64) explícitamente es:

E(∇ · E

)− E ×

(∇× E

)= E1

(∂E1

∂x1+∂E2

∂x2+∂E3

∂x3

)− E2

(∂E2

∂x1− ∂E1

∂x2

)+ E3

(∂E1

∂x2− ∂E3

∂x1

)=

∂

∂x1

(E2

1

)+

∂

∂x2(E1E2) +

∂

∂x3(E1E3)− 1∂

2∂x1

(E2

1 + E22 + E2

3

)(3.67)

Esto signi�ca que podemos escribir la componente α como:

[E(∇ · E

)− E ×

(∇× E

)]α

=∑

β∂

∂xβ

(EαEβ −

12E · Eδαβ

)(3.68)

y tenemos la forma de la divergencia de un tensor de segundo rango en el lado derecho de�niendo el tensor

de esfuerzos de Maxwell Tαβ como:

Tαβ =1

4π

(EαEβ +BαBβ −

12(E · E + B · B

)δαβ

)(3.69)

Podemos escribir la ecuación (3.64) en componentes como:

d

dt

(Pmec + Pcampo

)=∑

β

ˆv

∂

∂xβTαβd3x (3.70)

Aplicando el Teorema de la Divergencia obtenemos:

d

dt

(Pmec + Pcampo

)=˛s

∑βTαβnβdα (3.71)

donde n es la normal hacia afuera de la super�cie cerrada S. Evidentemente si (3.71) representa un

enunciado de la conservación del momento∑

βTαβnβ es la componente α del �ujo de momento por unidad

de área que atraviesa la super�cie S que encierra el volumen V . En otras palabras, es la fuerza por unidad


del área transmitida a través de la super�cie S y que actúa en el sistema combinado de partículas y campos

adentro.

��

Ejercicios�

3.1 Discute que pasaría en la ecuación (3. ) si la carga no se conservara.

�

3.2 Demuestra que la ecuación (3.9) es la ecuación de Ampere adecuada para corrientes variables.

�

3.3 Demuestra que según la expresión (3.46) la componente del vector de campo eléctrico paralela a v no

cambia.

�

3.4 Demuestra que para todo vector B se satisface: ∇ ·(∇× B

)= 0.

�

3.5 Demostrar que del sistema de ecuaciones (3.11, 3.12, 3.13, 3.14) se deduce que deben existir ondas

electromagnéticas (en las que E y B oscilen) que se desplacen con velocidad c.

�

3.6 ¾Por que el campo magnético siempre puede expresarse como el rotacional de un vector?

�

3.7 Por que podemos expresar: E + 1c∂A∂t =-∇φ

�

3.8 Demuestra que la transformación de norma (3.29) deja invariante al campo eléctrico.

�

3.9 Demuestra que bajo la norma de Lorentz, las ecuaciones que describen el comportamiento electro-

magnético son las ecuaciones (3.34) y (3.35).

�

3.10 Demostrar que si E es perpendicular a B pero no tienen la misma magnitud, existe un marco de

referencia en el cual el campo es puramente eléctrico o puramente magnético.

�

3.11 Mostrar que las ecuaciones de Maxwell en regiones sin corriente son invariantes bajo la transforma-

ción: E′

= ±B y B′ = ∓E.

�

3.12 Mostrar que el �ujo magnético φ y el potencial vectorial A están relacionados por: φ =´cA · dr y

por consiguiente, que la fem en un circuito �jo C es fem = ddt

´cA dr


�

3.13 Veri�ca que el vector potencial para un campo dipolar se puede escribir como: A = −Bo (Re/r)3r senϑφ,

donde Bo es la magnitud ecuatorial del campo y φ es el vector unitario en la dirección azimutal.

�

3.14 ¾Por qué el término de corriente de desplazamiento no modi�ca de manera apreciable el campo B

asociado a una distribución de corrientes que varía lentamente?

�

3.15 ¾Da el argumento que dimos en la sección 3.2 un valor único para la corriente de desplazamiento?

Da un ejemplo de un término diferente que pudiera agregarse a la ley de Ampere para que, de todos modos,

se satisfaga la ecuación de continuidad.

�

3.16 Considera un campo magnético dado por B = yx+ αxy donde α > 1. Deriva las ecuaciones de las

líneas de campo y de la densidad de corriente.

�

3.17 Demuestra que la de�nición del vector de Poynting es arbitraria en la medida en que puede añadirse

a él el rotacional de cualquier campo vectorial. ¾Cuáles son las unidades del vector de Poynting?

�

3.18 Usa el Teorema del vector de Poynting para demostrar que: ddt (Emec + Ecampo) = −

¸n ·S dα donde

E es la energía.

electrodinÁmica espacial...se creía, que las ecuaciones de maxwell no eran correctas y que las...

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