electrodinámica clásica (garay)

Notas de

Electrodinmica Clsica

Luis J. Garay

Madrid, 12 de julio de 2005

Universidad Complutense de MadridFacultad de Ciencias FisicasDepartamento De Fisica Teorica IIAvda. Complutense s/n, E-28040 Madrid, Espana

Luis J. Garay [email protected].: + 34 913944552, Fax: + 34 913944557

Prefacio

Estas notas no son otra cosa que mis apuntes personales, que he ido elaborandocon el nico objeto de que me sean tiles en la enseanza de la asignatura deElectrodinmica clsica. Aunque probablemente estas notas os sean tiles tambina vosotros, no debis olvidar que, en ningn caso, pueden sustituir a la bibliografade la asignatura.

En este sentido, es necesario hacer algunas advertencias:

Estas notas no son, ni pretenden ser, un libro ni un manual. Son, una vez ms,mis apuntes personales.

No me hago responsable de los errores que puedan contener estas notas nidel uso que hagis de las mismas. La bibliografa pertinente es, sin duda, elmedio ms adecuado para obtener los conocimientos necesarios.

Son una notas incompletas cuyo contenido no va ms all de los temas tra-tados en la asignatura de Electrodinmica clsica, grupo C, durante el aoacadmico 200405.

Agradecera que me comunicaseis cualquier errata que pudieseis encontrar. Sinduda alguna, sern muchas. De hecho, quiero dar las gracias a los alumnos delos cursos 2003/04 y 2004/05 por haber contribuido notablemente a disminuir elnmero de errores.

Recibid un saludo de mi parte,

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Bibliografa

Bsica

L.D. Landau y E.M. Lifshitz, Teora clsica de campos, Revert, 1986.

J.D. Jackson, Classical Electrodynamics, 3rd ed., Wiley & Sons, 1999.

Bo Thid, Classical Electrodynamics.http://www.plasma.uu.se/CED/Book.

A.O. Barut, Electrodynamics and Classical Theory of Fields and Particles, Do-ver, 1980.

V.V. Batyguin, I.N. Toptygin, Problems in Electrodynamics, Academic Press,1978.

Complementaria

J.D. Jackson, Electrodinmica clsica, 2a ed., Alhambra Universidad, 1980.

F. Rohrlich, Classical Charged Particles, Addison-Wesley, 1990.

J. Schwinger, L.L. DeRaad Jr., K.A. Milton y Wu-yang Tsai, Classical Elec-trodynamics, Perseus Books, 1998.

P. Ramond, Field Theory: A Modern Primer, 2nd. ed., Addison-Wesley, 1990.

A.P. French, Relatividad Especial, Revert, 1996.

A. Ibort y M.A. Rodrguez, Notas de lgebra lineal,http://www.ucm.es/info/metodos/pdf/Apuntes/...

...alg-aimar/alg-aimar.pdf.

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Bibliografa

S.M. Carroll, Lecture notes on general relativity, Captulo 1http://es.arxiv.org/abs/gr-qc/9712019.

J.I. Illana, El significado de la relatividad,http://www.ugr.es/jillana/SR/sr.pdf.

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1. Ecuaciones de Maxwell 11

1.1. Ecuaciones de Maxwell . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 13

1.1.1. Ecuaciones de Maxwell en el vaco . . . . . . . . . . . . . . . . 13

1.1.2. Condiciones de empalme en una superficie . . . . . . . . . . . 14

1.2. Leyes de conservacin . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 14

1.2.1. Conservacin de carga . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 14

1.2.2. Conservacin de energa. El teorema de Poynting . . . . . . . 15

1.2.3. Conservacin de momento. Tensor de tensiones de Maxwell . 16

1.2.4. Propiedades de transformacin . . . . . . . . . . . . . . . . . . 16

1.3. Ondas planas libres . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 18

1.3.1. Ecuacin de onda para ~E y ~B . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 18

1.3.2. Ondas planas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19

1.3.3. Polarizacin . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19

1.3.4. Flujo y densidad de energa . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 110

1.4. Guas de ondas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 111

1.4.1. Modos TEM . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 112

1.4.2. Modos TE y TM . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 113

1.4.3. Potencia y energa . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 115

1.5. Potenciales electromagnticos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 117

1.5.1. Ecuacin de onda para el potencial electromagntico . . . . . 117

1.5.2. Condicin de gauge de Lorenz . . . . . . . . . . . . . . . . . . 118

1.5.3. Solucin de la ecuacin de onda. Funciones de Green . . . . 119

1.6. Ejercicios . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 123

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2. Teora especial de la relatividad 21

2.1. Relatividad especial y transformaciones de Lorentz . . . . . . . . . . 23

2.1.1. Postulados de la teora especial de la relatividad . . . . . . . 23

2.1.2. Transformaciones de Lorentz . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24

2.1.3. Adicin de velocidades . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26

2.1.4. Elemento de lnea . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26

2.2. Espaciotiempo de Minkowski . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27

2.2.1. Tensores . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27

2.2.2. El tensor de Levi-Civita . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29

2.2.3. Hipersuperficies espaciales . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 210

2.2.4. Derivacin . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 210

2.2.5. Integracin . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 211

2.2.6. Cuadrivelocidad y cuadriaceleracin . . . . . . . . . . . . . . 213

2.3. Grupo de Poincar . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 214

2.3.1. Grupo de traslaciones . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 214

2.3.2. Grupo de Lorentz . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 215

2.3.3. Operadores de Casimir . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 219

2.4. Dinmica relativista . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 221

2.4.1. Principio variacional . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 221

2.4.2. Cantidades conservadas. Teorema de Noether . . . . . . . . . 222

2.4.3. Fuerzas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 226

2.5. Partcula libre . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 226

2.5.1. Mecnica analtica . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 226

2.5.2. Momento angular . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 228

2.5.3. Casimires . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 229

2.6. Campos relativistas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 229

2.6.1. Leyes de transformacin: escalares y vectores . . . . . . . . . 229

2.6.2. Principio variacional . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 233

2.6.3. Cantidades conservadas. Teorema de Noether . . . . . . . . . 234

2.6.4. Formulacin hamiltoniana . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 240

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2.7. Ejercicios . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 243

3. Partculas cargadas y campos electromagnticos 31

3.1. Partcula en un campo electromagntico . . . . . . . . . . . . . . . . . 33

3.1.1. Formulacin lagrangiana . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 33

3.1.2. Formulacin cannica . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 35

3.1.3. Campo electromagntico . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 35

3.2. Movimiento de una partcula cargada en un campo electromagnticoconstante . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 38

3.2.1. Campo elctrico uniforme . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 38

3.2.2. Campo elctrico de Coulomb . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 39

3.2.3. Campo magntico uniforme . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 311

3.2.4. Campo electromagntico uniforme . . . . . . . . . . . . . . . 312

3.2.5. Invariantes adiabticos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 313

3.3. Dipolos en campos electromagnticos constantes . . . . . . . . . . . 314

3.3.1. Dipolo elctrico en un campo elctrico constante . . . . . . . 314

3.3.2. Dipolo magntico en un campo magntico constante y uniforme315

3.3.3. Precesin de Thomas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 317

3.4. Dinmica del campo electromagntico . . . . . . . . . . . . . . . . . . 318

3.4.1. Ecuaciones de Maxwell . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 319

3.4.2. Leyes de conservacin . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 320

3.4.3. Formulacin hamiltoniana . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 322

3.4.4. Ecuacin de onda . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 323

3.4.5. Lagrangiano de dos partculas hasta segundo orden . . . . . 325

3.5. Ejercicios . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 329

4. Radiacin electromagntica 41

4.1. Radiacin por cargas en movimiento . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 43

4.1.1. Campo generado por una partcula cargada . . . . . . . . . . 43

4.1.2. Potencia radiada por una carga acelerada . . . . . . . . . . . . 45

4.1.3. Distribucin espectral y angular de la potencia radiada . . . 411

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4.2. Reaccin de la radiacin . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 413

4.2.1. Estimacin de los efectos radiativos . . . . . . . . . . . . . . . 413

4.2.2. Fuerza de reaccin radiativa . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 414

4.2.3. Renormalizacin electrodinmica de la masa . . . . . . . . . . 415

4.3. Radiacin multipolar . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 417

4.3.1. Radiacin dipolar elctrica . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 418

4.3.2. Radiacin dipolar magntica y cuadrupolar elctrica . . . . . 419

4.3.3. Intensidad de radiacin multipolar . . . . . . . . . . . . . . . 420

4.4. Ejercicios . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 423

A. Tensores A1

A.1. Vectores y formas lineales . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . A3

A.2. Cambios de base . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . A3

A.3. Tensor mtrico . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . A5

A.4. Tensor de Levi-Civita . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . A6

A.5. Tensores cartesianos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . A9

B. On the Electrodynamics of Moving Bodies, by A. Einstein B1

I. Kinematical part . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . B4

1. Definition of Simultaneity . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . B4

2. On the Relativity of Lengths and Times . . . . . . . . . . . . . B6

3. Theory of the Transformation of Co-ordinates and Times froma Stationary System to another System in Uniform Motion ofTranslation Relatively to the Former . . . . . . . . . . . . . . . B8

4. Physical Meaning of the Equations Obtained in Respect toMoving Rigid Bodies and Moving Clocks . . . . . . . . . . . . B13

5. The Composition of Velocities . . . . . . . . . . . . . . . . . . B15

II. Electrodynamical part . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . B17

6. Transformation of the Maxwell-Hertz Equations for EmptySpace. On the Nature of the Electromotive Forces Occurringin a Magnetic Field During Motion . . . . . . . . . . . . . . . B17

7. Theory of Dopplers Principle and of Aberration . . . . . . . B20

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ndice

8. Transformation of the Energy of Light Rays. Theory of thePressure of Radiation Exerted on Perfect Reflectors . . . . . . B22

9. Transformation of the Maxwell-Hertz Equations when Convection-Currents are Taken into Account . . . . . . . . . . . . . . . . . B24

10. Dynamics of the Slowly Accelerated Electron . . . . . . . . . B26

C. Does the Inertia of a Body Depend upon its Energy-Content?, by A. Eins-tein C1

F. Frmulas F1

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Tema 1

Ecuaciones de Maxwell

1.1. Ecuaciones de Maxwell1.1.1. Ecuaciones de Maxwell en el vaco1.1.2. Condiciones de empalme en una superficie

1.2. Leyes de conservacin1.2.1. Conservacin de carga1.2.2. Conservacin de energa. El teorema de Poynting1.2.3. Conservacin de momento. Tensor de tensiones de Maxwell1.2.4. Propiedades de transformacin

1.3. Ondas planas libres1.3.1. Ecuacin de onda para ~E y ~B1.3.2. Ondas planas1.3.3. Polarizacin1.3.4. Flujo y densidad de energa

1.4. Guas de ondas1.4.1. Modos TEM1.4.2. Modos TE y TM1.4.3. Potencia y energa

1.5. Potenciales electromagnticos1.5.1. Ecuacin de onda para el potencial electromagntico1.5.2. Condicin de gauge de Lorenz1.5.3. Solucin de la ecuacin de onda. Funciones de Green

1.6. Ejercicios

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1.1. Ecuaciones de Maxwell

1.1. Ecuaciones de Maxwell

1.1.1. Ecuaciones de Maxwell en el vaco

Una distribucin de carga determinada por una densidad y una corriente ~jgenera un campo electromagntico (~E,~B) que es solucin de las

ecuaciones de Maxwell:

~ ~E = 10 , (1.1a)~ ~B c2t~E = 0~j, (1.1b)

~ ~E+ t~B = 0, (1.1c)~ ~B = 0, (1.1d)

donde 0 = 4pi 107 H/m 1,2566370 106 H/m es la permitividad magnticaen el vaco, 0 = 1/(0c2) 8,8541878 1012 F/m es la permitividad elctrica enel vaco y c = 1/00 = 2,99792458 108 m/s es, por definicin, la velocidad dela luz. En este curso, utilizaremos las unidades del Sistema Internacional.

En un campo electromagntico, una carga q suficientemente pequea como paraque podamos ignorar el campo generado por ella misma (una carga de prueba)sufre la fuerza de Lorentz

~F = q(~E+~v ~B),donde ~v es su velocidad. Si consideramos densidades, como hasta ahora, la densi-dad de fuerza es:

~f = ~E+~j ~B = (~E+~v ~B).Las leyes de la electrosttica y de la magnetosttica se obtienen cuando los

campos son independientes del tiempo, es decir, cuando t~E = t~B = 0. Entonces,las ecuaciones de Maxwell se desacoplan: sin dependencia temporal, los camposelctrico y magntico son independientes.

La densidad de corriente ~j(~x, t), la densidad de carga (~x, t) y el campo develocidades ~v(~x, t) satisfacen la relacin

~j = ~v.

Para una carga puntual q, que en el instante t se halla en la posicin ~x0 y que semueve con velocidad ~v, las densidades de carga y de corriente son:

(~x, t) = q(~x~x0), ~j(~x, t) = q~v(~x, t)(~x~x0).

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Tema 1. Ecuaciones de Maxwell

1.1.2. Condiciones de empalme en una superficie

Sea s(~x) = 0 una superficie tal que |~s| = 1 y sea n = ~s su normal. Estasuperficie puede tener una densidad superficial de carga y una densidad super-ficial de corriente K. En esta seccin, relacionaremos el campo electromagntico enun lado de la superficie con el campo en el otro lado.

Las densidades de carga y de corriente se pueden escribir

(~x, t) = +(~x, t)[s(~x)] + (~x, t)[s(~x)] + (~x, t)[s(~x)],~j(~x, t) =~j+(~x, t)[s(~x)] +~j(~x, t)[s(~x)] + ~K(~x, t)[s(~x)],

y los campos

~C(~x, t) = ~C+(~x, t)[s(~x)] + ~C(~x, t)[s(~x)], ~C = ~E,~B,donde (s) es la funcin de Heaviside:

(s) =

{0 si s < 01 si s > 0.

La divergencia y el rotacional de los campos adquieren entonces la forma:

~ ~C = ~ ~C+(s) + ~ ~C(s) + n (~C+ ~C)(s),~ ~C = ~ ~C+(s) + ~ ~C(s) + n (~C+ ~C)(s),

donde hemos usado las frmulas (F.2.3,F.2.4) y s(s) = (s). Si sustituimos estasexpresiones en las ecuaciones de Maxwell, obtenemos las siguientes condiciones deempalme sobre la superficie s = 0:

n (~E+ ~E) = /0, (1.4a)n (~B+ ~B) = 0~K, (1.4b)n (~E+ ~E) = 0, (1.4c)n (~B+ ~B) = 0. (1.4d)

1.2. Leyes de conservacin

1.2.1. Conservacin de carga

La distribucin de carga debe satisfacer la ecuacin de continuidad, que se ob-tiene manipulando las ecuaciones de Maxwell:

t+ ~ ~j = 0.

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Esta ecuacin representa la ley local de conservacin de carga.

Ejercicio 1.2.1 Demostrar este resultado.

Solucin. Si derivamos con respecto al tiempo la ecuacin (1.1a), calculamos ladivergencia de la ecuacin (1.1b), sumamos las ecuaciones resultantes y tenemosen cuenta que la divergencia de un rotacional es nula (frmula F.3.2), obtenemos elresultado deseado. N

Ejercicio 1.2.2 Escribir la ley global de conservacin de carga.

1.2.2. Conservacin de energa. El teorema de Poynting

Multiplicando la ecuacin (1.1b) por ~E y la ecuacin (1.1c) por ~B, utilizando lafrmula (F.2.1) y combinando las ecuaciones resultantes, obtenemos

12t(0~E2 + 10 ~B

2) + ~ ~S = ~E ~j (1.5)

donde~S = 10 ~E ~B

es el llamado vector de Poynting y representa el flujo de energa electromgnetica.

Ejercicio 1.2.3 Obtener este resultado.

~E ~j es la derivada temporal de la densidad de trabajo realizado por el campoelectromagntico (suponiendo que no hay prdida de masa) y representa por tan-to la densidad de potencia de conversin de energa electromagntica en energamecnica y/o trmica. En efecto, la densidad de potencia es

~f ~v = (~E+~j ~B) ~v =~j ~E+ ~v (~v ~B)

y el ltimo trmino se anula en virtud de la frmula (F.1.1).

As la ecuacin (1.5) nos da la potencia en trminos de la variacin de la energaelectromagntica interna

u =12(0~E2 + 10 ~B

2) (1.6)

y del flujo electromagntico y representa una ecuacin de conservacin de la ener-ga.

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1.2.3. Conservacin de momento. Tensor de tensiones de Maxwell

Mediante la manipulacin adecuada de la expresin de la densidad de fuerzade Lorentz [en particular, sustituyendo las fuentes por sus expresiones en fun-cin de los campos segn las ecuaciones de Maxwell y aadiendo el trmino nulo10 ~B(~ ~B) = 0], obtenemos~f = 0t(~E ~B) + 0[~E(~ ~E) ~E (~ ~E)] + 10 [~B(~ ~B) ~B (~ ~B)].


Utilizando la frmula (F.2.2), esta expresin queda

~f = 0t(~E ~B) + 0[~E(~ ~E) + (~E ~)~E ~~E2/2]+ 10 [~B(~ ~B) + (~B ~)~B ~~B2/2].

Si escribimos esta ecuacin en componentes, obtenemos :

f i = tSi/c2 + kTik, (1.7)

dondeTij = 0(EiEj 12

ij~E2) + 10 (BiBj 1

2ij~B2). (1.8)


En la ecuacin (1.7) y en el futuro, utilizaremos el convenio de sumacin de Eins-tein: dos ndices repetidos, uno arriba y otro abajo, suponen una suma sobre todoslos posibles valores del mismo. Por ejemplo, ii = 3i=1

ii.

Podemos interpretar la ecuacin (1.7) como una ley de conservacin del mo-mento. En efecto, ~f es la densidad de fuerza y por tanto, representa la variacintemporal de la densidad de momento mecnico ~p de un sistema de cargas. ~S/c2

se interpreta como la densidad de momento del campo electromagntico y Tij esel tensor de tensiones del campo electromagntico. As, la ecuacin (1.7) nos di-ce que la variacin en el momento total ~p+ ~S/c2 se debe a un flujo de momentorepresentado por la divergencia del tensor de tensiones.

1.2.4. Propiedades de transformacin

Sea i j una transformacin constante de las coordenadas xi = i jx

j tal que dejainvariante ~x2. Entonces, i j es una rotacin y su determinante es det = 1. Las

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transformaciones con determinante positivo son rotaciones (R) en sentido estricto(propias) y las que tienen determinante negativo incluyen reflexiones que conside-raremos por separado.

Ejercicio 1.2.6 Demostrar esta afirmacin.

Definimos vector como aquel objeto que se transforma bajo una rotacin propiade la misma manera que el vector de posicin y un escalar es aquel que no se veafectado por las rotaciones.

Las reflexiones (S) son las transformaciones ~x = ~x. Un vector se transformacomo ~x bajo reflexiones. Un pseudovector es un vector que bajo reflexiones man-tiene su valor, es decir, que no cambia de signo.

La inversin temporal (T) es la transformacin mediante la cual el tiempo cam-bia de signo.

Las ecuaciones de la fsica son covariantes bajo estas tres transformaciones, esdecir, tienen el mismo aspecto antes y despus de las transformaciones.

Veamos cmo se comportan las cantidades electromagnticas bajo estas trans-formaciones.

q. Experimentalmente la carga elctrica es invariante bajo estas transforma-ciones.

. La densidad es q/V. La carga es invariante y el volumen, obviamente tam-bin. Por tanto, la densidad de carga es un escalar.

~j. Utilizamos su definicin~j = ~v. La velocidad es un vector y la densidad unescalar. Por tanto,~j es un vector. Bajo inversin temporal ~v cambia de signo ytambin lo hace~j.

~j: R-vector, S-vector, T.~F. La fuerza es ~f = md2~x/dt2. La masa es invariante, luego ~F es un vectorbajo rotaciones y reflexiones. No se ve afectado por inversin temporal.

~F: R-vector, S-vector, T+.

~E. De ~F = q~E, vemos que ~F y ~E se comportan igual.

~E: R-vector, S-vector, T+.

~B. De ~F = q~v ~B, vemos que ~B es un vector bajo rotaciones. Bajo reflexiones~F y ~v son vectores y, por tanto, cambian de signo. As, ~B lo preserva y es

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pseudovector. Bajo inversin temporal, ~F no cambia y ~v s. Por tanto, ~B cambiade signo bajo inversin temporal.

~B: R-vector, S-pseudovector, T.

. De ~E = , vemos que es un escalar bajo rotaciones y bajo reflexiones(cambia ~E y cambia ~). Tampoco cambia bajo inversin temporal puesto quetampoco lo hacen ~E y ~.: R-escalar, S-escalar, T+.

~A. De ~B = ~ ~A, vemos que ~A es un vector bajo rotaciones. Bajo reflexiones,~B no cambia y ~ s. Por tanto, ~A es un vector bajo reflexiones. Puesto que ~Bcambia de signo bajo inversin temporal y ~ no, ~A s lo hace.~A: R-vector, S-vector, T.~S. El vector de Poynting es ~S = 10 ~E ~B. 0 es invariante. Bajo rotaciones, ~Ses un vector. Bajo reflexiones, puesto que ~B no cambia de signo, ~S se comportacomo ~E, es decir, es un vector. Bajo inversin temporal, ~E no cambia de signoy ~B s, luego ~S s lo hace.

~A: R-vector, S-vector, T.

u. De su definicin (1.6), vemos que la densidad de energa electromagnticaes un escalar bajo las tres transformaciones.

u: R-escalar, S-escalar, T+.

Tij. Puesto que ij es un tensor, es decir, se transforma como un vector en cadauno de sus ndices, de la definicin del tensor de Maxwell (1.8), vemos queTij es tambin un tensor. No se ve afectado por las reflexiones (como xixj) y,por tanto, no es un pseudotensor. Tampoco se ve afectado por la inversintemporal.

Tij: R-tensor, S-tensor, T+.

1.3. Ondas planas libres

1.3.1. Ecuacin de onda para ~E y ~B

En zonas sin cargas ni corrientes, en las que = 0 y ~j = 0, podemos obtenerecuaciones de onda desacopladas para el campo elctrico y campo magntico.

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1.3. Ondas planas libres

Para obtener la ecuacin de onda para ~E, calculamos el rotacional de la ecuacin(1.1c) y usamos las ecuaciones (1.1a) y (1.1b). Mediante la utilizacin de la frmula(F.3.1), obtenemos

~2~E+ c22t~E = 0.

De forma enteramente anloga, obtenemos las ecuacin de onda para ~B:

~2~B+ c22t~B = 0.

1.3.2. Ondas planas

Las ondas planas electromagnticas se pueden escribir, si adoptamos el criteriode que los campos fsicos se obtienen tomando las partes reales de estas soluciones,como

~E(~x, t) = ~E(~k,) ei~k~xit, ~B(~x, t) = ~B(~k,) ei~k~xit, (1.9)

donde ~E(~x, t),~B(~x, t),~k son vectores constantes. Para que sean realmente solucionesdeben satisfacer que

c2~k2 = 2,

como se puede ver por simple sustitucin. Adems, su divergencia se debe anulary, por tanto,

k ~E = 0, k ~B = 0. (1.10)Es decir, las ondas electromagnticas planas son transversales. Por ltimo, de laecuacin de Maxwell (1.1c) y usando las frmulas (F.2.2,F.2.4,F.4.1) obtenemos unarestriccin adicional:

~B =~k ~E c~B = k ~E. (1.11)

1.3.3. Polarizacin

Vemos que ~E y c~B tienen la misma magnitud. Adems, ~E y ~B son vectorescomplejos con la misma fase. Podemos entonces construir una base ortonormale1, e2, n tal que

~E = E1 e1, ~B = c1E1 e2

o, tambin,~E = E2 e2, ~B = c1E2 e1.

La primera est linealmente polarizada con vector de polarizacin e1 y la segundacon vector de polarizacin e2.

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As, la onda plana ms general ser de la forma

~E(~x, t) = (e1E1 + e2E2)ei~k~xit.

E1 y E2 son complejos. Si tienen la misma fase la onda est linealmente polarizada ysu vector de polarizacin forma un ngulo arctan(E2/E1) con e1. Si tienen distintasfases, la onda tiene polarizacin elptica.

La polarizacin circular corresponde al caso en el que E1 y E2 tienen el mismomdulo pero sus fases difieren en pi/2. En efecto, en este caso,

~E(~x, t) = E0(e1 ie2)ei~k~xit (1.12)

y el campo fsico tiene la forma

~E(~x, t) = E0[e1 cos(~k ~xt) e2 sen(~k ~xt)]

y, por tanto, en un punto fijo ~x del espacio, el vector ~E barre el plano e1, e2 convelocidad angular constante determinada por la frecuencia . Si el vector de po-larizacin de la onda es e+ = (e1 + ie2)/

2, ~E gira en sentido contrario de las

agujas del reloj y decimos que la onda tiene helicidad positiva. Si la polarizacines e = (e1 ie2)/

2, entonces decimos que tiene helicidad negativa.

La base de ondas polarizadas circularmente (1.12) forman tambin una base depolarizaciones.

1.3.4. Flujo y densidad de energa

El vector de Poynting es

0~S = Re~E Re~B = 14(~E+ ~E) (~B+ ~B)

=14~E ~B+ 1

4~E ~B + 1

4~E ~B+ 1

4~E ~B

=12Re(~E ~B) + 1

2Re(~E ~B).

Los campos ~E y ~B tienen una dependencia temporal eit. Por tanto, al calcular unpromedio temporal, el primer trmino se anula por ser oscilante e2it y nos quedasolo el segundo trmino:

~St = 120Re(~E ~B).

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1.4. Guas de ondas

Anlogamente, la densidad de energa es

u =12[0(Re~E)2 + 10 (Re~B)

2]

=14[0Re(~E2) + 10 Re(~B

2)] +14(0~E ~E + 10 ~B ~B)

y, por tanto, en el promedio temporal, el primer trmino se anula por ser oscilante:

ut = 14(0~E ~E + 10 ~B ~B).

As, para una onda plana (1.9),

~B ~B = (k ~E) (k ~E)/c2 = ~E ~E/c2,~E ~B = ~E (k ~E)/c = (~E ~E)k/c,

donde hemos utilizado las ecuaciones (1.10, 1.11, F.1.2, F.1.3). Por tanto,

~St = 120c (~E ~E)k, ut = 120c2

~E ~E

y la velocidad de propagacin de la energa es, entonces,

~v = ~St/ut = ck.

1.4. Guas de ondas

Consideremos una cavidad hueca infinita en una de las dimensiones y con pa-redes conductoras. Sea ez la direccin hueca. Entonces, el campo electromagnticosatisface la ecuacin de onda en el interior de la gua

c22t ~C+ ~2~C = 0, ~C = ~E,~B,

junto con las condiciones de contorno en las paredes del conductor obtenidas de(1.4):

~E|S = ~B|S = 0, (1.13)donde y indican las componentes paralela y perpendicular a la superficie delconductor respectivamente. En efecto, dentro del conductor, las cargas se muevenlibremente y adaptan su posicin y velocidad para que ~E = ~B = 0. En la superficie,tienen menos libertad (solo sobre la superficie y hacia el interior) y hacen quelas densidades superficiales de carga y de corriente se adapten a las condiciones

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externas (e internas). As, la libertad de movimiento superficial obliga a que sesatisfagan las condiciones de contorno (1.13).

La simetra del problema nos permite escribir

~C(~x, t) = ~C(x, y)ei(kzt),

de forma que la ecuacin de onda para ~C queda

~2t~C + (2/c2 k2)~C = 0, (1.14)

donde el laplaciano transversal es ~2t = ~2 2z. Las condiciones de contorno parala ecuacin de onda para ~C son las mismas que para ~C (ecuacin 1.13). Si soloutilizamos ~t y no el operador z, podemos eliminar la prima () de ~C puesto quelos resultados no se ven afectados por la multiplicacin por el factor ei(kzt).Adems, es conveniente separar las componentes longitudinales y transversales delos campos elctrico y magntico:

~C = ~Ct + Cz ez.

1.4.1. Modos TEM

Si Ez = Bz = 0 en toda la gua, entonces se obtiene una solucin especial: lasondas TEM (transversales electromagnticas) cuyas nicas componentes ~Ct = ~Ctemson perpendiculares a la direccin de propagacin. El campo elctrico es solucinde las ecuaciones

~t ~Etem = 0, ~t ~Etem = 0, (1.15)con la condicin de contorno ~Etem,|S = 0 y, por tanto, ~Etem es solucin del proble-ma electrosttico bidimensional. El campo magntico se obtiene tambin mediantesustitucin de ~B = ~Btem en la ecuacin de Maxwell (1.1b) en vaco:

~Btem = c1ez ~Etem,

que obviamente satisface la condicin de contorno ~Btem,|S = 0

Ejercicio 1.4.1 Obtener estos resultado mediante sustitucin directa en las ecuacio-nes de Maxwell de ~C = ~Ctem.

Si calculamos el rotacional de la primera ecuacin de (1.15) y hacemos uso de lafrmula (F.3.1) y de la segunda ecuacin, obtenemos ~2t~Etem = 0, de manera quela ecuacin (1.14) tambin nos indica que = ck, como en un medio infinito.

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1.4. Guas de ondas

Es interesante notar que, en un cilindro hueco, este modo TEM no puede existirpuesto que la superficie del conductor es equipotencial y, en consecuencia, dentrode la gua no puede existir campo elctrico ni magntico: es necesaria una guacoaxial.

1.4.2. Modos TE y TM

A partir de las ecuaciones de Maxwell se pueden obtener las siguientes expre-siones para los campos transversales en funcin de los longitudinales:

~Et = i2(k~tEz ez ~tBz), (1.16a)~Bt = i2[k~tBz + (2/c2)ez ~tEz], (1.16b)

donde 2 = 2/c2 k2.Adems, se pueden obtener condiciones de contorno para los campos longitu-

dinales a partir de las condiciones de contorno para los campos totales y de lasecuaciones de Maxwell:

Ez|S = 0, n ~tBz|S = nBz|S = 0. (1.17)

Ejercicio 1.4.2 Obtener estos resultados.

Solucin. Para las componentes transversal y longitudinal, las ecuaciones deMaxwell quedan

ik~Et + iez ~Bt = ~tEz, (1.18a)ez (~t ~Et) = iBz, (1.18b)

ik~Bt i(/c2)ez ~Et = ~tBz, (1.18c)ez (~t ~Bt) = i(/c2)Ez, (1.18d)

~t ~Et = ikEz, (1.18e)~t ~Bt = ikBz. (1.18f)

~Et se obtiene multiplicando la ecuacin (1.18c) vectorialmente por la izquierdapor ez y despus usando (1.18a); ~Bt se obtiene multiplicando la ecuacin (1.18a)vectorialmente por la izquierda por ez y despus usando (1.18c).

La condicin de contorno para la parte longitudinal del campo elctrico Ez sededuce inmediatamente de ~E|S = 0 y la condicin de contorno para Bz se deducedirectamente de (1.18c), si multiplicamos escalarmente esta ecuacin por la normala la superficie n. N

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As, tenemos una ecuacin de onda bidimensional (1.14) para Ez y Bz con lascondiciones de contorno (1.17). Como estas condiciones son diferentes, los auto-valores asociados al campo elctrico y al campo magntico sern diferentes engeneral.

En esta seccin, consideraremos soluciones tales que Ez o Bz son diferentes decero. Llamaremos ondas TM (transversales magnticas) a las que satisfacen

Bz = 0 en toda la gua, Ez|S = 0 (TM)y ondas TE (transversales elctricas) a las que satisfacen

Ez = 0 en toda la gua, nBz|S = 0 (TE).Una vez conocidos (Ez, Bz) 6= 0 podemos calcular ~Et y ~Bt a partir de las ecuaciones(1.16). De estas ecuaciones, vemos que, tanto para los modos TE como para los TM,los campos elctrico y magntico estn relacionados:

~Bt =0Z

ez ~Et, (1.19)donde Z es la impedancia de la onda

Z =

{k/(0) (TM)0/k (TE).

As, basta con conocer uno de ellos para tener una solucin completa.

Las ecuaciones (1.16) nos permiten determinar las componentes transversales apartir de Ez y Bz:

~Et = ik2~tEz (TM), ~Bt = ik

2~tBz (TE). (1.20)

Estos campos ~Ct obviamente satisfacen las condiciones de contorno ~Et,|S = 0 y~Bt,|S = 0, como es fcil comprobar.Ejercicio 1.4.3 Realizar esta comprobacin.

Solucin. De la ecuacin (1.19) y de la frmula (F.1.4), vemos que

Bt, = n ~Bt n (ez ~Et) = ~Et (n ez) = Et,y, por lo tanto, ~Et,|S = 0 ~Bt,|S = 0.

Para los modos TE, ~Bt ~tBz, luego Bt,|S = n ~Bt|S nBz|S = 0.Para los modos TM, ~Et ~tEz, luego, si p es un vector paralelo a la superficie,

E = p ~Et p ~tEz = pEz. Puesto que Ez|S = 0, tenemos que pEz|S = 0. Portanto, E|s pEz|s = 0. N

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1.4. Guas de ondas

La funcin Cz = Ez, Bz satisface la ecuacin de onda bidimensional

(~2t + 2)Cz = 0y est sujeta a las condiciones de contorno

Ez|S = 0 (TM), nBz|S = 0 (TE).Nos encontramos pues ante un problema de autovalores.

Ejercicio 1.4.4 Demostrar que los autovalores 2 0 para que se puedan satisfacerlas condiciones de contorno.

El resultado es un espectro de autovalores n y sus correspondientes autofuncionesortonormales Cz,n, que son los modos de la gua. De los autovalores n podemosobtener, para cada frecuencia, el nmero de onda

k2n = 2/c2 2n.

Definiendo n = cn, la frecuencia ms baja posible para el modo n, podemosescribir la relacin de dispersin

kn = c12 2n. (1.21)

As, solo los modos para los que n se pueden propagar en la gua. Puestoque n son los autovalores en una seccin finita de una cavidad, estn cuantizadosy n n/R donde R es una longitud caracterstica de la seccin (el lado de unagua de seccin cuadrada, por ejemplo). Por tanto, existe solo un nmero finito demodos tales que n y, a menudo, se elige la gua de forma que solo exista unmodo.

Comentarios: /c es el nmero de onda en el espacio libre y kn /c. Portanto, la velocidad de fase v f ,n = /kn c y, de hecho, es infinita para = n.

1.4.3. Potencia y energa

El promedio temporal del vector de Poynting es

~St = 120~E ~B = 1

20(~Et ~Bt) +

120

Bz~Et ez +120

Ez ez ~Bt .

Para las ondas TEM, la situacin es idntica a la de las ondas libres:

~St = 120c (~Etem ~Etem)k, ut =

120c2

~Etem ~Etem

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y la velocidad de propagacin de la energa es, entonces,

~St/ut = c.Para ondas TM, Bz = 0, usamos las expresiones (1.19) y (1.20), junto con la

frmula (F.1.2) y obtenemos

~St = k2

24Z[|~tEz|2ez + i(2/k)Ez~tEz ].

Si integramos la componente axial (en la direccin ez) de este resultado sobretoda la seccin t de la gua, obtenemos la potencia transmitida en la gua:

P = t~St ez d2~xt = k

2

24Z

t~tEz ~tEz d2~xt.

Teniendo en cuenta la frmula (F.3.4) y quet~t ~u d2~xt =

t

n ~u dlt, podemosescribir

P =k2

24Z

[t

Ez (n ~tEz)dl t

Ez ~2tEz d2~xt]

=k2

24Z

[t

Ez (nEz) dl t

Ez ~2tEz d2~xt].

El primer trmino se anula por las condiciones de contorno y, por tanto, utilizandola ecuacin de onda para Ez, la potencia transmitida por una onda TM resulta

P =c02

(

n

)21 (n/)2

t|Ez|2 d2~xt (TM).

Anlogamente, para una onda TE,

P =c

20

(

n

)21 (n/)2

t|Bz|2 d2~xt (TE).


Por ltimo, es muy fcil calcular el promedio de la densidad de energa por unidadde longitud. El resultado es:

U =ut d2~xt =

(c1 (n/)2

)1P.


Teniendo en cuenta que de la relacin de dispersin (1.21) obtenemos una velocidadde grupo vg = d/dk = c

1 (n/)2, vemos directamente que la velocidad de

propagacin de la energa de las ondas TM y TE en la gua P/U es precisamentela velocidad de grupo:

P/U = vg.

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1.5. Potenciales electromagnticos


Las ecuaciones (1.1c) y (1.1d) son estructurales e implican que existen y ~Adefinidos localmente tales que

~E = ~ t ~A, ~B = ~ ~A. (1.22)En efecto, de (1.1d) concluimos que existe un campo vectorial ~A definido localmen-te tal que ~B = ~ ~A [ver frmula (F.3.2)]. Introducimos este resultado en (1.1c)y reorganizamos para obtener ~ (~E+ t ~A) = 0. Por tanto [ver frmula (F.3.3)],existe una funcin tal que ~E+ t ~A = ~.

La relacin entre ~E, ~B y , ~A no es unvoca. Los potenciales (, ~A) y (, ~A)relacionados mediante las frmulas

= t f , ~A = ~A+ ~ f , (1.23)donde f (~x, t) es una funcin arbitraria, generan el mismo campo electromagntico(~E,~B). Estas transformaciones reciben el nombre de transformaciones de gauge.

Ejercicio 1.5.1 Probar esta afirmacin.

1.5.1. Ecuacin de onda para el potencial electromagntico

Al escribir el campo electromagntico en trminos de potenciales las ecuacio-nes estructurales de Maxwell se convierten en identidades y solo nos quedan lasdos ecuaciones que relacionan las fuentes con el campo escrito en trminos de lospotenciales.

Consideremos las ecuaciones de Maxwell microscpicas. Para obtener ecuacio-nes en las que solo aparece el potencial electromagntico (A0, ~A) en presencia de, ~j, introducimos las relaciones (1.22) en las ecuaciones de Maxwell y obtenemos:

~2 = /0 t(~ ~A),~2 ~A c22t ~A ~(~ ~A) = 0~j+ c2~t.

Una sencilla manipulacin de estas ecuaciones nos permite reescribirlas de la si-guiente manera:

c22t ~2 = 10 + t(~ ~A+ c2t),c22t ~A ~2 ~A = 0~j ~(~ ~A+ c2t).

Estas ecuaciones son equivalentes a las ecuaciones de Maxwell. Son cuatro ecua-ciones de segundo orden frente a las ocho de primer orden que son las ecuacionesde Maxwell. Adems, son invariantes bajo transformaciones de gauge (1.23).

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1.5.2. Condicin de gauge de Lorenz

Sabemos que el potencial electromagntico tiene un ambigedad gauge. Estaambigedad se puede eliminar mediante una condicin suplementaria de fijacindel gauge. Impongamos la condicin de gauge de Lorenz,

~ ~A+ c2t = 0,

de manera que las ecuaciones de onda se convierten en

c22t A + ~2A = 0 j. (1.26)

donde = 0, 1, 2, 3, A = (/c, ~A) y j = (c,~j).

Todava queda una arbitrariedad adicional puesto que aquellas transformacio-nes gauge tales que f satisface

~2 f c22t f = 0

preservan la condicin de fijacin de gauge de Lorenz.

Debemos preguntarnos, adems, si la condicin de fijacin de gauge de Lorenzsiempre se puede imponer, es decir, si dada una configuracin Ano que no satisfacela condicin de Lorenz, puede encontrarse mediante transformaciones gauge unanueva configuracin A que s la satisfaga. En otras palabras, nos preguntamos siexiste una funcin f tal que

= no t f , ~A = ~Ano + ~ f , ~ ~A+ c2t = 0.

Sustituyendo las dos primeras ecuaciones en la tercera vemos que para que larespuesta sea afirmativa, f debe satisfacer la ecuacin

~2 f c22t f = (~ ~Ano + c2tno).

Dado que esta ecuacin diferencial para f siempre tiene solucin, la condicin deLorenz siempre se puede imponer.

Existen otras formas de fijar el gauge que discutiremos posteriormente:

Gauge de Coulomb: ~ ~A = 0,

Gauge temporal: = 0,

Gauge axial: A3 = 0

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1.5.3. Solucin de la ecuacin de onda. Funciones de Green

En esta seccin, obtendremos la solucin general de la ecuacin de onda (1.26)para el potencial vector A. Para ello, buscamos la solucin general G(~x, t;~x, t) dela ecuacin

(c22t + ~2)G(~x, t;~x, t) = 3(~x~x)(t t). (1.27)Entonces,

A(~x, t) = A0 (~x, t) + 0

d3xdtG(~x, t;~x, t)j(~x, t),

donde A0 es una solucin de la ecuacin homognea. La funcin G(~x, t;~x, t) recibe

el nombre de funcin de Green o propagador.

La funcin de Green G solo puede depender de la diferencia de tiempos t t yde posiciones ~x~x. Para verlo, basta con cambiar de variables de ~x, t a~r = ~x~x, = t t, de forma que la ecuacin (1.27) se convierte en

(c22 + ~2~r )G(~r, ; 0, 0) = 3(~r)(). (1.28)

Si escribimos el laplaciano en coordenadas esfricas para ~r [ver frmula (F.6.1)] ynotamos que 3(~r) = (r)/(4pir2), vemos que G no puede depender de la direccinde~r = ~x~x sino solo de su mdulo r. Por tanto,

c22(G) + 2r (rG)/r = ()(r)/(4pir2).

Sustituyendo en esta ecuacin G() = (2pi)1/2dG()ei, utilizando la re-

lacin de dispersin en vaco = ck y la frmula (F.6.3), obtenemos la siguienteecuacin para la transformada de Fourier de la funcin de Green:

k2G+ 2r (rG)/r = (2pi)1/2(r)/(4pir2). (1.29)

Fuera de r = 0, la solucin de esta ecuacin es

4pirG(r) = +eikr + eikr, (1.30)

donde son constantes que determinaremos a partir del comportamiento enr = 0.

Volvemos, mediante una transformacin de Fourier inversa a G(~r, )

G(~r, ) = +G+(~r, ) + G(~r, ),

donde

G(~r, ) = (4pi)1(2pi)1/2

dei(r/c)

r=

( r/c)4pir

.

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Si definimost = t r/c = t |~x~x|/c,

como los tiempos retardado y avanzado respectivamente, las funciones de Greencorrespondientes se pueden escribir

G(~x, t;~x, t) =(t t)4pi|~x~x| , G = +G+ + G.

Ejercicio 1.5.2 Demostrar, mediante el estudio del comportamiento de la funcinde Green en el origen~r = 0, que + + = 1.

Solucin. Para obtener los valores de , introducimos esta funcin de Green Gen la ecuacin (1.28):

(c22 + ~2)G =1

4pic2r(2 + ~2) +

12pi~~1r +

14pi

~21r ,

donde hemos denotando por sencillez en la notacin = ( r/c). Usando lasfrmulas (F.4.2,F.4.3,F.4.4) y teniendo en cuenta que

~ = c1r , ~2 = c2 2cr2,

obtenemos(c22 + ~2)G =

1picr2

3(~r).Si integramos este resultado en todo el tiempo y en un pequeo volumen V al-rededor de~r = 0, el primer trmino se anula puesto que supone la evaluacin de() = 0; el segundo trmino contribuye con 1. Con estos resultados, vemosque la integral a todo tiempo y en un pequeo volumen V alrededor de~r = 0 dela ecuacin (1.28)

dd3~r(c22 + ~2)G = 1proporciona el resultado buscado + + = 1. N

As, la solucin general de la ecuacin de onda (1.26) para el potencial vectorA es

A(~x, t) = 0

d3~xdt j(~x, t)G(~x, t;~x, t)

= +0

d3~xj(~x, t+)4pi|~x~x| + 0

d3~x

j(~x, t)4pi|~x~x| .

El principio de causalidad requiere que el potencial en ~x, t no dependa de loque ocurrir con la fuente en el futuro. Por tanto, desde el punto de vista fsico

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debemos quedarnos con el propagador retardado, es decir, = 0, + = 1. Asobtenemos los potenciales retardados

+(~x, t) =1

4pi0

d3~x

(~x, t+)|~x~x| ,

~A+(~x, t) =04pi

d3~x

~j(~x, t+)|~x~x| .

Conviene, por ltimo, recordar que estos potenciales han sido obtenidos en el gau-ge de Lorentz.

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1.6. Ejercicios

1.6. Ejercicios

1.1 Un monopolo magntico de carga magntica qm situado en el origen crea uncampo magntico cuya expresin es

~Bm =0qm4pi

~x|~x|3 .

a. Demostrar que este campo es incompatible con las ecuaciones de Maxwell.

Un cierto solenoide rectilneo semiinfinito colocado en el semieje ez positivo generaun campo magntico ~Bs = 0qm (x)(y)(z)ez.

b. Demostrar que si aadimos este campo al del monopolo, la incompatibilidadanterior desaparece.

1.2 Si existiesen cargas magnticas, como en el problema 1.1, las ecuaciones de Max-well tendran la siguiente forma:

~E = e/0, ~E+ t~B = 0~Jm, ~B = 0m, ~B c2t~E = 0~Je.

a. Demostrar que estas ecuaciones son invariantes bajo las transformaciones dedualidad

~E = ~E cos + c~B sen , c~B = ~E sen + c~B cos ,ce = ce cos + m sen , m = ce sen + m cos ,c~Je = c~Je cos +~Jm sen , ~Jm = c~Je sen +~Jm cos .

b. Determinar y explicar el carcter (escalar, vectorial, etc.) bajo rotaciones pro-pias, reflexiones espaciales e inversin temporal de las todas siguientes can-tidades electromagnticas involucradas. dem con la conjugacin de cargaq q = q.

1.3 Demostrar las siguientes afirmaciones:

a. Para un sistema estacionario con una densidad de corriente ~j(~x), la energatotal del campo magntico puede escribirse de la siguiente forma:

U =08pi

d3~xd3~x

~j(~x) ~j(~x)|~x~x| .

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b. Si un sistema est compuesto por n circuitos con corrientes I1, I2 . . . In, laenerga total del campo magntico puede escribirse de la siguiente forma:

U =12i

Li I2i +ij

1.6. Ejercicios

1.7 Sea una gua de ondas de seccin rectangular de lados a en la direccin ex yb en la direccin ey con a < b cuyas paredes son conductores perfectos. Se sabeque el modo fundamental es de tipo TE y que la componente en la direccin ex delcampo elctrico es Ex = E0 sen(piy/b)ei(kzt), donde E0 es una constante.

a. Obtener la componente Ey del campo elctrico.

b. Calcular la frecuencia mnima de propagacin de este modo.

1.8 Sea una gua de ondas como la del problema 1.7 con b = 3a/2. Se sabe queexiste un modo de tipo TE y que la componente en la direccin ey del campoelctrico es Ey = E0 sen(pix/a)ei(kzt), donde E0 es una constante.

a. Obtener la componente Ex del campo elctrico.

b. Calcular la frecuencia mnima de propagacin de este modo.

c. Encontrar el campo magntico ~B.

1.9 Demostrar que el gauge de Coulomb es una buena condicin de fijacin delgauge.

1.10 Demostrar que los gauges temporal y axial son buenas condiciones de fijacindel gauge.

1.11 Consideremos una densidad de carga y una densidad de corriente ~j en elvaco.

a. Teorema de Helmholtz. Mostrar que la densidad de corriente (o cualquiercampo vectorial cuya divergencia y rotacional se anulan en el infinito) puedeser escrita como~j =~jt +~jl, donde la parte longitudinal~jl es irrotacional y latransversal~jt tiene divergencia nula. Ms an,

~jt(~x, t) =14pi~ ~

~j(~x, t)|~x~x|d

3~x,

~jL(~x, t) = 14pi~ ~ ~j(~x, t)

|~x~x| d3~x.

b. Escribir la ecuacin de onda para el potencial vector y escalar en gauge deCoulomb.

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c. Escribir una expresin cerrada para el potencial escalar en la que conste ex-plcitamente el tiempo. Dilucidar si esta dependencia involucra el tiempo re-tardado, el avanzado o ambos e interpretarlo fsicamente. Demostrar que, eneste gauge y en ausencia de fuentes, el potencial escalar es idnticamentenulo.

d. Demostrar que, en el gauge de Coulomb, el trmino fuente de la ecuacinde onda para el potencial vector depende solo de la parte transversal de lacorriente.

1.12 Demostrar que el resultado de dos transformaciones gauge sucesivas es inde-pendiente del orden en que se realicen.

1.13 Un campo de radiacin est representado por el potencial vector

~A = ey A0 exp i(kxx+ kyyt).

Determinar:

a. El potencial escalar en el gauge de Lorentz.

b. La transformacin gauge que transformara los potenciales anteriores en loscorrespondientes al gauge de Coulomb (o de radiacin).

1.14 Calcular los potenciales escalar y vector creados por una carga puntual enmovimiento.

1.15 Si a una placa conductora se le aplica un campo elctrico tangencial y uncampo magntico transversal, aparece una componente de campo elctrico en ladireccin perpendicular a ambos y lineal en la densidad de corriente (efecto Hall).Demostrar, estudiando el carcter de las cantidades involucradas bajo rotacionesy reflexiones, que la generalizacin de la ley de Ohm para un conductor istroposometido a estos campos es

~E = r~j+ R(~B~j) + B2~j+ (~B ~j)~B+O(B3),

donde r es la resistividad en ausencia de campo magntico, R es el llamado coefi-ciente de Hall y y son coeficientes constantes. Cmo se comporta esta ley bajoinversin temporal? Por qu?

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Tema 2

Teora especial de la relatividad

2.1. Relatividad especial y transformaciones de Lorentz2.1.1. Postulados de la teora especial de la relatividad2.1.2. Transformaciones de Lorentz2.1.3. Adicin de velocidades2.1.4. Elemento de lnea

2.2. Espaciotiempo de Minkowski2.2.1. Tensores2.2.2. El tensor de Levi-Civita2.2.3. Hipersuperficies espaciales2.2.4. Derivacin2.2.5. Integracin

2.2.5.1. Integracin a lo largo de una curva2.2.5.2. Intregracin sobre una superficie bidimensional2.2.5.3. Integracin en una hipersuperficie2.2.5.4. Integracin en un volumen cuadrimensional2.2.5.5. Generalizaciones de los teoremas integrales de Gauss y de Stokes

2.2.6. Cuadrivelocidad y cuadriaceleracin2.3. Grupo de Poincar

2.3.1. Grupo de traslaciones2.3.2. Grupo de Lorentz2.3.3. Operadores de Casimir

2.4. Dinmica relativista2.4.1. Principio variacional2.4.2. Cantidades conservadas. Teorema de Noether

2.4.2.1. Cuadrimomento2.4.2.2. Momento angular

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Tema 2. Teora especial de la relatividad

2.4.2.3. Centro de inercia2.4.2.4. Invariantes de Casimir

2.4.3. Fuerzas2.5. Partcula libre

2.5.1. Mecnica analtica2.5.2. Momento angular2.5.3. Casimires

2.6. Campos relativistas2.6.1. Leyes de transformacin: escalares y vectores

2.6.1.1. Traslaciones2.6.1.2. Transformaciones de Lorentz: campos escalares2.6.1.3. Transformaciones de Lorentz: campos vectoriales2.6.1.4. Transformaciones de Lorentz: campos tensoriales

2.6.2. Principio variacional2.6.3. Cantidades conservadas. Teorema de Noether

2.6.3.1. Invariancia bajo traslaciones2.6.3.2. Invariancia Lorentz2.6.3.3. Invariancia Poincar2.6.3.4. Invariancia gauge abeliana

2.6.4. Formulacin hamiltoniana2.7. Ejercicios

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2.1. Relatividad especial y transformaciones de Lorentz


2.1.1. Postulados de la teora especial de la relatividad

Un sistema de referencia es un sistema de coordenadas para sealar la posicinespacial de una partcula y un reloj.

Un sistema de referencia inercial es aqul en el que se satisface la primera ley deNewton: los cuerpos libres, sobre los que no acta ninguna fuerza se mueven convelocidad constante. Dos sistemas inerciales se mueven con una velocidad relativaconstante.

Postulado 1. Principio de relatividad: todas las leyes de la fsica, en ausen-cia de fuerzas gravitatorias, son idnticas en todos los sistemas de referen-cia inerciales.

Segn este principio de relatividad, las ecuaciones que describen las leyes de lanaturaleza tienen la misma forma en todos los sistema de referencia inerciales.

El principio de relatividad de Galileo est basado en la propagacin instantneade seales y su rango de aplicacin es la mecnica clsica o newtoniana: todas lasleyes de la mecnica son idnticas en todos los sistemas de referencia inerciales.

Sin embargo, no existen interacciones instantneas. Al introducir el campo elec-tromagntico, es necesario tener este hecho en cuenta. La velocidad de la luz en elvaco es la velocidad mxima que puede alcanzar una interaccin. Esta es una leyfsica y, por tanto, debe ser vlida en todos los sistemas de referencia.

Postulado 2. La velocidad de la luz en el vaco c es constante e igual entodos los sistemas de referencia inerciales.

Estos dos postulados constituyen la base de la teora especial de la relatividad.La mecnica newtoniana se recupera en el lmite c , es decir, en el lmite deinteracciones instantneas.

En la mecnica clsica, el espacio es relativo: la distancia entre dos sucesos nosimultneos depende del sistema de referencia. En efecto, sean ~x1(t1) y ~x2(t2) dossucesos en el sistema de referencia SRI. En SRI, que se mueve con velocidad ~v, laposicin es ~x(t) = ~x(t)~vt y, por tanto,

|~x2(t2)~x1(t1)|2 = |~x2(t2)~x1(t1)|2 + v2(t2 t1)2 2(t2 t1)~v (~x2(t2)~x1(t1)).

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Sin embargo, el tiempo es absoluto: dos sucesos simultneos en un sistema inerciallo son en cualquier otro. Como consecuencia, tenemos la ley de suma de veloci-dades: si en SRI una partcula tiene velocidad ~V y SRI se mueve con velocidad ~vcon respecto a SRI, entonces la velocidad de la partcula en SRI es ~V = ~V ~v. Enefecto, para dos instantes prximos t1 y t2 = t1 + dt,

~V = d~x

dt=

(d~xdt

)2+ v2 2~v d~x

dt= ~V ~v.

Sin embargo, esta ley de composicin es incompatible con el carcter universal yfinito de la velocidad de la luz. De hecho, debido a la constancia y finitud de lavelocidad de la luz, en relatividad especial, el tiempo es relativo, es decir, dependedel sistema de referencia en el que se mida: dos sucesos simultneos en un sistemade referencia inercial no son necesariamente simultneos en otro.

En relatividad especial, el tiempo y el espacio son relativos, pero no todo esrelativo como a menudo se dice. Veremos que existen cantidades absolutas y queson de gran importancia. Entre ellas, el intervalo espaciotemporal ocupa un lugarsobresaliente.

2.1.2. Transformaciones de Lorentz

En un sistema de referencia inercial SRI, consideremos los sucesos emisin deuna seal luminosa en ~x1 en el instante t1 y recepcin de la seal en ~x2 en elinstante t2. Puesto que la velocidad de propagacin de la seal es c, se satisface larelacin:

c2(t2 t1)2 + (~x2 ~x1)2 = 0. (2.1)En otro SRI, estos dos sucesos estarn caracterizados por sus coordenadas ~x1 y ~x

2

y los instantes en que se producen t1 y t2 respectivamente. Como la velocidad de

propagacin de la seal es tambin c, se satisface la relacin

c2(t2 t1)2 + (~x2 ~x1)2 = 0. (2.2)

Nos preguntamos cul es la transformacin de coordenadas y tiempos que satis-facen la condicin de invariancia que acabamos de exponer. Probemos con unatransformacin lineal (existen razones para justificar esta eleccin, adems del re-sultado). Los coeficientes solo pueden depender de ~v, la velocidad relativa de losdos sistemas de referencia inerciales, que supondremos, por sencillez y sin prdidade generalidad, que es de la forma ~v = vx. Teniendo en cuenta que el origen ~x = 0

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de SRI tiene como trayectoria en SRI ~x = vtx y que hacemos coincidir el origen detiempos, la transformacin ms general tiene la forma

t = (v)[ f (v)x+ t],x = a(v)(x vt),y = y, z = z,

donde a, y f dependen solo de v. Introducimos estas relaciones en la ecuacin(2.2) y haciendo uso de (2.1), obtenemos:

(c22 f 2 a2 + 1)(x2 x1)2 + (c22 a2v2 c2)(t2 t1)2+ 2(c22 f + a2v)(x2 x1)(t2 t1) = 0

Dado que a,, f no dependen de las posiciones o tiempos, cada trmino debe anu-larse por separado, lo que implica que

f = vc2, a = =

11 v2/c2 ,

de forma que podemos concluir que la relacin (2.1) es invariante bajo las llamadastransformaciones de Lorentz:

t = [t (v/c2)x],x = (x vt),y = y, z = z.

Si SRI se mueve con una velocidad ~v arbitraria, entonces las transformacionesde Lorentz adquieren la forma

t = (t c2~v ~x), (2.3a)~x = ~x+ ( 1)(v ~x)v ~vt, (2.3b)

donde 1 =1~v2/c2 y v = ~v/v siendo v = |~v|.

Ejercicio 2.1.1 Obtener estas expresiones.

Ejercicio 2.1.2 Demostrar que el resultado de aplicar dos transformaciones de Lo-rentz depende en general del orden, es decir, que a diferencia de las transforma-ciones de Galileo, las transformaciones de Lorentz no conmutan.

Ejercicio 2.1.3 Demostrar que las transformaciones de Lorentz pueden escribirseen trminos de rotaciones hiperblicas.

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2.1.3. Adicin de velocidades

Sea ~V la velocidad de una partcula en SRI, ~V su velocidad de SRI y ~v lavelocidad de SRI con respecto a SRI. Diferenciando las ecuaciones (2.3) y teniendoen cuenta que ~V = d~x/dt, obtenemos

dt = (1 c2~v ~V)dt,d~x = [~V + ( 1)(v ~V)v ~v]dt.

Dividiendo ambas ecuaciones obtenemos la ley de adicin de velocidades:

~V =~V + ( 1)(v ~V)v ~v

(1 c2~v ~V) .

Es ilustrativo escribir las leyes de transformacin para la componente paralela V a~v y la componente perpendicular ~V de ~V = Vv+ ~V:

V =V v

1 c2vV, ~V =

~V(1 c2vV)

.

2.1.4. Elemento de lnea

Podemos definir el intervalo espaciotemporal entre dos sucesos (~x1, t1) y (~x2, t2)cualesquiera (no necesariamente conectados mediante una seal luminosa) comola cantidad s12 tal que

s212 = c2(t2 t1)2 + (~x2 ~x1)2.

Ejercicio 2.1.4 Demostrar que esta cantidad tambin es invariante bajo las trans-formaciones de Lorentz.

Resulta til introducir el elemento de lnea ds2 entre dos sucesos prximos (~x, t)y (~x+ d~x, t+ dt):

ds2 = c2dt2 + d~x2,que es invariante bajo las transformaciones de Lorentz.

Decimos que dos sucesos estn separados temporalmente o que su intervaloes de gnero tiempo cuando el cuadrado de su intervalo s2 es negativo. Entoncesexiste un sistema de referencia inercial en el que ambos suceso ocurren en el mismolugar pero en distintos instantes de tiempo.

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2.2. Espaciotiempo de Minkowski

Decimos que dos sucesos estn separados espacialmente o que su intervaloes de gnero espacio cuando el cuadrado de su intervalo s2 es positivo. Entoncesexiste un sistema de referencia inercial en el que ambos suceso ocurren en el mismoinstante pero en distintos lugares.

Finalmente, decimos que el intervalo de dos sucesos es de gnero luz o nulocuando su intervalo s2 se anula. Entonces ambos sucesos estn conectados median-te una seal luminosa.

Es importante notar que esta clasificacin de los intervalos en gnero tiempo,espacio o luz es independiente del sistema de referencia inercial elegido y, portanto, es absoluta.

En cada instante de tiempo, llamaremos sistema de referencia propio de unapartcula al sistema de referencia inercial cuya velocidad coincide con la de la par-tcula. El tiempo propio de una partcula es el tiempo medido por un reloj quese mueve con la partcula, es decir, el tiempo medido en el sistema de referenciapropio. En trminos del tiempo tmedido en otro sistema de referencia con respectoal cual se mueve con una velocidad instantnea ~v, se puede escribir como

d =ds2/c2 = dt

1 1

c2d~x2

dt2= dt/.

El tiempo propio es siempre menor que el tiempo medido en cualquier otro sistemade referencia inercial.


2.2.1. Tensores

Dado un sistema de referencia inercial, las coordenadas de un suceso espacio-temnporal (t,~x) = (t, xi), i = 1, 2, 3, pueden considerarse como un cuadrivectorx = (ct, xi), = 0, 1, 2, 3, en un espacio cuadridimensional, de forma que el ele-mento de lnea entre dos sucesos prximos se puede escribir

ds2 = (dx0)2 +i(dxi)2

y que, como hemos visto, es invariante bajo transformaciones de Lorentz.

A la vista de la forma del elemento de lnea que nos indica de alguna forma ladistancia entre dos sucesos, introducimos el tensor mtrico

= diag[1, 1, 1, 1],

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cuyo inverso en sentido matricial (es decir, tal que = ) es

= diag[1, 1, 1, 1].Debe que notarse que la signatura de la mtrica espaciotemporal es diferente de laelegida en la mayora de la bibliografa presentada, si bien es la estndar para lacomunidad relativista. A mi juicio, esta signatura elimina algn signo negativo po-co natural en algunas definiciones, como la de momento relativista. As, podemosescribir el elemento de lnea de la siguiente forma:

ds2 = dxdx.

El conjunto de todas las transformaciones que dejan el elemento de lnea inva-riante es el grupo de Poincar y contiene los siguientes tipos de transformaciones:traslaciones en el espaciotiempo, reflexiones en espacio y tiempo y transformacio-nes de Lorentz ortocronas propias. Estas ltimas, a su vez, contienen transforma-ciones de Lorentz puras (boosts), como las que hemos estudiado, y rotaciones espa-ciales. Las transformaciones propias no contienen reflexiones. Llamaremos trans-formacin de Lorentz ortocrona propia a aquella que se puede obtener de formacontinua a partir de la unidad. A partir de ahora, solo consideraremos transforma-ciones ortocronas propias.

En trminos de matrices, es una transformacin de Lorentz si el elementode lnea no cambia al sustituir x por

x = x.

En estas ecuaciones y en el futuro, hemos seguido el convenio de sumacin deEinstein: los ndices repetidos, uno arriba y otro abajo, suponen una suma sobretodo el recorrido de los mismos.

Definicin de cuadrivector: es un cuadrivector contravariante si se transformabajo el grupo de Lorentz como el vector de posicin espaciotemporal x de unsuceso:

= .

Definimos tambin un vector covariante como aquel que se transforma de acuer-do con una transformacin de Lorentz inversa

= (1).

Finalmente, un tensor se transforma como vector contravariante o covariante encada uno de sus ndices. Un escalar no se transforma bajo una transformacin deLorentz, es decir, es un escalar si y solo si = .

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De la invariancia del elemento de lnea, obtenemos la expresin

= (2.4)

y multiplicando por 1 dos veces obtenemos

= (1)(1),

lo que nos indica que es realmente un tensor. Anlogamente, es fcil probarque y tambin son tensores.

Ejercicio 2.2.1 Probarlo.

El tensor mtrico permite establecer un isomorfismo entre los espacios vecto-riales de vectores covariantes y contravariantes, de manera que a cada vector con-travariante le asociamos de forma unvoca el vector covariante y viceversamediante las relaciones

= , = ,

de manera que0 = 0, i = ijj.

Ejercicio 2.2.2 Demostrar que (1) = .

Por tanto, el tensor mtrico se puede utilizar para subir y bajar ndices. Convie-ne notar que ij = ij y que los ndices espaciales (latinos) se suben y bajan tantocon la mtrica eucldea ij como con ij, gracias a que hemos escogido la signatura(,+,+,+).

Dado un tensor , llamamos contraccin de ndices a la operacin delclculo de su traza

= .

2.2.2. El tensor de Levi-Civita

Definimos el tensor de Levi-Civita como

e =

+1, si los ndices son una permutacin par de 01231, si los ndices son una permutacin impar de 01230, si hay dos ndices repetidos

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Debe notarse que e = e (en valor numrico; esta frmula no es cova-riante). Adems, el tensor de Levi-Civita es invariante bajo transformaciones deLorentz ortocronas propias. No lo es bajo reflexiones espaciales o temporales.

Ejercicio 2.2.3 Demostrarlo.

Contracciones del tensor de Levi-Civita:

ee = 4!, ee = 3! ,ee = 2! [], ee = 1!

[

].

Ejercicio 2.2.4 Obtener estas relaciones.

2.2.3. Hipersuperficies espaciales

Una hipersuperficie (tridimensional) es de gnero espacio si y solo si la se-paracin entre dos puntos cualesquiera de la superficie es espacial. Esta condicines equivalente a exigir que la normal a la hipersuperficie sea de gnero tiempo entodo punto, es decir, n(x)n(x) = 1 x .


Recordemos que una hipersuperficie est definida en implcitas medianteF(x) = 0 y que la normal es n = F/|F|. Puesto que n es un vector, el carcterespacial de una hipersuperficie se preserva bajo transformaciones de Lorentz. As,las hipersuperficies de t =constante son de gnero espacio pues n = (1, 0, 0, 0) ynn = 1.

Ntese que, bajo transformaciones de Lorentz, las hipersuperficies definidas port =constante no se transforman en hipersuperficies definidas por t =constante.

2.2.4. Derivacin

Definimos el gradiente cuadridimensional como el operador que actuando so-bre funciones da un vector covariante cuyas componentes son:

f = f/x = (0 f , i f ) = (c1t f , ~ f ).

Ejercicio 2.2.6 Demostrar que se comporta como un vector covariante.

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La versin contravariante del gradiente es:

= = /x.

Finalmente, introducimos el operador de DAlembert, como el laplaciano cua-dridimensional con la mtrica

= = c22t + ~2.

Este operador se transforma como un escalar.


2.2.5. Integracin

2.2.5.1. Integracin a lo largo de una curva

Sea x(s) una curva en el espaciotiempo de Minkowski. Entonces el elementode lnea esta dado por el vector tangente infinitesimal

dx = sxds.

2.2.5.2. Intregracin sobre una superficie bidimensional

Sea x(u1, u2) una superficie bidimensional. El elemento de rea estar deter-minado por el rea del paralelogramo formado por los dos vectores tangentes ca-nnicos infinitesimales dv1 = 1x

du1 y dv2 = 2xdu2. De la geometra elemental,

sabemos que el rea de tal paralelogramo es igual al producto de los mdulos delos dos vectores y por el seno del ngulo que forman:

dS = |dv1||dv2| sen ,

donde cos = dv1dv2/|dv1||dv2|. Esta expresin para el rea infinitesimal se pue-de reescribir de la siguiente manera:

dS2 = |dv1|2|dv2|2(1 cos2 ) = [|dv1|2|dv2|2 (dv1dv2)2]= 2[

]dv1dv

2dv1dv2 = e

edv1dv

2dv1dv2

= dSdS,

dondedS = edv

1dv

2

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es el elemento de rea. Notemos que este tensor antisimtrico es perpendicular a lasuperficie en el sentido de que, para cualquier vector tangente z a la superficie, severifica que zdS = 0. Convencionalmente se representa el elemento de superficiemediante este tensor perpendicular y no mediante el paralelo

dS = 12edS,

que es anlogo al elemento de lnea dx.

Aunque en esta derivacin del elemento de superficie hemos supuesto impl-citamente que los vectores tangentes no son de gnero luz, la expresin final estambin vlida en este caso.

2.2.5.3. Integracin en una hipersuperficie

Sea x(u1, u2, u3) una hipersuperficie tridimensional en el espaciotiempo deMinkowski. De forma enteramente anloga al caso anterior, llegamos fcilmente ala conclusin de que la (hiper)rea (el volumen) infinitesimal d del paraleleppedoformado por los tres vectores tangentes cannicos infinitesimales dv1 = 1x

du1,dv2 = 2x

du2 y dv3 = 3xdu3 se puede escribir de la siguiente manera:

d2 = dd,

donded = nd = edv1dv

2dv

3 .

Ejercicio 2.2.8 Deducir estas expresiones.

Notemos que este vector es perpendicular a la superficie en el sentido de quepara cualquier vector tangente z a la superficie zd = 0. Convencionalmentese representa el elemento de superficie mediante este vector perpendicular y nomediante el tensor antisimtrico dual

d = 12ed,

que es paralelo a la hipersuperficie y, por tanto, anlogo al elemento de lnea dx.

Ejercicio 2.2.9 Demostrar que d0 = d3~x.

Aunque, en esta derivacin del elemento de superficie, hemos supuesto impl-citamente que los vectores tangentes no son de gnero luz, la expresin final estambin vlida en este caso.

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2.2.5.4. Integracin en un volumen cuadrimensional

El elemento de volumen cuadrimensional es

d = dx0dx1dx2dx3 = d4x.

Ejercicio 2.2.10 Demostrar que el elemento de volumen es invariante bajo el grupode Poincar.

2.2.5.5. Generalizaciones de los teoremas integrales de Gauss y de Stokes

Sea M una regin cuadrimensional, M su frontera tridimensional y T uncampo vectorial. Entonces

MTd4x =

M

Td.

Sea una hipersuperficie tridimensional, su frontera bidimensional y T

un campo tensorial antisimtrico. EntoncesTd =

12

TdS.

Sea S una superficie bidimensional, S su frontera unidimensional y T uncampo vectorial. Entonces

SeTdS =

S

Tdx.

2.2.6. Cuadrivelocidad y cuadriaceleracin

Definimos la cuadrivelocidad como el vector

u =dx

d x.

Denotaremos las derivadas con respecto al tiempo propio con un punto: d/d.A menudo, compararemos un sistema de referencia inercial cualquiera con el

sistema de referencia propio cuya velocidad ~v con respecto al sistema de referenciainercial original es la misma que la de la partcula. As, u = (c,~v). Obviamente,en el sistema de referencia propio, u0 = (c,~0). Puesto que es invariante y x

setransforma como un vector, u tambin es un vector.

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Definimos el vector aceleracin b como la derivada de la velocidad:

b =du

d=

d2x

d2.

Teniendo en cuenta que d/dt = 3~v ~a/c2, es fcil ver queb = (4~v ~a/c,4(~v ~a)~v/c2 + 2~a)

y quebb = 4[2(~v ~a)2/c2 +~a2] 0.

Ejercicio 2.2.11 Obtener estas expresiones.

Ejercicio 2.2.12 Deducir la ley de transformacin Lorentz de la aceleracin (~a = av+~a;~V es la velocidad de la partcula):

a =a

3(1 c2vV)3

~a =~a

2(1 c2vV)2+

va~Vc22(1 c2vV)3

.

Ejercicio 2.2.13 Demostrar que la velocidad y la aceleracin satisfacen las siguien-tes propiedades:

uu = c2, ub = 0,es decir, el cuadrado de la velocidad es un invariante constante y la velocidad y laaceleracin son perpendiculares.

Ejercicio 2.2.14a) Demostrar que todo vector perpendicular a uno de gnero tiempo es de gneroespacio.b) Demostrar que los vectores perpendiculares a un vector de gnero espacio onulo pueden ser de gnero espacio, nulo o tiempo.

2.3. Grupo de Poincar

2.3.1. Grupo de traslaciones

El grupo de traslaciones est compuesto por todas las transformaciones de laforma

x = x + ,

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donde es un cuadrivector constante. Por tanto, una traslacin equivale a un des-plazamiento del origen de coordenadas. Consideremos una traslacin infinitesimal(con muy pequeo)

x = x x = .Es claro que cualquier traslacin se puede obtener mediante a un aplicacin sucesi-va de traslaciones infinitesimales. Si introducimos el operador P = i entoncespodemos escribir

x = = iPx.

Finalmente, cualquiera traslacin finita se puede obtener mediante la integra-cin sobre de esta ecuacin:

x = eiPx.

Los operadores P son los generadores infinitesimales del grupo de traslacionesy estn ntimamente relacionados con el momento total del sistema, como vere-mos1. Estos operadores obviamente conmutan:

[P, P] = 0.

2.3.2. Grupo de Lorentz

El grupo de Lorentz est formado por todas las matrices que satisfacen laecuacin (2.4) y que, en particular, implica que det() = 1. Puesto que la trans-formacin unidad tiene determinante 1, todas las transformaciones propias tienentambin determinante 1. Adems, no pueden contener reflexiones ni temporales niespaciales y, por tanto, 00 > 0. Por otro lado, la ecuacin (2.4) proporciona die-cisis condiciones sobre las diecisis posibles componentes de . Sin embargo, esclaro que no todas son independientes: por ejemplo, la ecuacin para , = 0, 1es la misma que para , = 1, 0. Las ecuaciones independientes son las cuatroque corresponden a = ms las tres correspondientes , = 0, i ms las dos de, = 1, i 2 ms , = 2, 3. En total son diez ecuaciones para diecisis parme-tros. Nos quedan seis parmetros libres.

La expresin de un boost (una transformacin de Lorentz pura) asociado a una

1 En esta seccin, se introducirn los generadores infinitesimales del grupo de Poincar quellamaremos momento y momento angular, si bien estos operadores no tendrn las dimensionesadecuadas. Sin embargo, bastar con multiplicarlos por una constante con dimensiones de momentoangular como }, para obtener operadores con las dimensiones adecuadas.

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velocidad ~v es fcil de obtener a partir de (2.3):

00 = , 0i = vi/c, i 0 = vi/c,

i j = ij + ( 1)vivj/v2.

Por tanto, la velocidad proporciona tres de los seis parmetros que determinan unatransformacin de Lorentz general. Los otros tres parmetros corresponden a lasrotaciones espaciales.

Consideremos una transformacin de Lorentz infinitesimal

= +

.

Teniendo que en cuenta el resultado del Ejercicio 2.2.2,

(1) = = +

y, por tanto, hasta primer orden en ,

=

(1) =

+

+

.

As, podemos concluir que el tensor es antisimtrico y, como tal, tiene seiscomponentes independientes.

Para boosts infinitesimales con velocidades vi, las nicas componentes no nulasson

0i = i0 = vi/c i.En las rotaciones infinitesimales, solo intervienen las componentes espaciales. Portanto, podemos escribir las nicas componentes no nulas

ij = eijkk,

donde i son los tres parmetros asociados a las rotaciones y que interpretaremoscomo los ngulos de rotacin alrededor de los tres ejes espaciales. As, para unatransformacin de Lorentz infinitesimal general, las componentes no nulas de son

0i = i0 = i, ij = eijkk.

Podemos describir las transformaciones de Lorentz en trminos de operadores,como la que que hemos utilizado en el caso de las traslaciones. Consideremos paraello la transformacin de Lorentz infinitesimal x = x. Si introducimos eloperador

L = xP xP = i(x x), (2.5)

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entonces, podemos escribir la transformacin de Lorentz infinitesimal como

x = i2Lx, (2.6)

como es fcil de comprobar.

Ejercicio 2.3.1 Comprobar esta expresin.

Los operadores L son los generadores infinitesimales del grupo de Lorentz yestn ntimamente relacionados con el momento angular orbital total del sistema,como veremos. Podemos escribir la transformacin de Lorentz infinitesimal (2.6)en trminos de los parmetros infinitesimales i y i:

x = i(0iL0i + 12ijLij)x = i

( iL0i +

12eijkkLij

)x

= i( iKi + kLk)x = i(~ ~L+ ~ ~K)x,donde hemos definido los nuevos operadores

Li =12eijkLjk, Ki = L0i,

que satisfacen las reglas de conmutacin

[Li, Lj] = iekijLk, [Li,Kj] = iekijKk, [Ki,Kj] = iekijLk.

La primera regla de conmutacin es la del momento angular, la segunda indica que~K es un vector (bajo rotaciones) y la ltima que los boosts no conmutan.

Ejercicio 2.3.2 Demostrar que, para cualquier vector unitario n,

(n ~L)3 = n ~L, (n ~K)3 = n ~K.

Integrando la ecuacin (2.6) sobre todos los parmetros , obtenemos la versinfinita:

x = exp( i2L

)x.

As, cualquier transformacin de Lorentz se puede escribir como x = x, donde

= exp( i2L

)= exp(i~ ~L+ i~ ~K),

con los parmetros i y i definidos como i = eijkjk/2 y i = 0i.Puesto que ~ son los parmetros de boost, deben ser funcin de la velocidad

del boost. Para obtener esta relacin, aplicamos una transformacin de Lorentz con~ = 0 y, haciendo uso del resultado del Problema 2.12, obtenemos

~ = v arctanh(v/c).

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Ejercicio 2.3.4 Haciendo uso de que x = x = x, probar que, si ~ = e1 y~ = 0,

() =

cosh sinh 0 0 sinh cosh 0 0

0 0 1 00 0 0 1

,

es decir, que un boost en la direccin x es una rotacin hiperblica en el plano t, x.Anlogamente, probar que para ~ = 0, ~ = e3,

() =

1 0 0 00 cos sen 00 sen cos 00 0 0 1

,

es decir, que una transformacin de Lorentz con estos parmetros es una rotacinalrededor del eje z.

Adems de los operadores L de momento angular orbital que hemos descritohasta ahora, existen otros operadores S que, aunque no admiten una descripcinen trminos de la posicin y del momento, es decir, de la derivada con respectoa la posicin, satisfacen las mismas reglas de conmutacin. Ms an, puesto queno dependen de la posicin, estos operadores S de espn conmutan con el opera-dor de momento angular orbital. As, podemos construir el operador de momentoangular total M que es la suma del momento angular orbital L y el espn omomento angular intrnseco S, cuyas reglas de conmutacin son obviamente lasya descritas.

Finalmente, las reglas de conmutacin entre los generadores de las traslacionesP y los generadores de las transformaciones de Lorentz son fciles de obtener yreflejan el hecho de que P es un vector bajo transformaciones de Lorentz.

Ejercicio 2.3.5 Obtener las reglas de conmutacin de todos los generadores delgrupo de Poincar.

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Ejercicio 2.3.6 Demostrar que las matrices

L1 =

0 0 0 00 0 0 00 0 0 i0 0 i 0

, L2 =

0 0 0 00 0 0 i0 0 0 00 i 0 0

, L3 =

0 0 0 00 0 i 00 i 0 00 0 0 0

,

K1 =

0 i 0 0i 0 0 00 0 0 00 0 0 0

, K2 =

0 0 i 00 0 0 0i 0 0 00 0 0 0

, K3 =

0 0 0 i0 0 0 00 0 0 0i 0 0 0

,proporcionan una representacin vectorial del grupo de Lorentz, es decir, que suactuacin sobre x es la misma,

Lopi x = (Lmati )

x, K

opi x

= (Kmati )x,

y que satisfacen las mismas reglas de conmutacin que los operadores ~L y ~K.

2.3.3. Operadores de Casimir

Los operadores de Casimir o, simplemente, casimires del grupo de Poincar sonaquellos operadores que conmutan con todos los elementos del grupo o, dicho deotra manera, que son invariantes bajo cualquier transformacin del grupo, es decir,bajo traslaciones y bajo transformaciones de Lorentz. Aunque no lo demostraremosaqu, el grupo de Poincar tiene dos casimires independientes. Cualquier otro sepuede escribir en trminos de ellos.

El operador momento P es invariante bajo traslaciones y es un vector bajotransformaciones de Lorentz. Por tanto, el operador

PP = = es un operador de Casimir puesto que es invariante bajo todo el grupo de Poincar.

Para encontrar sus autovalores, basta con imponer condiciones de contornoadecuadas sobre los campos (x) que definen nuestro sistema. Una condicinde contorno natural es que los sistemas tengan una extensin finita, es decir, que(t, xi = ) = 0. Mediante separacin de variables, obtenemos inmediatamenteun espectro continuo de autovalores m2c2 positivos (ver nota 1). Veremos que m esla masa del sistema.

Para encontrar otro casimir independiente, supongamos que el casimirPP 6= 0, es decir, que la masa m es no nula. Entonces, definimos el operador

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de Pauli-Lyubarskii

W =12ePM.

La parte orbital de este operador se anula ya que L xP y W ePxP = 0 porantisimetra. Por tanto, el operador de Pauli-Lyubarskii solo depende del operadordel espn:

W =12ePS.

Este operador conmuta con los generadores de traslaciones y es un vector bajotransformaciones de Lorentz. Por tanto, su cuadrado es un operador invariantebajo el grupo de Poincar. Si tomamos como sistema de referencia aquel en el laconfiguracin que define nuestro sistema no depende de su posicin global en elespacio (es decir, el sistema de centro de inercia), entonces Pi se anular en su ac-tuacin. Puesto que WW es un escalar Poincar, podemos evaluarlo en cualquiersistema de referencia inercial y, en particular, en el del centro de inercia. As,

WW = Wci,Wci = (Pci,0)2~S2 = (PP)~S2,

donde hemos definido el operador tridimensional de espn como

Si =12eijkSjk.

Los autovalores de este operador de Casimir son de la forma m2c2s(s+ 1), sien-do s un nmero semientero (conviene recordar que los autovalores del cuadradodel momento angular tienen esta forma).

Puesto que estos dos operadores P2 y W2 son invariantes bajo transforma-ciones de Poincar, su actuacin sobre la configuracin de un sistema dado, nosproporcionar informacin intrnseca sobre el sistema, es decir, independiente delsistema de referencia.

Si la masa es nula, entonces, adems de la relacin de ortogonalidad WP = 0,tenemos que PP = WW = 0 y, por tanto, los vectores W y P son propor-cionales. Si llamamos helicidad h al operador que establece la proporcionalidad,entonces tenemos W = hP. El clculo de la helicidad es sencillo: puesto queW0 = ~P ~S = hP0, obtenemos inmediatamente que

h = ~P ~S/P0.De las componentes espaciales W i del vector de Pauli-Lyubarskii, obtenemos elmismo valor de h, como caba esperar. En efecto,

W i = P0Si + eijkPjS0k = hPi.

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2.4. Dinmica relativista

Multiplicando por Pi y teniendo en cuenta que (P0)2 = ~P2, obtenemos el resultadodeseado. La helicidad es un escalar bajo el grupo de Poincar puesto que W y P

son vectores bajo el grupo de Lorentz e invariantes bajo traslaciones.


2.4.1. Principio variacional

La accin de una partcula es

S = 21

L(, x, x)d,

donde L es una funcin del tiempo propio y de las posiciones espaciotemporalesllamada lagrangiano.

Principio de accin estacionaria: las trayectorias fsicas son aquellas cu-ya accin es estacionaria bajo variaciones que no afectan a las posicionesinicial y final.

Las ecuaciones del movimiento se obtienen mediante la condicin de que laaccin sea estacionaria bajo cambios infinitesimales de las posiciones x tales quese anulen en 1,2. La variacin de la accin es:

S = 21

(Lx

x +Lx

x)d

= 21

(Lx

dd

Lx

)xd +

[Lx

x]21

.

Por tanto, las ecuaciones de movimiento son las ecuaciones de Euler-Lagrange

Sx

=Lx

dd

Lx

= 0.

En el caso de un sistema con varias partculas, el lagrangiano ser de la formageneral L(, xn , x

n) y las ecuaciones de Euler-Lagrange sern

Sxn

=Lxn

dd

Lxn

= 0, n = 1, 2 . . . .

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2.4.2. Cantidades conservadas. Teorema de Noether

Si la variacin de la accin en un entorno de una trayectoria fsica bajo unavariacin continua de las posiciones xn es nula, entonces la cantidad

Q =n

Lxn

xn

se conserva, es decir, dQ/d = 0.

Demostracin. Hemos visto que la variacin general de la accin de una trayec-toria fsica (que satisface las ecuaciones de Euler-Lagrange) es

S = [Q]21 .

Por tanto, S = 0 si y solo si Q(1) = Q(2) 1, 2, es decir, si y solo si Q nodepende de .

2.4.2.1. Cuadrimomento

Supongamos que la accin de una sola partcula no depende explcitamente deposicin y, por tanto, que es invariante bajo desplazamientos constantes x = .Entonces, Q = (L/x) es constante y tambin lo es

p Lx

.

En efecto,

p =dd

Lx

=Lx

,

donde hemos usado las ecuaciones de movimiento. Si el lagrangiano no dependede las posiciones espaciotemporales, entonces el cuadrimomento se conserva.

As, el cuadrimomento es la cantidad conservada asociada a la invariancia bajotraslaciones espaciotemporales.

Para un sistema de varias partculas, el tratamiento es completamente anlogo.Si la accin es invariante bajo traslaciones, el cambio de la accin bajo la transfor-macin xn = es nula y, por tanto, Q = n p

n es constante. Consecuente-

mente, tambin el momento total

P =npn

se conserva en la evolucin.

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La cantidad cP0 tiene dimensiones de energa y se conserva si la accin es in-variante bajo traslaciones temporales constantes x0n = 0. Luego la energa totaldel sistema (por definicin, la cantidad conservada asociada a la invariancia bajocambios del origen de tiempos) es E = cP0.

Anlogamente, pi tiene dimensiones de momento y se conserva si la accines invariante bajo traslaciones espaciales constantes xin = i. Por tanto, Pi es eltrimomento total del sistema (por definicin, la cantidad conservada asociada a lainvariancia bajo cambios del origen del sistema de referencia).

2.4.2.2. Momento angular

Toda transformacin de Lorentz se puede escribir como una composicin detransformaciones de Lorentz infinitesimales, como ya hemos visto:

= +

.

As, una transformacin Lorentz infinitesimal de las posiciones adquiere la forma:

x = x.

Si la accin es invariante Lorentz, que debera serlo, entonces existe una cantidadconservada asociada

Q =Lx

x =Lx

x = 12M.

donde hemos definido el momento angular asociado a las transformaciones deLorentz

M = xp xp,que es tambin una cantidad conservada. El momento angular asociado a las rota-ciones se puede extraer inmediatamente de M. En efecto,

Jk =12eijkMij

es conservado si la accin es invariante bajo rotaciones espaciales.

El momento angular adquiere especial relevancia en sistemas con ms de unapartcula. En este caso, si la accin es invariante bajo transformaciones de Lorentzxn =

xn, existe una cantidad conservada

Q = 12

n(xnpn xnpn).

Por tanto, tambin se conserva el momento angular total

M =n(xnpn xnpn).

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2.4.2.3. Centro de inercia

Dado que, en un sistema aislado, el lagrangiano no depende de x0n, podemoselegir x0n = x0. En un sistema aislado, se conserva, adems, el momento angularM y la energa P0; en particular, se conserva M0i/P0:

M0i/P0 =n(x0np

in xinp0n)/P0 = x0pi/P0 xi = constante,

donde xi = n xinp0n/P0 es, por definicin, la posicin del centro de inercia, que semueve con velocidad constante. Debe notars

electrodinámica clásica (garay)

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