El sistema de coordenadas polares

Presentamos el sistema de coordenadas polares. Para esto, fijamos un punto del plano que lo denotaremos con O y lo llamaremos polo u origen. Partiendo de O construimos un rayo (semirrecta) al que llamaremos eje polar. Es usual tomar este rayo horizontalmente, coincidente con semieje positivo de las abscisas, del sistema cartesiano. A cada par ordenado de números reales (r, Ѳ) asociamos un único punto P del plano, del modo siguiente: construimos el rayo del plano que partiendo de O forman un ángulo Ѳ (en radianes) con el eje polar como lado inicial. Para construir este rayo nos movemos en sentido contrario a las agujas del reloj si Ѳ es positivo, y en el sentido de las agujas si Ѳ es negativo. Consideramos tres casos:

1. Si r>0, P es el punto que esta sobre el lado terminal del ángulo Ѳ a una distancia igual a r del polo.

2. Si r<0, P es el punto que está en el rayo opuesto al lado terminal del ángulo y que está a una distancia igual |r|=−r del polo.

3. Si r=0, P es el polo, o sea P=0

Esta correspondencia entre el par ordenado (r, Ѳ) y con el punto P la denotaremos así P(r, Ѳ), y diremos que r y Ѳ son coordenadas polares de P.

Conversión de coordenadas

El siguiente teorema nos da las fórmulas que nos permiten cambiar coordenadas polares a rectangulares y viceversa.Teorema: si las coordenadas polares y rectangulares de un punto son (r, Ѳ) y (x, y), entonces

1. x=r cosѲ 2. y=rsinѲ3. r2=x2+ y2

4. tanѲ= yx

Gráficos de Ecuaciones Polares

El grafico de una ecuación polar F(r, Ѳ)=0 está conformado por todos los puntos P del plano que tienen al menos una representación polar (r, Ѳ) que satisface la ecuación. Una parte muy importante de ecuaciones la constituyen las funciones

r=f (Ѳ)

Teniendo en cuenta que las coordenadas (r, Ѳ) y ((−1)nr , Ѳ+nπ) representan al mismo punto, la gráfica de r=f (Ѳ) es la misma que la de:

(−1)nr=f (Ѳ+nπ ) , n∈Z

Recordemos que, en coordenadas rectangulares, si c>0, la gráfica de y=f(x-c) se obtiene de la gráfica de y=f(x) trasladándola c unidades a la derecha, y la gráfica de y=f(x+c) se obtiene de la gráfica de y=f(x) trasladándola c unidades a la izquierda. Este criterio, en términos de coordenadas polares dice:Si α>0, entonces para obtener la gráfica de:1. r=f (Ѳ−α ) rotar alrededor del polo la gráfica de r=f (Ѳ) α radianes en

sentido anti horario.2. r=f (Ѳ+α ) rotar alrededor del polo la gráfica de r=f (Ѳ) α radianes en

sentido horario.

Criterios de simetría en coordenadas polaresEl grafico de una ecuación polar es simétrica respecto al1. Eje polar si al reemplazar (r, Ѳ) por (-r,-Ѳ) o (r, π-Ѳ) en la ecuación

se obtiene, una ecuación equivalente.

2. Eje π2 si al reemplazar (r,Ѳ) por (r, π-Ѳ) o (-r, -Ѳ)