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El hiperespacio de los subcontinuos T -cerrados
Marco Antonio Ruiz Sanchez
Universidad Autonoma del Estado de Mexico
2016
Marco Antonio Ruiz Sanchez El hiperespacio de los subcontinuos T -cerrados
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Preliminares
Definicion
Un continuo X es un espacio metrico, conexo, compacto y novacıo. Un subcontinuo es un subconjunto de X el cual es uncontinuo.
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Preliminares
Definicion
Un continuo X es un espacio metrico, conexo, compacto y novacıo. Un subcontinuo es un subconjunto de X el cual es uncontinuo.
La funcion T de Jones
El profesor F. Burton Jones definio la funcion T para un continuoX como sigue: Si A ⊂ X , entonces
T (A) = {x ∈ X : para cada subcontinuo W de X tal quex ∈ Int(W ), tenemos que W ∩ A 6= ∅ }.
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Preliminares
La funcion T de Jones
Si X es un continuo y A ⊂ X , entonces
T (A) = X \ {x ∈ X : existe un subcontinuo W de X tal quex ∈ Int(W ) ⊂ W ⊂ X \ A}.
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Preliminares
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Preliminares
A
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Preliminares
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x
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Preliminares
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Preliminares
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Preliminares
Ax
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Preliminares
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Preliminares
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Preliminares
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Preliminares
A x
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Preliminares
A x
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Preliminares
A x
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Preliminares
A T(A)
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Propiedades
Propiedades
Sea X un continuo. Sean A,B subconjuntos de X , entonces
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Propiedades
Propiedades
Sea X un continuo. Sean A,B subconjuntos de X , entonces
1 A ⊂ T (A),
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Propiedades
Propiedades
Sea X un continuo. Sean A,B subconjuntos de X , entonces
1 A ⊂ T (A),
2 Si A ⊂ B , entonces T (A) ⊂ T (B),
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Propiedades
Propiedades
Sea X un continuo. Sean A,B subconjuntos de X , entonces
1 A ⊂ T (A),
2 Si A ⊂ B , entonces T (A) ⊂ T (B),
3 T (A) es cerrado en X ,
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Propiedades
Propiedades
Sea X un continuo. Sean A,B subconjuntos de X , entonces
1 A ⊂ T (A),
2 Si A ⊂ B , entonces T (A) ⊂ T (B),
3 T (A) es cerrado en X ,
4 Si A es un subcontinuo, entonces T (A) es tambien unsubcontinuo de X .
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Conjuntos T -cerrados
Definicion
Dado un continuo X , un subconjunto A de X es un conjuntoT -cerrado si T (A) = A.
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Ejemplos
A
B
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Ejemplos
X
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Hiperespacio T -cerrado
El Hiperespacio de los subcontinuos T -cerrados
Dado un continuo X , consideramos el siguiente hiperespacio
CT (X ) = {A ∈ C (X ) : A es T -cerrado }.
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Hiperespacio T -cerrado
Continuo descomponible
Un continuo es descomponible si puede ser escrito como la unionde dos subcontinuos propios. Decimos que es indescomponible sino es descomponible.
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Hiperespacio T -cerrado
Continuo descomponible
Un continuo es descomponible si puede ser escrito como la unionde dos subcontinuos propios. Decimos que es indescomponible sino es descomponible.
Teorema
Sea X un continuo. X es indescomponible si y solo si T (p) = X
para cada p ∈ X .
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Hiperespacio T -cerrado
Continuo descomponible
Un continuo es descomponible si puede ser escrito como la unionde dos subcontinuos propios. Decimos que es indescomponible sino es descomponible.
Teorema
Sea X un continuo. X es indescomponible si y solo si T (p) = X
para cada p ∈ X .
Corolario
T (A) = X para cada subconjunto de X .
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Hiperespacio T -cerrado
Continuo descomponible
Un continuo es descomponible si puede ser escrito como la unionde dos subcontinuos propios. Decimos que es indescomponible sino es descomponible.
Teorema
Sea X un continuo. X es indescomponible si y solo si T (p) = X
para cada p ∈ X .
Corolario
T (A) = X para cada subconjunto de X .
Ejemplo
Si X es un continuo indescomponible, entonces CT (X ) = {X}.
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Hiperespacio T -cerrado
Localmente conexo
Sea X un continuo, decimos que X es localmente conexo si paracada punto x ∈ X y cada abierto U de X con x ∈ U, existe unabierto conexo V tal que x ∈ V ⊂ U.
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Hiperespacio T -cerrado
Ejemplo
X es localmente conexo si y solo si CT (X ) = C (X ).
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Hiperespacio T -cerrado
Ejemplo
Sean {Yn}∞
n=1 y {Zn}∞
n=1 dos sucesiones de continuosindescomponibles que cumplen:
1 Yn → {P},
2 Yn ∩ Ym 6= ∅ si y solo si |m − n| ≤ 1,
3 |Yn ∩ Yn+1| = 1 para cada n ∈ N,
4 Zn → {P},
5 Zn ∩ Zm 6= ∅ si y solo si |m − n| ≤ 1,
6 |Zn ∩ Zn+1| = 1 para cada n ∈ N,
7 (⋃
∞
n=1 Yn) ∩ (⋃
∞
n=1 Zn) = ∅
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Hiperespacio T -cerrado
Ejemplo
Sean {Yn}∞
n=1 y {Zn}∞
n=1 dos sucesiones de continuosindescomponibles que cumplen:
1 Yn → {P},
2 Yn ∩ Ym 6= ∅ si y solo si |m − n| ≤ 1,
3 |Yn ∩ Yn+1| = 1 para cada n ∈ N,
4 Zn → {P},
5 Zn ∩ Zm 6= ∅ si y solo si |m − n| ≤ 1,
6 |Zn ∩ Zn+1| = 1 para cada n ∈ N,
7 (⋃
∞
n=1 Yn) ∩ (⋃
∞
n=1 Zn) = ∅
consideramos el continuo definido porX = (
⋃∞
n=1 Yn) ∪ (⋃
∞
n=1 Zn) ∪ {P}.
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Ejemplo
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Ejemplo
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Ejemplo
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Ejemplo
CT (X )
CT (X ) = {{P},⋃
∞
n=1 Yn ∪ {P},⋃
∞
n=1 Zn ∪ {P}}
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Resultados
Definicion
Una compactacion del rayo R = (0, 1] es un espacio compacto X
que contiene una copia topologica R ′ de R la cual es unsubconjunto denso en X . Al conjunto Z = X \ R ′ lo llamamos elresiduo de la compactacion.
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Ejemplo
Z
X
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Ejemplo
Z
X
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Ejemplo
Z
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Ejemplo
Z
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Ejemplo
Z
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Resultados
Lema
Sea Z un continuo. Si X es una compactacion de R = (0, 1] conresiduo Z , entonces
CT (X ) = C (R) ∪ {Z} ∪ {A ∈ C (X ) : A es homeomorfo a X}
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Resultados
Continuo de Elsa
Decimos que X es un continuo de Elsa, si X es la compactaciondel rayo R con residuo el arco J.
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Resultados
Continuo de Elsa
Decimos que X es un continuo de Elsa, si X es la compactaciondel rayo R con residuo el arco J.
Teorema
Si X es un continuo de Elsa, entonces CT (X ) es denso en C (X ).
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GRACIAS.
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Bibliografıa
D. P. Bellamy, Some Topics in Modern Continuo Theory, in
Continua Docompositions Man- ifolds, (R. H. Bing, W. T.Eaton And M. P. Starbird, eds.), University of Texas Press,(1983), 1-26
W. Lewis, Continuous Curves of Pseudo-arcs, Houston J.Math., 11 (1985), 91-99.
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