ejercicos de calculo 4 guia problemas prouestos
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EJERCICIOS PROPUESTOS DE CALCULO 4MSC. JOSE QUINTANATRANSCRIPT
Universidad José Carlos MariateguiCarrera Profesional de Ingeniería Civil
Guia 02 Cálculo IVMayo 2014
Determine la solución en cada ecuación diferencial de los problemas 1 al 24. Use la reducción de orden.Suponga un intervalo adecuado de validez.
1. y00 + 5y0 = 0; y1 = 1
2. y00 � y0 = 0; y1 = 1
3. y00 � 4y0 + y = 0; y1 = e2x
4. y00 + 2y0 + y = 0; y1 = xe�x
5. y00 + 16y = 0; y1 = cos 4x
6. y00 + 9y = 0; y1 = sen 3x
7. y00 � y = 0; y1 = coshx
8. y00 � 25y = 0; y1 = e5x
9. 9y00 � 12y0 + 4y = 0; y1 = e2x=3
10. 6y00 + y0 � y = 0; y1 = ex=3
11. x2y00 � 7xy0 + 16y = 0; y1 = x4
12. x2y00 + 2xy0 � 6y = 0; y1 = x2
13. xy00 + y0 = 0; y1 = lnx
14. 4x2y00 + y0 = 0; y1 = x1=2 lnx
15.�1� 2x� x2
�y00 + 2 (1 + x) y0 � 2y = 0; y1 = x+ 1
16.�1� x2
�y00 � 2xy0 = 0; y1 = 1
17. x2y00 � xy0 + 2y = 0; y1 = x sen (lnx)
18. x2y00 � 3xy0 + 5y = 0; y1 = x2 cos (lnx)
19. (1 + 2x) y00 + 4xy0 � 4y = 0; y1 = e�2x
20. (1 + x) y00 + xy0 � y = 0; y1 = x
21. x2y00 � xy0 + y = 0; y1 = x
22. x2y00�� 20y = 0; y1 = x�4
23. x2y00 � 5xy0 + 9y = 0; y1 = x3 lnx
24. x2y00 + xy0 + y = 0; y1 = cos (lnx)
Aplique el método de reducción para determinar una solución de la ecuación no homogénea dada enlos problemas 1 a 4. La función indicada, y1 (x), es una solución de la ecuación homogénea asociada.Determine una segunda solución de la ecuación homogénea y una solución particular de la ecuación nohomogenéa.
1. y00 � 4y = 2; y1 = e�2x
1
2. y00 + y0 = 1; y1 = 1
3. y00 � 3y0 + 2y = 5e3x; y1 = ex
4. y00 � 4y0 + 3y = x; y1 = ex
Problema para discusión:
a) Haga una demostración convincente de que la ecuación de segundo orden ay00 + by0 + cy = 0,a; b y c constantes siempre tiene cuando menos una solución de la forma y1 = em1x; donde m1
es una constante.
b) Explique por qué la ecuación diferencial en la parte (a). debe tener, en consecuencia,unasegunda solución de la forma y2 = em2x o de la forma y2 = xem1x donde m1 y m2 sonconstantes.
En los problemas de 1 a 36 determine la solución general de cada ecuación diferencial.
1. 4y00 + y0 = 0
2. 2x00 � 5y0 = 0
3. y00 � 36y = 0
4. y00 � 8y = 0
5. y00 + 9y = 0
6. 3y00 + y = 0
7. y00 � y0 � 6y = 0
8. y00 � 3y0 + 2y = 0
9. d2ydx2 + 8
dydx + 16y = 0
10. d2ydx2 � 10
dydx + 25y = 0
11. y00 + 3y0 � 5y = 0
12. y00 + 4y0 � y = 0
13. 12y00 � 5y0 � 2y = 0
14. 8y00 + 2y0 + y = 0
15. y00 � 4y0 + 5y = 0
16. 2y00 � 3y0 + 4y = 0
17. 3y00 + 2y0 + y = 0
18. 2y00 + 2y0 + y = 0
19. y000 � 4y00 � 5y0 = 0
20. 4y000 + 4y00 + y0 = 0
21. y000 � y = 0
22. y000 � 5y00 = 0
23. y000 � 5y00 + 3y0 � 9y = 0
24. y000 + 3y00 � 4y0 + 12y = 0
2
25. y000 + y00 � 2y = 0
26. y000 � y00 � 4y = 0
27. y000 + 3y00 + 3y0 + y = 0
28. y000 � 6y00 + 12y0 � 8y = 0
29. d4ydx4 +
d3ydx3 +
d2y
dx2 = 0
30. d4ydx4 � 2
d2ydx2 + y = 0
31. 16 d4ydx4 + 24
d2ydx2 + 9y = 0
32. d4ydx4 � 7
d2ydx2 � 18y = 0
33. d5ydx5 � 16
dydx = 0
34. d5ydx5 � 2
d4ydx4 + 17
d3ydx3 = 0
35. d5ydx5 + 5
d4ydx4 � 2
d3ydx3 � 10
d2ydx2 +
dydx + 5y = 0
36. 2 d5ydx5 � 7
d4ydx4 + 12
d3ydx3 + 8
d2ydx2 = 0
En los problemas 1 a 16 resuelva cada ecuación diferencial, sujeta a las condiciones iniciales indicadas.
1. y00 + 16y = 0; y (0) = 2; y0 (0) = �2
2. y00 � y = 0; y (0) = y0 (0) = 1
3. y00 + 6y0 + 5y = 0; y (0) = 0; y0 (0) = 3
4. y00 � 8y0 + 17y = 0; y (0) = 4; y0 (0) = �1
5. 2y00 � 2y0 + y = 0; y (0) = �1; y0 (0) = 0
6. y00 � 2y0 + y = 0; y (0) = 5; y0 (0) = 10
7. y00 + y0 + 2y = 0; y (0) = y0 (0) = 0
8. 4y00 � 4y0 � 3y = 0; y (0) = 1; y0 (0) = 5
9. y00 + 3y0 + 2y = 0; y (1) = 0; y0 (1) = 1
10. y00 + y = 0; y��3
�= 0; y0
��3
�= 2
11. y000 + 12y00 + 36y0 = 0; y (0) = 0; y0 (0) = 1; y00 (0) = �7
12. y000 + 2y00 � 5y0 � 6y = 0; y (0) = y0 (0) = 0; y00 (0) = 1
13. y000 � 8y = 0; y (0) = 0; y0 (0) = �1; y00 (0) = 0
14. d4ydx4 = 0; y (0) = 2; y
0 (0) = 3; y00 (0) = 4; y000 (0) = 5
15. d4ydx4 � 3
d3ydx3 + 3
d2ydx2 �
dydx = 0; y (0) = y
0 (0) = 0; y00 (0) = y000 (0) = 1
16. d4ydx4 � y = 0; y (0) = y
0 (0) = y00 (0) = 0; y000 (0) = 1
En los problemas de 1 a 4 resuelva la ecuación diferencial respectiva, sujeta a las condiciones inicialesseñaladas.
1. y00 � 10y0 + 25y = 0; y (0) = 1; y (1) = 0
3
2. y00 + 4y = 0; y (0) = 0; y (�) = 0
3. y00 + y = 0; y0 (0) = 0; y0��2
�= 2
4. y00 � y = 0; y (0) = 1; y0 (1) = 0
5. ¿Qué condiciones deben llenar los coe�cientes constantes a; b y c para garantizar que todas lassoluciones de la ecuación diferencial de segundo orden ay00 + by0 + cy = 0 sean acotadas en elintervalo [0;1)?:
En los problemas 1 a 26 resuelva las ecuaciones diferenciales por coefícientes indeterminados.
1. y00 + 3y0 + 2y = 6
2. 4y00 + 9y = 15
3. y00 � 10y0 + 25y = 30x+ 3
4. y00 + y0 � 6y = 2x
5. 14y00 + y0 + y = x2 � 2x
6. y00 � 8y0 + 20y = 100x2 � 26xex
7. y00 + 3y = �48x2e3x
8. 4y00 + 4y0 � 3y = cos 2x
9. y00 � y0 = �3
10. y00 + 2y0 = 2x+ 5� e�2x
11. y00 � y0 + 14y = 3 + e
x=2
12. y00 � 16y = 2e4x
13. y00 + 4y = 3 sen 2x
14. y00 + 4y =�x2 � 3
�sen 2x
15. y00 + y = 2x senx
16. y00 � 5y0 = 2x3 � 4x2 � x+ 6
17. y00 � 2y0 + 5y = ex cos 2x
18. y00 � 2y0 + 2y = e2x (cosx� 3 senx)
19. y00 + 2y0 + y = senx+ 3 cos 2x
20. y00 + 2y0 � 24y = 16 (x+ 2) e4x
21. y000 � 6y00 = 3� cosx
22. y000 � 2y00 � 4y0 + 8y = 6xe2x
23. y000 � 3y00 + 3y0 � y = x+ 4ex
24. y000 � y00 � 4y0 + 4y = 5� ex + e2x
25. y(4) + 2y00 + y = (x� 1)2
26. y(4) � y00 = 4x+ 2xe�x
4
En los problemas 1 a 10, resuelva la ecuación diferencial respectiva, sujeta a las condiciones inicialesindicadas.
1. y00 + 4y = �2; y��8
�= 1
2 ; y0 ��
8
�= 2
2. 2y00 + 3y0 + 2y = 14x2 � 4x� 11; y (0) = 0; y0 (0) = 0
3. 5y00 + y0 = �6x; y (0) = 0; y0 (0) = �10
4. y00 + 4y0 + 4y = (3 + x) e�2x; y (0) = 2; y0 (0) = 5
5. y00 + 4y0 + 5y = 35e�4x; y (0) = �3; y0 (0) = 1
6. y00 + y = coshx; (0) = 2; y0 (0) = 12
7. d2xdt2 + w
2x = F0 senwt; x (0) = 0; x0 (0) = 0
8. d2xdt2 + w
2x = F0 cos yt; x (0) = 0; x0 (0) = 0
9. y000 � 2y00 + y0 = 2� 24ex + 40e5x; y (0) = 12 ; y
0 (0) = 52 ; y
00 (0) = � 92
10. y000 + 8y = 2x� 5 + 8e�2x; y (0) = �5; y0 (0) = 3; y00 (0) = �4
En los problemas 1 y 3, resuelva la ecuación diferencial sujeta a las condiciones en la frontera indicadas.
1. y00 + y = x2 + 1; y (0) = 5; y (1) = 0
2. y00 � 2y0 + 2y = 2x� 2; y (0) = 0; y (�) = �
3. Muchas veces, la función g(x) es discontinua en las aplicaciones. Resuelva el problema de valoresiniciales
y00 + 4y = g (x) ; y (0) = 1; y0 (0) = 2;
en donde g (x) =
�senx; 0 � x � �
20; x > �
2
[Sugerencia: resuelva el problema en los dos intervalos y después determine una solución tal que yy y0 sean continuas en x = �=2:]
En los problemas 1 a 10 escriba la ecuación diferencial dada en la forma L (y) = g (x) ; donde L es unoperador diferencial lineal con coe�cientes. Si es posible, factorice L:
1. 900y � 4y = senx
2. y00 � 5y = x2 � 2x
3. y00 � 4y � 12y = x� 6
4. 2y00 � 3y0 � 2y = 1
5. y000 + 10y00 + 250 = ex
6. y000 + 4y0 = ex cos 2x
7. y000 + 2y00 � 13y0 + 10y = xe�x
8. y000 + 4y00 + 3y0 = x2 cosx� 3x
9. y(4) + 8y0 = 4
10. y(4) � 8y00 + 16y =�x3 � 2x
�e4x
En los problemas 1 a 30 resuelva la respectiva ecuación diferencial por el método de los coe�cientesindeterminados.
5
1. y00 � 9y = 54
2. 2y00 � 7y0 + 5y = �29
3. y00 + y0 = 3
4. y000 + 2y00 + y0 = 10
5. y00 + 4y0 + 4y = 2x+ 6
6. y00 + 3y0 = 4x� 5
7. y000 + y00 = 8x2
8. y00 � 2y0 + y = x3 + 4x
9. y00 � y0 � 12y = e4x
10. y00 + 2y0 + 2y = 5e6x
11. y00 � 2y0 � 3y = 4ex � 9
12. y00 + 6y0 + 8y = 3e�2x + 2x
13. y00 + 25y = 6 senx
14. y00 + 4y = 4 cosx+ 3 senx� 8
15. y00 + 6y0 + 9y = �xe4x
16. y00 + 3y0 � 10y = x (ex + 1)
17. y00 � y = x2ex + 5
18. y00 + 2y0 + y = x2e�x
19. y00 � 2y0 + 5y = ex senx
20. y000 + y0 + 14y = e
x (sen 3x� cos 3x)
21. y00 + 25y = 20 sen 5x
22. y00 + y = 4 cosx� senx
23. y00 + y0 + y = x senx
24. y00 + 4y = cos2 x
25. y000 + 8y00 = �6x2 + 9x+ 2
26. y000 � y00 + y0 � y = xex � e�x + 7
27. y000 � 3y00 + 3y0 � y = ex � x+ 16
28. 2y000 � 3y00 � 3y0 + 2y = (ex + e�x)2
29. y(4) � 2y000 + y00 = ex + 1
30. y(4) � 4y00 = 5x2 � e2x
Resuelva la ecuación diferencial de cada uno de los problemas 1 a 8, sujeta a las condiciones inicialesdadas.
1. y00 � 64y = 16; y (0) = 1; y0 (0) = 0
2. y00 � ty0 = x; y (0) = 1; y0 (0) = 0
6
3. y00 � 5y0 = x� 2; y (0) = 0; y0 (0) = 2
4. y00 + 5y0 � 6y = 10e2x; y (0) = 1; y0 (0) = 1
5. y00 + y = 8 cos 2x� 4 senx; y��2
�= �1; y0
��2
�= 0
6. y000 � 2y00 + y0 = xex + 5; y (0) = 2; y0 (0) = 2; y00 (0) = �1
7. y00 � 4y0 + 8y = x3; y (0) = 2; y0 (0) = 4
8. y(4) � y000 = x+ ex; y (0) = 0; y0 (0) = 0; y00 (0) = 0; y000 (0) = 0
Resolver las siguientes ecuaciones de Cauchy Euler
1. x2y00 + xy0 � y = 0
2. x2y00 + 3xy0 + y = 0
3. x2y00 + 2xy0 + 6y = 0
4. xy00 + y0 = 0
5. (x+ 2)2 y00 + 3 (x+ 2) y0 � 3y = 0
6. (2x+ 1)2 y00 � 2 (2x+ 1) y0 + 4y = 0
7. x2y000 � 3xy00 + 3y0 = 0
8. x2y000 = 2y0
9. (x+ 1)2 y000 � 12y0 = 0
10. (2x+ 1)2 y000 + 2 (2x+ 1) y00 + y0 = 0
11. x2y00 + xy0 + y = x (6� lnx)
12. x2y00 � xy0 + y = 2x
13. x2y00 � xy0 � 3y = � 16 ln xx
14. x2y00 � 2xy0 + 2y = x2 � 2x+ 2
15. x2y00 + xy0 � y = xm; jmj 6= 1
16. x2y00 + 4xy0 + 2y = 2 ln2 x+ 12x
Utilice el método de Variación de Parámetros
1. y00 + 4y = 1cos 2x
2. y00 + y = tan2 x
3. y00 � y = 2ex
ex�1
4. y00 � y0 = 1ex+1
5. y00 + y = 1psen5 x cos x
6. y000 � 2y00 � y0 + 2y = 2x3+x2�4x�6x4
7. y00 + y = 13psen7 x cos8 x
8. y00 � 2y0 + y = ex
x2+1
7
9. y00 + 2y0 + 2y = 1ex sen x
10. y00 � y0 = e2x cos ex
11. y00 + y0 = � 1x
12. y00 + 3y0 + 2y = x(x+1)2
13. y00 + y = 1x2
Resolver los siguientes problemas según el tipo de movimiento.
1. Un peso de 2lb suspendido de un resorte lo estira 1;5pulgadas. Si el peso se hala 3pulgadas pordebajo de la posición de equilibrio y se suelta:
a) Establezca una ecuación diferencial y condiciones que describan el movimiento.
b) Encuentre la velocidad y posición del peso como una función del tiempo.
c) Encuentre la amplitud, el periodo y la frecuencia del movimiento.
d) Determine la posición, velocidad y aceleración �=64 seg. después de soltar el peso.
2. Un peso de 3lb en un resorte lo estira 6 pulgadas. Cuando se alcanza el equilibrio el peso se golpeacon una velocidad hacia abajo de 2pies=seg: Encuentre:
a) La velocidad y posición del peso en tiempo t seg. después del impacto;
b) La amplitud, periodo y frecuencia;
c) La velocidad y aceleración cuando el peso está 1 pulgada por encima de la posición de equilibrioy se mueve hacia arriba.
3. Un resorte suspendido de un techo tiene una constante de 12lb=pie: Un peso de 8lb se coloca en elresorte, y cuando se alcanza el equilibrio, el peso se eleva 5pulgadas por encima de la posición deequilibrio y se suelta. Describa el movimiento dando la amplitud, periodo y frecuencia.
4. Un peso de 256lb está suspendido de un resorte vertical el cual tiene una constante de 200lb=pie: Siel peso se eleva 3pulgadas por encima de su posición de equilibrio y se suelta:
a) Encuentre la posición del peso en un tiempo �=3 seg después y determine en cuál dirección yqué tan rápido se está moviendo el peso en este tiempo.
b) Encuentre la amplitud, periodo y frecuencia de la vibración.
c) En qué tiempos está el peso 1;5 pulgadas por debajo de la posición de equilibrio y movíendosehacia abajo?
5. Un peso de 64lb está suspendido de un resorte con constante 50lb=pie. El peso está bajo la in�uenciade una fuerza resistente numéricamente en libras igual a 12 veces la velocidad instantanea en piespor segundo. Si el peso se hala 6pulgadas por debajo de la posición de equilibrio y se suelta, describael movimiento, dando la amplitud tiempo variante y el periodo del movimiento.
6. Un resorte vertical con constante de 5lb=pie tiene suspendido un peso de 16lb: Se aplica una fuerzaexterna dada por F (t) = 24 sen 10; t � 0: Se asume que actúa una fuerza amortiguadora dadanuméricamente igual en libras 4v, donde v es la velocidad instantánea del peso en pies por segundo.Inicialmente el peso está en reposo en su posición de equilibrio. Determine la posición del peso encualquier tiempo. Indique las soluciones transitoria y de estado estacionario. Encuentre la amplitud,periodo y frecuencia de la solució de estado estacionario.
8
7. Un resorte vertical con constante de 8lb=pie tiene suspendido un peso de 64lb: Se aplica una fuerzadada por F (t) = 16 cos 4t; t � 0: Asumiendo que al peso, inicialmente en la posición de equilibrio, sele da una velocidad hacia arriba de 10pies=seg: y en la posicion de equilibrio, se le da una velocidadhacia arriba de 10pies/seg. y que la fuerza amortiguadora es despreciables, determine la posición yvelocidad del peso en cualquier tiempo.Un resorte vertical con constante de 4lb=pie tiene acopladoun peso de 32lb. Se aplica una fuerza dada por F (t) = 16 sen 2t; t � 0: Asumiendo que en t = 0 elpeso está en reposo en la posición de equilibrio y que la fuerza amortiguadora es despreciable. Es-tablezca una ecuación diferencial y condiciones que describan el movimiento; Determine la posicióny velocidad del peso en cualquier tiempo.
8. Se encontró experimentalmente que un peso de 4lb estira un resorte 6 pulgadas. Si el peso se sueltadesde la posicion de equilibrio con una velocidad dirigida hacia abajo de 4pul/s, determine:
a) La ecuación diferencial y condiciones iniciales que describen el movimiento.
b) La ecuación del movimiento.
c) La posición, velocidad y aceleración del peso 2 segundos después.
9. Una fuerza de 9lb estira un resorte 3 pulgadas. Un cuerpo que pesa 24 lb se sujeta a un resorte yse suelta desde un punto que está 3 pulgadas abajo de la posición de equilibrio con una velocidaddirigida hacia arriba de 36pulgadas/s.
a) Determine la ecuación del movimiento x (t) :
b) ¿En qué instante pasa el cuerpo por la posición de equilibrio en dirección hacia arriba portercera vez?
c) ¿En que instantes está el cuerpo 3 pulgadas abajo de la posición de equilibrio?
10. Una fuerza de 10 N estira un resorte 0;125m. Después, al extremo libre de ese resorte se �ja unamasa de 5kg:
a) Encuentre la ecuación del movimiento si la masa se suelta desde un punto que está a 0;4marriba de la posición de equilibrio con una velocidad dirigida hacia abajo de 1;2m=s:
b) Escriba la ecuación del movimiento en su forma alternativa.
c) ¿Cuántas oscilaciones completas realiza el cuerpo durante un intervalo de 8� segundos?
11. Cuando se sujeta una masa de 100kg al extremo de un gran resorte, éste se estira 0;98m: Se quitaesta masa y se reemplaza por una de 40kg; la cual se suelta desde un punto que está 0;6m debajode la posición de equilibrio, con una velocidad dirigida hacia arriba de 4m=s:
a) Determine la ecuación del movimiento.
b) Escriba la ecuación del movimiento en su forma alternativa.
c) Obtenga los instantes en los cuales el cuerpo pasa por la posición de equilibrio.
12. Un cuerpo de 2kg se suspende de un resorte de constante 162N=m:
a) Encuentre la ecuación del movimiento si la masa se suelta desde un punto a 0;1m sobre laposición de equilibrio con una velocidad dirigida hacia arriba de 1;2m=s:
b) Escriba la ecuación del movimiento en su forma alternativa.
c) Obtenga los instantes en los cuales el cuerpo pasa por la posición de equilibrio moviéndosehacia arriba.
d) ¿En qué posición se encuentra el cuerpo para t = �=8; �=9; �=3?
13. Se encontró experimentalmente que un cuerpo de 4lb estira un resorte 6pulgadas. El medio ofreceuna resistencia al movimiento del cuerpo numéricamente igual a 2;5 veces la velocidad instantánea.Encuentre la ecuación del movimiento si el peso se desplaza 4 pulgadas por debajo de la posiciciónde equilibrio y se suelta.
9
14. Se encontró experimentalmente que un cuerpo de 4lb estira un resorte 6pulgadas. El medio ofreceuna resistencia al movimiento del cuerpo numéricamente igual a 2 veces la velocidad instantánea.Encuentre la ecuación del movimiento si el peso se desplaza 4 pulgadas por debajo de la posiciciónde equilibrio y se suelta.
15. Después de que un cuerpo que pesa 10lb se sujeta a un resorte de 5ft de largo, el resorte mide 7ft:Se quita el cuerpo de 10lb y se reemplaza por uno de 8lb: El sistema completo se coloca en un medioque ofrece una resistencia numéricamente igual a la velocidad instantánea.
a) Obtenga la ecuación del movimiento si el peso se suelta desde un punto que se encuentra 1=2ftabajo de la posición de equilibrio con una velocidad dirigida hacia abajo de 1ft=s:
b) Encuentre los instantes en los cuales el cuerpo pasa por la posición de equilibrio en direcciónhacia abajo.
16. Un peso de 2lb está sujeto a un resorte el cual tiene una constante de elasticidad de 4lb=ft: El pesose suelta desde un punto que se encuentra 6pulgadas abajo de la posición de equilibrio con unavelocidad dirigida hacia abajo de 2ft=s; en un medio que presenta una resistencia al movimientonuméricamente igual a la velocidad instantánea. Determine:
a) La ecuación del movimiento.
b) Los instantes en los cuales el cuerpo pasa por la posición de equilibrio.
c) Los desplazamientos extremos del peso.
17. Un resorte vertical con constante de 6lb=ft tiene suspendida una masa de 1=2slug: Se aplica unafuerza externa dada por f (t) = 40 sen 2t, t � 0. Supóngase que actúa una fuerza amortiguadoranuméricamente igual a dos veces la velocidad instantánea y que inicialmente el cuerpo está en reposoen su posición de equilibrio. Determine la posición del cuerpo en cualquier tiempo t > 0:
18. Un peso de 4lb se suspende de un resorte cuya constante es de k = 8lb=ft: Suponga que una fuerzaexterna dada por f (t) = 4 cos 8t se aplica al resorte y que no hay amortiguamiento. Describa elmovimiento que resulta si se asume que inicialmente el peso está en la posición de equilibrio y quesu velocidad inicial es cero.
19. Una masa de 1slug se encuentra suspendida de un resorte de constante de elasticidad igual a 4lb=fty el sistema está inmerso en un medio que ofrece una resistencia numéricamente igual a 5 veces lavelocidad instantánea. Si la masa se suelta 6 pulgadas arriba de la posición de equilibrio con unavelocidad dirigida hacia abajo de 4ft=s: Encuentre la ecuación del movimiento, si actúa una fuerzaexterna sobre la masa dad por f (t) = 20 cos 2t+ 10 sen 2t:
20. Un peso de 32lb se sujeta a un resorte de constante de elasticidad igual a 5lb=ft. El peso y el resortese sumergen en un medio que ofrece una resistencia numéricamente igual a 6 veces la velocidadinstantánea. El movimiento se inicia en un punto que se encuentra a 4 pulgadas abajo de la posiciónde equilibrio y partiendo del reposo. Encuentre la ecuación del movimiento si sobre el peso se aplicauna fuerza externa igual a f (t) = e�t.
21. Un resorte tiene una constante de elasticidad igual a 1lb=ft. Un peso de 8lb se suspende de unextremo del resorte y el sistema se coloca en un medio que ofrece una resistencia numéricamenteigual a la velocidad instantánea. Si el peso se suelta en resposo, 4 pulgadas sobre la posición deequilibrio y sobre él actúa una fuerza externa f (t) = 25 sen 4t, obtenga la ecuación del movimientoy su grá�ca.
22. Un peso de 3;2lb estira un resorte 6;4ft. Si el peso se suelta 3 pulgadas abajo de la posición deequilibrio con una velocidad dirigida hacia abajo de 6ft=s y el medio en que está el sistema masaresorte ofrece una fuerza de amortiguamiento numéricamente igual a la quinta parte de la velocidadinstantánea, determine la ecuación del movimiento si además se aplica al peso una fuerza externadada por f (t) = e�t cos 2t:
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