ejercicos resueltos limites

8/6/2019 ejercicos resueltos LIMITES

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2.4. EJERCICIOS RESUELTOS

2.4.1. Sobre lmites de funciones:

1. Usando la definicin de lmite de una funcin , prubese que: 6)39(5

=

xLimx

Solucin:

Sea un nmero positivo cualquiera dado. Se debe hallar un tal que:0> ( ) ( )


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fig. 2.9.

2. Usando la definicin del lmite de una funcin, demustrese que:

31

12 2

1=

x

xxLimx

Solucin:

Anlisis preliminar.

Sea un nmero positivo cualquiera dado. Se debe hallar un tal que:0>

Si


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Comparando la desigualdad del lado izquierdo de (1) con la desigualdad (2), se puede

escoger2

= (cualquier valor menor funciona).

Prueba formal.

Dado , existe0> 02

>=

, tal que,

1110


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fig. 2.10.

3. Considrese la funcin definida por , con . Evalese:nxxf =)( Nn

h

fhfLimh

)2()2(0

+

Solucin:

h

hLim

h

fhfLim

nn

hh

2)2()2()2(00

+=

+

(1)

Si se intentase evaluar directamente el ltimo lmite, se obtendra( )

0

0

0

202=

+ nn

(indeterminado).

Se puede eliminar la indeterminacin, factorizando el numerador de la fraccin (1):

[ ][ ]h

hhhhLim

h

hLim

nnnn

h

nn

h

12321

00

2...2)2(2)2()2(2)2(2)2(

++++++++=

+

[ ]h

hhhhLim

nnnn

h

12321

0

2...2)2(2)2()2(

+++++++=


5/14

444444444 3444444444 21

trminosn

nnnn

hhhhLim

+++++++= 12321

02...2)2(2)2()2(

4444 34444 21

terminosn

nnnn

++++= 1111 2...222

12 = nn

4. Evaluar:2

44

x

xLimx

Solucin:

Si se aplica directamente el lmite de un cociente, se llega a la forma indeterminada0

0.

Se puede eliminar la indeterminacin, racionalizando el denominador y simplificando.As:

( )( )( )22

2)4(

2

444 +

+=

xx

xxLim

x

xLim

xx

( )

( ) 22

4 2

2)4(

+=

x

xxLimx

) ( ) 42424

2)4(44

=+=+=

+=

xLim

x

xxLim

xx

5. Evalese:22

3124

+ x

xLimx

Solucin:

Al sustituir directamente x por 4, se llega a la forma indeterminada0

0. Para

tratar de eliminar la indeterminacin, se multiplican numerador y denominador de lafraccin por la expresin conjugada del denominador. Asi:

( )( )( )( )2222

22312

22

31244 +

++=

+ xx

xxLim

x

xLim

xx

( )( )2)2(

223124

++= x

xxLimx


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( )( )

4

223124

++=

x

xxLimx

Al sustituir nuevamente x por 4, en la ltima expresin, contina la

indeterminacin00 . Para eliminarla, se multiplica numerador y denominador de la

ltima fraccin por ( )312 ++x .

Luego,

( )( )( )( )( )3124

31222312

22

31244 ++

++++=

+ xx

xxxLim

x

xLim

xx

[ ]( )( )( )312422912

4 ++++=

xxxxLim

x

( )( )( )( )3124

22424 ++

+=

xx

xxLimx

( )3

22

6

24

312

2224

==++

+=

x

xLimx

6. a. sese el teorema del snduche para demostrar que si t est expresado enradianes, entonces:

1sen

0=

t

tLimt

.

b. Demustrese que: 0

cos10 =

t

t

Limt

Solucin:

a. Considrese el crculo centrado en el origen y radio 1 que aparece en la figura2.11. y en el cual se han trazado: El sector circular OBC, el tringulo rectnguloOBP y el sector circular OAP.


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fig. 2.11.

Ntese que:22


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( ) ttttt2

1sencos

2

1cos

2

1 2 =tt

tt , la ltima desigualdad puede escribirse

asi:

tt

tt

cos

1sen


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b.x

xtanLimx sen

20

c.x

xxLimx

3sen5sen0

d.ax

axLimx

sensen0

Solucin:

a. Antes de evaluar el lmite, el cocientex

x

sensen

puede transformarse asi:

==

x

xx

x

xx

xxx

x

x

x

sen

1sensen

1sensensen

De esta forma:

=

x

xx

xLim

x

xLim

xx

sen

1sensensen

00

=

x

xx

xLimx

sen

1sen0

(lgebra de lmites).

Ahora, decir que es equivalente a decir que y que0x 0x 0x

Por tanto, .100 == xxsen

Limx

xsenLim xx

Tambin, .100

== x

xsenLim

x

xsenLim

xx

Luego, .11

10

== xsen

xsenLimx

b. El lmite es indeterminado, de la forma 00 .


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Pero,x

x

xx

xx

xx

x

x

xtan

2cos

cos2

sen2cos

cossen2

sen2cos

2sen

sen

2=

=

= .

Luego, 21

1.2

0cos

0cos2

2cos

cos2

sen

200 ==== x

x

Limx

xtan

Lim xx .

c. Antes de evaluar el lmite, se transforma la fraccinx

xx 3sen5sen , as:

x

xxx

x

xx 3sen)23sen(3sen5sen +=

x

xxxxx 3sen3cos.2sen2cos.3sen +

=

x

xx

x

xx )2cos1(3sen3cos.2sen =

=x

xxx

x

x

32cos1

3sen33cos.2

2sen2

( )xx

xx

x

x2cos1

3

3sen33cos.

2

2sen2

=

( )

=

x

x

xx

x

xLim

x

xxLim

xx2cos1

3

3sen33cos

2

2sen2

3sen5sen00

Pero,

( ) 02cos1,,33

sen;13cos;12

2sen0000

====

xLimyAy

xLimxLim

x

xLim

xxxx

Luego, 2020..31.1.235

0===

Ax

xsenxsenLimx

d. Ntese que al sustituir directamente x por a, resulta la indeterminacin0

0.

Para eliminar la indeterminacin, se hace un cambio de variable y despus se simplificala fraccin resultante.

Sea . Es claro que si y slo si .axy = ax 0y


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Ahora bien, con esta sustitucin:

y

aay

ax

ax sen)sen(sensen +=

y

ayaay sencos.sencos.sen +=

y

yaay )cos1.(sencos.sen =

y

ya

y

ay )cos1.(sencos.sen =

=

y

ya

y

ya

cos1sen

sencos .

Luego,

=

y

ya

y

yaLim

ax

axLim

yax

cos1sen

sencos

sensen0

.( ) ( ) aaa cos0.sen1.cos ==

8. Encuntrese el valor del siguiente lmite, o establezca que no existe:

1,1

11

xx

xLimx

.

Solucin:

De acuerdo con la definicin de valor absoluto, se tiene:


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( )( )

1,111

1


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Encuntrense los valores de las constantes a y b para que: y

existan.

)(2

xfLimx

)(2

xfLimx

Solucin:

El siguiente diagrama recoge la informacin obtenida de f.

2)( xxf =2)( = xxf

baxxf +=)(5

)(2 xfLimx existe y existen )(2 xfLimx + )(2 xfLimx

y adems: )()(22

xfLimxfLimxx +

=

Pero, (1).babaxLimxfLim

xx+=+=

++ 2)()(

22

(2).4)()( 222

== xLimxfLim

xx

Para que el lmite de en exista, es preciso que: (3).)(xf 2 42 =+ ba

Igualmente,

)(2

xfLimx

existe y existen )(2

xfLimx +

)(2

xfLimx

y adems: )()(

22xfLimxfLim

xx + =

Pero, (4).1)52()( 22 == ++ xLimxfLim xx

(5).babaxLimxfLimxx

+=+=

2)()(22

De (4) y (5) se sigue que (6).12 =+ ba

Resolviendo simultneamente las ecuaciones (3) y (6) se obtiene:4

5=a y

2

3=b .


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Con estos valores, la funcin f se transforma en:

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