ejercicios transformada de laplace #7

8/13/2019 Ejercicios Transformada de Laplace #7

http://slidepdf.com/reader/full/ejercicios-transformada-de-laplace-7 1/13

EJERCICIOS ECUACIONES DIFERENCIALES DE “n” ORDEN CON

COEFICIENTES CONSTANTES USANDO TRANSFORMADA DE

LAPLACE

1. − + = si = ; = − + = − + = = − 0 − 0 = − 2 − 7

= − 0 = − 2

=

! = "

− #

Reescribiendo (1):

− 2 − 7 − $% − 2& + '%& = $ ( " − #)

− 2 − 7 − $ + * + ' = $ − #

− $ + ' − 2 + " =$

− #

− $ + ' =$

− # + 2 − "

− $ + ' = $ + 2 − − + # − # − $ + ' = 2 − 7 + 7

− #

= 2 − 7 + 7 − # − $ + '

Usamos fracciones parciales:



2 − 7 + 7

− #

− $ + '= ,

− #+ - + .

− $ + '

2 − 7 + 7 = , − $ + ' + - + . − #

2 − 7 + 7 = , − $ + ' + - − # - + . − # .

Debemos hallar A, B y C: / 1 + = / −1 −+3=− 45689:/ 89< 1−3=

Resolver el sistema: , + - = 2

− $ , − # - + . = − 7 ' , − # . = 7

De :

- = 2 − ,

De :

. = ' , − 7

#

Reemplazar y en :

− $ , − #2 − , + ' , − 7# = − 7 − $ , − + # , + ',

# − 7# = −7

−, + ',# − = − 7 + 7

# + 2,# = $

# 1 =



Si 1 =

En

- = 2 − 2 =

En

. = '2 − 7

# 3 =

Despus de hallar A, B y C las reemplazamos en las fracciones parciales:

2 − 7 + 7 − # − $ + ' = 2 − # + 0 > + "

− $ + '

2 − 7 + 7 − # − $ + ' = 2 − # + "

− $ + '

!inalmente en (2):

= 2 − 7 + 7 − # − $ + ' = 2 − # + " − $ + '

= 2 − # + "

2 − $ + ' = ?@ A 2 − # + "

2 − $ + 'B Ahora reescribimos − $ + '

− $ + ' = 2 − $ + $ + " = / − +

= ?@ A 2 − # + "

− 22 + "B = ? A

/ − B + ? A / − + B >

Resolviendo:



Una anti transformada es directa:

? A / − B = ? A / − B =

"ueremos lle#ar a una funci$n cuya transformada sea

/?C

D = / − +

EF = "2 + " EF2F = " − 22 + " /9 = ? A

/ − + B

Reemplazar en (*):

R//

=

+ /9

2. + + + − G = − si = ; = ; = − + + + − G = − + + + − G = −

= − 0 − 0 − 0 = − − $ + 2 = − 0 − 0 = − − $

= − 0 = − "

= −"2 = −"2



Reescribiendo (1):

− − $ + 2 + $% − − $& + − " − %& = −"2

− − $ + 2 + $ − $ − " + − " − = −"2

− − * + $ − " ' + − = −"2

+ $ + − = −"2

+ + * + " '

+ $ + − = − " 2 + + * +"'

= + * + " ' − " 2 + $ + −

Ahora reescribimos + $ + − para usar fracciones parciales:

/ + / + / − G = Posib!s "#$%!s (&i'iso"!s &! ) HIHIHIHG

Evaluamos el % en el polinomio:

+ + − G = =

Cumple con la i#ualdad, por lo tanto el % es una ra&z' Ahora dividimos el

polinomio entre la ra&z para disminuirle el #rado y hallar las dem(s ra&ces:



Reescribimos:

= + * + " ' − " 2 − " + ' +

!actorizamos + ' + = + 2 + #

= + * + " ' − " 2−"+2+#


+ * + " ' − " 2−"+2+# = , + - − " + . + 2 + J + #

+ * + " ' − " 2 = , − " + 2 + # +-+2+#

+. − " + # +J−"+2

Si s ) *

− " 2 = ,−"2# − " 2 = − , = 1

Si s ) %

" 2 = -2# "2="2- =

Si s ) +

−"*=−2.−#" − " * = . − = 3

Si s ) +-

−"2=−#J−$−" −"2=−"2J = K

Despus de hallar A, B, C y D las reemplazamos en las fracciones parciales:

+ * + " ' − " 2−"+2+# = 2 + "

− " − # + 2 + " + #



!inalmente en (2):

= + * + " ' − " 2−"+2+# = 2 + " − " − # + 2 + " + #

= 2 + "

− " − # + 2 + "

+ # = ?@ A2

+ " − " − #

+ 2 + " + #B

= ? A/B + ? A / − B − ? A / + B

+? A / + B >

Resolviendo:

.as anti transformadas son directas:

? A/B =

? A / − B =

? A / + B = ? A

/ + B = ?

? A / + B = ?

Reemplazar en (*):

R// = + − ? + ?



. + − L − L M = N? − G

si = ; = + − L − OL P

Q = N? − G

+ − L − L OP

Q = N? − G

= − 0 − 0 = − ' − $

= − 0 = − '

=

OP RF!S

Q = =

*?! − = * + " −

Reescribiendo (1):

− ' − $ + − ' − T − T = *

+ " −

U + − T − TV − ' − T = *

+ " −

W + − T − T

X =*

+ " − + ' + T

W + − T − T X = * − + " + ' + " +T+"

+ "

+ − T − T = * − − + ' + ' + T + + "



= ' +"$ + " " −

+ "

+

− T − T

Ahora reescribimos + − T − T para usar fracciones parciales:

/ + / − L / − L = Posib!s "#$%!s (&i'iso"!s &! +) HIHIHL

Evaluamos el +% en el polinomio:

−

+ −

− L− − L = =

Cumple con la i#ualdad, por lo tanto el +% es una ra&z' Ahora dividimos el

polinomio entre la ra&z para disminuirle el #rado y hallar las dem(s ra&ces:

Reescribimos:

= ' +"$ + " " − + " + " − T

!actorizamos − T = − # + #

= ' +"$ + " " − + "+"−#+# = ' +"$ + " " − + "−#+#


' +"$ + " " − + "−#+# = , + " + -

+ " + . − # + J

+ #

'

+"$

+ " " − = , + " − # + # +-−#+#



+. + "2 + # + J + "2 − #

Si s ) +%

− * = ,−* =

Si s ) -

2**=-T = 3

Si s ) +-

−$*=.−2$ = K

/ ' = , + . + J ' = , + 2 + # 1 =

Despus de hallar A, B, C y D las reemplazamos en las fracciones parciales:

' +"$ + " " − + " − # + # = 0 + " + "

+ " + # − # + 2

+ #

'

+"$

+ " " − + "−#+# = " + " + # − # + 2 + #

!inalmente en (2):

= ' +"$ + " " − + "−#+# = "

+ " + # − # + 2

+ #

= "

+ "2 + #

− #+ 2

+ #

= ?@ A " + "2 + # − # + 2

+ #B

= ? A / + B + ? A

/ − B − ? A / + B >



Resolviendo:

Al#unas anti transformadas son directas:

? A / − B = ? A

/ − B =

? A / + B = ? A

/ + B = ?

"ueremos lle#ar a una funci$n cuya transformada sea

/+

D = / +

F = "2 F−F = "

+ "2

?

= ?

A

/ + B

Reemplazar en (*):

R// = − + + ?

,. +− − = si = ; =

+ − − = + − − = + − − = F = −R

R % − 0 − 0& = −RR % − − 2& = −%2 + − "&



= − 0 = − "

F = −RR % − 0& = −RR % − "& = −% + & =

Reescribiendo (1):

−%2 + − "& + − " − 2%− + & − 2 = 0

−2 − + " + − " + 2 +2 − 2 = 0

− − +2 = 0 − − − 2 = 0 + − 2 = 0 % + − 2& = 0

+ − 2 = 0 = − − 2

Siendo: YZ = YZ/

= −R

R − 2

E.D. &! '#"i#b!s s!-#"#b!s

= − RR − 2 P R

− 2 = − P R

[E − 2 + . = − [ E [E =−[E − 2 + [E .[E = [ E U . − 2V

!inalmente en (2):

= . − 2



= .

− 2

= ? A 3/ − B >

Resolviendo:

Una anti transformada es directa:

?

A

3

/ − B = 3

Reemplazar en (*):

= .2F /ara hallar el valor de la C, usamos una de las condiciones iniciales del

e0ercicio =

" = .0

" = . > " 3 =

R// =

ejercicios transformada de laplace #7

Documents