transformada de laplace

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ESCUELA SUPERIOR POLITÉCNICA DEL LITORAL

Solucionario de

problemas de EcuacionesDiferenciales2do Parcial (3ra versión)

• Resolución de ecuaciones diferenciales alrededor de puntos singulares

• Transformada de Laplace

•

Resolución de ecuaciones diferenciales mediante la transformada deLaplace

• Resolución de sistemas de Ecuaciones diferenciales

• Aplicaciones de las ecuaciones diferenciales de segundo orden

• Series de Fourier

• Ecuaciones en Derivadas Parciales

Roberto Cabrera V.

[email protected]

06/02/2009

Este es un solucionario de problemas de Ecuaciones Diferenciales correspondiente a la Segunda

Evaluación, donde constan ejercicios tipo examen. Esta obra ha sido elaborada por Roberto Cabreray Christian de La Rosa, ex – estudiante de la ESPOL, con el auspicio de la directiva A.E.F.I.E.C. de los

años 2006, 2007, 2008. Modificado y corregido dos veces por Roberto Cabrera.



Ecuaciones Diferenciales – II Parcial

Roberto Cabrera V.

- 2 -

Resumen de problemas resueltos de Ecuaciones Diferenciales

II Parcial

i. Resolución de ecuaciones diferenciales alrededor de puntos singulares:

Método de Frobenius

ii. Transformada de Laplace: Teoremas Transformada de Laplace de algunas funciones Transformada inversa de Laplace

iii. Resolución de ecuaciones diferenciales mediante la transformada deLaplace:

Ecuaciones diferenciales de coeficientes constantes Ecuaciones diferenciales de coeficientes variables Ecuaciones integro diferenciales

iv. Resolución de sistemas de Ecuaciones diferenciales: Método de Eliminación Método de los operadores diferenciales Método de Laplace Método de los valores y vectores propios.

v. Aplicaciones de las ecuaciones diferenciales de segundo orden: Aplicaciones de Sistema: Masa – Resorte – Amortiguador

Aplicaciones de circuitos eléctricos

vi. Series de Fourier Definición de la serie de Fourier Serie de Fourier de una función par e impar Convergencia de una serie de Fourier Extensiones pares o impares periódicas de una serie de Fourier

vii. Problema de la ecuación del calor

viii. Anexos: Problemas propuestos Tabla de transformadas de Laplace de ciertas funciones Tabla de transformadas inversas de Laplace de ciertas funciones




Roberto Cabrera V.

- 3 -

Método de Frobenius

1. Determine la solución general de la ecuación diferencial:

, mediante series de potencias de x. Utilice la raíz de mayor valor de la ecuación

indicial asociada a la ecuación diferencial dada para establecer la primera solución, ésta como una

función elemental; y, luego utilice algún procedimiento conocido para definir la segunda soluciónlinealmente independiente e igualmente exprésela como una función elemental.

Asumiendo la solución alrededor del punto , se tiene que verificar que clase de punto es, en este

caso , entonces , por lo tanto es un punto singular.

Lugo se verifica si es singular regular.i) (existe)

ii) (existe)

Los dos límites existen, por lo tanto es un punto singular regular.

La fórmula de la ecuación indicial indica:

, se obtiene que:

Las raíces de la ecuación indicial son: , y .Asumiendo la solución como:

Obteniendo la 1ra y 2da derivada:

Reemplazando y, y’,y’’ en la ecuación diferencial se obtiene:

Introduciendo los coeficientes de cada sumatoria:

Se iguala las potencias de todas las sumatorias, en esta caso a , haciendo uncambio de parámetro en alguna en la tercera sumatoria.




Roberto Cabrera V.

- 4 -

La nueva ecuación queda así:

Se iguala los subíndices de cada sumatoria al mayor de todas, en este caso a . Luego se

desarrollan dos términos en la primera y segunda sumatoria:

Se agrupan los coeficientes de cada sumatoria en una sola sumatoria:

Igualmente los coeficientes de

Como , se obtiene , que es la misma ecuación indicial anterior.

En este caso si puede ser igual a cero.La ecuación de recurrencia es:

Despejando el valor de , se obtiene la fórmula de recurrencia general:

Reemplazando la raíz mayor , se obtiene la fórmula de recurrencia particular para la primera solución:




Roberto Cabrera V.

- 5 -

Entonces la primera solución es, para el varlo de r=0:

Reemplazando los coeficientes en la solución

Por lo tanto , lo podemos encontrar de la siguiente forma:

=




Roberto Cabrera V.

- 6 -

2) Resuelva:

• ( ) 0,033 02

2

22 ==+−+ xdealrededor y

dx

dy x x

dx

yd x

singulares ,0)()( 0

2 ====⇒⇒⇒⇒==== x p x x p ( )( ) ( ) ( )

( )( ) ( ) ( )

( )( )[ ] ( )

( )( )[ ] ( )

( )( )[ ] ( )( )[ ] ( )[ ]

( )( )[ ] ( )( )

( )( )[ ] ( )

( ) ( )

( )

( )( ) ( )

( )( )

( )( )

( )

−

−++−+=

∴

−−+++−=

=

−++−=

−=

==

∫ =

∫ =

=∴

+−+−=⇒−=−=→=

=−=→=

−=−=→=

=

=≥−

−=→=≥−=→=

≥−+

−=→=−++−+−+

=−==→=−−→=−−

=−++−+−++−−

=−++−+−+

=++−+−+

=++−++−++

=++−+−++

∑

∑

∫ ∑∫ ∑

∫ ∫ ∫ ∫

∑

∑∑

∑∑

∑∑∑∑

∑∑∑

∞+

=

−−

−−

∞+

=

−

−

−

−

∞+

=

−−−−−

∞+

=

−−

−

−

−−

−

−−

−

−

−

−−

−

−

∞+

=

+

−

∞+

=

+

−

∞+

=

+

∞+

=

++∞+

=

+

∞+

=

+∞+

=

+∞+

=

++∞+

=

+

+∞

=

++∞

=

−++∞

=

−+

3

21

231

2

3

2

1

2

3

3

31233

0

33

2

33

26

33

26

31

32

1

)(

12

301

323

0102

3

012

001

12

11

11

21210

1

10

11

0

0

1

0

000

1

0

00

12

0

22

2!

1

22

ln

2!12ln2

!

1

2!

1

...!3!2!1

1!33

3

!222

!111

3

1;2

11;3

1;3

0113

13013013

011313

0113

013

0331

0331

n

nn

x

n

nn

x

n

nn

x

n

nn

x

x x

x

x x

x

dx x

x

dx x p

x

1

n

n

n

n

n

nnn

n

r n

nn

r

n

r n

n

n

r n

n

n

r n

n

n

r n

n

n

r n

n

n

r n

n

n

r n

n

n

r n

n

n

r n

n

n

r n

n

n

r n

n

nn

x x

xe x

x y x y

nn x x x xe x

dxn

x x x xe xdx

n

xe x x y

dx x

ee xdx

e x

e xe xdx

e x

ee xdx

y

e y x y

e xC x y x x x

xC x yC C

C n

C C C n

C C C n

r utilizando será solución primerala

2n paradefinidaestanonn

C C r n

n

C C r

nr n

C C C r nC r nr n

enteror r r r r r C r r

xC r nC r nr n xC r r

xr nC xC r nr n

xr nC xC r nr n

xC xr nC xr nC xr nr nC

xC xr nC x x xr nr nC x




Roberto Cabrera V.

- 7 -

3) Resuelva la siguiente ecuación difrencial alrededor del punto0x0 =

• ( ) ( ) 1132

22 =+−+− y

dx

dy x

dx

yd x x

singulares ,0)()( 0

2 ====⇒⇒⇒⇒==== x p x x p ( ) ( )( ) ( ) ( )

( )( ) ( )( ) ( ) ( )

( )( ) ( )[ ] ( )

( )( ) ( )[ ] ( )

[ ] ( )( ) ( )[ ] ( )[ ]

[ ]

( )( ) ( )[ ] ( )( )( ) ( )[ ]

( )

( ) [ ] ( )

( )( )

( )

( ) ( ) ( )( )

( )

( )

( )

11

ln

1

1)(

11

ln

1

1ln)(

111

11)(

lnln11

ln1)(

1

1

1

1

1

ln

1

11

ln

1

1

)(

1

ln

1

1)(

1

ln1

1

1

1

1

1

1

1

1

1

1

1...13

2

1

0

0;0

0;1

1311131

00

01131

01131

0131

0311

0131

21

2211

2

21

2

2

22

1

2

22

2211

21

122

21

22

13

21

)(

12

01320

0103

02

01

11

2112

2102

01

20

2

11

2

0

0

12

0

00

1

00

1

0

00

1

0

22

2

−+

−+

−=

−=

−−

−+−=+=

−=−=−

−

−==

+−==−

−

−−=−=

−=

−−

−−

−−=→+=

−+

−=

−=→

−=

−

−

−=

∫

−=

∫ =

−

=∴++++=⇒=→=

=→=

=→=

=

≥=→=

≥++

+++−++=→++−+++−++

==→=−

=++−+++−+++−

=++−+++−++

=+−+++−++

=++−++−++−−++

=++−+−++−

∫ ∫ ∫

∫ ∫ ∫

∫ ∫ ∫ ∫

∑

∑∑

∑∑

∑∑∑∑∑

∑∑∑

−−−

−−−

+

++

∞+

=

+

+

∞+

−=

+

+

∞+

=

+

∞+

=

−+∞+

=

+

∞+

=

+∞+

=

−+∞+

=

+∞+

=

−+∞+

=

+

+∞

=

+

+∞

=

−+

+∞

=

−+

x

x

x

xk

xk x y

x

x

x

x x

x x x x yu yu x y

xdxdx x x x x x

dxW

y x g u

x x xdx xdx x x x

x

x xdx

W

y x g u

x x x x x

x

x

x

x

xW yu yu x y

x

xk

xk x y

x

xC x ydx

x xdx

x

x x

xdx

e x

e

xdx

y

e y x y

x

C x y x x x xC x yC C n

C C n

C C n

r utilizando será solución primerala

nC C r

nr n

C r nr nr nC C r nC r nr nr n

r r C r

xC r nC r nr nr n xC r

xC r n xC r nr nr n

xC r n xC r nr nr n

xC xr nC xr nC xr nr nC xr nr nC

xC xr nC x xr nr nC x x

p

p

h

x

dx x x

xdx x p

1

nn

nnnn

n

r n

nn

r

n

r n

n

n

r n

n

n

r n

n

n

r n

n

n

r n

n

n

r n

n

n

r n

n

n

r n

n

n

r n

n

n

r nn

n

r nn

n

r nn




Roberto Cabrera V.

- 8 -

Transformada de Laplace

Halle:

• ( ) ( )t t sent e L t 2cos24364 35 +−+

Por la propiedad de linealidad tenemos que:( ) ( ){ }( ) ( ){ } { } { } ( ){ } ( ){ }

{ } { } ( ){ } ( ){ }

4

2

16

1236

5

44

216

43

!36

5

14

2cos24364

2cos243642cos24364

2cos24364

224

224

35

3535

35

++

+−+

−=

++

+−+

−=

+−+=

+−++=+−+

+−+

s

s

s s s

s

s

s s s

t Lt sen Lt Le L

t Lt sen Lt Le Lt t sent e L

t t sent e L

t

t t

t

Halle• ( ) ( )t eet L t t 2cosh2 42 −++

Por la propiedad de linealidad tenemos que:

( ) ( )

( ) ( ){ } ( ){ } ( ){ }( ){ } ( ){ }

{ } { } { } ( ){ }

{ } { } { } ( ){ }t e Le Lte Let L

t e Le Lte Let L

t e Let t L

t e Let Lt eet L

t eet L

t t t t

t t t t

t t

t t t t

t t

2cosh44

2cosh44

2cosh44

2cosh22cosh2

2cosh2

42

42

42

4242

42

−

−

−

−−

−

+++=

+++=

+++=

++=++

++

Aplicando el primer teorema de la traslación:{ } { } { } ( ){ }

{ } { } { } ( ){ }( ) ( ) ( )

( ) ( )( )621

20219295

44

4

1

14

1

14

1

!22cosh44

2cosh44

3

234

22342

42

++−

+−++=

−+

++

−+

−+

−=+++

+++

−

−

s s s

s s s s

s

s

s s st e Le Lte Let L

t e Le Lte Let L

t t t t

t t t t




Roberto Cabrera V.

- 9 -

Demuestre:• Demuestre el primer teorema de la traslación

( ){ } ( ) ( ){ } ( )

( ){ } ( ) ( )

( ){ } ( )

( ) ( )

( ) ( ) ( )a s F s F dt t f e

a s s sidt t f e

dt t f eet f e L: Entonces

s F dt t f et f LTenemos

a s F t f e Lentonces s F t f LSi

t s

t a s

at st at

st

at

−===

−=→=

=

==

−==

∫

∫

∫

∫

∞

−

∞

−−

∞

−

∞

−

0

0

0

0

:

,

Halle:

• ( ) ( )t t senh L cos23

Por la propiedad de linealidad tenemos que:( ) ( )

( ) ( ){ } ( )

( ) ( ){ }

( ){ } ( ){ } ( ){ } ( ){ }[ ]

( ){ } ( ){ } ( ){ } ( ){ }[ ]t e Lt e Lt e Lt e L

t e Lt e Lt e Lt e L

t eeee L

t ee

Lt t senh L

t t senh L

t t t t

t t t t

t t t t

t t

coscos3cos3cos8

1

coscos3cos3cos8

1

cos338

1

cos2

cos2

cos2

6226

6226

6226

3223

3

−−

−−

−−

−

−+−=

−++−+=

−+−=

−=

Aplicando el primer teorema de la traslación:

( ){ } ( ){ } ( ){ } ( ){ }[ ]

( ) ( ) ( ) ( )( )

( )( )( )( )371254543712

185464816

6

12

23

12

23

16

6

8

1

coscos3cos3cos8

1

2222

24

2222

6226

+++++−+−

+−=

++

+−

++

++

+−

−−

+−

−=

−+− −−

s s s s s s s s

s s

s

s

s

s

s

s

s

s

t e Lt e Lt e Lt e L t t t t




Roberto Cabrera V.

- 10 -

• Encuentre la transformada de la primera derivada de f(t)

( ){ } ( ) ( ){ } ( ) ( )

( ){ } ( ) ( )

( ) ( )

( ) ( ) ( )

( ) ( ) ( )

( ) ( ) ( )

( ) ( )

f(0)- sF(s)

l exponenciaordendeest f queasumiendo P f e pero

P f e f dt t f e s

dt t f e s f P f e

dt t f e set f dt t f e

t f vdt t f dv

dt e-sdueu : partes por Integrando

dt t f edt t f et f' LTenemos

f s sF t f' Lentonces s F t f LSi

sP

P

sP

P

st

P

st sP

P

P

st P

st

P

P

st

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st - st

P

st

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st

=

=

+−=

+−=

+=

=→=

=→=

==

−==

−

∞→

−

∞→

∞

−

−−

∞→

−−

∞→

−

∞→

−

−

∞→

∞

−

∫

∫

∫ ∫

∫ ∫

0lim

lim0

0lim

lim'lim

'

'lim':

0,

0

0

00

0

00

• Encuentre la transformada de la función tf(t)

( ){ } ( ) ( ){ } ( )

( ){ } ( ) ( )

( ) ( )

( )

( )

( )[ ]

( ){ } ( ) s F ds

d t tf L

dt t tf e

dt t f te

dt t f e s

dt t f eds

d s F

ds

d

:tenemosigualdad ladeladosambos Derivando

s F dt t f et f LTenemos

s F ds

d t tf Lentonces s F t f LSi

st

st

st

st

st

−=→

−=

−=

∂

∂

=

=

==

−==

∫

∫

∫

∫

∫

∞

−

∞

−

∞

−

∞

−

∞

−

0

0

0

0

0

:

,




Roberto Cabrera V.

- 11 -

• ( ){ }at t L cos2

Por la propiedad de la derivada de la transformada tenemos que:( ){ }

( ){ } ( )

( )

( ) ( ) ( )( )

( )( )322

22

222

2222222

222

22

222

2

2

222

2

32

222

)(1cos

cos

a s

a s s

a s

sa sa sa s s

a s

sa

ds

d

a s

s

ds

d

s F ds

d

at t L

at t L

+

−=

+

−+−+−=

+

−=

+=

−=




Roberto Cabrera V.

- 12 -

Halle:

• ( )

t

t L

cos

Usando la propiedad de la transformada de la derivada

( )

( ) ( ) ( )

{ } ( )

( ) ( ){ }

( ) ( ){ }

( )

( ) ( )( )

( ) ( ) ( ) ( )

( ){ }( ) ( ) ( ) ( )

( ) ( )

( ) s

21

s

23

s

23

23

n

nn

e s

e2s

st

t L

e2s

s s

s2s

s s s st sen L

t t t t

t t t t t sen

n

t t senque sabemos potenciasde serie Por

t sendedatransformala Encuentro

t sen L st

t L

t sen sLt

t L

f s sF t f L

0 f(0)ademást

t (t) f' entonces ,t sent f Si

t

t L

4141

4

1

3

2

2

2

2

29

27

25

23

2

7

2

5

2

3

2

1753

0

2

12

2cos

...!3

21

!22

1

2

11

....!7

29

!5

27

!3

25

23

....!7!5!3

....!7!5!3

!12

1

2cos

2

cos

)0()('

,2

cos

cos

−−

−

∞+

=

+

==

=

+−+

−=

+Γ

−Γ

+Γ

−Γ

=

+−+−=+−+−=

+

−=

=

=

−=

===

∑

π π

π

π




Roberto Cabrera V.

- 13 -

• Encuentre la transformada de la integral de f(t)

( ){ } ( ) ( )( )

( ) ( )

( ){ } ( ){ }

( ){ } ( )

( )( ){ } ( )

s

s F

s

t f Lduu f L

:quetenemos Despejando

duu f L st f L

g t g L st g L

:que sabemos Entonces

0 g(0) y f(t)(t) g' entonces ,duu f t g Si

s

s F duu f Lentonces s F t f LSi

t

t

t

t

==

=

−=

===

=

=

∫

∫

∫

∫

0

0

0

0

)0('

,

• Encuentre la transformada f(t)/t

( ){ } ( )( )

( )

( )( )

{ } { }

{ } { }

{ } ( ) ( )

( ) ( )∫

∫ ∫

∫

∞

∞

∞

∞

=

=−=

−=

=

==

=

=

s

s

s

s

duu f t t f L

duu f duu f (t) g L

:quetenemosladosambos Integrando

(t) g Lds

d (t) f L

g(t)t L(t) f L

:que sabemos Entonces

g(t)t (t) f entonces ,t

t f t g Si

duu F t

t f Lentonces s F t f LSi ,




Roberto Cabrera V.

- 14 -

Halle:

• ( )

∫ − θ θ

θ

θ d senet e L

t

t

0

44 31

( )

( ){ } ( )

( )

( ){ }

( ) ( )

( ){ }

( ){ }( )

( ){ }( )

( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )( ) ( )2220

44

222

2

224

4

4

0

4

0

4

4

0

44

4

3arctan

254844

3

4243

1

3

4arctan

258

3

23

4arctan

2

1)(

3

4arctan

2

1)(

3

4

arctan23

4

arctan258

3

)(

258

3

94

33)(

3)(

)(

31)(,)(31

)(

,31

4

31

−

−+−+−−

+−

=−=

+

−++

+=

+−−==

+−==

+

−=

+

=++==

=

++=

++==

=

=

=

==

=

−=

−=

∫

∫ ∫

∫

∫

∫

∫

−

∞∞∞

−

−

∞

−−

−

−

s

s

s s s s sGd senet e L

s

s

s s s s

s

sds

d t ht L sG

s

s s

sM H(s)

su

duuuduu X

) x(

LM(s)

uuu sene Lu X

:estraslacióndeteorema primer el por que sene Lu X

duu X ) x(

LM(s)hallamosdonde De

sene L sM si s

sM d sene L H(s) Encuentro

s H ds

d t ht L

:que sabemosdatransformaladederivadaladeteoremael por

d senet LesqueG(s)encontrar Debo

sGt g e L

:quetenemostraslaciónladeteorema primer el Por

d senet e L

t

t

s s s

s

t

t

t

t

t

π θ θ

θ

π π

π

π

θ

θ

θ

θ

θ

θ

θ θ

θ θ θ

θ θ θ

θ θ

θ

θ

θ

θ

θ θ

θ

θ




Roberto Cabrera V.

- 15 -

• Demuestre el segundo teorema de la traslación

( ){ } ( ) ( ) ( ){ } ( )

( ) ( ){ } ( ) ( )

( ) ( ){ } ( )

( ) ( ){ } ( ) ( )

( ) ( ){ } ( ) ( )

s F eduu f eeat f a-t L

duu f eat f a-t L

ut y0uat Cuando

dudt ya-t uaut Si

dt at f eat f a-t L: Entonces

dt at f a-t eat f a-t LTenemos

s F eat f a-t Lentonces s F t f LSi

as suas

au s

a

st

st

as

−

∞

−−

∞

+−

∞

−

∞

−

−

==−

=−

∞=→∞==→=

==→+=

−=−

−=−

=−=

∫

∫

∫

∫

0

0

0

:

,

µ

µ

µ

µ µ

µ

• Encuentre la transformada ( ) ,....3,2,1,02212;0

122;2=

+<<+

+<<=

−

nnt n

nt net f

t

( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )[ ]

{ }

( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ){ }( )

( )

{ }

+

+

=

+=

+=

+

=

−=

−+−+−=−+−+−=

−+−+−=

+=

−+−+−=

+

+

∞+

=

−−−−−−−−

−

∑

12

12

1

111

1111)(

...11

...1

)(...)(

2

1

....

21

21

0

432432

543210

5432102

s

s

s

s

s

n

n

s

s s s s s s s s

t

e s

e sG f(t) L

e s

e

e

se s sG

eeee s s

e

s

e

s

e

s

e

s sG

t t t t t t L sG

sG f(t) Lquetenemostraslaciónladeteorema primer el Por

t t t t t t et f

µ µ µ µ µ µ

µ µ µ µ µ µ




Roberto Cabrera V.

- 16 -

• ( )( )

( )

+ t t

t sent t sen L δ µ π

3)(

4

( )( )

( )

( )( )

( ) ( )( )

( )

( )( )

( )

( )( )

( ) 31

1

2

23)(

3)3(13

lim3

1

1

2

2

1

1

12

2

)(4

)(4

cos2

2)(

44cos

2

2

44cos2

2

4cos444cos44

)()(4

3)(

3)(

3)(

24

4

0

0

24

224

444

4

4

44

4

+

+

+=

+

===

+

+=

++

+=

−+

−=

−+

−

−+

−=

−+

−=

+−

=

−

+

=

+

+

−

→

−

−−

−

s

set

t

t sent t sen L

t

t senet

t

t sen L

:impulso funciónlautilizodatransforma segundalaara P

s

se

s s

se

t t sen Lt t Lt t sent L

t sent t sen sent t sen

:escalónal multiplicaque funciónladesplazar debo Pero

s F et t f L

:traslaciónladeteorema segundoel utilizodatransforma primeralaara P

t t

t sen Lt t sen Lt

t

t sent t sen L

t

t

t sent t sen L

s

t

s

s s

s

π

π

π π

π π π

π

π

π π

π

δ µ

δ

µ π

µ π

µ π π

π π π π π π π π

µ π

δ µ δ µ

δ µ




Roberto Cabrera V.

- 17 -

• Encuentre la transformada de la siguiente gráfica

Tenemos que encontrar la transformada de una función periódica:

( )

( ){ }

( ){ }

( )

( ) ( )

( )

( ){ }( )

( ){ }

( )( )11

1

1

1

1

1

1

)cos()(

1

1

:Re1

)cos()()(

)cos()()(1

)()()cos()(

)()cos(

)cos()cos()(

)cos()(

)(1 1

)(1

1

20

0)(

222

0

22

2

2

02

2

02

+−

=

+

+

−

=

+

−−

−=

+

−−=

−−=+

+−−=

=→=

−=→=

−−=

−=→=

−=→=

−=

−=

<<

<<=

−

−

−

−

−

−−

−

−

−

−−

−

−

∫

∫

∫ ∫

∫ ∫

∫

∫

se s

e

e

t g L

s

t t sen se

et g L

emplazando

s

t t sen sedt t sene

t t sen sedt t sene s

dt t sene st sene set dt t sene

t senvdt t dv

e sdueu : partes por Integro

dt t e set dt t sene

t vdt t sendv

e sdueu : partes por Integro

dt t senee

t g L

dt t g ee

t g L

2 periodoconente periodicamextendidat

t t sent g

s

s

s

st

s

st st

st - st

st - st - st - st

st - st -

st - st - st

st - st -

st s

st

s

π

π

π

π

π

π

π

π

π

π π π

π




Roberto Cabrera V.

- 18 -

• Demuestre el teorema de la convolución

{ } { } { }

{ } { }

dt duut g u f eS donde

S dt duut g u f edt duut g u f eduut g u f L

:quelo por g(t) LG(s) f(t) L F(s)donde

sG s F duut g u f L

t g t f duut g u f sG s F Lentoncest g G(s) L yt f F(s) LSi

M

t

t

u

st

M

M M

t

t

u

st

t

ut

st

t

t

t

1-1-

∫ ∫

∫ ∫ ∫ ∫ ∫

∫

∫

= =

−

∞→

∞

= =

−

=

∞

=

−

−=

=−=

−=

−

==

=

−

=−===

0 0

0 0000

0

0

)()(

lim)()()()()()(

,

)()()()(

)(*)()()()()(),()(

La región en el plano en donde se llevará a cabo la integración es:

Luego de hacer el cambio t-u=v la región cambia, por lo que el integral se transforma en:

( ) ( )( )

( )( )

( )

( )

( ) { }{ } )()()()()()(

),(,),(

0)()(

)()(

111

01

,

,

,

,)()()()(

000 0

0 00 0

0 0

sG s F dvv g eduu f edvduv g u f e

dvduvu K S limentoncesdvduvu K S

M vuM vuv g u f ev) K(u, funciónotra Definamos

dvduv g u f eS donde De

v

t

u

t v

u

u

u

vu

t u J

:escióntransformalade Jacobianoel Donde

dvduvu

t uv g u f edt duut g u f eS

sv su

v u

vu s

v u

M M

M

v

M

u

M

vu s

M

v

vM

u

vu s

M

R

vu s

R

st

M

uvtu

===

==

>+≤+=

=

==

∂

∂

∂

∂∂

∂

∂

∂

=∂

∂=

∂

∂=−=

∫ ∫ ∫ ∫

∫ ∫ ∫ ∫

∫ ∫

∫∫ ∫∫

∞−

∞−

∞

=

∞

=

+−

∞

=

∞

=∞→

= =

+−

=

−

=

+−

+−−

0 M 0 M

t-u=v




Roberto Cabrera V.

- 19 -

Halle:

• ( )

+

−

222

1

a s

s L

( )

( ) ( )( ) ( )

( ) ( )( )

( )( )

( ) ( ) ( ) ( ) ( )[ ]

( ) ( ) ( ) ( ) ( )

( )( )

( )( )

( )( )

( )( )

( )

( ) ( )

( )

( )

( )a

at sent

a

at sen

at aa

at at sent

at sena

a

at at

aa

at sent at sen

a

duau sen

at a

duau

at sena

duauau senat a

duauat sena

duau senat auat senaua

dua

ut a senau

a sa s

s L

at sena

at a sa s

s L

:quetenemosnconvoluciódeintegral el Usando

a s

s L

t t

t t

t

t

2

2cos

1

2

cos

2

1

4

2cos1cos

1

4

2

2

1

2

2cos

1

2

2cos11

coscos1

cos1

coscoscos

1

cos1

1*cos

1

2

00

00

2

0

02222

1

22221

222

1

=

−

+=

−−

+=

−

+=

−=

−=

−=

++

=

++

+

∫ ∫

∫ ∫ ∫

∫ −

−

−




Roberto Cabrera V.

- 20 -

Resolución de ecuaciones diferenciales mediante las transformada deLaplace

Encuentre la solución de la siguiente ecuación diferencial:

• ( ) 3)0(''0)0(')0(,cos102'5''4''' ====+++ y y yt y y y y

{ } { } { } { } ( ){ }

{ }

{ }{ }{ }

( ){ }

( ) ( ) ( )

( )

( ) ( )

( )( ) ( ) ( )

( )

( )( )

( )( )

( )( ) ( )( ) ( )

( ) ( ) ( ) ( ) ( )

( )

{ }( )

)(2)cos(22)(

1

2

1

2

1

2

2

1)()(

1

2

1

21

22

1)(

2121211113103

1112211

3103)(

1

3103)(21

1103)(254

110)(2)(5)(43)(

Re1

cos

)(

)()0()('

)()0(')0()(''

3)()0('')0(')0()('''

cos102'5''4'''

2

2211

22

222222

2222

2

2

22

223

223

2

22

323

t sent teeet y

s

s

s s s L sY Lt y

s

s

s s s sY

2 E -1, D-2,C 2, B-1, Adonde De

32E 2C 2B A

105E 2DC 3B2A

34E 5D2C 3B2A

0 E 4DC 3B2A

0 D B A

:ecuacionesde sistema siguienteel Tenemos

2E 2C 2B A s5E 2DC 3B2A s4E 5D2C 3B2A s E 4DC 3B2A s D B A310s3s

s s E Ds s sC s s s B s s A s s

s

E Ds

s

C

s

B

s

A

s s s

s s sY

s

s s sY s s

s

s sY s s s

s

s sY s sY sY s sY s

:dastransformalasemplazando s

st L

sY y L

s sY y s sY y L

sY s y sy sY s y L

sY s y sy y s sY s y L

:necesariasdastransformalas Encuentro

t L y L y L y L y L

Laplacededatransformala Aplicando

t t t

2342

+−−+−=

+

+−+

+−

++

+

−==

+

+−+

+−

++

+

−=

=====

=+++

=++++

=++++

=++++

=++

+++++++++++++++++++++=++

+++++++++++++=++→

+

++

++

++

+=

+++

++=

+

++=++

+=−+++

+=+++−

+

=

=

=−=

=−−=

−=−−−=

=+++

−−−

−−




Roberto Cabrera V.

- 21 -

Encuentre la solución de la siguiente ecuación diferencial:

• ( ) ( ) ( ) ( ) 00',20,2;0

20;84,4

2

2

==

>

<<+−==+ y y

t

t t t hdondet h y

dt

yd

π

π π

{ } { } ( ){ }

{ }{ }

( ){ } ( )( ){ } ( )( ){ } ( )( ){ }

( ){ }

( )

( ) ( )

( )( ) ( ) ( )

( ) ( ) ( ) ( )

( )( ) ( ) ( )

( ) ( ) ( ) ( )

( )

( ) ( )( )( )

−−−+++−=

+−+

+

++−=

−====

=

=

=+

=+

+++++=

+++++=

+

+++=

+•

====

−=

=

=+

=+

+++++=−+

+++++=−+

+

+++=

+

−+•

++

+

−+=

+−+

=+

++−

=+−

++−

=

−++−=+−−=

=

−=−−=

=+

−

−

−

−

−

222

2)(2

)2()2cos()(

4

11

4

11)(

1,00Re

44

04

0

0

444

444

44

4

1,Re

44

84

0

2

44482

44482

44

482

4

4

4

482)(

4482)(4

14

84)(42)(

:Re

14

84

2)(484)(84)()(

)(

2)()0(')0()(''

4''

2

222

22

23

222

2222

233

2223

2222

3

222

22

3

22

2

32

22

22

22

2

2020

22

π π µ π π

π π

π π

π

π

π

π

π

π

π

π

π µ π µ π µ µ

π

π

π

π

π

π

π π

t sent t

t sent 2-2t 2t y

s se

s

s2-2

s s

2 sY

DC 1, B , A:quetenemos sistemael solviendo

B

A

D B

C A

B s A s D B sC A

s DCs s B s As

s

DCs

s

B

s

A

s s

D2-2C -1, B ,2 A:quetenemos sistemael solviendo

B

A

D B

C A

B s A s D B sC A s s

s DCs s B s As s s

s

DCs

s

B

s

A

s s

s s

: parciales fracciones Encuentro

s se

s s

s s sY

se

s

s s sY s

se

s s sY s sY s

emplazando

se

s st h L

t t Lt t Lt t t Lt h L

sY y L

s sY s y sy sY s y L


t h L y L y L


s

s

s

s

s




Roberto Cabrera V.

- 22 -

• Determinar la solución del siguiente problema de valor inicial:

Primero se expresa en términos de funciones escalones de la siguiente manera:

Se reemplaza en la ecuación diferencial y se procede a resolverla usando transformadas de Laplace:

Despejando Y(S):

Encontrando la solución mediante transformada inversa de Laplace:

i) ii)

iii) Entonces

iv)




Roberto Cabrera V.

- 23 -

Encuentre la solución de la siguiente ecuación integro - diferencial:

• ( )t t

t yduut yu y

t

δ −+=−∫ 6)(2)()(

3

0

{ } ( ){ }

{ }

{ }

( ){ }

t t t y s

sY

t t t y s

sY

s

s s s

s

sY

s

s sY sY

s sY sY

emplazando

t L

s s

t L

sY t y L

sY t yt y Lduut yu y L


t Lt

Lt y Lduut yu y L


t

t

−=→−=

+=→+=

+−±

=

−−±

=

=

−+−

−+=

=

==

=

==

−

−

+=

−

∫

∫

)()(1

1)(

)()(1

1)(

2

4442

2

1442

)(

01

)(2)(

11

)(2)(

:Re

1

1

6

!3

6

)()(

)()(*)()()(

6)(2)()(

222

121

4

44

4

4

2,1

4

42

42

44

3

2

0

3

0

δ

δ

δ

δ




Roberto Cabrera V.

- 24 -

Encuentre la solución de la siguiente ecuación diferencial de coeficientes variables:

• ( ) 2)0(',1)0(,02'21'' ===−−+ y y y yt ty

{ } ( ){ } { }

{ } { } [ ]

( ){ } { } { } ( ) [ ]

( ){ } ( ) ( ) ( ){ }

( ) ( )( )

( ) ( )( )( )

( )

( )( ) ( )

t

t

et y

K Ke y

Ket y

s

K sY

K s sY

s

ds

sY

sY

s s

s

sY

sY

s sY sY s s

s sY sY s s sY s s sY s s

sY sY s s sY s sY sY s

emplazando

sY y L

sY s s sY s sY sY s sY yt L

y s sY ds

d y s sY ty L y L yt L

s sY sY s y sy sY sds

d y L

ds

d ty L


y L yt Lty L


2

)0(2

2

2

2

22

)(

11)0(

)(

2

)(

)ln(2ln)(ln

2)(

)('

2)(

)('

)()('2

0)()('20)(222)('2

0)(21)(2)('21)(2)('

:Re

)(

1)(2)('2)(')(21)('21

)0()(2)0()('2''21

1)(2)(')0(')0()(''''

02'21''

=

=→==

=→

−

=

+−−=

−−=

−−=

=−−

=−−−=−++−++−

=−−++++−−

=

−++=++−=−

−+−=−=−

+−−=−−−=−=

=−−+

∫ ∫




Roberto Cabrera V.

- 25 -

Encuentre la solución de la siguiente ecuación diferencial de coeficientes variables:

• ( ) 13'2'' −=++− t y yt ty

{ } ( ){ } { } { } { }

{ } { } [ ]

( ){ } { } { } [ ] ( )

( ){ } ( ) ( ) ( ){ }

{ } { }

( ) ( )( )

( ) ( ) ( )

( ) ( )

( )

( ) ( ) ( )

( ) ( )( )

( )( )

( ) ( ) ( )( )( )( )

{ }

( )( ) ( )( )

( )( ) ( )( ) { }

( )( ){ } ( )( ) ( )

( ) ( ) ( )

( ) ( )( ) t k duut

u

ek t yt k t

t

ek t y

t s

Lt g

t

ek t f ek

s s

k Lt tf

s s

sk L s s

ds

d Lt tf s s Lt f

t g t f sG s F L s s s L s

s s L

s

k L

s

s s L

s

k

s

s s Lt y

sY Lt y s

k

s

s s sY

k s sk sk s sY s

ds s

k s

ds s s

sk s sY s

ds s s

sk s su sY su

see su

s s

sk s sY

s sY

s

sk s sY s sY s s

s

sk k sY s s sY s s

s

s sY k sY s s sY k s sY sY s

emplazando

s

s

s s Lt L

sY y L

k sY s s sY s sY sY k s sY yt L

y s sY y s sY ds

d y Lty L yt L

k s sY sY s y sy sY sdsd y L

dsd ty L


Lt L y L yt Lty L


t ut

t t

k k

k k

k k

k

k

sds

s

2

0

12

1

21

11

11

113131

123

12

3

1

221

2

31

22

2

31

122

2

3

23

212

1

212

3

21

2ln22

3

21

2

21

2112

211

2

22

11

122

13)(*

13)(

1)(

13)(13

1)1(

3)(

)1(113

1ln)(1ln)(

)(*)()()(1

1ln1ln

1ln1ln)(

)()(1ln

)(

1ln1ln3ln)(

11

31

131

)(

1

31)(

1

31)(

2)('

31)(14)('1

12)(3122)('

1)(32)(12)(')(2)('

:Re

1111

)(

2)(12)(')(')()(2'2

)0()(2)0()('2''2

)(2)(')0(')0()(''''

13'2''

11

1

1

11

1

1

+−+−

=→++−

=

=

=

+−=→+−=

+−

−=

−

−+−=

−−=→−=

==

−=

−

+

−

=

+−

=

=→+−

=

+−=+−+=

−+=

−

++−=

−

++−=

===

−

++−=+

−−=−−−−

−=++++−−++−

−=+−−+−−+−−

−=−=−

=

−−+−=+−−=+

−+−−=+=+

+−−=−−−=−=

−=++−

∫

∫ ∫ ∫

−

−

−−−

−−−

−−−

−

∫




Roberto Cabrera V.

- 26 -

Método de eliminación

1) Usando el método de eliminación, resuelva el siguiente sistema de ecuaciones

diferenciales:

=+++

=−−+ −

)2(eyx2'y'x

)1(eyx'y'x2t

t

Restando: (1)-(2);

Se obtiene:t t ee y x x −=−− −23'

Despejando y :

22

3

2

' t t ee x x y

−−+−=

Reemplazando y en (1):

2

e

2

e)sentCtcosC(

2

3tcos

2

Csent

2

Cy

tcosCsentC'x

2

e

2

e

2

x3

2

'xy

sentCtcosCx

ir

01r

0]1r[eexsi

0x''x02

x

2

''x

e2

e

2

e

2

x3

2

'xx

2

e

2

e

2

'x3

2

''x'x2

e2

e

2

e

2

x3

2

'xx

2

e

2

e

2

x3

2

'x'x2

tt

2121

21

tt

21

2,1

2

2rt

rt

ttttt

ttt'tt

−

−

−−−

−−−

−++−+−=⇒

+−=

−+−=⇒

+=⇒

±=⇒

=+⇒

=+⇒=

⇒

=+⇒=+⇒

=+−+−−++−+⇒

=

−+−−−

−+−+

tsenh2

ee;

2

e

2

etcosksentky

2

e

2

etcos

2

C3

2

Csent

2

C3

2

Cy

tttt

21

tt

K

12

K

21

21

=−

−++=⇒

−+

−+

−−=

−−

−

Pero

4 434 4214 4 34 4 21

Solución:

++=+=

senhttcosksentkysentCtcosCx

21

21




Roberto Cabrera V.

- 27 -

2) Utilice el método de eliminación para encontrar la solución general del sistema lineal

dado, donde x´, y´, z´ denotan diferenciación con respecto a t.

1

2

De la primera ecuación despejamos y;

Reemplazando y en la segunda ecuación:

Multiplicando la ecuación por 3;

Obtenemos una ecuación diferencial de coeficientes constantes:Resolviendo la ecuación 3 con x=ert;

Ecuación Característica

Ahora encontremos y:

( ) ( )'3

1

3

2 x x y −=

t t eC eC x −+= 24

1 t t eC eC x −−= 2

414'

x 2 ydt

dy

y3 x 2dt

dx

−−−−====

−−−−====

3

´ x x

3

2 y

dt

dx

3

1 ) x 2(

3

1 y

−−−−====⇒⇒⇒⇒

−−−−====⇒⇒⇒⇒

x 23

´ x x

3

2

3

´´ x ´ x

3

2

3

´´ x ´ x

3

2

dt

dy

−−−−−−−−====−−−−⇒⇒⇒⇒

−−−−====⇒⇒⇒⇒

0 x 4 ´ x 3´´ x

x 6 ´ x x 2´´ x ´ x 2

====−−−−−−−−⇒⇒⇒⇒

−−−−−−−−====−−−−⇒⇒⇒⇒

[[[[ ]]]] 04 r 3r e 2rt ====−−−−−−−−⇒⇒⇒⇒

;ecec x

e x ,e x 1r ,4 r

0 )1r )( 4 r (

04 r 3r

t

2

t 4

1

t

2

t 4

1

21

2

−−−−

−−−−

++++====⇒⇒⇒⇒

========⇒⇒⇒⇒−−−−========

⇒⇒⇒⇒

====++++−−−−

====−−−−−−−−⇒⇒⇒⇒




Roberto Cabrera V.

- 28 -

⇒ Reemplazando x, y x’ en y:

⇒ [ ] [ ]t t t t eC eC eC eC y −− −−+= 24

124

1 43

1

3

2

t t eC eC y −+−= 24

132

* Encuentre la solución particular del problema anterior dado:

x (0)=8, y (0)=3

Del ejercicio anterior:

t t eC eC x −+= 24

1

t t eC eC y −+−= 24

13

2

Como x (0)=8, entonces:8= C1+C2 1

Como y (0)=3, entonces:

2132

3 C C +−= 2

Con 1 y 2 se obtiene un sistema de 2 ecuaciones con dos incógnitas; resolviendo elsistema se obtiene:

C2=5, C1=3

⇒ La solución particular es: t t ee x −+= 53 4 t t ee y −+−= 52 4




Roberto Cabrera V.

- 29 -

Método de los operadores diferenciales

1) Usando el método de las operaciones diferenciales resuelva el siguiente sistema de

ecuaciones diferenciales:

=+++−

=+++−

t2

21

2

22

12

ex)4D4D(x)D2D(

tx)D2D(x)4D4D(

=++−

=++−t

22

1

212

ex)2D(x)2D(D

tx)2D(Dx)2D(

Encontrando )t(x1 usando la regla de Kramer se obtiene que:

( )[ ][ ]

( )( )( )

[ ]

;cex''

;cebx'

;cebtax

:ular xión partico la solucEncontrand

;eCeC)t(x

;2r;04r

;04re

;e)t(x

;0)t(x4)t(''xogénea:homióno la solucEncontrand

;e4

3t1)t(x4)t(''x

;e4

3t1)t(x)4D(

;e3t44)t(x)4D(4

;)4D(4

e3t44)t(x

)4D(4

e3t44

)4D(4

e2t42e2

D4D)4D(

et212D)t(x

D)2D)(2D()2D)(2D(

Det)2D(2D

)2D(D)2D(D)2D()2D(

e)2D(Dt)2D(

)2D()2D(D

)2D(D)2D(

)2D(e

)2D(Dt

)t(x

t1p

t1p

t1p

1p

t2

t21h1

2,12

2rt

rt1

11

t11

t1

2

t1

2

2

t

1

2

t

2

tt

222

t

1

2

t

22

t2

2

2

2t

1

=

+=

++=

+=

±==−

=−

=

=−

+−−=−

+−−=−

−+=−−

−−

−+=

−−

−+=

−−

−++−=

−−−

−++=

−−+−+

−++=

−+−+−

+−+=

+−

+−

+

+

=

−

( )

;e4

3t1ce3bt4a4

;e4

3t1cebta4ce

tt

ttt

+−−=−−−

+−−=++−

+−−=− :obtienese ,e4

3t1(t)4x(t)''xendoReemplazan t

11




Roberto Cabrera V.

- 30 -

[ ] ( )

( )

( )

;12

e

8

1eCeC)t(x

;12

e

8

1x

;8

1a;

12

1b

;a4be3

;bea4be

;be''x

;be'x

;beax

;eCeC)t(x;2r

;2

1

4

e)t(x4)t(''x

;2

1

4

e)t(x)4D(

;2e)t(x)4D(4

;)4D(4

2e

)4D(4

2e2e

)4D(4

1e)2D()t(x

)4D(4

1e2e)2D(

)4D(4

Dte)2D()2D(

)4D(4

t)2D(De)2D(

)2D()2D(D

)2D(D)2D(

e)2D(D

t)2D(

)t(x

:),t(

tt2

2t2

12

t

p2

t

tt

tp2

tp2

tp2

t22

t21h2

2,1

t

22

t

22

t2

2

2

t

2

tt

2

t

2

2

tt

2

t

2

t2

2

2

t

2

2

+++=

+=

==

−−=−−

−−=+−

−−=−

=

=

+=

+=±=

−−=−

−−=−

+=−−

−−

+=

−−

++−=

−−

−−−=

−−

−−−=

−−

−−−=

−−

−−−=

+−

+−

−

−

=

−

−

2

1

4

e

2

1

4

e

: 2

1

4

e (t) 4x (t) ' ' x en x do Reemplazan

: particular solución la o Encontrand

Kramer de regla la usando x solución la encontrar a procede se Ahora

t

t

t

2 2 2p

2

La solución es:

+++=

−+++=

−

−

;12

e

8

1eCeC)t(x

;e4

1t

4

1

4

1eCeC

tt2

2t2

12

tt2

t21(t) x 1




Roberto Cabrera V.

- 31 -

2.-) Usando el método de los operadores diferenciales resuelva el sistema:

=++−

−=−++

)2(tcos4)x)(2D()x)(3D(

)1(sent)x)(1D()x)(2D(

21

21

( )

( ) ( )

;senttcosCex

;senttcosx

;9AB8

;7BA8

;sent7tcos9tcosAB8sentBA8

;0BsenttcosAtcosBAsent8

;0xx8

;tcosBAsent'x

;BsenttcosAx

;Cex

;

8

1r

;01r8

;re'x

;ex

;0xx8

;sent7tcos9xx8

tcos9sent7xx8tcos9sent7x)1D8(

tcos8tsentsent3tcosx)4D4D(x)3D4D(

cot)4)(2D(x)2D(x)3D)(2D(

)sent)(3D(x)3D)(1D(x)3D)(2D(

)2D(por2)3D(por1Multiplico

t8

1

2

p2

2'

2

2

2

t8

1

2

rt2

rt2

2'

2

2'

2

2'

2

2

22

22

22

1

21

++=

+=

==

=+

−=+−

−=+++−

=+++−

=+

+−=

+=

=

−=

=+

=

=

=+

−=+

−=−−−=−−

−++−=++−+−

+=++−+

−

−−=−−+−+

+∧−

−

−

: es particular solución La

1,B 1, A

: sistema el o Resolviend




Roberto Cabrera V.

- 32 -

Ahora procedemos a encontrar 1x del sistema de ecuaciones:

++=

+−=

+−=

−−

++=

−−=

−−=−

=++−

−=−++

=++−

−=−++

−

−

−

−

;senttcosCex

;sent2tcosCe3x

;sent2tcosCe3x

t;cos4sentsenttcosCe3x

t;cos4sentx3x

;tcos4sentx3x5

tcos4x2'xx3'x

;sentx'xx2'x

)2(tcos4)x)(2D()x)(3D(

)1(sent)x)(1D()x)(2D(

t8

1

2

t8

1

1

t8

1

1

t8

1

1

21

21

2211

2211

21

21

: es sistema del solución La

: obtiene se (2),y (1) Restando (2)

(1)




Roberto Cabrera V.

- 33 -

Método de Laplace

1) Utilice el método de las transformadas de Laplace para resolver el problema de valor

inicial dado. Aquí x’, y’, etc. denotan diferenciación con respecto a t.

=−−=+−

;cos'4 ;2'3't y y x

sent y x x ;0)0( ;0)0(==

y x

Aplicando transformada de Laplace a las dos ecuaciones:

+=−−−

+=+−−

;1

)()0()()(4

;1

1)(2)(3)0()(5

2

2

s

s s y y s sy s x

s s y s x x s x

+=+−

+=+−

−

−

1)()1()(4

11

)(2)()3(

)3(

)4(

2

2

s

s s y s s x

s s y s x s

s

Sumo1 y 2, entonces se obtiene:

[ ]

1

43)()1)(3(8

2

2

+

−−=+−+−

s

s s s y s s

[ ]1

)1)(4()(52

22

+

+−=+−−

s

s s s y s s

+

++

+−

+−=

++−

−−−=⇒

152)1)(52()43(

)(2222

2

s

DCs

s s

B As

s s s

s s s y

)1)(52()5()52()2())((

)1)(52(43

22

23

22

2

++−

+++−+−+++=

++−

−−⇒

s s s

D B sC D A sC D B sC A

s s s

s s

−=+

−=+−

=−+

=+

⇒

4D5B

3C5D2A

1C2DB

0CA

Resolviendo el sistema:

−=

−=

−=

=

;10/7D

;10/11C

;2/1B

;10/11A

+

−−

++−

−

−=1s10

7s

10

11

5s2s2

1s

10

11

)s(y22

+

−

=+−−−

+−=−−−

≈

;1

)3()()1)(3()()3(4

;1

4)(8)()3)(4(

2

2

s

s s

s y s s s x s

s s y s x s

L [ ]' x -3L [ ] x +2L [ ] y =L [ ] sent

L [ ] x4 - L [ ]' y - L [ ] y = L [ ]t cos

1

2

1

2




Roberto Cabrera V.

- 34 -

( )[ ] 1s

10

7s

10

11

41s

s10

11

2

1

)s(y22 +

+

++−

−

=

( )[ ] ( )[ ] 1s

1

10

7

1s

s

10

11

41s

s

10

11

41s

1

2

1

)s(y 2222 +⋅+

+⋅+

+−⋅−

+−⋅=

( )[ ]( )

( )[ ] 1s

1

10

7

1s

s

10

11

41s

11s

10

11

41s

2

4

1)s(y

2222 +⋅+

+⋅+

+−

+−⋅−

+−⋅=

( )[ ]( )

( )[ ] ( )[ ] 1s

1

10

7

1s

s

10

11

41s

2

20

11

41s

1s

10

11

41s

2

4

1)s(y

22222 +⋅+

+⋅+

+−⋅−

+−

−⋅−

+−⋅=

Aplicando transformada inversa de Laplace a y(s):

[ ] )()(1

t y s y L =−

;

( )[ ]( )

( )[ ] ( )[ ]

++

++

+−−

+−

−−

+−= −−−−−

1s

1L

10

7

1s

sL

10

11

41s

2L

20

11

41s

1sL

10

11

41s

2L

4

1)t(y

2

1

2

1

2

1

2

1

2

1

( ) ( ) ( ) ( ) ( )tsen10

7tcos

10

11t2sene

20

11t2cose

10

11t2sene

4

1)t(y ttt ++−−= −−−

( ) ( ) ( ) ( )tsen10

7tcos

10

11t2cose

10

11t2sene

10

3)t(y tt ++−−= −−

De la ecuación 4x-y’-y=cos(t); podemos encontrar x(t):

4

)tcos(yy)t(x

++′=

( ) ( ) ( ) ( )tcos10

7)t(sen

10

11]t2cose)t2(sene2[

10

11]t2senet2cose[

10

3)t(y tttt +−−−−−−=′ −−−−

( ) ( )tcos40

7)t(sen

40

11t2sene

8

5)t2cos(e

5

1

4

)t(y tt +−+=′

−−

( ) ( )tsen40

7

)tcos(40

11

t2cose40

11

)t2(sene40

3

4

)t(y tt

++−−=−−

La solución:

( ) ( )

( ) ( ) ( ) ( )

++−−=

+−+−=

−−

−−

tsen10

7tcos

10

11t2cose

10

11t2sene

10

3)t(y

tcos10

7)t(sen

10

1t2sene

20

11)t2cos(e

40

3)t(x

tt

tt




Roberto Cabrera V.

- 35 -

2) Resolver

=+−

=++ −

t15Y3'X4''Y

e15X3'Y''X t

con las condiciones X(0)=0, X’(0)=0, Y(0)=0, Y’(0)=0.

Aplicando la transformada de Laplace a ambas ecuaciones:[ ] [ ]

[ ] [ ][ ] [ ]

[ ] [ ]

[ ] [ ]

[ ] [ ]

( )

( )

( )

( )( )

( )

( )

( ) ( )

( )

( )

( )

( )( )( ) ( )( )( ) ( ) ( )

( ) ( )

( ) ( ) ( ) ( )

( )

( ) ( ) ( )

+−

+=

+

−

=

+

−=

−

+

+

+

−+

−=

+

+

+

−+

−=

++

+

−+

−=

=====

+++

+++=

++−−=

++−−=

+

−−

=+

−−

=++

−+

+−

=+−

−+

−

=

−−

−

−

+

=

=−+−

+

=+−

=−−

+=−+

=−−−−−

+=−−+−−

=−−

=−+ −

222222

2

22

222

2

222

22222

2

22

2

22

2

2224222

2

2

2

2

2

2

2

2

2

2

2

2

2

2

2

t

1s

1

1s

s2

1s

1s2

;tcos1s

s

;1s

1

;1s

s15

1s

1s215

s

115

1s

s

1s

1s2

s

115

1s

s

1s

1s2

s

115)S(X

1sEDs

1sCBs

sA15

1s1ss1ss15

1s1ss15ss15)S(X

1s

s

15ss15

1s

s

15

1

1s15

1s2ss

15

1s

)1s(1s15

s41s

s

s15

1s

1s15

1ss4

s1s

1ss

15

s1s

15

)S(X

;s

15)s(Y1s)S(sX4

;

1s

15)S(sY)s(X1s

;s

15)S(Y)S(sX4)s(Ys

;1s

15)S(X)S(sY)s(Xs

;s

15)S(Y)0(x)S(sX4)0('y)0(sy)s(Ys

;1s

15)S(X)0(y)S(sY)0('x)0(sx)s(Xs

t15y'x4''y

e15x'y''x

1-1-1-

1-

1-

1-1-1-1-

£ £ £

£

£

£ £ £ £ x(t)

: X(S)ainversa Laplacededatransformaaplicando x(t)Obteniendo

:comoexpresamoslo X(s)tantolo Por

0 E 1, D -1,C 2, B -1, A

:sonescoeficient losdevaloreslosqueobtienese parciales fraccionesdesumalacomo X(s) Expresando

: Kramer dereglala Aplicando

£ £

£ £




Roberto Cabrera V.

- 36 -

( ) ( )( )( )

( )

( )

( )( )

( ) ( )( )( )

( )

( )

( )

( ) ( )

[ ]

tcos15tcost5.7sent5.7tsent1515)t(x

tcos152

tcost

2

senttsent1515

1s

s15

1s

1s215

s

115

2

tcost

2

senttsent

2

tcostsent

2

tsent2

1s

1s2

2tcostsent

1s1

2

tcostsent

4

)t(sen

2

tcost

4

)t(sen

2

tcosu

4

)tu2(sen

1s

1

;du2

)tcos()tu2cos(du)ut(sen)u(sensent*sent

1s1s

1

1s

1

;2

tsenttcos*sent

1s

s

;2

tsent4

)tcos(04

)tcos(2

)t(tsentcos*sent

4

)tu2cos(

2

)u(usendu

2

)tu2(sen)t(sendu)utcos()u(sentcos*sent

;tcos*sent1s1s

s

1s

s

222

22

22

t

022

t

0

t

02222

22

t

0

t

0

t

0

t

0

2222

++−+−=

+

+−+−=

++

+

−+

−=

+−=

−−

=

+

−

−=

+

−=

−−−=

−

−=

+

−−=−==

++=

+

==

+

=

−+−−=

−−=

−+=−=

=

++=

+

∫ ∫

∫ ∫

x(t)

£ £ £ x(t)

L

L

L

£ L

L

£ L

1 - 1 - 1 -

1 -

1 -

1 -

1 - 1 -

1 -

1 - 1 -

Ahora encontremos y(t) usando una ecuación del sistema:

( )

( )

+−−−+−=

++−+−=

==

+−−−−−+−=

+−−−=

+−−−=

++−+−−++−+=

−−+−=

−=

−+−−+=

++−+−=

−−=

=++

−

−

−

−

−

−

−

∫

;45tcos45sent90tsent15tcost30e15)t(y

tcos15tcost5.7sent5.7tsent1515)t(x

,0)0(y

;Ctcos30sent60tcos15tsent15sent30tcost30e15y

sent30tcos60tcost15tsent30e15y

;sent30tcos60tcost15tsent30e15'y

;tcos15tcost5.7sent5.7tsent15153sent5.7tcost5.7tcos15tsent15e15'y

;sent5.7tcost5.7tcos15tsent15''x

;tsent5.7tcost15'x

;sent15tcos5.7tsent5.7tcos5.7sent15tcost15'x

;tcos15tcost5.7sent5.7tsent1515x

;x3''xe15'y

e15X3'Y''X

t

t

t

t

t

t

t

:essolucionLa

45;C entonces




Roberto Cabrera V.

- 37 -

Método de los valores y vectores propios

1) Resuelva por el método de los valores y vectores propios el siguiente sistema:

z y z

z y x y

z y x x

3'

5'

4'

−=

−+=

++−=

−

−

−

=

z

y

x

310

151

114

'z

'y

'x

−

−

−

=

310

151

114

A det(A-λI)=0

[ ] [ ] 01)3(11)3)(5()4(

310

151

114

)IAdet( =−λ−−−+λ−−λ−λ−−=

λ−−

−λ−

λ−−

=λ−

0)3)(5)(4( =+−+ λ λ λ

41 −=λ 52 =λ 33 −=λ

4−=λ

=

−00

0

110191

110

z y

x

=−+

=+

09

0

z y x

z y

…. z x

y

10=

−=

−=

1

1

10

1υ

5=λ

=

−

−

−

0

0

0

810

101

119

z

y

x

=−

=+−

0

08

z x

z y ….. z x

z y

=

= 8

=

1

8

1

2υ

3−=λ

=

−

−

0

0

0

010

181

111

z

y

x

=−

=++−

0

0

z x

z y x

z

1

1

10

z

z

z10

z

y

x

−⇒

−⇒

z

1

8

1

z

z8

z

z

y

x

⇒

⇒

z

1

0

1

z

0

z

z

y

x

⇒

⇒




Roberto Cabrera V.

- 38 -

t t t ececect x 321

332211)( λ λ λ υ υ υ ++=

t t t ececect x 33

52

41

1

0

1

1

8

1

1

1

10

)( −−

+

+

−

2) Resolver el sistema

X012011

203

'X

−−−

−

=

0

12

011

203

=

−−−

−−

−−

λ

λ

λ

0)]1(21[2)]1()[3( =+−−++−− λ λ λ λ

04634

0)23(2)1)()(3(23 =−−−−−

=−−+++−

λ λ λ λ

λ λ λ λ

0674 23 =+++ λ λ λ 21 −=λ i212 +−=λ i213 −−=λ

Se procede a encontrar el vector propio asociado al siguiente valor:* 21 −=λ

≈

−−

−

0

0

0

212

011

201

≈

−−

−

0

0

0

210

210

201

−

0

0

0

000

210

201

y= -2z

x= 2z

−=

1

2

2

1v

Se procede a encontrar el vector propio asociado al siguiente valor i213 −−=λ :

≈

+−−

−−

0

0

0

2130

0i21

)i22(206≈

+−−

−−

0

0

0

2112

0i21

)i22(206

≈

+−−

+−

0

0

0

i2112

0i21

20i22

=υ

1

0

1

3




Roberto Cabrera V.

- 39 -

( )( )

.alesRez

;zi21y3

;zi224x6

∈

+−=

+=

Entonces:

.

Entonces podemos concluir que el vector propio complejo asociado a este valor de

i213 −−=λ es:

( )( ) ,i

0

2

2

3

1

2

3

i21

i22

z

y

x

v

,

z

z3

i2

3

1

z3

i2

3

2

z

y

x

v

ba321321

+

−=

+−

+

=

=

=

+−

+

=

=

: 3 z si v,de forma la tenga que propio vector un usar Podemos

Entonces procedemos a encontrar la primera solución l.i. con 21 −=λ :

−= −

1

2

2

ex t21

Ahora procedemos a encontrar la segunda y tercera solución l.i. con i213 −−=λ , tiene la

siguiente formai

β+α=λ , por lo tanto las otras dos soluciones son:

( )( ) ( )( )( )( ) ( )( );btseneatcosex

;btcoseatsenextt

3

tt2

β−β=

β+β=

αα

αα

( ) ( ) ( ) ( ) ;

0

2

2

t2sene

3

1

2

t2cose

0

2

2

t2sene

3

1

2

t2cosex tttt2

+

−=

−−

−−= −−−−

.alesRez

;z3

i2

3

1y

;z3

i232x

∈

+−=

+=




Roberto Cabrera V.

- 40 -

( ) ( ) ( ) ( ) ;

0

2

2

t2cose

3

1

2

t2sene

0

2

2

t2cose

3

1

2

t2senex tttt3

+

−−=

−+

−−= −−−−

Por lo tanto la solución general es:

( ) ( ) ( ) ( ) ;

0

2

2

t2cose

3

1

2

t2seneC

0

2

2

t2sene

3

1

2

t2coseC

1

2

2

eCx

;xCxCxCx

tt3

tt

2

t21

332211

+

−−+

+

−+

−=

++=

−−−−−




Roberto Cabrera V.

- 41 -

Aplicaciones de Sistema: Masa – Resorte – Amortiguador

1) Una masa de 1 kilogramo sujeta a un resorte con una constante k = 9 m/seg

se suelta del reposo 1 metro debajo de la posición de equilibrio del sistema masa-

resorte, y empieza a vibrar. Después de 2/π segundos, la masa es golpeada hacia

arriba por un martillo que ejerce un impulso de 3 newtons.

a) Determine una función que defina la posición ‘’y’’ de la masa en cualquier instante

‘’t’’.

b) Halle la posición de la masa en los tiempos t= 4/π segundos y t= π segundos.

Como no hay amortiguador C=0;En t = 2/π segundos hay un impulso hacia arriba de 3 Newtons, por lo tanto hay una perturbación

π−δ−=

2t3)t(f , el signo negativo se debe a que tomamos el eje de referencia positivo hacia abajo.

La ecuación diferencial que representa al sistema es:

;2t3Ky9dt

yd2

2

π−δ−=+

Para resolver esta ecuación diferencial aplicamos la transformada de Laplace a ambos lados de la ecuación:

;e3)s(y9)0('y)0(sy)s(Ys

;2

tδ3y9

dt

yd

s22

2

2

π−

−=+−−

−−=

+ L L

La posición inicial del sistema es y(0)=1 metro, y la velocidad inicial es y’(0)=0:

( )

;2

tu2

t3sent3cos)t(y

;9s

e3

9s

s

9s

e3

9s

s)t(y

;9s

e3

9s

s

9s

e3s)s(y

;e3s)s(y9s

;e3)s(y9s)s(ys

2

s2

22

s2

2

2

s2

22

2

s22

s2

s2

π−

π−−=

+−

+

=

+−

+=

+−

+=

+

−=

−=+

−=+−

π−

π−

π−

π−

π−

π−

1 - 1 - 1 - L L L

)t(fKydt

dyC

dt

ydm

2

2

=++




Roberto Cabrera V.

- 42 -

a)

π≥

π−−

π<

=

2

t

2

t3sent3cos

2t;t3cos

)t(y

b)

m0)1(1)2/(3sen)3cos()(y

,m2

2)4/3cos()4/(y

=−−−=π−π−π=π

−=π=π

2) Un sistema vibratorio compuesto de un resorte de constante m/N4k = , un

amortiguador de m/Ns6c = , tiene adherido una bola metálica de 20 Newton de peso.

Determine la forma en que vibra la masa si inicialmente esta en la posición de equilibrio

y sin velocidad inicial, y si desde el tiempo t = 0 actúa una fuerza perturbadora definidaasí:

[ )

( ]

∈−

∈=

4,2t;t100400

2,0t;t100)t(f


);t(fKy

dt

dyc

dt

ydm

2

2

=++

Asumiendo que la gravedad es 2s/m10 :

210

20

g

wm === Kg.

);t(fy4dt

dy6

dt

yd2

2

2

=++

Antes de resolver la ecuación diferencial aplicando la transformada de Laplace, se recomienda expresar lafunción f(t) en términos de de funciones escalones multiplicadas por las funciones que se encuentran en cadauno de los intervalos mostrados en la regla de correspondencia:

( ) ( )( ) ( ) ( )

( ) ( ) ( )

( ) ( ) ( ) ( )

( ) ( ) ( ) ( )

( ) ( ) );4t(u4t100)2t(u2t200)t(tu100)t(f

);4t(u400)4t(u4t100)4t(u400)2t(u400)2t(u400)2t(u2t200)t(tu100)t(f

);4t(u44t100)4t(u400)2t(u400)2t(u22t200)t(tu100)t(f

);4t(tu100)4t(u400)2t(u400)2t(ut200)t(tu100)t(f

);4t(tu100)4t(u400)2t(tu100)2t(u400)2t(ut100)t(tu100)t(f

);4t(ut100400)2t(ut100400)2t(tu100)t(tu100)t(f

−−+−−−=

−+−−+−−−+−−−−−=

−+−+−−−+−+−−=

−+−−−+−−=

−+−−−−−+−−=

−−−−−+−−=

La ecuación diferencial queda expresada de la siguiente forma:

( ) ( ) );4t(u4t100)2t(u2t200)t(tu100y4dt

dy

6dt

yd

2 2

2

−−+−−−=++




Roberto Cabrera V.

- 43 -

Ahora se puede proceder a resolver la ecuación diferencial mediante la transformada de Laplace:

( ) ( )[ ]

( ) ( )[ ];)4t(u4t50)2t(u2t100)t(tu50y2dt

dy

3dt

yd

;)4t(u4t100)2t(u2t200)t(tu100y4dt

dy6

dt

yd2

2

2

2

2

−−+−−−=

++

−−+−−−=

++

L L

L L

La posición inicial del sistema es y(0)=0 metro, y la velocidad inicial es y’(0)=0:

[ ]

[ ]

( ) ( ) ( )

( ) ( ) ( )

( )

++=

+++

++−

++=

+++

++−

++=

+−=++

+−=++

+−=+−+−−

−

−−

−−

−−

−−

−−

)1s(2ss

50)t(y

;e)1s(2ss

50e

)1s(2ss

100

)1s(2ss

50)s(y

;e2s3ss

50e

2s3ss

100

2s3ss

50)s(y

;e

s

50e

s

100

s

502s3s)s(y

;es

50e

s

100

s

50)s(y2)s(sy3)s(ys

es

50e

s

100

s

50)s(y2)0(y3)s(sy3)0('y)0(sy)s(ys

2

11

y

s4

2

y

s2

2

y

2

s4

22

s2

2222

s4

2

s2

22

2

s4

2

s2

22

2

s4

2

s2

22

2

)s(3)s(2)s(1

L

4 4 4 34 4 4 214 4 4 34 4 4 214 4 34 4 21

Para encontrar )t(y1 , se procede a usar el teorema de la integral de la transformada de Laplace:

Si( )

)t(f)1s(2s

501 =

++

−L , entonces( )

dud)(f)1s(2ss

50t

0

u

0

2

1

∫ ∫ θθ=

++

−L

( ) ( ) ( )

( ) ( )

( )( )

=+

=+

++

+++=

++

+=

++

−−−

50B2A

0BA

;1s2s

2s1sA

1s2s

A

)1s(2s

50 111 BBL L L

Resolviendo el sistema de ecuaciones, se obtiene:B = 501, A = -50;

( ) ( ) ( );50e50

2s

50

1s

50

)1s(2s

50 t2t11 −−−− −=

+−

+=

++L L

Entonces:

( ) ( ) ;dud50e50d)(f)1s(2ss

50

t

0

u

0

2

t

0

u

0

21

∫ ∫ ∫ ∫ θ−=θθ=

++θ−θ−−L




Roberto Cabrera V.

- 44 -

[ ] ( )[ ] [ ]

[ ] [ ] ( )[ ]

[ ] ;5.37t25e5.12e50du2525e50

;5.1250t25e5.12e50u25e5.12e50du2525e50

;du2525e50du255025e50du25e50

t2t

t

0

u2u

t2tt

0u2u

t

0

u2u

t

0

u2ut

0

u

0u2u

t

0

u

02

−+−=++−

−−+−=+−=++−

++−=+−−+−=+−

−−−−

−−−−−−

−−−−θ−θ−

∫

∫

∫ ∫ ∫

Por lo tanto:

( )

;5.37t25e5.12e50)t(y

;5.37t25e5.12e50)1s(2ss

50

t2t1

t2t

2

1

−+−=

−+−=

++

−−

−−−L

( ) ( )

( )( ) ( ) ( )( )

( )( ) ( ) ( )( ) );4t(u5.374t25e5.12e50e

)1s(2ss

50)t(y

);2t(u5.372t25e5.12e502e)1s(2ss

502)t(y

e)1s(2ss

50

2e)1s(2ss

100

)t(y

4t24ts4

2

13

2t22ts2

2

12

s2

2

1s2

2

1

2

−−−+−=

++=

−−−+−=

++=

++=

++=

−−−−−−

−−−−−−

−−−−

L

L

L L

Ahora y(t) es:

( ) ( ) ( )( )( )( ) ( ) ( )( )( );)4t(u5.374t25e5.12e50

)2t(u5.372t25e5.12e5025.37t25e5.12e50)t(y);t(y)t(y)t(y)t(y

4t24t

2t22tt2t321

−−−+−+

−−−+−+−+−=++=

−−−−

−−−−−−

Se puede representar y(t) en como una función con regla de correspondencia:

( ) ( )( ) ( )

≥−+++−++

<≤−++−+

<≤−+−

=

−−

−−

−−

;4t;350t100ee21e5.12ee21e50

;4t25.212t75e21e5.12e21e50

;2t05.37t25e5.12e50

)t(y84t242t

4t22t

t2t




Roberto Cabrera V.

- 45 -

3) Una masa de 5kg se sujeta a un resorte suspendido del techo y ocasiona que el resorte se

estire 2 metros al llegar al reposo en equilibrio. Se eleva luego la masa 1 metro sobre el punto

de equilibrio y se le aplica una velocidad dirigida hacia arriba de 1/3 m/seg. Determine:

a) La ecuación del movimiento armónico simple de la masa.

b) La posición del objeto en t =

4

πsegundos

a)Como no hay amortiguador C=0, además no existe fuerza perturbadora que se aplique al sistema por lo tantof(t)=0, la posición inicial de la masa es 1 metro sobre la posición de equilibrio por lo tanto si tomamos el eje dereferencia positivo hacia arriba la posición inicial de la masa sera 1 metro. Y la velocidad es 1/3 m/seg.


;0kydt

yd5

2

2

=+

Se debe encontrar el valor de k:

Como la masa es 5kg y si se asume la gravedad 2m/seg10 , el peso será de 50 Newton, al sujetar el resorte la

masa se estira 2 metros, lo que me indica de manera implícita la constante del resorte que se la puede calcular mediante:

lkF ∆= , donde F es el peso del objeto y l∆ la longitud del estiramiento. Despejando k se obtiene k=25N/m.

Para resolver esta ecuación diferencial aplicamos la transformada de Laplace a ambos lados de la ecuación:

[ ]

;0)s(y25)0('y5)0(sy5)s(Ys5

;0y25dt

yd5

2

2

2

=+−−

=

+ L L

)t(fKydt

dyC

dt

ydm

2

2

=++




Roberto Cabrera V.

- 46 -

La posición inicial del sistema es y(0)=1 metro, y la velocidad inicial es y’(0)=1/3:Reemplazando las condiciones se obtiene:

( )( )

( ) ( )

( ) ( ) ( ) ( )

( )t5sen15

1t5cos)t(y

;5s3

1

5s

s

5s3

1

5s

s)t(y

;5s3

1

5s

s)s(y

3

1s)s(y5s

3

5

s5)s(y25s5

;0)s(y253

5s5)s(ys5

2222

22

2

2

2

+=

++

+=

++

+=

++

+=

+=+

+=+

=+−−

1 - 1 - 1 - L L L

b)

La posición del objeto en 4/π segundos es:

15

28

15

16

2

2

15

11

2

2

2

2

15

1

2

2

4y

45sen

15

1

45cos

4y

−=

−=

+−=−−=

π

π−

π=

π




Roberto Cabrera V.

- 47 -

Aplicaciones de Circuitos Eléctricos

1) Un circuito LRC con R=12 ohmios, L=1, C=0.01 faradios se conecta a una batería

que transmite un voltaje de 20 voltios. Si el interruptor esta inicialmente apagado y se lo

enciende después de 10 segundos, permaneciendo conectada por un lapso de 20segundos y luego desconectada definitivamente. Si inicialmente no hay carga en el

condensador y la corriente inicial es cero, determine:

a) La carga acumulada en el condensador en los tiempos t=5s, y t=20s.

b) La intensidad de corriente que atraviesa el circuito en los tiempos t=8s, y t=40s.

E

20

10 30 t

)(1

''' t QC

RQ LQ ε =++ =20u(t-10)-20u(t-30)

)]t([]QC

1[]'RQ[]''LQ[ ε=++ llll

−=++

−−

s

ee sQ s sQ sQ s

s s 30102 20)(100)(12)(

−=++

−−

s

e

s

e sQ s s

s s 30102 20)()10012(

++−

++=

−−

)10012()10012(20)(

2

30

2

10

s s s

e

s s s

e sQ s s




Roberto Cabrera V.

- 48 -

100

12100

1100

1

11001210012

222

−=

−=

=

=++++⇒++

++

C

B

A

Cs Bs A As As s s

C Bs

s

A

++

+−

10012

12100

11001

2 s s

s

s

++−++

+

−−

++−++

+

−=

−

64)6(

6

64)6(

6164)6(

6

64)6(

615

1

)( 22

30

22

10

s s

s

se s s

s

se sQ

s s

[ ])()( 1 sQt Q −= l

)t(U)30t(8sene4

3)30t(8cose1

5

1

)t(U)10t(8sene4

3)10t(8cose1

5

1)t(Q

30)30t(6)30t(6

10)10t(6)10t(6

−−−−−

−−−−=

−−−−

−−−−

Cuando t=5s

0)5( =Q Condensador descargado

Cuando t=20s

)10(820

3)10(8cos5

15

1)( )10(6)10(6 −−−−= −−−− t senet et Q

t t

8020

3

80cos51

5

1

)20(6060

seneeQ−−

−−=

)993.0(20

3)110.0(5

15

1)20( 6060 −−−−= −− eeQ

coulombs xQ 251008.2)20( −=




Roberto Cabrera V.

- 49 -

2) Un circuito LRC con R=150 ohmios, L=1 Henrio, C=0.0002 faradios en t=0 se le

aplica un voltaje que crece linealmente de 0 a 100 voltios, durante 10 segundos, para

luego cesar por tiempo indefinido. Si inicialmente no hay carga en el condensador y la

corriente inicial es cero, determine:

a) La carga en cualquier instante de tiempo

b) La corriente del circuito en t=20s.

( )

( )4

150 0 0

1 ' 0 0

2 10

R r Q

L H Q

C F −

= =

= =

= ×

( )

( ) ( )( )

( ) ( ) ( ) ( )( ) ( ) ( ) ( )

0 10

0 10 10 10

0 10 10

'' ' 1/

'' 150 ' 5000 10

'' 150 ' 5000 10 10 100 100'' 150 ' 5000 10 10 10 100

LQ RQ C Q V t

Q Q Q t t t

Q Q Q t t t t t t

Q Q Q t t t t t

µ µ

µ µ µ µ

µ µ µ

+ + =

+ + = −

+ + = − + −

+ + = − − −

Encontrando la transformada:

( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )

( ) ( )

( ) ( ) ( )

10 102

2 2

2 10 102 2

10 10

2 2

10 10 1000 ' 0 150 150 0 5000

10 10 100150 5000

10 10 10050 100

s s

s s

s s

e e s Q s sQ Q s Q s Q Q s

s s s

s s Q s e e s s s

s s Q s e e s s s

− −

− −

− −

− − + − + = − −

+ + = − −

+ + = − −

( ) ( )2 2

1/500

3/5000010

1/1250050 100 50 100

1/50000

A

B A B C D

C s s s s s s s

D

=

= −= + + + ⇒

=+ + + + = −

V(t)

100

0 10 t




Roberto Cabrera V.

- 50 -

Q(20segundos)=0

( )( )Q t

i t t

∂=

∂

i(20segundos)=0




Roberto Cabrera V.

- 51 -

Series

DeFourier

Contenido:

Definición de la serie de FourierSerie de Fourier de una función par.

Serie de Fourier de una función impar.

Convergencia de una serie de Fourier.

Extensiones pares e impares periódicas de una serie de

Fourier




Roberto Cabrera V.

- 52 -

Serie de Fourier de una función f(x)

Definición: Sea f una función continua por segmentos en el intervalo de [[[[ ]]]]p,p−−−− la serie deFourier de f es la serie trigonométrica:

∑∑∑∑∞∞∞∞

====

++++

++++====

1

0

2n

n n p

x n sen b

p

x n cos a

a ) x ( f

π ππ π π ππ π

Donde:

.n ,....,,,n ,N n

dx p

x n sen ) x ( f

p b

dx p

x n cos ) x ( f

p a

dx ) x ( f p

a

p

p

n

p

p

n

p

p

321

1

1

10

====∈∈∈∈∀∀∀∀

====

====

====

∫ ∫∫ ∫

∫ ∫∫ ∫

∫ ∫∫ ∫

−−−−

−−−−

−−−−

π ππ π

π ππ π

Series de Fourier cuando f(x) es parSi la función f(x) es una función par se dice que:

∑

∫

∫

∞

=

+=∴

=∈∀

=

=

=

1

0

0

0

0

2

3 21

0

2

2

n

n

n

p

n

p

p

x n cos a

a ) x ( f

.n ,....,,,n ,N n

; b

dx p

x n cos ) x ( f

p a

dx ) x ( f p

a

π ππ π

π ππ π

Series de Fourier cuando f(x) es impar

Si la función f(x) es una función impar se dice que:

∑∑∑∑

∫ ∫∫ ∫

∞∞∞∞

====

====∴∴∴∴

====∈∈∈∈∀∀∀∀

====

====

====

1

0

0

321

2

0

0

n

n

p

n

n

p

x n sen b ) x ( f

.n ,....,,,n ,N n

; dx p

x n sen ) x ( f

p b

a

a

π ππ π

π ππ π




Roberto Cabrera V.

- 53 -

1) Exprese la función f definida por

<<<<<<<<

<<<<<<<<====

1x0 ,x

0x1- ,)x(f

1como un desarrollo en series de

Fourier.

∑∑∑∑

∞∞∞∞

====

++++

++++====

1

0

2n

n n p

x n

sen b p

x n

cos a

a

) x ( f


[ ] [ ]

2

3

2

3

2

11

2

1

1

1

00

1

020

1

1

0

0

1

1

1

0

0

=⇒=+=

+=+==

=

=

−

−−

−

∫ ∫ ∫

∫

a ,a

;xxxdxdxdx)x(f a

dx)x(f p

a

p

p

p

( ) ( ) ( )

[ ]11111

1

0

1

00

1

222222

2222

1

022

1

0

0

1

0

0

1

1

0

0

1

1

1

−−π

=

π

−π

−=

=∈∀−=π

=∈∀=π

π−

π

π+

π

π+

π

π=

π

π+

−

π

π+

π

π−−=

π

π−

π

π+

π

π=

π

π=⇒π=

=⇒=

π+π=π=

π=

∫

∫ ∫ ∫

∫

−

−−

−

nn

n

n

n

n

1

n

n

p

p

n

)(nnn

)(a

n.1,2,3,...,n N,n ,)()ncos(

n.1,2,3,...,n N,n ,)n(sen

nn

)ncos(

n

)sen(n

n

)n(sena

n

)xncos(

n

)sen(n

n

)n(sena

dxn

x)sen(n

n

x)sen(nx

n

x)sen(na

n

x)sen(nv )dxxcos(ndv

dx,du xu

dxxncosxdxxncosdxxncos)x(f a

dxp

xncos)x(f

pa




Roberto Cabrera V.

- 54 -

( ) ( ) ( )

π−=

=∈∀−=π

=∈∀=π

−

π

π+

π

π−

π

π−

π−=

π

π+

−

π

π−

π

π−

π−=

π

π+

π

π−

π

π−=

π

π−=⇒π=

=⇒=

π+π=π=

π=

∫

∫ ∫ ∫

∫

−

−−

−

nb

n.1,2,3,...,n N,n ,)()ncos(

n.1,2,3,...,n N,n ,)n(sen

n

)n(sen

n

)cos(n

n

)cos(n

nb

n

)xn(sen

n

)cos(n

n

)cos(-n

nb

dxn

x)cos(n

n

x)cos(nx

n

x)cos(nb

n

x)cos(nv )dxx(nsendv

dx,du xu

dxxnxsendxxnsendxxnsen)x(f b

dxp

xnsen)x(f

pb

n

n

n

n

1

n

n

p

p

n

1

1

0

0

1

01

1

22

1

022

0

1

0

0

1

1

0

0

1

1

1

Convergencia de una Serie de Fourier

Teorema: Si )x(f y )x('f son funciones continuas por segmentos en el intervalo ( )p,p− ,entonces la serie de Fourier de )x(f en dicho intervalo converge hacia )a(f en un punto decontinuidad, mientras que en un punto de discontinuidad a converge a:

)x(f Lim)a(f

)x(f Lim)a(f

:donde ,)a(f )a(f

ax

ax

+

−

→

+

→

−

+−

=

=

+

2

Ejemplo:

<<π−

π<<+=

01

1

x- ,x

x0 ,x)x(f

En la gráfica se observa que en x=0 hay un punto de discontinuidad por lo tanto el valor a que converge la seriede Fourier en x=0 es:

[ ] ( ) ( )∑∞

=

π

π−π−−

π+=

1

22

111

1

4

3

n

nxnsen

nxncos)(

n)x(f

1

1

02

11

2

==

−==

=+−

=+

+

−

→

+

→

−

+−

)x(f Lim)a(f

)x(f Lim)a(f

:donde ,)a(f )a(f

ax

ax




Roberto Cabrera V.

- 55 -

Extensión periódica de la función f(x)

Sea f(x) una función continua por segmentos en ( )p,p− . Entonces la Serie de Fourier de f es:

∑∑∑∑∞∞∞∞

====

++++

++++====

1

0

2n

n n p

x n sen b

p

x n cos a

a ) x ( f


Donde se define la frecuencia angular de las funciones coseno y seno como “w”, entonces:

T. pnTEntonces

n

pT

f trando, encon

p

n

πp

nπf

ando f:, despej p

nππf

πf,w, donde p

nπw

f

f

==

====

=⇒

==

2

21

22

2

2

Por lo tanto la función f puede extenderse a una función periódica con período = 2p, de

manera talque

∑∑∑∑∞∞∞∞

====

++++

++++====

1

0

2n

n n p

x n sen b

p

x n cos a

a ) x ( f

π ππ π π ππ π , y donde R x ),x(f )px(f ∈=+ 2 .

Donde la serie converge a f(x) si es que f es continua en x y converge a2

)x(f )x(f +− + , si es

que f es discontinua en x.




Roberto Cabrera V.

- 56 -

2) Encuentre los coeficientes de la serie de Fourier: a) sólo en términos de senos de la

función f(x), b) luego sólo en términos de cosenos.

<<

<<−=

2x1 0,

1x0 x,1f(x)

a) En términos de senos.

Antes de comenzar el desarrollo de este problema se recomienda graficar la función f(x)

Como se observa en la gráfica esta no es función impar ni par, por lo tanto para obtener eldesarrollo en series de Fourier sólo en términos de senos de esta función se debe proceder ahacer una extensión periódica impar de f(x).

2pT donde 0xp- f(-x),-

px0 (x),f(x) =

<<

<<= ,

f

Como se observa en la gráfica ahora el periódo de la función es T=2p, donde p = 2, por lotanto el período T es 4.

Ahora si la función f(x) es una función impar se cumple las siguientes condiciones:

∑∑∑∑

∫ ∫∫ ∫

∞∞∞∞

====

====∴∴∴∴

====∈∈∈∈∀∀∀∀

====

====

====

1

0

0

321

2

0

0

n

n

p

n

n

p

x n sen b ) x ( f

.n ,....,,,n ,N n

; dx p

x n sen ) x ( f

p b

a

a

π ππ π

π ππ π

Encontrando los coeficientes:




Roberto Cabrera V.

- 57 -

( )

( )

( )

( )

[ ]

π

π−

π=⇒

π

π−

π=

−

π

π−−

π−=⇒

π

π−

π−

π−=⇒

π

π−

π

π−−=⇒

π

π

−=⇒

π=

−=⇒−=

π−=

π+

π−=

π=

π=

π=

∫

∫

∫ ∫ ∫ ∫

∫

2

42

2

420

2

410

2

2

4

21

2

2

2

2

21

2

2

2

1

21

20

21

222

2

2

2

22

2222

1

0

22

1

0

1

0

1

0

1

0

2

1

1

0

2

0

2

0

0

nsen

nn b

nsen

nn

nsen

nn b

;xn

senn

xncosx

n b

dxxn

cosn

xncos

nx b

;xn

cos

n

dxxn

sendv

;dxdu,xu

;dxxn

senx b

dxxn

sen.dxxn

senx b

dxxn

f(x)sendxxn

f(x)sen b

dxxn

f(x)sen p

b

n

n

n

n

n

n

n

p

n

v

Ahora la función en términos de senos es:

∑

∑∑∞

=

∞

=

∞

=

π

π

π−

π=

π

π

π−

π=

π=∴

==

1

22

1

22

1

22

42

22

42

n

nn

n

xnsen

nsen

nn)x(f

xnsen

nsen

nn p

xnsen b)x(f

0a y 0,a :entonces,impares Como 0n




Roberto Cabrera V.

- 58 -

b) En términos de cosenos:

Igualmente que en el caso anterior para obtener la serie de Fourier sólo en terminos decosenos de f(x), la función debe ser una función par, si no lo es se debe hacer una extensión

periódica de forma par. Es decir:

2pT donde 0xp- f(-x),

px0 (x),f(x) =

<<

<<= ,f

Como se observa en la gráfica ahora el período de la función es T=2p, donde p = 2, por lotanto el período T es 4.

Ahora si la función f(x) es una función impar se cumple las siguientes condiciones:

∑

∫

∫

∞

=

+=∴

=∈∀

=

=

=

1

0

0

0

0

2

3 21

0

2

2

n

n

n

p

n

p

p

x n cos a

a ) x ( f

.n ,....,,,n ,N n

; b

dx p

x n cos ) x ( f

p a

dx ) x ( f p

a

π ππ π

π ππ π

Encontrando los coeficientes 0n a,a :

( )

( )

2

1

2

100

2

11

21

01

2

0

1

0

21

0

0

2

1

1

0

0

2

0

0

0

0

=

=

+−−=

−=−=

+−===

=

∫

∫ ∫ ∫

∫

a

xxdxxa

dx.dxxadx)x(f a

dx)x(f p

a

p




Roberto Cabrera V.

- 59 -

( )

( )

( ) ( )

( )

[ ]

π−

π=⇒

π−

π=

−

π

π−−

π=⇒

π

π−

π−

π=⇒

π

π+

π

π−=

π−=⇒

π

π=⇒

π=

−=⇒−=

π−=

π+

π−=

π=

π=

∫ ∫

∫

∫ ∫ ∫

∫

21

4

21

41

2

400

2

2

4

21

2

2

2

2

21

21

2

2

2

1

21

20

21

2

2

22

2222

1

0

22

1

0

1

0

1

0

1

0

1

0

2

1

1

0

2

0

0

ncos

na

ncos

n

ncos

nna

xncos

n

xnsenx

na

dxxn

senn

xnsen

nxdx

xncosxa

xnsen

nv,dx

xncosdv

;dxdu,xu

;dxxn

cosxa

dxxn

cos.dxxn

cosxdxxn

cos)x(f a

dxP

xncos)x(f

pa

n

n

n

n

n

n

P

n

Como ahora f(x) es una función par, entonces 0bn =

La serie de fourier de f(x) en términos de cosenos es :

∑

∑

∞

=

∞

=

π

π−

π+=

π−

π

=

=

=

π+=

1

22

22

0

1

0

221

4

4

12

14

2

1

2

2

n

n

n

n

xncos

ncos

n)x(f

ncos

n

a

a

p

p

xncosa

a)x(f




Roberto Cabrera V.

- 60 -

EJERCICIO DE LA ECUACIÓN DEL CALOR DE UNA VARILLA

Una varilla de longitud L coincide con el eje X en el intervalo , tal que la

temperatura en los extremos de la varilla se mantiene a 0ºC en cualquier instante y la

temperatura inicial de toda la varilla esta dada por . Determina la

temperatura , de la varilla, conociendo que el modelo matemático de este

problema viene dado por:

Para resolver esta ecuación en derivadas parciales se procede a usar el método de separaciónde variables, se asume la solución de la siguiente manera:

Se obtiene las correspondientes derivadas de la ecuación, usando la solución que se asume.

Reemplazando en la ecuación en derivadas parciales se obtiene:

Separando a un lado de la ecuación todo lo que depende de la variable “x”, y al otro lado lode “y”.

Se obtiene dos ecuaciones diferenciales:

La solución para esta ecuación se asume como :

Se obtiene:

Como el valor de es una constante, entonces se analiza de la siguiente forma:

Para

, por lo tanto las raíces son:

Por lo tanto, para este caso la solución es:

Luego se obtiene los valores de A y B, usando los valores de frontera :

Se forma un sistema homogéneo de ecuaciones donde A=B=0, por lo tanto, la solución quedala trivial:

, entoncesPara


Por lo tanto, para este caso la solución es:Luego se obtiene los valores de A y B, usando los valores de frontera :




Roberto Cabrera V.

- 61 -

Se forma un sistema homogéneo de ecuaciones donde A=B=0, por lo tanto, la solución quedala trivial:

, entoncesPara , para indicar que es un valor negativo se pondrá el singo menos dentro del

radical.


Por lo tanto, para este caso la solución es:Luego se obtiene los valores de A y B, usando los valores de frontera :

Se forma un sistema homogéneo de ecuaciones donde A =0, pero queda ,donde el valor de B no puede ser cero para que no quede la solución trivial por lo tanto lo quesi puede suceder es queDonde , luego se despeja

Ahora es :

Luego se obtiene la solución para la segunda ecuación diferencial que está en función de t:

Como , entonces:

Expresando en sumatoria:

Ahora se usa la condición inicial :

Donde:




Roberto Cabrera V.

- 62 -

Se procede a integrar por partes:

Otra vez por partes:

La solución es:




Roberto Cabrera V.

- 63 -

Transformada de Laplace de ciertas funciones

Transformada inversa de Laplace de ciertas funciones




Roberto Cabrera V.

- 64 -

Problemas propuestos

1.-) Resuelva las siguientes ecuaciones diferenciales alrededor del punto Xo = 0.

Determine si es posible la función a la que converge la primera solución, y luego hallepor cualquier método la segunda solución linealmente independiente.

a) ;0yx4'y''xy 3 =+−

b) ;0y)x43('xy4''yx4 22 =−+−

c) ;0y2'y3''y)1x(x =−+−

d) ;0y'y)x31(''y)1x(x =+−−−

e) ;0y2'y3''y)1x(x =+−−

f) ;0y)x26('y)x4(x''yx2 =−+−−

g) 0xy'y2''xy =−+

h) 0y)2x('xy4''yx 22 =+++

2.-) Halle:

a)[ ]

( )[ ][ ][ ]

( )[ ];3e5

;t5senh4t5cosh3

;)tcossent(

;1t

;t5sen2sen10

2t2

2

22

−

−

−

+

L

L

L

L

L

b)Para las siguientes funciones encuentre [ ])t(''fL :

;tcoset t2 −

( )

;t3cost2sen5

;e

t2sent

;tcos1t2

;t2senht5

t2

3

4

3

−

−

c) Para las siguientes funciones encuentre [ ])t('fL :

( )

;)t2sentcos3(

;t2sene2

;t3cosht5senh10

;t2cost2sen5

;t2tsen3cos6

2

2t3

−

−

[ ][ ][ ][ ]

( )[ ];e2t

;t4sene2

;et

;t4cosh

;)t2(cos4

t2

t3

t32/3

2

2

+

−

L

L

L

L

L




Roberto Cabrera V.

- 65 -

d) Halle:

e) Halle:

( )[ ]

( )[ ]

( )[ ]( )[ ]

;due

u2sent

;senhtt;sentesi f(t),)t('ft

;tcost

;t2cos2t2sen3t

t

0

u2

2

3

t2

22

=

−

∫ −

−

L

L L

L

L

f) Halle:

[ ]

;t

tsen

;t2tsen2cost5

;t

t3senh

;t

btcosatcos

;t

ee

2

2

1

btat

−

−

−

−−

L

L

L

L

L

g) Halle:

( )

;duu

senu

;du

u

e1

;dueuu

t

t u

tu2

−

+−

∫

∫

∫ −

−

0

0

0

L

L

L ( )

( ) ;dusenhuu

;duu3cos

t

2

t2

∫

∫

0

0

L

L

;)1t(1t

e1

;)t(t

t2sen

)1t(

−δ

−

−

δ

−−

L

L

;5t2t

)t()3t(32

2

++

δ−+L

[ ][ ][ ]

[ ];)5t(u)3t(

;)t(u)t(sen

;)1t(uet

;)2t(u)t(senh.te

;)t(u)t(3coste

2

t32

t2

t2

−−

π−

−

−

π−π−

−

−

L

L

L

L

L




Roberto Cabrera V.

- 66 -

3.-) Grafique las siguientes funciones y halle sus transformadas de Laplace:

≥

<≤

<≤

<≤

=

≥

<≤+

<≤

<≤−

=

3t ,0

3t2 sent;5-

2t;0

t0 sent;5

g(t)

15t;015t10;5t

10t5;0

5t0;1t

f(t)

4.) Encuentre el período de las siguientes gráficas y halle la transformada de Laplace de

cada una de ellas:

a)

b)

c)

d)

≥

<≤−<≤

<≤

=

9t;0

9t6;20 6t3;10

3t0 ;5

h(t)




Roberto Cabrera V.

- 67 -

5.-) Encuentre las transformadas inversas de Laplace de las siguientes funciones:

( )

( )

( )

( )( )

( )

2s3s

se)S(F

s

e)S(F

1s

1)S(F

2s1s

11s15s5)S(F

;)3s)(2s(1s

4s2)S(F

;1ss

1)S(F

;

s

11ln)S(F

;as

s)S(F

;3s2

1)S(F

;3s2s

7s3)S(F

;16s8s

2s4)S(F

20s4s

4s6)S(F

;s

1)S(F

;3s

1)S(F

;2s

s)S(F

;

s

1)S(F

;9s

1)S(F

2

s2

2

s2

5

3

2

2

23

2

222

2

2

2

2/3

2

2

4

2

++=

=

+=

−+

−−=

−−+

−=

+=

+=

+=

+=

−−

+=

++

+=

+−

−=

=

−=

+=

=

+=

−

−

( )

( )

( )

( )( )

( )

( )

( )

( )

( )

( );

5s2ss

2)S(F

;1s

9sln)S(F

;1s

1sln)S(F

);1scot(ar)S(F

;25s6s

se4)S(F

;4s

36s40s3s3)S(F

;1s

1)s(F

;4s

s)s(F

;1s2s

1)s(F

;3ss

2s)s(F

;1ss

1)s(F

;bs

asln

s

1)s(F

1s

2sln

s

1)s(F

;1s

2sln)s(F

2s2s

1s)s(F

5s2s

e)S(F

22

2

2

2

2

2

s2

22

23

32

22

2

5

2

3

22

22

22

2

s2

+−=

+

+=

−

+=

+=

+−=

−

+−−=

+=

+=

−+=

+

+=

+=

+

+=

+

+=

+

+=

++

+=

+−=

−

−




Roberto Cabrera V.

- 68 -

6.-) Resuelva las siguientes ecuaciones diferenciales utilizando la transformada de

Laplace:

( )

2;y(0) (t)y'

y(t)

10)y( sent;-y(t)(t)y'

0;(0)y' 1,y(0)y 2y' ' ty'

2;(0)y' 1,y(0)y ty' ' y'

0 )( y' 1,y(0)' ty'

(0)y' y(0)y ' y' -2 (0)y' 1,y(0)y ' y'

9(0)y' 1,y(0)tey' ' y'

-4(0)y' 5,y(0)10y 7y' ' y'

t

0

t

0

t

0

t

==θθ−

+=θθ−θ+

=−=θθ−θ+

===+−

===+−

=π==++

==π−δ+π−=+==π−−=+

=−==+

==+=+−

∫

∫

∫

θ− ;tde)(y2) j

;3td)t)((y)i

d)t(sen)(y)h

;2t)g

;1)f

;;0ty'ty2)e

.0);2t(e)t(u44)d);2t(ut2sen3t2sen3)c

;25)b

;sent7tcos9)a

t

32

t2

7.-) En los siguientes problemas utilice el método de eliminación para encontrar la

solución general del sistema lineal dado, donde x’, y’, z’ denotan diferenciación con

respecto a t.

8.-) En los siguientes problemas utilice el método de los operadores diferenciales para

encontrar la solución general del sistema lineal dado:

( ) ( )( ) ( )( ) ( )

( ) ( )

( )( )

0 (0)y' (0) x' x(0) , 2 y(0)

2 (0) x' 1, x(0) : dadas

====

=++−

=−+

=++−

−=−++

==

=+++−

=+++−

;0y2Dx

;0yx2D)c

;tcos4y2Dx3D

;senty1Dx2D)b

;ey4D4DxD2D

;tyD2Dx4D4D)a

2

2

t22

22

9.-) En los siguientes problemas utilice el método de la transformada de Laplace para

encontrar la solución general del sistema lineal dado:

=++−

=−+

−−=

+−=

;02''

;045''

)

;cos4'

;23' )

y y x

y x x

e

t y x y

sent y x xd

0; z(0)(0)y' y(0) 0; y 2z' ' y'

===

=++

=+−− ;sentz2y2'z'y)a

0; (0)' z' 4, z(0)

2; (0)y' -1,y(0)

-1. z(0)1,y(0)

===−

==−=+−

==

=−

−=++

−

−

−

;sent'z''ty

;tcos3te''z3''y3)c

;ez'y

;e)1t('tzzty)b

t

t

t

=++

=−+

−=

=

1;y y' x'

;5x'y'x)b

;yx2'y

,y3'x)a




Roberto Cabrera V.

- 69 -

10.-) En los siguientes problemas utilice el método de los valores y vectores propios

para encontrar la solución general del sistema lineal dado:

−

−=

−=

=−−

=++

=

−

−

=

6

10,'X

12

36)c

;0y3x5'y2

;0)b

2

0

1

,X

122

212

221

)a

X(0) X

5y 3x 2x'

X(0) X'

APLICACIONES DE ECUACIONES DIFERENCIALES DE SEGUNDO ORDEN

1) Una masa de 100 gramos esta sujeta a un resorte de acero de longitud natural igual a 50 cm. Elresorte se alarga cuando se le agrega esta masa. Si la masa se pone en movimiento con una

velocidad de 10cm/s, determine el movimiento subsiguiente. (Desprecie la resistencia del aire)

2) Un circuito mecánico vibratorio compuesto de un resorte de constante K=4 N/m. Unamortiguador de constante e=6 Ns/m, tiene adherido una bola metálica de 20 N de peso.Determine la forma en que vibra la masa si inicialmente esta en la posición de equilibrio y sinvelocidad inicial, y si desde el tiempo t=0 actúa sobre una fuerza perturbadora periódica definidaasí:

[

[4).-f(t f(t)

2,4)t 100t -400

0,2)t =

∈

∈= ;

;t100)t(f

3) Un resorte se estira 50cm con una fuerza de 2 Newton. El resorte en referencia forma parte de unsistema m-c-k el cual tiene una masa de 1 Kg, y un amortiguador con una constante c = 4N.m/s. Si

la masa es puesta en movimiento desde su posición de equilibrio y sin velocidad inicial con unafuerza perturbadora de 20 Newton que actúa los primeros 5 segundos y luego cesa durante 5segundos, y luego crece linealmente hasta 10 Newton durante 10 segundos, para nuevamente cesardefinitivamente. Determine la forma en que vibra la masa.

a) ¿Cuál es la posición de la masa a los 2 segundos y a los 8 segundos?

4) Un inductor de 0.5 henrios es conectado en serie con una resistencia de 6 ohmios y uncondensador de 0.02 faradios. Inicialmente el condensador no tiene carga. Si el sistema esperturbado por una fuerza electromotriz de 12 voltios en el intervalo de tiempo.2< t < 8 (seg), y luego por un voltaje instantáneo de 24 voltios en el instante t= 15 seg, determine:

a) La carga acumulada en el capacitor en el tiempo t= 6 seg.

b) La intensidad de corriente que atraviesa el circuito en el tiempo t= 10 seg.

Este documento fue creado con fines académicos, de apoyo para los estudiantes politécnicos.

Agradecimiento: Agradezco a Dios por haberme dado fuerza, paciencia para la elaboración de esta obra. A mi profesora de esta materia, Yadira Moreno. Y a los profesores a los que colaboré en la materia como ayudante

de cátedra puesto que ellos fueron los que me dieron su confianza y apoyo para impartir las clases y compartir el conocimiento, los cuales pongo a continuación:

Janet Valdiviezo, Eduardo Rivadeneira, Fernando Sandoya, Enrique Bayot, Félix Ramírez.

Dedicado a todos mis compañeros politécnicos. Roberto Cabrera Velasco.




Roberto Cabrera V.

- 70 -

Referencias

Zill, Dennis G. (2006). Ecuaciones diferenciales con aplicaciones. Segunda edición.Grupo Editorial Iberoamérica

Nagle Kent, Saff Edward, Zinder Arthur, Ecuaciones Diferenciales y Problemas con

Valores en la Frontera, Editorial Addison –Wesley Iberoamericana, 2001.

William E. Boyce, Richard C. DiPrima, Ecuaciones diferenciales y problemas con

valores en la frontera, 4a ed. México, Limusa, 1998

transformada de laplace

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