ejercicios sobre estructuras algebraicas

8/18/2019 Ejercicios sobre Estructuras Algebraicas

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Ejemplo 1: Sea R el conjunto de los números reales, se define la siguiente

operación entre elementos de R:

Comprobar que tiene estructura de grupo conmutativo .

Demostración: Se trata de comprobar el cumplimiento de cada una de las

cinco propiedades del grupo conmutativo:

1)

cumple la propiedad asociativa.

Para ello hagamos en primer lugar a (b c):

Ahora veamos (a b) c:

Son iguales, por tanto la operación es asociativa.

3) En R existe elemento neutro para :

el elemento neutro para esta operación es el 0.

4) Todo elemento x de R tiene su inverso:

5) Finalmente es conmutativa, pues es obvio que:

a b = b a


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Ejemplo 2: Sea el conjunto de los números enteros, Z, y las dos siguientes

operaciones:

Decir si (Z, , *) tiene estructura de anillo conmutativo.

Solución: Debemos comprobar cada una de las propiedades del anillo

conmutativo.

1.

(Z, ) Es un Grupo Abeliano

2. (Z, *) Es un Semigrupo conmutativo

3.

Si * se distribuye sobre

1. Es (Z, ) un Grupo Abeliano?

1.1) Comprobemos la asociatividad de :

a (b c) = a ( b + c - 8) = a + (b + c - 8) - 8 = a + b + c - 16.

(a b) c = ( a + b - 8) c = ( a + b - 8) + c - 8 = a + b + c - 16.

En efecto, es asociativa.

1.2) Veamos si en Z hay elemento neutro para :

x e = x - > x + e - 8 = x - > e = 8 (el 8 es el elemento neutro)

1.3) Todo elemento de A ... ¿tiene su inverso para ?:

En efecto, el elemento inverso del a es: 16 - a.

1.4) ¿ Es conmutativa ?:

a b = a + b - 8 ; b a = b + a - 8


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Sí lo es, pues las dos expresiones son iguales.

2. Es (Z, *) un Semigrupo conmutativo?

2.1) Comprobemos si * es asociativa :

a * (b * c) = a * ( b + c - b c) = a + (b + c - bc) - a.(b + c - bc) =

= a + b + c - bc - ab - ac - abc.

(a * b) * c = ( a + b - ab) * c = ( a + b - ab) + c - ( a + b - ab).c =

= a + b + c - bc - ab - ac - abc.

Las dos expresiones son iguales, por lo tanto sí es asociativa.

2.2) Comprobemos si * es conmutativa:

a * b = a + b - a.b ; b * a = a + b - b.a

que son obviamente iguales, por tanto la operación sí es conmutativa.

3.

Se cumple la propiedad distributiva?

3.1) Finalmente comprobemos si la segunda operación, *, es distributivarespecto de la primera, , es decir, si se cumple:

a * (b c) = (a * b) (a * c) ?

a * (b c) = a * (b + c - 8) = a + (b + c - 8) - a(b + c - 8) =

= a + b + c - 8 - ab - ac + 8a =

= 9a + b + c - 8 - ab - ac

(a * b) (a * c) = (a + b - ab) (a + c - ac) = (a + b - ab) + (a + c - ac) -

8 =

= 2a + b + c - 8 - ab - ac


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Los resultados son diferentes, por lo tanto no tiene estructura de

anillo, falla la propiedad distributiva.

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