ESTRUCTURAS ALGEBRAICAS

Apuntes basados en el curso impartido por Francesc Planas

1

ApuntsFMEBarcelona, Enero 2019

ii

Autores principales: Jordi Castellví, Ernesto Lanchares.

Otros autores: Òscar Benedito.

Revisores: Èric Sierra.

La elaboración de este documento no habría sido posible sin los apuntes de Iñaki Garridoy Mònica Pérez del curso de Estructuras Algebraicas, impartido por Francesc Planas enla Facultat de Matemàtiques i Estadística de la Universitat Politècnica de Catalunya.

Última modificación: 11 de enero de 2020.

Esta obra está bajo una licencia Creative Commons“Reconocimiento-NoCommercial-CompartirIgual 4.0 Interna-cional”.

Contenidos

0. Permutaciones 10.1. Repaso de permutaciones . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 10.2. Ejercicios . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2

1. Grupos 31.1. Grupos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31.2. Intersección y producto de subgrupos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 41.3. Orden de un elemento . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 71.4. Morfismos de grupos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 101.5. Clases laterales . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 12

Teorema de Lagrange . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 121.6. Subgrupos normales. Grupo cociente . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 14

Primer teorema de isomorfía . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 171.7. El grupo multiplicativo de un cuerpo finito . . . . . . . . . . . . . . . . . 181.8. Grupos simples . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19

Teorema de Feit-Thompson . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20Segundo teorema de isomorfía . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23Teorema de Jordan-Hölder . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24

1.9. Acción de un grupo sobre un conjunto . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 251.9.1. Acción por traslación de un grupo en sí mismo . . . . . . . . . . . 28Teorema de Cayley . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 281.9.2. Acción por conjugación de un grupo en sí mismo . . . . . . . . . . 29Teorema de Cauchy . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29

1.10. Grupos de Sylow . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30Primer teorema de Sylow . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31Segundo teorema de Sylow . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 34

2. Anillos 372.1. Definiciones . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 372.2. Ideales . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 392.3. Anillo cociente . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 412.4. Morfismos de anillos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 43

Primer teorema de isomorfía . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 432.5. Divisores del cero . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 452.6. Anillo de fracciones . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 462.7. Ideales maximales y primos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 50

Teorema de Artin . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 512.8. Divisibilidad . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 52

iii

iv CONTENIDOS

2.9. Anillos factoriales . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 542.10. Dominios de ideales principales . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 562.11. Anillos euclidianos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 592.12. Anillos de polinomios . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 61

3. Cuerpos 673.1. Preliminares . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 673.2. Extensión de cuerpos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 70

Teorema del elemento primitivo . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 733.3. Cuerpos finitos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 74

Índice alfabético 77

Tema 0

Permutaciones

0.1. Repaso de permutacionesEl grupo simétrico (Sn, ◦) es el grupo de las permutaciones de los elementos {1, . . . , n}

y el cardinal de Sn es #Sn = |Sn| = n!. Si σ ∈ Sn, podemos escribir σ como(1 2 3 · · · n

σ(1) σ(2) σ(3) · · · σ(n)

).

Cualquier permutación se descompone en ciclos, por ejemplo σ = (1, 4, 5, 2) ∈ S5 eslo mismo que

σ =(

1 2 3 4 54 1 3 5 2

).

Entonces σ = σ1 · · ·σr, siendo σi ciclos disjuntos.Observación 0.1.1. La multiplicación no es conmutativa. Pero las permutaciones conelementos disjuntos sí que conmutan.

Todo ciclo se puede descomponer como producto de transposiciones z = (i, j). Por lotanto, podemos descomponer toda permutación como producto de transposiciones, peroesta descomposición no es única. Lo que sí que se mantiene es la paridad del número detrasposiciones. Es decir,

σ = z1 · · · zrσ = z1 · · · zs

=⇒ (r par ⇐⇒ s par) .

Esto nos permite definir unequívocamente el signo de la permutación:

sgn(σ) = (−1)r,

donde r es el número de trasposiciones de cualquiera de sus descomposiciones en trans-posiciones.Definición 0.1.2. Definimos el orden de una permutación σ como el mínimo k tal queσk = Id.Ejemplo 0.1.3. σ = (1, 4, 5, 2). Calcular el orden de σ.

σ2 = σ · σ =(

1 2 3 4 54 1 3 5 2

)(1 2 3 4 54 1 3 5 2

)=(

1 2 3 4 55 4 3 2 1

),

y así sucesivamente, llegaremos a que σ4 = Id.

1

2 TEMA 0. PERMUTACIONES

Proposición 0.1.4. Más en general, se tiene que, si σ = σ1σ2 · · ·σr es una descomposi-ción en permutaciones disjuntas, entonces

ord(σ) = mcm(ord(σ1), ord(σ2), . . . , ord(σr)

).

0.2. EjerciciosEjercicio 0.2.1. En general toda permutación de Sn descompone en producto de tras-posiciones (1, 2), (1, 3), . . . (1, n).

Demostración. En general tenemos que una trasposición cualquiera

(i, j) = (1, i)(1, j)(1, i).

�

Ejercicio 0.2.2.

σ =(

1 2 3 4 5 6 7 8 93 7 8 9 4 5 2 1 6

)= (1, 3, 8)(2, 7)(4, 9, 6, 5)

Por lo tanto, el orden de σ es

ord(σ) = mcm (3, 2, 4) = 12.

Ahora, descomponemos en trasposiciones.

(1, 3, 8) = (1, 8)(1, 3),(2, 7) = (2, 7),

(4, 9, 6, 5) = (4, 5)(4, 6)(4, 9),

con lo cual sgn(σ) = (−1)6 = 1.

Ejercicio 0.2.3. Encontrar todos los valores x, y, z, t tales que

σ =(

1 2 3 4 5 6 7 83 5 6 x y 1 z t

)

tenga orden tres.Primero descomponemos σ.

σ = (1, 3, 6)(

2 4 5 7 85 x y z t

).

Queremos que el segundo miembro tenga orden 3.

• Si y = 2, tenemos el ciclo (2, 5) que tiene orden 2 y por lo tanto ord(σ) es múltiplode 2.

• Los otros casos quedan como ejercicio.

Tema 1

Grupos

1.1. GruposDefinición 1.1.1. Un grupo es un par (G, ·), donde G es un conjunto no vacío y · es unaoperación interna, es decir, una aplicación

· : G×G→ G

(a, b) 7→ a · b

que satisface

i) (a · b) · c = a · (b · c), i.e., la propiedad asociativa,

ii) ∃e tal que ∀a ∈ G, a · e = e · a = a, i.e., existe un elemento neutro,

iii) ∀a ∈ G, ∃a ∈ G tal que a · a = a · a = e, i.e., todo elemento tiene inverso.

Nota. Cuando la operación del grupo sea irrelevante, evidente o se deduzca del contexto,escribiremos G en lugar de (G, ·), o de (G,+), etc., cometiendo un abuso de notación.Nota segunda. Además, a menudo también escribiremos ab en lugar de a · b y a · b en lugarde a ◦ b, como por ejemplo en la composición de permutaciones.

Definición 1.1.2. Decimos que G es un grupo abeliano o conmutativo si es un grupo yademás satisface la propiedad conmutativa:

ab = ba, ∀a, b ∈ G.

Observación 1.1.3. Existen varias notaciones para referirnos a esta operación:

Operación Símbolo Elemento neutro Elemento inversoAditiva + 0 −a (e. opuesto)

Multiplicativa · 1 a−1

Nota. Siempre que utilicemos + para la operación del grupo, la operación será conmuta-tiva.

Definición 1.1.4. Sea (G, ·) un grupo. Decimos que(H, ·|H

)es un subgrupo de (G, ·) si

H ⊆ G y se satisface

i) H 6= ∅,

3

4 TEMA 1. GRUPOS

ii) a, b ∈ H =⇒ a · b ∈ H (la operación es cerrada),

iii) ∀a ∈ H, a−1 ∈ H.

Nota. A menudo cometeremos un abuso de notación, escribiendo (H, ·) en lugar de(H, ·|H

).

Proposición 1.1.5. Los subgrupos son aquellos grupos(H, ·|H

)con H ⊆ G.

Demostración. Sea (H, ·) un subgrupo de (G, ·). Queremos ver que (H, ·) es un grupo.Tenemos la operación

· : H ×H → H

(a, b) 7→ a · b ∈ H.Tiene la propiedad asociativa porque es la restricción de una operación con la propiedadasociativa. Existe elemento neutro ya que ∃a ∈ H y ∃a−1 ∈ H, de modo que a · a−1 =e ∈ H. La última propiedad está impuesta.

Recíprocamente, veamos que si H ⊆ G y(H, ·|H

)es un grupo, entonces

(H, ·|H

)es un

subgrupo de G. Por ser(H, ·|H

)un grupo, 1 ∈ H =⇒ H 6= ∅. Las otras dos propiedades

están en la propia definición de grupo. �

Ejemplo 1.1.6.

1. Sea G un grupo. Los subgrupos impropios son {1} (el grupo trivial) y G.

2. (Z,+) , (Q,+) , (R,+) , (C,+) son grupos y subgrupos.

3.(Z�nZ,+

)es un grupo.

4. Sean G y H dos grupos. Entonces

G×H ={(x, y) | x ∈ G, y ∈ H

}es un grupo, con (a, b) · (c, d) = (ac, bd).

5. Grupo simétrico. (Sn, ◦) es el grupo simétrico de n elementos (permutaciones de nelementos).

6. Grupo diedral. (D2n, ◦), donde D2n son los conjuntos de las isometrías del plano quedejan invariante Pn. Pn es un polígono regular de n lados (raíces n-ésimas de 1).Por ejemplo,

D2·4 ={id, r, r2, r3, s, rs, r2s, r3s

},

siendo r la rotación horaria de π/2 y s la simetría respecto del eje x.

1.2. Intersección y producto de subgruposDefinición 1.2.1. Sea G un grupo y sean H,K ⊆ G subgrupos de G. Definimos laintersección de H y K como

H ∩K ≡{x ∈ G | x ∈ H y x ∈ K

}.

1.2. INTERSECCIÓN Y PRODUCTO DE SUBGRUPOS 5

Observación 1.2.2. Si H yK son subgrupos de G, H∩K es un subgrupo de G. Tambiénes cierto con la instersección arbitraria.

Definición 1.2.3. Sea G un grupo y sean H,K ⊆ G subgrupos de G. Llamamos uniónde H y K a

H ∪K ≡{x ∈ G | x ∈ H o x ∈ K

}.

Observación 1.2.4. En general, la unión de subgrupos no es un grupo.

Ejemplo 1.2.5. Consideremos el grupo simétrico como ejemplo:

S3 ={Id, (1 2), (1 3), (2 3), (1 2 3), (1 3 2)

}y tomemos

H ={Id, (1 2)

}, K =

{Id, (1 3)

}.

Ahora,H ∪K =

{Id, (1 2), (1 3)

},

pero(1 2)(1 3) = (1 3 2) /∈ H ∪K.

Definición 1.2.6. Sea G un grupo y sean H,K ⊆ G subgrupos. Definimos el productoH ·K como

H ·K ≡{xy | x ∈ H y y ∈ K

}.

Observación 1.2.7. En general, el producto de subgrupos, no es grupo.

Ejemplo 1.2.8. Tomando las definiciones de G, H y K del ejemplo anterior, tenemosque

H ·K ={Id, (1 3), (1 2), (1 2)(1 3) = (1 3 2)

},

que no es un grupo.

Observación 1.2.9. Si G es conmutativo, el producto de subgrupos es un grupo.

Demostración. Comprobemos que H ·K satisface las propiedades de los grupos.

i)H sg. =⇒ 1 ∈ HK sg. =⇒ 1 ∈ K

=⇒ 1 = 1 · 1 ∈ H ·K.

ii)xy ∈ HKzt ∈ HK

=⇒ (xy)(zt) = (xyzt) = (xz)(yt) ∈ HK.

iii) (xy)−1 = y−1x−1 = x−1y−1 ∈ HK.

�

Observación 1.2.10. Se tiene que

H ∩K ⊆ H,K ⊆ H ∪K ⊆ H ·K.

Demostración. Tenemos queH∪K ⊆ HK ya que ∀x ∈ H, x·1 = x ∈ HK y análogamentepara K. Las otras inclusiones son triviales a partir de las definiciones. �

6 TEMA 1. GRUPOS

Observación 1.2.11. SiHK es un subgrupo, entonces es el menor subgrupo que contienea H ∪K.

Demostración. Sabemos que H ∪K ⊆ HK por 1.2.10. Supongamos ahora que L es unsubgrupo de G que contiene a H ∪K y veamos que H ·K ⊆ L. Sea z = ab ∈ HK (a ∈ H,b ∈ K),

a ∈ H ⊆ L

b ∈ K ⊆ L

L es un subgrupo

=⇒ ab = z ∈ L =⇒ HK ⊆ L.

�

Definición 1.2.12. Sea (G, ·) un grupo y sea S ⊆ G. Definimos el subgrupo generadopor S a

〈S〉 ≡({1} ∪

{a1 · · · ar | ai ∈ S ó a−1

i ∈ S}, ·).

Observación 1.2.13. Si S = ∅, entonces 〈S〉 =({1} , ·

).

Observación 1.2.14. 〈S〉 es el menor subgrupo de G que contiene a S.

Demostración. Si S = ∅, hemos acabado. Si S 6= ∅, claramente S ⊆ 〈S〉 y basta ver quees un subgrupo de G.

i) ∃a ∈ S =⇒ a ∈ 〈S〉 =⇒ 〈S〉 6= ∅,

ii) Si a1 · · · ar ∈ 〈S〉 y b1 · · · bs ∈ 〈S〉, entonces a1 · · · arb1 · · · bs ∈ 〈S〉,

iii) Si a1 · · · ar ∈ 〈S〉, entonces (a1 · · · ar)−1 = a−1r · · · a−1

1 ∈ 〈S〉.

Tomemos ahora un subgrupo L de G que contiene a S. Queremos ver que 〈S〉 ⊆ L. Paracualesquiera a1 · · · ar ∈ 〈S〉, tenemos que

a1 ∈ S ⊆ L o a−11 ∈ S =⇒

(a−1

1

)−1∈ L

... ... ... ... ... ... ...

ar ∈ S ⊆ L o a−1r ∈ S =⇒

(a−1r

)−1∈ L

=⇒ a1 · · · ar ∈ L.

Por lo tanto, 〈S〉 ⊂ L. �

Ejercicio 1.2.15. Demostrar que

〈S〉 ={an1

1 · · · anrr | ai ∈ S, ni ∈ Z}.

Ejercicio 1.2.16. Demostrar que

〈S〉 =⋂

H sg. de GS⊆H

H.

1.3. ORDEN DE UN ELEMENTO 7

1.3. Orden de un elementoDefinición 1.3.1. Sea G un grupo y sea x ∈ G. Llamamos orden de x, si existe, al menorentero n ≥ 1 tal que

xn = 1.Si no existe, decimos que x tiene orden infinito. En ambos casos, lo denotamos o(x) ≡ord(x) ∈ N ∪ {∞}.

Definición 1.3.2. Sea G un grupo. Llamamos orden de G a su cardinal y lo denotamospor o(G), ord(G), |G| o card(G).

Ejemplo 1.3.3.

1. ord(e) = 1 y es el único elemento (el neutro) que tiene orden 1.

2. En el grupo simétrico G = Sn, sean a1, . . . , an ∈ G. ord((a1, . . . , an)

)= n.

3. En los grupos (Z,+) , (Q,+) , (R,+) y (C,+), ∀x 6= 0 ord(x) =∞.

4. En el grupo Z�pZ con p primo, ∀x 6= 0 ord (x) = p.

5. En los grupos Q∗ =(Q \ {0} , ·

),R∗ =

(R \ {0} , ·

), ord(−1) = 2, ord(1) = 1 y

∀x /∈ {−1, 1} ord(x) =∞.

6. En el grupo C∗ =(C \ {0} , ·

), ∀n ≥ 1 ord

(e

2πin

)= n y ∀z ∈ C tal que |z| 6=

1, ord(z) =∞.

Lema 1.3.4. Sea G un grupo y x ∈ G con ord(x) = n ∈ N. Entonces,

i) xm = 1 ⇐⇒ n|m.

ii) xm = xm′ ⇐⇒ m ≡ m′ (mod n).

iii) ord (xm) = nmcd(n,m) = ord(x)

mcd(ord(x),m) .

Demostración.

i) Si n|m, entonces m = n · d, con lo cual, xm = (xn)d = 1d = 1. Recíprocamente,pongamos m = nq + r, con 0 ≤ r < n. Entonces,

1 = xm = xnq+r = (xn)q xr = xr

0 ≤ r < n

=⇒ r = 0 =⇒ n|m.

ii) xm = xm′ ⇐⇒ xm−m

′ = 1 ⇐⇒ n|m−m′ ⇐⇒ m ≡ m′ (mod n).

iii) Sean k = ord (xm) y g = mcd(n,m). Queremos ver que k = ng.

(xm)ng = x

mng = (xn)

mg = 1 =⇒ k

∣∣∣∣∣ng .Por otro lado,

1 = (xm)k = xmk =⇒ n|mk =⇒ n

g

∣∣∣∣∣ mg k =⇒ n

g

∣∣∣∣∣ k,

8 TEMA 1. GRUPOS

puesto que ngy m

gson coprimos. Por lo tanto, como tenemos dos números que se

dividen el uno al otro, concluímos que son iguales, es decir que k = ng.

�

Definición 1.3.5. Decimos que un grupo G es cíclico si está generado por un solo ele-mento x ∈ G. Escribimos G = 〈x〉, y llamamos a x el generador de G.

Observación 1.3.6. Sea G un grupo cíclico. Si ord(G) = n (con n finito), entonces

G ={

1(= x0

), x, x2, . . . , xn−1

}.

Lo denotaremos como G = Cn (grupo cíclico de orden n). Si ord(G) =∞, entonces

G ={xk | k ∈ Z

},

aunque no trabajaremos con grupos infinitos este curso.

Ejemplo 1.3.7. Como casos comunes de grupos cíclicos tenemos

1. Z = 〈1〉 = 〈−1〉.

2. Z�nZ = 〈k〉 con mcd(n, k) = 1.

Definición 1.3.8. Llamamos función ϕ de Euler a la aplicación

ϕ : Z→ Nd 7→ ϕ(d) ≡ card

{1 ≤ k ≤ d | mcd(k, d) = 1

}.

Ejemplo 1.3.9.

ϕ(1) = 1, ϕ(3) = 2, ϕ(5) = 4, ϕ(7) = 6,ϕ(2) = 1, ϕ(4) = 2, ϕ(6) = 2, ϕ(p) = p− 1 (con p primo).

Proposición 1.3.10. Sea G = 〈x〉 un grupo cíclico, con ord(x) = n. Entonces,

i) ∀y ∈ G, ord(y)|n,

ii) ∀d|n, existen ϕ(d) elementos de G = Cn de orden d. De hecho, son{xndk∣∣∣ 1 ≤ k ≤ d y mcd(k, d) = 1

}.

Demostración.

i) Por ser y un elemento de G, es de la forma y = xm, 0 ≤ m < n. Entonces,

ord(y) = ord (xm) = ord(x)mcd

(ord(x),m

) = n

mcd(n,m) .

Y concluimos ord(y)|n.

1.3. ORDEN DE UN ELEMENTO 9

ii) Sea y ∈ G tal que ord(y) = d, tenemos que

y = xm =⇒ ord(y) = d = n

mcd(n,m) ⇐⇒ mcd(n,m) = n

d.

Buscamos los m tales que m ∈ {1, . . . , n} y mcd(n,m) = nd. Sea k = m

nd,

mcd(n,m) = n

d⇐⇒ mcd

(n

dd,n

dk)

= n

d⇐⇒ mcd(d, k) = 1.

Como n ≥ m tenemos que d ≥ k y por lo tanto tenemos que

ϕ(d) = card{k ∈ Z | mcd(k, d) = 1 y 1 ≤ k ≤ d

}= card

{xm | ord (xm) = d

}.

�

Corolario 1.3.11. Se tiene quen =

∑d|nϕ(d).

Demostración. Tomamos G = Cn = 〈x〉. Entonces,

n = |G| =∑d|n

card{x ∈ G | ord(x) = d

}=∑d|nϕ(d),

ya queG =

⊔d|n

{x ∈ G | ord(x) = d

}.

�

Proposición 1.3.12. Sea n ∈ N y sea G = Cn = 〈x〉. Entonces,

i) Si d|n, xnd es un elemento de orden d y el subgrupo Hd :=⟨xnd

⟩es un subgrupo

cíclico de orden d.

ii) Si H es un subgrupo de G, entonces existe un único d|n tal que H = Hd.

Demostración.

i) Se tiene queo(xnd

)= n

mcd(n, nd) = d.

Como xnd tiene orden d, Hd =⟨xnd

⟩es un grupo cíclico de orden d.

ii) Sea H un subgrupo de G = Cn y sea 1 ≤ t ≤ n el menor exponente tal que xt ∈ H.Veremos que t|n. Expresamos n = tk + r (con 0 ≤ r < t).

1 = xn = xtk+r =(xt)kxr.

Como xt ∈ H, se tiene que(xt)k,((xt)k)−1

∈ H. Así,

xr =((xt)k)−1 (

xt)kxr =

((xt)k)−1

∈ H.

10 TEMA 1. GRUPOS

Pero t es el exponente más pequeño (a excepción del 0) tal que xt ∈ H y, enconsecuencia, como r < t, r = 0 y n = tk. Veremos ahora que H = Hk.Claramente,

⟨xnk

⟩= Hk ⊆ H, ya que xnk = xt ∈ H y, por lo tanto, todos sus

múltiplos están en H.Sea y = xm ∈ H. Necesariamente, m ≥ t. Escribimos m = tq + s (con 0 ≤ s < t).Entonces,

xm = xtq+s =(xt)qxs =⇒ xs =

((xt)q)−1

︸ ︷︷ ︸∈H

· xm︸︷︷︸∈H∈ H.

de nuevo, por la definición de t, s = 0 y concluimos que y =(xt)q∈⟨xnk

⟩= Hk,

es decir, H ⊆ Hk.Solo resta ver que k es único, pero es observamos que, si H = Hk = He, entonces,

n

k= o (Hk) = o (H) = o (He) = n

e=⇒ k = e.

�

Corolario 1.3.13. Retículo de subgrupo de un grupo cíclico. Sea G = Cn = 〈x〉 un grupocíclico de orden n ≥ 1. Existe una biyección{

d ∈ N | 1 ≤ d ≤ n, d|n}←→ {subgrupos de G}

d←→ Hd.

1.4. Morfismos de gruposDefinición 1.4.1. Sean G1, G2 dos grupos y sea f : G1 → G2 una aplicación. Decimosque f es un morfismo (u homomorfismo) de grupos si

f(xy) = f(x)f(y).

Proposición 1.4.2. Sea f es un morfismo de grupos. Entonces,

i) f(1) = 1,

ii) f(x−1

)=(f(x)

)−1.

Demostración.

i) Sea x ∈ G1. Se tiene que f (x) = f (x · 1) = f (x) f (1) =⇒ f (1) = 1.

ii) Sea x ∈ G1. Se tiene que 1 = f (1) = f(xx−1

)= f (x) f

(x−1

)=⇒ f

(x−1

)=

f (x)−1.�

Observación 1.4.3. Notación:Nombre Propiedades

Monomorfismo InyectivaEpimorfismo ExhaustivaIsomorfismo Biyectiva

Endomorfismo G1 = G2Automorfismo Biyectiva y G1 = G2

1.4. MORFISMOS DE GRUPOS 11

Proposición 1.4.4. Sea f : G1 → G2 un morfismo biyectivo (isomorfismo) de grupos.Entonces, f−1 : G2 → G1 es un morfismo de grupos.

Demostración. Como f es biyectiva, es exhaustiva y inyectiva y tenemos que ∀x′ ∈ G2,existe un único x ∈ G1 tal que f (x) = x′. Sean f (x) , f (y) ∈ G2 dos elementos cuales-quiera de G2. Se tiene que

f−1 (f (x) f (y))

= f−1 (f (xy))

= xy = f−1 (f (x))f−1 (f (y)

).

�

Definición 1.4.5. Sean G1 y G2 grupos. Decimos que G1 y G2 son isomorfos si existaun morfismo de grupos f : G1 → G2 biyectivo. Lo notaremos como G1 ∼= G2.

Proposición 1.4.6. Sean G1 y G2 grupos y sea f : G1 → G2 un morfismo de grupos.Entonces,

i) Si H es un subgrupo de G1, entonces f(H) es subgrupo de G2.

ii) Si K es un subgrupo de G2, entonces, f−1(K) es subgrupo de G1.

Demostración.

i) Veamos que se cumplen las tres propiedades de la definición 1.1.4 para H.

i) 1 ∈ H =⇒ f(1) = 1 ∈ f(H) =⇒ f(H) 6= ∅.ii) Sean a, b ∈ H. Entonces, ab ∈ H y f(a)f(b) = f(ab) ∈ f(H).

iii) Sea a ∈ H. Entonces, a−1 ∈ H y f(a)−1 = f(a−1

)∈ f(H).

ii) Veamos que se cumplen las tres propiedades de la definición 1.1.4 para K.

i) 1 ∈ K, f(1) = 1 =⇒ 1 ∈ f−1(K) 6= ∅.ii) Sean a, b ∈ f−1 (K). Entonces, f (a) , f (b) y f (a) f (b) ∈ K y tenemos que

ab ∈ f−1 (f (ab))

= f−1 (f (a) f (b))⊆ f−1 (K).

iii) Sea a ∈ f−1 (K). Entonces, f (a) ∈ K, f (a)−1 = f(a−1

)∈ K, y tenemos que

a−1 ∈ f−1(f(a−1

))= f−1

(f (a)−1

)⊆ f−1 (K).

�

Observación 1.4.7. f (G1) = Im(f) ⊆ G2 y f−1({1}) = ker(f) ⊆ G1 son grupos.

Proposición 1.4.8. Sean G1, G2 grupos y sea f : G1 → G2 un morfismo de grupos.Entonces,

i) f inyectiva ⇐⇒ ker(f) = {1}.

ii) f exhaustiva ⇐⇒ Im(f) = G2.

Demostración. Ejercicio. �

12 TEMA 1. GRUPOS

1.5. Clases lateralesDefinición 1.5.1. Sea G un grupo y H ⊆ G un subgrupo. Dados a, b ∈ G, decimos quea está relacionado con b por la izquierda si

a−1b ∈ H.

Ejercicio 1.5.2. Demostrar que que la relación definida es una relación de equivalencia.Para ello, hace falta ver que es reflexiva, simétrica y transitiva.

Definición 1.5.3. Sea G un grupo, sea H ⊆ G un subgrupo y sea a ∈ G. Llamamosclase lateral por la izquierda del elemento a módulo el subgrupo H al conjunto

aH ≡ a ={b ∈ G | a−1b = x, x ∈ H

}={b ∈ G | b = ax, x ∈ H

},

es decir, a la clase de equivalencia de a por la relación definida.

Ejemplo 1.5.4. Si a = 1, tenemos que

1 ·H ={1x | x ∈ H

}= H.

Observación 1.5.5. Sea G un grupo, seaH ⊆ G un subgrupo y sea a ∈ G. Consideremosla aplicación

fa : G→ G

x 7→ fa(x) = ax,

que es biyectiva (f−1a = fa−1). Notemos que, en general, f no es un morfismo de grupos,

ya que f(1) = a y puede ser que a 6= 1. Se tiene también que

fa(H) ={fa(x) | x ∈ H

}={ax | x ∈ H

}= aH.

Diremos, pues, que hay una biyección H ↔ aH, en particular, si G es finito, se tiene que|H| = |aH|.

Definición 1.5.6. Sea G un grupo y sea H un subgrupo de G. Llamamos conjuntocociente de G módulo H a

G�H ≡{aH | a ∈ G

}={a | a ∈ G

},

es decir, el conjunto de las clases laterales por la izquierda de G módulo H.

Teorema 1.5.7. Teorema de Lagrange.Sea G un grupo finito y sea H un subgrupo de G. Entonces,

|G| = |H|∣∣∣∣G�H

∣∣∣∣ .Demostración. Se tiene que

G =⊔aH.

Por lo tanto,

|G| =∣∣∣⊔ aH

∣∣∣ =∑|aH| =

∣∣∣G�H∣∣∣∑k=1|H| = |H|

∣∣∣∣G�H∣∣∣∣ .

�

1.5. CLASES LATERALES 13

Corolario 1.5.8. Sea G un grupo y sea H ⊆ G un subgrupo. Entonces, |H| divide a |G|.Si x ∈ G,

o(x)| o(G) = |G| .

Demostración. o(x) = o(〈x〉

)| o(G). �

Definición 1.5.9. Sea G un grupo y H ⊆ G un subgrupo. Dados a, b ∈ G, decimos quea está relacionado con b por la derecha si

ab−1 ∈ H.

Ejercicio 1.5.10. Demostrar que que la relación definida es una relación de equivalencia.Para ello, hace falta ver que es reflexiva, simétrica y transitiva.

Definición 1.5.11. Sea G un grupo, sea H ⊆ G un subgrupo y sea a ∈ G. Llamamosclase lateral por la derecha del elemento a módulo el subgrupo H al conjunto

Ha ≡ a ={b ∈ G | ab−1 = x, x ∈ H

}={b ∈ G | b = xa, x ∈ H

},

es decir, a la clase de equivalencia de a por la relación definida.

Observación 1.5.12. Sea G un grupo, sea H ⊆ G un subgrupo y sea a ∈ G. Conside-remos la aplicación

ga : G→ G

x 7→ ga(x) = xa,

Observamos que es biyectiva (g−1a = ga−1), pero que no es un morfismo de grupos. Además,

ga(H) = Ha y, por lo tanto, se tiene una biyección H ↔ Ha. En particular, si G es finito,|H| = |Ha|.

Proposición 1.5.13. Sea G un grupo y H ⊆ G un subgrupo. La aplicación{aH | a ∈ G

}→{Hb | b ∈ G

}xH 7→ Hx−1.

está bien definida y es biyectiva.

Demostración. Ejercicio. �

Definición 1.5.14. Sea G un grupo y H ⊆ G un subgrupo. Llamamos índice de G enH al cardinal de G�H y lo denotamos como [G : H]

Observación 1.5.15. Como consecuencia inmediata del teorema de Lagrange, se tieneque

[G : H] = |G||H|

.

14 TEMA 1. GRUPOS

1.6. Subgrupos normales. Grupo cocienteDefinición 1.6.1. Sea G un grupo yH ⊆ G un subgrupo. Decimos queH es un subgruponormal de G si ∀a ∈ G

aH = Ha,

es decir, si coinciden les clases laterales de a módulo H. Lo denotaremos como H / G.

Observación 1.6.2. H / G no quiere decir que ax = xa (x ∈ H, a ∈ G). Quiere decirque ∀x ∈ H, a ∈ G, ∃y ∈ H tal que ax = ya.

Proposición 1.6.3. Sea G un grupo y H ⊆ G un subgrupo. Son equivalentes

(i) H / G,

(ii) aH = Ha, ∀a ∈ G,

(iii) aH ⊆ Ha, ∀a ∈ G,

(iv) aHa−1 = H, ∀a ∈ G,

(v) aHa−1 ⊆ H, ∀a ∈ G.

Demostración. En primer lugar, (i)⇐⇒ (ii) por definición y (ii) =⇒ (iii) es inmediato.Veamos que (iii) =⇒ (v). Sea x = aba−1 ∈ aHa−1, de modo que b ∈ H. Por (iii), sabemosque ab = ca, con c ∈ H. Entonces, x = aba−1 = caa−1 = c ∈ H.Veamos que (v) =⇒ (iv). Basta probar que

∣∣∣aHa−1∣∣∣ = |H|. Tomemos b, c ∈ H tales que

aba−1 = aca−1. Se tiene que b = c lo que nos dice que la aplicación que va de H a aHa−1

es inyectiva y por lo tanto∣∣∣aHa−1

∣∣∣ = |H|.Veamos, por último, que (iv) =⇒ (ii). Sea x = ab = aba−1a ∈ aH. Por (iv), aba−1 = c ∈H, de modo que x = ca ∈ Ha y concluimos que aH ⊆ Ha. Análogamente, tenemos queHa ⊆ aH. �

Ejemplo 1.6.4.

1. Consideremos los grupos de simétrico y alternado de tres elementos.

G = S3 ={Id, (12), (13), (23), (123), (132)

}y H = A3 =

{Id, (123), (132)

}.

Sabemos que|G| = |H|

∣∣∣∣G�H∣∣∣∣ =⇒ |G|

|H|= 6

3 = 2 =∣∣∣∣G�H

∣∣∣∣ .Como ∀x ∈ H, xH = H = Hx, H es un grupo normal, ya que solo existen 2 clases.

2. Tomamos G = D2·4 ={

Id, r, r2, r3, s, rs, r2s, r3s}y H =

{Id, r, r2, r3

}.

Proposición 1.6.5. Sea G un grupo finito y H ⊆ G un subgrupo,

[G : H] = 2 =⇒ H / G

Demostración. Por ser H un grupo, se tiene que aH = H = Ha, ∀a ∈ H. Además, comosolamente hay dos clases laterales, se tiene que aH = G \H = Ha, ∀a ∈ G \H. �

1.6. SUBGRUPOS NORMALES. GRUPO COCIENTE 15

Ejemplo 1.6.6. Tomamos G = S3 y H ={Id, (1, 2)

}. Tenemos que

(1, 3)H = (1, 3){Id, (1, 2)

}={(1, 3), (1, 2, 3)

},

H(1, 3) ={Id, (1, 2)

}(1, 3) =

{(1, 3), (1, 3, 2)

}.

Lema 1.6.7. Sean G1, G2 grupos, sean H,K subgrupos de G1 y G2 respectivamente ysea f : G1 → G2 un morfismo de grupos. Entonces,

i) H / G1 =⇒ f(H) / f (G1) .

ii) K / G2 =⇒ f−1(K) / G1.

Demostración.

i) Sea f(x) ∈ f(H) y sea f(a) ∈ f (G1). Entonces,

f(a)f(x)f(a)−1 = f(a)f(x)f(a−1

)= f

(axa−1

)∈ f(H),

puesto que axa−1 ∈ H.

ii) Sea x ∈ f−1 (K) y sea a ∈ G1. Entonces,

axa−1 ∈ f−1(f(axa−1

))= f−1

(f (a) f (x) f (a)−1

)⊆ f−1 (K) ,

puesto que f (x) ∈ K, f (a) , f−1 (a) ∈ G2 y K / G2.�

Observación 1.6.8. Sea G es un grupo conmutativo Todo subgrupo de G es normal.

Observación 1.6.9. Sea G un grupo. G y {Id} son subgrupos normales.

Proposición 1.6.10. Sea G un grupo y sean H ⊆ K ⊆ G subgrupos.

H / G =⇒ H / K.

Demostración. Para todo a ∈ K y x ∈ H se tiene que axa−1 ∈ H y, por lo tanto,H / K. �

Observación 1.6.11. H / K / G 6=⇒ H / G.

Ejemplo 1.6.12. Consideremos los grupos

G = S4,

H ={Id, (1, 2)(3, 4)

},

K ={Id, (1, 2)(3, 4), (1, 3)(2, 4), (2, 3)(1, 4)

}.

Tenemos que [K : H] = 2, lo cual implica que H / K. También es cierto que K / G:

σ(1, 2)(3, 4)σ−1 = σ(1, 2)σ−1σ(3, 4)σ−1 = (σ (1)σ (2))(σ (3)σ (4)) ∈ K

y análogamente para el resto de permutaciones de K. Sin embargo, H 6/ G:

(1, 2, 3)H ={(1, 2, 3), (1, 3, 4)

},

H(1, 2, 3) ={(1, 2, 3), (2, 4, 3)

}.

16 TEMA 1. GRUPOS

Proposición 1.6.13. Sea G un grupo, y sea H / G un subgrupo normal. Entonces,

i) En G�H existe una estructura de grupo definida por

(xH)(yH) = (xy)H.

ii) La funciónΠ: G→ G�H

x 7→ xH = x

es un morfismo de grupos exhaustivo y de núcleo H.

iii) Existe una biyección entre

{sg. (normales) de G que contienen a H

}↔{sg. (normales) de G�H

}K ⊇ H 7→ Π(K)Π−1(L)←[ L

Demostración.

i) Sean x ∼ x′ y y ∼ y′, queremos ver que xy ∼ x′y′.

x ∼ x′ =⇒ x−1x′ ∈ Hy ∼ y′ =⇒ y−1y′ ∈ H

=⇒ (xy)−1(x′y′

)= y−1

(x−1x′

)︸ ︷︷ ︸∈H

y′H/G= y−1y′︸ ︷︷ ︸

∈H

t ∈ H.

Comprovamos las propiedades de la operación de un grupo:

• Associativa: (xH) (yHzH) = (xH)((yz)H

)=

(x (yz)

)H =

((xy) z

)H =

(xyH) (zH) =((xH) (yH)

)(zH).

• Elemento neutro:

H (xH) = (1H) (xH) = (1x)H = xH,

(xH)H = (xH) (1H) = (x1)H = xH.

• Elemento inverso: (xH)(x−1H

)=(xx−1

)H = 1H = H.

ii) Sean x, y ∈ G. Entonces, Π (xy) = (xy)H = (xH) (yH) = Π (x) Π (y), con lo queΠ es un morfismo de grupos. Ver que es un morfismo exhaustivo es inmediato,puesto que, dada una clase, cualquiera de sus representantes la tiene por imagen.Su núcleo es Π−1 (H), es decir los elementos que tienen H por imagen. Sabemosque xH = H, ∀x ∈ H y que y /∈ H =⇒ y · 1 /∈ H =⇒ Π (y) = yH 6= H, de modoque ker (Π) = H.

iii) Demostraremos primero que Π define un morfismo biyectivo entre los subgrupos deG que contienen H y los subgrupos de G�H. Sea K ⊇ H un subgrupo de G. Π (K)es un subgrupo de G�H por ser Π un morfismo de grupos. Sea L un subgrupo deG�H. Π−1 (L) es un subgrupo de G por ser Π un morfismo de grupos. Además,1 ∈ L, de manera que H = Π−1 (1) ⊆ Π−1 (L). Puesto que Π tiene inversa, para ver

1.6. SUBGRUPOS NORMALES. GRUPO COCIENTE 17

que es biyectiva basta ver que restringida a los subgrupos de G que contienen H esinyectiva. Sean K1, K2 subgrupos de G que contienen H tales que Π (K1) = Π (K2).Supongamos que K1 6= K2. Sin pérdida de generalidad, ∃x ∈ K1 tal que x /∈ K2.Puesto que xH ∈ Π (K1) = Π (K2), necesariamente ∃y ∈ K2 tal que yH = xH.Entonces, x ∈ xH = yH =⇒ y−1x ∈ H ⊆ K2 =⇒ yy−1x = x ∈ K2 e incurrimosen una contradicción. Por consiguiente, K1 = K2 y sigue que Π restringida a lossubgrupos de G que contienen H es inyectiva y luego biyectiva.Para demostrar que Π define un morfismo biyectivo entre los subgrupos normalesde G que contienen H y los subgrupos normales de G�H, es suficiente recordar quela imagen de un subgrupo normal es un grupo normal y que la antiimagen de unsubgrupo normal es un grupo normal. Además, como ya hemos dicho, Π es inyectivarestringida a los subgrupos de G que contienen H y tiene inversa, de modo que setiene la biyección.

�

Teorema 1.6.14. Primer teorema de isomorfía.Sean G1, G2 grupos, sea f : G1 → G2 un morfismo de grupos. Sea H / G1 un subgruponormal y consideremos la aplicación

f : G1�H → G2

xH 7→ f(xH) = f(x).

G1 G2

G1�H

f

f(xH)=f(x)

i) f está bien definida ⇐⇒ H ⊆ ker(f).

Si f está bien definida, se cumple que

ii) f es un morfismo de grupos,

iii) xH ∈ ker(f)⇐⇒ x ∈ ker(f),

iv) Im(f)

= Im(f).

Demostración.

i) f está bien definida ⇐⇒(xH = yH =⇒ f (x) = f (y)

)⇐⇒

⇐⇒(x−1y ∈ H =⇒ f (x) = f (y)

)⇐⇒

⇐⇒(x−1y ∈ H =⇒ f (x) f (y)−1 = 1

)⇐⇒

⇐⇒(x−1y ∈ H =⇒ f (x) f

(y−1

)= 1

)⇐⇒

⇐⇒(x−1y ∈ H =⇒ f

(xy−1

)= 1

)⇐⇒

⇐⇒ H ⊆ ker (f) .

ii) f (xH) f (yH) = f (x) f (y) = f (xy) = f((xy)H

).

iii) xH ∈ ker(f)⇐⇒ f (xH) = f (x) = 1 ⇐⇒ x ∈ ker (f).

18 TEMA 1. GRUPOS

iv) Im(f)

={f (xH) | x ∈ G1

}={f (x) | x ∈ G1

}= Im (f).

�

Corolario 1.6.15. En particular, f : G1�ker(f) → f (G1) es un morfismo de gruposbiyectivo (isomorfismo).

1.7. El grupo multiplicativo de un cuerpo finitoEsta sección está dedicada al estudio del grupo multiplicativo de un cuerpo finito,

pero se incluye en este capítulo porque principalmente trata sobre grupos y no sobrecuerpos.

Observación 1.7.1. Notación. Sea G un grupo finito con o(G) = n y d|n. Notaremos

Od ={y ∈ G | o(y) = d

}.

Sea x ∈ G con o(x) = m. Notaremos

Cm(x) = 〈x〉 ={

1, x, . . . , xm−1}.

Observación 1.7.2. Notación. Dado un cuerpo k, notaremos k∗ = k \ {0}, que es ungrupo con el producto.

Lema 1.7.3. Sea k un cuerpo y sea p(T ) ∈ k[T ] un polinomio de grado n. Entonces,∣∣∣{raíces de p(T )}∣∣∣ ≤ n.

Demostración. Pongamos p (T ) = anTn + an−1T

n−1 + · · · + a1T + a0. Entonces, si t esuna raíz de p o, dicho de otro modo, p (t) = 0, se tiene que

p (t) = antn + an−1t

n−1 + · · ·+ a1t+ a0 = 0,

de modo que

p (T ) = p (T )− p (t) == anT

n + an−1Tn−1 + · · ·+ a1T + a0 − antn − an−1t

n−1 − · · · − a1t− a0 =

= (T − t)[an(T n−1 + T n−2t+ · · ·+ Ttn−2 + tn−1

)+ · · ·+ a1

]=

= (T − t) q (T ) ,

donde q (T ) es un polinomio de grado n− 1. Así pues, las demás raíces de p (T ) dividenq (T ) y así sucesivamente. Por lo tanto, si p (T ) tuviera más de n raíces, sería de laforma (T − t1) · · · (T − tn+1) q (T ) y tendría, almenos, grado n + 1, lo cual supone unacontradicción. �

Lema 1.7.4. Sea k un cuerpo y sea x ∈ k∗, o(x) = n. Entonces,

On (k∗) ⊆ {raíces de T n − 1} = Cn(x) ⊆ k∗.

Además,∣∣On (k∗)

∣∣ = ϕ(n).

1.8. GRUPOS SIMPLES 19

Demostración. Sea y ∈ On(k∗). Se tiene que yn = 1 =⇒ yn − 1 = 0 =⇒ y es raíz deT n− 1, y tenemos la primera inclusión On (k∗) ⊆ {raíces de T n − 1}. Ahora, veamos que{raíces de T n − 1} = Cn(x). Por un lado, sea y ∈ Cn(x), tenemos que

y = xk =⇒ yn =(xk)n

= (xn)k = 1,

con lo que Cn(x) ⊆ {raíces de T n − 1}. Por otro lado,∣∣{raíces de T n − 1}∣∣ ≤ n =

∣∣Cn (x)∣∣ ,

y concluimos que {raíces de T n − 1} = Cn(x). El último resultado sigue inmediatamentede la inclusión On (k∗) ⊆ Cn (x) y de la proposición 1.3.10. �

Teorema 1.7.5. Sea k un cuerpo y sea G un subgrupo finito de k∗. Entonces, G es ungrupo cíclico. En particular, si k es finito, k∗ es un grupo cíclico.

Demostración. Sea |G| = n y sea d|n. Tenemos que

Od(G) ={y ∈ G | o(y) = d

}⊆{y ∈ k∗ | o(y) = d

}= Od (k∗) .

Definimos md =∣∣Od(G)

∣∣ ≤ ∣∣Od (k∗)∣∣ = ϕ(d). Entonces,

n =∑d|nmd ≤

∑d|nϕ(d) = n =⇒ md = ϕ(d).

Además, se tiene que

mn = ϕ(n) ≥ 1 =⇒ ∃y ∈ G tal que o(y) = n

|G| = n

=⇒ G = Cn(y).

�

1.8. Grupos simplesDefinición 1.8.1. Sea G un grupo no trivial (G 6= {1}). Decimos que G es simple si losúnicos subgrupos normales de G son {1} y G.

Teorema 1.8.2. Sea G un grupo. Son equivalentes

(i) G es simple y abeliano,

(ii) |G| = p, con p primo,

(iii) G ∼= Z�pZ con p primo.

Demostración. Empecemos probando que (i) =⇒ (ii). Como G 6= {1} , ∃x ∈ G conx 6= 1. Veamos que o(x) = ∞ =⇒ 〈x2〉 ( G. Supongamos que o(x) = ∞. Entonces,〈x2〉 = G =⇒ x ∈ 〈x2〉 =⇒ x =

(x2)m

= x2m =⇒ x−1x = x−1x2m =⇒ 1 =x2m−1 =⇒ o(x) ≤ 2m − 1 lo cual contradice la hipótesis o(x) = ∞. Tenemos ahoraque 〈x2〉 es subgrupo propio de G. Pero G es abeliano y, por lo tanto, 〈x2〉 / G, cosa que

20 TEMA 1. GRUPOS

supone una contradicción con la hipótesis de que G es simple. Así pues, o(x) = n > 1.Tomamos p|n, con p primo. Sabemos que

o(xnp

)= n

mcd(n, n

p

) = nnp

= p.

Es decir, xnp tiene orden p. Tomamos H = 〈x

np 〉 6= {1}. H es un subgrupo de G y G es

abeliano, de modo que H /G. Sin embargo, G es simple, con lo cual H = G y concluimosque |G| = |H| = p.Veamos ahora que (ii) =⇒ (iii). Suponemos que |G| = p con p primo, y sigue que ∃x ∈G, x 6= 1. En particular o(x)| o(G) = p y, puesto que p es primo, o(x) = p. Ahorase tiene que 〈x〉 ⊆ G, pero los órdenes de los grupos son iguales y, por consiguiente,G = 〈x〉 ∼= Z�pZ.Por último, veamos que (iii) =⇒ (i). G ∼= Z�pZ es el grupo cíclico de p elementos y esabeliano. Además, vimos en 1.3.13 que los siguientes conjuntos están en biyección:{

d ∈ Z∣∣∣ d|n, 1 ≤ d ≤ n

}↔{H | H sg. de Cn

}d 7→ Hd.

En este caso, como n = p es primo, los únicos subgrupos de G son {1} y G y, en particular,son los únicos normales. Concluimos que G es simple. �

Teorema 1.8.3. Teorema de Feit-Thompson.Sea G un grupo simple tal que |G| = n ∈ N, con n impar. Entonces, n es un númeroprimo.

Demostración. La demostración es demasiado larga y complicada como para abarcarlaen esta asignatura. �

Corolario 1.8.4. Sea G un grupo simple tal que |G| = n ∈ N, con n impar. Se tiene que

G ∼= Z�pZ,

con p = n primo.

Demostración. El resultado es una consecuencia inmediata de los teoremas 1.8.3 y 1.8.2.�

Teorema 1.8.5. An es simple para todo n ≥ 5.

Demostración. Sabemos (por el problema 1.13) que An = 〈{3-ciclos}〉. Sean ahora (a1, a2,a3) y (b1, b2, b3) dos 3-ciclos, veremos que ∃σ ∈ An tal que σ (a1, a2, a3)σ−1 = (b1, b2, b3).Consideremos una permutación σ que envía a1 a b1, a2 a b2, a3 a b3 y el resto a dondesea. Si σ ∈ An ya hemos acabado. Si σ /∈ An, tomamos

σ = σ (a4, a5)

con todos los ai diferentes entre ellos (a4 y a5 existen porque n ≥ 5). Entonces se tieneque

σ (a1, a2, a3) σ−1 = σ (a4, a5) (a1, a2, a3) (a4, a5)σ−1

= σ (a1, a2, a3)����(a4, a5)����(a4, a5)σ−1

= σ (a1, a2, a3)σ−1 = (b1, b2, b3)

1.8. GRUPOS SIMPLES 21

y σ ∈ An. Sea H / An, un subgrupo normal de An no trivial. Veamos que H contiene un3-ciclo. Sea σ ∈ H, con σ 6= Id. En problema 0.20 nos asegura que, o bien

∃τ ∈ An tal que τστ−1σ−1 es un 3-ciclo,

o bien∃τ1τ2 ∈ An tal que τ2τ1στ

−11 σ−1τ−1

2 στ1σ−1τ−1

1 es un 3-ciclo.

Ahora queremos ver que H = An. Acabamos de ver que ∃σ ∈ H 3-ciclo y que todo τ3-ciclo es el conjugado de σ por un elemento ρ ∈ An. Por lo tanto, τ ∈ H, lo que nos diceque An = 〈{3-ciclos}〉 ⊆ H y hemos acabado. �

Lema 1.8.6. Sea G un grupo no trivial y sea H un subgrupo normal a G. Entonces, G�Hes simple si y solo si H es el único elemento del conjunto

{K | K / G,K 6= G,H ⊆ K

}.

Demostración. Como establece la proposición 1.6.13, existe una biyección entre los sub-grupos normales de G�H y los subgrupos normales de G que contien H. Por definición,G�H es simple si y solo si tiene exactamente dos subgrupos normales. Así, si G�H es sim-ple, H 6= G y hay exactamente dos subgrupos normales de G que contienen H: H y G.Entonces,H es el elemento maximal de los subgrupos propios normales deG que contienenH. Recíprocamente, si H es el único elemeno del conjunto

{K | K / G,K 6= G,H ⊆ K

},

entonces{K | K / G,H ⊆ K

}={K | K / G,K 6= G,H ⊆ K

}∪{G} = {H,G}. Por con-

siguiente, G�H tiene exactamente dos subgrupos normales, es decir, es simple. �

Definición 1.8.7. Sea G un grupo. Llamamos torre normal de G a una cadena desubgrupos de G tal que

G = G0 . G1 . · · · . Gn = {1} ,

es decir, que Gi es un subgrupo normal de Gi+1. Decimos que los grupos

G0�G1, G1�G2

, . . . , Gn−1�Gn

son los cocientes de la torre y que la longitud de la torre es n.

Definición 1.8.8. Sea G un grupo. Decimos que una torre normal de G es una torrenormal abeliana de G si todos los sus cocientes son abelianos, es decir, si los grupos

G0�G1, G1�G2

, . . . , Gn−1�Gn

son conmutativos.

Definición 1.8.9. Sea G un grupo. Decimos que es resoluble si tiene una torre normalabeliana.

Definición 1.8.10. Sea G un grupo. Decimos que una torre normal de G es una serie decomposición de G si todos sus cocientes, es decir, todos los grupos

G0�G1, G1�G2

, . . . , Gn−1�Gn,

son simples.

Ejemplo 1.8.11.

22 TEMA 1. GRUPOS

1. Todo grupo tiene, almenos, una torre normal. En particular, G = G0 . G1 = {1}es una torre normal. Además, es una torre abeliana si y solo si G es abeliano, yes simple si y solo si G es simple. Así pues, si G es abeliano, es resoluble porqueG . {1} es una torre normal abeliana.

2. Consideremos G = D2n. Se tiene que D2n . 〈r〉 . {1} es una torre normal. Veamosque es abeliana.

〈r〉�{1} = 〈r〉 ∼= Z�nZ,

que es abeliano, yD2n�〈r〉 ∼= C2,

que es abeliano. Por lo tanto, D2n es resoluble. Además, puesto que C2 es simple,D2n . 〈r〉 . {1} es una serie de composición si y solo si n es primo.

3. Consideremos G = S4. Se tiene que S4 . V4 = {Id, (1, 2) (3, 4) , (1, 3) (2, 4) , (1, 4)(2, 3)}.{Id} es una torre normal. Para ver que S4 .V4, observamos que σ (a, b) (c, d)σ−1 = σ (a, b)σ−1σ (c, d)σ−1 =

(σ (a)σ (b)

) (σ (c)σ (d)

)∈ V4. Veamos que G4�V4

noconmuta.

(1, 2, 3)V4 (1, 4)V4 = (1, 2, 3) (1, 4)V4 == (1, 4, 2, 3)V4 6=6= (1, 2, 3, 4)V4 == (1, 4) (1, 2, 3)V4 == (1, 4)V4 (1, 2, 3)V4.

Así pues, la torre no es abeliana y no es una serie de composición porque V4 no essimple.

4. Podemos refinar la torre anterior para que sea abeliana y serie de composición.Consideremos la torre

S4 . A4 . V4 .{Id, (1, 2) (3, 4)

}. {Id} .

Veamos que efectivamente es una torre. S4 . A4 porque A4 es un subgrupo y[S4 : A4] = 2. A4 . V4 porque S4 . V4. V4 .

{Id, (1, 2) (3, 4)

}porque

{Id, (1, 2) (3, 4)

}es un subgrupo y

[V4 : {Id, (1, 2) (3, 4)

}]= 2.

Veamos ahora que cada uno de los cocientes de la torre son simples y conmutativos.

S4�A4∼= Z�2Z,

A4�V4∼= Z�3Z,

V4�{Id, (1, 2) (3, 4)} ∼= Z�2Z,{

Id, (1, 2) (3, 4)}�{Id} ∼=

Z�2Z,

que son todos simples y conmutativos.

1.8. GRUPOS SIMPLES 23

5. Z no tiene serie de composición. En primer lugar, observamos que Z no es simpleporque 2Z / Z. Sea G un subgrupo de Z (en particular, será un subgrupo normalporque Z es conmutativo). El máximo común divisor m de todos los elementosde G es un elemento de G porque de obtiene sumando (finitos) elementos de G.Entonces, G = 〈m〉 = mZ ∼= Z, y deducimos que todos los elementos de cualquiertorre normal de Z serán de la forma nZ. Pero nZ�{0} = nZ ∼= Z no es simple, demanera que siempre habrá un cociente de la torre que no es simple. Por lo tanto, Zno tiene serie de composición.

Proposición 1.8.12. Todo grupo finito tiene una serie de composición.

Demostración. Sea G un grupo finito y supongamos que no tiene serie de composición. Deentre sus torres normales (el primer ejemplo nos muestra que hay, almenos, una) tomemosuna que no pueda ser refinada, es decir, que para todo par de grupos consecutivos Gi yGi+1 de la torre, no exista un grupo H (distinto de Gi y Gi+1) con Gi .H .Gi+1. Sabemosque una tal torre normal existe porque, de no ser así, podríamos encontrar una torrenormal con un número arbitrario de grupos de distinto cardinal, lo cual supondría unacontradicción con la finitud de G. Entonces, la torre en cuestión tiene un par de gruposconsecutivos Gk y Gk+1 tales que Gk�Gk+1

no es simple ya que, de lo contrario, seria unaserie de composición. Sin embargo, el lema 1.8.6 nos asegura que Gk+1 no es un elementomaximal del conjunto de grupos

{H | H / Gk, H 6= Gk, Gk+1 ⊆ H

}. Por lo tanto, existe

un grupo H (distinto de Gk y Gk+1) con Gk .H ⊇ Gk+1. Pero Gk .Gk+1, y necesariamenteH . Gk+1. Esto contradice la suposición de que no existía un tal H y concluimos que Gtiene serie de composición. �

Teorema 1.8.13. Segundo teorema de isomorfía.Sea G un grupo y sean H,K subgrupos de G con H / G. Entonces,

i) (H ∩K) / K,

ii) HK es un subgrupo de G,

iii) H / HK.

Además, se tiene queK�H ∩K ∼= HK�H.

Demostración.

i) Sean x ∈ H ∩K, a ∈ K. Entonces, axa−1 ∈ K trivialmente. Además, puesto queH / G y a ∈ K ⊆ G, axa−1 ∈ H. Así pues, axa−1 ∈ H ∩K y (H ∩K) / K.

ii) Naturalmente, HK ⊆ G. Veamos que HK es un grupo. 1 ∈ H,K =⇒ 1 ∈ HK.Sean h1, h2 ∈ H y sean k1, k2 ∈ K. Entonces, como que H / G =⇒ aH = Ha,h1k1h2k2 = h1h3k1k2, para algún h3 ∈ H. Por ser H y K grupos, h1k1h2k2 =h1h3k1k2 ∈ HK. Finalmente, sea hk ∈ HK. Entonces, (hk)−1 = k−1h−1 ∈ k−1H =Hk−1. Así pues, existe h ∈ H tal que (hk)−1 = hk−1 ∈ HK.

iii) Sea a ∈ H y sea hk ∈ HK. Entonces, hka (hk)−1 = hkak−1h−1. Puesto que H /G,kak−1 = a ∈ H y concluimos que hka (hk)−1 = hkak−1h−1 = hah−1 ∈ H, de modoque H / HK.

24 TEMA 1. GRUPOS

Sea ϕ : K i↪−→ HK

π−→ HK�H. El cociente HK�H es un grupo porque HK es un grupo yH / HK. La composición de morfismos de grupos es un morfismo de grupos, de maneraque ϕ es un morfismo de grupos.Veamos que ϕ es exhaustivo. Sea hk = hkH ∈ HK�H la clase de hk ∈ HK. Porser H un subgrupo normal de G, existe algún h′ ∈ H tal que hk = kh′. Entonces,hk = hkH = kh′H = kH = k. Así pues, hk = k = ϕ (k) , ∀hk ∈ HK�H, y concluimosque ϕ es exhaustivo.Veamos que ker (ϕ) = H ∩K. Sea k ∈ ker (ϕ), es decir, k ∈ K tal que ϕ (k) = 1 = H.Entonces, ϕ (k) = k = kH = H, lo cual implica que k ∈ H, de modo que k ∈ H ∩K ysigue que ker (ϕ) ⊆ H ∩K. Sea ahora k ∈ H ∩K. Puesto que k ∈ K, k es del dominio deϕ y tenemos que ϕ (k) = k = kH = H = 1, por ser k de H. Finalmente, ker (ϕ) ⊇ H ∩Ky se da la igualdad.Para terminar, K�H ∩K es un grupo porque (H ∩K) / K y podemos aplicar el primerteorema de isomorfía para deducir que

K�H ∩K = K�ker (ϕ) ∼=HK�H.

�

Teorema 1.8.14. Teorema de Jordan-Hölder.Sea G un grupo y sean

G = G0 . G1 . · · · . Gn = {1} ,G = H0 . H1 . · · · . Hm = {1}

dos series de composición de G. Entonces, n = m y ∃σ ∈ Sn tal que

Hi−1�Hi∼= Gσ(i)−1�Gσ(i)

, ∀1 ≤ i ≤ n. (1.1)

Demostración. Aunque el teorema es cierto para cualquier grupo, realizaremos la de-mostración para grupos finitos solamente, por inducción sobre |G|. Para simplificar lanotación, diremos que dos series de composición son equivalentes si satisfacen 1.1.

Sea G un grupo finito y sean {Gi}i=0,...,n y {Hi}i=0,...,m series de composición de G.La hipóteis de inducción dice que si H es un grupo con |H| < |G|, entonces dos series

de composición cualesquiera de H son equivalentes.Si H1 = G1 entonces |G1| = |H1| < |G|, ya que G0�G1

es simple. Tenemos entoncesque n− 1 = m− 1 y las series de composición {Gi}i=1,...,n y {Hi}i=1,...,n son equivalentes.Por lo tanto, n = m y las series de composición completas son equivalentes.

Consideremos ahora el caso H1 6= G1. Sabemos que G1, H1 / G, lo que implica queG1H1 / G. Como G�G1

es simple y H1G1 ⊃ G1, se tiene que G1H1 = G. Definamos elgrupo K2 = H1 ∩G1. En virtud del segundo teorema de isomorfía, K2 / G1 y

G1�K2= G1�H1 ∩G1

∼= G1H1�H1= G�H1

.

Por el mismo razonamiento, H1�K2∼= G�G1

. Por ser finito, K2 tiene serie de composiciónK2 . K3 . · · · . Kp = {1}. Tenemos, pues, las series

G1 . K2 . · · · . Kp = {1} , G1 . G2 . · · · . Gn = {1} ,H1 . K2 . · · · . Kp = {1} , H1 . H2 . · · · . Hm = {1} .

1.9. ACCIÓN DE UN GRUPO SOBRE UN CONJUNTO 25

Puesto que |G1| < |G|, podemos afirmar, en virtud de la hipótesis de inducción, quen− 1 = p− 1 y que la series de composición

G1 . K2 . · · · . Kp = {1} ,G1 . G2 . · · · . Gn = {1}

son equivalentes. Análogamente,

H1 . K2 . · · · . Kp = {1} ,H1 . H2 . · · · . Hm = {1}

también son series de composición equivalentes. En particular, n = m. Recordemos lasseries de composición originales

G = G0 . G1 . · · · . Gn = {1} ,G = H0 . H1 . · · · . Hn = {1} .

Debido a que G1�K2∼= G�H1

y que H1�K2∼= G�G1

, concluimos que las dos series decomposición de G son equivalentes. �

Proposición 1.8.15. Sea G un grupo y H un subgrupo. Entonces,

i) Si G es resoluble, H es resoluble.

ii) Si H / G y G es resoluble, G�H es resoluble.

iii) Si H / G y H, G�H son resolubles, G es resoluble.

Demostración. Ejercicio. �

1.9. Acción de un grupo sobre un conjuntoDefinición 1.9.1. Sea X un conjunto y G un grupo. Llamamos acción de G en X a unaaplicación

G×X → X

(a, x) 7→ ax

que verifica

i) a(bx) = (ab)x, ∀a, b ∈ G, ∀x ∈ X,

ii) 1x = x.

Decimos que G opera en X o bien que X es un G-conjunto.

Observación 1.9.2. Una acción de G en X define, ∀a ∈ G, una aplicación

ma : X → X

x 7→ ma(x) = ax.

26 TEMA 1. GRUPOS

Además, ma es biyectiva y tenemos (ma)−1 = ma−1 ya que a−1(ax) =(a−1a

)x = 1x = x.

Es decir, una acción de G en X, nos define una aplicación

G→ Perm(X) ={f : X → X | f biyectiva

}a 7→ ma.

Esta aplicación es un morfismo de grupos, ya que

ma

(mb (x)

)= abx = mab (x) , ∀x ∈ X.

Recíprocamente, sea f : G → Perm(X) un morfismo de grupos. Podemos definir unaacción

f : G×X → X

(a, x) 7→ f(a, x) = f(a)(x),que está bien definida porque

i) a(bx) = f(a)(f(b)(x)

)=(f(a)f(b)

)(x) = f(ab)(x) = (ab)x,

ii) 1x = f(1)x = Id(x) = x.

Definición 1.9.3. Sea G un grupo y X un G-conjunto. Llamamos órbita de x ∈ X a

Gx ={ax | a ∈ G

}⊆ X.

Proposición 1.9.4. Sean x, y ∈ X. La relación x ∼ y ⇐⇒ y ∈ Gx es una relación deequivalencia.

Demostración.

• Reflexiva: x = 1x =⇒ x ∼ x.

• Simétrica: x ∼ y ⇐⇒ ∃a ∈ G tal que y = ax ⇐⇒ ∃a ∈ G tal que x =a−1y ⇐⇒ y ∼ x.

• Transitiva: x ∼ y, y ∼ z =⇒ ∃a, b ∈ G tal que y = ax, z = by =⇒ z = bax =⇒x ∼ z.

�

Observación 1.9.5. Si tenemos la relación de equivalencia anterior, entonces

x ={y ∈ X | x ∼ y

}={y ∈ X | y ∈ Gx

}= Gx,

que es la órbita de x. El conjunto de órbitas se escribe como G \X ó X�∼.

Definición 1.9.6. Sea G un grupo y X un G-conjunto. Llamamos estabilizador de x ∈ Xo grupo de isotropía de x a

Gx ≡{a ∈ G | ax = x

}⊆ G.

Proposición 1.9.7. Gx es un subgrupo.

Demostración. Veamos las tres propiedades de la definición.

i) 1x = x =⇒ 1 ∈ Gx.

1.9. ACCIÓN DE UN GRUPO SOBRE UN CONJUNTO 27

ii) Sean a, b ∈ G tales que ax = x, bx = x. Entonces, (ab)x = a(bx) = ax = x y, por lotanto, ab ∈ Gx.

iii) Sea a ∈ G tal que ax = x. Entonces, x = (a−1a)x = a−1(ax) = a−1x y, por lo tanto,a−1 ∈ Gx.

�

Lema 1.9.8. Sea G un grupo y X un G-conjunto. Sean x, y ∈ X, si x ∼ y, entonces Gx

y Gy son subgrupos conjugados.

Demostración. x ∼ y ⇐⇒ y = ax para algún a ∈ G. Veamos que Gy = aGxa−1. Sea

α ∈ Gy. Entonces,

α ∈ Gy ⇐⇒ αy = y ⇐⇒ αax = ax ⇐⇒⇐⇒

(a−1αa

)x = x ⇐⇒ a−1αa ∈ Gx ⇐⇒

⇐⇒ αa ∈ aGx ⇐⇒ α ∈ aGxa−1.

�

Proposición 1.9.9. Sea G un grupo y X un G-conjunto. Entonces, ∀x ∈ X, tenemosque

Gx→ G�Gx

ax 7→ aGx

es una aplicación bien definida y biyectiva. En particular,

i) |Gx| =∣∣∣∣G�Gx

∣∣∣∣ = [G : Gx] = |G||Gx| . Es decir, |Gx||Gx| = |G|.

ii) Si X es finito, entonces X =r⊔i=1

Gxi y, por consiguiente,

|X| =r∑i=1|Gxi| =

r∑i=1

[G : Gxi

],

que es lo que conocemos como fórmula de órbitas.

Demostración. Veamos que si ax = bx, entonces aGx = bGx. En efecto,

ax = bx =⇒ b−1ax = x =⇒ b−1a ∈ Gx =⇒ aGx = bGx.

Veamos ahora que la aplicación es inyectiva. Supongamos que aGx = bGx, entonces

aGx = bGx =⇒ b−1a ∈ Gx =⇒ b−1ax = x =⇒ ax = bx.

La aplicación es evidentemente exhaustiva por construcción. El punto i) es una conse-cuencia inmediata del teorema de Lagrange (1.5.7) y el punto ii) sigue del i).

�

Definición 1.9.10. Sea G un grupo y X un G-conjunto. Diremos que x ∈ X es un puntofijo si

ax = x ∀a ∈ G.

28 TEMA 1. GRUPOS

Observación 1.9.11. x es un punto fijo ⇐⇒ Gx = {x} ⇐⇒ Gx = G.

Definición 1.9.12. Sea G un grupo, X un conjunto y m : G×X → X una acción de Gen X. Diremos que esta acción es transitiva si, ∀x, y ∈ X, se tiene que x ∼ y.

Observación 1.9.13. Una acción es transitiva si y solo si X = Gx, ∀x ∈ X, es decir, sihay una sola órbita.

Definición 1.9.14. Sea G un grupo, X un conjunto y m : G × X → X una acción deG sobre X. Diremos que esta acción es fiel si ∀a, b ∈ G tales que a 6= b, se tiene quema 6= mb, es decir, si

m : G→ Perm(X)a 7→ m (a) ≡ ma

es un morfismo inyectivo de grupos.

Definición 1.9.15. Sea G un grupo y sea a ∈ G. Definimos el centralizador de a, ZG (a),como

ZG (a) ≡{b ∈ G | ab = ba

},

es decir, el conjunto de elementos que conmutan con a. Sea S ⊆ G. Definimos el centra-lizador de S, ZG (S), como

ZG (S) ≡{b ∈ G | ab = ba, ∀a ∈ S

},

es decir, la intersección de los centralizadores de todos sus elementos. Definimos el centrode G, Z (G) como

Z (G) ≡ ZG (G) ,es decir, el conjunto de elementos que conmutan con cualquier otro elemento.

1.9.1. Acción por traslación de un grupo en sí mismoDefinición 1.9.16. Sea G un grupo. Definimos la acción por traslación de G como laaplicación

G×G→ G

(a, x) 7→ a · x = ax.

Observación 1.9.17. Las acciones por traslación son transitivas y fieles.

Teorema 1.9.18. Teorema de Cayley.Sea G un grupo finito con |G| = n. Entonces, G es isomorfo a un subgrupo de Sn.

Demostración. Consideremos la acción de G en X = G por traslación. Puesto que setrata de una acción fiel, la aplicación

m : G→ Sna 7→ ma

es inyectiva. Veamos que Im (m) es un grupo.

• m1 = Id ∈ Im (m),

• mamb (x) = abx = mab (x) ∈ Im (m),

1.9. ACCIÓN DE UN GRUPO SOBRE UN CONJUNTO 29

• ma−1ma (x) = a−1ax = x =⇒ m−1a ∈ Im (m).

Así pues, la aplicación

m : G→ Im (m)a 7→ ma

es un morfismo biyectivo de grupos de G a un subgrupo de Sn. �

1.9.2. Acción por conjugación de un grupo en sí mismoDefinición 1.9.19. Sea G un grupo. Definimos la acción por conjugación de G como laaplicación

G×G→ G

(a, x) 7→ axa−1.

Proposición 1.9.20. Sea G un grupo. Entonces, x ∈ G es punto fijo por conjugación siy solo si x ∈ Z(G).

Demostración. x punto fijo ⇐⇒ axa−1 = x, ∀a ∈ G ⇐⇒ ax = xa, ∀a ∈ G ⇐⇒x ∈ Z(G). �

Proposición 1.9.21. Sea G un grupo. Si consideramos la acción por conjugación de G,entonces Gx = ZG(x).

Demostración. Gx ={a ∈ G | axa−1 = x

}={a ∈ G | ax = xa

}= ZG(x). �

Proposición 1.9.22. Fórmula de órbitas de la acción por conjugación de G en G. SeaG un grupo, y sean x1, . . . , xr representantes de las órbitas no puntuales. Entonces,

|G| =∣∣Z(G)

∣∣+ r∑i=1

[G : ZG (xi)

].

Demostración. Se tiene que

|G| =s∑i=1|Gxi| =

∣∣Z(G)∣∣+ r∑

i=1

[G : Gxi

].

�

Teorema 1.9.23. Teorema de Cauchy.Sea G un grupo finito de orden n y sea p|n un número primo. Entonces, existe algúnx ∈ G tal que o(x) = p.

Demostración. Procederemos por inducción sobre n. Estudiemos primero el caso dondeG es un grupo abeliano. Si n es primo, hemos terminado. Supongamos, pues, que n ≥ 4y tomemos x ∈ G. Por el teorema de Lagrange tenemos que o(x) = m|n. Diferenciemosahora dos casos.

Si p|m, entonces o(xmp

)= p y hemos acabado.

Si p6 |m, tenemos que 〈x〉 / G (por ser G abeliano), de modo que G�〈x〉 es un grupocociente. Así pues, ∣∣∣∣G�〈x〉

∣∣∣∣ = |G|∣∣〈x〉∣∣ = n

m.

30 TEMA 1. GRUPOS

Como p|n y p6 |m, se tiene que p|∣∣∣∣G�〈x〉

∣∣∣∣ < n y, por hipótesis de inducción, ∃y ∈ G�〈x〉 talque o (y) = p. Esto quiere decir que (y)p = 1 = 〈x〉, cosa que implica que yp = xr paraalgún 1 ≤ r ≤ m. Entonces,

(ym)p = (yp)m = (xr)m = (xm)r = 1r = 1,

y necesariamente o (ym) |p. Puesto que p es primo, solo existen las posibilidades o (ym) = 1y o (ym) = p. Si se da el primer caso,

o (ym) = 1 =⇒ ym = 1 =⇒ ym = 1 =⇒ (y)m = 1 =⇒ p|m,

lo cual supone una contradicción. Por lo tanto, o (ym) = p y hemos acabado.En el caso de que G no sea abeliano, aplicamos la fórmula de órbitas (1.9.22), que

establece que

|G| =∣∣Z(G)

∣∣+ r∑i=1

[G : Gxi

],

siendo xi representantes de las órbitas no puntuales. Podemos diferenciar los dos casossiguientes.

• Si ∃i ∈ {1, . . . , r} tal que p6 |[G : Gxi

]= |G||Gxi |

. Puesto que p divide |G|, p divide

también∣∣∣Gxi

∣∣∣ < n. En virtud de la hipótesis de inducción, se tiene que ∃x′ ∈ Gxi ⊂ G

tal que o(x′) = p.

• Si ∀i ∈ {1, . . . , r} se tiene que p|[G : Gxi

]. Entonces, p divide

∣∣Z(G)∣∣, pero Z(G)

es un subgrupo propio de G, de modo que∣∣Z(G)

∣∣ < n. Finalmente, aplicando denuevo la hipótesis de inducción, ∃x ∈ Z(G) tal que o(x) = p.

�

1.10. Grupos de SylowDefinición 1.10.1. Un p-grupo G es un grupo de orden |G| = pr con p primo y r ≥ 0.

Observación 1.10.2. {1} es un p-grupo para todo primo p. (r = 0).

Teorema 1.10.3. Sea G un p-grupo de orden pr. Entonces:

i) G es trivial ⇐⇒ Z(G) es trivial.

ii) G es resoluble.

iii) Si G es simple, entonces G ∼= Z�pZ.

Demostración.

i) La implicación directa es inmediata. Veamos la inversa. Supongamos que G es notrivial y separemos casos en función de la conmutatividad de G. Si G es abeliano,

1.10. GRUPOS DE SYLOW 31

entonces Z(G) = G y Z(G) es no trivial. Estudiemos ahora el caso no abeliano.Recordemos la fórmula de órbitas (1.9.22)

|G| =∣∣Z(G)

∣∣+ s∑i=1

[G : Gxi

]=∣∣Z(G)

∣∣+ s∑i=1

[G : ZG (xi)

],

donde x1, . . . , xs son representantes de las órbitas no puntuales de G. En particular,ZG (xi) ⊂ G y tenemos que, para todo 1 ≤ i ≤ s,

[G : ZG (xi)

]= |G|∣∣ZG (xi)

∣∣ = pr

pri= pti ,

con ti ≥ 1, ya que ti = 0 =⇒ ri = r =⇒ ZG (xi) = G. Entonces, p divide todoslos sumandos

[G : ZG (xi)

]de la fórmula de órbitas y divide también a |G|, así que

necesariamente divide a |ZG|, de lo que deducimos que Z(G) es no trivial.

ii) Procederemos por inducción sobre |G|. Si |G| = 1 o |G| = p con p primo, G estrivialmente abeliano (y por lo tanto resoluble). Supongamos ahora que G no esabeliano y que |G| > 1. En virtud del primer apartado, Z(G) es no trivial y Z(G) ⊂G porque no es abeliano. G . Z(G) . {1} es una torre normal porque los elementosde Z (G) conmutan con todos los de G y, en particular, entre ellos. Se tiene que∣∣∣∣G�Z(G)

∣∣∣∣ = pr

pscon 0 < s < r, ya que Z(G) es no trivial y G 6= Z (G). Aplicando

ahora la hipótesis de inducción, G�Z(G) es resoluble. Finalmente, la proposición1.8.15 afirma que

G�Z(G) es resoluble y Z(G) es resoluble =⇒ G es resoluble.

iii) Sea G un p-grupo simple. En virtud del apartado anterior, G tiene una torre normalabeliana. Como G es simple, no tiene subgrupos normales propios y G . {1} es laúnica torre normal abeliana posible. Así pues, G = G�{1} es abeliano y simple. Porel teorema 1.8.2, concluimos que G ∼= Z�pZ.

�

El Teorema de Lagrange (1.5.7) nos dice que si H es un subgrupo de un grupo finitoG, el cardinal de H divide al de G. Lo natural es preguntarse si el recíproco es cierto,es decir, si para cada divisor n del orden de G existe un subgrupo H de G con |H| = n.Si n = p primo, es cierto: el Teorema de Cauchy (1.9.23) nos asegura que

∣∣〈x〉∣∣ = p paraalgún x ∈ G. En general, este enunciado es falso, pero el primer teorema de Sylow (1.10.5)afirma que es cierto para unos divisores concretos de n.

Ejemplo 1.10.4. Sea G = A5, |G| = 60 y sea n = 30. No existe ningún subgrupo H con|H| = 30 debido a que, de lo contrario,

[G : H] = |G||H|

= 6030 = 2, =⇒ H / G.

lo cual supone una contradicción con que G = A5 es simple.

Teorema 1.10.5. Primer teorema de Sylow.Sea G un grupo finito y sea p un primo tal que pr divide |G|. Entonces, existe un subgrupoH de G tal que |H| = pr.

32 TEMA 1. GRUPOS

Demostración. Realizaremos la demostración por inducción sobre |G|. El caso |G| = 1es trivial y para |G| = p el teorema de Cauchy (1.9.23) nos proporciona el resultado.Dividiremos la demostración en dos casos.

• p6 |∣∣Z(G)

∣∣. Por la fórmula de órbitas (1.9.22), y teniendo en cuenta que p divide |G|,existe almenos un representante xi de una órbita no puntual tal que

p6 |[G : ZG (xi)

]= |G|∣∣ZG (xi)

∣∣ ,de modo que pr divide

∣∣ZG (xi)∣∣ < |G|. En virtud de la hipótesis de inducción, existe

un subgrupo H de ZG (xi) ⊆ G con |H| = pr.

• p divide∣∣Z(G)

∣∣. Por el Teorema de Cauchy (1.9.23), existe un x ∈ Z(G) tal queo(x) = p. Sea L = 〈x〉. Como x ∈ Z(G), L / G, de modo que G�L es un grupo ytiene orden ∣∣∣∣G�L

∣∣∣∣ = |G||L|

= |G|p.

Como pr divide|G|, pr−1 divide∣∣∣∣G�L

∣∣∣∣ < |G| y, por la hipótesis de inducción, existe unsubgrupo K de G�L tal que |K| = pr−1. Entonces, K = H�L, para algún subgrupoH de G, con L ⊆ H. Finalmente,

pr−1 = |K| =∣∣∣∣H�L

∣∣∣∣ = |H||L|

= |H|p

=⇒ |H| = p.

�

Definición 1.10.6. Sea G un grupo finito con |G| = prm con p primo, r ≥ 0 y p6 |m.Definimos

Sylp(G) ≡{H | H sg. de G y |H| = pr

}.

Decimos que los elementos de Sylp(G) son subgrupos p-Sylow y notaremos np(G) =∣∣∣Sylp(G)∣∣∣

Observación 1.10.7. Si p6 | |G|, entonces {1} es p-Sylow de G y np(G) = 1. Si p||G|, porel primer teorema de Sylow (1.10.5), np(G) ≥ 1.

Definición 1.10.8. Sea G un grupo y sea X ={H | H es sg. de G

}. Definiremos la

acción por conjugación como

G×X → X

(a,H) 7→ a ·H ≡ aHa−1.

Observación 1.10.9. La aplicación está bien definida, ya que aHa−1 es, efectivamente,subgrupo de G.

Observación 1.10.10. La aplicación es una acción, ya que

b · (a ·H) = b(aHa−1

)b−1 = (ba)H(ba)−1 = (ba) ·H

y 1 ·H = 1H1−1 = H.

1.10. GRUPOS DE SYLOW 33

Observación 1.10.11. Los puntos fijos son los H subgrupos de G tales que aHa−1 = H∀a ∈ G, es decir, los subgrupos normales de G. Además, para todo H subgrupo, la órbitade H se escribe como

G ·H ={aHa−1 | a ∈ G

},

y es el conjunto de conjugados de H por un elemento de G.

Definición 1.10.12. Sea G un grupo y H ⊆ G un subgrupo de G. Definimos el norma-lizador de H en G como

NG(H) ={a ∈ G | aHa−1 = H

}.

Observación 1.10.13. El normalizador de un subgrupo es un grupo.

Observación 1.10.14. NG(H) = GH (tomando la acción por conjugación de G en H).

Observación 1.10.15. NG(H) es el subgrupo de G más grande que contiene a H ydonde H es normal. Es decir, H /G ⇐⇒ NG(H) = G. Por la proposición 1.9.9, tenemosque existe una biyección G ·H ↔ G�GH

. Así pues, |G ·H| = [G : GH ] =[G : NG(H)

].

Observación 1.10.16. La acción por conjugación de G en X ={H | H es sg. de G

}se

puede restringir a Sylp(G). En efecto,

G× Sylp(G)→ Sylp(G)(a,H) 7→ aHa−1,

donde aHa−1 también es p-Sylow porque

pr = |H| =∣∣∣aHa−1

∣∣∣ .Observación 1.10.17. La aplicación

fa : G→ G

x 7→ axa−1

es un morfismo de grupos. En efecto, f(xy) = axya−1 = axa−1aya−1 = f(x)f(y).

Lema 1.10.18. Sea G un grupo finito tal que |G| = prm con p primo y p6 |m. Sea H unp-subgrupo y P ∈ Sylp(G). Entonces,

i) Si H ⊆ NG(P ), H ⊆ P .

ii) Si H ⊆ NG(P ) y H ∈ Sylp(G), H = P .

Demostración.

i) Tenemos que H,P ⊆ NG(P ) y que P / NG(P ). En virtud del segundo teorema deisomorfía (1.8.13),

• (H ∩ P ) / H,• HP es un subgrupo de NG (P ),• P / HP

34 TEMA 1. GRUPOS

y ademásH�H ∩ P ∼= HP�P ,

de modo que|HP | =

∣∣∣∣H�H ∩ P∣∣∣∣|P | = pr+α, α ≥ 0.

Finalmente,

pr+α = |HP | divide a |G| = prm =⇒ α = 0 =⇒ P = HP =⇒ H ⊆ P.

ii) Por el primer apartado, tenemos que H ⊆ P . Por lo tanto,

H ∈ Sylp(G)P ∈ Sylp(G)

=⇒ |H| = |P | = pr =⇒ H = P.

�

Teorema 1.10.19. Segundo teorema de Sylow.Sea G un grupo finito con |G| = prm con p primo y mcd (p,m) = 1. Entonces,

i) Para todo p-subgrupo L de G, existe un H ∈ Sylp (G) tal que L ⊆ H.

ii) Todo par H,P de subgrupos p-Sylow de G son conjugados.

iii) np(G) ≡ 1 (mod p) y np(G)|m.

Demostración. Consideremos la acción por conjugación de G en Sylp(G), es decir

G× Sylp(G)→ Sylp(G)(a, P ) 7→ aPa−1.

Por el primer teorema de Sylow (1.10.5), podemos tomar H ∈ Sylp(G) y lo fijamos. Laórbita de H se escribe como

G ·H ={aHa−1 | a ∈ G

}= X

y la denotamos por X. Queremos ver ahora que X = Sylp(G). Sabemos que GH ={a ∈ G | aHa−1 = H

}= NG(H) ⊇ H. Y sigue que

|X| = |G ·H| = [G : GH ] =[G : NG(H)

]=

= [G : H][NG(H) : H

] =prmpr[

NG(H) : H] = m[

NG(H) : H] ,

de lo que se obtiene que |X| divide a m. Definamos ahora una nueva acción:

H ×X → X

(a, P ) 7→ aPa−1,

que se trata únicamente de la restricción de la acción anterior. H es un punto fijo de estaacción, ya que aHa−1 = H, ∀a ∈ H. Además, es el único punto fijo, ya que si P ∈ X es

1.10. GRUPOS DE SYLOW 35

un punto fijo, aPa−1 = P, ∀a ∈ H, lo que implica que H ⊆ NG(P ) y H = P en virtuddel lema anterior. La fórmula de órbitas establece que

|X| =∣∣{H}∣∣+ s∑

i=1

[H : HPi

]= 1 +

s∑i=1

[H : HPi

],

siendo los Pi representantes de órbita no puntuales. Podemos afirmar que

HPi ={a ∈ H | aPia−1 = Pi

}⊂ H =⇒

[H : HPi

]= |H|∣∣∣HPi

∣∣∣ = pr

pt= pr−t, con r − t > 0.

Por lo tanto, |X| ≡ 1 +∑p ≡ 1 (mod p). Veamos ahora que X = Sylp(G). Supongamos

que ∃K ∈ Sylp(G) \X y consideremos la acción por conjugación de K en X,

K ×X → X

(a, P ) 7→ aPa−1.

Observamos que esta acción no tiene puntos fijos, ya que si P fuera un punto fijo, aPa−1 =P, ∀a ∈ K, con lo que K ⊆ NG(P ) y, por consiguiente, K = P ∈ X, lo cual supone unacontradicción. Escribamos, pues, la fórmula de órbitas (1.9.9).

|X| =r∑i=1

[K : KPi

]=∑

pαi .

Como |X| ≡ 1 (mod p), alguno de los exponentes αi tiene que ser 0. Pero esto implicaque Pi es un punto fijo, lo cual es una contradicción. Concluimos, pues, que X = Sylp(G),es decir, que todos los p-Sylow de G son conjugados.

Veamos, para acabar, el apartado i). Tenemos |L| = ps con 1 ≤ s ≤ r (si s = 0,L = {1} y cualquier p-Sylow nos vale). Consideremos la acción por conjugación de L enSylp(G),

L× Sylp(G)→ Sylp(G)(a, P ) 7→ aPa−1.

Se tiene que|L · P | = [L : LP ] = |L|

|LP |= ps

pβP= pαP .

La fórmula de órbitas ∣∣∣Sylp(G)∣∣∣ =

∑[L : LP ] =

∑pαPi

nos dice, de nuevo, que alguno de los exponentes αPi es igual a 0. Esto implica queL = LPi =

{a ∈ L | aPia−1 = Pi

}para cierto p-Sylow Pi, lo que significa que L ⊆ NG(Pi).

Finalmente,L ⊆ NG(Pi)L es un p-subgrupo

=⇒ L ⊆ Pi, que es un p-Sylow.

�

36 TEMA 1. GRUPOS

Tema 2

Anillos

2.1. DefinicionesDefinición 2.1.1. Un anillo A es un conjunto dotado de dos operaciones internas quellamamos suma (+) y producto (·) tales que

i) (A,+) es un grupo abeliano,

ii) (A, ·) es una operación asociativa,

iii) a · (b+ c) = ab+ ac, (a+ b) · c = ac+ bc.

Definición 2.1.2. Sea A un anillo, si ∃1 ∈ A tal que 1 · a = a · 1 = a, para cualquiera ∈ A, entonces lo llamamos anillo unitario y decimos que 1 es el elemento unitario.

Definición 2.1.3. Sea A un anillo. Si el producto (·) es conmutativo, decimos que A esun anillo conmutativo.

En este curso nos centraremos, principalmente, en el estudio de anillos conmutativosunitarios.

Ejemplo 2.1.4. Algunos ejemplos de anillos son

1. Z,

2. Z�nZ,

3. Q, R, C, Z�pZ,

4. Z[i] ={a+ bi | a, b ∈ Z

},

5. k[X], k[X1, . . . , Xn],

6. Mn×n (k) es un anillo no conmutativo.

Definición 2.1.5. Sea A un anillo unitario y sea a ∈ A. Decimos que a−1 ∈ A es elelemento inverso de a por el producto si satisface que aa−1 = a−1a = 1.

Observación 2.1.6. De existir, el elemento inverso por el producto es único.

37

38 TEMA 2. ANILLOS

Definición 2.1.7. Sea A un anillo unitario. Definimos el grupo multiplicativo de A como

A∗ ≡{a ∈ A | ∃a−1 ∈ A

},

es decir, el conjunto de elementos que tienen inverso por el producto.

Observación 2.1.8. Sea A un anillo unitario. Se tiene que 1 = 0 ⇐⇒ A = {0}.

Demostración. La implicación inversa es immediata. Veamos la implicación directa. Te-nemos que

a · 0 = a(0 + 0) = a0 + a0 =⇒ 0 = a0 + (−a0) = a0 + a0 + (−a0) = a0

y, por lo tanto,1 = 0 =⇒ ∀a ∈ A, a = a · 1 = a · 0 = 0.

�

De ahora en adelente, cuando escribamos que A es anillo unitario, asumiremos queA 6= {0} (y por lo tanto 0 6= 1) si no se dice lo contrario.

Observación 2.1.9. (A∗, ·) es un grupo y 0 /∈ A∗ ya que, si 0x = 1, entonces 1 = 0, peroA 6= 0.

Definición 2.1.10. Decimos que un anillo unitario conmutativo k es un cuerpo si k∗ =k \ {0}, es decir, todo elemento x ∈ k, x 6= 0, tiene inverso.

Ejemplo 2.1.11.

1. Z∗ = {−1, 1},

2.(Z�nZ

)∗={k | (k, n) = 1

},

3. Q, R, C, Z�pZ son cuerpos,

4.(Z[i]

)∗ = {1,−1, i,−i},

5.(k[i]

)∗ = k∗,

6.(Mn×n (k)

)∗ = GLn (k).

Definición 2.1.12. Sea A un anillo conmutativo unitario. Decimos que B es un subanillode A si

i) (B,+) es subgrupo de (A,+),

ii) (B, ·) es cerrado por el producto, es decir, ∀x, y ∈ B se tiene que xy ∈ B,

iii) 1A ∈ B.

Ejemplo 2.1.13. Sean A = Z, B = 2Z = {pares}. 1 /∈ B y, por lo tanto, no es unsubanillo de A.

Ejemplo 2.1.14. Sea A = Z × Z el anillo conmutativo unitario con 1A = (1Z, 1Z). SeaB = Z× {0} el anillo conmutativo unitario con 1B = (1Z, 0). B no es un subanillo de A.

2.2. IDEALES 39

Observación 2.1.15. Es posible que A y B sean anillos, que B ⊆ A y que B no sea unsubanillo de A.

Ejemplo 2.1.16.

1. Si B ⊆ Z es un subanillo, entonces 1 ∈ B =⇒ n = 1 + · · · + 1 ∈ B =⇒ −n ∈B =⇒ B = Z.

2. Q ⊂ R ⊂ C son subanillos.

3. A ⊂ A[X] es subanillo.

4. A ={R[X] | f ′(0) = 0

}={a0 + a2x

2 + · · ·+ arxr | ai ∈ R, r ≥ 0

}es subanillo de

R[X].

Ejercicio 2.1.17. Sea A un anillo unitario. Entonces, −(ab) = (−a)b = a(−b). Enparticular, (−1)x = −x.

2.2. IdealesDefinición 2.2.1. Sea A un anillo conmutativo unitario. Un ideal de A es un subconjuntoI ⊆ A tal que

i) 0 ∈ I,

ii) x, y ∈ I =⇒ x+ y ∈ I,

iii) a ∈ A, x ∈ I =⇒ ax ∈ I.

A partir de ahora, solamente trataremos anillos conmutativos unitarios si no se diceexplícitamente lo contrario.

Observación 2.2.2. En particular, (I,+) es un subgrupo de (A,+).

Ejemplo 2.2.3.

1. Sea A un anillo. {0} y A son ideales de A.

2. Sea A un anillo y I un ideal de A. Entonces, I = A ⇐⇒ 1 ∈ I ⇐⇒ I ∩ A∗ 6= ∅.La primera equivalencia es inmediata porque 1 ∈ I =⇒ 1a = a ∈ I, ∀a ∈ A.La implicación directa de la segunda equivalencia también es inmediata. Veamos larecíproca. Sea x ∈ I ∩ A∗. x−1 ∈ A y x ∈ I, de modo que xx−1 = 1 ∈ I.

Definición 2.2.4. Sea A un anillo y sean I, J dos ideales de A. Llamamos ideal inter-sección de I y J a I ∩ J .

Observación 2.2.5. El ideal intersección es un ideal. Más generalmente, si {Iλ} es unafamilia de ideales de A, ⋂λ Iλ es un ideal de A.

Observación 2.2.6. Sea A un anillo y sean I, J dos ideales de A. El conjunto I ∪ J noes, en general, un ideal de A.

Ejemplo 2.2.7. Sean A = Z, I ={2a | a ∈ A

}y J =

{3a | a ∈ A

}. Tenemos que I ∪ J

no es un ideal, ya que 2, 3 ∈ I ∪ J , pero 5 /∈ I ∪ J .

40 TEMA 2. ANILLOS

Definición 2.2.8. Sea A un anillo y sean I, J dos ideales de A. Llamamos ideal sumade I y J a I + J ≡

{x+ y | x ∈ I, y ∈ J

}.

Proposición 2.2.9. Sea A un anillo y sean I, J dos ideales de A. Entonces, I + J es elmenor ideal de A que contiene I ∪ J .

Demostración. Veamos primero que I + J es un ideal.

i) 0 ∈ I, J =⇒ 0 = 0 + 0 ∈ I + J .

ii) Sean a, b ∈ I y sean x, y ∈ J . Entonces, (a+ x)+(b+ y) = (a+ b)+(x+ y) ∈ I+J .

iii) Sean a ∈ A, x ∈ I y y ∈ J . Entonces, a (x+ y) = ax+ ay ∈ I + J .

Veamos ahora que I + J contiene I ∪ J . Sea x ∈ I. Entonces, x = x + 0 ∈ I + J .Análogamente, si y ∈ J , tenemos que y = 0 + y ∈ I + J . Para acabar, veamos que si L esun ideal tal que I ∪ J ⊆ L, entonces I + J ⊆ L. Sean x ∈ I y y ∈ J . Entonces, x, y ∈ L,de modo que x+ y ∈ L, es decir, cualquier elemento de I + J pertenece a L. �

Definición 2.2.10. Sea A un anillo y sean x1, . . . , xn ∈ A. Llamamos ideal finitamentegenerado por x1, . . . , xn a

〈x1, . . . , xn〉 ≡{a1x2 + · · ·+ anxn | ai ∈ A

}.

En particular, si n = 1, decimos que es un ideal principal y lo notaremos como

(x) ≡ 〈x〉 ≡ xA ≡{ax | a ∈ A

}.

Proposición 2.2.11. Sea A un anillo y sean x1, . . . , xn ∈ A. El ideal generado porx1, . . . , xn es el menor ideal de A que contiene x1, . . . , xn.

Demostración. Ejercicio. �

La definición anterior se puede generalizar manteniendo esta propiedad, como veremosa continuación.

Definición 2.2.12. Sea A un anillo y sea N ⊆ A. Llamamos ideal generado por N a

〈N〉 ≡

∑x∈M

axx∣∣∣M ⊆ N,|M | ∈ N, ax ∈ A

.Proposición 2.2.13. Sea A un anillo y sea N ⊆ A. El ideal generado por N es el menorideal de A que contiene N .

Demostración. Ejercicio. �

Ejemplo 2.2.14.

1. Sea A el anillo Z y sea I un ideal de A. Entonces, I es un ideal principal. De-mostrémoslo. Si I = {0}, entonces I = (0). De lo contrario, tomemos el menorentero positivo perteneciente a I y llamémosle n. Veremos que (n) = I. Es evi-dente que (n) ⊆ I. Sea x ∈ I y pongamos x = nq + r, con 0 ≤ r < n. Tenemosque x, nq ∈ I, de modo que r = x − nq = x + (−1)nq ∈ I y r = 0, con lo quex = nq + r = nq + 0 = nq ∈ (n).

2.3. ANILLO COCIENTE 41

2. Sea A = k [x] el anillo de polinomios sobre un cuerpo y sea I un ideal de A. Entonces,I es un ideal principal. La demostración es análoga a la anterior.

3. I + J = 〈I ∪ J〉.

4. Sea A = k [x, y]. Entonces,{p (x, y) ∈ A | p (0, 0) = 0

}= 〈x, y〉.

Definición 2.2.15. Sea A un anillo y sean I, J dos ideales de A. Llamamos ideal productode I por J a

I · J ≡⟨xy | x ∈ I, y ∈ J

⟩,

es decir, el ideal generado por los productos de elementos de I y J .

Observación 2.2.16. Sea A un anillo y sean I, J dos ideales de A. Se tiene que

I · J ⊆ I ∩ J ⊆ I, J ⊆ I ∪ J ⊆ I + J.

Ejemplo 2.2.17. Sean A = Z, I = 〈6〉 y J = 〈10〉.

• I · J = 〈60〉,

• I ∩ J = 〈30〉 = 〈mcm (6, 10)〉,

• I + J = 〈2〉 = 〈mcd (6, 10)〉.

2.3. Anillo cocienteDefinición 2.3.1. Sea A un anillo e I un ideal, decimos que x ∼ y ⇐⇒ x− y ∈ I.

Observación 2.3.2. Se trata de una relación de equivalencia, ya que es

• Reflexiva. x− x ∈ I =⇒ x ∼ x

• Simétrica. x ∼ y =⇒ x− y ∈ I =⇒ y − x ∈ I =⇒ y ∼ x

• Transitiva. x ∼ y y y ∼ z =⇒ x− y ∈ I y y − z ∈ I =⇒ x− z ∈ I =⇒ x ∼ z.

Observación 2.3.3. x = [x] ={y ∈ A | x ∼ y

}={y ∈ A | y = x+ a, a ∈ I

}. También

podemos escribirx =

{x+ a | a ∈ I

}= x+ I.

Definición 2.3.4. Sea A un anillo e I un ideal. Definimos el anillo cociente de A móduloI como

A�I ≡{x | x ∈ A

}={x+ I | x ∈ A

}.

Queremos comprobar que, efectivamente, lo que hemos definido como anillo cocientetiene estructura de anillo. Para ello, primero tenemos que comprobar que las operacionesestén bien definidas.

Observación 2.3.5. Sea A un anillo, sea I un ideal de A y sean x, y ∈ A�I. Tenemosque

• x+ y = x+ y,

• x · y = xy.

42 TEMA 2. ANILLOS

Demostración. Sabemos que x ∼ x′ y y ∼ y′. Entonces,x+ y −

(x′ + y′

)= x− x′ +

(y − y′

)∈ I.

Por otro lado,xy − x′y′ = xy − xy′ + xy′ − x′y′ = x

(y − y′

)︸ ︷︷ ︸

∈I

+(x− x′

)y︸ ︷︷ ︸

∈I

∈ I.

Por lo tanto, las aplicaciones + y · están bien definidas. �

Proposición 2.3.6. Sea A un anillo e I un ideal. Entonces,(A�I,+, ·

)es un anillo.

Demostración. Ya hemos visto que las operaciones están bien definidas, resta ver el restode propiedades, lo cual se deja como ejercicio. �

Ejemplo 2.3.7.

1. Sean A = Z e I = 〈n〉 = nZ ⊆ A. Entonces, A�I = Z�nZ, es decir, el anillo declases módulo n.

2. Sean A = k [x] e I = 〈f (x)〉, siendo f (x) ∈ A un polinomio de grado n ≥ 1.Consideremos el anillo cocienteA�I = k [x]�〈f (x)〉 y tomemos g (x) ∈ A�I. Sabemosque podemos expresar g = fq + r, donde o bien r = 0, o bien gr (r) < gr (f) = n.Entonces, tenemos que g = fq + r = fq + r = r = a0 + a1x+ · · ·+ an−1xn−1 =a0 + a1x+ · · ·+ an−1x

n−1. Observemos ahora que la aplicación

ϕ : k→ A�I = k [x]�〈f (x)〉λ 7→ λ

es inyectiva. En efecto,ϕ (λ) = ϕ (µ) =⇒ λ = µ =⇒ λ− µ ∈

(f (x)

)=⇒ λ− µ = f (x) q (x)

y, puesto que gr (λ− µ) = 0 < 1 ≤ n = gr(f (x)

), tenemos que λ−µ = 0. Así pues,

λ ={g | λ ∼ g

}= λ+ 〈f (x)〉. Finalmente, g = a0 + a1x+ · · ·+ an−1x

n−1.

3. Particularizemos el ejemplo anterior. Sea k = R y sea f (x) = x2 + 1. Los elementosde A�I = R [x]�〈x2 + 1〉 son de la forma a + bx. Tomemos un g ∈ R [x]�〈x2 + 1〉cualquiera. Se tiene que

g ∈(R [x]�〈x2 + 1〉

)∗⇐⇒ ∃h ∈

(R [x]�〈x2 + 1〉

)∗tal que gh = gh = 1 ⇐⇒

⇐⇒ ∃h, q ∈ R [x] tal que gh− 1 =(x2 + 1

)q ⇐⇒

⇐⇒ ∃h, q ∈ R [x] tal que gh+(x2 + 1

)q = 1.

La ecuación de Bézout gh+(x2 + 1

)q = 1 tiene solución ⇐⇒ gcd

(g,(x2 + 1

))=

1, de modo que

g ∈(R [x]�〈x2 + 1〉

)∗⇐⇒ gcd

(g,(x2 + 1

))= 1 ⇐⇒

⇐⇒ g no es múltiplo de x2 + 1 ⇐⇒⇐⇒ g 6= 0.

Así pues, A�I = R [x]�〈x2 + 1〉 es un cuerpo.

2.4. MORFISMOS DE ANILLOS 43

2.4. Morfismos de anillosDefinición 2.4.1. Sean A y B anillos. Llamamos morfismo de anillos a una aplicaciónf : A→ B que satisface

i) f (x+ y) = f (x) + f (y),

ii) f (xy) = f (x) f (y),

iii) f (1A) = 1B.

Observación 2.4.2. Sean A y B anillos y sea f : A→ B un morfismo de anillos. Enton-ces,

i) La imagen por f de un subanillo de A es un subanillo de B.

ii) La antiimagen por f de un subanillo de B es un subanillo de A = f−1 (B).

Demostración. Ejercicio. �

Observación 2.4.3. Sean A y B anillos y sea f : A→ B un morfismo de anillos. Enton-ces,

i) La imagen por f de un ideal de A es un ideal de f (A).

ii) La antiimagen por f de un ideal de B es un ideal de A = f−1 (B).

Demostración. Ejercicio. �

Definición 2.4.4. Notamos Im (f) = f (A) (imagen de f) y ker (f) = Nuc (f) = f−1 (0)(núcleo de f).

Observación 2.4.5. Sean A,B anillos y sea f : A→ B un morfismo de anillos. Entonces,

i) f exhaustiva ⇐⇒ Im (f) = B.

ii) f inyectiva ⇐⇒ ker (f) = 0.

Teorema 2.4.6. Primer teorema de isomorfía.Sean A,B anillos y sea f : A→ B un morfismo de anillos. Entonces, la aplicación

f : A�ker (f)→ Im (f) = f (A)

x 7→ f (x) = f (x)

es un isomorfismo de anillos.

Demostración. Ejercicio. �

Proposición 2.4.7. Sea A un anillo y sea I un ideal. Entonces,

i) La aplicación

π : A→ A�Ix 7→ x

es un morfismo de anillos exhaustivo.

44 TEMA 2. ANILLOS

ii) π induce una biyección{J | J ideal de A, I ⊆ J

}↔{H | H ideal de A�I

}J 7→ π (J)

π−1 (H)← [ H

Demostración.

i) Comprobemos que satisface las tres condiciones.

• π (x+ y) = x+ y = x+ y = π (x) + π (y),• π (xy) = xy = xy = π (x) π (y),• π (1) = 1 = 1A�I , ya que 1x = 1x = x, ∀x ∈ A�I.

Es una aplicación exhaustiva porque x ∈ A�I =⇒ x ∈ A.

ii) En virtud de la proposición 2.4.3, si J es un ideal de A, π (J) es un ideal deπ (A) = A�I y, si H es un ideal de A�I, π

−1 (H) es un ideal de A. Veamos ahoraque, si H es un ideal de A�I, entonces π

−1 (H) ⊇ I. Tomemos un x ∈ I cualquiera.π (x) = x = 0 ∈ H, de manera que x ∈ π−1 (H).Falta ver que la aplicación es biyectiva. Para ello, veremos que, si J es un ideal de A,entonces π−1 (π (J)

)= J y que, si H es un ideal de A�I, entonces π

(π−1 (H)

)= H.

Usaremos las notaciones π−1 (π (J))

= Jec y π(π−1 (H)

)= Hce; “ec” significa

“extensión de la contracción” y “ce” viceversa. Empecemos por la primera condición.Tenemos trivialmente que J ⊆ Jec. Veamos la inclusión en el otro sentido. Tomemosun c ∈ Jec cualquiera. Se tiene que

x ∈ Jec =⇒ π (x) ∈ π (J) =⇒ ∃y ∈ J tal que π (x) = π (y) =⇒=⇒ ∃y ∈ J tal que x = y =⇒ ∃y ∈ J tal que x− y ∈ I ⊆ J =⇒=⇒ x ∈ J.

Para acabar, veamos que H = Hce. De nuevo, está claro que H ⊇ Hce, así quequeremos probar que H ⊆ Hce. Tomemos un x ∈ H cualquiera. Se tiene que

x ∈ H =⇒ x ∈ π−1 (H) =⇒ x = π (x) ∈ π(π−1 (H)

)= Hce.

�

Observación 2.4.8. Si J es un ideal de A con I ⊆ J , notaremos π (J) = J�I.

Observación 2.4.9. Sea A un anillo, sean I, J ideales de A tales que I ⊆ J , y sea π laproyección π : A→ A�I. Entonces, π (J) = π (J + I).

Demostración. Trivialmente se tiene que π (J) ⊆ π (J + I). Veamos la inclusión en elotro sentido. Tomemos un z ∈ π (J + I) cualquiera. Entonces,

∃x ∈ J, y ∈ I tal que z = x+ y =⇒=⇒ ∃x ∈ J, y ∈ I tal que π (z) = x+ y = x+ y = x = π (x) ∈ π (J) .

�

2.5. DIVISORES DEL CERO 45

Proposición 2.4.10. Propiedad universal del anillo cociente. Sean A,B anillos, sea I unideal de A, sea f : A→ B un morfismo de anillos tal que f (I) = 0 y sea π la proyecciónπ : A→ A�I. Entonces, existe un único morfismo de anillos ϕ : A�I → B tal que f = ϕ◦π.

A B

A�I

f

πϕ

Demostración. Si existe una tal aplicación, se tiene que ϕ (x) = ϕ(π (x)

)= f (x), de

modo que es única. Veamos ahora que la aplicación

ϕ : A�I → B

x 7→ ϕ (x) = f (x)

está bien definida y que es un morfismo de anillos. Tomemos x = y ∈ A�I. Entonces,x − y ∈ I ⊆ ker f =⇒ f (x− y) = 0 =⇒ f (x) − f (y) = 0 =⇒ ϕ (x) =f (x) = f (y) = ϕ (y), de modo que está bien definida. Es un morfismo de anillos porqueϕ (x+ y) = ϕ (x+ y) = f (x+ y) = f (x) + f (y) = ϕ (x) + ϕ (y) (y de forma análogapara el producto). �

2.5. Divisores del ceroDefinición 2.5.1. Sea A un anillo. Decimos que x ∈ A es un divisor de cero si existe uny ∈ A, y 6= 0 tal que xy = 0. Denotamos el conjunto de divisores de cero por Z (A) ={x ∈ A | x es divisor de cero

}.

Definición 2.5.2. Sea A un anillo. Decimos que A es un anillo íntegro o un dominio (deintegridad) si Z (A) = {0}. Dicho de otra forma, A es íntegro si xy = 0 =⇒ x = 0 o y =0.

Ejemplo 2.5.3.

1. Z es íntegro.

2. Todo cuerpo es un anillo íntegro. Si xy = 0 y x 6= 0, entonces y = x−1xy = x−10 = 0.

3. Sean A ⊆ B anillos tales que B es íntegro. Entonces, A es íntegro.

4. Z�6N no es íntegro porque 2 · 3 = 0.

5. Sea k un anillo íntegro. Entonces, k [T ] es íntegro.

6. Sean A,B anillos. A×B es un anillo no íntegro porque (1, 0) · (0, 1) = (0, 0).

46 TEMA 2. ANILLOS

2.6. Anillo de fraccionesDefinición 2.6.1. Sea A un anillo y sea S ⊆ A. Decimos que S es un sistema multipli-cativo si satisface que

i) 1 ∈ S,

ii) st ∈ S, ∀s, t ∈ S.

Observación 2.6.2. Sea A un anillo y sea S ⊆ A un sistema multiplicativo. Considere-mos en A× S la relación

(a, s) ∼ (b, t) ⇐⇒ ∃u ∈ S tal que u (ta− sb) = 0.

Veamos que es una relación de equivalencia.

• Reflexividad. (a, s) ∼ (a, s), puesto que 1 (sa− sa) = 1 · 0 = 0.

• Simetría. (a, s) ∼ (b, t) =⇒ ∃u ∈ S tal que u (ta− sb) = 0 =⇒=⇒ ∃u ∈ S tal que −u (ta− sb) = 0 =⇒=⇒ ∃u ∈ S tal que u (sb− ta) = 0 =⇒=⇒ (b, t) ∼ (a, s) .

• Transitividad. Por un lado, tenemos que

(a, s) ∼ (b, t) =⇒ ∃u ∈ S tal que u (ta− sb) = 0 =⇒=⇒ ∃u ∈ S tal que vwu (ta− sb) = 0, ∀v, w ∈ S

y, análogamente,

(b, t) ∼ (c, w) =⇒ ∃v ∈ S tal que usv (wb− tc) = 0, ∀u, s ∈ S.

Así pues,

(a, s) ∼ (b, t)(b, t) ∼ (c, w)

}=⇒ uvt (wa− sc) = uv (wta− stc) =

= uv (wta− wsb+ swb+−stc) = 0.

Por ser S un sistema multiplicativo, (uvt) ∈ S, de modo que (a, s) ∼ (c, w).

Definición 2.6.3. Sea A un anillo, sea S ⊆ A un sistema multiplicativo y sea ∼ larelación de equivalencia en A× S definida por

(a, s) ∼ (b, t) ⇐⇒ ∃u ∈ S tal que u (ta− sb) = 0.

Llamamos anillo de fracciones de A respecto de S o simetrizado de A por S a

S−1A = A× S�∼ ={

(a, s) | (a, s) ∈ A× S}.

A menudo denotaremos (a, s) = as.

Observación 2.6.4. Sea S−1A el anillo de fracciones de A respecto de S. Entonces,

a

s= b

t⇐⇒ ∃u ∈ S tal que u (ta− sb) = 0.

2.6. ANILLO DE FRACCIONES 47

Veamos ahora que podemos definir las operaciones suma y producto en un anillo defracciones.

Observación 2.6.5. Sea S−1A un anillo de fracciones. Entonces, la apliación (suma)

+: S−1A× S−1A→ S−1A(a

s,b

t

)7→ a

s+ b

t≡ ta+ sb

st

está bien definida.

Demostración. Es trivial comprobar que ta+sbst∈ S−1A. Veamos que la suma no depende

de los representantes elegidos. Tomemos as

= a′

s′∈ S−1A y b

t= b′

t′∈ S−1A. Entonces, ∃u ∈

S tal que u (s′a− sa′) = 0, de modo que ∃u ∈ S tal que vtt′u (s′a− sa′) = 0,∀v ∈ S.De forma análoga, tenemos que ∃v ∈ S tal que uss′v (t′b− tb′) = 0, ∀u ∈ S. Si sumamosambas expresiones obtenemos que

uv(s′t′ta+ s′t′sb− stt′a′ − sts′b′

)= uv

((s′t′)

(ta+ sb)− (st)(t′a′ + s′b′

))= 0,

es decir, que ta+sbst

= t′a′+s′b′s′t′

. �

Observación 2.6.6. Sea S−1A un anillo de fracciones. Entonces, la apliación (producto)

· : S−1A× S−1A→ S−1A(a

s,b

t

)7→ a

s· bt≡ ab

st

está bien definida.

Demostración. Es trivial comprobar que abst∈ S−1A. Veamos que el producto no depende

de los representantes elegidos. Tomemos as

= a′

s′∈ S−1A y b

t= b′

t′∈ S−1A. Entonces, ∃u ∈

S tal que u (s′a− sa′) = 0, de modo que ∃u ∈ S tal que bt′uv (s′a− sa′) = 0,∀v ∈ S.De forma análoga, tenemos que ∃v ∈ S tal que sa′uv (t′b− tb′) = 0, ∀u ∈ S. Si sumamosambas expresiones obtenemos que

uv(s′t′ba− sta′b′ − t′sba′ + t′sba′

)= uv

((s′t′)

(ab)− (st)(a′b′

))= 0,

es decir, que abst

= a′b′

s′t′. �

Proposición 2.6.7. Sea S−1A un anillo de fracciones. Entonces,(S−1A,+, ·

)es un anillo

conmutativo unitario.

Demostración. Hay que ver que

•(as

+ bt

)+ c

w= a

s+(bt

+ cw

)• a

s+ b

t= b

t+ a

s

• 01 + a

s= a

s+ 0

1 = as

• as

+ −as

= −as

+ as

= 01

48 TEMA 2. ANILLOS

•(as· bt

)· cw

= as·(bt· cw

)• a

s· bt

= bt· as

• 11 ·

as

= as· 1

1 = as

• as·(bt

+ cw

)= a

s· bt

+ as· cw

y lo dejaremos como ejercicio. �

Proposición 2.6.8. Sea S−1A un anillo de fracciones. Entonces, la aplicación

f : A→ S−1A

x 7→ f (x) ≡ x

1

es un morfismo de anillos. Además, f (S) ⊆(S−1A

).

Demostración. Ejercicio. �

Proposición 2.6.9. Propiedad universal del simetrizado. Sean A,B anillos, sea S ⊆ Aun sistema multiplicativo y sea g : A → B un morfismo de anillos tal que g (S) ⊆ B∗.Entonces, existe un único morfismo de anillos ϕ : S−1A→ B tal que ϕ ◦ f = g, dónde fes la aplicación

f : A→ S−1A

x 7→ f (x) ≡ x

1

A B

S−1A

g

f ϕ

Demostración. Supongamos que existe un tal morfismo de anillos ϕ y veamos que esúnico.

ϕ ◦ f = g =⇒ ϕ(f (x)

)= g (x) , ∀x ∈ A =⇒ ϕ

(x

1

)= g (x) , ∀x ∈ A =⇒

=⇒ ϕ(x

s

)= ϕ

(x

1 ·1s

)= ϕ

(x

1

)ϕ

((s

1

)−1)

= ϕ(f (x)

)ϕ(f (s)−1

)=

= ϕ(f (x)

)ϕ(f (s)

)−1 = g (x) g (s)−1 , ∀x ∈ A, s ∈ S.

Falta ver que la aplicación

ϕ : S−1A→ B

x

s7→ ϕ

(x

s

)≡ g (x) g (s)−1

está bien definida y es un morfismo de anillos. Veamos que la imagen de una clase nodepende del representante elegido. Tenemos que

x

s= y

t⇐⇒ ∃u ∈ S tal que u (xt− ys) = 0 =⇒

=⇒ ∃u ∈ S tal que g (u)(g (x) g (t)− g (y) g (s)

)= 0 =⇒

=⇒ ∃u ∈ S tal que g (u)(g (x) g (s)−1 − g (y) g (t)−1

)= 0 =⇒

=⇒ g (x) g (s)−1 = g (y) g (t)−1 .

2.6. ANILLO DE FRACCIONES 49

En el último paso hemos aplicado la hipótesis g (S) ⊆ B∗. Así pues,x

s= y

t=⇒ ϕ

(x

s

)= g (x) g (s)−1 = g (y) g (t)−1 = ϕ

(y

t

).

Para acabar, veamos que ϕ es un morfismo de anillos. Para la suma,

ϕ(x

s+ y

t

)= ϕ

(xt+ ys

st

)= g (xt+ ys) g (st)−1 =

=(g (x) g (t) + g (y) g (s)

)g (s)−1 g (t)−1 =

= g (x) g (s)−1 + g (y) g (t)−1 = ϕ(x

s

)+ ϕ

(y

t

).

Para el producto,

ϕ(x

s· yt

)= ϕ

(xy

st

)= g (xy) g (st)−1 = g (x) g (y) g (s)−1 g (t)−1 =

= g (x) g (s)−1 g (y) g (t)−1 = ϕ(x

s

)ϕ(y

t

).

Y el elemento neutro por el producto

ϕ

(11

)= g (1) g (1)−1 = 1.

�

Definición 2.6.10. Sea A un anillo y sean I, J ideales de A. Llamamos ideal cociente (ocolon ideal en inglés) al conjunto

I : J ≡{x ∈ A | xJ ⊆ I

}.

Proposición 2.6.11. Sea A un anillo y sean I, J ideales de A. Entonces, I : J es un idealde A.

Demostración. Ejercicio. �

Proposición 2.6.12. Sea A un anillo, sea S ⊆ A un sistema multiplicativo de A, seaS−1A el anillo de fracciones de A respecto de S y sea f la aplicación

f : A→ S−1A

x 7→ f (x) ≡ x

1 .

Entonces,ker (f) =

⋃s∈S

(0 : s) ,

dónde 0: s ={a ∈ A | as = 0

}.

Demostración.

x ∈ ker (f) ⇐⇒ f (x) = 0 ⇐⇒ x

1 = 01 ⇐⇒ ∃s ∈ S tal que s (x− 0) = 0 ⇐⇒

⇐⇒ ∃s ∈ S tal que sx = 0 ⇐⇒ ∃s ∈ S tal que x ∈ (0 : s) ⇐⇒⇐⇒ x ∈

⋃s∈S

(0 : s) .

�

50 TEMA 2. ANILLOS

Corolario 2.6.13. Sea A un anillo, sea S ⊆ A un sistema multiplicativo de A, sea S−1Ael anillo de fracciones de A respecto de S y sea f la aplicación

f : A→ S−1A

x 7→ f (x) ≡ x

1 .

Entonces,f es inyectiva ⇐⇒ Z (A) ∩ S = ∅.

Demostración. Veamos la implicación directa. Supongamos que S∩Z(A) 6= ∅. Entonces,∃s ∈ S y ∃x ∈ A, x 6= 0 tales que sx = 0. Por lo tanto f(x) = x

1 = 01 ya que s(1·x−1·0) = 0

y tenemos que x ∈ ker(f), x 6= 0 =⇒ f no inyectiva.Veamos la implicación inversa. Supongamos que f no es inyectiva, entonces ∃x ∈

ker(f), x 6= 0 y f(x) = x1 = 0

1 =⇒ ∃s ∈ S tal que s(1 · x− 1 · 0) = 0 =⇒ sx = 0, x 6= 0y tenemos que s ∈ S ∩ Z(A). �

Ejemplo 2.6.14. Si tomamos S = Z \ {0}, entonces Q = S−1Z.

Definición 2.6.15. Sea A un anillo conmutativo íntegro y sea S = A \ {0}. Tenemosque S es un sistema multiplicativo y que S−1A =

{as| a ∈ A, s ∈

(A \ {0}

)}. Así pues,(

S−1A)∗

= S−1A\{

01

}y por lo tanto S−1A es un cuerpo. Llamamos cuerpo de fracciones

de A a k (A) ≡ S−1A.

2.7. Ideales maximales y primosDefinición 2.7.1. Sea A un anillo. Decimos que M ⊆ A es un ideal maximal de A si esun ideal propio que satisface que M ⊆ I =⇒ M = I, para todo ideal propio I de A.

Definición 2.7.2. Sea A un anillo. Decimos que P ⊆ A es un ideal primo de A si esun ideal propio que satisface que xy ∈ P =⇒ [x ∈ P o bien y ∈ P], para cualesquierax, y ∈ A.

Lema 2.7.3. Sea A un anillo y sea M ⊆ A un ideal maximal de A. M es un ideal primode A.

Demostración. Sean x, y ∈ A tales que xy ∈ M. Si x ∈ M hemos terminado. De locontrario, M ⊆ M + 〈x〉 = A, por ser M maximal en A. Entonces, 1 = z + ax paraalgunos z ∈M, a ∈ A y y = yz + yax ∈M. �

Ejemplo 2.7.4.

1. Tomemos A = Z e I = 〈2〉. I es maximal y, por consiguiente, también es primo.

2. Tomemos A = Z e I = 〈6〉. I no es primo, puesto que 2·3 = 6 ∈ 〈6〉, 2 /∈ 〈6〉, 3 /∈ 〈6〉,de modo que tampoco es maximal.

3. Tomemos A = Z e I = 〈0〉. I es primo porque A es íntegro, pero no es maximalporque I ⊂ 〈2〉.

Definición 2.7.5. Sea A un anillo. Definimos el espectro de A como el conjunto

Spec (A) ≡{P | P ideal primo de A

}.

2.7. IDEALES MAXIMALES Y PRIMOS 51

Ejemplo 2.7.6. Tomemos A = k [x, y], siendo k un cuerpo. 〈0〉 ⊂ 〈x〉 ⊂ 〈x, y〉 son idealesprimos. Veamos que 〈x, y〉 es maximal. Sea I un ideal de A tal que 〈x, y〉 ⊂ I. Entonces,existe alguna f ∈ I \ 〈x, y〉 y podemos escribir f = a0 +g, para algunos a0 6= 0, g ∈ 〈x, y〉.Finalmente, puesto que a0 ∈ A∗ y a0 = f − g ∈ I, concluimos que I = A y no es propio.

Proposición 2.7.7. Sea A un anillo y sean M,P ideales de A. Entonces,

i) M es maximal ⇐⇒ A�M es un cuerpo.

ii) P es primo ⇐⇒ A�P es un anillo íntegro.

En particular, si M es maximal, también es primo.

Demostración.

i) A�M es un cuerpo ⇐⇒{ideales de A�M

}={

0, A�M}⇐⇒

⇐⇒ {ideales de A que contienen M} = {M, A} ⇐⇒⇐⇒ M es maximal.

ii) P es primo ⇐⇒ P 6= A y [xy ∈ P =⇒ x ∈ P o y ∈ P] ⇐⇒⇐⇒ A�P 6= 0 y

[xy = 0 =⇒ x = 0 o y = 0

]⇐⇒

⇐⇒ A�P es íntegro.�

Parece natural preguntarse si todo anillo (conmutativo e íntegro) tiene ideales pri-mos o maximales. El teorema de Artin 2.7.10 responde a esta pregunta. Para abordarlo,precisamos del lema de Zorn.

Definición 2.7.8. Sea (Σ,≤) un conjunto no vacío parcialmente ordenado. Decimos queun subconjunto X ⊆ Σ es una cadena de Σ si es totalmente ordenado, es decir, que paracualquier par x, y ∈ X, o bien x ≤ y, o bien y ≤ x. Decimos que x ∈ Σ es una cotasuperior de una cadena X si se tiene que y ≤ x, ∀y ∈ X.

Proposición 2.7.9. Lema de Zorn. Sea (Σ,≤) un conjunto no vacío parcialmente orde-nado tal que toda cadena X de Σ tiene cota superior en Σ. Entonces, Σ tiene un elementomaximal, es decir, existe un elemento x ∈ Σ tal que x ≤ y =⇒ x = y, para todo y ∈ Σ.

Demostración. Se puede demostrar que el lema de Zorn es equivalente al axioma de laelección, pero la demostración escapa de los objetivos de este curso. �

Teorema 2.7.10. Teorema de Artin.Para todo anillo A existe un ideal maximal.

Demostración. Sea Σ el conjunto de ideales propios de A. La inclusión induce un ordenparcial sobre Σ y, puesto que 〈0〉 ∈ Σ, Σ 6= ∅. Sea X una cadena de Σ, X =

{Iλ | λ ∈ Λ

}y tomemos I = ⋃

λ∈Λ Iλ. Veamos que I es un ideal. Para todo par x, y ∈ I se tieneque x ∈ Iλ, y ∈ Iµ. En virtud del orden total de X podemos afirmar, sin pérdida degeneralidad, que Iλ ⊆ Iµ, de modo que x+ y, xy ∈ Iµ ⊆ I. Además, I es un ideal propioporque, de lo contrario, 1 ∈ I = A y tendríamos que 1 ∈ Iλ =⇒ Iλ = A para algúnλ ∈ Λ, lo cual no es posible porque Σ es el conjunto de ideales propios. I es, pues, unacota superior de la cadena X. Finalmente, habiendo visto que toda cadena de Σ tienecota superior, concluimos que existe un ideal J ∈ Σ maximal en A. �

52 TEMA 2. ANILLOS

2.8. DivisibilidadDefinición 2.8.1. Sea A un anillo íntegro y sean x, y ∈ A. Decimos que x|y (x divide ay o x es un divisor de y) y que y = x (y es un múltiplo de x) si existe un a ∈ A tal quey = ax.

Proposición 2.8.2. Sea A un anillo íntegro y sean x, y ∈ A. Son equivalentes

(i) x|y e y|x,

(ii) 〈x〉 = 〈y〉,

(iii) ∃a ∈ A∗ tal que y = ax.

Demostración. Veamos que (i) =⇒ (ii).

x|y =⇒ ∃a ∈ A tal que y = ax ∈ 〈x〉 =⇒ 〈y〉 ⊆ 〈x〉y|x =⇒ ∃b ∈ A tal que x = by ∈ 〈y〉 =⇒ 〈x〉 ⊆ 〈y〉

}=⇒ 〈x〉 = 〈y〉.

Veamos que (ii) =⇒ (iii).

y ∈ 〈y〉 = 〈x〉 =⇒{∃a ∈ A tal que y = ax∃b ∈ A tal que x = by

}=⇒

=⇒ ∃a, b ∈ A tal que y = aby =⇒=⇒ ∃a, b ∈ A tal que y (1− ab) = 0.

Por ser A íntegro, o bien y = 0 = 1 · 0 = 1 · x, lo que nos dice que x = 0, o bien ab = 1,lo cual implica que a ∈ A∗. Veamos que (iii) =⇒ (i).

∃a ∈ A∗ tal que y = ax =⇒{x|y∃a−1 ∈ A∗ tal que x = a−1y

}=⇒

{x|yy|x

}

�

Definición 2.8.3. Sea A un anillo y sean x, y ∈ A. Decimos que x e y son asociados siexiste algún a ∈ A∗ tal que y = ax.

Observación 2.8.4. Si definimos x ∼ y ⇐⇒ x e y son asociados, entonces ∼ es unarelación de equivalencia. En teoría de la divisibilidad, pensaremos en los anillos móduloasociados.

Definición 2.8.5. Sea A un anillo y sean a, b, d ∈ A. Decimos que d es el máximo comúndivisor de a y b si

i) d|a y d|b,

ii) e|a y e|b =⇒ e|d, ∀e ∈ A.

Notamos d = mcd (a, b) = gcd (a, b).

Definición 2.8.6. Sea A un anillo y sean a, b,m ∈ A. Decimos que m es el mínimocomún múltiplo de a y b si

i) m = a y m = b,

2.8. DIVISIBILIDAD 53

ii) e = a y e = b =⇒ e = m, ∀e ∈ A.

Notamos m = mcm (a, b) = lcm (a, b).

Observación 2.8.7. Observamos que el mínimo común múltiplo y el máximo comúndivisor no tienen por qué existir. Además, si existen, són únicos salvo asociados.

Demostración. Sea A un anillo y sean a, b, d, d′ ∈ A.{d = mcd (a, b)d′ = mcd (a, b)

}=⇒

{d|d′d′|d

}=⇒ ∃u ∈ A∗ tal que d = ud′.

�

Observación 2.8.8. Sea A un anillo y sean a, b, d ∈ A. Entonces, 〈a, b〉 = 〈d〉 ⇐⇒[d = mcd (a, b) y la ecuación ax+ by = d tiene solución (x, y) = (u, v) ∈ A× A

].

Demostración. Empecemos por la implicación directa. En primer lugar,{a ∈ 〈a, b〉 = 〈d〉b ∈ 〈a, b〉 = 〈d〉

}=⇒

{∃α ∈ A tal que a = αd∃β ∈ A tal que b = βd

}=⇒

{d|ad|b

}.

Sea e ∈ A tal que e|a y e|b. Entonces, existen γ, δ ∈ A tal que a = γe y b = δe, demodo que a, b ∈ 〈e〉 y sigue que 〈d〉 = 〈a, b〉 ⊆ 〈e〉 =⇒ e|d, es decir, que d = mcd (a, b).Además, d ∈ 〈d〉 = 〈a, b〉 =⇒ ∃ (u, v) ∈ A × A tal que d = ua + bv y la ecuaciónax+ by = d tiene solución en A× A.Veamos la implicación inversa.

d = mcd (a, b) =⇒ d|a, d|b =⇒ a ∈ 〈d〉, b ∈ 〈d〉 =⇒ 〈a, b〉 ⊆ 〈d〉∃ (u, v) ∈ A× A tal que au+ bv = d =⇒ d ∈ 〈a, b〉 =⇒ 〈d〉 ⊆ 〈a, b〉

}〈d〉 = 〈a, b〉.

�

Definición 2.8.9. Llamamos ecuación de Bézout a ax + by = d, siendo d = mcd (a, b)y identidad de Bézout a au + bv = d, con (u, v) ∈ A × A, es decir, a una solución de laecuación.

Ejemplo 2.8.10. Sean A = k [X] , B ={f ∈ A | f ′ (0) = 0

}= {f ∈ A | f = a0 +a2X

2 +· · · + arX

r}. B es un anillo íntegro (ejercicio). Veamos que no existe el máximo comúndivisor de X5 y X6. Los divisores de X5 son, salvo asociados, 1, X2, X3, X5. Los divisoresde X6 son, salvo asociados, 1, X2, X3, X4, X6. Lo divisores comunes son, salvo asociados,1, X2, X3. Sin embargo, X26 |1, X26 |X3, X36 |1 y X36 |X2, con lo cual no existe el máximocomún divisor.

Veamos que no existe el mínimo común múltiplo de X2 y X3. Observamos que X5

es un múltiplo común, así que si existiera mcm(X2, X3

), éste dividiria a X5. Además,

mcm(X2, X3

)no podría tener grado inferior a 5, ya que entonces o bien X2 o bien X3

no lo dividirían. Nuestro candidato es, pues X5. Sin embargo, X6 también es un múltiplocomún de X2 y X3 que no es múltiplo de X5, de modo que no existe el mcm

(X2, X3

).

54 TEMA 2. ANILLOS

2.9. Anillos factorialesA partir de ahora, hablaremos de dominios (de integridad) para referirnos a anillos

conmutativos, unitarios e íntegros.

Definición 2.9.1. Sea A un dominio y sea p ∈ A \(A∗ ∪ {0}

). Decimos que p es irre-

ductible si p = ab =⇒ a ∈ A∗ o b ∈ A∗,∀a, b ∈ A.

Definición 2.9.2. Sea A un dominio y sea p ∈ A\(A∗ ∪ {0}

). Decimos que p es primo si

ab ∈ 〈p〉 =⇒ a ∈ 〈p〉 o b ∈ 〈p〉,∀a, b ∈ A (i.e. el ideal generado por p es primo y distintode 0).

Lema 2.9.3. Sea A un dominio y sea p ∈ A \(A∗ ∪ {0}

). Si p es primo, entonces p es

irreductible.

Demostración. Pongamos p = ab. Entonces, ab ∈ 〈p〉. En virtud de la primalidad de ppodemos afirmar, sin pérdida de generalidad, que a = pα, lo cual implica que p = pαb.Por ser A un anillo íntegro, αb = 1 y concluimos que b ∈ A∗. �

Observación 2.9.4. En general, un elemento irreductible no es primo.

Ejemplo 2.9.5. Sea A = k [X] y sea B ={f ∈ A | f ′ (0) = 0

}. Observamos que X2 es

irreductible pero que no es primo, puesto que X3 ·X3 = X2 ·X4 ∈ 〈X2〉 y X3 /∈ 〈X2〉.

Definición 2.9.6. Sea A un dominio. Decimos que A satisface la condición de elementoprimo (CEP) si todo elemento irreductible de A es primo.

Lema 2.9.7. Sea A un dominio tal que, para todo a ∈ A \(A∗ ∪ {0}

), a descompone

en un único producto de factores irreductibles (salvo cambios en el orden y asociados).Entonces, A verifica la condición de elemento primo.

Demostración. Sea p ∈ A \(A∗ ∪ {0}

)un elemento irreductible y pongamos ab ∈ 〈p〉. Si

ab = 0, o bien a = 0 ∈ 〈p〉, o bien b = 0 ∈ 〈p〉. Si a ∈ A∗, b ∈ 〈p〉 y viceversa. Tomemos,pues, a, b ∈ A \

(A∗ ∪ {0}

). Por la hipótesis, a = pα1

1 · · · pαnn y b = qβ11 · · · qβmm con pi, qj

irreductibles. Entonces,

pα11 · · · pαnn qβ1

1 · · · qβmm = ab = pα = prγ11 · · · rγss ,

cosa que implica que p es igual a alguno de los elementos irreductibles pi, qj. Así pues, obien a ∈ 〈p〉, o bien b ∈ 〈p〉. �

Lema 2.9.8. Sea A un dominio tal que, para todo a ∈ A \(A∗ ∪ {0}

), a descompone en

producto de factores primos. Entonces, A verifica la condición de elemento primo.

Demostración. Sea p ∈ A \(A∗ ∪ {0}

)un elemento irreductible. Por la hipótesis, p =

p1 · · · pr, dónde los pi son primos. En particular, pi /∈(A∗ ∪ {0}

). Puesto que p1 /∈ A∗,

necesariamente p2 · · · pr ∈ A∗. Si r ≥ 2, entonces p2(p3 · · · pr (p2 · · · pr)−1

)= 1, pero p2

no puede tener inverso, lo cual implica que r = 1 y deducimos que p = p1 es primo. �

Lema 2.9.9. Sea A un dominio y sean p1, . . . , pr, q1, . . . , qs elementos primos de A talesque

p1 · · · pr = q1 · · · qs.Entonces, se tiene que s = r y que pi = qi salvo orden y asociados. Formalmente, ∃σ ∈ Sny ∃α1, . . . , αr ∈ A∗ tales que pi = αiqσ(i).

2.9. ANILLOS FACTORIALES 55

Demostración. Procederemos por inducción sobre r. Cuando r = 0, tenemos 1 = q1 · · · qs,de modo que s = 0. Cuando r > 0, p1 · · · pr = q1 · · · qs =⇒ q1 · · · qs ∈ (p1). Sin pérdidade generalidad, q1 ∈ (p1), de modo que q1 = αp1, para algún α ∈ A∗. Así pues, podemossimplificar ambos lados

p1 · · · pr = q1 · · · qs =⇒ p1 (p2 · · · pr − q2 · · · qs) = 0 =⇒=⇒ p2 · · · pr = q2 · · · qs

y concluir que pi = qi en virtud de la hipótesis de inducción. �

Teorema 2.9.10. Sea A un dominio. Son equivalentes

(i) Para todo a ∈ A \(A∗ ∪ {0}

), existe una única descomposición de a en producto

de elementos irreductibles de A (salvo orden y asociados).

(ii) Para todo a ∈ A \(A∗ ∪ {0}

), existe una única descomposición de a en producto

de elementos primos de A (salvo orden y asociados).

(iii) Para todo a ∈ A \(A∗ ∪ {0}

), existe una descomposición de a en producto de

elementos primos de A.

Demostración. La equivalencia (i) ⇐⇒ (ii) se obtiene aplicando los lemas 2.9.3, 2.9.7y 2.9.8 y viendo que los elementos primos son los mismos que los irreductibles. La im-plicación (ii) =⇒ (iii) es directa. La implicación (iii) =⇒ (ii) se obtiene trivialmenteaplicando el lema 2.9.9. �

Definición 2.9.11. Sea A un dominio. Decimos que A es factorial si satisface (i) (o (ii)o (iii)).

Observación 2.9.12. Sea A un anillo factorial. A satisface la condición de elementoprimo.

Demostración. La demostración es inmediata a partir del lema 2.9.7. �

Proposición 2.9.13. Sea A un anillo factorial. Para todo par de elementos a, b ∈ A,existen tanto el mcm (a, b) como el mcd (a, b).

Demostración. Si consideramos las descompsiciones en producto de primos

a = pα11 · · · pαnn ,

b = pβ11 · · · pβnn ,

tenemos que

mcm (a, b) = pγ11 · · · pγnn ,

mcd (a, b) = pδ11 · · · pδnn ,

dónde γi = max (αi, βi) y δi = mın (αi, βi). �

Definición 2.9.14. Sea (Σ,≤) un conjunto parcialmente ordenado. Decimos que Σ ve-rifica la condición de cadena ascendente si toda cadena se estabiliza, es decir, que

x1 ≤ x2 ≤ · · · =⇒ ∃N ∈ N tal que xi = xj, ∀i, j ≥ N.

56 TEMA 2. ANILLOS

Proposición 2.9.15. Sea A un anillo factorial y sea I ={〈a〉 | a ∈ A

}el conjunto de

ideales principales de A. El conjunto parcialmente ordenado (I,⊆) verifica la condiciónde cadena ascendente.

Demostración. Queremos ver que

〈a1〉 ⊆ 〈a2〉 ⊆ · · · =⇒ ∃N ∈ N tal que 〈ai〉 = 〈aj〉, ∀i, j ≥ N.

Ignoramos todos los ai iguales a cero, es decir, suponemos que a1 6= 0. Procederemos porinducción sobre el número de factores de la descomposición de a1 en elementos primos.Para el caso base, a1 ∈ A∗, se tiene que 〈a1〉 = 〈a2〉 = · · · = A. Veamos el caso generala1 = p1 · · · pn. Puesto que 〈a1〉 ⊆ 〈a2〉, podemos escribir a1 = αa2. Consideremos ahora ladescomposición en producto de primos a2 = q1 · · · qm (ya sabemos que a2 6= 0). Tenemosque

a1 = αa2 =⇒ p1 · · · pn = αq1 · · · qm =⇒ m < n.

La cadena 〈a2〉 ⊆ 〈a3〉 ⊆ · · · se estabiliza en virtud de la hipótesis de inducción, demanera que también lo hace la cadena original. �

Teorema 2.9.16. Sea A un dominio. A es un anillo factorial si y solo si A verifica lacondición de elemento primo y el conjunto de ideales principales de A verifica la condiciónde cadena ascendente.

Demostración. La implicación directa ya la hemos visto en 2.9.12 y 2.9.15. Para ver lainversa, empecemos tomando a ∈ A\

(A∗ ∪ {0}

)y supongamos que no existe una descom-

posición de a en producto de elementos irreductibles. En particular, a no es irreductibley podemos escribir a = a1b1, dónde a1, b1 /∈

(A∗ ∪ {0}

). Sin pérdida de generalidad, a1 no

descompone en producto de elementos irreductibles y podemos escribir a1 = a2b2, dóndea2, b2 /∈

(A∗ ∪ {0}

). Podemos seguir con este procedimiento indefinidamente, obteniendo

a = a1b1 = a2b2b1 = a3b3b2b1 = · · · .

Puesto que los bi no son invertibles,

〈a〉 ⊂ 〈a1〉 ⊂ 〈a2〉 ⊂ 〈a3〉 ⊂ · · ·

es una cadena ascendente de ideales principales que no se estabiliza, lo cual supone unacontradicción con la hipótesis. Así pues, todo elemento a tiene una descomposición enproducto de elementos irreductibles. Puesto que A verifica la condición de elemento primo,A es factorial. �

2.10. Dominios de ideales principalesDefinición 2.10.1. Sea A un dominio. Decimos que A es un dominio de ideales princi-pales si todo ideal I de A es un ideal principal. A menudo se usa la abreviatura DIP parareferirse a los dominios de ideales principales.

Proposición 2.10.2. Sea A un dominio de ideales principales y sea N ⊆ A. Entonces,existen tanto el mcm (N) como el mcd (N). Además, 〈N〉 = 〈mcd (N)〉 y ⋂

a∈N〈a〉 =〈mcm (N)〉.

2.10. DOMINIOS DE IDEALES PRINCIPALES 57

Demostración. Consideremos I = 〈N〉. Puesto que A es un dominio de ideales principales,I = 〈d〉. Se comprueba que d = mcd (N) (ejercicio).

Consideremos J = ⋂a∈N〈a〉. Puesto que A es un dominio de ideales principales, J =

〈m〉. Se comprueba que m = mcm (N) (ejercicio). �

Observación 2.10.3. Sea A un dominio de ideales principales y sea p ∈ A un elementoirreductible. Entonces, 〈p〉 es un ideal maximal.

Demostración. Puesto que p es irreductible, p /∈(A∗ ∪ {0}

), y se tiene que 〈0〉 ⊂ 〈p〉 ⊂ A.

Veamos su maximalidad. Sea I un ideal propio de A tal que 〈p〉 ⊆ I. Por ser A undominio de ideales principales, I = 〈x〉, con x /∈ A∗, y sigue que p = ax. Puesto que p esirreductible, necesariamente a ∈ A∗, y concluimos que 〈p〉 = I. �

Corolario 2.10.4. Si A es un dominio de ideales principales, A verifica la condición deelemento primo.

Demostración. Sea p ∈ A un elemento irreductible. Entonces, 〈p〉 es maximal, lo cualimplica que 〈p〉 es primo, y deducimos que p es primo. �

Corolario 2.10.5. Sea A un dominio de ideales principales. Entonces,

Spec (A) = Max (A) ∪ {0} ,

dónde Max (A) es el conjunto de ideales maximales de A.

Demostración. Recordemos que Spec (A) es el conjunto de ideales primos de A. La in-clusión Spec (A) ⊇ Max (A) es inmediata. Para ver la otra, consideremos un ideal primoP 6= 〈0〉 de A. Puesto que A es un dominio de ideales principales, P = 〈p〉, siendo pun elemento primo. Entonces, p es irreductible y concluimos que P = 〈p〉 es un idealmaximal. �

Antes de hablar de anillos noetherianos, conviene introducir un par de resultados.

Lema 2.10.6. Sea (Σ,≤) un conjunto no vacío parcialmente ordenado. Son equivalentes

(i) Toda cadena ascendente de elementos de Σ se estabiliza.

(ii) Todo subconjunto no vacío de Σ tiene un elemento maximal.

Demostración. Empecemos por la implicación directa. Sea X ⊆ Σ y supongamos que Xno tiene elemento maximal. Sean x0 ∈ X y xi ∈ X \ {x0, . . . , xi−1} con xi ≥ xi−1, queexisten porque X no tiene elemento maximal. Entonces, la cadena ascendente

x0 ≤ x1 ≤ x2 ≤ · · ·

no se estabiliza. Veamos la implicación inversa. Sea

x0 ≤ x1 ≤ x2 ≤ · · ·

una cadena ascendente de Σ y consideremos el conjunto X = ⋃i∈N xi. Este conjunto tiene

un elemento maximal, sea xN , lo que nos dice que la cadena se estabiliza a partir deN . �

Proposición 2.10.7. Sea A un anillo. Son equivalentes

58 TEMA 2. ANILLOS

(i) El conjunto de ideales de A verifica la condición de cadena ascendente.

(ii) Todo subconjunto no vacío de ideales de A tiene elemento maximal.

(iii) Todo ideal I de A es finitamente generado.

Demostración. El lema anterior establece la equivalencia de (i) y (ii). Veamos que (i)⇐⇒ (iii).

Empecemos por la implicación directa. Sea I un ideal de A y supongamos que I noes finitamente generado. Tomemos a0 ∈ I y ai ∈ I \ 〈a0, . . . , ai−1〉 , ∀i > 0, que existenporque I no es finitamente generado. Entonces, la cadena

〈a0〉 ⊆ 〈a0, a1〉 ⊆ 〈a0, a1, a2〉 ⊆ · · ·

es una cadena ascendente. Esta cadena se estabiliza como mucho en A y por lo tantohemos llegado a una contradicción. Veamos ahora la implicación inversa. Sea

I1 ⊆ I2 ⊆ I3 ⊆ · · ·

una cadena ascendente de ideales de A y consideremos el ideal I = ⋃i>0 Ii. Por hipótesis,

I = 〈ai, . . . , an〉 y entonces existe algún m para el cual a1, . . . , an ∈ Im. Así pues, lacadena se estabiliza a partir de Im. �

Definición 2.10.8. Sea A un anillo. Decimos que A es noetheriano si satisface (i) (o (ii)o (iii)).

Corolario 2.10.9. Todo dominio de ideales principales A es un anillo noetheriano.

Demostración. Directo a partir de la definición de dominio de ideales principales, por sertodo ideal finitamente generado. �

Teorema 2.10.10. Todo dominio de ideales principales A es un anillo factorial.

Demostración. Por ser A un dominio de ideales principales, por un lado A verifica la con-dición de elemento primo y, por otro, A es noetheriano, con lo cual sus ideales principalesverifican la condición de cadena ascendente. Como ya hemos visto, estas dos condicionesson necesarias y suficientes para poder afirmar que A es un anillo factorial. �

Observación 2.10.11. No todos los anillos factoriales son dominios de ideales principa-les. Por ejemplo, k [X, Y ] es un anillo factorial y no es un dominio de ideales principales.

Teorema 2.10.12. Sea A un dominio. A es un dominio de ideales principales si y solosi A es noetheriano, A es factorial y Spec (A) = Max (A) ∪ {0}.

Demostración. La implicación directa ya la hemos ido viendo hasta ahora.Para ver la inversa, empezaremos por una observación: todo ideal primo P ⊆ A

es principal. Si P = 〈0〉 hemos acabado. Si no es así, existe algún x ∈ P, x 6= 0, ypodemos escribir x = p1 · · · pn, dónde los pi son primos, por ser A factorial. Sin pérdidade generalidad, tenemos que p1 ∈ P. Por hipótesis, 〈p1〉 ∈ Spec (A) = Max (A) ∪ {0}, ydeducimos que 〈p1〉 es maximal (no puede ser 0) y que P = 〈p1〉.

Puesto que A es un anillo noetheriano, cualquier ideal de A es finitamente generado.Para ver que lo puede generar un único elemento basta ver, pues, que cualquier ideal ge-nerado por dos elementos puede ser generado por uno solo, es decir, que para cualesquiera

2.11. ANILLOS EUCLIDIANOS 59

a, b ∈ A, 〈a, b〉 es un ideal principal. Sea d = mcd (a, b), que existe por ser A factorial.Entonces,

〈a, b〉 = 〈αd, βd〉 = d〈α, β〉,dónde α y β no tienen factores en común. Veamos que 〈α, β〉 = A. Supongamos que〈α, β〉 ⊂ A. En este caso, debe existir algún ideal maximalM tal que 〈α, β〉 ⊆M, ya que Aes noetheriano. Pero M es, en particular, un ideal primo, y se tiene que 〈α, β〉 ⊆M = 〈p〉por la observación que hemos hecho, de lo que deducimos que α = p y β = p. Esto suponeuna contradicción con el hecho de que no tienen factores en común. Así pues,

〈a, b〉 = d〈α, β〉 = dA = 〈d〉.

�

2.11. Anillos euclidianosDefinición 2.11.1. Sea A un dominio. Llamamos norma euclidiana de A a una aplicaciónN : A \ {0} → N tal que, para todo par a, b ∈ A con b 6= 0, existen algunos q, r ∈ A conr = 0 o N (r) < N (b) que verifican que

a = bq + r.

A esta última expresión se la llama división euclidiana de a por b, y a q y r se los llamacociente y resto, respectivamente.

Definición 2.11.2. Sea A un dominio. Decimos que A es euclidiano si podemos definiruna norma euclidiana en él.

Ejemplo 2.11.3.

1. Z es un anillo euclidiano, ya que el valor absoluto es una norma euclidiana.

2. k [X] es un anillo euclidiano, ya que la función grado es una norma euclidiana.

3. El anillo de los enteros de Gauss Z [i] ={a+ bi | a, b ∈ Z

}⊂ C es un anillo eucli-

diano, ya que la función

N : Z [i]→ Na+ bi 7→ a2 + b2

es una norma euclidiana.

Proposición 2.11.4. Sea A un anillo euclidiano. A es un dominio de ideales principales.

Demostración. Sea I un ideal de A. Si I = 〈0〉 o I = 〈1〉 = A, hemos terminado. Si noes así, podemos tomar el x ∈ I distinto de 0 y no invertible cuya norma sea la menorposible. Veamos que I = 〈x〉. La inclusión I ⊇ 〈x〉 es trivial. Veamos la otra. Sea a ∈ I yconsideremos la división euclidiana de a por x

a = xq + r.

Tenemos que a, x ∈ I, de modo que r ∈ I. Pero no puede ser que N (r) < N (x), ya quex tiene la menor norma euclidiana en I, de modo que r = 0. Así pues, a = xq ∈ 〈x〉. �

60 TEMA 2. ANILLOS

Definición 2.11.5. Sea A un dominio. Llamamos norma de Dedekind-Hasse a una apli-cación N : A\{0} → N tal que, para todo par a, b ∈ A con b 6= 0, o bien b|a, o bien existealgún r ∈ 〈a, b〉 no nulo tal que N (r) < N (b).

Observación 2.11.6. Sea A un dominio. Una norma euclidiana en A es una norma deDedekind-Hasse en A.

Teorema 2.11.7. Sea A un dominio. A es un dominio de ideales principales si y solo siA admite una norma de Dedekind-Hasse.

Demostración. Empecemos por la implicación directa. Puesto que A es un dominio deideales principales, A es un anillo factorial. Consideremos la aplicación

N : A \ {0} → Na = p1 · · · pn 7→ n,

dónde los pi son primos. Veamos que N es una norma de Dedekind-Hasse en A. Sean a, b ∈A, con b 6= 0. Si b|a, hemos terminado. Si no es así, 〈a, b〉 = 〈d〉, siendo d = mcd (a, b) 6= 0,ya que b 6= 0. Pongamos r = d y comprobemos que N (r) = N (d) < N (b). En primerlugar, b = dβ, de modo que N (b) ≥ N (d) = N (r). Si se diera la igualdad, tendríamos queβ ∈ A∗ y que 〈b〉 = 〈d〉, con lo que b sería un divisor de a. Esto supone una contradiccióny hemos terminado.

Veamos ahora la implicación inversa. Sea I un ideal cualquiera de A. Si I = 〈0〉, hemosterminado. Si no es así, sea b ∈ I \ {0} un elemento tal que N (b) ≤ N (x) , ∀x ∈ I \ {0}.Comprobemos que I = 〈b〉. La inclusión 〈b〉 ⊆ I es evidente. Sea a ∈ I un elementocualquiera. Si a = 0 o b|a, entonces a ∈ 〈b〉. Si no es así, existe algún r ∈ 〈a, b〉 talque N (r) < N (b). Pero 〈a, b〉 ⊆ I, de modo que N (b) ≤ N (r), lo cual supone unacontradicción y hemos terminado. �

Observación 2.11.8. Algoritmo de Euclides. Sea A un anillo euclidiano y sean a, b ∈ Atales que b 6= 0. El algoritmo de Euclides permite hallar el mcd (a, b) y una solución a laidentidad de Bézout ax+ by = mcd (a, b). Pongamos r0 = a y r1 = b. Puesto que A es unanillo euclidiano, podemos escribir, para todo i ∈ N tal que ri+1 6= 0, ri = ri+1qi + ri+2,siendo qi, ri+2 ∈ A tales que, o bien ri+2 = 0, o bien N (ri+2) < N (ri+1). Así pues, elnúmero de ri que podremos definir será finito, lo cual implica que existe algún j ∈ N parael cual rj = 0. Se tiene que rj−1 = mcd (a, b). Así pues,

r0 = r1q0 + r2

r1 = r2q1 + r3...

rj−4 = rj−3qj−4 + rj−2

rj−3 = rj−2qj−3 + rj−1

rj−2 = rj−1qj−2 + rj = rj−1qj−2.

Para construir la identidad de Bézout podemos ir sustituyendo de abajo hacia arriba dela siguiente forma:

qj−3rj−4 = qj−3qj−4rj−3 + qj−3rj−2

rj−3 = qj−3rj−2 + rj−1

=⇒ qj−3rj−4 =(qj−3qj−4 + 1

)rj−3 − rj−1,

2.12. ANILLOS DE POLINOMIOS 61

y luego (qj−3qj−4 + 1

)rj−5 =

(qj−3qj−4 + 1

)qj−5rj−4 +

(qj−3qj−4 + 1

)rj−3

qj−3rj−4 =(qj−3qj−4 + 1

)rj−3 − rj−1

=⇒

=⇒(qj−3qj−4 + 1

)rj−5 =

[(qj−3qj−4 + 1

)qj−5 + qj−3

]rj−4 + rj−1,

observando que, en cada paso, conseguimos expresar rj−1 en función de ri y ri+1 (siendoesta i inferior en uno en cada paso). Podemos aplicar esta regla sucesivamente hastaobtener la identidad de Bézout

mcd (a, b) = rj−1 = Q0r0 +Q1r1 = Q0a+Q1b.

2.12. Anillos de polinomiosDefinición 2.12.1. Sean A,B anillos tales que A ⊆ B y sea f (x) ∈ A [x]. Decimos queα ∈ B es una raíz de f (x) si f (α) = 0.

Proposición 2.12.2. Regla de Ruffini. Sean A,B anillos tales que A ⊆ B, sea f (x) ∈A [x] un polinomio de grado mayor o igual a 1 y sea α ∈ B. Entonces, existen un únicoq (x) ∈ B [x] y un único r ∈ B tales que

f (x) = (x− α) q (x) + r.

Demostración. Observamos que, de existir, el polinomio q (x) y r satisfacen que

f (x) = f0 + f1x+ · · ·+ fnxn =

= xq (x)− αq (x) + r == (r − αq0) + (q0 − αq1)x+ · · ·+ (qm−1 − αqm)xm + qmx

m+1,

siendo fi ∈ A y qi ∈ B los coeficientes de f (x) y q (x), respectivamente. Deducimos, pues,que n = m+ 1 y que

• qn−1 = fn,

• qi = fi+1 + αqi+1, ∀0 ≤ i ≤ n− 2,

• r = f0 + αq0.

El polinomio q (x) definido por estos coeficientes existe y pertenece a B [x] y r existe ypertenece a B, por lo tanto hemos terminado. �

Corolario 2.12.3. Sean A,B anillos tales que A ⊆ B, sea f (x) ∈ A [x] un polinomiode grado mayor o igual a 1 y sea α ∈ B. Entonces, α es una raíz de f (x) si y solo si(x− α) |f (x) en B [x].

Definición 2.12.4. Sean A,B anillos tales que A ⊆ B y sea f (x) ∈ A [x]. Decimos queα ∈ B es una raíz de multiplicidad m ≥ 1 de f (x) si (x− α)m |f (x) y (x− α)m+16 |f (x).Decimos que α es una raíz múltiple de f (x) si m > 1.

62 TEMA 2. ANILLOS

Proposición 2.12.5. Sean A,B anillos tales que A ⊆ B, sea f (x) ∈ A [x] y sea α ∈ B.Son equivalentes

(i) α es una raíz múltiple de f (x).

(ii) α es una raíz de f (x) y de f ′ (x).

(iii) α es una raíz del mcd(f (x) , f ′ (x)

)(si existe).

Demostración. Empecemos demostrando que (i) =⇒ (ii). Por hipótesis, (x− α)2 |f (x),de modo que f (x) = (x− α)2 g (x), para algún g (x) ∈ B [x]. Entonces,

f ′ (x) = 2 (x− α) g (x) + (x− α)2 g′ (x) = (x− α)(2g (x) + (x− α) g′ (x)

)y concluimos que α es una raíz de f ′ (x). Además, trivialmente es raíz de f (x).

Veamos ahora que (ii) =⇒ (iii). Puesto que x − α divide tanto f (x) como f ′ (x),necesariamente divide a mcd

(f (x) , f ′ (x)

).

Acabemos viendo que (iii) =⇒ (i). Sea d (x) = mcd(f (x) , f ′ (x)

). Puesto que

(x− α) |d (x), podemos escribir d (x) = (x− α)h (x), para algún h (x) ∈ B [x]. Así pues,

f (x) = (x− α)h (x) p (x) = (x− α) p (x) ,f ′ (x) = (x− α)h (x) q (x) = (x− α) q (x) ,

para ciertos p (x) , q (x) ∈ B [x] y siendo p (x) = h (x) p (x) y q (x) = h (x) q (x). Además,

(x− α) q (x) = f ′ (x) =((x− α) p (x)

)′ = p (x) + (x− α) p′ (x) ,

lo que implica que

p (x) = (x− α) q (x)− (x− α) p′ (x) = (x− α)(q (x)− p′ (x)

).

Finalmente,f (x) = (x− α) p (x) = (x− α)2

(q (x)− p′ (x)

),

con lo que α es una raíz múltiple de f (x). �

Observación 2.12.6. Sea A un dominio. A [x] es un dominio.

Observación 2.12.7. Sea A un dominio y sean f (x) , g (x) ∈ A [x] tales que f (x) 6= 0 yg (x) 6= 0. Entonces,

• f (x) + g (x) 6= 0 =⇒ ∇(f (x) + g (x)

)≤ max

{∇(f (x)

),∇

(g (x)

)}.

• ∇(f (x) g (x)

)= ∇

(f (x)

)+ ∇

(g (x)

).

Observación 2.12.8. Sea A un dominio.(A [x]

)∗ = A∗.

Demostración. La inclusión(A [x]

)∗ ⊇ A∗ es evidente. Veamos la otra. Sean f (x) , g (x) ∈A [x] tales que f (x) g (x) = 1. Se tiene que

0 = ∇ (1) = ∇(f (x) g (x)

)= ∇

(f (x)

)+ ∇

(g (x)

),

lo que implica que ∇(f (x)

)= ∇

(g (x)

)= 0 y que f (x) , g (x) ∈ A∗. �

2.12. ANILLOS DE POLINOMIOS 63

Observación 2.12.9. Sea k un cuerpo y sea f (x) ∈ k [x] un polinomio no irreductible.∇(f (x)

)≥ 2.

Demostración. Puesto que f (x) no es irreductible, podemos escribir

f (x) = g (x)h (x) ,

para ciertos g (x) , h (x) ∈ k [x] \((k [x]

)∗ ∪ {0}) = k [x] \(k∗ ∪ {0}

).

Entonces, ∇(g (x)

), ∇

(h (x)

)≥ 1 y concluimos el resultado. �

Ejemplo 2.12.10. Sin embargo, la observación anterior deja de ser cierta si el anillode polinomios tiene los coeficientes en un dominio. Por ejemplo, sea A = Z. Entonces,2x+ 2 = 2 (x+ 1) ∈ A [x] no es irreductible ya que 2 ∈ A\

(A∗ ∪ {0}

)pero su grado es 1.

Definición 2.12.11. Sea A un anillo factorial y sea f (x) = a0 +a1x+ · · ·+anxn ∈ A [x].

Llamamos contenido de f (x) a

c(f (x)

)= mcd (a0, a1, . . . , an) .

Definición 2.12.12. Sea A un anillo factorial y sea f (x) ∈ A [x]. Decimos que f (x) esprimitivo si c

(f (x)

)= 1.

Observación 2.12.13. Sea A un anillo factorial y sea f (x) ∈ A [x] un polinomio noconstante, primitivo y no irreductible. Entonces ∇

(f (x)

)≥ 2.

Demostración. Puesto que f (x) no es irreductible, podemos escribir f (x) = g (x)h (x),con g (x) , h (x) /∈

(A [x]

)∗ ∪ {0} = A∗ ∪ {0}. Supongamos que ∇(g (x)

)6≥ 1. Entonces,

g (x) = g0 ∈ A y f (x) = g0h (x), con lo que c(f (x)

)= g0 e incurrimos en una contradic-

ción. Así pues, ∇(g (x)

)≥ 1 y análogamente para h (x), de modo que ∇

(f (x)

)≥ 2. �

Proposición 2.12.14. Sea A un anillo factorial y sea p ∈ A un elemento primo de A.Entonces, p es un elemento primo en A [x].

Demostración. Queremos ver que, para todo par de polinomios d (x) , e (x) ∈ A [x] talesque d (x) e (x) ∈ 〈p〉A[x] = pA [x] se tiene que, o bien d (x) ∈ 〈p〉A[x], o bien e (x) ∈ 〈p〉A[x].Es decir, que 〈p〉A[x] es un ideal primo.

Supongamos que p6 |d (x) y que p6 |e (x). Sea r el mínimo natural tal que p6 |dr, siendo drel r-ésimo coeficiente de d (x) y sea s el mínimo natural tal que p6 |es. Entonces, p divide ad0, . . . , dr−1 y a e0, . . . , es−1. Además, p no divide a dres porque p es primo. Se tiene que

d (x) e (x) = d0e0 + · · ·+ s∑i=−r

dr+ies−i

xr+s + · · ·+ dnemxn+m.

Observamos que p divide a todos los sumandos del coeficiente de xr+s salvo a dres. Asípues, p6 |d (x) e (x) y concluimos que p es primo en A [x]. �

Corolario 2.12.15. Sea A un anillo factorial y sea p ∈ A un elemento irreductible de A.Entonces, p es un elemento irreductible en A [x].

Proposición 2.12.16. Sea A un anillo factorial, sea k = k (A) su cuerpo de fraccio-nes, y sea f (x) ∈ A [x] un polinomio no constante tal que ∃u (x) , v (x) ∈ k [x] con∇(u (x)

),∇

(v (x)

)≥ 1 y que cumplen que f (x) = u (x) v (x). Entonces, ∃λ ∈ k tal que

λu (x) ∈ A [x] y λ−1v (x) ∈ A [x].

64 TEMA 2. ANILLOS

Demostración. Seaa = mcm

({s∣∣∣ui = r

s

}),

es decir, el mínimo común múltiplo de los denominadores de los coeficientes del polinomiou (x). Se tiene que

u (x) = 1ag (x) ,

dónde g (x) ∈ A [x]. Análogamente, sea

b = mcm({

s∣∣∣ vi = r

s

}).

Se tiene quev (x) = 1

bh (x) ,

dónde h (x) ∈ A [x]. Así pues,

f (x) = 1ag (x) 1

bh (x)

y abf (x) = g (x)h (x). Sea q = ab ∈ A, de forma que qf (x) = g (x)h (x) y sea q =p1 · · · pn la descomposición en factores primos de q en A, que existe y es única por serA factorial. Demostremos que ∃d ∈ A con d|q tal que 1

dg (x) ∈ A [x] y d

qh (x) ∈ A [x].

Procederemos por inducción sobre n. Si n = 0, d = 1 y hemos acabado. Si no es así,p1|qf (x) y podemos escribir qf (x) = p1q1f (x) = g (x)h (x). En virtud de la proposiciónanterior, p1 es primo también en A [x] y, por lo tanto, divide o bien a g (x), o bien a h (x).Pongamos, sin pérdida de generalidad, que divide al primero. Entonces, g (x) = p1g1 (x),con g1 (x) ∈ A [x]. Tenemos que

p1q1f (x) = p1g1 (x)h (x) =⇒ q1f (x) = g1 (x)h (x)

Por la hipótesis de inducción, existe algún d1 ∈ A con d1|q1 tal que 1d1g1 (x) ∈ A [x] y

d1q1h (x) ∈ A [x]. Así pues, sea d = p1d1 ∈ A, que divide a q. Se tiene que

1dg (x) = 1

p1d1p1g1 (x) = 1

d1g1 (x) ∈ A [x]

y queq

dh (x) = p1q1

p1d1h (x) = q1

d1h (x) ∈ A [x] ,

y queda demostrado. Para acabar, sea λ = ad∈ k. Tenemos que

λ−1 = d

a= db

ab= db

q∈ k,

queλu (x) = λ

ag (x) = a

adg (x) = 1

dg (x) ∈ A [x]

y queλ−1v (x) = db

q

1bh (x) = d

qh (x) ∈ A [x] .

�

2.12. ANILLOS DE POLINOMIOS 65

Observación 2.12.17. Esta proposición también puede leerse de la siguiente forma. SeaA un anillo factorial, sea k = k (A) y sea f (x) ∈ A [x] un polinomio no constante. Sif (x) es irreductible en A [x], también lo es en k [x].

Proposición 2.12.18. Sea A un anillo factorial, sea k = k (A) y sea f (x) ∈ A [x]un polinomio no constante. Entonces, f (x) es irreductible en A [x] si y solo si f (x) esprimitivo en A [x] e irreductible en k [x].

Demostración. Veamos la implicación directa. Ya sabemos que si f (x) es irreductible enA [x], también lo es en k [x]. Además, f (x) = c

(f (x)

)f (x), dónde f (x) es primitivo en

A [x] y tiene grado almenos 1. Puesto que f (x) es irreductible en A [x], c(f (x)

)∈ A∗,

con lo que c(f (x)

)= 1 (salvo asociados).

Veamos la implicación inversa. Supongamos que f (x) no es irreductible en A [x], ypongamos que f (x) = g (x)h (x), dónde g (x) , h (x) /∈ A∗. Si g (x) (o, análogamente,h (x)) es constante, g (x) |c

(f (x)

)= 1, lo que implica que g (x) ∈ A∗, que supone una

contradicción. Así pues, tanto g (x) como h (x) tienen grado almenos 1. Pero entonces,f (x) = g (x)h (x) es una descomposición de f (x) en k [x], e incurrimos de nuevo en unacontradicción. �

Proposición 2.12.19. Sea A un anillo factorial y sea f (x) ∈ A [x] un polinomio noconstante tal que f (x) = ag (x), siendo g (x) ∈ A [x] un polinomio primitivo y a ∈ A.Entonces, a = c

(f (x)

).

Demostración. �

Proposición 2.12.20. Lema de Gauss. Sea A un anillo factorial y sean f (x) , g (x) ∈A [x] polinomios no constantes. Entonces, c

(f (x) g (x)

)= c

(f (x)

)c(g (x)

). Además,

f (x) g (x) es primitivo si y solo si f (x) y g (x) son primitivos.

Demostración. Empecemos viendo que si f (x) y g (x) son primitivos, entonces también loes f (x) g (x). Supongamos que f (x) g (x) no es primitivo. Entonces, existe algún p ∈ Aprimo tal que p|c

(f (x) g (x)

). Necesariamente, p|f (x) g (x) y, como que p también es

primo en A [x], divide o bien a f (x), o bien a g (x). Pero esto no es posible, puesto queambos son primitivos.

Pongamos ahora que f (x) = c(f (x)

)f (x) y que g (x) = c

(g (x)

)g (x), siendo f (x) y

g (x) polinomios primitivos. Tenemos que f (x) g (x) = c(f (x)

)c(g (x)

)f (x) g (x), donde

f (x) g (x) es un polinomio primitivo. En virtud de la proposición anterior, concluimosque c

(f (x) g (x)

)= c

(f (x)

)c(g (x)

).

Finalmente, veamos que si f (x) g (x) es primitivo, entonces también lo son f (x) yg (x). Tenemos que c

(f (x) g (x)

)= c

(f (x)

)c(g (x)

)= 1, de modo que c

(f (x)

)∈ A∗ y

c(g (x)

)∈ A∗ y f (x) , g (x) son, pues, primitivos. �

Teorema 2.12.21. Sea A un anillo factorial. A [x] es factorial.

Demostración. Hay que ver que, para todo f (x) ∈ A [x] \({0} ∪ A [x]∗

)(es decir, para

todo polinomio no constante), existe una única descomposición de f (x) en producto deelementos irreductibles de A [x]. Empezaremos viendo la existencia de una tal descompo-sición.

Si ∇(f (x)

)= 0, entonces f ∈ A y, por ser A factorial, f (x) descompone en un

único producto de elementos irreductibles en A, que también son irreductibles en A [x].Si ∇

(f (x)

)≥ 1, se tiene que f (x) ∈ A [x] ⊆ k [x], siendo k = k (A).

66 TEMA 2. ANILLOS

Además, k [x] es un anillo euclidiano y, en particular, factorial, de modo que f (x) tieneuna única descomposición f (x) = f1 (x) · · · fr (x) en elementos irreductibles de k [x].

En virtud de la proposición 2.12.16, existen λ1, . . . , λr−1 ∈ k tales que

λ1f1 (x) , . . . , λr−1fr−1 (x) , λrfr (x) = λ−11 · · ·λ−1

r−1fr (x) ∈ A [x] .

Así pues,

f (x) =(λ1f1 (x)

)· · ·

(λrff (x)

)=

= c(λ1f1 (x)

)f1 (x) · · · c

(λrfr (x)

)fr (x) =

= c(λ1f1 (x)

)· · · c

(λrfr (x)

)f1 (x) · · · fr (x) ,

donde los fi (x) son irreductibles en A [x]. Como ya hemos visto, c(λ1f1 (x)

)· · · c

(λrfr (x)

)∈ A tiene una descomposición en producto de elementos irreductibles, y hemos encontradouna descomposición de f (x) en producto de elementos irreductibles.

Veamos, ahora, que la descomposición tiene que ser única. Supongamos que

f (x) = g1 (x) · · · gn (x) = h1 (x) · · ·hm (x) ,

siendo los gi (x) y los hj (x) irreductibles. Supongamos, sin pérdida de generalidad, queg1 (x) , . . . , gr (x) , h1 (x) , . . . , hs (x) son de grado 0 y que gr+1 (x), · · · , gn (x), hs+1 (x), · · · ,hm (x) son de grado, almenos, 1. Como hemos visto en la proposición 2.12.19, c

(f (x)

)=

g1 (x) · · · gr (x) = h1 (x) · · ·hs (x), y deducimos que r = s y que gi = hi, ∀i ≤ r (salvoorden y asociados). Ahora tenemos que gr+1 · · · gn = hs+1 · · ·hm. Como que los gi y los hison irreductibles en A [x], también lo son en k [x], que es un anillo factorial, de modo quen = m y gi = hi en k [x] (salvo orden y asociados). Por lo tanto, podemos escribir quegi = cihi = ai

bihi, dónde ai, bi ∈ A o, equivalentemente, bigi (x) = aihi (x). Finalmente,

bi = c(bigi (x)

)= c

(aihi (x)

)= ai, así que ai = bi y ci = 1 (salvo asociados), obteniendo

que gi (x) = hi (x) (salvo orden y asociados), cosa que concluye la demostración. �

Tema 3

Cuerpos

3.1. PreliminaresDefinición 3.1.1. Recordemos la definición de cuerpo. Decimos que un anillo unitarioconmutativo k es un cuerpo si k∗ = k \ {0}.

Proposición 3.1.2. Sea A un anillo conmutativo. Entonces,

i) Si A es un cuerpo, entonces es íntegro.

ii) Si A es íntegro, entonces es un subanillo de un cuerpo.

iii) A es un cuerpo si, y solo si, {ideales de A} = {0, A}.

iv) Sea B un anillo. Si f : A→ B es un morfismo de anillos y A es un cuerpo, entoncesf es inyectiva.

Demostración.

i) Sean x, y ∈ A tales que xy = 0. Si x = 0 ya hemos acabado. Si x 6= 0, entonces∃x−1 ∈ A y se tiene que

y = 1y =(x−1x

)y = x−1xy = x−10 = 0.

ii) Por ser A íntegro, podemos considerar su cuerpo de fracciones k = k (A). Se tieneque A ⊆ k es un subanillo.

iii) Empecemos por la implicación directa. Si A es un cuerpo, entonces cualquier idealdistinto de (0) contiene la unidad, puesto que a ∈ I =⇒ 1 = a−1a ∈ I. Y un idealque contiene la unidad es el anillo entero. Para ver la implicación inversa, basta verque el ideal generado por cualquier elemento no nulo contiene la unidad, de modoque dicho elemento tiene inverso en el anillo.

iv) Consideremos ker (f) ⊆ A, que es un ideal. Puesto que f (1) = 1, 1 /∈ ker (f) y,como se ha visto en el punto anterior, ker (f) = 0, con lo que f es inyectiva.

�

67

68 TEMA 3. CUERPOS

Definición 3.1.3. Sea k un cuerpo y sea S = k[x]\{0}, que es un sistema multiplicativopor ser k [x] íntegro. Definimos k(x) = S−1k[x]. Es decir,

k(x) ={f | f = p

q, p, q ∈ k[x], q 6= 0

}

es el cuerpo de las funciones racionales con coeficientes en k. Análogamente, definimosk (x1, . . . , xn).

Ejemplo 3.1.4.

1. Q, R y C son cuerpos con las operaciones habituales.

2. Sea k un cuerpo y sea p (x) ∈ k [x] un polinomio primo. Entonces, k[x]�(p(x)) es un

cuerpo. Veámoslo.Sea I =

(f (x)

)un ideal de k[x] tal que

(p(x)

)⊆ I. Entonces, p(x) = f (x) · g (x) y,

por lo tanto, o bien f (x) = 1 e I = A, o bien g (x) = 1 e I =(p (x)

). Así pues, los

únicos ideales que contienen a p(x) son(p(x)

)y k[x], de modo que k[x]/

(p(x)

)solo

tiene dos ideales (el cero y el total) y es un cuerpo.

Observación 3.1.5. Sea k un cuerpo. Existe un único morfismo de anillos f : Z→ k.

Demostración. Se tiene que

f (1) = 1,f (0) = f (0) + f (0)− f (0) = f (0 + 0)− f (0) = f (0)− f (0) = 0,

f (−1) = f (−1) + f (1)− f (1) = f (0)− f (1) = −1.

Entonces, para todo n > 0,

f (n) = f(n︷ ︸︸ ︷

1 + · · ·+ 1) =n︷ ︸︸ ︷

1 + · · ·+ 1,

f (−n) = f(n︷ ︸︸ ︷

(−1) + · · ·+ (−1)) =n︷ ︸︸ ︷

(−1) + · · ·+ (−1) .

Así pues, f está únicamente definido. �

Observación 3.1.6. Notación. En algunas ocasiones notaremos con un entero n el si-guiente elemento de un cuerpo k:

n = 1k + · · ·+ 1k︸ ︷︷ ︸n

.

Definición 3.1.7. Sea k un cuerpo y sea f : Z→ k el morfismo de anillos entre el anillode los enteros y k. Para definir la característica y el cuerpo primo de k, estudiaremos doscasos en función del núcleo de f .

• ker (f) = {0}. Por ser Z íntegro, S = Z\{0} es un sistema multiplicativo y satisfaceque f (S) ⊆ k \ {0} = k∗. Pongamos Q = S−1Z y veamos cuantos morfismos deanillos hay entre Q y k. Puesto que la composición de morfismos de anillos es unmorfismo de anillos y la aplicación

i : Z→ Q

a 7→ a

1

3.1. PRELIMINARES 69

es un morfismo de anillos, todos los morfismos de anillos f : Q → k cumplen quef ◦ i : Z→ k es un morfismo de anillos. Pero solamente hay un morfismo de anillosentre Z y k: f . Por lo tanto, todos los morfismos de anillos f : Q → k cumplenque f ◦ i = f . En virtud de la propiedad universal del simetrizado, concluimos queexiste un único morfismo de anillos

f : Q→ kn

m7→ nm−1 ≡ n

m

Z

Q = S−1Z

kf

f

En este caso, decimos que k tiene característica cark = 0 y que su cuerpo primo esQ.

• ker (f) 6= {0}. En primer lugar, observamos que {0} es un ideal primo de k, puestoque k�{0} ∼= k, que es íntegro. Entonces, ker (f) = f−1 ({0}) es un ideal primode Z, que también es principal por ser Z un dominio de ideales principales. Asípues, ker (f) = (p) = pZ, siendo p ∈ Z un entero primo. Pongamos Fp = Z�pZ yveamos cuantos morfismos de anillos hay entre Fp y k. Puesto que la composiciónde morfismos de anillos es un morfismo de anillos y la aplicación

π : Z→ Fpa 7→ a

es un morfismo de anillos, todos los morfismos de anillos f : Fp → k cumplen quef ◦π : Z→ k es un morfismo de anillos. Pero solamente hay un morfismo de anillosentre Z y k: f . Por lo tanto, todos los morfismos de anillos f : Fp → k cumplen quef ◦ π = f . En virtud de la propiedad universal del anillo cociente, concluimos queexiste un único morfismo de anillos

f : Fp → ka 7→ a

Z

Fp = Z/pZ

kf

f

En este caso, decimos que k tiene característica cark = p y que su cuerpo primo esFp.

Ejercicio 3.1.8. Sea k un cuerpo. Demostrar que el cuerpo primo de k es⋂K cuerpoK⊆k

K.

Definición 3.1.9. Sea k un cuerpo con cark = p. Llamamos inmersión de Fröbenius ala aplicación

Frobp : k→ kx 7→ xp.

70 TEMA 3. CUERPOS

Observación 3.1.10. Frobp es un morfismo de anillos, ya que

Frobp(x+ y) = (x+ y)p =p∑i=0

(p

i

)xp−iyi =

= xp +p−1∑i=1

pxp−iyi + yp = xp + yp = Frobp(x) + Frobp(y),

Frobp(xy) = (xy)p = xpyp = Frobp(x) Frobp(y)y Frobp(1) = 1p = 1. Además, es inyectiva porque k es un cuerpo.Ejemplo 3.1.11. Estudiemos la inmersión de Fröbenius cuando k = Fp. El grupo mul-tiplicativo F∗p = Fp \ {0} tiene p − 1 elementos, de modo que ∀a ∈ F∗p, ap−1 = 1, lo queimplica que ap = a. Así pues, Frobp = Id. En particular, si f(x) ∈ Fp[x],

(f(x)

)p = n∑i=0

aixi

p =n∑i=0

api(xi)p

+ p =n∑i=0

ai (xp)i = f (xp) .

Definición 3.1.12. Sea k un cuerpo. Diremos que k es perfecto si cark = 0 o biencark = p y Frobp es una aplicación biyectiva.Ejemplo 3.1.13.

1. Q, R, C son perfectos (car = 0).

2. Fp es perfecto (Frobp = Id).

3. Todo cuerpo finito es perfecto. Puesto que Frobp es inyectiva y k es finito, Frobp esbiyectiva.

4. Fp(x) no es perfecto.

3.2. Extensión de cuerposDefinición 3.2.1. Sean k,E cuerpos tales que k ⊆ E. Decimos que forman una extensiónde cuerpos y la notamos como E/k. Además, E tiene estructura de espacio vectorial sobrek y decimos que la dimensión de la extensión es dimk E ≡ [E : k].Ejemplo 3.2.2.

1) Consideremos la extensión de cuerpos R ⊂ C. Su dimensión es [C : R] = 2 y {1, i}es una base del R-e.v. C.

2) Consideremos la extensión de cuerpos Q ⊂ R. Ejercicio: demostrar que {log(p) |p ∈ Z, p primo} es un conjunto Q-l.i. de elementos de R. Así pues, observamos quesu dimensión no es finita.

3) Sea k un cuerpo y sea p(x) ∈ k[x] un polinomio primo y mónico. E = k[x]�(p(x))

es un cuerpo. Se tiene que

0 = p(x) = a0 + a1x+ · · ·+ an−1xn−1 + xn.

Ejercicio: demostrar que{

1, x, . . . , xn−1}es una k-base de E, [E : k] = n.

Ejercicio: demostrar que si k ⊆ E ⊆ L es una extensión de cuerpos, entonces[L : k] = [L : E] [E : k].

3.2. EXTENSIÓN DE CUERPOS 71

Definición 3.2.3. Sea k ⊆ E una extensión de cuerpos y sea α ∈ E. Consideremos elmorfismo de anillos

ϕ : k[x]→ Ef 7→ f(α).

Observamos que Im(ϕ) ={a0 + a1α + · · ·+ anα

n | ai ∈ k, n ≥ 0}es un subanillo de E.

Podemos estudiar dos casos en función del núcleo de ϕ.

• ker(ϕ) = 0. En este caso, no existe ningún polinomio f ∈ k[x] no nulo que tenga αpor raíz. Decimos que α es un elemento trascendental sobre k.

• ker(ϕ) 6= 0. Por ser k [x] un dominio de ideales principales, ker (ϕ) =(Φ (x)

). Deci-

mos que Φ (x) es el polinomio mínimo irreducible de α en k [x] y lo notamos comoΦ (x) = Irr(α, k, x) (a menudo lo tomamos mónico para que sea único). Decimostambién que α es algebraico sobre k.

Definición 3.2.4. Sea k ⊆ E una extensión. Decimos que es algebraica si para todoα ∈ E, α es algebraico sobre k. Decimos que una extensión es trascendental cuando noes algebraica, es decir, cuando existe algún α ∈ E tal que α es trascendental sobre k.

Ejemplo 3.2.5.

1) i ∈ C es algebraico sobre R. Irr(i,R, x) = x2 + 1 ∈ R[x].

2) ∀n ≥ 1, e 2πin ∈ C es algebraico sobre R y anulado por xn − 1. Por ejemplo. n = 4,

Irr(e

2πi4 ,R, x

)= x2 + 1 6= x4 − 1.

3) 3√

2 es algebraico sobre Q, Irr(

3√

2,Q, x)

= x3 − 2.

4) e y π son trascendentales sobre Q.

Proposición 3.2.6. Sea k ⊆ E una extensión de cuerpos. Si k ⊆ E es finita, entonces esalgebraica.

Demostración. Tenemos que [E : k] = n < ∞. Tomamos un α ∈ E cualquiera. Veamosque α es algebraico sobre k. Consideremos los n+ 1 vectores {1, α, . . . , αn} del k-e.v. E.Son liniealmente dependientes porque la dimensión de este espacio vectorial es n. Por lotanto existen λ0, . . . , λn ∈ k tales que

λ0 + λ1α + · · ·+ λnαn = 0.

Sea, pues, f(x) = λ0 +λ1x+· · ·+λnxn ∈ k[x], que anula a α. Concluimos que la extensiónE ⊆ k es algebraica. �

Teorema 3.2.7. Sea k un cuerpo y sea f(x) ∈ k[x] un polinomio de grado n ≥ 1.Entonces, existe un cuerpo E tal que k ⊆ E, [E : k] ≤ n y f(x) tiene una raíz en E. Esdecir, f(x) = (x− α)f1(x), para ciertos α ∈ E y f1 (x) ∈ E[x].

Demostración. Sea p(x) un factor primo de f(x). Puesto que k [x] es un dominio deideales principales y

(p (x)

)es un ideal primo,

(p (x)

)es un ideal maximal. Por lo tanto,

E = k[x]�(p(x)) es un cuerpo. Además, k ⊆ E y [E : k] = ∇

(p (x)

)≤ n. Si tomamos

α = x ∈ E, tenemos que f(α) = p(α)g(α) = p (x) g (α) = p (x)g (α) = 0g(α) = 0, demodo que α es una raíz de f (x) en E. �

72 TEMA 3. CUERPOS

Corolario 3.2.8. Sea k un cuerpo y sea f(x) ∈ k[x] un polinomio con grado n ≥ 1.Entonces, existe un cuerpo E con k ⊆ E y [E : k] ≤ n! tal que f(x) descompone totalmenteen factores de grado 1 en E[x].

Demostración. Procederemos por inducción sobre n. El caso base n = 1 está claro, veamosahora al caso general.

Por el teorema anterior, existe un cuerpo E1 con k ⊆ E1 y [E1 : k] ≤ n tal quef(x) = (x−α)f1(x), con α ∈ E1 y f1 (x) ∈ E1 [x]. Entonces, f1 (x) tiene grado n−1 y, envirtud de la hipótesis de inducción, existe un cuerpo E con E1 ⊆ E y [E : E1] ≤ (n− 1)!tal que f1 (x) descompone totalmente en factores de grado 1 en E[x]. Por lo tanto, f(x) =(x− α)(x− α1) · · · (x− αn−1) en E[x] y k ⊆ E1 ⊆ E satisfacen que

[E : k] = [E : E1] [E1 : k] ≤ (n− 1)!n = n!.

�

Definición 3.2.9. Sea k ⊆ E una extensión de cuerpos y sea α ∈ E. Consideremos elmorfismo de anillos

ϕ : k[x]→ Ef 7→ f(α).

Definimos k[α] ≡ Imϕ y llamamos cuerpo de adjunción de k y α al menor subcuerpo deE que contiene a la vez a α y a k, y lo notamos como k (α).

Observación 3.2.10. Observamos que k[α] ⊆ k(α). Sea S = k [α] \ {0} y consideremosel diagrama

k[α] k(α)

S−1k[α]

Id

f

En virtud de la propiedad universal del simetrizado, existe un único morfismo de anillosf : S−1k [α]→ k (α), y es inyectivo porque es un morfismo de anillos que tiene por dominioun cuerpo. Además, la imagen por un morfismo de anillos de un cuerpo es un cuerpo, demodo de Im f es un cuerpo que contiene a k [α] y, en particular, a α y a k. Pero k (α) esel menor cuerpo que contiene a α y a k, de modo que f es exhaustivo. Por lo tanto, elcuerpo de fracciones de k[α] es k(α), es decir, S−1k [α] = k (α).

Consideremos de nuevo el morfismo de anillos

ϕ : k[x]→ Ef 7→ f(α).

y estudiemos dos casos en función del núcleo de ϕ.

• kerϕ = {0}, es decir, α es trascendental sobre k. En este caso, ϕ es inyectiva y te-nemos que k[x] ∼= Im(ϕ) = k[α]. Entonces, k(x) =

(k [x]

)−1 k [x] ∼=(k [α]

)−1 k [α] =k(α).

3.2. EXTENSIÓN DE CUERPOS 73

• kerϕ 6= {0}, es decir, α es algebraico sobre k. Por ser k [x] un dominio de idealesprincipales, kerϕ = ϕ−1 ({0}) =

(Φ(x)

)=(Irr (α, k, x)

)y, entonces,

k[x]�(Φ(x)) ∼= Imϕ = k[α].

Puesto que {0} es un ideal primo, también lo es su antiimagen(Φ (x)

)y, pues-

to que k [x] es un dominio de ideales principales,(Φ (x)

)es maximal. Así pues,

k [α] es un cuerpo y k[α] = k(α). Además,[k(α) : k

]=[k [α] : k

]= ∇

(Φ (x)

)=

∇(Irr(α, k, x)

).

Definición 3.2.11. Sea k ⊆ E una extensión de cuerpos y sea α ∈ E. Decimos que k ⊆ Ees una extensión simple si E = k(α) y decimos que k ⊆ E es una extensión finitamentegenerada si E = k (α1, . . . , αn).

Proposición 3.2.12. Sea k ⊆ E una extensión de cuerpos. Entonces, k ⊆ E es finita siy solo si es algebraica y finitamente generada.

Demostración. Empecemos por la implicación directa. Ya hemos visto que si una exten-sión de cuerpos es finita, entonces es algebraica. Veamos, pues, que también es finitamentegenerada. Procederemos por inducción sobre n = dimk E. Para n = 1, tenemos que E = ky hemos acabado. Para el caso general n > 1, tenemos que k ⊂ E y que existe algúnα ∈ E \ k. Entonces,

n = [E : k] =[E : k (α)

] [k (α) : k

],

dónde[k (α) : k

]> 1. Así pues,

[E : k (α)

]< n y, en virtud de la hipótesis de inducción,

E es finitamente generado y podemos escribir E = k(α) (β2, . . . , βm) = k (α, β2, . . . , βm).Veamos ahora la implicación invesa. Tenemos que E = k (α1, α,2 , . . . , αm) y que los

αi son algebraicos sobre k. Sean E0 = k y Ei = Ei−1 (αi), para todo 1 ≤ i ≤ m. Entonces,

[E : k] = [Em : E0] = [Em : Em−1] · · · [E1 : E0] =

=m∏i=1

[Ei : Ei−1] =m∏i=1

[Ei−1 (αi) : Ei−1

]=

m∏i=1

∇(Irr (αi,Ei−1, x)

)<∞.

�

Teorema 3.2.13. Teorema del elemento primitivo.Sea k ⊆ E una extensión de cuerpos finita con cark = 0. Entonces, E es una extensiónsimple de k, E = k (α), para algún α ∈ E.

Demostración. En virtud de la proposición anterior, podemos decir que E = k (α1, . . . , αn)para ciertos αi ∈ E algebraicos sobre k. Para terminar la demostración basta ver, pues,que si E = k(α, β) con α y β algebraicos sobre k, entonces existe algún γ ∈ E algebraicosobre k tal que E = k(γ).

Sea f(x) = Irr(α, k, x) ∈ k [x], con ∇(f (x)

)= n ≥ 1. Como cark = 0, f ′ (x) 6= 0

y naturalmente f (x)6 | f ′ (x). Además, f ′ (x)6 | f (x), ya que f (x) es irreductible, lo queimplica que mcd

(f (x) , f ′ (x)

)= 1. Por ser k [x] un dominio de ideales principales, se

satisface la identidad de Bézout (2.8.9), es decir, que existen a (x) , b (x) ∈ k[x] tales quea (x) f (x) + b (x) f ′ (x) = 1.

Consideremos análogamente g (x) = Irr(β, k, x) ∈ k [x], con ∇(g (x)

)= m ≥ 1.

Sea L, k ⊆ E = k(α, β) ⊆ L un cuerpo de descomposición de f (x) y g (x), es decir,que f (x) y g (x) descomponen en factores de grado 1 en L[x]. La identidad de Bézout

74 TEMA 3. CUERPOS

1 = a (x) f (x)+b (x) f ′ (x) se satisface en L[x], cosa que implica que f (x) y f ′ (x) tambiénson primos entre sí en L[x].

Afirmamos que f (x) no tiene raíces múltiples en L[x] puesto que, de lo contrario,f (x) y f ′ (x) tendrían un factor en común. Entonces, podemos escribir

f(x) =n∏i=1

(x− αi), con α1 = α y todos los αi ∈ L distintos entre ellos.

Análogamente,

g(x) =m∏j=1

(x− βj), con β1 = β y todos los βi ∈ L distintos entre ellos.

Sea λ ∈ k \{α1−αiβj−β1

| 1 ≤ i ≤ n, 2 ≤ j ≤ m}un elemento cualquiera. Recordemos que

cark = 0 =⇒ Q ⊆ k, de modo que k es infinito y λ siempre existe. Pongamos ahoraγ = α + λβ y veamos que k(γ) = k(α, β). Está claro que k(γ) ⊆ k(α, β) ⊆ L [x] puestoque γ = α + λβ ∈ k(α, β). Veamos la otra inclusión.

Basta comprobar que β ∈ k(γ) ya que, entonces, α = γ − λβ ∈ k(γ). Puesto que β esalgebraico sobre k y k ⊆ k(γ), β es algebraico sobre k(γ). Sea h(x) = Irr

(β, k(γ), x

)∈

k (γ) [x] ⊆ L [x]. Sabemos que g(x) ∈ k[x] ⊆ k(γ)[x] ⊆ L [x] anula a β y que h(x) es elmínimo polinomio que anula a β, de manera que h(x)|g(x) en k (γ) [x] ⊆ L [x]. Así pues,en L [x], h (x) es de la forma

h(x) =r∏j=1

(x− βij

)con m ≥ r ≥ 1 y m ≥ ij ≥ 1 distintos entre ellos.

Si vemos ahora que h(x) = x − β1 = x − β ∈ k(γ)[x], entonces β ∈ k(γ) y habremosterminado.

Consideremos el polinomio f(γ − λx) ∈ k(γ)[x] ⊆ L [x]. Sabemos que β es raíz def(γ−λx) porque f(γ−λβ) = f(α) = 0, lo que implica que h(x)|f(γ−λβ). Supongamosahora que r > 1. Tenemos que β2 ∈ L es una raíz de h(x) ∈ L [x] y, por lo tanto, def(γ − λx) ∈ L [x]. O, dicho de otra forma, γ − λβ2 es una raíz de

f (x) =n∏i=1

(x− αi)

en L [x]. Esto implica que γ − λβ2 = αi para cierto 1 ≤ i ≤ n y se tiene que

α1 + λβ1 − λβ2 = αi =⇒ λ = α1 − αiβ2 − β1

,

lo cual supone una contradicción con la definición de λ y concluimos que h (x) = x− β,acabando la demostración. �

3.3. Cuerpos finitosRecordemos antes de comenzar esta sección que p denota un primo natural y que

Fp = Z/pZ.

Proposición 3.3.1. Sea F un cuerpo finito. Entonces,

3.3. CUERPOS FINITOS 75

i) carF = p y |F| = pn con n ≥ 1. Lo notaremos como F = Fq, siendo q = pn.

ii) F = Fp(α) para cierto α algebraico sobre Fp, es decir, F es una extensión simple deFp.

iii) Para todo α ∈ F, α es un raíz del polinomio xq − x. Además, si F ⊆ E es unaextensión de cuerpos y α ∈ E es una raíz de xq − x, entonces α ∈ F.

Demostración.

i) Como F es finito, carF = p. Por lo tanto, Fp ⊆ F y F es un Fp-e.v. Como F es finito,dimFp F =

[F : Fp

]= n <∞. Existe, pues, una base v1, . . . , vn de F (como Fp-e.v.) y

concluimos que F ={combinaciones lineales de v1, . . . , vn con coeficientes en Fp

},

que tiene cardinal pn.

ii) Ya hemos visto que un subgrupo finito del grupo multiplicativo de un cuerpo escíclico. En particular, si F es finito, F∗ es cíclico: F∗ = 〈α〉 = {1, . . . , αm}. TenemosF = F∗ ∪ {0} = {0, 1, α, . . . , αm} ⊆ Fp(α) y concluimos que F = Fp(α) es unaextensión simple y algebraica.

iii) Claramente 0 ∈ F es una raíz de xq−x. Sea α ∈ F∗ un elemento invertible cualquiera.F∗ es un grupo de orden q−1 y se tiene que αq = αq−1α = 1α = α. Es decir, ∀α ∈ F,α es raíz de xq − x. Sea k ⊆ E es una extensión de cuerpos y α ∈ E. Entonces,q = |F| ≤

∣∣∣{α ∈ E | α es una raíz de xq − x}∣∣∣ ≤ q y sigue la igualdad.

�

Teorema 3.3.2. Sea q = pn, con p primo y n ≥ 1. Existe un cuerpo de cardinal q.

Demostración. Sea f(x) = xq − x ∈ Fp[x] y sea E un cuerpo de descomposición de f(x).Tenemos que f ′(x) = qxq−1−1 = −1, puesto que q = pn = 0, y sigue que mcd (f, f ′) = 1.Deducimos, pues, que f (x) no tiene raíces múltiples, es decir, que

f (x) = (x− α1) · · ·(x− αq

),

con α1, . . . , αq ∈ E. Veamos que F ={αi | 1 ≤ i ≤ q

}es un cuerpo. Sean α, β ∈ F

elementos cualesquiera.

• (α + β)q = αq + p+ βq = αq + βq = α + β =⇒ α + β ∈ F.

• (αβ)q = αqβq = αβ =⇒ αβ ∈ F.

• Distingamos en función de la paridad de q, que es la misma que la de p. Si q esimpar, (−α)q = (−1)qαq = −α. Si q es par, p = 2 y (−α)q = (−1)qαq = αq = −α.Por lo tanto, −α ∈ F.

•(α−1

)q= (αq)−1 = α−1 =⇒ α−1 ∈ F.

Por lo tanto, F es un cuerpo de cardinal q. �

Corolario 3.3.3. Para todo n ≥ 1, existe un polinomio en Fp[x] irreductible y de gradon.

76 TEMA 3. CUERPOS

Demostración. Dado n ≥ 1, sea Fq un cuerpo de cardinal q = pn (que existe por el teoremaanterior). En virtud de la proposición 3.3.1, Fq es una extensión simple algebraica de Fp.Es decir,

Fq = Fp(α) ∼= Fp[x]�〈Φα(x)〉,

donde Φα(x) = Irr(α,Fp, x). Φα(x) es mónico y ∇ (Φα) =[Fq : Fp

]= n, porque q =

pn. �

Corolario 3.3.4. Sea p(x) ∈ Fp[x] un polinomio irreductible de grado n. Entonces,p(x)|f(x) = xq − x en Fp[x], donde q = pn.

Demostración. Sabemos que Fq = Fp[x]�〈p(x)〉. Consideremos α = x ∈ Fq. Se tiene queαq−1 = 1 porque F∗q es un grupo de orden q − 1. Por lo tanto, αq = α, lo que implica queα es una raíz de f (x). α también es raíz de p(x), ya que

p(α) = p (x) = p(x) = 0.

Finalmente, por ser p (x) irreductible, p (x) |f (x). �

Teorema 3.3.5. Sean F y G dos cuerpos del mismo cardinal q = pn. Entonces, F ∼= G,es decir, existe un morfismo de anillos biyectivo entre ellos.

Demostración. Sabemos que F = Fp(α) ∼= Fp[x]�〈Φα(x)〉, siendo Φα(x) = Irr(α,Fp, x) unpolinomio irreductible de grado n en Fp[x], para cierto α ∈ F.

El corolario anterior nos asegura que Φα(x) | xq − x en Fp y, como hemos visto enla proposición 3.3.1, G = {raíces de xq − x}. Así pues, xq − x descompone totalmenteen G, de modo que podemos encontrar un β ∈ G que anule Φα(x). Esto implica queΦα(x) = Irr(β,Fp, x) = Φβ(x). Concluimos, pues, que

G = Fp(β) ∼= Fp[x]�〈Φβ(x)〉 = Fp[x]�〈Φα(x)〉∼= Fp (α) = F.

�

Índice alfabético

acciónde un grupo sobre un conjunto, 25fiel, 28por conjugación, 29por conjugación de G en los subgru-

pos, 32por traslación, 28transitiva, 28

algoritmo de Euclides((obs:eucl)), 60anillo, 37

cociente, 41conmutativo, 37de fracciones, 46noetheriano, 58unitario, 37íntegro, 45

cadena, 51caraterística de un cuerpo, 68centralizador

de un elemento, 28de un subgrupo, 28

centro de un grupo, 28clase lateral

por la derecha, 13por la izquierda, 12

condiciónde cadena ascendente, 55de elemento primo, 54

conjunto cociente de un grupo, 12contenido de un polinomio, 63cota superior de una cadena, 51cuerpo, 38, 67

adjunción, 72de fracciones, 50de las funciones racionales, 68perfecto, 70primo, 68

divisor, 52

de cero, 45dominio

de ideales principales, 56de integridad, 45euclidiano, 59factorial, 55

ecuación de Bézout, 53elemento

algebraico, 71asociado, 52inverso, 3por el producto, 37

irreductible, 54neutro, 3primo, 54trascendental, 71unitario, 37

elemento relacionadopor la derecha, 13por la izquierda, 12

espectro de un anillo, 50estabilizador de un elemento, 26extensión

algebraica, 71de cuerpos, 70finitamente generada, 73simple, 73trascendental, 71

función ϕ de Euler, 8

grado de una extensión, 70grupo, 3

abeliano o conmutativo, 3cíclico, 8de isotropía de un elemento, 26isomorfo, 11multiplicativo de un anillo, 38resoluble, 21

77

78 ÍNDICE ALFABÉTICO

simple, 19

homomorfismo de grupos, 10

ideal, 39cociente, 49finitamente generado, 40generado, 40intersección, 39maximal, 50primo, 50principal, 40producto, 41suma, 40

identidad de Bézout, 53indice de un grupo en un subgrupo, 13inmersión de Fröbenius, 69intersección de subgrupos, 4

morfismode anillos, 43de grupos, 10

multiplicidad de una raíz, 61máximo común divisor, 52mínimo común múltiplo, 52múltiplo, 52

normade Dedekind-Hasse, 60euclidiana, 59

normalizador de un subgrupo en un gru-po, 33

ordende los elementos de un grupo, 7de un grupo, 7de una permutación, 1

p-grupo, 30polinomio

mínimo irredcutible, 71primitivo, 63

producto de subgrupos, 5punto fijo, 27

raíz de un polinomio, 61

serie de composición, 21sistema multiplicativo, 46subanillo, 38subgrupo, 3

p-Sylow, 32generado, 6normal a un grupo, 14

Sylow de un grupo, 32

torrenormal, 21abeliana, 21

unión de subgrupos, 5

órbita de un elemento, 26