Estructuras algebraicas

Ravenna, Gabriela S.Facultad de Ciencias Exactas, Universidad Nacional de La Plata

31 de octubre de 2008

Indice

1. Introduccion 1

2. Los enteros algebraicos 3

3. Integrabilidad 6

4. Ideales 17

1. Introduccion

(1.1)Definicion: Un anillo (R, +, ·) es un conjunto R dotado con dosoperaciones binarias + : R × R → R (adicion) y · : R × R → R (multipli-cacion) satisfaciendo las siguientes propiedades(a) (R, +) es un grupo abeliano. Escribiremos el elemento identidad como 0.(b)a · (b · c) = (a · b) · c (· es asociativo)(c)a · (b+ c) = a · b+ a · c y (b+ c) · a = b · a+ c · a (· es distributivo a derechay a izquierda respecto de la suma).

Si a 6= 0 y b 6= 0 son elementos de R tal que ab = 0 entonces a y bson divisores del cero del anillo R. Si R tiene unidad, un elemento a ∈ Res inversible si a tiene inverso multiplicativo, esto es, existe b ∈ R conab = ba = 1. R∗ denota el conjunto de todos los inversibles de R. R∗ es ungrupo, llamado el grupo de inversibles de R.

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(1.2)Definicion: (1) Un anillo R es un dominio integral si es un anilloconmutativo con unidad tal que R no tiene divisores del cero.(2) Un anillo R con identidad es un anillo division si R∗ = R \ {0}, i.e.,todo elemento no nulo de R tiene inverso multiplicativo.(3) Un cuerpo es un anillo conmutativo con division.

(1.3)Definicion: Sea R un anillo y sea I ⊆ R. Diremos que I es un idealde R si y solo si(1) I es un subgrupo aditivo de R,(2) rI ⊆ I para todo r ∈ R, y(3) Ir ⊆ I para todo r ∈ R.

(1.4)Definicion: Un ideal M en un anillo R es llamado maximal sim 6= R y M es tal que si I es un ideal con M ⊆ I ⊆ R entonces I = M oI = R.

(1.5)Teorema: Sea R un anillo con identidad y sea I 6= R un ideal deR. Entonces existe un ideal maximal de R conteniendo a I.

(1.6)Corolario: En un anillo con unidad siempre hay ideales maximales.

(1.7)Teorema: Sea R un anillo conmutativo con unidad. Entonces unideal M de R es maximal si y solo si R/M es un cuerpo.

(1.8)Definicion: Un ideal P en un anillo conmutativo se dice primo siP 6= R y P es tal que si ab ∈ P entonces a ∈ P o b ∈ P . Un elemento p ∈ Res primo si el ideal Rp = 〈p〉 es un ideal primo.

(1.9)Definicion: Sea R un anillo. Diremos que R satisface la condicionde cadena ascendiente sobre ideales si para cada cadena

I1 ⊆ I2 ⊆ I3 ⊆ ...

de ideales de R existe n tal que Ik = In para todo k ≥ n, i.e., la cadenaes eventualmente constante. Un anillo que satisface la condicion de cadenaascendiente se dice Noetheriano.

(1.10)Definicion: Un dominio integral R es un dominio Euclideanosi existe una funcion v : R \ {0} → Z+ = N ∪ {0} tal que(1) para todo a, b ∈ R \ {0}, v(a) ≤ v(ab); y(2) dados a, b ∈ R con a 6= 0, existen q, r ∈ R con b = aq + r tal que r = 0 ov(r) < v(a).

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2. Los enteros algebraicos

Los enteros GaussianosLas ecuaciones 2 = 1 + 1; 5 = 1 + 4; 13 = 4 + 9; 17 = 1 + 16; 29 = 4 + 25;

37 = 1 + 36 muestra los primeros numeros primos que pueden ser represen-tados como suma de cuadrados. Excepto por 2, todos son ≡ 1 mod 4, y escierto, en general, que todo numero primo impar de la forma p = a2 + b2

satisface p ≡ 1 mod 4, porque los cuadrados perfectos son ≡ 0 o ≡ 1 mod 4.Esto es obvio. Lo que no es obvio es que la vuelta tambien valga.

(2.1) Teorema: para todos los numeros primos p 6= 2, se tiene:

p = a2 + b2 (a, b ∈ Z) ⇔ p ≡ 1 mod 4

La natural explicacion de esta regla aritmetica se basa en el hecho de queel anillo Z de los enteros esta en el dominio de los enteros gaussianos

Z[i] = {a + bi|a, b ∈ Z}, i =√−1.

En este anillo, la ecuacion p = x2 + y2 esta dentro de la descomposicionproducto

p = (x + iy)(x− iy),

tal que el problema es, ahora, cuando y como un numero primo p ∈ Z sepuede factorizar en Z[i]. La respuesta a esta cuestion esta basada en el sigu-iente resultado acerca de la factorizacion unica en Z[i].

(2.2) Proposicion: el anillo Z[i] es euclideano, por lo tanto, en partic-ular, es factorial.

Dem. Mostraremos que Z[i] es euclideano con respecto a la funcionZ[i] → N

⋃{0}, α 7→ |α|2. Entonces, para α, β ∈ Z[i], β 6= 0, tenemos que

verificar la existencia de dos enteros gaussianos γ, ρ tales que

α = γβ + ρ y |ρ|2 < |β|2.

Es suficiente hallar γ ∈ Z[i] tal que |αβ− γ| < 1. Ahora, los enteros gaus-

sianos forman un entramado en el plano complejo C. Los numeros complejosse encuentran en algunos puntos de la malla y su distancia al punto mascercano no es mas que la mitad de la longitud de la diagonal de la malla, i.e.12

√2. Por lo tanto, existe un elemento γ ∈ Z[i] con |α

β− γ| ≤ 1

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√2 < 1. �

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Basados en este resultado acerca del anillo Z[i], el teorema (2.1) sigue deeste modo: es suficiente mostrar que un numero primo p ≡ 1 mod 4 de Z nosigue siendo un elemento primo en el anillo Z[i]. De hecho, si este resultadoes probado, entonces existe una descomposicion de p

p = α.β

en dos no inversibles α, β de Z[i]. La norma de z = x + iy esta definida por

N(x + iy) = (x + iy)(x− iy) = x2 + y2,

i.e., por N(z) = |z|2. Esto es multiplicativo, entonces tenemos

p2 = N(α).N(β).

Como α y β son no inversibles, se sigue que N(α), N(β) 6= 1, y ademasp = N(α) = a2 + b2, donde consideramos α = a + bi. Finalmente, en ordende probar que un primo de la forma p = 1 + 4n no puede ser primo de Z[i],notamos que la congruencia

−1 ≡ x2 mod p

admite una solucion, llamada x = (2n)!. De hecho, como −1 ≡ (p− 1)! modp por el Teorema de Wilson, uno tiene

−1 ≡ (p− 1)! = [1,2...(2n)][(p− 1)(p− 2)...(p− 2n)]

≡ [(2n)!][(−1)2n(2n)!] = [(2n)!]2 mod p

Entonces tenemos que p|(x2 + 1) = (x + i)(x− i). Pero como xp± i

p6∈ Z[i], p

no divide ningunos de los factores x + i, x− i, y no es entonces un primo delanillo factorial Z[i].

Cuando desarrolamos la teorıa de divisibilidad en un anillo hay dos prob-lemas basicos prominentes: por un lado, el de determinar los inversibles delanillo en cuestion; por otro lado, sus elementos primos. La respuesta alprimer problema en el presente caso es sencilla. Un numero α = a+ bi ∈ Z[i]es inversible si y solo si su norma es 1:

N(α) := (a + ib)(a− ib) = a2 + b2 = 1

i.e., si a2 = 0, b2 = 1 o a2 = 1, b2 = 0. Ası obtenemos la siguiente proposicion.

(2.3) Proposicion: El grupo de los inversibles del anillo Z[i] consiste delas raıces cuartas de la unidad,

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Z[i]∗ = {1,−1, i,−i}

En orden de responder la cuestion de los elementos primos, i.e., irre-ducibles elementos del anillo Z[i], primero recordemos que dos elementos α,β en un anillos son llamados asociados, simbolicamente α ∼ β, si difieren so-lamente por un factor inversible, y si todo elemento asociado a un elementoirreducible π es tambien irreducible. Usando el teorema (2.1) obtenemos lasiguiente lista de todos los numeros primos de Z[i].

(2.4) Teorema: Los elementos primos de Z[i], y elementos asociados,estan dados como sigue:

(1) π = 1 + i,

(2) π = a + bi, con a2 + b2 = p, p ≡ 1 mod 4, a > |b| > 0,

(3) π = p, p ≡ 3 mod 4

Aquı p denota un numero primo de Z.

Dem. Los numeros como en (1) o (2) son primos porque una descom-posicion π = α.β ∈ Z[i] implica una ecuacion

p = N(π) = N(α).N(β),

con algun numero primo p. Por lo tanto, N(α) = 1 o N(β) = 1, entonces α oβ es inversible. Los numeros π = p, donde p ≡ 3 mod 4, son primos en Z[i],porque una descomposicion p = α.β donde α, β no son inversibles, implicarıaque p2 = N(α).N(β), entonces p = N(α) = N(a + bi) = a2 + b2, que deacuerdo con el teorema (1.1) tendrıamos que p ≡ 1 mod 4.

Dicho esto, debemos chequear que dado un elemento primo arbitrarioπ de Z[i] esta asociado a alguno de los de la lista. Primero que nada, ladescomposicion

N(π) = π.π = p1...pr,

en primos pi, muestra que π|p para algun p = pi. Esto es que N(π)|N(p) = p2,entonces o N(π) = p o N(π) = p2. En el caso de que N(π) = p tenemos,π = a+bi con a2+b2 = p, entonces π es del tipo (2); o, si p = 2, esta asociadoa 1 + i. En el caso de que N(π) = p2, entonces π esta asociado a p pues p/πes un entero con norma uno y entonces es inversible. Ademas, p ≡ 3 mod4 y por (1.1) p = a2 + b2 = (a + bi)(a − bi) que no puede ser primo. Estocompleta la demostracion.

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La proposicion completa tambien la cuestion de como los numeros primosp ∈ Z se descomponen en Z[i]. El primo 2 = (1 + i)(1 − i) esta asociado alcuadrado del primer elemento 1+i. Ası, la identidad 1−i = −i(1+i) muestraque 2 ∼ (1 + i)2. El numero primo p ≡ 1 mod 4 se descompone entre dosfactores primos conjugados

p = (a + bi)(a− bi)

y el numero primo p ≡ 3 mod 4 seran primos en Z[i].

Los enteros gaussianos juegan el mismo rol en el cuerpo

Q(i) = {a + bi|a, b ∈ Q}

como los enteros lo hacen el el cuerpo Q. Entonces pueden ser vistos comolos enteros en Q(i). Esta nocion de integrabilidad es relativa a las coorde-nadas de las bases 1, i. Ademas, tendremos la siguiente caracterizacion delos enteros gaussianos, que es independiente de la eleccion de las bases.

(2.5) Proposicion: Z[i] consiste precisamente de los elementos del cuer-po extension Q(i) de Q que satisfacen una ecuacion de polinomio monico

x2 + ax + b = 0

con coeficientes a, b ∈ Z.

Dem. Un elemento α = c + di ∈ Q(i) es un cero del polinomio

x2 + ax + b ∈ Q[x] con a = −2c, b = c2 + d2

Si c y d son enteros, entonces son a y b. Respectivamente, si a y b son en-teros, entonces son 2c y 2d. Como (2c)2 + (2d)2 = 4b ≡ 0 mod 4 y como loscuadrados son siempre ≡ 0 o ≡ 1. Luego c y d son enteros.

La ultima proposicion nos lleva a la nocion general de un entero algebraicocomo elemento que satisface la ecuacion de un polinomio monico con coefi-cientes enteros racionales. Para el dominio de los gaussianos hemos obtenidoen esta seccion una completa respuesta a la pregunta de sus inversibles, suselementos primos y de su factorizacion unica.

3. Integrabilidad

Un cuerpo algebraico numerico es un cuerpo de extension finita K de Q.Los elementos de K son llamados numeros algebraicos. Un numero algebraico

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es llamado integral, si es un cero de un polinomio monico f(x) ∈ Z[x]. Estanocion de integrabilidad se aplica, no solo en numeros algebraicos si no queocurre en diferentes contextos y por lo tanto, debe ser tratado en formageneral.

En lo que sigue, los anillos siempre seran entendidos como anillos conmu-tativos con unidad.

(3.1)Definicion: Sea A ⊆ B una extension de anillos. Un elemento b ∈ Bes llamado integral sobre A, si satisface una ecuacion monica

xn + a1xn−1 + ... + an = 0, n ≥ 1,

con coeficientes ai ∈ A. El anillo B es llamado integral sobre A si todoelemento b ∈ B es integral sobre A.

Es deseable, pero no inmediatamente obvio que la suma y el productode dos elementos que son integrales sobre A son integrales. Esto sera unaconsecuencia de la siguiente abstraccion y reinterpretacion de la nocion deintegrabilidad.

(3.2)Proposicion: Finitos elementos b1, b2, ..., bn ∈ B son todos inte-grables sobre A si y solo si el anillo A[b1, ..., bn] visto como un A-modulo esfinitamente generado.

Para probar esto usaremos el siguiente resultado de algebra lineal.

(3.3)Proposicion(Expansion fila-columna): Sea A = (aij) una ma-triz cuadrada de r×r con entradas en un anillo arbitrario, y sea A∗ = (a∗ij) lamatriz adjunta, i.e., a∗ij = (−1)i+jdet(Aij), donde la matriz Aij es obtenidapor a borrando la i-esima columna y la j-esima columna. Entonces uno tiene

AA∗ = A∗A = det(A)E,

donde E denota la matriz unidad de rango r. Para algun vector x =(x1, ..., xr), se tiene la siguiente implicacion

Ax = 0 =⇒ (detA)x = 0

Dem. de (3.2): Sea b ∈ B un integral sobre A y f(x) ∈ A[x] un poli-nomio monico de grado n ≥ 1 tal que f(b) = 0. Para un polinomio arbitrariog(x) ∈ A[x] podemos escribir

g(x) = q(x)f(x) + r(x),

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con q(x), r(x) ∈ A[x] y gr(r(x)) < n, entonces tenemos

g(b) = r(b) = a0 + a1b + ... + an−1bn−1

Entonces A[b] es generado como A-modulo por 1, b, ..., bn−1.Mas generaleralmente, si b1, ..., bn ∈ B son integrales sobre A, entonces

el hecho de que A[b1, ..., bn−1] sea de tipo finito sobre A sale por induccionsobre n. De hecho, como bn es integral sobre R = A[b1, ..., bn−1], lo que hemosmostrado antes implica que R[bn] = A[b1, ..., bn−1] esta finitamente generadosobre R, y por lo tanto, tambien sobre A, si asumimos por induccion que Res un A-modulo de tipo finito.

Inversamente, supongamos que el A-modulo A[b1, ..., bn] es finitamentegenerado y que w1, ...wr es un sistema de generadores. Entonces, para algunelemento b ∈ A[b1, ..., bn], uno tiene que

bwi =r∑

j=1

aijwj, i = 1, ..., r, aij ∈ A

En la proposicion (3.3) vimos que det(bE − (aij))wi = 0, i = 1, ..., r(aquı E es la matriz unitaria de rango r), y como 1 puede ser escrito como1 = c1w1 + ... + crwr, la igualdad det(bE − (aij)) = 0 nos da una ecuacionmonica para b con coeficientes en A. Esto muestra que b es tambien integralsobre A.

De acuerdo con esta proposicion, si b1, ..., bn ∈ B son integrables so-bre A, entonces tambien lo es cualquier elemento b de A[b1, ..., bn], porqueA[b1, ..., bn, b] = A[b1, ..., bn] es un a-modulo finitamente generado. En partic-ular, dados dos elementos integrables b1, b1 ∈ B, entonces b1 + b2 y b1b2 sonintegrables sobre A. Al mismo tiempo obtenemos...

(3.4)Proposicion: Sean A ⊆ B ⊆ C dos anillos extension. Si C esintegrable sobre B y B es integrable sobre A, entonces C es integrable sobreA.

Dem. Tomamos c ∈ C, y sea cn + b1cn−1 + ... + bn = 0 una ecuacion con

coeficientes en B. Definimos R = A[b1, ..., bn]. Entonces R[c] es un R-modulofinitamente generado. Si B es integrable sobre A, entonces R[c] es tambienfinitamente generado sobre A, pues R es finitamente generado sobre A. En-tonces c es integrable sobre A.

Por lo que hemos probado, el conjunto de todos los elementos

A = {b ∈ B| b integral sobre A}

en un anillo extension A ⊆ B forma un anillo. ES llamado la clausuraintegral de A en B. A se dice que es integralmente cerrado en B si

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A = A. Esto es inmediato por (2.4) que la clausura integral A es integral-mente cerrada sobre si misma en B. Si A es un dominio integral con cuerpode fracciones K, entonces la clausura integral A de A en K es llamada lanormalizacion de A, y A es simplemente llamado integralmente cerrado siA = A. Por ejemplo, todo anillo factorial es integralmente cerrado.

De hecho, si a/b ∈ K(a, b ∈ A) es integral sobre A, i.e.,

(a/b)n + a1(a/b)n−1 + ... + an = 0,

con ai ∈ A, entonces

an + a1ban−1 + ... + anb

n = 0.

Luego cada elemento primo π que divide a b tambien divide a a. Asum-iendo que a/b puede reducirse, esto implica que a/b ∈ A.

Ahora tornaremos a una situacion mas especial. Sea A un dominio integralque es integralmente cerrado, K su cuerpo de fracciones, L|K un cuerpoextension finito, y B la clausura integral de A en L. De acuerdo a (2.4), Bes automaticamente integralmente cerrado. Cada elemento β ∈ L es de laforma

β =b

a, b ∈ B, a ∈ A,

porque si

anβn + ...a1β + a0 = 0, ai ∈ A, an 6= 0

entonces b = anβ es integral sobre A, una ecuacion integral

(anβ)n + ... + a′1(anβ) + a′0 = 0, a′i ∈ A,

se obtiene de la ecuacion para β al multiplicar por an−1n . Ademas el hecho

de que A es integralmente cerrado tiene el efecto de que un elemento β ∈ L esintegral sobre A si y solo si su polinomio minimal p(x) tiene sus coeficientesen A. De hecho, β sera cero del polinomio monico g(x) ∈ A[x]. Entonces p(x)divide a g(x) ∈ K[x], y por tanto, todos los ceros β1, ..., βn de p(x) son inte-grales sobre A, y ası con todos los coeficientes, en otras palabras p(x) ∈ A[x].La traza y la norma en el cuerpo extension L|k suministra importantes her-ramientas para el estudio de elementos integrales en L. Recordemos...

(3.5)Definicion: La traza y la norma de un elemento x ∈ L sondefinidas como la traza y el determinante, respectivamente del endomorfismo

Tx : L → L, Tx(α) = xα,

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del K-espacio vectorial L:

TrL|K(x) = Tr(Tx), NL|k(x) = det(Tx)

En el polinomio caracterıstico

fx(t) = det(t.id− Tx) = tn − a1tn−1 + ... + (−1)nan ∈ K[t]

de Tx, n = [L : K], reconoceremos la traza y la norma como

a1 = TrL|K(x) y an = NL|K(x)

como Tx+y = Tx + Ty y Txy = Tx ◦ Ty, obtenemos los homomorfismos

TrL|K : L −→ K y NL|K : L∗ −→ K∗

En el caso donde la extension L|K es separable, la traza y la norma admitenthe following Galois- theoteric interpretation.

(3.6)Proposicion: Si L|K es una extension separable y σ : L → K varıasobre los diferentes K-embeddings de L sobre una clausura algebraica K deK, entonces tenemos:

(i) fx(t) =∏σ

(t− σx),

(ii) TrL|K(x) =∑

σ

σx,

(iii) NL|K(x) =∏σ

σx.

Dem. El polinomio caracterıstico fx(t) es un poder

fx(t) = px(t)d, d = [L : K(x)],

del polinomio minimal

px(t) = tm + c1tm−1 + ... + cm, m = [K(x) : K].

De hecho, 1, x, ..., xm−1 es una base de K(x)|K, y si α1, ..., αd es una basede L|K(x), entonces

α1, α1x, ..., α1xm−1, ..., αd, αdx, ...αdx

m−1

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es una base de L|K. La matriz de la transformacion lineal Tx : y 7→ xycon respecto a las bases tiene obviamente un unico bloque a lo largo de ladiagonal, cada uno igual a

0 1 0 ... 00 0 1 ... 0... ... ... ... ...0 0 0 ... 1

−cm −cm−1 −cm−2 ... −c1

Es facil chequear que el polinomio caracterıstico es

tm + c1tm−1 + ... + cm = px(t),

entonces finalmente fx(t) = px(t)d.

El conjunto HomK(L, K) de todos los K-embeddings de L es particionadopor la relacion de equivalencia

σ ∼ τ ⇔ σx = τx

en m clases de equivalencia de d elementos cada una. Si σ1, ..., σm es unsistema de representantes, entonces hallamos

px(t) =M∏i=1

(t− σix),

y fx(t) =∏m

i=1(t− σix)d =∏m

i=1

∏σ∼σi

(t− σx) =∏

σ(t− σx). Esto prueba(i), y ademas tambien prueba (ii) y (iii), despues de Vieta.

(3.7)Corolario: En una torre de cuerpos de extension finitos K ⊆ L ⊆M , uno tiene

TrL|K ◦ TrM |L = TRM |K , NL|K ◦NM |L = NM |K

Dem. Asumamos que M |K es separable. El conjunto HomK(M, K) deK-embeddings de M esta particionado por la relacion

σ ∼ τ ⇔ σ|L = τ |L

en m = [L : K] clases de equivalencia. Si σ1, ..., σm es un sistema derepresentantes, entonces HomK(L, K) = {σi|L | i = 1, ...,m}, y encontramos

TrM |K(x) =m∑

i=1

∑σ∼σi

σx =m∑

i=1

TrσiM |σiL(σix) =m∑

i=1

σiTrM |L(x)

= TrL|K(TrM |L(x))

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De la misma manera resolvemos para la norma.

No necesitaremos el caso inseparable para esta secuencia. De todos modos,se deduce facilmente de lo que hemos mostrado antes, mediante un paso a lasubextension maxima separable M s|K. Para el grado inseparable [M : K]i =[M : M s] uno tiene [M : K]i = [M : L]i[L : K]i y

TrM |K(x) = [M : K]iTrMs|K(x), NM |K(x) = NMs|K(x)[M :K]i

�

El discriminante de una base α1, ..., αn de una extension separable L|Kesta definido por

d(α1, ..., αn) = det((σiαj))2,

donde σi, i = 1, ..., n, varıa sobre los K-embeddings L → K. Porque de larelacion

TrL|K(αiαj) =∑

k

(σkαi)(σkαj),

la matriz (TrL|K(αiαj)) es el producto de las matrices (σkαi)t y (σkαj). Luego

uno tambien puede escribir

d(α1, ..., αn) = det(TrL|K(αiαj))

En el caso especial de una base de tipo 1, θ, ..., θn−1 uno tiene

d(1, θ, ..., θn−1) =∏i<j

(θi − θj)2,

donde θi = σiθ. Esto se ve por multiplicar sucesivamente cada una de lasprimeras (n-1) columnas en la matriz de Vandermonde.

1 θ1 θ2

1 ... θn−11

1 θ2 θ22 ... θn−1

2

... ... ... ... ...1 θm θ2

n ... θn−1n

por θ1 y restando de las siguientes.

(3.8)Proposicion: Si L|K es separable y α1, ..., αn es una base, entoncesel discriminante

d(α1, ..., αn) 6= 0,

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y

(x, y) = TrL|K(xy)

es una forma bilineal no degenerada sobre el K-espacio vectorial L.

Dem. Primero veremos que la forma bilineal (x, y) = Tr(xy) es no de-generada. Sea θ un elemento primitivo para L|K, i.e., L = K(θ). Entonces1, θ, ..., θn−1 es una base con respecto a (x, y) cuya forma esta dada por la ma-triz M = (TrL|K(θi−1θj−1))i,j=1,...,n. Es no degenarada porque, para θi = σiθ,tenemos

det(M) = d(1, θ, ..., θn−1) =∏i<j

(θi − θj)2 6= 0.

Si α1, ..., αn es una base arbitraria de L|K, entonces la forma bilineal (x, y)con respecto a estas bases esta dada por la matriz M = (TrL|K(αiαj)). Deesto sigue que d(α1, ..., αn) = det(M) 6= 0.

�

Despues de revisar la teorıa de cuerpos, retornamos a los dominios integral-mente cerrados A con cuerpo de fracciones K, y a su clausura integral B enla extension separable finita L|K. Si x ∈ B es un elemento integral de L,entonces todos sus conjugados σx son integrales tambien. Teniendo en cuentaque A es integralmente cerrado, i.e., A = B ∩K, (2.6) implica que

TrL|K(x), NL|K(x) ∈ A.

Ademas, para el grupo de inversibles de B sobre A, obtenemos la relacion

x ∈ B ⇔ NL|K(x) ∈ A∗.

Si aNL|K = 1, a ∈ A, entonces 1 = a∏

σ σx = yx para algun y ∈ B. Eldiscriminante es a menudo util por lo siguiente

(3.9)Lema: Sea α1, ..., αn una base de L|K que esta contenida en B, dediscriminante d = d(α1, ..., αn). Entonces uno tiene

db ⊆ Aα1 + ... + Aαn.

Dem. Si a1α = α1 + ... + anαn ∈ B, aj ∈ K, entonces los aj son unasolucion del sistema lineal de ecuaciones

TrL|K(αiα) =∑

j

TrL|K(αiαj)aj,

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y, como TrL|K(αiα) ∈ A, estan dados como el cociente de un elemento de Apor el determinante det(TrL|K(αiαj)) = d. Ademas daj ∈ A, y esto

dα ∈ Aα1 + ... + Aαn.

�

Un sistema de elementos ω1, ..., ωn ∈ B tal que cada b ∈ B puede serescrito de manera unica como una combinacion lineal

b = a1ω1 + ... + anωn

con coeficientes ai ∈ Ai es llamada una base integral de B sobre A (o;una A-base de B). Ya que tal base integral es automaticamente una base deL|K, su longitud n es siempre igual al grado [L : K] del cuerpo extension.La existencia de una base integral significa que B es un A-modulo libre derango n = [L : K]. En general, tal base integral no existe. Si, por otro lado,A es un dominio ideal principal, entonces uno tiene la siguiente proposicionmas general.

(3.10)Proposicion: Si L|K es separable y A es un dominio ideal prin-cipal, entonces todo B-submodulo 6= 0 finitamente generado de L es un A-modulo libre de rango [L : K]. En particular, B admite una base integralsobre A.

Dem. Sea M 6= 0 un B-submodulo finitamente generado de L y α1, ..., αn

una base de L|K. Multiplicando por un elemento de A, podemos acomodarαi para que este en B. Por (3.9), tenemos entonces dB ⊆ Aα1 + ... + Aαn,en particular, rg(B) ≤ [L : K], y como un sistema de generadores del A-modulo B es tambien un sistema de generadores del K-modulo L, tenemosque rg(B) = [L : K]. Sea µ1, ..., µr ∈ M un sistema de generadores del B-modulo M . Existe un a ∈ A, a 6= 0, tal que aµi ∈ B, i = 1, ..., r tal queaM ⊆ B. Entonces

adM ⊆ dB ⊆ Aα1 + ... + Aαn = M0.

De acuerdo con el principal teorema sobre modulos finitamente generadossobre dominios ideales principales, como M0 es un A-modulo libre, entoncestambien lo es adM , y tambien M . Finalmente,

[L : K] = rg(B) ≤ rg(M) = rg(adM) ≤ rg(M0) = [L : K],

luego rg(M) = [L : K].

�

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Es, en general, un problema difıcil producir bases integrales. En situa-ciones concretas puede ser importante. Esto es por lo que la siguiente proposi-cion es interesante. En vez de bases integrales de la clausura integral B de Aen L, ahora vamos a decir, simplemente, bases de la extension L|K.

(3.11)Proposicion: Sean L|K y L|K ′ dos extensiones Galois de gradon y n′ respectivamente, tal que L ∩ L′ = K. Sean ω1, ..., ωn y ω′

1, ..., ω′n′ las

bases integrales e L|K y de L′|K respectivamente, con discriminante d y d′

respectivamente. Supongamos que d y d′ son primos relativos en el sentidoque xd + x′d′ = 1, para adecuados x, x′ ∈ A. Entonces ωiω

′j es una base

integral de LL′, de discriminante dn′d′n.

Dem. Como L ∩ L′ = K, tenemos que [LL′ : K] = nn′, entonces losnn′ productos de ωiω

′j forman una base de LL′|K. Ahora sea α un elemento

integral de LL′, y escribimos

α =∑i,j

aijωiω′j, aij ∈ K.

Tenemos que mostrar que aij ∈ A. Llamemos βj =∑

i aijωi. DadosG(LL′|L′) = {σ1, ..., σn} y G(LL′|L) = {σ′

1, ..., σ′n′}. Entonces

G(LL′|K) = {σkσ′l|k = 1, ..., n, l = 1, ..., n′}

Poniendo

T = (σ′lω

′j), a = (σ′

1α, ..., σ′n′)t, b = (β1, ..., βn′)t,

uno encuentra que det(T )2 = d′ y

a = Tb.

Escribimos T ∗ para la matriz adjunta de T . Entonces expansion de filas-columnas (2.3) da

det(T )b = T ∗a.

Como T ∗ y a tienen entradas integrales en LL′, el producto d′b tieneentradas integrales en L, nombrando d′βj =

∑i d

′aijωi. De este modo d′aij ∈A. Truncando los roles de (ωi) y (ω′

j), uno tiene en la misma manera quedaij ∈ A entonces

aij = xdaij + x′d′aij ∈ A.

Ademas ωiω′j es en efecto una base integral de LL′|K. Calculamos el dis-

criminante ∆ de esta base integral. Como G(LL′|K) = {σkσ′l|k = 1, ..., n, l =

1, ..., n′}, esto es el cuadrado del determinante de la (nn′ × nn′)-matriz

M = (σkσ′lωiω

′j) = (σkωiσ

′lω

′j).

15

Esta matriz es por sı misma una (n× n′)-matriz con matrices de (n× n) deentradas, de las cuales, la (l, j)-entrada es la matriz Qσ′

lω′j donde Q = (σkωi).

En otras palabras,

M =

Q 0...

0 Q

Eσ′1ω

′1 ... Eσ′

n′ω′1

... ... ...Eσ′

1ω′n′ ... Eσ′

n′ω′n′

Aquı E denota la matriz unitaria de (n × n). Por cambio de ındices la

segunda matriz puede ser transformada como luce la primera. Esto produce

∆ = det(M)2 = det(Q)2n′det((σ′

lω′j))

2n = dn′d′n.

�

Observacion: Se sigue de la prueba que la proposicion es valida para arbi-trarias extensiones separables (no necesariamente Galois), si uno asume, encambio de L ∩ L′ = K que L y L′ son disjuntos linealmente.

La principal aplicacion de nuestras consideraciones de algebra concern-eran de la clausura algebraica OK ⊆ K de Z ⊆ Q en un cuerpo numericoalgebraico K. Por proposicion (2.10), todo OK-submodulo finitamente gen-erado a de K admite una Z-base α1, ..., αn,

a = Zα1 + ... + Zαn.

El discriminante

d(α1, ..., αn) = det((σiαj))2

es independiente de la eleccion de la Z-base; si α′1, ..., α

′n es otra base, entonces

la matriz cambio de base T = (aij), α′i =

∑j aijαj, como su inversa, tiene

entradas algebraicas. Ademas tiene determinante ±1, entonces

d(α′1, ..., n

′) = det(T )2d(α1, ..., αn) = d(α1, ..., αn)

Podemos escribir tambien

d(a) = d(α1, ..., αn).

En el caso especial de una base algebraica ω1, ..., ωn de OK obtenemos eldiscriminante del numero algebraico cuerpo K,

dK = d(OK) = d(ω1, ..., ωn).

16

En general, uno tiene

(3.12)Proposicion: Si a ⊆ a′ son dos OK-submodulos finitamente gen-erados no nulos de K, entonces el indice (a′ : a) es finito y satisface

d(a) = (a′ : a)2d(a′).

Todo lo que tenemos que mostrar es que el ındice (a′ : a) es igual al valorabsoluto del determinante de la matriz cambio de base pasando de una Z-base de a a una Z-base de a′. Esta prueba es parte de la bien conocida teorıade los Z-modulos finitamente generados.

4. Ideales

Sea una generalizacion del anillo Z ⊆ Q, el anillo OK de enteros de uncuerpo numerico algebraico K es el centro de nuestra consideracion. Comoen Z, todo α 6= 0 no inversible puede ser factoreado en OK en un productode elementos irreducibles. Si α no es irreducible, entonces puede ser escritocomo un producto de dos no inversibles α = γβ. Entonces por lo visto en elcapıtulo 2, uno tiene

1 < |NK|Q(β)| < |NK|Q(α)|, 1 < |NK|Q(γ)| < |NK|Q(α)|

Ejemplo: El anillo de algebraicos del cuerpo K = Q(√−5), OK = Z +

Z√−5. En este anillo, el entero racional 21 puede ser descompuesto de dos

maneras,

21 = 3 · 7 = (1 + 2√−5)(1− 2

√−5).

Todos estos factores son irreducibles en OK . Si uno tuviera 3 = αβ, con α, βno inversibles, entonces 9 = NK|Q(α)NK|Q(β) implicarıa NK|Q(α) = ±3. Perola ecuacion

NK|Q(x + y√−5) = x2 + 5y2 = ±3

no tiene solucion en Z. De la misma manera podemos ver que 7, 1 + 2√−5,

y 1− 2√−5 son irreducibles. Como las fracciones

1± 2√−5

3,1± 2

√−5

7

no pertenecen a OK , los numeros 3 y 7 son no asociados a 1 + 2√−5 o

1−2√−5. Las dos factorizaciones primas de 21 son esencialmente diferentes.

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Conciente de la falta de generalidad en la teorıa de factorizacion unicase da lugar a uno de los grandes acontecimientos de la teorıa de numeros, eldescubrimiento de la teorıa de ideales por EDUARD KUMMER. Inspiradopor el descubrimiento de los numeros complejos, la idea de Kummer fue quelos enteros de K deben admitir un embedding en un dominio mas grandede los ”numeros ideales”donde la factorizacion unica en ”numeros primosideales”funcione. En el ejemplo de

21 = 3,7 = (1 + 2√−5)(1− 2

√−5),

los factores de la derecha puedan ser descompuestos por numeros primosideales p1, p2, p3, p4, sujeto a las reglas

3 = p1p2, 7 = p3p4, 1 + 2√−5 = p1p3, 1− 2

√−5 = p2p4.

Esto puede resolver el problema de tener mas de una factorizacion en

21 = (p1p2)(p3p4) = (p1p3)(p2p4).

El concepto de Kummer de ”numeros ideales”fue reemplazada por lade ideales del anillo OK . La razon para esto es sencilla de ver: sea cualfuere el numero ideal a, deberıa estar relacionado con cierto numero a ∈ OK

por una relacion de divisibilidad a|a que satisface las siguientes reglas, paraa, b, λ ∈ OK ,

a|a y a|b ⇒ a|a± b; a|a ⇒ a|aλ.

Y un numero ideal a debe estar determinado por la totalidad de susdivisores en OK

a = {a ∈ OK | a | a}.

Pero en vista de estas reglas de divisibilidad, este conjunto es un ideal deOK .

Esta es la razon por la cual RICHARD DEDEKIND reintrodujo losnumeros ideales de Kummer como ideales de OK . Una vez hecho esto, larelacion de divisibilidad a|a puede definirse simplemente como la inclusiona ∈ a, y mas general, la relacion de divisibilidad a|b entre dos ideales porb ⊆ a.

(4.1) Teorema: El anillo OK es noetheriano, integralmente cerrado, ytodo ideal primo p 6= 0 es un maximal ideal.

18

Dem. OK es noetheriano porque todo ideal a es un Z-modulo finitamentegenerado por (3.10), y ademas, a priori, un OK-modulo finitamente generado.Por lo visto en el capıtulo 2, ϑK es tambien integralmente cerrado, siendo laclausura integral de Z en K. Entonces nos queda por mostrar que cada idealprimo p 6= 0 es maximal. Ahora, p ∩ Z es un primo ideal no nulo (p) en Z:que es primo es claro, y si y ∈ p, y 6= 0, y

yn + a1yn−1 + ... + an = 0

es una ecuacion para y con ai ∈ Z, an 6= 0, entonces an ∈ p ∩ Z. Eldominio integral O = OK/p surge desde k = Z/pZ por elementos algebraicoscontiguos y es entonces un cuerpo (recordar el hecho de que k[α] = k(α), siα es algebraico). Entonces p es un maximal ideal.

(4.2) Definicion. Un noetheriano, dominio integralmente cerrado en elcual todo ideal primo no nulo es maximal es llamado un dominio Dedekind.

Como los anillos de la forma OK pueden ser vistos como generalizacionesdel anillo Z, los dominios Dedekind pueden ser vistos como generalizacionesde los dominios ideales principales. En efecto, si A es un dominio ideal princi-pal con cuerpo de fracciones K, y L|K es un campo extension finita, entoncesla clausura integral B de A en L no es, en general, un dominio ideal principal,pero siempre es un dominio Dedekind.

En vez del anillo OK , consideraremos ahora un dominio Dedekind Oarbitrario, y denotaremos por K al cuerpo de escalares de O. Dados dosideales a y b de O (o mas generalmente, de un anillo arbitrario), la relacionde divisibilidad a|b esta definida por b ⊆ a, y la suma de ideales por

a + b = {a + b | a ∈ a, b ∈ b}

Este es el ideal mas pequeno que contiene tanto a a como a b, en otraspalabras, es el maximo comun divisor de a y b. Por lo mismo, tomando lainterseccion a ∩ b conseguimos el mınimo comun multiplo de a y b. Definimosel producto de a y b por

ab = {∑

i

aibi | ai ∈ a, bi ∈ b}

(4.3)Teorema: Todo ideal a de O diferente de (0) y (1) admiten unafactorizacion

a = p1...pr

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en ideales primos no nulos pi de O que es unica excepto por el orden delos factores.Este teorema esta perfectamente en linea con la invencion de los ”numero ide-ales”. Sin embargo, el hecho de que funciona es remarcable porque su pruebaesta lejos de ser sencilla. Para su demostracion enunciaremos dos lemas.

(4.4)Lema: Para todo ideal a de O existen ideales primos no nulosp1, p2, ..., pr tal que

a ⊇ p1p2...pr.

Dem. Supongamos que el conjunto M de cuyos ideales que no cumplenesta condicion es no vacıo. Como O es noetheriano, toda cadena ascendientede ideales se detiene. Entonces M es inductivamente ordenado con respec-to a la inclusion y entonces admite un elemento a. Este no puede ser unideal primo, entonces existen elementos b1, b2 ∈ O tal que b1b2 ∈ a, perob1, b2 6∈ a. Tomamos ahora a1 = (b1)+a, a2 = (b2)+a. Entonces a $ a1, a $ a2

y a1a2 ⊆ a. Por la maximalidad de a, a1 y a2 contienen un producto de ide-ales primos, y el producto de estos productos esta contenido en a, ABSURDO.

�

(4.5)Lema: Sea p un ideal primo de O y definimos

p−1 = {x ∈ K | xp ⊆ O}

Entonces uno tiene ap−1 := {∑

i aixi, xi ∈ p−1} 6= a, para todo ideala 6= 0.

Dem. Sea a ∈ p, a 6= 0 y p1p2...pr ⊆ (a) ⊆ p, con r tan chico comosea posible. Entonces uno de los pi, digamos p1, esta contenido en p, y en-tonces pi = p porque p1 es un ideal maximal. (En efecto, si ninguno de los pi

esta contenido en p, entonces para todo i existe ai ∈ pi\p tal que a1...ar ∈ p.Pero p es primo.) Como p2...pr * (a), existe b ∈ p2...pr tal que b 6∈ aO, i.e.,a−1b 6∈ O. Por otro lado, tenemos que bp ⊆ (a), i.e., a−1b ∈ p−1. Se sigue quep−1 6∈ O.

Ahora sea a 6= 0 un ideal de O y α1, ..., αn un sistema de generadores. Yasumamos que ap−1 = a. Entonces para todo x ∈ p−1,

xαi =∑

j

aijαj, aij ∈ O.

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Escribiendo A para la matriz (xδij − aij obtenemos A(α1, ..., αn)t = 0.Por (2.3), el determinante d = det(A) satisface dα1 = ... = dαn = 0 y,por lo tanto, d = 0. Se sigue que x es integral sobre O, siendo una raizdel polinomio monico f(X) = det(Xδij − aij) ∈ O[X]. Luego x ∈ O. Estosignifica que p−1 = O, ABSURDO.

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Dem. de (4.3):I. Existencia de la factorizacion ideal prima. Sea M

el conjunto de todos los ideales diferentes de (0) y (1) que no admiten unadescomposicion ideal prima. Si M es no vacıa, entonces argumentamos comopara (3.4) que existe un elemento maximal a en M. Este esta contenido enun ideal maximal p, y la inclusion O ⊆ p−1 nos da

a ⊆ ap−1 ⊆ pp−1 ⊆O.

Por (4.5), uno tiene a $ pp−1 ⊆ O. Como p es un ideal maximal, se sigueque pp−1 = O. En vista de la maximalidad de a en M y como a 6= p, i.e.ap−1 6= O, el ideal ap−1 admite una descomposicion ideal prima ap−1 =p1...prp, ABSURDO.

II. Unicidad de la factorizacion ideal en primos. Para un ideal primo p

uno tiene: ab ⊆ p ⇒ a ⊆ p o b ⊆ p, i.e., p | ab ⇒ p | a o p | b. Sea

a = p2...pr = q2...qs.

Continuando esto veremos que r = s y, posiblemente despues de renu-merar, pi = qi, para todo i = 1, ..., r.

�

Agrupando la cantidad de ideales primos iguales en la factorizacion idealen primos de un ideal a 6= 0 de O, nos da una representacion producto

a = pv11 ...pvr

r , vi > 0.

En esta secuencia, tal identidad, sera automaticamente entendida comosignificando que los pi son distintos de a pares. Si en particular, a es unideal principal (a), entonces-siguiendo la tradicion que tiende a atribuir alos ideales el rol de ”numeros ideales escribiremos con un poco de abuso denotacion

a = pv11 ...pvr

r .

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De manera similar, la notacion a|a es a menudo usada en vez de a|(a)y (a, b) = 1 es escrito para dos ideales relativamente primos, en vez de laformula correcta (a, b) = a + b = O. Para un producto a = a1...an de ide-ales relativamente primos a1, ..., an uno tiene una analogıa del bien conocido”Teorema Chino del Resto”de la teorıa elemental de numeros. Formularemoseste resultado para un anillo arbitrario tomando en cuenta que

a =n⋂

i=1

ai.

En efecto, como ai|a, i = 1, ..., n encontramos por un lado que a ⊆ ∩ni=1ai,

y para a ∈ ∩iai encontramos que ai|a, y ademas, siendo los factores relativa-mente primos tenemos a = a1...an|a, i.e., a ∈ a.

(4.6) Teorema Chino del Resto: Sean a1, ..., an ideales en un anillo Otal que ai + aj = O para i 6= j. Entonces, si a = ∩n

i=1ai uno tiene

O/a ∼=n⊕

i=1

O/ai.

Dem. El homomorfismo canonico

O →n⊕

i=1

O/ai, a 7→n⊕

i=1

a mod ai,

tiene nucleo a = ∩i ai. Es, por lo tanto, suficiente mostrar que es suryectiva.Para esto, sea xi mod ai ∈ O/ai, i = 1, ..., n dado. Si n = 2, podemos escribir1 = a1 + a2, ai ∈ ai, y poniendo x = x2a1 + x1a2 obtenemos x ≡ xi modai, i = 1, 2.

Si n > 2, podemos encontrar, como antes, un elemento y1 ∈ O tal que

y1 ≡ 1 mod a1, y1 ≡ 0 modn⋂

i=2

ai,

y, por la misma demostracion, elementos y2, ..., yn tal que

yi ≡ 1 mod ai, yi ≡ 0 mod aj para i 6= j.

Poniendo x = x1y1 + ... + xnyn encontramos x ≡ xi mod ai, i = 1, ..., n.Esto prueba que es suryectiva.

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�

Ahora sea O un dominio Dedekind nuevamente. Tal como para numerosno nulos, podemos obtener inversos para ideales no nulos de O introducien-do la nocion de ideal fraccional en el cuerpo de fracciones K.

(4.7) Definicion: Un ideal fraccional de K es un O-modulo finita-mente generado a 6= 0 de K.

Por ejemplo, un elemento a ∈ K∗ define el ”ideal principal”fraccional(a) = aO. Obviamente, como O es noetheriano, un O-submodulo 6=0 de Kes un ideal fraccional si y solo si existe c ∈ O, c 6= 0, tal que ca ⊆ O es unideal del anillo O. Ideales fraccionales son multiplicados de la misma maneraque los ideales en O. Para distincion la ultima manera, de ahora en adelante,se llaman ideales integrales de K.

(4.8)Proposicion: Los ideales fraccionales forman un grupo abeliano, elgrupo ideal JK de K. El elemento identidad es (1) = O, y el inverso de a

es

a−1 = {x ∈ K | xa ⊆ O}.

Dem. Uno obviamente tiene asociatividad, conmutatividad y a(1) = a.Para un primo ideal p, (3.5) dice que p $ pp−1 = O porque p es maximal.Consecuentemente, si a = p1...pr es un ideal integral, entonces b = p−1

1 ...p−1r

es un inverso. ba = O implica que b ⊆ a−1. Inversamente, si xa ⊆ O, entoncesxab ⊆ b, luego x ∈ b porque ab ⊆ O. De este modo, tenemos b = a−1.Finalmente, si a es un ideal fraccional arbitrario y c ∈ O, c 6= 0, es tal queca ⊆ O, entonces (ca)−1 = c−1a−1 es el inverso de ca, entonces aa−1 = O.

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(4.9)Corolario: Todo ideal fraccional a admite una unica representacioncomo un producto

a =∏

p

pvp

con vp ∈ Z y vp = 0 para casi todo p. En otras palabras, JK es el grupoabeliano libre sobre el conjunto de ideales primos no nulos p de O.

Dem. Todo ideal fraccional a es un cociente a = b/c de dos ideales inte-grales b y c, que, por (3.3) tiene una descomposicion en primos. Por tantoa tiene una descomposicion en primos del tipo sealado en el corolario. Por(3.3), es unico si a es integral, y entonces, claramente tambien en general.

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�

Los ideales principales fraccionales (a) = aO, a ∈ K∗, forman un sub-grupo de los ideales de grupos JK , que denotaremos PK . El grupo cociente

ClK = JK/PK

es llamado el grupo clase ideal, o grupo clase, de K. Junto con el grupode inversibles de O∗ de O, se integra en la secuencia exacta

1 → O∗ → K∗ → JK → ClK → 1,

donde la flecha en el medio esta dada por a 7→ (a). Entonces el grupo claseclK mide la expansion que toma lugar cuando paramos de numeros a ideales,mientras que el grupo de inversibles O∗ mide la contraccion en el mismoproceso.

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