04 estructuras algebraicas

Estructuras Algebraicas

Trabajo Práctico Nº 4 Estructuras Algebraicas

1. Determinar en cada caso si el par ( G, * ) es grupoa) G1 = { x / x = 2k, k Z } ; * es el producto ordinario.b) G2 = { x / x = 3 k , k N } ; * es la adiciónc) G3 = { 1; -1 } ; * es el producto ordinario

2. Sea A = { x R / x = a + b ; a Z b Z }. Comprobar que A es un anillo conmutativo y con unidad con la suma y el producto ordinario de números reales.

2

3. Sea K = { 0, 1 } y la suma y el producto definidos en K, según las siguientes tablas :

* 0 1

0 0 1

1 1 0

0 1

0 0 0

1 0 1

Probar que estas operaciones definen

sobre K una estructura de cuerpo.

4) Completar los siguientes enunciados para que resulten proposiciones verdaderas : En R2 = C se define la relación de equivalencia : (a, b) (c, d) En R2 = C se define la adición y la multiplicación mediante (a, b) + (c, d) = . . . . . . . . (a, b) * (c, d) = . . . . . . . .

21 zz 21 zz

ii) (C, +) tiene estructura de . . . . . . . (C, *) tiene estructura de . . . . . . . (C, +, *) tiene estructura de . . . . .

iii) Un complejo es real . . . . . . . .un complejo es imaginario . . . .

iv) En C es : i0 = i1 = i2 = i3 = i4q+r=

v) Si z = (a, b) = . . .; - z = . . . . ; z -1 = . . . . = . . . . . = . . .

z

5) Resolver las ecuaciones siguientes indicando a qué campo numérico pertenecen las soluciones :

a) x2 – 1 = 0 b) x2 – 3 = 0 c) x2 + 1 = 0 d) x2 + 3x + 3=0

6) Dados los números complejos :

i223

z2 )3,5(z1 i42z3 )2,2(z4

a) Representarlos gráficamente c) Expresar z2 y z3 en forma de pares ordenados

b) Expresar z1 y z4 en forma binómica d) Hallar y representar gráficamente z4 e) Calcular y representar

gráficamente 21 zz)i )zz(2z)ii 122 1323 zzzz)iii

f) Calcular :

21 zz)i 14

3

zz

)ii 2

13

zzz

)iii

9) Determinar z tal que : a) 3 z +z = 3 + 5 i b) i z - 2z = - 6 i c) z + iz = 3 + 5 i

10) Resolver las siguientes ecuaciones en el campo complejo. En todos los casos z es un número complejo ; despejarlo y calcular su valor :

i73z)i25()i )5,3()4,3(

z)ii i36

i2i3z2

zz

)iii

11) Determinar x para que el producto (3 - 6 i) (4 + x i) sea : a) un número real b) un número imaginario puro

12) Si B = { 1, 2, 3, 6 } con las operaciones * y donde * denota mínimo común múltiplo y denota máximo común divisor ; Analizar si (B, *, ) resulta un modelo de Algebra de Boole, donde los neutros son respectivamente 1 y 6.

13) Probar que en un Algebra de Boole las siguientes condiciones son equivalentes :

i) a b´ = 0 ii) a * b = b iii) a´ * b = 1 iv) a b = a

14) Aplicar la propiedad anterior al Algebra de Proposiciones

15) Probar que a, b B : a) (a * b) (a * b´) = a b) (a b) * (a b´) = a

16) Aplicar la propiedad anterior al Algebra de Conjuntos

Estructuras AlgebraicasFrecuentemente la primera dificultad que encuentra el alumno en el

estudio de las Estructuras Algebraicas es asimilar la existencia de operadores como * que expresan operaciones que no tienen porqué ser las clásicas conocidas de adición, diferencia, producto, cociente,

etc. Sino que pueden expresar otras formas de composición (operaciones definidas por una ley de variación que puede o no expresarse

en fórmulas)

* a b

a a b

b b a

* 0 1

0 0 1

1 1 0

Tabla 1

Tabla 2

Según la tabla 2, el operador * genera los siguientes resultados:

0 * 0 = 0 Si G = { 0, 1 }Notemos que todos los resultados de

operar algún elemento de G con otro elemento del mismo conjunto (incluso

consigo mismo) . . .Son elementos del mismo conjunto G ( 0 ó 1 )entonces

* Es una Ley de Composición interna en G* Es una Ley de Composición interna en G

1 * 0 = 1

0 * 1 = 11 * 1 = 0

* se lee “asterisco”

Si una operación * respecto de los elementos de un conjunto G

que se escribe: (G, *), verifica que:

1) G2 G * es una Ley de composición interna en G

2) a, b, c : a, b, c G (a * b) * c = a * (b * c) Asociativa

Definida una operación * si el resultado de operar dos elementos cualesquiera de G con * es otro elemento de G, hay L.C.I.

Definida una operación * si con tres elementos cualesquiera de G la operación * responde a la propiedad asociativa

(G, *) tiene estructura de semi-grupo si además

3) e G / a : a G a * e = e * a = a Existe Elemento Neutro

Definida una operación * si en el conjunto G existe al menos un elemento “e”, que al operarlo con cualquier otro elemento “a” de G, resulta el mismo elemento “a”

4) a : a G, a´ G / a * a´ = a´ * a = e Existe Elemento Inverso

Definida una operación * si para cada elemento de G existe al menos un elemento a´ que al operar con a dá como resultado el neutro e

(G, *) tiene estructura de grupo

1a1a 1b1b 1c1c

Si además de cumplirse las cuatro condiciones anteriores - lo que hace a (G,*) Grupo -

5) a, b : a, b G a * b = b * a Conmutativa

(G, *) tiene estructura de grupo abeliano ó grupo conmutativo

Sea una estructura algebraica definida en un conjunto G con dos leyes de composición * y

(G, * ) es Anillosi . . .

1) (G, *) es Grupo abeliano

2) (G, ) es semi Grupo

3) es distributivo a izquierda y derecha respecto de *

a, b, c G : a (b * c) = (a b) * (a c)

(b * c) a = (b a) * (c a)

Si la segunda ley de composición es conmutativa,

(G, * ) es AnilloConmutativo

Si (G * ) es Anillo

Y además posee elemento neutro respecto de (G * ) es Anillo con

Unidad

Un Anillo con unidad cuyos elementos no nulos son inversibles se llama Anillo Anillo con divisióncon división

Si un Anillo con división es conmutativo, se llama CuerpoCuerpo

1) (G, *) es Grupo abeliano

2) (G , ) es Grupo abeliano, salvo que el 0 no es inversible

3) es distributivo respecto de *

Ejemplo: (Z, * (Z, * )) donde * es la adición (suma) y es el producto ordinario

No es cuerpoNo es cuerpo, pues los únicos elementos no nulos que admiten inverso multiplicativo son 1 y - 1

(R, * (R, * )) donde * es la adición (suma) y es el producto ordinario

Es CuerpoEs Cuerpo

1) a) Si G1 = { x / x = 2k, k Z } ; * es el producto ordinario

Sean k, t Z

2k · 2t = 2(k + t) Si k, t Z (k + t) Z Luego 2(k + t)

G1

2k · (2t · 2s) = 2k · 2(t + s) = 2k + ( t + s) = 2( k + t ) + s = 2( k + t ) · 2s = (2 k · 2 t ) ·

2s

Asociatividad

2 k · e = 2 k · 2 t = 2 ( k + t ) = 2 k

Existencia de Elemento Neutro Para cada 2k debe existir 2t = e con t Z

Entonces 2t = 2 0 es un elemento del conjunto G1

Existencia de Elemento InversoSi e = 20 (ya demostrado)

2k · x = 20 = 1 2k 2t = 20 k + t = 0

Entonces t = -k lo que es claro que t Z y 2t G1

Conmutativa

2k 2t = 2 (k + t) = 2 ( t + k) = 2 t 2 k

valiéndonos de la conmutatividad de la suma

en Z

(G, * ) es Grupo Abeliano(G, * ) es Grupo Abeliano

k + t = k entonces t = 0 0 Z

1 c1 c1 b1 b

Entonces * es L.C.I. En G1

1) b) Si G2 = { x / x = 3 k , k N } ; * es la adición (+)

G2 es un conjunto conformado por todos los naturales múltiplos de 3 ;

. . . entre otros : si k = 1 , x = 3 ; si k = 2 , x = 6 ; k = 3 , x = 9 . . . .

Para k, t N

3k + 3t = 3 (k + t)

Pero (k + t) N LCI ok

Asociatividad Debe verificarse que 3 k + ( 3 t + 3 s ) = ( 3 k + 3 t) + 3 s

3 k + ( 3 t + 3 s ) = 3 k + 3 (t + s) = 3 [k + (t + s)] =

3 [(k + t) + s)] = 3 (k + t) + 3 s = (3 k + 3 t) + 3 s

Se acepta la asociatividad de la adición para los números

naturales

Existencia de Elemento Neutro en G para *

Si existe e (neutro) en G, tendrá la forma e = 2t donde t N

3 k + 3 t = 3 k si 3 t = e

Entonces 3 k + 3 t = 3 (k + t) = 3 k

Luego ( k+ t ) = k t = 0

Pero 0 N entonces . . .

NO Existe Elemento Neutro en G para *

( G( G22, * ) No es Grupo, * ) No es Grupo1 c1 c

1) c) Si G3 = { 1; -1 } ; * es el producto ordinario

Por tratarse de un conjunto finito y con pocos elementos, algunas condiciones pueden ser analizadas para cada situación . . . 1 · 1 = 1 G3

-1 · 1 = -1 G3

-1 · -1 = 1 G3

1 · -1 = -1 G3Se verifica que * es L.C.I. en G3

Podemos admitir que la Asociatividad “se hereda” de la asociatividad del producto entre elementos del conjunto de los

números enterosSabemos que para el producto existe neutro en Z, pero debemos verificar que ese neutro G3

-1 · e = -1 e = 1

1 · e = 1 e = 1

1 G3

Existe neutro

Analizamos si cada elemento de G3 admite inverso en G3

1 · x = e = 1 x = 1

-1 · x = e = 1 x = -1

Los elementos de G3 admiten

inversoPodemos admitir que la Conmutatividad “se hereda” de la

conmutatividad del producto entre elementos del conjunto de los números enteros

( G( G33, * ) es Grupo Abeliano, * ) es Grupo Abeliano

2) Sea A = { x R / ; a Z b Z }. Comprobar que A es un anillo conmutativo y con unidad con la suma y el producto ordinario de números reales.

Supongamos dos elementos cualquiera que pertenecen al conjunto A; ellos son :

2ba

2dc

2bax

Analizamos (A, *); en este caso * es la suma, analizamos entonces (A, +)

)dc()ba( 22 2)db()ca( conZca

Zdb

* es L.C.I. * es L.C.I. en Aen A

La AsociatividadAsociatividad se “hereda” de la asociatividad de la suma para los números reales, porque es evidente que si a, b, c y d son números enteros; R R

Supongamos que existe nulo y es 2dc entonces + = es nulo

)ba()dc()ba( 222 esto es posible para c = 0 y d = 0

c c Z Z d d Z Z A ALo que prueba la existencia de Lo que prueba la existencia de

neutro en A para la sumaneutro en A para la suma

Si existe elemento inverso para cada elemento de A

+ = 0 es inverso de

),()dc()ba( 20022 ),()db()ca( 20022

),()db()ca( 2002 Debe ser a + c = 0

c = - a Z

b + d = 0

d = - b Z

A)ba()dc( 22Prueba la existencia de Prueba la existencia de inversoinverso

La ConmutatividadConmutatividad se “hereda” de la conmutatividad de la suma para los números reales, porque es evidente que si a, b, c y d son números enteros; R R

(A, *) es Grupo Abeliano(A, *) es Grupo AbelianoAnalizamos ahora ( A, )

donde es el producto ordinario

)dc()ba( 22 2222 )(bdbcadacaplicando distributiva

22 )bcad()bdac( A

es LCI en A es LCI en A

porque . . .

ac + 2bd Z ad + bc Z

La AsociatividadAsociatividad se “hereda” de la asociatividad del producto para los números reales, porque es evidente que si a, b, c y d

son números enteros; R R (de la misma manera se verifica también la conmutativaconmutativa

(A, (A, ) es Semi Grupo ) es Semi Grupo

es doblemente distributivo respecto de es doblemente distributivo respecto de * *

, , A : ( * ) = ( ) * ( )

( * ) = ( ) * ( )

, , son números reales y sabemos que en el conjunto de los números reales el producto es distributivo respecto de la

suma

( A, *, ( A, *, ) Es Anillo ) Es Anillo ConmutativoConmutativo

3) Sea K = { 0, 1 } y la suma y el producto definidos en K, según las siguientes tablas :

* 0 1

0 0 1

1 1 0

0 1

0 0 0

1 0 1

Probar que estas operaciones definen

sobre K una estructura de cuerpo.

Analizamos ( K, * )

De observar la tabla del operador * resulta que todos los resultados posibles son elementos del conjunto K0 * 0 = 0 0 * 1 = 1 1 * 0 = 1 1 * 1 = 0

* Es L.C.I. en K

Asociativa ; verificamos . . . por ejemplo

( 0 * 1 ) * 0 = 1 * 0 = 1 0 * ( 1 * 0 ) = 0 * 1 = 1

El 0 es neutro; 0 * 0 = 0 y 0 * 1 = 1

0 * 0 = 0 El inverso para 0 es 0 1 * 1 = 0 El inverso para 1 es 1

De analizar la tabla, comprobará también que * es conmutativo

( K, * ) Es Grupo Abeliano( K, * ) Es Grupo Abeliano

sabiendo que * y son asociativasy es doblemente distributiva respecto de *

Analizamos ( K – {0}, ) 0 1

0 0 0

1 0 1

De observar la tabla del operador resulta que todos los resultados posibles son elementos del conjunto K

Asociativa ; verificamos . . . por ejemplo

( 0 1 ) 0 = 0 0 = 0 0 ( 1 0 ) = 0 0 = 0

Existe neutro en K para pues 1 0 = 0 y 1 1 = 1 el neutro es el 1El inverso para 1 es 1 1 1 = 1

( K, ( K, ) Es Grupo Abeliano, ) Es Grupo Abeliano, salvo que el 0 no es inversiblesalvo que el 0 no es inversible

0 0 = 0 0 1 = 0 1 0 = 0 1 1 = 1 L.C.I. de en K

De analizar la tabla, comprobará también que es conmutativo

y sabemos que es doblemente distributivo respecto de *

por ejemplo . . .

( K, *, ( K, *, ) Es Cuerpo ) Es Cuerpo

( 0 * 1 ) 0 = 1 0 = 0 ( 0 0 ) * ( 1 0 ) = 0 * 0 = 00 ( 0 * 1 ) = 0 0 = 0 ( 0 0 ) * ( 0 1 ) = 0 * 0 = 0

Números Complejos

Sabemos que la solución de la raíz cuadrada de un número real negativo no tiene solución en reales

i 1 donde i es un número que llamamos imaginario

y no tiene ubicación en la recta de los números

reales

Recuerde siempre que si

11 2 ii

Con un binomio formado por una parte real y una parte imaginaria, formamos un número complejo

z = a + bi

Parte real

Parte imaginaria

Lo representamos gráficamente en un par de ejes cartesianos

Llevando en el eje de las abscisas la parte realY en el eje de las ordenadas la parte imaginaria El punto de intersección de la parte

real con la imaginaria es un punto en el “plano de los complejos”

Por otro lado, a cada complejo le está asociado un vector con inicio en el

origen de coordenadas y extremo en el punto determinado por el par ordenado

(a, b)

55

9 a9 a

7 a-d7 a-d

7 b-c-e i/ii7 b-c-e i/ii

7 e iii7 e iii 7 f i/ii7 f i/ii 7 f iii7 f iii

9 b9 b 9 c9 c

10 i10 i 10 i / ii10 i / ii

Definido el complejo z = a + bi

Expresado en forma de binomio

Podemos pasarlo a la forma de par ordenado, donde la primera componente es la parte real del complejo

z = a + bi z = a + bi = =

( a,( a,Y la segunda componente es la parte imaginaria (se coloca solo

el valor de b –sin i-)b )b )

Si z = a + bi cuya representación gráfica es

definimos el conjugado de z

biaz

como un número complejo con la misma parte real que zy su componente imaginaria es la opuesta de

la componente imaginaria de z

también podemos definir el opuesto de z

biaz como un número complejo cuya componente real es el número opuesto de

la componente real de z

y su componente imaginaria es el número opuesto de la componente imaginaria de z

z = a + z = a + bibi

z = a - z = a - bibi

-z = -a - bi-z = -a - bi55 99

55

9 a9 a

7 a-d7 a-d



9 b9 b 9 c9 c

10 i10 i 10 i / ii10 i / ii

Operaciones con números complejos

Si dos números complejos se presentan en forma de binomio, se los puede sumar como cualquier binomio

biaz 1 dicz 2 )dic()bia(zz 21

las partes reales entre sí y las partes imaginarias entre sí

)dibi()ca(zz 21

sacamos el imaginario i como un

factor común i)db()ca(

Si los complejos se presentan en forma de par ordenado

)b,a(z 1 )d,c(z 2

Se opera de la misma manera, las partes reales entre sí y las partes imaginarias

entre sí

)d,c()b,a(zz 21

)db,ca(zz 21

Si se trata de una diferencia )dic()bia(zz 21

dicbiazz 21 i)db()ca(

)d,c()b,a(zz 21 )db,ca(

55 77 9-109-10

55

9 a9 a

7 a-d7 a-d



9 b9 b 9 c9 c

10 i10 i 10 i / ii10 i / ii

GráficamenteSean biaz 1 dicz 2

Para sumar gráficamente los complejos

1) Una vez representados gráficamente los complejos z1 y z2 como ya hemos visto

A los efectos de limpiar el gráfico borramos las

líneas auxiliares2) Por el extremo de z2 trazo una recta paralela a z1

3) Y por el extremo de z1 trazo una recta paralela a z24) Donde se intersectan ambas paralelas se encuentra el extremo de un nuevo vector que tiene inicio en el origen de coordenadasy representa z1 + z2

5) El valor de abscisa que le corresponde al vector resultante es la parte real del resultado de la suma de números complejos

6) El valor de la ordenada que le corresponde al vector resultante es la parte imaginaria del resultado de la suma de números complejos

Obviamente, los resultados por métodos analíticos y gráficos deben coincidir

siempre55 77 9-109-10

55

9 a9 a

7 a-d7 a-d



9 b9 b 9 c9 c

10 i10 i 10 i / ii10 i / ii

Producto biaz 1 dicz 2

)dic()bia(zz 21Sean

Se aplica propiedad distributiva como si se tratara de dos binomios cualquiera cazz 21 dia cbi dibi

aczz 21 adi bci 2bdi )(bdi)bcad(ac 1

i)bcad()bdac(zz 21

El producto (bidi) se resuelve multiplicando bdi i que resulta bdi2

Sacamos como factor común el imaginario i Recuerde que i2 = - 1

)d,c()b,a(zz 21

En forma de par ordenado . . .

)bcad;bdac(

55 77 9-109-10

55

9 a9 a

7 a-d7 a-d



9 b9 b 9 c9 c

10 i10 i 10 i / ii10 i / ii

Cocientebiaz 1 dicz 2Sean

Para resolver el cociente

)dic()bia(

zz

2

1

Siempre se multiplica y se divide la expresión por el conjugado del denominador

)dic()dic(

)dic()bia(

zz

2

1

Luego se procede como en cualquier producto entre números

complejos, multiplicando los numeradores entre sí y los

denominadores entre sí

222

2

idcdicdicbdibciadiac

Observe que tenemos ahora una diferencia de cuadrados en el

denominadorA esta situación siempre llegamos porque, precisamente para eso es que hemos multiplicado

y dividido la expresión por el conjugado del denominadorDe esa manera,

en el denominador

siempre habrá un número real

22 dc

i)bcad(bdac

Obteniendo así como resultado del cociente entre complejos, otro número complejo

idc

)bcad(

dc

)bdac(zz 222221

55 77 9-109-10

55

9 a9 a

7 a-d7 a-d



9 b9 b 9 c9 c

10 i10 i 10 i / ii10 i / ii

en forma de binomio z = a +

b i bia)b;a(z bia)b;a(z

5) Completar los siguientes enunciados para que

resulten proposiciones verdaderas :

i) En R2 = C se define la relación de equivalencia : (a, b) = (c, d)

a = c b =

dEn R2 = C se define la adición y la multiplicación

mediante (a, b) + (c, d) =

(a + c; b + d) (a, b) * (c, d) = (ac - bd; ad +

bc)ii) (C, +) tiene estructura de

Grupo Abeliano

(C, *) tiene estructura de“cuasi” Grupo Abeliano; puesto que (0,0) no es

inversible (&)(C, +, *) tiene estructura de

Cuerpo

iii) Un complejo es real su parte imaginaria es 0

un complejo es imaginario

su parte real es 0

iv) En C es : i0 =

1 i2 =- 1 i3 =

- i i4q+r = i r

v) Si z = (a, b)

Nº Nº complejocomplejoz ; - z; 1/zz ; - z; 1/z

productoproducto

cocientecociente

suma-restasuma-resta

operac. operac. gráf.gráf.

(&) “cuasi” Grupo Abeliano es Semi-grupo conmuitativo con elemento

neutro

22221

bab

;ba

az i

ba

b

ba

a

ba

b

ba

az 22222222

1

21 zz resolvemos primero la suma

)db,ca()d,c()b,a(zz 21

Y luego hallamos el conjugado de la suma

)db,ca(zz 21

21 zz resolvemos primero el producto

)cbad,bdac()d,c()b,a(zz 21

Y luego hallamos el conjugado del producto

)cbad,bdac(zz 21

En forma de binomio

i)db()ca()dic()bia(zz 21

el conjugado de la suma

i)db()ca(zz 21

En forma de binomio

i)adbc()bdac()dic()bia(zz 21

el conjugado del producto

i)adbc()bdac(zz 21

productoproducto

cocientecociente


Nº Nº complejocomplejo

z ; - z; 1/zz ; - z; 1/z suma-restasuma-resta

6 a) Para resolver x2 – 1 = 0

despejamos x

012 xPasamos –1 al 2º miembro

12 xY la

potencia como raíz

1x

entonces xx1 1 = 1 = 1 xx2 2 = - 1= - 1

con xcon x1,1,, x, x22 ZZ b) Para resolver x2 – 3 =

0despejamos x

032 xPasamos –3 al 2º miembro

32 xY la

potencia como raíz

3x

entonces xx1 1 = = xx2 2 = =

con xcon x1,1,, x, x22 I I (irracionales)(irracionales)

3 3

c) Para resolver x2 + 1 = 0

despejamos x

012 xPasamos 1 al 2º miembro

12 xY la

potencia como raíz

1x

entonces xx1 1 = i = i xx2 2 = - i= - i

con xcon x1,1,, x, x22 C C

la raíz cuadrada de un número

negativo resulta siempre un imaginario

6 d6 d

d) Para resolver x2 + 3x + 3= 0

aplicamos la fórmula que resuelve la

ecuación de segundo gradoUna ecuación completa de 2º

grado tiene la forma

02 cbxax

y la solución

aacbb

x2

42

21

En la ecuación x2 + 3x + 3= 0

a = 1

b = 3 c = 3

12

31433 2

21x

21293

233

21xix

23

23

1

ix23

23

2

con xcon x1,1,, x, x22 C C

7 a) Dados los números complejos :

i223

z2 )3,5(z1 i42z3 )2,2(z4

Por el valor real de z1 trazamos una paralela al eje de los imaginariosPor el valor imaginario de z1 trazamos una paralela al eje de los reales Donde se intersectan ambas paralelas,

tenemos el extremo del vector que representa z1 y tiene inicio en el origen de

coordenadasz2 y z3 se representan con idéntico procedimientoPara representar gráficamente z4 tomamos los valores aproximados

de tanto en la parte real como imaginaria

usamos el mismo valor real que para z4pero a la parte imaginaria le cambiamos el signo

7 d) Para representar

4z

iz 224

2

7 f iii7 f iii7 f i/ii7 f i/ii7 e iii7 e iii7 b-c-e i/ii7 b-c-e i/ii



productoproducto

cocientecociente


iz 223

2

)3,5(z1

iz 423

)2,2(z4

en forma de binomio es iz 351

en forma de par ordenado es

),(z 223

2

en forma de par ordenado es

),(z 423

en forma de binomio es iz 224

)zz()ii 122

7 e) Para calcular

21 zz)i pasamos z1 a la forma de binomio y hallamos

iz 223

2

)i()i(zz 223

3521 ii 223

35 agrupando reales por un lado e imaginarios por

otro i)()( 2323

5 i527

)]i()i[( 35223

2

resuelvo primero la diferencia de números complejos

]ii[ 35223

2 )i( 5213

2para multiplicar un

entero por un complejo, aplicamos distributiva

del entero en el complejoi)i()( 101352

213

2

7 b) c)

7 f iii7 f iii7 f i/ii7 f i/ii7 e iii7 e iii



productoproducto cocientecociente


132 zzzz)iii )i()i()i( 3542223

iii 3542223

procedemos de igual manera que si hubiera sido la suma de dos complejos, eliminamos los paréntesis

aplicando la regla de los signos

)iii()( 3425223

i9211

para sumar gráficamente

)i()i(zz 223

3521 con z1 y z2 representados

buscamos iz 223

2

por el extremo de z1 trazo una paralela a por el extremo delas paralelas se intersectan en el extremo del vector suma y su inicio está en el origen de

coordenadasbuscamos conocer la

componente real del vector resultante, y la componente

imaginaria

23

21 zz i5

luego

2z

trazo una paralela a z12z

7 f iii7 f iii7 f i/ii7 f i/ii





Para resolver gráficamente )zz( 122 con z1 y z2

representados

buscamos –z1 prolongando z1 en sentido opuesto

y trasladando con el compás el extremo de z1 sobre la línea prolongada, con centro en el origen de coordenadasencontramos –

z1sumamos z2 + (-z1) como hemos vistoprolongamos la recta de acción

de z2 -z1 y borramos la semicircunferencia auxiliar

y trasladamos con el compás el extremo de z2 - z1 sobre la línea

prolongada, con centro en el origen de coordenadas (por

cambio de signo)con el compás trasladamos una vez más sobre la recta la

distancia z2 - z1 ; obteniendo –2(z2 - z1 )buscamos la componente

real del vector resultante,

y la componente imaginaria 132 12 )zz( i10



productoproducto cocientecociente operac. operac. gráf.gráf.

132 zzzz Para resolver gráficamentecon z1 ; z2 y z3 representados

comenzamos buscando el opuesto de z2 , es decir - z2luego buscamos

1z y con este resultado buscamos 1z

ahora tenemos los complejos –z2 ; z3 y 1z

representados por sus respectivos vectores

solo nos queda efectuar la suma de todos ellos

)z(z)z( 132

lo que hacemos trasladando z3 a continuación de –z2 a continuación del z3 que sigue a -

z2

1z

uniendo el extremo de la acumulación de segmentos con el origen de coordenadas tenemos el

resultado que buscamos

132 zzz211

i9

Nº Nº complejocomplejo

z ; - z; 1/zz ; - z; 1/z suma-restasuma-resta


Para calcular z1 z2 lo realizamos como si se tratara del producto de dos binomios; con la única salvedad que debemos considerar el

producto de números imaginarios

)i()i(zz 223

3521

)i(i)i()i()(zz 2323

32523

521 26

29

10215

iii

i)()(29

106215 i

229

23

14

3z

z)ii podemos pensar

como

4

3

1z

z

que resolvemos como cociente de fracciones, efectuando el producto de los extremos sobre

el producto de los medios

4

3

11

z

z

11

43 zz )i()i( 2242 224242222 iii

i)z(

z26221

4

3

(- 1)

7 f iii7 f iii




2

13

zzz

)iii

)i(

)i()i(

223

3542

)i(

)ii

223

3542

)i(

i

223

77

i

i

i

i

223

223

223

77

22

2

223

14221

14221

)i(

iii

2449

14221

14221

i

ii

425

27

249

449

27

249

ii

42527

425249

ii

25247

252449

2 2

2

13

zzz

operamos en el numerador

efectuamos el cociente, multiplicando y dividiendo por el conjugado del

denominadoroperamos en el numerador y en el denominador

recuerde que i2 = - 1

fracción de fracción: es igual al producto de los extremos sobre el producto de los

medios

i2514

2598





8) Si 1x2x)x(f 2

xx)x(g 2 )i1(g)i2(f

)i()i()i()i(

111222

2

2entonces

(2+i) toma el lugar de x en f(x)

)i1(g)i2(f

)1()21(1)24()44(

2

2

iiiiii

iiiiii

12112444

2

2

iii

1121112

para calcular

f(x) = (2+i)2 -

2 (2 + i)+ 1

(1+i) toma el lugar de x en

g(x)

g(x) = (1+i)2 +

(1 + i)

operando resulta . . .

recuerde i2 = - 1

recuerde ( a + b )2 = a2 + 2ab + b2

ii

i51

53

312

9) a) Para hallar z tal que : izz 533

Si biaz biaz entonces . . .

izz 533 puede escribirse i)bia()bia( 533

resolvemos ibiabia 5333 Agrupamos reales e imaginarios en el 1º

miembroii)bb()aa( 5333

ibia 5324 Para que se verifique la igualdad, deben ser idénticas las

partes reales e imaginarias del primero y segundo miembro

5234 ba25

43

ba

iz25

43

tengamos presente que no podremos resolver esta ecuación despejando z

que resulta ser . . .

entonces . . .

9 c9 c9 b9 b



productoproducto

cocientecociente


9 b) Para hallar z tal que :

izzi 62


puede escribirse i)bia()bia(i 62

resolvemos ibiabiai 6222 Agrupamos reales e imaginarios en el 1º

miembroibia)(bai 6221

ii)ba()ba( 622

6202 baba

Para que se verifique la igualdad, deben ser idénticas las partes reales e imaginarias del

primero y segundo miembro

izzi 62

teniendo presente que

12 i

Podemos componer un sistema de dos

ecuaciones con dos incógnitas

62

02

ba

ba

que resolvemos por sustitución

(1)(2)

de (1) ab 2 reemplazando (1) en (2)

622 )a(a

63 a entonces36

a 2a reemplazando a = 2 en (1)

022 b entonces 4b

9 c9 c



productoproducto

cocientecociente


9 c) Para hallar z tal que : iziz 53


puede escribirse i)bia(i)bia( 53

resolvemos ibiaibia 532 agrupamos reales e imaginarios en el 1º

miembro

ii)ba()ba( 53

53 baba

iziz 53

tenga presente que

12 i

Podemos componer un sistema de dos ecuaciones

con dos incógnitas

5

3

ba

ba

Para que se verifique la igualdad, deben ser idénticas las partes reales e imaginarias del

primero y segundo miembro

i)(baibia 531

ibaibia 53

intuimos que este sistema de dos ecuaciones con dos incógnitas no tiene solución, porque la suma de

dos números cualesquiera, no pueden tener resultados diferentes



productoproducto

cocientecociente


10 i) la ecuación iz)i( 7325 puede resolverse despejando z

así :ii

z2573

resolvemos como

cociente de números complejos

multiplicamos y dividimos la expresión

ii

z2573

aplicando propiedad distributiva en el numerador y diferencia de cuadrados en el

denominador

22

2

251435615

)i(iii

también podría haberse aplicado distributiva en el denominador y

hubiéramos tenido el mismo resultado

2425

11435615i

)(ii

operamos sabiendo que i2 = -1i

i2941

291

29411

)i

)(i()i)(i(29411

252941

291

25

298222055 2iii

29203

2987

2920387 ii

i73

3 7

verificamos . . .

ii

ii

2525

2573

por el conjugado del denominador

10 ii/iii10 ii/iii



productoproducto

cocientecociente


),(),(

z)ii 53

43 puede resolverse

despejando z, porque en ella no aparecez

así : ),(),(z 4353

))();((z 3512209 ),( 329

iiiz

zz

362

32

iii) resolver

no debe ser muy diferente de lo realizado

hasta ahora

iiiz

362

321

1362

32

iiizPasamos –1

al 2º miembro

y resolvemos el segundo miembro

antes de pasar multiplicando el denominador del primer término

iiiz

372

32

)i)(i(iz 23732

resolvemos nuevamente el 2º miembro 23671432 iiiiz

y ahora despejamos ziiz 313112

iz 10112 iz 5211

i1311

iiz 131132



productoproducto

cocientecociente


11) a) Si el producto (3 - 6 i) (4 + x i) debe ser un número real

La parte imaginaria del resultado del producto (3 - 6 i) (4 + x i) debe ser igual a 0

)xiixi()xi()i( 2624312463

))(xixi( 1624312 así, agrupando reales por un lado e imaginarios por otro, tendremos . . .

)ixi()x( 243612 i)x()x( 243612 se distingue en la expresión claramente

una parte real

y una parte imaginariaSi la parte imaginaria debe ser 0, tendremos . . .

0243 x entonces . . .3

24x 8

8

Si el resultado del producto (3 - 6 i) (4 + x i) debe ser un imaginario puro

la parte real debe ser 0, tendremos . . .

0612 )x(

612

x 2entonces . . .

2

Algebra de BooleDecimos ( B, * ) es Algebra de Boole si

para un conjunto B y dos operaciones * y

1) * y son dos leyes de composición interna en B

2) * y son operaciones conmutativas

3) * y son operaciones asociativas en B

4) * y son operaciones distributivas cada una respecto de la otra

5) Existen elementos neutros en B respecto de * y que se denotan como 0 y 16) Todo elemento a B admite un complementario a´, tal que :

a * a´ = 1 y a a´ = 0

Tenga “muy presente” que 0 y 1 en Algebra de Boole son simples denominaciones del neutro respecto de * (0) y respecto de (1) ( no guardan ninguna relación con los valores que

representan normalmente)

1212 1313

1212 1313

12) Si B = { 1, 2, 3, 6 } con las operaciones * y donde * denota mínimo común múltiplo y denota máximo común divisor

confeccionamos las tablas respectivas para cada una de las operaciones

* 1 2 3 6

1

2

3

6

m.c.m.

1 2 3 62 2 6 6

3 6 3 66 6 6 6

1 2 3 6

1

2

3

6

1 1 1 11 2 1 21 1 3 31 2 3 6

m.c.d.

Todos los resultados de cualquiera de las dos tabla son elementos del conjunto B

Entonces * y son leyes de composición interna en B

* y son conmutativas porque definen relaciones conmutativasm.c.m. de a y b = m.c.m. de b y a m.c.d. de a y b = m.c.d. de b y a

* 1 2 3 6

1 1 2 3 6

2 2 2 6 6

3 3 6 3 6

6 6 6 6 6

1 2 3 6

1 1 1 1 1

2 1 2 1 2

3 1 1 3 3

6 1 2 3 6

m.c.m.

m.c.d.

Ejemplos donde se verifica la asociatividad de * y de

( 2 * 3 ) * 6 = 6 * 6 = 6

( 6 2 ) 1 = 2 1 = 1

2 * ( 3 * 6 ) = 2 * 6 = 6

6 ( 2 1 ) = 6 1 = 1

Ejemplos donde se verifica la distributividad de respecto de * y viceversa( 2 * 3 ) 1 = 6 1 = 1 se verifica

con( 2 1 ) * ( 3 1 ) = 1 * 1 = 1

( 2 3 ) * 1 = 1 * 1 = 1 se verifica con

( 2 * 1 ) ( 3 * 1 ) = 2 * 3 = 1

* 1 2 3 6

1 1 2 3 6

2 2 2 6 6

3 3 6 3 6

6 6 6 6 6

1 2 3 6

1 1 1 1 1

2 1 2 1 2

3 1 1 3 3

6 1 2 3 6

m.c.m.

m.c.d.

Analizamos la existencia de neutro en B para los operadores * y Si existe neutro en B para el operador * será un elemento e tal quex * e = x para cualquier x B esto se verifica para e =

1Decimos entonces que el “cero” para la operación * es el elemento 1 del conjunto BSi existe neutro en B para el operador será un elemento e tal quex e = x para cualquier x B esto se verifica para e =

6Decimos entonces que el “uno” para la operación es el elemento 6

* 1 2 3 6

1 1 2 3 6

2 2 2 6 6

3 3 6 3 6

6 6 6 6 6

1 2 3 6

1 1 1 1 1

2 1 2 1 2

3 1 1 3 3

6 1 2 3 6

m.c.m.

m.c.d.

Nos queda analizar la existencia de complementario para * y

Si existe complementario para * debe verificarse que a B, a´ B : a * a´= 1

el 1 de es el elemento 6 del conjunto B, verificamos

1 * 6 = 6 6 B ok2 * 3 = 6 6 B ok3 * 2 = 6 6 B ok6 * 1 = 6 6 B ok

respecto de * el complemento de

a = 1 es a´ = 6a = 2 es a´ = 3a = 3 es a´ = 2a = 6 es a´ = 1

Para todo elemento a

que pertenece al conjunto B

existe un elemento a´

que también pertenece al conjunto B

que verificala condición a * a´= 1

donde 1 es el neutro de

* 1 2 3 6

1 1 2 3 6

2 2 2 6 6

3 3 6 3 6

6 6 6 6 6

1 2 3 6

1 1 1 1 1

2 1 2 1 2

3 1 1 3 3

6 1 2 3 6

m.c.m.

m.c.d.

Finalmente analizamos la existencia de complementario para

Si existe complementario para debe verificarse que a B, a´ B : a a´= 0

si el 0 de * es el elemento 1del conjunto B, verificamos

1 6 = 1 6 B ok2 3 = 1 3 B ok

3 2 = 1 2 B ok6 1 = 1 1 B ok

respecto de el complemento de

a = 1 es a´ = 6a = 2 es a´ = 3a = 3 es a´ = 2a = 6 es a´ = 1

(B,*, (B,*, ) ) Es Algebra de BooleEs Algebra de Boole

13) Probar que en un Algebra de Boole las siguientes condiciones son equivalentes : 1) a b´ = 0 2) a * b = b 3) a´ * b = 1 4) a b = a

a * b = (a * b) 1

porque 1 es neutro para

b * b´= 1

(a * b) 1 = (a * b) (b * b´)

por propiedad distributiva extraemos b

(a * b) (b * b´) = b * (a b´)

suponiendo válida la primera condición a b´ = 0

b * (a b´) = b * 0 = b

por ser 0 el neutro de *

queda probado que a * b = a * b = bb

Si a´ * b = a´ * ( a * b)

dando por válido lo que acabamos de probara´ * ( a * b) = ( a´ * a ) * b por asociatividad, que debe cumplir un Algebra de

Boole( a´ * a ) * b = 1 * b

por complementario a * a´= 1

1 * b = ( 1 * b ) 1

por ser 1 neutro para

( 1 * b ) ( b * b´ ) = ( 1 b´ ) * b = b * b´ = 1

luego a´* b = a´* b = 11

probamos (2) a partir de (1) entonces:

Probamos ahora (3) a partir de (2) entonces:

Probamos ahora (4) a b = a a partir de (3) a´*b = 1 entonces:

porque 0 es neutro para *

a b = (a b) * 0

(a b) * 0 = (a b) * (a a´) porque a a´ = 0

por ser distrubutivo en * (a b) * (a a´) = a (b*a´) a (b * a´) = a 1 porque quedó probado (3) a´*b = 1 con *

conmutativoqueda probado que a a b b = a= a

Probamos ahora (1) a b´ a partir de (4) a b = a cerrando la cadena, entonces:a b´ = (a b) b´

por asociatividad

por ser 0 el neutro de *

suponiendo válido lo que acabamos de probar a b = a (a b) b´ = a ( b b´ )

por complementario b b´= 0

a ( b b´ ) = a 0

a 0 = ( a 0 ) * 0

( a 0 ) * 0 = ( a 0 ) * (a a´) = a (0 * a´)

0 * a´ = a´ por ser 0 neutro para *

a (0 * a´) = a a´ = 0

luego a a b´ = b´ = 00

a 1 = a porque 1 es neutro para

14) Aplicar la propiedad anterior al Algebra de Proposiciones

establecemos las siguientes equivalencias:

* equivale a equivale a

0 equivale a F1 equivale a V a´ equivale a p

1) a b´ = 0 será p q F

4) a b = a será p q p

2) a * b = b será p q q

3) a´ * b = 1 será p q V Le queda a Ud comprobar que cualquiera de ellas se cumple suponiendo

verdadera alguna otra, aplicando los contenidos del tema 1 (lógica de proposiciones)

15) a) Probamos que (a * b) (a * b´) = a

a * (b b´) =

Aplicando distributiva

b) Probamos que (a b) * (a b´) = a

a (b * b´) =

Aplicando distributiva

y sabiendo que 0 es neutro de *; por tanto b b´ = 0

a * 0 = a

y sabiendo que 1 es neutro de *; por tanto b * b´ = 1

a 1 = a

Observamos además que esto es válido por el principio de dualidad, dado que éste caso es el dual del

punto a)

16) Aplicar la propiedad anterior al Algebra de Conjuntos

establecemos las siguientes equivalencias:

* equivale a

equivale a

0 equivale a

1 equivale a U a´ equivale a A´=A

(a * b) (a * b´) = a

(a b) * (a b´) = a

equivale a (A B) (A B´) =

A ( B B´ ) = A = A

equivale a (A B) (A B´) =

A ( B B´ ) = A U = A

Es posible que algo haya quedado sin entenderse, te sugiero que vuelvas a repasar, que resuelvas los ejercicios complementarios y otros de los que

dispongaspero JAMAS TE DESANIMES, no dejes

que los fantasmas te persigan . . .

Las cosas que acabarán con la raza humana son: la

política sin principios, el progreso sin compasión, la

riqueza sin esfuerzo, la erudicción sin silencio, la

religión sin riesgo y el culto sin conciencia

(Anónimo)

04 estructuras algebraicas

Documents