SISTEMAS ALGEBRAICOS

Los sistemas algebraicos están compuestos por un conjunto y una o varias operaciones binarias. Estos sistemas tienen cierta estructura algebraica.

ESTRUCTURAS ALGEBRAICAS

Las estructuras algebraicas tienen distinto nombre dependiendo de las propiedades de la operación u operaciones definidas en el conjunto.

ESTRUCTURA DE GRUPO

Un conjunto no vacío S en el que se define una operación binaria Δ [sistema algebraico (S, Δ)], tiene estructura de grupo si se cumplen las siguientes propiedades:

1) S es cerrado con respecto a la operación Δ.2) La operación Δ es asociativa.3) Existe en S un elemento idéntico para la

operación Δ.

4) Todo elemento de S tiene inverso para la operación Δ.

Tiene estructura de grupo abeliano si además cumple que:

5) La operación Δ es conmutativa.

Ej.: Sea la operación Δ definida por

x Δ y = x + y + 1 ∀ x, y ∈ Q

Verificar si el sistema (Q, Δ) tiene estructura de grupo abeliano.

1) Cerradura.

Sean a, b ∈ Q

a Δ b = a + b + 1 ∈ Q

∴ ∆ es cerrada

2) Asociatividad.

Sean a, b, c ∈ Q

a Δ (b Δ c) = (a Δ b) Δ c

a Δ (b + c + 1) = (a + b + 1) Δ c

a + (b + c + 1) + 1 = (a + b + 1) + c + 1

a + b + c + 2 = a + b + c + 2

∴ ∆ es asociativa

3) ∃ elemento idéntico

Si “ide” es el elemento idéntico para la operación ∆, debe cumplirse que ∀ a ∈Q

a ∆ ide = a ide ∆ a = a ide ∈Q

a + ide + 1 = a -1 + a + 1 = a

ide = -1 ∈Q a = a

∴ ∃ elemento idéntico para ∆ que es -1 ∈Q

4) ∃ elementos inversos

Sea a ∈Q, si “inv” es el inverso de a para la operación ∆, debe cumplirse que

a ∆ inv = ide inv ∆ a = ide inv ∈Q

a + inv + 1 = -1 -a -2 + a + 1 = -1

inv = -a -2 ∈Q -1 = -1

∴∀ a ∈Q existe su inverso para la operación ∆ que es -a -2 ∈Q

En este punto se concluye que el sistema (Q, ∆) tiene estructura de grupo.

5) Conmutatividad

Sean a, b ∈ Q

a ∆ b = b ∆ a

a + b + 1 = b + a + 1

∴ ∆ es conmutativa

En consecuencia, el sistema (Q, ∆) tiene estructura de grupo abeliano.

ESTRUCTURA DE ANILLO

Un conjunto no vacío S en el que se definen dos operaciones, tiene estructura de anillo si se cumplen las siguientes condiciones:

1. El conjunto S forma un grupo abeliano respecto a la primera operación.1.1. Cerradura.1.2. Asociatividad.1.3. ∃ elemento idéntico.1.4. ∃ elementos inversos.1.5. Conmutatividad.

2. La segunda operación es2.1. Cerrada.2.2. Asociativa.

3. La segunda operación es distributiva sobre la primera3.1. Por la izquierda.3.2. Por la derecha.

Al elemento idéntico de la primera operación se le llama elemento “cero del anillo”.

En la estructura de anillo, la segunda operación no necesariamente es conmutativa. En caso de serlo, la estructura recibe el nombre de anillo conmutativo.

Si en el anillo existe un elemento idéntico para la segunda operación, a dicho elemento se le llama elemento “unidad del anillo” y la estructura recibe el nombre de anillo con unidad.

Ej.: Verificar que el sistema (Q, Δ, Θ) con las operaciones ∆ y Θ definidas como

x Δ y = x + y + 1

x Θ y = x + y + 1

tiene estructura de anillo.

1. En el ejemplo anterior se demostró que el sistema (Q, Δ) tiene estructura de grupo abeliano.

∀ x, y ∈ Q

2. La operación Θ debe cumplir con las propiedades de:

2.1 Cerradura

Sean a, b ∈ Q

a Θ b = a + b + ab ∈ Q

∴ Θ es cerrada

2.2 Asociatividad

Sean a, b, c ∈ Q

a Θ (b Θ c) = (a Θ b) Θ c

a Θ (b + c + bc) = (a + b + ab) Θ c

a + (b + c + bc) + a(b + c + bc) = (a + b + ab) + c + (a + b + ab)c

a + b + c + bc + ab + ac + abc = a + b + ab + c + ac + bc + abc

∴ Θ es asociativa

3. La operación Θ debe ser distributiva sobre ∆ por la:

3.1 Izquierdaa Θ (b ∆ c) = (a Θ b) ∆ (a Θ c)a Θ (b + c + 1) = (a + b + ab) ∆ (a + c + ac)

a + (b + c + 1) + a(b + c + 1) = (a + b + ab) + (a + c + ac) + 1

a + b + c + 1 + ab + ac + a = a + b + ab + a + c + ac + 1

2a + b + c + ab + ac + 1 = 2a + b + c + ab + ac + 1

∴ Θ es distributiva sobre ∆ por la izquierda.

3.2 Derecha

(b ∆ c) Θ a = (b Θ a) ∆ (c Θ a)

(b + c + 1) Θ a = (b + a + ba) ∆ (c + a + ca)

(b + c + 1) + a + (b + c + 1) a = (b + a + ba) + (c + a + ca) + 1

b + c + 1 +a + ab + ac + a = b + a + ba + c + a + ca + 1

2a + b + c + ab + ac + 1 = 2a + b + c + ab + ac + 1

∴ Θ es distributiva sobre ∆ por la derecha.

En consecuencia, el sistema (Q, Δ, Θ) es un anillo cuyo elemento cero (idéntico para ∆) es -1.

DIVISORES PROPIOS DE CERO

Si en un sistema algebraico se tiene que ab = 0 para a ≠ 0 y b ≠ 0, se dice que en este sistema a y b son divisores propios de cero.

DOMINIO ENTERO

Si un anillo conmutativo y con unidad no contiene divisores propios de cero, la estructura recibe el nombre de dominio entero.

ESTRUCTURA DE CAMPO

Un campo es un anillo conmutativo y con unidad en el que todos los elementos, a excepción del cero, tienen inverso para la segunda operación.

En un campo, el conjunto de todos sus elementos menos el cero forma un grupo abeliano para la segunda operación. Puede entonces establecerse una segunda definición de campo que es equivalente a la anterior.

Un conjunto S, que contiene al menos dos elementos, forma un campo respecto a las operaciones binarias definida en él, si:

1. S forma un grupo abeliano respecto a la primera operación (cinco condiciones).

2. Los elementos de S, diferentes de cero, forman un grupo abeliano respecto a la segunda operación (cinco condiciones).

3. La segunda operación es distributiva sobre la primera:3.1 Por la izquierda.3.2 Por la derecha.

Ej.: Verificar que el sistema (Q, Δ, Θ) con las operaciones ∆ y Θ definidas como

x Δ y = x + y + 1

x Θ y = x + y + 1

tiene estructura de campo.

1. En el primer ejemplo se demostró que el sistema (Q, Δ) tiene estructura de grupo abeliano.

2. En el segundo ejemplo se verificó que la operación Θ cumple con las propiedades de:2.1 Cerradura2.2 Asociatividad y además que

3. La operación Θ es distributiva sobre ∆ por la:

3.1 Izquierda

3.2 Derecha

Faltaría únicamente verificar

2.3 ∃ elemento idéntico para la operación Θ.

∀ x, y ∈ Q

2.4 ∃ elementos inversos para Θ.2.5 Conmutatividad para Θ.

2.3 ∃ elemento idéntico para la operación Θ.

Si “tico” es el elemento idéntico para la operación Θ, debe cumplirse que ∀ a ∈Q

a Θ tico = a tico Θ a = a tico ∈Q

a + tico + a(tico) = a 0 + a + 0(a) = a

tico (1 + a) = 0 a = a

tico = 0 ∈Q

∴ ∃ elemento idéntico para Θ que es 0 ∈Q

2.4 ∃ elementos inversos para la operación Θ.

Sea a ∈Q, si “verso” es el inverso de a para la operación Θ, debe cumplirse que

a Θ verso = tico verso Θ a = tico verso ∈Q

a + verso + a(verso) = 0−a1+a Θ a = 0

verso (1 + a) = -a −a1+a + a + −a

1+a a = 0

verso = −a1+a ∈Q −a+a (1+a )−a2

1+a = 0

−a+a+a2−a2

1+a = 0

0 = 0

∴∀ a ∈Q existe su inverso para la operación Θ que es −a

1+a ∈Q

Hasta aquí se concluye que el sistema (Q, Θ) tiene estructura de grupo.

2.5 Conmutatividad

Sean a, b ∈ Q

a Θ b = b Θ a

a + b + ab = b + a + ba

∴ Θ es conmutativa

En consecuencia, (Q, Θ) tiene estructura de grupo abeliano y por lo tanto el sistema (Q, Δ, Θ) tiene estructura de campo.

USO DE TABLAS EN OPERACIONES BINARIAS

Aunque la manera más usual de definir una operación binaria es mediante una expresión, en ciertos casos suele hacerse también mediante una tabla.

Dichas tablas son particularmente útiles cuando el conjunto sobre el que se define la operación es finito y tiene pocos elementos.

Por ej.: Sea G = {α, β, γ}

Puede definirse una operación ∎ mediante la siguiente tabla

∎ α β γα α β γ

β β β αγ α β γ

ISOMORFISMOS Y HOMOMORFISMOS

Sean (G,*) y (H, Δ) dos grupos. Una funciónf : G→H es un homomorfismo si

f(a*b) = f(a) Δ f(b) ∀ a,b ∈ G

Lo anterior garantizaría que se llega al mismo resultado empleando cualquiera de los siguientes procedimientos:

1) Empleando la operación * en el sistema(G, *) y aplicando después la función f al resultado.

2) Aplicando la función f a cada uno de los elementos de G y efectuando después la operación ∆.

Gráficamente,

(a,b) * (a,b)

(a,b)

ff

f(a), f(b) f(a) Δ f(b)Δ

Si f es además biyectiva (los elementos de G y H se encuentran en relación “uno a uno” y cada uno de ellos puede considerarse como el “reflejo” de su elemento correspondiente en el otro conjunto), se dice que es isomorfismo y que los grupos (G,*) y (H, Δ) son isomorfos.

Ej.: Sean los grupos (Z,*) y (Z,∆) en donde las operaciones * y ∆ se definen como

a * b = a + b + 2

a ∆ b = a + b - 2

y la función f : Z → Z está definida por

∀a, b ∈ Z

f(a) = -a ∀a ∈ Z

Determinar si f es isomorfismo.

f(a*b) = f(a) ∆ f(b)

f(a + b + 2) = -a ∆ -b

-a -b -2 = -a -b -2

∴ es homomorfismo

Como f es biyectiva, entonces f es isomorfa, o bien, f es un isomorfismo.

Ej.: Sean los grupos (S, +) donde S representa el conjunto de las matrices simétricas de orden 2 con elementos en R, y (R3, +) donde R3 representa el conjunto de las ternas ordenadas de números reales.

Si M = [a bb c ] representa un elemento cualquiera de S,

la función f : S → R3 se define mediante la regla

[a bb c ] → (a, b, c)

Determinar si los sistemas (S, +) y (R3, +) son isomorfos.

Debe cumplirse que:

f(M + N) = f(M) + f(N) M, N ∈ S

f([a bb c ]+[d e

e f ]) = f([a bb c ]) + f([d e

e f ])f([a+d b+eb+e c+ f ]) = (a, b, c) + (d, e, f)

(a+d, b+e, c+f) = (a+d, b+e, c+f)

∴ f es homomorfa

Como f es biyectiva, entonces f es isomorfismo.

El isomorfismo ofrece una ventaja adicional: por ser f una función biyectiva existe su inversa f−1 y se puede, mediante esta última, “regresar” del sistema (H,∆) al sistema (G,*) una vez efectuada la operación.

Los conceptos de homomorfismo e isomorfismo entre estructuras algebraicas no se limitan al caso de la estructura de grupo, ya que existen homomorfismos e isomorfismos entre anillos, entre campos y entre espacios vectoriales.