ejercicios resueltos paso a paso de sistemas y problemas de sistemas-de los problemas del word

7/25/2019 Ejercicios Resueltos Paso a Paso de Sistemas y Problemas de Sistemas-De Los Problemas Del Word

1/34

1

EJERC ICIOS DE S ISTEM A S DE

ECUA C IONES

Ejercicio n 1.-

a) Resuelve por sustitucin:

5x +2y =13x +3y =5

b) Resuelve por reduccin:

2x +y =64x +3y =14

Ejercicio n 2.-

a) Resuelve por igualacin:

5x 2y =2

x +2y =2


5x y =32x +4y =12

Ejercicio n 3.-

a) Resuelve por sustitucin:3x +5y =152x 3y =9

b) Resuelve por reduccin:4x +6y =26x +5y =1

Ejercicio n 4.-


2x +3y =14 3x y =14

b) Resuelve por igualacin:

2x +3y =26x +12y =1

Ejercicio n 5.-

a) Resuelve por igualacin:5x +2y =112x 3y =12

b) Resuelve por reduccin:2x +4y =7 3x 5y =4


2/34

Ejercicio n 6.-

Resuelve cada uno de los siguientes sistemas:

a)

x +2y =13x +y =10

b) x +2y =4

2x 4y =3

Ejercicio n 7.-

Resuelve los siguientes sistemas:

a) x +4y =12x +y =5

b)

3x +y =46x 2y =1

Ejercicio n 8.-


a) 3x 2y =4 2x +y =2

b)

x 4y =53x 12y =15

Ejercicio n 9.-

Resuelve estos sistemas:

a) 2x +3y =13x +2y =4

b) 4x 3y =5

x +6y =10

Ejercicio n 10.-


a) 4x y =9

2x +2y =2

b) 5x 4y =310x +y =6

Ejercicio n 11.-

Resuelve este sistema:


3/34

2 (x +4 ) y 9 = 3 2 2x +2y

1(3x 2)=

4 3 3

Ejercicio n 12.-

Resuelve el siguiente sistema:

2x 1+

y 3=

11

2 3 6

2x+

y 1=

6

5 10 5

Ejercicio n 13.-


3x 2y

+4y =13

3 3

2 (2y +x ) 3x 13 = 3 2 6

Ejercicio n 14.-

Resuelve este sistema de ecuaciones:

2(x +1) 3

y =3

3(x +5 y )+3x =12

Ejercicio n 15.-

Resuelve el sistema:

7x 9y

2x + 4=15

2 2 5(x 1+y )=25

Ejercicio n 16.-

a) !usca dos pares de valores "ue sean solucin de la ecuacin 5x 4y =1#

b) Representa gr$%icamente la recta 5x 4y =1#


4/34

c) &'u( relacin a* entre los puntos de la recta * las soluciones de la ecuacin+

Ejercicio n 17.-

a) ,bt(n dos puntos de la recta 3x 2y =1 * repres(ntala gr$%icamente#

b) &-lguno de los dos puntos obtenidos en el apartado anterior es solucin de la ecuacin 3x 2y =1+

c) &'u( relacin a* entre las soluciones de la ecuacin * los puntos de la recta+

Ejercicio n 18.-

a) Representa gr$%icamente la recta 5x +2y =3#

b) &.u$ntas soluciones tiene la ecuacin 5x +2y =3+ ,bt(n dos de sus soluciones#


Ejercicio n 19.-

- la vista de la siguiente gr$%ica:

a) ,bt(n tres puntos de la recta ax +by =c#

b) /alla tres soluciones de la ecuacin ax +by =c#

c)&'u( relacin a* entre los puntos de la recta * las soluciones de la ecuacin+

Ejercicio n 20.-

a) e los siguientes pares de valores:

(010) 3 19

(14)

02

1 7

2 5 2

&cu$les son soluciones de laecuacin

3x +1

y =5+2

b) Representa gr$%icamente larecta

3x +1

y =5#2


Ejercicio n 21.-

-verigua cu$ntas soluciones tiene el siguiente sistema de ecuaciones representando las dos rectas en losmismos ees:


5/34

x +y =52x +2y =2

Ejercicio n 22.-

a) Representa en los mismos ees el siguiente par de rectas e indica el punto en el "ue se cortan:

2x +y =2 x y =1

b) &.u$ntas soluciones tiene el sistema anterior+

Ejercicio n 23.-

a) Representa en los mismos ees las rectas:

2x +y =1 2x y =2

b) &'u( diras acerca de la solucin del sistema anterior+

Ejercicio n 24.-


x +y =12x +2y =2

b) &n "u( punto (o puntos)se cortan+ &.u$ntas soluciones tendr$ el sistema+

Ejercicio n 25.-

a) Representa en los mismos ees las rectas: x +2y =0x +2y =4

b) &.u$ntas soluciones tiene el sistema anterior+ &.u$les son+


6/34

R,!8- ;8- .mero sabiendo "ue la suma de sus dos ci%ras es 10 * "ue si invertimos el orden de dicasci%ras el n>mero obtenido es 36 unidades ma*or "ue el inicial#

Problema n 2.-

n un tri$ngulo rect$ngulo uno de sus $ngulos agudos es 12 ma*or "ue el otro# &.u$nto miden sus tres$ngulos+

Problema n 3.-

a distancia entre dos ciudades - * ! es de 255 ?m# mero de dos ci%ras sabiendo "ue la primera ci%ra es igual a la tercera parte de la segunda * "ue siinvertimos el orden de sus ci%ras obtenemos otro n>mero "ue eAcede en 54 unidades al inicial#

Problema n 5.-

a base ma*or de un trapecio mide el triple "ue su base menor# a altura del trapecio es de 4 cm * su $rea esde 24 cm

2# .alcula la longitud de sus dos bases#

Problema n 6.-

a raBn entre las edades de dos personas es de 2@3# abiendo "ue se llevan 15 aCos &cu$l es la edad de cadauna de ellas+

Problema n 7.-

mero eAcede en 12 unidades a otro * si rest$ramos 4 unidades a cada uno de ellos entonces el primerosera igual al doble del segundo# lantea un sistema * resu(lvelo para allar los dos n>meros#

Problema n 8.-

l permetro de un tri$ngulo issceles es de 19 cm# a longitud de cada uno de sus lados iguales eAcede en 2cm al doble de la longitud del lado desigual# &.u$nto miden los lados del tri$ngulo+

Problema n 9.-

ablo * -licia llevan entre los dos 160 D# i -licia le da 10 D a ablo ambos tendr$n la misma cantidad#&.u$nto dinero lleva cada uno+

Problema n 10.-

a suma de las tres ci%ras de un n>mero capic>a es igual a 12# a ci%ra de las decenas eAcede en 4 unidades aldoble de la ci%ra de las centenas# /alla dico n>mero#


7/34

Prob lema n 11 .-

l permetro de un rect$ngulo es de 22 cm * sabemos "ue su base es 5 cm m$s larga "ue su altura# lantea unsistema de ecuaciones * resu(lvelo para allar las dimensiones del rect$ngulo#

Problema n 12.-

/emos meBclado dos tipos de l"uido el primero de 094 D@litro * el segundo de06 D@litro obteniendo 40 litros de meBcla a 09 D@litro# &.u$ntos litros emos puesto de cada clase+

Prob lema n 13 .-

l doble de un n>mero m$s la mitad de otro suman 7 * si sumamos 7 al primero de ellos obtenemos el"untuplo del otro# lantea un sistema de ecuaciones * resu(lvelo para allar dicos n>meros#

Problema n 14.-

os de los $ngulos de un tri$ngulo suman 122# l tercero de sus $ngulos eAcede en4 grados al menor de los otros dos# &.u$nto miden los $ngulos del tri$ngulo+

Prob lema n 15 .-


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SOLUCIONES A LOS EJER C IC IOS DES ISTEM A S DE

ECU A CIO

N E SEjercicio n 1.-


5x +2y =13x +3y =5


2x +y =64x +3y =14

Solucin!

a) 5x +2y =1 y =1 5x

2

3x +3y =5 3x +31 5x

=5 3x +

3 15x=5 6x +3 15x =10

2 2

21x =7 x =7

=1

21 3

1+

5

y = 1 5x = 3 = 8 = 42 2 6 3

Solucin: x =1

; y =4

3 3

b) 2x +y =6 (3) 6x 3y =18

4x +3y =14

4x + 3y = 14

Sumando: 2x =4 x =2

2x +y =6 y =6 2x =6 4 =2

Solucin: x =2 ; y =2

Ejercicio n 2.-

a) Resuelve por igualacin:

5x 2y =2 x +2y =2


5x y =32x +4y =12

Solucin!

a) 5x 2y =2


9/34

x +2y =2


10/34

x =2 + 2y

+ y5 2 2

=2 2y 2 +2y =10 10y

12y =8 y =8

=2

x =2 2y

5 12 3

x =2 2 2

=2 4=

2

Solucin : x

=2

3 3

; y

=2

3 3b) 5x y =3

4

20x 4y =12

2x +4y =12 2x + 4y = 12

Sumando: 18x =0 x =0

5x y =3 5x 3 =y 3 =y


Ejercicio n 3.-

a) Resuelve por sustitucin:3x +5y =152x 3y =9

b) Resuelve por reduccin:4x +6y =26x +5y =1

Solucin!

a) 3x +5y =15

2x 3y =9

x =15 5y

3

21= 5 = 5y

3y =9

= 30 = 10y

3y=9 30 10y 9y =27

3 3

19y =57 y =57

=319

x =15 5y

=15 5 3

=0=0

3 3 3Solucin: x =0 ; y =3

b) 4x +6y =26x +5y =1

5

(

6

)

20x +30y =1036x 30y = 6

Sumando: 16x=4

x =4

=1

16 4

4x +6y =2 4

1 +6y =

2

1+6y =2 6y =3 y =

3=

1

4

6 2

Solucin: x =

1

;

y =

1

4 2

3


11/34

Ejercicio n 4.-


2x +3y =14 3x y =14

b) Resuelve por igualacin:

2x +3y =2

6x +12y =1

Solucin!

a) 2x +3y =14 2x +3(3x+14)=14

2x +9x +42 =14

3x y =14

y =3x +14

7x =28 x =28

=47

y =3(4)+14 =12 +14 =2Solucin: x =4 ; y =2

b) 2x +3y =2 y = 2 2x 3

2 2x=

1+ 6x 8 8x =1+6x

6x +12y =1

y = 1+6x 3 12

12

14x =7 x =7

=1

14 22 2x

2 2(12) 1y = = =

3 3 3

Solucin: x =1

; y =1

2 3

Ejercicio n 5.-

a) Resuelve por igualacin:5x +2y =112x 3y =12

b) Resuelve por reduccin:2x +4y =7 3x 5y =4

Solucin!

a) 5x +2y =11 x =11 2y

5

11 2y=

12 + 3y

2x 3y =12 12 +3y

5 2

x = 2

22 4y =60 +15y

38 =19y y =

38=2

19

112y 112(2) 15x = = = =3

5 5 5Solucin: x =3 ; y =2


12/34

b) 2x +4y =73 6x +12y =21

3x 5y =42

6x 1 0y = 8

Sumando: 2y =29 y =29

2

2x +4y =7 2x +429

=

7

2x +58 =7 2x =51 x =

51

2

Solucin: x =51

; y =29

2 2

Ejercicio n 6.-

Resuelve cada uno de los siguientes sistemas:

a)

x +2y =13x +y =10

b)

x +2y =4

2x 4y =3

Solucin!

a) x +2y =1 x =12y3x y 10 3 12y +y =10 3 +6y +y =10 7y =7 y =1 ( )

x =12y =12(1)=1+2 =3

Solucin: x =3 ; y =1b) x +2y =4 2y 4 =x2x 4y 3

2 2y 4 4y =3 4y 8 4y =3 0 =11 No tiene solucin.

(

)

Ejercicio n 7.-


a) x +4y =12x +y =5

b)

3x +y =46x 2y =1

Solucin!

a)x +4y =1 x =14y2x y 5 2 14y +y =5 2 8y +y =5 7y =7 y =1 ( )

x =14y =141=3

Solucin: x =3 ; y =1b) 3x +y =4 y =4 3x6x 2y 1 6x 2 4

3x=1 6x 8 +6x =1 0 =9

No tiene solucin. ( )

2


13/34

Ejercicio n 8.-


a) 3x 2y =4 2x +y =2

b)

x 4y =5

3x 12y =15

Solucin!

a) 3x 2y =4 3x 2(22x)=4

3x 4 +4x =4 7x =0 x =0

2x +y =2 y =2 2x

y =2 2x =2 20 =2


b) x 4y =5 x =5 +4y3x 12y 15 3 5 +4y 12y =15 15 +12y 12y =15

0 =0 ( )

l sistema tiene in!initas soluciones.

Ejercicio n 9.-

Resuelve estos sistemas:

a) 2x +3y =1

3x +2y =4b)

4x 3y =5

x +6y =10

Solucin!

a) 2x +3y =1

3x +2y =4

2

(

3

)

4x +6y =2

9x 6y = 12

Sumando: 5x =

10

x

=2

2x +3y =1 4 +3y =1 3y =3 y =1

Solucin: x =2 ; y =1b) 4x 3y =5 2

8x 6y =10

8x +6y =10 8x + 6y = 10

Sumando: 0 =20

No tiene solucin.


14/34

Ejercicio n 10.-


a) 4x y =9

2x +2y =2b)

5x 4y =3

10x +y =6

Solucin!

a) 4x y =9

2x +2y =24x +9 =yx +y =1

x +4x +9 =1 5x =10 x =2

y =4x +9 =4(2)+9 =8 +9 =1

Solucin: x =2 ; y =1b) 5x 4y =3 2

10x 8y =6

10x +8y =6 10x + 8y = 6

Sumando: 0 =0

l sistema tiene in!initas soluciones.

Ejercicio n 11.-

Resuelve este sistema:

2 (x +4 ) y 9 = 3 2 2x +2y

1(3x 2)=

4 3 3

Solucin!

2 (x + 4) y 9 =3 2 2

2x + 8

y=

9

3 2 2

4x +16 3y =27

x +2y 1

(3x2)=4

3 3

x +2y 3x 2

=4

3 3

3x +6y 3x +2 =4

4x 3y =11

6y =6

4x +3 =11

y=

1

4x =8 x =2


Ejercicio n 12.-


2x 1+

y 3=

11

2 3 6

2x+

y 1=

6

5 10 5


15/34

Solucin!

2x 1+

y 3=

11 2 3 6

6x 3 +2y 6 =11

6x +2y =20

3x +y =10

2x y 1 6

4x +y 1=12 4x +y =11 4x +y =11

+ = 5 10 5

y =10 3x10 3x =4x 11 y =4x 11

21=

7x

x=

3

y =10 3x =10 33 =10 9 =1


Ejercicio n 13.-


3x 2y+4y =

13

3 3

2 (2y +x ) 3x 13 = 3 2 6

Solucin!

3x 2y+4y =

13

3 3

3x 2y +12y =13 3x +10y =13 3x +10y =13

4y + 2x

3x

13

8y 4x 9x 13

5x 8y 13

2 ( 2y x )

3x 13 =3 2 6

3 2 6

5

3

15x +50y =65

15x 24y = 39Sumando: 26y =26

y =1

3x +10y =13

3x +10 =13

3x =3 x =1


Ejercicio n 14.-

Resuelve este sistema de ecuaciones:

2(x +1) 3

y =3

3(x +5 y )+3x =12

Solucin!

2 (x+ 1)

3

y =3 2x +23

y =3 2x +2 3y =9

3(x +5 y)+3x =12

3x +15 3y +3x =12

6x 3y =3


16/34

2x 3y =11 2x y =1

(

1

)

2x +3y =11

2x y = 1

Sumando: 2y =10 y =5

2x y =1 2x

5=

1

2x

=4

x

=2


17/34

c) "os #untos de la $ecta son las soluciones de la ecuacin.

15


Ejercicio n 15.-

Resuelve el sistema:

7x 9y

2x + 4=15

2 2

5(x 1+y )=25

Solucin!

7x 9y

2x + 4=15

7x 9y 2x 4 =30

2 2

5(x 1+y)=25

5x 5 +5y =25

5x 9y =26

5x 9y =26

5x +5y =30 %1)

Sumando:

5x 5y = 30

14y =56 y = 56 =4

14

5x +5y =30 x +y =6 x +4 =6 x =2


Ejercicio n 16.-

a) !usca dos pares de valores "ue sean solucin de la ecuacin 5x 4y =1#

b) Representa gr$%icamente la recta 5x 4y =1#


Solucin!

a) 5x 4y =1 5x 1=4y

y =5x 1

4

"e damos &alo$es a x ' obtenemos( #o$ eem#lo( los #untos:

x =1 y =1 *unto (1( 1)

x =3 y =4 *unto (3( 4)

b) +tili,amos los dos #untos obtenidos en el a#a$tado ante$io$:


18/34


16


19/34

16

Ejercicio n 17.-

a) ,bt(n dos puntos de la recta 3x 2y =1 * repres(ntala gr$%icamente#

b) &-lguno de los dos puntos obtenidos en el apartado anterior es solucin de la ecuacin 3x 2y =1+


Solucin!

a) 3x 2y =1 3x 1=2y

y =3x 1

2

-amos &alo$es a x ' obtenemos los #untos:

x =1 y =1 *unto (1( 1)

x =1 y =2 *unto (1( 2)

b) "os dos #untos obtenidos son solucin de la ecuacin.


Ejercicio n 18.-

a) Representa gr$%icamente la recta 5x +2y =3#

b) &.u$ntas soluciones tiene la ecuacin 5x +2y =3+ ,bt(n dos de sus soluciones#


Solucin!

a) 5x +2y =3 y =3 5x

2

"e damos &alo$es a x ' obtenemos( #o$ eem#lo( los #untos:

x =1 y =1 *unto (1( 1)

x =1 y =4 *unto (1( 4)

b) iene in!initas soluciones. -os de ellas son( #o$ eem#lo( (1( 1) ' (1( 4).


20/34


Ejercicio n 19.-

- la vista de la siguiente gr$%ica:

a) ,bt(n tres puntos de la recta ax +by =c#

b) /alla tres soluciones de la ecuacin ax +by =c#

c)&'u( relacin a* entre los puntos de la recta * las soluciones de la ecuacin+

Solucin!

a) *o$ eem#lo: (0( 0); (2( 1); (4( 2).

b) *o$ eem#lo: (0( 0); (2( 1); (4( 2).


Ejercicio n 20.-

a) e los siguientes pares de valores:

(010) 3 19

(14)

02

1 7

2 5 2

&cu$les son soluciones de laecuacin

3x +1

y =5+2

b) Representa gr$%icamente larecta

3x +1

y =5#2


Solucin!

a) Sustituimos cada uno de ellos en la ecuacin:

(0( 10) 3 0 +110 =

52

(0( 10)es solucin.

3( 19 3

3+

119 =

5

3( 19

es solucin.

2

2 2

2

(1( 4)

3 (1)+1(4)=1

2

(1( 4)no es solucin.

0(

2 3 0 +

12=1

0(

2 no es solucin.

5

2 5 5

5


21/34

1( 7 3

1 +

17 =

5

1( 7

es solucin.

2

2

2

2

b) omamos dos #untos de la $ecta( #o$ e)em#lo (0(10) '

1( 7

( ' la $e#$esentamos:

2


Ejercicio n 21.-

-verigua cu$ntas soluciones tiene el siguiente sistema de ecuaciones representando las dos rectas en losmismos ees:

x +y =52x +2y =2

Solucin!

/e#$esentamos las dos $ectas obteniendo dos #untos de cada una de ellas:

x +y =5 y =x +5 2x +2y =2 x +y =1 y =x +1x y x y

0 5 0 1

1 4 1 2


22/34

Son #a$alelas. l sistema no tiene solucin.


23/34

Ejercicio n 22.-

a) Representa en los mismos ees el siguiente par de rectas e indica el punto en el "ue se cortan:

2x +y =2 x y =1

b) &.u$ntas soluciones tiene el sistema anterior+

Solucin!

a) /e#$esentamos las dos $ectas obteniendo dos #untos de cada una de ellas:2x +y =2 y =2 2x x y =1 y =x 1x y x y

0 2 0 11 0 1 0

b) a' una solucin: (1( 0);es deci$( x =1 ( y =0.

Ejercicio n 23.-


2x +y =1 2x y =2

b) &'u( diras acerca de la solucin del sistema anterior+

Solucin!

a) btenemos dos #untos de cada una de las $ectas #a$a $e#$esenta$las:2x +y =1 y =2x +1 2x y =2 2x 2 =yx y x y

0 1 0 21 3 1 0


24/34

Son #a$alelas.

b) l sistema no tiene solucin( es incom#atible( 'a ue las $ectas no se co$tan.

Ejercicio n 24.-


x +y =12x +2y =2

b) &n "u( punto (o puntos)se cortan+ &.u$ntas soluciones tendr$ el sistema+

Solucin!

a) /e#$esentamos las $ectas obteniendo dos #untos de cada una de ellas:

x +y =1 y =x +1 2x +2y =2 x +y =1 y =x +1

x y

0 1 s la misma $ecta.

1 2

b) Se co$tan en todos sus #untos( #uesto ue se t$ata de la misma $ecta. l sistema tend$ in!initas soluciones: todoslos #untos de la $ecta.


25/34

Ejercicio n 25.-

a) Representa en los mismos ees las rectas: x +2y =0x +2y =4

b) &.u$ntas soluciones tiene el sistema anterior+ &.u$les son+

Solucin!

a) /e#$esentamos las $ectas obteniendo dos #untos de cada una de ellas:

x +2y =0 2y =x y =x x +2y =4 2y =4 +x

y =4 +x

2 2

x y x y

0 0 0 2

2 1 2 3

b) iene una solucin: (2( 1);es deci$( x =2( y =1.


26/34

, < .,= - , R,! 8- ; 8- .< - .,=

Problema n 1.-

.alcula un n>mero sabiendo "ue la suma de sus dos ci%ras es 10 * "ue si invertimos el orden de dicas

ci%ras el n>mero obtenido es 36 unidades ma*or "ue el inicial#

Solucin!

"lamamos x a la #$ime$a ci!$a del nme$o (la de las decenas)e y a la seunda (la de las unidades). s( el nme$ose$ 10x +y. enemos ue:

x +y =10 x +y =10

x +y =10

10y +x =10x +y +36 9x 9y =36 x y =4

y =10 x

y

=x

+4

10 x =x +4 6 =2x x =3

y =10 x =10 3 =7

l nme$o buscado es el 37.

Problema n 2.-

n un tri$ngulo rect$ngulo uno de sus $ngulos agudos es 12 ma*or "ue el otro# &.u$nto miden sus tres$ngulos+

Solucin!

"lamamos x e y a los nulos audos del t$inulo:

enemos ue:

x =y +12 x =y +12

y +12 =90 y

2y =78 y =78

=39

x +y =90 x =90 y

2

x =y +12 =39 +12 =51

"os nulos miden 39( 51 ' 90.

Problema n 3.-

a distancia entre dos ciudades - * ! es de 255 ?m#


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Solucin!

"lamamos x a la distancia ue $eco$$e el coce ue sale de A asta encont$a$se.

Sabemos ue e =v t( donde e $e#$esenta el es#acio $eco$$ido( v la &elocidad ' t el tiem#o. *o$ tanto:x =90t

255 x =80t 255 90t =

80t 255 =170t t =

255=1(5 o$as

170

x =90t =90 1(5 =135 m 255 x =255 135 =120 m

a$dan 1(5 o$as (una o$a ' media)en encont$a$se. l coce ue sali de lle&aba $eco$$idos 135 m; ' el ue salide ( lle&aba 120 m.

Problema n 4.-

/alla un n>mero de dos ci%ras sabiendo "ue la primera ci%ra es igual a la tercera parte de la segunda * "ue siinvertimos el orden de sus ci%ras obtenemos otro n>mero "ue eAcede en 54 unidades al inicial#

Solucin!

"lamamos x a la #$ime$a ci!$a del nme$o (la de las decenas)e y a la seunda ci!$a (la de las unidades). s( elnme$o se$ 10x +y. enemos ue:

x =y

3

3x =y

10y +x =10x +y +54 30x +x =10x +3x +54 18x =54 x =54

=318

y =3x =3 3 =9

l nme$o buscado es el 39.

Problema n 5.-

a base ma*or de un trapecio mide el triple "ue su base menor# a altura del trapecio es de 4 cm * su $rea esde 24 cm

2# .alcula la longitud de sus dos bases#

Solucin!

"lamamos x a la base meno$ e y a la base ma'o$.

enemos ue:

y

=3x

y

=3x

y

=3x

=242x +2y =24

x +y =12

x +3x =12 4x =12 x =3

y =3x =3 3 =9

2


28/34

"a base meno$ mide 3 cm ' la base ma'o$( 9 cm.

Problema n 6.-

a raBn entre las edades de dos personas es de 2@3# abiendo "ue se llevan 15 aCos &cu$l es la edad de cada

una de ellas+

Solucin!

"lamamos x e y a las edades de cada uno. enemos ue:

x=

2 3x =2y 3x =2(x +15)

3x =2x +30 x =30

y 3 y =x +15

y =x +15 =30 +15 =45

ienen 30 ' 45 ameros#

Solucin!

aamos una tabla #a$a entende$ meo$ la situacin:

S= /S>S 4

*/=>/ N?>/ x x 4

S@+N- N?>/ y y 4

enemos ue:

x =y +12 x =y +12

x 4 =2(y 4)

y +12 4 =2y 8

y =16

x =y +12 =16 +12 =28

"os nme$os son el 28 ' el 16.

Problema n 8.-

l permetro de un tri$ngulo issceles es de 19 cm# a longitud de cada uno de sus lados iguales eAcede en 2cm al doble de la longitud del lado desigual# &.u$nto miden los lados del tri$ngulo+

Solucin!

"lamamos x a la lonitud de cada uno de los dos lados iuales e y a la del lado desiual.


29/34

enemos ue:

2x +y =19

2(2y+2)+y =19 4y +4 +y =19 5y =15 y =3

x =2y +2

x =2y +2 =2 3 +2 =6 +2 =8

"os lados iuales miden 8 cm cada uno; ' el lado desiual mide 3 cm.

Problema n 9.-

ablo * -licia llevan entre los dos 160 D# i -licia le da 10 D a ablo ambos tendr$n la misma cantidad#

&.u$nto dinero lleva cada uno+

Solucin!

"lamamos x a la cantidad de dine$o ue lle&a *ablo e y a la ue lle&a licia. enemos ue:

x +y =160 y 20 +y =160 2y =180 y =90

x +10 =y 10

x =y 20

x =y 20 =90 20 =70

*ablo lle&a 70 A ' licia( 90 A.

Problema n 10.-

a suma de las tres ci%ras de un n>mero capic>a es igual a 12# a ci%ra de las decenas eAcede en 4 unidades aldoble de la ci%ra de las centenas# /alla dico n>mero#

Solucin!

"lamamos x a la ci!$a de las centenas (ue coincide con la de las unidades( #o$ se$ el nme$o ca#ica)e y a la delas decenas. s( tenemos ue:

2x +y =12 y =12 2xy =2x +4 y =2x +4 12 2x =2x +4 8 =4x x =2 y =8

l nme$o ue buscamos es el 282.

Problema n 11.-

l permetro de un rect$ngulo es de 22 cm * sabemos "ue su base es 5 cm m$s larga "ue su altura# lantea unsistema de ecuaciones * resu(lvelo para allar las dimensiones del rect$ngulo#

Solucin!

"lamamos x a la base e y a la altu$a.


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enemos ue:

2x +2y =22

x +y =11 y +5 +y =11 2y =6

y =3

x =y +5

x =y +5 =3 +5 =8

x =y +5

"a base mide 8 cm ' la altu$a( 3 cm.

Problema n 12.-

/emos meBclado dos tipos de l"uido el primero de 094 D@litro * el segundo de06 D@litro obteniendo 40 litros de meBcla a 09 D@litro# &.u$ntos litros emos puesto de cada clase+

Solucin!

acemos una tabla #a$a o$ani,a$ la in!o$macin:

1e$

=* 2B =* >CD"

N."=/S x y 40

*/D=E"=/%eu$os) 0(94 0(86 0(89

*/D= "%eu$os)

0(94x 0(86y 35(6

enemos ue:

x +y =40 y =40 x0(94x +0(86y =35(6 0(94x +0(86(40x)

=35(6

0(94x +34(4 0(86x =35(6

0(08x =1(2 x =

1( 2=

150(08

y =40 x =40 15 =25

emos #uesto 15 lit$os del #$ime$ ti#o ' 25 lit$os del seundo.

Problema n 13.-

l doble de un n>mero m$s la mitad de otro suman 7 * si sumamos 7 al primero de ellos obtenemos el"untuplo del otro# lantea un sistema de ecuaciones * resu(lvelo para allar dicos n>meros#

Solucin!

"lamamos x al #$ime$ nme$o e y al seundo. s( tenemos ue:

2x +y

=7 4x +y =14

y =14 4x

2 x +7 =5y

x +7 =5y x +7 =5(144x)

x +7 =70 20x

21x =63 x =

63=3

21

y =14 4x =14 4 3 =14 12 =2


31/34

"os nme$os son el 3 ' el 2.

Prob lema n 14 .-

os de los $ngulos de un tri$ngulo suman 122# l tercero de sus $ngulos eAcede en4 grados al menor de los otros dos# &.u$nto miden los $ngulos del tri$ngulo+

Solucin!

+no de los nulos mide x; el ot$o( 122 x( ' el te$ce$o( y.

enemos ue:

y =x +4

y =x +4 x +4 =58 x =54

x +y +122 x =180 y =58

y =x +4 =54 +4 =58

"os nulos miden 54( 58 ' 122F 54F =68.

Prob lema n 15 .-

/*/-+D x 0(05x

S@+N-*/-+D y 0(035y

enemos ue:

x +y =10000

y =10000 x


32/34

0(05x =0(035y +330


33/34

0(05x =0(035(10000 x)+330

0(05x =350 0(035x +330

0(085x =680x =

680=8000

0(085


34/34

y =10 000 x =10 000 8 000 =2 000

=n&i$ti 8 000 A en el #$ime$ #$oducto ' 2 000 A en el seundo.

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